Université de Provence Aix-Marseille I

Centre de Télé-Enseignement Sciences

Mécanique des fluides visqueux et phénomènes d'interface

Application au phénomène des larmes du vin

Mémoire de recherche de Master 1 Physique-Chimie

par Gildas GOLDSZTEJN

sous la direction du Pr Pierre Taxil

suivi scientifique assuré par le Pr Marc Léonetti

Année 2011-2012

1

Remerciements :

Pour son aide précieuse, sa patience et ses conseils judicieux je tiens tout d'abord à remercier

Mr Marc Léonetti sans qui j'aurais eu beaucoup de mal à avancer dans la rédaction de ce mémoire,

et notamment à faire le tri parmi le flot d'informations à ce sujet.

Je tiens aussi à remercier l'Université d'Aix-Marseille I et notamment Mr Pierre Taxil,

responsable du M1 Physique et applications – Physique-Chimie – pour m'avoir accepté comme

étudiant, avoir répondu à mes nombreuses questions et avoir été présent lors de ce parcours un peu

délicat du M1 par téléenseignement.

Merci aussi au Pr. Peter Beyer qui au travers de son cours sur l'hydrodynamique m'a donné

envie de faire mon mémoire dans un sujet en lien avec ce domaine de la physique.

Je tiens aussi à remercier Mr Quinton, directeur du collège-lycée Les Francs-Bourgeois

(Paris 4ème) pour m'avoir encouragé lors de ces deux années de M1 et de ne pas m'avoir tenu

rigueur de mes nombreuses absences pour passages d'examens à Marseille.

Enfin un merci particulier à Jan-Jokke Harms, technicien supérieur de laboratoire au

collège-lycée Les Francs-Bourgeois pour m'avoir filmé et aidé à mettre en place les expériences en

pièces jointes de ce mémoire.

2

Table des matières Remerciements :.................................................................................................................................2 Table des matières : ...........................................................................................................................3Introduction..........................................................................................................................................4I. De la mécanique des fluides à la microfluidique..............................................................................5

1.Nombre de Reynolds et écoulements............................................................................................5 a. Nombre de Reynolds............................................................................................................5 b. Différents types d'écoulements............................................................................................6

2.Les écoulements de Stokes...........................................................................................................8 a. Formule de Navier-Stokes ...................................................................................................8 b. Définition des écoulements de Stokes................................................................................10 c. Propriétés des écoulements de Stokes................................................................................11

3.Pertes de charge dans un cylindre...............................................................................................11 a. Définition des pertes de charges.........................................................................................12 b. Ecoulement de Poiseuille...................................................................................................12 c. Calculs des pertes de charges.............................................................................................14

Conclusion.........................................................................................................................................16II. Les phénomènes d'interface...........................................................................................................17

1.Tension superficielle...................................................................................................................17 a. Définition et origine physique............................................................................................17 b. Variation en fonction de la température.............................................................................18 c. Variation en fonction du nombre de molécules tensioactives (surfactants).......................19 d. Loi de Laplace....................................................................................................................20

2.Capillarité....................................................................................................................................22 a. Ligne triple.........................................................................................................................22 b. Notion de mouillage...........................................................................................................23 c. Ascension capillaire............................................................................................................24

Conclusion.........................................................................................................................................26III. Les larmes du vin..........................................................................................................................27

1.Présentation du phénomène........................................................................................................27 a. Présentation et illustration..................................................................................................27 b. Effet Marangoni.................................................................................................................27

2.Différentes étapes........................................................................................................................29 a. La remontée du vin le long du verre...................................................................................29 b. La formation des larmes et retombée du liquide................................................................30

3.Résolution d'un exercice.............................................................................................................31 Conclusion.........................................................................................................................................38 ANNEXE ..........................................................................................................................................39 Bibliographie :...................................................................................................................................41 Sitographie :.......................................................................................................................................42

3

Introduction

Ce mémoire aborde un domaine particulier de la mécanique des fluides appelé microfluidique et ce

au travers d'un phénomène observable dans la vie courante : les larmes du vin.

Pour bien comprendre (et expliquer) ce phénomène, il nous a semblé intéressant de faire dans un

premier temps la distinction entre les différents types d'écoulement d'un fluide, nous permettant

ainsi de définir les écoulements de Stokes qui correspondent à la remontée du vin le long du verre.

La partie sur les pertes de charges nous permet de comprendre le fait que pour les écoulements de

Stokes (ou rampants), la vitesse de remontée du vin le long du verre est quasiment constante car il y

a très peu de pertes de charges.

Dans un second temps nous tentons de décrire plus précisément les phénomènes se déroulant à

l'interface entre le vin (constitué d'alcool et d'eau principalement), le verre et l'air. Pour ce faire nous

avons besoin d'introduire une notion primordiale : la tension superficielle et son rôle dans la

formation des gouttes ou l'étirement de films le long d'une paroi.

La notion de mouillage explique en particulier l'interaction entre un liquide, la surface solide sur

laquelle il repose et l'air environnant.

Pour terminer nous étudierons en détail le phénomène des larmes du vin, dans un premier temps

nous présenterons le phénomène en détaillant chaque étape de la remontée du vin à la formation des

larmes, en présentant les facteurs influançant ce phénomène. Puis au travers de la résolution d'un

exercice nous tâcherons de donner un modèle, basé sur l'effet Marangoni, permettant d'essayer de

déterminer le lien entre le gradient de concentration en alcool et la vitesse de formation des larmes.

4

I. De la mécanique des fluides à la microfluidique

1. Nombre de Reynolds et écoulements

a. Nombre de Reynolds

Lorsque deux fluides sont en contact, ou lorsqu'un même fluide possède un léger excès de vitesse

selon une direction alors à l'interface, il existe un échange de quantités de matière entre les zones

"riches" et "pauvres" tendant à homogénéiser le champ de vitesse.

Ce processus de transport est appelé "processus de diffusion".

La quantité de matière d'un fluide réel est donc transportée de proche en proche par des mécanismes

de diffusion visqueuse opérant à l'échelle moléculaire.

De plus une particule de fluide de volume V et de vitesse hydrodynamique x , t (1.1)

transporte en se déplaçant sa propre quantité de mouvement : p=V v (1.2). On dit que la quantité

de mouvement est advectée par l'écoulement.

Il y a compétition entre transport par advection et par diffusion que l'on peut quantifier par un

nombre sans unité : le nombre de Reynolds (Re).

On définit alors ce nombre comme : Re=Flux advectif de quantité de mouvementFlux diffusif de quantité de mouvement

• La diffusion domine pour Re << 1

• L'advection domine pour Re >> 1

L'efficacité de chacun des deux mécanismes de transport de quantité de mouvement (diffusion et

advection) dépend des propriétés physiques du fluide (inertie, viscosité) et des caractéristiques de

l'écoulement (vitesse, géométrie).

Soient τD

et τA les temps caractéristiques respectivement d'un transport de fluide par diffusion et par

advection.

On définit τD

comme : D=L 2

(1.3) où L est la longueur sur laquelle diffuse le fluide et ν est le

coefficient de viscosité cinématique défini par : = (1.4)

avec η le coefficient de viscosité dynamique en Pl

et ρ la masse volumique du fluide en kg.m-3.

5

On définit τA comme : A=

LU (1.5)

avec U la vitesse caractéristique du transport advectif en m.s-1

On peut donc donner une définition du nombre de Reynolds :

Re=D

A=U.L (1.6)

b. Différents types d'écoulements

A des nombres de Reynolds différents correspondent des écoulements de natures différentes.

Selon les terminologies, il existe trois ou quatre types d'écoulements différents :

• Ecoulements rampants (ou de Stokes) : ce sont des écoulements à très bas

nombres de Reynolds : Re << 1.

