Modélisation globale statique des systèmes mécaniques pré

N° d’ordre : 02 ISAL 0102 Année 2002

THESE

Présentée

DEVANT L’INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON

pour obtenir

LE GRADE DE DOCTEUR

FORMATION DOCTORALE : Mécanique

ECOLE DOCTORALE : Ecole Doctorale des sciences pour l’ingénieur de Lyon : Mécanique, Energétique, Génie Civil, Acoustique (MEGA)

Par :

Jean CAMPEDELLI Ingénieur I.N.S.A.

MODELISATION GLOBALE STATIQUE DES SYSTEMES MECANIQUES HYPERSTATIQUES PRE-CHARGES

APPLICATION A UN BOGIE MOTEUR

Soutenue le : 11 décembre 2002 devant la commission d’Examen

Jury MM. - J. BERTHEAU Examinateur - G. GOGU Rapporteur - J. PASTOR Rapporteur

- J.-P. PELLE Examinateur - D. PLAY Directeur

- J.-F. RIGAL Examinateur

Cette Thèse a été préparée au Laboratoire de Conception et Analyse des Systèmes Mécaniques de l’INSA de Lyon

INSA DE LYON DEPARTEMENT DES ETUDES DOCTORALES ET RELATIONS INTERNATIONALES SCIENTIFIQUES MARS 2002

Ecoles Doctorales et Diplômes d’Etudes Approfondies

habilités pour la période 1999-2003

ECOLES DOCTORALES

n° code national

RESPONSABLE

PRINCIPAL

CORRESPONDANT

INSA

DEA INSA

n° code national

RESPONSABLE

DEA INSA

CHIMIE DE LYON

(Chimie, Procédés, Environnement)

EDA206

M. D. SINOU UCBL1 04.72.44.62.63 Sec 04.72.44.62.64 Fax 04.72.44.81.60

M. R. GOURDON 87.53 Sec 84.30 Fax 87.17

Chimie Inorganique 910643

Sciences et Stratégies Analytiques

910634

Sciences et Techniques du Déchet 910675

M. R. GOURDON Tél 87.53 Fax 87.17

ECONOMIE, ESPACE ET

MODELISATION DES COMPORTEMENTS

(E2MC)

EDA417

M.A. BONNAFOUS LYON 2 04.72.72.64.38 Sec 04.72.72.64.03 Fax 04.72.72.64.48

Mme M. ZIMMERMANN 84.71 Fax 87.96

Villes et Sociétés 911218

Dimensions Cognitives et Modélisation

992678

Mme M. ZIMMERMANN Tél 84.71 Fax 87.96 M. L. FRECON Tél 82.39 Fax 85.18

ELECTRONIQUE,

ELECTROTECHNIQUE, AUTOMATIQUE

(E.E.A.)

EDA160

M. G. GIMENEZ INSA DE LYON 83.32 Fax 85.26

Automatique Industrielle 910676

Dispositifs de l’Electronique Intégrée 910696

Génie Electrique de Lyon

910065

Images et Systèmes 992254

M. M. BETEMPS Tél 85.59 Fax 85.35 M. D. BARBIER Tél 85.47 Fax 60.81 M. J.P. CHANTE Tél 87.26 Fax 85.30 Mme I. MAGNIN Tél 85.63 Fax 85.26

EVOLUTION, ECOSYSTEME,

MICROBIOLOGIE , MODELISATION

(E2M2)

EDA403

M. J.P FLANDROIS UCBL1 04.78.86.31.50 Sec 04.78.86.31.52 Fax 04.78.86.31.49

M. S. GRENIER 79.88 Fax 85.34

Analyse et Modélisation des Systèmes Biologiques 910509

M. S. GRENIER Tél 79.88 Fax 85.34

INFORMATIQUE ET INFORMATION

POUR LA SOCIETE

(EDIIS)

EDA 407

M. J.M. JOLION INSA DE LYON 87.59 Fax 80.97

Documents Multimédia, Images et Systèmes d’Information Communicants

992774 Extraction des Connaissances à partir des Données

992099

Informatique et Systèmes Coopératifs pour l’Entreprise 950131

M. A. FLORY Tél 84.66 Fax 85.97 M. J.F. BOULICAUT Tél 89.05 Fax 87.13 M. A. GUINET Tél 85.94 Fax 85.38

INTERDISCIPLINAIRE SCIENCES-

SANTE

(EDISS)

EDA205

M. A.J. COZZONE UCBL1 04.72.72.26.72 Sec 04.72.72.26.75 Fax 04.72.72.26.01

M. M. LAGARDE 82.40 Fax 85.24

Biochimie 930032

M. M. LAGARDE Tél 82.40 Fax 85.24

MATERIAUX DE LYON

UNIVERSITE LYON 1

EDA 034

M. J. JOSEPH ECL 04.72.18.62.44 Sec 04.72.18.62.51 Fax 04.72.18.60.90

M. J.M. PELLETIER 83.18 Fax 84.29

Génie des Matériaux : Microstructure, Comportement Mécanique, Durabilité

910527

Matériaux Polymères et Composites 910607

Matière Condensée, Surfaces et Interfaces

910577

M. J.M.PELLETIER Tél 83.18 Fax 85.28 M. H. SAUTEREAU Tél 81.78 Fax 85.27 M. G. GUILLOT Tél 81.61 Fax 85.31

MATHEMATIQUES ET

INFORMATIQUE FONDAMENTALE

(Math IF)

EDA 409

M. NICOLAS UCBL1 04.72.44.83.11 Fax 04.72.43.00.35

M. J. POUSIN 88.36 Fax 85.29

Analyse Numérique, Equations aux dérivées partielles et Calcul Scientifique

910281

M. G. BAYADA Tél 83.12 Fax 85.29

MECANIQUE, ENERGETIQUE, GENIE

CIVIL, ACOUSTIQUE

(MEGA)

EDA162

M. J. BATAILLE ECL 04.72.18.61.56 Sec 04.72.18.61.60 Fax 04.78.64.71.45

M. G.DALMAZ 83.03 Fax 04.72.89.09.80

Acoustique 910016

Génie Civil

992610 Génie Mécanique

992111

Thermique et Energétique 910018

M. J.L. GUYADER Tél 80.80 Fax 87.12 M. J.J.ROUX Tél 84.60 Fax 85.22 M. G. DALMAZ Tél 83.03 Fax 04.78.89.09.80 M. J. F. SACADURA Tél 81.53 Fax 88.11

En grisé : Les Ecoles doctorales et DEA dont l’INSA est établissement principal

MARS 2002

INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON

Directeur : STORCK.A Professeurs : AUDISIO S. PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLE BABOT D. CONT. NON DESTR. PAR RAYONNEMENT IONISANTS BABOUX J.C. GEMPPM*** BALLAND B. PHYSIQUE DE LA MATIERE BAPTISTE P. PRODUCTIQUE ET INFORMATIQUE DES SYSTEMES MANUFACTURIERS BARBIER D. PHYSIQUE DE LA MATIERE BASTIDE J.P. LAEPSI**** BAYADA G. MODELISATION MATHEMATIQUE ET CALCUL SCIENTIFIQUE BENADDA B. LAEPSI**** BETEMPS M. AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE BIENNIER F. PRODUCTIQUE ET INFORMATIQUE DES SYSTEMES MANUFACTURIERS BLANCHARD J.M. LAEPSI**** BOISSON C. VIBRATIONS-ACOUSTIQUE BOIVIN M. (Prof. émérite) MECANIQUE DES SOLIDES BOTTA H. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Développement Urbain BOTTA-ZIMMERMANN M. (Mme) UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Développement Urbain BOULAYE G. (Prof. émérite) INFORMATIQUE BOYER J.C. MECANIQUE DES SOLIDES BRAU J. CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Thermique du bâtiment BREMOND G. PHYSIQUE DE LA MATIERE BRISSAUD M. GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE BRUNET M. MECANIQUE DES SOLIDES BRUNIE L. INGENIERIE DES SYSTEMES D’INFORMATION BUREAU J.C. CEGELY* CAVAILLE J.Y. GEMPPM*** CHANTE J.P. CEGELY*- Composants de puissance et applications CHOCAT B. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Hydrologie urbaine COMBESCURE A. MECANIQUE DES CONTACTS COUSIN M. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Structures DAUMAS F. (Mme) CETHIL – Energétique et Thermique DOUTHEAU A. CHIMIE ORGANIQUE DUFOUR R. MECANIQUE DES STRUCTURES DUPUY J.C. PHYSIQUE DE LA MATIERE EMPTOZ H. RECONNAISSANCE DES FORMES ET VISION ESNOUF C. GEMPPM*** EYRAUD L. (Prof. émérite) GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE FANTOZZI G. GEMPPM*** FAVREL J. PRODUCTIQUE ET INFORMATIQUE DES SYSTEMES MANUFACTURIERS FAYARD J.M. BIOLOGIE APPLIQUEE FAYET M. MECANIQUE DES SOLIDES FERRARIS-BESSO G. MECANIQUE DES STRUCTURES FLAMAND L. MECANIQUE DES CONTACTS FLORY A. INGENIERIE DES SYSTEMES D’INFORMATION FOUGERES R. GEMPPM*** FOUQUET F. GEMPPM*** FRECON L. INFORMATIQUE GERARD J.F. MATERIAUX MACROMOLECULAIRES GERMAIN P. LAEPSI**** GIMENEZ G. CREATIS** GOBIN P.F. (Prof. émérite) GEMPPM*** GONNARD P. GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE GONTRAND M. CEGELY*- Composants de puissance et applications GOUTTE R. (Prof. émérite) CREATIS** GOUJON L. GEMPPM*** GOURDON R. LAEPSI****. GRANGE G. GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE GUENIN G. GEMPPM*** GUICHARDANT M. BIOCHIMIE ET PHARMACOLOGIE GUILLOT G. PHYSIQUE DE LA MATIERE GUINET A. PRODUCTIQUE ET INFORMATIQUE DES SYSTEMES MANUFACTURIERS GUYADER J.L. VIBRATIONS-ACOUSTIQUE GUYOMAR D. GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE HEIBIG A. LAB. MATHEMATIQUE APPLIQUEES LYON JACQUET RICHARDET G. MECANIQUE DES STRUCTURES JAYET Y. GEMPPM*** JOLION J.M. RECONNAISSANCE DES FORMES ET VISION JULLIEN J.F. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Structures JUTARD A. (Prof. émérite) AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE KASTNER R. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Géotechnique KOULOUMDJIAN J. INGENIERIE DES SYSTEMES D’INFORMATION LAGARDE M. BIOCHIMIE ET PHARMACOLOGIE LALANNE M. (Prof. émérite) MECANIQUE DES STRUCTURES LALLEMAND A. CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Energétique et thermique LALLEMAND M. (Mme) CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Energétique et thermique LAREAL P. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Géotechnique LAUGIER A. PHYSIQUE DE LA MATIERE LAUGIER C. BIOCHIMIE ET PHARMACOLOGIE

LEJEUNE P. GENETIQUE MOLECULAIRE DES MICROORGANISMES LUBRECHT A. MECANIQUE DES CONTACTS MAZILLE H. PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLE MERLE P. GEMPPM*** MERLIN J. GEMPPM*** MIGNOTTE A. (Mle) INGENIERIE, INFORMATIQUE INDUSTRIELLE MILLET J.P. PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLE MIRAMOND M. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Hydrologie urbaine MOREL R. MECANIQUE DES FLUIDES MOSZKOWICZ P. LAEPSI**** MOURA A. GEMPPM*** NARDON P. (Prof. émérite) BIOLOGIE APPLIQUEE NIEL E. AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE NORTIER P. DREP ODET C. CREATIS** OTTERBEIN M. (Prof. émérite) LAEPSI**** PARIZET E. VIBRATIONS-ACOUSTIQUE PASCAULT J.P. MATERIAUX MACROMOLECULAIRES PAVIC G. VIBRATIONS-ACOUSTIQUE PELLETIER J.M. GEMPPM*** PERA J. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Matériaux PERRIAT P. GEMPPM*** PERRIN J. ESCHIL – Equipe Sciences Humaines de l’Insa de Lyon PINARD P. (Prof. émérite) PHYSIQUE DE LA MATIERE PINON J.M. INGENIERIE DES SYSTEMES D’INFORMATION PONCET A. PHYSIQUE DE LA MATIERE POUSIN J. MODELISATION MATHEMATIQUE ET CALCUL SCIENTIFIQUE PREVOT P. GRACIMP – Groupe de Recherche en Apprentissage, Coopération et Interfaces Multimodales pour la Productique PROST R. CREATIS** RAYNAUD M. CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Transferts Interfaces et Matériaux REDARCE H. AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE REYNOUARD J.M. UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Structures RIGAL J.F. MECANIQUE DES SOLIDES RIEUTORD E. (Prof. émérite) MECANIQUE DES FLUIDES ROBERT-BAUDOUY J. (Mme) (Prof. émérite) GENETIQUE MOLECULAIRE DES MICROORGANISMES ROUBY D. GEMPPM*** ROUX J.J. CENTRE DE THERMIQUE DE LYON – Thermique de l’Habitat RUBEL P. INGENIERIE DES SYSTEMES D’INFORMATION RUMELHART C. MECANIQUE DES SOLIDES SACADURA J.F. CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Transferts Interfaces et Matériaux SAUTEREAU H. MATERIAUX MACROMOLECULAIRES SCAVARDA S. AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE SOUIFI A. PHYSIQUE DE LA MATIERE SOUROUILLE J.L. INGENIERIE INFORMATIQUE INDUSTRIELLE THOMASSET D. AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE UBEDA S. CENTRE D’INNOV. EN TELECOM ET INTEGRATION DE SERVICES THUDEROZ C. ESCHIL – Equipe Sciences Humaines de l’Insa de Lyon UNTERREINER R. CREATIS** VELEX P. MECANIQUE DES CONTACTS VIGIER G. GEMPPM*** VINCENT A. GEMPPM*** VRAY D. CREATIS** VUILLERMOZ P.L. (Prof. émérite) PHYSIQUE DE LA MATIERE Directeurs de recherche C.N.R.S. : BERTHIER Y. MECANIQUE DES CONTACTS CONDEMINE G. UNITE MICROBIOLOGIE ET GENETIQUE COTTE-PATAT N. (Mme) UNITE MICROBIOLOGIE ET GENETIQUE FRANCIOSI P. GEMPPM*** MANDRAND M.A. (Mme) UNITE MICROBIOLOGIE ET GENETIQUE POUSIN G. BIOLOGIE ET PHARMACOLOGIE ROCHE A. MATERIAUX MACROMOLECULAIRES SEGUELA A. GEMPPM*** Directeurs de recherche I.N.R.A. : FEBVAY G. BIOLOGIE APPLIQUEE GRENIER S. BIOLOGIE APPLIQUEE RAHBE Y. BIOLOGIE APPLIQUEE Directeurs de recherche I.N.S.E.R.M. : PRIGENT A.F. (Mme) BIOLOGIE ET PHARMACOLOGIE MAGNIN I. (Mme) CREATIS** * CEGELY CENTRE DE GENIE ELECTRIQUE DE LYON ** CREATIS CENTRE DE RECHERCHE ET D’APPLICATIONS EN TRAITEMENT DE L’IMAGE ET DU SIGNAL ***GEMPPM GROUPE D'ETUDE METALLURGIE PHYSIQUE ET PHYSIQUE DES MATERIAUX ****LAEPSI LABORATOIRE D’ANALYSE ENVIRONNEMENTALE DES PROCEDES ET SYSTEMES INDUSTRIELS

- 5 -

TABLE DES MATIERES

TABLE DES MATIERES…………………………………………………………………………….…. 5

AVANT PROPOS…………………………………………………………………………………..… 11

INTRODUCTION GENERALE…………………………………………………………………….….. 13

CHAPITRE 1 : TECHNIQUE GLOBALE D’ANALYSE STATIQUE

1. NOTION DE MECANISME ................................................................................................................15 1.1 LES ELEMENTS DE STRUCTURE ......................................................................................................................... 16 1.2 LES ELEMENTS DE LIAISON............................................................................................................................... 16

1.2.1 Le modèle des liaisons cinématiques................................................................................................. 16 1.2.2 Le modèle des éléments technologiques de liaison ........................................................................... 16

1.3 LES EFFORTS INTERNES .................................................................................................................................... 17 2. MODELES NUMERIQUES ET METHODES DE RESOLUTION .............................................................17

2.1 MODELES NUMERIQUES ................................................................................................................................... 17 2.2 METHODES DE RESOLUTION ............................................................................................................................. 18 2.3 OPTIMISATION : LA SOUS-STRUCTURATION STATIQUE ..................................................................................... 20

2.3.1 Introduction....................................................................................................................................... 20 2.3.2 Principe global de résolution du système non linéaire ..................................................................... 20 2.3.3 Condensation et calculs de restitution .............................................................................................. 21

3. MODELISATION DES ELEMENTS DE STRUCTURE...........................................................................22 3.1 OUTIL INFORMATIQUE...................................................................................................................................... 22 3.2 HYPOTHESES SUR LE COMPORTEMENT ............................................................................................................. 23 3.3 PRE-CHARGE D’UN ELEMENT DE STRUCTURE ................................................................................................... 24

3.3.1 Principe............................................................................................................................................. 24 3.3.2 Mise en œuvre ................................................................................................................................... 25

4. MODELISATION DES ELEMENTS DE LIAISON.................................................................................25 4.1 LES PALIERS A ROULEMENTS............................................................................................................................ 25 4.2 LES ENGRENAGES............................................................................................................................................. 29 4.3 LES CONTACTS AVEC JEUX ............................................................................................................................... 31

5. MISE EN ŒUVRE INFORMATIQUE ..................................................................................................33 5.1 INTRODUCTION................................................................................................................................................. 33 5.2 ARCHITECTURE DE L’ENSEMBLE LOGICIEL....................................................................................................... 33 5.3 DEVELOPPEMENT DES LOGICIELS ..................................................................................................................... 34

5.3.1 SISFER.............................................................................................................................................. 34 5.3.2 PRESIS .............................................................................................................................................. 35

6. CONCLUSION..................................................................................................................................35

- 6 -

CHAPITRE 2 : PRESENTATION DU SYSTEME ETUDIE : LE BOGIE DE TRAIN

1. CONSTITUTION DU MECANISME ET PROBLEMATIQUE..................................................................37 1.1 OBJECTIF DE L’ETUDE ...................................................................................................................................... 37 1.2 DECOMPOSITION FONCTIONNELLE DU MECANISME .......................................................................................... 38 1.3 MISE EN EVIDENCE DES BOUCLES DE CHARGES ................................................................................................ 39

1.3.1 Analyse cinématique des liaisons ...................................................................................................... 39 1.3.2 Les boucles locales pré-chargées...................................................................................................... 40 1.3.3 Les boucles globales.......................................................................................................................... 41

1.4 SOLLICITATIONS ETUDIEES............................................................................................................................... 41 1.4.1 Paramètres de fonctionnement étudiés.............................................................................................. 41 1.4.2 Conditions aux limites en déplacement ............................................................................................. 42

2. LES MODELES DES ELEMENTS LINEAIRES DE STRUCTURES ..........................................................44 2.1 LES TYPES D’ELEMENTS FINIS UTILISES............................................................................................................ 44 2.2 LES MODELES DES BOITES D’ESSIEUX............................................................................................................... 45 2.3 LES MODELES DES ARTICULATIONS ELASTIQUES DE BOITES D’ESSIEUX............................................................ 46 2.4 LE MODELE DU CHASSIS ................................................................................................................................... 47 2.5 LES MODELES DES ESSIEUX ET DES ROUES........................................................................................................ 49 2.6 LES MODELES DES CARTERS DE REDUCTEUR, DES ARBRES ET DES BIELLES ...................................................... 50

3. MODELES DES ELEMENTS SPECIFIQUES DU BOGIE .......................................................................51 3.1 LES MODELES DES ELEMENTS DE STRUCTURES PRE-CHARGES : LES RESSORTS................................................. 51 3.2 LES MODELES DES ELEMENTS DE LIAISON ........................................................................................................ 52

3.2.1 Les paliers à roulements ................................................................................................................... 52 3.2.2 Les engrenages.................................................................................................................................. 53 3.2.3 Les zones de contact avec jeux des ressorts ...................................................................................... 54

4. CONCLUSION..................................................................................................................................55 CHAPITRE 3 : COMPORTEMENT DES RESSORTS DE SUSPENSION DE BOGIE

1. DEFINITION DU MODELE NUMERIQUE ...........................................................................................57 1.1 DESCRIPTION DES SYSTEMES ETUDIES.............................................................................................................. 57 1.2 PRINCIPE DE DEFINITION DU MODELE NUMERIQUE ........................................................................................... 58

1.2.1 Les paramètres géométriques............................................................................................................ 58 1.2.2 Les paramètres de simulation............................................................................................................ 59

1.3 MODELE GEOMETRIQUE PARAMETRE ............................................................................................................... 59 1.3.1 Définition de la géométrie................................................................................................................. 59 1.3.2 Géométrie théorique des ressorts...................................................................................................... 61 1.3.3 Géométrie des ressorts réels ............................................................................................................. 63

1.4 MODELE NUMERIQUE ....................................................................................................................................... 65 1.4.1 Le maillage éléments finis ................................................................................................................. 65 1.4.2 Prise en compte des non linéarités : la pré-charge........................................................................... 66 1.4.3 Simulation des interfaces par zones de contact................................................................................. 66

1.5 GRANDEURS PHYSIQUES CALCULEES ............................................................................................................... 70

- 7 -

2. RESULTATS DES SIMULATIONS......................................................................................................71 2.1 RESSORT N°1.................................................................................................................................................... 71 2.2 RESSORT N°2.................................................................................................................................................... 75 2.3 RESSORT N°3.................................................................................................................................................... 78 2.4 COMPARAISON ENTRE UN RESSORT REEL ET UN RESSORT PARFAIT................................................................... 82 2.5 INFLUENCE DE L’ETENDUE DES FACES D’APPUI ................................................................................................ 87

3. CONCLUSION : ANALYSE DES RESULTATS.....................................................................................90 3.1 INFLUENCE DE LA MODELISATION DE L’APPUI LATERAL................................................................................... 90 3.2 INFLUENCE DU NOMBRE D’ELEMENTS DE CONTACT ......................................................................................... 90 3.3 PARAMETRES INFLUENÇANT L’EFFORT DE CHASSE .......................................................................................... 90

CHAPITRE 4 : METHODE D’ANALYSE DU COMPORTEMENT DU BOGIE

1. NOTATIONS ET FORME DES RESULTATS RECHERCHES.................................................................94 1.1 DENOMINATION DES RESSORTS ........................................................................................................................ 94 1.2 DENOMINATION DES LIAISONS PIVOT ET DES PALIERS A ROULEMENTS............................................................. 94 1.3 NOTATION DES TORSEURS D’EFFORTS .............................................................................................................. 96 1.4 PRESENTATION DU CHARGEMENT DES ELEMENTS DE CORPS ROULANTS........................................................... 98

2. MECANISME DE CHARGEMENT DES ROULEMENTS A ROULEAUX CONIQUES ...............................99 2.1 BUT DE L’ETUDE .............................................................................................................................................. 99 2.2 MODELE DE COMPORTEMENT PROPOSE ............................................................................................................ 99 2.3 REPONSE A UN DEPLACEMENT AXIAL DE PRE-CHARGE................................................................................... 101

2.3.1 Sollicitations étudiées...................................................................................................................... 101 2.3.2 Répartition de la force axiale sur les roulements............................................................................ 102 2.3.3 Evolution de la force axiale interne avec le déplacement de pré-charge........................................ 104

2.4 REPONSE A UNE FORCE RADIALE EXTERIEURE................................................................................................ 105 2.4.1 Sollicitations étudiées...................................................................................................................... 105 2.4.2 Répartition de la force axiale sur les roulements............................................................................ 106 2.4.3 Couple induit par la force radiale................................................................................................... 109 2.4.4 Répartition de la force radiale entre les roulements ....................................................................... 110 2.4.5 Evolution des efforts internes avec la force radiale ........................................................................ 111

2.5 COMBINAISON D’UNE PRE-CHARGE AXIALE ET D’UNE FORCE RADIALE .......................................................... 111 2.5.1 Sollicitations étudiées...................................................................................................................... 111 2.5.2 Répartition de la force axiale sur les roulements............................................................................ 112

2.6 REPONSE A UN COUPLE EXTERIEUR ................................................................................................................ 115 2.6.1 Sollicitations étudiées...................................................................................................................... 115 2.6.2 Réponse des roulements à un couple extérieur ............................................................................... 116

2.7 RELATIONS ANALYTIQUES GENERALES .......................................................................................................... 117 2.7.1 Liaison pivot de boîte d’essieux ...................................................................................................... 117 2.7.2 Liaison pivot principale .................................................................................................................. 118 2.7.3 Liaison pivot moteur........................................................................................................................ 119 2.7.4 Liaison pivot intermédiaire ............................................................................................................. 120

- 8 -

3. DEFINITION D’UN ETAT DE REFERENCE POUR L’ETUDE DU BOGIE ............................................121 3.1 PROBLEMATIQUE............................................................................................................................................ 121 3.2 CONTROLE DE LA DIRECTION DES EFFORTS DE CHASSE .................................................................................. 122

3.2.1 Définition de l’effort de chasse ....................................................................................................... 122 3.2.2 Charge verticale à appliquer sur le châssis .................................................................................... 122 3.2.3 Orientation des ressorts .................................................................................................................. 123 3.2.4 Efforts de chasse sous charge ......................................................................................................... 124

3.3 ANALYSE DES EFFORTS TRANSMIS PAR LES PALIERS ...................................................................................... 125 3.3.1 Chargement des liaisons pivot ........................................................................................................ 125 3.3.2 Analyse du chargement des paliers d’une des liaisons pivot de boîte............................................. 127

4. CONCLUSION................................................................................................................................129 CHAPITRE 5 : ANALYSE DU COMPORTEMENT GLOBAL STATIQUE D’UN BOGIE DE TRAIN SOUS CHARGE

1. INFLUENCE DE L’EFFORT DE CHASSE DES RESSORTS .................................................................132 1.1 PROBLEMATIQUE............................................................................................................................................ 132 1.2 ORIENTATION DES RESSORTS ......................................................................................................................... 132 1.3 EFFORTS DE CHASSE SOUS CHARGE ................................................................................................................ 133 1.4 ANALYSE DES EFFORTS TRANSMIS PAR LES PALIERS ...................................................................................... 135

1.4.1 Chargement des liaisons pivot ........................................................................................................ 135 1.4.2 Analyse du chargement des paliers d’une des liaisons pivot de boîte............................................. 136 1.4.3 Comparaison avec l’état de référence............................................................................................. 138

2. INFLUENCE D’UN EFFORT LATERAL APPLIQUE SUR LE CHASSIS ................................................139 2.1 PROBLEMATIQUE............................................................................................................................................ 139 2.2 ANALYSE DES EFFORTS TRANSMIS PAR LES PALIERS ...................................................................................... 139

2.2.1 Chargement des liaisons pivot ........................................................................................................ 139 2.2.2 Analyse du chargement des roulements d’une des liaisons pivot.................................................... 141 2.2.3 Comparaison avec l’état de référence............................................................................................. 143

3. INFLUENCE DU COUPLE MOTEUR ................................................................................................144 3.1 PROBLEMATIQUE............................................................................................................................................ 144 3.2 ANALYSE DES EFFORTS APPLIQUES PAR LES REDUCTEURS SUR LES ESSIEUX .................................................. 145 3.3 EQUILIBRE DES EFFORTS DANS LES REDUCTEURS ........................................................................................... 146 3.4 ANALYSE DES EFFORTS DANS LE REDUCTEUR AVANT .................................................................................... 149

3.4.1 Analyse du chargement des liaisons pivot....................................................................................... 149 3.4.2 Liaison pivot principale .................................................................................................................. 150 3.4.3 Liaison pivot intermédiaire ............................................................................................................. 152 3.4.4 Liaison pivot moteur........................................................................................................................ 153

3.5 ANALYSE DES EFFORTS DANS LE REDUCTEUR ARRIERE.................................................................................. 155 3.6 ANALYSE DES EFFORTS TRANSMIS PAR LES PALIERS DE BOITES D’ESSIEUX.................................................... 156

3.6.1 Comparaison avec l’état de référence............................................................................................. 157

- 9 -

4. INFLUENCE DE L’ENVIRONNEMENT SUR LE CHARGEMENTS DES PALIERS.................................158 4.1 PROBLEMATIQUE............................................................................................................................................ 158 4.2 LIAISON PIVOT DE BOITE D’ESSIEUX............................................................................................................... 158 4.3 LIAISONS PIVOT DE REDUCTEUR..................................................................................................................... 159

4.3.1 Liaison pivot principale .................................................................................................................. 159 4.3.2 Liaison pivot intermédiaire ............................................................................................................. 161 4.3.3 Liaison pivot moteur........................................................................................................................ 162

5. CONCLUSION................................................................................................................................163

CONCLUSION GENERALE……………………………..……………………………………...…... 165

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES………………………………………………………………... 169

ANNEXE A : PRINCIPALES METHODES DE CALCUL

A1. METHODE DE NEWTON-RAPHSON ...........................................................................................173

A2. METHODE DE CONDENSATION STATIQUE ................................................................................175

ANNEXE B : PRE-CHARGE D'UNE PIECE MECANIQUE MODELISEE PAR ELEMENTS FINIS…...… 176

ANNEXE C : PLANS DU REDUCTEUR………….………………………………………………… 178

ANNEXE D : ETUDES COMPLEMENTAIRES SUR LES RESSORTS

D1. EVOLUTION DES JEUX ENTRE SPIRES DU RESSORT N°3............................................................177

D2. VALIDATION DE LA MODELISATION DU CONTACT ENTRE SPIRES DU RESSORT N°3................181

ANNEXE E : CARACTERISTIQUES DES LIAISONS PIVOT………….…………………………..… 189

ANNEXE F : RESULTATS DE LA SIMULATION DU BOGIE

F1. ETAT DE REFERENCE DU BOGIE ................................................................................................190 F1.1 LIAISON PIVOT DE BOITE AVANT-GAUCHE.................................................................................................... 191 F1.2 LIAISON PIVOT DE BOITE AVANT-DROITE ..................................................................................................... 193 F1.3 LIAISON PIVOT DE BOITE ARRIERE-GAUCHE ................................................................................................. 194 F1.4 LIAISON PIVOT DE BOITE ARRIERE -DROITE .................................................................................................. 195

F2. INFLUENCE DE L’ORIENTATION DES RESSORTS SUR LE COMPORTEMENT DU BOGIE ..............197 F2.1 LIAISON PIVOT DE BOITE AVANT-GAUCHE.................................................................................................... 198 F2.2 LIAISON PIVOT DE BOITE AVANT-DROITE ..................................................................................................... 199 F2.3 LIAISON PIVOT DE BOITE ARRIERE-GAUCHE ................................................................................................. 201 F2.4 LIAISON PIVOT DE BOITE ARRIERE-DROITE................................................................................................... 202

F3. INFLUENCE D’UNE FORCE LATERALE APPLIQUEE SUR LE CHASSIS .........................................204 F3.1 LIAISON PIVOT DE BOITE AVANT-GAUCHE.................................................................................................... 205 F3.2 LIAISON PIVOT DE BOITE AVANT-DROITE ..................................................................................................... 206 F3.3 LIAISON PIVOT DE BOITE ARRIERE-GAUCHE ................................................................................................. 208 F3.4 LIAISON PIVOT DE BOITE ARRIERE-DROITE................................................................................................... 209

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F4. INFLUENCE D’UN COUPLE MOTEUR SUR LE COMPORTEMENT DU BOGIE.................................211 F4.1 TORSEUR D’EFFORTS TRANSMIS PAR LES LIAISONS PIVOT DE BOITES ........................................................... 211 F4.2 LIAISON PIVOT DE BOITE AVANT-GAUCHE.................................................................................................... 212 F4.3 LIAISON PIVOT DE BOITE AVANT-DROITE ..................................................................................................... 213 F4.4 LIAISON PIVOT DE BOITE ARRIERE-GAUCHE ................................................................................................. 215 F4.5 LIAISON PIVOT DE BOITE ARRIERE-DROITE................................................................................................... 216 F4.6 TORSEURS D’EFFORTS TRANSMIS PAR LES LIAISONS PIVOT DU REDUCTEUR ARRIERE................................... 218 F4.7 LIAISON PIVOT PRINCIPALE DE REDUCTEUR ARRIERE................................................................................... 218 F4.8 LIAISON PIVOT INTERMEDIAIRE DE REDUCTEUR ARRIERE ............................................................................ 220 F4.9 LIAISON PIVOT MOTEUR DE REDUCTEUR ARRIERE........................................................................................ 221

FOLIO ADMINISTRATIF………………………………………………………………………….... 223

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AVANT PROPOS

Cette thèse a été réalisée au Laboratoire de Conception et Analyse des Systèmes Mécaniques (CASM) de l’Institut National des Sciences Appliquées de Lyon sous la direction de Monsieur le Professeur D. PLAY que je remercie de m’avoir accueilli dans son Laboratoire et de m’avoir fait confiance pour mener à bien ces travaux de recherche.

Je tiens à exprimer ma plus sincère reconnaissance à Adeline BOURDON, Maître de Conférence, et à Jean-François RIGAL, Professeur à l’INSA de Lyon qui m’ont guidé et soutenu tout au long de ce travail.

Cette étude a été menée en collaboration avec la société ALSTOM Transport, Etablissement du Creusot, sous la responsabilité de Messieurs P. DUCRET puis de J. BERTHEAU. Je tiens à les remercier, ainsi que Monsieur G. BOIVIN, pour m’avoir fourni les informations techniques nécessaires à l’étude.

Je suis très sensible à l’honneur que me font Messieurs les Professeurs G. GOGU de l’IFMA et J. PASTOR de l’ESIGEC en acceptant de juger ce travail et d’en être rapporteurs et membres du jury.

Je souhaite également remercier Monsieur le Professeur J.-P. PELLE de l’E.N.S. Cachan pour l’importance qu’il accorde à mon travail en acceptant d’être membre du jury.

J’adresse mes remerciements à toutes les personnes qui de manière directe ou indirecte ont contribué à l’aboutissement de ce travail. Parmi eux, un remerciement particulier à l’ensemble des membres du Laboratoire CASM : Damien, Michèle, Jean-Pierre, Jarir, Didier, Yvan, Colin, Sandrine, Lionel, Christophe, … pour leur aide et leur sympathie. J’ai également une pensée chaleureuse pour ma famille, pour Matthieu et pour Zoé.

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INTRODUCTION GENERALE

Les systèmes mécaniques de transmission de puissance doivent être de plus en plus fiables. Cette tendance est vraie pour tous les systèmes de transport, les appareils de manutention, etc.

Pour atteindre ces objectifs, les bureaux d’études en mécanique exploitent de plus en plus les résultats de simulations numériques des modèles construits à la fois avec des logiciels de C.A.O. (Conception assistée par ordinateur) et avec des logiciels basés sur la M.E.F. (Méthode des éléments finis). Cette situation est observable dans l’industrie depuis plus de vingt ans. Cependant, pendant cette même période, on note une forte évolution des outils informatiques. Séparés au départ, les logiciels de CAO et de MEF sont aujourd’hui plus largement « intégrés ». Par ailleurs, les capacités des ordinateurs ont également augmentées. Tout ceci débouche sur une situation plus récente caractérisée par le terme de « maquette numérique ». Cette maquette numérique se révèle être intéressante industriellement mais on peut lui reprocher de ne pas encore être suffisamment associée à des modèles fiables de comportement physique et mécanique. Ce soucis est réel et bien identifié. De nombreux travaux de recherche et développement sont en cours dans ce sens.

Pour sa part, le laboratoire Conception et Analyse des Systèmes Mécaniques de l’INSA de Lyon travaille sur le thème de la maquette numérique du comportement mécanique depuis plus de 15 ans. Une méthode d’analyse globale du comportement s’est ainsi construite. Les travaux se sont d’abord développés pour la simulation du comportement des boîtes de transmission principales (BTP) d’hélicoptères. Ces systèmes mécaniques sont isostatiques et les structures sont assez souples. Une recherche a ensuite été conduite avec les boîtes de vitesses d’automobiles sur des mécanismes à la fois moins souples et moins proches des modèles isostatiques parfaits.

Dans ce document, nous présenterons notre propre contribution à ces travaux de recherche en mécanique. Cette contribution porte sur les mécanismes de transmission de puissance dans le domaine ferroviaire. Le support technique de nos développement est un bogie moteur. Ce type de mécanisme combine à la fois les caractéristiques cinématiques des deux précédents types étudiés. Il est à la fois hyperstatique pour certaines parties et isostatique pour d’autres. Il présente par ailleurs des montages pré-chargés et des types d’éléments élastiques qui n’ont pas été intégrés dans les études précédentes. Les ressorts de suspension jouent un rôle important dans le bogie et voisinent avec les réducteurs de vitesse.

Les méthodologies utilisées pour mettre en œuvre cette méthode d’analyse globale des mécanismes sont présentées dans le premier chapitre. Nous préciserons les développements spécifiques que nous avons réalisés pour coupler le logiciel CATIA (module ELFINI) et le nouveau logiciel d’analyse globale adapté aux mécanismes ferroviaires.

Dans le deuxième chapitre, nous présenterons le bogie étudié dans notre application. Nous analyserons en quoi son architecture rend la méthode d’analyse développée indispensable pour la prévision de son comportement. Les modèles numériques des constituants sont décrits.

Le troisième chapitre porte sur l’étude du comportement des ressorts de suspensions. Nous verrons que ce comportement est loin du comportement idéal considéré usuellement dans l’industrie et dans les formations universitaires. L’objectif de ce chapitre est double. Il s’agit d’abord de caractériser les actions des ressorts de suspension sur le reste du bogie. Il s’agit aussi de mieux définir et de mieux poser un certain nombre de généralités valables pour les ressorts de compression spirales à spires extrêmes aplaties.

Introduction générale

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L’objectif du quatrième chapitre est de définir la méthode et les outils nécessaires à l’étude du comportement d’un système tel que le bogie moteur. Nous présenterons d’abord la forme des résultats que nous recherchons pour étudier le comportement mécanique. Ensuite, une part importante du chapitre est consacrée à une discussion sur le comportement des paliers à roulements à rouleaux coniques montés par paires. C’est un des éléments centraux de nombreux systèmes de transmission de puissance et il s’est révélé que c’est un de ceux qui pose le plus de problèmes dans le bogie en exploitation. Nous présentons enfin les points caractéristiques du comportement du bogie dans une situation idéale de chargement.

Dans le cinquième chapitre, nous considérons enfin les sollicitations réelles du système en exploitation. Les résultats obtenus sont présentés suivant les principes et avec les outils exposés au chapitre 4. Les résultats correspondant aux situations réelles sont ainsi comparés à ceux de la situation idéale du chapitre 4 pour aboutir à des conclusions et des remarques exploitables industriellement.

La conclusion générale précise notre contribution au développement de la méthode globale d’analyse pour une maquette numérique du comportement mécanique des systèmes et rappelle les principaux résultats obtenus en conception pour les ressorts et pour les mécanismes ferroviaires tels que les bogies moteurs.

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CHAPITRE 1

TECHNIQUE GLOBALE D’ANALYSE STATIQUE

Le but de ce chapitre est d’exposer les techniques d’analyse globale développées pour la prévision du comportement statique des mécanismes de transmission de puissance hyperstatiques. L’aspect général de la méthode permet de l’appliquer à des mécanismes de composition et d’architecture diverses.

Dans ce chapitre, la première partie rappelle ce qu’est un mécanisme sur le plan théorique en établissant une classification de ses composants en deux catégories : les éléments de structure (carters, arbres, …), et les éléments de liaison (roulements, engrenages, …). La deuxième partie présente la forme mathématique donnée au problème et les méthodes numériques utilisées pour le résoudre. La troisième partie présente la modélisation des éléments de structure et leur traitement dans des mécanismes hyperstatiques pré-chargés. La quatrième partie présente la modélisation des éléments de liaison dans une approche bibliographique. Enfin, la dernière partie présente les outils informatiques utilisés pour mettre en œuvre cette méthode. Le développement ou l’adaptation de ces outils a représenté la plus grande partie du travail.

1. NOTION DE MECANISME

D’une manière générale, un mécanisme est un assemblage de milieux continus élastiques appelés « éléments de structure » (pièces ou groupe de pièces mécaniques) connectés les uns aux autres par des éléments de liaison. Des conditions aux limites externes en efforts et déplacements sont appliquées en différents points du mécanisme. Elles ont pour conséquence de générer des déformations et des efforts dans tous les éléments.

Domaine étudié « mécanisme »

Sous-domaines « éléments de structure »

« éléments de liaison »

Conditions aux limites externes « liaison au bâti »

Efforts externes

Efforts internes

Figure 1.1 : Les différents composants d’un mécanisme

CHAPITRE 1 : Technique globale d’analyse statique

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1.1 Les éléments de structure

Chaque sous-domaine peut être assimilé à une pièce mécanique, un groupe de pièces ou une partie de pièce. Il peut être considéré comme un milieu continu au comportement élastique. Suivant la nature des matériaux, la géométrie et les sollicitations exercées, le comportement peut être linéaire ou non.

Dans l’approche développée dans cette étude, les éléments de structure sont supposés conserver de petites déformations relatives et avoir un comportement, soit élastique linéaire, soit élastique non linéaire suite à des changements de géométrie sous charge importants. Dans ce dernier cas, les équations du comportement sont alors linéarisées au voisinage du point de fonctionnement. La méthode est détaillée dans la partie 3.

1.2 Les éléments de liaison

Les éléments de structure sont connectés par des liaisons qui peuvent être considérées selon deux modèles :

1.2.1 Le modèle des liaisons cinématiques

Le modèle des liaisons cinématiques correspond à des relations de dépendance entre les déplacements de deux sous-domaines différents. Elles sont localisées sur les frontières des sous-domaines étudiés. Ces relations sont associées aux notions classiques de liaison en cinématique. Le cas le plus simple à traiter est la liaison d’encastrement qui empêche tout mouvement relatif à l’interface entre deux sous-domaines. Les autres types de liaison (liaison pivot, pivot glissant, appui-plan, …) se caractérisent par une immobilisation relative d’une partie seulement des degrés de liberté.

1.2.2 Le modèle des éléments technologiques de liaison

D’un point de vue technologique, les liaisons cinématiques sont assurées par des dispositifs, tels que les paliers à roulements ou les engrenages. La prise en compte du comportement souvent complexe de ces éléments est d’un grand intérêt pour l’étude du mécanisme. Pour ce type d’éléments de liaison, la notion de liaison cinématique ne rend pas compte du comportement non linéaire. Parfois, il peut être avantageux de considérer de tels éléments technologiques comme des sous-domaines particuliers encastrés avec les sous-domaines « pièces » dont ils assurent les liaisons. Contrairement aux éléments de structures, ces sous-domaines sont considérés dans leur globalité et non en tant que milieu continu discrétisé.

