MINCES SOUS L’EFFET DES CONDITIONS - … · Notre travail consiste en l’analyse du comportement statique et dynamique des ... et fiabilités des propriétés mécaniques ... Cas

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE

Ministre de LEnseignement Suprieur Et De La Recherche Scientifique

UNIVERSITE MENTOURI CONSTANTINE

Facult des Sciences de lIngnieur

DEPARTEMENT DE GENIE MECANIQUE

Ecole Nationale Doctorale de la Mcanique de Construction

MEMOIRE

Prsent pour obtenir le Diplme de Magister en Gnie Mcanique

Option : CONSTRUCTION MECANIQUE

Mcanique Applique en Engineering

Intitul :

ANALYSE DES PLAQUES ORTHOTROPES

MINCES SOUS LEFFET DES CONDITIONS

EXTERIEURES Prsente par:

SOFIANE CHORFI

Soutenu Le : ..Mai 2010, Devant le Jury :

Prsident : Mr. A.BOUCHOUCHA Prof. Universit Mentouri Constantine

Rapporteur : Mr. B.NECIB Prof. Universit Mentouri Constantine

Examinateur : Mr. A. BELLAOUAR Prof. Universit Mentouri Constantine

Mme. Z. LABED M.C. Universit Mentouri Constantine

Mai 2010

N dordre : .. / / 2010

Srie : . / GM / 2010

Ddicace

Ddicace

A la mmoire de ma mre, et de mon pre

Jespre quils reposent en paix jamais.

Faible tmoignage de ma reconnaissance infinie

A ma petite famille :

Ma femme et ma petite fille JOMANA RAWANE

A ma grande famille :

Mes frre et mes surs et leurs petites familles

A Ma belle famille,

Et a Tous mes amis,

tous ceux qui mont apport leur aide.

Remerciement

iv

Remerciement

Je tiens exprimer nos sincres remerciements toute personne qui a contribu de prs ou de

loin a laccomplissement de ce travail.

Je tiens tout dabord remercier Mr. Brahim NECIB, Professeur au dpartement de gnie

mcanique, Universit Mentouri Constantine, encadreur de mon mmoire de magister, pour la

confiance quil ma accord en me proposant ce mmoire. De plus, son enthousiasme et sa confiance

qui mont donn les motivations ncessaires pour raliser ce travail. Je noublierai pas la grande

humanit dont il ma fait preuve. Son encouragement, son entire disponibilit au cours de ce

mmoire et ses judicieux conseils.

Je tiens particulirement remercier le Professeur Mr. BOUCHOUCHA Ali de

lUniversit Mentouri Constantine de mavoir fait lhonneur de prsider le jury de ce mmoire.

Je tiens aussi remercier les autres membres de jury Monsieur le professeur Mr. Ahmed

BELLAOUAR et Docteur Mm ZOHRA LABED qui m'ont fait l'honneur d'accepter d'tre

les examinateurs de mon travail et pour le temps qu'ils ont consacr l'examen de ce mmoire.

Je noubli pas aussi de remercier tous les enseignants de lcole national doctorale qui ont

contribus ma formation et spcialement monsieur le responsable du pole de Constantine Mr.

Professeur NECIB BRAHIM et le Directeur de lEcole Mr. Toufik BOUKHAROUBA,

Professeur lUSTHB de Bab Ezouar - Alger.

Je tiens remercier Mr. Ismail BEN YASAAD chef de dpartement de Gnie mcanique

Je tiens enfin remercier galement tous mes collgues et amis pour leur soutien, conseil et

aide.

SOFIANE - CHORFI

Rsum

v

Rsum :

ANALYSE DES PLAQUES ORTHOTROPES MINCES SOUS LEFFET DES CONDITIONS EXTERIEURES

Les matriaux orthotropes prsentent un intrt trs important dans le domaine des

applications industriels modernes tels que : la mcanique, laronautique, le gnie civil et la

biomcanique vu leur duret leur lgret et leur super lasticit. Durant leur fonctionnement et

sous leffet des efforts extrieurs, ces matriaux peuvent subir des fissurations ou des ruptures

qui peuvent provoquer le dsastre de la structure. Afin dviter ces types de problmes, lanalyse

de ces matriaux est ncessaire afin de prdire leur caractristiques mcaniques et ainsi

daugmenter leur dure de vie. Cette analyse repose essentiellement sur la structure interne du

matriau, sa gomtrie, ses conditions aux limites et les conditions extrieures appliques.

Notre travail consiste en lanalyse du comportement statique et dynamique des plaques

orthotropes minces bi dimensionnelle sous leffet des efforts extrieurs utilisant les mthodes

numriques et de modlisations en se basant sur la mthode des lments finis. Les contraintes et

les dformations nimporte quel noeud de la plaque orthotrope ont t dtermines pour

diffrents types de chargement (alatoires et harmoniques), avec et sans amortissement

comparativement avec celles dune plaque isotrope de mme dimension. Et de bonnes efficacits

et fiabilits des proprits mcaniques de la plaque orthotrope ont t observes que celles du

matriau isotrope.

Mots cls: Plaque orthotrope, lment finis, simulation numrique, vibration, contraintes et dformations.

Rsum

vi

Abstract:

ANALYZIS OF THIN ORTHOTROPIC PLATES UNDER THE EXTERNAL CONDITION EFFECTS

The orthotropic materials are of a great importance and interest in the field of the

modern industrial technologies applications such as: mechanics, aeronautics, civil engineering

and biomechanics due to their hardness, their lightness and their super elasticity. During their

working operation and under the effect of the external efforts, these materials can be

submitted to cracks or ruptures which can cause the disaster of their structure. In order to

avoid these types of problems, the analysis of these materials is necessary in order to predict

their mechanical characteristics and thus to augment their lifespan. This analysis is based

essentially on the internal structure of material, its geometry, its boundary conditions and the

external applied conditions.

Our work consists of the analysis of the static and dynamic behaviour of thin

orthotropic bi- dimensional plates under the effect of external efforts using the numerical

methods and of modulating based on the finite element methods. The strain and stress in any

node of the orthotropic plate have been found for various types of loading (random and

harmonic), with and without damping comparatively with those of an isotropic plate of the

same dimension. And good effectiveness and reliabilities of the mechanical properties of the

orthotropic plate were observed compared to those of orthotropic one.

Key words: Orthotropic plate, finites elements, numerical simulation, vibration, stress and Strain.

Rsum

vii

:

.

.

.

.

( )

.

:

Nomenclature

viii

La nomenclature

Linsigne Dsignation

Cijkl Tenseur dlasticit (ou de rigidit)

Sijkl Tenseur de souplesse

ij Tenseur de dformation

E Module de Young

Cij Coefficient dlasticit

h Epaisseur

Dij Coefficient qui caractrise la matrice de rigidit

x,y,z Cordonne principale

1,2,3 Cordonne global

D66, Dxy Rigidit la torsion

s La lure de londulation

l Longueur de larc dune demi onde

f Epaisseur donde

E Module de Young des renforts

I Moment dinertie

Dx, Dy, D Moment dinertie suivant laxe Y

Kx, Ky, Kxy Courbure de flexion et de torsion qui caractrise les dformations angulaires

p Vecteur de force de volumique de llment

Fd Vecteur de force volumique dintensit (correspond la rsistance linaire)

[] Dplacement gnralis

f(t) Vecteur des force appliqu

u(t) Vecteur de position de la masse)

T Energie cintique total du systme

v Energie potentielle du systme (dformation + force conservatives extrieurs)

wnc Travail effectu par les forces non conservatives agissant sur le systme

(amortissement + autre charge extrieur)

Variation subie pendant lintervalle du temps

{} Vecteur dacclration

{} Vecteur de vitesse

Nomenclature

ix

{u} Vecteur de dplacement

w Frquence

, Coefficient de New mark ou Constante damortissement de Rayleigh

t Pas de temps

G Coefficient de coulomb

a, b Espacement des renforts dans la direction x, y respectivement

G12 Module de cisaillement

Coefficient de poisson

El Module de Young dans le sens de fibre

Et Module de Young dans le sens transverse

Fx, Fy, Fz Composantes de la force volumique suivant x, y, et z

M Moment de la force

U Dplacement suivant x

V Dplacement suivant y

ij Distorsion ou dformation angulaire

Densit ou masse volumique

la viscosit

x , y Rotation autour de laxe x et y respectivement

{U} , {} Vecteur de dplacement

{P} Vecteur de charge

[K] Matrice de rigidit

[m] Matrice de masses

[C] Matrice de lamortissement

Qi Travail interne

.Qe Travail externe

t Temps (s)

Contrainte

ii Contrainte de traction

ij Contrainte de Cisaillement

Lallongement

Section

Table des Matires

x

Table des matires

Ddicace... iii

Remerciement.. iv

La nomenclature.. v

Table des matires... vi

Table des figures..

