Modélisation du comportement du milieu

granulaire en fonction de l’écrasement des

grains

Afif Rahma

Résumé: L’influence de l’écrasement des grains sous fortes contraintes est introduit dans la loi de comportementélastoplastique (modèle Hujeux) par le moyen des variables supplémentaires évoluant en fonction de l’évolution despropriétés physiques et mécaniques des grains. Ces variables sont définies comme des fonctions de la quantité du travailplastique dissipé, proposé comme un nouveau paramètre décrivant la plastification du matériau. Les résultats de calcul surchemin oedométrique et triaxial montrent une très bonne simulation entre les courbes expérimentales et la solution numériqueet prouvent la validité de la modification proposée.

Mots clés : corrélation, écrasement des grains, loi de comportement, modélisation, travail plastique.

Abstract: The influence of grain crushing under high stress levels is introduced in the elasto-plastic constitutive law(Hujeux’s model) using additional variables that change with the physical and mechanical properties of the grains. Thesevariables are defined as functions of the amount of dissipated plastic work, which is proposed as a parameter for describingthe material yield. The results of computer simulations along oedometric and triaxial paths indicate a very good agreementbetween the experimental curves and the numerical solutions. The proposed modifications are therefore validated.

Key words: correlation, grain crushing, constitutive law, modelization, plastic work.[Journal translation]

Introduction

La description du comportement du milieu granulaire par untenseur de contraintes–déformations est basée sur des hypothè-ses de liaison entre le comportement à l’échelle des grains(milieu discontinu) et le comportement du milieu continu fictiféquivalent où nous remplaçons les variables stochastiques dela micromécanique : l’élasticité des grains, le frottement entregrains,…, le système de force entre les grains qui dépend despropriétés des particules (la taille, l’état de surface,…) et deleurs assemblages (Biarez 1962), par des espérances mathéma-tiques ou des paramètres de synthèse décrivant les propriétésmécaniques moyennes du milieu continu : l’élasticité, la cohé-sion, l’angle de frottement interne,… (Favre et Rahma 1990).

L’évolution rhéologique du comportement de ce milieuidentifié par : l’augmentation de la plastification, la diminutionde la résistance relative q/σ3, l’augmentation de la compressi-bilité εv et la diminution de la dilatance pour les matériauxdenses,…, est due essentiellement à l’évolution des propriétésphysiques et mécaniques des grains produite par l’attrition etla rupture individuelle des grains.

La définition des modes d’évolution des lois de liaisonrhéologie entre les deux milieux, discontinu et continu, néces-site une analyse minutieuse des différents facteurs qui régis-sent le mécanisme de l’écrasement des grains.

L’intégration de l’influence de ce phénomène qui se produitcontinûment tout au long de la déformation, dans les équations

constitutives de la loi de comportement, devrait se faire par desvariables d’écrouissage dépendantes de l’évolution des pro-priétés physiques et mécaniques des particules du milieu.

Description du phénomène del’écrasement des grains

Nous identifions l’écrasement des grains par : (i) la diminutionde la taille des grains et l’augmentation du pourcentage desparticules fines <0.02 mm, (ii) l’augmentation de l’étalementgranulométrique, (iii) la modification de la forme et l’état de lasurface des grains. Cette modification des propriétés physiquesest accompagnée d’une évolution des propriétés rhéologiquesdu milieu granulaire. Elle est constatée pour des essais surchemin triaxial par la diminution : du domaine élastique, del’angle de frottement interne w et de la résistance maximale dumatériau décrite souvent par le rapport qmax/σ3 dans le plan(q–εd) ou du rapport η = q/p dans le plan (q–p).

Cette baisse des propriétés mécaniques explique l’augmen-tation de la plastification et l’accélération de l’écrouissage dumatériau granulaire et l’augmentation de la compressibilité quipeut devenir pour le sable plus forte que celle de l’argile (Ro-berts et De Souza 1958).

Facteurs influençant la rupture des grainsLes études expérimentales consacrées à ce sujet ont montrél’influence des propriétés physiques et mécaniques des grainset le rôle de la grandeur des contraintes et du chemin suivi. Ilsemble que les principaux facteurs physiques ayant une in-fluence sur ce phénomène sont : (i) la structure cristalline et lacomposition minéralogique des grains (silice, calcaire,…), (ii)la taille des grains et l’étalement granulométrique et (iii) la

Can. Geotech. J. 35: 517–523 (1998)

Reçu le 10 décembre 1996. Accepté le 20 novembre 1997.

