JEREMIE MATTEI

MODELISATION ANALYTIQUE ET NUMERIQUE DE LA CAVITÉ INTERNE D'UN INJECTEUR ROTATIF FRONDE POUR TURBINES À GAZ

Mémoire présenté à la Faculté des études supérieures de l'Université Laval

dans le cadre du programme de maîtrise en Génie Mécanique pour l'obtention du grade de Maître es science (M.Sc.)

DEPARTEMENT DE GENIE MECANIQUE FACULTÉ DES SCIENCES ET GÉNIE

UNIVERSITÉ LAVAL QUÉBEC

2010

Jérémie Matteï, 2010

Résumé La maîtrise effectuée au laboratoire de Combustion de l'Université Laval s'est inscrite

dans un projet de conception d'un nouveau système de combustion pour de petites turbines

à gaz, intégrant un atomiseur rotatif dénommé atomiseur fronde ou plus communément

slinger. Ce projet est proposé et en partie financé par Pratt & Whitney Canada (P&WC).

L'objectif final est de fournir un système d'injection de carburant simple, peu coûteux,

léger et efficace, grâce à la suppression - permise par l'atomiseur rotatif centrifuge - de la

pompe à carburant à haute pression. La maîtrise se situant dans la première phase du projet,

les travaux réalisés se sont donc concentrés au niveau de la section interne de l'atomiseur

où le carburant est encore sous forme de jet puis de film liquide, c'est-à-dire avant sa

désintégration dans la zone primaire de la chambre de combustion. Les objectifs propres à

cette maîtrise comprenaient : (1) la modélisation analytique du système d'alimentation du

carburant dans la cavité au regard des phénomènes physiques s'y déroulant (chute de

pression, écoulement transversal), (2) la modélisation par Mécanique des Fluides

Numérique (MFN) du film liquide sur la paroi de l'atomiseur en rotation dans le but

d'évaluer l'épaisseur de film (paramètre influençant directement la qualité de Tatomisation

et dès lors la future combustion) avant Tatomisation.

Concernant le système d'alimentation en carburant, une configuration optimale en

termes de nombre, de diamètre et de forme de trous a été déterminée en garantissant

théoriquement un jet jusqu'à impact sur l'atomiseur. Quant aux simulations numériques

exécutées avec le code de calcul FLUENTMD, elles ont abouti à la validation du code vis-à-

vis de la prédiction de l'épaisseur de film liquide se développant sur un disque plat rotatif.

Une légère sous-estimation systématique a été observée due à la non prise en compte de

l'effet de glissement dans le code. Enfin, diverses simulations sur la géométrie réelle

simplifiée proposée par P&WC ont servi à déceler certaines limitations du code, reliées à

l'effort numérique conséquent imposé par le modèle multiphase Volume de Fluide (VOF

ou Volume of Fluid). Le présent mémoire se termine sur une série de recommandations

pour les futures recherches, dans l'optique d'obtenir à terme un outil numérique fiable à

l'égard de la prédiction de l'épaisseur de film liquide sur la surface rotative de l'atomiseur

fronde.

11

Abstract This Master's project done at the Combustion Laboratory of Université Laval was part

of a design process of a new combustion system for small gas turbine engines, integrating a

rotary atomizer named slinger. This project is proposed and partly financed by Pratt &

Whitney Canada (P&WC). The final purpose is to provide a simple, cheap, light and

efficient fuel injection system, thanks to the elimination - allowed by the centrifugal rotary

atomizer - of the high-pressure fuel pump. The research project involved the atomizer

internal cavity where the fuel is still a liquid jet or film, i.e. before its disintegration in the

primary zone of the combustion chamber. The main goals of this project included: (1) the

analytical study of the fuel feeding system in the internal cavity in relation to the actual

physical phenomena (pressure drop, cross flow), (2) the numerical simulation by

Computational Fluid Dynamics (CFD) of the liquid film developing along the wall of the

rotary atomizer, in order to predict the film thickness (linked with the quality of

atomization and thus the combustion efficiency) before the atomization.

Concerning the fuel feeding system, an optimal configuration was computed with

regard to the number, diameter and shape of holes, theoretically ensuring a jet until it

impacts on the atomizer. Regarding the numerical simulations performed with the CFD

code FLUENT™, they led to the CFD code validation regarding the liquid film thickness

prediction for the case of a rotary flat disk. A slight underestimation was pointed out due to

the non-consideration of the slipping condition at the wall in the CFD code. Finally, various

simulations of the simplified actual geometry proposed by P&WC led to the detection of

some restrictions in the code, due to the important numerical effort imposed by the

multiphase Volume of Fluid (VOF) model. The present Master's thesis ends with several

recommendations for the forthcoming research, in order to obtain an accurate numerical

tool to predict the liquid film thickness developing along the rotary slinger atomizer.

Ill

Remerciements

Je souhaiterais mettre à profit ces quelques lignes pour remercier les personnes qui ont

contribué, de près ou de loin, à la réalisation de cette maîtrise.

Tout d'abord, à M. Alain DeChamplain, mon directeur de maîtrise, pour la confiance qu'il

m'a accordée depuis ma « contrée » d'origine, m'offrant ainsi l'opportunité de participer à

ce projet d'envergure. Ses conseils et son soutien permanent m'ont permis d'effectuer ce

travail dans les meilleures conditions possibles.

Ensuite, à M. Bernard Paquet qui, grâce à son enthousiasme quotidien au sein du

laboratoire de combustion et sa passion pour l'ingénierie, a su rendre cette maîtrise

enrichissante, tant sur le plan personnel que professionnel. Son expérience et ses

connaissances dans le domaine, entre autres, de la combustion ont été plus que précieuses

tout au long de cette maîtrise.

Je tiens également à remercier mon collègue de maîtrise Stéphane Mailhot, pour tous ses

conseils éclairés sur les « rouages » du laboratoire de combustion à mon arrivée au Québec,

ainsi que pour son aide lors des activités d'enseignement.

J'aimerais remercier aussi tout le personnel administratif et technique du département de

Génie Mécanique de l'Université Laval, et plus particulièrement Normand Rioux qui s'est

toujours montré disponible afin de résoudre, avec sa bonne humeur habituelle, les

problèmes informatiques qui ont surgi à maintes reprises.

Ce mémoire serait incomplet sans une dédicace toute particulière à mes parents Éric et

Marie-Pascale, et à mon « petit » frère Joshua, qui, malgré un océan d'écart, m'ont

continuellement soutenu et conseillé au fil des années. Leur appui fut, comme d'habitude,

sans faille.

Enfin, comment pourrais-je ne pas dédier ce mémoire à Soledad, mi « compahera », qui a

toujours été à mes côtés, dans les bons moments comme dans les périodes de doute. Sa

gentillesse, sa patience, et surtout son amour, m'ont permis d'avancer pour mener ce projet

à terme. Jamâs lo olvidaré.

IV

A « mes familles » des deux côtés de l'Atlantique

A Soledad

Table des matières Résumé i Abstract ii Remerciements iii Table des matières v Liste des tableaux vii Liste des figures viii Nomenclature xi

Introduction générale 1

Chapitre 1 Revue bibliographique 5

1.1 Atomiseurs rotatifs 5 1.1.1 Concept général 5 1.1.2 Types d'atomiseurs rotatifs 6 1.1.3 Injecteur fronde ou slinger 12

1.2 Jet liquide soumis à un écoulement transversal gazeux 26 1.2.1 Écoulement transversal 26 1.2.2 Généralités sur le bris d'un jet 29 1.2.3 Influence de l'écoulement transversal 33

1.3 Épaisseur du film liquide sur une paroi rotative 40

Chapitre 2 Modélisation de l'injecteur fronde 47

2.1 Injection du carburant dans la cavité de l'atomiseur 47 2.1.1 Caractéristiques de l'injection 49 2.1.2 Calcul des paramètres relatifs au système d'alimentation de carburant 59 2.1.3 Analyse des résultats 64 2.1.4 Cas de l'évaporation instantanée 72

2.2 Modélisation numérique MFN 76 2.2.1 Écoulements multiphases 76 2.2.2 Modèles numériques multiphases 77

Chapitre 3 Résultats et discussion 89

3.1 Conservation du débit 89 3.1.1 Présentation de l'étude 89 3.1.2 Présentation et analyse des résultats 95 3.1.3 Conclusion 103

3.2 Validation du code de calcul 104 3.2.1 Présentation de l'étude 104 3.2.2 Présentation et analyse des résultats 110 3.2.3 Conclusion 116

3.3 Géométrie réelle de P&WC 117

VI

3.3.1 Présentation de l'étude 117 3.3.2 Présentation et analyse des résultats 125 3.3.3 Limitations 133

3.4 Conclusion 136

Conclusions et recommandations 138

Références 143 Bibliographie 145

Annexe A : Recommandations concernant l'utilisation du modèle multiphase VOF dans FLUENTMD 147 Annexe B : Détails des maillages utilisés pour l'étude sur la conservation du débit 160

vu

Liste des tableaux

Tableau 1-1 : Récapitulatif des principales caractéristiques des atomiseurs rotatifs 6 Tableau 1-2 : Caractéristiques géométriques et physiques de l'atomiseur fronde typique

proposé par Dahm et al. (2002) 17 Tableau 2-1 : Valeurs du coefficient de décharge maximal en fonction de la forme de

l'ajutage pour des écoulements turbulents (Idelcik, 1969) 52 Tableau 2-2 : Récapitulatif des conditions d'opération au sein de la cavité interne 59 Tableau 2-3 : Valeurs du coefficient moyen d'expansion en fonction de la masse volumique

à 288 K (Odgers & Kretschmer, 1986) 60 Tableau 2-4 : Récapitulatifs des paramètres indépendants de la configuration 65 Tableau 2-5 : Récapitulatif des différentiels de pression Ap requis 66 Tableau 2-6 : Récapitulatif des 4 configurations permettant de respecter les différentiels de

pression visés 69 Tableau 2-7 : Récapitulatif des vitesses d'injection en fonction des configurations et des

conditions d'opération 69 Tableau 2-8 : Récapitulatif des longueurs de bris en fonction des configurations et des

conditions d'opération 69 Tableau 2-9 : Récapitulatif des caractéristiques de la configuration optimale proposée 70 Tableau 2-10 : Rappel des conditions de test 74 Tableau 3-1 : Récapitulatif des conditions de tests sur la conservation du débit 92 Tableau 3-2 : Récapitulatif des 14 tests de l'étude sur la conservation du débit 93 Tableau 3-3 : Relation entre raffinement de maillage, épaisseur d'interface et conservation

du débit 100 Tableau 3-4 : Rapport entre le>>+ et la conservation du débit 101 Tableau 3-5 : Rapport entre les modèles de turbulence et la conservation du débit 102 Tableau 3-6 : Récapitulatif des caractéristiques des couches limites testées 107 Tableau 3-7 : Récapitulatif des conditions de tests pour la validation du code de calcul ..108 Tableau 3-8 : Récapitulatif des six tests pour la validation du code de calcul 109 Tableau 3-9 : Récapitulatif des épaisseurs de film liquide en fonction des différents tests 111 Tableau 3-10 : Caractéristiques de la couche limite utilisée pour la modélisation de

l'atomiseur fronde 124 Tableau 3-11 : Récapitulatif des conditions de test sur la géométrie réelle 124 Tableau 3-12 : Comparatif des caractéristiques de l'injection entre la théorie et les résultats

MFN 130

vin

Liste des figures

Figure 1-1 : Représentation des trois régimes de formation de gouttelettes sur un disque plat rotatif: (a) gouttelettes, (b) ligaments, (c) feuille (Bayvel & Orzechowski, 1993) 8

Figure 1-2 : Exemples d'atomiseurs de catégorie « disque rotatif» : (a) disque plat, (b) atomiseur à aubes (Bayvel & Orzechowski, 1993) 10

Figure 1-3 : Exemples d'atomiseurs de catégorie « coupelle » : (a) non perforée, (b) perforée (Bayvel & Orzechowski, 1993) 12

Figure 1-4 : Représentation du turboréacteur Marboré de Turbomeca avec un atomiseur fronde (Mellor, 1990) 14

Figure 1-5 : Représentation de l'atomiseur fronde avec système d'alimentation de carburant décentré (Dudebout et al., 2006) 15

Figure 1-6 : Modèle conceptuel proposé par Dahm et al. (2002) : (a) vue globale, (b) zoom sur un conduit 17

Figure 1-7 : Schéma simplifié de la cavité interne d'un atomiseur fronde 27 Figure 1-8 : Évolution du profil de vitesse radiale d'un écoulement de Stewartson vers un

écoulement de Batchelor 28 Figure 1-9 : Schématisation des profils de vitesse d'un écoulement de type Batchelor : (a)

composante radiale, (b) composante tangentielle (Poncet et al., 2005) 29 Figure 1-10 : Classification des régimes de bris selon Reitz (1978) (Lefebvre, 1989) 32 Figure 1-11 : Jet liquide soumis à un écoulement transversal gazeux (Wu et al., 1997) 34 Figure 1-12 : Validation expérimentale des régimes de bris proposée par : (a) Becker &

Hassa (2002), (b) Tambe et al. (2005) 36 Figure 1-13 : Film liquide se développant sur un disque en rotation (Dahm et al., 2002) ...41 Figure 1-14 : Comparaison des épaisseurs de film obtenues théoriquement et

expérimentalement (Matsumoto, 1973) 45 Figure 2-1 : Schéma du système d'alimentation de carburant et de ses trous d'injection....48 Figure 2-2 : Écoulements à travers un orifice : (a) dans le cas laminaire, (b) dans le cas

turbulent (Merritt, 1967) 50 Figure 2-3 : Variation du coefficient de décharge en fonction du nombre de Reynolds

(Lefebvre, 1989) 51 Figure 2-4 : Illustration du rapport longueur/diamètre /o/db d'un orifice à tube court

(Lefebvre, 1989) 53 Figure 2-5 : Variation du coefficient de décharge maximal en fonction du ratio y do

(Lefebvre, 1989) 54 Figure 2-6 : Schématisation du calcul itératif afin d'obtenir le différentiel de pression requis

pour un débit et une configuration de trous d'injection connus 57 Figure 2-7 : Évolution typique du coefficient de décharge en fonction du nombre de

Reynolds pour un orifice 58 Figure 2-8 : Variation du différentiel de pression requis en fonction du nombre de trous

pour un diamètre de trou égal à 0,5 mm à DJC 68 Figure 2-9 : Variation du différentiel de pression requis en fonction du nombre de trous

pour un diamètre de trou égal à 0,5 mm au ralenti 68 Figure 2-10 : Carte de régime de bris à DJC 71 Figure 2-11 : Carte de régime de bris au ralenti 71

IX

Figure 2-12 : Processus thermodynamique de l'évaporation instantanée (Szetela et al., 1982) 73

Figure 2-13 : Caractéristiques thermodynamiques du substitut simulant du JP-8 (Lee et al., 2009) 75

Figure 2-14 : Régimes d'écoulements multiphases de type gaz-liquide : (a) aggloméré, (b) bulles ou gouttelettes, (c) stratifié ou à surface libre (Fluent Inc., 2006) 77

Figure 2-15 : Interpolation au niveau de l'interface : (a) interface réelle, (b) interpolation Geometric Reconstruction, (c) interpolation Donor-Acceptor (Fluent Inc., 2006) 83

Figure 2-16 : Deux façons de mesurer l'angle de contact (Fluent Inc., 2006) 88 Figure 3-1 : Schémas des domaines d'étude : (a) sans boîte d'entrée, (b) avec boîte d'entrée

91 Figure 3-2 : Visualisation des types de calcul effectués pour l'étude sur la conservation du

débit : (a) jet traversant un milieu ambiant d'air au repos, (b) jet impactant un disque stationnaire ou en rotation 92

Figure 3-3 : Visualisation des fonctions de courant pour le cas sans carburant 96 Figure 3-4 : Bilan du débit d'air à la condition de sortie du domaine obtenue dans

FLUENTMD 96 Figure 3-5 : Visualisation des fractions volumiques lorsque le domaine est initialise 97 Figure 3-6 : Visualisation des différences à l'entrée du domaine : (a) avec boîte d'entrée,

(b) sans boîte d'entrée 98 Figure 3-7 : Comparaison des deux configurations avec et sans boîte d'entrée au regard de

la conservation du débit 98 Figure 3-8 : Visualisation de l'épaisseur d'une interface entre les deux phases 99 Figure 3-9 : Schéma du disque rotatif utilisé pour la validation du code de calcul (Bayvel &

Orzechowski, 1993) 105 Figure 3-10 : Géométrie du disque rotatif pour la validation du code de calcul 105 Figure 3-11 : Visualisation de côté du maillage du domaine d'étude pour la validation du

code de calcul 107 Figure 3-12 : Visualisation des vecteurs vitesses au niveau de l'interface entre les deux

phases 110 Figure 3-13 : Comparaison entre les résultats numériques par MFN et les approches

théoriques 113 Figure 3-14 : Visualisation du>>+ sur la paroi rotative : (a) pour le test 2, (b) pour le test 3

115 Figure 3-15 : Visualisation des fractions volumiques des premières cellules de la couche

limite : (a) avec un^+ compris entre 2 et 4, (b) avec un^+ environ égal à 1 116 Figure 3-16 : Schémas de l'atomiseur fronde à 12 conduits radiaux proposé par Choi et al.

(2009) 119 Figure 3-17 : Visualisation de la section maillée de 45° 120 Figure 3-18 : Visualisation de la boîte d'entrée et des conditions de sortie du domaine ... 121 Figure 3-19 : Visualisation du domaine maillé au complet 122 Figure 3-20 : Visualisation pour la même coupe des différents types de maillage utilisés

pour la modélisation de l'atomiseur fronde : (a) structuré, (b) non-structuré 123 Figure 3-21 : Visualisation de la vitesse de l'écoulement d'air à quatre positions radiales :

(a) composante radiale, (b) composante tangentielle 127 Figure 3-22 : Différence de pression mesurée par MFN entre le jet liquide et le milieu

gazeux ambiant 128

Figure 3-23 : Visualisation de la vitesse d'injection de la phase liquide 130 Figure 3-24 : Visualisation de la progression de la phase liquide après son impact sur la

surface en rotation 131 Figure 3-25 : Visualisation des cellules à fraction volumique égale à 0,5 correspondant à

l'interface entre les deux phases 133 Figure 3-26 : Visualisation de la première limitation grâce à la visualisation des cellules à

fraction volumique égale à 0,5 correspondant à l'interface entre les deux phases 134 Figure 3-27 : Différence entre la géométrie initiale de P&WC et celle modifiée 135 Figure 3-28 : Visualisation des fractions volumiques des premières cellules du domaine au

contact de la paroi de l'atomiseur 136

XI

Nomenclature

Alphabet latin

2-, a accélération [m/s ] AQ aire de l'orifice [m2] C coefficient moyen d'expansion Ca nombre de capillarité Ce coefficient de contraction C D coefficient de décharge d diamètre de l'orifice [m] d ' diamètre équivalent [m] Dh diamètre hydraulique [m] E énergie [W] / longueur d'entrée [m] L longueur des conduits d'injection [m] n nombre d'orifices N vitesse de rotation [rpm] Oh nombre d'Ohnesorge p pression [Pa] P périmètre [m] q rapport des quantités de mouvement qm débit massique [kg/s] <7v débit volumique [m /s] Q + débit adimensionné R rayon [m] Rm constante spécifique de l'air sec [J/(kg.K)] Re nombre de Reynolds Ro nombre de Rossby t temps de résidence [s] T température [K] U vitesse [m/s] V volume [m ] We nombre de Weber

>>b longueur de bris [m] y + coordonnée réduite (variable de paroi)

Xll

Alphabet grec

a — — fraction volumique ô — épaisseur de film [m] A — différence E — — profondeur de rugosité [m] Ow — angle de contact [deg] À — nombre de débit M — viscosité dynamique [Pa.s] v — — viscosité cinématique [m2/s] & — épaisseur adimensionnée P — masse volumique [kg/m3] o — — tension de surface [N/m] rw — contrainte de cisaillement à la paroi [Pa] Oi — — vitesse angulaire [rad/s]

Indices

aero crit L max q s sat Ô 00

aérodynamique valeur critique liquide valeur maximale phase surchauffe saturation film liquide écoulement libre

Acronymes

ADILCA -

CFD CICSAM CLUL DJC HDTO HRIC

Association pour la Diffusion d'Informations sur les Lois Physiques de l'Automobile Computational Fluid Dynamics (traduit par MFN) Compressive Interface Capturing Scheme for Arbitrary Meshes Laboratoire de Combustion de l'Université Laval Décollage Jour Chaud Hot Day TakeOff(\xaà\x\\. par DJC) High Resolution Interface Capturing

Xlll

IITK Indian Institute of Technology Kanpur MFN Mécanique des Fluides Numérique NAL National Aerospace Laboratories OACI Organisation de l'Aviation Civile Internationale PDPA Interférométrie Phase Doppler (Phase Doppler Particle Analyzer) P&WC Pratt & Whitney Canada RANS Équations Moyennées de Navier-Stokes (Reynolds Averaged Navier-

Stokes equations) rpm Révolution par minute RSM Modèle aux Tensions de Reynolds (Reynolds Stress Model) SST Transport par Contrainte de Cisaillement (Shear-Stress Transport) VOF Volume de Fluide ( Volume of Fluid)

Note : Il peut arriver que certains symboles listés ci-dessus soient utilisés pour désigner des

variables autres que celles indiquées ici. Dans ce cas de figure, il sera toujours précisé dans

le texte la signification exacte du symbole employé.

Introduction générale

À la question « comment un avion arrive-t-il à voler ? », il existe des dizaines de

réponses possibles, le plus souvent pertinentes, mais rarement exhaustives. L'une d'entre

elles consisterait à citer la définition d'un avion selon l'Organisation de l'Aviation Civile

Internationale (OACI) : il s'agit d'un aéronef plus lourd que l'air, entraîné par un organe

moteur, dont la sustentation en vol est obtenue principalement par des réactions

aérodynamiques sur des surfaces qui restent fixes dans des conditions données de vol.

Le moteur susnommé est le dispositif transformant l'énergie non-mécanique (éolienne,

chimique, électrique, thermique...) en énergie mécanique ou travail. Dans le secteur

aéronautique, cette énergie non-mécanique, plus précisément thermique, est le résultat de la

combustion, réaction chimique se produisant en présence d'un combustible (le carburant

liquide), d'un comburant (l'air ambiant) et d'une énergie d'activation (l'étincelle), cette

association étant communément appelée « triangle du feu ». Dans la plupart des

turboréacteurs utilisés dans l'aviation civile, le carburant liquide brûlé dans la chambre de

combustion a préalablement été atomisé à l'aide d'un injecteur - à pression,

aérodynamique, de type évaporateur, e tc . . - nécessitant alors une pompe à carburant à

haute pression (pour les injecteurs à pression).

À ce sujet, le transport aérien est devenu au fil des décennies un marché hautement

concurrentiel, qui touche aussi bien l'aviation commerciale, d'affaires, ou encore militaire.

De ce fait, au sein d'une société mondiale qui sera confrontée dans un futur proche au

manque d'énergie fossile, la diminution de la masse et/ou des dimensions de l'appareil, et

donc du moteur, est souvent le résultat d'une volonté de réduire la consommation de

carburant. Cette problématique est ainsi continuellement au centre des débats et des efforts

de conception. Parmi eux, la pompe à haute pression précédemment mentionnée est d'un

grand intérêt pour les ingénieurs, car elle se retrouve souvent en inadéquation avec les

objectifs de réduction de masse et/ou de dimension visés, sans omettre également les coûts

reliés à une telle pompe.

En conséquence, de nombreuses recherches ont été et continuent d'être menées afin de

supprimer délibérément la pompe à carburant à haute pression, pour des applications

impliquant de petites turbines à gaz, telles les mini-jets d'affaires, les missiles de croisière,

les drones, ou encore les groupes auxiliaires de puissance. Le point commun de ces

diverses applications est la vitesse de rotation de l'arbre moteur : ces machines opèrent à

des vitesses de rotation nettement supérieures à celles rencontrées dans l'aviation civile

standard. Ces vitesses, souvent approchant les 100 000 rpm, permettent d'envisager

l'utilisation d'atomiseurs rotatifs centrifuges, fournissant d'une part le nuage de gouttelettes

de carburant nécessaire à la future combustion, et procurant d'autre part un système simple,

peu coûteux, léger et efficace. De nombreux types d'atomiseurs rotatifs existent

actuellement et sont présents depuis une centaine d'années1 dans divers domaines

technologiques tels l'aéronautique, mais également l'agriculture ou la réfrigération.

La maîtrise réalisée au laboratoire de Combustion de l'Université Laval (CLUL)

concerne justement un nouveau système de combustion intégrant un atomiseur rotatif

nommé atomiseur fronde ou slinger en anglais. Elle s'insère dans un projet d'envergure

internationale proposé et en partie financé par Pratt & Whitney Canada (P&WC), et mené

en collaboration avec TIndian Institute of Technology Kanpur (IITK) et le National

Aerospace Laboratories Bangalore (NAL) en Inde. Le mandat principal assujetti au

laboratoire de Combustion de l'Université Laval est l'analyse numérique de ce nouveau

concept et l'intégration des mesures expérimentales du nuage de gouttelettes de carburant

généré par Tatomisation, dans les modèles de Mécanique des Fluides Numérique (MFN)

(de l'anglais Computational Fluid Dynamics ou CFD). L'objectif est de fournir à terme un

outil numérique fiable, opérant directement dans le processus de conception grâce à la

précision accrue des résultats obtenus au travers de ce moyen pour la modélisation.

En effet, les études numériques sont, de nos jours, largement répandues dans le monde

industriel en raison de leur faible coût comparé aux montages expérimentaux. Sans avoir

1 Le premier brevet déposé impliquant un atomiseur rotatif date de 1890 aux États-Unis et concernait un système d'humidification et de refroidissement d'air. Quant aux premiers atomiseurs rotatifs utilisés dans des foyers de chaudière, ils apparurent au tout début du XXe siècle.

remplacé ces derniers, la simulation numérique permet dans un premier temps de parvenir à

une évaluation préliminaire du système analysé (étape fréquemment appelée « avant-

projet »), puis intervient pleinement dans la phase de conception proprement dite en lien

étroit avec les essais réels sur prototypes. Le principal défi de la MFN est en conséquence

de déterminer si les résultats acquis numériquement sont bien conformes avec la réalité

physique, l'évaluation et la validation de ces données étant devenues des étapes cruciales

dans le développement de méthodes fiables de MFN.

C'est précisément dans ce contexte de validation que les objectifs de cette maîtrise

trouvent leur origine. Ceux-ci s'inscrivent dans la toute première phase de ce projet, et de

cette manière possèdent une portée tant théorique que numérique. En premier lieu, il s'agit

de caractériser théoriquement et analytiquement les nombreux phénomènes physiques se

déroulant dans l'atomiseur fronde lui-même, ceci afin d'assimiler avec exactitude et

précision le principe de fonctionnement du système en question. Quant au second volet, il

relève de l'étude numérique permettant de simuler le plus fidèlement possible

l'environnement de l'atomiseur. Autrement dit, le recours à un logiciel de maillage et à un

code de calcul s'avère essentiel afin d'évaluer et de valider ce même code et d'en exploiter

au final les solutions numériques produites. À ce propos, le logiciel de maillage et le code

de calcul adoptés dans le cadre du projet sont respectivement GAMBITMD et FLUENTMD,

tous deux développés par la société américaine ANSYS, Inc.

Le présent mémoire se décompose alors en trois chapitres distincts. Le premier

comprend une revue de la littérature du champ d'étude de cette maîtrise. À cet effet, les

atomiseurs rotatifs, et plus particulièrement les atomiseurs fronde, sont définis et leurs

nombreuses caractéristiques et particularités exposées. Cette revue inclut également les

deux principaux phénomènes physiques d'intérêt pour ce mémoire, à savoir (1) le

comportement du jet liquide dans l'écoulement transversal gazeux créé par le mouvement

de l'atomiseur, et (2) le calcul théorique de l'épaisseur du film liquide se développant sur la

surface en rotation de l'atomiseur, cette épaisseur influençant directement la qualité de

Tatomisation et de cette façon la qualité de la future combustion.

Ce premier chapitre permet par conséquent de mieux saisir la théorie adoptée pour la

modélisation de Tinjecteur fronde, et énoncée par la suite dans le deuxième chapitre. Celui-

ci englobe aussi bien l'aspect analytique avec la présentation de la géométrie optimisée de

l'injection du carburant dans la cavité interne de l'atomiseur au regard de la théorie décrite

au premier chapitre, que numérique avec la découverte du modèle MFN choisi - modèle

multiphase Volume de Fluide VOF ou Volume of Fluid - disponible dans FLUENTMD et

permettant de prédire l'épaisseur du film liquide sur la surface de l'atomiseur.

Enfin, le troisième et dernier chapitre contient les divers résultats obtenus, ainsi que leur

analyse complète. De ces études, il a été possible d'en déduire certaines conclusions

fondamentales vis-à-vis de la validation du code de calcul, et de formuler une série de

recommandations qui serviront de valeur ajoutée lors de la poursuite des recherches sur ce

projet.

Chapitre 1 Revue bibliographique

Dans ce premier chapitre, nous nous proposons d'effectuer une revue de la littérature

scientifique se rapportant directement aux problématiques de ce mémoire. L'atomiseur

fronde constituant le cœur de nos champs de recherche, nous aborderons dans un premier

temps le concept d'atomiseur rotatif et ses principes de fonctionnement. Cette introduction

à ce type particulier d'atomiseur nous permettra par la suite d'approfondir la notion

d'atomiseur fronde, et notamment les règles de conception fondamentales qui y sont

associées. La deuxième partie de la revue sera alors consacrée aux phénomènes physiques

se produisant à l'intérieur de la cavité interne de l'atomiseur. Nous concentrerons plus

particulièrement notre étude sur le comportement du jet de carburant liquide soumis à un

écoulement transversal d'air, et les phénomènes de bris rattachés, puis nous évoquerons

l'interaction entre ce même jet et la paroi solide rotative de l'atomiseur, dans le but

d'illustrer la formation d'un film liquide mince et uniforme nécessaire au maintien d'une

atomisation satisfaisante dans la chambre de combustion.

1.1 Atomiseurs rotatifs

1.1.1 Concept général

Le principe de fonctionnement des atomiseurs rotatifs est relativement simple : le

carburant liquide est injecté sur la surface rotative, où il s'y répand uniformément sous

l'action de la force centrifuge. La forme de cette surface en rotation constitue le principal

aspect de conception des atomiseurs rotatifs, et, au fil des décennies, une grande variété de

geometries ont été développées. Le choix de la géométrie est souvent imposé par

l'application future du système et les limitations qui l'accompagnent. À ce propos, les

efforts de conception sont habituellement centrés sur la qualité du transfert de l'énergie

mécanique produite par Télément rotatif vers le liquide, ce transfert permettant la bonne

atomisation du liquide. Les nombreuses recherches fondamentales et expérimentales reliées

à ce sujet ont ainsi permis à différents auteurs (Bayvel & Orzechowski, 1993, Matsumoto et

al., 1985) d'identifier et de classer les principaux avantages et désavantages de ce système

d'injection :

Tableau 1-1 : Récapitulatif des principales caractéristiques des atomiseurs rotatifs

Avantages Désavantages

Présence d'un système d'alimentation de carburant à basse pression

Conception complexe due à Télément rotatif (roulements, système de lubrification)

Assurance d'une atomisation satisfaisante Nécessité d'une vitesse de rotation élevée

Possibilité d'un contrôle du débit sans affecter la qualité de Tatomisation

Génération d'un nuage de gouttelettes dispersé latéralement

Obstruction minimale de l'écoulement Risque d'effet de pompage lié à Télément rotatif

Possibilité d'opérer à haut débit

Facilité de nettoyage

Traditionnellement, deux catégories d'atomiseurs rotatifs se démarquent : les disques et

les coupelles2. Ces deux types d'atomiseurs seront détaillés plus spécifiquement dans la

section 1.1.2.

1.1.2 Types d'atomiseurs rotatifs

Comme mentionné ci-dessus, il existe deux catégories d'atomiseurs rotatifs : les disques

et les coupelles. Au sein même de ces catégories, nous trouvons plusieurs geometries

d'atomiseurs permettant d'assurer la bonne désintégration du carburant. Chacune de ces

geometries possède des caractéristiques propres et il serait intéressant d'en donner quelques

détails dans l'optique d'une meilleure compréhension de leur principe de fonctionnement.

À ce sujet, les auteurs Bayvel & Orzechowski (1993) ont effectué un tour d'horizon

complet de ces diverses geometries. Nous détaillons ici les quatre principaux exemples

Le terme « coupelle » est la traduction la plus fidèle trouvée pour l'expression rotating cup.

d'atomiseurs rotatifs : les deux premiers abordés sont de type « disque rotatif», et les deux

derniers de type « coupelle ».

1.1.2.1 Disque plat

Le disque plat (Figure l-2a) est, comme son nom l'indique, de type « disque rotatif». Il

est largement répandu dans l'industrie étant donné la simplicité de Télément rotatif.

Comme le détaille Lefebvre (1989), plusieurs mécanismes d'atomisation sont observables

sur un disque plat rotatif, dépendamment du débit du liquide et de la vitesse de rotation du

disque. Pour de faibles débits, le liquide (en général du carburant) se répand sur toute la

surface, puis est éjecté par la force centrifuge sous forme de gouttelettes discrètes de taille

uniforme. Ces gouttelettes proviennent en réalité de fins ligaments qui finissent par se

briser et donner ces fameuses gouttelettes. Il est à noter que ce phénomène est

essentiellement discontinu, se produisant ainsi de manière arbitraire sur toute la périphérie

du disque (Figure 1-la). Si le débit est progressivement augmenté, les ligaments tendent à

se former sur l'entière périphérie, le processus d'atomisation restant sensiblement le même

(Figure 1-lb).

Un débit critique est atteint lorsque les ligaments ne sont plus en mesure de contenir la

quantité de liquide, ce qui a pour effet la formation d'une mince feuille de carburant. La

feuille en question se prolonge jusqu'à un point d'équilibre où la force de tension de

surface située à l'extrémité de la feuille est égale à l'énergie cinétique de la feuille en

mouvement. Une nouvelle fois, des ligaments puis de fines gouttelettes sont ainsi produites.

Cependant, dans ce cas de figure, la frontière entre la feuille et les ligaments n'est pas une

surface solide. De ce fait, les ligaments se forment de manière irrégulière, occasionnant une

moins bonne uniformité de taille de gouttelettes (Figure 1-1 c).

De manière générale, il a été observé que la qualité de Tatomisation peut être améliorée

soit par une augmentation de la vitesse de rotation, soit par une réduction du débit, ou

encore par une diminution de la viscosité du liquide. En outre, et ceci afin d'obtenir une

épaisseur de film uniforme et donc une distribution de tailles de gouttelettes plus uniforme,

plusieurs conditions sont à prendre en compte lors de la phase de conception : (1) la force

centrifuge doit être grande comparée à la force gravitationnelle, (2) la rotation de Télément

doit s'effectuer sans vibration, (3) le débit doit demeurer constant, et (4) la surface de

l'atomiseur doit être lisse.

(a) (b) (c) Figure 1-1 : Représentation des trois régimes de formation de gouttelettes sur un disque plat

rotatif: (a) gouttelettes, (b) ligaments, (c) feuille (Bayvel & Orzechowski, 1993)

La principale caractéristique de ce type d'atomiseurs est qu'il nécessite une très grande

vitesse de rotation en vue d'une bonne atomisation3. Cependant, Tatomisation obtenue n'est

pas toujours satisfaisante, et il est par conséquent nécessaire d'avoir recours dans certaines

applications à un jet d'air additionnel afin de compléter le processus. Ce geme d'atomiseur

est appelé atomiseur hybride. Le plus célèbre exemple d'atomiseur hybride est celui de

l'humidificateur qui consiste en un disque rotatif ajouté à un ventilateur. Les diamètres du

disque n'excèdent généralement pas les 0,35 m, tandis que les vitesses de rotation sont

comprises entre 3 000 et 50 000 rpm4. Notons enfin que les débits atteignables grâce aux

disques plats sont relativement faibles et constituent donc une limitation majeure.