vii

Introduction

1

1. Introduction aux matriaux orthotropes........................................... 2

2. Application des matriaux orthotropes ... 3

a. Application dans lindustrie arospatiale ... 3

b. Application dans lindustrie mcanique.. 4

c. Application dans le domaine de la biomcanique .. 5

d. Application dans le domaine des sports et de loisir ... 5

3. Modlisation numrique par la mthode des lments finis ... 6

3.1. Introduction. 6

3.2. Avantage de la M.E.F.. 8

3.3. Autres types de modlisation.. 8

3.3.1. Modlisation par ANSYS 8 3.3.2. Modlisation par SAP2000 . 8

4. Objectif de ltude .. 10

Chapitre I Thorie dlasticit linaire des plaques

orthotropes

12

1.1 Introduction 13 1.1.1 Thorie des Plaques.. 13

1.1.1 Historique 13

1.1.1.2. Dmarche ... 13

1.1.1.3. Dmarche pour l'tude des plaques 14

1.1.1.4. Dfinitions et hypothses .. 14

1.2. les Milieux Continue.. 15 1.2.1. Dfinition. 15

1.2.2. Milieu homogne 15

1.3. Loi de Hooke Gnralise 15

1.4. les Diffrents Types des Matriaux... 15 1.4.1. Les matriaux anisotropes 15

1.4.2. Matriaux monocliniques. 16

Table des Matires

xi

1.4.3. Matriaux orthotropes.. 17

1.4.4. Matriaux transversalement isotropes.. 18

1.4.5. Matriaux quasi isotropes transverses. 19

1.4.6. Matriaux quasi isotropes 19

1.4.7. Matriaux isotropes. 19

1.5. Cas des Plaques Orthotropes.. 22 1.5.1. Diffrentes Formes des Plaques Orthotropes.. 23

1.5.1.1. Plaque ondule.. 25

1.5.1.2. Plaque renforce 25

1.5.1.3. Plaque composite.. 27

1.5.1.4. Plaque stratifie. 28

Chapitre II Analyse des plaques orthotropes 29

2.1. Introduction... 30

2.2. Equations d'quilibres .. 30

2.2.1. Equilibre des contraintes.. 30

2.2.2. Equilibre des forces.. 31

2.3. Types de forces appliques sur la plaque . 32

2.3.1. Forces extrieures. 32

2.3.1.1. Forces volumiques... 32

2.3.1.2. Forces surfaciques 32

2.3.2. Contraintes... 32

2.4. Forces et Moments Rsultants.. 33

2.4.1. Moments flchissant .. 33

2.4.2. Moments de torsion 34

2.4.3. Efforts tranchants ... 34

2.4.4. Particularits des plaques orthotropes. 35

2.5. Equation Diffrentielles de Dplacements 36

2.5.1. Validit des thories de la plaque. 36

2.5.2. Plaque mince... 37

2.5.3. Thorie des Plaque paisse .. 40

Chapitre III Analyse des plaques orthotropes par

mthodes des lments finis

44

3.1. Introduction 45

3.2. Formulation dun Elment 45

3.2.l. Mthode directe.. 46

3.2.2. Mthode des rsidus pendrs. 46

3.2.3. Mthode variationnelle... 46

3.3. Formulation de la Matrice de Rigidit de la Plaque.. 46

3.4. La Mthode de l'Energie Potentielle. 51

3.5. Le Potentiel des Charges Appliques 51

Table des Matires

xii

Chapitre IV Etude dynamique de la plaque orthotrope

par la mthode de New Mark

53


4.2. Formulation des Equations du Mouvement.. 54 4.2.1. Ecriture directe de l'quilibre dynamique par le principe

dAlembert..

54

4.2.2. Principe des dplacements virtuels.. 55

4.2.3. Principe de Hamilton... 55

4.3. Choix des degrs de libert... 55

4.4. Expression d'Equilibre Dynamique... 56

4.5. Diffrents Types de Chargement.. 56 4.5.1. Chargement Harmonique.. 57

4.5.2. Chargement priodique. 57

4.5.3. Chargement par impulsion 58

4.5.3.1. Impulsion sinusode 58

4.5.3.2. Impulsion rectangulaire.. 58

4.6. L'Amortissement des Vibrations... 59

4.7. Dtermination de l'Amortissement 59

4.8. Rsolution Numrique par la Mthode de NEW MARK. 59

Chapitre V Analyse des plaques orthotropes par

modlisation numriques

65


5.2. Calculs Numriques et Modlisation ... 66

5.3. Organisation du Programme de Fortran. 67 5.3.1. Introduction des donnes. 67 5.3.2. Construction des matrices [K], [M] et F.. 67

5.3.3. Rsolution du systme d'quation [K] U = F.. 67 5.3.4 Impression des rsultats 67

5.3.5. L'enchanement de ces diffrents blocs 67

5.4 Organisation du Programmation avec ANSYS. 68 5.4.1. Organisation de logiciel d'ANSYS.. 68 5.4.2. les Procds danalyse.. 68

5.4.2.1. tablissez le modle 69

5.4.2.2. Choisissez le type d'analyse & Options.. 69

5.4.2.3 Rsultats de revue 69

5.5. Organisation du Programmation avec le SAP2000.. 69 5.5.1. Dispositifs d'analyse. 70

5.6. Modle dapplication : Caractristiques des plaques

considre

71

5.6.1. Mthode utilisant le programme Fortran 77 .. 71

5.6.2. Mthode utilisant le SAP2000 (analyse Modale). 72

Table des Matires

xiii

5.6.3 Mthode utilisant ANSYS:.. 74

5.7. Rsultats et Discussion 75 5.8. Conclusion 106

Conclusion Gnrale ...

107

Bibliographie ...

110

Annexes 113

Annexe 1 : Programme Fortran. 114

Annexe 2 : Aide dutilisation ANSYS, SAP2000 .. 128

Annexe 3 : Rsultat du programme Fortran.. 143

Annexe 4 : Rsultats obtenue par ANSYS et SAP 2000.. 163

Liste des Tableaux

xiv

Table des figures

Figure 1.1 : organigramme du dmarche de ltude de la plaque.

Figure 1.2 : matriau orthotrope.

Figure 1.3 : Dformation d'une plaque mince avec mise en vidence du dplacement d'un

lment de matire, de son feuillet moyen (rouge) et de sa fibre normale (bleue)

Figure 1.4 : Dplacement du feuillet moyen (gauche) et d'une fibre normale (droite)

Figure1.5 : plaque ondule

Figure 1.6 : plaque renforce par deux sries quidistantes de renforts

Figure 1.7 : plaque renforce par une srie de nervures quidistantes

Figure 1.8 : plaque composite

Figure 1.9 : plaque stratifie

Figure 2.1 : modle dquilibre dun lment

Figure 2.2 : Moments flchissant et contraintes

Figure 2.3 : Moments de torsion et scission

Figure 2.4 : Efforts tranchants et scission

Figure 2.5 : dformation de la plaque du point A au point A

Figure 3.1 : illustration dplacement et rotation dun lment rectangulaire a 4 noeud

Figure 3.2 : illustration effort tranchant et moment dun lment rectangulaire a 4

Figure 4.1 : chargement harmonique

Figure 4.2 : chargement priodique

Figure 4.3 : Impulsion sinusode

Figure 4.4 : Impulsion rectangulaire

Liste des Tableaux

xv

Figure 5.1 : Comparaison entre dflection dune plaque orthotrope et isotrope sans

amortissement

Figure 5.2 : Comparaison entre dflection dune plaque orthotrope et isotrope avec

amortissement facteur damortissement 2%

Figure 5.3 : Comparaison entre dflection dune plaque orthotrope et isotrope avec

amortissement facteur damortissement 5%

Figure 5.4 : linfluence du coefficient de New Mark Alpha sur lamortissement (plaque

orthotrope)

Figure 5.5 : comparaison entre les rsultats obtenus en SAP2000 et en Fortran de dflection au

milieu de la plaque

Figure 5.6 : comparaison entre les contraintes suivant la direction x et y sans amortissement

pour une plaque orthotrope

Figure 5.7 : comparaison entre les contraintes suivant la direction x et y avec amortissement

pour une plaque orthotrope

Figure 5.8 : comparaison entre les contraintes de cisaillement transversale xz,yz et contrainte

dans le plan xy avec et sans amortissement pour une plaque isotrope

Figure 5.9 : comparaison entre les contraintes de cisaillement transversale xz,yz et contrainte

dans le plan xy avec et sans amortissement pour une plaque orthotrope

Figure 5.10 : variation du dplacement en fonction dpaisseur.

Figure 5.11 : Amplitude modale des dplacements et des contraintes.

Figure 5.12 : variation des dplacements en fonction dpaisseur pour une plaque orthotrope

nud 14 .

Figure 5.13 : variation de frquence fondamentale en fonction de nombre des nuds.

Figure 5.14 : variation de frquence fondamentale en fonction dpaisseur pour plaque isotrope.

Figure 5.15 : variation de frquence fondamentale en fonction dpaisseur pour plaque

orthotrope.

Liste des Tableaux

xvi

Figure 5.16 : Effet d'alpha attnuant sur la constante d'amortissement (bta attnuation ignore).

Figure 5.17 : Effet du bta attnuation sur la constante d'amortissement (attnuation d'alpha

ignore).

Figure 5.18 : Comment rapprocher des constantes d'amortissement de Rayleigh.

Figure 5.19 : Dflection Ux et Uy en fonction de la frquence pour une plaque isotrope

Figure 5.20 : Dflection Ux, Uy, et Uz en fonction de la frquence pour une plaque isotrope.

Figure 5.21 : Dflection, vitesse, et acclration suivant y ou x en fonction de la frquence

plaque isotrope.

Figure 5.22 : Dflection, vitesse, et acclration suivant z en fonction de la frquence plaque

isotrope.

Figure 5.23 : Contrainte suivant x et y en fonction de la frquence plaque isotrope.

Figure 5.24 : Contrainte suivant z en fonction de la frquence plaque isotrope.

Figure 5.25 : Contrainte suivant xy, yz et xz en fonction de la frquence plaque isotrope.

Figure 5.26 : Contrainte suivant xz et yz en fonction de la frquence plaque isotrope.

Figure 5.27 : Contrainte quivalent VM en fonction de la frquence plaque isotrope.

Figure 5.28 : Contrainte suivant x, y, z et contrainte quivalent VM en fonction de la frquence

Charg nud 408 plaques isotropes.

Figure 5.29 : Dflection Uz en fonction du temps Charg Transitoire nud 408 plaque isotrope.

Figure 5.30 : Dflection Ux et Uy en fonction du temps Charg Transitoire nud 408 plaque

isotrope.

Figure 5.31 : Dflection, vitesse et acclration suivant x en Fct temps. Charg Transitoire

nud 408 plaque isotrope.

Figure 5.32 : Dflection, vitesse et acclration suivant y en Fct temps. Charg Transitoire


Liste des Tableaux

xvii

Figure 5.33 : Dflection, vitesse et acclration suivant z en Fct temps. Charg Transitoire


Figure 5.34 : Contrainte suivant x en Fonction du temps. Charg Transitoire nud 408 plaque

isotrope.

