Thse prsente en vue de lobtention du diplme de Doctorat en Sciences en : Gnie Mcanique Option : Gnie Mcanique Modlisation numrique des solides par lments finis volumiques bass sur le concept SFR(Space Fiber Rotation) Prsente par : Kamel MEFTAH Soutenue publiquement le 02/06/2013 Devant le jury compos de : Pr. Belounar LamineProfesseurPrsidentUniversit de Biskra Pr. Hecini MabroukProfesseurRapporteurUniversit de Biskra Pr. Ayad RezakProfesseurCo-RapporteurUniversit de Reims Champagne-Ardenne (France) Pr. Batoz Jean LouisProfesseurExaminateurUniversit de Technologie de Compigne (France) Pr. Guenfoud MohamedProfesseurExaminateurUniversit de Guelma Dr. Kebir HocineMaitre de Confrences, HDRExaminateurUniversit de Technologie de Compigne (France) Dr. Zouari WajdiMaitre de ConfrencesInvitUniversit de Reims Champagne-Ardenne (France) Rpublique Algrienne Dmocratique et Populaire Ministre de lEnseignement Suprieur et de la Recherche Scientifique Universit MohamedKhider Biskra Facult des Sciences et de la Technologie Dpartement : Gnie Mcanique Ref : : : .. mes parents et mes frres et surs, ma famille et mes amis. REMERCIEMENTS Lestravauxdethseprsentsicisontlefruitduntravaildquipe.Jetiensdonc soulignerlaqualitdelencadrementquimapermisdeffectuermespremierspasde chercheurdansdexcellentesconditions.ProfesseurRezakAYADaproposunsujetde recherchepassionnantetoriginal.Sapdagogieetsarigueurscientifiqueontrendutrs constructiveslesannespassesensemble.Jetiensenparticulierleremercierpoursa motivationetsonenthousiasmeconstantsnousfairepartagersesconnaissances,son exprience et ses projets.Jeremerciegalementmondirecteurdethse,ProfesseurMabroukHECINI,dela confiance quil nous a donn travailler en toute autonomie. JadressemesvifsremerciementsauxProfesseursLamineBELOUNAR(prsidentdu jury), Jean Louis BATOZ et Mohamed GUENFOUD, ainsi qu Messieurs Hocine KEBIR et Wajdi ZOUARI, pour lintrt quils ont port ce travail en acceptant dtre membres du jury. Jadresse galement mes remerciements aux membres du Laboratoire dIngnierie et de SciencesdesMatriaux(LISM)pourleuraccueiletleursympathieenparticulier Professeur Jean-Paul CHOPART. Jeremercietousmesamispourlamotivationqueleuramitimaapporte.Leur soutien, leurenthousiasme et leur sens de lhumour mont permis daller au bout decette aventure quest la thse. DesremerciementschaleureuxvontaussimonamiLakhdarSEDIRA,pourson pragmatisme, son dynamisme et son optimisme communicatif. Dans les nombreux projets quelonapartags,ilasumerappelerlintrtdesapplications,etlorientationversle concret dune partie de mes travaux lui doit certainement beaucoup. JetiensaussiremercierWajdideluniversitdeReimspourmavoiraidsurune partie numrique de ce travail. Enfin et avant tout, je tiens remercier du fond du cur ma famille, qui a su me donner sans cesse soutien, amour, encouragement et lenvie dapprendre encore plus. Elle tait et continuera dtre, je le sais, un soutien sans faille. i Table des Matires Table des Matiresi Liste des Figuresv Liste des Tableauxix Notationsxi Introduction gnrale1 Aspects gnraux et intrt de la modlisation 3D volumique1 Motivations2 Travail dvelopp3 Plan de la thse4 Chapitre 1. Etude bibliographique6 1.1. Introduction6 1.2. Gnralits sur la MMC et la MEF7 1.2.1. Etude de la mcanique des milieux continus7 1.2.1.1. Tenseur des dformations linarises8 1.2.1.2. Tenseur des contraintes9 1.2.1.3. Relations contraintes-dformations10 1.2.1.4. Lois dquilibre11 1.2.1.5. Problmes dlasticit 3D11 1.2.2. Principe des travaux virtuels12 1.2.3. Discrtisation par lments finis13 1.3. Synthse des lments finis volumiques existants15 1.3.1. Elments volumiques standards et gnration du maillage15 1.3.2. Elments volumiques avec degrs de libert de rotation20 1.3.2.1. Elments hexadriques20 1.3.2.2. Elments ttradriques21 1.3.2.3. Elments prismatiques24 1.3.3. Elments volumiques de premier ordre prcision amliore24 1.3.3.1. Mthode de dformations postules amliores Enhanced Assumed Strain 24 1.3.3.2. Mthode de contraintes postules Assumed Stress Method 26 1.3.4. Elments volumiques dordre suprieur29 1.3.5. Autres formulations existantes dlments volumiques32 1.3.5.1. Formulation base sur les fonctions Papcovitch-Neuber32 1.3.5.2. Mthode des coordonnes volumiques32 1.3.5.3. Elments volumiques non-conformes33 1.3.5.4. Fonctions surfaciques et volumiques de type bulle 34 1.3.5.5. Approche des moindres carres pondre35 Table des Matires ii 1.3.6. Elments volumiques non linaires36 1.3.7. Techniques dintgration rduite avec contrle des modes parasites39 1.3.8. Elments volumiques composites41 1.4. Conclusion48 Chapitre 2. Elments finis volumiques bass sur le concept derotation dune fibre spatiale (modle SFR : Space Fiber Rotation)50 2.1. Introduction50 2.2. Formulation variationnelle51 2.3. Principe du modle SFR53 2.4. Approximation du champ des dplacements53 2.5. Calcul des contraintes57 2.6. Cas particulier du modle SFR en 2D : lments FRT et FRQ57 2.7. Intgration numrique58 2.7.1. Calcul des matrices lmentaires58 2.7.2. Formules dintgration pour llment SFR659 2.7.3. Formules dintgration pour llment SFR860 2.7.4. Examen du rang de la matrice de rigidit lmentaire62 2.8. Contrle des modes parasites62 2.8.1. Elment SFR862 2.8.1.1. Contrle des modes parasites cinmatiques63 2.8.1.2. Contrle des modes de Hourglass 65 2.8.2. Elment SFR666 2.8.2.1. Contrle des modes parasites cinmatiques67 2.8.2.2. Contrle des modes de Hourglass 69 2.8.2.3. Matrice angulaire fictive70 2.9. Matrices de masse des lments SFR72 2.10. Modle non conforme SFR8I avec trois modes incompatibles73 2.11. Conclusion75 Chapitre 3. Validation numrique des lments SFR76 3.1. Introduction76 3.2. Validation de llment SFR679 3.2.1. Patchs tests 3D79 3.2.2. Flexion plane dune poutre encastre80 3.2.3. Panneau fusel82 3.2.4. Plaque circulaire sous chargement uniforme83 3.2.5. Plaque biaise 3085 3.2.6. Poutre vrille87 3.2.7. Hmisphre sous charges diamtralement opposes88 3.2.8. Cylindre pinc avec diaphragmes89 3.2.9. Poutre encastre91 Table des Matires iii 3.2.10. Plaque carre simplement supporte92 3.3. Validation des lments SFR8 et SFR8I94 3.3.1. Patchs tests 3D94 3.3.2. Analyse des valeurs propres98 3.3.3. Flexion plane dune poutre encastre98 3.3.4. Poutre courbe100 3.3.5. Poutre encastre102 3.3.6. Poutre vrille103 3.3.7. Plaque carre simplement supporte soumise une charge concentre105 3.3.8. Plaque carre encastre soumise une charge concentre106 3.3.9. Panneau fusel107 3.3.10. Cylindre pinc avec diaphragmes110 3.3.11. Toit cylindrique soumis son poids propre (Scordelis-Lo roof)111 3.4. Validation des lments SFR en vibrations libres113 3.4.1. Vibrations libres dune poutre libre/encastre113 3.4.2. Vibrations libres dune aube de compresseur116 3.5. Conclusion119 Chapitre 4. Adaptation du modle SFR aux structurescomposites121 4.1. Introduction121 4.2. Adaptation du modle SFR aux composites multicouches. Approche par couche orthotrope lmentaire123 4.2.1. Dduction de la matrice de rigidit pour le modle SFR Orthotrope123 4.2.2. Matrice dlasticit pour une couche orthotrope lmentaire123 4.2.3. Validation numrique des lments SFR Orthotropes125 4.2.3.1. Plaque carre avec une couche (0) orthotrope soumise une charge uniforme127 4.2.3.2. Plaque carre stratifie 3 et 4 couches soumise une charge uniforme128 4.2.3.3. Plaque carre stratifie 4 couches (0/90/90/0) soumise une charge sinusodale130 4.2.3.4. Plaque carre stratifie 2 couches soumise diffrentes conditions aux limites131 4.2.3.5. Plaque carre stratifie 3 couches simplement supporte sous chargement sinusodal133 4.3. Formulation des lments SFR Multicouches135 4.3.1. Matrice de rigidit lmentaire135 4.3.2. Calcul des contraintes137 4.3.2.1. Contraintes planes137 4.3.3. Validation numrique des lments SFR Multicouches137 4.3.3.1. Plaque carre stratifie 4 couches (0/90/90/0)138 4.3.3.2. Plaque rectangulaire stratifie 4 couches (0/90/90/0)143 4.3.3.3. Plaque carre stratifie 3 couches (0/90/0)145 4.3.3.4. Cylindre orthotrope sous pression interne148 4.3.3.5. Poutre encastre149 4.4. Conclusion151 Table des Matires iv Chapitre 5. Formulation du modle SFR Non linaire gomtrique152 5.1. Introduction152 5.2. La description Lagrangienne153 5.3. Formulation non linaire gomtrique des lments SFR154 5.3.1. Principe des travaux virtuels154 5.3.2. Formulation Lagrangienne totale154 5.3.3. Approximation des champs de dplacements et de dformations156 5.4. Mthodes numriques de rsolution159 5.5. Validation numrique des lments SFR non linaires161 5.5.1. Poutre console soumise un effort tranchant161 5.5.2. Coque cylindrique sans diaphragmes soumise une force ponctuelle164 5.5.3. Panneau cylindrique soumis une charge concentre167 5.5.4. Coque sphrique soumise une force ponctuelle172 5.6. Conclusion177 Conclusion gnrale et perspectives178 Conclusion178 Perspectives180 Annexes181 Annexe A. Fonctions de forme des lments finis volumiques181 Annexe B. Passage du repre global vers le repre local dune face de llment SFR185 Annexe C. Comportement dun matriau orthotrope187 Annexe D. Elment volumique ttradrique 4 nuds SFR4189 D.1. Formulation de llment SFR4189 D.2. Formules dintgration pour llment SFR4190 D.3. Contrle des modes parasites pour llment SFR4191 D.4. Validation : Flexion plane dune poutre encastre192 Rfrences Bibliographiques193 v Liste des Figures Figure1 .1. Dformation dun milieu continu7 Figure1 .2. Forces au sein dun solide 3D10 Figure1 .3. Composantes du tenseur des contraintes10 Figure1 .4. Les quatre types dlments volumiques16 Figure1 .5. Elments ttradrique 10 nuds, pyramide 13 nuds et hexadrique 20 nuds17 Figure1 .6. Fonctions de forme des lments volumiques standards : (a) ttradrique 4 nuds; (b) prismatique 6 nuds ; (c) pyramide 5 nuds ; et (d) hexadrique 8 nuds18 Figure1 .7. Elment hexadrique compos de 6 ttradres18 Figure1 .8. Transition de llment hexadrique aux lments ttradriques travers un lment pyramide [30]19 Figure1 .9. Elment hexadrique hybride 12 nuds HS12 [86]27 Figure1 .10. Elment HS18 [87]28 Figure1 .11. Modes parasites de Hourglass dans une poutre encastre d lintgration rduite 222 [105]30 Figure1 .12. Elment hexadrique 20 nuds avec 14 points dintgration [104]30 Figure1 .13. Elments hexadriques avec 9 et 21 points dintgration [105]30 Figure1 .14. Elment solide de transition avec des nuds variables de 8 27 [134]33 Figure1 .15. Fonction bulle volumique dans un lment ttradrique [137]34 Figure1 .16. Illustration de la fonction bulle surfacique 4Net les points iPo les fonctions sont maximales [143]35 Figure1 .17. Elments hexadriques de transition 21 nuds [175] et 28 nuds [176]38 Figure1 .18. Elments dinterface 18 et 32 nuds [175, 176]38 Figure1 .19. Modes de Hourglass selon la direction x avec un point dintgration [69]40 Figure1 .20. Elment hexadrique iso-paramtrique 20 nuds [201]42 Figure1 .21. Illustration dun maillage lments finis 3D pour dterminer les contraintes inter-laminaires [212]43 Figure1 .22. Raffinement du maillage 3D pour l'tude des plaques troues [215]44 Figure1 .23. Elment brique 20 nuds et lment singulier 15 nuds [211]44 Figure1 .24. Etudes du problme de bord libre par EF 3D [211]45 Figure1 .25. Elment brique mixte 18 nuds [217]45 Figure1 .26. Discrtisation dune plaque stratifie avec des lments hybrides dinterface et des lments standards [221]46 Figure1 .27. Elment d'interface [222, 223]46 Figure 2 .1. Corps solide 3D52 Figure 2 .2. Gomtrie dune fibre spatiale lmentaire53 Figure 2 .3. Elment de rfrence SFR6 et ses points dintgration (12 et 33 PGH)60 Figure 2 .4. Elment de rfrence SFR8 et ses points dintgration (222 PG)61 Figure 2 .5. Modes parasites cinmatiques pour un lment hexadrique62 Figure 2 .6. Modes parasites dHourglass pour un lment hexadrique63 Figure 2 .7. Modes parasites dans une face de llment hexadre63 Figure 2 .8. Modes parasites cinmatiques pour un lment prismatique66 Figure 2 .9. Modes parasites de Hourglass pour un lment prismatique67 Liste des Figures vi Figure 2 .10. Modes parasites dans une face de llment prismatique67 Figure 3 .1. Patch test 3D : lment hexadre distordu compos de 2 lments prismatiques80 Figure 3 .2. Poutre en flexion plane (E = 107,v = 0.3)81 Figure 3 .3. Panneau fusel (E = 1.0, v = 1/3). Donnes et maillage avec (221)2 lments SFR682 Figure 3 .4. Maillage 3D dun quart de la plaque circulaire84 Figure 3 .5. Convergence du dplacement normalis du centre de la plaque circulaire avec R/h = 5085 Figure 3 .6. Plaque biaise 30 simplement supporte (conditions aux limites : w = 0) soumise une charge uniforme (q = 1.0)86 Figure 3 .7. Convergence du dplacement normalis au centre de la plaque biaise 30 (R/h = 1000)86 Figure 3 .8. Poutre vrille maille avec (1221)2 lments SFR687 Figure 3 .9. Hmisphre sous charges