La notion d’élément technologique de liaison peut être étendue aux zones de contact avec jeux (appuis plans, paliers lisses, …) même si elles ne sont pas, à proprement parler, des dispositifs physiques. En effet, elles introduisent des non-linéarités dues aux jeux, eux-mêmes conditionnés par les déformations des massifs en contact.

Dans l’approche développée ici, le choix a été fait d’utiliser essentiellement des liaisons d’encastrement et des éléments de liaison non linéaires de type « éléments technologiques ».


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1.3 Les efforts internes

Les efforts appliqués sur le mécanisme sont de deux types :

• les efforts extérieurs au mécanisme qui traduisent l’action du milieu extérieur sur la frontière du mécanisme,

• les efforts internes initiaux.

Le torseur résultant de la somme des efforts internes initiaux est nul en vertu du principe de l’action et de la réaction.

Nous distinguerons deux origines différentes aux efforts internes initiaux :

• les efforts dus à l’action réciproque de contact de deux pièces du mécanisme,

• les efforts de pré-charge au sein des éléments de structure ou de liaison.

Dans le milieu continu d’un élément de structure sous charge, le champ de déplacements induit des contraintes et des efforts aux l’interfaces avec les autres éléments du mécanisme. En général, les déplacements sont calculés depuis un état de référence « à vide » non contraint. Cependant, dans les systèmes hyperstatiques, il se peut que les conditions de montage des pièces soient telles qu’il n’existe aucun champ de déplacement qui rendent les contraintes nulles dans toutes les pièces. Pour respecter les conditions de montage, les déplacements dans certaines pièces sont alors considérés depuis un état pré-contraint. Les efforts initiaux au sein de ces pièces sont qualifiés d’efforts de pré-charge. Cette notion, associée à celle de non-linéarité géométrique est détaillé dans le paragraphe 3.3.

2. MODELES NUMERIQUES ET METHODES DE RESOLUTION

2.1 Modèles numériques

Pour l’étude de mécanismes industriels, étant donnée la complexité de la géométrie des pièces mécaniques, seules les techniques numériques d’approximation basées sur une discrétisation du milieu continu sont à même de permettre la résolution des équations d’équilibre statique. Parmi ces techniques, la Méthode de Eléments Finis (M.E.F.) est bien adaptée et communément utilisée dans différents secteurs de l’industrie. Le système mécanique est discrétisé en sous-domaines de formes géométriques simples, reliés à des « nœuds ». Des fonctions de formes permettent d’interpoler les grandeurs physiques à l’intérieur des sous-domaines en fonction de leurs valeurs aux nœuds. Les problèmes de milieux continus se ramènent alors à des problèmes discrets avec un nombre fini de paramètres inconnus évalués aux nœuds. Ces paramètres sont appelés les degrés de libertés (DDL). Selon la méthode employée, ces paramètres sont, soit les forces et les contraintes résultantes dans les éléments (méthode des forces), soit les déplacements et éventuellement leurs dérivés aux nœuds du modèle (méthode des déplacements).


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Les principes et les techniques des méthodes par éléments finis sont largement décrits dans les ouvrages de J.F. Imbert ([18]), K.J. Bathe([2]), G. Dhatt et G. Thouzot ([6]). Aujourd’hui, en calcul de structures, la méthode des déplacements est généralement appliquée aux problèmes statiques de la mécanique.

Les n équations régissant l’équilibre statique d’un système mécanique (ou d’un sous-système de type pièce) se mettent sous la forme :

[ ]{ } { }FuK = (1.1)

où :

• [ ]K est la matrice de rigidité, symétrique, de dimension nxn, caractérisant la rigidité du système. Elle est formée par l’assemblage des matrices de rigidité élémentaires associées à chaque sous-domaine. La dimension n est égale au produit du nombre de nœuds par le nombre de déplacements élémentaires associés à chacun,

• { }u est le vecteur, de dimension n, des déplacements des nœuds de la structure,

• { }F est le vecteur, de dimension n, des efforts ponctuels généralisés appliqués sur les nœuds de la structure.

Les déplacements en tous points du milieu continu sont alors déduits du vecteur { }u et des fonctions de forme. Les tenseurs de déformations et de contraintes en tout points en découlent également grâce aux lois de comportement du matériaux.

Les éléments de liaison ne sont pas modélisés en tant que milieux continus mais comme des entités globales ou un groupe d’entités globales. Ils reposent sur une logique opposée. Ils font le lien entre les maillages des différents éléments de structure. Leur comportement se traduit par des relations matricielles non linéaires analogues à celles obtenues par la méthode des éléments finis, liant les déplacements de certains nœuds des éléments de structure, appelés « nœuds de connexion ».

Les matrices de rigidité des éléments non linéaires dépendent des déplacements des nœuds de connexion et sont assemblées aux matrices issues de la méthode des éléments finis pour donner un système caractérisant le comportement statique du mécanisme complet du type :

{ }( )[ ]{ } { }FuuK = (1.2)

Les résultats concernant les éléments de liaison (déplacements, déformations ou efforts) sont des valeurs discrètes aux nœuds de connexion ou sur les composants internes à l’élément technologique.

2.2 Méthodes de résolution

Les méthodes de résolution de systèmes matriciels non-linéaires sont nombreuses (Bathe [2], Imbert [18], Oden ([30]). Certaines sont très performantes pour la résolution des problèmes spécifiques mais présentent de faibles performances dans d’autres cas. Dans le cadre de la modélisation des systèmes de transmission de puissance, les travaux de I.S. Choi ([9], [10], [11], [12]) l’ont conduit à retenir la méthode de Newton-Raphson.


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Idéalement, l’équation (1.2) doit être exactement satisfaite. Mais à cause des non linéarités, les équations d’équilibre sont résolues à l’aide d’un processus itératif. Elles ne sont donc satisfaites qu’avec un certain degré de précision.

Le système s’exprime par l’équation :

{ }( ){ } { }( )[ ]{ } { } { }0FuuKuR ≈−= (1.3)

{ }( ){ }uR est le vecteur des forces de déséquilibre ou des résidus. La résolution consiste à déterminer, pour un chargement extérieur { }F donné, le vecteur { }*u tel que { }( ){ }*uR soit égal au vecteur nul. Le vecteur { }*u ainsi obtenu correspond à la déformée statique du système. La recherche de la solution est conduite de manière itérative à partir d’une valeur initiale des déplacements { }0u (Dhatt et Touzot [6]) :

Divergence

Estimation initiale de

{ }0u

Algorithme de résolution

amélioré

Convergence Solution { } { }iuu =*

Convergence ?

Non

oui,

limRR <

oui, limRR >

{ } { } { }uuu i1i ∆+=+

Figure 1.2 : Principe de résolution des systèmes non-linéaires

A l’itération i+1, la détermination de { }u∆ s’effectue à partir d’un développement en série de Taylor au premier ordre et au voisinage de { }iu de l’équation (1.3) :

{ }( ){ } { } { }( ){ }uuRuR i1i ∆+=+

{ }( ){ } { }{ } { }

{ }uuRuR

idi ∆⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+=43421

(1.4)

{ }( )[ ]iT uK

La matrice { }( )[ ]iT uK est la matrice de rigidité tangente du système calculée en { }iu . Elle s’exprime en fonction des dérivés partielles de la matrice de rigidité [ ]K et du vecteur des efforts extérieurs :

{ }( )[ ] { }{ } { }

{ }( )[ ] { }( )[ ]{ } { }

{ }ii ui

uiT u

uuKuK

uFuK ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

−= (1.5)


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A chaque itération, le problème se ramène à la résolution d’un problème linéaire d’inconnue { }u∆ :

{ }( )[ ]{ } { }( ){ }iiT uRuuK −=∆ (1.6)

Le processus itératif s’arrête lorsque, pour une tolérance ε donnée,

{ }{ }{ } { }

ε≤∆∆

iiT

T

uu

uu (1.7)

L’algorithme détaillé de la méthode de Newton-Raphson est donné en annexe A1.

2.3 Optimisation : la sous-structuration statique

2.3.1 Introduction

Pour la majorité des mécanismes considérés, le nombre de degrés de liberté (DDL) liés à des éléments de liaison non linéaires est très inférieur au nombre total de déplacements inconnus. Par exemple, le bogie de train considéré par la suite, constitué de 21 éléments de structure, est discrétisé en plus de 1 370 000 nœuds au total (environs 4 200 000 DDL). Seuls 2500 de ces nœuds seront connectés à des éléments non linéaires. L’utilisation de techniques de condensation ou de sous-structuration statique apparaît indispensable pour diminuer le temps de calcul (Imbert [16], Rigal [33]). La résolution non linéaire est effectuée sur un système « réduit » qui ne contient que les nœuds situés aux interfaces entre éléments. Les déplacements dans l’ensemble des éléments de structure sont ensuite déterminés par des calculs de restitution afin de connaître la répartition des efforts et des contraintes.

2.3.2 Principe global de résolution du système non linéaire

Tous les nœuds d’attache des éléments de liaison appartiennent à des maillages d’éléments de structure et sont appelés nœuds de connexion.

Le processus de calcul global retenu se fait par les étapes suivantes :

• définition des maillages des éléments de structure,

• définition des nœuds de connexion et des éléments de liaison,

• condensation des matrices de rigidité des éléments de structure sur les nœuds de connexion,

• assemblage des matrices réduites et résolution itérative non linéaire avec les matrices des éléments de liaison,

• calculs de restitution pour obtenir les déplacements sur tous les nœuds du système.


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Nœud

Elément de structureElément de liaison

Condensation

Figure 1.3 : Réduction du nombre de nœuds par condensation

2.3.3 Condensation et calculs de restitution

La méthode de condensation statique est une technique numérique permettant de diminuer le nombre d’inconnues d’un modèle éléments finis (Imbert [18]). Elle consiste en une partition des n degrés de liberté du modèle en in DDL internes et cn DDL de connexion. Les degrés de liberté internes, éliminés par condensation, ne peuvent pas être connectés ultérieurement à d’autres éléments. Le modèle initial est alors équivalent à un super-élément défini aux nœuds de connexion. Le principe de la condensation est d’exprimer, à une constante près, l’énergie potentielle d’un super-élément en fonction de ses déplacements externes. D’un point de vue numérique, cette méthode est tout à fait similaire à une méthode d’élimination de Gauss par blocs.

Pour chaque élément de structure la partition des degrés de liberté du modèle éléments finis se fait de la manière suivante :

• les DDL de connexion, indicés « c », sont les DDL associés aux éléments de liaison non linéaires,

• les DDL internes, indices « i », sont les DDL complémentaires.

Le vecteur { }u des déplacements généralisés de l’élément de structure devient donc :

DDL internes

DDL de connexion { }

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=c

i

uu

u

(1.8)

Des partitions identiques de la matrice de rigidité [ ]K et du vecteur des efforts extérieurs { }F permettent d’écrire l’équilibre statique de l’élément de structure de la façon suivante :

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

c

i

c

i

ccicT

icii

FF

uu

KKKK

(1.9)


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Après condensation (cf. annexe A2), le système linéaire (1.9) est équivalent au système (1.10) d’inconnues { }cu :

[ ]{ } { }cccc FuK = (1.10)

La matrice [ ]ccK est la matrice condensée aux DDL de connexion de l’élément de structure. Elle est définie par (Imbert [17]) :

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]ic1

iiicT

cccc KKKKK −−= (1.11)

Le vecteur { }cF est le vecteur des efforts nodaux condensés appliqués sur les nœuds de connexion :

{ } { } [ ] [ ] { }i1

iiicT

cc FKKFF −−= (1.12)

Les relations (1.11) et (1.12) sont utilisées pour condenser chaque élément de structure séparément. Les matrices de rigidité et les vecteurs d’efforts condensés obtenus sont assemblés. Ils sont indépendants des déplacements.

A chaque itération de la résolution du système global non linéaire, les matrices de rigidité tangentes des éléments non linéaires sont calculées en fonction du vecteur des déplacements et assemblées avec les matrices de rigidité condensées. Après convergence, les déplacements de tous les nœuds de connexion du mécanisme sont obtenus.

Un calcul linéaire de restitution est effectué sur chaque élément de structure pour déterminer les déplacements { }iu sur les DDL internes du modèle à partir des déplacements { }cu des DDL de ces nœuds de connexion. Le système à résoudre est :

[ ]{ } { } [ ]{ }ciciiii uKFuK −= (1.13)

3. MODELISATION DES ELEMENTS DE STRUCTURE

3.1 Outil informatique

Les nombreux travaux réalisés sur la Méthode des Eléments Finis depuis une cinquantaine d’années couplés au fort développement des moyens informatiques ont permis de mettre en place des « éléments » de poutres, de plaques, de coques et de volumes ainsi que des règles de modélisation permettant d’obtenir des modèles statiques performants. La validité de ces modèles a été vérifiée expérimentalement. La justesse générale de la méthode des éléments finis et le développement de nombreux éléments permettent une exploitation industrielle de cette technique. Néanmoins, comme toute méthode de modélisation, elle repose sur un certain nombre d’hypothèses qu’il est nécessaire de garder présentes à l’esprit pour réaliser des modèles permettant d’obtenir des résultats significatifs. La validité d’un modèle de données doit être vérifiée cas par cas.

Le développement des outils de conception assistée par ordinateur en général et des logiciels de modélisation par éléments finis en particulier (ABAQUS, NASTRAN, ANSYS, CATIA, …)


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permet aujourd’hui de disposer d’outils performants pour réaliser des maillages de pièces industrielles complexes : maillages automatiques ou semi-automatiques et pour résoudre les équations de comportement.

Les modèles éléments finis des différents éléments de structure (arbres, carters, …) utilisés dans cette étude seront supposés représenter correctement le comportement statique des éléments de notre application sur le bogie de train. L’outil choisi pour traiter cela est le module ELFINI du logiciel CATIA.

3.2 Hypothèses sur le comportement

Dans les mécanismes de transmission de puissance, nous distinguons deux types d’architecture :

• l’architecture des mécanismes comportant des pièces rigides telles que des carters ou des arbres de transmission. Ces mécanismes sont généralement isostatiques grâce à des éléments de liaison adaptés. Ils sont aussi conçus pour ne pas générer d’efforts internes au mécanisme supplémentaires par rapport aux efforts de fonction.

• Les mécanismes comportant des pièces souples telles que des ressorts ou des articulations élastiques comportant des montages hyperstatiques destinés à augmenter la rigidité de l’ensemble.

Dans les mécanismes du premier type (boîte de vitesses automobiles, boîte de transmission principale d’hélicoptère, …), on trouve fréquemment des montages de roulements localement hyperstatiques (roulements à rouleaux coniques montés en « O » ou en « X ») qui forment une cartouche dont la fonction est de réaliser une liaison cinématique simple. Néanmoins, ces mécanismes sont globalement isostatiques contrairement à ceux du deuxième type (bogie ferroviaire, …).

Dans les mécanismes hyperstatiques, les composants sont connectés les uns aux autres en formant une chaîne fermée. Dans certains cas, les dimensions des composants rendent leur assemblage impossible dans leur état « à vide ». Pour refermer la boucle il est alors nécessaire d’introduire au moins un des constituants dans un état initial déformé appelé « état pré-chargé ». Le choix du constituant à pré-charger n’est pas unique. En effet, à l’équilibre la pré-charge se répartit dans tous les constituants de la boucle selon le principe de minimisation de l’énergie de déformation.

De plus, si la boucle pré-chargée contient un élément de grande flexibilité qui subit des changements de géométrie importants, la notion de pré-charge sera associée à un comportement géométriquement non linéaire, dû au changement des points d’application des efforts.

Le modèle doit prendre en compte ces spécificités afin de permettre le traitement de tous les mécanismes de transmission de puissance. Le comportement des éléments de structure est supposé respecter les hypothèses suivantes dans la gamme de fonctionnement étudié :

• petites déformations relatives,

• matériau élastique linéaire.

Les seules non linéarités de comportement prises en compte sont liées aux grands déplacements.


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3.3 Pré-charge d’un élément de structure

L’objectif de cette partie est de définir la manière de prendre en compte la pré-charge d’un élément de structure dans le calcul par éléments finis. L’élément est supposé avoir un comportement non linéaire, lié à des changements de géométrie notables (Desai C. S. et Abel J. F.[7]).

3.3.1 Principe

Le comportement statique de l’élément de structure au sein du mécanisme est traduit par la relation :

{ }( )[ ]{ } { }eee FuuK = (1.14)

où :

• { }eu est le vecteur des déplacements nodaux à l’équilibre statique, mesuré depuis l’état initial « à vide »,

• { }( )[ ]euK est la matrice de rigidité, géométriquement non linéaire, de la pièce mécanique soumise au champs de déplacement { }eu ,

• { }eF est le vecteur des efforts nodaux extérieurs à l’élément (somme des efforts extérieurs au mécanisme et des efforts appliqués par les autres éléments de structure ou les éléments de liaison en contact avec lui.

Pré-charger l’élément de structure consiste à déplacer les nœuds de son maillage éléments finis d’une quantité { }ru permettant de respecter les contraintes dimensionnelles de montage dans le mécanisme. Ceci revient à opérer un changement de l’état de référence pour la mesure des déplacements nodaux. Ainsi, le déplacement à l’équilibre depuis l’état « à vide » s’écrit :

{ } { } { }ere uuu ~+= (1.15)

où { }eu~ est le déplacement depuis le nouvel état de référence.

La relation (1.14) devient alors :

{ }( )[ ]{ } { } { }( )[ ]{ }reeee uuKFu~uK −= (1.16)

La matrice de rigidité à l’équilibre { }( )[ ]euK ne peut pas être évaluée à priori car { }eu est l’inconnue du problème. Cependant, elle peut être d’évaluée pour un déplacement donné en effectuant un remaillage sur la position déformée considérée.

Si le déplacement de référence { }ru est proche du déplacement à l’équilibre { }eu , le comportement peut être linéarisé au voisinage de cette position et la relation (1.16) est remplacée par :


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[ ]{ } { } [ ]{ }rreer uKFu~K −= (1.17)

où [ ] { }( )[ ]rr uKK = est la matrice de rigidité obtenue à partir du maillage dont les nœuds ont été déplacés de { }ru depuis la position initiale « à vide ».

3.3.2 Mise en œuvre

La seule contrainte théorique à laquelle doit obéir le déplacement de référence { }ru est de rendre les dimensions de l’élément de structure pré-chargé, compatibles avec son introduction dans l’assemblage. Cependant, plus l’état de référence est choisi proche de l’état d’équilibre, meilleure sera l’approximation introduite par la linéarisation de l’équation (1.17).

La méthode retenue pour déterminer le déplacement { }ru est de résoudre le système linéaire :

[ ]{ } { }0uK r0 = (1.18)

où [ ] { }( )[ ]0KK0 = est la matrice de rigidité de l’élément de structure calculée à partir du maillage initial non déformé. Le système (1.18) est résolu avec des déplacements imposés sur les nœuds de connexion avec les autres éléments du mécanisme tels que les contraintes dimensionnelles de montage soient respectées.

Après déplacement des nœuds d’une quantité { }ru , la matrice de rigidité [ ]rK est évaluée et l’effort nodal extérieur { } [ ]{ }rrr uKF −= est appliqué sur les nœuds de la structure déformée qui est alors traitée de la même manière qu’un élément de structure ordinaire. Utilisé dans un calcul global, le modèle pré-chargé permet d’obtenir le déplacement { }eu~ conformément à l’équation (1.17).

Le tenseur des contraintes en tout point du milieu continu pré-chargé découle des déplacements nodaux calculés et des fonctions de formes. Il doit être déterminé sur la structure initiale « à vide », à partir du déplacement { } { } { }ere uuu ~+= .

4. MODELISATION DES ELEMENTS DE LIAISON

4.1 Les paliers à roulements

De nombreux travaux ont été réalisés pour élaborer des modèles statiques de paliers à roulements en prenant en compte les relations non linéaires entre les efforts et les déplacements lors des contacts entre les éléments roulants et les pistes. Ainsi, A. Palmgren [31] a établi des formules approchées des relations efforts-déplacements reposant sur des hypothèses simplifiées (angles de contact ne variant pas, bagues rigides). Par la suite, de nombreux travaux ont été réalisés pour créer des modèles qui prennent en compte la géométrie fine des roulements : les modèles analytiques de S. Andreason [1] permettent de déterminer l'équilibre des corps roulants en prenant en compte, pour


- 26 -

les roulements à billes, les déplacements relatifs des centres de courbure des bagues et les angles de contact, et pour les rouleaux coniques les interactions entre le rouleau, les pistes et l'épaulement. T.A. Harris ([13], [14]) tient compte du bombé de la génératrice du rouleau pour calculer la charge. J.Y. Liu ([26], [27]) introduit la force centrifuge et le moment gyroscopique de chaque corps roulant. Enfin, J.M. de Mul ([28], [29]) se base sur une approche matricielle et une description vectorielle de la géométrie.

Des études réalisées sur des mécanismes de transmission de puissance, les boîtes d'hélicoptères ou les boîtes de vitesses automobiles ont montrées (Harris [13], [14], Jones [19], [20], [21], [22], Rigal [33], Choi [12], Bourdon [5]) que la flexibilité de l'environnement ne peut pas toujours être négligée. Les bagues des roulements doivent être considérées selon un modèle déformable.

I.S. Choi ([9], [10], [11], [12]), puis A. Bourdon ([3], [4], [5]), s’appuyant sur ces travaux, ont mis en place des modèles de roulements à billes ou à rouleaux cylindriques et coniques pouvant s'introduire dans une modélisation éléments finis « classique » en vue d'une résolution d'un problème non linéaire.

Ces modèles prennent en compte la géométrie fine des paliers à roulements et permettent d'obtenir :

• les efforts exercés par les bagues et les épaulements sur le corps roulant,

• les angles de contact ou de basculement,

• la matrice de rigidité tangente associée à chaque corps roulant.

L'idée essentielle de ces modèles est de discrétiser le roulement en « corps roulants » (billes ou rouleaux) et d'associer à chacun d'eux un « élément » au sens des éléments finis. L'approche par la méthode des forces classique chez les roulementiers (Lim & Singh [23], [24], [25], Houpert [15]) est ainsi remplacée par la méthode des déplacements. Une approche globale couplant les roulements au reste de la structure devient possible.

L’élément « corps roulant » relie un nœud de la bague intérieure à un nœud de la bague extérieure par l'intermédiaire d'une matrice de rigidité de dimension 10x10. Cette matrice établit le couplage entre les 10 DDL « actifs » (2x3 DDL de translation et 2x2 DDL de rotation) et assure la transmission de 3 forces et de 2 moments. Les degrés de liberté correspondant à la rotation du roulement sont évidemment libres de tout couplage et aucun moment n'est transmis suivant cette direction.

Bague extérieure

Bague Intérieure

Corps roulants Discrétisation

+

Elément : "corps roulant"

Figure 1.4 : Discrétisation des roulements en corps roulants


- 27 -

Les bagues sont donc discrétisées avec les hypothèses suivantes :

• les sections transversales des bagues sont indéformables,

• à chaque corps roulant correspond un nœud de la bague extérieure et un nœud de la bague intérieure. Ces nœuds sont situés dans le plan radial contenant le centre du corps roulant.

ZL

BIN2

B1 N1

r

Liaison Cr

ZL

r

Cr

O

N1

N2

Liaison

O

Figure 1.5 : Discrétisation des bagues des « roulements » pour les paliers à billes et à rouleaux

Il s'agit alors de déterminer pour chaque corps roulant, supposé indéformable sauf ponctuellement au niveau des contacts, et pour des déplacements donnés des nœuds « d'attache » N1 et N2, les déplacements élémentaires du centre du corps roulant assurant l’équilibre de ce dernier dans le plan radial (équilibre des forces et des moments). En effet, pour des déplacements relatifs des bagues connus, le corps roulant va être soumis à des efforts de contact au niveau des pistes de roulement et des épaulements. Ces efforts sont définis par la théorie de Hertz (contact étroit et tranches minces) :

nf ).(CQ δ= (1.19)

où :

δ représente le rapprochement des corps, n est un exposant dépendant de la nature du contact,

fC est la constante de rigidité du contact définie par Hertz.

La position d'équilibre du système « bagues - corps roulant » est calculée par une boucle itérative de Newton-Raphson. (cf. figure 1.6). A chaque itération sont déterminés les efforts exercés sur le corps roulant par chaque bague et ses éventuels épaulements. Ce calcul se fait en tenant compte des jeux et de la géométrie précise du roulement (rayons de courbure, de dépouille, bombés ... ).

Lorsque l'équilibre est atteint (vecteur des efforts résiduels égal au vecteur nul), les efforts entre le corps roulant, les bagues et les épaulements sont connus ainsi que les matrices de rigidité tangentes entre le corps roulant et les différentes bagues. Une matrice de rigidité élémentaire équivalente peut être déterminée entre les nœuds des bagues intérieure et extérieure. Cette matrice est la matrice de rigidité tangente associée à l'élément « corps roulant ». La méthodologie détaillée du calcul de l'équilibre des corps roulants est décrite dans la thèse de A. Bourdon ([5]).


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Entrée :-déplacement noeud BE -déplacement noeud BI

Calcul des déplacementsrelatifs BI / BE

Initialisationdéplacements du corps roulant:

{u}

Calcul des efforts :- BE / corps roulant- BI / corps roulant

Equilibre ?||{Fresi}||< ε

Calcul des matrices de raideur tangente : - BE / corps roulant- BI / corps roulant

Oui

Calcul de {∆ u}{u}={u}+{∆ u}

non

Sortie : - matrice de rigidité tangente

- efforts aux noeuds de l'éléments - caractéristiques de chargement

Calcul matrice derigidité équivalente

Figure 1.6 : Détermination de la matrice de rigidité tangente associée aux corps roulants

L'avantage de cette approche est de permettre de traiter aussi bien le cas des paliers montés dans un environnement rigide avec des bagues indéformables que celui des roulements montés dans un environnement flexible et des bagues déformables. Les différences essentielles entre les éléments proposés ici et l'approche de J.M. de Mul ([28], [29]) sont que les basculements des bagues dans le plan radial sont pris en compte et qu'une matrice de rigidité tangente (10*10) est définie pour chaque corps roulant. L'assemblage des éléments « corps roulant » conduit à un modèle élément finis non linéaire « classique » où la matrice de rigidité dépend des déplacements. Il est résolu par la méthode itérative de Newton-Raphson et à chaque itération les matrices de rigidité tangentes associées aux corps roulants sont ré-évaluées et ré-assemblées.

Ces éléments permettent de modéliser aussi bien un roulement isolé (en encastrant les nœuds de la bague extérieure) qu’un roulement dans un environnement flexible. Les études de validation réalisées par I.S. Choi [12] ont prouvé que les résultats obtenus sont significatifs du chargement réel. Elles montrent également que la modélisation des données relatives à la géométrie interne du roulement doit être effectuée avec une grande précision. Des études plus récentes (Chan Tien [8], Bourdon et al. [3], [4]) réalisées sur un roulement à billes « isolé » et soumis à différents chargements ont permis de montrer que les matrices de rigidités obtenues étaient identiques à celles obtenues par T.C. Lim et R. Singh ([23], [24], [25]) par une approche « analytique ». Pour l’ensemble des éléments « corps roulants » développés, des tests de validation ont été effectués afin de vérifier que les résultats obtenus étaient réalistes.


- 29 -

4.2 Les engrenages

Un engrenage est un organe mécanique constitué par deux roues dentées. Il permet la transmission de puissance entre deux arbres en rotation. Cette transmission se fait avec modification du couple transmis et de la vitesse de rotation. L'élément de modélisation mis en place doit donc assurer :

• la liaison cinématique entre les deux arbres,

• la transmission des efforts.

Y1

Z1

N2

N1

Arbre 2

O1

O2

d2

d1

X1

O1

O2

I Cercles primitifs

Arbre 1

Cercles de base

Figure 1.7 : Elément d'engrenage extérieur cylindrique

De précédents travaux (J.F. Rigal [33]) ont montré qu'en statique, la liaison par engrenages pouvait être modélisée par un ressort de rigidité 0k placé au point primitif d’engrènement, suivant la normale au contact. Pour les études réalisées sur le bogie de train, les roues et les pignons des engrenages extérieurs cylindriques hélicoïdaux sont supposés indéformables sauf ponctuellement au niveau des zones de contact. Dans le cadre de cette hypothèse, un élément spécifique « d'engrenage » peut être défini. Il connecte le nœud N1 de la roue 1 au nœud N2 de la roue 2 et liant, par l'intermédiaire d'une matrice de rigidité [ ]engK , les efforts transmis { }iF aux déplacements { }id :

[ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

2

1eng

2

1

dd

KFF

(1.20)

La matrice de rigidité [ ]engK s'exprime comme le produit d'une matrice de géométrie [ ]G ,

fonction des caractéristiques géométriques de l'engrenage (rayons de base, angle d'hélice, angle de pression, ...) et de la rigidité scalaire 0k représentant la rigidité moyenne d'engrènement.

[ ] [ ]GkK oeng = (1.21)

Suivant le chargement appliqué à l'engrenage, deux positions de contact sont possibles (cf. figure 1.8). Elles correspondent à des flancs en contact différents et à des matrices de géométrie différentes (direction différente de la normale au contact) :


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Configuration 1 Configuration 2

XL

YL

n tp

th XL

YL

n

tp th

Figure 1.8 : Définition des « positions » de contact pour un engrenage extérieur

L'élément de liaison par engrenages mis en place permet de déterminer automatiquement le flanc actif en fonction des déplacements des roues 1 et 2.

Entrées : - déplacements Roue1

- déplacements Roue2

Sortie : - matrice raideur tangente - efforts aux noeuds de liaison

Calcul des déplacements relatifs au point primitif d'engrènement

Détermination de la configuration de contact

Calcul des efforts générés par l'engrenage

Calcul de la matrice raideur associée

Calcul des résultats caractéristiques

Figure 1.9 : Détermination de la matrice de rigidité de l'élément engrenage

Cet élément permet également de déterminer, lorsque l'équilibre du système est atteint, les déplacements relatifs au point primitif d'engrènement dans la base )t,t,n( ph

rrr liée au contact (cf. figure 1.8) :

• nr : normal au contact,

• htr

: tangente suivant l’hélice,

• ptr

: tangente suivant le profil.

La valeur de la rigidité scalaire 0k dépend de manière non linéaire du chargement statique et des caractéristiques de la denture. Cette valeur peut être calculée par des logiciels extérieurs (De Vaujany [34]). Cependant, pour les études statiques, les résultats dépendent peu de la valeur de 0k .


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4.3 Les contacts avec jeux

Les éléments de contact sont associés aux frontières des solides potentiellement en contact. Si le jeu est fermé, la liaison entre les pièces est établie avec transmission d’effort dans la direction normale aux surfaces en contact. Si le jeu est ouvert, aucun effort n’est transmis.

kjeu

Elément de contact Effort transmis

Déplacement relatif jeu

Figure 1.10 : Elément de « contact avec jeux » généralisé

L'élément développé établi une liaison, dans une base élémentaire, entre les degrés de liberté identiques de deux nœuds N1 et N2.

xL

yL

zL

yG

xG

zG

repère global

repère élémentaireN2

N1

N2

N2

Elément de liaison

Figure 1.11 : Descriptif de l'élément de liaison

Ces liaisons peuvent être de trois types :

• liaison rigide,

• liberté,

• jeu de fonctionnement.

Ces liaisons sont modélisées par des ressorts de raideur maxk placés suivant la direction du DDL considéré en fonction du déplacement relatif des nœuds dans cette direction. Les éventuels efforts appliqués par le nœud 1 sur le nœud 2 sont orientés dans les directions Lx , Ly ou Lz .


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Fin

Entrée : Déplacements des nœuds

dans le repère local Boucle sur les 3 DDL

de translation

di déplacements relatifs dans la direction i

Si

Liaison rigide Ke(i, i) = Ke(i+6, i+6) = kmax Ke(i, i+6) = Ke(i+6, i) = -kmax

F(i) = kmax . di F(i+6) = -F(i)

Liberté Ke(i, i) = Ke(i+6, i+6) = 0 Ke(i, i+6) = Ke(i+6, i) = 0

F(i) = F(i+6) = 0

Liaison avec jeu

Si di < -jeu (jeu fermé) Ke(i, i) = Ke(i+6, i+6) = kmax Ke(i, i+6) = Ke(i+6, i) = -kmax

F(i) = kmax . (di+jeux) F(i+6) = -F(i)

Si di > -jeu (jeu ouvert) Ke(i, i) = Ke(i+6, i+6) = 0 Ke(i, i+6) = Ke(i+6, i) = 0

F(i) = F(i+6) = 0

Sortie : Matrice de rigidité [Ke]

Vecteur des efforts transmis {F}dans le repère local

Figure 1.12 : Détermination de la matrice de rigidité et des efforts transmis

Les éléments de contact avec jeux pourraient également être modélisés par des ressorts non linéaires dont la rigidité k dépendrait de l'écrasement des surfaces en contact et serait calculée, par exemple, par les formules de Hertz.

Pour éviter les problèmes numériques (matrice singulière) en cours d'itération, le jeu ouvert peut être modélisé par une rigidité mink . Cette valeur doit être suffisamment faible pour ne pas perturber la recherche de l'équilibre et suffisamment grande pour supprimer les singularités. Des études réalisées par J.F. Rigal ([33]) ont montré que l'erreur générée par l'introduction de ces rigidités « numériques » était acceptable.

Cette rigidité ne doit pas être trop élevée pour ne pas entraîner un mauvais conditionnement de la matrice de rigidité qui empêcherait la convergence de l'algorithme de résolution. La valeur à utiliser dépend de la rigidité du reste de la structure. Les valeurs classiques se situent entre 108 et 1013 N/m.


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5. MISE EN ŒUVRE INFORMATIQUE

5.1 Introduction

La plus grande partie du travail de thèse a consisté à développer ou adapter des logiciels pour mettre en œuvre la méthode de modélisation globale sur des systèmes de grande taille. L’objectif était de disposer d’un ensemble de logiciels puissants et conviviaux car la taille du système à simuler était telle que la définition du modèle numérique ne pouvait être envisagée qu’au travers de programmes automatisés. De plus, la méthode devait être transposable sur des systèmes similaires en milieu industriel.

Le logiciel SISFER a servi de point de départ à notre travail. C’est un code de calcul, développé depuis plus de quinze ans dans notre Laboratoire, qui contient tout le savoir faire concernant les modèles globaux. Par ailleurs, le traitement d’un grand nombre d’éléments de structure complexes a nécessité l’utilisation d’un logiciel industriel de M.E.F. Notre choix s’est porté sur CATIA et son module ELFINI. En plus de sa convivialité et de sa puissance, il sert d’environnement pour développer des logiciels dotés d’interfaces utilisateurs graphiques.

5.2 Architecture de l’ensemble logiciel

CATIA est utilisé pour créer les modèles des éléments de structure. Les étapes de ce travail sont :

• la réalisation d’un modèles géométrique de la pièce,

• la création de maillages éléments finis grâce à des méthodes automatiques,

• la définition des nœuds de jonction et la condensation statique.

Chaque élément de structure est associé à un modèle séparé.

Le programme PRESIS fonctionne dans CATIA. Utilisé de manière récursive avec tous les modèles des éléments de structure, il récupère et assemble les matrices de rigidité condensées. Le résultat final est écrit dans un fichier. Par ailleurs, son interface utilisateur conviviale permet de définir les caractéristiques et les connectivités des éléments de liaison. Ces données sont écrites dans un deuxième fichier. L’ensemble des deux fichiers est nommé « projet ». Il défini le modèle du mécanisme complet.

Le programme SISFER lit les fichiers de projet et résout le système non linéaire de manière itérative. Après convergence, les déplacements nodaux solutions du problème sont écrits dans un fichier. Les résultats relatifs aux chargements et aux déformations à l’équilibre des éléments spécifiques sont écrits dans un deuxième fichier.


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Modèles CATIA V4

PRESIS

SISFER

SISRESTI

POSTSIS

Déplacements nodaux des composants

Matrice de rigidité

Description éléments spécifiques

XXX.KLI

XXX.SIS

Déplacements nodaux

Résultats spécifiques

XXX.1DDL

XXX.RRE

X1.DEPX2.DEP

X3.DEP

SISVISU

Définition interactive du modèle

Calcul global

Ecriture des résultats dans les modèles

CATIA

Visualisation

Séparation des résultats

Figure 1.13 : Organisation des logiciels de simulation globale

Le programme POSTSIS est un utilitaire qui crée un fichier contenant les déplacements des nœuds de jonction pour chaque élément de structure.

Le programme SISRESTI fonctionne dans l’environnement CATIA. Il s’utilise pour écrire ces déplacements dans les modèles CATIA correspondant.

Le calcul de restitution s’effectue dans CATIA afin d’obtenir les déplacements de tous les nœuds internes de la structure.

Le programme SISVISU sert à visualiser le chargement des éléments de liaison de type corps roulants sous forme de graphiques en coordonnées polaires. Il fonctionne dans le logiciel de calcul numérique MATLAB.

5.3 Développement des logiciels

5.3.1 SISFER

Le logiciel SISFER exécute un algorithme de Newton-Raphson. A chaque itération, les matrices de rigidité tangentes des éléments non linéaires sont calculées puis assemblées à la matrice de rigidité des éléments de structure. Le système matriciel obtenu est symétrique. Sa résolution est faite par la méthode de Choleski.

Initialement, les algorithmes de calcul de SISFER travaillaient sur une représentation pleine de la matrice de rigidité : tous les termes de la partie triangulaire supérieure étaient stockés qu’ils soient


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nuls ou non. Le programme était adapté à des systèmes de type boîte de vitesse n’ayant qu’un élément de structure (un carter) et une chaîne cinématique avec des roulements et des engrenages. Le nombre de nœuds du système condensé était inférieur à 150.

L’objectif de notre travail étant de travailler sur des mécanismes ayant plusieurs dizaines d’éléments de structure et quelques milliers de nœuds, l’algorithme a dû être optimisé. En effet, une matrice de rigidité obtenue par assemblage a un taux de remplissage (proportion de valeurs non nulles) de l’ordre de 5 %.

Un stockage « creux » a été mis en place : seuls les coefficients non nuls de la matrice sont stockés avec leurs indices de position. Cependant, lorsque l’algorithme de Choleski factorise la matrice, des valeurs non nulles supplémentaires apparaissent. Leur nombre dépend de la numérotation des DDL. Plusieurs méthodes de renumérotation existent pour minimiser le remplissage de la matrice. Parmi celles-ci, la méthode du degré minimum s’est révélée efficace et simple à implémenter (Pissanetzky [32]).

L’ensemble de ces modifications diminue la taille mémoire nécessaire d’un facteur 10, rendant possibles des simulations inenvisageables auparavant. Le temps de calcul est diminué d’un facteur encore plus élevé.

5.3.2 PRESIS

PRESIS est le programme qui a demandé le plus gros travail de développement. Il est écrit en partie en Fortran 77 (environ 6000 lignes de code) et en partie dans un langage propre à CATIA (langage IUA).

6. CONCLUSION

La technique globale d’analyse statique des mécanismes hyperstatiques exposée dans ce chapitre peut s’appliquer à tous les mécanismes de transmission de puissance usuels. Dans son sens le plus général, un mécanisme est constitué d’éléments de structure (arbres, carters, …) connectés par des éléments de liaison (paliers à roulements, engrenages, …). La première catégorie est supposée avoir un comportement linéaire dans une gamme de sollicitations raisonnable, tandis que la deuxième a un comportement clairement non linéaire.

La méthode des éléments finis est utilisée pour réaliser des modèles numériques discrets des éléments de structure permettant de quantifier les déplacements et les contraintes dans les milieux continus des pièces. Le résultat de la discrétisation est une matrice de rigidité.

Les modèles des éléments de liaison sont caractérisés par des relations de rigidités dépendantes des déplacements qui, associées avec les matrices de rigidité issues de la M.E.F., forment un système matriciel non linéaire.

La taille des systèmes envisagés pour l’analyse force à recourir à la méthode de condensation, ou sous-structuration statique, pour réduire la dimension du système. Le système non linéaire est résolu par la méthode de Newton-Raphson.


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Dans les systèmes hyperstatiques dont l’étude est envisagée, les composants sont montés en boucles et le montage du mécanisme impose quelquefois de pré-charger des éléments : il n’existe pas, dans ce cas, d’état non contraint qui respecte les liaisons entre les pièces. Une approche a été développée pour prendre en compte les pré-charges des pièces souples dont les déformations importantes sont responsables d’un comportement géométriquement non linéaire. Elle consiste à calculer les déplacements de l’élément de structure depuis un état déformé de référence au voisinage duquel le comportement est linéarisé.

Un ensemble de logiciels a été développé pour mettre en œuvre la méthode. Il s’articule autour d’un code de calcul non linéaire nommé SISFER, développé au Laboratoire depuis quinze ans et d’un logiciel de M.E.F. du commerce : CATIA-ELFINI. La plus grande partie du travail a consisté à adapter SISFER aux systèmes de grandes tailles et à développer des logiciels d’aide à la modélisation.

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CHAPITRE 2

PRESENTATION DU SYSTEME ETUDIE : LE BOGIE DE TRAIN

La technique d’analyse statique exposée au chapitre 1 a été appliquée à un bogie moteur complet. Ce mécanisme est complexe par le nombre de ses composants et par son architecture. Dans ce chapitre, la première partie décrit tout d’abord le mécanisme du point de vue purement fonctionnel. Ensuite, l’hyperstaticité du mécanisme est analysée : chaque composant est inclus dans une ou plusieurs boucles de charge dont certaines sont pré-chargées. Il s’agit de comprendre en quoi le mécanisme, de par son architecture, répond à la problématique posée au chapitre 1.

La deuxième partie du chapitre présente les modèles des éléments de structure au comportement linéaire. Les types d’éléments finis et les techniques de maillages y sont exposés.

Enfin, la troisième partie traite des modèles des éléments spécifiques du bogie : il s’agit des ressorts, éléments de structure souples pré-chargés dont le traitement se fait d’après la technique définie au chapitre 1 et des éléments de liaison (roulements, engrenages et zones de contact). La connexion de ceux-ci aux éléments de structure est exposée.