Figure 5.35 : Contrainte suivant z en Fonction du temps. Charg Transitoire nud 408 plaque

isotrope.

Figure 5.36 : Contrainte suivant x, y, et z en Fonction du temps. Charg Transitoire nud 408

plaque isotrope.

Figure 5.37 : Contrainte suivant xy, yz, et xz en Fonction du temps. Charg Transitoire nud

408 plaque isotrope.

Figure 5.38 : Dflection Ux et Uy en fonction du temps Charge Harmonique nud 408 plaque

orthotrope.

Figure 5.39 : Dflection Uz en fonction du temps Charge Harmonique nud 408 plaque

orthotrope.

Figure 5.40 : Contrainte suivant x en Fonction du temps. Charge Harmonique nud 408

plaques orthotropes.

Figure 5.41 : Contrainte suivant z en Fonction du temps. Charge Harmonique nud 408


Figure 5.42 : Contrainte suivant xy en Fonction du temps. Charge Harmonique nud 408


Figure 5.43 : Contrainte suivant yz en Fonction du temps. Charge Harmonique nud 408


Figure 5.44 : Contrainte suivant xz en Fonction du temps. Charge Harmonique nud 408


Figure 5.45 : Contrainte quivalent Vm Fonction du temps. Charge Harmonique nud 408


Liste des Tableaux

xviii

Figure 5.46 : Dflection Ux en fonction du temps Charge transitoire nud 408 plaque

orthotrope.

Figure 5.47 : Dflection Uy en fonction du temps Charge transitoire nud 408 plaque

orthotrope.

Figure 5.48 : Dflection Uz en fonction du temps Charge transitoire nud 408 plaque

orthotrope.

Figure 5.49 : Dflection, vitesse et acclration suivant x en fonction du temps Charge

transitoire nud 408 plaque orthotrope.

Figure 5.50 : Dflection, vitesse et acclration suivant y en fonction du temps Charge

transitoire nud 408 plaque orthotrope.

Figure 5.51 : Dflection, vitesse et acclration suivant z en fonction du temps Charge

transitoire nud 408 plaque orthotrope

Figure 5.52 : Contrainte suivant x en fonction du temps Charge transitoire nud 408 plaques

orthotropes.

Figure 5.46 : Dflection Ux en fonction du temps Charge transitoire nud 408 plaques

orthotropes.

Figure 5. 47 : Dflection Uz en fonction du temps Charge transitoire nud 408 plaques

orthotropes.

Figure 5.48 : Dflection, vitesse et acclration suivant x en fonction du temps Charge

transitoire nud 408 plaques orthotropes.

Figure 5.49: Dflection, vitesse et acclration suivant y en fonction du temps Charge


Figure 5.50 : Dflection, vitesse et acclration suivant z en fonction du temps Charge


Figure 5.51 : Contrainte suivant x en fonction du temps Charge transitoire nud 408 plaques

orthotropes.

Liste des Tableaux

xix

Figure 5.52 : Contrainte suivant y en fonction du temps Charge transitoire nud 408 plaques

orthotropes.

Figure 5.53 : Contrainte suivant z en fonction du temps Charge transitoire nud 408 plaques

orthotropes.

Figure 5.54 : Contrainte suivant xy, yz et xz en fonction du temps Charge transitoire nud

408 plaques orthotropes.

Introduction

1

Introduction:

Introduction

2

1. Introduction aux matriaux orthotropes

Les matriaux orthotropes prsentent actuellement un intrt important dans le

domaine des applications industriels modernes tels que : le domaine de la mcanique, de

laronautique, du gnie civil et de la biomcanique vu leur duret leur lgret, leur super

lasticit et leur dure de vie. Ces matriaux sont des matriaux anisotropes caractre

structural inhomogne et complexes utiliss pour la ralisation des pices ou des corps lgers

de haute fiabilit et rsistance mcanique. Cependant durant leur fonctionnement et leur mode

de vie, ces matriaux peuvent subir des fissurations sous leffet des efforts extrieurs

provoquant leur rupture et leur dsastre [1]. En consquence les charges limites leur rupture

de ces matriaux doivent tre dtermines ltat statique comme ltat dynamique.

En effet, les matriaux orthotropes sont des matriaux anisotropes ayant des diffrentes

proprits mcaniques suivant leurs trois directions orthogonales. Parmi ces matriaux on

rencontre souvent : les matriaux composites, les matriaux onduls, les matriaux

sandwiches, les matriaux renforcs, etc...

Afin de rpondre aux besoins des compagnies aronautiques, pour la ralisation

dappareils plus lgers et moins polluants, les prochaines gnrations davions civils

intgreront de nombreuses structures primaires en matriaux orthotropes, telles que le caisson

central, le fuselage ou les ailes. La ralisation de ce type des matriaux, jouant un rle cl

dans la tenue de lavion, ncessite un haut niveau de confiance dans les mthodes de

dimensionnement. Dun point de vue acadmique, de nombreuses mthodes danalyse des

plaques ont t proposes dans la littrature. Toutefois, ces approches avances sont

relativement complexes mettre en uvre dans un bureau dtude et les cots de calculs

associs ces mthodes restent trs levs pour traiter des structures aronautiques. Dun

point de vue industriel, des mthodes simplifies danalyse de la tenue de matriaux

orthotropes, sont couramment utilises. Toutefois, le calcul de pices aronautiques ncessite

ltablissement de valeurs de calculs massivement recales sur les donnes exprimentales

disponibles. Actuellement, lidentification des paramtres constitutifs de matriaux partir

dun nombre rduit dessais mcaniques et exploitant les mesures de champs cinmatiques ou

thermiques constituent un fort courant de recherche. Les techniques didentification

dveloppes exploitent la richesse des mesures de champs sur des essais qui sont

gnralement analyss partir de modle analytique. (Chalal, 2005) (Meuwissen et al. 1998)

(Gavrus et al. 1999) (Forestier, 2003)[2-3-4-5], lidentification des paramtres du

Introduction

3

comportement orthotrope est conduite selon une technique inverse fonde sur une approche

variationnelle. Celle-ci est base sur la minimisation dune norme nergtique formule par

lerreur en relation de comportement (Bonnet et al. 2003), (Constantinescu, 1995) [6-7]. Cette

erreur est traduite en fonction de lcart entre les dformations thoriques et les champs de

dformations exprimentales obtenues par des techniques de mesure de champs cinmatiques.

Lidentification des paramtres du comportement est effectue par la minimisation de ce

problme inverse. Lutilisation de cette mthode de rsolution ncessite le calcul de la matrice

de sensibilit. Dans la littrature, il existe plusieurs mthodes de construction de cet oprateur

de sensibilit. (Gavrus et al. 1999) [3] utilisent des mthodes analytiques directes tandis que

(Tortorelli et al. 1994) [8] le font par la mthode adjointe. (Forestier et al. 2003) [4] proposent

une technique mixte base sur les mthodes semi analytique utilisant conjointement la

mthode des diffrences finies pour la diffrentiation numrique et un calcul analytique. Dans

le prsent travail, le choix sest port sur la mthode semi analytique combinant les avantages

de la mthode analytique directe et la mthode des diffrences finies pour le calcul du

gradient et construire ainsi la matrice de sensibilit. La drivation numrique a t faite par la

mthode de diffrences finies. Cette mthode tout en tant relativement stable, permet au

modle inverse dvoluer avec le code du modle direct. (M.E.F) est utilis pour rsoudre le

problme direct. La mise en oeuvre d'une telle approche ncessite alors un choix pertinent de

gomtrie d'prouvette, de mthode de mesure de champs cinmatiques ainsi que d'une

stratgie d'identification. Ce code permet de dvelopper la robustesse de la technique de

calcul pour diffrentes configurations dessais. Le choix de ces essais mcanique permet de

gnrer des champs htrognes de contrainte/dformation dans les zones dtude. Cette

technique est utilise pour tester des corps bruits par simulation des erreurs [39].

2. Application des matriaux orthotropes :

Les matriaux orthotropes ont une grande application dans le domaine de lingnierie

et de la biomcanique essentiellement :

a. Application dans lindustrie arospatiale :

En aronautique, les matriaux orthotropes ont connus des applications courantes

surtout dans la construction des pices de structures primaires, les gouvernes et lhabillage

extrieur ainsi de lintrieur de laronef. Lutilisation des matriaux orthotropes dans les

constructions aronautiques entranes un gain de poids substantiel dont les gains de masse

varient de 10 20 %, le poids de lavion moyen-courrier Bing 767 a t rduit, par lemploi

Introduction

4

des composites, de 921 kg par rapport la solution mtallique conventionnelle. De tels gains

de poids sont dterminants pour optimiser la consommation de carburant dappareils soumis a

des cycles quotidiens levs de dcollages et datterrissages. Un gain de masse d1Kg, sur la

structure de lavion 120 litre/anne dexploitation et une augmentation du rayon daction de

lappareil dun mile nautique ainsi sa vitesse de croisire. Par lintroduction des matriaux

orthotropes dans la construction du gros porteur TRISTAR, la socit LOCKHEED a effectu

une rduction importante du nombre dlments assembls par rivets de 175 lments

assembls par 40000 rivets pour une masse totale au dcollage de 363 tonnes 18 lments

assembls par 5000 rivets pour une masse de 245 tonnes au dcollage 5000 rivets et obtenir

par consquent des surfaces lisses entranant de meilleures performances. Les matriaux

orthotropes sont aussi utiliss dans la construction spatiale (lanceurs, navettes et satellites)

cause de leurs proprits remarquables dont la haute rsistance llvation de la temprature.