diamtralement opposes89 Figure 3 .10. Hmisphre sous charges diamtralement opposes. Convergence du dplacement normalis en fonction du nombre total de ddl (chelle logarithmique)89 Figure 3 .11. Cylindre pinc avec diaphragmes. Donnes90 Figure 3 .12. Cylindre pinc avec diaphragmes. Convergence du dplacement normalis en fonction de nombre total de ddl (chelle logarithmique)91 Figure 3 .13. Poutre encastre, maillage 3D avec 8 lments SFR691 Figure 3 .14. Plaque simplement supporte soumise une charge rpartie93 Figure 3 .15. Plaque simplement supporte soumise une charge rpartie : Convergence de la dflexion centrale normalise en fonction de llancement L/h93 Figure 3 .16. Patch test pour les solides 3D94 Figure 3 .17. Patch test (Cas B)96 Figure 3 .18. Rsultats numriques des contraintes aux points de Gauss (Cas C)97 Figure 3 .19. Maillages plans utiliss99 Figure 3 .20. Maillages 3D utiliss99 Figure 3 .21. Poutre courbe. Gomtrie, chargement et conditions aux limites101 Figure 3 .22. Poutre encastre102 Figure 3 .23. Poutre vrille. Maillage compos de 1221 lments SFR8104 Figure 3 .24. Plaque carre simplement supporte105 Figure 3 .25. Plaque carre encastre soumise une charge ponctuelle106 Figure 3 .26. Panneau fusel. Donnes du problme108 Figure 3 .27. Panneau fusel. Effet du maillage distordu sur la convergence des lments volumiques109 Figure 3 .28. Cylindre pinc. Convergence du dplacement normalis en fonction du nombre total de ddl111 Figure 3 .29. Toit cylindrique soumis son poids propre (Scordelis-Lo roof)112 Figure 3 .30. Vibrations libres dune poutre encastre114 Figure 3 .31. Modes propres de la poutre encastre obtenus avec un maillage consistant en 3031 lments SFR8115 Figure 3 .32. Vibrations libres dune aube de compresseur116 Figure 3 .33. Modes propres dune aube de compresseur encastre obtenus avec un maillage consistant en 881 lments SFR8118 Figure 4 .1. Modlisation cinmatique des structures composites stratifies avec diffrents modles [256, 259]122 Liste des Figures vii Figure 4 .2. Systmes daxes local (1,2,3) et global (x,y,z) pour un stratifi plan123 Figure 4 .3. Tenseur des contraintes dans une couche, en coordonnes locales124 Figure 4 .4. Plaque carre stratifie 2, 3 et 4 couches126 Figure 4 .5. Modles SFR Multicouches (SFR8M et SFR6M)136 Figure 4 .6. Plaque stratifie avec N couchesErreur ! Signet non dfini. Figure 4 .7. Plaque stratifie simplement supporte soumise une charge sinusodale138 Figure 4 .8. Effet de llancement S = L/h sur la dflexion centralewpour une plaque carre stratifie 4 couches (0/90/90/0) simplement supporte soumise une charge sinusodale. Elment SFR8M139 Figure 4 .9. Effet de llancement S = L/h sur la dflexion centralewpour une plaque carre stratifie 4 couches (0/90/90/0) simplement supporte soumise une charge sinusodale. Elment SFR6M140 Figure 4 .10. Effet de llancement S = L/h sur la contrainte normale xopour une plaque stratifie 4 couches (0/90/90/0) soumise une charge sinusodale. Elment SFR8M141 Figure 4 .11. Effet de llancement S = L/h sur la contrainte normale xopour une plaque stratifie 4 couches (0/90/90/0) soumise une charge sinusodale. Elment SFR6M141 Figure 4 .12. Distribution de la contrainte plane xosuivant lpaisseur de la plaque stratifie 4 couches soumise une charge sinusodale (S = 4). Elment SFR8M142 Figure 4 .13. Plaque rectangulaire stratifie 4 couches. Gomtrie du problme144 Figure 4 .14. Distribution de la contrainte plane yo travers lpaisseur pour une plaque rectangulaire 4 couches soumise une charge sinusodale (S = 5). Elment SFR8M144 Figure 4 .15. Distribution de la contrainte plane yo travers lpaisseur pour une plaque rectangulaire 4 couches soumise une charge sinusodale (S = 5). Elment SFR6M145 Figure 4 .16. Dplacementw travers lpaisseur dune plaque carre stratifie 3 couches (0/90/0) simplement supporte soumise une charge sinusodale. Elment SFR8M146 Figure 4 .17. Dplacementw travers lpaisseur dune plaque carre stratifie 3 couches (0/90/0) simplement supporte soumise une charge sinusodale. Elment SFR6M146 Figure 4 .18. Variation de la contrainte plane xo travers lpaisseur pour une plaque carre stratifie 3 couches (0/90/0) soumise une charge sinusodale (S = 4). Elment SFR8M147 Figure 4 .19. Variation de la contrainte plane xyt travers lpaisseur pour une plaque carre stratifie 3 couches (0/90/0) soumise une charge sinusodale (S = 4). Elment SFR8M147 Figure 4 .20. Cylindre orthotrope. Gomtrie et donnes du problme [278]148 Figure 4 .21. Poutre encastre avec des maillages distordus149 Figure 5 .1. Configurations initiale, intermdiaire et finale dun corps solide (D.L)153 Figure 5 .2. Poutre console en non linaire gomtrique. Donnes du problme [285]162 Figure 5 .3. Poutre console en non linaire gomtrique. Rsultats de llment SFR6163 Figure 5 .4. Poutre console en non linaire gomtrique. Rsultats de llment SFR8163 Figure 5 .5. Configuration initiale (P = 0) et dforme (P = Pmax) de la poutre console soumise une charge linique164 Figure 5 .6. Coque cylindrique soumise une force ponctuelle. Gomtrie, chargement et conditions aux limites [285]164 Liste des Figures viii Figure 5 .7. Dflexion WA de la coque cylindrique soumise une charge ponctuelle. Rsultats de llment SFR6165 Figure 5 .8. Dflexion WA de la coque cylindrique soumise une charge ponctuelle. Rsultats de llment SFR8166 Figure 5 .9. Configuration initiale et dforme du quart de la coque cylindrique soumise une charge maximale Pmax = 18000166 Figure 5 .10. Panneau cylindrique soumis une force ponctuelle167 Figure 5 .11. Courbes charge/dflexion du panneau cylindrique pais (t = 12.7 mm) soumis une force ponctuelle. Rsultats de llment SFR6168 Figure 5 .12. Courbes charge/dflexion du panneau cylindrique pais (t = 12.7 mm) soumis une force ponctuelle. Rsultats de llment SFR8169 Figure 5 .13. Courbes charge/dflexion du panneau cylindrique mince (t = 6.35 mm) soumis une force ponctuelle. Rsultats de llment SFR6 (pilotage en dplacement)170 Figure 5 .14. Courbes charge/dflexion du panneau cylindrique mince (t = 6.35 mm) soumis une force ponctuelle. Rsultats de llment SFR8 (pilotage en dplacement)170 Figure 5 .15. Courbes charge/dflexion du panneau cylindrique mince (t = 6.35 mm) soumis une force ponctuelle. Rsultats de llment SFR6 (pilotage en longueur darc)171 Figure 5 .16. Courbes charge/dflexion du panneau cylindrique mince (t = 6.35 mm) soumis une force ponctuelle. Rsultats de llment SFR8 (pilotage en longueur darc)171 Figure 5 .17. Coque sphrique soumise une charge concentre172 Figure 5 .18. Courbes charge/dplacement de la coque sphrique. Rsultats de llment SFR6 (pilotage en charge)173 Figure 5 .19. Courbes charge/dplacement de la coque sphrique. Rsultats de llment SFR8 (pilotage en charge)173 Figure 5 .20. Courbes charge/dplacement de la coque sphrique. Rsultats de llment SFR6 (pilotage en dplacement)174 Figure 5 .21. Courbes charge/dplacement de la coque sphrique. Rsultats de llment SFR8 (pilotage en dplacement)175 Figure 5 .22. Maillage initial du quart de la coque sphrique (P = 0)175 Figure 5 .23. Maillage dform du quart de la coque sphrique soumise une chargeP = 46.56 kN176 Figure 5 .24. Maillage dform du quart de la coque sphrique soumise une charge maximale Pmax = 57.79 kN176 Figure A.1. Elments volumiques iso-paramtriques hexadrique 8 nuds et prismatique 6 nuds dans le systme des coordonnes naturelles181 Figure A.2. Elments hexadrique 8 nuds et prismatique 6 nuds dans le systme des coordonnes physiques182 Figure B.1. Elment hexadrique dans le repre global (X, Y, Z) et une face de lhexadre dans le repre local ( x , y , z)185 FigureC.1. Repre local et repre globale (orientation des fibres)188 Figure D.1. Gomtrie nodale de llment SFR4190 Figure D.2. Elment de rfrence SFR4 et ses points dintgration (4 PH)191 Figure D.3. Les quatre modes parasites dans llment SFR4191 Figure D.4. Un mode parasite par une face triangulaire de llment SFR4191 Figure D.5. Maillages 3D utiliss192 ix Liste des Tableaux Tableau1 .1. Comparaison des lments ttradriques avec ddl de rotation23 Tableau 2 .1. Formules dintgration numrique de Gauss-Hammer pour des prismes60 Tableau 2 .2. Formules dintgration numrique de Gauss pour des hexadres61 Tableau 3 .1. Liste des cas-tests (benchmarks) utiliss pour valider llment SFR677 Tableau 3 .2. Liste des cas-tests (benchmarks) utiliss pour valider llment SFR877 Tableau 3 .3. Liste des lments de comparaisons78 Tableau 3 .4. Patchs tests 3D : Les coordonnes nodales (x, y, z), les dplacements, les forces et les moments aux huit nuds79 Tableau 3 .5. Contraintes homognes obtenues aux points dintgration de llment SFR680 Tableau 3 .6. Rsultats de la poutre en flexion plane82 Tableau 3 .7. Dplacement VC et contraintes principales max Aoet min Bo 83 Tableau 3 .8. Donnes de gomtrie, chargement et de matriau de la plaque circulaire83 Tableau 3 .9. Dplacement au centre de la plaque circulaire84 Tableau 3 .10. Dplacement normalis au centre de la plaque biaise 3086 Tableau 3 .11. Donnes de gomtrie, chargement et de matriau de la poutre vrille87 Tableau 3 .12. Dplacement normalis au point A de la poutre vrille88 Tableau 3 .13. Rsultats de lhmisphre sous charges diamtralement opposes88 Tableau 3 .14. Dplacement vertical du point C de cylindre pinc90 Tableau 3 .15. Les rsultats normaliss de la dflexion au point C de la poutre encastre92 Tableau 3 .16. Dflexion centrale normalise de la plaque simplement supporte93 Tableau 3 .17. Coordonnes nodales et dplacements imposs (tat stable)94 Tableau 3 .18. Patch test (Cas A) : Mouvement dun corps rigide (rotation et translation)95 Tableau 3 .19. Patch test (Cas B) : Cisaillement et traction96 Tableau 3 .20. Patch test (Cas C) : Dplacements analytiques et numriques97 Tableau 3 .21. Les valeurs propres de llment SFR898 Tableau 3 .22. Rsultats de la poutre en flexion plane100 Tableau 3 .23. Dplacements normaliss de la poutre courbe101 Tableau 3 .24. Rsultats normaliss de la poutre encastre103 Tableau 3 .25. Dplacements normaliss de la poutre vrille. Chargement dans le plan104 Tableau 3 .26. Dplacements normaliss de la poutre vrille. Chargement hors plan104 Tableau 3 .27. Plaque carre simplement supporte. Dplacement transverse normalis au centre de la plaque105 Tableau 3 .28. Plaque carre encastre. Dplacement transverse normalis au centre107 Tableau 3 .29. Panneau fusel. Dplacements transverses normaliss au point C107 Tableau 3 .30. Panneau fusel (figure 3.26 ). Dplacement transverse normalis au point C avec un maillage distordu (221 lments)109 Tableau 3 .31. Panneau fusel. Rsultats des contraintes principales max Aoet min Bo 110 Tableau 3 .32. Cylindre pinc. Dplacement vertical normalis110 Tableau 3 .33. Toit cylindrique (Scordelis-Lo roof). Dplacement vertical normalis du point A112 Tableau 3 .34. Frquences propres de la poutre encastre114 Liste des Tableaux x Tableau 3 .35. Aube de compresseur. Donnes [18]117 Tableau 3 .36. Frquences propres dune aube de compresseur117 Tableau4 .1. Plaque carre multicouche. Donnes du problme127 Tableau4 .2. Plaque carre stratifie avec une seule couche (0) orthotrope simplement supporte sous chargement uniforme. Comparaison du dplacement transversal et des contraintes maximales128 Tableau4 .3. Plaque carre stratifie 3 couches (0/90/0) simplement supporte sous chargement uniforme. Comparaison du dplacement transversal et des contraintes maximales129 Tableau4 .4. Plaque carre stratifie 4 couches (0/90/90/0) simplement supporte sous chargement uniforme. Comparaison du dplacement transversal et des contraintes maximales130 Tableau4 .5. Plaque carre stratifie 4 couches simplement supporte sous chargement doublement sinusodal. Comparaison du dplacement transversal et des contraintes maximales.131 Tableau4 .6. Plaque carre stratifie 2 couches (0/90) sous chargement doublement sinusodal. Dplacement transversal et contraintes maximales (h/L = 0.2)132 Tableau4 .7. Plaque carre stratifie 2 couches (0/90) sous chargement doublement sinusodal. Dplacement transversal et contraintes maximales (h/L = 0.1)132 Tableau4 .8. Plaque carre stratifie simplement supporte. Donnes du problme133 Tableau4 .9. Plaque carre stratifie 3 couches (0/90/0) simplement supporte sous chargement doublement sinusodal. Comparaison des dplacements et des contraintes maximales134 Tableau4 .10. Plaque carre stratifie 4 couches simplement supporte sous chargement doublement sinusodal. Comparaison du dplacement transversal et des contraintes planes maximales143 Tableau4 .11. Plaque rectangulaire stratifie 4 couches sous chargement doublement sinusodal. Comparaison du dplacement transversal et des contraintes planes145 Tableau4 .12. Cylindre orthotrope sous pression interne. Flche maximale