Dans ce type d'écoulement, la vitesse du fluide est très faible, il y a symétrie

de part et d'autre de l'obstacle.

• Ecoulements laminaires : au-delà du régime Rampant mais à des nombres de

Reynolds modérés, l'écoulement est stable. La caractéristique principale de cet

écoulement est que les couches de fluide glissent et frottent les unes sur les autres

6

Figure 1 : Ecoulement de Stokes autour d'un obstacle sphérique

avec pour seuls transferts entre elles ceux dus à l'agitation moléculaire.

L'écoulement reste cependant parallèle.

• Ecoulements turbulents : ce sont des écoulements à nombre de Reynolds élevé

(>>2000 en général). Dans ce régime l'agitation moléculaire interne à

l'écoulement est très forte et chaotique. Il en résulte une intensification des

échanges au sein du mouvement.

Lorsqu'un fluide s'écoulant à grande vitesse rencontre un obstacle il se forme

des tourbillons qui finissent par créer des boucles dans les lignes de courant.

• Etat intermédiaire (ou intermittent) : pour certains mécaniciens des fluides, il

7

Figure 2 : un type d'écoulement laminaire : l'écoulement de Poiseuille

Figure 3 : Ecoulement turbulent

n'est pas caractérisé par un régime d'écoulement en soi, il s'agit en fait d'un état

transitoire entre les régimes laminaire et turbulent, l'écoulement devenant alors

moins stable. Des études récentes1 tendent cependant à prouver que le passage de

l'état laminaire à l'état turbulent ne se fait pas "au hasard" ou de façon chaotique,

mais progressivement. Il semble donc qu'il existe une gamme de nombre de

Reynolds pour laquelle ce passage s'effectue (~2000).

2. Les écoulements de Stokes

a. Formule de Navier-Stokes

Pour pouvoir caractériser le mouvement d'un fluide, on s'en réfère à l'équation fondamentale de la

dynamique.

La démonstration de cette équation se fait à partir des interactions surfaciques et volumiques d'une

particule de fluide, puis en l'intégrant sur la surface et le volume.

La somme des forces surfaciques et volumiques s'appliquant sur cette particule constituent la

somme des forces extérieures au système.

Cette démonstration est hors propos de ce mémoire, ainsi allons nous simplement écrire en

considérant une particule de fluide de masse dm :

1 Eckhardt en 2007 et Kerswell en 2005.

8

Figure 4 : Ecoulement intermédiaire : formation de tourbillons stables (ou rouleaux de fluide) mais l'écoulement reste symétrique

Figure 5 : lorsque Re augmente des tourbillons se détachent tandis que d'autres se forment, les lignes de courant sont encore identifiables

dm d v dt=−∇ p d g d v

(1.7)

Or dm=d (1.8) où ρ est la masse volumique du fluide (en kg.m-3)

et dτ l'élément de volume occupé par la particule (en m3)

Soit en simplifiant par le volume on obtient :

d v

dt=g− ∇ p v (1.9)

En utilisant les propriétés de l'opérateur gradient, on peut écrire :

d v dt=∂v ∂ t

v . ∇ .v (1.10)

D'où finalement une écriture possible de l'équation de Navier-Stokes :

d v

dt=[

∂v ∂ t

∇v .v ]=− ∇ pv (1.11)

où p est le gradient de pression motrice : p= p g z (1.12)

L'équation de Navier-Stokes est non-linéaire du fait de l'existence d'un terme d'advection :

∇v .v (1.13)

Ce qui rend cette équation difficile à résoudre, d'où la quasi-nécessité de la simplifier en négligeant

certains termes suivant les modèles étudiés.

Pour conclure sur cette équation on définit les termes de celle-ci :

d v

dt: termeinertiel − ∇ p : terme de pression v : terme visqueux

9

Remarque : pour se donner une idée de la complexité de la résolution de ce genre

d'équation, en se plaçant dans le cas d'un fluide compressible (gaz) le problème présente 6

inconnues scalaires!

Le champ de pression, le champ de vitesses (3 composantes), le champ d'état chimique du fluide et

le champ de température2.

b. Définition des écoulements de Stokes

"Un fluide newtonien incompressible est dit en écoulement de Stokes ou rampant si l'on peut

négliger les termes inertiels dans l'équation de Navier-Stokes devant le terme visqueux diffusif."3

Ceci implique plusieurs simplifications dans la formule de Navier-Stokes.

Comme vu au I.1.a., le terme visqueux diffusif domine si Re<<1, soit :

Re=∇v .v v

=U.L≪1 (1.14)

Ou encore :

D

A≪1 (1.15) avec D

: temps caractéristique de diffusion visqueuse

et A : temps caractéristique de convection

On peut aussi négliger le terme d'évolution temporelle de l'équation de Navier-Stokes, en posant

que :

∂ v∂ t

v ≪1 (1.16) Le régime d'écoulement est dit "quasi-statique".

Pour faire ces approximations nous devons considérer un système de petite taille (c'est-à-dire L

petite) ce qui est le cas des systèmes étudiés en microfluidique.

L'équation de Navier-Stokes se réduit alors à l'équation de Stokes :

2 D'après Cours de Mécanique des fluides J.ROUSSEL C.P.I.2 - Chem.I.St2 : 2005-2006

3 D'après le cours de mécanique des fluides d'Emmanuel Plaut, ENSMN

10

v=∇ p (1.17)

On note que l'équation de Stokes est linéaire ce qui implique certaines propriétés.

c. Propriétés des écoulements de Stokes

• Unicité : (d'après hydrodynamique physique) conséquence de la linéarité de

l'équation de Stokes, celle-ci ne présente qu'une solution unique.

Pour le démontrer, on suppose qu'il existe deux champs de vitesse solutions de l'équation de Stokes,

on intègre par rapport à la direction de l'écoulement ce qui permet de montrer que les vitesses sont

égales, on utilise enfin le fait que les vitesses sur les parois sont égales et que la divergence des

deux vitesses est nulle. 4

Nous ne présenterons ici que brièvement les propriétés des écoulements de Stokes.

• Réversibilité : autre conséquence de la linéarité, cela implique qu'un champ

de vitesse −v x , y , z est solution de l'équation de Stokes si le champ de

vitesse v x , y , zassocié au champ de pression p x , y , z est lui-même solution de l'équation.5

• Symétrie : il s'agit d'une conséquence de la réversibilité. Lorsque un

écoulement rencontre un obstacle présentant une symétrie, les lignes de

courant en amont et en aval de ce corps sont symétriques (voir Figure 1)

Remarque: si l'obstacle n'est pas symétrique, les lignes de courant en amont et en

aval ne le seront pas non plus, cependant si l'on inverse le sens de l'écoulement, le fluide suivra les

mêmes lignes de courant en sens inverse.

3. Pertes de charge dans un cylindre

4 Cette démonstration mathématique est très bien décrite dans l'ouvrage "Hydrodynamique physique" de E.Guyon, J-P

Hulin et L. Petit

5 La mise en évidence de la réversibilité a été réalisée par G.I Taylor.

11

a. Définition des pertes de charges

Lorsqu'un fluide visqueux s'écoule dans un cylindre, les forces de frottement de celui-ci contre les

parois lui font perdre une partie de son énergie cinétique et potentielle. C'est ce qui correspond aux

pertes de charges.

• Les pertes de charges peuvent s'exprimer en pression : quelle surpression doit-on

ajouter au fluide pour obtenir la même pression au début et à la fin de l'écoulement?

• Elles peuvent aussi s'exprimer en mètres : quelles sont les pertes de charges au cours

de l'écoulement?

