C. R. Acad. Sci. Paris, t. 327, S~rie II b, p. 7-12, 1999 M~canique des milieux conlinus/Continuum mechanics (Milieux granulaires, sols, milieux poreux/Granular media, soils, porous media)

Mod lisation multiphasique de mat riaux renforc s par inclusions lin aires Bruno SUDRET, Patrick de BUHAN

Centre d 'enseignement et de recherche en m6canique des mat~riaux et des ouvrages, avenue Blaise-Pascal , cit6 Descartes , 77455 Marne-la-Vall~e cedex 2, France

ENPC, 6 et 8,

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(Requ le 22 mai 1998, accept6 le 3 juin 1998)

R~sum~.

Abstract.

On pr6sente un module multiphasique de matdriau renforc6 par inclusions lin6aires construit par la m6thode des puissances virtuelles. La matrice et les renforcements sont distribu6s continfiment et superpos6s en tout point. La mod61isation des efforts int6- rieurs rend compte du caract~re << milieu continu ,> de la matrice, << curviligne >> des renforcements, ainsi que de leur interaction. On en ddduit, par application du principe des puissances virtuelles, les 6quations du mouvement par phase et les conditions aux limites correspondantes. Un tel modBle multiphasique est particuli~rement bien adapt6 ~t la r6solution de probl~mes pour lesquels il n 'y a pas adh6rence totale entre la matrice et les renforcements. © Acad6mie des sciences/Elsevier, Paris

puissances virtuelles / milieu multiphasique / renforcement

A multiphase model for materials reinforced by linear inclusions

Making use of the virtual work method, a mechanical multiphase model for reinforced materials is developed. Matrix and reinforcement are continuously distributed. In modelling the internal forces, account is taken of the 'continuous' and 'curvilinear' characteristics of the matrix and reinforcements, and of their interaction. The corres- ponding equations of motion and associated boundary conditions are deduced for each phase by applying the virtual work principle. Such a multiphase model is a suitable framework for dealing with problems in which imperfect bonding between matrix and reinforcements should be taken into account. © Acaddmie des sciences/Elsevier, Paris

virtual work method / multiphase medium / reinforcement

Note pr~sent~e par Jean SALENI~ON.

1287-4620/99/032700007 © Acad6mie des sciences/Elsevier, Paris 7

B. Sudret, P. de Buhan

Abridged English Version A composite material made of a matrix reinforced by several arrays of differently oriented linear

inclusions may be regarded, on the macroscopic scale, as the superposition of mutually interacting phases, namely the matrix material and each family of reinforcement characterised by a unit vector e r ( r = 1 ..... N). Referring to the virtual work method, the corresponding space of virtual motions for such a multiphase system is defined by means of ( N + 1) virtual velocity fields { ~ 'm(x) ; ._~_Ur(X): r = 1 ..... N} = ~J(x_), where x is a current geometric point.

The virtual work method is then implemented by postulating for any multiphase system or sub- system the appropriate expressions for the virtual work of internal forces (4), external forces (5), and that of inertial forces (6). Equation (2) in particular shows that the model adopted for each reinforce- ment phase is that of inclusions working exclusively in tension and compression, thus disregarding any shear force and bending moment. The equations of motion are derived from the two statements of the virtual work principle.

The expression of the virtual work of internal forces is specified by equation (7) for any multiphase system or sub-system. It is clear from such an expression that, in addition to the partial stresses in the different phases (uniaxial stress contribution for each reinforcement phase), interaction forces between matrix and reinforcements are taken into account by N volume densities /r, which appear in duality with the reinforcement/matrix relative velocities (~r _ ~ ). Equations (9) represent the equations

N of motion formulated for each individual phase, allowing one to interpret __/r (resp. ~ _F) as a body

force density for the reinforcement phase r (resp. for the matrix phase). Furthe~r, 1equation (10) specify the boundary conditions for each phase. By summing equations (9) and (10) over all phases, equation (11) is obtained, where the total stress tensor 27 is defined as the sum of the partial stresses: _am in the matrix, equations and the uniaxial contrib~ions o "r e r @ d r in the reinforcements. The associated equations of motion and related boundary conditions are identical with those derived for a one-phase continuum.

As an application, the model proposed is relevant for solving boundary value problems which involve an inclusion-reinforced material, where a perfect bonding assumption between the constituents can be made. It corroborates the results obtained in such a case by means of homogenisation methods (see for instance [5], in the context of yield design).