Surtout ceux a fibres de carbone (dilatation nulle jusqu 600c) et lallgement. Les preuves

sont les cots minimiss de 30000$ pour chaque Kg gagn dans la ralisation du lanceur de la

fuse europennes ARIANE E.S.A de plus, les matriaux orthotrope sont essentiellement

utiliss dans la ralisation de propulseurs de poudre des lanceurs de satellites et de leurs

tuyres djection des gaz de propulsion [13].

b. Application dans lindustrie mcanique :

Lintgration des matriaux orthotropes dans lindustrie mcanique, de lautomobile et

des transports terrestres a pu rduire substantiellement la consommation de carburant au

moyen de lconomie du poids obtenu. Les applications sont trs nombreuses dans les

domaines des transports, mme ferroviaires. Avec la fabrication de nombreux lments de

carrosserie et des boucliers amortisseurs de choc placs lavant de motrices de T.G.V. et qui

prsentent des performances suprieures en matire dabsorption dnergie [9]. La socit

LOHEAC de transports routiers a pu rduire substantiellement sa consommation de carburant

grce lconomie du poids obtenue en remplaant les cabines conventionnelles de ses

tracteurs par de nouveaux lments mouls en une seule pice. Cette innovation a permis de

rduire le poids de la cabine de 875 Kg quipe en acier 455 Kg seulement et de prsenter

une plus grande solidit et une meilleure rsistance aux dgts. Le saut technologique, ralis

grce lintroduction des matriaux orthotropes dans la construction traditionnelle en bois.

Ladoption de tels matriaux dans la construction des coques des bateaux a permis

de procurer la structure une haute rsistance lusure et aux chocs rpts dans les vagues et

aux collisions encaisses avec les corps flottants. Lintroduction des matriaux orthotrope

Introduction

5

(composites, tels que ceux renforcs par la fibre aramide kevlar 49 associe la fibre de

verre-E) conduisant des proprits mcaniques suprieures, a permis de diminuer le poids

des structures de bateaux rapides (patrouilleurs, bateaux dintervention ou de service) tout en

ayant une rsistance suffisante affin davoir pour rsultat soit un augmentation de la vitesse

pour une puissance donne, soit une meilleure rentabilit pour la mme vitesse ou soit

lutilisation dune motorisation moins puissante.

c. Application dans le domaine de la biomcanique :

En biomcanique, les matriaux orthotropes ont connus des applications courantes

surtout dans la construction des biomatriaux. Les biomatriaux sont des matriaux non

vivants utiliss dans des dispositifs mdicaux, prvus pour interagir avec le systme

biologique dans le cadre dun acte thrapeutique savoir :

- implants, plaques et vis dostosynthse.etc.

- appareils de circulation extracorporelle (dialyseursetc.)

- instruments chirurgicaux (seringue.etc.)[11].

Dans ce domaine les matriaux orthotropes sont des matriaux synthtiques (mtaux,

polymres, cramiques, composites,..etc.). La particularit de ces matriaux cest que ces

derniers sont biocompatibles c-a-d ils nentranent aucune rponse inflammatoire de lhte au

niveau des site o ils sont appliqus [10].

d. Application dans le domaine des sports et de loisir :

De par leur lgret. Leur bonne tenue la fatigue statique est dynamique et leur

stabilit dimensionnelle, les matriaux orthotropes sont des matriaux idaux pour la

fabrication et la conception de trs nombreux darticles de sport et de loisirs tels que les skis

et les btons, les planches voiles, des instruments de musique. Etc.

Des nombreux rsultats dtudes confirment le haut degr damortissement des

vibrations des skis sur neige qui confre au skieur le confort tout en conservant au produit ses

caractristiques essentielles. De plus, les matriaux orthotrope permettent de concevoir de

raquettes lgres, trs rigides et excellentes en fatigue dynamique qui confrent au joueur une

moindre sollicitation des muscles du bras et donc de moindre fatigue et plus de confort [12].

Introduction

6

3. Modlisation numrique par la mthode des lments finis :

3.1. Introduction

L'utilisation trs rpondue de structures en plaques orthotropes exige une investigation

afin de dvelopper une conception prcise et confiante. Dans ce domaine, d'un point de vu

engineering, la mthode des lments finis (MEF) donne une solution complte au problme

d'valuation des modes de vibrations et les rponses dynamiques d'une plaque orthotrope

lorsque les proprits des matriaux et les conditions limites sont connues.

Cependant au cours des premires tapes pendant l'laboration et la conception du

projet, o la tache essentielle consiste slectionner les dimensions et les proprits des

matriaux constitutifs doivent tre slectionns, de mme que lorsqu'on applique les contrles

de qualits pour la prcision de la conception au moyen de calcul par la (MEF), dans ce cas il

est trs utile d'avoir une mthode simplifie pour calculer les frquences modales des plaques

orthotropes rectangulaires [18]. On dit quune structure est complexe si toute solution

analytique de celle-ci est impossible ou est obtenue aprs des calculs dlicats. Cette dfinition

sapplique aux structures en plaques. Et on dit aussi quune telle mthode est quivalente si

elle nous permet de calculer une structure avec des mthodes approches tout en respectant un

seuil derreur ne pas dpasser. Nous allons utiliser donc ces mthodes quivalentes pour

trouver les solutions des structures en plaques en vibration libre [17]. Concept La mthode de

l'analyse par lments finis (MEF), l'origine prsente par Turner et autres (1956), est une

technique informatique puissante pour les solutions approximatives aux une srie de " ; vrai

world" ; les problmes de technologie ayant des domaines complexes sous rserve des

conditions gnrales de frontire. MEF est devenu tape essentielle dans la conception ou la

modlisation d'un phnomne physique dans diverses disciplines de technologie. Un

phnomne physique se produit habituellement dans a le continuum de matire (solide,

liquide, ou gaz) impliquant plusieurs mettent en place des variables. Les variables de champ

varient de point par point, de ce fait possdant un nombre infini de solutions dans le domaine.

Dans la porte de ce livre, a le continuum avec une frontire connue s'appelle un domaine

[16]. La base de MEF se fonde sur la dcomposition du domaine dans un nombre fini de

subdomains (les lments) pour lesquels les systmatiques rapprochent la solution est

construite en appliquant les mthodes rsiduelles variationnelles ou peses. En effet, FEA

ramne le problme celui d'un nombre fini d'inconnus en divisant le domaine en lments et

par l'expression la variable inconnue de champ en termes de rapprocher assum fonctionne

Introduction

7

dans chaque lment. Ces fonctions (galement appeles les fonctions d'interpolation) sont

dfinies en termes de valeurs des variables de champ aux points spcifiques, vises comme

noeuds. Des noeuds sont habituellement situs le long des frontires d'lment, et ils relient

les lments adjacents

La capacit de discrtiser les domaines irrguliers avec les lments finis fait la

mthode un valable et l'outil d'analyse pratique pour la solution de la frontire, de l'initiale, et

des problmes de valeur propre surgissant dans la diverse technologie discipline. Depuis son

commencement, beaucoup d'exposs techniques et de livres sont apparus sur le

dveloppement et l'application de MEF. Les livres par Desai et Abel (1971), Oden (1972),

Gallagher (1975) [17-19], Huebner (1975) [17-19], se baignent et Wilson (1976), Ziekiewicz

(1977), cuisinier (1981), et se baignent (1996) ont influenc tat actuel de FEA. Problmes

communs de technologie de reprsentant et leurs discrtisations correspondantes de MEF sont

illustres dans figure suivante :

La mthode d'analyse par lments finis exige les tapes principales suivantes [27] :

Discrtisation du domaine dans un nombre fini de subdomains (lments).

Choix des fonctions d'interpolation.

Dveloppement de la matrice d'lment pour le subdomain (lment).

Assemble des matrices d'lment pour que chaque subdomain obtienne la matrice

globale pour le domaine entier,

Imposition des conditions de frontire.

Solution des quations.

Calculs additionnels (si dsir) [16].

Reprsentation des problmes engineering pratiques [29].

Introduction

8

3.2. Avantage de la M.E.F

- on peut reprsenter un grand nombre de formes de structures laide de modle

analytique gnrales communes.

- La facult de dfinir des maillages trs irrguliers et depuis lorigine un des grands

avantage de la M.E.F

- Peut accepter des loi complexes de proprits intrinsque de matriaux si on compare

aux possibilit des mthodes classiques de rsolution, et offrent plus vastes

perspectives en analyse non linaire [18].

3.3. Autres types de modlisation

3.3.1. Modlisation par ANSYS:

ANSYS, est l'un des plus grands dveloppeur et fournisseur de logiciels de simulation

numrique au monde. Ses produits majeurs sont des logiciels qui mettent en uvre la

mthode des lments finis, afin de rsoudre des modles discrtiss [27].

Ce produit permet d'effectuer des simulations mcaniques. Ses principales capacits sont :

(1) l'analyse statique.

(2) l'analyse modale

(3) l'analyse harmonique (rponse force)

(4) l'analyse temporelle ou transitoire

(5) la gestion de diffrentes situations non linaires (contacts, plasticit des matriaux,

grands dplacements ou grandes dformations

(6) simulations en matire de mcanique des fluides

(7) permet de rsoudre des modlisations mettant en jeu des phnomnes

lectromagntiques.

3.3.2. Modlisation par SAP2000 :

Est un progiciel partir de Computers et Structures, pour l'analyse structurale et de

signe. Chaque paquet est un systme entirement intgr pour la modlisation, l'analyse,

concevoir, et les structures de linarisation d'un dtail type :

SAP2000 pour gnral structure, y compris des ponts, des stades, tours, ensembles

industriels, structures en mer, systmes sifflants, btiments, barrages, sols, machine

pices et beaucoup d'autres.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Simulation_num%C3%A9riquehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Simulation_num%C3%A9riquehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Simulation_num%C3%A9riquehttp://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_des_%C3%A9l%C3%A9ments_finishttp://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9canique_des_fluides

Introduction

9

Au coeur de chacun de ces progiciels est un moteur commun d'analyse, dsign par

dehors ce manuel sous le nom de SAP2000. Ce moteur est le plus tardif et les la plupart

version puissante de la srie bien connue de SAP de programmes d'analyse structurale.