1.1.2.2 Atomiseur à aubes

Afin de décrire ce deuxième exemple d'atomiseur de type «disque rotatif», il est

important de signaler que l'inconvénient majeur des disques plats concerne le phénomène

dit de glissement qui intervient entre le liquide et la surface du disque, plus particulièrement

pour des vitesses de rotation élevées (Bayvel & Orzechowski, 1993, Lefebvre, 1989). Ce

3 En réalité, la bonne atomisation est assurée grâce à la très haute vitesse du liquide lorsqu'il est éjecté, ce qui implique donc une grande vitesse de rotation du disque. 4 Les plus grandes vitesses de rotation correspondent aux plus petits diamètres de disque et permettent d'atteindre une plus grande vitesse d'éjection du carburant, améliorant ainsi Tatomisation.

glissement dû à la force de Coriolis (voir section 1.1.3.2.4 pour de plus amples détails)

provoque une perte d'adhérence du liquide à la paroi, entrainant une différence de vitesse

entre le liquide éjecté du disque et la vitesse de rotation de ce dernier, affectant ainsi la

qualité de Tatomisation.5 Ce problème est résolu pour les atomiseurs commerciaux grâce à

l'utilisation d'aubes radiales (Figure l-2b) qui servent à contenir le film liquide.6 En effet,

celui-ci se déplace sous l'effet de la force centrifuge pour finalement atteindre les aubes qui

empêchent la présence d'un écoulement transversal du liquide le long de la surface. Par

conséquent, aucun glissement n'a lieu une fois les aubes atteintes ce qui permet d'obtenir

des vitesses d'éjection du liquide quasiment identiques à la vitesse périphérique de

l'atomiseur. Quant au nombre d'aubes, il varie d'une application à l'autre mais est

globalement compris entre 18 et 36.

Il est également intéressant d'ajouter que la forme et la longueur de ces aubes possèdent

une influence non négligeable sur l'application finale du système. Concernant la forme, il

existe des atomiseurs à aubes droites et à aubes courbées. Ces dernières ont l'avantage de

permettre la séparation de gaz dissous, procédé utilisé notamment pour le séchage par

pulvérisation. Pour ce qui est de la longueur de ces aubes, son augmentation permet

d'obtenir de plus grands débits. Cependant, des problèmes d'uniformité dans la distribution

du liquide tout le long des aubes peuvent apparaître pour des longueurs trop élevées et sont

donc à considérer lors de la conception.

Le principal désavantage des atomiseurs à aubes est sans aucun doute l'effet de

pompage créé par la rotation du système et causant des pertes énergétiques non

souhaitables. Cet effet est la conséquence de la pression négative présente au niveau de

l'entrée des aubes : l'air est ainsi aspiré puis rejeté de l'atomiseur avec les gouttelettes

liquides. Nous retrouvons ici la caractéristique d'un compresseur centrifuge où la vitesse

augmente radialement diminuant ainsi la pression le long d'un rayon du disque et

engendrant alors ce pompage. Pour de petits systèmes, les pertes provoquées sont

5 D'après plusieurs auteurs (Matsumoto et al., 1985, Lefebvre, 1989), cette différence de vitesse n'excède pas 20% pour les disques plats. 6 Ce phénomène de glissement est également moins important pour les coupelles en rotation car la force centrifuge plaquant le liquide contre la paroi de côté devient dominante par rapport à la force induite de Coriolis, et limite par conséquent le glissement.

comparables à la quantité d'énergie nécessaire à Tatomisation. Enfin, la complexité de

fabrication est également à prendre en compte, notamment dans le cas d'aubes courbées.

10

#

ft 7777

2ZZ2ZZ

CP| S E ^ 3'"1 ' -31

1 (a)

Figure 1-2 : Exemples d'atomiseurs de catégorie «disque rotatif» : (a) disque plat, (b) atomiseur à aubes (Bayvel & Orzechowski, 1993)

1.1.2.3 Coupelle non perforée

Après avoir vu succinctement deux exemples d'atomiseur de type « disque rotatif »,

nous abordons à présent les atomiseurs dénommés « coupelles » ou en anglais « rotating

cup ». Tout d'abord, les atomiseurs de type «coupelle non perforée » (Figure l-3a) ont

trouvé leur principale application dans les brûleurs de chaudière7. La première conception

de ce type d'atomiseur fut réalisée aux États-Unis dans les années 1910 par la société Ray

Company.

Les coupelles non perforées permettent principalement la combustion du mazout

domestique, du fuel résiduel, d'huile de graissage, etc. L'efficacité de ces atomiseurs

dépend essentiellement de la viscosité du carburant. Pour cette raison, il est souvent

possible d'augmenter la température8 du liquide de 100 à 200°C durant son déplacement

7 Appareil servant à pulvériser le combustible liquide avant son entrée dans la chaudière. 8 Nous rappelons ici que, pour les liquides, une augmentation de la température pennet de diminuer sensiblement la viscosité, ce qui permet une bien meilleure atomisation.

11

sur la surface de la coupelle à l'intérieur de l'atomiseur. Ce réchauffement est dû, dans la

plupart des cas, aux radiations provenant de la présence de la flamme.

Précisons enfin que le liquide injecté sur la paroi rotative peut être fourni soit par un

distributeur stationnaire, soit par un distributeur en rotation avec l'atomiseur. Le

distributeur rotatif possède l'avantage de faire disparaître les éventuelles forces

tangentielles, sources de distorsions du film liquide présentes, dans le cas d'un distributeur

stationnaire, aux points de contact entre le liquide et la coupelle.

1.1.2.4 Coupelle perforée

Le dernier type d'atomiseur rotatif détaillé dans cette partie concerne les coupelles

perforées (Figure l-3b). Celles-ci opèrent similairement aux atomiseurs à aubes

précédemment cités, excepté que les canaux rectangulaires formés par les aubes sont ici

remplacés par des conduits radiaux de section circulaire. De manière générale, le diamètre

des orifices est compris entre 3 et 10 mm, dépendamment du débit requis, et leur nombre

maximal dépend de ce même diamètre mais également de celui de l'atomiseur qui dépasse

rarement 0,25 m.

Ce type d'atomiseur est, de loin, le plus intéressant en matière d'applicabilité dans le

domaine aéronautique. En effet, ils ont été et continuent d'être utilisés pour de petites

turbines à gaz à chambre de combustion annulaire car le mouvement rotatif de l'atomiseur

assure une distribution uniforme du carburant dans la chambre de combustion. De plus, ils

permettent d'atteindre de grandes vitesses d'éjection du carburant, équivalent à une chute

de pression de Tordre de Ap = 13-16MPa. De ce fait, et même pour de bien plus petites

chutes de pression, Tatomisation est de très bonne qualité, condition primordiale pour des

applications industrielles.

Plusieurs sociétés à travers le monde se sont inspirées de ce type d'atomiseur afin de

développer Tinjecteur rotatif qui nous intéresse plus particulièrement dans ce mémoire, à

savoir Tinjecteur fronde ou slinger. De plus amples détails concernant celui-ci sont fournis

dans la suite de ce chapitre.

12

(a) Figure 1-3: Exemples d'atomiseurs de catégorie «coupelle»: (a) non perforée, (b)

perforée (Bayvel & Orzechowski, 1993)

1.1.3 Injecteur fronde ou slinger

Comme nous l'avons mentionné auparavant, les premiers atomiseurs rotatifs datent d'il

y a plus de 100 ans, et ont depuis été largement utilisés dans de nombreux secteurs

d'activité, notamment dans l'industrie chimique et l'agriculture. Les exemples d'atomiseurs

rotatifs présentés dans la section précédente ont permis de nous familiariser avec ce

système particulier et essentiel à la future combustion des gouttelettes générées. Le dernier

exemple - la coupelle perforée - est un aperçu du concept général de fonctionnement des

atomiseurs rotatifs habituellement rencontrés pour les applications aéronautiques : les

atomiseurs fronde, ou plus communément appelés slinger9. Les premières études et

applications industrielles remontent aux années 1970 aux États-Unis (Rogo & Trauth,

1974), et depuis, plusieurs sociétés se sont impliquées dans le développement des injecteurs

fronde, comme Turbomeca en France ou Williams Research Corporation aux États-Unis.

Cependant, la quantité d'informations disponibles dans la littérature reste assez faible. Dans

leur ouvrage respectif, Lefebvre (1989) et Mellor (1990) y énoncent les caractéristiques

générales de ce type d'injecteur. Quant à Dahm et al. (2002), ils offrent une analyse

9 Précisons que le terme « fronde » ou slinger n'est pas nécessairement associé aux coupelles perforées. En effet, il réfère traditionnellement aux atomiseurs rotatifs utilisés dans les turbines à gaz, peu importe leur forme. Il a été pour la première fois employé par Rogo & Trauth (1974).

13

approfondie des divers processus physiques fondamentaux se produisant dans la cavité de

l'atomiseur et à sa sortie, fournissant de ce fait certaines règles de conception élémentaires

des injecteurs fronde. Enfin, les travaux de Choi et al. (2005, 2007 et 2009) ont

principalement porté sur la caractérisation du nuage de gouttelettes à la sortie de

l'atomiseur. Malgré son importance cruciale dans le bon fonctionnement de la chambre de

combustion, ce phénomène ne sera pas traité dans la suite de ce mémoire. En effet, les

recherches entreprises dans le cadre de cette maîtrise se rapportent plus précisément à la

cavité interne de l'atomiseur où le carburant se trouve encore sous forme de film et non de

gouttelettes.

1.1.3.1 Caractéristiques générales

Avant d'identifier point par point les règles de conception associées au développement

d'un atomiseur fronde, il serait préférable dans un premier temps d'expliciter quelques

aspects importants de ce type d'atomiseur. À ce sujet, Lefebvre (1989) a procédé à une

revue concise et utile. Il rappelle tout d'abord que les atomiseurs fronde sont employés pour

des chambres de combustion radiales annulaires et qu'ils permettent d'obtenir un système

d'injection simple et peu dispendieux. L'injecteur fronde étant un injecteur rotatif

particulier, son utilisation offre également la possibilité de supprimer la pompe à carburant

à haute pression, synonyme de réduction en termes de masse du moteur et de coûts.

Les principaux exemples d'atomiseur fronde relevés dans la littérature scientifique

correspondent à des coupelles perforées. Le nombre de conduits radiaux de ces coupelles

varie entre 9 et 18, chacun ayant un diamètre allant de 2 à 3,2 mm. Ces trous peuvent être

percés sur une même rangée, mais Ton retrouve aussi des installations ayant une double

rangée de trous. Une des caractéristiques fondamentales concernant ces trous est qu'ils sont

conçus pour ne jamais être remplis de carburant : ils sont surdimensionnés10 afin d'éviter

tout problème de blocage, assurant en tout temps le débit requis de carburant dans la

chambre de combustion ainsi qu'une atomisation satisfaisante". Toutefois, Lefebvre (1989)

10 Le diamètre des trous permet d'obtenir une capacité en termes de débit nettement supérieure au débit requis.

Le lien entre diamètre des trous et qualité d'atomisation sera explicité au paragraphe 1.1.3.2.2.

14

précise que la fabrication des trous doit s'effectuer de façon rigoureuse car l'expérience a

montré que l'uniformité de l'écoulement entre les différents trous dépend majoritairement

de la précision de leurs dimensions et du fini de surface. La moindre irrégularité entre les

conduits provoquerait un point chaud rotatif dans les gaz d'échappement, avec des

conséquences désastreuses pour la chambre de combustion et pour les aubes de la turbine

où impacterait ce point chaud. Notons enfin que l'uniformité de l'écoulement est également

dépendante de la trajectoire du carburant à l'intérieur de la cavité, plus particulièrement

dans la région proche des conduits. À ce sujet, la géométrie interne au niveau de l'entrée

des conduits doit être minutieusement étudiée, ceci afin de répartir correctement le débit à

travers les conduits notamment en présence de deux rangées de trous.

Concernant justement la cavité interne des atomiseurs fronde, leur géométrie dépend

principalement du mode d'alimentation du carburant à l'intérieur de la cavité en question.

Traditionnellement, nous retrouvons deux systèmes permettant l'alimentation du carburant.

Le premier système consiste à fournir le carburant à travers l'arbre moteur principal qui est

dans ce cas-là creux. Le meilleur exemple est le turboréacteur Marboré développé par

Turbomeca qui contient un atomiseur fronde directement relié à l'arbre moteur principal

(Figure 1-4). À l'intérieur de l'arbre creux, un tube d'alimentation de carburant est monté

coaxialement. Le carburant se dirige alors axialement en direction de l'atomiseur où il

impacte au centre de celui-ci.

Carburant

Compresseur radial

3 ^ ^

Tube d'alimentation principal

Chambre de combustion

Atomiseur fronde

Figure 1-4 : Représentation du turboréacteur Marboré de Turbomeca avec un atomiseur fronde (Mellor, 1990)

15

Pour le second système d'alimentation de carburant, ce dernier est cette fois-ci fourni

par un tube traversant un plenum juste en amont de la chambre de combustion. Le carburant

est par la suite stocké dans un carter qui est en réalité une cavité circonférentielle. Ce carter

comprend une série de trous également répartis sur toute la circonférence et par où le

carburant est injecté axialement en direction de l'atomiseur fronde qui est couplé à l'arbre

moteur principal (Figure 1-5). Notons que l'impact du carburant sur l'atomiseur s'effectue

cette fois-ci de manière décentrée et non au centre de celui-ci comme dans le premier

système évoqué (celui de Turbomeca). Cette seconde configuration d'alimentation de

carburant est celle privilégiée par Pratt & Whitney Canada pour le développement de leur

nouveau système de combustion intégrant un atomiseur fronde. Les études analytique et

numérique présentées aux chapitres 2 et 3 de ce mémoire reprendront par conséquent ce

système d'alimentation de carburant dit décentré (Figure 2-1).

Chambre de combustion

Trous d'atomisation

Atomiseur fronde

Arbre principal Trous d'injection

Figure 1-5 : Représentation de l'atomiseur fronde avec système d'alimentation de carburant décentré (Dudebout et al., 2006)

L'atomiseur fronde configuré avec des conduits radiaux (tel ceux illustrés à la Figure

1-4 et à la Figure 1-5), qui encore une fois est synonyme de coupelle perforée, assure une

bonne atomisation du carburant, équivalent à une pression d'injection pouvant atteindre 34

MPa à pleine puissance. Certaines configurations permettent même d'obtenir une

atomisation satisfaisante jusqu'à 10% de la puissance maximale du moteur. En outre, ce

16

système d'injection peut s'adapter à différents carburants puisque l'influence de la viscosité

du liquide est relativement faible sur la qualité de Tatomisation (Lefebvre, 1989).

Nous venons donc de voir ici un aperçu des caractéristiques principales d'un atomiseur

fronde. Comme nous l'avons mentionné, les analyses fondamentales de ce système sont

très rares dans la littérature, à l'exception de Dahm et al. (2002) qui fournissent une étude

précieuse des phénomènes physiques pertinents à la performance d'atomisation des

atomiseurs fronde, et énoncent ainsi les règles de conception relatives à chacun de ces

phénomènes.

1.1.3.2 Règles de conception

Les caractéristiques du film liquide dans la cavité interne de l'atomiseur sont d'un grand

intérêt, et notamment son épaisseur, paramètre-clé dans la future atomisation du carburant

au sein de la chambre de combustion. Dahm et al. (2002) s'intéressent plus particulièrement

à l'écoulement liquide à l'intérieur des conduits radiaux, dernière étape avant le bris

primaire à la sortie de l'atomiseur. En effet, gardons à l'esprit que, pour obtenir une

atomisation de qualité, les gouttelettes générées doivent avoir une dimension caractéristique

proche de l'épaisseur du film, d'où l'intérêt d'obtenir un film mince et uniforme.

Quatre processus physiques fondamentaux permettent une meilleure compréhension des

atomiseurs fronde : (1) la formation du film liquide et son épaisseur, (2) les instabilités de

ce même film et autres formes de non uniformité, (3) le bris primaire du liquide, et enfin (4)

le bris secondaire des gouttelettes. Les deux derniers processus concernent spécifiquement

le bris du jet de carburant à la sortie de Tinjecteur fronde et, tel que nous l'avons

préalablement mentionné (voir paragraphe 1.1.3), ces phases ne sont pas abordées dans le

présent mémoire.

Afin de faciliter la compréhension du lecteur, Dahm et al. (2002) proposent un modèle

conceptuel d'atomiseur fronde (Figure 1-6), ainsi que des caractéristiques géométriques et

physiques12 d'un atomiseur fronde typique (Tableau 1-2). Nous nous servirons de ces

12 Les auteurs utilisent les valeurs du carburant Jet-A à 10°C comme paramètres physiques propres au fluide, tels les viscosités, la masse volumique ou encore la tension de surface.

17

modèles ainsi que de la compréhension des divers phénomènes physiques précédemment

mentionnés pour formuler les diverses règles de conception associées à cette géométrie.

H h

Figure 1-6 : Modèle conceptuel proposé par Dahm et al. (2002) : (a) vue globale, (b) zoom sur un conduit

Tableau 1-2 : Caractéristiques géométriques et physiques de l'atomiseur fronde typique proposé par Dahm et al. (2002)

Rayon de l'atomiseur (m) 0,05

Diamètre des conduits d'injection (m) 0,001 Longueur des conduits d'injection (m) 0,006 35

Vitesse de rotation (rpm) 30 000

Débit massique (kg/s) 0,006 3

^ / p L (m2/s) 2.10"6

Tension de surface (N/m) 0,02

Nombre de Reynolds, Res 55

Nombre de Weber, Wet, 10 Nombre de Rossby, Ro 20

18

1.1.3.2.1 Longueur des conduits

Intéressons-nous dans un premier temps à la longueur L = R2-R,, caractérisant la

longueur des conduits. Il a été montré expérimentalement par Dahm et al. (2002) que le

liquide recouvre entièrement la surface intérieure de l'atomiseur avant son entrée dans les

conduits (Figure l-6a). De ce fait, il pénètre dans ces conduits le long de toute leur

périphérie, recouvrant ainsi toute leur surface interne (Figure l-6b). Il a également été

prouvé toujours par Dahm et al. (2002) que, après une certaine distance dénommée

« longueur d'entrée » et notée /, le film liquide atteint une épaisseur minimale S

(représentée par la lettre / sur la Figure l-6b). Cette valeur-seuil s'explique par l'équilibre

atteint entre la force résultante centrifuge - dirigée vers l'extérieur - due à l'accélération

centripète a et la contrainte de cisaillement rw de la paroi - dirigée vers Taxe de rotation -

due à la condition de non-glissement du fluide visqueux.

De ces considérations, nous en déduisons aisément qu'augmenter la longueur des

conduits ne permet pas d'améliorations significatives sur la valeur de l'épaisseur du film

liquide, et donc sur la qualité de Tatomisation. De plus, minimiser la longueur des conduits

en maintenant le rayon externe Ri fixe et en augmentant le rayon interne R\ (Figure l-6a)

permettrait selon Dahm et al. (2002) de réduire la masse de l'atomiseur. Ajoutons enfin

que, pour des conduits non-cylindriques, augmenter le temps de résidence du fluide dans

les conduits en augmentant leur longueur L, ne ferait qu'aider la tension de surface à

entrainer le film dans les parties de la section transversale où le rayon de courbure13 est le

plus faible, provoquant des amas de liquide plutôt qu'un film (voir également la règle n°3 à

la section 1.1.3.2.2). Les ligaments créés seraient plus larges, menant à une baisse de

performance d'atomisation.

La première règle de conception s'exprime donc de la manière suivante :

Règle n°l : En vue de la formation d'un film liquide uniforme dans les conduits non-

cylindriques menant à une atomisation satisfaisante, la longueur des conduits L doit être

13 Pour rappel, plus le rayon de courbure est élevé, plus le tracé se rapproche d'une ligne droite, et inversement.

19

minimisée. Dans le cas de conduits cylindriques, la minimisation de la longueur L permet

de réduire la masse de l'atomiseur fronde, mais est sans impact sur Tatomisation.

Les éléments présentés dans la section 1.1.3.2.4 viendront de surcroît confirmer cette

première règle de conception concernant la longueur des conduits.

1.1.3.2.2 Diamètre et forme des orifices

Concernant le diamètre d des conduits et son influence, il est nécessaire d'étudier

l'expression théorique de l'épaisseur du film liquide. Nous verrons plus tard dans ce

mémoire à la section 1.3 une revue de la littérature plus approfondie portant sur la

détermination de cette expression théorique car celle-ci est au cœur des recherches

effectuées durant cette maîtrise.

Pour le moment, mentionnons simplement que Dahm et al. (2002) reprennent une étude

de Hinze & Milborn (1950) qui analysèrent le mouvement d'un film liquide mince sur une

coupelle non perforée, en associant les forces visqueuses et centrifuge, et appliquent ce

raisonnement pour le cas d'un conduit radial d'un atomiseur fronde. De cette étude, il a été

établi que l'épaisseur du film est proportionnelle à l'expression suivante :

Y/3

[pLRco d 2 " J

(1-1)

R = R1+R2 /2 étant la distance moyenne à Taxe de rotation (Figure l-6a) et d le diamètre

du trou.

Cette analyse relativement simple facilite la compréhension de l'origine physique de

l'épaisseur de film liquide dans les conduits d'un atomiseur fronde, et montre la

dépendance aux propriétés intrinsèques du liquide, aux dimensions de l'atomiseur, et enfin

aux conditions d'opération. La relation (1-1) met également en évidence qu'une

augmentation du diamètre d des trous occasionnerait une diminution de l'épaisseur de film,

entrainant logiquement la formation de plus fines gouttelettes dans la chambre de

20

combustion. Cette affirmation se comprend plus aisément si Ton se souvient qu'un plus

grand diamètre offre une plus grande surface disponible où le liquide peut se répandre.

La deuxième règle de conception peut alors être énoncée comme suit :

Règle n°2 : En vue de la formation d'un film liquide mince dans les conduits menant à une

atomisation satisfaisante, le diamètre des orifices d doit être optimisé afin de réduire le

diamètre moyen des gouttelettes générées dans la chambre de combustion.14

Toujours en rapport avec le diamètre des orifices, la forme de ces derniers a été

considérée par Dahm et al. (2002). En introduisant le terme de diamètre équivalent

d' = P /n , les auteurs ont conclu que la forme en elle-même n'avait aucun impact sur

l'épaisseur du film liquide, seul le périmètre mouillé est significatif comme nous venons de

le voir. Toutefois, cette observation est relativisée par le fait que le rayon de courbure

possède une influence sur la formation du film. Ainsi, pour des orifices de forme

rectangulaire ou carrée, le liquide a tendance à s'agglomérer en amas où le rayon de

courbure est le plus faible (dans les angles droits), autrement dit où la force de tension de

surface est dominante, empêchant de cette manière la formation d'un film uniforme.

La troisième règle de conception est déduite de ces dernières remarques :

Règle n°3 : Bien que la forme des orifices n'influence pas l'épaisseur du film liquide, il est

recommandé d'opter pour des orifices à forme arrondie afin d'obtenir un film uniforme.

1.1.3.2.3 Instabilités

Les instabilités de l'écoulement sont également à considérer lors de l'étude de

conception d'un atomiseur fronde ; elles peuvent causer des variations dans le débit de

carburant à la sortie de l'atomiseur, provoquant inévitablement des « points chauds » dans

la chambre de combustion. Certains déséquilibres sont à l'origine de ces instabilités. En

14 À ce propos, selon une corrélation proposée par Choi et al. (2009) reliant le SMD - obtenu expérimentalement - des gouttelettes générées et l'épaisseur théorique du film liquide dans les conduits, un optimum (SMD minimal) semble être atteint pour un diamètre de trou de 2 mm.

21

premier lieu, abordons le rapport entre les forces inertielles et les forces visqueuses. Ce

rapport est caractérisé par le nombre sans dimension dit de Reynolds :

R e y — (1-2)

Nous pouvons comparer l'écoulement dans le conduit à un écoulement de Poiseuille

laminaire à l'intérieur d'une conduite rectiligne de section droite circulaire15. Lorsque le

nombre de Reynolds du film liquide dépasse une certaine valeur critique (habituellement

Re& = 1000 pour un écoulement de Poiseuille), l'écoulement devient turbulent, donc

instable. Toutefois, une différence non négligeable entre les deux écoulements existe au

niveau de Taxe central où la symétrie de l'écoulement de Poiseuille n'est pas présente pour

le film liquide à l'intérieur des conduits de l'atomiseur. Selon Dahm et al. (2002), cette

différence engendrerait une baisse du nombre de Reynolds critique aux alentours de 400.

Les auteurs affirment néanmoins que, pour des atomiseurs fronde typiques (Tableau 1-2),

les conditions d'opération ne permettent pas d'atteindre cette valeur critique, suggérant par

conséquent que le film restera laminaire tout le long du conduit ( Re& - 55 ).

Le second facteur d'instabilités concerne le rapport entre les forces inertielles et la

tension de surface, souligné par le nombre sans dimension de Weber :

W+-B& (1-3)

Lorsque Wes est grand, les effets de tension de surface sont petits et les instabilités liées

à ces effets deviennent négligeables. En revanche, si We§ se trouve être suffisamment petit,

alors des instabilités peuvent se développer. Dans ce cas précis, le film est gouverné par la

tension de surface qui forme des stries possédant des dimensions beaucoup plus grandes

que l'épaisseur nominale d'un film uniforme. Toujours selon Dahm et al. (2002), le nombre

15 L'expérience de Poiseuille fut développée à partir des travaux du physicien français Jean-Louis-Marie Poiseuille (1797-1869). Pour cette expérience, l'écoulement du fluide incompressible s'effectue sous l'influence des forces de pression et de viscosité.

22

de Weber d'un atomiseur fronde typique, Weà=lO (Tableau 1-2), sous-entend que les

effets de tension de surface ne peuvent être négligés lors de la phase de conception.

Toutefois, leurs tests ont été effectués à une température relativement basse (10°C). En

sachant que l'augmentation de la température permet de réduire la tension de surface, il est

fort possible que, dans des conditions réelles d'opération, les effets de tension de surface

soient moins importants que dans les expériences antérieurement citées.

À ce propos, l'un des effets les plus pertinents reliés à la tension de surface se nomme

l'effet « Marangoni »16. Ce phénomène intervient dans un mélange liquide à multiples

constituants, comme dans le cas d'un carburant, lorsqu'un de ceux-ci s'évapore plus

rapidement que les autres, augmentant de ce fait la tension de surface. Une perturbation

sinusoïdale se crée au niveau de l'interface, produisant une augmentation du taux

d'évaporation sur les pics, et une diminution de ce même taux dans les creux. Il en résulte

ainsi une épaisseur de film non uniforme, altérant forcément la qualité de Tatomisation.

En somme, de ces deux facteurs d'instabilités, nous en déduisons une nouvelle règle de

conception qualitative :

Règle n°4 : En se basant sur les nombres de Reynolds et de Weber, il est constaté que les

instabilités proviennent des effets de tension de surface, plutôt que ceux des forces

inertielles.

1.1.3.2.4 Non uniformités

D'après plusieurs auteurs (Dahm et al., 2002, Lefebvre, 1989), Tordre de grandeur de

l'épaisseur du film liquide se situe autour d'une dizaine de micromètres. Étant donné cette

faible dimension, le fini de surface représente un facteur essentiel nécessitant une attention

toute particulière au moment de la fabrication. En effet, un fini de surface de faible

précision peut provoquer une perte d'uniformité du film liquide. Concrètement, la surface

des conduits est caractérisée par la profondeur de rugosité e ; plus cette valeur est grande,

plus le fini de surface est faible. De ce fait, la rugosité est comparée à l'épaisseur nominale

16 Ce phénomène a été nommé en l'honneur du physicien italien Carlo Marangoni (1840-1925) qui y consacra sa thèse doctorale à l'université de Pavie.

23

du film de carburant, et si ces deux valeurs sont similaires, alors la rugosité peut modifier

l'épaisseur réelle.

La règle de conception suivante est déduite de ce dernier paragraphe :

Règle n°5 : Afin d'obtenir un fini de surface satisfaisant garantissant l'uniformité du film

liquide, le rapport entre la profondeur de rugosité de la surface et l'épaisseur du film s/S

doit être suffisamment petit.

La dernière source de non uniformité de l'épaisseur du film liquide est sans aucun doute

la plus complexe à saisir, mais également la plus importante à maîtriser. Il s'agit de la force

de Coriolis17, force opposée au sens de rotation. Dans un premier temps, intéressons-nous à

ce phénomène physique et à comment il peut nuire à la formation d'un film liquide mince.

Dans les conduits, le carburant liquide est soumis à une accélération centripète a = Ra?,

R= R.+R2 /2 étant la distance moyenne à Taxe de rotation (Figure l-6a). La force

centrifuge résultante agissant sur le liquide est alors égale à pLRa>2. Au fur et à mesure que

le fluide traverse les conduits à une vitesse caractéristique U, sa position radiale r

augmente, d'où une augmentation de sa vitesse tangentielle rco. Au niveau du repère

associé au conduit, cela induit une force de Coriolis pLUû) opposée donc au sens de

rotation. Le nombre sans dimension permettant de déterminer le degré d'importance des

forces de Coriolis est nommé nombre de Rossby et exprime le rapport entre la force

centrifuge et celle de Coriolis :

p, Rco2 Rco R o ^ ^ = (1-4)

pLUû) U v '

17 La force de Coriolis, nommée en l'honneur de l'ingénieur français Gaspard-Gustave Coriolis (1792-1843), fait partie de ces phénomènes physiques qui sont souvent difficiles à se représenter concrètement. À ce propos, notons la définition inédite proposée par l'association ADILCA : « On appelle force de Coriolis la force transversale qu'il faudrait exercer sur un projectile quelconque ou sur une masse quelconque tombant en chute libre, si la Terre cessait de tourner sur elle-même, ceci afin d'obtenir une déviation de trajectoire identique à celle qu'il (elle) donne l'illusion de décrire lorsqu'on l'observe depuis la Terre. »

24

Précisons que l'impact des forces de Coriolis est considéré comme négligeable pour des

nombres de Rossby nettement supérieurs à l'unité.

Cette force induite de Coriolis agit sur le liquide durant toute la période où celui-ci se

trouve dans le conduit, soit t -L/U . Dahm et al. (2002) prouvent alors que le déplacement

latéral X dû à cette force, et fortement préjudiciable à l'uniformité de l'épaisseur du film, est

proportionnel à l'expression suivante :

X 1 — oc — d 2

( L \ ( L \ 0 Ro (1-5)

v< \ R j

De cette relation, deux conclusions peuvent être tirées. Tout d'abord, nous avons ici la

confirmation des règles de conception n°l et 2 (voir ci-dessus). Une diminution de la

longueur des conduits L et/ou une augmentation du diamètre des orifices d sont des facteurs

favorables à la formation d'un film de faible épaisseur et uniforme car ils ont tendance à

faire diminuer le déplacement latéral X. Deuxièmement, nous notons un paradoxe

spécifique au système des atomiseurs fronde. Ce paradoxe concerne le nombre de Rossby.

En effet, il a été vu que les effets de la force de Coriolis sont moindres pour des nombres de

Rossby élevés. Or, nous remarquons avec l'expression (1-5) qu'une augmentation de ce

même nombre entraine un accroissement du déplacement latéral X. Ce paradoxe est en

réalité dû au fait que l'accélération centrifuge et la force de Coriolis dépendent toutes les

deux de la vitesse de rotation co, et que le temps de résidence t et la force de Coriolis

dépendent eux de la vitesse U. Par conséquent, pour des nombres de Rossby élevés

indiquant la prédominance de la force centrifuge sur celle de Coriolis, l'effet combiné avec

le temps de résidence t aboutit tout de même à une accentuation du déplacement latéral X

(Dahm et al., 2002).

En d'autres termes, il a été prouvé que, pour un atomiseur fronde typique (Tableau 1-2),

la force de Coriolis est assez importante dans les trous pour repousser tout le liquide du

côté opposé au sens de rotation formant ainsi une agglomération au lieu d'un film sur toute

la périphérie des trous. Bien que pour les conditions proposées au Tableau 1-2 la force

latérale de Coriolis ne représente que 5% de la force centrifuge, cela conduit tout de même

25

à un rapport Â/d nettement supérieur à l'unité, et donc à un fort déplacement latéral

responsable de la formation du mode « agglomération » susnommé. Et comme nous

l'avions préalablement mentionné à la section 1.1.2.2, ce phénomène s'amplifie avec

l'augmentation de la vitesse de rotation. Cependant, en contrôlant bien certains paramètres

géométriques comme la longueur des conduits L et/ou le diamètre des trous d (voir

paragraphe précédent), il est tout à fait possible de réduire les effets de la force de Coriolis

et ainsi obtenir un film de carburant mince et uniforme.18

Ces considérations sur la force de Coriolis conduisent à exposer la dernière règle de

conception que nous verrons dans ce mémoire :

Règle n°6 : En vue d'une atomisation satisfaisante, générant de fines gouttelettes

uniformes, il est préférable de faire fonctionner l'atomiseur fronde en mode « film », plutôt

qu'en mode « agglomération ».

L'énoncé de ces règles de conception met fin à la première partie de la revue

bibliographique. Nous avons, dans un premier temps, présenté en détails les principes de

fonctionnement et les caractéristiques fondamentales des atomiseurs rotatifs. Puis nous

nous sommes attardés en toute logique au cas particulier de l'atomiseur fronde en analysant

les diverses règles à prendre en compte lors d'une étude de conception. À présent, et dans

l'optique de mieux comprendre les recherches effectuées, il s'avère nécessaire de procéder

à une revue détaillée du comportement du carburant à l'intérieur de l'atomiseur. Rappelons

que le carburant liquide, via une pompe d'alimentation, est injecté dans la cavité interne de

l'atomiseur, puis vient impacter la paroi en rotation. Un film liquide, de préférence mince et

uniforme, s'y développe et finit par se briser en fines gouttelettes lorsqu'il est éjecté de la

paroi directement dans la zone primaire de la chambre de combustion.

De nombreux phénomènes physiques se produisent durant le passage du carburant dans

l'atomiseur, et il n'est pas forcément utile de surcharger le présent rapport avec des

18 D'ailleurs, durant leurs tests expérimentaux, les auteurs Dahm et al. (2002) sont parvenus à faire fonctionner leur atomiseur fronde en mode « film » dans une plage de vitesse de rotation allant de 900 à 17 800 rpm, ceci grâce à la longueur relativement petite des conduits de l'atomiseur testé (L = 0,003 18 m).

26

éléments, certes primordiaux, mais pour la plupart complexes. De ce fait, nous

concentrerons la deuxième partie de la revue de la littérature sur les deux phénomènes qui

ont constitué les axes majeurs de la recherche : l'étude du jet liquide soumis à l'écoulement

transversal d'air au sein de la cavité, et la détermination de l'épaisseur du film liquide se

développant sur la paroi rotative.

1.2 Jet liquide soumis à un écoulement transversal gazeux

Le premier phénomène traité est en réalité le premier que subit le carburant liquide

lorsqu'il est injecté dans la cavité interne de l'atomiseur, à savoir la présence d'un

écoulement d'air transversal dû à la géométrie même de l'atomiseur (voir section 1.2.1).

L'analyse de l'interaction entre les deux phases est d'un intérêt non négligeable puisque le

résultat peut être le bris du jet avant même qu'il n'atteigne la surface en rotation. Un bris

important pourrait ainsi prévenir la formation d'un film sur la surface interne de

l'atomiseur, modifiant complètement son mode de fonctionnement, et il existerait de

surcroît un risque d'auto-inflammation du carburant dû à la présence de gouttelettes à

l'intérieur de l'atomiseur (sauf si le mélange est trop riche). A cet effet, il apparaît judicieux

d'étudier sommairement l'influence de l'écoulement transversal gazeux sur le jet liquide.