A. Rahma. École centrale Paris (laboratoire MSS-Mat), grandevoie des vignes, 92295 Chatenay-Malabry, France. Adresseactuelle : Faculté du génie civil, Université de Damas, Syrie.

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forme des grains (sphéricité, angularité). Toutefois, pour unmême niveau de contrainte, la détérioration des grains aug-mente avec la diminution de la résistance individuelle des par-ticules liée à la minéralogie et la structure cristalline.

L’influence de la densité de la microfissuration et l’étatd’altération des grains racontant l’histoire de la formation gra-nulométrique est un autre agent de la possibilité de clivage desgrains. Colliat-D’angus (1986) montre que la densité des mi-crofissures est corrélée avec l’augmentation de la taille desgrains et leur angularité.

La distribution et l’amplitude des forces de contact et d’in-teraction entre les grains sont liées aux propriétés physiquesdes grains et de leurs assemblages. L’augmentation de la tailledes grains et la diminution de l’étalement granulométrique di-minuent le nombre des points de contacts et augmentent lesforces d’interaction entre les grains, autre facteur de la rupturedes particules et de leur angularité (Lee et Farhoomand 1967).

À ces facteurs s’associe le rôle de la densité du matériau.Expérimentalement on constate que l’écrasement des grains audébut du chargement d’un milieu peu dense est plus fort quecelui d’un milieu dense (Cambou 1972).

L’effet des ces facteurs au cours de la déformation a été misen évidence par Ramamurthy et al. (1974). L’idée fondamen-tale est déduite des différentes expériences que l’écrasementdes grains se développe et augmente continuellement avecl’augmentation des contraintes et la déformation; mais l’écra-sement des grains est plus accentué au niveau du cisaillementet il est plus important dans la phase plastique qui suit le maxi-mum du déviateur.

Modèle de prédiction de l’évolution granulométriqueDans notre étude de modélisation de l’écrasement des grains,nous avons proposé des modèles probabilistes de prédictionpermettant le calcul de l’évolution granulométrique à partir despropriétés initiales des grains et en fonction des contraintesappliquées (Rahma 1993). Les modèles proposés du taux del’écrasement des grains sont sous la forme :

[1] ∆dn = fσg ± e

avecσ, contraintes appliquées;∆dn, la différence de la taille maximale d, avant et après essai,correspondant à un pourcentage en poids n, passé par un tamisde diamètre donné;f et g, paramètres dépendant des caractéristiques du milieugranulaire, ces paramètres varient selon le mode de charge-ment;e, résidu.

Modélisation du rôle de l’écrasement desgrains

Présentation de la loi rhéologique utilisée : modèleHujeux

C’est un modèle de loi élastoplastique qui décrit le comporte-ment du milieu à partir des considérations purement macrosco-piques. Il est développé à l’école Centrale de Paris par Hujeux(1985) et consiste en des améliorations du modèle Cam-Clayoriginal.

Les équations constitutives du modèle pour chargementmonotone sont basées sur plusieurs hypothèses :

(i) on a plusieurs domaines de comportement;(ii) on se place dans l’hypothèse des petites déformations et onsuppose que la déformation totale est décomposée en déforma-tion élastique et déformation plastique;

[2] ε = εe + εp

(iii) le comportement élastique est isotrope, non-linéaire etfonction de l’état de contrainte;

[3] E = Eo

p′pa

n

Eo, module de Young (pour p′ = pa = 100 kPa); n, coefficientde non-linéarité; p′, contrainte effective moyenne; pa, pressionatmosphérique de référence;(iv) le comportement plastique se divise en un mécanisme deconsolidation isotrope et un mécanisme déviatorique, et la dé-formation plastique est la somme produite selon les deux mé-canismes.

[4] εp = εdp + εv

p

Le mécanisme déviatorique

Ce mécanisme est équivalent au critère de plasticité de Mohr-Coulomb. L’équation de la surface de charge pour chargementmonotone est définie sous forme d’un cercle dans le plan descontraintes déviatoriques ((σii − σjj) ⁄ 2, σij) normalisé par lafonction F. Sa relation est donnée sous la forme :

[5] fp, q, εv

p, εdp

= q

F− r

avec

[6] q =

σii − σjj

2

2

+ σij2

__

1/2

[7] F = 1 − b log

P

Pc

p sin

[8] Pc = pcoexp βεv

p

{σij}, état de contraintes;w, l’angle de frottement en plasticité parfaite (ou l’état criti-que);

p =σii + σjj

2pression moyenne;

β, la compressibilité du matériau = la pente de la droite de l’étatcritique dans le plan (εv–log p);pca, paramètre de référence, sa valeur dans le modèle est cons-tante; il est défini comme la pression de préconsolidation iso-trope dépendant de la densité initiale eo du matériau;b, paramètre du modèle;r, variable d’écrouissage interne; il définie le degré de la plas-tification du matériau :

[9] r = rel +εd

p

a + εdp

, (0 < r < 1)

εdp, la déformation déviatorique plastique;

rel, la valeur initiale du rayon correspond au domaine élastique;a, paramètre du modèle.