More generally, the multiphase model is particularly well suited for dealing with boundary value problems in which perfect bonding between matrix and inclusions can no longer be assumed, and different kinematics for the different phases should be considered in the analysis. Indeed, while the constitutive behaviour of each individual phase is classically expressed in the form of a relationship between the corresponding partial stress (_am o r a r) and the strain associated with the phase

individual kinematics, the interaction forces I r may be related in the same way to the displacement of each reinforcement phase relative to that of the matrix.

Furthermore, it should be noted that the proposed multiphase model can readily be extended to account for shear forces and bending moment distributions along the inclusions. This is simply achieved by adding a rotation velocity field to the kinematics of each reinforcement phase. The equations of motion obtained from such an extension prove identical with those derived from a mixed modelling approach [6], leading to a description of the reinforced material as a micropolar continuum.

1. Introduction

On s'int6resse ~ un mat6riau composite constitu6 d'une matrice au sein de laquelle on vient disposer des inclusions de renforcement lin6aires orient6es selon diff~rentes directions (renforcement multidi-

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Mod~lisation multiphasique de mat~riaux renforc~s

rectionnel). Se plaqant d'embl6e ~ l'6chelle macroscopique, on adopte une description multiphasique, en ce sens que le mat6riau renforc6 apparAt /t cette 6chelle de description comme r6sultant de la superposition de plusieurs milieux continus (phases) en interaction mutuelle. Elle est donc identique, dans son principe, h celle adopt6e par Dormieux et al. [1] pour mod61iser un milieu poreux. Tout comme dans ce dernier cas, la construction du module m6canique pour le mat6riau renforc6 s'appuiera sur la m6thode des puissances virtuelles [2, 3].

2. Principe de la mod61isation multiphasique

On suppose que les inclusions de renforcement peuvent &re regroup6es en un nombre fini N de familles distinctes, chacune de ces familles &ant caract6ris6e par une orientation rep6r6e par le vecteur unitaire er ( r = 1 ..... N) . l~tant donn6 un volume £2 de mat6riau renforc6, ~ tout point de £2 sont attach6es une particule de matrice et N particules de renforcement caract6ris6es par leur position g6om6trique x_. On appelle phase l 'ensemble des particules d'un m6me type. Un sous-systbme 5e'g est donc dit monophasique s'il est constitu6 des seules particules de la phasej ~ {m ; r = 1 ..... N} contenues dans I2'. De mEme, un sous-syst6me Y est dit muhiphasique s'il est constitu6 de toutes les particules de toutes les phases contenues dans un volume ( 2 ' c £2.

L'espace des mouvements virtuels est d6fini par l 'ensemble de ( N + 1 ) champs de vitesse _ ~ et ~r, r = 1 ..... N continus et continOment diff6rentiables sur £2. On note : 0 ( x ) -- { 0 ~ ( x ) ;___0r(x) ' r -- 1 ..... N}, les mouvements r6els du systbme &ant inclus dans cet espace.

3. Puissance virtuelle des efforts int6rieurs

On fait l 'hypothbse que la puissance virtuelle des efforts int6rieurs s'obtient par int6gration d'une densit6 volumique sur tout sous-syst6me occupant un volume f2'. Cette densit6 comprend les termes associ6s ~ chacune des phases, ainsi que les termes d'interaction entre chaque phase de renforce- ment et la matrice, toute contribution provenant de l'interaction entre deux directions de renforce- ment gtant ici nggligge.

Pour la matrice, on postule classiquement que la densit6 de puissance des efforts int6rieurs d6pend lin6airement du champ de vitesse et de ses d6riv6es premieres en x, soit :

p~i)m(0(X)) -- - ( A m ( x ) • L2m(x) + _&"grad t )m(x ) ) (1)

En ce qui concerne les inclusions, on retient une mod61isation de type << barre >>, pour laquelle la densit6 de puissance des efforts int6rieurs en x d6pend lin6airement du champ de vitesse et de sa d6riv6e le long de la direction de renforcement e r, soit •

p~i)r(~(X) ) = - ( A r ( x ) • ._._ur(x) ~ - o ' r ( x ) " d g~(x) /ds ~)

= - ( A r ( _ x ) • ~ ' ( x _ ) + ( £ ~ ® _ a ~ ( x ) ) ' g r a d l f ( x ) ) (2)

off s r d6signe l 'abscisse curviligne le long de la direction e . Supposant enfin que l ' interaction entre chaque phase de renforcement et la matrice est ponctuelle, on retient l 'expression "

, ( . ) P(i ) ( ~ - J ( x ) ) = -- F ( X ) " ~Vm(x) -}- E - lr(X) " U----r(x) r = ]

(3)

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B. Sudret, P. de Buhan

L'expression de la puissance des efforts intErieurs pour un sous-systhme 5e" va dEpendre de son caracthre mono- ou multiphasique. Dans le premier cas, pour 5P 'j on a simplement