au point D148 Tableau4 .13. Dplacements normaliss de la poutre encastre150 Tableau5 .1. Poutre console en non linaire gomtrique : Solution de rfrence [285]162 Tableau5 .2. Rsultats des dflexions U et W de la poutre console en non linaire gomtrique162 Tableau5 .3. Panneau cylindrique pais (t = 12.7 mm) soumis une charge concentre.Forces P pour diffrents dplacements WA168 Tableau D.1. Formules dintgration numrique de Hammer pour des ttradres190 Tableau D.2. Rsultats de la poutre en flexion plane192 xi Notations Notation matricielle | | x . . . . . . . . . .Matrice { } x. . . . . . . . . .Vecteur colonne x. . . . . . . . . .Vecteur ligne | |Tx . . . . . . . . . .Transpose dune matrice | |1 x . . . . . . . . . Inverse dune matrice | | ( ) x det. . . . . . .Dterminant dune matrice Symboles spciauxO. . . . . . . . . .Domaine de dfinition O c. . . . . . . . . .Frontire du domaineOuO c , tO c. . . . .Frontires condition de bord respectivement essentielle et naturelle 0O . . . . . . . . . .Configuration initiale tO . . . . . . . . . .Configuration courante dU, . . . . . . . . . .Vecteur des dplacements imposs sf,. . . . . . . . . .Vecteur des forces surfaciques imposes vf,. . . . . . . . . .Vecteur des forces volumiques imposes | | o. . . . . . . . . .Tenseur des contraintes de Cauchy | | S. . . . . . . . . .Tenseur des contraintes de Piola-Kirchhoff de seconde espce | | E . . . . . . . . . .Tenseur des dformations de Green-Lagrange T,. . . . . . . . . .Vecteur des contraintes n,. . . . . . . . . .Normale locale X,. . . . . . . . . .Vecteur position 0X, . . . . . . . . . .Vecteur position initiale U,. . . . . . . . . .Vecteur des dplacements | | F. . . . . . . . . .Tenseur gradient de dformations J . . . . . . . . . .Jacobien | | L. . . . . . . . . .Tenseur gradient de dplacements | | D o. . . . . . . . . .Tenseur virtuel des dformations | | . . . . . . . . . .Matrice de passage de repre global au repre local | | H ,| | C. . . . . .Loi matriau ijklC . . . . . . . . .Composantes de la matrice de comportement en lasticit linaire E . . . . . . . . . .Module dYoung v. . . . . . . . . .Coefficient de Poisson Notations xii , G . . . . . . . .Coefficients de Lam intW . . . . . . . . .Travail virtuel interne extW . . . . . . . . .Travail virtuel externe {} R. . . . . . . . .Vecteur de forces rsiduelles (hors-quilibres) t . . . . . . . . . .Energie potentielle totale et . . . . . . . . . .Energie potentielle lmentaire P. . . . . . . . . .Terme de pnalit * . . . . . . . .Grandeur virtuelle x ccou ,x . . .Drivation partielle par rapport x dx. . . . . . . . . .Diffrentielle ou incrment ox. . . . . . . . . .Variation Ax. . . . . . . . . .Accroissement Algbre ijo . . . . . . . . . .Symbole de Kronecker b a. . . . . . . . . .Produit scalaire des vecteurs a et b b a.. . . . . . . . .Produit vectoriel des vecteurs a et b b a. . . . . . . . . .Produit contract des tenseurs a et b i, j, k, l. . . . . . .Indices latins prennent des valeurs 1, 2, 3 Discrtisation par lments finis Nelt . . . . . . . . .Nombre dlments de la structure Nbn . . . . . . . . .Nombre de nuds de la structureNddl . . . . . . . .Nombre de degrs de libert par lment nd . . . . . . . . . .Nombre de nuds par lment ddl . . . . . . . . .Degrs de libert IE. . . . . . . . . .Intgration exacte IR. . . . . . . . . .Intgration rduite xi, yi, zi. . . . . .Coordonnes du nud i { }iu . . . . . . . . . .Vecteur des degrs de libert iN . . . . . . . . . .Fonctions dinterpolation | | N. . . . . . . . . .Matrice des fonctions de forme iu ,iv ,iw . . . . . .Degrs de libert de dplacements xiu ,yiu ,ziu . . . .Degrs de libert de rotations , q , , . . . . . . .Coordonnes naturelles dun lment fini i i i, q , , . . . . . .Coordonnes naturelles du nud i eV . . . . . . . . . .Volume de llment fini (e) | | K. . . . . . . . . .Matrice de rigidit | |LK. . . . . . . . .Matrice linaire incrmentielle des dplacements | |NLK . . . . . . . .Matrice non linaire incrmentielle des dplacements | |TK. . . . . . . . .Matrice tangente | | M . . . . . . . . . .Matrice masse Notations xiii . . . . . . . . . .Valeur propre e . . . . . . . . . .Frquence propre . . . . . . . . . .Masse volumique Matriaux composites 3 2 1, , E E E . . . . .Modules dYoung dans les directions dorthotropie 1, 2 et 3 23 13 12, , G G G . . .Modules de cisaillement dans les plans1-2, 1-3 et 2-3 23 13 12, , v v v . . . .Coefficients de Poisson kh . . . . . . . . . .Epaisseur de la couche k CN. . . . . . . . . .Nombre de couches par lment kijo . . . . . . . . . .Contraintes de la couche k kijc . . . . . . . . . .Dformations de la couche k Autres MMC . . . . . . . . Mcanique des Milieux Continus MEF. . . . . . . . Mthode des Elments Finis SFR. . . . . . . . Space Fiber Rotation SFR-O. . . . . . . Space Fiber Rotation-Orthotrope SFR-M . . . . . . Space Fiber Rotation-Multicouche CT. . . . . . . . . . Cisaillement Transversal FSDT . . . . . . . . First Order Shear Deformation Theory HSDT . . . . . . . .Higher-Order Plate Theory HOSNDPT . . . .Higher Order Shear and Normal Deformable Plate Theory MLPG. . . . . . .Meshless Local Petrov-GalerkinRBF. . . . . . . . .Radial Basis FunctionMQ . . . . . . . . .Multiquadrics TPS. . . . . . . . .Thin Plate Splines EFG. . . . . . . . .Element-Free Galerkin FEM . . . . . . . . .Finite Element Method EAS. . . . . . . . .Enhanced Assumed Strain,HR. . . . . . . . . .Hellinger-Reissner PN. . . . . . . . . .Papcovitch-NeuberHVCM . . . . . . .Hexahedral Volume Coordinate MethodCP. . . . . . . . . .Cosserat PointIRS . . . . . . . . . .Intgration Rduite SlectiveIRD. . . . . . . . .Intgration Rduite Directionnelle 1 Introduction gnrale Sommaire Aspects gnraux et intrt de la modlisation 3D volumique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Motivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Travail dvelopp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Plan de la thse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Aspects gnraux et intrt de la modlisation 3D volumique Depuislesderniresdcennies,lamthodedeslmentsfinisestlargementutilise pour raliser de vritables tudes dingnierie dans tous les domaines, non seulement parce quellepeutrduireconsidrablementlecotdelaconception,maisaussiparcequelle peuttablirlesphnomnesphysiquescomplexes.Elleaidelesingnieursmieux comprendrelesprocessusdedformationetdecontrlerlaqualitdeproduits. Lapplicationdecettemthodedansuneclasseimportantedeproblmesexigedesoutils numriquesapproprisetrobustespourunemiseenuvresoupleetefficace.Dansce cadreetafinderpondrecesexigences,ilestessentieldechoisiretdedvelopperdes lments finis appropris pour acclrer les processus de conception et de rduire les cots de calcul pour ces problmes. Laplupartdesproblmesdingnieriedanslessolidesetlesstructuressont naturellement en trois dimensions. Comme les donnes de la gomtrie et dautres donnes du problme sont gnralement complexes, la structure est mieux analyse par la mthode des lments finis. Par exemple, si la structure est mince dans une direction et longue dans lesdeuxautresdirectionsunmodlemathmatiquedeplaqueoucoque shell est appropri, et le problme est rsolu efficacement en utilisant les lments finis deplaques oucoques.Cependant,sileslongueursdelastructuresontsimilairesdanstoutesles directions,etlechargementestgnral,ilnyapasdautrechoixquedersoudrele problme en utilisant les lments finis volumiques tridimensionnels. Dautres ncessites dutilisationsleslmentsfinisvolumiquesoumassifscitonsenparticulierspourla plasturgie [1], lemboutissage de matriaux mtalliques ou de composites multicouches et pourlesstructurespizolectriques[2],ceslmentsnouspermisdetenircomptedes effets3Dtraverslpaisseur.Ainsilhypothsedelanon-variationdelpaisseur, adoptepourdvelopperleslmentsplaquesetcoques,peutconduiredesrsultats erronsmmepourdesstructuresminces[1,2].Ilspeuventtremisendfautcarles thoriesapprochesutilisespourleurformulationnepermettentplusdereproduireles phnomnesphysiquestelsquelaplasticit,lapropagationdondesetleproblmede contact.Deplus,leslmentsvolumiquesontbeaucoupdautresavantages,ilsvitentle recoursdescinmatiquescomplexesdetypeplaquesetcoques,utilisentdesloisde comportementgnralestridimensionnellesetpermettentdereproduirelesphnomnes puisquilssontformulspartirdelathoriedellasticit3D.Enparticulier,ils permettentdesuivrelavariationdpaisseurtraverslecalculdescomposantesde dformation dans cette direction et enfin, ils autorisent des conditions de contact naturelles sur les deux faces de la structure. Introduction gnrale 2 Sicelaonajoutelefaitquelesdveloppementsactuelsdanslesdomainesdela gnrationdemaillagequipermettentdegnrerdefaonautomatiquelesmaillages ncessairesauxcalculsdesstructurestridimensionnellesavecnimportequeltype dlment volumique soit hexadre, ttradre, prisme ou pyramide, on obtient un outil qui mnedirectement,etdefaonautonome,depuislaconceptionjusquaucalculdune structure. La majorit des lments finis volumiques 3D sont formuls sur la base des approches des lments 1D et 2D. Il y a trois types de base dlments volumiques :(i)Hexadre (galement connu sous le nom brique) 8 nuds (tri-linaire) avec 24 degrs de libert (ddl) et 20 nuds (quadratique) avec 60 ddl ;(ii)Ttradre 4 nuds (linaire) avec 12 ddl et 10 nuds (quadratique complet) avec 30 ddl ;(iii)Prisme (pentadre) 6 nuds (linaire) avec 18 ddl et 15 nuds (quadratique) avec 45 ddl. Leslmentshexadriquessontgnralementutilissdanslamodlisationnumrique tridimensionnelledessolidesetilsonttgalementlefacteurdemotivationpourle dveloppementdlmentsfinisdetypecoquesvolumiques solid-shellelement .Les lments ttradriques sont principalement utiliss dans lagnration et le raffinement du maillage. Les lments prismatiques sont relativement utiliss dans lanalyse des structures de type coques paisses et ils sont convient pour le maillage des plaques circulaires ou des hmisphresavecunecombinaisondesdeuxtypesdlmentsprismesetbriques,oles lments prismatiques sont utiliss dans la couche adjacente au centre. Le cadre gnral de ce travail de recherche est dapporter des nouveaux lments finis detypevolumiquesdits valeurajoute ,avecdegrsdelibertderotation,pourla modlisationnumriquedesproblmesdemcaniquedessolidesetdesstructures.Ces lmentssontformulssurlabaseduconceptderotationdunefibrematrielledans lespace (concept SFR : Space Fiber Rotation). Trois point nous ont plus particulirement intresss :lamiseaupointdunoutildesimulationnumriquepourlesstructures tridimensionnellesisotropesenlasticitlinaire,pourdescasdechargementstatiqueet dynamique(vibrationlibre).Cetoutildevratredotdlmentsfinisrobustesentermes deprcisionsurlesdformationsetlescontraintes.Ledeuximepointconsisteau dveloppementdeslmentsfinisvolumiquescompositesbasssurleconceptSFR, servantlanalysedesstructurescompositesstratifiesetletroisimepointseraaussila formulation des lments SFR en non linaire gomtrique pour les problmes des grands dplacements et petites dformations des structures tridimensionnelles. MotivationsLamotivationgnralepourledveloppementdesmodlesvolumiquesSFRavec degrsdelibertderotationestlarussitedapplicationdesddlderotationauxlments membranaires 2D. Un grand nombre dlments membranaires, plaques et coques, utilisant larotationdAllman[3]sontprsentsdanslesrfrences :Allman[3,4],Berganet Felippa[5],Cook[6]etMacNealetHarder[7].Uneautreformulationsimplepources lments2Davecddlderotationquiutiliselapprochehybrideesttudiedansles rfrences : Cook [8] et Yunus [9]. Plus tard, une trs rcente approche pour les lments membranairesestdveloppeparAyad[10]quiutiliseunefibrevirtuelleplanelieau niveaudesnuds.Cettefibrerotatoireestreprsenteparundegrdelibertderotation fictivechaquenuddellment.Deuxlmentssontdveloppsparlapplicationde Introduction gnrale 3 cette approche : (i) un lment triangulaire 3 nuds (FRT) qui ne possde pas des modes parasitesdeHourglass(sabliers).Lesmodesparasitesdusauxrotationsgalessont limins par lutilisation de la technique de stabilisation de MacNeal et Harder [7] ; et (ii) unlmentquadrilatral4nuds(FRQ)possdedeuxmodesparasitesquisontaussi supprims facilement laide de la technique de stabilisation de MacNeal et Harder [7]. Le conceptdelafibrerotatoireplaneestaussiutilisparGhomarietal.