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Le mécanisme isotrope

Ce mécanisme est réglé par la variable d’écrouissage εvi (letaux de la déformation volumique, pour les conditions de char-gement isotrope).La surface de charge s’écrit :

[10] fip, εvi

p

= p − ri dpc = 0

avec

[11] Pc = Pco(exp βεviP ) avec εv = −

∆ej

(1 + eoi)

[12] ri = riel +

εviP

c + εviP

ri , variable d’écrouissage interne; il définie le degré de la plas-tification du matériau pour le mécanisme isotrope;c, paramètre du modèle;d, distance dans le plan (e – log p) entre la ligne de consolida-tion isotrope et d’état critique.

Analyse énergétiqueLes déformations irréversibles du milieu granulaire sous fortescontraintes sont expliquées mécaniquement par le serrage en-tre les grains, le glissement et la rotation relatifs des particules.Ces mécanismes, identifiant la plastification du matériau,s’amplifient avec les nouvelles conditions créées par l’écrase-ment des grains et provoquent une augmentation de la com-pressibilité du matériau lâche et la diminution de la dilatancepour les matériaux denses.

Le passage du matériau d’un état de déformation à un autrenécessite la dépense d’une quantité d’énergie P égale au travailplastique dissipé entre deux états de contraintes.

Sur un chemin triaxial on définit la valeur de la quantité dutravail plastique par la relation :

[13] dWp = σijdεijp

Hujeux (1985) dans l’écriture de son modèle accepte leshypothèses suivantes :(i) Le principe de l’état critique qui suppose que le matériau àpression pc, soumis à un déviateur de contraintes sous défor-mation εd très grande, tend vers un état critique où il se com-porte comme un matériau parfaitement plastique :

[14] qc = sin ϕ pc (compression triaxiale)

(ii) les vecteurs du déviateur des contraintes et l’incrément dela déformation déviatorique sont co-linéaires. L’équation entrela puissance reçue et le travail plastique dissipé proposé parHill (1950) s’écrit :

[15] Pp = p dεvp + q dεd

p

Ces deux hypothèses permettent d’écrire qu’à tout point del’espace des contraintes, l’équation d’égalité de l’incrément dutravail dissipé et la puissance plastique est vérifiée et on écrit :

[16] Pp = dWp=p dεvp + q dεd

p = sin ϕ p dεdp

De cette équation nous écrivons la relation déterminant letaux de la déformation volumique plastique εv

P, dite « loi de ladilatance » :

[17]dεv

p

dεdp

= sin ϕ − q

p

Dans l’écriture de cette équation, on a considéré que l’éner-gie est dissipée au cours de la déformation uniquement par letravail plastique dû au frottement créé par le déplacement et larotation des particules.

L’égalité du deuxième et troisième terme de l’équation[16], sous une forme normalisée par rapport à la contraintemoyenne p, devient:

[18] dω = dWp

p= dεv

p + η dεdp

Dans cette équation nous trouvons, pour un taux de déforma-tion déviatorique dεd

p donné, que l’énergie normalisée est dé-pensée en fonction de dεv

p et de η = q/p indépendamment de lagrandeur de la contrainte de consolidation σ3.

Contrairement à cette hypothèse, l’analyse des essais réali-sés par Touati (1982) sur le sable de Fontainebleau sous fortescontraintes montre (fig. 1A) que le travail normalisé Wp/p va-rie en fonction de la contrainte de consolidation σ3 et du niveaude la contrainte q/p et que le principe de l’égalité entre letravail plastique dissipé par frottement et l’énergie fournien’est pas vérifié (Rahma 1994).

Nous pensons que cette différence de la quantité d’énergieest dissipée par l’écrasement des grains et augmente avec lacontrainte de consolidation σ3 et la contrainte moyenne p.