1.2.1 Écoulement transversal

En premier lieu, abordons brièvement l'écoulement transversal gazeux en lui-même qui,

ne constituant pas un axe de recherche principal, représente tout de même une donnée

fondamentale dans le comportement du jet liquide. À ce sujet, il est possible de réaliser une

analogie entre notre problème d'étude et un écoulement inter-disque de type rotor-stator

(Poncet et al., 2005). En effet, à l'intérieur de l'atomiseur, l'air se retrouve « coincé » entre

un rotor - l'atomiseur - et un stator - le système d'alimentation du carburant. Un

écoulement particulier se met alors en place générant ainsi le fameux écoulement

transversal, source de perturbations pour le jet (Figure 1-7).

27

Atomiseur (rotor)

Jet de carburant

Chambre de combustion

Système d'alimentation de carburant (stator)

Zone de l'écoulement d'air transversal

Figure 1-7 : Schéma simplifié de la cavité interne d'un atomiseur fronde

Les premières études reliées à ce phénomène remontent aux années 1920 et les travaux

de Von Kârmân (1921), qui étudia l'écoulement laminaire au-dessus d'un disque tournant

de rayon infini dans un fluide initialement au repos. Toutefois, ce fut dans les années 1950

que les plus grandes avancées furent observées dans ce domaine. Tout d'abord, Batchelor

(1951) s'intéressa à l'écoulement axisymétrique et stationnaire entre deux disques de rayon

infini. Il spécifia la formation d'un noyau non-visqueux en rotation solide confiné entre les

deux couches limites se développant sur chacun des disques. Puis, Stewartson (1953)

s'opposa à cette dernière conclusion en prédisant, dans le cas d'un écoulement rotor-stator,

que la vitesse tangentielle du fluide est proche de zéro partout en dehors de la couche limite

du rotor. Finalement, ce n'est qu'en 1983 que Kreiss & Parter (1983) prouvèrent l'existence

d'une classe de solutions multiples. Autrement dit, pour ce geme de problème, il existe une

transition entre un écoulement de type Batchelor et un écoulement de type Stewartson

lorsque Ton se rapproche du centre de la cavité.

L'écoulement de type Batchelor se caractérise par deux couches limites : une couche

limite centrifuge (ou couche d'Ekman ou encore de Von Kârmân) sur le rotor et une couche

28

limite centripète (ou couche de Bôdewadt) sur le stator, les deux étant séparées par un

noyau central en rotation solide (vitesse tangentielle constante ou quasi constante et vitesse

radiale presque nulle). Quant à la structure de l'écoulement de Stewartson, une couche

limite unique est présente sur le rotor, et la vitesse tangentielle est quasi nulle partout

ailleurs. L'écoulement est alors pleinement centrifuge (vitesse tangentielle nulle et vitesse

radiale positive). La transition entre ces deux structures d'écoulement est schématisée à la

Figure 1-8.

a ROTOR

(ATOMISEUR FRONDE)

Batchelor

i Stewartson

STATOR

(SYSTÈME D'ALIMENTATION DE CARBURANT)

De

Stewartson

à

Batchelor

ARBRE MOTEUR

Figure 1-8 : Evolution du profil de vitesse radiale d'un écoulement de Stewartson vers un écoulement de Batchelor

Pour notre problème actuel, étant donné la position éloignée de l'injection du carburant

dans l'atomiseur vis-à-vis de Taxe de rotation (Figure 1-7), il est raisonnable de conclure

que le jet liquide sera soumis au noyau central à vitesse tangentielle constante d'un

écoulement de type Batchelor. Comme mentionné précédemment, nous nommerons ce

noyau central « écoulement transversal ». À ce sujet, nous verrons à la section 3.3.2.1 que

les simulations numériques réalisées dans le cadre de cette maîtrise corroborent

parfaitement la présence d'un écoulement de type Batchelor au niveau de la trajectoire du

jet liquide dans la cavité de l'atomiseur. Les caractéristiques de cet écoulement

précédemment exposées sont illustrées grâce à la Figure 1-9 : en ordonnée nous retrouvons

29

les positions axiales réduites (la valeur 0 correspond au rotor, la valeur 1 au stator), et en

abscisse les valeurs des vitesses réduites, V* = VrJ Qr et Ve = Vgj Qr .

I

0.9

0.8

0.7

0.61-

Z 0.5

0.4

0.3

0.2

0.1r

-8

Stator

couche de Bodewadt

couche d'Ekman

? -01 Rotor

02

0.8h

0.7

0.6 h

0.5

0.4

0.3

0.2-

0.1-

0. 0

Stator

coeur en rotation quasi solide

Rotor

Figure 1-9 : Schématisation des profils de vitesse d'un écoulement de type Batchelor : (a) composante radiale, (b) composante tangentielle (Poncet et al., 2005)

1.2.2 Généralités sur le bris d'un jet

Dans un deuxième temps, et bien qu'un des objectifs de la conception d'un atomiseur

fronde soit d'éviter toute formation de gouttelettes au sein de la cavité interne, une revue

des principes fondamentaux gouvernant ce phénomène d'atomisation est souhaitable dans

l'optique d'une meilleure interprétation des conclusions exposées dans la suite de ce

mémoire. Notons toutefois que, pour de plus amples détails et précisions sur ce sujet, nous

recommandons fortement les auteurs Lefebvre (1989) et Bayvel & Orzechowski (1993)

qui, dans leur ouvrage respectif, effectuent une récapitulation exhaustive des divers

processus d'atomisation.

30

En ce qui concerne notre étude, il est important de commencer par la définition et la

description physique du bris. Pour cela, précisons que, lorsqu'un liquide est éjecté sous la

forme d'un jet, il subit dans le même temps les effets de forces cohésives et de forces

perturbatrices, provoquant de cette manière des oscillations et des irrégularités de ce même

jet. Sous certaines conditions, ces oscillations s'amplifient pour donner lieu habituellement

à une désintégration du liquide en ligaments puis en gouttelettes. Ce processus est connu

sous le nom de bris primaire. Et si ces mêmes gouttelettes excèdent une taille critique, alors

elles se désintègrent à leur tour pour former un nuage de gouttelettes encore plus fines.

C'est ce que nous appelons le bris secondaire.

La grande majorité des analyses réalisées au fil des décennies repose sur l'étude des

instabilités à l'aide de la méthode des petites perturbations. Ladite méthode est basée sur la

superposition de petites vibrations arbitraires et du mouvement principal du fluide. Ces

vibrations, à fréquences multiples, ont des origines internes et externes. Les causes internes,

c'est-à-dire provenant de Tinjecteur lui-même, peuvent être référencées comme tel :

tourbillonnement du jet en sortie, expansion du liquide due à la chute de pression,

vibrations, rugosité de la surface, e tc . . Quant aux causes externes, elles font référence à

l'interaction avec le milieu ambiant gazeux. Autrement dit, cela concerne plus précisément

la vitesse relative entre les deux phases, la masse volumique du gaz, ou encore les

dimensions du jet en sortie d'injecteur.

La première étude mathématique est l'œuvre de Rayleigh (1878) qui employa justement

la méthode des petites perturbations en considérant les vibrations et le bris d'un jet

cylindrique d'un liquide non-visqueux, et en y incorporant uniquement les forces de tension

de surface. De cette analyse, il est possible d'en conclure que, pour des conditions

laminaires, toute perturbation du jet ayant une longueur d'onde supérieure à la

circonférence de celui-ci finira par s'amplifier. Et bien que les jets liquides réels soient

visqueux, turbulents, et soumis aux effets de l'air ambiant, les conclusions de Rayleigh se

sont avérées au fil du temps valides comme première approximation.

Par la suite, de nombreux auteurs ont permis de généraliser les résultats obtenus par

Rayleigh (1878). Citons en premier lieu Weber (1931) qui inclut l'influence de la viscosité

du liquide. L'auteur proposa une règle théorique concernant la longueur d'onde de la

31

perturbation initiale : si celle-ci est inférieure à une valeur critique, alors les forces de

tension de surface ont tendance à amortir la perturbation. En revanche, si elle excède cette

même valeur critique, la tension de surface provoque l'amplification de la perturbation,

menant ainsi à la désintégration du jet. Cette théorie fut corroborée expérimentalement par

Haenlein (1932) qui identifia de plus quatre régimes distincts de bris. Malgré tout, il

n'aboutit pas à une démarcation précise et rigoureuse de ces régimes.

Ce fut finalement Ohnesorge (1936) qui permit, grâce à ses travaux expérimentaux

basés sur des enregistrements photographiques, de classifier la désintégration d'un jet en

fonction des forces visqueuses et de tension de surface en présence. Il effectua également

une analyse adimensionnée en utilisant deux nombres sans dimension : le nombre de

Reynolds et le nombre de stabilité, plus connu à présent sous le nom de nombre

d'Ohnesorge. Ce nombre indique le rapport entre les forces visqueuses et les forces de

tension de surface agissant sur le liquide :

OK = ~ 0,5 (1-6) p y d

Cette analyse mena l'auteur à exposer un graphique représentant les divers régimes de

bris en fonction des nombres de Reynolds et d'Ohnesorge. Plus récemment, Reitz (1978)

tenta de résoudre les quelques incertitudes résultant de l'étude d'Ohnesorge (1936) à l'aide

d'essais expérimentaux. Il confirma la présence de quatre régimes de bris et présenta un

nouveau graphique (Figure 1-10). Ces régimes sont observables au fur et à mesure que Ton

augmente la vitesse d'injection du liquide. Ils sont formulés comme suit :

• Mode de Rayleigh. Ce bris est dû à l'amplification des oscillations axisymétriques

sur la surface du jet provoquée par la tension de surface. Le diamètre des

gouttelettes générées excèdent généralement le diamètre du jet.

• Premier mode de bris dû à l'influence de Tair. L'effet de tension de surface est dans

ce cas amplifié par la vitesse relative accrue entre le jet et Tair ambiant, créant une

distribution de pression statique à travers le jet. Le diamètre moyen des gouttelettes

obtenues est alors sensiblement égal au diamètre du jet.

32

• Second mode de bris dû à l'influence de Tair. La formation de gouttelettes est ici

causée par la formation instable de vagues à faible longueur d'onde sur la surface du

jet. Contrairement aux deux premiers modes, les gouttelettes ont un diamètre moyen

beaucoup plus faible que le diamètre du jet.

• Atomisation. Dans ce dernier mode, le jet se disloque complètement à la sortie de

Tinjecteur. Parmi les quatre modes, ce dernier produit les gouttelettes les plus fines.

IO'

10°

o o b

^ IO"»

4.

tt .c O 10

io-

- 1

10°

• 1 : Mode de Rayleigh • 2 : 1er mode de bris dû à

l'influence de Tair • 3 : 2eme mode de bris dû à

l'influence de Tair • 4 : Atomisation

L K>

R« L «( , L U L d 0 / M l _)

10"

Figure 1-10 : Classification des régimes de bris selon Reitz (1978) (Lefebvre, 1989)

Cette revue sommaire de la littérature se rapportant au bris d'un jet liquide nous amène

à la description du phénomène qui nous intéresse plus particulièrement ici, à savoir

l'influence d'un écoulement transversal gazeux sur ce même phénomène de bris.

33

1.2.3 Influence de l'écoulement transversal

1.2.3.1 Régimes de bris

La classification telle que nous venons de la voir représente la base de la théorie du bris,

et permet ainsi de mieux l'interpréter. Cependant, en présence d'un écoulement transversal

gazeux - en général de Tair - le comportement du jet liquide et ses caractéristiques se

trouvent être sensiblement modifiés. Par conséquent, de nouveaux paramètres viennent

influencer le bris, et il est alors possible d'effectuer une nouvelle classification des régimes

de bris prenant dorénavant en compte les propriétés de l'écoulement gazeux.

Plusieurs études exposent les divers processus physiques que subit le jet à la sortie de

Tinjecteur. Parmi elles, celle proposée par Wu et al. (1997) présente deux modes de bris

caractéristiques que les auteurs nomment « bris de colonne » et « bris de surface » (Figure

1-11). Dans le but d'expliquer ce processus, Tambe et al. (2005) reprennent cette

classification et énoncent les principes théoriques qui en découlent en considérant un cas

typique de jet liquide soumis à un écoulement transversal gazeux. Ils mentionnent que la

pression dynamique de cet écoulement transversal crée une zone de haute pression sur le

côté du jet exposé directement à l'écoulement gazeux, ainsi qu'une zone de basse pression

de l'autre côté de la colonne liquide, ce qui a pour conséquence d'aplatir et de courber le jet

dans la direction de l'écoulement d'air. Des ondes commencent alors à apparaître des deux

côtés de la colonne liquide, et ce dès la sortie de Tinjecteur. Leur amplitude augmente le

long de la colonne liquide jusqu'à ce qu'elle se brise à l'un des creux. Cette fracture ne se

produisant pas à chaque creux, des segments partiels de liquide se forment, et sont

communément appelés « ligaments ». Ces ligaments subissent par la suite une autre forme

de bris, produisant ainsi des gouttelettes. Dans le même temps, des ondulations à faible

longueur d'onde sont observables sur le côté non exposé à l'écoulement transverse. Des

gouttelettes sont arrachées de la colonne liquide dû à l'interaction de ces ondes avec la

pression dynamique de l'écoulement d'air. Ce phénomène produit des gouttelettes de plus

petite taille que celles produites à partir des ligaments.

34

Nous retrouvons donc ici la description des deux régimes de bris signalés par Wu et al.

( 1997) : le processus de formation de gouttelettes à partir de ligaments représente le « bris

de colonne », quant au dernier processus détaillé, il s'agit du « bris de surface ».

Air

VoCa • . . y .

Colonne «■** liquide » f 9 9

^

Gouttelettes

Bris de surface

Liquide

Figure 1-11 : Jet liquide soumis à un écoulement transversal gazeux (Wu et al., 1997)

Afin d'établir ces régimes de bris de manière plus rigoureuse, nous retrouvons dans la

littérature deux nombres sans dimension fréquemment utilisés. Il s'agit du nombre de

Weber de l'écoulement gazeux (nous avions présenté à l'aide de l'équation (1-3) le nombre

de Weber d'un film liquide) et du rapport des quantités de mouvement des deux phases.

Ces nombres s'expriment comme suit :

We = pJJld (1-7)

q = PJJÏ

(1-8)

Grâce à ces deux nombres, il est possible d'établir des cartes de régime de bris

permettant ainsi d'évaluer le type de bris qu'est susceptible de subir le jet en fonction des

caractéristiques physiques du jet lui-même et de l'écoulement transversal gazeux. À ce

sujet, plusieurs auteurs réalisèrent des tests expérimentaux et, après exploitation des

35

résultats, proposèrent leur carte de régime de bris en fonction de Wex et de q. Parmi eux,

citons en premier lieu Wu et al. (1997) qui effectuèrent des tests d'injection de plusieurs

liquides (eau, alcool éthylique, mélange alcool/eau, mélange glycérol/eau) dans des

conditions de pression et de température standard ( p x =140±4kPa et Tx =306±3K). Le

diamètre de Tinjecteur (d = 0 ,5 -1 -2 mm) ainsi que la vitesse de l'écoulement transversal

(compris entre 68,1 et 141 m/s) furent variés tout au long des tests afin d'obtenir une large

gamme de valeurs des deux nombres adimensionnés Wem et q (57< Wex<\179 et

3,38<<7<185). Sur la base d'observations, ils suggérèrent alors une ligne démarcative

entre les deux modes de bris précédemment exposés (voir la Figure 1-12 et l'équation

(1-9)).

Becker & Hassa (2002) vérifièrent la validité de cette proposition en réalisant des tests

similaires avec du kérosène Jet A-l, excepté le fait qu'ils prirent en considération

l'influence de la pression ambiante en opérant à une pression p x comprise entre 150 et

1500 kPa (Tx étant égale à 290 K). Les conditions de tests leur permirent d'obtenir des

plages de données légèrement différentes de celles de Wu et al. (1997) : 90<Wex<2120

et l<rjr<40. Ainsi, 27 conditions ont été testées et les données acquises à différentes

pressions et vitesses d'écoulement transversal (entre 50 et 100 m/s) corroborent plutôt bien

les résultats de Wu et al. (1997) (Figure l-12a) à pression atmosphérique standard

constante.

Enfin, Tambe et al. (2005) analysèrent eux aussi l'applicabilité de la démarcation entre

les deux régimes de bris. Pour cela, trois types de jet liquide furent utilisés (eau, Jet-A et N-

Heptane) dans un milieu ambiant gazeux à pression et température standard, proche des

conditions de test de Wu et al. (1997). Notons également les petites différences de plages

de valeurs pour les deux nombres adimensionnés : 50,5 < Wem< 1725,1 et 0,7 < q < 10,2.

Tambe et al. (2005) remarquèrent alors, d'après leurs propres observations, que la transition

entre les deux modes de bris intervient pour des valeurs de q et de WeK plus faibles par

rapport aux résultats de Wu et al. (1997) (Figure l-12b), et que la ligne qui marque cette

transition possède une pente plus raide. Ceci peut être expliqué par la présence d'une

36

vitesse d'écoulement transversal plus grande (dans leurs essais expérimentaux, cette vitesse

était comprise entre 89,2 et 214,8 m/s) pour des nombres de Weber We „ analogues.

Autrement dit, une augmentation de la pression dynamique de l'écoulement transverse

augmente l'importance du bris de surface.

100

V I O

10'!

o l

101

E o

10°

10'

Frontière proposée par Wu et al. (1997) A Aucun bris dominant

* Bris de colonne

A Bris de surface

10000

I

♦ Bris de colonne + Aucun bris dominant

* Bris de surface ™ " Transition proposée par Wu et al. (1997)

» I I \

mmxx

f * *♦ XMtWC

i . . ^ - « -

10' to1

Weber number (b)

Figure 1-12 : Validation expérimentale des régimes de bris proposée par : (a) Becker & Hassa (2002), (b) Tambe et al. (2005)

37

Dans le même ordre d'idée, Becker & Hassa (2002) constatèrent que de fortes valeurs

du rapport des quantités de mouvement q entre le liquide et Tair favorisent le bris de

surface (autrement dit lorsque la colonne liquide est bien définie). Pour une valeur de q

donnée, le bris de surface domine lorsque l'écoulement d'air possède une pression

dynamique suffisante comparée à la force « conservatrice » de tension de surface (donc

pour des nombres de Weber élevés). D'un autre côté, si l'énergie cinétique de l'écoulement

transversal est trop faible pour dominer les forces de tension de surface (donc pour de

faibles nombres de Weber), alors le bris du jet ne peut être provoqué que par l'amplification

aérodynamique des instabilités du jet liquide, menant au bris de colonne. Ainsi, il a été

établi que, pour q > 100, le mécanisme de bris est une fonction uniquement du nombre de

Weber aérodynamique (Mazallon et al., 1998), et que donc le rapport des quantités de

mouvement q cesse d'être un paramètre gouvernant. De la même manière, il est possible

d'en déduire que pour une certaine valeur de Wex représentant la dominance incontestée de

l'énergie cinétique de l'écoulement d'air transversal sur l'énergie de surface du jet

(Wem^ 1000), ce paramètre perd lui aussi son importance dans le processus du bris du jet.

Pour conclure sur les régimes de bris, il est à noter que Becker & Hassa (2002) ont

déduit, d'après l'étude de Wu et al. (1997), l'équation de la courbe représentant la frontière

obtenue expérimentalement entre les deux mécanismes de bris :

We^^çf^-^"/0^ (1-9)

Pour W e y WeCTit, le bris de surface devient dominant par rapport au bris de colonne.

1.2.3.2 Trajectoire et longueur de bris

La connaissance du bris du jet et de ses régimes est d'une importance conséquente au

regard de la conception d'un atomiseur fronde. En effet, la présence de gouttelettes à

l'intérieur de la cavité n'étant pas souhaitable, il est nécessaire de prendre en compte les

facteurs influençant le bris du jet de carburant afin de l'éviter. Dans cet objectif, il est

également intéressant d'étudier la trajectoire du jet dans le milieu gazeux et plus

38

précisément ce que nous appelons la longueur de bris. Cette longueur représente en réalité

la distance entre le point d'injection et le point où le bris est susceptible de se produire.

L'évaluation de la longueur de bris peut ainsi permettre de dimensionner la cavité de

l'atomiseur, notamment la distance entre la source d'alimentation en carburant et la paroi

tournante où le jet impacte.

De ce fait, la trajectoire et la pénétration d'un jet liquide dans un écoulement transversal

ont été à de nombreuses reprises analysées expérimentalement et théoriquement. Wu et al.

(1997) combinèrent leurs données expérimentales avec un bilan des forces théorique et

proposèrent une corrélation de la trajectoire du jet avec le rapport des quantités de

mouvement q :

i = u Y X

~d. (1-10)

Rappelons simplement ici que la coordonnée y correspond à la direction axiale du jet, alors

que la coordonnée x indique la direction transversale, autrement dit celle de l'écoulement

gazeux. Dans des conditions de tests similaires, Tambe et al. (2005) confirmèrent la

dépendance du rapport des quantités de mouvement, mais formulèrent leur corrélation sous

une forme logarithmique :

y ( ^ =l,55<7uwln 1 + 1,66 rxw

v«y (1-11)

Quant à Becker & Hassa (2002), ils effectuèrent des mesures dans des conditions de

pression plus élevées que les deux auteurs précédents. Leur corrélation possède également

une forme logarithmique :

^ l = l,48?M2ln(l + 3,56f- (1-12)

Enfin, la seule étude prenant en compte les effets de température et de pression fut

réalisée par Ragucci et al. (2007). Les études présentées dans leur article cherchent à

étendre l'analyse sur les caractéristiques d'atomisation à haute température (jusqu'à 600 K.)

et à haute pression (jusqu'à 2 MPa). Il est donc logique que leur corrélation soit plus

complexe que celles précédemment exposées :

39

^ \ = 2,2Sq0A -0.015 aero

\

k, /"oo^OOiX

0,186 X

\ 0,367

(1-13)

Notons ici que le nombre de Weber aérodynamique WeMm est basé à la fois sur la vitesse

du jet liquide et sur la masse volumique de l'écoulement transversal gazeux :

We,. _ PJJJd (1-14)

Parmi les auteurs cités, deux ont proposé des corrélations de la pénétration du jet, c'est-

à-dire de la longueur de bris. Premièrement, Wu et al. (1997) déterminèrent l'expression de

la longueur de bris en fonction du rapport des quantités de mouvement q :

* - 3 . « * V » (1-15)

Deuxièmement, Ragucci et al. (2007), du fait de leur prise en compte des hautes

températures et des hautes pressions, énoncèrent une corrélation plus complète :

Zn d

= 3,S5q"'i*'We: 0,387 r x r O . l 26

> 0,202

V M»,300K ) (1-16)

Ces corrélations sur la longueur de bris sont applicables pour des jets subissant un bris de

colonne. Il apparaît évident que, lorsqu'un jet liquide est soumis à un bris de surface, des

gouttelettes sont produites dès la sortie de Tinjecteur, rendant ainsi superflu le calcul de la

longueur de bris.

A propos de la trajectoire et de la longueur de bris d'un jet liquide, nous pouvons

ajouter qu'il existe dans la littérature d'autres formes de corrélations. Toutefois, il est

40

important de constater les différences quantitatives qui existent entre ces diverses

corrélations. Comme le soulignent Tambe et al. (2005) à ce sujet, ces écarts peuvent être

dus aux différentes techniques de mesure, aux définitions non-standards de la trajectoire du

jet, ou encore aux effets de couche limite. Les pénétrations du jet prédites par mesure

PDPA (Phase Doppler Particle Analyzer ou Interférométrie Phase Doppler) par exemple

sont systématiquement plus élevées que celles prédites par ombroscopie (ou shadowgraphy

en anglais).19 L'ombroscopie est très sensible à la densité de gouttelettes et donc tend à

ignorer les régions à faible densité de gouttelettes, causant la sous-estimation de la

pénétration. Par ailleurs, des hypothèses pour définir ce qu'est la pénétration transversale

du jet ne sont pas consistantes entre auteurs (pour certains, il s'agit de l'extrémité

transverse du jet ; pour d'autres, cela serait plutôt la position de la vitesse maximale).

Enfin, il a été observé des différences dans le comportement du jet entre des injecteurs

directement intégrés dans la paroi de la chambre, et des injecteurs pénétrant dans la

chambre, laissant à penser une influence non négligeable de la couche limite sur la

pénétration du jet.

1.3 Epaisseur du film liquide sur une paroi rotative

Nous venons de décrire le premier phénomène physique majeur se produisant dans la

cavité interne d'un atomiseur fronde, à savoir l'interaction entre le jet de carburant liquide

et l'écoulement transversal gazeux d'air créé par le mouvement de rotation de l'atomiseur.

Cette interaction constitue le premier axe de recherche du présent mémoire. Le deuxième

phénomène d'intérêt a rapport avec l'interaction entre la phase liquide et la surface solide

en rotation. En effet, quand le jet atteint l'atomiseur, il s'y répand quasi uniformément et un

film liquide se forme sur toute la surface rotative (Figure l-6a et Figure 1-7). L'épaisseur

du film en question est un critère de conception primordial car il influence directement la

taille des gouttelettes dans la zone primaire de la chambre de combustion. Il est donc

normal de s'intéresser plus en détails à l'évaluation expérimentale et théorique de

l'épaisseur du film liquide.

Il s'agit de méthodes non intrusives permettant de visualiser la trajectoire et la taille de gouttelettes.

41

Dans le cas présent, la géométrie simple d'un disque plat en rotation a été logiquement

utilisée puisque de nombreux auteurs s'y réfèrent afin de développer la relation théorique

de l'épaisseur de film sur la surface du disque. La stratégie commune à toutes les études sur

l'épaisseur de film est l'évaluation des distributions ou profils de vitesse du film liquide,

afin de l'intégrer pour obtenir l'épaisseur. La première étude relatant ce raisonnement est

attribuée à Hinze & Milbom (1950) qui analysèrent la distribution de vitesse radiale dans

un film liquide mince se développant sur une coupelle non perforée, le tout en associant les

forces visqueuses et centrifuge.

Dans leur article, Dahm et al. (2002) exposent la démonstration rapide aboutissant à

l'expression de Hinze & Milborn (1950) (équation (1-26)). Ils réalisent une analyse 2D en

se basant sur la figure ci-dessous :

Figure 1-13 : Film liquide se développant sur un disque en rotation (Dahm et al., 2002)

L'écoulement du film liquide est gouverné par les équations de conservation de la

masse et de la quantité de mouvement, à savoir :

du dv _, — + — = 0 ôx dy

(1-17)

42

f du du^ u — + v — =

^ dx dy }

{ dv dv) PL u — -f-v— PL

^ dx dy)

dp L a ~ â c ML

(d 2 u d2u 2 . . \ +■

dx2 dy2

dp dy

(d 2 v d2v 2 . . \

+ ■ dx2 dy2 )

(1-18)

(1-19)

Étant donné le mouvement du fluide sur la surface en rotation, nous faisons dès à

présent l'hypothèse que la vitesse normale v est négligeable comparée à la composante u.

De cette hypothèse, nous en déduisons de l'expression (1-17) que la composante u ne varie

que dans la direction y, et que, d'après l'expression (1-19), la pression est uniforme dans

toutes les directions. Ainsi, l'équation (1-18) peut s'écrire :

d^u dy = ~pL a (1-20)

En intégrant par deux fois cette dernière expression, nous obtenons

du _ pLa y + A

u y = - & — y 2 +Ay + B 2>"L

(1-21)

(1-22)

La condition de non-glissement w = 0 à la surface du mur ( y = 0) nous permet de

déterminer la deuxième constante d'intégration grâce à l'équation (1-22) : 5 = 0 .

Pour un fluide Newtonien, la contrainte de cisaillement TW s'exprime de la façon

suivante : r ^ - f \ — . Or, au niveau de la surface du film liquide ( y = ô ) (représentée par dy

la lettre / sur Figure 1-13), cette contrainte devient négligeable dû à la faible viscosité de

Tair :

M du_ dy

0 (1-23) y=S

43

En reprenant l'expression (1-21), nous obtenons la première constante d'intégration

A = pyô j f i v . Le profil de vitesse à travers le film est alors donné par l'équation (1-22) :

« y = \ \y -y 2<S-y (1_24) 2Mh

L'intégration de ce profil de vitesse20 à travers le film liquide nous permet d'obtenir le

débit surfacique, qu'il convient de multiplier par le périmètre du disque afin de calculer le

débit volumique à la position radiale R :

q y = 2 n R \ u y dy = l 7 t R ^ - ô ' (1-25) o - * M L

Enfin, gardons à l'esprit que l'accélération centripète que subit le film liquide s'exprime

comme tel : a = Rco2 (voir section 1.1.3.2.4). L'équation (1-25) devient ainsi :

S = J 3vL,v *»

2nR.y 2 , , 2 (1-26)

J

Cette méthode de base datant du début des années 1950 a été progressivement améliorée

et plusieurs études ont apporté des propositions visant à améliorer la précision de la

prédiction. Emslie et al. (1958) ont mené une analyse similaire à celle précédemment

exposée, mais en incluant cette fois-ci les effets de la gravité. Oyama & Endou (1953) ont

obtenu des expressions des distributions de vitesse radiale et tangentielle en intégrant les

équations de Navier-Stokes à l'aide d'un polynôme du second degré pour les profils de

vitesse. Par la suite, des solutions plus précises furent développées. Nikolaev et al. (1967)

résolurent les équations du mouvement d'un film liquide sur un disque rotatif en

considérant la différence entre la vitesse angulaire du film et celle du disque. Bruin (1969)

obtint des relations bien plus simples des profils de vitesse en se servant de la méthode de

la fonction complexe pour résoudre les équations de Navier-Stokes simplifiées. Matsumoto

20 Nous remarquons ici la similitude entre le profil de vitesse parabolique donné par la relation (1-24) et celui d'un écoulement de Poiseuille classique, appuyant ainsi l'approximation effectuée à la section 1.1.3.2.3.

44

et al. (1973) prédirent les profils de vitesse d'un film liquide sur un disque en rotation en

intégrant numériquement des équations différentielles non-linéaires obtenues des équations

de Navier-Stokes. Enfin, Miyasaka (1969) présenta une autre solution numérique en

analysant l'effet de l'impact d'un écoulement mince liquide sur un disque rotatif.

Matsumoto et al. (1973) ont également procédé à de nombreux tests expérimentaux et

ont ainsi pu comparer leurs résultats avec les diverses formulations de l'épaisseur du film

décrites dans le paragraphe précédent. Quatre paramètres furent utilisés afin de faire varier

l'épaisseur de film :

• la position de la mesure de l'épaisseur du film sur le disque (en m) :

0,02</?<0,05 ;

9 —fi fy

• la viscosité cinématique du fluide (en m /s) : 9,61.10 < vL < 58,3.10 ;

• la vitesse de rotation du disque (en rpm) : 2 5 0 < N < 1500 ;

• le débit du liquide (en m3/s) : 4,99.10"6 < qv < 31,2.10^.

Les auteurs ont donc ensuite comparé les valeurs expérimentales avec les valeurs

théoriques de différents auteurs (Figure 1-14). Les résultats ont été normalisés grâce à

Tadimensionnement du débit et de l'épaisseur du film. Ainsi, l'épaisseur adimensionné

£0 = S/ yL/co est représentée en fonction du débit adimensionné

Q+ = qv/27rR2 vy> . Les gammes de valeurs pour ces deux nombres adimensionnées

furent les suivantes :

• Q+ : entre 0,006 9 et 0,211 ;

• £0 : entre 0,278 et 0,969.

45

Oyima and Endou Oyima and Endou Hinze, TaaiMva, Emilie Approx. 3rd degree

_ Approx. 4th degree Approx. 5th degree Numerical «ol. Bruin Numerical «ol. Bruin

A Miyaaaka O Authors

0.1 0.1S Q+C-)

0.25

Figure 1-14 : Comparaison des épaisseurs de film obtenues théoriquement et expérimentalement (Matsumoto, 1973)

Nous remarquons que toutes les solutions théoriques concordent de manière

satisfaisante pour de faibles valeurs de cf0. Il n'y a aucune différence entre ces nombreux

résultats théoriques. En revanche, une augmentation de £0 provoque de légères différences

entre ces solutions et les valeurs expérimentales obtenues par Matsumoto et al. (1973)

(représentées par les symboles ronds). Nous notons alors que les approximations

polynômiales d'ordre supérieur ou égal à 4 proposées par ces mêmes auteurs, ainsi que les

résultats numériques de Bruin (1969) et de Miyasaka (1969) (schématisés par la ligne

pleine), offrent la meilleure précision au regard des résultats expérimentaux dans une large

gamme de £0. Quant à l'équation (1-26) développée par Hinze & Milborn (1950) et

démontrée précédemment à titre d'exemple, sa relative simplicité a pour incidence une

faible précision, plus particulièrement pour des épaisseurs adimensionnées £0 élevées.

Toutefois, cette équation s'avère utile dans le but d'exposer clairement les variables

influençant directement l'épaisseur du film liquide.

46

À ce propos, les recherches réalisées pour ce mémoire concernent principalement la

Mécanique des Fluides Numérique (MFN). Comme nous pourrons le voir dans la section

3.2, il est nécessaire et primordial dans une étude numérique de valider le code de calcul

utilisé. Par conséquent, nous aurons recours par la suite à la relation (1-26) afin de

confirmer la sensibilité du logiciel vis-à-vis des variables en présence. Puis, toujours dans

un souci de validation du code de calcul, les résultats présentés précédemment (Figure

1-14) seront comparés aux résultats numériques obtenus à l'aide de la MFN. Cette

comparaison permettra ainsi de qualifier et de quantifier la précision des calculs

numériques effectués.

Cette section sur l'épaisseur du film liquide sur la paroi de l'atomiseur met fin à la

revue de la littérature, permettant ainsi de mieux cerner les domaines du champ de

recherche. La compréhension du système d'atomiseur fronde et des phénomènes physiques

associés est primordiale dans l'optique d'une meilleure interprétation des résultats, et par

conséquent d'un meilleur processus de conception. Cette revue offrait enfin la possibilité

d'énoncer les problématiques reliées à l'utilisation d'un atomiseur fronde. C'est

précisément sur la base de ces problématiques que nous formulerons dans le prochain

chapitre les modèles, aussi bien analytique que numérique, utilisés durant cette maîtrise.

Chapitre 2 Modélisation de Tinjecteur fronde

Nous commençons à présent à nous intéresser à la théorie utilisée afin de répondre aux

nombreux défis soulevés dans le cadre de cette recherche. Nous verrons ainsi dans ce

deuxième chapitre les techniques développées, tant au niveau analytique que numérique. En

effet, dans un premier temps, nous traiterons du modèle analytique du système

d'alimentation en carburant que nous proposons afin de garantir la formation d'un jet

liquide, qui puisse atteindre sans se désintégrer la paroi de l'atomiseur, dans la cavité

interne de ce dernier. Les phénomènes de bris de jet soumis à un écoulement transversal

gazeux et d'évaporation instantanée seront pris en compte dans le but de fournir une

configuration optimale du système d'alimentation. Par la suite, nous aborderons le volet

central de cette maîtrise, à savoir le modèle numérique employé. À ce sujet, le modèle

numérique MFN possède deux objectifs distincts mais complémentaires : d'une part,

valider le code de calcul utilisé concernant la prédiction de l'épaisseur du film de carburant

sur la paroi solide en rotation, et d'autre part, permettre la conception d'une méthodologie

de calcul fiable sur laquelle il sera possible de s'appuyer pour des études complexes

industrielles, tel l'atomiseur fronde de P&WC.

2.1 Injection du carburant dans la cavité de l'atomiseur

Notre cas d'étude représente une injection de carburant dans un milieu ambiant d'air en

mouvement. Ce mouvement est créé par l'effet d'entraînement dû à une paroi solide en

rotation. Une revue bibliographique a montré que la composante tangentielle de la vitesse

de Tair est prédominante par rapport aux composantes axiale et radiale (voir section 1.2.1).

De ce fait, et pour la suite de cette étude, l'écoulement gazeux sera considéré comme

transversal et uniforme.