[11]pouramliorer lesrsultatsdellmentquadrilatralstandard4nudsdansleprocessusdeformage descorpsplastiques.Ceconceptexploitelintgrationrduiteaveclutilisationdes techniquesdestabilisationpourliminerlesmodesparasitesetobtenirdesrsultats performants. DaprslespremirestudeseffectuesparAyad[12]surllmenthexadrique8 nudsSFR8(initial)bassurleconceptSFR,lesmodesparasitesduslintgration rduite disparaissent aprs assemblage de deux ou plusieurs lments. Cependant, et aprs une analyse dtaille du rang de la matrice de rigidit lmentaire de llment SFR8, nous avonsobservquelintgrationrduitepeutconduireunesingularitdelamatricede rigiditglobalepourcertainesconditionsauxlimites.Cettedficiencedurangdela matrice de rigidit doit donc tre comble en rajoutant la rigidit lmentaire une matrice dite de stabilisation. Le nombre des modes nergie nulle, obtenus par cette technique de stabilisation, doit se rduire six modes correspondants aux mouvements de corps rigides. Uneautremotivationatlancessitdecomplterlafamilledlmentsfinis volumiquesSFRparunlmentprismatiqueafindepouvoirmaillerfacilementet automatiquementdesformesgomtriquesquelconques.Eneffet,aveclavnement doutilslibresdegnrationdemaillagenegnrantpasquedeshexadres,etpourtre capabledemaillerdesstructuresarbitrairementcomplexes,ledveloppementdlments volumiques base triangulaire est requis. Travail dvelopp A partir dune ide originale de Ayad,propose ds 2002 [12, 13], antrieurement aux autresmodlesdfinissurunprincipeanaloguepardautreschercheurs :Zouarietal. [14] ;Ghomarietal.[15],ledveloppementdelafamilledlmentsvolumiquesSFR sest droul en trois grandes tapes ayant chacune des objectifs diffrents. Chaque tape a conduitparalllementlaformulationdunefamilledlmentsfinisvolumiquesdetype SFR : Premire formulation :lapremirefamilledlmentsfinisvolumiquesSFRaeupour objectifdintroduiredansdeslmentsfinisvolumiquesstandardstridimensionnels (hexadre huit nuds et prisme six nuds) le modle SFR. Deux lments finis solides tridimensionnels, lun est un lment prismatique 6 nuds SFR6 et lautre est un lment hexadrique8nudsSFR8sontdvelopps.Uneversionnonconformedecedernier baptis SFR8I avec trois modes incompatibles estgalement formule. Ces lmentssont implants dans le code de calcul par lments finis Reflex [16-18]. Le but tait damliorer laprcisiondeslmentsfinislinairesclassiques.Enexploitantlarotationdunefibre matrielle lmentaire dans lespace, ce nouveau modle cre de la valeur en enrichissant ladfinitionduchampdesdplacementsquidevientquadratique,toutenmaintenantle nombredenudsdeslmentslinaires.CeslmentsvolumiquesSFRpallientdes inconvnientsquerencontrentleslmentsfinisvolumiquesstandardstellesqueleur sensibilit aux maillages distordus et les phnomnes de verrouillages numriques. Introduction gnrale 4 Deuxime formulation : le deuxime objectif a t dadapt les lments volumiques SFR auxstructurescompositesstratifies.Deuxtechniquessontutilises,lunedetype monocouche (approche par couche orthotrope lmentaire) et lautre de type multicouche. ImplantesainsidanslecodedecalculReflex.Lundesavantagesdecesmodlesest dviterlintroductiondefacteursdecorrectionducisaillementtransversal(CT)pourles structuresstratifies,utilisspardeslmentsfinisdeplaquesetdecoquespaisses.Ces facteurs tant ncessaires pour palier au problme de distribution constante des contraintes de CT travers lpaisseur, induite par lutilisation de lhypothse cinmatique de Mindlin. Troisimeformulation :Toujoursdanslecadreducodedecalculparlmentsfinis Reflex,letroisimeobjectifatdeformulerleslmentsSFRennonlinaire gomtriqueengrandsdplacementsetpetitesdformations,utilisantladescription lagrangienne totale associe la mthode de rsolution de Newton-Raphson. Cesformulationsserontexplicitesendtaildansleschapitres2,4et5.Descastests numriquesclassiquesenlasticitlinairedesmatriauxisotropesetcompositesavec stratifications et des cas tests en non linaire gomtrique montreront lintrt et la validit de ces lments volumiques SFR ainsi que leur efficacitdans la modlisation numrique tridimensionnelle des solides et des structures 3D. Plan de la thse Concrtement,cetravailderechercheconsistedvelopperunenouvellegnration dlmentsfinistridimensionnelsbasssurlemodleSFR(SpaceFiberRotation),issu dun modle dj existant dvelopp par Ayad[10] pour les lments finis membranaires 2D. Ces modles reposent sur une technique originale.Cette tude a abouti la rdaction de ce manuscrit que nous avons dcid de scinder en cinqchapitres,prcdsparuneintroductiongnraleetcltursparuneconclusion gnrale et des perspectives. Aprs avoir tabli, dans le premier chapitre, une description gnraledesproblmesdemcaniquedesmilieuxcontinusetleprincipegnraldela mthode des lments finis, nous prsenterons une synthse des lments finis volumiques existants, appliqus aux calculs des solides et des structures isotropes et composites dans le domainelinaireetnonlinaire.Elleestsurtoutaxeautourdelacapacitdechaque modle modliser les solides tridimensionnels. Enfin, on donne une vision globale sur les tendances actuelles. Ensuite,nousprsenteronsdansledeuximechapitrelaformulationthoriquedu modle SFR travers deux lments volumiques : hexadre 8 nuds SFR8 et prisme 6 nudsSFR6.Leslmentsconsidrssontlinairesavecsixdegrsdelibertparnud, ontrussitmodliserlesstructurestridimensionnellesetviterlesblocagesconnus danslalittrature,priori,lesverrouillagesnumriquesdecisaillementetdemembrane. De par leur formulation, les lments SFR sont capables priori dune part, damliorer la prcisiondeslmentsfinisvolumiquesstandardsetdautrepart,dobtenirdesgainsde tempsdecalculapprciables.Uneanalysedtailledurangdesmatricesderigidit lmentairedeslmentsSFRintgresexactementetsous-intgresestexpose.En premierlieu,nousrappelonslesdiffrentsschmasutilisspourintgrerlesmatricesde rigidit lmentaire. Deux principales classes de schmas sont ainsi retenues : les schmas dintgrationsnumriquesexactesetlesschmasdintgrationsrduites.Uneattention particulireestaccordelintgrationrduitecarsesperformancessontbienreconnues, notamment en termes de prcision et de temps de calcul. Ensuite, on a dduit un moyen de stabilisationenajoutantdesmatricesdepnalitslamatricederigiditlmentaire, Introduction gnrale 5 tandisquelaperformancedelatechniqueSFRnestpartropaltreparcetraitement. FinalementetaprslvaluationdematricesdemassedeslmentsSFR6etSFR8,une versionnonconformedellmentSFR8seraprsenteafindviterpriorile verrouillage de Poisson ou dpaisseur. Cet lment baptis SFR8I est formul en utilisant la mthode de modes incompatibles.Letroisimechapitreseraloccasiondeprsenterlesrsultatsdessimulations numriquesobtenusaveclesmodleslmentsfinisvolumiquesSFRprsentsdansle deuximechapitre.AprslesavoirvalidsurdesPatch-testsdessolides3D,uncertain nombre de cas-tests numriques linaires tant acadmiques que pratiquesont tanalyss pourdescasdechargementstatiquesetdynamiques(envibrationslibres).Lesrsultats obtenussontcomparsdessolutionsderfrencedoriginenumrique,thoriqueou exprimentale. Ces rsultats nous a permis de vrifier la performance et la fiabilit de ces lmentsvolumiquesSFRainsiquilsnesontpasendommagparlesmthodesde stabilisation pour liminer les modes parasites. Lequatrimechapitreconcerneplusparticulirementladaptationdeslmentsfinis volumiques bass sur lemodle SFRauxstructures composites stratifies. On prsentera, danscechapitre,deuxmodlesnumriques.Lepremiermodlesappuiesurlutilisation dunlmentsolideSFRdanschaquecouchedelastructurestratifie(approchepar couche orthotrope lmentaire). Cela nous amne dcrire deux lments SFR Orthotropes appels SFR8O et SFR6O. Le second modle consiste intgrer lempilement de plusieurs couchesdirectementdansunseullmentdanslpaisseurdellmentsolide.La construction du modle est fonde sur le concept SFR. Ce dernier consiste aussi formuler deuxlmentsvolumiquesmulticouchesbaptissSFR8MetSFR6M.Ainsi,chaque modle dcrit dans ce chapitre est valid travers de nombreux tests en lasticit linaire des matriaux composites stratifis. Enfin,lecinquimeetdernierchapitreestconsacrlaformulationdeslments volumiquesSFRennonlinaritgomtriquedegrandsdplacementsetpetites dformations.Deuxlmentsnonlinaires(prisme6nudsethexadre8nuds) bass sur le concept SFR sont formuls en intgrant les effets non linaires gomtriques. Noustablissonslesquationsgouvernantesduproblmedegrandsdplacementsen utilisant la formulation lagrangienne totale associe la mthode de rsolution de Newton-Raphson.Cechapitresetermineaussiparuneprsentationdecastestsengrands dplacementspermettantdevaliderleslmentsfinisvolumiquesSFRennonlinaire gomtrique. Ilestnoterquechaquechapitreestclturparuneconclusionpartielle.Alafindu document,uneconclusiongnraletirelebilandecetravailentermesdefficacitetde fiabilitdesmodlesnumriquesmisenuvreetprsentegalementquelques perspectives de dveloppement lies lapproche utilise. Afindassurerlalisibilitdumanuscrit,unensembledinformationsdefondontt ajoutessousformedannexes.Cesinformations,bienquerelativementimportantes,ne sont pas indispensables la comprhension gnrale du travail prsent. 6 Chapitre 1. Etude bibliographique Sommaire 1.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 1.2. Gnralits sur la MMC et la MEF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 1.2.1. Etude de la mcanique des milieux continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2. Principe des travaux virtuels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.3. Discrtisation par lments finis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 1.3. Synthse des lments finis volumiques existants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 1.3.1. Elments volumiques standards et gnration du maillage . . . . . . . . . . . . . . .15 1.3.2. Elments volumiques avec degrs de libert de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . .20 1.3.3. Elments volumiques de premier ordre prcision amliore. . . . . . . . . . . .24 1.3.4. Elments volumiques dordre suprieur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29 1.3.5. Autres formulations existantes dlments volumiques . . . . . . . . . . . . . . . . . .32 1.3.6. Elments volumiques non linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36 1.3.7. Techniques dintgration rduite avec contrle des modes parasites. . . . . . .39 1.3.8. Elments volumiques composites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41 1.4. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48 1.1. Introduction Deux axes principaux ont compos le fil de ce chapitre. Dans une premire partie, nous rappelleronslesnotionsfondamentalesconcernantlamcaniquedesmilieuxcontinus (MMC) et la mthode des lments finis (MEF). Ensuite, le reste du chapitre sera consacr ltudebibliographiquesurlamodlisationdessolidesetdesstructures tridimensionnelles,visantdcrirecertainestechniquesdedveloppementdeslments finisvolumiques.Cettetudebibliographiquesurlesmodlesdlmentsolide3D existants ralises le long des deux dernires dcennies, nous donne une vision globale des hypothsesdebase,desmthodesdeformulation,desavantagesetdesinconvnientsde chaquemodle.Dansunpremiertemps,onlistelesdiffrentslmentsfinisvolumiques standardsetleprincipedegnrationdumaillage.Onabordeensuitelesrcents dveloppementsdesmodleslmentsfinisvolumiquespartirdesdiffrentes formulationsdansledomainelastiquelinaire.Lutilisationdeslmentsvolumiques dansledomainenonlinairefaitensuitelobjetdunediscussion.Puis,onprsentera quelquesschmasdintgrationnumriquenotammentlintgrationrduiteassocisaux diffrents lments solides ainsi que les mthodes de contrle des modes parasites comme lesmodesdeHourglass.Enfin,pourconclurecettetudebibliographique,nous synthtiseronscertainsavantagesetinconvnientsinhrentesunemodlisation numriquedessolides3Dparlmentsfinisvolumiques,cequinouspermettraalors dintroduirelesdveloppementsapportstoutaulongdecettethsepourmettreaupoint des lments volumiques fiables et performants. Chapitre 1. Etude bibliographique 7 1.2. Gnralits sur la MMC et la MEFDanscettesection,nousallonsprsenterlesprincipesfondamentauxdelamcanique desmilieuxcontinus(MMC),ainsiquunrappelsurquelquesnotionsdebasedela mthodedeslmentsfinis(MEF).Dunefaongnrale,cettesectionestunegnralit inspire des rfrences suivantes : Batoz et Dhatt [16] , Craveur [19], Dhatt et Touzot [20], Trinh [21], Lemosse [22]. 1.2.1. Etude de la mcanique des milieux continusNotretudeestbasesurlanalysedunproblmedesmilieuxcontinus.Onconsidre uncorpssolidedformablereprsentdanslafigure1.1,o 0O reprsentelaposition occupeparlesolidetudiltatinitialappelconfigurationinitiale.Cesolide,sous lactiondesforcesextrieuresvolumiques vf etsurfaciques sf imposes,sedplaceau cours du temps t en tOappel configuration actuelle. Figure1 .1. Dformation dun milieu continu NousconsidronsM0unpointdanslaconfigurationinitialeestdfinieparles coordonnes ( )0 0 0, , z y x .Alinstantt,lepointM0devientunnouveaupointMtsurla configuration courante tOest dfinie par les coordonnes( )t t tz y x , ,telles que : iti itU X X00+ = (1.1) avec : itU0 est le dplacement du point M entre l'tat initiale et l'tat courante (actuelle). On peut crire lquation (1.1) sous la forme vectorielle suivante : )`+)`=)`wvuzyxzyx000(1.2) Mt M0 x y z 0XtXUConfiguration initiale 0OConfiguration actuelle tO1.2. Gnralits sur la MMC et la MEF 8 Dans le repre global, on dfinit le tenseur gradient de transformation [F] par : { } | |{ })`((((