[ ' j ^ = ,P(i) (02(_x)) d e ' . Dans le second, on somme les contributions de chaque phase et e,a

les termes d'interaction pour obtenir la forme gEndrale •

p ~ i ) ( O ) = - Jo!A__ m -/~i" + _#~ • grad/_if'} d e '

fo2 - , {A c . O r + ( e r ® _a c ) ' g r a d O r } d e '

:o{ } - , F L ~ + _/r .__Or d e ' =

(4)

4. P u i s s a n c e v ir tue l l e des ef forts ex t6r ieurs et des quant i t6s d 'acc616rat ion

Pour tout sous-systEme monophasique 5P 'j occupant un domaine gEomEtrique e ' , les efforts extErieurs pris en compte dans le modhle sont de trois types :

- des forces de volume correspondant h l 'action h distance exercEe par l'extErieur du syst6me multiphasique complet ~ , caractErisdes par une densitd volumique p b ( x ) U ( x ) indEpendante du sous-systbme considEr6 ; - des efforts de contact dEfinis sur le pourtour 0 e ' par une densit6 surfacique _T~,(x) ; ils correspondent aux actions exercdes sur 5 ~'j par les particules de la phase j extdrieures h Y J ; - des efforts d'interaction avec les autres phases, d6finis par une (resp. N) densitd(s) volumique(s) si j = r (resp. j = m).

Dans le cas d'un sous-systEme muhiphasique, les efforts d'interaction ont le statut d'efforts intE- rieurs, dont l'expression de la puissance virtuelle est donnEe par l'6quation (3). La puissance virtuelle des efforts extErieurs h tout sous-syst6me multiphasique se rdduit doric ~ •

IV

: ( x ) F'(x) • ~ ( x ) + ~ p'(x) F_'(x) r = l

~(x_)) de'

+ T~,(x). _~(x) + ~] r;~,(x)- O'(x) -(2 ' r = l

dS' (5)

Enfin, la puissance virtuelle des quantitEs d'accE1Eration sur tout sous-systhme s'exprime classique- ment comme suit •

oh kfl(x) dEsigne l'accElEration de la particule de la phase j.

d e ' (6)

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Moddlisation multiphasique de matdriaux renforcds

5. Mise en ~euvre du P.P.V.

La nullitd de la puissance virtuelle des efforts intdrieurs dans tout mouvement virtuel 0 rigidifiant un syst~me ou un sous-syst6me quelconque s'6cfit ~ i ) ( ~ ) = 0 . Pour un champ de la forme ~ ( x ) = {0 ..... UJ(x), 0 .... } rigidifiant un sous-syst6me monophasique quelconque 5g j, on obtient, compte tenu des dquafions (1) et (2), _Am(x) = Ar(x) = 0, ainsi que la sym6trie des tenseurs _a~(x) et £r ® _at(x), la seconde condition signifiant que _ar(x ) = a~(x ) e ,

De m~me, pour un sous-systbme multiphasique 5 f quelconque, la nullitd de la puissance des efforts intdrieurs dans tout mouvement rigidifiant ce sous-syst6me permet de rd6cfire le terme

N

d'interaction (3) sous la forme p~ , ) ' ( 0 ) = - ~'~ i f ( x ) . (Ur (x ) - / . ~ ( x ) ) qui fait donc intervenir r - 1

les vitesses relatives des renforcements par rapport h la matrice. L'expression (4) se simplifie finalement en :

N } ( x ) "grad0'n(x_) +'~-'~ (o ' r (x)er@ e r ) " g r a d U r ( x ) dO'

r= : ]

- , i f ( x ) . ( ~ ( x ) - / ~ ( x ) ) d l 2 ' (7)

Le second 6noncd s'dcrit, en rdf6rentiel galilden, pour tout sous-systbme et tout mouvement virtuel :

~7',~C[,~, VO re.v, ~(i)(O)-~-~(e)(~J) =,~ ' (0 ) (8)

I1 est possible de regrouper les termes associds ~t chaque champ de vitesse 0 j, j e {m ; r = 1 ..... N}, en appliquant en particulier le thdor6me de la divergence ~ la puissance des efforts intdrieurs de chaque phase. Sous r6serve d'une r6gularitd suffisante des champs _o ~ et a r, on obtient alors ( N + 1 ) dquations du mouvement inddpendantes •

N

div am(x) +p~(x) (_~(x_) - 7~(x_)) + ~ if(x) =_0 r=l

d i v (o'r(X)dr(~ dr) +pr(x_) (F___r(x_) -Z (X) ) - i f (x ) =0,

ainsi que les conditions aux limites par phase de la forme •

r = l ..... N

(9a)