D'après la configuration proposée par P&WC, le carburant est injecté axialement dans

la cavité interne de l'atomiseur fronde. Nous nous retrouvons donc dans le cas d'un jet

liquide soumis à un écoulement transversal gazeux (Figure 1-7), et dans cette situation,

48

comme nous l'avons vu précédemment, le jet est susceptible de se briser en ligaments et/ou

en gouttelettes. Or, partant du principe que le carburant doit se développer le long de la

surface en rotation en vue d'une atomisation dans la chambre de combustion, il devient

alors crucial de déterminer dans quelles conditions le jet liquide atteint, sans se briser, la

paroi solide.

Afin de répondre à cette interrogation, il est nécessaire de rappeler que, outre les

caractéristiques de l'écoulement gazeux, le phénomène de bris est également déterminé par

les caractéristiques de vitesse de la phase liquide. Cette information nous amène à

considérer le système d'alimentation du carburant (Figure 2-1). En effet, connaître la

vitesse d'injection implique la connaissance de la géométrie de ce système d'alimentation.

Nous nous proposons donc de nous intéresser plus en détails à ce système, et ainsi

déterminer ses caractéristiques en termes de nombre, de diamètre et de forme des trous

d'injection afin d'en déduire le comportement du jet une fois soumis à l'écoulement

transversal gazeux.

Atomiseur fronde (rotor)

Chambre de combustion

Trou d'injection

6,78 mm (donnée de

P&WC)

Arbre moteur

Système d'alimentation de carburant (stator)

Figure 2-1 : Schéma du système d'alimentation de carburant et de ses trous d'injection

49

Dans une première partie, nous présenterons les différents paramètres intervenant dans

le calcul de la vitesse d'injection à la sortie d'un orifice (celui de l'alimentation en

carburant), puis nous passerons aux diverses variables nécessaires à l'évaluation du bris du

jet dans l'écoulement transversal. Ces deux premières étapes nous permettront enfin

d'analyser les résultats obtenus dans deux conditions d'opération - pleine puissance (DJC,

de l'anglais HDTO) et ralenti - de l'atomiseur.

2.1.1 Caractéristiques de l'injection

Dans cette partie, ce que nous appelons injection correspond à l'injection de carburant

dans la cavité de l'atomiseur fronde, et non à l'injection du carburant dans la chambre de

combustion.

Nous nous intéressons donc au système d'injection permettant l'alimentation du

carburant dans la cavité interne du système. Il s'agit ici d'un injecteur classique à

pression. À ce propos, l'un des avantages de l'utilisation d'un atomiseur rotatif - tel

l'atomiseur fronde - étant justement l'augmentation de l'efficacité de la pulvérisation,

autrement dit l'emploi d'une pompe à carburant de faible pression, il est par conséquent

primordial d'évaluer dans un premier temps la différence de pression - nécessaire à

l'alimentation du débit souhaité - entre la cavité interne et Tinjecteur. La connaissance de

cette différence de pression nous permettra par la suite d'en déduire la vitesse d'injection

du carburant et ainsi d'étudier le comportement de celui-ci une fois soumis à l'écoulement

transversal gazeux.

Il est donc clair que la différence de pression dépend directement du débit de carburant

que nous souhaitons obtenir. Pour cela, P&WC nous a fourni les caractéristiques de débit

pour deux conditions d'opération. L'objectif consiste à présent à optimiser trois

caractéristiques géométriques de ce système d'injection : le nombre, le diamètre et la forme

des trous d'injection. Pour chaque configuration obtenue à partir de ces trois

21 Le terme « classique » est ici employé par opposition au type d'injecteur que nous étudions dans le cadre de ce projet, à savoir les injecteurs rotatifs, et en particulier les injecteurs « fronde » ou slinger.

50

caractéristiques correspondra un différentiel de pression nécessaire, ainsi qu'une vitesse

d'injection du carburant.

2.1.1.1 Coefficient de décharge

Pour cette étude, nous sommes dans le cas d'un écoulement de liquide à travers un

orifice. Le débit volumique d'un liquide incompressible à travers cette restriction s'exprime

par la formule :

Iv - C D A ) , Yl/Sp

(2-1)

Notons que cette formulation est valide lorsque A 0 « A i , At étant Taire de la section du

réservoir. Le coefficient de décharge nécessite une attention toute particulière parce qu'il

dépend non seulement de la forme du bord d'entrée de l'orifice, mais également du nombre

de Reynolds du jet, et donc du régime de l'écoulement.

Comme dans tout écoulement, il existe deux types de régime, laminaire et turbulent,

dépendamment si les forces d'inertie ou visqueuses dominent (Figure 2-2).

' - J ! ^ 1

^ S r / ^ " " ~yzz y~_

_^y^y^_ . - ' ' I I s —

(a)

{AfAoy)J, ^ "N

——H

h ' 1 r 1 2

(b)

l 3

Figure 2-2 : Écoulements à travers un orifice : (a) dans le cas laminaire, (b) dans le cas turbulent (Merritt, 1967)

51

Pour des écoulements n'impliquant pas de cavitation, le coefficient de décharge CD de

l'orifice augmente généralement avec une augmentation du nombre de Reynolds jusqu'à ce

qu'il atteigne une valeur maximale. Au-delà de ce point, la valeur de CD reste sensiblement

constante (Figure 2-3).

s - J -a o

S u ' S <*. o o U

Laminaire

Turbulent

0,5 (Nombre de Reynolds)

Figure 2-3 : Variation du coefficient de décharge en fonction du nombre de Reynolds (Lefebvre, 1989)

2.1.1.1.1 Régime turbulent

Pour des nombres de Reynolds suffisamment élevés, l'écoulement est en régime

turbulent. En observant la Figure 2-2b, les particules de fluide sont accélérées entre les

points 1 et 2. Nous constatons même que la section du jet à la sortie de l'orifice est plus

petite que la section de l'orifice Ao, du fait de l'inertie des particules. Le coefficient de

contraction Cc est alors défini ainsi :

^2 _ Q A> (2-2)

52

22 A2 étant la surface du jet à la section contractée .

Entre les points 2 et 3, un violent mélange avec le fluide présent en aval de l'orifice se

produit. L'énergie cinétique du jet est alors convertie en une augmentation de l'énergie

interne (température) du carburant dû au phénomène de turbulence.

En appliquant l'équation de Bernoulli entre les points 1 et 2, puis l'équation de

continuité entre les points 1, 2 et 3, il est possible de démontrer que le coefficient de

décharge est approximativement égal au coefficient de contraction. Ce coefficient est

relativement difficile à calculer mais différentes solutions expérimentales ont été obtenues

au fil des années en fonction de la forme de l'orifice (Tableau 2-1).

Tableau 2-1 : Valeurs du coefficient de décharge maximal en fonction de la forme de l'ajutage pour des écoulements turbulents (Idelcik, 1969)

^T >" '. j j j Egg*-*

\ ^ b)

' y » f t . P f — '

- F

Forme de Tajutage J T

Orifice en mince paroi

Ajutage cylindrique extérieur

Ajutage cylindrique rentrant

Ajutage conique convergent

Ajutage à entrée arrondie

Valeurs CD ,

0,611

0,82

0,71

0,94

0,97

22 Le point où la surface du jet est minimale est appelé vena contracta, ou section contractée. 23 Petit tuyau soudé à l'extrémité d'un tube d'écoulement pour en régulariser le débit.

53

Il convient d'ajouter qu'il existe une autre forme d'orifice : l'orifice à tube court (short

tube orifice) (Figure 2-4). Cette forme spécifique est particulièrement intéressante dans

notre cas d'étude puisqu'elle s'apparente au type d'orifice de la géométrie proposée par

P&WC.

Figure 2-4 : Illustration du rapport longueur/diamètre lo/do d'un orifice à tube court (Lefebvre, 1989)

Pour ce type d'orifice, et toujours pour un écoulement turbulent, le coefficient de

décharge - maximal - dépend également du rapport communément noté l0/d0, c'est-à-dire

du rapport entre la longueur et le diamètre du tube. D'après les études expérimentales

menées par Lichtarowicz et al. (1965), le coefficient de décharge maximal augmente de

0,61 à 0,81 lorsque I0/d0 augmente de 0 à 2. À mesure que ce ratio augmente, CD

diminue de façon linéaire pour atteindre 0,74 à l0/d0 =10. Pour une gamme de ratio allant

de 2 à 10, Lichtarowicz et al. (1965) ont proposé la corrélation suivante (Figure 2-5) :

CD =0,827-0,0085 l0/d0 (2-3)

54

085

060,

«0.827-0.0085 ~r

Nombres de Reynolds élevés

K) Ratio ydo

Figure 2-5 : Variation du coefficient de décharge maximal en fonction du ratio ydo (Lefebvre, 1989)

2.1.1.1.2 Régime laminaire

Ces divers résultats présentés ci-dessus ne concernaient que les écoulements turbulents.

Or, à faible température, faible différentiel de pression, et/ou petite surface d'orifice, le

nombre de Reynolds peut devenir suffisamment faible pour permettre un écoulement

laminaire. Et comme le montre la Figure 2-3, dans la zone laminaire, le coefficient de

décharge n'est pas constant. D'après de nombreuses études expérimentales, il a été admis

que le coefficient de décharge est directement proportionnel à la racine du nombre de

Reynolds :

ôjlte (2-4)

Le terme ô dépend de la géométrie et est appelé le coefficient de l'écoulement

laminaire. Quant au nombre de Reynolds pour un orifice, il est défini ainsi :

55

R e = p L q j A D h

ML

Pour un orifice circulaire de diamètre d, le diamètre hydraulique vaut Dh = d . En insérant

les équations (2-4) et (2-5) dans (2-1), nous obtenons l'expression du débit volumique pour

un écoulement laminaire :

2r52Z>A A <7v= — * P (2-6)

ML

En observant attentivement la relation (2-6), nous retrouvons un résultat intéressant

concernant les régimes d'écoulement. En effet, nous relevons qu'il est plus facile

d'augmenter le débit en régime laminaire car celui-ci est alors directement proportionnel à

la différence de pression, contrairement au régime turbulent où il est fonction de la racine

carrée de ce même /L\p (voir équation (2-1)).

2.1.1.2 Calcul du coefficient de décharge

Afin d'obtenir la valeur du coefficient de décharge, ainsi que du Ap requis pour injecter

un débit donné, nous devons procéder à un calcul itératif faisant intervenir un nombre sans

dimension X, appelé nombre de débit, et exprimé comme tel :

^ J = * (2-7) " L 1 PL

En isolant le CD dans l'équation (2-1), et en y intégrant l'expression suivante déduite de

l'équation (2-5), q y j \ = vLRe/Dh, nous aboutissons à la relation :

C D = y (2-8)

56

Afin d'approximer la courbe de la Figure 2-3 et ainsi de déterminer le coefficient de

décharge CD, aussi bien en régime laminaire qu'en régime turbulent, nous devons faire

appel à la fonction tangente hyperbolique :

CD = CD tanh ( 2 X ^

vKm) (2-9)

Dans cette dernière équation, le coefficient de décharge CD représente la valeur

maximale que peut atteindre ce coefficient (valeur constante lorsque l'écoulement est

turbulent et qui dépend de la forme de l'ajutage, tel que vu au Tableau 2-1). Quant au

nombre de débit Acrit, il représente la valeur de transition entre le régime laminaire et le

régime turbulent. Ce nombre est généralement fixé à A^ = 1000, qui équivaut d'après la

relation (2-8) à V/te*25 pour CD_ =0,611, et à V#ë*31 pour CD_ =0,97. Ces

valeurs de nombre de Reynolds sont tout à fait acceptables au regard de la courbe des

données expérimentales de la Figure 2-7.

En somme, le calcul itératif consiste à supposer un Ap, de déterminer le nombre de

débit A grâce à l'équation (2-7), puis de déterminer le coefficient de décharge CD avec la

relation (2-9), et enfin de calculer le débit avec les valeurs trouvées en utilisant l'équation

(2-1). Il est donc nécessaire de faire varier le Ap initialement posé afin de retrouver la

valeur du débit visée (Figure 2-6). Grâce à cette méthode, nous remarquons que, comme

annoncé précédemment, les valeurs déterminées dépendent du régime de l'écoulement,

mais également de la valeur de CD^ qui dépend directement de la forme du bord d'entrée

de l'orifice.

57

Ap initial

Nombre de débit X avec (2-7)

Données connues :

• Forme du trou ( Cn ) • Diamètre du trou (Ai, ^o) • Nombre de trous (ri) • Débit par trou (q\lri) • Propriétés du liquide (pt, vL)

Coefficient de décharge CD avec (2-9)

Débit q\ avec (2-1)

Non

Figure 2-6 : Schématisation du calcul itératif afin d'obtenir le différentiel de pression requis pour un débit et une configuration de trous d'injection connus

En outre, en utilisant l'équation (2-9) puis l'équation (2-8) pour obtenir le nombre de

Reynolds correspondant, l'approximation tangente hyperbolique donne la courbe visible

sur la Figure 2-7 pour CD = 0,611.

58

o 0,8 i O o 0,7 | 0,6 | 0.5 ■S 0,4 | 0,3 i 0.2 « o 0,1 CJ '

0 C

o 0,8 i O o 0,7 | 0,6 | 0.5 ■S 0,4 | 0,3 i 0.2 « o 0,1 CJ '

0 C

o 0,8 i O o 0,7 | 0,6 | 0.5 ■S 0,4 | 0,3 i 0.2 « o 0,1 CJ '

0 C

o 0,8 i O o 0,7 | 0,6 | 0.5 ■S 0,4 | 0,3 i 0.2 « o 0,1 CJ '

0 C

o 0,8 i O o 0,7 | 0,6 | 0.5 ■S 0,4 | 0,3 i 0.2 « o 0,1 CJ '

0 C

^—Approx ima t ion tanh

Données expérimentales deMemtt(1967)

o 0,8 i O o 0,7 | 0,6 | 0.5 ■S 0,4 | 0,3 i 0.2 « o 0,1 CJ '

0 C

^—Approx ima t ion tanh

Données expérimentales deMemtt(1967)

o 0,8 i O o 0,7 | 0,6 | 0.5 ■S 0,4 | 0,3 i 0.2 « o 0,1 CJ '

0 C

^—Approx ima t ion tanh

Données expérimentales deMemtt(1967)

o 0,8 i O o 0,7 | 0,6 | 0.5 ■S 0,4 | 0,3 i 0.2 « o 0,1 CJ '

0 C

^—Approx ima t ion tanh

Données expérimentales deMemtt(1967)

o 0,8 i O o 0,7 | 0,6 | 0.5 ■S 0,4 | 0,3 i 0.2 « o 0,1 CJ '

0 C

o 0,8 i O o 0,7 | 0,6 | 0.5 ■S 0,4 | 0,3 i 0.2 « o 0,1 CJ '

0 C

o 0,8 i O o 0,7 | 0,6 | 0.5 ■S 0,4 | 0,3 i 0.2 « o 0,1 CJ '

0 C

o 0,8 i O o 0,7 | 0,6 | 0.5 ■S 0,4 | 0,3 i 0.2 « o 0,1 CJ '

0 C ) 10 20 30 40

Figure 2-7 : Évolution typique du coefficient de décharge en fonction du nombre de Reynolds pour un orifice

Comme nous le constatons sur cette même figure, l'utilisation de la fonction tangente

hyperbolique constitue une nette approximation comparée à la courbe expérimentale

proposée par Merritt (1967). Cela provient du choix de la valeur du A^ . Avec une valeur

de 1 000, nous observons que la transition entre le régime laminaire et turbulent (c'est-à-

dire le point à partir duquel le coefficient de décharge ne varie plus) est correctement

approximée, entrainant cependant une perte de précision, notamment dans le régime

laminaire. Le choix d'une valeur plus faible permettrait une meilleure caractérisation du

régime laminaire, mais provoquerait une moins bonne prédiction de la transition. Un

A^ = 1000 représente traditionnellement un compromis acceptable. En outre, cette

fonction se justifie aisément dans le domaine industriel, notamment grâce à sa simplicité

d'utilisation. En effet, grâce à la fonction tangente hyperbolique, une seule approximation

est nécessaire, couvrant les deux régimes d'écoulement (laminaire et turbulent). D'autres

méthodes existent mais consistent à superposer deux approximations, Tune pour le régime

laminaire, l'autre pour le régime turbulent.

Nous venons de détailler les différents paramètres nécessaires à la détermination du

différentiel de pression requis en fonction du débit souhaité et de la forme de l'ajutage. Ce

différentiel peut être calculé pour chaque configuration du système d'alimentation en

59

carburant en termes de nombre, de diamètre et de forme de trous, et pour deux conditions

d'opération testées (Tableau 2-2). En fonction de ces résultats, une configuration optimale

peut être déterminée selon, d'une part, les limitations souhaitées par P&WC en ce qui

concerne la pompe à carburant (différentiel de pression maximal à ne pas dépasser), et

d'autre part, la vitesse d'injection du carburant permettant au jet d'atteindre, sans se briser,

la paroi en rotation.

2.1.2 Calcul des paramètres relatifs au système d'alimentation de carburant

Comme nous l'avons mentionné précédemment, deux conditions sont utilisées dans le

cadre de cette étude représentant deux conditions d'opération du moteur : DJC (débit

maximal) et ralenti (débit minimal). Leurs caractéristiques thermodynamiques sont

exposées à l'aide du Tableau 2-2 (données fournies par P&WC).

Tableau 2-2 : Récapitulatif des conditions d'opération au sein de la cavité interne

DJC ralenti Température T (K) 694 463 Pression p (kPa) 1241 359 Vitesse de rotation de l'arbre N (rpm) 41 000 26 500 Débit massique total de carburant qm (kg/s) 0,075 60 0,020 79

Nous nous proposons d'étudier plusieurs configurations : un système d'injection à 4, 6,

8, 10 ou 16 trous de 1/2, 1 ou 2 mm de diamètre, l'objectif étant d'optimiser ces deux

caractéristiques géométriques du système. Afin d'y arriver, plusieurs paramètres seront

calculés et leurs variations en fonction des configurations géométriques seront analysées.

Les paramètres d'intérêt sont les suivants : la vitesse d'injection du carburant UL, le rapport

des quantités de mouvement des deux phases q, le nombre de Weber de l'écoulement d'air

Wex, la longueur de bris yt,, ainsi que le Ap nécessaire à l'injection. Les paramètres q et

Wex permettront d'établir une carte de régime de bris selon les conditions de tests.

Ces paramètres font intervenir d'autres variables. Dans le but de clarifier les méthodes

de calculs, intéressons-nous en détails à chacun de ces paramètres.

2.1.2.1 Masse volumique

D'après Odgers & Kretschmer (1986), la masse volumique des carburants peut s'écrire

sous la forme suivante :

60

A . = A 8 8 [ l + C 2 8 8 - r L ; (2-10)

p2%% étant la masse volumique du carburant à 288 K, et C le coefficient moyen

d'expansion. La température du carburant est une donnée connue et demeure constante

quelle que soit la condition testée: TL=355K. Pour le kérosène liquide, sa masse

volumique à 288 K vaut 780 kg/m3. Quant au coefficient C, toujours d'après Odgers &

Kretschmer (1986), sa valeur peut être déterminée grâce au tableau ci-dessous :

Tableau 2-3 : Valeurs du coefficient moyen d'expansion en fonction de la masse volumique à 288 K (Odgers & Kretschmer, 1986)

10jC 1,251 1,066 0,932 0,819 0,733 0,684 0,653 Pi** (kg/m3) 700 750 800 850 900 950 1 000

En appliquant une simple interpolation linéaire, nous obtenons C = 0,000 98 pour

Pm =780 kg/m3. Ces divers paramètres nous permettent d'obtenir une valeur de

pL = 729 kg/m3 à 7L=355K

En ce qui concerne Tair, sa valeur est obtenue d'après la loi des gaz parfaits

A„ = RJT (2-11)

1 T ^ - l Rm étant la constante spécifique de Tair sec et valant 287 J.kg" .K

61

2.1.2.2 Viscosité

Il existe deux types de viscosité : la viscosité dynamique p (Pa.s) et la viscosité

cinématique v (m2/s). Elles sont reliées par la masse volumique p :

u y = - (2-12)

Étant donné la difficulté d'évaluer la viscosité dynamique du kérosène à différentes

températures, sa valeur est considérée constante : ji^ = 0,0024 Pa.s.

Quant à la viscosité dynamique de Tair, elle peut être déterminée grâce à la loi de

Sutherland qui s'exprime comme suit :

/~"rV2

M = ^ — (2-13) *• T + S

C et S étant des constantes empiriques. Pour Tair, nous utilisons les données fournies par

Crane (1988) pour obtenir l'expression suivante24 :

^ = 1,458X1G-6 x (2-14) 110,4+7

2.1.2.3 Débit et vitesse

Le débit requis est déterminé en fonction de la condition d'opération testée (DJC ou

ralenti) (voir Tableau 2-2). Il est par la suite uniformément réparti entre les n trous

d'injection, dépendamment de la configuration.

La vitesse d'injection du carburant à chaque trou est, quant à elle, déduite de la relation

du débit massique :

24 Notons que cette formule est valide pour une gamme de température : 100 < T(K) < 2 000.

62

^ = p L U L A 0 (2-15) n

Il est également important d'ajouter que la vitesse de l'écoulement gazeux Um est d'une

importance primordiale afin de caractériser le comportement du jet liquide dans ce même

écoulement. Pour cela, nous nous basons sur une étude numérique MFN menée

parallèlement, impliquant uniquement l'écoulement d'air (voir section 3.3.2.1). Au niveau

des trous d'injection du système d'alimentation de carburant, les résultats obtenus après

convergence sont les suivants: £/M=130m/s à DJC (Figure 3-2lb), et £/oo=90m/s au

ralenti.

2.1.2.4 Différentiel de pression

La méthode de calcul de la différence de pression nécessaire entre le système

d'alimentation en carburant et la cavité de l'atomiseur afin de fournir le débit requis a été

détaillée au paragraphe 2.1.1.2. De ce calcul, deux autres paramètres sont également

déterminés : le nombre de débit A, et le coefficient de décharge CQ. Rappelons-nous que ce

coefficient de décharge dépend, en partie, de la forme de l'ajutage. Ainsi, quatre geometries

seront prises en compte dans cette étude, représentées par quatre valeurs de CD

différentes. La première représente le cas critique d'un orifice en mince paroi avec

Cn =0,611 ; la seconde un orifice à tube court avec Cn =0,7 (L/drt = 0,25, voir "max '-'max x v ' w

Figure 2-5) ; la troisième un orifice à tube court avec CD^ =0,81 (l0/d0 = 2 , voir Figure

2-5) ; enfin la quatrième le cas optimal d'un ajutage à entrée arrondie avec CD^ = 0,97 .

2.1.2.5 Nombres sans dimension

Plusieurs paramètres sans dimension peuvent être déterminés tout au long des étapes de

calcul. Chacun de ces nombres donne une indication sur le comportement et les

caractéristiques du fluide.

63

Tout d'abord, le nombre de Reynolds du carburant caractérise la nature du régime de

l'écoulement (laminaire, transitoire, turbulent). Il représente le rapport entre les forces

d'inertie et les forces visqueuses :

PLUL<* R e h = ^ - ^ - (2-16)

Le nombre de Weber de l'écoulement d'air est également un nombre sans dimension et

sert à caractériser l'écoulement de fluides à l'interface d'un système multiphasique. Il

correspond au rapport entre les forces dynamiques qu'exerce le gaz sur le liquide et la

tension superficielle qui agit sur la surface du liquide (équation (1-7)) :

w £ j £ l 00

cr

Nous retrouvons dans la littérature un autre nombre de Weber, prenant en compte

simultanément les deux phases. Il est communément appelé nombre de Weber

aérodynamique (équation (1-14)) :

We =£J*L aero

Un troisième nombre sans dimension, le nombre d'Ohnesorge, caractérise la

déformation de bulles ou de gouttelettes. Il correspond au rapport des forces visqueuses au

sein du jet liquide avec la tension superficielle qui agit sur le liquide. Il s'exprime comme

tel (équation (1-6)) :

oK=—^-w p L ad

Enfin, nous retrouvons fréquemment dans la littérature scientifique le rapport des

quantités de mouvements des deux phases. Il est principalement utilisé avec le nombre de

Weber de l'écoulement gazeux pour évaluer le mode de bris du jet liquide. Il est

usuellement noté q (équation ( 1 -8)) :

64

PJJI

2.1.2.6 Localisation du bris

La localisation du bris du jet de carburant est l'étape majeure venant concrétiser tous les

calculs détaillés jusqu'à présent. En effet, l'étude du comportement du jet liquide dans un

écoulement transversal gazeux doit permettre, au final, de statuer sur le fait si le jet atteint

la paroi en rotation, ou si au contraire il se brise en ligaments et/ou gouttelettes avant

impact.

Les conditions de tests de notre cas d'étude sont à pression et température élevées

(Tableau 2-2). Pour cette raison, parmi les corrélations retrouvées dans la littérature et

résumées pour certaines dans la section 1.2.3.2, nous optons pour celle proposée par

Ragucci et al. (2007). Ce choix s'explique par les conditions de tests utilisées par ces

auteurs (température jusqu'à 600 K, et pression jusqu'à 2 MPa), conditions se rapprochant

sensiblement des conditions présentes dans la cavité de l'atomiseur. Rappelons simplement

ici l'expression de la corrélation concernant la localisation axiale du bris du jet25 (équation

(1-16)):

^ = 3.S5q°™We. d

rjjv.,0.126 aero

,0.202

M, M* ,300K J

2.1.3 Analyse des résultats

Nous avons à présent détaillé l'ensemble des paramètres d'intérêt pour l'étude du jet

liquide soumis à un écoulement transversal gazeux. Dans ce paragraphe, nous allons

présenter les résultats obtenus pour les deux conditions d'opération résumées au Tableau

2-2. Quatre geometries d'orifice du système d'alimentation en carburant seront évaluées,

représentant quatre valeurs de coefficient de décharge CD . L'analyse de ces résultats doit

25 Notons que, en réalité, cette corrélation concerne le point de rupture du jet (jet breakdown). Il correspond au niveau de cohérence de la quantité de mouvement. Les auteurs insistent sur le fait que ce processus de rupture se produit juste en amont du bris du jet, et dorme ainsi une bonne indication sur le bris lui-même.

65

nous permettre d'évaluer les différentes configurations d'injecteur en termes de nombre, de

diamètre et de forme des orifices d'injection, et ainsi opter pour une configuration optimale

au regard du différentiel de pression requis et surtout de la longueur de bris prédite.

Dans un premier temps, visualisons les différents paramètres indépendants de la

configuration choisie (Tableau 2-4). Ces variables caractérisent les deux phases en présence

(air et kérosène liquide).

Tableau 2-4 : Récapitulatifs des paramètres indépendants de la configuration

Tension de surface o 0,0263 N.m"1

Viscosité dynamique de l'air à 300 K P «,300K 1.85E-05 Pa.s Viscosité dynamique du carburant UL 0,0024 Pa.s Masse volumique du carburant à 288 K P L.288K 780 kg.m"3

Température du carburant TL 355 K Masse volumique du carburant PL 729 kg. m"3

Viscosité cinématique du carburant vL 3.29E-06 ~>2 _-1 m .s

DJC ralenti Pression P 180 52 psi Température T 694 463 K Débit massique total 9m 600 165 pph Vitesse de l'écoulement transversal L/- 130 90 m.s Pression P 1.24E+06 3.59E+05 Pa Masse volumique de l'air P- 6,23 2,70 kg.m"3

Viscosité dynamique de l'air 11. 3,31 E-05 2.53E-05 Pa.s Débit massique total de carburant 9m 0,07560 0,02079 kg.s"1

Nous poursuivons la présentation des résultats avec ceux concernant le différentiel de

pression nécessaire à l'injection du débit requis en fonction des diverses configurations

(Tableau 2-5). Afin d'alléger la présentation, le Tableau 2-5 ne comprend que les résultats

pour deux coefficients de décharge différents : l'orifice en mince paroi (CD^ =0,611) et

l'ajutage à entrée arrondie (CD =0,97). Une partie des résultats pour les deux autres

configurations, c'est-à-dire à Cn =0,7 et à Cn =0,81, est néanmoins visible sur la

Figure 2-8 et sur la Figure 2-9. Ces premiers résultats permettent d'ores et déjà d'analyser

et d'éliminer certaines configurations ; toutefois, gardons à l'esprit que la longueur de bris

permettra également d'opter pour une ou plusieurs configurations particulières.

66

Tableau 2-5 : Récapitulatif des différentiels de pression Ap requis

DJC

CD^» = 0,611 Ap (MPa/psi)

d =0,5 mm d = 1 mm d =2 mm

n = 4 17,03(2469,42) 1,06(154,34) 0,07 (9,65)

n = 6 7,57 (1097,63) 0,47 (68,60) 0,03 (4,29)

n « l 4,26(617,42) 0,27 (38,59) 0,02(2,41)

n = 10 2,73 (395,23) 0,17 (24,69) 0,01 (1,54)

n=16 1,06(154,06) 0,07 (9,63) 0,00 (0,60)

CDm j , = 0,97 Ap (MPa / psi)

d = 0,5 mm d = 1 mm d =2 mm

n = 4 6,76 (979,82) 0,42(61,25) 0,03 (3,83)

n = 6 3,00 (435,44) 0,19(27,22) 0,01 (1,70)

n = 8 1,69(244,98) 0,11 (15,31) 0,01 (0,96)

n = 10 1,08(156,76) 0,07 (9,80) 0,00(0,61)

n=16 0,42(61,12) 0,03 (3,82) 0,00 (0,24)

Ralenti

Corn», = 0,611 Ap (MPa/psi)

d = 0,5 mm d = 1 mm d = 2 mm

n =4 1,29(186,93) 0,08(11,69) 0,01 (0,73)

n = 6 0,57(82,81) 0,04 (5,17) 0,00 (0,33)

n = 8 0,32(46,71) 0,02 (2,92) 0,00(0,19)

n=10 0,21 (29,93) 0,01 (1,87) 0,00(0,13)

n =16 0,08(11,68) 0,01 (0,76) 0,00 (0,06)

CD m x = 0,97 Ap (MPa/psi)

d = 0,5 mm d = 1 mm d = 2 mm

n = 4 0,51 (74,16) 0,03 (4,64) 0,00 (0,29)

n = 6 0,23 (32,83) 0,01 (2,06) 0,00 (0,14)

17=8 0,13 (18,54) 0,01 (1,17) 0,00 (0,09)

n=10 0,08(11,88) 0,01 (0,77) 0,00 (0,06)

n=16 0,03 (4,69) 0,00 (0,35) 0,00 (0,03)

Tout d'abord, il est essentiel de rappeler que l'un des avantages d'un injecteur rotatif de

type fronde est l'utilisation d'une pompe à carburant à faible pression, ce qui a pour

conséquences de simplifier le système et de réduire les coûts de fabrication.

D'après Lefebvre (1999), un injecteur à pression de type simplex nécessite des pressions

d'injection de Tordre de 6,89 MPa (1 000 psi). L'objectif est donc d'opérer avec un

injecteur à pression ne dépassant pas 1,72 MPa (250 psi). Notons toutefois qu'une

limitation supplémentaire existe concernant la pression minimale d'injection. En effet,

toujours selon Lefebvre (1999), les injecteurs à orifice simple ne fonctionnent qu'à partir

26 Selon deChamplain & Kretschmer (2009), un injecteur de type simplex est un injecteur où le carburant entre dans une chambre de giration provoquant ainsi un écoulement rotationnel de haute vitesse. Le carburant sort par l'orifice en créant un film mince en forme de cône vide.

67

d'un différentiel de pression de Tordre de 0,14 MPa (21 psi), tandis que, pour Tinjecteur

simplex, le Ap minimal se rapproche de 0,10 MPa (15 psi). En deçà de ces valeurs, le

liquide est éjecté sous la forme d'un jet mince et déformé (« thin distorted pencil » selon

Lefebvre (1989)).

Nous souhaitons donc un différentiel de pression compris entre 0,10 et 1,72 MPa (entre

15 et 250 psi), quelle que soit la condition d'opération. En observant les résultats du

Tableau 2-5, la première conclusion que nous pouvons tirer concerne le diamètre des trous

d'injection. Les limitations précédemment mentionnées nous indiquent que seul un

diamètre de 0,5 mm semble envisageable, un diamètre supérieur provoquant un trop faible

différentiel de pression, notamment au ralenti.

Nous nous apercevons également que, si nous souhaitons respecter ces deux limitations,

les configurations possibles sont peu nombreuses. La Figure 2-8 montre les 14

configurations possibles à DJC pour les 4 formes de trous. Ces configurations permettent

de ne pas dépasser Ap = 1,72 MPa au débit maximal. De plus, en observant les résultats

pour la condition ralenti (Figure 2-9), il est possible de noter que seulement 4 des 14

configurations présentes à la Figure 2-8 permettent de dépasser Ap = 0,10 MPa au ralenti.

Ces 4 configurations sont mises en évidence par des cercles rouges sur la Figure 2-8 et la

Figure 2-9 et sont par ailleurs détaillées dans le Tableau 2-6. Elles permettent donc au final

de maintenir un Ap entre 0,10 et 1,72 MPa, quelque soit la condition d'opération.

68

1,80 <z 5 1,60

.— 1.40 O"

1,20 C o 1.00 v> <v Q- 0,80 V

T3 0,60

C 0.40 u.

-4; 0,20 Q

0,00

i \ \ i \ i V --.. v.

\ \ - * . V

V V V ^

^ * ^ . *

- ■ 1 1 1 1 1 1

8 10 12

Nombre de trous

14 IG

- ♦ - CD.max 0,61

- • - CD.max = 0,7

—*— CD.max = 0,81

-CD.max ^0,97

Figure 2-8 : Variation du différentiel de pression requis en fonction du nombre de trous pour un diamètre de trou égal à 0,5 mm à DJC

rz a .

1 ry

0,35

0,30

g 0,25 w -y 0) %m

S" 0,20 ■o

"s c 0,15

I ( H o

0,10-K--

\ N

_:> x

"sr

3 10 12 14

Nombre de trous

16

- ♦ - CD.max = 0,61

- ■ - CD.max =0,7

—A—CD.max = 0,81

—K- -CD,max^ 0,97

Figure 2-9 : Variation du différentiel de pression requis en fonction du nombre de trous pour un diamètre de trou égal à 0,5 mm au ralenti

69

Tableau 2-6 : Récapitulatif des 4 configurations permettant de respecter les différentiels de pression visés

Nombre de trous

Diamètre (mm)

t-1).nia \ ApàDJC (MPa)

Ap au ralenti (MPa)

lère configuration 8 0,5 0,97 1,69 0,13 2ème configuration 10 0,5 0,81 1,55 0,12 3ème configuration 12 0,5 0,7 1,44 0,11 4eme configuration 14 0,5 0,61 1,39 0,10

À ces valeurs, correspondent des vitesses d'injection calculées à l'aide de la relation

(2-15) et présentées dans le Tableau 2-7.

Tableau 2-7 : Récapitulatif des vitesses d'injection en fonction des configurations et des conditions d'opération

DJC ralenti

U L (m/s) U L (m/s) d = 0,5 mm d = 1 mm d = 2 mm d = 0,5 mm d = 1 mm d = 2 mm

n = 4 132,08 33,02 8,25 n = 4 36,32 9,08 2,27 n = 6 88,05 22,01 5,50 n = 6 24,21 6,05 1,51 n = 8 66,04 16,51 4,13 n = 8 18,16 4,54 1,14

n =10 52,83 13,21 3,30 n =10 14,53 3,63 0,91 n = 1 6 33,02 8,25 2,06 n =16 9,08 2,27 0,57

Grâce à ces vitesses, nous pouvons en déduire la longueur de bris basée sur la corrélation

(1-16) de Ragucci et al. (2007) (Tableau 2-8). La valeur de la longueur de bris est

primordiale car elle doit être supérieure à la distance entre les trous d'injection et la surface

de l'atomiseur, ceci afin d'éviter le bris du jet avant son impact sur ce même atomiseur.