+++=)`((((((((

cccccccccccccccccc= =000, , ,, , ,, , ,0000 0 00 0 00 0 000 0 00 0 00 0 0111dzdydxw w wv v vu u udzdydxzzyzxzzyyyxyzxyxxxdX F dXz y xz y xz y x(1.3) On peut crire le tenseur gradient de transformation [F] sous la forme suivante : [F] = [I] + [L0](1.4a) avec : [L0] = ((((

0 0 00 0 00 0 0, , ,, , ,, , ,z y xz y xz y xw w wv v vu u u(1.4b) Le tenseur [L0] qui est non symtrique peut tre dcompos en un tenseur symtrique [D0] et un tenseur antisymtrique [W0] : [L0] = [D0] + [W0] (1.4c) Le tenseur des dformations linaires, ou petites dformations est : [D0] =| |(((((((

++ += +00 0 00 0 0 0 0,, , ,, , , , ,0 0.) (21) (21) (2121zy z yx z x y xTw Symw v vw u v u uL L (1.5) | | | |((((

= =000210 0 0x yx zy zTL L Wu uu uu u(1.6) o( )0 0, ,21z y xv w = u; ( )0 0, ,21x z yw u = u ;( )0 0, ,21y x zu v = uLesrotationsinfinitsimales z y xu u u et , autourdesaxesx,yetzneproduisantaucune dformation. 1.2.1.1. Tenseur des dformations linarises Le tenseur des dformations, dite de Green-Lagrange est dfinit en fonction de tenseur gradient des transformations par : [E] = 21[FT . F I](1.7a) [I] : tenseur identit Chapitre 1. Etude bibliographique 9 Danslathorielinaireclassiquedellasticit,lesgradientsdesdplacementssont supposs petits. Les produits et les carrs des premires drives sont ngligeables : [E] ~ [D0] =| |TL L0 021+ (1.7b) Danslecasdelhypothsedelinaritgomtrique,cest--diredepetitesrotationset depetitesdformations,ondfinitlesdformations ijc parlaformuleclassiquedela mcanique linaire, kuest le dplacement dans la direction k : ||.|

\|cc+cc=ijjiijxuxu21c (1.8) Lesdformationssontsymtriquesdufaitdelacommutativitdeladditiondes nombres rels. ji ijc c = (1.9) Enmcaniquelinaire,laquantit2ijc (distorsionangulaire)reprsentelavariation dangleentrelesdirectionsietj.Cestledoubledeladformationangulaire ijc .On dfinit le tenseur des dformations en un point par : | |((((

=zzyz yyxz xy xxSym cc cc c cc.(1.10a) Letenseurdesdformationsestluiaussientirementdterminentoutpointparla connaissance de six composantes sur les neuf, que lon reprsente vectoriellement par : { } { }Tyz xz xy zz yy xx c c c c = (1.10b) oxy xyc 2 = , xz xzc 2 =et yz yzc 2 = . 1.2.1.2. Tenseur des contraintesConsidronsunsolidesubissantdesforcessurfaciquesFetvolumiquesfetdivisen deux par un plan imaginaire (voir figure 1.2). Un lment de surfaceS Aautour de point P et de vecteur normal n subit une force rsultanteF A . SiS Aest infiniment petit, le rapport F A / S A devientdF / dS .LevecteurdF / dS estpardfinitionlevecteurdecontrainte ) (Tn au point P associ au plan de vecteur normal n : dSdFSFTSn=AA= A 0) (lim (1.11) Levecteurdecontrainte ) (Tnnestpasncessairementcolinairenetpeutdonctre scindentroiscomposantes.Ltatdecontrainteenunpointpeuttredfinipartousles vecteursdecontrainte ) (Tnassocistouslesplansquiintersectentcepoint.Onse satisfaitdanslapratiquedelaconnaissancedesvecteursdecontrainteassocisauxplans orthogonaux de vecteurs normaux e1, e2 et e3. 1.2. Gnralits sur la MMC et la MEF 10 Figure1 .2. Forces au sein dun solide 3D La dcomposition des vecteurs de contrainte ) (1Te, ) (2Te et ) (3Te selon les directions des axes de coordonnes cartsiennes (voir figure 1.3) est: 3 2 1) (1e e e Txz xy xxeo o o + + =3 2 1) (2e e e Tyz yy yxeo o o + + = (1.12) 3 2 1) (3e e e Tzz zy zxeo o o + + = Figure1 .3. Composantes du tenseur des contraintes LetenseurdeCauchy j ijee Tio =) (estsymtrique(ji ijo o = ).Lamatrice| | o estla matrice des contraintes au point P. Le tenseur des contraintes, symtrique, est entirement dterminentoutpointparlaconnaissancedesixcomposantessurlesneuf,quelon reprsente vectoriellement : {} { }Tyz xz xy zz yy xxt t t o o o o = (1.13) 1.2.1.3. Relations contraintes-dformations Enselimitenticiaudomainelastiquelinaire,lescontraintesvarient proportionnellementenfonctiondesdformations.Larelationdecomportementoulaloi constitutivequirelielesdeuxvecteursdecontraintesetdedformationsscritesousla forme suivante : {} | |{ } { }0o c o + = C (1.14) o [C] est un tenseurde comportement dordre 4 dont les composantes font intervenir les caractristiques physiques du matriau et{ }0oest le tenseur de contraintes ltat initial. oyx oxx ozx oyz ozz oxz ozy oyy oxy x y z Chapitre 1. Etude bibliographique 11 LescomposantesCijkldutenseur[C]scriventsimplement(o 0o =0poursimplifier lcriture) : kl ijkl ijC c o . = (1.15) En raison des symtries des tenseurs de dformations et de contraintes, ces tenseurs de rang2etdedimension(33)peuventtrerduitsentenseursderang1etdedimension (61),cest--diredesvecteurs-colonne.Demme,letenseurderaideurderang4etde dimension(3333)peuttrerduitenuntenseurderang2etdedimension(66). Lexpression (1.15) se simplifie alors : )`(((((((((