(9b)

T~, (_x)=a~(_x) .n(_x) , T b , ( x _ ) = a r ( x ) ( n ( _ x ) - e r ) _ e . r = l ..... N (10)

Les efforts intdrieurs sont ddcrits par le champ de contraintes _am dans la matrice, un champ de

contraintes uniaxiales a r e r ® e r pour chacune des phases de renforcement, ainsi que N champs de forces volumiques d'interaction F. La sommation des dquations (9) et (10) sur toutes les phases donne •

~'div__X(_x) + p ( x ) ( _ F ( x ) - 2(x_)) = 0 gx e n ' v n ' = n , on ' (11)

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B. Sudret, P. de Buhan

oh l'on a d6fini pour tout point x :

N

T i pF:£]gJF ), T__.Q,:£_[2, , Z=o'mq-£o'rer@er, p~_:£pJ~ (12) j y r = l j

On reconnait dans (11) les 6quations du mouvement et conditions aux limites obtenues classiquement pour un milieu continu de Cauchy monophasique. __Z repr6sente le tenseur des contraintes

totales, tandis que _~ e t a r d6signent les contraintes partielles respectivement dans la matrice et dans chaque phase de rgnforcement. On observera notamment que les termes d'interaction entre phases n'apparaissent plus dans ces 6quations.

6. Applications du module

L'6criture des 6quations du mouvement par phase (9), associ6es aux conditions aux limites (10), permet d'aborder dans un cadre m6canique appropri6 la r6solution de probl~mes aux limites pour des systbmes en mat6riau renforc6 par inclusions lin6aires.

Dans le cadre de la th6orie du calcul ~ la rupture et le cas particulier de l'adh6rence parfaite, la mod61isation du mat6riau renforc6 se famine hun milieu continu monophasique dont les propri6t6s de r6sistance, exprim6es sur la contrainte totale _Z" ddfinie par les relations (12), sont identiques ~ celles d6termin6es h partir d 'un raisonnement d'hb--mog6n6isation p6riodique [4].

Plus g6n6ralement, la r6solution du m~me type de probl~me, dans l'hypothbse d'un comportement des constituants 616mentaires, est rendue possible en s' appuyant sur le modble multiphasique pr6cEdent. En attribuant des cin6matiques distinctes (d6placements) aux diff6rentes phases, le comportement de ces derni~res s'exprime sous la forme de relations entre les contraintes partielles et les d6formations associ6es aux cin6matiques des phases, mais 6galement entre les forces d'interaction et les d6place- ments relatifs entre chaque phase de renforcement et la matrice. Dans le cas de l'adh6rence totale, of a la cin6matique est d6crite par un seul champ de d6placement, et d'un comportement 61astique parfaitement plastique des phases, le comportement obtenu pour le mat6riau renforc6 appara~t comme 6tant de type 61astoplastique avec 6crouissage (mod6le standard g6n6ralis6) [5].

Signalons enfin que le module multiphasique peut 6tre 6tendu h la prise en compte des efforts de flexion et de cisaillement dans les inclusions de renforcement, par l'enrichissement de la cin6matique de ces dernibres (champ de taux de rotation {2r). Les 6quations qui en d6coulent sont, dans l'hypoth6se d'adh6rence parfaite, celles d 'un milieu micropolaire, r6sultat identique h celui obtenu par de Buhan et al. [6] par passage ~ la limite h partir d 'une mod61isation mixte.

R6f6rences bibliographiques

[1] Dormieux L., Coussy O., de Buhan E, Mod61isation m6canique d 'un milieu polyphasique par la m6thode des puissances virtuelles, C. R. Acad. Sci. Paris, sdrie IIb 313 (1991) 863-868.

[2] Germain P., M6canique, I e t II, Ellipses, Paris, 1986. [3] Salen~on J., M6canique des milieux continus, tome I. Concepts g6n6raux. Ellipses, AUPELF/UREF, Paris, 1996. [41 de Buhan P., Talercio A., A homogenization approach to the yield strength of composite materials, Eur. J. Mech., A/Solids 10

(2) (1991) 129-154. 151 de Buhan P., Sudret B., A two-phase elastoplastic mode] for unidirectionally-reinforced materials and its numerical

implementation, Int. J. Plas. (1998) soumis pour publication. 16] de Buhan P., Dormieux L., Salen~on J., Mod61isation micropolalre de la r6sistance d 'un milieu renforc6 par inclusions, C. R.

Acad. Sci. Paris, sdrie Ilb 326 (1998) 163-170.

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