1. CONSTITUTION DU MECANISME ET PROBLEMATIQUE

1.1 Objectif de l’étude

Le modèle et les logiciels développés permettent d’obtenir comme résultat, les grandeurs suivantes dans divers cas de sollicitation :

• les champs de déplacements et de contraintes dans les éléments de structures,

• les efforts transmis par les composants de liaison du mécanisme : zones de contact avec jeux, liaisons pivots par paliers à roulements,

• la répartition locale du chargement au sein des paliers à roulements,

• l’état des zones de contact (ouvertes ou fermées) et les valeurs des jeux sous charge,

• les désalignements au niveau des engrenages.

L’objectif est d’utiliser ces résultats pour apporter une interprétation sur les interactions entre les différents éléments du mécanisme. Il s’agit de comprendre l’influence de chaque paramètre, aussi bien de manière qualitative que quantitative.

Chapitre 2 : Présentation du système étudié : le bogie de train

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Plus précisément, les points suivants sont étudiés :

• le comportement des ressorts et les mécanismes à l’origine de l’effort de chasse,

• l’influence de l’effort de chasse sur le bogie,

• l’influence des pré-charges et jeux dans les roulements coniques, à un niveau local, sur les liaisons pivots qu’ils constituent et, à un niveau global, sur le mécanisme entier,

• l’interaction locale entre les déformations des carters et le chargement local des corps roulants dans les roulements de réducteurs et de boîtes d’essieux.

1.2 Décomposition fonctionnelle du mécanisme

Le mécanisme étudié comprend tous les composants d’un bogie de train qui contribuent à la transmission du couple des moteurs jusqu’aux roues et à la transmission des efforts exercés par la caisse jusqu’aux roues. D’un point de vue fonctionnel, les organes qui constituent le mécanisme sont les suivants (cf. figure 2.1) :

• le châssis,

• les 2 ensembles « essieu + roues »,

• les 4 ensembles « ressorts + boîtes d’essieux + roulements coniques + articulation élastique »,

• les 2 ensembles « réducteur + bielle »,

• les 2 moteurs.

Le réducteur est constitué des éléments suivants :

• un carter,

• trois engrenages cylindriques hélicoïdaux montés sur des arbres (l’essieu, l’arbre intermédiaire et l’arbre moteur),

• deux paires de roulements coniques et une paire de roulements cylindriques.

La bielle est reliée au châssis par une rotule lisse étanche (liaison rotule avec des souplesses en translation) et au carter par une rotule élastique (liaison d’encastrement élastique avec des souplesses en translation et rotation).

Le moteur est lié au réducteur par un accouplement flexible qui est supposé ne transmettre que le couple de torsion.


- 39 -

Figure 2.1 : Mécanisme étudié

Du point de vue théorique, les composants du bogie se répartissent en éléments de structure à comportement linéaire, les éléments de structugéométriquement non linéaire pré-chargés et les éléments de liaison. Les comdans les parties 2 et 3.

1.3 Mise en évidence des boucles de charges

1.3.1 Analyse cinématique des liaisons

Du point de vue du comportement, nous distinguons trois sous-systèmes dadeux réducteurs et le reste du bogie.

Les deux réducteurs sont composés d’éléments de rigidité importante, à arcisostatique, bien que localement hyperstatique au niveau des montages de palie

Le reste du mécanisme est constitué d’éléments souples (articulations élasl’architecture, globalement hyperstatique, contribue à augmenter la rigidité deautant entraîner d’effort supplémentaire important par rapport aux efforts de fo

s

B e

M r

B x

s

R

A

E

A

y

x z

Châssi

R

u
oîte d’essieu
éducteur

rticulationélastique

Arbre intermédiaire

iell

oteu

Ressort

trois catres à co

posants

ns le mé

hitecturers à roul

tiques, r l’ensembnctionne

oue

rbre moteur

ssie

égories : les mportement sont décrits

canisme : les

globalement ements.

essorts) dont le sans pour

ment.


- 40 -

Chaque réducteur est monté en liaison pivot sur un des essieux et le degré de liberté en rotation restant est supprimé par la bielle. Le montage du réducteur serait isostatique si la bielle était fixée par deux liaisons rotules. La liaison avec le réducteur étant faite par une articulation élastique, le montage est légèrement hyperstatique.

A l’intérieur de chaque sous-système les efforts transmis sont fortement couplés aux déformations à cause des montages hyperstatiques. Par contre les déformations au sein d’un réducteur n’influent pratiquement pas sur le reste du bogie, et réciproquement.

Les montages hyperstatiques se caractérisent par des éléments montés en boucle. On peut distinguer deux niveaux de boucles hyperstatiques : les boucles locales pré-chargées, et les boucles globales.

1.3.2 Les boucles locales pré-chargées

Les paires de roulements coniques suivantes, dont la fonction est d’assurer des liaisons pivots, forment des boucles hyperstatiques :

• liaison « essieu / boîte d’essieux » : montage en « O »,

• liaison « essieu / carter de réducteur » : montage en « X »,

• liaison « arbre moteur / carter de réducteur » : montage en « O ».

Ces sous-systèmes peuvent être montés avec des pré-charges axiales ou des jeux par une modification légère de la position des bagues intérieures sur les arbres par rapport à leur position nominale.

Par contre, la liaison pivot « carter de réducteur / arbre intermédiaire » est assurée par deux roulements à rouleaux cylindriques dont l’un possède deux épaulements et l’autre quatre. Cette liaison est isostatique dans le sens axial et ne peut donc pas être pré-chargée.

La liaison « boîte d’essieux / châssis » est assurée par une articulation élastique et trois ressorts qui transmettent les efforts en parallèle. L’articulation élastique est une liaison pivot qui est serrée au montage du bogie dans une position axiale donnée pour supprimer le degré de liberté en rotation. Dans la position axiale de serrage (celle pour laquelle le couple transmis est nul) les surfaces d’appui des ressorts (parties planes des boîtes et des longerons) sont parallèles et les ressorts sont pré-chargés : les longueurs imposées sont inférieures aux longueurs à vide respectives. Dans le modèle numérique, les ressorts sont maillés par éléments finis en position déformée et des efforts ponctuels de pré-charge sont appliqués sur les nœuds du maillage en utilisant la théorie développée au paragraphe 3.3 du chapitre 1 pour les éléments de structures géométriquement non linéaires et pré-chargés.

Plusieurs boucles locales existent entre l’articulation élastique et les ressorts, et une partie de la pré-charge des ressorts est reprise par ces boucles. Une autre partie est reprise à un niveau plus global (cf. paragraphe suivant).


- 41 -

Lorsqu’une pré-charge est introduite dans une boucle locale (entre deux roulements coniques par exemple), elle modifie notablement le chargement à l’intérieur de la boucle. Par contre, les conséquences sur les éléments extérieurs à la boucle pré-chargée sont à priori faibles.

Un autre niveau, encore plus local, existe : à l’intérieur des paliers à roulements, les efforts sont transmis entre les deux bagues par une multitude de corps roulants qui travaillent en parallèle. Pour cette raison, lorsque les roulements sont montés dans des carters déformables (comme les carters des réducteurs), les déformations des carters interagissent avec les chargements individuels des corps roulants.

1.3.3 Les boucles globales

Les efforts entre un essieu et le châssis sont transmis simultanément par les ensembles :

• « boîtes d’essieux + roulements coniques + ressorts + articulations élastiques »,

• « réducteurs + moteurs »,

• « réducteurs + bielles ».

Le premier ensemble est pré-chargé par les ressorts. Le deuxième par les moteurs : chaque moteur applique un couple de son stator sur son arbre de sortie. Ce couple est un effort interne, décomposable en deux couples extérieurs opposés, l’un appliqué sur le rotor et l’autre sur le stator du moteur.

Tous les éléments du mécanisme sont inclus dans une ou plusieurs boucles globales.

1.4 Sollicitations étudiées

1.4.1 Paramètres de fonctionnement étudiés

Les sollicitations qui ont été étudiées sont les suivantes :

• une force verticale dirigée vers le bas et appliquée au milieu du châssis. Il s’agit du poids de la caisse du train,

• une force latérale, correspondant à l’inertie de la caisse dans une courbe,

• le couple moteur : les modes de marche avant et arrière du bogie ont été étudiés. Les deux réducteurs ont un fonctionnement dissymétrique pour provoquer la rotation des deux essieux dans le même sens (cf. figure 2.2).


- 42 -

Essieu

Châssis

CM

CM

Moteurarrière

Réducteur

Moteuravant

Sens d’avancement

y

x

Figure 2.2 : Couples moteurs

Le couple moteur est un effort interne entre l’arbre et le stator du moteur. La liaison entre le moteur et le réducteur est supposée réalisée par un accouplement flexible qui ne transmet que le couple. Le stator du moteur n’intervient donc que par son action sur le châssis. Ainsi, l’effort interne est décomposé en un couple extérieur appliqué sur l’arbre moteur et un couple extérieur opposé appliqué au point central du bogie.

En plus de ces sollicitations, l’influence des conditions de montage suivantes a été étudiée :

• jeux ou pré-charges dans les roulements à rouleaux coniques de boîte d’essieux,

• position des ressorts entre les boîtes d’essieux et le châssis : les ressorts, lorsqu’ils sont comprimés verticalement, exercent un effort latéral (effort de chasse) sur les éléments qui les maintiennent ; plusieurs positions angulaires ont été étudiées pour minimiser ou maximiser l’effet de l’effort de chasse sur le comportement du bogie. Le chapitre 3 est une étude préliminaire des ressorts seuls. Le but est de mettre en évidence l’importance de cet effort de chasse,

• gauche de voie : dans un virage, les rails s’inclinent pour compenser l’accélération centrifuge. Les essieux passent donc de la position horizontale, à une position légèrement inclinée. Comme, à l’entrée dans une courbe l’essieu avant s’incline plus tôt que l’essieu arrière, les deux essieux ne se trouvent plus dans le même plan. Ce phénomène peut également être dû à des irrégularités de voies. Il est simulé par un déplacement de quelques centimètres vers le haut imposé à l’une des roues.

1.4.2 Conditions aux limites en déplacement

Le couple moteur est un effort interne au bogie, transformé par le mécanisme en une force motrice dirigée vers l’avant du train. Cette force est une pré-charge reprise au niveau des points de contact roues / rails d’une part, et au niveau de la fixation bogie / caisse du train, située au point central du châssis, d’autre part. Ce sont en ces points, situés sur la frontière du mécanisme que seront appliquées les conditions aux limites en déplacement.


- 43 -

La translation selon x du point central du châssis est bloquée pour remplacer l’action de la caisse du train.

Dans le modèle, les roues sont simulées par des poutres très rigides qui relient les essieux aux points de contact roues / rails. En ces points, les translations selon x et z sont bloquées (cf. figure 2.3).

x

z

Essieu

Point de contact roue / rail

Section déplacée

ur

Figure 2.3 : Point de contact et déformation sous charge de l’essieu

Ces conditions aux limites sont justifiées. En effet, le modèle éléments finis de l’essieu et des roues suppose de petits déplacements. La relation efforts-déplacements est linéaire dans cette partie du mécanisme. Lorsque l’essieu subit, sous charge, une rotation autour du point de contact, les nœuds situés à la verticale du point de contact sont soumis à un champs de déplacement ur dirigé purement selon x (cf. figure 2.3). Ainsi, le centre de l’essieu se déplace comme si la roue avait roulé sans glisser sur le rail et que le point de contact s’était déplacé vers l’avant. Les efforts sont, en revanche, transmis aux rails.

Dans les simulations où les couples moteurs sont nuls, les roues sont libres de tourner pour suivre un éventuel écartement des essieux dû à une déformation du mécanisme. Aucun effort n’est repris par les rails dans la direction x. Le blocage des points de contact roue / rail selon x est alors supprimé.

Lorsqu’un effort latéral est appliqué sur le châssis, un seul des deux rails reprend l’effort (sur son bord intérieur). Nous avons fixé que les efforts latéraux étudiés sont dirigés vers la gauche. Seuls les points de contact avec le rail gauche sont bloqués en translation selon y.


- 44 -

2. LES MODELES DES ELEMENTS LINEAIRES DE STRUCTURES

2.1 Les types d’éléments finis utilisés

Les éléments de structures sont discrétisés en sous-domaines par des éléments finis, connectés à des nœuds. Les éléments finis utilisés sont de quatre types :

• les éléments finis volumiques : ils caractérisent le comportement d’un milieu continu tridimensionnel, dans lequel les inconnues (DDL) sont les 3 composantes du vecteur déplacement,

• les éléments finis de coques : ils caractérisent le comportement d’une structure bidimensionnelle (fine), dans laquelle les déplacements en tous points de la structure sont exprimés en fonction des déplacements d’une surface neutre et des rotations des sections normales à cette surface. Les inconnues évaluées aux nœuds sont au nombre de 6,

• les éléments finis de poutres : ils caractérisent le comportement d’une structure unidimensionnelle, dans laquelle les déplacements en tous points de la structure sont exprimés en fonction des déplacements d’une fibre neutre et des rotations des sections normales à cette fibre. Les inconnues évaluées aux nœuds sont au nombre de 6,

• les éléments de type cinématique : ils n’ont pas de matrice de rigidité mais ils contribuent à la résolution des relations efforts-déplacements par un ensemble de relations linéaires supplémentaires entre les déplacements des nœuds.

Les déplacements { }u des n DDL d’un composant linéaire sont liés aux efforts nodaux extérieurs à la structure { }F par une relation [ ]{ } { }FuK = , où [ ]K est la matrice de rigidité, de dimension n x n. Les m relations linéaires supplémentaires, introduites par les éléments de type cinématique, forment un système [ ]{ } { }0uC = , où [ ]C est une matrice de dimension m x n. Lors de l’étape de condensation statique, les matrices [ ]K et [ ]C sont prises en compte pour calculer la matrice de rigidité réduite. Aucune relation supplémentaire n’est nécessaire pour décrire le comportement du système réduit.

Les deux principaux éléments de ce type sont les poutres rigides et les éléments d’interpolation. Ces derniers sont utilisés pour faire la jonction entre deux types de maillage incompatibles, tels que des poutres et un maillage volumique (cf. figure 2.4). Les 6 DDL de translation et rotation des nœuds des éléments de poutres sont interpolés à partir des 3 DDL de translation des nœuds des éléments volumiques. Les fonctions de forme associées aux faces des éléments volumiques sont utilisées.

Les modèles des différents composants linéaires qui constituent le mécanisme sont décrits dans les paragraphes qui suivent. Par commodité, certains composants sont groupés au sein d’un modèle unique qui, après condensation, donnera un seul super-élément. Ainsi, les bagues de roulements sont maillées avec les carters sur lesquels elles sont montées.

Ces modèles sont, par hypothèse, supposés représenter correctement le comportement statique des composants. Ils ne seront donc pas remis en question.


- 45 -

Maillage volumique

Eléments cinématiques d’interpolation

Eléments de poutres

Figure 2.4 : Jonction entre maillages incompatibles par éléments cinématiques

2.2 Les modèles des boîtes d’essieux

Figure 2.5 : Les boîtes d’essieux

Etant donnée la complexité géométrique de la pièce, un maillage automatique en éléments finis tétraédriques à 10 nœuds a été utilisé. Le logiciel utilisé, CATIA, s’appuie sur un modèle CAO de la pièce. Les avantages de cette technique sont :

• la rapidité de réalisation,

• la possibilité d’épouser la géométrie complexe de la pièce,

• la possibilité d’affiner localement le maillage dans les zones de sur-contraintes intéressantes pour l’étude.

Le modèle comprend également le maillage de l’articulation élastique, ainsi celui des bagues extérieures des roulements à rouleaux coniques de boîtes d’essieux. Ces maillages sont décrits plus en détail dans les paragraphes suivants.


2.3 Les modèles

Les articulations éldivisées dans leur plal’articulation est un ax

Dans les spécificadonnées. Le comporteétabli à partir de ces sdéformations et sont le

• raideur axia

• raideur radia

• raideur de to

• raideur coni

M

A

aillageaffiné

rticulationélastique

- 46 -

Figure 2.6 : Maillage éléments finis de la boîte d’essieux

des articulations élastiques de boîtes d’essieux

astiques sont constituées de caoutchouc et de parties métalliques. Elles sont n médian en deux parties, pré-chargées l’une contre l’autre. Le cœur de

e massif en métal supposé peu déformable.

Figure 2.7 : Coupe de l’articulation élastique

tions techniques des constructeurs, seules les raideurs globales sont ment en raideur est légèrement non linéaire. Un modèle numérique a été eules spécifications, en considérant que les raideurs n’évoluent pas avec les s suivantes :

le : 15000 N/mm

le : 50000 N/mm

rsion : 125 m.N/degré d’angle

que : 1000 m.N/degré d’angle

Maillage des bagues de roulements


- 47 -

Comme la zone de la boîte d’essieux voisine de l’articulation élastique est importante pour l’étude, il convenait d’adopter un modèle respectant au mieux les conditions réelles de transmission des efforts à l’interface. En l’absence d’information plus précise, nous avons supposé que les efforts sont transmis de manière homogène sur toute la surface de contact caoutchouc / métal.

Le modèle suivant a été adopté :

• un noyau cylindrique très rigide est composé d'éléments de coques et d’éléments cinématiques de poutres rigides,

• l'espace entre ce noyau rigide et l'alésage de la boîte est occupé par des éléments finis volumiques dont les propriétés sont voisines de celles du caoutchouc,

• une rigidité ponctuelle relie le noyau cylindrique rigide au châssis ; les valeurs de rigidité ont été ajustées pour retrouver les rigidités globales de l'articulation données ci-dessus.

Figure 2.8 : Modèle éléments finis de l’articulation élastique

Faute d’information précise, ce modèle fait des hypothèses simplificatrices arbitraires. Cependant, étant donné qu’il respecte les raideurs globales de l’articulation et que l’interface assure une transmission homogène des efforts, les erreurs induites par ces simplifications sont faibles. Le modèle ne sera pas remis en question dans le suite de l’étude.

2.4 Le modèle du châssis

Le châssis est une pièce de géométrie complexe. La figure 2.9 en est une vue très simplifiée dans laquelle n’apparaissent que les éléments indispensables à l’étude : les points d’attache des articulations élastiques, des moteurs et des bielles de réducteurs. Le but n’est pas d’étudier les déformations et contraintes sous charge du châssis. Son comportement nous intéresse seulement dans la mesure où il interagit avec le reste du mécanisme.

Eléments finis volumiques (caoutchouc)

Eléments finis de coques (très rigides)

Eléments cinématiques de poutres rigides

Maillage de laboîte d’essieux


- 48 -

Figure 2.9 : Modèle CAO simplifié du châssis

Le châssis est constitué de deux longerons reliés par une traverse (cf. figure 2.10). Sa rigidité globale a été mesurée expérimentalement. Pour cette mesure une des roues du bogie a été soulevée, ce qui a pour conséquence de vriller le châssis. Les grandeurs mesurées sont :

• les efforts iF appliqués par le reste du bogie sur le châssis, au dessus de la roue i,

• les déplacements id du châssis depuis l’état non déformé, au dessus de la roue i.

d3 d4

d1 d2

F3 F4

F1 F2

b

L

Châssis non déformé

Châssis déformé

y

z

x

Figure 2.10 : Géométrie et mesure expérimentale de la rigidité du châssis

La rigidité torsionnelle du châssis YKθ est le rapport entre le couple de torsion sur la traverse et l’angle entre les deux longerons. Elle est déterminée, à partir des valeurs expérimentales, par la relation :

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−+−

=θ

L2dd

L2dd

2LFFFFK2413

4312Y

arctanarctan

/


- 49 -

Le modèle numérique développé à partir d’éléments de poutres et de coques illustré par la figure 2.11 a été conçu pour être simple, pratique et assurer la liaison entre les différents composants du mécanisme avec les rigidités adéquates. Des éléments finis de coques, très rigides, sont utilisés pour les surfaces planes d’appui des ressorts. Pour le reste des longerons et la traverse, des éléments cinématiques de poutres rigides sont utilisés. Les déformations sous charge de ces différentes parties sont négligeables.

La jonction entre la traverse et les longerons est assurée par deux rigidités ponctuelles de valeur YK2 θ en torsion selon y. Les rigidités dans les autres directions sont suffisamment élevées pour

rendre les déplacements relatifs négligeables dans ces directions.

Figure 2.11 : Modèle éléments finis du châssis

2.5 Les modèles des essieux et des roues

Un maillage en éléments finis tétraédriques à 10 nœuds a été réalisé à de l’essieu.

La flexibilité des roues est supposée ne pas avoir de répercussionmécanisme. Elles ne sont donc pas modélisées en tant qu’éléments flepoutres rigides sont utilisés pour rigidifier trois sections de l’essieu :

• aux positions des roues : un nœud de chaque bague est relié par ude contact roue / rail correspondant,

• au niveau de l’engrenage principal du réducteur : un nœud de ceélément de poutre rigide à un nœud sur l’axe de l’essieu. Cconnecter un élément d’engrenage.

Eléments

cinématiques de poutres rigides

Rpo s

Eléments finisde coques

igidités nctuelle

partir d’un modèle CAO

sur le chargement du xibles. Des éléments de

ne poutre rigide au point

tte bague est relié par un e nœud est utilisé pour


- 50 -

Figure 2.12 : Modèle éléments finis de l’arbre et des roues

2.6 Les modèles des carters de réducteur, des arbres et des bielles

Le carter de réducteur a été maillé en éléments tétraédriques à 10 nœuds, à partir d’un modèle CAO. Le modèle de la bielle est réalisé en éléments finis de poutres. Ce modèle est assez approximatif, mais les déformations éventuelles de la bielle sont faibles et ne modifient pas le chargement du mécanisme.

L’articulation élastique et la rotule élastique qui la relient respectivement au carter de réducteur et au châssis sont simulées par des rigidités ponctuelles de valeurs conformes aux spécifications techniques. La potence qui relie la bielle à la traverse du châssis est modélisée par un élément cinématique de poutre rigide, encastré sur la traverse.

Figure 2.13 : Modèle éléments finis du carter de réducteur, d

e

R

S

B

Arbre intermédiair

es arbre

R e

otule élastiqu

Potence (châssis)

r

otule élastique

Bagues intérieures

de roulements

ection rigidifiée(engrenage)

agues extérieuresdes roulements

s

Bielle

Arbre moteu

Points de contactroues / rails

et de la bielle de maintien


- 51 -

Des éléments finis de poutres, avec des inerties adéquates, ont été utilisés pour l’arbre intermédiaire et l’arbre moteur car ils sont massifs et leurs déformations et leurs contraintes sous charge ont peu d’intérêt pour l’étude. Ce modèle implique que les bagues intérieures des roulements montés sur ces arbres soient considérées comme parfaitement rigides. En effet, tous les éléments de corps roulants du roulement seront connectés au même nœud de la poutre.

Des plans des réducteurs sont donnés en annexe C.

3. MODELES DES ELEMENTS SPECIFIQUES DU BOGIE

3.1 Les modèles des éléments de structures pré-chargés : les ressorts

Des modèles CAO des corps de ressorts à vide ont été réalisés à partir de mesures sur les ressorts réels (cf. chapitre 3 pour plus de précisions). Ces modèles ont été utilisés pour réaliser des maillages éléments finis volumiques.

Les ressorts subissent des déformations sous charge importantes (de l’ordre de 10 cm). Ils ont donc un comportement géométriquement non linéaire, à cause des grands déplacements (cf. paragraphe 3.3 du chapitre 1). Ils sont montés sur les boîtes d’essieux par groupes de trois et chaque ressort a une longueur à vide différente. Ils doivent donc nécessairement être introduits dans le modèle global dans un état déformé, compatible avec les contraintes de montage dans le mécanisme. Dans le cas de notre étude, leurs faces d’appui doivent être parallèles et distantes de 262 mm.

Ce changement d’état de référence pour la mesure des déplacements a, en outre, l’avantage de linéariser le comportement au voisinage d’un état proche de l’état d’équilibre statique.

Conformément à la méthode exposée dans le paragraphe 3.3 du chapitre 1, un nouvel état de référence pour le calcul des déplacements est défini par un premier calcul linéaire, à déplacement imposé, effectué sur le modèle éléments finis du ressort à vide. Lors de ce calcul, les conditions aux limites sont :

• blocage dans les trois directions des nœuds de la surface plane du bas du ressort,

• blocage dans les deux directions horizontales et déplacement vertical imposé vers le bas des nœuds de la surface plane du haut du ressort, pour que la hauteur déformée soit de 262 mm.

Le résultat de ce calcul est le vecteur de déplacement de référence { }ru . Les nœuds du maillage initial sont déplacés d’une quantité { }ru et la matrice de rigidité [ ]rK dans l’état de référence est évaluée à partir du maillage éléments finis déformé. Le modèle final, utilisé dans l’assemblage global est obtenu en appliquant sur les nœuds de ce maillage un effort nodal [ ]{ }rr uK− .


- 52 -

Figure 2.14 : Modèle éléments finis d’un ressort avant et après la pré-charge

3.2 Les modèles des éléments de liaison

3.2.1 Les paliers à roulements

Le modèle numérique des paliers à roulements, comprend une partie linéaire, les bagues de roulements, intégrée aux éléments de structures, et une partie non linéaire simulant le contact entre les bagues et les corps roulants. Cette partie est modélisée par des éléments de liaison non linéaires, associés à chaque corps roulant et décrits dans le paragraphe 5.3 du chapitre 1.

La modélisation par corps roulants faisant l’hypothèse que les sections droites de bagues restent planes après déformation, trois approches peuvent être envisagées :

• simuler les bagues par des éléments finis volumiques. Dans ce cas, les sections droites de bagues, au niveau des corps roulants, doivent être rigidifiées. Des éléments cinématiques de poutres rigides, sont utilisés pour cela. Un nœud quelconque de la section rigidifiée est utilisé comme nœud d’attache de l’élément de liaison « corps roulant »,

• simuler les bagues par des éléments finis de poutres rectilignes dont les inerties de section sont celles des bagues réelles. Le nombre de poutres doit être suffisamment élevé pour approcher au mieux la courbure de la bague. Les nœuds d’attache des éléments de liaison sont des nœuds, ayant 6 DDL, appartenant aux éléments de poutres,

• faire l’hypothèse qu’une bague est totalement indéformable. C’est le cas d’une bague intérieure montée sur un arbre massif. Dans ce cas, tous les éléments de corps roulants sont connectés à un nœud unique, associés à 6 DDL, qui caractérise les translations et rotations rigides de la section de bague.


Dans notre étude, les bagues intérieures montées sur les arbres moteurs et intermédiaires des réducteurs sont supposées indéformables. En effet, elles sont montées sur des arbres massifs. Les corps roulants sont connectés directement sur les nœuds des poutres qui représentent les arbres.

Toutes les autres bagues de roulement du bogie ont été modélisées par des éléments finis volumiques avec des sections de bagues rigidifiées (cf. figure 2.15), à l’exception des bagues intérieures des roulements montés sur les arbres moteurs et intermédiaires des réducteurs : étant montées sur des arbres massifs, elles sont supposées indéformables et les corps roulants sont connectés directement sur les nœuds des poutres qui représentent les arbres. Cette approche est la meilleure pour obtenir des niveaux de contraintes réalistes, dans les carters, au voisinage des bagues de roulements.

Les élémd’interpolati

3.2.2 L

Les engrdans le parpermettent d

L’élémenéléments de

L’élémende l’arbre imodélisé paéléments cin

M

S r

ection de bagueigidifiée par despoutres rigides

Nœud d’attache de corps roulant

aillage volumiquede bague

- 53 -

Figure 2.15 : Maillage éléments finis des bagues de roulements

ents de poutres sont connectés sur le maillage volumique par des éléments cinématiques on.

es engrenages

enages hélicoïdaux des réducteurs sont modélisés par les éléments de liaison décrits agraphe 4.2 du chapitre 1. Ils caractérisent l’engrènement entre deux arbres, et e déterminer automatiquement les flancs actifs.

t d’engrenages entre le pignon moteur et la roue intermédiaire relie les nœuds des poutres qui modélisent ces arbres.

t d’engrenages entre la roue intermédiaire et la roue principale relie un nœud de poutre ntermédiaire à un nœud, placé sur l’axe de révolution de l’essieu. L’essieu étant r des éléments volumiques, une section de celui-ci, rigidifiée à sa périphérie par des ématiques de poutres rigides, est lié à ce nœud.


- 54

3.2.3 Les zones de contact avec jeux des ressorts

Les ressorts de bogie sont en liaison appui-plan sur les boîtes d’essieux d’une part et les longerons d’autre part. Cette liaison ne peut être représentée par une liaison d’encastrement, car le fil d’un ressort subit une torsion qui provoque une distorsion des faces, initialement planes. Le contact ne reste plus homogène : des jeux apparaissent dans certaines zones, tandis que l’effort de contact est transmis sur de petites zones, linéiques, ou presque ponctuelles.

La liaison doit donc nécessairement permettre l’apparition d’un jeu dans la direction normale au contact, tout en transmettant les efforts de contact là où le jeu est fermé. De plus, le glissement des ressorts est empêché, en partie par un phénomène de frottement sur la zone de contact et en partie par des dispositifs de coupelles qui maintiennent latéralement les extrémités des ressorts. Le chapitre 3 fait une étude comparative de plusieurs façons de prendre en compte ce blocage latéral dans le modèle.

La solution adoptée pour la simulation du bogie complet est simple à mettre en œuvre et donne des résultats réalistes. Elle fait usage des éléments de contacts avec jeux décrits au paragraphe 4.1 du chapitre 1. Des éléments sont disposés de manière régulière sur le contour des faces planes d’appui au nombre de 25 par faces. La liaison dans la direction normale au contact est faite avec un jeu initial nul. Les liaisons dans le plan de contact sont de type rigide.

Lors de la compression des ressorts, les spires peuvent devenir jointives. Ce phénomène, joue un grand rôle sur la direction de l’effort de chasse, effort latéral généré par la compression et étudié au chapitre 3. Des éléments de contacts avec jeux ont donc été ajoutés, entre les spires, aux extrémités des ressorts. La liaison dans la direction verticale est faite avec un jeu initial égal à la distance entre les nœuds. Les deux autres DDL sont laissés libres.

Les nœuds de connexion des éléments de contact sont définis sur 3 DDL et ont été placés sur les maillages volumiques ou surfaciques à des positions imposées. Des éléments cinématiques d’interpolation lient les déplacements de ces nœuds à ceux des faces d’éléments finis surfaciques ou volumique les plus proches.

Figure 2.16 : Nœuds de connexc

Eléments cinématiquesd’interpolation

Nœud de onnexion

-

ion et éléments d’interpolation


- 55 -

4. CONCLUSION

Le bogie de train est un mécanisme complexe dont l’architecture et les caractéristiques rendent indispensable l’utilisation de la méthode globale développée dans le chapitre 1 pour les raisons suivantes :

• le mécanisme est hyperstatique à plusieurs échelles,

• il comporte des ressorts qui de par leurs souplesses subissent de grandes modifications de géométrie et, de plus, sont inclus dans des boucles pré-chargées,

• le nombre de constituants élevé justifie l’utilisation de la sous-structuration statique,

• tous les types d’éléments de liaison non linéaires sont présents : roulements, zones de contact avec jeux et engrenages.

Des modèles éléments finis de tous les éléments de structure ont été créés en utilisant les techniques de maillage automatique d’un logiciel de calcul moderne : CATIA (module ELFINI). Les éléments de liaison sont modélisés par des éléments non linéaires spécifiques dont les nœuds d’attache ont été créés dans les modèles des éléments de structure. Après condensation des éléments linéaires et assemblage, un modèle numérique global unique est obtenu.

Par la suite les ressorts du bogie feront l’objet d’une étude préliminaire au chapitre 3. En effet, leur comportement est fortement non linéaire, à cause des grandes déformations associées à la pré-charge, et à cause des contacts avec jeux aux interfaces avec l’environnement. La validité des modèles développés y est discutée et les paramètres qui influencent leur comportement sont étudiés.

A l’issue de cette étude, le bogie lui-même sera étudié sous diverses sollicitations. C’est l’objet des chapitres 4 et 5.

- 56 -

- 57 -

CHAPITRE 3

COMPORTEMENT DES RESSORTS DE SUSPENSION DE BOGIE

Ce chapitre est une étude préliminaire à l’étude du bogie complet. Il a deux buts : le premier est de définir une méthodologie de modélisation des ressorts de compression applicable à tous les ressorts du même type utilisés sur les bogies de train. Le modèle numérique doit être suffisamment précis pour être représentatif du comportement des ressorts réels. Le deuxième but est d’étudier, dans le cas particulier des ressorts utilisés dans le bogie qui fait l’objet de l’étude globale, l’influence des paramètres géométriques sur la réponse des ressorts à des sollicitations de compression.

Le système mécanique considéré ici est constitué du ressort et de son interface (zones de contact avec jeux) avec les éléments extérieurs (pièces du bogie). Ces derniers ne font pas partie du modèle. Ils sont remplacés par des conditions aux limites en déplacement. Il ne s’agit donc pas à proprement parler d’un modèle global. Cependant, les outils mathématiques et informatiques sont les mêmes que dans un modèle global.

Les ressorts sont des éléments de structure flexibles subissant des déformations d’ensemble importantes qui justifient l’utilisation de la théorie développée au chapitre 1 : le comportement du corps du ressort, supposé géométriquement non linéaire, est linéarisé au voisinage d’un état déformé qui sert de référence pour le calcul des déplacements généralisés. Les zones de contact avec jeux sont simulées par les éléments de liaison de contact décrits au chapitre 1.

Les modèles de ressorts pré-chargés développés dans ce chapitre sont utilisés par la suite dans le modèle global du bogie complet.

1. DEFINITION DU MODELE NUMERIQUE

1.1 Description des systèmes étudiés

Trois modèles de ressorts de compression sont étudiés dans ce chapitre : ceux qui sont montés sur le bogie faisant l’objet de l’étude globale. Le bogie comporte quatre groupes de ressorts qui assurent la suspension du bogie, montés sur des boîtes d’essieux d’une part et sur le châssis grâce à des sellettes d’autre part.

Chaque groupe est constitué de trois ressorts montés dans le bogie comme indiqué sur la figure 3.1. Dans la suite de l’étude, la dénomination suivante sera utilisée :

• ressort n°1 : 3,8 spires utiles, monté à l’avant de la boîte d’essieux,

• ressort n°2 : 6,9 spires utiles, monté à l’intérieur du ressort n°1,

• ressort n°3 : 4,2 spires utiles, monté à l’arrière de la boîte d’essieux.

Chapitre 3 : Comportement des ressorts de suspension de bogie

1.2 Princip

Le système étnon représentées

Le comportemmatériau qui le sont supposées êcontact dépend ddeux ressorts rée

En revanche, ressort réel, dépe

1.2.1 Les pa

Dans la suite,suffisamment soparamétrage optin’entraîne que de

Dans la pratiqgéométriques par

3 1 2

262

B x

s

Ressort n°

- 58 -

Figure 3.1 : Positionnement des ressorts sur la boîte et le l

e de définition du modèle numérique

udié est un ressort soumis à des déplacements imposés pa. Des zones de contact avec jeux assurent la transmission de

ent du système dépend de la géométrie du ressort, des prconstitue et de la configuration des zones de contact. Lestre les mêmes pour deux ressorts du même type et la conirectement de la géométrie du ressort. Ainsi, les différencesls différents sont directement et exclusivement liées à leur d

le comportement du modèle numérique du ressort, dont lnd de paramètres géométriques et non géométriques.

ramètres géométriques

un modèle géométrique paramétré est défini. Par hypothuple pour que, quelle que soit la complexité d’un resmal tel que la différence de géométrie entre le ressort réel es différences de comportement négligeables.

ue, l’étude d’un ressort réel donné passe par la détermina des mesures qui ne s’approchent du paramétrage optimal q

Ressort n°
Ressort n°
oîte d’essieu

∅ 164

∅ 237

∅ 153

Sellette

ongeron

r des pièces extérieures s efforts aux interfaces.

opriétés mécaniques du propriétés du matériau figuration des zones de de comportement entre ifférence de géométrie.

e rôle est de simuler le

èse, ce paramétrage est sort réel, il existe un t son modèle paramétré

tion de ces paramètres u’avec un certain degré


- 59 -

de précision. Le paramétrage géométrique sera valide si la différence entre les paramètres optimaux et mesurés n’entraîne que des différences de comportement mineures.

1.2.2 Les paramètres de simulation

Le modèle numérique dépend également de paramètres liés à la discrétisation et à la simulation des phénomènes physiques.

Le ressort est un milieu continu discrétisé en éléments finis volumiques. La finesse du maillage conditionne la précision des approximations numériques.

D’autre part, les efforts auxquels est soumis le ressort sont transmis aux interfaces dans les zones où les jeux sont fermés. Des éléments non linéaires de contact avec jeu sont placés dans les zones potentielles de contact. L’adéquation entre le comportement du modèle numérique et le ressort réel dépend du nombre d’éléments utilisé (finesse de la discrétisation) et des propriétés données à ces éléments pour rendre compte des phénomènes physiques comme le frottement.

Ces paramètres ne traduisent pas une réalité physique mais le degré de réalisme avec lequel la réalité est simulée. Le maillage éléments finis doit être suffisamment fin pour que la raideur du modèle soit identique à celle du ressort réel. Les éléments de contact doivent être en nombre suffisant et à des positions permettant au modèle numérique d’avoir la même réponse aux sollicitations que le modèle réel. La conformité du modèle numérique à ces exigences peut être vérifiée en faisant varier ces paramètres.

1.3 Modèle géométrique paramétré

1.3.1 Définition de la géométrie

La géométrie des ressorts de compression peut être définie à l’aide des éléments suivants :

• la courbe guide : ensemble des points M de coordonnées :

( ) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=θ

θθ

g

moy

moy

zsinR.s

cosROM

où ( )θθ gg zz →: est une fonction strictement croissante et 1s ±= . La courbe guide est une hélice située sur un cylindre de rayon moyR (cf. figure 3.2). Le signe de s défini le sens de l’hélice,

• la surface enveloppe : en un point M quelconque de la courbe guide, le cercle de rayon filD , centré sur M, situé dans le plan normal à la courbe en M, est défini. L’enveloppe du

ressort est la surface que décrit ce cercle lorsque le point M décrit la courbe guide,

• le plan limite inférieur, d’équation 0z = ,

• le plan limite supérieur, d’équation Hz = .


Figure 3.2 : Paramétra

L’intersection entre la courbe enveloppe ed’appui avant meulage ». Ces contours ont latouchent théoriquement (cf. figure 3.3).

x

θB’

αB

Figure 3.3 : Etend

Sur le bas du ressort, les deux bouts pointus sections droites passant par les points suivants

• le point A, de position angulaire Aθ ,

• un autre point, de position angulaire

O

z

y

M

A

B

Rmoy

-

ge

t le fo

θ

ue

de de

thé

60 -

de la cou

s plans limrme d’un

yB

B

de la face

la face d’ la courbe

oriqueθ A
x
θ

rbe gui

ites scroissa

Partie m

d’appu

appui guide :

π2− .

zg(θ)

de du ressort

ont des contours nommés « faces nt dont les deux bouts pointus se

eulée

i du haut

avant meulage sont situés sur les


- 61 -

Sur le haut du ressort, les deux bouts pointus de la face d’appui avant meulage sont situés sur les sections droites passant par les points suivants de la courbe guide :

• le point B, de position angulaire Bθ ,

• un autre point, de position angulaire théorique πθ 2B + .

Les angles Aθ et Bθ dépendent de la fonction gz et de la valeur de H.

Le solide « ressort » est entièrement compris dans le volume situé à l’intérieur de la surface enveloppe et entre les deux plans limites, mais ses extrémités sont meulées de manière à ce que ses faces d’appui réelles s’étendent entre les positions angulaires :

• 'Aθ (côté meulé) et Aθ (côté pointu) pour la face d’appui du bas,

• Bθ (côté pointu) et 'Bθ (côté meulé) pour la face d’appui du haut.

L’étendue des faces d’appui est définie comme étant :

• pour la face d’appui du bas : 'AAA θθα −= ,

• pour la face d’appui du haut : BBB ' θθα −= .

En conclusion, la géométrie du ressort est entièrement définie par les paramètres caractéristiques suivants :

• la fonction ( )θθ gg z:z → ,

• la hauteur du ressort H,

• le rayon moyen moyR ,

• le diamètre du fil filD ,

• les étendues des faces d’appui Aα et Bα .

1.3.2 Géométrie théorique des ressorts

Les paramètres caractéristiques des ressorts peuvent prendre des valeurs très diverses suivant les caractéristiques mécaniques souhaitées, en particulier la raideur et l’encombrement, mais elles ne sont pas pour autant quelconques. Lors de la conception des ressorts, les règles suivantes, qui confèrent à la fonction gz une certaine régularité, sont en principe observées :

• en dehors des extrémités du ressort, dans une plage de valeurs [ ]θθθθ ∆−∆+ BA ... , les

spires ont un pas P constant et la fonction gz est linéaire : ( )π

θ2P'zg = ,


- 62 -

• aux extrémités du ressort, dans les plages de valeurs [ ]AA ...2 θπθ − et [ ]πθθ 2... BB + , le pas est tel que les bouts pointus des faces d’appui avant meulage se touchent (la dernière spire serait jointive si elle était complète). En supposant que le pas est constant dans ces plages de valeurs, il est donc approximativement égal au diamètre du fil.

Ainsi, ( )π

θ2D

'z filg = ,

• dans les plages de transition [ ]θθθ ∆+AA ... et [ ]BB ...θθθ ∆− , la fonction gz varie de manière à assurer une continuité C1 à toute la courbe.

La figure 3.4 indique la forme de la fonction gz sur tout son domaine de définition. La zone grise indique l’intersection du solide « ressort » avec le cylindre de rayon moyR qui supporte la courbe guide.

Le pas au milieu du ressort dépend de la largeur θ∆ des plages de transition et de la variation de hauteur de la courbe guide dans ces plages.

De plus, un ressort parfait a les propriétés suivantes :

• la fonction gz est antisymétrique par rapport au point ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

2H,

2BA θθ ,

• BA αα = .

Bθ

θ∆

( )θzz =

)( radθ'Aθ Aθ

θ∆

H

'Bθ

filDπ2

π2

filD≈

filD≈

Aα

Bα

Figure 3.4 : Forme théorique de la courbe guide d’un ressort


- 63 -

1.3.3 Géométrie des ressorts réels

Les ressorts réels sont fabriqués d’après des spécifications qui correspondent au modèle théorique mais, lors de leur fabrication, ce modèle n’est respecté qu’avec un certain degré de précision. Le bogie de train étudié possède trois types de ressorts. Pour les besoin de l’étude présentée ici, nous avons effectué des mesures sur un spécimen de ressort de chaque type afin de déterminer leurs paramètres caractéristiques. L’hypothèse a été faite que la courbe guide se trouve sur un cylindre de rayon moyR et que ce rayon est celui des spécifications. Nous avons mesuré la hauteur de la courbe guide en différents points. Le tableau suivant résume les paramètres mesurés :

Nb. de spires utiles H Rmoy Dfil Aα Bα

Ressort n°1 3,8 342 mm 118,5 mm 34,1 mm 298° 305°

Ressort n°2 6,9 371 mm 76,5 mm 21,3 mm 288° 247°

Ressort n°3 4,2 295 mm 82 mm 34,1 mm 320° 304°

Les trois figures suivantes représentent les points mesurés pour déterminer les courbes guides. Une courbe interpolée a été tracée à partir des points mesurés afin de créer des modèles numériques.