=)`2313123322112323 2313 2312 2333 2322 23111323 1313 1312 1333 1322 13111223 1213 1212 1233 1222 12113323 3313 3312 3333 3322 33112223 2213 2212 2233 2222 22111123 1113 1112 1133 1122 1111231312332211222ccccccooooooC C C C C CC C C C C CC C C C C CC C C C C CC C C C C CC C C C C C(1.16) Enfin,commeilestdusagedanslalittrature,nousutilisonslanotationdeVoigtqui convertit les 2-uplets i, j en un 1-uplet k :)`(((((((((

=)`65432166 65 64 63 62 6156 55 54 53 52 5146 45 44 43 42 4136 35 34 33 32 3126 25 24 23 22 2116 15 14 13 12 11654321222ccccccooooooC C C C C CC C C C C CC C C C C CC C C C C CC C C C C CC C C C C C(1.17) 1.2.1.4. Lois dquilibre Le solide dans la configuration courante tOest soumis des sollicitations comme des forcessurfaciques sf appliquessurunepartiedelafrontire t TO c ,desdplacements impossd U appliqussurunepartiedelafrontire t uO c ,etdesforcesvolumiques vf(quipeutcontenirdestermesdinertie).Luniondesdeuxparties t TO c et t uO c(tO c =t TO c t uO c ) reprsente le contour ferm de tO . Lquilibre du systme scrit de la faon suivante : ( )| |O c e =O c e =O e = +) ( .) ( ) () ( 0c M f nb M U M Ua M f Divt T st udt voo(1.18) 1.2.1.5. Problmes dlasticit 3D Rsoudre un problme dlasticit 3D consiste dterminer, en tout point de la structure en quilibre, 15 grandeurs : Six contraintes :yz xz xy zz yy xxt t t o o o , , , , ,Six dformations : yz xz xy zz yy xx c c c , , , , ,1.2. Gnralits sur la MMC et la MEF 12 Trois dplacements: u, v, w Ces grandeurs doivent vrifier : Trois relations dquilibre :0,= +j i ijF odans tOSix relations contraintes/dformations : kl ijkl ijC c o . =dans tOSix relations dformations/dplacements : ( )i j j i iju u, ,21+ = cdans tO;3 , 2 , 1 , e j i Auxquellesilconvientdajouterlesconditionsauxlimitesdetypedplacementimpos, nul ou non : di iu u= sur t uO cet les conditions aux limites de type quilibre :si j ijf n= osur t TO c1.2.2. Principe des travaux virtuelsLeprincipedestravauxvirtuelsconsistesatisfairelquationdquilibrelocal(1.18) sous forme intgrale, on dit aussi sous forme faible : ( ) ( ) u dV f div u Wtvo o o = + = }O0 . . (1.19) ou oreprsente un ensemble de fonctions test : les dplacements virtuels. Lintgration par parties permet de transformer la forme intgrale comme suit : ( )} } } }O O c O O = =t t t tdV u dS n u dV u dV div uij j i j ij i j ij. . . . . . . . ., ,o o o o o o o o (1.20) Onsparelecontoursouslaforme tO c =t TO c t uO c .Afinderduirelenombre dinconnues du problme, on choisit le champ des dplacements virtuels nul sur t uO c . 0 . . . =}O ct udS n uj ij i o o (1.21) Cettehypothserevientvrifierdefaonfortelquation(1.18b).Laconditionen effort (1.18c) est vrifie de faon faible, c'est--dire : } }O c O c=t T t TdS f u dS n uS j ij i. . . . . o o o (1.22) Onobtientfinalementlaformefaibledelquilibredusystmedanslaconfiguration actuelle tO: | || | ( ) = =+ ==} }}O c OOu W W WdS f u dV f u WdV D Tr Wexts v extt T ttoo oo o0. . . .:intint(1.23a) O c =O c =t ut u duu usur 0suro(1.23b) Chapitre 1. Etude bibliographique 13 avec | | | | ( )( ) ( )( )(((((((