Le passage de l'une à l'autre de ces expressions se fait très simplement en posant :

h= p g (1.18)

• ∆h est la perte de charges exprimée en mètres

• ∆p est la perte de charges exprimée en Pascal

• ρ est la masse volumique du fluide en kg.m-3

• g est l'accélération de la pesanteur sur Terre, g = 9,81 m.s-2

Il existe deux types de pertes de charges :

• Les pertes de charges dites régulières qui sont dues au frottement du

fluide sur les parois et que l'on nommera : pr

• Les pertes de charges singulières ps , principalement dues à une

modification subite de la forme du conduit dans lequel s'écoule le

fluide (coude, vannes...)

On ne s'intéressera donc dans l'exercice suivant qu'aux pertes de charges régulières.

b. Ecoulement de Poiseuille

Nous nous plaçons dans le cas d'un écoulement laminaire dans un cylindre (voir Figure 6), dans ce

cas la vitesse du fluide s'exprime :

v=v z , z k (1.19)

12

Commençons par écrire l'équation de continuité :

[∂v]∂

∂v ∂

∂v z∂ z

=0 (1.20)

En considérant que la pression ne dépend pas de ρ ( ρgR << P ini , P fin ), on en déduit donc

que la vitesse ne dépend pas de z : v=v z k (1.21)

Le terme convectif s'annule donc, tout comme l'accélération : le fluide se déplace à vitesse

constante dans la direction de z.

En projettant l'équation de Navier-Stokes en coordonées cylindriques, on obtient finalement :

dpdz= 1

dd

[dv z

d ] (1.22)

On en déduit que le terme de gauche ne dépend que de z, tandis que celui de droite ne dépend que

de ρ. Les deux termes sont donc constants et la pression varie linéairement avec z.

Après intégration on obtient : v z= p 4 L

2−R2 (1.23)

Comme on l'observe sur la figure 2, on obtient un profil parabolique où la vitesse est maximale au

centre de la conduite et nulle au niveau des parois.

Pour trouver la loi de Poiseuille il ne reste plus qu'à calculer le débit volumique :

Q=∫∫v dS n=∫0

Rv z 2d = R4

8 p

L (1.24) (loi de Poiseuille)

D'où les pertes de charges régulières dans le cas d'un écoulement de Poiseuille :

p=Q 8 L R4

=8 v L R 2 =32 v L

D2 (1.25) avec : v la vitesse moyenne en m.s-1

et D : le diamètre du cylindre en m

Or Re=v D ⇒=

v D Re (1.26)

13

D'où on en déduit finalement : p r=64Re

. 12v 2 L

D (1.27)

On note =64Re (1.28) le coefficient de perte de charge régulière.

c. Calculs des pertes de charges

Afin de pouvoir conclure sur les pertes de charges lors d'écoulements laminaires (cela incluant les

écoulements rampants), nous résolvons ici deux exercices portants sur l'écoulement d'un fluide dans

un cylindre (Figure 6).

• Enoncé 1 : On pompe une huile de densité 0,860 par un tube horizontal de

diamètre D = 5 cm, de longueur L = 300 m avec un débit Q = 4,79 mL.s-1. L’écoulement est supposé laminaire. La perte de charge pour ce tronçon est de 21 m

C.E. (colonne d’eau). Quels sont les viscosités dynamique et cinématique de l’huile

utilisée ? Quel est le nombre de Reynolds de l’écoulement ?

D'après (1.18), (1.27) et (1.28), on peut écrire :

p=eau g h=Lhuilev

22D

Soit : =2D gh eau

L v2huile=2Dgh2 D 4eau16Q2 Lhuile

D'où : =g h2 D5eau8Q2 Lhuile

=9,81 . 21 .2 .0,055 .1000 8 4,79 .10−62. 300 .860

≃640

On cherche la viscosité cinématique, or d'après (1.6) et (1.28), on peut écrire :

14

=v D 64

= 4 Q 64 D

=4.4 ,79.10−6.64064. .0 ,05

Soit : ≃1,220 .10−3 m2. s−1

D'après (1.4), on peut écrire :

=huile=1,220 .10−3 . 860

D'où : ≃1,05 Pl

Enfin on a : Re=64=0,1 Ce qui correspond à un écoulement de Stokes.

• Enoncé 2 : La même huile de densité 0,860 et de viscosité dynamique 1,05 Pa.s

circule dans le même tube de longueur L = 300 m, de diamètre D = 5 cm, avec un

débit Q = 4,79 L.s-1. Quelle est la perte de charge dans ce tuyau ?

En reprenant l'expression de la perte de charge en pression exprimée dans l'exercice précédent :

p=eau g h=Lhuilev

22D

Et en remplaçant v et λ dans l'expression précédente, on trouve :

p=128Q L D4

On a posé : Re=huilev D

On trouve : p=128.4 ,79 .10−3.1 ,05 .300 0,05 4

≃9,83 .106 Pa

15

Et : Re=860.4.4 ,79 .10−3.0 ,05 . 0,052 .1,05

≃100 L'écoulement est laminaire.

On en déduit que plus le fluide s'écoule rapidement plus il y a de pertes de charges, ainsi pour un

écoulement de Stokes la pression initiale (au début de l'écoulement) est quasiment égale à celle en

fin d'écoulement.

Conclusion

Comme nous l'avons vu l'écoulement d'un fluide est caractérisé par un certain nombre de

grandeurs : sa vitesse, son nombre de Reynolds, une longueur caractéristique...

L'ensemble de ces grandeurs permettent de définir un régime d'écoulement (de Poiseuille,

laminaire, turbulent...).

Intuitivement cependant nous pouvons facilement imaginer que cet écoulement dépendra aussi de

l'interaction entre le fluide et la surface avec laquelle il est en contact, ce qui nous permettra

d'expliquer notamment pourquoi une goutte de pluie ou une bulle de savon prennent ces formes

caractéristiques.

Pour expliquer ceci nous avons besoin d'introduire une nouvelle notion : la tension superficielle (ou

tension de surface).

16

Figure 6 : Ecoulement de Poiseuille

II. Les phénomènes d'interface

1. Tension superficielle

a. Définition et origine physique

Dans un liquide, les atomes et molécules interagissent avec leurs voisins dans toutes les directions

de l'espace assurant ainsi une cohésion de la matière : ces interactions sont attractives.

A l'interface ces molécules perdent la moitié des interactions cohésives et se trouvent donc dans un

état énergétique défavorable.

Pour faire face à ce défaut d'énergie de cohésion, les molécules du liquide ont tendance à minimiser

la surface libre qui se comporte alors comme une membrane élastique tendue, et il existe alors un

phénomène de tension superficielle6.

"La tension de surface mesure directement ce défaut d'énergie par unité de surface"7 et l'on a :

≃ U2a2 (2.1) où U est l'énergie de cohésion interatomique ou intermoléculaire, a2 la

surface exposée et γ la tension superficielle.7

La tension superficielle peut aussi s'exprimer en fonction de l'énergie libre qui "donne directement

le travail nécessaire pour modifier la surface"8 soit :

6 D'après le cours de mécanique des fluides de Gerard et Colette Brogniez http://www-lemm.univ-

lille1.fr/physique/Cours_GB_Mecaflu/Mecaflu5.pdf

7 D'après "Gouttes, bulles, perles et ondes" de P-G de Gennes

8 D'après "Physique des surfaces et des interfaces", Josselin Mouette

17

Figure 7 : interaction des molécules dans un liquide et à l'interface7

=∂ F

∂ AT ,V , N (2.2) où F est l'énergie libre et A la surface libre.

γ qui peut donc s'exprimer en J.m-2 est l'énergie nécessaire pour augmenter la surface d'une unité.

"La tension superficielle peut aussi être considérée comme une force par unité de longueur"7 alors

exprimée en N.m-1.

Prenons finalement, pour illustrer notre propos, l'exemple de la tige (voir figure 8)

"Une baguette est recourbée de manière à former 3 côtés d'un rectangle. Une autre baguette mobile,

qui peut se déplacer sans frottement sur les 2 côtés parallèles constitue le 4è côté de longueur L.