Courbe guide mesurée - Ressort n°1

-50

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250

Points mesurés Courbe interpolée

)( °θ

( ) (mm) θgzz =

Figure 3.5 : Courbe guide mesurée du ressort n°1


- 64 -

)( °θ


-50

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250 2500 2750 3000 3250

Points mesurés

Courbe interpolée

( ) (mm) θgzz =


)( °θ


-50

0

50

100

150

200

250

300

350

0 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250

Points mesurés Courbe interpolée

( ) (mm) θgzz =


Les courbes guides réelles sont irrégulières, en particulier sans les zones de transition et les zones extrêmes. L’écart entre Aα et Bα sur un même ressort varie de 7° à 41° suivant les ressorts. Ces différences s’expliquent par une mauvaise maîtrise de la courbe guide lors de la fabrication. La

pente de la courbe guide sur les spires extrêmes est souvent supérieure à π2

D fil de sorte que

l’étendue de la face d’appui doit être réduite afin que le bout meulé ne soit pas trop mince (une épaisseur minimale est donnée dans les spécifications).


- 65 -

Par hypothèse, ces mesures dimensionnelles sont suffisamment précises pour que les différences géométriques entre les ressorts réels et leurs modèles numériques n’entraînent que des différences de comportement négligeables. Cette hypothèse n’a pas été vérifiée par des mesures expérimentales sur des ressorts réels soumis à des sollicitations.

Cependant, les irrégularités des courbes guides mesurées nous apprennent que lors de la fabrication, la géométrie théorique qui découle des spécifications est mal respectée. Même au sein d’un même lot de ressort, il existe de grandes disparités géométriques. Nous savons que ces disparités entraînent des différences de comportement notables (notamment l’effort de chasse peut varier du simple au double).

Deux conclusions s’imposent :

• les erreurs de mesure des courbes guides sont négligeables devant les disparités entre les ressorts fabriqués. Ceci légitime l’hypothèse que les erreurs de mesure sont négligeables, dans le sens où les résultats précis concernant un ressort fabriqué particulier ne sont valables que pour lui-même,

• les disparités géométriques entre deux ressorts fabriqués sont du même ordre que la différence de géométrie entre un ressort parfait défini d’après les spécifications techniques et un ressort fabriqué particulier. En d’autres termes, l’étude de l’effet de ces disparités peut être étudié en comparant la simulation d’un ressort parfait à celle d’un ressort mesuré.

1.4 Modèle numérique

1.4.1 Le maillage éléments finis

Le logiciel CATIA a été utilisé pour créer des modèles CAO conformes au paramétrage géométrique défini plus haut. Des maillages éléments finis volumiques ont été construits à partir de ces modèles CAO en utilisant les techniques suivantes :

• pour la partie centrale des ressorts : maillage d’une section du fil par des éléments triangulaires, puis extrusion le long du fil pour obtenir des éléments volumiques quadratiques (prismes à bases triangulaires à 15 nœuds),

• pour les extrémités : maillage automatique en tétraèdres à 10 nœuds.

Les deux types d’éléments sont compatibles. Les maillages réalisés possèdent entre 40000 et 60000 nœuds suivant les ressorts. La correspondance avec le modèle géométrique est très bonne. Par hypothèse, la finesse du maillage est suffisante pour que le comportement du modèle numérique soit conforme à celui du modèle réel.

Les spécifications techniques des ressorts indiquent leurs raideurs verticales pour une charge de référence donnée. Pour tous les modèles de ressorts étudiés, cette valeur était légèrement différente de la valeur calculée (10 % au maximum). Ces différences sont imputables à la discrétisation du modèle numérique, mais surtout à un comportement du matériau plus complexe que celui simulé (pré-contraintes dues à l’écrouissage du matériau lors de la fabrication, hétérogénéités, …). Les modèles éléments finis ont été recalés en modifiant le module d’Young du matériau.


- 66 -

1.4.2 Prise en compte des non linéarités : la pré-charge

Le corps du ressort est soumis à un déplacement imposé de plusieurs centimètres par l’intermédiaire d’éléments de contact. Même s’il est possible, dans ce cas, de travailler au voisinage de l’état non déformé et de négliger les non linéarités, il est préférable d’utiliser l’approche définie au paragraphe 3.3 du chapitre 1.

Un déplacement imposé est appliqué au maillage élément finis du ressort seul, à vide. Le vecteur de déplacement nodal { }ru obtenu par ce calcul est utilisé comme état de référence pour la mesure des déplacements dans le calcul final.

Les nœuds du maillage initial « à vide » sont déplacés sur cet état de référence et la matrice de rigidité [ ]rK du nouveau modèle est évaluée. Le vecteur d’efforts nodaux [ ]{ }rr uK− est appliqué sur les nœuds du maillage déformé.

Le modèle obtenu est linéaire. Son comportement est proche de celui du modèle non linéaire géométrique quand les déplacements à l’équilibre, calculés depuis l’état de référence, sont proches de 0.

Dans cette étude, plusieurs valeurs de déplacements de compression seront appliquées sur le système constitué du ressort et des zones de contact avec jeux. Un déplacement de référence { }ru différent sera calculé pour chaque cas de calcul afin de minimiser les erreurs dues à la linéarisation. Le calcul de { }ru se fait en appliquant les conditions aux limites suivantes sur les nœuds des faces planes d’appui :

• sur la face du bas : encastrement,

• sur la face du haut : déplacement imposé ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∆− z00

.

Aucun effort extérieur n’est appliqué. Le déplacement z∆ appliqué est le même que pour le calcul final.

1.4.3 Simulation des interfaces par zones de contact

Dans le bogie, le maintient des ressorts est assuré par contact avec jeu sur les boîtes d’essieux et les sellettes (cf. figure 3.1). Sur chaque ressort, trois types de zone de contact sont distingués :

• contact plan entre les surfaces planes d’appui des ressorts et la boîte d’essieux ou le longeron,

• contact ponctuel ou linéique entre l’intérieur ou l’extérieur des spires et les surfaces cylindriques des sellettes,

• contact ponctuel ou linéique entre des spires devenues jointives sous charge.


- 67 -

Dans la réalité, la charge verticale induite par le déplacement imposé du longeron est entièrement reprise par les surfaces planes d’appui. Cependant, sous charge, celles-ci se déforment et ne restent pas planes et seules les zones où le jeu sous charge est nul reprennent les efforts.

Lorsqu’un ressort de compression est soumis à une force verticale, les déformations induisent un effort latéral, nommé effort de chasse. Celui-ci est repris par les sellettes en plusieurs points simultanément :

• par frottement au niveau de la partie des zones planes restées en contact sous charge,

• par le contact avec ou sans frottement au niveau des zones de contact entre l’intérieur ou l’extérieur des spires et les surfaces cylindriques des sellettes,

Le partage des charges entre ces zones potentielles de contact est, à priori, inconnu.

L’hypothèse a été faite que la réponse globale du ressort sous charge ne dépend que faiblement de la position des zones qui reprennent l’effort de chasse. Cette hypothèse a été vérifiée en comparant les résultats des deux modèles suivants :

• Modèle A : l’effort vertical est purement repris par les parties des surfaces planes où le jeu sous charge est nul. L’effort latéral est purement repris par frottement au niveau de toute la surface plane : les déplacements relatifs de glissement sont bloqués. Les efforts entre spires jointives sont transmis sans frottement dans la direction verticale,

• Modèle B : l’effort vertical est purement repris par les parties des surfaces planes où le jeu sous charge est nul. L’effort latéral est purement repris par le contact avec glissement entre des surfaces cylindriques et l’intérieur des spires, en haut et en bas du ressort. Les efforts entre spires jointives sont transmis sans frottement dans la direction verticale.

On peut estimer que ces deux modèles sont aussi différents l’un de l’autre que de la réalité. Le fait que ces deux modèles donnent des résultats comparables indiquerait donc qu’ils représentent tous les deux la réalité correctement.

Dans le modèle numérique, les efforts sont transmis par des éléments de liaison de contact. Ce sont des rigidités ponctuelles variables entre deux nœuds. Sur chaque DDL la rigidité est soit nulle soit très élevée selon que le rapprochement relatif des nœuds est inférieur (jeu ouvert) ou supérieur (jeu fermé) à la distance qui les sépare. Lorsque le jeu est fermé, la rigidité appliquée est suffisamment élevée pour transmettre l’effort tout en rendant le déplacement relatif négligeable.

L'élément de contact est configurable DDL par DDL. Ces propriétés peuvent être les suivantes :

• contact avec jeu (rigidité variable),

• liaison rigide (rigidité très élevée quel que soit le déplacement relatif),

• absence de liaison (rigidité nulle).

Dans le modèle, ces éléments relient un nœud du modèle éléments finis pré-chargé à un nœud ayant un déplacement imposé, nul ou non. La simulation des zones de contact impose une


discrétisation des contacts surfaciques ou linéiques en contacts ponctuels. Le nombre d’éléments utilisés est un paramètre de simulation qui peut influencer les résultats, c’est pourquoi plusieurs valeurs de ce nombre ont été essayées afin de vérifier que le nombre utilisé est dans les normes pour représenter la réalité correctement.

Des calculs préliminaires ont montré que, lorsque le ressort est comprimé verticalement, son fil subit une torsion qui provoque un gauchissement et un basculement des faces d’appui initialement planes. Elles ne sont en contact avec le longeron ou la boîte d’essieu qu’au niveau de leurs contours. Les modèles numériques réalisés tiennent compte de cette hypothèse, qui peut être vérifiée au cas par cas pour chaque cas de charge et n’a jamais été mise en défaut.

Toutes les zones de contact potentielles sont donc linéiques ou ponctuelles et sont discrétisées par un nombre variable d’éléments de liaison de contact régulièrement répartis.

Des nœuds d’attache sont créés sur le modèle éléments finis avant l’application du déplacement de pré-charge (cf. figure 3.8) :

• Sur le contour des faces planes : 15 ou 25 nœuds,

• Sur les courbes spirales en contact avec les surfaces cylindriques intérieures : 10 ou 15 nœuds,

• Entre les spires potentiellement jointives : entre 1 et 4 nœuds suivant que ce contact peut être ponctuel ou linéique.

Les nœuds de connexion de la zone de contact latérale sont utilisés uniquement dans le cas du modèle B.

co

Eléments de ntact des zones

planes d’appui

- 68 -

Figure 3.8 : position des éléments de contac

Eléments decontact des

appuis latéraux

Eléments decontact entre

spires

t


Pour chaque ressort, quatre modèles numériques seront utilisés avec différentes valeurs de déplacements imposés de compression :

• Modèle A1 : 25 éléments de contact sont utilisés sur chaque face d’appui. Ils permettent le contact avec jeux dans la direction verticale et empêchent le déplacement dans les deux autres directions,

• Modèle A2 : même modèle que A1 mais avec 15 éléments de contact sur chaque face d’appui,

• Modèle B1 : 25 éléments de contact sont utilisés sur chaque face d’appui. Ils assurent le contact avec jeux et sans frottement dans la direction verticale. 15 éléments de contact sont utilisés sur chaque courbe d’appui latéral. Ils assurent le contact avec jeux et sans frottement dans la direction radiale.

• Modèle B2 : même modèle que B1 mais avec 15 éléments de contact sur chaque face d’appui et 10 éléments de contact sur chaque courbe d’appui latéral.

Pour les ressorts n°1 et n°2 (cf. paragraphe 1.1 pour la dénomination des ressorts), le contact entre spires jointives est toujours ponctuel et se fait entre l’extrémité de la spire meulée et la spire d’en dessous ou d’en dessus (cf. figure 3.9). Pour ces ressorts et quel que soit le modèle, un seul élément de contact est utilisé à chaque extrémité du ressort pour relier les paires de points potentiellement en contact. Le contact se fait, dans la direction verticale, sans frottement et avec un jeu initial égal à la distance entre les nœuds sur le modèle pré-chargé.

F

Pour le recertaine charet quel que slong des lign

Dans ce comportememodèle est dlinéique a pecontact rédui

Les deux quatre éléme

P
oints potentiellementen contact
- 69 -

igure 3.9 : contact entre spires jointives (configuration des ressorts n° 1 et n°2)

ssort n°3, le contact entre spires jointives est ponctuel en bout de spire à partir d’une ge puis il devient linéique et se déplace le long du fil (cf. figure 3.10). Pour ce ressort, oit le modèle, le contact linéique est discrétisé par quatre éléments de contact placés le es potentielles de contact.

cas, le problème se pose de savoir si la discrétisation est suffisante pour que le nt du modèle numérique soit conforme à celui du ressort réel. Une validation de ce onnée en annexe D2. Le calcul avec quatre éléments de contact par zone de contact rmis de mieux connaître la taille des zones de contact réelles. Des zones potentielles de tes ont été discrétisées avec six éléments de contact chacune.

simulations ne montrant pas de différence notable de comportement, la simulation avec nts de contact est validée.


1.5

Les peuven

La rzone plà :

La ré

L’efest infé

L’ef

Sa n

Sa d

Lorsexpérimnumériq

L
ignes potentiellementen contact
- 70 -

Figure 3.10 : contact entre spires jointives (configuration du ressort n°3)

Grandeurs physiques calculées

principales grandeurs calculées sont l’effort vertical de compression et l’effort de chasse qui t être définis de la manière suivante :

ésultante des efforts du bas du ressort sur le bâti (transmis par les éléments de contact de la ane du bas et, dans la cas du modèle B, par ceux de la surface cylindrique du bas) est égale

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

V

CY

CX

bati/bas

FFF

Fr

sultante des efforts du haut du ressort sur le bâti est exactement opposée :

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−−

=−=

V

CY

CX

bati/basbati/haut

FFF

FFrr

fort vertical de compression est VF (qui est positif lorsque la hauteur sous charge du ressort rieure à sa hauteur à vide).

fort de chasse est l’effort latéral qui résulte de la compression : ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

0FF

F CY

CX

C

r

orme est : 2CY

2CXCC FFFF +==

r.

irection est repérée par un angle Cθ par rapport à une direction de référence.

que les ressorts de train sont fabriqués, la direction de l’effort de chasse est déterminée entalement sous une charge de référence et repérée par une marque. Pour la simulation ue, c’est cette direction qui sert de référence pour la mesure de l’angle Cθ .


- 71 -

La raideur verticale du ressort est définie par :

zFk V

V ∆=

L’étude qui suit a pour objet d’étudier l’évolution (non linéaire) de Vk , CF et Cθ en fonction de z∆ pour chacun des trois ressorts en utilisant les quatre modèles définis ci-dessus.

2. RESULTATS DES SIMULATIONS

Les résultats des simulations numériques effectuées sur les trois ressorts réels sont donnés ci-après sous forme de courbes. Les grandeurs représentées sont la raideur et l’effort de chasse (norme et direction).

L’état des jeux sous charge entre spires, au niveau des éléments de contact, est également donné. Ces jeux sont soit positifs (contact ouvert) soit nuls (contact fermé avec transmission d’effort). L’état des jeux est un élément important pour l’analyse des variations des autres courbes.

Les trois ressorts ont des longueurs à vide différentes. Dans le bogie, pour une charge verticale donnée, dite « charge de base », les ressorts ont tous une hauteur de 262 mm et l’articulation élastique est soumise à un couple nul. Sous charge, le déplacement d’écrasement vertical est limité par une butée à 35 mm de plus que le déplacement de base. Les déplacements étudiés vont de 0 jusqu’au déplacement en butée.

2.1 Ressort n°1

Ses principales caractéristiques sont :

• nombre de spires utiles : 3,8,

• hauteur à vide : 342 mm,

• déplacement de base : 80 mm,

• déplacement en butée : 115 mm,

• étendue de la face d’appui supérieure : 298°,

• étendue de la face d’appui inférieure : 305°.


- 72 -

Jeux entre spires (haut du ressort)

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

10,00 20,00 30,00 40,00 50,00 60,00

Modèle A1 (25 nœuds)


Modèle B1 (25/15 nœuds)


(mm) z∆

Jeu (mm)

Jeux entre spires (bas du ressort)

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

10,00 20,00 30,00 40,00 50,00 60,00

Modèle A1 (25 nœuds) Modèle A2 (15 nœuds) Modèle B1 (25/15 nœuds) Modèle B2 (15/10 nœuds)

(mm) z∆

Jeu (mm)

Le jeu à vide le plus grand est celui du bas alors que, paradoxalement, la face d’appui la plus petite est celle du haut. Ceci est dû au fait que la pente de la courbe guide est plus élevée sur l’extrémité inférieure que sur l’extrémité supérieure. Sur un ressort parfait, ces pentes seraient identiques.

Les jeux entre spires diminuent de manière approximativement linéaire jusqu’à devenir nuls. Ils se ferment pour les valeurs approximatives de déplacements imposés suivantes :

• jeu du haut : 25 mm

• jeu du bas : 40 mm.


- 73 -

Raideur verticale

255

260

265

270

275

280

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120


(mm) z∆

(N/mm) Vk

Les valeurs de raideurs verticales calculées :

• sont pratiquement indépendantes du nombre d’éléments de contacts utilisé,

• dépendent faiblement de la méthode de reprise de l’effort de chasse (modèle A ou B). Cependant, la différence maximale de raideur ne dépasse pas 2,5 % pour une même valeur de z∆ .

La raideur est stable jusqu’à 20 mm. Elle augmente ensuite faiblement et progressivement pour se stabiliser au dessus de 80 mm. Ces variations sont liées à la fermeture des jeux qui réduisent la partie active (flexible) du ressort lorsqu’ils se ferment.

Norme de l'effort de chasse

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

(mm)z∆

(N) CF



- 74 -

Direction de l'effort de chasse

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

(mm) z∆

)( C °θ


L’effort de chasse a une norme qui augmente de manière régulière avec le déplacement imposé. On note une augmentation de la pente de la courbe au dessus de 25 mm.

Par contre, sa direction dépend beaucoup du déplacement imposé (variation de 50°). On distingue trois domaines :

• entre 0 et 25 mm : la direction est stable,

• entre 25 et 40 mm : changement rapide de direction,

• au dessus de 50 mm : stabilisation progressive de la direction.

Les variations sont importantes et induites par la fermeture des jeux entre spires.

En outre, le modèle choisi a une influence sur les résultats calculés :

• très faible influence du nombre d’éléments de contacts utilisés,

• influence notable de la méthode de reprise de l’effort de chasse : différence maximale de 15°.

Malgré tout, les tendances sont les mêmes et, au dessus de 50 mm, lorsque les deux jeux entre spires sont fermés, tous les modèles font les mêmes prédictions : la direction de l’effort de chasse est stable et sa norme augmente de manière presque linéaire. Le modèle numérique est donc valable qualitativement sur toute la plage d’étude et quantitativement au dessus de 50 mm. Lorsqu’il est monté dans le bogie, le ressort est comprimé de 80 mm au minimum. Il travaille donc dans la zone où le comportement est stable et prévisible.


- 75 -

2.2 Ressort n°2









0

1

2

3

4

5

6

0 20 40 60 80 100 120 140


(mm) z∆

Jeu (mm)


0

1

2

3

4

5

6

0 20 40 60 80 100 120 140



Modèle B1 (25/15 nœuds) Modèle B2 (15/10 nœuds)

(mm) z∆

Jeu (mm)


- 76 -

Les jeux à vide du haut et du bas ont des valeurs proches, mais leur configuration est différente : l’étendue de la face d’appui supérieure est plus grande de 41° que la face d’appui inférieure mais la pente de la courbe guide est plus élevée à l’extrémité supérieure. Les deux effets se compensent et donnent des jeux à vide presque identiques.

Les jeux entre spires diminuent de manière approximativement linéaire jusqu’à devenir nuls. La différence de configuration entraîne une diminution beaucoup plus rapide du jeu supérieur. Les jeux se ferment pour les valeurs approximatives de déplacements imposés suivantes :

• jeu du haut : 50 mm,

• jeu du bas : 110 mm.

Raideur verticale

78

79

80

81

82

83

84

0 20 40 60 80 100 120 140 160


(mm) z∆

(N/mm) kV

Comme pour le ressort n°1, les valeurs de raideurs verticales calculées :


• dépendent faiblement de la méthode de reprise de l’effort de chasse (modèle A ou B). Cependant, la différence maximale de raideur ne dépasse pas 2,5 % pour une même valeur de z∆ .

La raideur est stable au dessous de 50 mm. Elle augmente ensuite faiblement et progressivement. Ces variations sont liées à la fermeture des jeux.


- 77 -


0

100

200

300

400

500

600

0 20 40 60 80 100 120 140 160

(mm)z∆

(N) FC






-40

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

0 20 40 60 80 100 120 140 160


(mm) z∆

)( C °θ

L’effort de chasse évolue selon un schéma qui confirme celui du ressort n°1 : la fermeture des jeux entre spires provoque des changements de comportement. Trois domaines sont distingués :

• entre 0 et 50 mm : la direction est stable et la norme augmente linéairement,

• entre 50 et 100 mm : changement rapide de direction et variation de la norme,

• au dessus de 100 mm : stabilisation progressive de la direction avec une norme qui recommence à évoluer linéairement.

Pour ce ressort, tous les modèles numériques donnent des résultats similaires avec des différences :

• négligeables selon le nombre d’éléments de contacts utilisé,

• assez faibles selon la méthode de reprise de l’effort de chasse.


Lorsqu’il est monté dans le bogie, le ressort est comprimé de 109 mm au minimum. Il travaille donc dans une zone où le comportement est stable.

2.3 Ressort n°3








Le contact entre spires est à priori linéique. Quatre éléments de contact sont placés à chaque extrémité du ressort, régulièrement répartis sur les lignes potentielles de contact. La figure 3.11 indique les positions de ces éléments. Des numéros leur sont affectés pour les repérer sur les courbes qui suivent.

Fig

3

11

éléments de contact entre spires du bas

éléments de contact entre spires du haut

ur

24

e 3.11 : Nu

2

- 78 -

mérotation de

22

s éléments d

21

12
13 14
e contact


- 79 -

L’évolution des jeux entre spires au niveau des éléments de contact est représentée en fonction du déplacement imposé appliqué sur la surface supérieure du ressort. Pour simplifier ces courbes, seuls les résultats relatifs au modèle A1 sont donnés ici. Les courbes obtenues avec les autres modèles sont données en annexe D1. Elles confirment les conclusions tirées ici.

Jeux entre spires (haut du ressort) – Modèle A1

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

10 20 30 40 50 60 70

11 12 13 14

(mm) z∆

Jeu (mm)

Jeux entre spires (bas du ressort) - Modèle A1

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

10 20 30 40 50 60 70

21 22 23 24

(mm) z∆

Jeu (mm)

Les jeux entre spires évoluent de manière linéaire par morceaux. La fermeture d’un jeu change la configuration de l’ensemble et provoque un changement de pente dans l’évolution des autres jeux. Cet effet est surtout sensible lors de la fermeture du premier jeu d’une extrémité donnée.


- 80 -

Sur l’extrémité supérieure, le jeu 11 se ferme pour un déplacement de 30 mm. Vers 33 mm le jeu 12 se ferme à son tour provoquant un changement de comportement :

• le jeu 11 se ré-ouvre et augmente linéairement pour atteindre quelques dixièmes de millimètres,

• les jeux 13 et 14 continuent de diminuer, mais avec une pente plus faible pour se fermer pratiquement vers 68 mm.

Le contact est donc d’abord ponctuel en bout de spire, puis il s’étend le long du ressort. Les surfaces des spires en contact sont des surfaces convexes. L’inclinaison de la spire du dessous change avec le déplacement de compression de sorte que les surfaces roulent l’une sur l’autre. Le point de contact en bout de spire se réouvre donc vers 33 mm tandis que le contact s’étend le long du fil du ressort.

Sur l’extrémité inférieure, les jeux 21, 22 et 23 diminuent linéairement, mais c’est le 23 qui diminue le plus vite et se ferme en premier vers 25 mm. A partir de cette valeur les jeux 21 et 22 augmentent de nouveau tandis que le 24 continue de diminuer et se ferme vers 50 mm. L’analyse est la même que pour les jeux de l’extrémité supérieure, mais dans ce cas, le contact s’amorce directement au niveau des surfaces convexes des spires en un point éloigné du bout de la spire.

Comme dans le cas des ressorts n°1 et n°2, la fermeture des jeux entre spires modifie localement la rigidité verticale des faces d’appui. La répartition de la pression de contact se trouve ainsi modifiée et l’effort de chasse qui en découle également. Dans le cas du ressort n°3, le changement de comportement est progressif, car les zones de contact se déplacent continûment.

Raideur verticale

680,00

690,00

700,00

710,00

720,00

730,00

740,00

750,00

760,00

0 10 20 30 40 50 60 70


(mm) z∆

(N/mm) kV


- 81 -

Comme pour les deux autres ressorts, les valeurs de raideurs verticales calculées :


• dépendent faiblement de la méthode de reprise de l’effort de chasse (modèle A ou B). Cependant, la différence maximale de raideur ne dépasse pas 2 % pour une même valeur de z∆ .

La raideur est stable au dessous de 25 mm. Elle augmente ensuite faiblement et progressivement. Ces variations sont liées à la fermeture des jeux vers 25 mm et 33 mm.


0

500

1000

1500

2000

2500

0 10 20 30 40 50 60 70

(mm) z∆

(N) FC






0

50

100

150

200

250

0 10 20 30 40 50 60 70





(mm) z∆

)( C °θ


- 82 -

Pour ce ressort, tous les modèles numériques donnent des résultats similaires avec des différences :

• négligeables selon le nombre d’éléments de contacts utilisé,

• assez faibles selon la méthode de reprise de l’effort de chasse.

Dans le comportement de l’effort de chasse, on distingue quatre domaines :

• entre 0 et 25 mm : la direction est constante et la norme augmente linéairement,

• entre 25 et 50 mm : la direction est constante et la norme diminue rapidement,

• entre 50 et 60 mm : la direction varie de 150° et la norme diminue, puis augmente,

• au dessus de 60 mm : stabilisation de la direction avec une norme qui recommence à augmenter linéairement.

Les changements dans l’effort de chasse semblent liés à la fermeture des jeux 12 et 23 vers 33 mm puis à la fermeture du jeu 24 vers 50 mm. Dans la réalité, les contacts sont linéiques et se déplacent continûment entraînant une modification progressive de la réponse du ressort. Une validation de ce modèle est présentée en annexe D2. La modélisation du contact linéique entre spire a été affinée en réduisant la zone potentielle de contact et en augmentant le nombre d’éléments de contact utilisés. Il a pu être vérifié que les variations de l’effort de chasse ne sont pas dues à un phénomène non physique, lié à une discrétisation trop grossière.

Lorsqu’il est monté dans le bogie, le ressort est comprimé de 33 mm au minimum. Les déplacements au dessus de 60 mm étant rares, le ressort travaille dans un domaine où la direction de l’effort de chasse est stable, mais pas sa norme.

2.4 Comparaison entre un ressort réel et un ressort parfait

L’étude de ressorts réels particuliers a montré que la réponse des ressorts est influencée par leur géométrie, en particulier par celle des jeux entre spires à vide. Lors de la fabrication des ressorts, la géométrie théorique qui découle des spécifications est mal respectée et de grandes disparités existent même au sein des ressorts d’un même lot.

Par hypothèse, les disparités géométriques entre deux ressorts fabriqués sont du même ordre que la différence de géométrie entre un ressort parfait défini d’après les spécifications techniques et un ressort fabriqué particulier. Un modèle de ressort parfait a donc été construit d’après les spécifications du ressort n°1. De plus, ce modèle a l’avantage de minimiser les variations brutales de réponse liées aux irrégularités géométriques.

Le modèle de ressort parfait est construit sur une courbe guide obéissant au modèle théorique défini au paragraphe 1.3.2 Les paramètres ont été choisis de manière à s’approcher le plus possible de la courbe mesurée :


- 83 -

• °= 383Aθ

• °= 1614Bθ

Le pas aux extrémités est égal au diamètre du fil : Dfil = 34,1 mm. Le pas sur la zone centrale est P = 82,0 mm. Les plages de transition s’étendent sur °=∆ 90θ . Dans ces zones, la fonction

( )θθ gg z:z → est le polynôme d’ordre 3 qui permet de respecter la continuité en tangence.

Courbe guide "idéale"

-50

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

Courbe guide

Points mesurés

)( °θ

( )(mm) fz θ=

Figure 3.12 : courbe guide du ressort parfait

Les faces d’appui s’étendent sur °== 300BA αα aux deux extrémités

Des simulations ont été faites pour comparer le comportement de ce ressort parfait avec celui du ressort n°1, construit à partir de mesures sur un ressort réel. Le modèle A1 a été utilisé pour le ressort parfait et le ressort réel.


- 84 -


0

0,5

1

1,5

2

2,5

10 20 30 40 50 60

Modèle A1 - Ressort réel Modèle A1 - Ressort parfait

(mm) z∆

Jeu (mm)


0

0,5

1

1,5

2

2,5

10 20 30 40 50 60


(mm) z∆

Jeu (mm)

Contrairement au ressort réel, le ressort parfait a le même jeu entre spires, à vide, aux deux extrémités du ressort. De plus, comme les deux faces d’appui ont la même étendue et que la courbe guide a la même pente aux deux extrémités, les deux jeux entre spires suivent la même diminution linéaire et se ferment pour le même déplacement imposé de 30 mm.


- 85 -

Raideur verticale

264

266

268

270

272

274

276

278

280

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120


(mm) z∆

(N/mm) kV

La raideur varie de 0,5 % entre les deux ressorts. Dans les deux cas, la raideur augmente lors de la fermeture des jeux. Pour le ressort parfait, le jeu du bas se ferme plus tôt, dès 30 mm, et sa raideur devient plus élevée que celle du ressort réel.


0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120


(mm)z∆

(N) FC


- 86 -


0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120


(mm) z∆

)( C °θ

Pour les deux ressorts, l’évolution de la norme de l’effort de chasse est identique. En revanche, la direction est différente. La fermeture d’un jeu entre spires modifie l’équilibre d’un ressort et fait tourner son effort de chasse.

Pour le ressort réel, l’effort de chasse tourne de 25° vers la gauche au dessus de 30 mm (fermeture du jeu supérieur), puis de 10° vers la droite au dessus de 50 mm (fermeture du jeu inférieur).

Pour le ressort parfait, les deux jeux entre spires se ferment pour la même charge et les effets des deux jeux se compensent. Ainsi, la direction de l’effort de chasse est constante.

La géométrie précise du ressort joue directement sur les jeux entre spires et sur les variations d’effort de chasse. En supposant que les différences entre deux ressorts fabriqués soient du même ordre que celles qui séparent le ressort parfait du ressort réel particulier utilisé ici, on tire les conclusions suivantes :

• la raideur n’est quasiment pas influencée par de petites variations de géométrie,

• l’effort de chasse est totalement imprévisible, à priori. Ses variations de géométrie sont d’autant plus régulières que la courbe guide et les faces d’appui sont régulières.


- 87 -

2.5 Influence de l’étendue des faces d’appui

L’étendue des faces d’appui conditionne en grande partie le jeu initial entre spires. Afin d’évaluer l’impact d’une modification de l’étendue des faces sur le comportement du ressort, des simulations ont été faites sur le ressort parfait, défini dans la partie précédente, en modifiant l’étendue des faces supérieure et inférieure de 30°.

L’effort latéral est repris en utilisant le modèle A1. Les quatre simulations suivantes ont été faites :

Aα Bα Simulation n°1 300° 300° Simulation n°2 300° 270° Simulation n°3 270° 300° Simulation n°4 270° 270°

Jeux entre spires (haut du ressort) - Modèle A1

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

10 20 30 40 50 60 70 (mm) z∆

Jeu (mm)

300°/300°

300°/270°

270°/300°

270°/270°


0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

10 20 30 40 50 60 70 (mm) z∆

Jeu (mm)

300°/300°

300°/270°

270°/300°

270°/270°


- 88 -

Les éléments de contact entre spires se referment pour un déplacement de 30 mm pour les faces s’étendant sur 300° et pour un déplacement de 50 mm pour les faces s’étendant sur 270° (le jeu initial est plus important dans ce cas là) .

Raideur verticale - Modèle A1

260

265

270

275

280

285

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

(mm)z∆

(N/mm) k V

300°/300° 300°/270° 270°/300° 270°/270°

La fermeture d’un jeu entre spires provoque une rigidification du ressort, car la dernière spire du ressort n’est alors plus active. C’est pourquoi dans la simulation n°1 (300° / 300°), la rigidité augmente dès que z∆ dépasse 30 mm alors que dans la simulation n°4 (270° / 270°) l’augmentation se produit seulement pour mm50z =∆ . Pour les deux autres simulations, les deux éléments de contact se ferment l’un après l’autre et les courbes de rigidité se trouvent entre ces deux extrêmes.

Norme de l'effort de chasse - Modèle A1

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

(mm)z∆

(N) FC

300°/300° 300°/270° 270°/300° 270°/270°


- 89 -

La norme de l’effort de chasse reste quasiment nulle tant qu’aucun jeu entre spire ne se ferme. Par la suite, elle est linéaire par morceaux, chaque fermeture de contact augmentant la pente de la courbe.

Direction de l'effort de chasse - Modèle A1

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

300°/300° 300°/270° 270°/300° 270°/270°

)( C °θ

(mm) z∆

Tant qu’aucun élément de contact entre spires n’est refermé, l’effort de chasse garde une direction constante aux alentours de 0° . Lorsque le contact du bas se referme, la direction de chasse tourne d’environ 25° vers la droite. Lorsque celui du haut se referme, elle tourne de 25° vers la gauche.

Ainsi, chaque contact apporte sa contribution. Si les jeux initiaux entre spires sont les mêmes en haut et en bas, ces contributions s’annulent et le ressort a une direction de chasse constante.

L’étendue des faces d’appui est l’un des paramètres (l’autre étant la pente de la courbe guide) qui contrôlent les valeurs des jeux entre spires, à vide. L’étude a montré que la fermeture des jeux entre spire :

• augmente légèrement la raideur verticale,

• modifie la norme et la direction de l’effort de chasse.

Les ressorts ayant la même étendue pour les faces supérieure et inférieure ont un effort de chasse de direction constante.


- 90 -

3. CONCLUSION : ANALYSE DES RESULTATS

3.1 Influence de la modélisation de l’appui latéral

De manière générale, la méthode utilisée pour reprendre les efforts latéraux (modèle A ou B) a une influence sur leur comportement prédit, mais cette influence reste faible.

Quelle que soit la manière de reprendre l’effort latéral, le comportement prédit reste à l’intérieur de limites raisonnables à partir du moment où le jeu vertical sur les faces d’appui est modélisé de manière réaliste. En effet, du fait que le chargement vertical a une répartition non homogène sur les faces d’appui, son centre de poussée n’est pas situé sur l’axe du ressort ce qui induit un effort de chasse.

Dans la réalité, le mécanisme de reprise de l’effort de chasse est une combinaison de ces deux modèles (frottement et appui ponctuel sur les sellettes de maintien). De plus, nous avons observé que de faibles variations de géométrie provoquent des variations de comportement beaucoup plus grandes que les différences des modèles A et B.

3.2 Influence du nombre d’éléments de contact

Toutes les simulations indiquent clairement que le nombre d’éléments de contact sur les faces d’appui et sur les éventuelles zones d’appui latérales n’a pratiquement aucune influence sur les valeurs de raideur verticale et d’effort de chasse calculées.

Par contre, le fait de remplacer un contact, qui peut être surfacique ou linéique dans la réalité, par un ensemble de contacts ponctuels, provoque une concentration d’efforts.

Si le ressort est inclus dans une simulation plus globale, les éléments de contact vont exercer localement sur le reste de la structure des efforts ponctuels d’autant plus importants que le nombre d’éléments de contact est réduit et créer ainsi des sur-contraintes locales qui n’existent pas forcement dans la réalité. Pour cette raison, il est préférable de prendre un nombre d’éléments de contact assez élevé (25 par face d’appui par exemple) dans le modèle global du bogie complet.

Pour le ressort n°3, le contact entre spires sous charge est linéique sur une zone qui s’étend et se déplace. Le contact linéique peut être simulé correctement avec quatre éléments de contact régulièrement répartis dans la zone potentielle de contact.

3.3 Paramètres influençant l’effort de chasse

Il n’est pas possible de prévoir l’effort de chasse d’un ressort à partir des seules spécifications techniques d’un ressort telles que le nombre de spires utiles, la hauteur à vide, le diamètre moyen et le diamètre du fil. Le comportement d’un ressort est lié de manière étroite à la géométrie de sa courbe guide et à l’étendue de ses faces d’appui.

Sur un ensemble de ressorts fabriqués dans les mêmes conditions et obéissant aux mêmes spécifications, une grande disparité de géométrie est généralement observée.


- 91 -

Les paramètres ayant une influence sur le comportement des ressorts sont :

• le jeu initial entre spires. Pour certains ressorts, ce jeu n’intervient qu’à l’extrémité de la spire meulée. Pour des ressorts tels que le ressort n°3, le contact est linéique et il est conditionné par le jeu à vide tout au long de la zone de contact linéique,

• l’étendue des faces d’appui, qui a un effet indirect sur le jeu initial entre spires (qui est d’autant plus petit que la face est étendue). Une différence de taille entre les deux faces est susceptible de provoquer des changements de la direction de l’effort de chasse au cours de la compression du ressort,

• la position relative de la face du haut par rapport à celle du bas qui conditionne probablement l’amplitude et la direction de l’effort de chasse.

Il est difficile de quantifier l’influence de chaque paramètre. Cependant, il semble clair que les irrégularités dans la géométrie de la courbe guide se traduisent par des irrégularités de l’effort de chasse. De plus, le comportement du ressort se stabilise lorsque les contacts entre spires sont pleinement établis. Il est donc préférable d’avoir un ressort le plus régulier possible avec des faces d’appui les plus grandes possibles.

- 92 -

- 93 -

CHAPITRE 4

METHODE D’ANALYSE DU COMPORTEMENT DU BOGIE

L’objectif de ce chapitre est de définir les méthodes qui seront employées dans le chapitre 5 pour analyser l’impact des efforts de fonctionnement sur le chargement du bogie. Le modèle global permet d’obtenir les déplacements et les efforts ou contraintes sous charge en tous points du mécanisme. Pour limiter le champs d’investigation, seuls les efforts transmis par les composants de liaison seront étudiés car ils sont représentatifs des phénomènes qui entrent en jeu dans tout le mécanisme. Dans notre mécanisme, étudier le comportement des composants de liaison revient à analyser deux types de sous-systèmes hyperstatiques :

• les suspensions situées entre le châssis et les boîtes d’essieux, constituées par les ressorts et les articulations élastiques. Ces sous-systèmes sont pré-chargés. Les liaisons sont assurées par des zones de contact avec jeux. Par extension, les ressorts eux-mêmes peuvent être considérés comme des éléments de liaison non-linéaires,

• les liaisons pivot, constituées de paliers à roulements montés par paires. Ces sous-systèmes peuvent être pré-chargés ou non.

L’étude du chapitre 3 a apporté une compréhension du comportement d’ensemble des ressorts sous forme de torseurs d’efforts. Ces torseurs se sont révélés avoir une évolution fortement non linéaire avec les déplacements, en relation avec les zones de contact avec jeux.

Les liaisons pivot, beaucoup plus rigides, ont un comportement d’ensemble plus prévisible. En revanche, la répartition des efforts internes à la liaison est complexe. Elle est conditionnée par l’apparition des jeux entre les bagues et les corps roulants, les déformations de l’environnement et la géométrie. A cause de l’hyperstaticité, elle résulte aussi des rigidités relatives de tous les éléments de la liaison.

La première partie de ce chapitre résume les dénominations des éléments de liaison et la forme donnée aux résultats dans l’analyse : notation des torseurs, graphiques.

Dans la deuxième partie, les liaisons pivot sont étudiées en tant que composants isolés en environnement rigide. Dans un premier temps, leurs réponses à des sollicitations simples sont étudiées, puis des relations analytiques sont proposées pour en estimer le comportement sous un torseur d’efforts quelconque. Le but est de disposer d’un outil pour analyser le chargement des paliers dans le bogie, où ils sont soumis à des combinaisons d’efforts complexes.

La troisième partie défini un état de référence pour l’étude du bogie. L’état de référence est conçu pour quantifier les efforts internes du mécanisme, dus aux éléments pré-chargés dans une situation standard idéale. Au chapitre 5, le bogie sera étudié sous des sollicitations diverses dont les effets seront analysés. Chaque sollicitation sera étudiée indépendamment des autres, comme une perturbation de l’état de référence, afin de pouvoir lier les causes aux conséquences.

Chapitre 4 : Méthode d’analyse du comportement du bogie

- 94 -

1. NOTATIONS ET FORME DES RESULTATS RECHERCHES

Dans ce chapitre et dans le chapitre 5, des résultats de simulation sont donnés. Ils concernent les ressorts et les paliers à roulement. La dénomination des composants étudiés et les notations utilisées sont résumées ici.

1.1 Dénomination des ressorts

Dans le bogie, les ressorts sont montés par groupes de trois sur les boîtes d’essieux. Au sein d’un groupe donné, la dénomination définie au chapitre 3 est conservée (cf. figure 4.1) :

• ressort n°1 : 3,8 spires utiles, monté à l’avant de la boîte d’essieux,

• ressort n°2 : 6,9 spires utiles, monté à l’intérieur du ressort n°1,

• ressort n°3 : 4,2 spires utiles, monté à l’arrière de la boîte d’essieux.

Ressort n°1

Ressort n°3

Boîte d’essieux

Ressort n°2

1α

2α

3α

Figure 4.1 : Repérage des ressorts et orientation sur les boîtes d’essieux (vue de dessus)

Dans la simulation, les quatre groupes de ressorts du bogie ont les mêmes caractéristiques. Les modèles décrits au chapitre 3 ont été établis d’après les caractéristiques mesurées sur des ressorts réels. En revanche, l’orientation α des ressorts varie d’un groupe à l’autre.