Nous écrivons ainsi que la puissance fournie est dissipéesous deux formes :(i) le travail dû au frottement entre les grains créé par le dépla-cement et la rotation des particules : dWirr

P

(ii) le travail dû à l’écrasement des grains : dWecrP

on écrit :

[19] Pp = dWP

[20] Pp = dWecrP + dWirr

P

L’équilibre de l’équation [16] se réajuste par l’introductiondes variables d’écrouissage qui décrivent les modificationsrhéologiques du comportement du matériau liées à la modifi-cation des propriétés physiques des grains.

Choix des variables d’écrouissageNous avons pu montrer qu’une logique de liaison existe entrele travail plastique et le phénomène de l’écrouissage du maté-riau identifié par la déformation irréversible (fig. 1B) et que lerapport entre le travail plastique normalisé et la déformation decisaillement εd est une fonction non-linéaire et indépendantede la contrainte de consolidation.

De ces résultats nous formulons notre hypothèse que le tauxde la plastification dεd et dεv (très petite) mesurée entre εd1 etεd2 par rapport à la déformation élastique est une fonction dela quantité du travail plastique dissipé entre εd = 0 et εd = εd1(fig. 2).On écrit que :

[21] δεp = Γ(Wp)La prise en compte de la plastification du matériau dans la

loi de comportement se réalise par des variables d’écrouissageα, et l’équation de la surface de charge s’écrit :

[22] f(σ, α) = 0

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et

[23] α = g(Wp, Ψ)

où Ψ paramètre dépend des propriétés physiques et mécani-ques des particules de grains.

Modélisation de la plastification déviatoriqueLe degré de la plastification déviatorique du matériau est dé-crite dans ce modèle par le paramètre d’écrouissage déviatori-que r [9]. Ce paramètre est pris comme fonction de ladéformation déviatorique εd

p indépendamment des contraintesde consolidation appliquées. Pour tenir compte du taux del’écrasement des grains lié aux grandeurs des contraintes ap-pliquées nous avons apporté une modification à ce paramètreen le rendant dépendant du travail plastique; cette modificationpermet aussi de tenir en compte l’influence du domaine decomportement et l’effet de la dilatance.Le paramètre r prend la forme :

[24] r = rel + Wp

A + Wp(0 < r < 1)

avec A paramètre d’écrouissage déviatorique constant, sa va-leur dépend des propriétés initiales du matériau.

Modélisation de l’écrouissage volumique du matériauLe rapport entre la déformation volumique plastique et la pres-sion moyenne p est décrite dans le plan (log p – εv

p ) par l’équa-tion [8] pour le mécanisme déviatorique et l’équation [11] pourle mécanisme isotrope.

Deux paramètres agissent sur l’évolution de la déformationvolumique plastique du matériau : (i) le module de la compres-sibilité plastique β, (ii) la contrainte de surconsolidation iso-trope pco qui joue le rôle du potentiel mécanique.

Ces deux paramètres varient en fonction de l’écrasementdes grains, mais nous pensons que l’effet de la variation de βest relativement petite par rapport à l’effet de la diminution depco, ainsi nous expliquons l’augmentation de la compressibilitédu matériau et la diminution de la dilatance pour des matériauxdenses par la diminution de pco (fig. 3).

De l’équation [8] nous constatons que pc diminue récipro-

Fig. 1. Relation entre le travail plastique et la plastification du matériau granulaire.

Fig. 2. Le rapport entre le travail plastique et l’écrouissage dumatériau.

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quement avec la diminution de pco. Relativement à cette dimi-nution le rapport p/pc tend plus vite vers une valeur égale à 1et les contraintes déviatoriques q dans l’équation [7] atteignentplus vite la valeur P Sin ϕ correspondant à l’état de plasticitéparfaite.

L’estimation de la valeur de pco pour chaque état de char-gement (Hicher et Rahma 1994) montre que pco est corréléeinversement avec la grandeur du travail plastique dissipé selonune relation hyperbolique (fig. 4).

Pour pco max correspondant à l’état initial du matériau sansécrasement des grains, la valeur de Pco ⁄ Pco max varie entre 1 etune valeur proche du 0.

Nous proposons l’équation de l’évolution de pco sous laforme :

[25] pco = pco max (1 – χ)

avec :

[26] χ = 1−Pco

Pco max= Wp

B + Wp

χ, fonction d’écrouissage volumique responsable de l’écrase-ment des grains, sa valeur varie entre 0 et 1;B, paramètre d’écrouissage volumique constant, il dépend despropriétés initiales du matériau.