L'appareil est plongé dans un bac d'eau savoneuse de manière à former une lame de liquide

rectangulaire. Dès que l'appareil est hors du liquide, on constate que la tige mobile se déplace

spontanément vers l'intérieur du cadre, de manière à réduire la surface de la lame liquide.

Pour maintenir la baguette en place, il est nécessaire d'exercer une force proportionnelle à L :

Pour la déplacer d'une longueur dx, on doit fournir un travail :

dW=2 Ldx=2dS "9

Ainsi tout se passe comme si la physique répondait au principe du minimu d'énergie, la tension

superficielle tend à réduire la surface d'échange entre deux milieux, car cela demande moins

d'énergie aux molécules du liquide.

b. Variation en fonction de la température

On peut intuitivement comprendre qu'il y ait un lien entre tension de surface et température, en effet

puisqu'au niveau microscopique la température est directement liée à l'agitation des molécules, il est

9 D'après le cours d'hydrodynamique de M1 Physique et Applications, Aix-Marseille I du Pr. Peter Beyer.

18

Figure 8 : Tige mobile dans de l'eau savoneuse7

donc logique que plus celle-ci augmente, plus la tension de surface diminue (la cohésion

interatomique sera plus difficile à maintenir si les molécules ont tendance à bouger dans toutes les

directions de l'espace).

Il reste cependant à démontrer plus concrètement ce lien entre les deux grandeurs.

On définit l'entropie de surface par :

S= −∂F ∂T N i

, A (2.3) où NiΣ est le nombre de molécules de type i (par exemple les

molécules de liquide) situés à l'interface.

"SΣ étant une entropie, elle est nécessairement extensive. On peut donc définir l'entropie par unité de

surface :

s=S

A " (2.4)

Soit d'après (2.2), (2.3) et (2.4), on obtient : −∂ S ∂ AT , N i

= ∂∂T A, N i

=−s (2.5)

L'entropie par unité de surface étant forcément positive, on en déduit que la tension de surface

diminue avec la température à NiΣ fixés8.

c. Variation en fonction du nombre de molécules tensioactives (surfactants)

Les molécules tensioactives ou surfactants sont des molécules combinant une partie polaire et une

partie non polaire, leur permettant ainsi de former une seule couche de film aux interfaces polaires-

non polaires (exemple : l'huile et l'eau), dans le cas de cet exemple la partie polaire (ou hydrophile)

se lie à l'eau et la partie apolaire (ou hydrophobe) à l'huile, assurant ainsi le rôle de liant entre ces

deux espèces.

Il est intéressant de noter que dans le cas d'un seul solvant les molécules tensioactives créent alors

deux couches en se répartissant à l'intérieur du liquide en inversant les têtes polaires afin de réduire

le contact entre l'eau et la partie non polaire des molécules10 (voir figure 10).

10 D'après "Statistical Thermodynamics Of Surfaces, Interfaces, And Membranes" de Samuel A. Safran

19Figure 9 : Molécules de surfactant à l'interface eau-huile Figure 10 : molécules tensioactives dans un

seul solvant10

Pour expliquer l'influence des molécules de surfactant sur la tension superficielle prenons l'exemple

simple d'un verre d'eau dans lequel nous rajoutons du liquide vaisselle.

L'ajout de molécules de surfactant dans de l'eau a pour effet de faire baisser la tension de surface, la

tête du tensioactif se lie à l'eau (figure 9) il s'agit de la partie hydrophile, tandis que la queue (partie

hydrophobe) se dresse verticalement pour remonter à la surface.

Ainsi les interactions à l'interface ne sont plus simplement celles entre les molécules d'eau mais

entre l'eau et le surfactant, la cohésion entre ces deux types de molécules (il s'agit, en surface, de la

partie hydrophobe du tensioactif) étant moins forte, cela abaisse la tension superficielle.

Il existe cependant une valeur à partir de laquelle l'ajout de molécules de surfactant n'a plus d'effet

sur la tension superficielle, appelée Concentration Micellaire Critique (CMC), à partir de laquelle

les molécules de surfactant s'organisent en micelles (figure 11) afin d'acquérir plus de stabilité, elles

se lient entre elles.

Une fois liées ces molécules n'ont plus d'effet sur la tension de surface.

d. Loi de Laplace

En 1805 Pierre-Simon Laplace énonce :

"L'accroissement de pression hydrostatique Δp qui se produit quand on traverse la surface de

séparation de deux fluides, est égal au produit de la tension superficielle γ par la courbure de surface

C = 1R 1

R' (2.6) :

Δp = γ (1R 1

R' ) = γC (2.7)

20

Figure 11 : Au-delà d'une certaine concentration, les molécules de surfactant se lient entre elles pour former des micelles

Où R et R' sont les rayons de courbure de la surface"

Bien que cet énoncé s'applique à toutes formes géométriques nous prenons ici l'exemple, décrit dans

l'ouvrage de P-G de Gennes "Gouttes, bulles, perles et ondes", d'une sphère (exemple : une goutte

d'huile dans de l'eau)

La tension de surface est à l'origine de la surpression à l'intérieur de la goutte. En effet, comme elle

tend à minimiser la surface d'échange elle contracte l'huile en une bulle créant ainsi cette

surpression, qui permet d'expliquer notamment pourquoi une petite bulle se vide dans une plus

grande.

Nous cherchons la variation du travail nécéssaire pour "virtuellement" agrandir la bulle d'un rayon

R à un rayon R+dR :

δW = - p0 dV0 - pω dVω + γoω dA (2.8)

Où : - p0 dV0 - pω dVω est le travail des forces de pression ( p0 et pω sont les pressions dans l'huile

et l'eau)

Et : γoω dA celui de la force capillaire ( γoω est la tension interfaciale huile/eau)

Avec dV0 = - dVω = 4πR2dR l'augmentation de volume de la goutte

Et dA = 8πRdR l'augmentation de surface de la goutte.

La condition d'équilibre mécanique s'écrit : δW = 0, d'où :

p= p0− p=20

R7(2.9)

Comme il n'existe, dans cet exemple, qu'un seul rayon de courbure (R de la sphère), on obtient une

21

Figure 12 : surpression à l'intérieur d'une goutte d'huile dans de l'eau 7

expression simplifiée de la loi de Laplace.

2. Capillarité

"La capillarité est l'étude des interfaces entre deux liquides non miscibles, entre un liquide et l'air ou

entre un liquide et une surface"11 c'est aussi l'étude des phénomènes d'interactions entre trois phases

(exemple : liquide-solide-air).

a. Ligne triple

Dans le cas des larmes du vin, l'eau est en contact avec le verre et l'air. A l'interface de contact, il

existe une ligne de contact (ou ligne triple) où vont s'exercer trois tensions de surface : celle entre

l'eau et le verre, celle entre l'eau et l'air et celle entre le verre et l'air (figure 13).

La loi du triangle de Neumann donne que la somme vectorielle des tensions de surface est égale au

vecteur nul et, dans le cas des larmes du vin, la loi d'Young permet de relier la norme de ces

tensions de surface.

En projettant sur le plan de la surface du solide, on a :

11 D'après wikipédia

22

Figure 13 : représentation de la ligne triple à l'interface de trois phases8

Figure 14 : ligne triple dans le cas où l'une des phases est un solide8

SLLV cos=SV (2.10)

Où SL est la tension de surface solide-liquide

LV est la tension de surface liquide-air

Et SV est la tension de surface solide-air

Ce qui signifie que l'on peut connaître l'angle d'inclinaison d'une goutte ou les tensions de surface à

l'interface de différentes phases dépendant des données que l'on a.

b. Notion de mouillage

Certains liquides s'étalent sur le solide sur lequel ils sont déposés, d'autres forment des gouttes, cela

dépend des caractéristiques du substrat solide, mais aussi du liquide utilisé.