1.2 Dénomination des liaisons pivot et des paliers à roulements

Toutes les liaisons pivot du mécanisme sont assurées par des paires de paliers à roulements. Dans ce chapitre et dans le chapitre 5, les roulements sont identifiés par des numéros. Les quatre liaisons pivot entre les boîtes et les essieux sont assurées par des cartouches de deux roulements à rouleaux coniques, montés en « O ».


- 95 -

Les noms des liaisons et les numéros des roulements sont les suivants (cf. figure 4.2) :

• liaison pivot de boîte avant gauche : roulements 11 et 12,

• liaison pivot de boîte avant droite : roulements 13 et 14,

• liaison pivot de boîte arrière gauche : roulements 21 et 22,

• liaison pivot de boîte avant droite : roulements 23 et 24.

1413

12 11

Pivot de boîte avant gauche

Pivot de boîte avant droite

x (Avant du bogie)

y (Axe de l’essieu)

z (Verticale ascendante)

Figure 4.2 : Localisation et numérotation des roulements des boîtes d’essieux avant

Les liaisons pivot entre les carters de réducteurs et les essieux sont assurées chacune par deux roulements à rouleaux coniques, montés en « X ». Les noms des liaisons et les numéros de roulements sont les suivants (cf. figure 4.3) :

• liaison pivot principale avant : roulements 101 (gauche) et 102 (droite),

• liaison pivot principale arrière : roulements 201(droite) et 202 (gauche).

Les deux liaisons pivot entre les carters de réducteurs et les arbres intermédiaires sont assurées par des cartouches de deux roulements à rouleaux cylindriques. Les noms des liaisons et les numéros de roulements sont les suivants (cf. figure 4.3) :

• liaison pivot intermédiaire avant : roulements 103 (gauche) et 104 (droite),

• liaison pivot intermédiaire arrière : roulements 203 (droite) et 204 (gauche).

Les roulements 103 et 203 ont deux épaulements sur leur bague extérieure, les roulements 104 et 204 ont quatre épaulements.


- 96 -

Les deux liaisons pivot entre les carters de réducteurs et les arbres moteurs sont assurées chacune par deux roulements à rouleaux coniques, montés en « O ». Les noms des liaisons et les numéros de roulements sont les suivants (cf. figure 4.3) :

• liaison pivot moteur avant : roulements 105 (gauche) et 106 (droite),

• liaison pivot moteur arrière : roulements 205 (droite) et 206 (gauche).

101 102

103

104

105106

Pivot principale avant

Pivot intermédiaire avant

Pivot moteur avant

x (Avant du bogie)

y (Axe de l’essieu)

z (Verticale ascendante)

Figure 4.3 : Localisation et numérotation des roulements du réducteur avant

1.3 Notation des torseurs d’efforts

L’action d’un élément de structure sur un autre a pour modèle un torseur d’efforts. Elle est transmise par l’intermédiaire d’un composant de liaison ou d’une zone de contact. Les torseurs d’efforts étudiés pour interpréter le chargement du mécanisme sont les suivants :

• torseur d’efforts appliqué par un groupe de ressorts donné sur la boîte d’essieux qui le maintient. Ce torseur est transmis par des zones de contact avec jeux,

• torseur d’efforts d’une liaison pivot, appliqué par son arbre (essieu, arbre intermédiaire ou arbre moteur) sur son carter (boîte d’essieux ou carter de réducteur) et transmis par ses paliers,

• torseur d’efforts d’un palier, appliqué par sa bague intérieure sur sa bague extérieure et transmis par ses corps roulants.


- 97 -

Dans toutes les liaisons pivot, un point P est défini, sur l’axe de la liaison, à équidistance des deux paliers (cf. figure 4.4). Toutes les liaisons pivot du mécanisme ont un axe parallèle à y.

P y

Figure 4.4 : Centre d’une liaison pivot

Pour les groupes de ressorts, le point P utilisé est le centre de la liaison pivot située dans la boîte d’essieux qui les maintient. La résultante et le moment au point P du torseur transmis par les zones de contact et appliqué par les ressorts sur la boite ont des composantes notées :

Résultante : ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

ZR

YR

XR

boîteressorts

FFF

F /

r, moment : ( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

ZR

YR

XR

boîteressorts

CCC

PC /

r.

Pour une liaison pivot d’axe y la résultante et le moment au point P du torseur appliqué par son arbre sur son carter ont des composantes notées :


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

ZL

YL

XL

carterarbre

FFF

F /

r, moment : ( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

ZL

XL

carterarbre

C0

CPC /

r.

Pour un palier d’axe y, la résultante et le moment au point P du torseur transmis par les corps roulants et appliqué par l’arbre sur le carter ont des composantes notées :


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

Z

Y

X

BEBI

FFF

F /

r, moment : ( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

Z

X

BEBI

C0

CPC /

r.


1.4 Présentation du chargement des éléments de corps roulants

Pour analyser les chargements individuels des corps roulants dans les paliers, des représentations en diagrammes pseudo-polaires sont utilisées (cf. figure 4.5). Les angles sont les positions des corps roulants dans les roulements. Le zéro est situé sur un cercle et non au centre pour faciliter la visualisation. Il est possible, de cette manière-là, de représenter des grandeurs négatives.

Forces Bagues/Rouleaux. (N) : BE (o), BI (+)

1271

3449

4538

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0

Figure 4.5 : Exemple de

Tous les diagrammes so4.2 et 4.3.

x

z

- 98 -

diagramme des forces de contact (en N) entre pistes des bagues et corps roulants

nt ramenés dans le plan (x,z). Le système d’axe est donné sur les figures


- 99 -

2. MECANISME DE CHARGEMENT DES ROULEMENTS A ROULEAUX CONIQUES

2.1 But de l’étude

Les liaisons pivot par roulements à rouleaux coniques sont des sous-systèmes hyperstatiques. Ainsi, la détermination exacte des efforts transmis par les paliers ne peut se faire que par un modèle global prenant en compte la rigidité de chaque corps roulant, des bagues et de l’environnement. Cependant, si une simulation globale du bogie fournit les efforts exacts sur chaque palier, elle ne permet pas d’établir la relation entre les paramètres de chargement du système et les efforts qui en découlent sur les paliers.

Le but de cette étude est d’établir des relations analytiques approchées entre les torseurs d’efforts transmis par les paliers et ceux transmis par la liaison. Pour cela, des simulations des liaisons pivot isolées ont été faites en environnement rigide. Ainsi, les phénomènes inhérents à la constitution interne de la liaison sont pris en compte et l’influence de la déformation de l’environnement est négligée.

Par hypothèse, toutes les liaisons pivot par roulements à rouleaux coniques du bogie obéissent au même mécanisme de chargement : les relations analytiques approchées sont les mêmes aux constantes numériques près.

2.2 Modèle de comportement proposé

Dans le cas général, le système étudié est une liaison par paires de roulements à rouleaux coniques, montés en « O » (cf. figure 4.6) ou en « X » (cf. figure 4.7) sur un bâti encastré. L’arbre, infiniment rigide, est soumis au centre P de la liaison (défini au paragraphe 1.3) à un torseur d’efforts. Les bagues sont infiniment rigides.

y

ROULEMENT 2 ROULEMENT 1

ARBRP

Figure 4.6 : Liaison pivot par roulements à rouleaux coniques montés en « O »


- 100 -

y

ROULEMENT 2ROULEMENT 1

ARBRP

Figure 4.7 : Liaison pivot par roulements à rouleaux coniques montés en « X »

Le torseur des efforts en P transmis par la liaison pivot, appliqués par l’arbre sur le bâti, à travers les paliers, est noté :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

ZL

YL

XL

carterarbre

FFF

F /

r, ( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

ZL

XL

carterarbre

C0

CPC /

r (4.1)

Le torseur des efforts en P transmis par le roulement 1, appliqués par sa bague intérieure sur sa bague extérieure à travers les corps roulants, est noté:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

1Z

1Y

1X

1BE1BI

FFF

F /

r, ( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

1Z

1X

1BE1BI

C0

CPC /

r (4.2)

Le torseur des efforts en P transmis par le roulement 2, appliqués par sa bague intérieure sur sa bague extérieure à travers les corps roulants, est noté:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

2Z

2Y

2X

2BE2BI

FFF

F /

r, ( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

2Z

2X

2BE2BI

C0

CPC /

r (4.3)

L’équilibre des efforts dans la liaison se traduit par les relations :

2BE2BI1BE1BIcarterarbre

2BE2BI1BE1BIcarterarbre

CCCFFF

///

/// rrr

rrr

+=+= (4.4)

A l’intérieur de la liaison et conformément aux relations (4.4) ci-dessus, chaque roulement est soumis à la somme d’une fraction de l’effort appliqué sur la liaison et d’un effort interne :


- 101 -

Roulement 1 Roulement 2

XiXLFX1X FFF −λ= ( ) XiXLFX2X FF1F +λ−=

YiYLFY1Y FFF −λ= ( ) YiYLFY2Y FF1F +λ−=

ZiZLFZ1Z FFF −λ= ( ) ZiZLFZ2Z FF1F +λ−= (4.5)

XiXLCX1X CCC −λ= ( ) XiXLCX2X CC1C +λ−=

ZiZLCZ1Z CCC −λ= ( ) ZiZLCZ2Z CC1C +λ−=

FXλ , FYλ , FZλ , CXλ et CZλ sont des coefficients de répartition compris entre 0 et 1. Ils définissent la proportion de l’effort appliqué sur la liaison qui est reprise par le roulement 1. Les grandeurs XiF , YiF , ZiF , XiC et ZiC sont des efforts internes à la liaison.

Le but de l’étude est d’exprimer analytiquement les coefficients de répartition et les efforts internes en fonction des composantes du torseur d’efforts appliqué sur la liaison.

La force axiale extérieure YLF a un effet fondamentalement différent des autres efforts. Son effet sur les roulements est dissymétrique : elle tend à charger l’un des roulements et à décharger l’autre. Pour cette raison, dans les études qui suivent, nous avons fait varier cette force. Les autres sollicitations, sources d’efforts internes, ont été conservées constantes dans la plupart des simulations.

Les sollicitations élémentaires suivantes sont clairement à la source d’efforts internes :

• déplacement axial de pré-charge ε ,

• force radiale extérieure ZLF ,

• couple extérieure XLC appliqué.

Nous étudierons leurs influences sur la liaison pivot de boîte dans les paragraphes 2.3 à 2.6. Une fois tous les mécanismes de chargement élémentaires élucidés, des relations analytiques générales, valables pour un torseur d’efforts quelconque, sont proposées au paragraphe 2.7 pour les liaisons pivot de boîtes, les liaisons pivot moteurs et les liaisons pivot principales.

2.3 Réponse à un déplacement axial de pré-charge

2.3.1 Sollicitations étudiées

La liaison pivot de boîte est considérée ici. Un déplacement axial de pré-charge ε est imposé à l’arbre, relativement à l’une des bagues intérieures, de telle façon que la portion d’arbre entre les deux bagues soit raccourcie d’une longueur ε . Ce déplacement provoque une charge uniforme des corps roulants. Une force purement axiale YLF est appliquée sur l’arbre au point P (cf. figure 4.7) :


- 102 -

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

0F0

F YLcarterarbre /

r, ( ) 0PC carterarbre

rr=/ (4.6)

Quelle que soit la valeur de YLF , le chargement des roulements est de la forme :

• roulement 1 : ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

0F0

F 1Y1BE1BI /

r et ( ) 0PC 1BE1BI

rr=/


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

0F0

F 2Y2BE2BI /

r et ( ) 0PC 2BE2BI

rr=/

Les forces axiales reprises par les roulements s’écrivent, conformément aux relations (4.5) :

( ) ( ) ( )YLYiYLYLFYYLY FFFFFF ,,,1 εελε −=

( ) ( )[ ] ( )YLYiYLYLFYYLY FFFFFF ,,1,2 εελε +−=

La géométrie du système et les sollicitations autres que YLF sont symétriques par rapport au plan normal à y passant par P (cf. repère de la figure 4.6). Les différentes grandeurs représentées en fonction YLF présentent donc des symétries centrales.

2.3.2 Répartition de la force axiale sur les roulements

Le déplacement de pré-charge ε est fixé à 20 µm et la force axiale YLF appliquée sur la liaison est variable. Le but est de comprendre comment la force axiale YLF se répartit sur les deux roulements (coefficient de répartition FYλ ) et comment la force axiale interne YiF agit.

Les évolutions simulées de 1YF et 2YF en fonction de YLF (cf. figure 4.8) font apparaître trois domaines :

• pour N12384FYL −< , il y a un jeu axial entre les deux bagues du roulement 2 : il ne reprend aucune charge. Le roulement 1 reprend la totalité de la force : YL1Y FF = ,

• pour N12384FN12384 YL >>− , les deux roulements sont chargés. Ils sont tous les deux soumis à la somme d’une fraction de la force YLF et de la force axiale interne,

• pour N12384FYL > , il y a un jeu axial entre les deux bagues du roulement 1 : il ne reprend aucune charge. Le roulement 2 reprend la totalité de la force : YL2Y FF = .


- 103 -

-20000

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

20000

-20000 -15000 -10000 -5000 0 5000 10000 15000 20000

)(NFYL

1YF

2YF

( ) )(, NFm20F YLY µ=ε

Figure 4.8 : Evolution des forces axiales transmises par les roulements

Dans les relations (4.5) il y a interdépendance des fonctions ( )YFY F,ελ et ( )YYi FF ,ε . Il faut donc faire des hypothèses sur l’une des fonctions pour déterminer l’autre.

Dans les domaines où la force axiale YLF est telle qu’un jeu axial apparaît entre les deux bagues d’un roulement, la force axiale interne YiF peut être fixée à 0 car 1YF et 2YF ne sont plus influencés que par la force axiale YLF . Le paramètre ε joue sur les limites de ces domaines mais pas sur les chargements dans ces domaines. En l’absence de jeu axial la force interne axiale YiF est par hypothèse constante et égale à ( )0FYi ,ε .

Pour m20 µ=ε et pour les paliers de boîtes, ( ) N5,57720ε,FYi = .

Dans tous les cas, le coefficient de répartition (cf. figure 4.9) est donné par la relation :

( ) ( ) ( )YL

YLYiYLYYLFY F

FFFFF ,,, 1 εεελ += (4.7)

L’hypothèse que la charge axiale interne est constante dans le domaine central conduit à un coefficient de répartition très proche de 0,5 sur tout ce domaine, comme l’indique la figure 4.9. En effet, comme tous les corps roulants sont chargés uniformément, la charge axiale YLF appliquée sur la liaison pivot a une action directe sur le chargement ou le déchargement des deux roulements. La répartition des forces dépend alors des rigidités axiales respectives des roulements. Les deux roulements n’étant pas soumis à la même charge, leurs rigidités sont légèrement différentes. Le paragraphe suivant le montre en faisant évoluer le déplacement axial de pré-charge ε .


- 104 -

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

-20000 -15000 -10000 -5000 0 5000 10000 15000 20000

)(NFYL

( )YLFY Fλ

Figure 4.9 : Evolution du coefficient de répartition avec la force axiale

2.3.3 Evolution de la force axiale interne avec le déplacement de pré-charge

Lorsqu’aucune force axiale YLF n’est appliquée sur la liaison pivot, les roulements ne sont soumis qu’à la force axiale interne YiF induite par ε :

( ) ( ) ( )0F0F0F 2Y1YYi ,,, ε=ε−=ε (4.8)

La figure 4.10 présente les variations simulées de la charge axiale interne YiF en fonction du déplacement axial de pré-charge ε pour 0FYL = .

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

ε (µm)

FYi (ε,0) (N)

Figure 4.10 : Evolution de la force axiale interne avec le déplacement de pré-charge


- 105 -

Cette loi de variation, qui dépend de la rigidité axiale des roulements, montre que la relation entre YiF et ε est légèrement non linéaire. La relation suivante, valable pour les paliers de boîtes uniquement, est une approximation parabolique de cette loi (la force est en N et le déplacement de pré-charge en mµ ) :

ε+ε≈ 294,10200,5191 2YiF (4.9)

2.4 Réponse à une force radiale extérieure


La liaison pivot de boîte est considérée ici. Une force radiale extérieure ZLF appliquée sur l’arbre est source d’efforts internes dans la liaison pivot. L’effet d’une force radiale constante combinée à une force axiale YLF est étudié.

Le torseur des efforts appliqués par l’arbre sur le carter, au centre P de la liaison pivot est noté :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

ZL

YLcarterarbre

FF0

F /


rr=/ (4.10)

Quelle que soit la valeur de YLF et ZLF , le chargement des roulements est de la forme :


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

1Z

1Y1BE1BI

FF0

F /

r et ( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

00

CPC

1X

1BE1BI /

r


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

2Z

2Y2BE2BI

FF0

F /

r et ( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

00

CPC

2X

2BE2BI /

r



- 106 -

Corps roulants chargés

Corps roulants déchargés

z

y ARBRE

x

FBI/C

FBE/CR

FEp/CR


FZL

P

Figure 4.11 : Chargement de la liaison sous l’action d’une force radiale

La force radiale extérieure ZLF provoque le chargement des corps roulants situés dans la partie supérieure, au niveau des pistes et des épaulements des bagues (cf. figure 4.11). Les corps roulants de la partie basse sont déchargés. Les fractions de la force transmise de la bague intérieure sur la bague extérieure, à travers les corps roulants chargés ont :

• des composantes axiale dirigées vers l’intérieur de la liaison,

• des composantes radiales.

La somme des composantes axiales crée sur chaque roulement une force axiale induite dirigée vers l’intérieur de la liaison. Un couple en P, selon x, est induit sur chaque roulement par les deux types de composantes : les composantes axiales sont localisées sur la partie supérieure du roulement et la somme des composantes radiales est une force, dirigée selon z, qui s’applique dans le plan moyen du roulement.


La figure 4.12 présente les variations simulées de 1YF et 2YF en fonction de YLF pour une force radiale constante N50000FZL = .

La force radiale assure que les corps roulants du haut sont toujours en contact, quelle que soit la charge axiale YLF appliquée. Ainsi, une force axiale interne existe toujours entre les deux roulements.


- 107 -

-30000

-20000

-10000

0

10000

20000

30000

-20000 -15000 -10000 -5000 0 5000 10000 15000 20000

( ) ( )NN50000FFF ZLYLY =,

( )NFYL

1YF

2YF

Figure 4.12 Evolution des forces axiales reprises par les roulements

On peut faire l’hypothèse que la composante interne YiF des forces axiales reprises par les roulements ne dépend que de la force radiale ZLF et de la géométrie des corps roulants. Les relations (4.5) s’écrivent alors :

( ) ( ) ( )ZLYiYLZLYLFYZLYL1Y FFFFFFFF −λ= ,,

( ) ( )[ ] ( )ZLYiYLZLYLFYZLYL2Y FFFFF1FFF +λ−= ,,

Les résultats de la simulation permettent d’obtenir la charge interne par la relation :

( ) ( ) ( )ZL2YZL1YZYi F0FF0FFF ,, =−= (4.11)

Ainsi, pour N50000FZL = et pour les paliers de boîtes, on obtient : ( ) N36631FF ZLYi ,= .

Le coefficient de répartition de la force axiale (cf. figure 4.13) est obtenu à partir des simulations par la relation :

( ) ( ) ( )YL

ZLYiZLYL1YZLYLFY F

FFFFFFF +=λ

,, (4.12)


- 108 -

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

-20000 -15000 -10000 -5000 0 5000 10000 15000 20000

( )NFYL

( )N50000FF ZLYLFY =λ ,

Figure 4.13 : Coefficient de répartition de la force axiale

Les variations du coefficient de répartition avec la charge axiale extérieure YLF s’expliquent par l’analyse du chargement des corps roulants dans les paliers. Ainsi, pour 0FYL = , les deux roulements ont un chargement identique (cf. figure 4.14), d’où un coefficient de répartition de 0,5. Les corps roulants du haut sont chargés tandis que ceux du bas sont totalement déchargés.


ROULEMENT n°1

1271

3449

4538

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0

1271

3449

4538

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°2

Figure 4.14 : Forces de contact (en N) entre pistes de bagues et corps roulants pour 0=YLF et N50000FZL =

Pour une charge axiale NFYL 10000= , le nombre de corps roulants chargés du roulement 1 diminue. Par contre, dans le roulement 2, tous les corps roulants sont chargés et aucun jeu ne persiste entre les corps roulants et les bagues (cf. figure 4.15). La rigidité axiale du roulement 2 est alors nettement plus élevée que celle du roulement 1. En conséquence, le coefficient de répartition est proche de 0.


- 109 -

1010

3030

5051

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°1

1142

3426

5710

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°2

Figure 4.15 : Forces de contact (en N) entre pistes de bagues et corps roulants pour N10000FYL = et N50000FZL =

2.4.3 Couple induit par la force radiale

La force radiale induit, en P (centre de la liaison), un couple dans la direction x car elle provoque des forces axiales internes localisées sur les corps roulants du haut et des forces radiales appliquées dans les plans moyens des roulements. Comme aucun couple extérieur n’est appliqué sur l’arbre, les relations (4.5) appliquées à ce couple ne font intervenir que le couple interne :

( ) ( )ZLYLXiZLYLX FFCFFC ,,1 −=

( ) ( )ZLYLXiZLYLX FFCFFC ,,2 =

Les simulations (cf. figure 4.16) indiquent que le couple interne induit est quasiment indépendant de la force axiale YLF appliquée sur l’arbre : ( ) ( )ZLXiZLYLXi F0CFFC ,, ≈ .

Pour N50000FZL = et pour les paliers de boîtes, on obtient : ( ) mN61452F0C ZLXi .,, −= .

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

-20000 -15000 -10000 -5000 0 5000 10000 15000 20000

( )NFYL

( )N50000FFC ZLYLx =,

1XC

2XC

Figure 4.16 : Couple induit par la force axiale


- 110 -

2.4.4 Répartition de la force radiale entre les roulements

Les forces radiales reprises par les roulements s’écrivent :

( ) ( ) ( )ZLYLZiZLZLYLFZZLYL1Z FFFFFFFFF ,,, −λ=

( ) ( )[ ] ( )ZLYLZiZLZLYLFZZLYL2Z FFFFFF1FFF ,,, +λ−=

En supposant qu’il n’y a pas de force radiale interne ( 0FZi = ), le coefficient de répartition est donné par la relation :

( ) ( )ZL

ZLYL1ZZLYLFZ F

FFFFF ,, =λ (4.13)

Pour N50000FZL = , les simulations donnent un coefficient de répartition radial FZλ qui varie légèrement avec YLF mais reste proche de 0,5 (cf. figure 4.17).

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

-20000 -15000 -10000 -5000 0 5000 10000 15000 20000

( )NFYL

( )N50000FF ZLYLFZ =λ ,

Figure 4.17 : Coefficient de répartition de la force radiale


- 111 -

2.4.5 Evolution des efforts internes avec la force radiale

Aux paragraphes 2.4.2 et 2.4.3, il apparaît que la force axiale interne YiF et le couple interne induit XiC ne dépendent que de la force radiale extérieure ZLF . Des simulations, sous une force axiale extérieure YLF nulle et sous une force radiale ZLF variable, révèlent que :

• la relation entre YiF et ZLF est linéaire. Pour les paliers de boîtes : ZLYi F1320F ,= ,

• la relation entre XiC et ZLF est linéaire. Pour les paliers de boîtes : ZLXi F02900C ,−= . (La force est en N et le couple en N.m).

Remarque : si, en plus de la force radiale ZLF appliquée dans la direction z, une force radiale XLF est appliquée dans la direction x (changement de repère), les effort internes induits sont :

• force axiale interne : 2ZL

2XLYi FF1320F += , ,

• couple interne dans la direction x : ZLXi F02900C ,−= ,

• couple interne dans la direction z : XLZi F02900C ,= .

2.5 Combinaison d’une pré-charge axiale et d’une force radiale


La liaison pivot de boîte est considérée ici. Les paragraphes 2.3 et 2.4 ont montré qu’un déplacement axial de pré-charge ε et une force radiale extérieure ZLF étaient des sources de forces axiales internes. Cependant, elles agissent selon des principes différents :

• un déplacement axial de pré-charge ε appliqué seul entraîne un coefficient de répartition FYλ proche de 0,5 dû à une répartition homogène de la charge sur tous les corps roulants.

De plus, si un des roulements se décharge complètement sous l’action de la charge axiale extérieure YLF , la pré-charge ε n’influence plus le chargement,

• la force radiale appliquée seule assure qu’une partie, au moins, des corps roulants soit sous charge dans les deux roulements. Lorsque la force axiale YLF varie, la force axiale interne YiF reste constante et le coefficient de répartition FYλ varie entre 0 et 1.

Des simulations ont été faites pour comprendre comment ces deux sources de force axiale interne se combinent. Le torseur d’effort suivant est appliqué sur la liaison pivot :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

0FF

F YL

ZL

carterarbre /


rr=/ (4.14)


- 112 -

La force radiale appliquée est constante : N15000FZL = . Un déplacement de pré-charge constant est appliqué : m20 µ=ε .

Quelle que soit la valeur de YLF , le chargement des roulements est de la forme :


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

1Z

1Y1BE1BI

FF0

F /

r et ( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

00

CPC

1X

1BE1BI /

r


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

2Z

2Y2BE2BI

FF0

F /

r et ( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

00

CPC

2X

2BE2BI /

r



La répartition de la force axiale entre les deux roulements (cf. figure 4.18) indique que :

• pour N7000FN7000 YL <<− , les forces axiales 1YF et 2YF transmises par les roulements suivent le schéma obtenu avec un déplacement de pré-charge seul,

• en dehors de cette plage, 1YF et 2YF suivent le schéma obtenu avec une force radiale seule.

Avec une force radiale seule ou un déplacement axial de pré-charge seul, la force axiale interne YiF était supposée ne pas dépendre de la charge axiale extérieure YLF tant que les roulements

restaient partiellement chargés. Avec une combinaison des deux, les roulements sont toujours chargés, donc la force axiale interne est indépendante de YLF :

( ) ( ) ( )ZL2YZL1YZLYi F0FF0FFF ,,,,, ε=ε−=ε (4.15)


- 113 -

-25000

-20000

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

-20000 -15000 -10000 -5000 0 5000 10000 15000 20000

( ) ( )NFF YLY

1YF

2YF

m20N50000FZL µ=ε= et

( )NFYL

Figure 4.18 : Forces axiales reprises par les roulements

Dans cette étude, les forces axiales s’expriment donc de la manière suivante :

( ) ( ) ( )ZLYiYLZLYLFYZLYLY FFFFFFFF ,,,,,1 εελε −=

( ) ( )[ ] ( )ZLYiYLZLYLFYZLYLY FFFFFFFF ,,,1,,2 εελε +−=

Le coefficient de répartition s’obtient à partir des simulations (cf. figure 4.19) par la relation :

( ) ( ) ( )YL

ZLYiZLYL1YZLYLFY F

FFFFFFF ,,,,, ε+ε=ελ (4.16)

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

-20000 -15000 -10000 -5000 0 5000 10000 15000 20000

( )NFYL

( )YLFY Fλm20N50000FZL µ=ε= et

Figure 4.19 : Coefficient de répartition de la force axiale


- 114 -

Le déplacement de pré-charge ε permet de maintenir le coefficient de répartition FYλ proche de 0,5 sur la plage de valeurs N7000FN7000 YL <<− . En dehors de cette plage, la force axiale extérieure se reporte sur l’un des roulements.

L’explication de ce phénomène est donnée par l’analyse de la répartition de la charge sur les corps roulants : lorsque la force axiale extérieure YLF est nulle, le déplacement de pré-charge ε est tel que tous les corps roulants sont chargés (cf. figure 4.20).

760.88

1331.5

1902.2

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°1

760.88

1331.5

1902.2

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°2

Figure 4.20 : Forces de contact (en N) entre pistes de bagues et corps roulants pour 0FYL =

Pour N5000FYL = , la partie inférieure du roulement 1 est pratiquement déchargée (cf. figure 4.21).

279.1

837.3

1395.5

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°1

684.21

1270.7

1857.1

2443.6

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°2

Figure 4.21 : Forces de contact (en N) entre pistes de bagues et corps roulants pour N5000FYL =

Pour des forces axiales YLF extérieures plus élevées, les corps roulants du bas du roulement 1 sont totalement déchargés (cf. figure 4.22, pour N10000FYL = ) et le coefficient de répartition axial

FYλ chute.


- 115 -

En conclusion :

• la charge radiale ZLF tend à déséquilibrer la charge entre les corps roulants du haut et ceux du bas,

• le déplacement axial de pré-charge ε tend au contraire à l’homogénéiser,

• le nombre de corps roulants chargés détermine la capacité d’un roulement à encaisser une charge axiale et influence donc le coefficient de répartition FYλ .

259.76

779.28

1298.8

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°1

642.58

1927.7

3212.9

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°2

Figure 4.22 : Forces de contact (en N) entre pistes de bagues et corps roulants pour N10000FYL =

2.6 Réponse à un couple extérieur


La liaison pivot de boîte est considérée ici. Le torseur d’efforts suivant est appliqué entre l’arbre et le carter au centre P de la liaison pivot :

0F carterarbre

rr=/ , ( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

00

CPC

XL

carterarbre /

r (4.17)

Quelle que soit la valeur de XLC , le chargement des roulements est de la forme :


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

1Z

1Y1BE1BI

FF0

F /

r et ( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

00

CPC

1X

1BE1BI /

r


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

2Z

2Y2BE2BI

FF0

F /

r et ( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

00

CPC

2X

2BE2BI /

r


- 116 -

Le mécanisme de chargement possède des analogies avec celui provoqué par une force radiale : sur le roulement 1, les corps roulants ne sont chargés que dans la partie supérieure et sur le roulement 2, les corps roulants ne sont chargés que dans la partie basse. De ce fait, des forces axiales et des couples apparaissent sur les roulements.

Corps roulants chargés

Corps roulants déchargés

z

y ARBRE

x

FBI/C

FBE/CR

FEp/CR


P

CXL

Figure 4.23 : Chargement de la liaison sous l’action du couple XLC

2.6.2 Réponse des roulements à un couple extérieur

Des simulations ont été faites en faisant évoluer le couple XLC entre 0 et 10000 N.m. La réponse du système est rigoureusement linéaire. Le couple XLC appliqué sur la liaison pivot induit une force axiale interne YiF et une force radiale interne ZiF . Les forces sont exprimées en N et les couples en N.m :

XLYi C132F ,=

XLZi C048F ,−=

Les roulements étant soumis à :

Yi1Y FF −=

Yi2Y FF =

Zi1Z FF −=

Zi2Z FF =

Le couple XLC appliqué sur la liaison pivot se répartit de manière égale entre les deux roulements :

XL1X C50C ,=

XL2X C50C ,=


- 117 -

Par conséquent, il n’y a pas de couple interne induit ( 0CXi = ) et le coefficient de répartition est 50CX ,=λ .

Remarque : si en plus du couple XLC appliqué dans la direction x un couple ZLC est appliqué dans la direction z (changement de repère) les efforts internes induits sont :

• force axiale interne : 2ZL

2XLYi CC132F += , ,

• force radiale interne dans la direction x : ZLXi C048F ,= ,

• force radiale interne dans la direction z : XLZi C048F ,−= .

Les couples XLC et ZLC se répartissent de manière égale entre les deux roulements ( 50CZCX ,=λ=λ ).

2.7 Relations analytiques générales

Les caractéristiques de toutes les liaisons pivot du bogie sont données dans l’annexe E.

2.7.1 Liaison pivot de boîte d’essieux

Dans le cas général, une liaison pivot d’axe y et de centre P est soumise au torseur d’effort quelconque suivant :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

ZL

YL

XL

carterarbre

FFF

F /

r, ( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

ZL

XL

carterarbre

C0

CPC /

r.

Les paragraphes précédents ont permis de comprendre les mécanismes qui gouvernent les coefficients de répartition et les efforts internes.

Les coefficients de répartition FXλ , FZλ , CXλ et CZλ sont très proches de 0,5. De légères fluctuations (de l’ordre de 0,05) sont provoquées par la force axiale YLF et éventuellement par les autres composantes du torseur.

Le coefficient de répartition axial FYλ dépend du chargement des deux roulements :

• Si tous les corps roulants d’un des roulements sont chargés et que l’autre roulement n’est que partiellement chargé, la force axiale extérieure YLF se répartit sur le roulement le plus chargé ( FYλ est proche de 0 ou de 1),

• si les deux roulements sont, soit tous les deux partiellement chargés, soit tous les deux entièrement chargés, le coefficient FYλ est compris entre 0 et 1. Il est d’autant plus proche de 0,5 que les états de chargement des roulements sont similaires.


- 118 -

Les efforts internes de la liaison pivot de boîte obéissent aux lois suivantes :

• ZLXi C048F ,= ,

• XLZi C048F ,−= ,

• ZLXi F02900C ,−= ,

• XLZi F02900C ,= .

Il y a trois sources de forces internes axiales : le déplacement axial de pré-charge ε , les forces radiales extérieures XLF et ZLF et les couples extérieurs XLC et ZLC . Ces trois sources modifient la répartition de la charge sur les corps roulants mais d’après des principes incompatibles entre eux : le déplacement de pré-charge tend à homogénéiser la charge, les forces radiales augmentent la charge des corps roulants sur un côté de la liaison pivot et la diminue sur l’autre. Enfin, les couples chargent ou déchargent les roulements sur des côtés opposés.

Si ces sollicitations sont appliquées seules, les forces axiales internes induites sont, pour la liaison pivot de boîte :

• pour une force radiale : 2ZL

2XLYi FF1320F += , ,

• pour un couple extérieur : 2ZL

2XLYi CC132F += , ,

• pour un déplacement de pré-charge : ε+ε≈ 294,10200,5191F 2Yi

( YiF est en N et ε en mµ ).

Si plusieurs sollicitations sont appliquées simultanément, la force axiale interne n’est pas la somme des contributions ci-dessus. Seul un calcul global permet d’obtenir la valeur de YiF .

2.7.2 Liaison pivot principale

La liaison pivot principale est constituée de deux roulements à rouleaux coniques montés en « X » (cf. figure 4.3). Les relations analytiques qui caractérisent son comportement sont analogues à celles de la liaison de boîte, mais les valeurs numériques qu’elles contiennent sont différentes. Des simulations sont été faites pour les déterminer.

Les efforts internes obéissent aux lois suivantes :

• ZLXi C5911F ,= ,

• XLZi C5911F ,−= ,

• ZLXi F02010C ,−= ,

• XLZi F02010C ,= .


- 119 -

Les forces axiales internes dépendent du déplacement axial de pré-charge ε , des efforts radiaux extérieurs XLF et ZLF et des couples extérieurs XLC et ZLC . Si ces sollicitations sont appliquées seules, les forces axiales internes induites sont :

• pour une force radiale : 22210,0 ZLXLYi FFF +−= ,


2XLYi CC874F +−= , ,



La force axiale interne YiF est négative à cause du montage en « X ».

2.7.3 Liaison pivot moteur

La liaison pivot moteur est constituée de deux roulements à rouleaux coniques montés en « O » (cf. figure 4.3). Les relations analytiques qui caractérisent son comportement sont analogues à celles de la liaison de boîte, mais les valeurs numériques qu’elles contiennent sont différentes. Des simulations sont été faites pour les déterminer.

Les efforts internes de la liaison pivot moteur obéissent aux lois suivantes :

• ZLXi C994F ,= ,

• XLZi C994F ,−= ,

• ZLXi F04950C ,−= ,

• XLZi F04950C ,= .

Les forces axiales internes dépendent du déplacement axial de pré-charge ε , des forces radiales extérieures XLF et ZLF et des couples extérieurs XLC et ZLC . Si ces sollicitations sont appliquées seules, les forces axiales internes induites sont :

• pour une force radiale : 2ZL

2XLYi FF1750F += , ,


2XLYi CC751F += , ,




- 120 -

2.7.4 Liaison pivot intermédiaire

Les liaisons intermédiaires du réducteur sont constituées de roulements à rouleaux cylindriques (cf. figure 4.24). Le roulement 1 possède quatre épaulements. Le roulement 2 possède deux épaulements sur la bague extérieure et aucun sur la bague intérieure.

y


ARBRP

Figure 4.24 : Liaison pivot par roulements à rouleaux cylindriques

Les similitudes géométriques avec les roulements à rouleaux coniques (un cylindre est un cône dont l’angle tend vers 0) suggèrent que le comportement obéit à des lois de même forme. Cependant, les différences sont les suivantes :

• le déplacement de pré-charge ε n’a pas d’effet,

• la force axiale est entièrement reprise par le roulement 1,

• les forces radiales et les couples extérieurs n’induisent aucune force axiale.

Le comportement des paliers de cette liaison est donc décrit par les relations analytiques (4.5), dans lesquelles les coefficients de répartition sont approchés par :

• 50CZCXFZFX ,=λ=λ=λ=λ

• 1FY =λ

Les approximations des efforts internes ont été déterminées par des simulations sur une liaison pivot en environnement rigide :

• ZLXi C56F ,≈

• 0FYi =

• XLZi C56F ,−≈

• ZLXi F034750C ,−=

• XLZi F034750C ,=

Les couples induits en P sur les roulements par les forces radiales extérieures sont dus exclusivement au fait que les forces radiales 1ZF et 2ZF s’appliquent dans le plan moyen du roulement qui est distant de P.


- 121 -

3. DEFINITION D’UN ETAT DE REFERENCE POUR L’ETUDE DU BOGIE

3.1 Problématique

Le comportement du bogie est étudié au chapitre 5 sous diverses sollicitations et conditions de fonctionnement :

• configuration interne du bogie : orientation des ressorts,

• force verticale appliquée sur le châssis (poids de la caisse),

• force latérale appliquée sur le châssis (inertie de la caisse en courbe),

• couples moteurs.

Afin de différencier l’effet de chaque paramètre sur le comportement du bogie, un état de référence est établi. Les paramètres étudiées sont appliqués un par un sur l’état de référence afin de juger des perturbations qu’ils y apportent. Certaines sollicitations (force latérale, couples moteurs) ou conditions de fonctionnement (orientation des ressorts) ont un effet dissymétrique sur le chargement du bogie. L’état de référence est choisi de manière à minimiser toute contribution dissymétrique : la force latérale et le couple moteur appliqués sont nuls. La force verticale à appliquer sur le bogie et l’orientation des ressorts sont plus difficiles à choisir car ils déterminent les efforts internes introduits par les ressorts.

L’étude menée au chapitre 3 a montré que les ressorts de boîtes d’essieux, lorsqu’ils sont comprimés verticalement tout en étant maintenus latéralement à leurs extrémités, transmettent au niveau de leurs zones de contact avec le reste du bogie, un effort vertical et un effort latéral. L’effort latéral, nommé effort de chasse, peut atteindre jusqu’à 10 % de la valeur de l’effort vertical. Sa répercussion sur le chargement du mécanisme dépend de sa direction.

Dans la pratique, la direction de l’effort de chasse est mesurée individuellement pour chaque ressort sous une charge de référence. Sur la chaîne de montage, les ressorts sont orientés dans les boîtes d’essieux de manière à ce que leurs efforts de chasse soient dirigés dans la direction longitudinale du bogie et vers l’intérieur des boîtes d’essieux. Au cours du fonctionnement du train, aucun dispositif n’empêche les ressorts de tourner sur eux-mêmes.

Dans un premier temps, nous conduirons dans cette partie une analyse d’un état idéal de chargement. Les résultats obtenus ici serviront de référence pour les situations étudiées au chapitre 5.


- 122 -

3.2 Contrôle de la direction des efforts de chasse

3.2.1 Définition de l’effort de chasse

Dans le bogie, les ressorts sont en contact avec jeux avec les boîtes d’essieux (extrémité inférieure) et le châssis (extrémité supérieure). La force exercée par un ressort donné sur la boîte d’essieux qui le maintient est de la forme :

( )( )

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−θθ

=

V

CC

CC

essieuxdBoîteressort

FFF

F sincos

'/

r

Le ressort est en équilibre statique. La force qu’il exerce sur le châssis est donc exactement opposé :

essieuxdBoîteressortChâssisressort FF '//

rr−=

VF est l’effort de compression vertical.

CF et Cθ sont respectivement la norme et la direction de l’effort de chasse, repérée par rapport à l’axe x du repère associé au bogie (cf. figure 4.25).

3.2.2 Charge verticale à appliquer sur le châssis

Dans le chapitre 3, l’évolution de la direction Cθ de l’effort de chasse d’un ressort avec sa hauteur de compression a été étudiée dans des conditions particulières : le ressort était soumis à sa seule pré-charge et maintenu entre deux plans parallèles, les déplacements latéraux de ses extrémités étant bloqués. Dans le bogie sous charge, les boîtes d’essieux basculent autour de l’essieu de sorte que les surfaces d’appui ne sont plus parallèles et que le déplacement latéral relatif des extrémités n’est plus nul.

Le comportement des ressorts dans le mécanisme sous charge est d’autant plus difficile à maîtriser qu’il est fortement non linéaire. Cette non linéarité de comportement a deux causes : la première est la présence de contacts avec jeux entre les spires des ressorts et aux interfaces entre les ressorts et les pièces qui les maintiennent. La fermeture des jeux modifie brutalement l’équilibre des efforts dans le système, particulièrement lorsque des spires deviennent jointives, et introduit des discontinuités dans son comportement. La deuxième cause de non linéarité est purement géométrique : le corps d’un ressort subit une modification de géométrie importante entre son état à vide et son état sous charge. Cet aspect est pris en compte par la méthode de pré-charge décrite dans le paragraphe 3.3 du chapitre 1. Le principe est de linéariser la rigidité de la structure au voisinage d’un état déformé donné. Dans la simulation du bogie complet, la non linéarité géométrique est prise en compte une fois pour toutes car l’état déformé de pré-charge est le même pour tous les cas de chargements étudiés.

Afin de rendre prévisibles les directions Cθ des efforts de chasse dans le bogie sous charge, la charge verticale appliquée sur le châssis dans cette étude est calculée pour contrebalancer exactement les efforts internes de pré-charge des ressorts. Ainsi, leurs faces d’appui sont maintenues pratiquement parallèles et distantes de 262 mm. Malgré ces précautions, les directions et


- 123 -

normes des efforts de chasse des ressorts dans le bogie sous charge seront légèrement différentes de celles des mêmes ressorts soumis à leurs seules pré-charges et maintenus entre deux plans parallèles. Les différences sont dues au fait que les interactions des ressorts avec leur environnement extérieur sont différentes.