Le but de ce manuel est de scribe les dispositifs du moteur de l'analyse SAP2000.

Par dehors ce manuel le moteur d'analyse dsign sous le nom de SAP2000. Non tous

les dispositifs de tracs rellement soient disponibles dans chaque niveau de chaque

programme.

Leur moteur danalyse offre les dispositifs suivants :

Analyse statique et dynamique.

Oreille de Lin et analyse non linaire.

Analyse sismique dynamique et analyse statique de facilit.

Analyse de vivre charge de vhicule pour des ponts.

Non linarit gomtrique, y compris des effets de grand dplacement.

Construction (par accroissement) tage.

Fluage, rtrcissement, et effets de vieillissement.

Analyse de boucle.

Analyse quilibre et de puissance spectral densit.

lments structuraux de vue et de coquille, y compris la colonne de faisceau, la botte,

la membrane, et le comportement de plat.

Avion bidimensionnel et lments pleins axisymtriques.

lments pleins tridimensionnels.

lments non linaires de lien et de soutien.

Proprits lies la frquence de lien et de soutien.

Systmes du mme rang multiples.

Beaucoup de types de contraintes.

Une large varit d'options de chargement.

Alpha numrique marque.

Grande capacit.

Algorithmes de solution trs efficaces et stables.

Introduction

10

4. Objectif de ltude :

Notre travail consiste en lanalyse du comportement statique et dynamique des plaques

orthotropes minces bi dimensionnelle sous leffet des efforts extrieurs utilisant les mthodes

numriques et de modlisations en se basant sur la mthode des lments finis. La mthode

des lments finis (M.E.F) est trs rpandue de structures en plaques orthotropes exige une

investigation afin de dvelopper une conception prcise et confiante. Elle donne une solution

complte aux problmes statique et dynamique afin d'valuer les modes de vibrations et les

rponses dynamiques d'une plaque orthotrope lorsque les proprits des matriaux et les

conditions limites sont connues. Au cours des premires tapes de l'laboration de cette tude,

notre tache essentielle consiste slectionner les dimensions et les proprits des matriaux

constitutifs doivent tre slectionns, de mme que lorsqu'on applique les contrles de

qualits pour la prcision de la conception au moyen de calcul par la (MEF), dans ce cas il est

trs utile d'avoir une mthode simplifie pour calculer les frquences modales des plaques

orthotropes rectangulaires. Les contraintes et les dformations en chaque noeud de la plaque

orthotrope ont t dtermines pour diffrents types de chargement (alatoires, harmoniques

et transitoire) avec et sans amortissement comparativement avec celles dune plaque isotrope.

Ltude des vibrations ou lanalyse des plaques mince orthotropes et isotrope soumise

a des effort laides de la mthode M.E.F

Pour atteindre ce but on va suivre les tapes suivantes :

- prsenter llasticit linaire et lorthotropie de la plaque.

- Prsenter les quations de base dune plaque orthotrope

- Raliser le traitement numrique correspondant (New Mark)

- Prsenter le code de calcul des plaques orthotropes et isotropes [27].

Le mmoire de magistre comprend essentiellement cinq chapitres en plus dune introduction

et conclusion et des rfrences bibliographiques. Le premier chapitre est consacr la thorie

dlasticit linaire des plaques orthotropes ou on a prsenter la loi de Hooke gnralis et les

diffrents types des matriaux et plaques orthotropes, on a dvelopp au second chapitre

lanalyse des plaques orthotropes ou on peut voir lquation dquilibre et les diffrents types

de forces appliques et aprs lquation diffrentielle de la plaque orthotrope. Le troisime

chapitre aborde lanalyse des plaques orthotropes par la mthode des lments finis ou on

peut montrer la formulation de la matrice de rigidit de la plaque laide de plusieurs

mthodes. Le quatrime chapitre abord ltude dynamique des plaques orthotropes par la

mthode de New Mark ou on peut voir quation de mouvement des diffrents types de charge,

Introduction

11

le problme damortissement et la rsolution numrique de New Mark. Dans le dernier

chapitre on informatis les diffrentes tapes de calcules des plaques orthotropes pour

effectuer une tude comparative de leurs comportement mcaniques en utilisant plusieurs

types de programmation fortran, ANSYS, et SAP200 . En fin lanalyse des diffrents

rsultats obtenus va nous permettre dtablir une conclusion qui met au point la fiabilit et

lefficacit des plaques orthotropes.

Chapitre I Thorie dlasticit linaire des plaques orthotropes

12

I Chapitre I : Thorie

dlasticit linaire des plaque

orthotropes

Chapitre I : Thorie dlasticit des plaques orthotropes

1.1 Introduction:

Les matriaux anisotropes selon leur modle de fabrication et leurs structures internes

ltat macroscopique dpendent essentiellement de l'orientation de leurs fibres et des efforts

internes existant durant leur fabrication.

Dans ce chapitre on va montrer la thorie des plaques ainsi les matriaux orthotropes

et isotropes, les constantes mcaniques qui les caractrisent et les diffrents types des plaques

orthotropes.

1.1.1 Thorie des Plaques

La thorie des plaques est une thorie permettant de calculer les dformations et les

contraintes dans une plaque soumise des charges. Elle s'inspire de la thorie des poutres.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_poutres


13

1.1.1.1. Historique

En 1888, Love utilise les hypothses de Gustav Kirchhoff, elles-mmes inspires des

hypothses d'Euler Bernoulli pour les poutres, pour fonder une thorie des plaques minces1.

La thorie des plaques paisses a t consolide par Mindlin2 partir des travaux de Rayleigh

(1877), Timoshenko (1921), Reissner (1945) et Uflyand (1948) [25-26-22-15-37].

1.1.1.2. Dmarche

Comme pour l'tude des poutres, on met en relation

la forme finale de la plaque, c'est--dire le champ des dplacements, avec le champ de

tenseur des dformations ;

les efforts de cohsion avec les efforts extrieurs ;

les efforts de cohsion avec le tenseur des contraintes, grce au principe

d'quivalence ;

et le tenseur des contraintes avec le tenseur des dformations, grce la loi de Hooke

gnralise.

1.1.1.3. Dmarche pour l'tude des plaques :

Efforts

Extrieur

Champ de

Tenseur Des Contraintes

Principe

Dquivalence

Champ De Tenseur

Des Dformations

Loi de Hooke

Gnralis ij

Champ de Dplacement ui(xi)

Drivation/

Intgration

Figure 1.1 Organigramme de dmarche de ltude de la plaque [30].

[15].

http://fr.wikipedia.org/wiki/1888http://fr.wikipedia.org/wiki/Augustus_Edward_Hough_Lovehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Gustav_Kirchhoffhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_plaques#cite_note-0#cite_note-0http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Raymond_David_Mindlin&action=edit&redlink=1http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Raymond_David_Mindlin&action=edit&redlink=1http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Raymond_David_Mindlin&action=edit&redlink=1http://fr.wikipedia.org/wiki/John_William_Strutt_Rayleighhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Stephen_Timoshenkohttp://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Reissner&action=edit&redlink=1http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Uflyand&action=edit&redlink=1http://fr.wikipedia.org/wiki/Champ_vectorielhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur_des_d%C3%A9formationshttp://fr.wikipedia.org/wiki/Efforts_de_coh%C3%A9sionhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur_des_contrainteshttp://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_de_Hooke


14

1.1.4. Dfinitions et Hypothses

Une plaque est un solide dlimite par deux plans parallles, les faces, et un cylindre au sens

large (de section quelconque et pas ncessairement circulaire) dont l'axe est perpendiculaire

aux faces. On dfinit :

le plan moyen, ou plan mdian : plan situ quidistance entre les faces (c'est

l'quivalent de la courbe moyenne des poutres) ;

le feuillet neutre : lment de matire d'paisseur infinitsimale situ autour du plan

moyen (c'est l'quivalent de la fibre neutre des poutres) ; c'est le plan (O, x, y),

d'quation z = 0 ;

une fibre normale : ensemble des points situs sur une normale au plan mdian, un

endroit (x, y) donn ; elle a pour direction z.

On appelle h l'paisseur de la plaque ; le plan infrieur est donc le plan z = -h/2 et le plan

suprieur est le plan z = h/2.

On se place dans le cas d'un matriau continu, lastique, homogne et isotrope.

Si les faces ne sont pas planes, on parle de coque.

On spare l'tude en deux parties : pour l'tude de la flexion, on considre que les charges

sont perpendiculaires aux faces, donc que les forces sont de la forme

Et que les couples sont de la forme

.

Pour les charges situes dans le plan des faces, on parle de voile ou de membrane.

1.2. Les Milieux Continue:

1.2.1 Dfinition:

C'est un domaine qui ne prsente aucune rupture dans le temps et dans l'espace

occup par un solide dont la rpartition de la matire elle se caractrise par des fonctions

continues et drivables sur les trois coordonnes [37].

http://fr.wikipedia.org/wiki/Cylindre_(solide)http://fr.wikipedia.org/wiki/Coquehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Voilehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Membrane


15

2.1

12

31

23

33

22

11

66

5655

464544

36353433

2625242322

161514131211

12

31

23

33

22

11

C

CCsym

CCC

CCCC

CCCCC

CCCCCC

1.2.2. Milieu homogne:

Est un corps o un milieu dont la composition uniforme

1.3. Loi de Hooke Gnralise :

Est une loi de dpendance entre les contrainte et les dformation donc cest une

proportionnalit entre les dplacements lastique dun corps et les efforts aux quels il est

soumis.