[27] Pc = Pco1 − Wp

B + Wp

exp(βεvp)

La surface de charge s’écrit :

[28] fip, pco, εvi

p

= p − dpc = 0

Estimation probabiliste du paramètre d’écrouissageDans notre étude de modélisation du rôle de l’écrasement desgrains sur le comportement du milieu granulaire (Rahma1994), nous avons montré l’existence d’une relation non-li-néaire entre le travail plastique et la variation de la taille desgrains (fig. 5A), ou plutôt entre le travail plastique et l’indicede l’écrasement des grains Sgr (fig. 5B) qui définit l’évolutionde l’ensemble de la structure granulométrique.

Nous calculons la valeur de Sgr par l’intégration de l’équa-tion [1] :

[29] Sgr = ∑0

100

∆(log dn) × dP% = σ∫F(dn)

F(dn), fonction probabiliste de l’évolution granulométrique;dP%, incrément sur le pourcentage en poids des grains passéspar un tamis de diamètre donné;σ, contrainte de consolidation.

De ce qui a été avancé, nous écrivons l’équation [29] sousla forme :

[30] Sgr = ∑0

100

∆(log dn) × dP% = Wp∫Ψ(dn)

Nous pouvons ainsi lier l’écrouissage du paramètre pcofonction du travail plastique Wp directement avec les variationsgranulométriques du matériau, facile à mesurer au laboratoire(fig. 6).

Test de modélisation

La simulation numérique avec les modifications apportées à laloi de comportement, sur un sable granitique G1 et G2 (fig. 7),pour des essais réalisés sous fortes contraintes (Kim 1995), aété effectuée suivant les démarches suivantes.

Calcul du jeu initial des paramètres rhéologiques dumodèle

Nous estimons qu’il est difficile de connaître le comportementdu matériau sans écrasement des grains. Alors nous avons cal-culé le jeu initial des paramètres rhéologiques, par les modèlesde corrélation (Rahma 1991), à partir des paramètres d’identi-fication du matériau avant écrasement des grains. Puis nousavons réajusté ces valeurs sur un essai triaxial et un essai oe-dométrique pour une contrainte de consolidation de 1 MPa,admettant que le rôle de l’écrasement des grains pour ce niveaude contraintes est très faible.

Fig. 3. Évolution de la compressibilité du matériau en fonction del’écrasement des grains.

Fig. 4. Relation entre pco/ pco max et le travail plastique Wp.

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Effet des fortes contraintesLes résultats de simulation du comportement du matériau

pour des essais sous fortes contraintes pour 5 et 15 MPa, àpartir du jeu initial calculé, montrent une forte influence del’écrasement des grains sur le comportement volumique(fig. 8) et un écart entre les courbes expérimentales et les cour-bes calculées.

Après l’introduction du degré de plastification déviatoriqueet la prise en compte d’une diminution de l’angle de frottementcorrespondant à la baisse de la surface de charge, la correctionde la valeur de pco par la variable d’écrouissage χ fonction deWp a permis de simuler plus correctement le comportement surchemins triaxial et oedométrique et de décrire plus correcte-ment la déformation volumique (fig. 8 et 9).

Fig. 6. Relation entre pco et l’indice de l’écrasement des grains Sgr.

Fig. 7. L’étalement granulométrique des matériaux G1 et G2 (Kim1995).

Fig. 5. Relation entre le travail plastique et l’écrasement des grains.

Fig. 8. Modélisation du comportement du sable granitique G1 et G2sur chemin oedométrique.

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Conclusions

La révision du modèle rhéologique et l’introduction de l’effetde l’écrasement des grains et la modification de leurs proprié-tés physiques et mécaniques par l’intermédiaire des variablesd’écrouissage a permis de décrire correctement le comporte-ment du matériau granulaire sous fortes contraintes.

L’introduction de la quantité de travail plastique dissipécomme un paramètre de référence a l’avantage de le corréleravec des paramètres physiques faciles à mesurer au labora-toire.

Rendre le travail plastique dissipé, facile à quantifier,comme un paramètre de référence pour décrire l’écrouissagedéviatorique et volumique du matériau permet de prédire et desimiler plus correctement le comportement du milieu granu-laire et de lier les différents phénomènes rhéologiques macro-scopiques avec les vrais facteurs qui les génèrent.

Remerciements

Ce travail a été réalisé avec le soutien et le financement de

l’agence nationale pour la gestion des déchets radioactifs (AN-DRA). Nous avons utilisé pour nos travaux de calcul le DriverHujeux du laboratoire de mécanique de sols-structure-maté-riaux de l’École Centrale Paris. La publication de ce travails’inscrit dans le projet Syrien pour le développement de larecherche.

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Fig. 9. Modélisation du comportement du sable granitique G1 et surchemin triaxial.

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