Le tableau suivant résume les déplacements de pré-charge appliqués aux ressorts depuis leurs hauteurs à vide pour qu’ils atteignent une hauteur de 262 mm. L’effort vertical de compression correspondant est donné (il a été calculé lors de l’étude du chapitre 3) :

Déplacement vertical de pré-charge

Effort vertical de compression VF

Ressort n°1 80 mm N6,22154F 1V =



Comme il y a quatre groupes de trois ressorts dans le bogie, la charge verticale à appliquer sur le châssis est de :

( ) N218737FFF4F 3V2V1VChassis =++=

3.2.3 Orientation des ressorts

Les ressorts sont orientés conformément à la configuration de montage dans la pratique : les efforts de chasse estimés sont dirigés dans la direction longitudinale du bogie, vers l’intérieur des boîtes d’essieux (cf. figure 4.25). Cette configuration équilibre au maximum les efforts internes du mécanisme.

y

x Ressort n°1

Ressort n°3

AVANT ARRIERE

GAUCHE

DROITE

Boîte d’essieux

Ressort n°2

Figure 4.25 : Efforts de chasse dirigés vers l’intérieur des boîtes d’essieux


- 124 -

Les résultats de l’étude du chapitre 3 ont donné les directions d’efforts de chasse Cθ des ressorts soumis à leur seule pré-charge. Les modèles des ressorts ont été ré-orientés pour donner aux angles

Cθ les valeurs désirées. Ces valeurs sont données dans le tableau suivant (de faibles erreurs de positionnement ont été commises). Les groupes de ressorts utilisés à gauche et à droite du bogie sont positionnés de manière identique.

Avant du bogie Arrière du bogie

Ressort n°1 178,9° -1,1°

Ressort n°2 180,0° 0,0°

Ressort n°3 -0,2° 179,8°

3.2.4 Efforts de chasse sous charge

Dans la simulation du bogie complet sous charge, les ressorts interagissent avec les composants du mécanisme et les directions des efforts de chasse Cθ évoluent légèrement. Elles sont résumées dans le tableau ci-dessous pour les quatre groupes de ressorts. Les différences avec les simulations des ressorts seuls n’excèdent pas 8°.


Boîte gauche Boîte droite Boîte gauche Boîte droite

Ressort n°1 182,1° 176,0° -4,0° 2,1°

Ressort n°2 185,9° 177,3° -2,7° 5,9°

Ressort n°3 -7,9° 5,9° 185,9° 172,1°

Le tableau suivant résume les composantes des torseurs d’efforts appliqués par les groupes de ressorts sur leurs boîtes d’essieux respectives. Les moments sont évalués au centre des liaisons pivot situées sous les boîtes concernées (cf. paragraphe 1.3).

Du point de vue géométrique, le modèle du bogie présente une symétrie axiale parfaite par rapport à l’axe vertical qui passe au centre du bogie (cf. figure 2.1 du chapitre 2). Les positions des ressorts et le chargement appliqué respectent cette symétrie (ce qui serait faux en présence de couples moteurs). Les torseurs calculés reflètent donc rigoureusement cette symétrie axiale.


- 125 -


Boîte gauche Boîte droite Boîte gauche Boîte droite ( )NFXR -1059,7 -1021,5 1021,5 1059,7

( )NFYR -358,0 361,6 -361,6 358,0

( )NFZR -54044,1 -54060,0 -54060,0 -54044,1

( )mNCXR . 99,8 -137,2 137,2 -99,8

( )mNCYR . 266,2 282,0 -282,0 -266,2

( )mNCZR . 14,9 -3,1 -3,1 14,9

En revanche, les composantes des torseurs ne sont pas symétriques par rapport au plan normal à y passant par le centre du bogie pour deux raisons :

• le réducteur est monté sur un côté de l’essieu. Bien que le moteur n’applique pas d’effort, le réducteur a une contribution en terme de rigidité,

• tous les ressorts d’un même type ont une hélice orientée dans le même sens, de sorte que les ressorts situés à gauche ne sont pas symétriques de ceux positionnés à droite.

Dans la direction x, l’effort de chasse du ressort n°3 compense une partie des efforts de chasse des ressorts n°1 et n°2. L’ensemble engendre une composante XRF de l’ordre de 1000 N qui est reprise par les articulations élastiques car l’essieu est libre de tourner. Ce point est détaillé plus loin. Les composantes YRF , XRC et ZRC traduisent les composantes latérales résiduelles des ressorts sous charge. Les composantes YRC sont reprises entièrement par les articulations élastiques.

3.3 Analyse des efforts transmis par les paliers

3.3.1 Chargement des liaisons pivot

Le chargement des liaisons pivot du bogie sera étudié dans le chapitre 5 sous différentes sollicitations. Ce chargement est étudié dans ce paragraphe sur l’état de référence afin de pouvoir établir des comparaisons.

Les liaisons pivot des réducteurs ne sont soumises à aucun effort notable car les couples moteurs sont nuls dans l’état de référence.

Les quatre liaisons pivot des boîtes d’essieux sont étudiées. Les torseurs des efforts en P transmis par les liaisons et appliqués par les essieux sur les boîtes à travers les paliers sont notés :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

ZL

YL

XL

boîteessieu

FFF

F /

r, ( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

ZL

XL

boîteessieu

C

CPC 0/

r


- 126 -

Le point P est le centre de la liaison pivot étudiée. La numérotation des roulements et le système d’axes sont donnés au paragraphe 1.2.

Liaison pivot avant gauche

(Roulements 11 et 12)

Liaison pivot avant droite

(Roulements 13 et 14) ( )NFXL -4,8 8,2

( )NFYL 574,3 -568,5

( )NFZL 54658,8 54708,1

( )mNCXL . -171,1 198,1

( )mNCZL . -111,1 96,1

Liaison pivot arrière gauche


Liaison pivot arrière droite


( )NFYL 569,0 -573,8

( )NFZL 54708,5 54658,3

( )mNCXL . -198,1 171,2

( )mNCZL . 96,1 -111,1

Dans la direction x, les essieux sont en équilibre sous l’action des réducteurs et des liaisons pivot (les roues sont libres de tourner). Or les réducteurs n’appliquent qu’un effort très faible car les bielles qui les relient au châssis assurent des liaisons très souples dans cette direction. Les composantes XLF sont donc presque nulles.

Les composantes YLF , XLC et ZLC s’opposent à l’action des articulations élastiques et des composantes latérales résiduelles des ressorts sous charge sur les boîtes d’essieux.

Les efforts transmis par une liaison pivot dans son ensemble dépendent avant tout de sa fonction : assurer une transmission rigide des efforts selon tous les DDL sauf la rotation selon y. En revanche une liaison pivot est un sous-système hyperstatique dans lequel les efforts sont couplés aux déformations. La relation entre le chargement de chacun des roulements et celui de la liaison pivot est donc complexe. Dans la partie 2, il a été mis en évidence que les torseurs d’efforts transmis par les roulements sont la somme de deux contributions :

• une contribution « directe » des efforts appliqués sur la liaison pivot : ceux-ci se répartissent DDL par DDL sur les deux roulements dans des proportions définies par des coefficients de répartition,


- 127 -

• une contribution « indirecte » des efforts appliqués sur la liaison pivot : des efforts internes induits par des DDL différents apparaissent sur les roulements. Cette contribution a une valeur exactement opposée sur chacun des deux roulements.

Au paragraphe 2.7, des relations analytiques approchées sont proposées pour estimer la valeur et la provenance de ces contributions. Ces relations sont approchées car elles supposent un environnement idéalisé parfaitement rigide et supposent que les effet des composantes des torseurs appliqués n’interfèrent pas entre eux.

Dans la suite, les résultats suivants sont donnés pour chacun des roulements :

• contributions estimées, directes (efforts transmis) et indirectes (efforts internes induits),

• efforts estimés (somme de ces contributions),

• efforts calculés par la simulation globale.

3.3.2 Analyse du chargement des paliers d’une des liaisons pivot de boîte

Comme toutes les liaisons pivot de boîtes sont soumises à des torseurs d’efforts similaires, seuls les paliers de la liaison avant gauche sont étudiés dans ce paragraphe. Les résultats concernant les autres liaisons de boîtes sont donnés en annexe F1.

Les paliers du réducteurs ne transmettent que des efforts négligeables dus aux déformations du carter, entraînées par le déplacement résiduel du châssis sous charge. Leurs chargements ne sont par analysés ici.

Le coefficient de répartition de la force axiale FYλ dépend du nombre respectif de corps roulants chargés dans les roulements. Les diagrammes de chargement des corps roulants (cf. figure 4.26) indiquent que les deux roulements ont des chargements partiels et très similaires. Le coefficient de répartition axial est donc estimé à 5,0FY =λ .

Les forces axiales internes YiF calculées par les relations analytiques approchées à partir des composantes du torseur appliquées séparément sont :

• forces radiales seules : N9,7214FF132,0F 2ZL

2XLYi =+= ,

• couples seuls : N5,434CC13,2F 2ZL

2XLYi =+= .

Une simulation sur une liaison pivot identique, isolée et en environnement rigide, indique que la force axiale interne induite par les couples et les forces radiales est N7320FYi = . Elle est due majoritairement aux forces radiales.


- 128 -

Le tableau suivant résume les contributions estimées relatives à la liaison pivot.

Composantes transmises Composantes internes induites )(, NF50 XL -2,4 )(, NC048F ZLXi = -893,2

)(NFYLFYλ 287,2

( ) )(NF1 YLFYλ− 287,2 )(NFYi 7320,0

)(, NF50 ZL 27329,4 )(, NC048F XLZi −= 1375,6

).(, mNC50 XL -85,5 ).(, mNF02900C ZLXi −= -1585,1

).(, mNC50 ZL -55,5 ).(, mNF02900C XLZi = -0,1

Le tableau suivant donne les composantes obtenues par les relations analytiques (estimations) et les valeurs calculées par la simulation globale du bogie. La corrélation est bonne (écart de 4,6 % au maximum).


Simulation Estimation Ecart Simulation Estimation Ecart

( )NFX 934,0 890,8 4,6 % -938,8 -895,6 4,6 %

( )NFY -7101,0 -7032,9 1,0 % 7675,3 7607,2 0,9 %

( )NFZ 26671,6 25953,8 2,7 % 27987,2 28705,0 2,6 %

( )mNCX . 1521,8 1499,6 1,5 % -1693,0 -1670,7 1,3 %

( )mNCZ . -56,5 -55,4 1,9 % -54,6 -55,7 2,0 %

Dans cette simulation, les efforts YF et XC sont dus presque exclusivement à leurs composantes

internes YiF et XiC . Celles-ci sont induites par la force radiale ZLF .

Des différences de forces radiales XF et ZF sont observées entre les deux roulements. Elles sont induites par les couples XLC et ZLC qui sont des effets indirects des forces latérales résiduelles des ressorts. Dans les simulations du chapitre 5, ces différences seront plus marquées.


- 129 -


ROULEMENT n°11

1369

2542

3716

4889

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0

1364

2533

3702

4871

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°12

Figure 4.26 : Forces de contact (en N) entre pistes de bagues et corps roulants dans les roulements 11 et 12

4. CONCLUSION

Les liaisons pivots par paires de roulements à rouleaux coniques ou cylindriques sont des sous-systèmes hyperstatiques rigides dont le chargement interne dépend du torseur d’efforts transmis par la liaison, de sa constitution interne et de ses interactions avec les déformations de l’environnement. L’environnement a un effet perturbateur qui modifie la distribution des efforts mais ne change pas fondamentalement le mécanisme de chargement. Celui-ci est essentiellement lié à la géométrie des bagues et des corps roulants.

Une série de simulations numériques de tous les types de liaisons pivot du bogie a été effectuée dans un environnement infiniment rigide. Le but était de quantifier les torseurs d’efforts repris par les paliers. Le modèle établi postule que les composantes du torseur d’efforts appliqué sur la liaison se répartissent sur les paliers dans des proportions variables, définies par des coefficients de répartition. En plus des composantes transmises, des composantes internes induites apparaissent. Elles s’appliquent de manière réciproque sur les deux paliers.

Il a été mis en évidence que :

• une force radiale extérieure à la liaison induit une force axiale et un couple interne,

• un couple extérieur à la liaison induit une force axiale et radiale interne,

• un déplacement de pré-charge induit une force axiale interne,

• les coefficients de répartition autres que le coefficient axial sont proches de 0,5.

Des relations analytiques approchées sont proposées pour quantifier les efforts internes induits par un torseur d’efforts quelconque appliqué sur la liaison. Le coefficient de répartition axial et la force interne axiale sont particuliers : ils dépendent de la répartition des efforts sur les corps roulants. Or, une force radiale extérieure, un couple extérieur et un déplacement axial de pré-charge

x

z


- 130 -

modifient le chargement des corps roulants selon des principes qui sont incompatibles. Les relations analytiques n’existent donc que pour des chargement simples.

Le mécanisme de chargement des paliers dans les liaisons pivot est cependant élucidé et en grande partie quantifié. Il sert d’outil d’analyse dans le chapitre 5.

Un état de référence a été défini pour l’étude du bogie. Il est conçu comme un état standard idéal qui minimise les perturbations apportées par les conditions de fonctionnement. Par conséquent, le seul chargement conservé est une force verticale appliquée sur le châssis. Le chapitre 3 avait montré que la pré-charge des ressorts induisait des efforts internes de chasse dont les directions ne sont connues que lorsque leurs faces d’appui sont parallèles. La force appliquées a donc été calculée pour respecter cette condition le mieux possible et les ressorts ont été orientés afin que leurs efforts de chasse se compensent le plus possible et qu’ils ne génèrent pas de force latérale. Dans le bogie sous charge, des forces latérales résiduelles apparaissent mais leur impact sur les roulements de boîtes d’essieux sont négligeables.

- 131 -

CHAPITRE 5

ANALYSE DU COMPORTEMENT GLOBAL STATIQUE D’UN

BOGIE DE TRAIN SOUS CHARGE

Le mécanisme hyperstatique étudié dans ce chapitre est le bogie de train décrit au chapitre 2. Il est composé d’un grand nombre d’éléments de structure entre lesquels les efforts sont transmis, soit par l’intermédiaire de composants assurant des liaisons cinématiques (paliers à roulements ou engrenages), soit directement par contact avec jeux au niveau de leurs interfaces. Parmi les éléments de structure, les ressorts ont la particularité d’être soumis à de grandes déformations, d’être pré-chargés et d’avoir une réponse fortement non linéaire conditionnée par l’apparition ou la fermeture de jeux. De plus, leur orientation dans le mécanisme est variable.

L’objectif de ce chapitre est d’étudier la réponse du bogie à diverses sollicitations correspondant aux conditions de fonctionnement normales. Ces sollicitations sont étudiées séparément en tant que perturbations de l’état de référence décrit dans la troisième partie du chapitre 4.

L’analyse du chargement se limite aux liaisons pivot par paires de roulements, qui sont des sous-systèmes hyperstatiques rigides, et aux ressorts, qui sont inclus dans des sous-systèmes hyperstatiques souples et pré-chargés. Le chargement du bogie est interprété à une échelle globale en considérant l’architecture globale du bogie et les torseurs d’efforts transmis par les ressorts et les liaisons pivot. A une échelle locale, les efforts internes aux liaisons pivot sont étudiés. Il s’agit des efforts transmis par les paliers et de leur répartition sur les corps roulants. La méthode d’analyse définie au chapitre 4 est utilisée.

Le but de la première partie est de déterminer l’influence de l’orientation des ressorts, sources d’efforts internes non négligeables. La deuxième partie concerne l’étude de l’impact d’une force latérale sur les composants. Dans la troisième partie, le chargement provoqué par l’application des couples moteurs sur les réducteurs est étudié, aussi bien sur les réducteurs que sur le reste du bogie. Enfin, la quatrième partie a pour but de quantifier l’influence des interactions entre les éléments de structure et les paliers.

Chapitre 5 : Analyse du comportement global statique d’un bogie de train sous charge

- 132 -

1. INFLUENCE DE L’EFFORT DE CHASSE DES RESSORTS

1.1 Problématique

Sur la chaîne de montage des bogies, les ressorts sont orientés de manière à ce que leurs efforts de chasse supposés soient dirigés vers l’intérieur des boîtes d’essieux. L’état de référence établi dans la partie 3 du chapitre 4 est un modèle idéal de cette configuration.

Dans la réalité, au cours du fonctionnement du train, aucun dispositif n’empêche les ressorts de tourner sur eux-mêmes. La répartition des efforts internes évolue donc en cours de fonctionnement, ce qui peut avoir des répercutions sur le chargement de tout le mécanisme et en particulier de ses roulements de boîtes d’essieux. Le but de cette étude est d’élaborer un modèle numérique qui correspond au cas le plus défavorable d’orientation des ressorts et de le comparer avec l’état de référence.

Dans cette étude, le châssis est soumis en son centre à la même force extérieure que pour l’état de référence :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

N21873700

Fchâssis

r

Aucun couple moteur n’est appliqué sur les réducteurs.

1.2 Orientation des ressorts

Dans l’état de référence défini au chapitre précédent, l’effort de chasse du ressort n°3 compensait en partie ceux des ressorts n°1 et n°2. De plus, la partie restante de l’effort était dirigée dans la direction longitudinale du bogie et était reprise par les articulations élastiques. Ainsi, les liaisons pivot ne subissaient que les composantes latérales résiduelles des efforts de chasse sous charge. Dans cette simulation, tous les ressorts du bogie sont orientés pour que leurs efforts de chasse estimés soient dirigés vers la gauche du bogie (cf. figure 5.1). Ainsi, les efforts de chasse ne se compensent plus : ils s’ajoutent.

Si la force appliquée par un ressort donné sur sa boîte d’essieux s’écrit :

( )( )

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

V

CC

CC

essieux'dBoîte/ssortRe

FsinFcosF

F θθ

r

alors, CF et Cθ sont respectivement la norme de l’effort de chasse et sa direction, repérée par rapport à l’axe x du repère associé au bogie (cf. figure. 5.1).


- 133 -

y

x AVANT ARRIERE

GAUCHE

DROITE

Ressort n°1

Ressort n°3

Boîte d’essieux

Ressort n°2

Figure 5.1 : Direction des efforts de chasse dans le bogie

Les résultats de l’étude du chapitre 3 ont donné les directions d’efforts de chasse Cθ des ressorts soumis à leur seules pré-charges. Les modèles des ressorts ont été ré-orientés pour donner aux angles Cθ les valeurs désirées. Ces valeurs sont données dans le tableau suivant (de faibles erreurs de positionnement ont été commises). Tous les groupes de ressorts du bogie sont identiques en orientations et caractéristiques :

Ressort n°1 88,9°

Ressort n°2 90,0°

Ressort n°3 89,8°

1.3 Efforts de chasse sous charge

Dans la simulation du bogie complet sous charge, les ressorts interagissent avec les autres composants du mécanisme et les directions des efforts de chasse évoluent sensiblement. Elles sont résumées dans le tableau ci-dessous pour les quatre groupes de ressorts. Les variations atteignent jusqu’à 28°.


Boîte gauche Boîte droite Boîte gauche Boîte droite

Ressort n°1 102,6° 92,7° 78,6° 88,7°

Ressort n°2 116,7° 96,9° 76,5° 89,5°

Ressort n°3 118,2° 97,1° 69,2° 89,7°


- 134 -

Le tableau suivant résume les composantes des torseurs d’efforts appliqués par les groupes de ressorts sur leurs boîtes d’essieux respectives. Les moments sont évalués aux centres des liaisons pivot, situés sous les boîtes concernées (cf. paragraphe 1.3 du chapitre 4).

Les différences avec l’état de référence sont les suivantes :

• La symétrie axiale de la géométrie du mécanisme est rompue à cause de l’orientation des ressorts. La dissymétrie se retrouve sur les torseurs d’efforts,

• les composantes YRF sont toutes positives et les moments XRC tous négatifs. Leurs valeurs sont de l’ordre de 10 fois plus élevées que dans l’état de référence,

• les forces verticales ZRF appliquées sur les boîtes d’essieux sont légèrement plus élevées à gauche et légèrement plus faibles à droite.

Avant du bogie Arrière du bogie Boîte gauche Boîte droite Boîte gauche Boîte droite ( )NFXR -1245,0 -357,6 938,3 62,8

( )NFYR 3415,0 4241,1 3423,3 4288,7

( )NFZR -52659,5 -54141,4 -53357,7 -54742,2

( )mNCXR . -968,6 -1234,9 -965,0 -1248,0

( )mNCYR . 439,1 726,0 -144,8 -427,0

( )mNCZR . 59,2 48,5 -73,9 -57,1

Ces efforts n’ont pas une répercussion directe sur le chargement des roulements de boîtes d’essieux car l’ensemble « ressorts + boîte d’essieux + articulation élastique + châssis » est un sous-système hyperstatique, pré-chargé par les ressorts (cf. figure 5.2). Ce sont les déformations de ce sous-système souple qui influencent le chargement des roulements.

Figure 5.2 : Sous-système hyperstatique


- 135 -



Les liaisons pivot des réducteurs ne sont soumises à aucun effort notable car les couples moteurs sont nuls. Seules les quatre liaisons pivot de boîtes d’essieux sont étudiées.

La numérotation des roulements, le système d’axes et la notation des torseurs sont donnés aux paragraphes 1.2 et 1.3 du chapitre 4. Les composantes des torseurs transmis par les quatre liaisons pivot d’essieux sont données dans les tableaux ci-dessous. Les valeurs de l’état de référence sont rappelées.

Liaison pivot avant gauche (Roulements 11 et 12)

Liaison pivot avant droite (Roulements 13 et 14)

( )NFXL -1729,4 -4,8 1726,1 8,2

( )NFYL 594,6 574,3 -603,7 -568,5

( )NFZL 53697,1 54658,8 55674,1 54708,1

( )mNCXL . 775,7 -171,1 1173,4 198,1

( )mNCZL . -1848,6

Réfé

renc

e

-111,1 -1672,6 Ré

fére

nce

96,1





( )NFXL 1756,6 -8,2 -1752,1 4,8

( )NFYL 663,7 569,0 -683,8 -573,8

( )NFZL 53752,3 54708,5 55617,6 54658,3

( )mNCXL . 777,9 -198,1 1193,4 171,2

( )mNCZL . 1898,4

Réfé

renc

e

96,1 1665,2

Réfé

renc

e

-111,1

Les composantes YLF sont du même ordre que sur l’état de référence. Les principales différences concernent les couples XLC et ZLC . Des composantes XLF apparaissent mais elles ne modifient pas significativement les directions des forces radiales.

Les liaisons pivot sont des sous-systèmes hyperstatiques. Les efforts qu’elles transmettent se répartissent sur les deux roulements à rouleaux coniques qu’elles contiennent et des efforts internes apparaissent. La méthode d’analyse du chargement des roulements est détaillé dans le paragraphe 3.3 du chapitre 4 où elle est appliquée à l’état de référence.


- 136 -

1.4.2 Analyse du chargement des paliers d’une des liaisons pivot de boîte

Comme toutes les liaisons pivot de boîtes d’essieux sont soumises à des torseurs d’efforts similaires, seule la liaison avant gauche est étudiée dans ce paragraphe. Les résultats concernant les autres liaisons sont donnés en annexe F2.

Les diagrammes de chargement des corps roulants (cf. figure 5.3) indiquent que le roulement 11 n’est chargé que partiellement, alors que tous les corps roulants du roulement 12 sont chargés. Le coefficient de répartition axial est donc estimé à 0FY =λ .


• forces radiales seules : N77091FF1320F 2ZL

2XLYi ,, =+= ,

• couples seuls : N14270CC132F 2ZL

2XLYi ,, =+= .

Aucun des deux types d’effort n’a un effet vraiment prédominant. Une simulation sur une liaison pivot identique, isolée et en environnement rigide, indique que la force axiale interne induite par les couples et les forces radiales est : N8840FYi = .

Le tableau suivant résume les contributions estimées relatives à la liaison pivot de boîte d’essieux avant gauche.

Composantes transmises Composantes internes induites

)(, NF50 XL -864,7 )(, NC048F ZLXi = -14862,7

)(NFYLFYλ 0,0

( ) )(NF1 YLFYλ− 594,6 )(NFYi 8840,0

)(, NF50 ZL 26848,6 )(, NC048F XLZi −= -6236,6

).(, mNC50 XL 387,9 ).(, mNF02900C ZLXi −= -1557,2

).(, mNC50 ZL -924,3 ).(, mNF02900C XLZi = -50,2

Le tableau suivant donne les composantes obtenues par ces relations analytiques (estimations) et les valeurs calculées par la simulation globale du bogie. La corrélation est bonne (écart de 3,1 % au maximum).

Les couples ZLC et XLC induisent respectivement des forces internes XiF et ZiF importants qui changent les directions et les normes des forces radiales. Sur les diagrammes de chargement des corps roulants, les maximums de charge changent de position en conséquence.


- 137 -



( )NFX 13772,4 13998,0 1,6 % -15501,8 -15727,4 1,5 %

( )NFY -8909,9 -8840,00 0,8 % 9504,5 9434,6 0,7 %

( )NFZ 32808,7 33085,2 0,8 % 20888,5 20611,9 1,3 %

( )mNCX . 1967,2 1945,1 1,1 % -1191,5 -1169,4 1,9 %

( )mNCZ . -848,0 -874,1 3,1 % -1000,6 -974,5 2,6 %

Le roulement 11 n’a que la moitié de ses corps roulants chargés alors que le roulement 12 est entièrement chargé. Dans l’état de référence, les deux roulements étaient à moitié chargés. La différence n’est pas imputable aux forces axiales, qui sont similaires dans les deux cas, mais aux couples XC et ZC et au fait que la force radiale sur roulement 11 est plus élevée que celle du roulement 12.

2808

4913

7019

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0

Efforts Bagues/Roul. (N) : BE (o), BI (+)

ROULEMENT n°11

1308

2429

3551

4672

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0

Efforts Bagues/Roul. (N) : BE (o), BI (+)

ROULEMENT n°12

Figure 5.3 : Forces de contact (en N) entre pistes de bagues et corps roulants

x

z


- 138 -

1.4.3 Comparaison avec l’état de référence

Le changement d’orientation des ressorts modifie les efforts internes dans les sous-systèmes hyperstatiques pré-chargés « ressorts + boîte d’essieux + articulation élastique + châssis ». Les déformations de ceux-ci, provoquent indirectement des modifications de chargement dans les roulements à rouleaux coniques de boîtes d’essieux.

L’histogramme suivant compare les efforts maximums transmis aux interfaces bagues / corps roulants, au sein des huit roulements de boîtes d’essieux, dans la simulation de référence et dans la simulation avec les efforts de chasse des ressorts dirigés vers la gauche du bogie.

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

11 12 13 14 21 22 23 24

Etat de référence

Efforts de chasse dirigés vers la gauche du bogie

Roulement

Effort maximal bague / corps roulants (N)

Figure 5.4 : Chargement des corps roulants : comparaison avec l’état de référence

Dans la simulation de référence, tous les roulements ont un chargement maximal proche de 5000 N. Dans la simulation actuelle, le schéma de chargement est identique dans toutes les liaisons pivot :

• le roulement de gauche (11, 13, 21 et 23) voit sa charge maximale augmenter au environs de 7500 N,

• le roulement de droite (12, 14, 22 et 24) voit sa charge maximale diminuer légèrement.

Entre les deux simulations, la charge maximale dans le bogie passe de 5005 N à 7115 N soit une augmentation de 42 %.


- 139 -

2. INFLUENCE D’UN EFFORT LATERAL APPLIQUE SUR LE CHASSIS

2.1 Problématique

Lorsqu’un train passe dans une courbe, la caisse applique une force latérale au centre du châssis du bogie. Cette force est extérieure au système et traverse tout le mécanisme pour être reprise au niveaux des roues par les rails. Elle est donc fondamentalement différente des forces latérales internes engendrées par les ressorts dans l’étude précédente. L’effet de cette force sur le chargement du mécanisme est étudié particulièrement sur les roulements de boîtes d’essieux. La force appliquée sur le châssis en son centre est la suivante :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

N218737N100000

0Fchâssis

r

Aucun couple moteur n’est appliqué sur les réducteurs.



Sous charge, le châssis se déplace et bascule. Les points d’ancrage des bielles de réducteurs se déplacent et subissent des déplacements angulaires. Si la bielle était fixée au réducteur par une liaison rotule, le montage du réducteur serait isostatique et son carter subirait un déplacement rigide sans déformation. La bielle étant fixée au réducteur par une articulation élastique souple, les déformations existent mais restent faibles. Le chargement des liaisons pivot du réducteur créé par ces déformations est négligeable devant celui qu’entraîne le couple moteur quand il existe.

Seules les liaisons pivot de boîtes d’essieux sont donc étudiées ici. La numérotation des roulements, le système d’axes et la notation des torseurs sont donnés aux paragraphes 1.2 et 1.3 du chapitre 4. Les composantes des torseurs transmis par les quatre liaisons pivot de boîtes sont données dans les tableaux ci-dessous. Les valeurs de l’état de référence sont rappelées.

Les forces appliquées sur le châssis par la caisse se répartissent de manière uniforme sur les quatre liaisons pivot de boîtes d’essieux. Ainsi, toutes les composantes YLF sont de l’ordre de

N25000− et toutes les composantes ZLF de l’ordre de 55000 N.


- 140 -

Liaison pivot avant gauche (Roulements 11 et 12)

Liaison pivot avant droite (Roulements 13 et 14)

( )NFXL 10061,6 -4,8 -10045,6 8,2

( )NFYL -23860,6 574,3 -26073,5 -568,5

( )NFZL 53587,9 54658,8 55772,5 54708,1

( )mNCXL . 772,9 -171,1 1354,4 198,1

( )mNCZL . 9976,8

Réfé

renc

e

-111,1 10501,1

Réfé

renc

e

96,1

Liaison pivot arrière gauche (Roulements 21 et 22)

Liaison pivot arrière droite (Roulements 23 et 24)

( )NFXL -10061,7 -8,2 10061,3 4,8

( )NFYL -24312,7 569,0 -25637,8 -573,8

( )NFZL 53690,9 54708,5 55677,3 54658,3

( )mNCXL . 798,2 -198,1 1300,1 171,2

( )mNCZL . -10159,3

Réfé

renc

e

96,1 -10337,1 Ré

fére

nce

-111,1

Les efforts XLF et ZLC découlent des forces latérales. En effet, considérons le schéma simplifié de la figure 5.5. Soient les hypothèses suivantes :

• les articulations sont des liaisons rotules parfaites qui transmettent chacune une force N25000F boîte/châssis = dans la direction y sur les boîtes d’essieux,

• les centres des articulations sont à une distance mm450d1 = de l’essieu,

• les liaisons pivots sont distantes de mm2050d2 = .

Pour assurer l’équilibre statique des boîtes d’essieux, l’essieu applique sur chacune des boîtes d’essieux le couple ZLC dans la direction z :

mN11250FdC boîtechâssis1ZL .. / ==

Le couple ZLC est positif sur les boîtes situées à l’avant du bogie et négatif sur les autres.

Pour assurer l’équilibre statique de l’essieu, des forces XLF appliquées par l’essieux sur les boîtes d’essieux apparaissent dans la direction x :

N10975dC2F

2

ZLXL ±=±=


- 141 -

La force XLF est positive sur les liaisons pivot avant gauche et arrière droite et négative sur les autres.

Liaison rotule (articulation élastique) Châssis

Boîte d’essieux Fchassis/boite

= 25000 N

d1=450 mm

d2=2050 mm

x

y Fchassis/boite = 25000 N

Essieu

NCZL 11250=

NFXL 10975−=

NCZL 11250=

NFXL 10975=

Figure 5.5 : Efforts induits sur les boîtes d’essieux par la force latérale

Les valeurs données par la simulation diffèrent légèrement car l’articulation élastique qui a une rigidité faible mais non nulle et les ressorts reprennent une partie du couple. De plus, les éléments décrits ci-dessus font partie d’une boucle hyperstatique.

2.2.2 Analyse du chargement des roulements d’une des liaisons pivot

Comme toutes les liaisons pivot sont soumises à des torseurs d’efforts similaires, seule la liaison avant gauche est étudiée dans ce paragraphe. Les résultats concernant les autres liaisons sont donnés en annexe F2.

Les diagrammes de chargement des corps roulants (cf. figure 5.6) indiquent que tous les corps roulants du roulement 11 sont chargés, alors que le roulement 12 n’est que partiellement chargé. Le coefficient de répartition axial est donc estimé à 1FY =λ .


• forces radiales seules : N2,7197FF132,0F 2ZL

2XLYi =+= ,

• couples seuls : N3,21314CC13,2F 2ZL

2XLYi =+= .

Les couples ont un effet plus important sur l’effort axial que les force radiales. Une simulation sur une liaison pivot identique, isolée et en environnement rigide, indique que la force axiale interne induite par les couples et les forces radiales est N22740FYi = .

Le tableau suivant résume les contributions estimées relatives à la liaison pivot.


- 142 -

Composantes transmises Composantes internes induites )(, NF50 XL 5030,8 )(, NC048F ZLXi = 80213,5

)(NFYLFYλ -23860,6

( ) )(NF1 YLFYλ− 0,0 )(NFYi 22740,0

)(, NF50 ZL 26794,0 )(, NC048F XLZi −= -6214,1

).(, mNC50 XL 386,5 ).(, mNF02900C ZLXi −= -1554,0

).(, mNC50 ZL 4988,4 ).(, mNF02900C XLZi = 291,8

Le tableau suivant donne les composantes obtenues par ces formules approchées (estimations) et les valeurs calculées par la simulation globale du bogie. Les écarts élevés sur les forces radiales ZF s’expliquent par le fait que le coefficient de répartition FZλ n’est pas rigoureusement égal à 0,5 comme le supposent les formules approchées. Il peut varier de 0,05 avec la force axiale extérieure

YLF .



( )NFX -69975,1 -75182,7 7,4 % 80036,7 85244,3 6,5 %

( )NFY -44702,7 -46600,6 4,2 % 20842,1 22740,0 9,1 %

( )NFZ 36269,0 33008,1 9,0 % 17318,9 20579,8 18,8 %

( )mNCX . 1920,7 1940,5 1,0 % -1147,8 -1167,6 1,7 %

( )mNCZ . 4877,9 4696,6 3,7 % 5099,0 5280,2 3,6 %

Les forces radiales XF sont dues majoritairement à la force interne XiF induite par le couple

ZLC , conséquence directe de la force axiale appliquée sur le châssis.

Le roulement 11 subit une force axiale YF environ deux fois plus grande que le roulement 12 car il reprend l’intégralité de la force axiale YLF .

La force radiale ZF du roulement 11 est environ deux fois plus grande que celle du roulement 12. La différence est due à la force interne ZiF induite par le couple XLC .

Les couples XC sont dus majoritairement au couple interne induit par la force radiale ZLF . Ces couples sont comparables à ceux de l’état de référence.

Les couples ZC , de l’ordre de 5000 N.m, transmis par les roulements proviennent en quasi totalité du couple ZLC , conséquence directe de la force axiale appliquée sur le châssis.


- 143 -

1716.5

6866

12016

17165

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°11

3084

9252

15420

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°12



L’histogramme suivant compare les efforts maximums transmis aux interfaces bagues / corps roulants dans la simulation de référence et dans la simulation avec une force latérale appliquée sur le châssis, au sein des huit roulements de boîtes d’essieux.

0 2000 4000 6000 8000

10000 12000 14000 16000 18000 20000

11 12 13 14 21 22 23 24

Etat de référence Avec une force Latéral sur le châssis

Roulement

Effort maximal bague / corps roulants (N)


Entre les deux simulations, la charge maximale dans le bogie passe de 5005 N à 18929 N soit une augmentation d’un facteur 3,8.

x

z


- 144 -

3. INFLUENCE DU COUPLE MOTEUR

3.1 Problématique

Chaque moteur applique un couple pur sur l’arbre moteur de son réducteur et un couple pur opposé sur le châssis. Le réducteur transmet la puissance à l’essieu en divisant la vitesse de rotation par 4 et multipliant le couple par 4. Ce couple produit une force motrice dirigée vers l’avant du bogie, appliquée par les rails sur les roues. Dans notre modèle, la vitesse n’intervient pas car seul l’équilibre statique des efforts est considéré.

Pour que les forces motrices des deux essieux soient identiques et dirigées vers l’avant, il faut que les couples appliqués par les deux moteurs sur les deux arbres moteurs aient une valeur identique yCM

r . Par réaction, les deux moteurs appliquent sur le châssis le couple yC2 Mr

− qui fait se « cabrer » le châssis. Le bogie a une architecture symétrique par rotation de 180° autour de l’axe z. Les efforts internes des moteurs ne respectent pas cette symétrie.

Le couple nominal m.N3800CM = est appliqué. Le torseur des efforts extérieurs appliqués sur le châssis en son centre O est :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

N21873700

Fchâssis

r, ( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

0m.N7600

0OCchâssis

r

Essieu

Châssis

CM=3800 N.m Réducteur

Sens d’avancement

y

x

CM

-2 CM

O

Figure 5.8 : Couples moteurs

A cause de la symétrie axiale du bogie, étudier le réducteur avant en marche arrière revient à étudier le réducteur arrière en marche avant et inversement. Nous étudierons donc les deux réducteurs, mais en marche avant seulement.

Dans un premier temps, nous analyserons les actions des sous-systèmes réducteurs sur le reste du mécanisme. Le chargement des liaisons pivot de réducteurs, puis de boîtes d’essieux sera ensuite étudié.


- 145 -

3.2 Analyse des efforts appliqués par les réducteurs sur les essieux

Le torseur des efforts appliqués par un réducteur sur son essieu est la somme des torseurs appliqués par la liaison pivot principale et par l’engrenage principal sur l’essieu. Ce torseur en P, centre de la liaison pivot principale, est noté :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

Zred

Yred

Xred

essieureducteur

FFF

F /

r, ( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

Zred

Yred

Xred

essieureducteur

CCC

PC /

r

Les composantes de ces torseurs sont données dans le tableau suivant pour les deux réducteurs.

Torseur

réducteur / essieu avant

Torseur réducteur / essieu

arrière ( )NFXred -8759,3 -8764,6

( )NFYred 8,3 7,3

( )NFZred 22577,6 -22580,3

( )mNCXred . -309,0 -308,6

( )mNCYred . 15200,0 15200,0

( )mNCZred . -124,8 124,9

Les valeurs relatives aux deux réducteurs sont quasiment identiques au signe près. Changer le sens du couple moteur change le signe de toutes les composantes du torseur des efforts appliqués par un réducteur sur son essieu. Comme le réducteur arrière est le symétrique, par rotation de 180° autour de l’axe z, d’un réducteur avant qui fonctionnerait en marche arrière, seules les composantes selon z changent de signe.

Les réducteurs appliquent sur l’essieu avant une force de 22580 N vers le haut et sur l’essieu arrière une force de 22580 N vers le bas. Par réaction, les réducteurs appliquent sur le châssis, à travers leurs bielles, des forces opposées qui s’annulent. Les couples de 15200 N.m appliqués sur les essieux sont bien égaux à 4 fois les couples moteurs.

Les couples sur les essieux produisent des forces motrices dans la direction x, dirigées vers l’avant, appliquées par les rails sur les roues. Les roues ayant un rayon de 460 mm, ces forces sont de 33043,5 N par essieu, soit 66087 N au total. Cette force motrice est transmise des essieux vers le châssis d’une part (par les boîtes d’essieux, les articulations élastiques et les ressorts) et les réducteurs d’autre part (composantes XredF ).

Le châssis transmet ensuite la force motrice à la caisse du train via une suspension. Dans le modèle, l’action de la caisse est remplacée par une condition aux limites de blocage, dans la direction x, sur le point central du châssis. L’effort de réaction simulé en ce point est bien égal à la force motrice.


- 146 -

3.3 Equilibre des efforts dans les réducteurs

Le réducteur possède trois engrenages cylindriques hélicoïdaux, d’angle d’hélice °=β 15 , dont les rayons de base sont :

• pignon moteur : mm42464R 1b ,=

• roue intermédiaire : mm02139R 2b ,=

• roue principale : mm696257R4R 1b3b ,==

Pignon moteur

Roue intermédiaire Roue principale

miF /

rpiF /

r

aiiF /

r

MCMC4

θ

x

z

Figure 5.9 : Equilibre des efforts dans le réducteur en marche avant

Les forces de contact entre engrenages se transmettent selon les normales aux surfaces de dentures. Ces forces se trouvent dans des plans tangents aux cylindres de base. Les figures 5.9 et 5.10 représente les projections de ces forces dans le plan moyen d’engrènement (x,z), respectivement dans le réducteur en marches avant et arrière. Les composantes selon y, dues à l’angle d’hélice, sont étudiées plus loin.

Les projections des forces de contact dans le plan (x,z) sont les suivantes :

• force exercée par la roue intermédiaire sur le pignon moteur : m/iFr

,

• force exercée par la roue principale sur le pignon moteur : p/iFr

.

En marche avant, l’arbre moteur applique le couple yCMr sur le pignon moteur et l’essieu le

couple de réaction yC4yCRR

MM1b

3b rr−=− sur la roue principale.

En marche arrière, l’arbre moteur applique le couple yCMr

− et l’essieu le couple yC4 Mr .


- 147 -

Pignon moteur

Roue intermédiaire Roue principale

miF /

r piF /

r

aiiF /

r

MCMC4

θ

x

z

Figure 5.10 : Equilibre des efforts dans le réducteur en marche arrière

Les directions des forces de contact dépendent du sens de marche du réducteur. Cependant, quel que soit le sens de marche, l’équilibre des couples selon y est tel que :

N2,58984RCFF

1b

Mp/im/i ===

rr

Les engrenages exercent sur les arbres sur lesquels ils sont montés, les forces radiales suivantes :

• du pignon moteur sur l’arbre moteur : miamm FF //

rr= ,

• de la roue intermédiaire sur l’arbre intermédiaire : aiiF /

r,

• de la roue principale sur l’essieu : piessieup FF //

rr= .

L’équilibre des forces appliquées sur la roue intermédiaire dans le plan (x,z) est tel que :

( )pimiaii FFF ///

rrr+−=

La norme de la force radiale sur l’arbre intermédiaire dépend du sens de marche du réducteur. En effet, si θ est l’angle entre les deux plans tangents aux cylindres de base :

( )θ+=θ++= coscos. ///// 12RCFF2FFF

1b

Mpimi

2

pi

2

miaii

rrrrr

En marche avant, °= 6,137θ et N542655F aii ,/ =r

.

En marche arrière, °= 9,46θ et N2108227F aii ,/ =r

.


- 148 -

A cause de l’angle d’hélice β , les forces de contact entre dentures ont des composantes non nulles selon y. Les projections des forces de contact dans la direction y sont les suivantes :

• force exercée par la roue intermédiaire sur le pignon moteur : miFy / ,

• force exercée par la roue principale sur le pignon moteur : piFy / .