1.4. Les diffrents Types des matriaux

1.4.1. Les matriaux anisotropes:

Sont des matriaux dont ses proprits varient selon une direction considre mais ils

ne prsentent pas de plans de symtrie. La loi de Hooke peut tre exprime par:

ij = Cijkl kl i,j,k,l = 1,2,3

ij = Sijklkl i,j,k,l = 1,2,3

Cijkl = Tenseur d'lasticit (ou de rigidit)

Sijkl = Tenseur de souplesse

ij = Tenseur de dformation

ij = tenseur de contrainte

Le tenseur de rigidit en a 81 coefficients de mme pour le tenseur de souplesse, pour raison

de la symtrie des contraintes ij et de dformation, il y a une rduction des cfficients a 36

parmi ces derniers, 21 sont indpendants. Les distorsions angulaires sont exprimes en

fonction des dplacements :

23= 223

13= 213

12= 212

On crit (1.2) sous la forme matricielle

(1.1)


16

3.1

12

31

23

33

22

11

66

5655

464544

36353433

2625242322

161514131211

12

31

23

33

22

11

S

SSsym

SSS

SSSS

SSSSS

SSSSSS

)4.1(

00

0000

0000

00

00

00

12

31

23

33

22

11

66362616

5545

4544

36332313

26232212

16131211

12

31

23

33

22

11

CCCC

CC

CC

CCCC

CCCC

CCCC

En inversant (1.2), on obtient :

1.4.2. Matriaux monocliniques:

Si le matriau a un plan de symtrie, monoclinique, quelques constantes sont zro et le

comportement peut tre dcrit avec 13 constants:

1.4.3. Matriaux orthotropes:

Sont des matriaux qui possdent 3 plans de symtrie orthogonaux, ces derniers ont les

mmes proprits ou caractristiques mcanique.

Ce qui rduit le nombre des coefficients indpendants 9 (Fig.1.2)

Donc :

Y

X Z

Figure 1.2 : matriau orthotrope


17

6.1

0

00

000

000

000

12

31

23

33

22

11

66

55

44

33

2322

131211

12

31

23

33

22

11

S

Ssym

S

S

SS

SSS

)5.1(

0

00

000

000

000

12

31

23

33

22

11

66

55

44

33

2322

131211

12

31

23

33

22

11

C

Csym

C

C

CC

CCC

En inversant le systme (1.5) on obtient

Le coefficients de souplesse sont dfinis par:

1

11

1

ES ;

2

22

1

ES ;

3

33

1

ES ;

4

44

1

ES

13

55

1

GS ;

2

2112

ES

;

3

32

23E

S

; 3

31

13E

S

; 12

66

1

GS

Avec :

ijE et ijG sont le module dYoung et Coulomb respectivement.

ij est le coefficient de Poisson

A cause de la symtrie:

11

12

22

21

EE

11

13

33

31

EE


18

33

32

22

23

EE

1.4.4. Matriaux transversalement isotropes:

Figure 1.3 : Matriau transversalement isotrope

Un matriau isotrope transverse est un matriau orthotrope qui comporte un axe ou un plan

d'isotropie.

Les proprits suivant les axes 2 et 3 sont identiques, donc:

3322 CC

1312 CC

6655 CC

Le nombre de coefficients indpendants se rduit 5 coefficients.

La loi de comportement s'crit:

12

31

23

33

22

11

66

66

2322

22

2322

121211

12

31

23

33

22

11

0

002

000

000

000

C

Csym

CC

C

CC

CCC

(I)

1.4.5. Matriaux quasi isotropes transverses:


Et la loi de comportement s'crit:

3

1

2


19

12

31

23

33

22

11

66

44

44

33

1311

131211

12

31

23

33

22

11

0

00

000

000

000

C

Csym

C

C

CC

CCC

(1.8)

1.4.6. Matriaux quasi isotropes:


La loi de comportement s'crit:

)9.1(

0

00

000

000

000

12

31

23

33

22

11

44

44

44

11

1211

121211

12

31

23

33

22

11

C

Csym

C

C

CC

CCC

1.4.7. Matriaux isotropes:

Matriaux dont les proprits physiques ou mcaniques sont identiques dans toutes les

directions : El =E2=E3=E

12 = 13 = 23 = (1.10)

G12=G13=G23 =G

Ce qui rduit le nombre des coefficients lastiques indpendants 2 (C11, C12).

)11.1(

2

02

002

000

000

000

12

31

23

33

22

11

1211

1211

1211

11

1211

121211

12

31

23

33

22

11

CC

CCsym

CC

C

CC

CCC

En termes de constantes techniques:


20

12

31

23

3

2

1

12

31

23

3

2

1

100000

01

0000

001

000

0001

0001

0001

G

G

G

EEE

EEE

EEE

(1.12)

Avec:

12

EG

Thorie des plaques minces

La thorie des plaques minces, ou thorie de Love Kirchhoff, suppose que

le plan moyen (quivalent de la courbe moyenne des poutres) est initialement plan ;

le feuillet moyen (quivalent de la fibre neutre des poutres) ne subit pas de

dformation dans son plan ; on ne considre que le dplacement transversal w des

points du feuillet moyen ;

modle de Kirchhoff : les sections normales au feuillet moyen restent normales lors de

la dformation ; en consquence, on peut ngliger le cisaillement ;

l'paisseur est faible ; en consquence, les contraintes dans le sens de l'paisseur sont

supposes nulles ;

elle reste une petite dformation [25].

Dplacement

Figure 1.3 : Dformation d'une plaque mince avec mise en vidence du dplacement

d'un lment de matire, de son feuillet moyen (rouge) et de sa fibre normale (bleue) [30].

Figure 1.4 : Dplacement du feuillet moyen (gauche) et d'une fibre normale (droite) [30].


21

Soit un point M(x, y, z) de la plaque au repos. l'instant t, sa position est M, et l'on dfinit le

vecteur dplacement

.

Pour une plaque un instant donn, les dplacements sur les axes u, v et w sont en fonction

du point M, donc de ses coordonnes (x, y, z), et de l'instant t.

Par hypothse, les dplacements verticaux sont les mmes pour tous les points d'une mme

fibre normale, on a donc : w(x, y, z, t) = w(x, y, t) [30].

La fibre normale en (x, y) tourne d'un angle x autour de l'axe x et d'un angle y autour de l'axe

y. Comme on est en petite dformation, l'arc de cercle dcrit par un point lors de la rotation de

la fibre normale est assimilable un segment de droite, et l'on a :

u(x, y, z, t) zy(x, y, t) ; v(x, y, z, t) -zx(x, y, t) ;

Ou encore

Les angles x et y reprsentant aussi la pente que prend le feuillet moyen, on a donc

galement :

Dformation

D'aprs la dfinition du tenseur des dformations, on a :

(1.13)

http://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur_des_d%C3%A9formations


22

15.10

66

2212

1211

xy

yy

xx

xy

yy

xx

S

SS

SS

xES

111

y

yx

x

xy

EES

12

yES

122

16.10

66

2212

1211

xy

yy

xx

xy

yy

xx

C

CC

CC

xyGS

166

.

1.5 Cas des Plaques Orthotropes:

Une plaque orthotrope possde des paramtres de rigidit diffrents selon deux axes

perpendiculaires, ces axes tant dans notre problme parallle aux bords de la plaque. Il existe

plusieurs types dorthotropie :

- une orthotropie de gomtrie o la gomtrie de la plaque entrane lorthotropie

module dYoung constant, - une orthotropie de matriau o la plaque possde deux modules

dYoung diffrents selon les deux directions. Les plaques orthotropes en flexion prsentent

une concidence entre les axes d'orthotropie et les directions principales x , y.

Pour un tat de contrainte plane

zz =yz =xz= 0

La relation entre le tenseur de dformation et le tenseur de contrainte sous forme matricielle

est la suivante :

Avec :

Pour obtenir la relation des contraintes en fonction des dformations on peut inverser

la relation prcdente qui donne

(1.14)[33].


23

yxxy

xEC

1

11

yxxy

xyx

yxxy

yxy EEC

1112

yxxy

yEC

122 xy

GC 66

17.10

00

000

000

12

31

23

22

11

66

55

44

22

1211

12

31

23

22

11

C

Csym

C

C

CC

Avec :

Si on prend en considration qu'il y a un cisaillement transversal La relation devienne

Avec:

C44=Gyz , C55= Gxz

1.5.1. Diffrentes formes des plaques orthotropes

Selon leurs formes il existe plusieurs types des plaques orthotropes :

Plaque ondule

Plaque, orthotrope constitue d'une plaque isotrope renforce par des raidisseurs

Plaque composite

Les 5 coefficients qui caractrisent la matrice de rigidit des plaques orthotropes en flexion

sont :

Nous avons donc :

Avec i, j = 1,2,6

211122123

11 D112

DDDhE

D yxxyyxxy

x

.hG D ,.h G D ,.h GD

112126613552344

3

22

yxxy

yhED

ijij Qh

D12

3


24

Dij= Qij.h Avec i=j=4,5

La forme de la matrice de rigidit a la flexion des plaques orthotrope sans 1ffet de

cisaillement transversal :

Ou

Si on tient compte du cisaillement transversal on a:

Les expressions de rigidit prcdentes sont sujettes de lgres modifications suivent la

nature de la matire employe sen particulier tout les valeurs de la rigidit la torsion Dxy

fonde sur des considrations purement thoriques doivent tre considres comme une

premire approximation et il est recommand d'tablir un essai direct pour obtenir les valeurs

convenables du module G en donc ci-dessous des valeurs habituelles des rigidits dans

certains cas pratiques

1.5.1.1. Plaque ondule:

Soit E et constant lastique de la plaque, h son paisseur, la surface est sous forme

d'onde sinusodale, s l'allure de l'ondulation et l la longueur de l'arc d'une demi onde (Fig.1.5).

Dy= EI D10 ;

66

2212

1211

00

0

0

D

DD

DD

D 18.100

0

0

1

1

xy

y

x

D

DD

DD

D

23

112

Eh

s

lDx

112

22

3h

l

sDH xy

2

22

4

.1

l

flS

2

2

25,21

81,01

2

l

f

hfI

15

0000

0000

0000

000

000

66

55

44

2212

1211

II

D

D

D

DD

DD

D (1.19)

Z

X

X

Y

O

l

f

Figure1.5 : plaque ondule


25

1.5.2. Plaque renforce:

Plaque consolide par des pices de renfort quidistantes, dans une direction pour une plaque

renforce symtriquement par rapport son plan moyen (Fig.1.6).