On dit que le liquide est plus ou moins mouillant selon s'il s'étale ou non sur la surface solide.

On distingue donc le mouillage dit total (lorsque le liquide s'étale complètement sur la surface) du

mouillage "partiel" lorsqu'il forme une goutte.

"Le mouillage est l'étude de l'étalement d'un liquide déposé sur un substrat solide"7

Le paramètre S (ou paramètre d'étalement) se définit comme "la différence entre l'énergie de surface

du substrat sec et mouillé"7 :

S=E secsubstrat−Emouillé

substrat (2.11)

S=SV−SLLV (2.12)

D'après (2.10) et (2.12), on obtient :

S=LV cos−1 (2.13)

On en déduit qu'il n'y aura un angle que si le paramètre d'étalement S est négatif.

"Cet angle est d'autant plus grand que le liquide est non mouillant"7.

23

Figure 15 : Deux types de mouillages d'un liquide sur un solide7

• Si θ = 0 le liquide est mouillant

• Si 0 < θ < 2 le liquide est partiellement mouillant

• Si θ > 2 le liquide est non mouillant

On peut classer les solides en deux catégories :

• Les surfaces de haute énergie pour lesquelles les énergies de liaison chimique sont

hautes (de l'ordre de l'eV).

On a : SV≃E liaison

a2 (2.14)

Sur ces surfaces, tous les liquides s'étalent.

Exemples : métaux, céramiques, verres (propres), oxydes.

• Les surfaces de basse énergie qui sont peu mouillables car leurs énergies de liaison

est faible.

On a : SV≃kTa2 (2.15)

Exemples : cristaux moléculaires, plastiques.7

Si le mouillage est total ou partiel le liquide maximise sa surface de contact avec le solide ce qui est

plus favorable que l'interface solide/gaz et s'étale donc sous forme de flaques.

Par contre si le liquide est non mouillant, alors c'est l'interface solide/gaz qui est plus favorable, le

liquide se met donc sous forme de gouttes et roule sur la surface sans laisser de trace.

c. Ascension capillaire

Lorsqu'un liquide se trouve en contact avec les parois planes d'un récipient, il y a formation d'un

angle de contact (voir figure16).

La pression en tout point de cet interface peut se définir comme la différence entre la pression

24

Figure 16 : liquide en contact avec les parois d'un récipient

atmosphérique et celle interfaciale entre le liquide et le solide.

Soit : P z=Patm−R (2.16)

Où R est le rayon de courbure du liquide que l'on peut aussi définir comme : R−1=d

ds (2.17)

Avec s l'abscisse curviligne : ds=dx2dy2 (2.18)

Et tg= dzdx (2.19)

De plus, un résultat connu de la statique des fluides nous donne : P z=Patm− g z (2.20)

A l'aide de (2.16), (2.17), (2.18), (2.19), (2.20) et du passage en coordonnées sphériques, on

obtient :

g z dz= sind (2.21)

Soit après intégration :

12g z 2=1−cos (2.22)

Soit finalement :

z=2−1sin 2 (2.23) où −1=

g (2.24) est la longueur capillaire.

La hauteur zmax est atteinte lorsque le liquide s'étale en film sur la paroi, soit lorsque θ = 0, d'où

=2 on obtient donc : z max= 2−1 12(2.25)

Lorsqu'un liquide mouillant est contenu dans un capillaire, il remonte le long de la surface c'est

l'ascension capillaire étudiée par Jurin.

Cette ascension dépend du rayon du capillaire (voir figure 17).

12 D'après "Ecoulements dans les milieux poreux" de S. Ben Nasrallah

25

Figure 17 : ascension capillaire dans des capillaires de rayons différents2

La loi de Jurin donne la hauteur d'équilibre du ménisque et se démontre à partir de la loi de

Laplace : héq=2 cosg r (2.26) où r est le rayon du capillaire.

D'où d'après (2.24) et (2.26) on en déduit : héq=−2 2cos

r (2.27)

La hauteur d'équilibre de montée du liquide le long du capillaire est donc proportionnelle à la

longueur capillaire et à l'angle du ménisque.

Conclusion

De cette partie nous pouvons tirer plusieurs enseignements. Tout d'abord nous avons vu que la façon

dont un liquide agit au contact d'un solide est due à la tension superficielle à l'interface de ces

différentes phases.

Un point important est que le liquide, au contact de l'air, tend à réduire cette surface d'échange

expliquant ainsi la formation de gouttes (ou bulles) comme état plus stable pour la phase liquide.

De plus l'interaction liquide-solide et plus précisément la notion de mouillage, peut aussi nous

permettre de prévoir l'évolution du liquide sur la surface solide.

Enfin l'ascension capillaire permet d'expliquer le fait que le liquide remonte le long du verre jusqu'à

une certaine hauteur d'équilibre.

Nous allons maintenant, à l'aide de ce que nous avons évoqué dans les deux premières parties,

pouvoir expliquer plus en détail le phénomène des larmes du vin.

26

III. Les larmes du vin

1. Présentation du phénomène

a. Présentation et illustration

Lorsqu'on agite un verre partiellement remplit de vin en tenant le verre droit et en appliquant à ce

dernier un mouvement de rotation, on observe que le vin (principalement constitué d'eau et

d'éthanol) remonte le long du verre en formant un film mince le long de la paroi, il s'accumule alors

en haut du verre où il forme des bourrelets puis redescend en formant des gouttes pour retomber

dans le verre.

Ce phénomène étudié d'abord par Thomson (1855)13 puis par Marangoni (1865)14 a souvent été

interprété, à tort, comme l'indication exclusive de la qualité d'un vin et notamment sa teneur en

alcool.

En fait ce phénomène dépend aussi de nombreux critères plus difficilement mesurables telle que la

propreté d'un verre, s'il existe des bactéries ou du gras déposés sur celui-ci.

b. Effet Marangoni

Lorsque la tension superficielle d'un fluide est modifiée localement, par exemple avec l'ajout de

molécules de surfactant ou avec la température comme vu précédemment, la couche de fluide est 13 J. Thomson "On certain curious Motions observable at the Surfaces of Wine and other Alcoholic Liquors "14 Etudié lors de sa thèse à l'Université de Pavia

27

Figure 18 : Les larmes du vin

modifiée : les forces de tension superficielle sont localement déséquilibrées.

Pour répondre à ce déséquilibre, un écoulement se produit vers les parties voisines où la tension

superficielle reste inchangée.

Dans le cas de la température et pour des variations modérées de celle-ci, on peut établir la loi

phénoménologique suivante :

T =T 0[1−b T−T 0] (3.1)

Où b s'exprime en K-1 est positif mais inférieur à 1, ce qui traduit de la baisse de la tension

superficielle lors de l'augmentation de la température.

"Un gradient de temperature parallèle à la surface d'un liquide fait apparaitre une contrainte

tangentielle sur celle-ci. En effet, sur une bande de largeur dx, les forces de tension de surface ne

sont plus équilibrées"15

Le gradient de tension superficielle induit une contrainte xy parallèle à Ox sur l'élément de

surface Ldx15 :

xy= dF

Ldx=F2−F1

Ldx=2−1

LLdx

=d

dx=−bT 0

dTdx 15(3.2)

"II en resulte donc un écoulement parallèle à la surface, et le signe négatif qui apparait dans xy

traduit le fait que la traction se fait dans la direction ou la température est la plus faible."15

Le profil d'écoulement est donc la superposition d'un écoulement de cisaillement et d'un écoulement

de Poiseuille4 et l'on a :

dhdx=−3

2[b T 0] ga

dTdx 15(3.3)

Dans le cas des larmes du vin un effet similaire est observé, il est dû à l'évaporation des molécules

d'alcool (beaucoup plus volatiles que l'eau) contenues dans le film liquide, faisant ainsi augmenter

15 D'après "Hydrodynamique physique" de E. Guyon, J-P. Hulin et L. Petit

28

Figure 19 : contraintes à la surface d'un liquide issu d'un gradient de température15

la tension superficielle (la tension superficielle eau-air est supérieure à la tension superficielle

éthanol-air, comme nous le verrons dans l'exercice résolu) et provoquant ainsi l'ascension du film le

long de la paroi.