βForce de contact

p/iFy

p/iFr

y

Figure 5.11 : Composantes selon y des forces de contact dues à l’angle d’hélice

Le sens des projections dans la direction y des forces de contact dépend du sens de leur projections dans le plan (x,z) et du sens de l’hélice (cf. figure 5.12). Ainsi, en marche avant :

• yRCyFFy

1b

Mmimi

rrrβ−=β−= tantan//

• yRCyFFy

1b

Mpipi

rrrβ=β= tantan//

y

Pignon moteur

Roue intermédiaire

Roue principale

miFy /

piFy /

miFy /−

piFy /−

β

Figure 5.12 : Forces axiales dues à l’angle d’hélice

En marche avant, les engrenages exercent sur leurs arbres les forces axiales suivantes :

• du pignon moteur sur l’arbre moteur : yRCFyFy

1b

Mmiamm

rβ−== tan// ,

• de la roue intermédiaire sur l’arbre intermédiaire : 0Fy ai/i

r= ,

• de la roue principale sur l’essieu : ytanRCFyFy

1b

Mp/iessieu/p

rβ== .


- 149 -

En marche arrière, toutes les forces sont appliquées dans l’autre sens. La norme des forces

axiales est : N815804RC

1b

M ,tan =β

3.4 Analyse des efforts dans le réducteur avant

3.4.1 Analyse du chargement des liaisons pivot

La numérotation des roulements, le système d’axes et la notation des torseurs sont donnés aux paragraphes 1.2 et 1.3 du chapitre 4. Les composantes des torseurs transmis par les trois liaisons pivot du réducteur avant sont données dans le tableau ci-dessous.

Liaison pivot

principale avant (Paliers 101 et 102)

Liaison pivot intermédiaire avant (Paliers 103 et 104)

Liaison pivot moteur avant

(Paliers 105 et 106) ( )NFXL 56736,4 10592,2 -58569,3

( )NFYL 15796,4 0,0 -15804,8

( )NFZL 11734,7 -41296,5 6984,1

( )mNCXL . -2519,8 791,5 958,4

( )mNCZL . -2919,5 -3205,1 -562,1

La liaison pivot moteur reprend tous les efforts appliqués par l’engrenage moteur sur l’arbre moteur, sauf le couple axial. La liaison pivot intermédiaire reprend tous les efforts appliqués par la roue intermédiaire sur l’arbre intermédiaire. Par contre, la liaison pivot principale ne reprend qu’une partie des efforts appliqués par la roue principale sur l’arbre principal. L’autre partie est reprise par les autres composants montés sur l’essieu. Le chargement des liaisons pivot donné ci-dessus s’explique donc par l’analyse du paragraphe 3.3 .

Les composantes selon y des forces de contact entraînent des forces axiales et des couples sur les liaisons. Les points suivants sont remarquables :

• Les liaisons pivot moteur et principale subissent les forces axiales YLF ,

• La liaison pivot intermédiaire ne subit aucune force axiale (ce qui justifie l’utilisation de roulements à rouleaux cylindriques),

• Les couples XLC et ZLC dépendent des forces de contact et des rayons de base. Ces couples vont entraîner des forces radiales internes sur les paliers.


- 150 -

Les chargements des paliers des trois liaisons pivot du réducteur avant sont étudiés dans les paragraphes qui suivent. L’analyse se fait grâce aux relations analytiques approchées établies au paragraphe 1.7 du chapitre 4.


Les diagrammes de chargement des corps roulants (cf. figure 5.13) indiquent que les deux roulements sont partiellement chargés. Le coefficient de répartition axial est donc estimé à

50FY ,=λ .



2XLYi ,, −=+−= ,


2XLYi ,, −=+−= .

Les couples et les forces radiales ont des influences comparables. Une simulation sur une liaison pivot identique, isolée et en environnement rigide, indique que la force axiale interne induite par les couples et les forces radiales est N25713FYi −= .

Les efforts transmis et internes induits relatifs à la liaison sont résumés dans le tableau suivant :

Composantes transmises Composantes internes induites )(, NF50 XL 28368,2 )(, NC5911F ZLXi = -33837,0

)(NFYLFYλ 7898,2

( ) )(NF1 YLFYλ− 7898,2 )(NFYi -25713,0

)(, NF50 ZL 5867,4 )(, NC5911F XLZi −= 29204,5

).(, mNC50 XL -1259,9 ).(, mNF02100C ZLXi −= -235,9

).(, mNC50 ZL -1459,8 ).(, mNF02100C XLZi = 1140,4

Les couples extérieurs XLC et ZLC , dus aux angles d’hélice des engrenages, induisent des composantes radiales internes XiF et ZiF plus élevées que les composantes transmises. La force axiale interne prédomine largement sur les composantes transmises.

Le tableau suivant donne les composantes des torseurs d’efforts transmis par les roulements 101 et 102, obtenues par les formules approchées (estimations) et les valeurs calculées par la simulation globale du bogie.


- 151 -



( )NFX 57763,3 62205,2 7,7 % -1027,0 -5468,8 432,5 %

( )NFY 27419,6 33611,2 22,6 % -11623,1 -17814,8 53,3 %

( )NFZ -19173,2 -23337,1 21,7 % 30907,9 35071,8 13,5 %

( )mNCX . -1092,2 -1024,0 6,2 % -1427,6 -1495,8 4,8 %

( )mNCZ . -2752,1 -2600,2 5,5 % -167,4 -319,3 90,8 %

Les écarts élevés entre la simulation et les estimations s’expliquent de la façon suivante :

• la différence sur la composante XF du roulement 102, d’environ 4400 N, représente 13 % seulement de la force interne XiF ,

• la différence sur la composante ZC du roulement 102, d’environ 150 N.m, représente 13 % seulement du couple interne ZiC ,

• les différences sur les composantes YF s’expliquent par une sous estimation d’environ 6200 N de la force axiale interne YiF , soit 24 % de sa valeur.

Les estimations ne sont donc pas aberrantes. C’est le calcul des écarts qui est inapproprié dans certains cas. Les différences entre la simulation et les estimations sont néanmoins nettement plus élevées que celles observées jusque là pour les paliers de boîtes d’essieux.

Elles peuvent être attribuées à la souplesse du carter de réducteur dont les déformations engendrent des efforts internes supplémentaires non pris en compte dans les relations analytiques. Les déformations du carter sont d’autant plus grandes que les deux paliers de la liaison principale sont montés au centre de deux parois latérales minces et reliées entre elles par un bord éloigné des paliers.

1196

3589

5982

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°101

1549

2712

3874

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°102


x

z


- 152 -

Les directions de plus grand chargement des corps roulants coïncident avec les directions des forces radiales.


Les composantes transmises et internes induites relatives aux roulements à rouleaux cylindriques de la liaison pivot intermédiaire calculées avec les relations analytiques sont résumés dans le tableau suivant :


)(, NF50 XL 5296,1 )(, NC56F ZLXi = -20833,2

)(, NF50 ZL -20648,3 )(, NC56F XLZi −= -5144,8

).(, mNC50 XL 395,8 ).(, mNF03750C ZLXi −= 1435,1

).(, mNC50 ZL -1602,6 ).(, mNF03750C XLZi = 368,1

Le couple extérieur ZLC induit des forces radiales internes prédominantes dans la direction x. Dans la direction z, c’est la force répartie qui prédomine.


Simulation Estimation Ecart Simulation Estimation Ecart( )NFX 23177,0 26129,3 12,7 % -12584,8 -15537,1 23,5 %

( )NFY 0,0 0,0 0,0 % 0,0 0,0 0,0 %

( )NFZ -12885,2 -15503,5 20,3 % -28411,2 -25793,0 9,2 %

( )mNCX . -965,6 -1039,3 7,6 % 1757,1 1830,8 4,2 %

( )mNCZ . -1796,4 -1970,6 9,7 % -1408,7 -1234,5 12,4 %

Les écarts entre la simulation et les estimations sont plus faibles que pour la liaison principale, car ces paliers sont plus proches du bord du carter et donc dans une zone moins déformable.


- 153 -

2504.2

7512.6

12521

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°103

2817.8

8453.4

14089

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°104



Les diagrammes de chargement des corps roulants (cf. figure 5.15) indiquent que le roulement 105 est totalement chargé alors que le roulement 106 ne l’est que partiellement. Le coefficient de répartition axial est donc estimé à 1FY =λ .



2XLYi ,, =+= ,


2XLYi ,, =+= .

L’effet des forces radiales prédomine. Une simulation sur une liaison pivot identique, isolée et en environnement rigide, indique que la force axiale interne induite par les couples et les forces radiales est N10743FYi = .

Le tableau suivant donne les valeurs des efforts répartis et internes estimés par les relations analytiques. Les forces radiales internes induites par les couples XLC et ZLC ne dépassent pas 5000 N, ce qui est faible par rapport à la force répartie selon x. En effet, comme le rayon de base du pignon moteur est faible, les composantes selon y des forces de contact entre engrenages n’induisent pas de couple important sur le centre de la liaison.

x

z


- 154 -


)(, NF50 XL -29284,7 )(, NC994F ZLXi = -2804,9

)(NFYLFYλ -15804,8

( ) )(NF1 YLFYλ− 0,0 )(NFYi 10743,0

)(, NF50 ZL 3492,1 )(, NC994F XLZi −= -4782,4

).(, mNC50 XL 479,2 ).(, mNF04950C ZLXi −= -345,7

).(, mNC50 ZL -281,1 ).(, mNF04950C XLZi = -2899,2



( )NFX -27004,2 -26479,8 1,9 % -31565,1 -32089,5 1,7 %

( )NFY -26220,2 -26547,8 1,2 % 10415,5 10743,0 3,1 %

( )NFZ 8035,0 8274,5 3,0 % -1050,9 -1290,4 22,8 %

( )mNCX . 840,6 824,9 1,9 % 117,8 133,5 13,3 %

( )mNCZ . 2569,0 2618,1 1,9 % -3131,1 -3180,2 1,6 %

Dans le réducteur, cette liaison est celle pour laquelle la corrélation entre la simulation et les estimations est la plus mauvaise. En effet, les paliers sont montés dans la zone la plus rigide du réducteur (proximité du bord sur la moitié de leurs circonférences).

2378

4416.2

6454.5

8492.7

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°105

2979.6

5214.4

7449.1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°106


x

z


- 155 -

3.5 Analyse des efforts dans le réducteur arrière

Les composantes des torseurs transmis par les trois liaisons pivot du réducteur arrière sont données dans le tableau ci-dessous. La numérotation des roulements, le système d’axes et la notation des torseurs sont donnés aux paragraphes 1.2 et 1.3 du chapitre 4.

Le réducteur arrière est le symétrique, par rotation de 180° autour d’un axe parallèle à z passant par le centre du châssis, d’un réducteur avant qui fonctionnerait en marche arrière. Le paragraphe 3.1 a montré que l’équilibre des efforts était différent dans les deux sens de marche.

Liaison pivot

principale arrière (Paliers 201 et 202)

Liaison pivot intermédiaire arrière (Paliers 203 et 204)

Liaison pivot moteur arrière

(Paliers 205 et 206) ( )NFXL 19894,6 23552,3 -34682,3

( )NFYL 15797,5 0,0 -15804,8

( )NFZL -35344,3 105635,0 -47710,4

( )mNCXL . -2839,4 791,5 958,4

( )mNCZL . 3416,3 3205,1 562,1

Le torseur d’efforts transmis par la liaison pivot arrière ne dépend que de la force de contact entre dentures appliquée par l’engrenage intermédiaire sur l’engrenage moteur. Or, dans les réducteurs avant et arrière, cette force a la même norme et une direction différente. On retrouve cette propriété sur le torseur (la force radiale a la même norme).

En revanche, la force radiale reprise par la liaison pivot intermédiaire est 2,5 fois supérieure dans le réducteur arrière que dans le réducteur avant. En effet, cette force dépend des forces de contact entre dentures appliquées sur l’engrenage intermédiaire par les engrenages moteur et principal. Leurs normes sont les mêmes dans les deux réducteurs mais les directions sont différentes. Elles se combinent donc de manière différente.

Le chargement de la liaison principale dépend de la force de contact entre dentures, appliquée par l’engrenage intermédiaire sur l’engrenage principal, mais aussi des forces appliquées par les composants montés sur le bogie (roues, roulements de boîtes d’essieux).

La force radiale appliquée sur la liaison principale du réducteur avant a une norme de 57937 N. Dans le réducteur arrière, cette norme est de 40550 N. La norme de la force axiale est la même dans les deux réducteurs (elle est due aux forces de contact entre engrenages uniquement). Les couples sont du même ordre.

Les résultats concernant le chargement des paliers du réducteur arrière sont donnés en annexe F4.


- 156 -

3.6 Analyse des efforts transmis par les paliers de boîtes d’essieux

Les composantes des torseurs transmis par les quatre liaisons pivot de boîtes d’essieux sont données dans les tableaux ci-dessous. Les valeurs de l’état de référence sont rappelées. La numérotation des roulements, le système d’axes et la notation des torseurs sont donnés aux paragraphes 1.2 et 1.3 du chapitre 4.




(Roulements 13 et 14) ( )NFXL 13688,1 -4,8 10595,5 8,2

( )NFYL 1749,7 574,3 -258,9 -568,5

( )NFZL 54293,1 54658,8 65244,5 54708,1

( )mNCXL . -814,6 -171,1 -285,0 198,1

( )mNCZL . -43,2

Réfé

renc

e

-111,1 290,3

Réfé

renc

e

96,1




(Roulements 23 et 24) ( )NFXL 11723,1 -8,2 12548,4 4,8

( )NFYL -617,8 569,0 -857,2 -573,8

( )NFZL 44268,1 54708,5 54928,1 54658,3

( )mNCXL . -649,5 -198,1 -418,7 171,2

( )mNCZL . -769,8

Réfé

renc

e

96,1 -794,1

Réfé

renc

e

-111,1

Les couples appliqués sur les essieux par les réducteurs engendrent une force motrice de 66087 N au total, appliquée dans la direction x par les rails sur les essieux. Cette force est transmise des essieux vers le châssis par les réducteurs, qui transmettent 17523,9 N, et par les boîtes d’essieux qui transmettent le reste. Les composantes XLF des liaisons pivots de boîtes représentent cette dernière part. Le positionnement latéral des réducteurs crée des disparités entre les liaisons.

La force verticale appliquée sur le châssis se répartit sur les quatre liaisons pivot de boîte. Cependant, par rapport à l’état de référence, la liaison avant droite supporte une force plus élevée et la liaison arrière gauche une force moins élevée. Ceci est dû à l’action des réducteurs sur les essieux et sur le châssis.

Les chargements des paliers sont donnés en annexe F4.


- 157 -


L’histogramme suivant compare les efforts maximums transmis aux interfaces bagues / corps roulants dans la simulation de référence et dans la simulation avec les couples moteurs, au sein des huit roulements de boîtes d’essieux.

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

11 12 13 14 21 22 23 24

Etat de référence

Couples moteurs

Roulement

(N) Effort maximal bague / corps roulants


Dans la simulation de référence, tous les roulements ont un chargement maximal proche de 5000 N.

Dans la simulation avec des couples moteurs, dans toutes les liaisons pivot, les roulements de gauche (11, 13, 21 et 23) ont une surcharge de 1500 N à 2000 N sur les roulements de droite (12, 14, 22 et 24). De plus, la liaison avant droite supporte une charge plus élevée que les autres et la liaison arrière gauche une force moins élevée. Les différences peuvent être attribuées aux fluctuations de la force verticale.

Entre les deux simulations, la charge maximale dans le bogie passe de 5005 N à 7050 N, soit une augmentation de 41 %.


- 158 -

4. INFLUENCE DE L’ENVIRONNEMENT SUR LE CHARGEMENTS DES PALIERS

4.1 Problématique

Un roulement est un système hyperstatique en lui-même car les efforts entre les bagues sont transmis par plusieurs corps roulants en parallèles. La répartition des efforts sur les corps roulants dépend donc des déformations du système, c’est-à-dire des écrasements des zones de contact entre bagues et corps roulant et des déformations des bagues.

Les bagues de roulements ne peuvent pas être considérées comme infiniment rigides. Leurs déformations sont couplées à celles de l’environnement qui les supporte. Dans notre mécanisme, les arbres sont massifs et interdisent toute déformation notable des bagues intérieures. Par contre, les carters (boîtes d’essieux et carters de réducteurs) sont à priori flexibles et leurs déformations sont susceptibles d’interagir avec les corps roulants et de modifier la répartition des charges.

Afin de quantifier l’effet des déformations de l’environnement sur le chargement des corps roulants, le résultat de la simulation globale a été comparé à celui d’une simulation d’une liaison pivot identique en environnement parfaitement rigide et soumise au même torseur d’effort.

Tous les types de liaison pivot présents dans le bogie font l’objet d’une comparaison.

4.2 Liaison pivot de boîte d’essieux

Un chargement contraignant a été utilisé pour étudier la liaison pivot de boîte d’essieux : celui de la simulation du bogie soumis à une force latérale extérieure appliquée sur le châssis. La liaison pivot de boîte d’essieux avant gauche est étudiée. Le torseur d’effort est donné au paragraphe 2.2.1. Les diagrammes du chargement des corps roulants dans la simulation globale sont rappelés ci-dessous :

1716.5

6866

12016

17165

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°11

3084

9252

15420

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°12

Figure 5.17 : Modèle global de bogie : forces de contact (en N) entre pistes de bagues et corps roulants

x

z


- 159 -

Une simulation sur une liaison identique en environnement rigide avec le même torseur d’efforts extérieurs donne les chargements suivants :

6677.2

11685

16693

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°11

7079.2

12389

17698

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°12

Figure 5.18 : Environnement rigide : forces de contact (en N) entre pistes de bagues et corps roulants

La forme générale du chargement est conservée. Si on considère le corps roulant le plus chargé, la variation de la force de contact atteint 15 %. La souplesse de la boîte ne peut donc pas être négligée.

4.3 Liaisons pivot de réducteur

Pour étudier les liaisons pivot de réducteur, la simulation globale avec les couples moteurs est utilisée. Les torseurs d’efforts auxquels elles sont soumises sont donnés au paragraphe 3.4.1. Pour chacune des trois liaisons pivot du réducteur avant, le chargement obtenu par la simulation globale est comparé avec celui obtenu par la simulation d’une liaison identique, en environnement rigide, avec le même torseur d’efforts extérieurs.


Les modifications de forme du chargement sont notables : avec l’environnement souple, la charge se concentre sur un nombre de corps roulants plus faible. La différence atteint 7 %.

x

z


- 160 -

1196

3589

5982

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°101

1549

2712

3874

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°102


1283.5

3850.4

6417.3

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°101

1511.2

2644.6

3778

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°102


x

z

x

z


- 161 -


Dans les deux modèles, la charge supportée par les roulements est reprise en quasi totalité par 3 corps roulants seulement. Les différences en sont donc accentuées : elles atteignent 25 %.

2504.2

7512.6

12521

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°103

2817.8

8453.4

14089

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°104


3115.8

9347.4

15579

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°103

3099.4

9298.2

15497

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°104


x

z

x

z


- 162 -


Pour la liaison pivot moteur, les différences de forme du chargement sont visibles. Elles atteignent 11 %.

2378

4416.2

6454.5

8492.7

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°105

2979.6

5214.4

7449.1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°106


3266.2

5715.9

8165.6

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°105

3319.4

5808.9

8298.4

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°106


x

z

x

z


- 163 -

5. CONCLUSION

L’influence de l’effort de chasse sur le comportement du bogie a été analysée. Cette étude correspond à un problème réel : dans la pratique, au montage du bogie, les ressorts sont orientés de telle façon que leurs efforts de chasse théoriques soit dirigés vers l’intérieur des boîtes d’essieux. Ainsi, leurs composantes longitudinales se compensent en grande partie et les composantes latérales résiduelles sont presque nulles. Pendant le fonctionnement du bogie, rien n’empêche les ressorts de tourner sur eux-mêmes.

Dans la simulation, les ressorts ont été disposés afin que les efforts de chasse théoriques de tous les ressorts soient dirigés latéralement et dans le même sens. Cette configuration est l’une des plus défavorables.

La perturbation introduite ainsi concerne les efforts internes au sein de la boucle hyperstatiques formée par la boîte d’essieux, l’articulation élastique, les ressorts et le châssis. Etant donnée la souplesse de cette boucle, les perturbations provoquent des déformations importantes qui se répercutent sur les boucles hyperstatiques globales du mécanisme.

Les liaisons pivot de boîtes d’essieux en font partie et subissent des couples supplémentaires. A une échelle plus locale, les paliers subissent des forces radiales qui font varier le chargement maximal des corps roulants d’environ 40 % par rapport à l’état de référence.

L’influence d’une force latérale appliquée sur le bogie a ensuite été étudié. Cette force étant appliquée à l’extérieur des boucles hyperstatiques les plus globales, sa répercussion est directe sur toutes les boucles globales et locales, à l’exception de celles incluant les réducteurs.

La force latérale se réparti de manière égale sur toutes les boîtes d’essieux par l’intermédiaire des articulations élastiques. Des couples et des forces radiales sont générés sur les liaisons pivot de boîtes d’essieux.

Ces derniers induisent sur les paliers des forces radiales qui entraînent une augmentation du chargement maximal des corps roulants d’un facteur 3,8 par rapport à l’état de référence. La force latérale extérieure est donc l’effort qui prédomine sur le chargement des paliers de boîtes essieux.

L’influence des couples moteurs appliqués sur les réducteurs a été étudiée sur toutes les parties du bogie. Ces couples sont des efforts internes qui s’appliquent au niveau des boucles hyperstatiques globales réducteurs-essieux-châssis. Le résultat est une force motrice appliquée par les rails sur les essieux qui se transmet à travers tout le mécanisme jusqu’au centre du bogie ou elle est reprise par la caisse du train (représentée par un appui dans le modèle). Environ 25 % de la force motrice est transmise des essieux au châssis par les réducteurs. Les 75 % restant sont transmis par les boîtes d’essieux. De plus, le châssis est soumis à un couple qui le fait se « cabrer ».

Le bogie présente une symétrie axiale et les deux réducteurs ne la respectent pas lorsqu’ils fonctionnent pour faire avancer le bogie dans le même sens. Par conséquent, dans les deux réducteurs, les directions de transmission des efforts de contact entre les engrenages sont différentes. Si les arbres moteurs et principaux sont soumis à des efforts du même ordre, l’arbre intermédiaire subit en revanche une force radiale 2,5 fois plus élevée dans le réducteur arrière que dans le réducteur avant. Du fait que les engrenages sont hélicoïdaux, les liaisons pivots principales et moteurs subissent des forces axiales, tandis que sur les liaisons intermédiaires, ces forces axiales s’annulent.


- 164 -

Par rapport à l’état de référence, les liaisons pivot de boîtes d’essieux subissent des forces radiales dirigées vers l’avant liées à la transmission de la force motrice et des variations des forces verticales. L’augmentation du chargement maximal des corps roulants atteint 41 % par rapport à l’état de référence.

Enfin, l’influence des déformations de l’environnement des roulements a été étudié. En effet, les roulements sont en eux-mêmes des systèmes hyperstatiques car les efforts sont transmis simultanément par plusieurs corps roulants. La proportion de l’effort total reprise par chaque corps roulant dépend des écrasements des zones de contact avec les bagues mais aussi des déformations des bagues elles-mêmes (qui sont solidaires de l’environnement). Les chargements des roulements du bogie ont été comparés aux chargements de roulements identiques dans des liaisons pivots dont l’environnement est rigide.

Pour tout les types de roulements du bogie, il apparaît que les formes des chargements sont similaires. Cependant, dans l’environnement souple du bogie, ces formes sont moins régulières. Il est difficile de quantifier la différence de chargement dans la mesure où les zones du roulements les plus affectées par les déformations des bagues ne sont pas nécessairement les plus chargées. Les différences constatées du chargement maximal des corps roulants atteignent 25 %.

Une autre manière d’évaluer l’influence de l’environnement est de vérifier la corrélation entre les résultats de la simulation globale et ceux des relations analytiques approchées. Il apparaît alors que les roulements principaux des réducteurs sont beaucoup plus influencés que les autres par l’environnement. Dans tous les cas, le recourt à la simulation globale est indispensable pour déterminer précisément le chargement des roulements.

- 165 -

CONCLUSION GENERALE

La méthode globale statique a été appliquée à un bogie moteur dans le domaine de la mécanique ferroviaire. Il est apparu dans cette étude que le bogie de train est un mécanisme complexe. Son architecture et ses caractéristiques rendent indispensable l’utilisation de la méthode globale développée au Laboratoire et dans le cadre de la thèse. Notons en particulier les raisons suivantes :

• le mécanisme est hyperstatique à plusieurs échelles (suspension à ressorts, montage des paliers à roulements et nombreuses boucles dans la structure générale),

• les ressorts de suspension subissent de grandes modifications de géométrie à cause de leurs souplesse. De plus, leur comportement non linéaire est associé à des pré-charges,

• le nombre de constituants élevé justifie l’utilisation de technique de sous-structuration,

• de nombreux d’éléments de liaison à comportement non linéaire sont présents (roulements, zones de contact avec jeux et engrenages).

Des modèles éléments finis des composants de structure du mécanisme ont été créés en utilisant les techniques de maillage automatique d’un logiciel de calcul industriel. Les éléments de liaison ont été modélisés par des éléments non linéaires spécifiques. Après condensation des éléments linéaires de structure, un modèle numérique global unique est obtenu par assemblage.

Les ressorts du bogie ont fait l’objet d’une étude spécifique car leur comportement est fortement non linéaire à cause des grandes déformations associées à la pré-charge et des discontinuités de comportement dues aux contacts avec jeux.

La validité des modèles développés a été discutée. Elle repose sur des paramètres de modélisation. De plus, les paramètres géométriques qui influencent le comportement ont été identifiés et étudiés.

Pour les paramètres géométriques, notons en particulier les points suivants :

• il n’est pas possible de prévoir l’effort de chasse d’un ressort à partir des seules spécifications techniques telles que le nombre de spires utiles, la hauteur à vide, le diamètre moyen et le diamètre du fil,

• le comportement d’un ressort est lié de manière étroite à la géométrie de son enroulement hélicoïdal et à l’étendue de ces faces d’appui,

Ainsi, sur un ensemble de ressorts fabriqués dans les mêmes conditions et obéissant aux mêmes spécifications, une grande disparité de géométrie est généralement observée.

Les paramètres ayant une influence sur le comportement des ressorts sont :

• le jeu initial entre spires,

• l’étendue des faces d’appui qui a un effet indirect sur le jeu initial entre spires,

• la position relative de la face du haut par rapport à celle du bas qui conditionne l’amplitude et la direction de l’effort de chasse.

Conclusion générale

- 166 -

En résumé, les irrégularités dans la géométrie de l’enroulement hélicoïdal se traduisent par des irrégularités de l’effort de chasse. Notons que le comportement du ressort se stabilise lorsque les contacts entre spires sont pleinement établis. Il est donc préférable d’avoir un ressort le plus régulier possible avec des faces d’appui les plus grandes possibles.

Les paramètres de modélisation concernent le mécanisme par lequel, dans le bogie, l’effort de chasse est repris aux interfaces. Des hypothèses ont été explorées :

• frottement sur les extrémités,

• contacts ponctuels avec les éléments de maintient (sellette),

• combinaison des deux phénomènes.

La comparaison des différents modèles indique que, quelle que soit la manière de reprendre l’effort latéral, le comportement prédit reste à l’intérieur de limites raisonnables tant que le jeu vertical sur les faces d’appui est modélisé de manière réaliste.

Une série de simulations numériques a été effectuée sur tous les types de liaisons pivot du bogie dans un environnement infiniment rigide. Le but était de quantifier les torseurs d’efforts repris par les paliers. Le modèle établi postule que les composantes du torseur d’efforts appliqué sur la liaison se répartissent entre les paliers dans des proportions variables, définies par des coefficients de répartition. En plus de ces composantes transmises, des composantes internes induites apparaissent. Elles s’appliquent de manière réciproque sur les deux paliers. Des relations analytiques approchées sont proposées pour quantifier ces efforts internes induits.

Le mécanisme de chargement des paliers dans les liaisons pivot est élucidé et quantifié. Il sert d’outil pour l’analyse du bogie.

Un état de référence a été défini pour l’étude du bogie. Il est conçu comme un état standard idéal qui minimise les perturbations apportées par les conditions de fonctionnement. Par la suite, des études ont été conduites pour évaluer l’influence :

• de l’effort de chasse,

• d'une force latérale,

• des couples moteurs.

Dans la pratique, les ressorts du bogie sont libres de tourner, ce qui a une influence sur les directions des efforts de chasse. Dans notre étude, deux orientations extrêmes ont été comparées : les ressorts ont été disposés afin que les efforts de chasse théoriques soient dirigés a) vers l’intérieur des boîtes, b) latéralement et dans le même sens.

La perturbation introduite ainsi concerne les efforts internes à la boucle locale incluant la boîte d’essieux, l’articulation élastique, les ressorts et le châssis. Etant donnée la souplesse présente dans cette boucle, les perturbations provoquent des déformations importantes qui se répercutent sur les boucles hyperstatiques globales du mécanisme.

Les liaisons pivot de boîtes d’essieux en font partie et subissent des couples supplémentaires. A une échelle plus locale, les paliers subissent des forces radiales qui font varier le chargement maximal des corps roulants de 40 % par rapport à l’état de référence.


- 167 -

Pour l’influence de la force latérale appliquée à l’extérieur des boucles hyperstatiques les plus globales, nous avons observé une répercussion directe sur toutes les boucles globales et locales, à l’exception de celles incluant les réducteurs.

La force latérale se répartit de manière égale sur les quatre boîtes d’essieux par l’intermédiaire des articulations élastiques. En conséquence, des couples et des forces radiales sont générés sur les liaisons pivot de ces boîtes. Nous avons noté une augmentation du chargement maximal des corps roulants d’un facteur 3,8 par rapport à l’état de référence. La force latérale extérieure est donc le facteur dont l’influence prédomine sur le chargement des paliers des boîtes d’essieux.

L’influence des couples moteurs, qui s’appliquent au niveau des boucles hyperstatiques globales « réducteurs-essieux-châssis » a été étudiée pour toutes les parties du bogie.

Ces couples moteurs génèrent une force motrice appliquée par les rails sur les essieux qui se transmet à travers tout le mécanisme jusqu’au centre du bogie où elle est reprise par la caisse du train. Environ 25 % de la force motrice est transmise des essieux au châssis par les réducteurs. Les 75 % restants sont transmis par les boîtes d’essieux.

Le bogie présente une symétrie axiale et les deux réducteurs ne la respectent pas lorsqu’ils fonctionnent pour faire avancer le bogie. Les directions de transmission des efforts de contact entre les engrenages sont différentes. Si les arbres moteurs et principaux sont soumis à des efforts du même ordre, l’arbre intermédiaire subit en revanche une force radiale 2,5 fois plus élevée dans le réducteur arrière que dans le réducteur avant. Du fait que les engrenages sont hélicoïdaux, les liaisons pivots principales et moteurs subissent des forces axiales tandis que, sur les liaisons intermédiaires, ces forces axiales s’annulent.

Par rapport à l’état de référence, les liaisons pivot de boîtes d’essieux subissent des forces radiales, dirigées vers l’avant, liées à la transmission de la force motrice et des variations des forces verticales. L’augmentation du chargement maximal des corps roulants atteint 41 % par rapport à l’état de référence.

Enfin, l’influence des déformations de l’environnement des roulements a été étudié. Les proportions de l’effort total repris par chaque corps roulant dépendent des déformations des zones de contact avec les bagues, mais aussi des déformations des bagues elles-mêmes et de l’environnement. Les chargements des roulements du bogie ont été comparés aux chargements de roulements identiques dans un environnement rigide. Dans l’environnement souple du bogie, les distribution de charge sur les corps roulants ont des formes moins régulières. Les différences constatées du chargement maximal des corps roulants atteignent 25 %. Il apparaît que les roulements principaux des réducteurs sont beaucoup plus influencés que les autres par l’environnement. Dans tous les cas, le recours à la simulation globale est indispensable pour déterminer précisément les chargements des roulements.

Cette étude s’inscrit dans la continuité des travaux de modélisation réalisés au Laboratoire depuis une quinzaine d’années. La nouveauté par rapport aux travaux précédents consiste tout d’abord en un changement d’échelle : les mécanismes précédemment étudiés consistaient généralement en une chaîne cinématique (arbres, roulements, engrenages) montée sur un carter déformable unique. La méthode est maintenant applicable à des mécanismes constitués de plusieurs dizaines d’éléments de structure. Ce changement a nécessité une adaptation des codes de calcul existants et leur intégration dans des outils modernes de conception assistée par ordinateur. Le deuxième changement a consisté en une généralisation de l’approche à des systèmes hyperstatiques, au niveau local dans les


- 168 -

montages de roulements par exemple, comme au niveau global où des pièces montées en boucles doivent être pré-chargées pour respecter les conditions de montage. Une approche a été développée pour prendre en compte la pré-charge d’éléments de structures très déformables. L’ensemble de ce travail permet de simuler le comportement des mécanismes. L’objet de cette étude était de définir une méthode d’analyse globale statique permettant de simuler les mécanismes de transmission de puissance hyperstatiques pré-chargés.

Dans le futur, l'approche pourrait être complétée en faisant évoluer les modèles de comportement d’éléments spécifiques tels que les butées élastiques ou d’autres types de paliers. La prise en compte des jeux pourrait également être affinée. En effet, l'application a montré la grande influence de ce paramètre.

- 169 -

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES

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[11] CHOI, I. S., RIGAL, J. F. & PLAY, D. Housing effects on bearing load distributions of power transmission gearboxes. In : Proceedings of the 3rd world congress on gearing and power transmission “CMET'92”. Paris, 12-13 Octobre, 1992, p. 339-350.

[12] CHOI, I. S. Simulation des mécanismes complexes en C.M.A.O, étude des non linéarités de comportement. Application aux boîtes de transmission de puissance d'hélicoptères. Thèse de doctorat : Institut National des Sciences Appliquées de Lyon, 1993, N° 93 ISAL 0034, 224 p.

[13] HARRIS, T. A. Rolling bearing analysis. 2nde edition, New York : John Wiley and Sons, 1984, 565 p.

[14] HARRIS, T. A. The effect of misalignment on the fatigue life of a cylindrical roller bearing having crowned roller members. Journal of Lubrification Technology, April 1969, p. 294-300

[15] HOUPERT, L. Prediction of bearing, gear and housing performances. Rolling Bearing Practice Today seminar, I. Mech. E. London, February 2, 1995, 30 p.

[16] IMBERT, J. F. Analyse des structures par éléments finis. 3ème édition, Toulouse : Cepadues Editions, 1991, 506 p.

[17] IMBERT, J. F. La dynamique des structures en contexte industriel : Techniques d'analyses. Toulouse : Intespace, Edition 1, mars 1994, 253 p.

[18] IMBERT, J. F. Méthodologies et outils d'intégration calculs / essais en dynamique des structures. 2ème Congrès International : Essais et mesures en développement automobile : méthodologies et moyens, Marne la Vallée, 5-6 avril 1995, 13 p.

[19] JONES, A. B., Mc GREW, J. M. Rotor bearings dynamic technology design Guide : Part II : Ball bearings. Wright Patterson; Ohio, USA : Air Force Aero Propulsion Laboratory, Feb 1978, 102 p. AFAPL-TR-78-6.

[20] JONES, A. B., Mc GREW, J. M. Rotor bearings dynamic technology design Guide : Part III : Tapered roller bearings. Wright Patterson; Ohio, USA : Air Force Aero Propulsion Laboratory, Feb 1979, 80 p. AFAPL-TR-78-6.


- 171 -

[21] JONES, A. B., Mc GREW, J. M. Rotor bearings dynamic technology design Guide : Part IV, Cylindrical roller bearing. Wright Patterson; Ohio, USA : Air Force Aero Propulsion Laboratory, Dec 1979, 61 p. AFAPL-TR-78-6.

[22] JONES, A. B., HARRIS, T. A. Analysis of a rolling element idler gear bearing having a deformable outer-race structure. Journal of Basic Engineering, June 1963, Vol. 6, p. 273-278

[23] LIM. T. C., SINGH, R. Vibration transmission through rolling element bearings. Part I : Bearing stiffness formulation. Journal of Sound and Vibrations, 1990, Vol. 139, n° 2, p. 179-199.

[24] LIM. T. C., SINGH, R. Vibration transmission through rolling element bearings. Part II : System studies. Journal of Sound and Vibrations, 1990, Vol. 139, n° 2, p. 201-225.

[25] LIM. T. C., SINGH, R. Vibration transmission through rolling element bearings. Part III : Gear rotor system studies. Journal of Sound and Vibrations, 1990, Vol. 139, n° 2, p. 179-199.

[26] LIU, J. Y. The effect of misalignment on the life of high speed cylindrical roller bearings. Journal of lubrification technology, 1971, Vol. 93, n°1, p. 60-68

[27] LIU, J. Y., CHIU, Y. P. Analysis of a thin elastic ring under arbitrary loading. Journal of engineering for industry, august 1974, Vol. 96, n°3, p. 870-876

[28] De MUL, J. M., VREE, J. M., MASS, D. A. Equilibrium and associated load distribution in ball and roller bearing in five degrees of freedom while neglecting friction, Part I, Journal of Tribology, January 1989, Vol. 111, p. 142-148

[29] De MUL, J. M., VREE, J. M., MASS, D. A. Equilibrium and associated load distribution in ball and roller bearing in five degrees of freedom while neglecting friction, Part II, Journal of Tribology, January 1989, Vol 111, p. 149-155

[30] ODEN, J. T. Finite Elements of Nonlinear continua. New-York : Mc Graw-Hill, 1972, 432 p.

[31] PALMGREN, A. Les roulements, descriptions, théorie, applications, Paris : SKF, 1967, 120 p.

[32] PISSANETZKY, S. Sparse Matrix Technology, London : Academic Press, 1984. 315 p.


- 172 -

[33] RIGAL, J. F. Analyse et modélisation des systèmes mécaniques en conception assistée par ordinateur. Application à la simulation du comportement statique des boîtes de transmission de puissance d'hélicoptères. Thèse de doctorat : Institut National des Sciences Appliquées de Lyon, 1989, N° 89 ISAL 0095, 243 p.

[34] De VAUJANY, J.P. Comportement d'engrenage cylindrique extérieur : effets de jante et voile. Thèse de doctorat : Institut National des Sciences Appliquées de Lyon, 1996, N° 96 ISAL 0128, 179 p.

- 173 -

ANNEXE A :

PRINCIPALES METHODES DE CALCUL

Le but de cette annexe est d'indiquer les principes des méthodes numériques utilisées lors des études statiques. Soit les algorithmes des méthodes :

• de Newton-Raphson,

• de condensation statique.

A1. METHODE DE NEWTON-RAPHSON

Le but de la méthode de Newton-Raphson (Bathe [2]) est de déterminer de manière itérative la solution { }*x du problème non linéaire :

{ }( ){ } { }( )[ ]{ } { } { }0FxxKxR ext*** =−= (A.1)

où :

• { }*x est le vecteur des déplacements généralisés solution du problème,

• { }( )[ ]xK est la matrice de rigidité du système,

• { }extF est le vecteur des efforts extérieurs appliqués au système,

• { }( ){ }xR est le vecteur des efforts résiduels.

Le principe général de la méthode de Newton-Raphson est indiqué dans l'organigramme suivant :

Divergence

Estimation initiale de

{x°}

Algorithme de résolution

amélioré

Convergence Solution {x*} Convergence ?

Non

oui,

R < Rlim

oui, R > Rlim

Annexe A : Principales méthodes de calcul

- 174 -

L'algorithme de résolution amélioré consiste à déterminer pour chaque itération un terme correctif { }ix∆ tel que :

( )[ ]{ } ( ){ }1ii1it xRxxK −− =∆ (A.2)

Afin d'améliorer la convergence, un coefficient de relaxation ω est introduit :

{ } { } { }i1ii xxx ∆+= − ω (A.3)

L'organigramme de l'algorithme de résolution amélioré est donné ci-dessous.

Calcul du vecteur résidu

{ }( ){ } { }( )[ ]{ } { }extiii FxxKxR −= −−− 111 .

i = i + 1

Convergence ? Non

Oui

Itération i

1ix − connu

Calcul de la matrice de raideur tangente{ }( )[ ] { }( ){ }[ ]xxRxK iit ,11 −− =

Résolution

{ }( )[ ]{ } ( ){ }11 . −− =∆ iiit xRxxK

Calcul de { }ix :

{ } { } { }iii xxx ∆+= .1 ω

Annexe A : Principales méthodes de calcul

- 175 -

A2. METHODE DE CONDENSATION STATIQUE

La méthode de condensation ou de sous-structuration statique (Imbert [16]) est une technique numérique qui permet de diminuer le nombre d'inconnues des modèles éléments finis. Les degrés de liberté (DDL) du modèle initial sont séparés en degrés de liberté de jonction (ou maîtres) et degrés de liberté internes (ou esclaves) qui vont être éliminés. Le système d'équation régissant l'équilibre statique du modèle s'écrit alors :

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

c

i

c

i

ccci

icii

FF

dd

KKKK

(A.4)

La prise en compte des conditions d'équilibre au niveau des degrés de liberté internes, qui ne sont pas susceptibles d'être connectés à d'autres DDL, permet d'écrire une relation de dépendance linéaire entre les déplacements internes et externes :

{ } [ ] [ ]{ } [ ] { }i1

iicic1

iii FKxKKd −− +−= (A.5)

Cette relation permet d'exprimer l'énergie potentielle totale du modèle en fonction des seuls déplacements aux DDL de jonction. Le système (A.4) est alors équivalent au système condensé suivant :

[ ]{ } [ ]cccc FxK = (A.6)

avec :

[ ] [ ][ ] [ ]ic1

iiicT

cc KKKK −=

{ } { } [ ][ ] { }i1

iiicT

cc FKKFF −−= (A.7)

- 176 -

ANNEXE B :

PRE-CHARGE D'UNE PIECE MECANIQUE MODELISEE PAR

ELEMENTS FINIS

Dans un mécanisme dont les constituants sont connectés les uns aux autres en formant une chaîne fermée, il arrive qu'il soit impossible de fermer la chaîne en mettant bout à bout les constituants dans leur état « à vide ». Il devient alors nécessaire d'introduire au moins un des constituants dans un état déformé qui permette de refermer la boucle. A l'équilibre la pré-charge se répartira dans toute la boucle de sorte que le choix du constituant à pré-charger n'est pas unique.

Les pièces mécaniques considérées sont modélisées par éléments finis et sont supposées respecter les hypothèses suivantes :

• petites déformations,

• élastique, linéaire et isotrope.

Si le solide ne subit que des petits déplacements, ses changements de géométrie sous charge sont négligeables et la matrice de rigidité reste constante. Dans le cas général, le changement de géométrie modifie la rigidité et les points d'application des efforts extérieurs.

