Modélisation

Nuage de points

Les travaux statistiques nous permettent de faire des observations sur des phénomènes, des objets, des populations, etc.

En sciences, l’analyse de données issues d’expériences ou d’études statistiques est un élément essentiel de la recherche.

Tous les résultats ne correspondent pas toujours à des situations parfaites.

Cependant, lorsqu’un lien est mis en évidence et que son intensité a été mesurée, il devient possible de le modéliser à l’aide d’une fonction.

Exemple :

Pays Taux de mortalité infantile (%)

Angola

Argentine

Bangladesh

Canada

Côte d’Ivoire

Égypte

États-Unis

Haïti

Inde

Mexique

Nicaragua

Pérou

Sierra Lone

Vietman

Espérance de vie (années)

46,5

72,9

58,1

79,0

46,7

66,3

76,7

53,7

62,6

72,2

67,9

68,3

37,2

67,4

12,5

2,2

7,5

0,6

8,7

5,1

0,7

7,1

7,1

3,1

4,3

4,0

17,0

2,9

Les données suivantes proviennent d’un rapport paru en 2000 portant sur le développement dans le monde.

Développement dans le monde

0

Mortalité infantile (%)

4

2

6

10

8

14

12

16

20

18

20 40 60 80 100

Espérance de vie (années)

En reportant ces données dans un plan cartésien, nous obtenons :

- l’espérance de vie, en abscisse;

- la mortalité infantile, en ordonnée.

En plaçant chaque couple,

nous obtenons une représentation graphique de la situation.

Les points ne sont pas parfaitement alignés, mais une certaine tendance se dessine.

Cette situation s’apparente à une fonction linéaire de variation partielle.

Cette situation peut donc être modélisée par une fonction linéaire.

Certains nuages de points ne révèlent rien de particulier.

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2 3 4 5 6 7 8

4567891011121314151617

2 4 6 8

D’autres, au contraire, sont très significatifs.

Plus il y a de données, plus le nuage est représentatif.

Les nuages de points peuvent prendre diverses formes. Lorsque le lien est fort (les points sont très rapprochés les uns des autres, on peut les modéliser).

Modélisable par une fonction linéaire.

Modélisable par une fonction inversement proportionnelle.

Modélisable par une fonction constante.

y

x

y

x

y

x

1111121212121213

13141414141515151516

13

142123142140160148148140

155155172160157155165165167180

161

Âge Taille (cm)

Exemple :

Comment construire un nuage de points

Ce tableau représente l’âge et la taille (en cm) d’un échantillon d’adolescents.

1111121212121213

13141414141515151516

13

142123142140160148148140

155155172160157155165165167180

161

Âge Taille (cm)

Chaque couple de données s’écrit comme un couple de coordonnées dans le plan cartésien.

( 11, 142 )

Chaque couple sera inscrit dans un plan cartésien.

La première coordonnée

(ici, l’âge)

sera représentée

sur l’axe des abscisses.

La deuxième coordonnée

(ici, la taille)

sera représentée

sur l’axe des ordonnées.

La graduation des axes est importante.

1111121212121213

13141414141515151516

13

142123142140160148148140

155155172160157155165165167180

161

L1 L2

Sur un même axe, la distance entre les échelons doit être égale.

Pour une meilleure interprétation, le graphique devrait avoir une forme approximativement carrée.

Comme chaque trait représente une unité et que, par rapport à l’origine, il y a plusieurs unités qu’on n’utilise pas, il faut penser à mettre ce petit symbole :

1111121212121213

13141414141515151516

13

142123142140160148148140

155155172160157155165165167180

161

L1 L2

Pour déterminer la graduation, calcule l’étendue de chaque distribution (chaque colonne).

L1: 16 – 11 = 5

Comme l’étendue est très petite, chaque trait vaudra 1.

On commence avec un nombre inférieur à la première donnée et on termine avec un nombre supérieur à la dernière donnée.

Donc, de 10 à 17

10 11 12 13 14 15 16 17

Remarque :

Âge

1111121212121213

13141414141515151516

13

142123142140160148148140

155155172160157155165165167180

161

L1 L2

Pour déterminer la graduation, calcule l’étendue de chaque distribution (chaque colonne).

L’étendue de la distribution est de 180 – 123, donc de 57. Six intervalles peuvent être utilisés d’une largeur de 10 unités chacun.

L2: - 123 = 57180

120

130

140

150

160

170

Pense à

Taille (cm)

180

10 11 12 13 14 15 16 17 Âge

120

130

140

150

160

170Taille (cm)

180

Nous pouvons maintenant tracer le nuage de points.

1111121212121213

13141414141515151516

13

142123142140160148148140

155155172160157155165165167180

161

L1 L2Répartition d’un échantillon d’adolescents en fonction de l’âge et de la taille

Il faut être le plus précis possible.

Remarque :

on inscrit alors un 2 à côté du point pour indiquer qu’il y en a 2.

ici, on a 2 fois le couple (12 , 148);

2

2

Voilà, le nuage de points est tracé.

10 11 12 13 14 15 16 17 Âge

120

130

140

150

160

170Taille (cm)

180

Répartition d’un échantillon d’adolescents en fonction de l’âge et la taille

2

2

Ici, le nuage de points est assez dispersé; le lien entre les variables est donc faible et non significatif.