Tableau 2-8 : Récapitulatif des longueurs de bris en fonction des configurations et des conditions d'opération

DJC ralenti

y b (mm) y b (mm) d = 0,5 mm d = 1 mm d = 2 mm d = 0,5 mm d = 1 mm d = 2 mm

n = 4 36,22 19,06 10,03 n =4 15,09 7,94 4,18 n = 6 23,89 12,58 6,62 n = 6 9,95 5,24 2,76 n = 8 17,79 9,36 4,93 n = 8 7,41 3,90 2,05

r) =10 14,15 7,45 3,92 n =10 5,89 3,10 1,63 n =16 8,73 4,60 2,42 n =16 3,64 1,91 1,01

70

En mettant en parallèle ce dernier tableau avec le Tableau 2-6 représentant les 4

configurations possibles au regard des différentiels de pression visés, nous en tirons une

deuxième conclusion majeure concernant la géométrie optimale du système d'alimentation.

En effet, il est nécessaire de préciser que, pour la géométrie actuelle proposée par P&WC,

la distance séparant la sortie du système d'alimentation de carburant et la paroi en rotation

est de 6,78 mm (Figure 2-1). Or, le Tableau 2-8 met en évidence que la longueur de bris ne

dépasse cette valeur - au ralenti - qu'à partir d'une configuration à 8 trous d'injection de

0,5 mm de diamètre. Et d'après le Tableau 2-6, nous pouvons en déduire que la seule

configuration envisageable vis-à-vis de la longueur de bris et des différentiels de pression

se trouve être celle à 8 trous d'injection à entrée arrondie (CD =0,97) de 0,5 mm de

diamètre (Tableau 2-9).

Tableau 2-9 : Récapitulatif des caractéristiques de la configuration optimale proposée

Nombre de trous 8 Diamètre (mm) 0,5

DJC ralenti c D 0,97 0,97

Ap (MPa / psi) 1,69/245 0,13/18,5 UL (m/s) 66 18 yb (mm) 17,8 7,4

Il serait intéressant de terminer l'analyse du comportement du jet liquide dans

l'écoulement transversal d'air en mentionnant le cas où la colonne liquide venait à se briser

avant impact sur la surface rotative. Grâce aux travaux réalisés par Wu et al. (1997), et

Becker & Hassa (2002), présentés à la section 1.2.3.1, nous pouvons évaluer à quel type de

bris nous pouvons nous attendre, le cas échéant. De plus, les valeurs du nombre de Weber

de Tair, ainsi que celles du rapport des quantités de mouvement, que nous obtenons pour

notre cas d'étude (plus particulièrement pour rf = 0,5mm) sont dans des gammes de

valeurs similaires à celles des tests expérimentaux menés par Becker & Hassa (2002). Ces

valeurs sont déterminantes puisqu'elles sont utilisées dans l'élaboration de la carte de

régime de bris, notamment celle représentée à la Figure 1-12. Notons également que ces

tests ont été effectués dans des conditions de pression élevée (jusqu'à 15 bar).

71

Appliquée au cas de l'atomiseur fronde, les cartes de régime de bris donnent les

résultats présentés à la Figure 2-10 pour la condition DJC et à la Figure 2-11 pour le ralenti.

Régime de bris à DJC

100

10

fr 1

0,1

0,01

n=8;d=0,5mm ♦ r)=10;cj=0,5mm Bris de surface

5mm ♦ ♦ n=4;d=1mm ♦ n=6;c/=1mm

n = 8 ; ~

n=16;d=1mm ♦

Bris de colonne

1mm ♦ n = ♦ n=6;d-

n = 8 ; d = 2 m m | n = 1 0 ; d = 2 m m

n=16;d=2mm ♦

100 1000 10000

We

Figure 2-10 : Carte de régime de bris à DJC

Régime de bris au ralenti

100

10

0.1

i,5mm 7=8;d=0,5mm n=10;d=0, nr=16;c/=0,5mm ♦ ♦ n

n=6;d=1mm ♦ .■„ ^ A ♦ n=8;d=1mm

n=10;d=1mm ♦ n=16;d=1mm ♦ ♦ n=4;d=2mm

♦ n=6;d=2mm Bris de colonne n=8;d=2mm | n=io;d=2mm

0,01 I ni-l6;</-'2mm ♦ —■ ' ' ■

Bris de surface

100 1000 10000

We

Figure 2-11 : Carte de régime de bris au ralenti

100000

100000

Nous pouvons constater que, pour la condition DJC (Figure 2-10), le régime de bris

dominant semble être le bris de surface pour ri = 0,5 mm. En ce qui concerne la condition

ralenti (Figure 2-11), toujours pour ce même diamètre, la dominance entre l'un ou l'autre

de ces régimes semble moins évidente, les deux régimes pouvant agir simultanément.

72

Le bris de surface du jet serait le régime le moins souhaitable puisqu'il provoquerait la

formation de fines gouttelettes le long de la colonne liquide. Ces gouttelettes seraient alors

très fortement soumises à l'écoulement d'air transversal du fait de leur faible inertie. Les

conséquences pourraient être néfastes pour le système (evaporation du carburant, auto­

allumage) et restent à évaluer.

2.1.4 Cas de l'évaporation instantanée

2.1.4.1 Qu'est-ce que l'évaporation instantanée ?

Dans une dernière partie, nous cherchons à présent à déterminer si, dans les conditions

de notre cas d'étude, nous pouvons être en présence d'évaporation instantanée à la sortie du

système d'alimentation en carburant.

D'un point de vue thermodynamique, l'évaporation instantanée se produit lorsqu'un

liquide subit une chute de pression soudaine, passant ainsi sous la pression de vapeur

saturée (pour les substances pures) ou sous la pression de vapeur d'équilibre (pour les

mélanges) correspondant à la température du liquide. Dans des conditions adiabatiques, une

partie du liquide s'évapore pour regagner l'équilibre. Cette partie tire sa chaleur latente de

vaporisation du liquide restant, dont la température chute vers la température de saturation

(pour les substances pures) ou vers la température d'équilibre (pour les mélanges)

correspondant à la pression la plus faible (celle après la détente).

Ce caractère instantané a lieu lorsque la température du liquide dépasse un certain degré

de surchauffe (différence entre la température de la vapeur surchauffée et la température de

vaporisation). Autrement dit, l'instantanéité est un phénomène observé lorsque les

conditions du milieu ambiant changent brusquement et deviennent inférieures aux

conditions de saturation. Dans ces nouvelles conditions, le liquide, initialement à

l'équilibre, devient surchauffé, et toute l'énergie ne peut plus être contenue dans le liquide

comme chaleur sensible, le surplus de chaleur étant converti en chaleur latente de

vaporisation. La température du liquide baisse rapidement vers la température d'équilibre

(ou vers la température de saturation); par conséquent, le degré de surchauffe peut être

73

défini comme A7 = T^ — TM . Rappelons que 7 , est défini comme étant la température

de saturation correspondant à la pression de vapeur en aval de l'injection (donc pour la

pression la plus faible).

Comme nous l'indique la Figure 2-12 de Szetela et al. (1982), le chemin B représente

l'évaporation instantanée. Le carburant est chauffé sous forme liquide jusqu'à l'intersection

entre la ligne liquide et la ligne horizontale passant par le point de rosée ou dew point en

anglais (DP sur la Figure 2-12). Cette jonction représente la pression du carburant requise,

P2, ainsi que la température requise permettant la vaporisation instantanée. Une fois

chauffé, le carburant passe par un orifice d'étranglement. L'étranglement combiné à des

conditions adiabatiques est un processus à iso enthalpie permettant d'atteindre les

conditions correspondant au point V (ou point de rosée DP). La chute de pression à travers

l'étranglement vaut p2—P\ et la chute de température T2-Tx .

Température

Figure 2-12 : Processus thermodynamique de l'évaporation instantanée (Szetela et al., 1982)

74

2.1.4.2 Application au cas d'étude

Rappelons que les conditions de tests sont les suivantes

Tableau 2-10 : Rappel des conditions de test

DJC ralenti p (kPa / bar) 1241 /12,41 359/3,59 -TL(K) 355 355

Pour évaluer le comportement du jet de carburant, nous devons connaître certaines

caractéristiques thermodynamiques du carburant (point d'ébullition, point de rosée). Pour

cela, nous nous basons sur les travaux de Lee et al. (2009) qui utilisèrent un modèle de

substitut simulant le carburant militaire JP-8. Les résultats présentés dans leur article sont

fournis à la Figure 2-13.

Ici, nous connaissons la pression du milieu ambiant d'air p. Nous cherchons à

déterminer la température minimale du carburant permettant l'évaporation instantanée.

Comme nous l'avons mentionné précédemment, le degré de surchauffe du liquide doit être

positif. Conséquemment, la température initiale du carburant doit être supérieure à la

température de saturation du liquide (représentée dans le graphique ci-dessous par la courbe

du point de rosée).

À l'aide de la Figure 2-13, nous pouvons évaluer les températures des points de rosée

pour les deux conditions d'opération. Pour la condition ralenti où /? = 359kPa

(/? = 3,59bar), le point de rosée se situe à une température d'environ 540 K. Quant à la

condition DJC où p = 1241kPa ( p = 12,41 bar), le point de rosée est à environ 630 K.

75

100

10

1 a.

ai

! ■ 1 T - 1 "~• T-• • 1

12,41 bar .

\

r

! 3,59 bar y _ ^ 4*

y y 4*

1

y^ *

r Point de bulle y f

/ / Point de rosée

t

l l . 1 1

300 400 5 0 0 540 K <i00 630 K T1K|

700

Figure 2-13 : Caractéristiques thermodynamiques du substitut simulant du JP-8 (Lee et al., 2009)

À la vue de ces résultats, il apparaît évident que la température d'injection du carburant

(355 K) est bien inférieure à ces températures minimales d'évaporation instantanée. Il est

donc fort probable que le carburant ne s'évapore pas instantanément suite à la chute de

pression lors de son injection dans la cavité de l'atomiseur fronde.

En revanche, d'autres phénomènes d'évaporation autres que l'évaporation instantanée

peuvent se produire par la suite. Citons comme exemple l'évaporation des gouttelettes dans

le milieu ambiant chaud avant l'impact sur le disque rotatif, ou encore lors de leur impact

sur ce même disque (ces exemples impliquent évidemment que le jet se brise en

gouttelettes avant d'atteindre la paroi solide). Malgré leur caractère crucial, ces

phénomènes ne seront pas traités dans la suite de ce mémoire du fait de la faible probabilité

de bris basée sur les calculs de la section 2.1.3. Toutefois, lors de la phase de conception

d'un atomiseur fronde, ces types d'évaporation de carburant ne peuvent être négligés et

doivent être maitrisés afin d'assurer la fiabilité du système.

76

2.2 Modélisation numérique MFN

La recherche effectuée dans le cadre de cette maîtrise se concentrait principalement sur

la modélisation MFN. Le recours aux calculs numériques MFN a été motivé par la

détermination de l'épaisseur du film de carburant liquide se développant sur la surface

rotative de l'atomiseur. Comme nous l'avons expliqué préalablement, cette valeur influe

directement sur la taille des gouttelettes générées dans la chambre de combustion. Or, d'un

point de vue expérimental, il n'est pas aisé de mesurer précisément cette épaisseur sur un

appareil rotatif opérant à de grandes vitesses de rotation. Nous avons ainsi exposé à la

section 1.3 plusieurs modèles théoriques permettant d'évaluer l'épaisseur d'un film liquide

sur un disque rotatif. De ce fait, la modélisation MFN prend toute son importance et

possède deux objectifs intimement reliés : la détermination d'une méthodologie de calcul

fiable, et la validation du code de calcul FLUENTMD au regard de la prédiction des

épaisseurs de film liquide.

2.2.1 Écoulements multiphases

Nous sommes donc en présence d'un problème diphasique : un écoulement liquide se

déplace dans un écoulement gazeux. Les deux phases interagissent et sont soumises aux

effets de la rotation de l'atomiseur. À ce propos, il existe plusieurs régimes multiphases

impliquant un gaz et un liquide :

• écoulement de bulles (Figure 2-14b) : il s'agit de bulles gazeuses discrètes dans un

milieu liquide continu ;

• écoulement de gouttelettes (Figure 2-14b) : il s'agit ici de gouttelettes liquides

discrètes dans un milieu gazeux continu ;

• écoulement aggloméré (Figure 2-14a) : il s'agit de larges bulles dans un milieu

liquide continu ;

27 Se dit des phénomènes discontinus et énumérables, des données composées d'éléments distincts, ou encore des grandeurs ne pouvant prendre qu'un nombre fini de valeurs identifiables séparément.

77

9R 90

écoulement stratifié / écoulement à surface libre (Figure 2-14c) : il s'agit de

fluides non miscibles séparés par une interface parfaitement définie.

\S\J (a) (b) (c)

Figure 2-14 : Régimes d'écoulements multiphases de type gaz-liquide : (a) aggloméré, (b) bulles ou gouttelettes, (c) stratifié ou à surface libre (Fluent Inc., 2006)

À la vue de cette classification, nous en déduisons que notre problème actuel se

rapporte à un écoulement à surface libre. En effet, la position de l'interface entre les deux

phases non miscibles est d'un grand intérêt puisque c'est précisément grâce à celle-ci que

nous pouvons évaluer l'épaisseur de la phase liquide sur la surface solide en rotation.

Connaissant le type d'écoulement multiphase, il est alors possible de déterminer le modèle

numérique approprié afin de traiter correctement le problème en question.

2.2.2 Modèles numériques multiphases

2.2.2.1 Généralités

À ce sujet, il est essentiel de préciser qu'il existe actuellement deux approches pour les

calculs numériques d'écoulements multiphases : l'approche Euler-Lagrange et l'approche

Euler-Euler. La première citée est nommée dans FLUENTMD modèle de la phase discrète

(discrete phase model). La première phase gazeuse (ou liquide) est traitée comme un

2» Type d'écoulement diphasique à faible vitesse dans les conduites horizontales : le gaz à la partie supérieure et le liquide à la partie inférieure, la surface libre du liquide restant plane. 29 Écoulement en canal avec surface libre en contact avec l'atmosphère, y compris l'écoulement dans les tuyaux et les conduites partiellement remplis.

78

continuum en résolvant les équations de Navier-Stokes moyennées, tandis que la seconde

phase discrète est résolue en suivant la trajectoire d'un grand nombre de particules, bulles

ou encore gouttelettes à travers le champ d'écoulement. L'hypothèse fondamentale de ce

type de modèle est le faible volume occupé par la seconde phase discrète. Les trajectoires

sont ainsi calculées individuellement à des intervalles spécifiés par l'utilisateur, en même

temps que le calcul de la première phase. Cette description indique clairement le caractère

approprié de ce modèle pour la modélisation, par exemple, de pulvérisateur, ou encore de

combustion de liquide ou de charbon, mais inapproprié pour la modélisation de mélanges

liquide-liquide, de lits fluidisés, ou tout autre problème où la fraction volumique de la

seconde phase n'est pas négligeable. Nous en déduisons donc que l'approche Euler-

Lagrange ne semble pas envisageable pour notre cas d'étude où justement le calcul de la

position de l'interface entre les deux phases est essentiel.

De ce fait, nous nous intéressons à présent à la deuxième approche possible : la méthode

Euler-Euler. Dans celle-ci, les différentes phases sont traitées mathématiquement comme

des continuums interpénétrants. Et comme le volume d'une phase ne peut être occupé par

d'autres phases, le concept de fraction volumique des phases est introduit. Ces fractions

volumiques sont des fonctions continues dans le temps et dans l'espace et leur somme est

égale à l'unité. Les équations de conservation pour chaque phase sont dérivées afin

d'obtenir un ensemble d'équations ayant la même structure pour chacune des phases en

présence. Ce système d'équation est fermé grâce à des relations constitutives obtenues

empiriquement.

Dans FLUENTMD, il existe trois modèles multiphases de type Euler-Euler. Le premier

est nommé le modèle de mélange (Mixture Model) et est conçu pour traiter deux phases ou

plus. Ce modèle résout les équations de quantité de mouvement, de continuité et d'énergie

pour le mélange et impose des vitesses relatives dans le but de représenter les phases

dispersées. Les applications classiques de ce modèle numérique concernent les écoulements

de bulles où la fraction volumique de la phase gazeuse demeure faible, les problèmes de

sédimentation, ou par exemple de séparateurs cyclones30. Le modèle de mélange permet en

30 Un séparateur cyclone est un dépoussiéreur utilisant essentiellement la force centrifuge pour séparer des fines particules en suspension dans Tair ou dans n'importe quel autre gaz.

79

outre de modéliser des écoulements multiphases homogènes en appliquant une vitesse

relative nulle entre les phases dispersées.

Le deuxième modèle de type Euler-Euler est sans aucun doute le plus complexe

proposée par FLUENTMD : le modèle Eulérien (Eulerian Model). Il résout un ensemble de

n équations de conservation de la quantité de mouvement et de continuité pour chaque

phase. En revanche, un seul et unique champ de pression est partagé par toutes les phases et

le couplage s'effectue au travers de ce paramètre. À ce propos, la manière dont est géré ce

couplage dépend du type de phases analysées : on retrouve ainsi des différences entre les

écoulements granulaires (fluide-solide) et les écoulements non-granulaires (fluide-fluide).

Pour des écoulements granulaires, les propriétés permettant la fermeture du système

d'équations sont obtenues grâce à l'application de la théorie cinétique. Les applications

possibles de ce modèle peuvent être la modélisation de colonnes de bulles, de colonnes de

montée31, de particules en suspension, ou de lits fluidisés.

Le troisième et dernier modèle de type Euler-Euler disponible dans FLUENTMD retient

toute notre attention. Ce modèle, dénommé modèle Volume de Fluide (VOF ou Volume of

Fluid Model), est en réalité une technique de repérage d'interface appliquée à une grille

fixe Eulérienne. Il est conçu pour deux fluides non miscibles ou plus, où la position de

l'interface entre les phases est d'intérêt. Dans ce modèle, un seul ensemble d'équations de

conservation de quantité de mouvement est partagé par les phases, et la fraction volumique

des phases est calculée dans chaque cellule numérique du domaine, ce qui permet de

« traquer » cette fameuse interface. Parmi les applications envisageables, citons notamment

les écoulements stratifiés, les écoulements à surface libre, les problèmes de ballottement32,

le mouvement de larges bulles dans un milieu liquide, ou encore la prédiction d'un bris de

jet dû à la tension de surface.

En observant les caractéristiques de ces trois modèles multiphases, il est apparu que le

modèle VOF comportait les caractéristiques les plus intéressantes, susceptibles de simuler

31 Dans un appareil où s'effectue une réaction chimique au moyen d'un catalyseur maintenu en fluidisation, la colonne de montée désigne la partie de la tuyauterie dans laquelle le catalyseur est remonté pneumatiquement dans la chambre de réaction. 32 Le phénomène de ballottement fait référence aux oscillations à basses fréquences d'un liquide dans son réservoir lorsque celui-ci est partiellement rempli et soumis à des accélérations.

80

correctement notre cas d'étude, à savoir un jet liquide dans un milieu ambiant gazeux. De

plus, comme précédemment exposé, nous cherchons à évaluer l'épaisseur de la phase

liquide sur la paroi solide, d'où l'importance de modéliser au mieux l'interface entre les

deux phases. En conséquence, nous allons procéder dans les pages qui suivent à une

présentation plus exhaustive de ce modèle VOF et de ses spécificités.

2.2.2.2 Modèle VOF

La formulation VOF repose sur le fait que les fluides en présence (au minimum deux)

ne s'interpénétrent pas. À cet effet, pour chaque phase, une variable est introduite : la

fraction volumique de la phase dans la cellule numérique. Pour chaque volume de contrôle,

la somme des fractions volumiques est égale à 1 (voir équation (2-18)). Les champs pour

toutes les variables et les propriétés sont partagés par les phases et représentent des valeurs

moyennes volumiques. En somme, cela signifie que les variables et propriétés dans

n'importe quelle cellule du domaine sont soit purement représentatives d'une des phases,

soit représentatives d'un mélange de phases, dépendamment des valeurs des fractions

volumiques. En d'autres termes, si la fraction volumique de la q'eme phase est dénotée aq,

alors les trois conditions suivantes sont observables :

• aq = 0 : la cellule ne contient pas la q'eme phase ;

• arq = 1 : la cellule ne contient que la q'eme phase ;

• 0<<arq <1 : la cellule contient l'interface entre la <jr'eme phase et une ou plusieurs

autres phases.

En fonction de la valeur locale de la fraction volumique aq, les propriétés et variables

appropriées sont assignées à chaque volume de contrôle du domaine.

Maintenant que nous avons vu le principe de fonctionnement de ce modèle VOF, il

serait intéressant d'expliciter les diverses équations qui le composent.

81

2.2.2.2.1 Fraction volumique

Le suivi de l'interface entre les phases est possible grâce à la résolution de l'équation de

continuité pour la fraction volumique de chaque phase. Pour la q'eme phase, cette équation

prend la forme suivante :

J_ A,

cl a*p a + v - a

a p y qr-q q p=\

m m - m < v (2-17)

où m est le transfert de masse de la phase q à la phase p, et m le transfert de masse de

la phase p à la phase q. Par défaut, le terme source Sn est égal à zéro, mais il est possible q

de spécifier une constante ou une fonction définie par l'utilisateur afin de simuler le

transfert de masse entre les phases.

L'équation de la fraction volumique n'est pas résolue pour la phase primaire (ou

principale). En revanche, elle est calculée en respectant la contrainte suivante :

! « , = ! (2-18)

L'équation de la fraction volumique (2-17) peut être résolue par discrétisation

temporelle de manière implicite ou explicite. La différence majeure entre ces deux

discrétisations provient du fait que la discrétisation implicite requiert les valeurs des

fractions volumiques au pas de temps en cours, plutôt que celles au pas de temps précédent

comme dans le cas d'une discrétisation explicite. Ainsi, dans le cas implicite, une équation

de transport scalaire est résolue de manière itérative pour chaque fraction volumique des

phases secondaires, et ceci à chaque pas de temps. L'équation (2-17) prend alors la forme

suivante pour respectivement la discrétisation temporelle implicite et explicite :

n+\ _n+l

At V + L P * Uf ",,/ -p=\

™ n - K +Sa (2-19)

82

„n+l „n+ cc p

q r « <pl

qr^q Ar f m n - m HP + S„ (2-20)

où l'exposant n + 1 représente le pas de temps en cours, n le pas de temps précédent, a ,

la valeur centrale de la fraction volumique de la q'eme phase, V le volume de la cellule, et

Uf le flux volumique à travers la surface de la cellule, basé sur la vitesse normale.

Pour terminer sur les fractions volumiques, il est intéressant de mentionner qu'il existe

sept approches de discrétisation spatiale disponibles pour le modèle multiphase VOF.

Concernant cinq d'entre elles (First Order Upwind, Second Order Upwind, QUICK,

Modified HRIC pour High Resolution Interface Capturing, et CICSAM pour Compressive

Interface Capturing Scheme for Arbitrary Meshes), il n'y a pas de différences entre les

cellules totalement remplies (ou totalement vides) d'une phase et les cellules partiellement

remplies de cette même phase. En revanche, deux approches permettent l'application d'une

interpolation spécifique pour les cellules contenant l'interface. La première, nommée

Geometric Reconstruction, se base sur les travaux de Youngs (1982). Elle suppose que

l'interface entre les phases possède une pente linéaire au sein de chaque cellule, cette

caractéristique linéaire servant ainsi à calculer Tadvection du fluide à travers les surfaces

de la cellule (Figure 2-15b). La deuxième approche, connue sous le nom de Donor-

Acceptor (Hirt & Nichols, 1981), identifie une cellule comme « donneur » d'une certaine

quantité de fluide d'une phase, et reconnaît la cellule voisine comme « accepteur » de cette

même quantité de fluide (Figure 2-15c). Cette interpolation est reconnue pour éviter au

maximum la diffusion numérique au niveau de l'interface. Durant cette maîtrise, les

discrétisations Geometric Reconstruction et Modified HRIC furent testées, cette dernière

ayant été finalement privilégiée (voir Annexe A pour de plus amples précisions).

33 Rappelons que Tadvection signifie le transfert des propriétés par le mouvement naturel d'une masse.

83

j X

/

/

à '

/

y

/

/

A /

/ (a) (b) (c)

Figure 2-15 : Interpolation au niveau de l'interface : (a) interface réelle, (b) interpolation Geometric Reconstruction, (c) interpolation Donor-Acceptor (Fluent Inc., 2006)

2.2.2.2.2 Propriétés

Les propriétés apparaissant dans les équations de transport sont évaluées en fonction des

phases présentes dans chaque volume de contrôle. Par exemple, pour un système

diphasique, si les phases sont représentées par les indices 1 et 2, et si la fraction volumique

de la seconde phase représente celle « traquée », alors la masse volumique dans chaque

cellule est donnée par :

p = a2p2 + 1 - a2 px (2-21)

De façon générale, pour un système à n phases, la masse volumique dans chaque cellule

prend la forme suivante :

P ^ W (2-22)

Toutes les autres propriétés, telles les viscosités, sont calculées de cette manière.

2.2.2.2.3 Quantité de mouvement

Une seule et unique équation de la quantité de mouvement est résolue à travers tout le

domaine, et, de ce fait, le champ de vitesse résultant est partagé par toutes les phases.

84

L'équation en question dépend des fractions volumiques des phases qui s'expriment ici au

travers des propriétés p et fi (voir équation (2-22)) :

— pv +V- pvv =-Vp + v T / / Vv + Vv7" ~\ + pg (2-23) dt L J

La limitation majeure de l'approximation du champ de vitesse partagé se produit

lorsque nous sommes en présence de très grandes différences de vitesse entre les phases. À

ce moment-là, la précision des vitesses calculées proche de l'interface peut s'en trouver

affectée.

2.2.2.2.4 Énergie

L'équation d'énergie, également partagée par toutes les phases, s'exprime comme suit :

— pE + V- v pE + p = V- keftVT +Sh (2-24) dt

Le modèle VOF définit l'énergie E et la température Tde la manière suivante :

E = —n (2-25)

f - l

Notons dans cette dernière équation que, pour chaque phase, Eq se base sur la chaleur

spécifique de la phase et sur la température partagée, et que les propriétés p et keff

(conductivité thermique effective) sont partagées par les phases. Quant au terme source Sh,

il contient l'apport de la radiation, ainsi que toute autre source de chaleur volumétrique.

Enfin, comme pour la quantité de mouvement, la précision des résultats sur les valeurs de

température proche de l'interface se trouve limitée en présence de grandes différences de

température entre les phases.

85

2.2.2.2.5 Tension de surface

Le modèle VOF permet également de modéliser les effets de tension de surface le long

de l'interface entre chaque paire de phase. Ce phénomène est le résultat des forces

attractives entre les molécules d'un fluide. Considérons par exemple une bulle d'air dans de

Teau. Au sein de la bulle, le bilan des forces sur une molécule, en ne considérant que les

molécules voisines, est égal à zéro. En revanche, à la surface de cette bulle, la force nette

est dirigée radialement vers l'intérieur de la bulle, et l'effet combiné des composantes

radiales de cette force sur l'entière surface sphérique provoque la contraction de la surface,

augmentant ainsi la pression sur la partie concave de cette surface. La tension de surface est

donc la force, agissant uniquement à la surface, requise pour maintenir l'équilibre des

forces. Elle agit dans le but de compenser la force attractive intermoléculaire (dirigée

radialement vers l'intérieur) avec la force induite du gradient de pression à travers la

surface (dirigée radialement vers l'extérieur).

L'importance des effets de tension de surface peut être évaluée en se basant sur deux

nombres adimensionnés : le nombre de Reynolds Re et le nombre de capillarité Ca, ou

encore le nombre de Reynolds Re et le nombre de Weber We. Pour des cas où le nombre de

Reynolds est suffisamment petit, R e « 1, la quantité d'intérêt est le nombre de capillarité :

Ca = ^ (2-26)

Tandis que pour des nombres de Reynolds élevés, R e » 1, la quantité d'intérêt devient le

nombre de Weber We = pLU^/cr. En ce sens, les effets liés à la tension de surface peuvent

être négligés pour Ca » 1 ou pour W e » 1.

Dans FLUENTMD, la tension de surface est introduite grâce au modèle proposé par

Brackbill et al. (1992). Avec ce modèle, un terme-source est ajouté dans l'équation de la

quantité de mouvement (équation (2-23)). Afin de mieux comprendre l'origine de ce terme

supplémentaire, analysons le cas particulier où la tension de surface est constante le long de

la surface, et où uniquement les forces normales par rapport à l'interface sont considérées.

Il peut être alors démontré que la chute de pression à travers la surface dépend du

86

coefficient de tension de surface o, et de la courbure de la surface mesurée à l'aide de deux

rayons orthogonaux R\ et Ri :

P i - P i = ° — + — KR, R2 J

(2-27)

oùp\ et/72 représentent les pressions des deux fluides de chaque côté de l'interface.

De cette manière, dans FLUENTMD, la courbure est déterminée à l'aide des gradients

locaux à la surface, dans la direction normale à l'interface. Posons n comme étant cette

normale, définie comme le gradient de aq, la fraction volumique de la q'eme phase :

n = V«q (2-28)

La courbure K s'écrit alors grâce à la divergence du vecteur unité normal :

K = V h (2-29)

avec h = nj\n\.

Comme mentionné précédemment, la tension de surface peut être exprimée en fonction

de la chute de pression à travers la surface. La force à cette même surface peut être déduite

du théorème de la divergence. La force volumique obtenue correspond au terme-source

ajouté à l'équation de la quantité de mouvement (équation (2-23)), et possède la forme

suivante :

vo1 -4 °11 1 (2-30) pmrsij.Kj P + p .

Si Ton retrouve uniquement deux phases dans une cellule, alors /r, = - K } et

Va, = -Vctj, et l'équation (2-30) se simplifie pour devenir :

87

* . - « « V a ' vol // j /2-31)

où p représente la masse volumique moyenne calculée grâce à l'équation (2-22).

2.2.2.2.6 A ngle de contact

Pour terminer la revue des équations régissant le modèle multiphase VOF, ajoutons

qu'il existe une option permettant de spécifier un angle de contact conjointement avec le

modèle de tension de surface. Ce modèle, également tiré des travaux de Brackbill et al.

(1992), simule l'adhérence à la paroi du fluide concerné. Au lieu d'imposer cette condition

limite à la paroi même, l'angle de contact qu'est supposé faire le fluide avec la surface

solide est utilisé pour adapter la normale à la surface dans les cellules près de la paroi

(Figure 2-16). La conséquence de cette condition limite dynamique est l'ajustement de la

courbure de la surface proche du mur.

En résumé, si #w représente l'angle de contact, alors la normale à la surface de la cellule

au contact de la paroi s'écrit comme suit :

» = "wcos0w+;wsinc?w (2_32)

où «w and /w correspondent respectivement aux vecteurs unités normal et tangentiel. La

combinaison de cet angle de contact avec la normale à la surface calculée de manière

standard une cellule après la paroi détermine la courbure locale de la surface, cette courbure

étant intégrée dans le calcul de la tension de surface.

88

, - HUILE interface

MUR MUR

Figure 2-16 : Deux façons de mesurer Tangle de contact (Fluent Inc., 2006)

Dans ce deuxième chapitre, nous venons de détailler la théorie utilisée et mise en place

durant cette maîtrise. Afin d'étudier le comportement du jet liquide dans la cavité de

l'atomiseur, il était essentiel dans un premier temps de s'attarder sur l'alimentation du

carburant dans cette même cavité. De cette analyse, il a été possible d'en déduire une

configuration optimale permettant d'assurer la formation du jet atteignant la surface de

l'atomiseur sans se briser. Par la suite, le principal mandat de la recherche concernait

l'étude numérique MFN de la phase liquide au contact de la paroi en rotation de

l'atomiseur. Nous avons donc explicité le modèle numérique adopté avec le code de calcul

FLUENTMD. Celui-ci, dénommé VOF, a contribué à l'analyse du film liquide se

développant sur la surface rotative. Toutefois, il a été nécessaire au préalable de valider ce

modèle numérique pour ce cas d'études précis. À cet effet, de nombreux calculs ont été

effectués et les résultats, aussi bien de la validation du code de calcul que de la géométrie

de P&WC, sont présentés dans le troisième et dernier chapitre. Une méthodologie de calcul

sera ainsi déduite et exposée, et des recommandations seront formulées en conclusion dans

l'optique de futurs calculs multiphases impliquant le modèle VOF.

Chapitre 3 Résultats et discussion

Le troisième et dernier chapitre de ce mémoire s'inscrit dans une démarche logique

entamée dans les chapitres précédents. Le premier a permis de s'immiscer dans

l'environnement scientifique propre à ce projet de recherche, notamment les injecteurs

rotatifs et les phénomènes de bris et d'épaisseur de film. Quant au deuxième volet, sa

présence nous a aidés à mieux comprendre la théorie fondamentale - aussi bien analytique

que numérique - que nous avons utilisée pour aboutir à des résultats exploitables et

d'intérêt.

A cet effet, ce dernier chapitre est entièrement consacré aux résultats numériques

obtenus dans le cadre de cette maîtrise, ainsi qu'à leur analyse complète. Il est évident que

les premiers travaux n'ont pas immédiatement concerné le cas d'étude réel suggéré par

P&WC, et de nombreuses études, pour la plupart infructueuses, ont dû être menées dans

l'optique de parvenir à des conclusions probantes. Nous nous proposons donc de détailler le

cheminement effectué en présentant successivement les trois études majeures ayant conduit

à des résultats utilisables, qu'ils soient positifs ou négatifs.

La première étude se rapporte plus spécifiquement à la problématique de la

conservation du débit du modèle multiphase VOF. La validation qualitative et quantitative

du code de calcul en termes de prédiction d'épaisseur de film est abordée dans la deuxième

étude. Enfin, la géométrie réelle, mandat principal de la recherche, est traitée dans la

troisième étude. De ces analyses, il en découlera une série de recommandations et de

conseils en vue d'une éventuelle poursuite du travail.

3.1 Conservation du débit

3.1.1 Présentation de l'étude

Cette première étude a pour but de mieux comprendre comment le modèle multiphase

VOF gère la conservation des débits des deux phases. La notion de conservation de la

masse - et donc des débits - est d'une importance cruciale lors de l'étude de l'épaisseur du

90

film de liquide. En effet, l'épaisseur du film de liquide est directement proportionnelle au

débit d'entrée. Plus la précision est accrue sur la conservation du débit, plus la précision sur

la valeur de l'épaisseur sera accrue également. Ajoutons également que la conservation de

la masse est un critère souvent utilisé en MFN car il représente généralement un critère

fiable pour estimer le degré de convergence des solutions obtenues. Ces dernières

remarques expliquent donc l'intérêt de retenir la conservation de la masse afin d'évaluer les

divers modèles de maillage et numériques exposés par la suite.

3.1.1.1 Domaine

Cette étude a été réalisée en deux dimensions afin de minimiser les temps de calcul, et

de comprendre plus facilement le comportement de ce modèle multiphase avant de

s'engager pleinement dans les simulations 3D. Deux geometries ont été réalisées : la

première sans boîte d'entrée (Figure 3-la), la deuxième avec (Figure 3-lb). La raison de la

présence de la boîte d'entrée sera abordée dans les prochaines lignes de ce mémoire. Les

flèches de couleur bleue indiquent la trajectoire du jet de carburant. Les dimensions du

domaine principal sont de 5x5mm. Quant à la boîte d'entrée, ses dimensions sont de

2x1 mm.

Trois types de calcul sont abordés dans cette première étude. Le premier consiste en un

simple jet de carburant traversant un milieu ambiant d'air au repos (Figure 3-2a). Le

deuxième repose sur un jet de carburant impactant une paroi fixe (Figure 3-2b). Enfin, le

dernier type de simulation propose un jet de carburant impactant une paroi en rotation

tournant à 30 000 rpm (Figure 3-2b). La Figure 3-2 nous montre le champ des fractions

volumiques de la seconde phase. Les cellules ayant une fraction volumiques égale à 1 (en

rouge) sont remplies de carburant, tandis que celles ayant une fraction volumique égale à 0

(en bleu) sont totalement vides de carburant, et contiennent donc la première phase, Tair.