++ += V =zy z yx z x y xw Symw v vw u v u uu Sym D,, , ,, , , , ,.212121oo o oo o o o oo o (1.24) On peut crire le principe des travaux virtuels sous la forme vectorielle suivante : { }{ } { }{ } = =+ ==} }}O c OOu W W WdS f u dV f u WdV D Wexts v extt T ttoo oo o0. . . .intint(1.25a) { } { }{ } { }O c =O c =t ut u duu usur 0suro(1.25b) avec en coordonnes cartsiennes globales : ===+ + + ==sz sy sx svz vy vx vyz xz xy zz yy xxy z x z x y z y xf f f ff f f fw v w u v u w v u Dw v u uo o o o o o oo o o o o o o o o oo o o o, , , , , , , , ,(1.26) 1.2.3. Discrtisation par lments finisLamthodedeslmentsfinisestunetechniquenumriquequi,partirdelaforme variationnellecontinue,permetdaboutirunsystmematricieldquationstraduisant lquilibre sous une forme discrte. Les inconnues de ce systme sont les degrs de libert nodaux. Approximationnodaleparsous-domaines :LedomainedevolumeVsurlequelune solutionestcherche,estdivisensous-domaines eV ,aussiappelslmentsfinis,tels que : =eeV VavecC =eeV (1.27) A lintrieur de chaque lment eV , dfini par des nuds de coordonnes eix , la position de tout point x est repre par : ( ) ( )i inix N xd. , , , ,1, q , q == (1.28) o( ) , q , , sontlescoordonnesparamtriquesetNisontlesfonctionsdeformeen variables paramtriques.1.2. Gnralits sur la MMC et la MEF 14 Lordre polynomial des fonctions de forme, ainsi que le nombre de nuds par lment (nd) sont dtermins par le choix du type dlment fini fait par lutilisateur. La fonction solution u scrite sur chaque lment par la relation suivante : ( ) ( )ii u N u . , , , , , q , q =;( ) ( )* *. , , , ,ii u N u , q , q = (1.29) oi Nsont les fonctions dinterpolation, *uest la fonction virtuelle, ui sont les inconnues nodales caractrisant la fonction solution et ui* sont les inconnues nodales virtuelles. Dans lecasdunereprsentationiso-paramtrique,lesfonctionsdinterpolationsontgalesaux fonctionsdeforme,soitN N .Ilestnoterquecechoixestlepluscourantdansla mthode des lments finis. La forme variationnelle discrtise sur chaque lment en fonction de euet *euest : ( )e e eTe ef u k u W = . .*(1.30) o ke est la matrice de rigidit lmentaire, fe est le vecteur lmentaire des sollicitations. Aprs lassemblage de la forme variationnelle, on obtient : ( ) ( ) = = = =eTe e eTeeeU F U K U f u k u W W* * *0 . . . . (1.31) Soit :F U K = . (1.32) oK,F,UetU*sontrespectivementlamatricederigiditglobale,levecteurglobaldes sollicitations,lensembledesvariablesnodalesetlensembledesvariablesnodales virtuelles obtenus par assemblage de matrices lmentaires. Pourvaluerlesquantitsrelativeschaquelmentondoitrsoudreleproblme linaireF U K = . ( F K U .1 = )entenantcomptedesconditionsauxlimites.Puis,extraire ue de U et calculer les dformations, les contraintes Pour des problmes non linaires gomtriques, ltat de la configuration linstant t +1 dpenddeceluilinstantt.Donc,lamatricederigiditdpendgalementdesvariables queloncherche.Leproblmenepeutdoncpastrersoluexplicitement.Lapproche gnralepourrsoudrelesproblmesnonlinairesenutilisantlatechniquedesolution incrmentielleitrativeetladescriptionlagrangienne,comprendengnraltroistapes principales : 1.Etapedeprdiction :Evaluerlarigiditglobaledelastructureettrouverles dplacements incrmentiels ; 2. Etape de correction : Dterminer les forces nodales exactes de chaque nud ; 3. Etape de dtection : Comparer les forces nodales avec les forces appliques pour trouver lesforcesrsiduellesdanslaconfigurationdformeetvrifierlaconditiondquilibre pour voir si lon a encore besoin ditrations. Chapitre 1. Etude bibliographique 15 1.3. Synthse des lments finis volumiques existants La mthode des lments finis (MEF) a t dabord dcrite par Turner et al. [23] avantqueClough[24]ntablissesaterminologie.Plusdedtailssurlesgrandestapesde lhistoiredelaMEFpeuventtretrouvsdans[25,26].Aprsplusde50ansde dveloppement,laMEFestdevenuelundesoutilslespluspuissantsetpopulairespour dessimulationsnumriquesdanslesdiffrentsdomainesdessciencesnaturelleset dengineering.Leslogicielscommerciauxdisponiblessontmaintenantlargementutiliss dans la conception technique des structures en raison deleur polyvalencepour les solides et les structures de gomtrie complexe et de leur applicabilit pour de nombreux types de problmeslinairesetnonlinaires.Thoriquement,leschercheurstententdamliorerle dveloppement actuel des logiciels de calcul par lments finis en les enrichissant par des lments finis robustes et performent. Danscettetudebibliographique,nousessayonsdersumerlesprogrsimportants ralisspendantlesdeuxderniresdcenniesdansledveloppementdlmentsfinis volumiques. Des travaux antrieurs cette priode ont t rsums dans la rfrence[27]. Nous avons essay de fournir une tude approfondie de la littrature et une synthse aussi complte que possible. Cependant, en raison de la disponibilit insuffisante des rfrences bibliographiquessurlesujetdeslmentsfinisvolumiques(solides3D),cettetudene peut pas tre complte. Dans la littrature, il existe beaucoup dapproche de formulation. Il estdifficiledeffectueruneclassificationdtaillequitiennecomptedetouslesmodles existants.Afindorganisercettetude,nousavonsclassengnrallesdiffrentes approches disponibles dans la littrature sur laformulation des lments finis volumiques commesuit :(i)lmentsfinisvolumiquesstandardsbasssurlaformulation3Ddu principe des travaux virtuels et utilisant des approximations de premier et deuxime ordre; (ii) lments volumiques avec ddl de rotation ; (iii) lments volumiques de premier ordre prcisionamliorebasssurlesformulationsmixtesetlesmthodesdedformations postules amliores ; (iv) lments volumiques dordre suprieur ; (v) autres formulations existantesdlmentsvolumiques ;(vi)lmentsvolumiquesnonlinaires;(vii) techniquesdintgrationrduiteaveccontrledesmodesparasites ;et(viii)lments volumiquescomposites.Ilfautnoterquetousleslmentsvolumiquesefficacessontles lments qui sont formuls partir de combinaison de deux ou plus des techniques dcrites ci-dessous.Parconsquent,cesapprochessontdiscutesengnraldunemanire indpendante et peut tre pas assez approfondi. Nanmoins, afin de garder une organisation acceptable, nous choisissons dutiliser nos discrtions de jugement pour la dsignation des catgoriesparticuliresdeslments.Nousdevonsprciserquecesdsignationssonten aucun cas tre considres comme irrvocable. Unbilandetoutecetterevuebibliographiqueserafaitlafinduchapitrepermettant ainsi de poser le problme et de dfinir le cadre de notre tude. 1.3.1. Elments volumiques standards et gnration du maillage La mthode des lments finis classique, base sur la formulation tridimensionnelle du principe des travaux virtuels et utilisant des approximations du premier et deuxime ordre, conduiteunevaritdlmentsvolumiquesstandards.Ondistinguetroisgrandstypes dlmentsfinisvolumiquesfrquemmentutiliss :(i)leslmentsfinisdeLagrangequi reposentsurdesbasespolynomialescompltesetdiffrentstypesdegomtries ;(ii)les lmentsfinisdetypeSerendip,quisontdeslmentsfinisdeLagrangeavecdesbases polynomialesincompltes ;et(iii)leslmentsfinisdHermite,dehauteprcision,qui utilisent les inconnues nodales et leurs drives. 1.3. Synthse des lments finis volumiques existants 16 Lafigure1.4illustrelafamilledlmentsfinisvolumiquesdebase ;ceslmentsne possdent que des degrs de libert en translation chaque nud. On appelle cette famille (lments de type Lagrange) car les champs de dplacements sur lesquels ils sont formuls sontobtenusparinterpolationdeLagrange.Leslmentslesplussimplesdelafamille, possdent des champs de dplacements linaires, entirement dfinis laide de degrs de libert localiss aux sommets.Lorsque lon passe des champs quadratiques et cubiques, onintroduitdesnudsintrieurscommelemontrelafigure1.5:cesnudsintrieurs peuventtreliminslaideduprocddecondensationstatique,ouonpeutgalement construire des fonctions de dforme exprimes en fonction des seuls nuds extrieurs en oprant directement sur les fonctions dinterpolation de Lagrange. On peut galement formuler les lments volumiques en prenant pour degrs de libert lesdrivesdesdplacementsauxsommetsdellment,parlintermdiairede linterpolationdeHermite.Llmentdebasedecettefamillerequiertdeschampsde dplacements cubiques [28]. (a) Elment ttradre (b) Elment prisme(c) Elment pyramide (d) Elment hexadre Figure1 .4. Les quatre types dlments volumiques Unmaillagevolumiquesecomposegnralementdequatretypesdlments volumiques standards : ttradrique, hexadrique, prismatique et pyramide de la figure 1.4. Chaque type dlment se comporte diffremment dans la simulation par lments finis. Si nousavonsparexempledeuxtypesdemaillages :uncomposuniquementpardes lmentsttradriquesetlautreconstitudunseullmenthexadrique,dunefaon davoirunersolutionsimilaire(nombresimilairedenuds),lasolutiondlmentsfinis obtenue avec le maillage dun lment hexadrique est plus prcise que la solution obtenue partirdumaillagedlmentsttradriques[29].Ilnexistepasdethoriesconsistantes qui expliquent clairement la raison pour laquelle les deux types de maillages se comportent diffremmentdanslasimulationnumriqueparlmentsfinis.Lundespotentielsdes explications est bas sur la diffrence de lordre des fonctions de forme, qui interpolent la quantitphysiquelintrieurdellment.Laquantitphysiquedansunlmentest interpole en tant quune combinaison linaire des fonctions de forme, o les fonctions de formedordresuprieurpeuventdonneruneapproximationdunesolutionlmentfini complexe mieux que les fonctions de forme dordre inferieur. Les fonctions de forme dun lmenthexadrique8nudspossdentdestermestri-linaires,bilinairesetlinaires commelemontrelafigure1.6d,alorsquecellesdeslmentspyramide5nudset prisme6nudscontiennentdestermesbilinaireetlinairecommeindiqudansles figures1.6cet1.6b,etcellesdellmentttradriquesontcomposesuniquementde termes linaires comme le montre la figure 1.6a. Chapitre 1. Etude bibliographique 17 Ilestpossibledutiliserdeslmentsttradriques10nuds(figure1.5),quiontun nudsupplmentaireaumilieudechacunedesartesavecdesfonctionsdeformeayant des termes quadratiques. La solution obtenue partir dun lment ttradrique 10 nuds est donc plus prcise que celle dun lment ttradrique 4 nuds. Lordre des fonctions deformedautreslmentspeutgalementtreaugmentenajoutantunnudaumilieu de chacune des artes (par exemple, les lments hexadrique 20 nuds et prismatique 15nuds).Lesfonctionsdeformedellmentprismatique15nudsetllment hexadrique20nudsontdestermesdordresuprieurqueceuxdunlment ttradrique 10 nuds. Par consquent, un lment hexadrique donne une solution plus prcise et il est prfrable dans les maillages lorsquil est disponible pour une analyse par lmentsfinis.Cependant,cetteexplicationnabordepaspourquoilesfonctions dapproximationtri-linairedunegrandeurphysiquesontmieuxquelesfonctions linaires.Parexemple,unvolumeremplidunseullmenthexadrique8nudspeut galementtrerempliaveccinqousixlmentsttradriques4nuds(figure1.7).La quantitphysiquelintrieurduvolumeestainsiapproximeparunseullment hexadriquetri-linaireoucinq/sixlmentsttradriqueslinaires.Lexplicationci-dessusnexclutpaslapossibilitquunefonctionlinaireparmorceauxaveccinqousix lmentsdonnemoinsderreurquunesimpletri-linaire[30].Nanmoins,unefonction tri-linaire est avantageuse quune fonction linaire par morceaux dans la plupart des cas cause de sa souplesse. Figure1 .5. Elments ttradrique 10 nuds, pyramide 13 nuds et hexadrique 20 nuds Alorsquunefonctiontri-linaireestsouplelintrieurduvolumeetlafonction linaireparmorceauxnestpassouplesurlalimiteentreleslments.Ainsi,ladrive dunefonctionlinaireparmorceauxnestpascontinuelintrieurduvolume.Cette discontinuit nexiste pas dans la plupart des phnomnes physiques et donc lerreur dans lapremiredriveapproximeparunefonctionlinaireparmorceauxtendtre suprieureunefonctiontri-linaire.Parexemple,danslanalysedesstructuresparla mthodedeslmentsfinislesdplacementssontcalculsauxniveauxdesnudsetles contraintes sont calcules par le diffrencier numrique des dplacements. Par consquent, leslmentshexadriquessontprfrablesuneanalysedesstructuresqueleslments ttradriques puisque llment hexadrique tend approximer les contraintes avec plus de prcision. Bien quun maillage ttradrique peut tre cr facilement par un schma de gnration automatiquedemaillage[31-33],cependant,unmaillagehexadriqueestdifficiledele faire cr automatiquement pour une forme complique. Malgr de nombreuses tentatives, aucunedesmthodesconnuespeutcrerunmaillageavecdeslmentshexadriques dune qualit suffisante pour un domaine de gomtrie arbitraire [34-41]. 1.3. Synthse des lments finis volumiques existants 18 Figure1 .6. Fonctions de forme des lments volumiques standards : (a) ttradrique 4 nuds; (b) prismatique 6 nuds ; (c) pyramide 5 nuds ; et (d) hexadrique 8 nuds Figure1 .7. Elment hexadrique compos de 6 ttradres 7 4 z 1 5 2 3 x y 8 6 3 z 1 5 2 4 x y z y x yz xz xy xyz N + + + =11 x xz xy xyz N + =2 ; xyz xy N =3 y yz xy xyz N + =4 ; z yz xz xyz N + =5 xyz xz N =6 ;xyz N =7 ; xyz yz N =8 1 21+ + + + = z z y x yz xz xy Nxz xy x N =2 ; xy N =3 yz xy y N =4 ; z N =5 (a)(b) (c)(d) z 1 4 2 3 x y z y x N =11 x N =2 y N =3 z N =4 z 1 4 2 3 x y 6 5 11+ + = z y x yz xz Nxz x N =2 ; yz y N =3 zy zx z N =4 xz N =5 ; yz N =6 Chapitre 1. Etude bibliographique 19 Leslmentsttradriquessontparticulirementutilespourdiscrtiserlesportionsde structurespourlesquellesleslmentshexadriquesetprismatiquesauraienttretrop distordus. Par consquent, de nombreux programmes prvoient de dfinir directement des hexadrescompossautomatiquementparassemblageduncertainnombre(5ou6)de ttradres ; la figure 1.7 illustre un de ces super-lment [28], form de six ttradres. La difficult dans lanalyse 3D cest que beaucoup de travail est ncessaire pour gnrer les donnes du maillage. Comme nous le savons, la performance de llment hexadrique est meilleure que celle des lments ttradrique, prismatique et pyramide. Par consquent, lapplicationdellmenthexadriqueengnrationautomatiquedemaillageresteun sujetdintrt.Danscertainescirconstances,ilpeuttresouhaitabledutiliserdes maillages composs des ttradres et hexadres. Les rgions qui peuvent tre plus critiques dans lanalyse, tels que les couches limites ou des rgions de concentration des contraintes peutgalementtremieuxanalysspardeslmentshexadriques.Leslments ttradriquesetpyramidespeuventcomblerlesautresrgionsgomtriquementplus complexesoumoinscritiquesdusolide[42].Ilconvientdenoterquelesapproches russiesdanslagnrationdumaillageonttrcemmentproposesdanslalittrature. Citons par exemple Owen et Saigla [42] qui ont propos des nouveaux algorithmes pour la modificationdemaillagemixtesdlmentshexadres-ttradresparlinsertiondes lments pyramides pour maintenir la compatibilit. Plusieurs mthodes pour la gnration depyramidessontprsentesimpliquantlatransformationlocaledettradriqueset/ou insertion de nud prs de linterface hex/tet. A ce sujet Kallinderis etKavouklis[43] ont prsentunschmadeladaptationdemaillagecapabledegrerlesmaillageshybrides composs des hexadres, prismes, pyramides et ttradres. Par consquent, tous les objets 3Dcomplexespeuventtrediscrtissautomatiquement.Unmaillagehybrideestun alternativeunmaillageotousleslmentssontlesmmes(parexemple,unmaillage composuniquementdhexadres)etsecomposedeslmentshexadriques, ttradriques,prismatiquesetpyramides(parexemple,mlangedlmentshexadriques etttradriques).Laformelapluscommunedunmaillagehybrideestunmaillagehex-dominant[44,45],danslequellaplupartduvolumeestremplipardeslments hexadriquesetleresteavecdeslmentsprismatiquesetttradriques,etleslments pyramidessontinsrsentreunefacequadrilatredellmenthexadriqueoullment prismatique et les faces triangulaires de llment ttradrique ou prismatique (figure 1.8). Figure1 .8. Transition de llment hexadrique aux lments ttradriques travers un lment pyramide [30] Finalement, il faut noter que la complexit de mise en uvre et le grand cot en temps decalculetmmoireestuninconvnientmajeurdeslmentsvolumiquesdordre suprieurquipeuventtrecapabledefournirdexcellentesperformancesetdviter certains verrouillages numriquespour les problmes complexes,y compris les matriaux 1.3. Synthse des lments finis volumiques existants 20 presqueincompressibles.Danslapratique,ilestprfrabledutiliserleslments volumiques de premier ordre. Malheureusement, ces lments sont souvent trop rigides et parconsquentdevientsensiblesauxproblmesdeverrouillagesetauxmaillages distordus.Acetgard,uneffortimportantatconsacrsparleschercheurspour dvelopper des lments fiables et efficaces bass sur des diffrentes approches. 1.3.2. Elments volumiques avec degrs de libert de rotation Cesderniresannes,uneattentionparticulireatporteauxlmentsfinis volumiques avec degrs de libert de rotation. La prsence de degrs de libert de rotation amliorelefficacitnumriquedeslmentsvolumiquesstandards.Bienque,plusieurs modlesdlmentfinihexadrique,ttradriqueetprismatiqueavecddlderotationont t dvelopps pour la modlisation des solides et des structures tridimensionnelles. 1.3.2.1. Elments hexadriques Leslmentsiso-paramtriqueshexadriquessontlesplusutilissdanslanalysedes structures 3D. Quoi quils prsentent un inconvnient srieux lors de leurs distorsions. Afin damliorer la prcision des lments finis linaires classiques hexadriques, un ensemble dlments ont t dvelopps par plusieurs auteurs. Lutilisation de la formulation hybride descontraintesestlapremireapprocheproposeparYunusetal.[46]pourle dveloppement dun lment hexadrique avec ddl de rotation. Cet lment est intgr par un schma de 14 pointsdintgration.Les modes parasites associs desrotations gales ne sont pas contrler dans cet lment hybride. Parmilespremierstravaux lespluscitsdansla littraturesurlapplicationdesddlde rotation, on trouvegalement celui de Yunus etal. [47] qui ont dvelopp deux lments hexadriques 8 nudsHEX8R et HEX8RX bass sur le modle en dplacementavec 6 ddl(troistranslationsettroisrotations)parnudpourlesproblmesdlasticit3D.Ces lmentshexadriquessous-intgrssontformulsparlatransformationdesnudsdes milieux (m) des artes de llment iso-paramtrique hexadrique 20 nuds a des termes de translations et de rotations aux nuds des sommets i et j de llment. Cette formulation estexprimeparlesrelationsci-dessousquireprsententlapproximationdes dplacements au nud de milieu m : ( ) ( ) ( )iy jyi jiz jzi jj i mz z y yu u u e e e e + + + =8 8 21 ( ) ( ) ( )iz jzi jix jxi jj i mx x z zv v v e e e e + + + =8 8 21(1.33) ( ) ( ) ( )ix jxi jiy jyi jj i my y x xw w w e e e e + + + =8 8 21 CeslmentshexadriquesHEX8RetHEX8RXpossdentdouzemodesparasites apparaissent dans la matrice de rigidit lmentaire. Les six premiers modes de Hourglass sont causs par lutilisation de lintgration rduite et les six autres modes sont associs des rotations gales. Ces modes sont limins par lutilisation dune technique originale de stabilisation qui consiste gnraliser la procdure propose par MacNeal [7, 48] pour les lments membranaires 2D. En parallle deces travaux,Ibrahimbegovic et Wilson [49] ont propos deux lments hexadriquesIBR-MetIBR-DbasssurlesfonctionnelsdeHughesetBrezzidetype mixte(M-type)etdetypedplacement(D-type).Lesdplacementsetlesrotationssont suppossindpendantsolarotationproposeetlarotationobtenuedeladrivedu Chapitre 1. Etude bibliographique 21 dplacementsontgales.Troismodesbullededplacementsontprisdanslesdeux lments et leur nergie de dformation est intgre par la rgle de 14 points dintgration. Plustard,SzeetGhali[50],dansunarticleparuen1993,ontprsentunlment hexadriquehybride8nudsavecddlderotationdAllman.CetlmentHBRest galement intgr par largle de 14 points dintgration et les modes parasites associs desrotationsgalessontcontrlslaidedelapplicationdelammetechniqueutilise dans le fonctionnel D-type de Hughes et Brezzi. UneautreapprochepostulantlexistencededdlderotationatproposeparAyad [12]en2002danslaquelle,pouramliorerlaperformancedellmenthexadrique classique8nuds,ilautilisunnouveauconceptbaptisSFR(SpaceFiberRotation). Cemodleestdcritparlarotationdunefibrematriellelmentairedanslespace. Lutilisationdelintgrationrduite(222PG)dansllmenthexadriqueSFR8 engendredesmodesparasitesquidisparaissentaprslassemblagededeuxouplusieurs lments.CestravauxonttreprisplustardparZouarietal.[14]pourformulerune version pizolectrique de cet lment puis par Ghomari et al. [15] pour les problmes de contact. A noter que ces travaux bass sur le concept SFR, ne rsolvaient pas la dficience durangdelamatricederigiditlmentaireparunemthodedecontrledemodes parasites. Trs rcemment, Ayadet al. [51] ont publi une version stabilise de llment SFR8 utilisant une technique de stabilisation inspire des travaux raliss par Yunuset al. [47].Cesauteursontproposaussidanscetarticleuneversionnon-conformeSFR8Ide llmentprcdent.Danscenouveau,ilexploitelestroismodesincompatiblesdans lespace naturel de llment. Ces modes incompatibles sont limins par lutilisation de la technique de lacondensation statique.Unavantage peut se dgager de ce nouvel lment cest que le verrouillage de Poisson ou dpaisseur Poissons ratio locking est vit. 1.3.2.2. Elments ttradriques Unautretypedlmentsfinisvolumiques,particulirementutilespourdiscrtiserles portionsdestructurepourlesquellesleslmentshexadriquesauraienttretrop distordus, est la catgorie des lments ttradriques. Lutilisation de ces lments devient pratiquementinvitabledanslanalysedesstructurescomplexesparlamthodedes lmentsfinis.Lasimplicitdegnrationdemaillagecompltementautomatiqueetleur aptitude des gomtries arbitraires complexes sont les principaux atouts de ces lments volumiques. Unevastepartiedelalittratureatconsacrecesujet,nouscitonslesplus importants.Unnombredlmentsfinisavancsdetypettradrique4nudsavec degrsdelibertderotationonttdvelopps.Unedespremiresralisationsdansce sens est due Pawlak et al. [52] qui ont dvelopp llment TET4RX avec ddl de rotation bassurlamthodededformationspostule assumedstrain avecquinzemodes.Ce modlepossdetroisddldetranslationsettroisderotationsparnud.Lechampdes dplacements est obtenu partir de llment ttradrique 10 nuds utilisant lesmmes transformationsprsentesdanslquation(1.33).Notonsquecetlmentestdisponible dans la bibliothque dlments finis du code commercial ANSYS sous le nom SOLID72. Llment TET4RX est intgr exactement avec un schma de 4 points dintgration et ne prsentepasdesmodesparasitesdeHourglass.Les4modesparasitesassocisdes rotationsgalessontliminslaidedunematricedepnalitsimilairecellepropos parMacNealetHarder[7]pourchaquefacedettradre.Cetlmentestconsidrpar SzeetPan[53]commeunlmenthybridebassurleprincipevariationneldeHu-Washizu.Cependant,lexpriencenumriqueeffectueparSzeetPan[53]laidedu 1.3. Synthse des lments finis volumiques existants 22 codecommercialANSYSamontquellmentTET4RXcontientcertainsmodesde dformation nergie nulle non supprims. Parmi aussi les travaux intressants, il faut citer en premier lieu ceux de Sze et Pan [53] quiontdveloppunlmentttradriquehybrideavecddlderotationdAllman.Cet lmentHT4Restamliorlaidedelaformulationenrotationbasesurlestravaux originairesdeAllman[3,4]etCook[6].Latransformationdesnudsdemilieuxdes artes est aussi utilise dans cet lment o le champ de dplacements scrit comme suit : ( ) ( )=|.|