2. Différentes étapes

a. La remontée du vin le long du verre

Après agitation du verre, le vin monte jusqu'à une certaine hauteur (directement liée à la vitesse de

rotation du verre), puis continue à remonter le long du verre en formant un film qui s'étire ce qui a

déjà été expliqué par l'effet Marangoni.

Nous tentons ici de trouver une hauteur maximale approximative à laquelle le vin formera alors un

bourrelet.

Nous partons de l'hypothèse que l'effet de la concentration sur la tension superficielle est semblable

à celle de la température sur celle-ci. Ceci étant tout simplement justifié par le fait que les

phénomènes observés sont très semblables.

Dès lors on peut imaginer que la tension superficielle est régie par le même type de loi

phénoménologique appliquée cette fois à la concentration en éthanol dans le vin :C = C 0[1−d C−C0] (3.4)

Où C est la concentration en éthanol dans le vin et selon la hauteur du film en mol.m-3

a est l'épaisseur moyenne du film en m

Et d en m3.mol-1 un paramètre à l'instar de b dans (3.1)

Ce qui nous donne donc d'après (3.3) :

dhdx=−3

2[d C0] ga

dCdx (3.5)

Soit : ∫ dh=−32[d C 0] ga ∫ dC (3.6)

On intègre la hauteur entre une hauteur maximale hmax et l'on prend la hauteur initiale égale à 0

pour se simplifier les calculs. A noter donc que l'on mesure bien la hauteur de remontée du vin.

On intègre la concentration entre la concentration C et la concentration initiale C0.

On obtient donc finalement :

hmax=−32[d C0] ga

C−C0 (3.7)

29

Comme nous l'avons dit plus haut, lorsque la concentration en éthanol diminue, la tension

superficielle diminue.

En fait la tension superficielle de l'ensemble eau + éthanol est égale à la participation de chacune

des tensions superficielles pures (à l'interface avec l'air), donc en tenant compte de leur fraction

molaire x (sachant que xeau + xéthanol = 1).

Plus l'éthanol s'évapore et plus sa fraction molaire diminue au profit de celle de l'eau, la tension

superficielle tend donc vers la tension superficielle eau pure-air qui est supérieure à celle du

mélange.

Or l'équation (3.4) rend bien compte de cette augmentation (en partant toujours de l'hypothèse que

le paramètre d est comparable à b dans (3.2) et donc positif et inférieur à 1).

D'après la formule (3.7) nous trouverions (si nous étions dans la possibilité de faire les mesures, ce

qui n'a pas été le cas pour la rédaction de ce mémoire) vraisemblablement une valeur de d entre 10 -1

et 10-2 m3.mol-1. Pour indication "le coefficient b, de 1'ordre de 10-2 a 10-1 K-1"15

Ce qui semble donc être cohérent avec notre hypothèse.

Pour le prouver nous faisons ici un calcul d'ordre de grandeur.

Nous prenons pour illustrer notre calcul, les valeurs numériques suivantes :

d = 10-1 m3.mol-1

C0=[air−eauair−éthanol ]

2=70.10−324.10−3

2≃5.10−2 N.m−1

C – C0 = (2,5 – 5) = -2,5 mol.m-3

ρ = 103 kg.m-3

g = 10 N.kg-1

et a = 0,1 mm = 10-4 m

D'où : hmax≃3.10−2 m=3cm

Ce qui semble être le bon ordre de grandeur de remontée du vin.

b. La formation des larmes et retombée du liquide

Une fois arrivé à cette hauteur maximale, le vin s'accumule, il forme alors un bourrelet où

l'épaisseur du vin augmente grandement par rapport à celle du film.

Dès lors se forment des gouttes (qui se transforment en larmes le long de la descente), le vin étant

un liquide partiellement mouillant sur le verre, la forme la plus stable est sous forme de gouttes.

Ce qui signifie que l'interaction entre le vin et l'air est plus forte que celle entre le vin et le verre.

30

Pour comprendre la déformation des gouttes sphériques en larmes, il faut prendre en compte la

force de frottement due à l'air sur le vin16 (cf. Figure 20)

La pression étant plus faible sur le pourtour de la goutte que sur les faces supérieure et inférieure, la

dépression appuie donc sur le bord de la goutte qui s'aplatit donc.

Cette dépression aurait donc tendance à rendre la goutte plate et à s'étaler sur le verre, or il y a

compétition entre cette dernière et la surpression à l'intérieur de la goutte, expliquée lors du

paragraphe sur la loi de Laplace, qui tend à rendre le liquide sphérique, pour minimiser la pression

exercée par l'air.

Au moment où le vin a atteint la hauteur maximale, l'évaporation de l'éthanol se réduit fortement.

La force induite par le changement de tension superficielle ne domine plus sur la force de gravité.

Le vin retombe dans le verre.

3. Résolution d'un exercice

Dans cet exercice nous étudions les propriétés du film liquide qui se forme le long de la paroi du

verre, avant la formation des larmes du vin.

Dans un premier temps on s'intéresse à la viscosité du fluide, puis dans un deuxième temps on

essaiera de déterminer quels sont les phénomènes à l'interface entr le vin et l'air, pour enfin traiter

de la vitesse à l'intérieur de ce film mince17.

16 D'après "Gouttes, films et jets : quand les écoulements modèlent les interfaces" thèse de doctorat d' E.Reyssat17 D'après l'épreuve E3A PC 2002

31

Figure 20 : lignes de courant de l'air sur la goutte16

• Etude de la viscosité du fluide:

L’espace est rapporté à un référentiel Oxyz (supposé galiléen). On note respectivement

dF xdx=− dvdx xdx dydz e z les vecteurs unitaires directeurs des axes Ox,Oy et Oz .

Le champ de pesanteur est vertical : dF x =− dvdxxdy dz e z

La pression de l’air, P0 , est supposée uniforme et constante.

Le vin forme un film liquide vertical, d’épaisseur h supposée constante. L’écoulement du vin,

considéré comme un fluide incompressible visqueux (de masse volumique ρ et de viscosité η

supposées constantes), s’effectue le long d’une paroi qu’on suppose plane et infinie pour simplifier,

confondue avec le plan yOz immobile.

On s’intéressera seulement aux écoulements laminaires permanents de champ de vitesse

v=v x ez

• Résolution :

La force de viscosité exercée par un fluide situé aux abscisses inférieures à x sur un fluide situé aux

abscisses supérieures à x s'écrit : dF x=− dvdxx dS e z (3.8)

Si dvdx0 on retrouve bien le comportement d'une force de frottement qui s'oppose au

mouvement selon e z .

Si l’on effectue le bilan des forces de viscosité sur cet élément de volume, on constate que les forces

de viscosité ne s’exercent que sur la face à l’abscisse x et celle à l’abscisse x+dx (au niveau des

autres faces, il n’y a pas de différence de vitesse entre le fluide à l’intérieur de l’élément de volume

32

Figure 21 : Ecoulement dans le film de vin

considéré et le fluide extérieur).