91

Injection de la 2 phase (carburant)

Condition de sortie (pour les 2 phases)

Condition de sortie ou paroi solide (fixe ou rotative)

Axe de symétrie

(a)

Injection de la 2nde

phase (carburant)

Paroi fixe

tn*-*

Condition de sortie (pour les 2 phases)

Condition de sortie ou paroi solide (fixe ou rotative)

Figure 3-1 : Schémas des domaines d'étude : (a) sans boîte d'entrée, (b) avec boîte d'entrée

92

■ i.lle-IC ï.54e-ll g. l l r - l l S.Mr II M l * - l t t M u II M l a - l l I .SIt- l t l i l t 11 i .Mr -11 i . l l r l l « . H e l l 4. l le- l t 3 . Ç l e l l 3-11» Il 2 M t - l t ::.itt i ! 1 J H - I I i j l e - l t 5-lle-fc ■ . l i f t :

(a) (b) Figure 3-2 : Visualisation des types de calcul effectués pour l'étude sur la conservation du

débit : (a) jet traversant un milieu ambiant d'air au repos, (b) jet impactant un disque stationnaire ou en rotation

3.1.1.2 Conditions de tests

Il existe de nombreux paramètres qui peuvent influencer la qualité des résultats, des

paramètres aussi bien du maillage que numériques. Quatorze tests ont été effectués pour

cette étude afin de mieux saisir et d'évaluer les effets de ces paramètres sur la conservation

du débit, et par conséquent sur l'épaisseur du film. À ce propos, il est important de ne faire

varier qu'un paramètre à la fois dans le but d'estimer individuellement l'influence de

chaque élément. Cependant, dans un souci d'uniformité, certains réglages sont communs à

tous les calculs et sont exposés dans le Tableau 3-1.

Tableau 3-1 : Récapitulatif des conditions de tests sur la conservation du débit

Pression statique à l'entrée 101 325 Pa Débit massique de la seconde phase 0,009 kg/s Viscosité cinématique de la seconde phase (kérosène liquide) SxlO'W/s Masse volumique de la seconde phase (kérosène liquide) 780 kg/m3

Intensité de turbulence à l'entrée 10% Diamètre hydraulique à l'entrée 0,002 m Pression de sortie 101 325 Pa Intensité de turbulence en sortie 10% Diamètre hydraulique en sortie 0,01 m Tension de surface 0,026 3 N/m Discrétisation temporelle du modèle VOF Explicite Discrétisation spatiale du modèle VOF Geo-Reconstruct

93

Tous les calculs sont réalisés en régime instationnaire, et le temps réel de la simulation

est de IO"2 s, ce qui laisse le temps à l'écoulement de carburant de s'établir pleinement le

long de la surface. Le pas de temps est ajusté automatiquement par le code de calcul en

fonction de la vitesse de l'écoulement et de la taille des cellules que traverse ce même

écoulement. Quant aux effets de la température, ils ne sont pas pris en compte pour cette

étude; l'équation d'énergie est par conséquent désactivée en tout temps. Enfin, pour les

calculs impliquant la paroi rotative, ceux-ci ont été effectués en axisymétrique

(Axisymmetric Swirl) afin de prendre en compte l'effet de rotation.

Les paramètres évalués, quant à eux, peuvent être regroupés en fonction des tests

réalisés (Tableau 3-2). Lors de l'analyse des résultats à la section 3.1.2, nous nous

référerons à cette classification afin de faciliter la lecture et la compréhension. Concernant

les maillages utilisés, plusieurs ont été nécessaires pour ces différents tests, chacun ayant

ses caractéristiques propres (voir Annexe B). Notons qu'il s'agit dans tous les cas de

maillages structurés, composés exclusivement d'éléments quadratiques.

Tableau 3-2 : Récapitulatif des 14 tests de l'étude sur la conservation du débit

Numéro du test Titre du test Paramètre(s) testé(s)

0 Écoulement d'air en présence d'une surface en rotation Conservation du débit d'air

1 Jet de carburant traversant un milieu ambiant d'air au repos Sans boîte d'entrée

2 Jet de carburant traversant un milieu ambiant d'air au repos Avec boîte d'entrée

2bis Jet de carburant traversant un milieu ambiant d'air au repos 1er raffinement autour de l'interface

4 Jet de carburant traversant un milieu ambiant d'air au repos

Maillage dense dans la zone de l'interface

7 Jet de carburant impactant un disque rotatif (30 000 rpm) Raffiné avec couche limite 1

8 Jet de carburant impactant un disque rotatif (30 000 rpm) Maillage non raffiné

9 Jet de carburant impactant un disque rotatif (30 000 rpm) Raffinement complet du maillage

94

10 Jet de carburant impactant un disque rotatif (30 000 rpm) Raffiné avec couche limite 2

11 Jet de carburant impactant un disque rotatif (30 000 rpm) Modèle de turbulence « Standard k-e »

12 Jet de carburant impactant un disque rotatif (30 000 rpm) Modèle de turbulence « RNG k-e »

13 Jet de carburant impactant un disque rotatif (30 000 rpm) Modèle de turbulence « Standard k-co »

14 Jet de carburant impactant un disque rotatif (30 000 rpm) Modèle de turbulence « k-co SST »

16 Jet de carburant impactant un disque rotatif (30 000 rpm) Modèle de turbulence « RSM »

3.1.1.3 Implications du modèle VOF

De la théorie du modèle multiphase VOF détaillée précédemment (voir section 2.2.2.2),

il est déjà possible d'en tirer certaines conclusions. Tout d'abord, il apparaît évident que le

bilan de masse doit être respecté pour chacune des phases. Intéressons-nous plus

particulièrement à notre cas d'étude. Il n'y a pas de conditions d'entrée pour Tair. Celle-ci

peut entrer et sortir par la condition limite de sortie. Dû à la présence d'un disque en

rotation (à haute vitesse), Tair va être aspiré par cette surface tournante, ou plus

précisément par le liquide en mouvement sur la surface rotative, et une zone de

recirculation va progressivement se mettre en place. Cela signifie qu'une certaine quantité

d'air va pénétrer dans le domaine, tandis qu'une autre va en sortir, et ce via la même

frontière. Au final, le bilan de masse pour Tair ne sera effectué que sur une seule frontière

et devra donc être nul, ou infiniment petit.

En ce qui concerne la deuxième phase - le carburant - la situation est légèrement

différente puisque nous imposons un certain débit à l'entrée. Ce débit de carburant sort du

domaine par la même frontière que Tair. Lorsque le bilan de masse est effectué pour le

carburant, le débit présent en entrée doit être retrouvé sur la condition de sortie du domaine.

95

La deuxième conclusion de cette théorie concerne l'interface. Comme il est précisé

antécédemment, lorsque la fraction volumique dans une cellule est différente de 0 et 1, nous

sommes situés à l'interface entre les deux phases, et les variables et propriétés dans cette

cellule sont représentatives du mélange des deux phases. Mais il ne faut pas oublier que ce

modèle VOF simule des fluides non miscibles qui par conséquent ne se mélangent pas.

Toutes les cellules qui possèdent une fraction volumique comprise entre 0 et 1 sont donc en

réalité des imprécisions de calcul. Dans un cas idéal, il n'y aurait que des cellules ayant une

fraction volumique égale soit à 0, soit à 1. Donc, en réduisant le nombre de cellules

« intermédiaires » (où 0 < aq < 1 ), nous obtenons une interface mieux définie entre les

phases, ce qui a pour effet une réduction des imprécisions.

Ce constat a une conséquence sur la conservation des débits de chaque phase. En effet,

dans les cellules où Ton retrouve les deux phases, la quantité de carburant calculée dans ces

cellules est inférieure à la réalité. À l'inverse, la quantité d'air calculée est supérieure à la

réalité. De cette manière, le débit de carburant calculé en sortie sera inférieur à celui imposé

en entrée, tandis que le débit d'air sera surestimé. Ces imprécisions doivent être réduites le

plus possible car l'épaisseur du film de liquide est directement proportionnelle au débit.

Dans le cas d'une interface infiniment fine, ces imprécisions seraient ainsi infiniment

petites.

3.1.2 Présentation et analyse des résultats

3.1.2.1 Cas de l'écoulement d'air

Le système du test numéro 0 est uniquement constitué d'un mur en rotation (30 000

rpm) et de conditions de sortie. Il s'agit d'un calcul monophasique sans carburant. Ce

premier test a été réalisé afin d'observer et de confirmer le comportement - en terme de

conservation de masse - du code de calcul en présence d'une unique condition de sortie

pour Tair, et de vérifier la prise en compte de l'interaction entre une surface en rotation et

un fluide initialement au repos.

96

Les résultats montrent parfaitement le mouvement du fluide en présence d'une surface

rotative dû aux phénomènes de viscosité. Ainsi la rotation du disque entraine Tair et crée

une zone d'aspiration. La visualisation des fonctions de courant est révélatrice de la zone de

recirculation créée par le mouvement de la surface solide (Figure 3-3).

■ 3.He-06 / / 2.988-06 J 2.83e-06 2.67e-06 i 2.5]e-06 2.36e-06 2.20e-06 , 2.04e-06 1.696-06 l.73e-06 1.57e-06 1.4le-06 1.2Be-06 l.!0e-06 . 9.43e-07 ■

7.85e-07 6.28e-07 - , 4.71e-07 3.He-07 1.57e-07 O.OOe'OO

Contours of Stream Fun ïtion (kg/si Jun 05. 2009 FLUENT 6.3 (a»i. swir]. pbn6. rke)

Figure 3-3 : Visualisation des fonctions de courant pour le cas sans carburant

Cet écoulement d'air a comme répercussion l'entrée et la sortie de Tair du domaine. Ces

entrées et ces sorties s'effectuent par la même frontière où une condition de pression

(Pressure Outlet) est imposée. Le bilan du débit d'air sur cette condition est respecté

puisque nous obtenons une valeur très faible (Figure 3-4).

Mass Flow Rate (kg/s)

outlet -7.1431549e-13

Net -7.1431549e-13 Figure 3-4 : Bilan du débit d'air à la condition de sortie du domaine obtenue dans

FLUENT MD

Cela confirme que malgré Tunique présence de conditions de sortie, le code de calcul

autorise aussi bien l'entrée que la sortie de Tair avec cette condition, ce qui était l'objectif

de ce premier test.

97

3.1.2.2 Cas de la boîte d'entrée

La seconde étude impliquant les tests numérotés 1 et 2 a porté sur la présence ou non

d'une zone appelée « boîte d'entrée ». En réalité, il s'agit d'une surface rectangulaire située

en retrait du domaine carré (Figure 3-lb). Cette surface est initialisée (patch) avant le

lancement du calcul. Cette initialisation correspond en réalité à une initialisation

secondaire : une fois le calcul initialise pour toutes les cellules du domaine, il est possible

d'imposer une valeur précise d'une variable dans certaines cellules, comme une

température, une vitesse, une pression, etc. . Dans notre cas, le patch initial impose un

« remplissage » de carburant dans cette fameuse boîte d'entrée. Pour cela, nous imposons

une fraction volumique de la seconde phase - le carburant - égale à 1 dans toute cette zone.

La Figure 3-5 permet d'observer l'état du domaine de calcul en termes de fractions

volumiques lorsque celui-ci est initialise.

I . lOe-00 9.50e-01 9 OOe-01 8.60e-0I B.OOe-ûl 7.50e-01 7.00e-01 6.50e-01 G.Oae-Ql 5.50e-0l 5 .00e-0l 4.50e-01 4 .00e-0l 3.50e-01 3.00e-01 2.50e-01 2 .00e-0 l l .S0e-a1 l . 00e -0 l 5.00e-02 O.OOe'OO

Contours of Volume f rac t i on i r ue l l (Time-O.OOOOe'00) Jun 05. 2009 FLUENT 6.3 (axi , pbns, v o l . rke. unsteady!

Figure 3-5 : Visualisation des fractions volumiques lorsque le domaine est initialise

Une fois le calcul exécuté, nous remarquons une nette différence entre les deux tests.

Dans le cas où la boîte d'entrée n'est pas présente, deux conditions limites sont alors en

contact direct : l'injection de la seconde phase et la condition de sortie du domaine (Figure

3-6b). La création de cette boîte a pour effet la séparation de ces deux conditions limites

(Figure 3-6a).

98

■ I l l r l ! 9.51.-11 ) lie 11 1.51c II 1 lie 11 7.5I.-I1 J I I . II 1.51. 11 S H . II 4.51. II i l l . II I.50.I1 I II» 11 3-5l.ll J.lli 11 2JI.-II Mle-ll I.5I.-II l.lle-ll

s u . i; O. l l f l l

Condition de sortie du

domaine

Injection de la 2™*

phase

Condition de sortie du

domaine

Injection de la 2nde

phase

Contour, of Velu». Irtotion l l u . l l ITÎH.-I.I0OI9-IZJ Jul 3D, «rj l l Contour, ol Volu.4 fr»otioMfU0ll ITIn..].10019-12} Jul 30. 2011 ILLCHI 3.3 Cad pcr.î vol. r l . . -jnvt.aoYi FLltN ! 4.3 uni. pbnt. vol . r l * . <jr«t.«rM

(a) (b) Figure 3-6 : Visualisation des différences à l'entrée du domaine : (a) avec boîte d'entrée,

(b) sans boîte d'entrée

En observant la Figure 3-6a, il est clair que, grâce à la boîte d'entrée, le carburant

n'interagit pas avec la condition de sortie. Tandis que sur la Figure 3-6b, une partie de

l'interface entre les deux phases (cellules ni en rouge, ni en bleu) se situe sur la condition

de sortie. Par conséquent, le bilan de masse des phases sur la condition frontière de sortie

est faussé par cette imprécision de départ. De plus, cela crée des oscillations majeures sur la

conservation du débit. Ces oscillations sont incontestablement atténuées avec la présence

de la boîte d'entrée, ce qui laisse à supposer qu'elles étaient dues à la trop grande proximité

entre les deux conditions frontières. Le graphique de la Figure 3-7 montre la différence de

débit de carburant entre l'entrée et la sortie pour les deux tests effectués (avec et sans boîte

d'entrée).

e 3

° 0) ■ s * -Q •—

i 5 o —

_ <D

il cj o à

m

O

2.0E-05 1.5E-05

^1,0E-05 ^5 ,0E-06 iO.OE+00 I-5.0E-061 Î-1.0E-05 ■§-1,5E-05

-2.0E-05 -2.5E-05

260 41)0

Pas de temps

-sans boîte d'entrée

■avec boîte d'entrée

Figure 3-7 : Comparaison des deux configurations avec et sans boîte d'entrée au regard de la conservation du débit

99

À la vue de ce graphique, un patch initial semble donc primordial afin de minimiser les

imprécisions dès l'injection du carburant.

3.1.2.3 Cas de la précision de l'interface

À présent, intéressons-nous plus précisément à la qualité de la conservation du débit. Le

premier paramètre évalué est la précision de l'interface entre les deux phases, à savoir

analyser le lien possible entre l'épaisseur de cette interface et la conservation du débit de

carburant. Cette étude est réalisée avec les tests 2, 2bis et 4 (jet de carburant traversant un

milieu ambiant d'air au repos, sans paroi en rotation).

Tout d'abord, précisons que l'épaisseur de l'interface est calculée entre la dernière

cellule ne contenant que du carburant et la première cellule ne contenant que de Tair

(Figure 3-8). Cette épaisseur est mesurée à la sortie du domaine. Deuxièmement, rappelons

simplement que des cellules plus fines au niveau de l'interface permettent d'obtenir une

interface plus fine, et donc plus précise (voir section 3.1.1.3).

Épaisseur de l'interface

Figure 3-8 : Visualisation de l'épaisseur d'une interface entre les deux phases

Nous pouvons à présent étudier la relation entre raffinement de maillage (représenté par

la diminution de la taille ou hauteur des cellules au niveau de l'interface), épaisseur de

l'interface et conservation du débit (Tableau 3-3).

100

Tableau 3-3 : Relation entre raffinement de maillage, épaisseur d'interface et conservation du débit

hauteur des cellules (mm) 0,100 0,030 0,025 hauteur de l'interface (mm) 0,303 0,101 0,077 conservation du débit 94,37% 97,73% 98,59%

Le lien est alors évident entre ces trois valeurs. Une plus grande précision de maillage a

pour conséquence une précision accrue de l'interface (c'est-à-dire une diminution de

l'épaisseur de celle-ci). Comme mentionné précédemment, une interface idéale posséderait

une épaisseur nulle. De ce fait, une réduction du nombre de cellules contenant l'interface

( 0 < aq < 1 ) permet une réduction des imprécisions, et il en résulte logiquement une

meilleure conservation du débit. Cette déduction confirme donc la théorie du modèle

multiphase VOF : cette méthode permettant le suivi d'interface entre des fluides non

miscibles, il est alors crucial de limiter au maximum les imprécisions au niveau de

l'interface même, ceci grâce au raffinement de maillage à cet endroit-là.

3.1.2.4 Cas d u /

Pour le reste de cette étude, nous allons nous intéresser spécifiquement au cas du jet

impactant un disque en rotation (30 000 rpm). Nous avons vu dans la section précédente

l'importance d'avoir une interface la plus fine possible. Toutefois, les phénomènes

physiques se produisant à l'intérieur du jet sont également d'une importance non

négligeable, et doivent donc être captés du mieux possible. Ceci est encore plus vrai en

présence d'une paroi puisqu'une couche limite s'installe le long de celle-ci.

En mécanique des fluides, il existe un paramètre représentatif des effets de paroi,

communément noté y+, et s'exprimant sous la forme d'un nombre de Reynolds :

y = pyu, (3-1)

101

En effet, y+ est formé à partir de>> (une échelle de longueur), de la vitesse caractéristique wt

et de la viscosité v - p . /p . L'échelle >>" représente une échelle limitative pour la taille des

tourbillons au voisinage de la paroi.

Sans loi de paroi (comme dans notre étude), les équations de l'écoulement sont résolues

dans les trois sous couches limites : la sous couche visqueuse, la zone tampon et la zone

pleinement turbulente. En grandeur adimensionnée, la sous couche visqueuse a une

épaisseur environ égale à y+ « 1. La hauteur de la première maille doit donc si possible

respecter cette condition afin de correctement effectuer les calculs dans cette zone en

question.

Pour notre étude, nous allons procéder à l'analyse de l'influence de ce paramètre sur la

conservation du débit (Tableau 3-4) grâce aux tests 7, 8, 9 et 10. Le modèle de turbulence

choisi pour ces quatre tests est le modèle « Realizable k-e ».

Tableau 3-4 : Rapport entre le _y+ et la conservation du débit

Numéro du test 8 9 7 10

Hauteur de la première maille (mm) 0,100 0,025 0,010 0,005

/ 18 5 2 1

Conservation du débit 73,06% 92,08% 95,80% 97,29%

En observant les résultats du tableau ci-dessus, nous pouvons en conclure sur

l'importance de capter les phénomènes physiques se produisant dans la sous couche

visqueuse de la couche limite. La conservation du débit devient acceptable (supérieure à

95%) pour des y+ inférieurs à 2, ce qui prouve la nécessité d'un bon raffinement du

maillage, non seulement au niveau de l'interface, mais également au contact de la paroi.

3.1.2.5 Cas des modèles de turbulence

En général, les modèles de turbulence cherchent à modifier les équations de Navier-

Stokes instationnaires originales en introduisant des quantités fluctuantes et moyennées

102

pour donner les équations connues sous le nom d'équations moyennées de Navier-Stokes

(de l'anglais Reynolds Averaged Navier-Stokes equations ou RANS). Ces modèles de

turbulence basés sur les équations de Navier-Stokes sont des modèles statistiques puisque

les équations sont obtenues en réalisant une moyenne statistique qui repose sur la

décomposition en valeur moyenne et fluctuante (décomposition de Reynolds) des différents

termes.

Cette manière de moyenner introduit des inconnues supplémentaires contenant les

produits des quantités fluctuantes qui agissent comme des contraintes additionnelles dans le

fluide. Ces termes appelés « contraintes de turbulence » ou « tension de Reynolds » sont

difficiles à déterminer directement, et il est nécessaire de les modéliser par une ou plusieurs

équations supplémentaires de quantités connues afin de « fermer » le système d'équations.

Cette fermeture implique qu'il y ait un nombre équivalent d'équations et d'inconnues. C'est

la modélisation et donc les équations utilisées pour « fermer » le système qui définissent le

modèle de turbulence.

Trois modèles de turbulence - k-e, k-co et RSM pour Modèle aux Tensions de Reynolds

(de l'anglais Reynolds Stress Model ou RSM) - ont été testés pour cette étude à iso

maillage et iso conditions, afin d'évaluer leur performance en terme de conservation de

masse. Les tests concernés sont les tests 9, 11, 12, 13, 14 et 16. Les résultats obtenus sont

présentés dans le Tableau 3-5.

Tableau 3-5 : Rapport entre les modèles de turbulence et la conservation du débit

Numéro du test 9 11 12 13 14 16

Modèle de turbulence

Realizable k-e

Standard k-e RNG&-£ Standard

k-co k-co SST RSM

Conservation du débit 92,08% 92,09% 92,11% 91,52% 91,14% 91,02%

D'après ces résultats, nous pouvons en conclure que le modèle k-e donne les meilleures

conservations du débit. Toutefois, nous notons de faibles écarts entre les différents

modèles, mais il est nécessaire de rappeler que ces tests sont effectués en 2 dimensions.

103

Lors du passage en 3 dimensions, l'effort numérique est considérablement augmenté. Par

conséquence, il est préférable de choisir le modèle qui donne les meilleurs résultats en 2D,

dans notre cas le modèle k-e.

3.1.3 Conclusion

Cette étude portait spécifiquement sur la conservation du débit lors d'un calcul

diphasique avec le modèle VOF. Elle devait dans un premier temps permettre de

caractériser précisément le code de calcul FLUENTMD lors d'un calcul diphasique en

termes de conservation de masse. Dans un second temps, nous espérions évaluer l'influence

de certains paramètres de maillage et numériques sur la qualité de la conservation de la

masse, et donc du débit.

Ces deux objectifs ont été parfaitement atteints grâce à cette étude préliminaire 2D.

Premièrement, des résultats importants ont ainsi pu être obtenus, notamment sur la relation

entre conservation du débit et qualité du maillage. Nous avons ainsi prouvé l'importance

cruciale d'un raffinement de maillage au niveau de l'interface entre les deux phases, mais

également l'influence majeure des effets de paroi sur la conservation du débit. À cet effet,

une attention toute particulière est accordée au nombre adimensionné y+ qui ne doit pas

dépasser une certaine valeur afin d'assurer une précision acceptable. Nous reviendrons sur

ce nombre dans la prochaine section de ce mémoire.

L'influence de certains paramètres numériques, et plus particulièrement les modèles de

turbulence, a également pu être observée et des conclusions utiles ont pu être tirées. Ainsi,

nous avons observé que, malgré les faibles écarts de valeur, le modèle k-e, connu pour sa

robustesse, donnait les meilleurs résultats.

Ce genre d'étude 2D apparaît primordial en vue de calculs 3D plus complexes. Malgré

la simplicité du cas d'étude, les conclusions obtenues ici peuvent parfaitement s'appliquer à

un cas 3D, et ainsi permettre de sauver un temps précieux tout en obtenant les résultats les

plus fiables possibles.

104

3.2 Validation du code de calcul

Nous venons de consacrer la première section de ce troisième chapitre à la découverte

du modèle multiphase VOF, et plus précisément à la conservation du débit, élément

primordial pour assurer une précision satisfaisante des calculs numériques. Cette étude

préliminaire 2D nous a permis de tester différents paramètres de maillage et du code de

calcul, ceci dans l'optique d'évaluer la sensibilité du logiciel et son application multiphase

VOF.

Les résultats obtenus nous autorisent à présent à poursuivre notre travail d'analyse

numérique, à savoir passer à l'étape fondamentale de toute simulation numérique MFN : la

validation du code de calcul. En effet, avant toute simulation complexe, il est essentiel dans

un premier temps d'effectuer plusieurs tests numériques afin d'estimer la qualité de la

prédiction obtenue par MFN. Par analogie au domaine expérimental, cette phase de

validation peut être assimilée à la phase de calibrage des instruments de mesure. De ce fait,

ces tests initiaux impliquent habituellement des cas d'études relativement simples au regard

du véritable sujet d'étude, et des données expérimentales et/ou théoriques doivent être

connues et disponibles afin de les comparer aux résultats numériques.

L'objectif principal de nos recherches étant la détermination de l'épaisseur du film

liquide sur la paroi rotative de l'atomiseur, la validation sera réalisée en se basant sur les

résultats théoriques recensés dans la littérature scientifique et présentés à la section 1.3 de

ce mémoire.

3.2.1 Présentation de l'étude

Le cas de validation est inspiré de la description des atomiseurs rotatifs de Bayvel &

Orzechowski (1993). Les auteurs citent comme exemple un disque plat en rotation avec

injection unique centrale (Figure 3-9). L'objectif de cette phase de validation est double. En

effet, l'intérêt premier est de confirmer que le code de calcul peut prendre en compte les

effets des paramètres influençant directement l'épaisseur du film liquide. Puis, dans un

second temps, il sera intéressant d'observer la qualité des résultats en les comparant aux

105

valeurs théoriques, ceci afin de valider le modèle numérique proposé. Bien que ces

simulations de validation auraient pu être réalisées en 2D, cette étude sera effectuée à l'aide

d'une géométrie en trois dimensions en vue des futurs calculs 3D sur la géométrie réelle de

P&WC présentés à la section 3.3.

Figure 3-9 : Schéma du disque rotatif utilisé pour la validation du code de calcul (Bayvel & Orzechowski, 1993)

3.2.1.1 Géométrie et maillage

Le cas de validation ayant une géométrie axisymétrique, le volume maillé est une

section de 45° du disque en 3D (Figure 3-10). Des conditions limites de périodicité sont

imposées aux extrémités de la section. Comparativement à une géométrie complète, cette

limitation du maillage permet, pour une précision similaire, de considérablement diminuer

le nombre de nœuds du maillage, et ainsi de réduire significativement le temps de calcul.

Disque rotatif Conditions périodiques Injection du carburant

Figure 3-10 : Géométrie du disque rotatif pour la validation du code de calcul

106

Les dimensions du disque sont basées sur l'ouvrage de Bayvel & Orzechowski (1993)

qui citent comme exemple un disque de rayon de 63,5 mm. Nous précisons toutefois

qu'une géométrie similaire a été modélisée avec un rayon nettement moins grand (35 mm),

ceci dans le but d'évaluer l'influence de ce paramètre sur l'épaisseur du film liquide sur le

disque. Le diamètre du jet à l'entrée a, quant à lui, été fixé à 2 mm. Cette valeur permet

d'obtenir pour le débit maximal testé une vitesse d'injection de Tordre de 30 m/s, valeur

raisonnable au regard du Tableau 2-7 représentant les vitesses d'injection du système

d'alimentation de carburant que nous proposons pour la géométrie réelle de l'atomiseur

fronde. L'injection du carburant se trouve à une distance de 10 mm de la paroi rotative, ce

qui reste dans le même ordre de grandeur que celle suggérée par P&WC, à savoir environ 7

mm (voir Figure 2-1). Enfin, nous terminons la description de la géométrie par la distance

entre la paroi solide en mouvement et la sortie du domaine. Comme il est possible de le

constater sur la Figure 3-10, cette distance - 1 mm - est relativement courte comparée au

diamètre du disque. Ce choix délibéré s'explique par le souci de limiter le nombre de

nœuds du maillage généré. En effet, la nécessité imposée par le modèle VOF de raffiner la

zone proche de l'interface mais également la zone au contact de la paroi (voir section 3.1)

nous oblige à resserrer le maillage tout le long du disque. Étant donné les faibles épaisseurs

de film auxquelles nous nous attendons (inférieures à 30 pm), cette contrainte provoque une

augmentation ostensible du nombre de nœuds du domaine. Afin de garder un temps de

calcul raisonnable, la distance en question a donc été réduite au maximum. Gardons

simplement à l'esprit que cette réduction peut être une source d'erreur et/ou d'imprécision

en raison de la promiscuité entre les conditions de sortie du domaine et la paroi du disque

où se tiennent les principaux phénomènes physiques.

En ce qui concerne le maillage de ce domaine d'étude, il est de type structuré et

composé intégralement d'éléments hexaédriques (Figure 3-11). Comme nous venons tout

juste de le mentionner, la zone proche de la paroi contenant l'interface entre les deux

phases est raffinée grâce à la présence d'une couche limite sur la surface entière du disque.

Deux couches limites possédant des caractéristiques légèrement différentes (Tableau 3-6)

ont été testées durant cette étude dans le but de quantifier l'influence du>>+ sur la prédiction

de l'épaisseur du film.

107

Injection du carburant

L: Figure 3-11 : Visualisation de côté du maillage du domaine d'étude pour la validation du

code de calcul

Tableau 3-6 : Récapitulatif des caractéristiques des couches limites testées

lere couche limite 2eme couche limite Hauteur de la première cellule (um) 10 5 Facteur d'expansion 1,21 1,24 Nombre de rangée de cellules 14 16 Hauteur totale de la couche limite (pm) 639 630

Notons que la précision du maillage est d'une importance cruciale dans la qualité des

résultats obtenus. En réalité, une étude de convergence de maillage est une phase

préliminaire essentielle de toute étude numérique. Cependant, cette convergence ne s'est

limitée, dans notre cas, qu'à une simple modification de la couche limite afin d'évaluer son

influence. Ce choix s'explique par le fait qu'il a été montré précédemment (voir section

3.1.2.4) que le maillage au niveau de la paroi en rotation possède une influence majeure sur

les résultats finaux. Faute de temps, l'étude du maillage s'est concentrée uniquement sur les

effets de paroi, et l'idée d'une convergence plus générale en vue de l'obtention d'une grille

optimisée a été abandonnée.

108

3.2.1.2 Conditions de tests

Afin de tester au mieux le code de calcul, six calculs ont été nécessaires. Il est à noter

qu'il est toujours indispensable de ne faire varier qu'un seul paramètre à la fois, dans le but

d'évaluer le logiciel paramètre par paramètre. Les réglages communs à tous les tests sont

présentés dans le Tableau 3-7.

Tableau 3-7 : Récapitulatif des conditions de tests pour la validation du code de calcul

Pression statique à l'entrée 101 325 Pa Intensité de turbulence à l'entrée 4% Diamètre hydraulique à l'entrée 0,002 m Pression de sortie 101 325 Pa Intensité de turbulence en sortie 10% Diamètre hydraulique en sortie 0,001 m Tension de surface 0,026 3 N/m Modèle de turbulence Realizable k-e Discrétisation temporelle du modèle VOF Explicite Discrétisation spatiale du modèle VOF Modified HRIC Equation d'énergie Désactivée Temps réel de la simulation 0,015 s

Tel qu'il est possible de le constater sur le tableau ci-dessus, les calculs sont effectués

en régime instationnaire, le pas de temps étant déterminé automatiquement par FLUENTMD

comme dans l'étude sur la conservation du débit (voir section 3.1.1.2).

Afin de faire varier l'épaisseur du film liquide et ainsi juger de la sensibilité et de la

précision du logiciel, nous nous sommes servis de l'expression théorique obtenue par Hinze

& Milborn (1950) (équation (1-26)) :

ô = 3vLgy vi/3

Cette équation nous indique la dépendance de l'épaisseur du film liquide par rapport à

quatre paramètres : le débit du liquide q\, la vitesse angulaire co et le rayon du disque R, et

enfin les caractéristiques propres au fluide (représentées ici par la viscosité cinématique vL).

Les six tests ont été pensés vis-à-vis de ces variables (Tableau 3-8).

109

Tableau 3-8 : Récapitulatif des six tests pour la validation du code de calcul

T e s t l Test 2 Test 3 Test 4 Test 5 Test 6

Débit (m3/s) 80,8.10"* 80,8.10-* 80,8.10-* 80,8.10-* 26,9.10"* 80,8.10"*

Vitesse de rotation (rpm)

10 000 20 000 20 000 10 000 10 000 20 000

Rayon du disque (m)

0,063 5 0,063 5 0,063 5 0,063 5 0,063 5 0,035

Viscosité cinématique

(m2/s) 3.10"6 3.10* 3.10"6 1.10"* 3.10"6 3.10"*

Q+ 0,056 2 0,039 7 0,039 7 0,076 8 0,018 7 0,130 7

Couche limite (Tableau 3-6)

lère CL Tre CL 2e™ CL lèreCL y CL l ^ C L

Paramètre testé

Vitesse de rotation Maillage Choix du

fluide Débit Rayon du disque

Nous avons ajouté dans ce dernier tableau le débit adimensionné Q+ (voir section 1.3).

Ce terme nous permettra de comparer nos résultats numériques avec les données théoriques

exposées dans le premier chapitre (Figure 1-14).

Précisons enfin qu'il a été observé que la position où les fluctuations de l'épaisseur de

film sont les plus faibles34 se trouve être au niveau de la condition de sortie, c'est-à-dire à

l'extrémité du disque. Pour cette raison, les mesures des épaisseurs sont effectuées à

plusieurs points, tous situés à l'extrémité de la paroi rotative. Les premières mesures

débutent lorsque le calcul a suffisamment convergé, le critère de convergence se basant sur

la conservation du débit.

34 II semble que les fluctuations en question soient reliées en partie au caractère instationnaire du calcul.

110

3.2.2 Présentation et analyse des résultats

3.2.2.1 Mouvement de la phase liquide

D'un point de vue qualitatif, il est tout d'abord important d'observer le comportement

des particules liquides se déplaçant sur la surface en rotation grâce au test n° 1. Le carburant

est injecté au centre du disque, au niveau de son axe de rotation, puis se répand

uniformément sur le disque sous l'action de la force centrifuge. Nous pouvons apercevoir

ce phénomène grâce à la Figure 3-12. Le jet impacte dans un premier temps le centre du

disque, ce qui a pour effet une dominance de la composante radiale de sa vitesse. Puis, dû à

la condition de non-glissement et à la force centrifuge, la composante tangentielle de la

vitesse des particules prend progressivement de l'importance, pour devenir prédominante.

Le film liquide atteint ainsi la vitesse de rotation du disque, et se répand donc vers son

extrémité.

1

6.57e*01 6.24e*01 5.92e*0I 5.59e»01 5.26e*01 4.93e»01 4.61e*dl 4.28e*01 3.95e*0I 3.63e*01 3.30e*0I 2.97e*01 2.65e*01 2.32e*01 1.99e*0l 1.6/>*01 1.34e*01 1.01e*01 6.64e«00 Y, 3.58ç»00 3.07e-01Z

Velocity Vectors Colored By Velocity Magnitude (mixture) (m/s) (Time"3.4E38e2-432ï01 0 FLUENT 6.3 (3d, dp, pbns, vof, rke, unsteady)

Figure 3-12 : Visualisation des vecteurs vitesses au niveau de l'interface entre les deux phases

Cette rapide analyse qualitative a pour but de se rassurer quant à la capacité de

FLUENTMD à gérer le modèle multiphase VOF en 3D avec conditions périodiques. C'est

I l l

pour cette raison qu'il est souvent indispensable dans le domaine numérique d'avoir une

connaissance des phénomènes physiques réels avant même de lancer le premier calcul. De

ce point de vue, ce premier test est tout à fait satisfaisant et permet de rentrer plus en détails

dans la validation du code de calcul.

3.2.2.2 Sensibilité du code de calcul

Avant l'évaluation de la précision, la validation du code commence dans un premier

temps par la vérification de sa sensibilité vis-à-vis des différents paramètres influençant

l'épaisseur du film liquide. À cet égard, la stratégie adoptée consiste à prendre comme base

le test 1, puis à faire varier un par un les différents paramètres d'intérêt, et ainsi noter les

changements recherchés de la valeur de l'épaisseur de la phase liquide. Les résultats sont

présentés à l'aide du Tableau 3-9.