Ou E, et sont les constantes lastiques de la plaque

E' : Le module de Young et I moment d'inertie du renfort pris par rapport a l'axe moyen de la

section transversale de la plaque

On considre maintenant que la plaque est renforce en croix par deux sries quidistantes de

renforts, Si le renforcement et encore symtrique autour de la plaque nous avons:

Il : Etant le moment d'inertie d'une pice de renfort, bi l'espacement des renforts dans la

direction y. Plaque renforce par une srie de nervures quidistantes dans la (Figure1.7) les

thories prcdentes de la flexion de plaque ne donnent quune ide souccinte de l'tat de

contrainte et de dformation de la plaque. Soit E c'est le module de la matire I le moment

112

3

hED xx

20.1'

112 1

3

a

IEhED xy

21.1

'

112

'

112 1

1

2

3

1

3

a

IEEhD

b

IEhED yx

Figure 1.6 : plaque renforce par deux sries quidistantes de renforts

Z X

X

Y

O

l

h a1


26

d'inertie d'une section en T de largeur a1et = h/H. On suppose alors;

L'influence de la contraction transversal est nglige dans les formules ci-dessus on calcule

finalement la rigidit a la torsion, par l'expression:

Dxy= D'xy + C/2a1 (1.23)

Ou Dxy' est la rigidit la torsion de la plaque, sens des nervures et C la rigidit la torsion

d'une nervure (raidisseurs). C=GJ

J: moment d'inertie la torsion de la nervure

G : coef de coulomb ; Dxy : La rigidit la torsion de la plaque avec nervure.

1.5.3. Plaque Composite:

C'est une plaque constitue des renforts et une matrice. Les renforts sont des fibres dont leur

rle est dassurer la fonction mcanique. La matrice pour rle la liaison entre les renforts,

assurer leur protection, et de repartir les sollicitations (Fig.1.8).

;

.12 31

3

1

tta

hEaDx

)22.1(0; 1

1

Da

EIDy

Renfort

Matrice E11

E22

Figure 1.8 : plaque composite

2112

3

2222

2112

3

1111

112112

hED

hED

)24.1(.

111266

2112

1121

2112

22122112

hGD

EEDD

Z

X

X

Y

O

l

h a1

Figure 1.7 : plaque renforce par une

srie de nervures quidistantes

H


27

E11 module de Young dans le sens des fibres (renfort)

E22 : module de Young transverse

12 , 21 : coefficient de poisson principal (contraction transversale pour une charge dans le

sens des fibres)

G12 : Module de cisaillement

1.5.3. Plaque Stratifie:

C'est une plaque constitue d'un empilement de couches orthotropes dont les axes

d'orthotropie sont L,T,Z avec isotropie d'axe L (dans le plan TZ) (Figure 1.9)

- Chaque couche i est dfinie par les plans

Z=Zi , Z=Zi-1 et Zi

Chapitre II Analyse des plaques orthotropes

28

II Chapitre II : Analyse Des

plaques orthotropes

Chapitre II : Analyse des plaques orthotropes

2.1. Introduction:

L'utilisation de la mthode des lments finis pour l'analyse des problmes statiques et

dynamiques ncessite la connaissance, des quations de base de la thorie de l'lasticit

linaire.

Dans ce chapitre une analyse de ces quations de base prsente les relations entre contraintes

et dformations sera prsent ainsi que les quations diffrentielles de mouvement


29

2.2. Equations d'quilibres:

2.2.1. Equilibre des contraintes:

On tudie l'quilibre d'une plaque lmentaire plane Les contraintes sont uniformes suivant

les directions qui leurs sont normales c'est dire que la contrainte x varie en fonction de x

mais peut tre considre comme uniforme sur toute la largeur dy

Avec: x, y , xy, et yx et ont supposes indpendantes de z Le mode le d'quilibre de

l'lment sera (Figure 2.1)

Avec : Fx, Fy, Fz : les composantes de la force volumique suivant les directions x y , z

respectivement. Vu que 1lment est en quilibre la somme des forces projetes sur l'axe x est

nulle.

D'o: Fx=0

Aprs simplification on obtiendra:

(dx, dy) est diffrent de Zro, ainsi on aura

0.....

yxxyxx

yx

yxyxyx

x

xyx dddy

dddx

dXd

0.

yx

yxx ddXyx

aXyx

yxx .1.20

X

Y

X

Y

x

xy

yx y

dyy

yx

yx

dyy

y

y

dyx

yx

yx

dxy

x

x

Figure 2.1 : modle dquilibre dun lment


30

De mme lquilibre: des forces dans la direction y donne

Dans le cas tridimensionnel les quations d'quilibre s'crivent [6]:

2.2.2. Equilibre des forces

Prennent un lment dx, dy de la plaque et on suppose que la charge est perpendiculaire a la

surface de la plaque, les relations aux extrmits seront normales la plaque on tient compte

de la charge repartie sur la face suprieur de la plaque.

Les moments flchissant Mx et My, les moments de torsion Mxy et Myx ainsi que les efforts

tranchants Qx et Qy sont exprims par unit. [4]

En projetant les forces sur l'axe Z on obtient:

Aprs simplification on obtient

Moment des forces par rapport l'axe nglige le moment dcharge q et celui d la variation

de Qy.

Aprs simplification:

Donc les quations d'quilibre

bYxy

xyy.1.20

0

X

zyx

xzxyx

2.20

Y

zxy

xzxyy

0

Z

yxz

yzxzz

0.

xyyxxx

Y

YY

x

x dQdQdqddxy

QQd

x

QQ

0

q

y

Q

x

Q yx

0.

yxyxyyxyxy

Y

YYx

xy

xy ddQdMdMddy

MMdd

x

MM

0

x

xyx Qx

M

y

M

aqy

Q

x

Q yx .3.20

bQy

M

x

Mx

yxx .3.20

cQx

M

y

My

xyy.3.20


31

2.3. Types de forces appliques sur la plaque :

2.3.1. Forces extrieures:

On peut les Diviser en deux catgories forces volumiques et forces surfaciques

2.3.1.1 Forces volumiques:

Sont des forces distance surtout le volume du corps Elles s'expriment en force par unit de

volume [N/m31 par exemple on peut citer les forces de gravitation, les forces magntiques et

les forces d'inertie

2.3.1.2. Forces surfaciques:

Sont des forces de contact reparties sur toute la surface d'inertie Elles s'expriment en force Par

unit de surface [N/m]

2.3.2. Contraintes:

En appliquant sur un corps un systme de forces extrieurs ce qui entrane une rpartition des

particules lmentaires chaque force lmentaire correspond une contrainte ce qui va crer

un systme de force interne [6].

2.4. Forces et Moments Rsultants:

Efforts de cohsion et principe d'quivalence

Dans le cas des poutres, on peut dfinir les efforts de cohsion pour une section complte.

Dans le cas des plaques, il faut considrer deux sections perpendiculaires d'un petit lment

de matire ; les efforts intrieurs sont donc dfinis par mtre . On peut tablir une relation

entre le tenseur des contraintes et les efforts de cohsion (principe d'quivalence).

2.4.1. Moments flchissant

http://fr.wikipedia.org/wiki/Effort_de_coh%C3%A9sionhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur_des_contraintes


32

On peut dfinir deux moments flchissant :

le moment flchissant autour de l'axe y, qui s'exerce donc sur la face normale x ; il se

traduit par une rpartition linaire de la contrainte normale xx [33]:

;

le moment flchissant autour de l'axe x, qui s'exerce donc sur la face normale y ; il se

traduit par une rpartition linaire de la contrainte normale yy :

.

Ils s'expriment en N (Nm/m).

2.4.2. Moments de torsion

On peut dfinir deux moments de torsion :

Figure 2.3 : Moments de torsion et scission [30].


33

le moment de torsion autour de l'axe y, qui s'exerce donc sur la face normale y ; il se

traduit par une rpartition linaire de la contrainte de cisaillement yx [33]:

le moment de torsion autour de l'axe x, qui s'exerce donc sur la face normale x ; il se

traduit par une rpartition linaire de la contrainte de cisaillement xy :

.

Ils s'expriment galement en N (Nm/m).

2.4.3. Efforts tranchants

On peut dfinir deux efforts tranchants :

l'effort tranchant sur la face normale y ; il se traduit par une rpartition linaire de la

contrainte de cisaillement yz [33]:

;

l'effort tranchant sur la face normale x ; il se traduit par une rpartition linaire de la

contrainte de cisaillement xz :

.

Ils s'expriment N/m, et sont ngligs dans le cas des plaques minces.

Forces et moments rsultants:

2/

2/

.

h

h

zxzx dQ

2/

2/

.

h

h

zyzy dQ

4.2..2/

2/

h

h

zxx dZM

2/

2/

..

h

h

zyy dZM

2/

2/

..

h

h

zxyxy dZM

Figure 2.4 : Efforts tranchants et scission [30].


34

2.4.4. Particularits des plaques orthotropes.

Lexpression de lnergie potentielle fait intervenir les dformations et les contraintes

de ces parois. La loi de Hooke relie les contraintes aux dformations par lintermdiaire dune

matrice de rigidit dans le cadre des dformations lastiques. Nous tudions ici une plaque

mince, pour laquelle les composantes des contraintes et des dformations suivant la direction

Z sont prises comme nulles.