Au niveau de la face d’aire dy dz située à l’abscisse x, la force de viscosité exercée par le fluide

juste à sa droite (abscisse inférieure) est :

dF x =− dvdxxdy dz e z (3.9)

Au niveau de la face d’aire dy dz située à l’abscisse x + dx, la force de viscosité exercée par

l’élément de volume sur le fluide situé juste à sa gauche (l’élément de volume se situe alors à une

abscisse inférieure) est :

dF xdx=− dvdx xdx dy dz e z (3.10)

On en déduit que la résultante des forces de viscosité agissant sur un élément de volume dxdydz

situé au voisinage d’un point d’abscisse x est :

d F visc=d F x −d F xdx=[ dvdxxdx −dv

dxx]dy dz e z=

d 2 v dx2 dxdydz e z (3.11)

En plus des forces de viscosité, vont s'exercer sur le film des forces pressantes dont on rappelle

l'expression : f pression=− grad P (3.12)

On s'intéresse à l'accélération d'une particule, on rappelle tout d'abord l'expression (1.10)qui définit

cette accélération particulaire : d v

dt=∂v ∂ t

v . ∇ .v

Puis, si l'on considère l'écoulement stationnaire, alors nous en déduisons que l'accélération locale

est nulle : ∂v ∂ t

=0 (3.13)

Le terme d'advection de l'accélération s'écrit alors :

v . ∇ .v=[v x ez . ez∂∂ z

]v=v x ∂v ∂ z=v x dv x dz

e z=0 (3.14)

On en déduit que l'accélération d'une particule est nulle.

On s'intéresse aux forces s'exerçant sur un volume dτ élémentaire de fluide. Trois forces s'exercent

sur ce volume :

• La résultante des forces de viscosité (d'après 3.11) : d F visc=d 2 v

dx2 d e z (3.15)

• La résultante des forces pressantes (d'après 3.12) : d F pression=− grad P d (3.16)

• Son poids : g d (3.17)

33

Soit d'après (3.15), (3.16) et (3.17) et sachant que l'accélération particulaire est nulle, on peut

écrire : d2 v

dx2 ez− grad Pg=0 (3.18)

On note que dans le premier temps du phénomène des larmes du vin, comme expliqué

précédemment, le poids peut être négligé, on retrouve alors l'équation caractéristique d'un

écoulement de Stokes (cf. 1.17).

• Etude de l'interface vin-air :

On modélise l’interface liquide-air par une couche d’épaisseur ε très fine.

En plus des forces de viscosité exercées par le vin (on néglige celles de l’air) , des forces de

pression exercées par l’air (pression uniforme P0 ), et des forces de pression exercées par le vin

(P ( x = h,y,z ) ), l’interface est le siège des forces de tension superficielle.

• Résolution :

Comme évoqué dans le III. 2) a) le vin peut être considéré comme un mélange d'eau et d'éthanol et

la tension superficielle de l'ensemble comme la somme de celle de l'eau et de l'éthanol pondérées

par leurs fractions molaires :

=eau . xeauéthanol . xéthanol (3.19)

Or quand z augmente, la concentration en éthanol diminue (donc sa fraction molaire) et comme la

tension superficielle de l'eau est supérieure à celle de l'éthanol, alors nous en déduisons :

d dz

=a0 (3.20)

Comme dans la partie précédente nous nous intéressons aux forces subies par un élément mais cette

fois d'interface dydz :

34

Figure 22 : forces de tension superficielle agissant sur un élément d’interface

• Force pressante normale exercée par l'air : d F P, air =−P0 dydz e x (3.21)

• Force pressante normale exercée par le vin : d F P, vin=P x=h , y , z dydz ex (3.22)

• Force tangentielle de viscosité exercée par le vin : d F=− dvdxx=hdydz ez (3.23)

• Force tangentielle de tension superficielle exercée par le reste de l'interface :

d F ts=a dydz ez (3.24)

En appliquant le théorème de la résultante cinétique à cet élément, puis en considérant comme nulle

la masse dm de l'interface et enfin en projettant sur e x et ez on obtient :

P x=h , y , z=P0 (3.25) En projection sur e x

− dvdxx=ha=0 (3.26) En projection sur e z

On en déduit que c'est bien le gradient de tension superficielle (cf. 3.20) qui lorsqu'il est supérieur,

en action, à celle de la viscosité du vin, fait remonter le film de vin le long de la paroi (cf. 3.26).

• Etude du champ de vitesse dans le film :

On cherche, dans cette partie, à étudier le profil de vitesse dans le film.

On tentera également de donner un ordre de grandeur du temps que met le film à remonter jusqu'à

la hauteur maximale étudiée dans la partie III. 2) a) .

• Résolution :

D'après (3.25), on en déduit que : P x , z =P0∀x , z

De plus, comme vu dans la partie I. 3) b) les phénomènes visqueux imposent que la vitesse soit

35

Figure 23 : forces s'exerçant sur un élément de l'interface dydz, en négligeant son poids

nulle contre les parois, nous posons donc : v x=0=0 .

On projette maintenant l'équation de Navier-Stokes sur e z (cf. 3.18) et l'on obtient :

d2 v

dx2 − g=0 (3.27)

Il nous faut maintenant intégrer deux fois cette expression pour trouver la vitesse :

∫ [ d2 v

dx 2 − g ]dx=dvdx−[ g

xC1 ] (3.28)

∫ [ dvdx−[ g xC1]]dx⇒ v x= g

2x2C 1 xC2 (3.29)

Où C1 et C2 sont deux constantes d'intégration que l'on détermine à l'aide des conditions initiales :

En x=0, v x=0, d ' oùC 2=0

En x=h ,− dvdxa=0 d ' où ghC1=a Soit C 1=

a−gh

Ce qui nous donne finalement une vitesse de la forme :

v x= g2

x2a− gh

x (3.30)

Pour pouvoir résoudre numériquement cet exercice, il nous faut trouver une condition sur le

paramètre a. Pour ce faire nous introduisons ici la notion de débit massique Dm à travers une section

(S) de film orienté selon e z :

Dm=∫∫S v . d 2S=∫∫S v x e z . dxdy e z= L∫x=0

hv x dx (3.31)

Où L est la largeur du film, et où ρ a été supposé constant sur la section.

On intègre donc la vitesse :

∫x=0

hv xdx=[ g

6x3a− gh

2x2]

0

h

=ah22

− gh33 (3.32)

D'après (3.31) et (3.32), il vient donc pour le débit massique :

Dm= Lêta

h2 a2− gh

3 (3.33)

Pour que le vin aille effectivement vers le haut du verre le débit massique doit être positif, ce qui

nous permet d'en déduire une condition sur le paramètre a :

a23 gh=acritique (3.34)

En posant a = acritique, on obtient finalement pour la vitesse :

v x= g x2

2−hx

3 (3.35)

On trouve donc que la vitesse a un profil parabolique :

36

Nous cherchons maintenant à estimer l'ordre de grandeur du temps de remontée du vin le long de la

paroi. Pour ce faire nous allons faire quelques approximations :

• On prend comme vitesse moyenne v (x=h) car nous cherchons le temps qu'aura mis la

particule la plus "éloignée" de la paroi pour y parvenir.

• Enfin nous posons que le temps t est environ égal à la hauteur hmax divisée par v (x=h)

Valeurs numériques utilisées :

• h = 10-4 m

• η = 10-3 Pl

• ρ = 103 kg.m-3

• g = 10 m.s-2

• hmax = 3.10-2 m

Soit t≃ 6z gh2

=1,8 s

On trouve un ordre de grandeur cohérent (de l'ordre de la seconde) avec ce que l'on observe

effectivement lorsqu'on agite un verre de vin.

37

Figure 24 : profil parabolique de la vitesse

Conclusion

Le phénomène de formation des larmes du vin, bien qu'observable dans la vie de tous les jours (à

condition de boire du vin tous les jours) est assez compliqué à théoriser.