Tableau 3-9 : Récapitulatif des épaisseurs de film liquide en fonction des différents tests ô" (pm) fo

Tes t l 24 0,443

Test 2 13 0,339

Test 3 16 0,417

Test 4 13 0,421

Test5 16 0,295

Test 6 22 0,574

En analysant les tests 1, 2, 4 et 5, ayant tous un maillage rigoureusement identique, puis

les tests 3 et 6, possédant le même maillage (mais différents des quatre autres tests

susmentionnés), nous observons les tendances suivantes :

en augmentant la vitesse de rotation co entre les tests 1 et 2, l'épaisseur diminue ;

112

• en diminuant la viscosité cinématique du fluide entre les tests 1 et 4

(vL =3.10"*m2 l s pour du kérosène liquide au test 1, vL =1.10"*m2 l s pour de

l'eau au test 4), l'épaisseur diminue ;

• en diminuant le débit de carburant qv entre les tests 1 et 5, l'épaisseur diminue ;

• en diminuant le rayon du disque R entre les tests 3 et 6, l'épaisseur augmente.

À la vue de ces valeurs, tout en gardant à l'esprit l'équation théorique (1-26), il est

possible d'affirmer que le code de calcul est capable de prendre en compte ces variations de

conditions initiales, et d'offrir des résultats pertinents d'un point de vue qualitatif. Cette

deuxième étape de validation permet également de juger quantitativement le code (voir

section 3.2.2.3), dernière étape décisive avant les calculs sur la géométrie complexe 3D de

P&WC.

3.2.2.3 Validation

Pour compléter cette partie consacrée à l'évaluation du logiciel FLUENTMD, il serait

judicieux de comparer les résultats numériques avec les résultats présentés à la Figure 1-14.

Pour cela, nous nous sommes servis des valeurs adimensionnées du débit Q+ et de

l'épaisseur de film £0 (voir section 1.3), et explicités au Tableau 3-8 et au Tableau 3-9.

Afin de mieux cerner les conclusions à tirer, nous faisons le choix de présenter uniquement

les solutions théoriques de Hinze & Milborn (1950) - pour sa simplicité - et de Matsumoto

et al. (1973) - pour sa précision. Le graphique de la Figure 3-13 nous permet de visualiser

et de quantifier la précision des calculs MFN. Avant d'analyser ces résultats, précisons que

les épaisseurs de film mesurées par Matsumoto et al. (1973) sont comprises entre 113 et

1 447 pm. Les valeurs théoriques des épaisseurs de nos six cas d'étude sont nettement

inférieures à ces valeurs expérimentales puisqu'elles sont comprises entre 19 et 30 pm,

malgré des gammes de valeurs de <f0 et de Q+ similaires. L'effort numérique est donc à

prendre en considération dans l'analyse des résultats afin de relativiser les éventuels écarts.

113

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 Q+

♦ Test i

♦ Test 2

Test 3 ♦ Test 4

♦ Test 5

♦ Test 6

- Matsumoto et al. (1973)

Figure 3-13 : Comparaison entre les résultats numériques par MFN et les approches théoriques

En premier lieu, nous remarquons une légère sous-estimation des épaisseurs du film

liquide obtenues avec le code de calcul. L'erreur mesurée varie entre 16 et 32%. Cette sous-

estimation systématique est due à la surestimation de la vitesse du film liquide.

L'explication provient de la formulation du débit : qv = U.A . Si la vitesse prédite par MFN

est trop élevée, alors, pour conserver un débit égal au débit théorique, Taire de passage A

simulée doit être inférieure à celle théorique. L'épaisseur du film obtenue numériquement,

et reliée à Taire de passage, sera donc inférieure à l'épaisseur théorique. La surestimation

de la vitesse est quant à elle due à la non prise en compte dans les calculs de l'effet de

glissement que nous avions préalablement mentionné (voir section 1.1.2.2). En effet, dans

les conditions de tests, nous avons imposé une condition de non glissement à la paroi

rotative. Or, ce phénomène est très probablement présent dans notre cas de validation,

entrainant de ce fait une légère perte d'adhérence du liquide à la paroi, autrement dit

provoquant une légère perte de vitesse de cette même phase liquide. La simulation du

glissement permettrait sans aucun doute d'obtenir une amélioration de la qualité des

prédictions numériques.

114

Dans un second temps, intéressons-nous à l'influence du maillage sur la qualité des

résultats que nous apercevons entre les tests 2 et 3 (Terreur passant de 32% pour le test 2 à

16% pour le test 3). Possédant la seconde couche limite (Tableau 3-6), le test 3 apporte une

meilleure prédiction que le test 2 avec la première couche limite. Un raffinement accru au

niveau du disque rotatif conduit à une meilleure prise en compte des effets de paroi, et donc

de l'interaction entre le mur et le film liquide. Le paramètre adimensionné y+ joue alors un

rôle déterminant dans l'optique de la validation du modèle numérique testé. À ce propos,

Tordre de grandeur de ce nombre pour le test 2 au niveau de l'extrémité du disque est égal à

4 (Figure 3-14a) ; quant au test 3, grâce au raffinement de maillage, il descend entre 2 et 2,5

(Figure 3-14b). Ce résultat vient confirmer la tendance que nous avions remarquée lors de

l'étude sur la conservation du débit (section 3.1.2.4), à savoir l'importance de capter

correctement les phénomènes proches de la paroi.

Il est généralement convenu que cette valeur représentative des effets de paroi ne doit

pas être supérieure à 5 lorsque les phénomènes à la paroi sont d'intérêt comme dans notre

cas. Cependant, pour atteindre une précision compatible avec les exigences industrielles, le

y* minimal doit souvent être égal à 1, ce qui laisse suggérer que raffiner encore plus le

maillage dans la zone de la couche limite (c'est-à-dire au niveau de la paroi du disque)

permettrait de réduire Terreur de calcul.

•

4.50e*00 4.Ï6-*

3.64e» 5.51c-3 36e> ï-?4e»

II: mM -is: 1.69**00 1./ 5e*'"1

l i \.

. 0

45e-01

«

Contours of Wall Yplus (m ix tu re j (Time- 1.5334e-02> Feb 25, 2010 FLUENT 6.3 (3d. dp , pbns, vo f , rke, uns teady ;

(a)

115

Contours of Wall Yplus (mixture) (Time- 1.5372e-02l Feb 25, 2010 FLUENT 6.3 (3d, dp, pbns, vo f . rke, uns teady)

(b) Figure 3-14 : Visualisation duy+ sur la paroi rotative : (a) pour le test 2, (b) pour le test 3

À cet effet, un calcul a été effectué reprenant exactement les mêmes conditions que les

tests 2 et 3, mais avec une couche limite rendant possible uny+ environ égal à 1. Le modèle

numérique proposé semble alors atteindre une limitation, puisque l'évaluation de la valeur

de l'épaisseur du film donne une précision similaire au test 2 (erreur environ égale à 30%).

Cette limitation est causée par la difficulté du code à calculer correctement la valeur des

fractions volumiques dans les plus petites cellules du domaine, proche de la paroi. Pour des

_y+ allant de 2 à 4 (tests 2 et 3), les cellules en question sont entièrement remplies de

carburant sur l'ensemble de la géométrie (Figure 3-15a). En revanche, pour le dernier test

permettant d'accéder à un y+ de Tordre de l'unité, certaines cellules de la première rangée

de la couche limite ne possèdent plus une fraction volumique égale à 1, mais plutôt

inférieure à cette valeur (Figure 3-15b). L'augmentation progressive de la vitesse angulaire

du disque - et donc du liquide - combinée à la taille de ces cellules provoquent cette

approximation.

M l . l l e - l l « I J t e - l l ■ 9.51 e l l ■ 9.56e II H 9.lle-l 1 ^ ^ ^ M ^ ^ ^ ■ Sl*e-Bl 1 f m ■ 8.51e-Il ^■^H ■ 8.51* II ■ 8.11e 11 ^H ■ 8.1 te H * 7.He-l l ^H ^V P 7.5*e II

M l e - l l ^H ^V r j i t - u 6.51*11 ^H ^V 8.5 le 1)

..- hl l , - 11 ^H ^B ~. e.bfl*-Di ■ 5.51e-ll ^H ^B Ki 5.56« ,] %£? ^ | ■ 5.11c II ^H ^V ■ 5.ii*-ei *2A - j ^ * ■ i J M l ^H ^V ■ 4.51e 11 «■■■fl ■■« ■ « I l e 11 ^H ^V ■ 4jRe-l l ^H ^V ■ 3.51e 11 ^H^V ■ 3.5le-ll ^H ^H ■ 3.Ile 11 ^^^V ■ 3.11e 11 ■ 2.51e-Il ^^V ■ 2.58e-81 ^^^m ■ 2 Me 11

^v ■ 2 J l e - l l ^^m ■ 1.54e II

w ■ ].5le-»l ^M ■ 1 Ile 11 t ■ 5 . l l e l 2 V

" ™ I I le H T

y ■ l.lle-ll ■ 5.06e-82 ) ^ ™ M 8 e - Û i r

T ■ 1 Ile 11 t ■ 5 . l l e l 2 V

" ™ I I le H T

■ l.lle-ll ■ 5.06e-82 ) ^ ™ M 8 e - Û i r

■ 1 Ile 11 t ■ 5 . l l e l 2 V

" ™ I I le H T

■ l.lle-ll ■ 5.06e-82 ) ^ ™ M 8 e - Û i r

Contours of foluwe fraction (fuel) ni«e-1.5372e-D2) naf II. 2D1G Contours of foluffle fraction fueli iTr«ieM.5i''2e-e2l Mor U. 2811 FLUE«T 8.3 (3d. ap. pons, .of. r ie . unsteady) FutiNT 6.2 '3d. dp. pons. vof. rte. unsteady!

(a) (b) Figure 3-15 : Visualisation des fractions volumiques des premières cellules de la couche

limite : (a) avec un y+ compris entre 2 et 4, (b) avec un y+ environ égal à 1

3.2.3 Conclusion

116

-MD Cette étude préliminaire visant à évaluer et valider le logiciel FLUENT pour des

mesures d'épaisseur de film liquide sur une surface en rotation s'est avérée nécessaire pour

s'assurer de la précision des calculs. En effet, avant de procéder à des simulations

complexes, il est nécessaire de connaître les réactions du code de calcul face à ce type de

simulation et ainsi d'évaluer la précision des résultats que nous pouvons atteindre. Dans

notre étude de validation, les résultats obtenus ont ainsi pu être comparés avec des valeurs

théoriques disponibles dans la littérature scientifique. Ces comparaisons ont donc permis de

parfaire la méthodologie puisqu'il a été possible de déterminer les atouts et les faiblesses du

code, notamment la sous-estimation systématique des épaisseurs du film liquide, et par

conséquent l'importance de la prise en compte de l'effet de glissement. Nous avons

également pu constater une certaine limitation de maillage qui est étroitement liée à la

formulation même du modèle multiphase VOF, via le calcul de la fraction volumique de la

seconde phase.

Malgré ces faiblesses, il apparaît évident que le logiciel est capable de gérer les

modifications de conditions initiales, et que la physique générale du problème est simulée

de manière satisfaisante par le code de calcul. Par conséquent, cette étude nous permet

117

d'engager, avec une relative confiance, des simulations plus complexes impliquant la

géométrie réelle proposée par P&WC.

3.3 Géométrie réelle de P&WC

Les deux premières études présentées dans ce troisième chapitre étaient d'un grand

intérêt. En effet, avant de débuter les calculs sur la géométrie complexe, il était

indispensable d'évaluer et de valider le code de calcul utilisé. Ces études préliminaires

permettaient également d'aboutir à une méthodologie de calcul fonctionnelle, facilitant

ainsi les démarches pour l'étude finale sur la géométrie réelle de Tinjecteur fronde

proposée par P&WC.

Le travail effectué sur cette géométrie est détaillé dans cette dernière section du

mémoire. Nous visons ici à appliquer la démarche numérique présentée dans les sections

3.1 et 3.2 à l'atomiseur fronde dans l'optique d'obtenir la prédiction de l'épaisseur du film

liquide se développant sur la paroi solide en rotation. Pour cela, nous exposerons dans un

premier temps les principales caractéristiques de la géométrie de Tinjecteur ainsi que les

caractéristiques du maillage et les paramètres numériques du code de calcul. Nous

présenterons par la suite les résultats obtenus et analyserons les difficultés rencontrées afin

d'établir au final des recommandations et des propositions pour les futures recherches.

3.3.1 Présentation de l'étude

3.3.1.1 Géométrie

Dans un souci de confidentialité, le schéma en deux dimensions détaillé et fourni par

P&WC ne sera pas exposé dans ce mémoire. Toutefois, il est possible de donner ici

certaines caractéristiques de cette géométrie sur laquelle nous nous sommes basés pour les

recherches.

Le plan 2D susnommé comprend l'ensemble du système de Tinjecteur fronde, à savoir

le système d'alimentation du carburant, la cavité de l'atomiseur, l'atomiseur lui-même, le

début de la chambre de combustion, ainsi que quelques éléments mécaniques reliant

118

l'atomiseur à l'arbre moteur. Certaines dimensions géométriques sont également données,

notamment les distances entre l'atomiseur et Taxe de rotation de l'arbre moteur.

Comme nous le mentionnons dans la section 1.1.3, la majorité des atomiseurs fronde

présents traditionnellement dans l'industrie aéronautique appartient à la catégorie des

« coupelles perforées ». À cet effet, Tinjecteur fronde proposé par P&WC est une coupelle

de 360° percée à divers endroits de conduits radiaux que nous appellerons également trous

d'atomisation (Figure l-3b). Ces conduits constituent un aspect de conception primordial

pour ce type d'atomiseur, principalement leur diamètre et leur longueur (voir section

1.1.3.2). Tel que précisé précédemment, le dessein final des travaux entrepris et résumés

dans le présent mémoire est la prédiction de l'épaisseur du film liquide à l'intérieur des

conduits, puisque c'est précisément cette épaisseur qui conditionne la qualité de

Tatomisation dans la chambre de combustion.

Dans le cas de notre géométrie actuelle, le carburant est injecté axialement - c'est-à-dire

dans le même axe que celui de rotation du moteur - dans la cavité interne de l'atomiseur.

L'étude concernant l'injection du carburant décrite à la section 2.1 visait justement à

déterminer le nombre et le diamètre des trous de ce système d'alimentation. Par

conséquent, plusieurs jets répartis de manière équidistante sur 360° viennent impacter le

fond de la coupelle pour se développer uniformément sur la surface en rotation. Notons

qu'à la différence de la Figure l-3b qui nous permet de visualiser un système avec injection

unique centrale, nous avons affaire ici à une injection multiple et décentrée par rapport à

Taxe de rotation (Figure 2-1). Par la suite, le liquide se répartit sur la quasi-totalité de la

surface intérieure de la coupelle pour venir pénétrer dans les conduits radiaux, et former

ainsi le film mince et uniforme nécessaire à la future atomisation. À ce sujet, la géométrie

exposée par Choi et al. (2009) (Figure 3-16) est caractéristique des atomiseurs fronde

répertoriés dans la littérature scientifique et permet ainsi d'obtenir un aperçu général d'une

géométrie typique comme celle offerte par P&WC.

119

/ f T

y >

(a) 3-D View

irV \ Ortfk»

J \ A-«-I- —

(c) Section A-A (d) Section B-B

Figure 3-16 : Schémas de l'atomiseur fronde à 12 conduits radiaux proposé par Choi et al. (2009)

Il apparaît évident que modéliser une telle géométrie avec la précision qu'impliquent les

épaisseurs attendues - une dizaine de micromètres - nous oblige dans un premier temps à

simplifier le modèle testé. En effet, la validation du code de calcul a été effectuée sur la

géométrie simple d'un disque plat avec injection unique centrale35. Or, nous cherchons à

présent à simuler une géométrie arrondie avec injections multiples décentrées, ces

paramètres augmentant considérablement l'effort numérique imposé au code de calcul.

Afin de procéder pas à pas et d'obtenir de cette façon des résultats exploitables, nous

nous proposons d'étudier la géométrie détaillée ci-dessus, mais en l'absence des conduits

radiaux permettant Tatomisation du carburant dans la chambre de combustion. Malgré cette

simplification majeure, les intérêts et objectifs sont nombreux : vérifier le comportement de

l'écoulement d'air dans la cavité interne de l'atomiseur (voir section 1.2.1), vérifier

l'interaction entre le jet liquide et l'écoulement d'air transversal (voir section 1.2.3), et

enfin analyser le comportement de la phase liquide sur la surface de l'atomiseur.

35 Nous rappelons ici que le choix d'une telle géométrie pour la validation du code de calcul a été motivé par la présence dans la littérature scientifique de résultats théoriques et expérimentaux sur cette géométrie du disque plat, offrant de ce fait la possibilité d'une validation.

120

3.3.1.2 Domaine et maillage

Tout d'abord, nous profitons de la géométrie axisymétrique36 pour ne modéliser qu'une

section de l'atomiseur. La configuration adoptée concernant le nombre et le diamètre des

trous du système d'alimentation du carburant dans la cavité de l'atomiseur est basée sur

l'étude de la section 2.1. Nous optons donc pour une configuration à 8 trous de 0,5 mm de

diamètre. Les 8 trous étant également répartis tout le long du périmètre, un angle de 45°

sépare chacun de ces trous. Par conséquent, la section maillée sera un secteur de 45° avec

un trou d'injection du système d'alimentation de carburant situé au centre du secteur

modélisé. Deux conditions de périodicité sont imposées aux extrémités du domaine afin de

simuler les autres sections de la géométrie (Figure 3-17).

Comme nous l'avons déjà constaté à la section 3.1.2.2, il est conseillé de créer une boîte

d'entrée qui sert à imposer initialement un « remplissage » de carburant dans une section du

domaine. Quant à l'injection de la phase liquide, elle est rendue possible grâce à la présence

d'une condition d'entrée de type débit (Mass Flow Inlet) au début de la boîte d'entrée.

Enfin, des conditions de sortie (Pressure Outlet) sont assignées aux deux dernières

frontières du domaine. Ces diverses conditions limites sont présentées à la Figure 3-18.

Surfaces de l'atomiseur

Conditions de périodicité

Grid |Time-1.0599e-03| Mar 09, 20 10 FLUENT B.3 (3d. dp, pbns, vof, rke, unsteady)

Figure 3-17 : Visualisation de la section maillée de 45°

36 La géométrie simulée est rendue axisymétrique du fait de l'absence des conduits radiaux d'atomisation.

121

Sortie du domaine - Boîte d'entrée Conditions de pression

L

L Grid |Time-l.Û599e-Û3) Mar ÛB, 20 10

FLUENT 6.3 (3d. dp, pbns, vof, rke, unsteady)

Figure 3-18 : Visualisation de la boîte d'entrée et des conditions de sortie du domaine

Les parois non représentées sur cette dernière figure sont des parois stationnaires. Elles

ne font pas partie de la géométrie de l'atomiseur rotatif mais servent plutôt à fermer le

domaine (Figure 3-19).

Parois stationnaires

122

Grid |Time-1.0599e-Û3) Mar ÛB, 20 L Û FLUENT 6.3 [3d. dp, pbns, vof, rke, unsteady)

Figure 3-19 : Visualisation du domaine maillé au complet

Le maillage appliqué à la géométrie simplifiée de l'atomiseur fronde est de type

hybride, c'est-à-dire à la fois structuré et non-structuré. De cette manière, des éléments

tétraédriques composent la partie non-structurée, tandis que des éléments hexaédriques et

prismatiques constituent la partie structurée.

La première étude présentée à la section 3.1 a souligné l'importance du raffinement du

maillage à deux positions précises : proche de la paroi et au niveau où se situe l'interface

entre les deux fluides non miscibles (ces recommandations sont également évoquées en

Annexe A). À cet effet, le maillage a été pensé en fonction de ces deux aspects, ce qui

explique la présence d'une zone raffinée de section circulaire traversant le domaine depuis

l'injection du carburant jusqu'à la paroi de l'atomiseur. Cette section est destinée à capter

au mieux l'interface jusqu'à l'impact du jet sur l'atomiseur et est composée d'éléments

hexaédriques (Figure 3-20a). Quant à la paroi même, une fine couche limite est imposée

afin de prendre en compte les phénomènes se déroulant dans la sous-couche visqueuse,

ainsi que de prédire le plus précisément possible l'épaisseur du film liquide. Des éléments

123

prismatiques constituent cette couche limite (Figure 3-20a) dont les caractéristiques sont

données à l'aide du Tableau 3-10. Le maillage du reste du domaine que la seconde phase

liquide n'atteint à aucun moment est de type non-structuré, avec des cellules tétraédriques

beaucoup plus larges que les deux zones raffinées (Figure 3-20b). Le maillage ainsi exposé

contient 1 062 791 nœuds.

Figure 3-20 : Visualisation pour la même coupe des différents types de maillage utilisés pour la modélisation de l'atomiseur fronde : (a) structuré, (b) non-structuré

124

Tableau 3-10: Caractéristiques de la couche limite utilisée pour la modélisation de l'atomiseur fronde

Hauteur de la première cellule (pm) 5 Facteur d'expansion 1,24 Nombre de rangée de cellules 16 Hauteur totale de la couche limite (pm) 630

3.3.1.3 Conditions de test

La condition de test choisie pour ce premier calcul sur la géométrie réelle est la

condition DJC détaillée dans le Tableau 2-2. A ce propos, précisons que les conditions de

pression imposées dans FLUENTMD ne sont pas celles fournies par P&WC, mais plutôt des

conditions de pression standard38. Quant aux effets de la température, ils sont pour le

moment ignorés en désactivant en tout temps l'équation d'énergie dans FLUENTMD. Les

différents paramètres entrés lors de la préparation du calcul sont listés dans le Tableau 3-11.

Tableau 3-11 : Récapitulatif des conditions de test sur la géométrie réelle

Pression statique à l'entrée 101 325 Pa Débit massique de la seconde phase par trou 0,009 45 kg/s Viscosité cinématique de la seconde phase (kérosène liquide) 3,3xl0"6m2/s

Masse volumique de la seconde phase (kérosène liquide) 729 kg/m3

Intensité de turbulence à l'entrée 5,1% Diamètre hydraulique à l'entrée 0,000 5 m Pression de sortie 101 325 Pa Intensité de turbulence en sortie 10% Diamètre hydraulique en sortie 0,001 8 m Tension de surface 0,026 3 N/m Vitesse de rotation de l'atomiseur 41 000 rpm Modèle de turbulence Realizable k-e Discrétisation temporelle du modèle VOF Explicite Discrétisation spatiale du modèle VOF Modified HRIC Equation d'énergie Désactivée

37 La condition d'opération Décollage Jour Chaud (DJC) (en anglais HDTO soit Hot Day Take Off) est celle offrant les conditions les plus critiques (débit, vitesse de rotation). Ce choix s'explique par le célèbre adage : Qui peut le plus, peut le moins. 38 L'objectif principal de ce premier test sur la géométrie réelle est d'évaluer la capacité du code de calcul à gérer une géométrie complexe avec le modèle VOF. L'environnement gazeux simulé est donc à pression standard. Toutefois, les tests futurs devront sans aucun doute prendre en compte la haute pression présente au sein de la cavité interne de l'atomiseur.

125

Les calculs sont effectués en régime instationnaire, avec un pas de temps

automatiquement déterminé par le code de calcul. Le calcul instationnaire avec injection de

la phase liquide est lancé à partir de la solution convergée monophasique n'impliquant que

l'écoulement d'air (cette solution initiale est obtenue avec un calcul stationnaire afin de

réduire le temps de calcul).

3.3.2 Présentation et analyse des résultats

3.3.2.1 Écoulement d'air

Tout d'abord, tel que nous venons tout juste de le formuler, un premier calcul

stationnaire est réalisé avec uniquement la phase gazeuse - Tair. Il a pour objectif de

réduire l'effort numérique en faisant converger en premier lieu la phase principale gazeuse,

ceci avant l'injection de la phase secondaire liquide.

Une étude approfondie 2D de l'écoulement inter-disque de type rotor-stator comme

nous l'avons présenté à la section 1.2.1 a été réalisée par un autre étudiant à la maîtrise

travaillant au laboratoire de Combustion de l'Université Laval (CLUL), et a permis ainsi de

valider le code de calcul grâce à des données expérimentales recueillies dans la littérature

scientifique. Dans notre cas, nous cherchons à retrouver l'écoulement de type Batchelor

(Figure 1-9), responsable de la création de l'écoulement transversal d'air, et source de

perturbations majeures pour le jet liquide. Il est judicieux de rappeler que l'écoulement de

type Batchelor est caractérisé par une couche limite centrifuge sur le rotor et une couche

limite centripète sur le stator, les deux étant séparées par un noyau central en rotation solide

- vitesse tangentielle constante ou quasi constante et vitesse radiale presque nulle.

Le but de ce paragraphe n'est donc pas de valider le modèle numérique pour

l'écoulement d'air, mais simplement de vérifier et de retrouver les tendances de

l'écoulement de type Batchelor. Pour ce faire, quatre lignes dans la direction axiale ont été

créées à différentes positions radiales et sont visibles en rouge sur la Figure 3-17.

Les résultats de la Figure 3-21 sont sans équivoque puisque nous retrouvons les

caractéristiques de l'écoulement de type Batchelor telles que présentées à la Figure 1-9. En

126

effet, nous remarquons sur la Figure 3-2la une vitesse radiale quasiment nulle du rotor

jusqu'au stator. Quant à la vitesse tangentielle visible sur la Figure 3-2lb, nous apercevons

le noyau central en rotation solide possédant une vitesse tangentielle constante, ou quasi

constante dans notre cas39. Il est également possible de noter sur cette même figure la

présence des deux couches limites spécifiques à ce type d'écoulement : la couche limite

d'Ekman centrifuge sur le rotor, et la couche limite de Bôdewadt centripète sur le stator.

Ces résultats viennent en même temps confirmer le choix de la valeur de la vitesse de

l'écoulement transversal (voir section 2.1.2.3), à savoir 130 m/s. Cette valeur a par ailleurs

été utilisée pour le calcul du dimensionnement du système d'alimentation du carburant dans

la cavité interne de l'atomiseur (voir Tableau 2-4).

Cette première solution monophasique a un double intérêt. Tout d'abord, elle confirme

la présence d'un écoulement de type Batchelor dans la cavité de l'atomiseur, et donc d'un

écoulement transversal responsable des perturbations que subit le jet liquide. Puis, elle

permet d'initialiser correctement le domaine de calcul dans l'optique de l'injection de la

phase secondaire, c'est-à-dire le carburant.

39 Une meilleure convergence aurait été nécessaire pour obtenir une vitesse tangentielle constante dans le noyau central. Toutefois, l'objectif de cette solution préliminaire n'est pas la convergence totale, mais plutôt l'initialisation du domaine en vue de l'injection de la phase liquide.

127

i ignel l igne: l ignei Ii0.ri6<

Radial t . i i . 'Oi Ve loc i t y

(m ix tu re ) (m/s) -2.00..0

' i g i f i i i -

Rotor

0.001 0.00? 0.003 0.004 0.005 O.OOB O.0OJ

Pos i t i on (m)

Stator

Radial Veloci ty Im i . t u re ] 1 Tirr.e-0.0000e'001 Mar 09, 2010 FLUENT B.3 |3d, dp, pbns, vof, r l e , unsteady!

(a)

• l ignai • hgneZ • hgne3 • l'Q"e4

Tangen t i a l i.50e.02 -

(mfxtSre) 1 3 0 m / S ( m / S ) l.tHe-02 -

5.00e-01 -

Couche de Bôdewadt

F o o l 0 0 .001 0 .002 0 . 0 0 3 0.004 0 .005 0.01)

Pos i t i on (nn)

Rotor Stator

Tangential Ve loc i ty |m i * t u re l ITime-O.OOOOe-00) Mar 09, 2010 FLUENT B.3 13d, dp, pbns, vof, r l e , unsteady!

(b) Figure 3-21 : Visualisation de la vitesse de l'écoulement d'air à quatre positions radiales

(a) composante radiale, (b) composante tangentielle

3.3.2.2 Pression d'injection

Une fois le calcul diphasique lancé, la première caractéristique de l'écoulement de la

phase liquide qu'il serait intéressant d'étudier est la différence de pression entre les deux

phases, autrement dit la différence de pression nécessaire à l'injection du débit souhaité de

128

carburant. La configuration testée du système d'alimentation du carburant est composée de

8 trous de 0,5 mm de diamètre (voir section 2.1.3). Pour cette configuration, en condition

DJC, le Tableau 2-9 nous rappelle que l'étude analytique du système d'alimentation

présentée au deuxième chapitre a abouti à un Ap égal à 1,69 MPa (245 psi), et à une vitesse

d'injection du carburant résultante de 66 m/s. La relation (2-16) du nombre de Reynolds

nous indique que l'écoulement sera pleinement turbulent (/te-10 000) étant donné la

Figure 2-7. Cela signifie que le coefficient de décharge sera alors maximal.

Afin de visualiser la différence de pression, nous avons à cet effet créé une ligne dans la

direction radiale passant par la trajectoire du jet (visible en rouge sur la Figure 3-17).

D'après la Figure 3-22, la différence de pression entre le jet liquide et le milieu ambiant

gazeux est de Tordre de 1,80 MPa (261 psi). Nous constatons de ce fait une légère

différence entre la valeur analytique et celle numérique. Comme nous le mentionnerons ci-

dessous, cet écart est probablement relié à la difficulté d'établir le bon coefficient de

décharge pour la géométrie modélisée.40

» Iina-1B

Tota l Pressure (mixture) (pascal )

2 OOfOB

l.BOcOB

1 BOe.06

1 (Qe-Oe

1.20B.0B

l.OOB'OB

B.QOB.05 -

B.00c05

4.00e-05

2 . 0 0 B - 0 5

O.OOe 'OO

\ 4

Différence de pression entre le jet liquide et le milieu ambiant gazeux

> i > i n » > » — m ■ » » » » » ■ » ■ » » », 1 08B5 0.087 0.0975 O.OBB

Posit ion (m)

TotBl Pressure Imixture) (Time-1.0599e-03) MBr 09, 2010 FLUENT B.3 (3d, dp, pbns, vof, rke, unsteady!

Figure 3-22 : Différence de pression mesurée par MFN entre le jet liquide et le milieu gazeux ambiant

À ce sujet, Lefebvre (1989) signale dans son ouvrage le déficit de théorie quantitative concernant les écoulements à travers d'orifices dans une large gamme de nombre de Reynolds. Ce déficit explique parfaitement la quantité conséquente de corrélations empiriques que nous retrouvons dans la littérature (voir par exemple Tableau 2-1).

129

Dans un souci d'analyse, il est important de rappeler que la condition d'entrée de la

phase liquide est une condition de débit massique (Mass Flow Inlet). À l'aide de ce débit et

des dimensions géométriques, le code de calcul détermine la pression totale et la vitesse du

liquide que nous avons examinées ci-dessus. Or, les résultats cités au Tableau 2-9 ont été

trouvés en appliquant un coefficient de décharge maximal CD^ =0,97. Il apparaît alors

évident que la forme de la boîte d'entrée du domaine étudié ne permet pas d'atteindre une

telle valeur pour le CD . Le coefficient de décharge de cette boîte d'entrée peut au

demeurant être calculé grâce à l'équation (2-1) :

CD= g ' • 3 r ' 0 ' 5 =0.94 A /— Ap l ,96x l0" 7 J—xl ,8x l0 6

^ V / \ V729

L'erreur est donc relativement faible ce qui signifie que la boîte d'entrée modélisée est

une bonne représentation de l'ajutage à entrée arrondie présenté au Tableau 2-1

(CD = 0,97 ). De plus, l'avantage de l'utilisation d'une condition limite d'entrée de type

Mass Flow Inlet est le respect du débit visé, et donc de la vitesse visée (Figure 3-23 et

Tableau 3-12). En connaissant l'importance de la conservation du débit dans l'évaluation

de l'épaisseur du film liquide (voir section 3.1), ainsi que celle de la vitesse d'injection

dans l'estimation du bris du jet (voir section 1.2.3), il apparaît alors judicieux d'imposer un

débit à l'entrée plutôt qu'une pression comme ce serait le cas avec une condition de

frontière de type Pressure Inlet.

130

_ 7.50.-01 1 7.12. .01

_ 7.50.-01 1 7.12. .01 j " ^ ^ j — ■ * ] 1 6 . 7 5 . . I 1 1 6 .36 . -0 I j 6 0 0 - . Q I * 5 .62 . .0 I

5.25.-01 . 4.6B..01 I l 4-SOe-Ol I 4l2e-0l I 3.75e-«l I 3.36.-01 1 3.00. .01 1 2.62. .01 1 2.25e-0l 1 l . B B f O l 1 1 Sue-01 1 I.12e<01 1 " 50»-OJ 1 3.75..00 u >*ùÉ*r

™ O.OOfOO « ■ ■ ■ ■ ■ « ■ ■ • ■ ■ ■ ■ H

Contours of Vel j c i l , Magnitude I m i . l u r e ) Im /s l 1 Tiftp'1.D599e-D3) Mar 10. 2D 10 FLUEIIT 6.3 13d. dp. pbns. » o

r. r l e . unsteady)

• I ir..-1R 1

« /\00»*0l -j

6.0 0e -01 -

. . . . - ■

,«#.lo»*oi -

66 m/s *'" l .00**0l -

Veloc i t y Magni tude 3.00»*01 -

(m i x tu re l Im/sJ

1.00**01 -

u .uue 'uu - i—■—■—■—*—■—■—■—r ■ i • i—i—■ • • — i — ■ • •—w 0.0B5r 0.065B 0.0559 0.0B6 O.OBEl 0.0562 0.0B6Ï

Pos i t ion (m)

Veloc i ty Magnitu de (mix ture) (Time=l.D599e-03) Mar ID . 2D 1 D FLUENT 6.3 (3d. dp. pbns. * o f . rke. unsteady)

Figure 3-23 : Visualisation de la vitesse d'injection de la phase liquide

Tableau 3-12 : Comparatif des caractéristiques de l'injection entre la théorie et les résultats MFN

Théorie CFD CD 0,97 0,94

Ap (MPa) 1,69 1,80 q j n (kg/s) 0,009 45 0,009 45

UL (m/s) 66 66

3.3.2.3 Comportement du jet liquide

À présent que nous avons vérifié le comportement réaliste de l'écoulement d'air et de

l'injection de la phase liquide, il serait intéressant d'analyser l'interaction entre ces deux

131

phases. Comme précédemment mentionné, l'injection de la seconde phase - et donc le

passage en régime instationnaire - s'effectue lorsque le calcul monophasique impliquant

seulement Tair est suffisamment convergé (voir section 3.3.2.1). La séquence d'images

présentée à la Figure 3-24 expose la progression du jet liquide et la collision de celui-ci sur

la surface en rotation de l'atomiseur.41

t = 4,67e-05 s / = 9,60e-05 s / = l,07e-04s

■ -—■. k .*» iv m "—" (•••♦"■ I: -€•• • I -M * r m tttt, t t — ai

/= l,28e-04s /= l,39e-04s /= l,79e-04s

t a ■—•■■ 1 " ■■ ' ■ Ira - -■ • n ■ v M i t l l i l > # . i t m . < , na. ■■■■m

t = l,97e-04s f = 2,15e-04s t = 2,50e-04 s

/ = 3,14e-04s / = 3,60e-04s / = 4,07e-04 s

t a i l — l u i : , l u t .* t« jM n " i i • Lrt-t t l ! t j a, .

/=5,21e-04s / = 7,47e-04 s /= l,04e-03s

b a i l i m k i I I « H I l k - l a futfaTIliaa m

Figure 3-24 : Visualisation de la progression de la phase liquide après son impact sur la surface en rotation

41 II est judicieux ici de préciser que le temps de calcul fut d'environ 1 mois pour arriver à la dernière image de la Figure 3-24. Une discussion sur les limitations dues aux temps de calcul est présentée dans la conclusion générale de ce mémoire.

132

La première constatation qu'il est possible d'effectuer est la non-déformation du jet

liquide causée par l'interaction avec l'écoulement transversal gazeux. Or, faire converger

initialement la phase gazeuse était justement destiné à faciliter la prise en compte de cette

même interaction. Bien qu'il puisse s'agir d'une erreur numérique, il est important de

préciser tout de même que la géométrie et les conditions d'opération peuvent fournir une

explication plausible à cette non-déformation. En effet, rappelons simplement que la

distance entre l'injection et la paroi solide est relativement faible (environ 7 mm), et que la

quantité de mouvement du liquide est 30 fois supérieure à celle de Tair pour une

configuration à 8 trous de 0,5 mm, à DJC (Figure 2-10). Ces deux éléments combinés

laissent donc penser que le jet liquide posséderait suffisamment de quantité de mouvement

pour atteindre la paroi de l'atomiseur sans se déformer.