Dans le cas dune plaque isotrope, la matrice de rigidit scrit

Dans le cas dune plaque orthotrope, la matrice de rigidit scrit

2.5. Equation diffrentielles de dplacements:

(2.5)

(2.6)


35

La thorie des plaques est associe au nom de rassure/ Mindlin (plaques paisse) et de

love Kirchhoff (plaque mince). La thorie de Mindlin est base sur l'hypothse cinmatique

des sections droites o planes, L'influence des dformations de cisaillement transversal est

prise en compte, C' Elle de Kirchhoff est base sur l'hypothse de conservation des normales

(ngligeant l'influence des dformations de cisaillement transversal. La thorie de Kirchhoff

peut tre interprter comme un cas particulier de la thorie de Raissner / Mindlin. Si I'

influence de cisaillement transversal est faible un bon modle d'lment fini bas sur la

thorie de Mindlin devra donner des rsultats en accord avec la thorie de Kirchhoff.

2.5.1. Validit des thories de la plaque:

La validit de la thorie des plaques isotropes dpend des caractristiques gomtriques Les

hypothses de Mindlin seront appliques Si 4 < L/h < 20 et celles de Kirchhoff Si L/h > 20 o

L est une dimension caractristique dans le plan XY. Le rle des dformations de cisaillement

transversal dans les plaques orthotropes dpend non seulement des caractristiques

gomtrique (L/h), mais galement des caractristique mcaniques reprsentes par le rapport

E/KG (ou E est un module caractristique intervenant dans la flexion, G un module de

cisaillement transversal et K un facteur de correction de cisaillement transversal.

Pour valuer l'influence de cisaillement transversal on peut utiliser le coefficient

=(h/l)2 (E/KG) [7]

2.5.2. Plaque mince:

Les plaques sont des milieux continus plus compliqus que les poutres. La plus grande

complexit vient du fait que la description des vibrations des plaques introduites des fonctions

deux variables d'espace. On a donc affaire un milieu bidimensionnel (2D).

Nous montrerons en particulier que l'quation gnralement utilise est le rsultat

d'hypothses simplificatrices trs fortes, et qu'on emploie souvent cette quation en dehors (le

son domaine de validit.

La plaque tant bidimensionnelle, on a quelques fois intrt utiliser les coordonnes polaires

plutt que les coordonnes cartsiennes, nous dcrivons le passage entre les deux descriptions

et aboutirons ainsi aux quations de plaque de Love Kirchhoff en coordonnes polaires.

Si les dplacements sont trs petits par rapport l'paisseur de la plaque on peut faire les

suppositions suivantes

1) les plans perpendiculaires au plan moyen avant dformation restent

perpendiculaires ce plan aprs dformation


36

2) La contrainte normale z est petite par rapport aux antres composantes de

contrainte est peut tre nglige

3) Le plan moyen ne subit pas de dformation aprs la flexion

Considrons une section de la plaque parallle au plan xz (Figure 2.5) aprs dformation de la

plaque le point A se dplacera en A' d'une quantit x.

D' aprs premire supposition, le point qui se trouve sur une normale au plan moyen distante

de z de ce dernier avant dformation conservera, sa position par4apport au plan moyen aprs

dformation, la nouvelle position de b sera b'.

Le dplacement de b dans la direction x est:

U =-z.tg

Le dplacement tant petit alors

tg = =x

w

ainsi U=-z

x

w

(2.6)

De mme le dplacement du point B dans la direction Y sera:

V=

Il est a' remarquer que la premire supposition implique que les dformations angulaires sont

nulles. Les relations dplacements dformation seront:

x= 2

2

x

wz

b

A

z

U

A

b

X

Z X Z

w

Figure 2.5 : dformation de la plaque du point A au point A

6

III

y

wz (2.7)


37

y= 722

II

y

wz

yx

wzxy

2

2

En tenant compte de la deuxime supposition les relations dformations -contraintes seront :

En rsolvant le systme d'quation (2.8-2) les contraintes seront :

yyxxxyyx

xx

E

1

9.21

xxyyxyyx

y

y

E

xyxy G .

Les quations (2.8-2) peuvent tre sous la forme matricielle suivante:

Avec :

En substituant les quations (2.8-1) dans (2.9) on obtiendra :

2

2

2

2

1

.

y

w

x

wzEyx

xyyx

xx

11.21

.2

2

2

2

x

w

y

wzExy

xyyx

y

y

yx

wGzxy

2

..2

yxyx

x

xE

1

2.8.21 xyxyy

xE

xyxyG

1

xy

y

x

xy

y

x

Q

QQ

QQ

66

2212

1211

00

0

0

xy

wz

y

wz

x

wz

xy

y

x

2

2

2

2

2

(2.10)

(2.8.1)


38

- Dterminons les moments :

2/

2/

..

h

h

zxx dzM

2/

2/

2

2

2

2

.1

..

h

h

z

x

yx

xyyx

xx d

y

w

x

wzEzM

ay

wD

x

wDM xx .12.22

2

12

2

Avec :121

3hED

xyyx

x

x

121

3

1

hED

xyyx

xxy

La mme chose pour My et Mxy

2/

2/

2

2

2

22/

2/

.1

...

h

h

zxy

xyyx

yh

h

zxY dzx

w

y

wzEdzM

bx

wD

y

wDM yy .12.22

2

12

2

Avec : 121

3hED

xyyx

y

y

2/

2/

22

2/

2/

....

h

h

z

h

h

zxyxy dyx

wGzdzM

cyx

wDM xyxy .12.2.2

2

Avec 12

3

.12

Gh

Dxy

En remplaant (2.12.a) dans (2.12.b) et (2.12.c)

2

3

13

3

2yx

wDD

x

wDQ xyxx

13.222

3

13

3

xy

wDD

y

wDQ xyyy

On met : D2= D1+2Dxy

2

3

23

3

.yx

wD

x

wDQ xx

14.2.2

3

23

3

xy

wD

y

wDQ yy

Pour trouver lquation diffrentielle de dplacement on substitue (2.14) dans (2.3-a).


39

15.2.,..2.4

4

22

4

24

4

yxq

y

wD

xy

wD

x

wD yx

Dans le cas isotrope

Et l'quation (2.15) devient

16.224

4

22

4

4

4

D

q

y

w

yx

w

x

w

2.5.3. Thorie des Plaque paisse

Dformation de membrane ; Dans la thorie des plaques paisses, ou thorie de Reissner et

Mindlin, la fibre normale reste toujours rectiligne, mais n'est plus ncessairement

perpendiculaire au plan moyen. Si x et y dsignent les angles que fait la fibre normale avec

l'axe z, ils ne correspondent plus l'inclinaison du plan moyen, on a donc [11] :

Concernant le champ de dformation, les termes gardent leur forme gnrale

Et par ailleurs, 13 et 23 ne sont plus nuls :

,

On ne peut donc plus ngliger le cisaillement.

D'aprs la thorie de Mindlin on tient compte de leffet du cisaillement transversal xz et YZ

0 [12].

- Relations dformation dplacements


40

On sait que

U= z.Sx (x,y)

V= z.Sy (x,y) (2.17)

W=W (x,y)

La matrice de dformation s'crit comme suit:

En substituant (2.18) dans (1.12) on obtient

y

S

x

SzE yyx

x

xyyx

xxx

1

.

x

S

y

SzEx

xy

y

xyyx

y

yy

1

.

19.2

x

wSG yyzyz

y

wSG xxzxz

y

S

y

SG

yxxyxy

En substituant (2.17) dans (2.4) on obtient

y

SD

x

SDM

yx

x

1211.

y

SD

x

SDM

yx

y

2221.

18.2

2

2

2

x

wS

y

wS

x

S

y

Sz

y

Sz

x

Sz

y

v

x

u

x

y

yx

y

x

xz

yz

xy

xz

yz

xy

yy

xx


41

t

SA

t

SC

y

wSD

x

S

y

S

xD

y

SD

x

SD

y

yy

y

yxyx

22

2

255662212 .

22.2. 222

244661211 t

SA

t

SC

x

wSD

x

S

y

S

yD

y

SD

x

SD

x

xxx

yxyx

t

wA

t

wCyxq

y

wS

yD

x

wS

xD yx

12

2

15544 .,

0,5544

yxq

y

wS

yD

x

wS

xD yx

21.2044661211

x

wSD

x

S

y

S

yD

y

SD

x

SD

xx

yxyx

055662212

y

wSD

x

S

y

S

xD

y

SD

x

SD

yy

yxyx

20.2.44

x

wSDQ xx

y

wSDQ yy .55

y

S

x

SDM

yxxy .66

Ou :

121

3

11

hED

xyyx

x

;

121

3

22

hED

xyyx

y

12;.;.

3

665544

hGDGhDGhD xyxzyz ;

121

3

12

hED

xyyx

xyx

En remplacent (2.20) dans (2.3) on obtient les quations diffrentielles de dplacement :

Dans le cas dynamique les quations (2.21) peuvent scrire sous la forme suivante :


42

C1=h ; A1=h

C2=h3/12 ; A2=h

3/12

: La densit ; : cest la viscosit.

Chapitre III Analyse des plaques orthotropes par la mthode des lments finis

53

III Chapitre III: Analyse des

plaques orthotropes par La

mthode Des lments finis

Chapitre III : Analyse des plaques orthotropes par la

mthode des lments finis

3.1 Introduction:

Le traitement unique des problmes discrets standards va nous conduit la premire

dfinition des lments finis en tant que mthode d'approximation des problmes continus

a) Le milieu continu est divis en un nombre fini de parties (lments) dont le

comportement est continu partir d'un nombre fini de paramtres.

b) La solution du systme complet constitue de l'assemblage de ses lments suit

prcisment les mmes rgles que celles aux problmes discrets standards

La mthode lment finis constitue souvent le moyen le plus pratique pour calculer les

caractristiques lastiques d'une structure est modlise par un systme d'lments spars,

attachs qu'avec un nombre fini de nuds.

De ce fait lingnieur doit connatre la rpartition des contraintes et dformation dans les

milieux continus lastiques. Les caractristiques de la structure entire sont dtermines par

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MINCES SOUS L’EFFET DES CONDITIONS - … · Notre travail consiste en l’analyse du comportement statique et dynamique des ... et fiabilités des propriétés mécaniques ... Cas