Le vecteur des déplacements nodaux { }u est lié au vecteur des efforts nodaux extérieurs à l'élément { }F (somme des efforts extérieurs au mécanisme et des efforts appliqués par les autres composants du mécanisme) par la relation :

{ }( )[ ]{ } { }FuuK = (B.1)

où { }( )[ ]uK est la matrice de rigidité géométriquement non linéaire de la pièce mécanique soumise à un champs de déplacement « à vide ».

Lorsque l'équilibre statique du mécanisme est atteint, le vecteur des déplacements nodaux { }eu à l'équilibre est lié au vecteur des efforts nodaux extérieurs à l'élément { }eF par la relation :

{ }( )[ ]{ } { }eee FuuK = (B.2)

Annexe B : Pré-charge d'une pièce mécanique modélisée par éléments finis

- 177 -

La matrice de rigidité à l'équilibre { }( )[ ]euK ne peut pas être évaluée à priori car { }eu est l'inconnue du problème. Cependant, l'utilisation d'un logiciel éléments finis linéaire permet d'évaluer cette matrice pour un déplacement donné en effectuant un remaillage sur la position déformée en question.

Pré-charger l'élément de structure consiste à déplacer les nœuds de son maillage éléments fini d'une quantité { }1u permettant de respecter les contraintes dimensionnelles de montage dans le mécanisme. Ceci revient à opérer un changement de l'état de référence pour la mesure des déplacements nodaux. Ainsi, le déplacement à l'équilibre depuis l'état « à vide » s'écrit :

{ } { } { }e1e uuu ~+= (B.3)

où { }ed~ est le déplacement depuis l'état de référence 1.

La relation (B.2) devient alors :

{ }( )[ ]{ } { } { }( )[ ]{ }1eeee uuKFu~uK −= (B.4)

Si le déplacement à l'équilibre { }eu~ est proche du déplacement { }1u le comportement peut être linéarisé au voisinage de cette position et la relation (B.4) est remplacée par :

[ ]{ } { } [ ]{ }11ee1 uKFu~K −= (B.5)

où [ ] { }( )[ ]11 uKK = est la matrice de rigidité obtenue à partir du maillage dont les nœuds ont été déplacés de { }1u depuis la position « à vide ».

Le comportement de l'élément de structure peut donc être modélisé correctement en utilisant une matrice de rigidité [ ]1K obtenue à partir d'un maillage dont les nœuds ont été déplacés d'une quantité { }1u à condition d'appliquer un effort extérieur supplémentaire [ ]{ }11 uK− .

- 178 -

ANNEXE C :

PLANS DU REDUCTEUR

Annexe C : Plans du réducteur

- 179 -

ENSEMBLE REDUCTEUR

Annexe C : Plans du réducteur

- 180 -

ENSEMBLE REDUCTEUR

Essieu

Arbre intermédiaire

Arbre moteur

- 181 -

ANNEXE D :

ETUDES COMPLEMENTAIRES SUR LES RESSORTS

D1. EVOLUTION DES JEUX ENTRE SPIRES DU RESSORT N°3

Dans le paragraphe 2.3 du chapitre 3, une simulation du ressort n°3 a été faite en utilisant deux méthodes pour reprendre d’effort de chasse et deux finesses de discrétisation. L’état des jeux entre spires est donné pour les quatre modèles.

Partie supérieure du ressort


0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

10 20 30 40 50 60 70

11 12 13 14

Annexe D : Etudes complémentaires sur les ressorts

- 182 -


0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

10 20 30 40 50 60 70

11

12

13

14

Jeux entre spires (haut du ressort) - Modèle B1

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

10 20 30 40 50 60 70

11

12

13

14

Jeux entre spires (haut du ressort) - Modèle B2

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

10 20 30 40 50 60 70

11 12 13 14


- 183 -

Les prédictions des quatre modèles sont légèrement différentes :

• le jeu 11 se ferme et se ré-ouvre pour un déplacement de 30 mm avec les modèles A1 et A2, alors qu’avec les modèles B1 et B2, il se ferme pour un déplacement de 25 mm et se ré-ouvre à 33 mm,

• le jeu 13 se ferme pour un déplacement de 55, 60 ou 68 mm selon le modèle.

Les tendances sont les mêmes et les faibles différences n’ont probablement pas d’impact notable car les jeux 11 et 13 ne reprennent visiblement que peu d’efforts lorsqu’ils sont fermés.

Partie inférieure du ressort

Jeux entre spires (bas du ressort) – Modèle A1

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

10 20 30 40 50 60 70

21 22 23 24


0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

10 20 30 40 50 60 70

21

22

23

24


- 184 -

Jeux entre spires (bas du ressort) - Modèle B1

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

10 20 30 40 50 60 70

21

22

23

24

Jeux entre spires (bas du ressort) - Modèle B2

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

10 20 30 40 50 60 70

21222324

Les courbes obtenues avec les quatre modèles sont légèrement différentes, mais les jeux se ferment pour les mêmes valeurs de déplacements de sorte que les différences n’ont pas d’impact notable sur la prédiction des efforts aux interfaces.


D2. VALIDATION DE LA MODELISATION DU CONTACT ENTRE SPIRES DU RESSORT N°3

Le comportement du ressort n°3 est lié de très près à l’évolution des zones de contact linéiques entre spires. Dans le paragraphe 2.3 du chapitre 3, ces zones de contact ont été discrétisées chacune par quatre éléments de contact régulièrement répartis. Les éléments 11 et 21 étant placés sur les extrémités meulées du ressort, la simulation de la compression du ressort a montré que :

• sur l’extrémité supérieure, seuls les jeux 11 et 12 se ferment,

• sur l’extrémité inférieure, seuls les jeux 23 et 24 se ferment.

Les fermetures successives de ces jeux provoquant des variations brutales de l’effort chasse, il était important de vérifier qu’elles n’étaient pas le fruit d’un phénomène purement numérique lié à une discrétisation trop grossière. Un modèle affiné a donc été développé en conséquence. Six éléments de contact discrétisent des zones potentielles de contact réduites qui englobent les emplacements des jeux qui se fermaient dans le modèle précédent.

Les positions et les numéros des éléments de contact du modèle affiné sont indiqués sur la figure D.1.

Fig

L t

1 1 3 14 165

es 6 éléments de contact entre spires du hau

s

6 2

24 23 212

Les 6 éléments de contact entre spires du ba

ure D.1

1

: Num

2

érota

1

- 185

tion d

-

es élémen

1

2
5
2

ts de contact


- 186 -


0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

10 20 30 40 50 60 70 (mm) z∆

Jeu (mm)

11 12 13 14 15 16

Le jeu 11 diminue sans se fermer jusqu’à un déplacement de 30 mm, puis augmente par la suite. Les jeux 12, 13 et 14 se ferment successivement pour des déplacements de 30, 40 et 60 mm. Les jeux 15 et 16 diminuent mais ne se ferment jamais. Ces résultats sont conformes à ceux obtenus avec le modèle précédent et les éléments de contact sont bien positionnés sur la zone potentielle de contact supérieure.


0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

10 20 30 40 50 60 70 (mm) z∆

Jeu (mm)

212223242526

Le jeu 21 diminue sans se fermer jusqu’à un déplacement de 25 mm puis augmente par la suite. Le jeu 22 se ferme à 30 mm pour se rouvrir à 55 mm. Les jeux n° 23 et 24 se ferment successivement pour des déplacements de 40 et 55 mm. Les jeux 25 et 26 diminuent mais ne se ferment jamais. Ces résultats sont conformes à ceux obtenus avec le modèle précédent et les éléments de contact sont bien positionnés sur la zone potentielle de contact inférieure.

L’analyse des jeux confirme que les contacts entre spires sont linéiques et que leurs configurations changent continûment avec le déplacement vertical. Cette modélisation est à même de rendre compte de ce changement progressif, contrairement à la précédente.


- 187 -

Raideur verticale

680,00

690,00

700,00

710,00

720,00

730,00

740,00

750,00

760,00

0 10 20 30 40 50 60 70

Modèle A1 - 4 contactModèle A1 - 6 contact

Modèle B1 - 4 contactModèle B1 - 6 contact

(mm) z∆

(N/mm) Vk


0

500

1000

1500

2000

2500

0 10 20 30 40 50 60 70

Modèle A1 - 4 contact Modèle A1 - 6 contact Modèle B1 - 4 contact Modèle B1 - 6 contact

(mm) z∆

(N) CF


- 188 -


0

50

100

150

200

250

0 10 20 30 40 50 60 70

Modèle A1 - 4 contactModèle A1 - 6 contactModèle B1 - 4 contactModèle B1 - 6 contact

(mm) z∆

)( C °θ

Les résultats concernant la raideur et l’effort de chasse indique que le nombre d’éléments de contact entre spires influence moins les résultats que la méthode de reprise de l’effort de chasse utilisée (modèle A ou B). Quel que soit le modèle, les résultats sont proches et suivent les même tendances.

Le modèle utilisé au paragraphe 2.3 du chapitre 3, avec quatre éléments de contact par zone de contact entre spires, est donc validé car il donne des prédictions correctes sur les efforts aux interfaces même s’il donne moins d’informations sur l’état des jeux entre spires que le modèle affiné.

- 189 -

ANNEXE E :

CARACTERISTIQUES DES LIAISONS PIVOT

Cette annexe résume les principales caractéristiques dimensionnelles des liaisons pivot étudiées dans les chapitres 4 et 5 :

Pour toutes les liaisons pivot (par roulements à rouleaux coniques ou cylindriques) :

• Dint : diamètre de l’arbre,

• Dext : diamètre extérieur,

• LR : largeur des roulements,

• LP : largeur totale de la liaison,

• N : nombre de corps roulants par palier.

Pour les liaisons pivot par roulements à rouleaux coniques :

• k : angle d'inclinaison des rouleaux,

• ε : demi-angle au sommet des rouleaux.

LR LR LP

Dint Dext

ε

k

Liaison Dint (mm) Dext (mm) LR (mm) LP (mm) k ε N

Boîte d'essieux 150 250 72 160 10,95° 0,95° 23

Moteur 100 180 49 214 13,56° 2° 19

Intermédiaire 75 160 55 194 13

Principale 225 295 46 207 17,45° 1,02° 43

- 190 -

- 190 -

ANNEXE F :

RESULTATS DE LA SIMULATION DU BOGIE

F1. ETAT DE REFERENCE DU BOGIE

La configuration du bogie pour cette simulation est décrite dans la partie 3 du chapitre 4. Les ressorts sont orientés de manière à ce que leurs efforts de chasse soient dirigés vers l’intérieur des boîtes d’essieux. Les couples moteurs sont nuls. La force appliquée sur le châssis est :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

NFchâssis

21873700

r

Le torseur d’efforts, transmis par une liaison pivot donnée, appliqué par l’essieu sur sa boîte d’essieux s’écrit :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

ZL

YL

XL

boîteessieu

FFF

F /

r, ( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

ZL

XL

boîteessieu

C0

CPC /

r

Les composantes des torseurs des quatre liaisons pivot du bogie sont :





( )NFYL 574,3 -568,5

( )NFZL 54658,8 54708,1

( )mNCXL . -171,1 198,1

( )mNCZL . -111,1 96,1

Annexe F : Résultats de la simulation du bogie

- 191 -





( )NFYL 569,0 -573,8

( )NFZL 54708,5 54658,3

( )mNCXL . -198,1 171,2

( )mNCZL . 96,1 -111,1

Pour chaque liaison pivot, les résultats suivants sont donnés :

• diagrammes de chargement des roulements,

• efforts transmis et internes appliqués sur les roulements,

• effort simulés.

La méthode d’analyse est définie au paragraphe 3.3 du chapitre 4.

F1.1 Liaison pivot de boîte avant-gauche


ROULEMENT n°11

1369

2542

3716

4889

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0

1364

2533

3702

4871

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°12

Figure F.1 : Forces de contact (en N) entre pistes de bagues et corps roulants

x

z


- 192 -

Coefficient de répartition axial estimé : 50FY ,=λ .

Forces axiales internes YiF calculées sur des cas de chargement simples :


2XLYi ,, =+= ,


2XLYi ,, =+= .

Force axiale interne calculée par une simulation sur une liaison pivot isolée en environnement rigide : N7320FYi = .

Composantes transmises Composantes internes induites )(, NF50 XL -2,4 )(, NC048F ZLXi = -893,2

)(NFYLFYλ 287,2

( ) )(NF1 YLFYλ− 287,2 )(NFYi 7320,0

)(, NF50 ZL 27329,4 )(, NC048F XLZi −= 1375,6

).(, mNC50 XL -85,6 ).(, mNF02900C ZLXi −= -1585,1

).(, mNC50 ZL -55,6 ).(, mNF02900C XLZi = -0,1



( )NFX 934,0 890,8 4,6 % -938,8 -895,6 4,6 %

( )NFY -7101,0 -7032,9 1,0 % 7675,3 7607,2 0,9 %

( )NFZ 26671,6 25953,8 2,7 % 27987,2 28705,0 2,6 %

( )mNCX . 1521,8 1499,6 1,5 % -1693,0 -1670,7 1,3 %

( )mNCZ . -56,5 -55,4 1,9 % -54,6 -55,7 2,0 %


- 193 -

F1.2 Liaison pivot de boîte avant-droite

1001

3003

5005

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°13

1324

2458

3593

4728

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°14





2XLYi ,, =+= ,


2XLYi ,, =+= .



)(5,0 NFXL 4,1 )(, NC048F ZLXi = 772,6

)(NFYLFYλ -284,3

( ) )(NF1 YLFYλ− -284,3 )(NFYi 7345,0

)(, NF50 ZL 27354,1 )(, NC048F XLZi −= -1592,7

).(, mNC50 XL 99,1 ).(, mNF02900C ZLXi −= -1586,5

).(, mNC50 ZL 48,1 ).(, mNF02900C XLZi = 0,2

x

z


- 194 -



( )NFX -754,8 -768,5 1,8 % 762,9 776,7 1,8 %

( )NFY -7667,1 -7629,3 0,5 % 7098,7 7060,8 0,5 %

( )NFZ 28312,6 28946,8 2,2 % 26395,5 25761,3 2,4 %

( )mNCX . 1706,8 1685,6 1,2 % -1508,6 -1487,5 1,4 %

( )mNCZ . 46,8 47,8 2,2 % 49,3 48,3 2,1 %

F1.3 Liaison pivot de boîte arrière-gauche

1324

2458

3593

4728

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°21

1001

3003

5005

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°22




• forces radiales seules : NFF1320F 2ZL

2XLYi 7221,5, =+= ,

• couples seuls : NCC132F 2ZL

2XLYi 469,0, =+= .


x

z


- 195 -


)(5,0 NFXL -4,1 )(, NC048F ZLXi = 772,6

)(NFYLFYλ 284,5

( ) )(NF1 YLFYλ− 284,5 )(NFYi 7345,0

)(, NF50 ZL 27354,3 )(, NC048F XLZi −= 1592,7

).(, mNC50 XL -99,1 ).(, mNF02900C ZLXi −= -1586,5

).(, mNC50 ZL 48,1 ).(, mNF02900C XLZi = -0,2



( )NFX -762,8 -776,7 1,8 % 754,6 768,5 1,8 %

( )NFY -7098,6 -7060,5 0,5 % 7667,5 7629,5 0,5 %

( )NFZ 26395,7 25761,5 2,4 % 28312,9 28947,0 2,2 %

( )mNCX . 1508,7 1487,5 1,4 % -1706,8 -1685,6 1,2 %

F1.4 Liaison pivot de boîte arrière -droite

1364

2533

3702

4871

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°23

1369

2542

3716

4889

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°24


x

z


- 196 -




2XLYi ,, =+= ,


2XLYi ,, =+= .


Composantes transmises Composantes internes induites )(5,0 NFXL 2,4 )(, NC048F ZLXi = -893,2

)(NFYLFYλ -286,9

( ) )(NF1 YLFYλ− -286,9 )(NFYi 7320,0

)(, NF50 ZL 27329,2 )(, NC048F XLZi −= -1376,4

).(, mNC50 XL 85,6 ).(, mNF02900C ZLXi −= -1585,1

).(, mNC50 ZL -55,6 ).(, mNF02900C XLZi = 0,1



( )NFX 938,9 895,6 4,6 -934,1 -890,8 4,6

( )NFY -7675,0 -7606,9 0,9 7101,2 7033,1 1,0

( )NFZ 27986,9 28705,6 2,6 26671,4 25952,7 2,7

( )mNCX . 1693,0 1670,7 1,3 -1521,8 -1499,5 1,5

( )mNCZ . -54,6 -55,7 2,0 -56,5 -55,4 1,9


- 197 -

F2. INFLUENCE DE L’ORIENTATION DES RESSORTS SUR LE COMPORTEMENT DU BOGIE

La configuration du bogie pour cette simulation est décrite dans la partie 1 du chapitre 5. Les ressorts sont orientés de manière à ce que leurs efforts de chasse soient dirigés vers la gauche du bogie. Les couples moteurs sont nuls. La force appliquée sur le châssis est :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

NFchâssis

21873700

r


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

ZL

YL

XL

boîteessieu

FFF

F /

r, ( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

ZL

XL

boîteessieu

C0

CPC /

r






( )NFYL 594,6 -603,7

( )NFZL 53697,1 55674,1

( )mNCXL . 775,7 1173,4

( )mNCZL . -1848,6 -1672,6




(Roulements 23 et 24) ( )NFXL 1756,6 -1752,1

( )NFYL 663,7 -683,8

( )NFZL 53752,3 55617,6

( )mNCXL . 777,9 1193,4

( )mNCZL . 1898,4 1665,2


- 198 -


• Diagrammes de chargement des roulements,

• Efforts transmis et internes appliqués sur les roulements,

• Effort simulés.



2808

4913

7019

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°11

1308

2429

3551

4672

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°12


Coefficient de répartition axial estimé : 0FY =λ .



2XLYi ,, =+= ,


2XLYi ,, =+= .


x

z


- 199 -


)(, NF50 XL -864,7 )(04,8 NCF ZLXi = -14862,7

)(NFYLFYλ 0,0

( ) )(NF1 YLFYλ− 594,6 )(NFYi 8840,0

)(, NF50 ZL 26848,6 )(04,8 NCF XLZi −= -6236,6

).(, mNC50 XL 387,9 ).(, mNF02900C ZLXi −= -1557,2

).(, mNC50 ZL -924,3 ).(, mNF02900C XLZi = -50,2



( )NFX 13772,4 13998,0 1,6 % -15501,8 -15727,4 1,5 %

( )NFY -8909,9 -8840,00 0,8 % 9504,5 9434,6 0,7 %

( )NFZ 32808,7 33085,2 0,8 % 20888,5 20611,9 1,3 %

( )mNCX . 1967,2 1945,1 1,1 % -1191,5 -1169,4 1,9 %

( )mNCZ . -848,0 -874,1 3,1 % -1000,6 -974,5 2,6 %


2957

5174

7392

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°13

1216

2258

3300

4342

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°14


x

z


- 200 -




2XLYi ,, =+= ,


2XLYi ,, =+= .



)(, NF50 XL 863,1 )(, NC048F ZLXi = -13447,7

)(NFYLFYλ 0,0

( ) )(NF1 YLFYλ− -603,7 )(NFYi 9560,0

)(, NF50 ZL 27837,1 )(, NC048F XLZi −= -9434,1

).(, mNC50 XL 586,7 ).(, mNF02900C ZLXi −= -1614,5

).(, mNC50 ZL -836,3 ).(, mNF02900C XLZi = 50,1



( )NFX 14010,0 14310,8 2,1 % -12283,9 -12584,7 2,4 %

( )NFY -9568,0 -9560,0 0,1 % 8964,3 8956,3 0,1 %

( )NFZ 35420,3 37271,2 5,2 % 20253,7 18402,9 9,1 %

( )mNCX . 2211,0 2201,2 0,4 % -1037,6 -1027,8 0,9 %

( )mNCZ . -871,7 -886,4 1,7 % -800,9 -786,2 1,8 %


- 201 -


2846

4981

7115

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°21

1316

2444

3573

4701

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°22


Coefficient de répartition axial estimé : 0=FYλ .



2XLYi ,, =+= ,


2XLYi ,, =+= .



)(5,0 NFXL 878,3 )(, NC048F ZLXi = 15263,1

)(NFYLFYλ 0,0

( ) )(NF1 YLFYλ− 663,7 )(NFYi 8890,0

)(, NF50 ZL 26876,2 )(, NC048F XLZi −= -6254,3

).(, mNC50 XL 389,0 ).(, mNF02900C ZLXi −= -1558,8

).(, mNC50 ZL 949,2 ).(, mNF02900C XLZi = 50,9

x

z


- 202 -



( )NFX -14044,9 -14384,8 2,4 % 15801,5 16141,4 2,2 %

( )NFY -8899,0 -8890,0 0,1 % 9562,8 9553,7 0,1 %

( )NFZ 32689,9 33130,5 1,3 % 21062,4 20621,8 2,1 %

( )mNCX . 1966,2 1947,8 0,9 % -1188,3 -1169,9 1,6 %

( )mNCZ . 865,8 898,3 3,7 % 1032,7 1000,1 3,2 %

F2.4 Liaison pivot de boîte arrière-droite

2991

5234

7477

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°23

1186

2203

3220

4237

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°24





2XLYi ,, =+= ,


2XLYi ,, =+= .


x

z


- 203 -


)(5,0 NFXL -876,1 )(, NC048F ZLXi = 13388,2

)(NFYLFYλ 0,0

( ) )(NF1 YLFYλ− -683,8 )(NFYi 9720,0

)(, NF50 ZL 27808,8 )(, NC048F XLZi −= -9594,9

).(, mNC50 XL 596,7 ).(, mNF02900C ZLXi −= -1612,9

).(, mNC50 ZL 832,6 ).(, mNF02900C XLZi = -50,8



( )NFX -13877,3 -14264,3 2,8 % 12125,2 12512,2 3,2 %

( )NFY -9551,7 -9720,0 1,8 % 8867,9 9036,2 1,9 %

( )NFZ 35452,3 37403,7 5,5 % 20165,3 18213,9 9,7 %

( )mNCX . 2220,1 2209,6 0,5 % -1026,7 -1016,2 1,0 %

( )mNCZ . 863,9 883,4 2,3 % 801,3 781,8 2,4 %


- 204 -

F3. INFLUENCE D’UNE FORCE LATERALE APPLIQUEE SUR LE CHASSIS

La configuration du bogie pour cette simulation est décrite dans la partie 2 du chapitre 5. Les ressorts sont orientés de manière à ce que leurs efforts de chasse soient dirigés vers l’intérieur des boîtes d’essieux. Les couples moteurs sont nuls. La force appliquée sur le châssis est :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

NNFchâssis

218737100000

0r


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

ZL

YL

XL

boîteessieu

FFF

F /

r, ( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

ZL

XL

boîteessieu

C0

CPC /

r





(Roulements 13 et 14) ( )NFXL 10061,6 -10045,6

( )NFYL -23860,6 -26073,5

( )NFZL 53587,9 55772,5

( )mNCXL . 772,9 1354,4

( )mNCZL . 9976,8 10501,1





( )NFYL -24312,7 -25637,8

( )NFZL 53690,9 55677,3

( )mNCXL . 798,2 1300,1

( )mNCZL . -10159,3 -10337,1


- 205 -







1716.5

6866

12016

17165

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°11

3084

9252

15420

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°12





2XLYi ,, =+= ,


2XLYi ,, =+= .


x

z


- 206 -


)(, NF50 XL 5030,8 )(, NC048F ZLXi = 80213,5

)(NFYLFYλ -23860,6

( ) )(NF1 YLFYλ− 0,0 )(NFYi 22740,0

)(, NF50 ZL 26794,0 )(, NC048F XLZi −= -6214,1

).(, mNC50 XL 386,5 ).(, mNF02900C ZLXi −= -1554,0

).(, mNC50 ZL 4988,4 ).(, mNF02900C XLZi = 291,8



( )NFX -69975,1 -75182,7 7,4 % 80036,7 85244,3 6,5 %

( )NFY -44702,7 -46600,6 4,2 % 20842,1 22740,0 9,1 %

( )NFZ 36269,0 33008,1 9,0 % 17318,9 20579,8 18,8 %

( )mNCX . 1920,7 1940,5 1,0 % -1147,8 -1167,6 1,7 %

( )mNCZ . 4877,9 4696,6 3,7 % 5099,0 5280,2 3,6 %


1892.9

7571.6

13250

18929

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°13

3003.2

9009.6

15016

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°14


x

z


- 207 -




2XLYi ,, =+=


2XLYi ,, =+= .



)(, NF50 XL -5022,8 )(, NC048F ZLXi = 84428,8

)(NFYLFYλ -23466,2

( ) )(NF1 YLFYλ− -2607,4 )(NFYi 24600,0

)(, NF50 ZL 27886,3 )(, NC048F XLZi −= -10889,4

).(, mNC50 XL 677,2 ).(, mNF02900C ZLXi −= -1617,4

).(, mNC50 ZL 5250,6 ).(, mNF02900C XLZi = -291,3



( )NFX -84758,5 -89451,6 5,5 % 74713,0 79406,0 6,3 %

( )NFY -45588,7 -48066,2 5,4 % 19515,3 21992,7 12,7 %

( )NFZ 38625,1 38775,6 0,4 % 17147,4 16996,9 0,9 %

( )mNCX . 2387,1 2294,6 3,9 % -1032,7 -940,2 9,0 %

( )mNCZ . 5750,0 5541,9 3,6 % 4751,1 4959,2 4,4 %


- 208 -


6984.8

12223

17462

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°21

3131.8

9395.4

15659

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°22





2XLYi ,, =+= ,


2XLYi ,, =+= .



)(5,0 NFXL -5030,9 )(, NC048F ZLXi = -81680,8

)(NFYLFYλ -21881,43

( ) )(NF1 YLFYλ− -2431,3 )(NFYi 23110,0

)(, NF50 ZL 26845,5 )(, NC048F XLZi −= -6417,5

).(, mNC50 XL 399,1 ).(, mNF02900C ZLXi −= -1557,0

).(, mNC50 ZL -5079,7 ).(, mNF02900C XLZi = -291,8

x

z


- 209 -



( )NFX 71476,4 76649,9 7,2 % -81538,2 -86711,6 6,3 %

( )NFY -45583,9 -44991,4 1,3 % 21271,1 20678,7 2,8 %

( )NFZ 36073,8 33263,0 7,8 % 17617,1 20427,9 16,0 %

( )mNCX . 1950,9 1956,1 0,3 % -1152,7 -1157,9 0,5 %

( )mNCZ . -4968,5 -4787,9 3,6 % -5190,8 -5371,4 3,5 %

F3.4 Liaison pivot de boîte arrière-droite

1866.8

7467.2

13068

18668

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°23

2960.4

8881.2

14802

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°24





2XLYi ,, =+= ,


2XLYi ,, =+= .


x

z


- 210 -


)(5,0 NFXL 5030,7 )(, NC048F ZLXi = -83110,3

)(NFYLFYλ -23074,02

( ) )(NF1 YLFYλ− -2563,8 )(NFYi 24240,0

)(, NF50 ZL 27838,7 )(, NC048F XLZi −= -10452,8

).(, mNC50 XL 650,1 ).(, mNF02900C ZLXi −= -1614,6

).(, mNC50 ZL -5168,6 ).(, mNF02900C XLZi = 291,8



( )NFX 83781,0 88140,9 5,2 % -73719,7 -78079,6 5,9 %

( )NFY -44977,0 -47314,0 5,2 % 19339,2 21676,2 12,1 %

( )NFZ 37999,8 38291,5 0,8 % 17677,5 17385,8 1,6 %

( )mNCX . 2361,0 2264,7 4,1 % -1060,9 -964,6 9,1 %

( )mNCZ . -5657,8 -5460,3 3,5 % -4679,3 -4876,8 4,2 %


- 211 -

F4. INFLUENCE D’UN COUPLE MOTEUR SUR LE COMPORTEMENT DU BOGIE

La configuration du bogie pour cette simulation est décrite dans la partie 3 du chapitre 5. Les ressorts sont orientés de manière à ce que leurs efforts de chasse soient dirigés vers l’intérieur des boîtes d’essieux. Le couple pur appliqué sur chacun des deux arbres moteurs est :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

0m.N3800

0C moteurarbre

r

La torseur d’efforts appliqué sur le châssis en son centre O est :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

N21873700

Fchâssis

r, ( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

0m.N7600

0OCchâssis

r

F4.1 Torseur d’efforts transmis par les liaisons pivot de boîtes

Les composantes des torseurs des quatre liaisons pivot de boîtes d’essieux du bogie sont :




(Roulements 13 et 14) ( )NFXL 13688,1 10595,5

( )NFYL 1749,7 -258,9

( )NFZL 54293,1 65244,5

( )mNCXL . -814,6 -285,0

( )mNCZL . -43,2 290,3




(Roulements 23 et 24) ( )NFXL 11723,1 12548,4

( )NFYL -617,8 -857,1

( )NFZL 44268,1 54928,1

( )mNCXL . -649,5 -418,7

( )mNCZL . -769,8 -794,1


- 212 -

Les chargements des paliers des liaisons pivot de boîtes d’essieux sont donnés dans les quatre paragraphes qui suivent. Pour chaque liaison pivot, les résultats suivants sont donnés :






1212.3

2251.5

3290.6

4329.8

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°11

1269.3

3807.8

6346.3

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°12





2XLYi ,, =+= ,


2XLYi ,, =+= .


x

z


- 213 -


)(, NF50 XL 6844,1 )(, NC048F ZLXi = -347,3

)(NFYLFYλ 1749,70

( ) )(NF1 YLFYλ− 0,0 )(NFYi 8380,0

)(, NF50 ZL 27146,6 )(, NC048F XLZi −= 6549,4

).(, mNC50 XL -407,3 ).(, mNF02900C ZLXi −= -1574,5

).(, mNC50 ZL -21,6 ).(, mNF02900C XLZi = 397,0



( )NFX 7628,6 7191,4 5,7 % 6059,4 6496,7 7,2 %

( )NFY -6508,2 -6630,3 1,9 % 8257,9 8380,0 1,5 %

( )NFZ 21984,0 20597,2 6,3 % 32309,1 33695,9 4,3 %

( )mNCX . 1189,2 1167,2 1,8 % -2003,8 -1981,8 1,1 %

( )mNCZ . -425,7 -418,6 1,7 % 382,6 375,4 1,9 %


1057.6

3172.8

5288

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°13

2820.2

4935.3

7050.4

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°14


x

z


- 214 -




2XLYi ,, =+=


2XLYi ,, =+= .



)(, NF50 XL 5297,8 )(, NC048F ZLXi = 2334,0

)(NFYLFYλ -258,90

( ) )(NF1 YLFYλ− 0,0 )(NFYi 8950,0

)(, NF50 ZL 32622,3 )(, NC048F XLZi −= 2291,4

).(, mNC50 XL -142,5 ).(, mNF02900C ZLXi −= -1892,1

).(, mNC50 ZL 145,2 ).(, mNF02900C XLZi = 307,3



( )NFX 3238,7 2963,7 8,5 % 7356,8 7631,8 3,7 %

( )NFY -9162,8 -9208,9 0,5 % 8903,9 8950,0 0,5 %

( )NFZ 30342,6 30330,9 0,0 % 34901,9 34913,7 0,0 %

( )mNCX . 1775,9 1749,6 1,5 % -2060,9 -2034,6 1,3 %

( )mNCZ . -158,6 -162,1 2,2 % 448,9 452,4 0,8 %


- 215 -


1424.8

2493.4

3562

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°21

1388.6

2578.8

3769.1

4959.3

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°22





2XLYi ,, =+= ,


2XLYi ,, =+= .



)(5,0 NFXL 5861,6 )(, NC048F ZLXi = -6189,2

)(NFYLFYλ -617,80

( ) )(NF1 YLFYλ− 0,0 )(NFYi 6730,0

)(, NF50 ZL 22134,1 )(, NC048F XLZi −= 5222,0

).(, mNC50 XL -324,8 ).(, mNF02900C ZLXi −= -1283,8

).(, mNC50 ZL -384,9 ).(, mNF02900C XLZi = 340,0

x

z


- 216 -



( )NFX 12095,1 12050,7 0,4 % -371,9 -327,6 11,9 %

( )NFY -7358,2 -7347,8 0,1 % 6740,4 6730,0 0,2 %

( )NFZ 18043,0 16912,1 6,3 % 26225,1 27356,0 4,3 %

( )mNCX . 972,3 959,0 1,4 % -1621,8 -1608,5 0,8 %

( )mNCZ . -738,3 -724,9 1,8 % -31,5 -44,9 42,6 %

F4.5 Liaison pivot de boîte arrière –droite

1170.8

2174.3

3177.9

4181.4

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°23

1151.5

3454.4

5757.3

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°24





2XLYi ,, =+= ,


2XLYi ,, =+= .


x

z


- 217 -


)(5,0 NFXL 6274,2 )(, NC048F ZLXi = -6384,6

)(NFYLFYλ -857,10

( ) )(NF1 YLFYλ− 0,0 )(NFYi 7800,0

)(, NF50 ZL 27464,1 )(, NC048F XLZi −= 3366,3

).(, mNC50 XL -209,4 ).(, mNF02900C ZLXi −= -1592,9

).(, mNC50 ZL -397,1 ).(, mNF02900C XLZi = 363,9



( )NFX 12501,4 12658,8 1,3 % 47,0 -110,4 334,8 %

( )NFY -8875,1 -8657,1 2,5 % 8017,9 7800,0 2,7 %

( )NFZ 24023,2 24097,7 0,3 % 30904,9 30830,4 0,2 %

( )mNCX . 1404,1 1383,6 1,5 % -1822,7 -1802,3 1,1 %

( )mNCZ . -773,3 -761,0 1,6 % -20,9 -33,1 58,6 %

Remarque : sur le roulement 24, l’écart entre l’estimation et la simulation est élevé pour les composantes XF et ZC . Ces écarts deviennent inférieurs à 1% si on donne les valeurs suivantes aux coefficients de répartition :

• 48750FX ,=λ

• 51550CZ ,=λ

Il a été montré dans la partie 2 du chapitre 4 que ces coefficients sont proches de 0,5 mais qu’ils peuvent varier de 0,05 avec la force axiale. Le modèle simplifié n’est donc pas remis en question par ces résultats. Les valeurs des efforts internes non plus.


- 218 -

F4.6 Torseurs d’efforts transmis par les liaisons pivot du réducteur arrière

Les composantes des torseurs des trois liaisons pivot du réducteur arrière sont :

Liaison pivot

principale arrière (Paliers 201 et 202)

Liaison pivot intermédiaire arrière (Paliers 203 et 204)

Liaison pivot moteur arrière

(Paliers 205 et 206) ( )NFXL 19894,6 23552,3 -34682,3

( )NFYL 15797,5 0,0 -15804,8

( )NFZL -35344,3 105635,0 -47710,4

( )mNCXL . -2839,4 791,5 958,4

( )mNCZL . 3416,3 3205,1 562,1

Les liaisons pivot du réducteur avant sont étudiées en détail dans le paragraphe 4.3 du chapitre 5. Par conséquent, leurs chargements ne sont pas donnés dans cette annexe.

F4.7 Liaison pivot principale de réducteur arrière

1364.8

2534.7

3704.5

4874.4

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°201

1048.3

3144.8

5241.4

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°202


Les diagrammes de chargement des corps roulants indiquent que les deux roulements sont partiellement chargés. Le coefficient de répartition axial est donc estimé à 5,0FY =λ .

x

z


- 219 -



2XLYi ,, −=+−= ,


2XLYi ,, −=+−= .

Les couples ont un effet plus important sur l’effort axial que les force radiales. Une simulation sur une liaison pivot identique, isolée et en environnement rigide, indique que la force axiale interne induite par les couples et les forces radiales est N23723FYi −= .


)(, NF50 XL 9947,3 )(, NC5911F ZLXi = 39594,9

)(NFYLFYλ 4739,3

( ) )(NF1 YLFYλ− 11058,3 )(NFYi -23723,0

)(, NF50 ZL -17672,2 )(, NC5911F XLZi −= 32908,6

).(, mNC50 XL -1419,7 ).(, mNF02100C ZLXi −= 710,4

).(, mNC50 ZL 1708,2 ).(, mNF02100C XLZi = 399,9



( )NFX 38490,1 49542,2 28,7 % -18595,5 -29647,6 59,4 %

( )NFY -15121,5 -15824,3 4,6 % 30919,0 31621,8 2,3 %

( )NFZ 12769,9 15236,5 19,3 % -48114,1 -50580,8 5,1 %

( )mNCX . -666,3 -709,3 6,5 % -2173,1 -2130,1 2,0 %

( )mNCZ . 1969,9 2108,0 7,0 % 1446,4 1308,3 9,6 %


- 220 -

F4.8 Liaison pivot intermédiaire de réducteur arrière

6179.3

11476

16772

22069

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°203

6696.8

12437

18177

23917

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°204



)(, NF50 XL 11776,2 )(, NC56F ZLXi = 20833,2

)(, NF50 ZL 52817,5 )(, NC56F XLZi −= -5144,8

).(, mNC50 XL 395,8 ).(, mNF03750C ZLXi −= -3670,8

).(, mNC50 ZL 1602,6 ).(, mNF03750C XLZi = 818,4



( )NFX 28342,5 32609,3 15,1 % -4790,2 -9057,0 89,1 %

( )NFY 0,0 0,0 0,0 % 0,0 0,0 0,0 %

( )NFZ 45149,3 47672,8 5,6 % 60485,7 57962,3 4,2 %

( )mNCX . -3118,4 -3275,1 5,0 % 3910,0 4066,6 4,0 %

( )mNCZ . 2018,3 2421,0 20,0 % 1186,8 784,1 33,9 %

x

z


- 221 -

F4.9 Liaison pivot moteur de réducteur arrière

2831.8

4955.6

7079.4

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°205

2525.3

4689.9

6854.4

9019

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.0


ROULEMENT n°206


Les diagrammes de chargement des corps roulants indiquent que les deux roulements sont partiellement chargés. Le coefficient de répartition axial est donc estimé à 1FY =λ .



2XLYi ,, =+= ,


2XLYi ,, =+= .

Les couples ont un effet plus important sur l’effort axial que les force radiales. Une simulation sur une liaison pivot identique, isolée et en environnement rigide, indique que la force axiale interne induite par les couples et les forces radiales est N10748FYi = .


)(, NF50 XL -17341,2 )(, NC994F ZLXi = 2804,9

)(NFYLFYλ -15804,8

( ) )(NF1 YLFYλ− 0,0 )(NFYi 10748,0

)(, NF50 ZL -23855,2 )(, NC994F XLZi −= -4782,4

).(, mNC50 XL 479,2 ).(, mNF04950C ZLXi −= 2361,7

).(, mNC50 ZL 281,1 ).(, mNF04950C XLZi = -1716,8

x

z


- 222 -



( )NFX -14185,9 -14536,3 2,5 % -20496,3 -20146,0 1,7 %

( )NFY 10625,6 10748,0 1,2 % -26430,3 -26552,8 0,5 %

( )NFZ -27957,0 -28637,6 2,4 % -19753,3 -19072,8 3,4 %

( )mNCX . 2814,4 2840,9 0,9 % -1851,3 -1882,5 1,7 %

( )mNCZ . -1417,4 -1435,7 1,3 % 1976,1 1997,8 1,1 %

FOLIO ADMINISTRATIF

THESE SOUTENUE DEVANT L'INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON

NOM : CAMPEDELLI DATE de SOUTENANCE : 11/12/2002 (avec précision du nom de jeune fille, le cas échéant) Prénoms : Jean TITRE :

MODELISATION GLOBALE STATIQUE DES SYSTEMES MECANIQUES PRE-CHARGES APPLICATION A UN BOGIE MOTEUR

NATURE : Doctorat Numéro d'ordre : 02 ISAL 0102 Formation doctorale : Mécanique Cote B.I.U. - Lyon : T 50/210/19 / et bis CLASSE : RESUME :

L’objectif de ces travaux était de développer des modèles globaux d’analyse statique des systèmes mécaniques de transmission de puissance hyperstatiques et pré-chargés. Ces modèles sont basés sur la méthode des éléments finis et ils s’intègrent dans la notion plus générale de « maquette numérique » du comportement mécanique. La principale originalité est d’intégrer l’ensemble des couplages entre les différents éléments technologiques (arbres, carters, engrenages, paliers, ressorts). Cette étude s’inscrit dans la continuité de travaux réalisés depuis quinze ans au Laboratoire. Elle a consisté à adapter la méthode à des systèmes mécaniques de grandes tailles et à l’intégrer dans un environnement de calcul industriel. Une approche nouvelle a été développée pour prendre en compte la pré-charge de composants mécaniques souples. La méthode a été appliquée au mécanisme d’un bogie moteur dans le domaine du ferroviaire, en lien avec l’entreprise ALSTOM Transport. La particularité du mécanisme est de présenter un grand nombre de boucles hyperstatiques au niveau local (montage de roulements à rouleaux coniques utilisés par paires, suspension par ressorts et articulations élastiques) et au niveau global (montage du châssis, de réducteurs à engrenages). De plus, certaines boucles sont pré-chargées. Les ressorts de suspension ont fait l’objet d’une étude spécifique car leur comportement est fortement non linéaire à cause des grandes déformations et de la présence de contact avec jeux. Le comportement du bogie a été analysé sous différentes sollicitations de fonctionnement agissant sur des principes différents : orientation des ressorts de suspension comme source d’efforts internes, efforts extérieurs appliqués sur le châssis, couples moteurs. Une attention particulière a été portée au comportement des composants de liaison (paliers, ressorts) et à leur interactions avec l’environnement. L’étude a démontré la nécessité d’une approche globale pour la simulation de ce mécanisme. Les outils informatiques développés rendent la méthode applicable à tout autre mécanisme similaire, éventuellement hyperstatique et pré-chargé et de grande taille. MOTS-CLES : BOGIE - CONCEPTION MECANIQUE ASSISTE - JEU - ELEMENT FINI – ENGRENAGE CYLINDRIQUE - HYPERSTATIQUE – MODELISATION - PALIER ROULEMENT - PRE-CHARGE - REDUCTEUR - SYSTEME MECANIQUE – MAQUETTE NUMERIQUE Laboratoire (s) de recherches :

LABORATOIRE DE CONCEPTION ET ANALYSE DES SYSTEMES MECANIQUES Directeur de thèse: Daniel PLAY Président de jury : Composition du jury : MM.BERTHEAU Joel, GOGU Grigore, PASTOR Joseph, PELLE Jean-Pierre, PLAY Daniel, RIGAL Jean-François