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Modélisation du tir à l’arc

Optimisation d’une branche dans le cadre des milieux

curvilignes

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Plan

I. Présentation de l'arc et de sa modélisation

II. Démarches et résultats numériques

III. Validation expérimentale

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Caractéristiques à optimiser :

- la raideur

- la forme de l’arc sans corde

- la longueur de la corde

Présentation du problème

Modélisation du tir à l‘arc – 16/02/04

Objectif : maximiser l’énergie susceptible d’être transmise à la flèche

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Description de l’arc

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Hypothèses des milieux curvilignes

• Nous négligeons les déformations des sections

• Nous effectuons l’hypothèse de Navier Bernoulli

• Nous considérons le milieu comme inextensible

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La modélisation• Nous supposons que la branche est un matériau élastique

• On ne tient pas compte des masses de la corde et de l’arc

• On ne considère que des actions de flexion

X

x(L)

Lcorde

yF=0(L) y(L)

ΔL

Y F

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Calcul de l’énergie potentielle

PE PE PE

PE

)()(y-y(L). 22

0F LxLLF corde

L

initial dssssk0

2

)(.2

1

∆L

W(φ)

• On applique le théorème du minimum de l’énergie potentielle

ΔL

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La discrétisation

• Utilisation de solveurs numériques sans succès

• Nous devons discrétiser pour minimiser l’énergie

• Introduction de nouvelles hypothèses :

– Branche modélisée par une réunion de segments

– Raideur constante sur chaque segment

– Pas constant

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Ecriture dans le fichier Excel

On dispose d’un programme…

Pour chaque k

Pour chaque φinitial

Traçage de la courbe de pesée

Appelfonc.sci

Foncarc.sci

CostEP.sci

Traçage de l’arc sans corde

Calcul de l’Ep de cet arc

Programme initial

Initialisation des variables

Pour une force F variant de 80 à 5 N

Calcul des coordonnées des points de discrétisation de

l’arc solution

Traçage de l’arc

Calcul grâce à CostEP du φsolution qui minimise l’Ep

Que l’on adapte à nos besoins

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Plan

I. Présentation de l'arc et de sa modélisation

II. Démarches et résultats numériques

III. Validation expérimentale

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Critères d’évaluation

Courbe de pesée d’un arc à poulies

Ep

• Une éventuelle dérivée nulle ou négative de la fonction F=f(ΔL)

• Énergie disponible utilisable

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Optimisation paramètre par paramètre

• On fournit au programme la 1ère valeur d’itération φ0

de la suite (φk) créée par l’algorithme d’optimisation

et censée converger vers la solution du problème

• Vérification que φ0 n’a pas d’influence sur les

résultats finaux

L’approximation de la solution : φ0

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Optimisation paramètre par paramètre

• Variation de la répartition de la raideur

tout en conservant une somme globale fixe

sur une branche ayant la forme de celle d’un arc mongol

• On aboutit à : k = [3 11 13 15 26 9 5 3 5]

• On retrouve le pic de raideur au milieu de chaque demi branche

La raideur

Arc mongol

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Optimisation paramètre par paramètre

La longueur de la corde

La longueur optimale

dépend de la force avec

laquelle on tire

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Optimisation paramètre par paramètre

Nous ne pouvons tester que quelques familles de forme d’arc, par soucis de temps de calcul…

La forme à l’état naturel : tableau φinitial

Forme à l’état initial optimale obtenue

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Variation simultanée de tous les paramètres

• Démarche obligatoire car chacune des précédentes optimisations dépendait des paramètres fixés

• Cette méthode n’a pas abouti mais nous a cependant permis de mieux comprendre le fonctionnement du programme

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Bilan des problèmes rencontrés

• L’optimisation se révèle irréalisable avec la méthode précédente en terme de temps de calcul

• Lorsque la force F est trop faible, l’algorithme renvoie un arc non retourné, qui ne correspond pas à la pratique

Problèmes de retournement de l’arc

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Pourquoi l’arc n’est-il pas retourné ?

Minima locaux et globaux de l’Ep Mise en évidence du « problème »

• 2 façons de placer la corde en obtenant un minimum local d’énergie potentielle :

– soit entre les deux extrémités des branches vers l’intérieur

– soit vers l’extérieur (vers le haut)

• L’algorithme choisit toujours le minimum global

2 tentatives de parade :

• Limitation du domaine de recherche du tableau φ minimisant l’Ep

• Majoration du gradient de l’ Ep qu’utilise l’algorithme

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Pourquoi est-ce un problème ?

Partie non retournée

Partie retournée

F

Déplacement

Courbe de pesée dans le cas d’un arc non retourné

• La courbe de pesée est faussée :

démarche d’optimisation difficile

• On ne dispose pas de la forme de

l’arc quand la force est nulle

• Dans une position intermédiaire où l’arc est presque plat, la

corde peut être trop courte pour relier les 2 branches

L’exécution s’interrompt

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Plan

• Présentation de l'arc et de sa modélisation

• Démarches et résultats numériques

• Validation expérimentale

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Mise en conformité du modèle avec la réalité

• φinitial(0) ≠ 0

• Nécessité de la poignée

• Diminution le pas de discrétisation afin d’obtenir une meilleure approximation pour : - Modéliser la poignée

- Tenir compte des variations rapides de la courbure en fin de branche

Modélisation du tir à l‘arc – 16/02/04

22 /26Modélisation du tir à l‘arc – 16/02/04

Mesures expérimentales• Mesure de la matrice des φinitial

• Obtention de la courbe de pesée expérimentale : – On paramètre la machine de traction

Courbe de pesée de l'arc (32 lbs 68")

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0

12,4

27,9

43,3

58,7 74

89,4

105

120

136

151

167

182

197

213

228

244

259

274

290

305

321

336

351

367

382

398

413

428

444

459

475

Déplt(mm)

Fo

rce(

N)

– On retrouve bien le changement de concavité typique de l’arc de type classique

Modélisation du tir à l‘arc – 16/02/04

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Calcul des raideurs

• Pour déterminer les k, on utilise la formule := k( )JbJfc

( )EbVbEfcVfc

VbVfc

• La branche est composée de deux matériaux disposés en lamelles

• Malheureusement, Eb et Efc sont inconnus, et les déterminer conduirait à altérer la branche

• Donc on obtient des k adimensionnés

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Bilan de l’expérience

• Utilisation de la simulation pour déterminer Eb et Efc

• Mesure de la matrice φF=0 sur l’arc

• On paramètre le programme pour qu’il simule cette valeur

• Avec le φinitial voulu, la solution obtenue ne correspond à la solution physique qu’à partir d’une force F trop grande pour pouvoir poser φF ≈ φF=0

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Perspectives

• Il existe des méthodes d’optimisation plus efficaces

• Le programme actuel donne des résultats valables à une constante près (yF=0)

•Il faudrait également trouver un moyen de rendre le programme capable de choisir la solution physiquement acceptable

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FIN