Il dépend en effet de multiples facteurs : le degré d'alcool présent dans le vin, la propreté du verre,

ou plus précisément s'il y a encore des traces de détergent présent à la surface, la "pureté" du verre

c'est-à-dire le fait que celui-ci ne présente pas d'aspérité où pourrait se loger le vin et donc

influencer sur la hauteur maximale de remontée, la température du vin et aussi de l'agitation du

verre.

Tous ces facteurs rendent la tentative d'application numérique assez complexe, nous pouvons bien

entendu partir de modèles parfaits et trouver des ordres de grandeur (ce qui a été fait ici) mais le

passage de la théorie à l'expérimentation montre qu'il est impossible de répéter deux fois la même

manipulation, avec exactement les mêmes conditions expérimentales.

Nous conclurons enfin en disant qu'il semble par contre possible d'étendre l'effet Marangoni au

gradient de concentration et ainsi relier ce dernier à la tension de surface, permettant ainsi de

trouver la hauteur maximale de remontée du vin, puis le temps de formation des larmes.

38

ANNEXE

Explications des différentes expériences filmées et ajoutées en pièces jointes à ce mémoire.

Expérience-cannelle :

Pour cette expérience nous avons utilisé un récipient contenant de l'eau, de la cannelle que l'on

répartit uniformément sur la surface libre de l'eau (cela marche aussi très bien avec du poivre en

grains) et une pipette pasteur qui nous a servi à verser une goutte de détergent.

Au moment où l'on verse le détergent la tension de surface baisse localement, les particules de

cannelle initialement en équilibre avec les molécules d'eau, se dispersent dans toutes les directions

où la tension de surface n'a pas été changée.

Expérience-trombone :

Dans cette expérience nous avons utilisé un récipient contenant de l'eau, un trombone et une goutte

de détergent.

A l'instar de l'expérience précédente, la tension suprficielle à la surfac libre de l'eau maintient en

équilibre le trombone sur celle-ci, lorsque nous rajoutons une goutte de tensioactif, les molécules de

ce dernier se lient aux molécules d'eau, faisant baisser la tension de surface localement et rompant

ainsi l'équilibre mentionné plus haut. Le trombone tombe alors au fond du récipient.

Expérience-film de savon :

Dans cette expérience nous avons utilisé un récipient contenant de l'eau savonneuse et une tige en

métal que nous avons plié de sorte à obtenir une extrêmité quasi circulaire.

Lorsque l'on plonge la tige métallique dans l'eau savonneuse, puis que nous la retirons, l'eau

savonneuse s'étire en une fine membrane pour résister à l'air, elle épouse alors la forme de la tige

métallique.

Expérience-ascension capillaire :

Pour mettre en évidence le phénomène d'ascension capillaire, nous avons utilisé deux capillaires de

rayons différents et une cuve d'eau colorée avec du bleu de bromothymol qui permet simplement de

mieux visualiser.

On vérifie bien que la remontée du liquide dans le capillaire dépend bien du rayon de ce dernier,

plus le rayon est faible, plus le liquide remonte.

39

Expérience-étalement de liquides (1 et 2) :

Dans ces deux expériences, nous comparons l'étalement du vin et de l'eau sur une surface en verre.

Pour ce faire nous déposons 5 gouttes de chaque sur la surface, on se rend compte que le vin s'étale

bien plus que l'eau (l'eau est donc un liquide moins mouillant que le vin), ce qui explique que lors

du phénomène des larmes du vin, celui-ci s'étale en formant un film lors de sa remontée le long du

verre, puis après évaporation de l'alcool, l'eau retombe sous forme de larmes.

Expérience-larmes du vin :

Dans cette dernière expérience nous montrons enfin le phénomène des larmes du vin. Après

agitation du verre, le vin remonte et les larmes commencent à se former vers la 36ème seconde sur

la gauche du verre (ce que je pointe avec mon doigt), il est à noter que l'expérience (non-filmée) a

été réalisée avec un "vrai" verre à vin et que les larmes s'y forment bien plus rapidement.

40

Bibliographie :

• Fraçoise CUBISOL & Henri GOUIN, Surfactants et capillarité, 19 ème Congrès Français

de Mécanique, Marseille, 24-28 août 2009.

• Tom SCHELLER, Micro-écoulements dans des films liquides : application aux mousses

aqueuses, Université de Liège, Travail de fin d’´etudes présenté en vue de l’obtention du

grade de Licencié en Sciences Physiques Année acad´emique 2004-2005.

• J. ROUSSEL, Cours de Mécanique des fluides, C.P.I.2 - Chem.I.St2 : 2005-2006.

• Philippe FICHOU, Mécanique des fluides, Promotion IGE, 2001-2002.

• Michel MARESCHAL, Tension superficielle et Adsorption, CHIM019.

• Pierre-Gilles de Gennes, Françoise Brochard Wyart et David Quéré, Gouttes, bulles, perles

et ondes, mai 2004.

• Etienne GUYON, Jean-Pierre HULIN et Luc PETIT, Hydrodynamique Physique, juin 2001.

• S. BEN NASRALLAH, Ecoulements dans les milieux poreux.

• Josselin MOUETTE, Physique des Surfaces et des Interfaces.

• Emmanuel PLAUT, Cours de Mécanique des Fluides, février 2012.

• Samuel A. SAFRAN, Statistical Thermodynamics Of Surfaces, Interfaces, And Membranes,

janvier 2003.

• Etienne REYSSAT, Gouttes, films et jets : quand les écoulements modèlent les interfaces,

thèse de doctorat à l'Université Paris 7 Denis Diderot, mai 2007.

• Pr Peter BEYER, Cours d'hydrodynamique, cours du CTES, Master 1 Physique-Chimie,

2010-2011.

41

Sitographie :

• http://www.mecaflux.com/nombre_reynolds.htm

• http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/phys/term/mecaflu/Poly-mecaflu.htm

• http://www.google.fr/url?sa=t&rct=j&q=viscosit%C3%A9%20d'un%20fluide%20&source=web&cd=5&ved=0CGIQFjAE&url=http%3A%2F%2Fromain.bel.free.fr%2Fagregation%2FLecons%2FLP12.doc&ei=e28-T-H3C8nt8QOUuoWUCA&usg=AFQjCNE3Rcip1DL175opTp9_BMlBM-nXag

• http://patrick.kohl.pagesperso-orange.fr/surfaces/surf_4.htm

• http://www.everyoneweb.com/WA/DataFilesbouharati/CHAP3.PDF

• http://www-lemm.univ-lille1.fr/physique/Cours_GB_Mecaflu/Mecaflu5.pdf

• http://gev.industrie.gouv.fr/gev-mecaflu/mecaflu/s8/p14_mecaflu_s8.htm

• http://wwwdfr.ensta.fr/Cours/docs/MF206/MF206_4_2011_%20etudiant.pdf

• http://res-nlp.univ-lemans.fr/NLP_C_M02_G02/co/Contenu_29.html

• http://www.scribd.com/doc/53334398/23/Ecoulement-de-poiseuille

• http://physique.vije.net/BTS/index.php?page=fluides4

• http://books.google.fr/books?id=M9lGwLhHKCEC&pg=PA31&lpg=PA31&dq=%C3%A9coulement+laminaire+%C3%A0+nombre+de+reynolds+mod%C3%A9r%C3%A9&source=bl&ots=8HOQbXzz-O&sig=6Da4JiOwGlNCmf232gKPyIIEiQU&hl=en&sa=X&ei=tM9DT-bKHtGe-wbb-uW9AQ&redir_esc=y#v=onepage&q=%C3%A9coulement%20laminaire%20%C3%A0%20nombre%20de%20reynolds%20mod%C3%A9r%C3%A9&f=true

• http://ethesis.inp-toulouse.fr/archive/00001068/01/pouplin.pdf

• http://alainrobichon.free.fr/cours/Physique/Mecanique/classification_des_ecoulements.pdf

42