Toutefois, et malgré le caractère essentiel de l'écoulement d'air, nous rappelons que

l'objectif majeur de cette première étude sur la configuration réelle simplifiée concerne la

phase secondaire liquide. À ce propos, nous pouvons noter la bonne prise en compte du

code de calcul des conditions périodiques. Cela vient justifier pleinement le choix de ces

conditions de frontière qui permettent de mailler avec précision une seule et unique section

du domaine, tout en limitant de ce fait le nombre de nœuds total et ainsi le temps de calcul.

Lorsque nous affichons la géométrie complète (Figure 3-25), nous remarquons la présence

des huit injections. Quant aux deux conditions de périodicité du domaine, elles effectuent

de manière satisfaisante le passage de la seconde phase d'une section à l'autre (Figure

3-24).

133

■ L O D e - D O

9 . 5 D e - 0 1

9 . D D e - O l

8 . 5 D e - 0 1

S . D D e - D l

7 . 5 0 e - D l

7 .DOe-D l

6 . 5 D e - D l

e . D D e - D !

5 . 5 D e - D l

5 . D O e - 0 1

4 . 5 D e - D l

4 .0D<f -D l

3 . 5 u e - 0 1

3 . D D e - D l

2 . 5 D e - 0 1

2 . D O e - 0 1

1 . 5 D e - 0 1

l . O D e - O l

5 . 0 D e - 0 2

D.DDe-DO I *

Contours of Volume f r a c t i o n ( f ue l ) ITime = ] . 0599e-03) Mar 10, 2010 FLUENT 6.3 (3d. dp, pbns. vo f . rke, unsteady)

Figure 3-25 : Visualisation des cellules à fraction volumique égale à 0,5 correspondant à l'interface entre les deux phases

Outre l'interrogation concernant la non-interaction entre les deux phases en présence,

d'autres problèmes sont apparus durant ce calcul. Dans le paragraphe suivant, nous allons

détailler ces difficultés, rendant possible l'énoncé de certaines limitations reliées à notre cas

d'étude. Ces limitations conduiront à une série de recommandations en vue de la future

poursuite des travaux exposés dans ce mémoire.

3.3.3 Limitations

La première difficulté en question concerne la phase secondaire liquide qui, malgré la

non-divergence du calcul, finit par ne plus « avancer » dans le domaine. Bien que le calcul

soit en régime instationnaire, la solution semble alors atteindre un régime permanent dénué

de sens, la phase liquide ne parvenant pas à quitter le domaine, s'arrêtant plus précisément

dans le creux de l'atomiseur au niveau où la géométrie prend la forme arrondie (Figure

3-26). Ceci vient confirmer que cette forme plus complexe que le simple disque plat

augmente considérablement l'effort numérique.

134

ï 50Û1-01 175. -01 1 501-01 4.251-01 l00e-01 3.751-01 3.501-01 3.251-01 J.OOl-01 2751-01 2501-01 2 25.-01 2 00.-01 1 75e-01 1 50e-0l 1 251-01 1.00e-01 7.501-02 5.001-02 250.-02 000e.00 L

Contours or Volu i ie f r a c t i o n I f u a l l IT ima- l .0599e-03l Har 10. 2010 FLUENT 6.3 [ j a . ap. pons. r o t . r l 6 . uns teaay l

Figure 3-26 : Visualisation de la première limitation grâce à la visualisation des cellules à fraction volumique égale à 0,5 correspondant à l'interface entre les deux phases

Le maillage conçu pour ce test a été réalisé à partir de la géométrie fournie par P&WC.

Dans celle-ci, la partie arrondie en question est en réalité constituée de trois courbes

distinctes (Figure 3-27). Un nouveau calcul a été effectué et s'est avéré, cette fois-ci,

satisfaisant puisque la seconde phase - le carburant - entre et sort normalement du domaine

de calcul. Contrairement à la géométrie proposée par P&WC, cette nouvelle géométrie ne

possède qu'un seul arc pour modéliser l'arrondi (Figure 3-27). Il est difficile de savoir

pourquoi le problème est survenu avec la géométrie initiale. Cependant, et malgré la

difficulté de conserver la géométrie exacte de P&WC, cela démontre l'importance et la

dépendance du modèle numérique vis-à-vis de la géométrie et par conséquent du maillage.

135

Géométrie modifiée (1 courbe)

Géométrie initiale (3 courbes)

Figure 3-27 : Différence entre la géométrie initiale de P<fcWC et celle modifiée

La deuxième limitation se rapporte au calcul des fractions volumiques dans les plus

petites cellules du domaine, celles directement en contact avec la paroi en rotation. En

tenant compte du Tableau 3-10, nous savons que la hauteur des premières cellules de la

couche limite est de 5 pm, et d'après la théorie exposée dans la section 1.3, l'épaisseur du

film liquide doit atteindre, dans notre cas d'étude, une valeur minimale d'une dizaine de

micromètres.42 Par conséquent, ces premières cellules susnommées devraient posséder une

fraction volumique égale à 1, signifiant qu'elles sont remplies uniquement de la phase

liquide. Or, le résultat observable sur la Figure 3-28 démontre que lesdites cellules

possèdent des fractions volumiques inférieures à 1, occasionnant irrémédiablement une

perte de précision dans la conservation du débit, et donc dans la prédiction de l'épaisseur de

film.

42 II est vrai que la théorie de la section 1.3 concerne plus spécifiquement l'épaisseur du film liquide sur le cas simple du disque plat, et non sur un atomiseur fronde complexe de type « coupelle ». Cependant, afin de dimensionner correctement le maillage, il est recommandé de disposer d'ordres de grandeur, ces derniers pouvant être obtenus à l'aide de cas simplifiés.

136

I 1 OOfOO 9 5 0 1 - 0 1 9 0 0 1 - 0 1 8 5 0 1 - 0 1 a o o e - o i 7501-01 7.001-01 1501-01 6001-01 5501-01 5.001-01 450e-01 400e-01 3 5 0 e - 0 l 3.001-01 2501-01 2001-01 1.501-01 l .OOl-Ol 5.001-02 O.OOe-OO U

Contours o f Volume f r a c t i o n I f u a l l IT ime-1 .0599e-03 l Mar 10. 2010 FLUENT 6.3 13a. ap, pbns. vo f , r l % . u n s i e a d y l

Figure 3-28 : Visualisation des fractions volumiques des premières cellules du domaine au contact de la paroi de l'atomiseur

Lors de l'étude dédiée à la validation du code de calcul, cette limitation avait déjà été

évoquée et notée pour un maillage offrant un y+ égal à 1 (voir section 3.2.2.3). Il est

essentiel de mentionner que cette étude précédente porte sur une injection unique centrale.

Autrement dit, le jet impacte alors au centre du disque où sa vitesse angulaire est nulle ou

quasiment nulle. Pour la géométrie réelle, le problème est différent puisque nous traitons à

présent une injection multiple et décentrée par rapport à Taxe de rotation. À ce titre, la

vitesse angulaire de l'atomiseur est très élevée - entre 280 et 290 m/s - à l'endroit de

l'impact du jet, démultipliant ainsi l'effort numérique au niveau de la paroi en rotation.

Bien que le y+ pour le cas réel soit supérieur à 1 - compris entre 2 et 4 - nous constatons la

même limitation que pour le cas de validation. Cela démontre l'importance de ce paramètre

adimensionné et la difficulté à simuler précisément les conditions extrêmes imposées par

l'atomiseur fronde.

3.4 Conclusion

Ce troisième et dernier chapitre a résumé les diverses études préliminaires ainsi que la

première analyse sur la géométrie réelle simplifiée fournie par P&WC. Ces types d'études

sont caractéristiques d'un calcul numérique classique. En effet, nous avons dans un premier

137

temps découvert le modèle utilisé et de cette manière déterminé les paramètres du maillage

et du code de calcul influençant ostensiblement la qualité des résultats. Puis nous sommes

passés à la validation du code de calcul concernant la prédiction de l'épaisseur du film

liquide sur une paroi rotative. Cette étape a abouti à des conclusions pertinentes au regard

de cette fameuse épaisseur, étape indispensable à l'estimation de la précision à laquelle

nous devons nous attendre lors des calculs sur la géométrie réelle.

Ces derniers calculs mentionnés ont constitué le défi majeur des recherches effectuées

durant la maîtrise. Malgré de nombreuses difficultés rencontrées, il a été possible d'une part

d'observer un respect de certains phénomènes physiques prédits par la théorie - écoulement

d'air, différence de pression à l'injection - et d'autre part d'en déduire une série de

recommandations qui seront utiles pour les futures recherches menées sur ce projet. Ces

recommandations sont formulées dans la conclusion générale ci-après.

Conclusions et recommandations

Cette maîtrise s'intégrait dans un projet de conception d'un nouveau système de

combustion incluant un atomiseur rotatif nommé atomiseur fronde, projet international

développé par Pratt & Whitney Canada. Elle se situait plus précisément dans la toute

première phase de ce programme d'étude, et ses objectifs étaient de ce fait nombreux et

variés. Le mandat était principalement composé d'une analyse théorique du principe de

fonctionnement de l'atomiseur fronde et des phénomènes physiques se déroulant à

l'intérieur de la cavité interne de celui-ci, puis d'une analyse numérique dans l'optique de

mettre en œuvre un modèle fiable et précis au regard de la prédiction de l'épaisseur de film

liquide se développant sur la surface en rotation de l'atomiseur. Les travaux effectués ont

par conséquent porté sur ces différents aspects, et ont été exposés et détaillés au travers des

trois chapitres constituant le présent mémoire.

Tout d'abord, le premier chapitre a offert la possibilité de réaliser une revue de la

littérature non seulement des atomiseurs rotatifs et des atomiseurs fronde plus

particulièrement, mais également des deux phénomènes physiques d'intérêt pour les

travaux relatés ci-dessous, à savoir l'influence de l'écoulement transversal gazeux sur le jet

liquide à l'intérieur de la cavité interne de l'atomiseur, et l'évaluation de l'épaisseur du film

liquide sur la surface en rotation. De cette façon, plusieurs règles essentielles de conception

d'un atomiseur fronde ont pu être mises en relief, notamment l'impact de certaines

caractéristiques géométriques sur la formation d'un film mince et uniforme sur la paroi de

l'atomiseur, condition inamovible pour l'obtention d'une atomisation satisfaisante dans la

chambre de combustion. Il a alors été démontré que la longueur des trous d'injection doit

être minimisée, et leur diamètre maximisé, ces propriétés géométriques devant permettre à

l'atomiseur de fonctionner en mode « film » plutôt qu'en mode « agglomération ». La

revue sur l'écoulement transversal a, quant à elle, abouti à l'introduction de corrélations

pertinentes concernant l'estimation de la longueur de bris du jet liquide soumis à ce même

écoulement gazeux. Cette donnée peut s'avérer indispensable lors du dimensionnement de

139

la cavité de l'atomiseur, ceci afin de prévenir tout bris du jet, et ainsi formation de

gouttelettes liquides, avant l'impact de ce dernier sur la surface en rotation. Enfin, la revue

sur l'épaisseur de film liquide sur ladite surface a mené à la caractérisation des paramètres

régissant cette épaisseur - propriétés du fluide, dimension de l'atomiseur, vitesse de

rotation et débit du fluide - et à la présentation de résultats expérimentaux et théoriques

précieux au moment de la validation du code de calcul par rapport à la prédiction de

l'épaisseur en question.

Par la suite, le deuxième chapitre a englobé la théorie spécifique mise en place dans les

études accomplies au cours de cette maîtrise, et décrites au troisième chapitre. Cette partie

du mémoire a pu être décomposée en deux sections distinctes. La première comportait le

calcul de la géométrie du système d'alimentation du carburant dans la cavité interne de

l'atomiseur. Ce calcul a tenu compte, premièrement, des différences de pression à atteindre

pour injecter le débit souhaité, ces valeurs étant comprises entre 0,10 MPa (15 psi),

suffisant pour obtenir un jet, et 1,72 MPa (250 psi), fournissant un système à basse

pression, et deuxièmement, de la longueur de bris précédemment introduite. L'analyse s'est

achevée par la proposition d'une géométrie à 8 trous de 0,5 mm de diamètre, cette

configuration respectant les deux critères susnommés. En ce qui concerne la seconde

section de ce chapitre, elle a relevé de la présentation exhaustive du modèle numérique

multiphase adopté dans FLUENTMD, modèle VOF (Volume of Fluid), dans le but de

simuler le jet liquide dans l'environnement d'air. En effet, ce modèle de suivi d'interface

(interface tracking) entre deux phases nous permet de mesurer l'épaisseur du film liquide

sur la surface de l'atomiseur, objectif final des recherches effectuées.

Finalement, les divers résultats obtenus durant cette maîtrise ont été énoncés et discutés

au travers de trois études successives, composant ainsi le troisième et dernier chapitre. La

première consistait à évaluer le modèle VOF et à déterminer la sensibilité du code de calcul

vis-à-vis de certains paramètres du maillage et du code lui-même. L'importance du

raffinement de maillage, notamment au niveau de l'interface entre les deux phases et de la

paroi, a été prouvée grâce à l'observation de la conservation du débit qui influe directement

sur la prédiction de l'épaisseur de film. Suite à cette évaluation préliminaire, la validation

du code a pu être effectuée à l'aide du cas du disque plat rotatif. En comparant nos résultats

140

numériques avec certaines valeurs théoriques et expérimentales disponibles dans la

littérature scientifique, il a été possible d'estimer le degré de précision du modèle

numérique, et plus précisément l'impact du y~ qui, selon sa valeur, permet de faire passer

Terreur de 30 à 15%. De surcroît, l'intérêt de prendre en compte le phénomène de

glissement dans les simulations a été démontré eu égard à la sous-estimation systématique

de l'épaisseur du film liquide obtenue par MFN. Quant à la troisième et dernière étude, elle

a porté sur la géométrie réelle simplifiée de l'atomiseur fronde de P&WC. Plusieurs

éléments positifs sont venus bonifier le travail accompli, comme par exemple la bonne

simulation de l'écoulement d'air au sein de la cavité interne et du système d'alimentation

du liquide (débit et vitesse d'injection respectés). Toutefois, nous avons relevé quelques

limitations qui nous permettent de proposer une série de recommandations dans l'optique

de faciliter la démarche lors de la poursuite de la recherche.

• Il existe une imprécision non négligeable au niveau du calcul des fractions

volumiques pour les cellules en contact immédiat avec la paroi de l'atomiseur en

rotation. En théorie, ces premières cellules devraient être entièrement remplies de la

phase liquide, mais possèdent pourtant des fractions volumiques inférieures à 1.

Deux paramètres sont à l'origine de ces imprécisions, à savoir la hauteur des

premières cellules de la couche limite et les vitesses en présence (de la paroi et de la

phase liquide). En effet, nous traitons un problème où la phase liquide impacte une

surface en rotation à un endroit où cette dernière possède une vitesse angulaire

légèrement supérieure à 280 m/s, et où la hauteur des premières cellules de la

couche limite s'élève à 5 pm (Tableau 3-10). Ces caractéristiques donnent lieu à un

y+ compris entre 2 et 4.

Les prochains calculs sur la géométrie réelle devront donc comporter un maillage

avec une hauteur de première couche supérieure à 5 pm, ceci afin de parvenir à un

y+ plus élevé. Toutefois, il est capital de garder à l'esprit l'épaisseur de l'interface

liquide/air à laquelle nous nous attendons avec ce type de simulation (de Tordre

d'une dizaine de micromètres). À des fins de précision accrue, il n'est pas

souhaitable que cette interface soit présente dans la première rangée de cellules du

maillage. Nous en déduisons qu'il s'agit d'une question de compromis à trouver

141

entre nécessité de raffiner le maillage pour capter l'interface et nécessité de l'élargir

pour diminuer l'effort numérique.

Le modèle multiphase VOF est un modèle très exigeant en termes d'efforts

numériques. Le principe de suivi d'interface (interface tracking) requiert une

précision de maillage extrême, ainsi qu'un calcul instationnaire. À ce sujet, les pas

de temps sont automatiquement déterminés par le code de calcul en fonction du

volume des cellules et de la vitesse caractéristique de l'écoulement. Autrement dit,

plus les cellules sont petites et/ou plus la vitesse de l'écoulement augmente, plus le

pas de temps diminue. Dans notre cas, étant donné Tordre de grandeur de

l'épaisseur du film, nous retrouvons des cellules extrêmement petites, avec des

vitesses extrêmement grandes compte-tenu des vitesses de rotation en question

(41 000 rpm, soit une vitesse angulaire à la périphérie de l'atomiseur de 300 m/s).

De ces paramètres, le code de calcul fait systématiquement descendre le pas de

temps entre lxlO"7 et 5xl0~8s. Ces variables sont donc intimement reliées: la

dimension de l'épaisseur de film liquide oblige à raffiner à l'extrême le maillage, ce

qui entraîne immédiatement la diminution des pas de temps et donc l'augmentation

du temps de calcul. Avec la puissance de calcul disponible au laboratoire de

Combustion de l'Université Laval (CLUL), nous parlons ici d'un calcul d'environ 1

mois pour atteindre la solution visible à la Figure 3-24.

Afin d'alléger la complexité de l'étude, et tout en sachant que l'objectif final est

d'évaluer l'épaisseur du film juste avant son injection dans la chambre de

combustion (donc à la sortie des conduits d'injection de l'atomiseur du type

coupelle perforée), une solution plus adéquate serait de ne modéliser que ces

fameux conduits. Il faudrait alors supposer une bonne distribution du carburant

entre tous les trous de l'atomiseur. Quant à la manière dont le carburant pénètre

dans ces trous, elle serait également à analyser afin d'imposer correctement la

condition de frontière d'entrée pour la phase liquide. Enfin, et ceci dans le but de

spécifier correctement la différence de pression entre l'entrée et la sortie du

domaine, il serait intéressant de réaliser au préalable un calcul monophasique 3D

simulant l'entière cavité avec les trous d'injection, ainsi que le début de la chambre

de combustion. De cette simulation n'impliquant que la phase gazeuse, nous

142

pourrions alors en déduire les distributions de vitesse et de pression de l'écoulement

d'air dans toute la cavité de l'atomiseur fronde.

Pour terminer ce mémoire, il est utile de souligner le fait que l'étude de la cavité interne

d'un atomiseur fronde est un problème relativement complexe à simuler puisque cela

impose de travailler avec des ordres de grandeur extrêmement petits, les épaisseurs de film

liquide ne dépassant pas une dizaine de micromètres, dans un système comprenant des

conditions extrêmement élevées, la vitesse tangentielle de l'atomiseur atteignant les 300

m/s. Les nombreuses difficultés rencontrées et rapportées dans les pages précédentes

doivent donc être relativisées étant donné les limitations imposées par le code de calcul. Et

bien qu'il soit, pour le moment, inconcevable de réaliser un calcul diphasique incluant le

modèle VOF et un modèle de bris nous permettant ainsi d'obtenir non seulement les

épaisseurs de film mais également les distributions de taille de gouttelettes générées, ce

travail a apporté de réelles avancées dans le domaine de la prédiction d'épaisseur de film

liquide sur une surface solide en rotation, grâce à l'évaluation et la validation du modèle

VOF disponible avec FLUENTMD. Étant donné la complexité voire l'impossibilité

d'effectuer des mesures expérimentales d'épaisseurs dans les trous d'injection, la

continuation du développement de ce modèle numérique apparaît primordiale dans la

prédiction d'une part de l'épaisseur du film liquide et dès lors de grosseurs de gouttelettes

dans la chambre de combustion, et d'autre part du mode de fonctionnement - film ou

agglomération - de l'atomiseur. Une précision élevée dans l'évaluation de ces deux

paramètres constitue un enjeu majeur menant au dimensionnement de l'atomiseur, en

termes de nombre, de diamètre et de position des trous d'injection. L'objectif à moyen et

long terme reste donc d'accroître l'importance de l'outil numérique dans le processus de

conception d'un atomiseur fronde.

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Annexe A : Recommandations concernant l'utilisation du modèle multiphase VOF dans FLUENTMD

Dans cette première annexe est présentée une série de recommandations très utiles lors de l'utilisation du modèle multiphase VOF proposé par FLUENTMD. Elles ont pour objectif d'éviter tout problème de divergence afin d'obtenir les résultats les plus satisfaisants possibles. Toutes les illustrations exposées dans cette annexe sont tirées du guide l'utilisateur de FLUENTMD (2006).

1) Applicabilité du modèle VOF

Fluides non miscibles possédant une interface parfaitement définie; Modèle inapproprié si la longueur de l'interface est petite comparée au domaine étudié; Problèmes typiques traités avec ce modèle : o bris de jet o mouvement de larges bulles dans un

liquide o mouvement d'un liquide suite à une

rupture de barrage o suivi en régime permanent ou

transitoire d'une interface liquide-gaz

VOF Applicable

11 Interface length is the same scale as the domain

' i

Interface length scale is the same as

domain

A jplicable

Interface length is

much smaller than domain

2) Choix du solveur

148

Pour le modèle VOF, seul le solveur Pressure Based est disponible; Il est conseillé de toujours utiliser la méthode Green-Gauss Cell Based avec le modèle VOF (la méthode Green-Gauss Node Based est reconnue pour être plus précise pour des maillages non structurés); Le modèle VOF peut être utilisé aussi bien pour des calculs stationnaires qu'instationnaires; cependant, il est recommandé d'effectuer les calculs en instationnaire même pour des problèmes en régime permanent;

Define —* Models —» Solver

M M -ormulatjon

| * Pressure Based ' Implicit C Explicit r Density Based ' Implicit

C Explicit

Space Time

C 2D <~ Axisymmetric r Axisymmetric Swirl • 3D

Steady • Unsteady

C 2D <~ Axisymmetric r Axisymmetric Swirl • 3D rransient Controls

C 2D <~ Axisymmetric r Axisymmetric Swirl • 3D

r Non-Iterative Time Advancement | r Non-Iterative Time Advancement |

Velocity Formulation

<• Absolute •' Relative

Gradient Option

T Frozen Flux Formulation

Velocity Formulation

<• Absolute •' Relative

Gradient Option

Unsteady Formulation

r Explicit

Velocity Formulation

<• Absolute •' Relative

Gradient Option

s 1st Order Implicit 2nd-0rder Implicit

Velocity Formulation

<• Absolute •' Relative

Gradient Option 3orous Formulation

• Superficial Velocity 1" Physical Velocity

'• Green-Gauss Cell Based

3orous Formulation

• Superficial Velocity 1" Physical Velocity r Green-Gauss Node Based

r Least Squares Cell Based

3orous Formulation

• Superficial Velocity 1" Physical Velocity r Green-Gauss Node Based

r Least Squares Cell Based

C K | ( 'ancel Help K | (

3) Choix du modèle VOF

149

Le choix entre les discrétisation temporelle explicite ou implicite détermine comment l'équation de conservation de masse est discrétisée dans le temps; La discrétisation explicite n'est utilisée qu'en mode instationnaire, et résout l'équation de continuité dans un pas de temps différent que les équations de conservation (pression et quantité de mouvement), contrairement à la discrétisation implicite.

Begin time step

Solve Momentum and Pressure

Solve Continuity

Define —* Models —» Multiphase

Multiphase Model

Model <- Off a Volume of Fluid r Mixture r Eulerian f Wet Steam

VOF Parameters

VOF Scheme I* Explicit <~ Implicit

Courant Number |u.25

r Open Channel Row

Body Force Formulation

T Implicit Body Force

OK Cancel

150

• Avantages de la discrétisation explicite : o permet d'utiliser la discrétisation

spatiale Geo-Reconstruct, facilitant l'obtention d'une interface bien définie, sans diffusion numérique

o conseillée pour des écoulements où la tension de surface est importante

• Désavantages de la discrétisation explicite : o faible convergence pour des

maillages de faible qualité (à forte asymétrie)

o faible convergence si les phases sont compressibles

o restriction dans le choix du pas de temps

Visualisation d'une interface avec une discrétisation explicite

• Avantages de la discrétisation implicite : o peut être utilisée avec de grands pas

de temps ou en mode stationnaire o peut être utilisée avec des maillages

de faible qualité et pour des écoulements complexes (effets de compressibilité)

• Désavantages de la discrétisation implicite : o excepté la discrétisation spatiale

Modified HRIC, tous les autres modèles produiront une diffusion numérique significative

Visualisation d'une interface avec une discrétisation implicite (sauf avec la

discrétisation spatiale Modified HRIC)

151

• L'option Implicit body force désigne les écoulements où des forces dues à la masse ne sont pas négligeables;

• Conseillée pour les cas où il existe une grande différence de masse volumique entre les phases;

• Conseillée pour les cas avec une forte accélération rotationnelle.

Defn ne —» Models —* Multiphase

• L'option Implicit body force désigne les écoulements où des forces dues à la masse ne sont pas négligeables;

• Conseillée pour les cas où il existe une grande différence de masse volumique entre les phases;

• Conseillée pour les cas avec une forte accélération rotationnelle.

Defn ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ |

• L'option Implicit body force désigne les écoulements où des forces dues à la masse ne sont pas négligeables;

• Conseillée pour les cas où il existe une grande différence de masse volumique entre les phases;

• Conseillée pour les cas avec une forte accélération rotationnelle.

Model r on t* Volume ot Fkild

Mixture •" Eulerian f Wet Steam

• L'option Implicit body force désigne les écoulements où des forces dues à la masse ne sont pas négligeables;

• Conseillée pour les cas où il existe une grande différence de masse volumique entre les phases;

• Conseillée pour les cas avec une forte accélération rotationnelle.

VOF Parameters

• L'option Implicit body force désigne les écoulements où des forces dues à la masse ne sont pas négligeables;

• Conseillée pour les cas où il existe une grande différence de masse volumique entre les phases;

• Conseillée pour les cas avec une forte accélération rotationnelle.

VOF Scheme » Explicit <~ I m p l i c i t

Courant Number

• L'option Implicit body force désigne les écoulements où des forces dues à la masse ne sont pas négligeables;

• Conseillée pour les cas où il existe une grande différence de masse volumique entre les phases;

• Conseillée pour les cas avec une forte accélération rotationnelle. T Open Channel How

• L'option Implicit body force désigne les écoulements où des forces dues à la masse ne sont pas négligeables;

• Conseillée pour les cas où il existe une grande différence de masse volumique entre les phases;

• Conseillée pour les cas avec une forte accélération rotationnelle.

Body Force Formulation

• L'option Implicit body force désigne les écoulements où des forces dues à la masse ne sont pas négligeables;

• Conseillée pour les cas où il existe une grande différence de masse volumique entre les phases;

• Conseillée pour les cas avec une forte accélération rotationnelle.

I - Implicit Body Force

• L'option Implicit body force désigne les écoulements où des forces dues à la masse ne sont pas négligeables;

• Conseillée pour les cas où il existe une grande différence de masse volumique entre les phases;

• Conseillée pour les cas avec une forte accélération rotationnelle.

OK | Cancclj

• L'option Implicit body force désigne les écoulements où des forces dues à la masse ne sont pas négligeables;

• Conseillée pour les cas où il existe une grande différence de masse volumique entre les phases;

• Conseillée pour les cas avec une forte accélération rotationnelle.

152

4) Choix des phases

Chaque phase peut être soit primaire, soit secondaire; Il est toutefois conseillé de choisir comme phase secondaire celle étant initialement la moins présente dans le domaine; L'interaction entre les phases peut s'exprimer de trois manières différentes : o échange de masse o réaction en phase hétérogène o tension de surface avec effets

d'adhérence à la paroi

Define —» Phases

Intfraction..

Set..| Close | Help |

5) Choix des paramètres de calcul

153

Le couplage pression-vitesse de type PISO est recommandé pour des écoulements simples; Pour des écoulements compressibles ou des écoulements dans des domaines fermés, il est recommandé d'opter pour un couplage de type SIMPLE ou SIMPLEC; Pour des maillages à forte asymétrie, il est conseillé de désactiver l'option Skewness-Neighbor Coupling.

Solve —> Controls —» Solution Solution Control»

Equations How Volume Fraction

S - Ul

Pressure-Velocity Coupling

PISO

SIMPIF SIMPI FC

Di

J Skewness-Neighbor Coupling

OK | _Dt

Concernant les facteurs de relaxation (Under-Relaxation Factors), les coefficients pour la pression et la quantité de mouvement peuvent être augmentés pour des cas simples; Un facteur de relaxation de la fraction volumique est ajouté pour la discrétisation implicite, et peut être augmenté par rapport à la valeur par défaut.

Solve —* Controls —* Solution

- UiiiJer-Relsxaliun Factors 1 Pressure

Density

Body Forces

_ 1 Pressure

Density

Body Forces

1 Pressure

Density

Body Forces '

Pressure

Density

Body Forces '

_ Momentum 0-7

Discretization

Pressure

Momentum

PRESTO!

Second Or

Vnliime Fraction Geo Recor

Default ! Cancel Help

154

Pour le modèle VOF, il existe deux discrétisations de la pression; Le modèle Body Force Weighted est conseillé pour des cas avec de fortes forces dues à la masse; Pour tous les autres cas d'études, l'utilisation du modèle PRESTO! est recommandée, peu importe le type de discrétisation temporelle.

Solve —> Controls —► Solution Discretization

vnlume Fraction Ceo Reconstruct

J

Default Cancel Help

• Pour des discrétisations explicites, le modèle Geo-Reconstruct permet d'obtenir un suivi d'interface précis sans diffusion numérique; dans les cas où ce modèle échoue, il existe d'autres possibilités : o pour des maillages à forte

asymétrie, il est possible d'utiliser la discrétisation explicite en combinaison avec le modèle Modified HRIC afin de minimiser la diffusion numérique

o en présence de grandes différences de vitesse entre les phases, il est recommandé d'opter pour une discrétisation implicite avec le modèle Modified HRIC

o en présence de grandes différences de viscosité entre les phases, il est possible d'utiliser le modèle CICSAM

Solve -► Controls —» Solution

Under-fielaxatlon Factors . Pressure 1

Density [1

Body Forces | |

■

Momentum 0.7

Discretization

J

A

Pressure

Momentum

PRESTO! l l J

A

Pressure

Momentum Second Order Upwind •

J

A Volume Fraction Geo-Reconstruct J

J

A Volume Fraction

CICSAM Modified HRIC QUICK

J

A Default | Cancel Help j

155

Pour des discrétisations implicites, tous les modèles de discrétisation spatiale de la fraction volumique amèneront de la diffusion numérique, excepté le modèle Modified HRIC.

QUICK

HRIC

Exemple de plus faible diffusion numérique obtenue avec le modèle

Modified HRIC

6) Choix des conditions d'opération

156

La position de la pression de référence ne doit pas être modifiée; La masse volumique d'opération doit correspondre à la plus petite valeur des masses volumiques des phases; Le choix de la plus grande masse volumique comme référence entrainera une mauvaise distribution de pression; Si les phases sont compressibles, il est recommandé de saisir la plus petite masse volumique à la pression d'opération choisie.

Define —* Operating Conditions «line Coidfllous

Pressure Gravity

Opciatina. Pressure (pascal; & Gravity I-IB1325 Gravitation»' Acceleration

Reference Fressure Locstlm X (™/sz| u

Xln) i . i Vln^zipriT Y|«i| T a T

Z(n )T

Z [ i « / t 2 ) | i

Variable-Oenslty Parameters ? Specified Oaefstinq Density Oaetatliig Dcnslly [fcgtViJl

OK | rÇanêeTjj Help

7) Choix des conditions de frontière

157

À chaque condition de frontière d'entrée, une seule et unique phase peut pénétrer dans le domaine : o Velocity inlet : une seule phase peut

avoir une fraction volumique égale à 0 sur cette frontière; cette condition est utilisée seulement pour des écoulements compressibles

o Mass flow inlet : une seule phase peut avoir un débit massique différent de 0 sur cette frontière

o Pressure inlet : une seule phase peut avoir une fraction volumique égale à 0 sur cette frontière

Concernant les conditions de frontière de sortie, deux recommandations sont à mentionner : o Pressure Outlet : une seule phase

peut avoir une fraction volumique de retour (Backflow) égale à 1, les autres devant être égales à 0

o Outflow : cette condition ne doit jamais être utilisée avec le modèle VOF

Define —> Boundary Conditions DOUIHI.II y Conditions

Zone Type default-interior Huld

outlet wall

exhaust (an inlet-vent intake-fan interface mass How inlet outflow outlet-vent pressure-inlet pressure-outlet symmeti

wall

itry I

EEaBi Phase ID mixture

Set..

l l 1

Copy... Close Help

8) Choix du pas de temps

158

• Pour des calculs instationnaires, le pas de temps adéquat peut être estimé grâce à l'expression suivante :

A/ = r/i/3

cell, min

U

Keiimm correspond au volume de la plus petite cellule du domaine et U à l'échelle de vitesse du problème (généralement la vitesse d'entrée); Si une divergence intervient au premier pas de temps, il est conseillé de diminuer le pas de temps d'un facteur 10. Idéalement, le calcul doit converger en 10-15 itérations par pas de temps.

Solve —► Iterate

Time

n m e Step Size (s) |2 .2275e-M

Number of nme Steps [fT

Time Stepping Method

r* Adaptive <~ Variable

JI

Options

T Data Sampling for n m e Statistics

Iteration

Max Iterations per Time Step 5 8 M

Reporting Interval h -d

UDF Profile Update Interval 1 -Jj

Iterate Apply Close Help |

9) Conseils concernant le maillage

159

Le modèle de fraction volumique, et donc de suivi d'interface, est très sensible à la qualité du maillage; de ce fait, il est fortement conseillé de mettre la plus grande qualité de maillage où l'interface est sensée se trouver; Les cellules ayant une forte asymétrie, un rapport hauteur/largeur élevé ou encore de grandes variations de taille entre elles, sont préjudiciables à la convergence du calcul.

Bad Exemple de différences entre un bon et un

mauvais maillage

Annexe B : Détails des maillages utilisés pour l'étude sur la conservation du débit

Cette deuxième annexe contient les diverses caractéristiques des maillages utilisés pour

l'étude sur la conservation du débit avec le modèle VOF (voir section 3.1).

Type de maillage

Nombre de nœuds

Aperçu Numéros des tests

Non raffiné 2 601 . " : : : : : ■ • : : ■

Grid inms>I.B3GBe-Q2i Jun H . ?[ [9 FLUENT 6.3 la«i. pbns. *of. r i * , unsteady)

0,1 mm d'intervalle

0 1 2 8

Non raffiné -

1er

raffinement autour de l'interface

2 821

Grid i T I m e - I . O O J J e - e r i Ju" 04. :oc9 FLUENT 6.? (a. i . rbr.E. ..:'. r... , t i6leadj!

50 nœuds par côté Ratio d'expansion = 1,05 pour la partie supérieure, 1,2 pour la partie inférieure

2bis

161

Semi-raffinement du maillage

23 179

9rid *T;me'!.OBICe-0?i Ji*i 04. 20C9 FLUENT 6.3 la.L tu™, vol. rl«. jreteadyl

1er6 zone raffinée : Hauteur = 1,7 mm, 0,025 mm d'intervalle 2nde zone non raffinée : 30 nœuds par côté avec ratio d'expansion = 1,08

Raffiné avec couche limite

n°l

45 892

C-rld ( T i m e - ! . 0 0 4 6 e BJ?I

0,025 mm d'intervalle Couche limite 1 : Hauteur de la lere

couche = 0,01 mm ; Ratio d'expansion = 1,03 ; Nombre de couches = 32

162

>nd

raffinement total du maillage

43 681 9 11 12 13 14 16

Grid lT ;me-; .DDa6e-B: i Jun 04. 2DG9 FLUENT 6.3 (a»l. s « l r l . pbns, -o f . rèç . unsteady)

0,025 mm d'intervalle

Raffiné avec couche limite

n°2

47 098 10

■- : "■■ r - : . : . ] > - . .

0,025 mm d'intervalle Couche limite 1 : Hauteur de la lere

couche = 0,005 mm ; Ratio d'expansion = 1,05 ; Nombre de couches = 34