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Modélisation du tir à l’arc

Optimisation d’une branche dans le cadre des milieux

curvilignes

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Plan

I. Présentation de l'arc et de sa modélisation

II. Démarches et résultats numériques

III. Validation expérimentale

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Caractéristiques à optimiser : - la raideur - la forme de l’arc sans corde - la longueur de la corde

Présentation du problème

Modélisation du tir à l‘arc – 16/02/04

Objectif : maximiser l’énergie susceptible d’être transmise à la flèche

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Description de l’arc

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Hypothèses des milieux curvilignes

• Nous négligeons les déformations des sections

• Nous effectuons l’hypothèse de Navier Bernoulli

• Nous considérons le milieu comme inextensible

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La modélisation• Nous supposons que la branche est un matériau élastique• On ne tient pas compte des masses de la corde et de l’arc• On ne considère que des actions de flexion

X

x(L)

Lcorde

yF=0(L) y(L)

ΔL

Y F

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Calcul de l’énergie potentielle

PE PE PE

PE

)()(y-y(L). 22

0F LxLLF corde

L

initial dssssk0

2

)(.21

∆L

W(φ)

• On applique le théorème du minimum de l’énergie potentielle

ΔL

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La discrétisation

• Utilisation de solveurs numériques sans succès

• Nous devons discrétiser pour minimiser l’énergie

• Introduction de nouvelles hypothèses :– Branche modélisée par une réunion de segments – Raideur constante sur chaque segment– Pas constant

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Ecriture dans le fichier Excel

On dispose d’un programme…

Pour chaque k

Pour chaque φinitial

Traçage de la courbe de pesée

Appelfonc.sciFoncarc.sciCostEP.sci

Traçage de l’arc sans corde

Calcul de l’Ep de cet arc

Programme initial

Initialisation des variables

Pour une force F variant de 80 à 5 N

Calcul des coordonnées des points de discrétisation de

l’arc solution

Traçage de l’arc

Calcul grâce à CostEP du φsolution qui minimise l’Ep

Que l’on adapte à nos besoins

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Plan

I. Présentation de l'arc et de sa modélisation

II. Démarches et résultats numériques

III. Validation expérimentale

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Critères d’évaluation

Courbe de pesée d’un arc à poulies

Ep

• Une éventuelle dérivée nulle ou négative de la fonction F=f(ΔL)

• Énergie disponible utilisable

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Optimisation paramètre par paramètre

• On fournit au programme la 1ère valeur d’itération φ0 de la suite (φk) créée par l’algorithme d’optimisation et censée converger vers la solution du problème

• Vérification que φ0 n’a pas d’influence sur les résultats finaux

L’approximation de la solution : φ0

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Optimisation paramètre par paramètre

• Variation de la répartition de la raideur tout en conservant une somme globale

fixe sur une branche ayant la forme de celle

d’un arc mongol

• On aboutit à : k = [3 11 13 15 26 9 5 3 5]

• On retrouve le pic de raideur au milieu de chaque demi branche

La raideur

Arc mongol

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Optimisation paramètre par paramètre

La longueur de la corde

La longueur optimale dépend de la force avec laquelle on tire

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Optimisation paramètre par paramètre

Nous ne pouvons tester que quelques familles de forme d’arc, par soucis de temps de calcul…

La forme à l’état naturel : tableau φinitial

Forme à l’état initial optimale obtenue

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Variation simultanée de tous les paramètres

• Démarche obligatoire car chacune des précédentes optimisations dépendait des paramètres fixés

• Cette méthode n’a pas abouti mais nous a cependant permis de mieux comprendre le fonctionnement du programme

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Bilan des problèmes rencontrés

• L’optimisation se révèle irréalisable avec la méthode précédente en terme de temps de calcul

• Lorsque la force F est trop faible, l’algorithme renvoie un arc non retourné, qui ne correspond pas à la pratique

Problèmes de retournement de l’arc

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Pourquoi l’arc n’est-il pas retourné ?

Minima locaux et globaux de l’Ep Mise en évidence du « problème »

• 2 façons de placer la corde en obtenant un minimum local d’énergie potentielle :

– soit entre les deux extrémités des branches vers l’intérieur

– soit vers l’extérieur (vers le haut)

• L’algorithme choisit toujours le minimum global

2 tentatives de parade :

• Limitation du domaine de recherche du tableau φ minimisant l’Ep

• Majoration du gradient de l’ Ep qu’utilise l’algorithme

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Pourquoi est-ce un problème ?

Partie non retournée

Partie retournée F

Déplacement

Courbe de pesée dans le cas d’un arc non retourné

• La courbe de pesée est faussée : démarche d’optimisation difficile

• On ne dispose pas de la forme de l’arc quand la force est nulle

• Dans une position intermédiaire où l’arc est presque plat, la corde peut être trop courte pour relier les 2 branches L’exécution s’interrompt

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Plan

• Présentation de l'arc et de sa modélisation

• Démarches et résultats numériques

• Validation expérimentale

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Mise en conformité du modèle avec la réalité

• φinitial(0) ≠ 0• Nécessité de la poignée• Diminution le pas de discrétisation afin d’obtenir une meilleure approximation pour : - Modéliser la poignée

- Tenir compte des variations rapides de la courbure en fin de brancheModélisation du tir à l‘arc – 16/02/04

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Mesures expérimentales• Mesure de la matrice des φinitial

• Obtention de la courbe de pesée expérimentale : – On paramètre la machine de traction

Courbe de pesée de l'arc (32 lbs 68")

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0

12,4

27,9

43,3

58,7 74

89,4

105

120

136

151

167

182

197

213

228

244

259

274

290

305

321

336

351

367

382

398

413

428

444

459

475

Déplt(mm)

Forc

e(N

)

– On retrouve bien le changement de concavité typique de l’arc de type classique

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Calcul des raideurs

• Pour déterminer les k, on utilise la formule := k( )Jb Jfc ( )Eb Vb Efc Vfc

Vb Vfc

• La branche est composée de deux matériaux disposés en lamelles

• Malheureusement, Eb et Efc sont inconnus, et les déterminer conduirait à altérer la branche• Donc on obtient des k adimensionnés

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Bilan de l’expérience

• Utilisation de la simulation pour déterminer Eb et Efc

• Mesure de la matrice φF=0 sur l’arc• On paramètre le programme pour qu’il simule cette valeur• Avec le φinitial voulu, la solution obtenue ne correspond à la solution physique qu’à partir d’une force F trop grande pour pouvoir poser φF ≈ φF=0

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Perspectives

• Il existe des méthodes d’optimisation plus efficaces• Le programme actuel donne des résultats valables à une constante près (yF=0)

•Il faudrait également trouver un moyen de rendre le programme capable de choisir la solution physiquement acceptable

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FIN