\|+ + + + + =412121iiz li li ki ki ji ji iy li li ki ki ji ji i i ey N y N y N z N z N z N u N u e e( ) ( )=|.|

\|+ + + + + =412121iix li li ki ki ji ji iz li li ki ki ji ji i i ez N z N z N x N x N x N v N v e e (1.34) ( ) ( )=|.|

\|+ + + + + =412121iiy li li ki ki ji ji ix li li ki ki ji ji i i ex N x N x N y N y N y N w N w e eavec j i ijN N N = , j i ijx x x = , j i ijy y y = , j i ijz z z = (1.35) Cette approche soufre galement de quatre modes parasites. Les techniques de stabilisation utilises dans cet lment pour contrler les modes parasites sont appuyes sur lutilisation desquatremodesdecontraintessymtriques.Seloncesauteurs,onpeutdistinguerque llmentHT4RestunTET4RXamlioretneprsentepasdesmodesdedformation non supprims. Ilestintressantdenotquelesdeuxlmentsfinisavancsttradriques4nuds TET4RX et HT4R avec ddl de rotation sont obtenus partir de llment sub-paramtrique ttradrique 10 nuds. Les ddl de rotation sont introduits en reliant les dplacements des nuds milieux des artes aux dplacements et rotations des nuds des sommets, les nuds desmilieuxdesartesdellmentttradrique10nudssontlimins.Ceslments avancsttradriques4nudsavecddlderotationamliorentremarquablementla solution donne par llment classique ttradrique 4 nuds, mais reste un peut loin de la prcision donne par llment ttradrique 10 nuds. Plus tard, Matsubara et al. [54] ontadaptuneautreapprochesimplepourconstruireunlmentttradrique4nuds avecddlderotation.Cetteapprocheconsisteutiliserlesapproximationsdes dplacements suivantes : ( )= + =41 iiz i iy i i i ey z u N u u u ( )= + =41 iix i iz i i i ez x v N v u u (1.36) ( )= + =41 iiy i ix i i i ex y w N w u u avec j ix x x =

, j iy y y =

, j iz z z =

(1.37) Chapitre 1. Etude bibliographique 23 Rcemment,TianetYagawa[55]ontdveloppunlmentttradriquequadratique GNTet4avec4nudsauxsommetsutilisantlapprochedesnudsgnralissquiestla suitedelidedapproximationparlmentsfinisdelapartitiondelunit partition-of-unity . Lavantage de cet lment GNTet4 est que la prcision de calcul est augmente par rapportauxlmentsTET4RX[52]etHT4R[53]etoffreuneprcisionmeilleureque llmentclassiquettradrique10nuds[56].Deplus,lesquatremodesparasites nergienullepeuventtrefacilementsupprimsparlapplicationdunetechnique spcifique qui consiste utiliser un traitement des conditions aux limites essentielles.Tian et al. [57] ont continu les travaux de Tian et Yagawa[55] en menant des tudes plus dtailles avec une analyse comparative des travaux exposs dans lesrfrences [52-55] sur les lments finis avancs ttradriques 4 nuds. De plus, les auteurs ont propos unlmentttradrique4nudsRGNTet4bassurlamthode ReducedGeneralized nodes . Les auteurs de cet article ont conclu que llment ttradrique RGNTet4 avec ddl derotationunordreintermdiaireentrelinaireetquadratiqueetlapproximationdu champdesdplacementsdecemodleestconsidresuper-linaire.Destudestrs compltes,rsumesdansletableau1.1,onttmenesafindecomparerlefficacit numriquedesdiffrentstypesdlmentsttradriquesprsentsci-dessus.Cetableau, inspirdesrfrences[55,57],indiquelaformeetlaformulationdeceslments.Cette comparaison est reposante sur lordre dinterpolation et la prcision de la solution obtenue parceslments,entenantcomptedelafacilitedutilisationdanslagnrationdu maillage. FormeElmentFormulationOrdreGnration du maillagePrcision Tet4| || |=I =41 ii i eN u u linaire ExcellantGnration du maillage est compltement automatique Faible En gnral, le raffinement du maillage est recommand GNTet4 = ((((

(((

I =416 3 3 33 3iiiii i i eNcuuF F uc uQuadratique Excellant Gnration du maillage est compltement automatique bon RGNTet4 =((

(((

I =413 33 3iiii i eNuuF uuSuper-linaire Excellant Gnration du maillage est compltement automatiqueExcellant TET4RX HT4R Equation (1.33) Equation (1.34) linaireExcellantIntermdiaire TET4 = < = > < ,6 1i w v uzi yi xi i i iu u u o (2.61) Chapitre 2. Elments finis volumiques bass sur le concept SFR 69 Nous avons, en utilisant les quations (2.59), (2.60) et (2.61) : {} ||{} o t o = (2.62) o{ }iosont les variables nodales dune face dans le repre local. ||| || || || |(((((

=TTTTt pour une face quadrilatrale | || || || |((((

=TTTt pour une face triangulaire. La relation (2.62) permet de dfinir lnergie de pnalit (2.58) dans le repre global : ( ) || { } ||{}| |{} o oo t t o orTKQ Q VG== P1 1(2.63) avec : | | ( )|| {} || t t o Q Q VG KTr 1= (2.64) Lamatricedepnalit| |rK estajoutedanslamatricederigiditlmentaire| |eK , do une matrice rsultante ne contienne pas des modes parasites cinmatiques. Il est clair quellmentSFR6necontientpasdesmodesparasitessilamatricederigidit lmentaire est intgre exactement avec 33 points. 2.8.2.2. Contrle des modes de Hourglass Lutilisationdelintgrationrduite(12points)produitdesmodesparasites(figure 2.10b) appels Hourglass par Flanagan and Belytschko [180]. Les modes de Hourglass sontdesmodescinmatiquesquisontduslasous-intgrationetsontassocisune nergienullealorsquilsinduisentunedformationnonnulle.Lamthodedveloppe premirementparMacNealetHarder[7]etparlasuiteutiliseparYunusetal.[47]est adopte ici pour les trois faces quadrilatrales de llment prismatique pour contrler les 3 modesparasites.Pourcertainmaillagedlmentsfiniscesmodespeuventdisparatre aprs assemblage de plusieurs lments et lapplication des conditions aux limites.Le mode de configuration pour la face quadrilatrale de llment prismatique scrit : ( )4 3 2 1e e e e u + =h(2.65a) )` =41111 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0ee u.vuh (2.65b) { } o u H h = (2.66) Chapitre 2. Elments finis volumiques bass sur le concept SFR 70 Lnergie de pnalit associe une face quadrilatrale est : ( ) { } {} o o o H H VG2 2 = P (2.67) avec 2oest un coefficient, sans dimension, petit par rapport 1 (=310, dans les rfrences [7, 47]). Utilisant la relation de transformation (2.62), lnergie de pnalit scrit comme suit : ( ) | | { } | |{} | |{} o o o t t o oh qTqK H H VG = = P2 2(2.68) o | | ( )| | { } | |qTq hH H VG K t t o2= (2.69) Lamatricedepnalit| |hK pourlesmodesdeHourglassestajoutelamatricede rigiditlmentaire| |eK etlamatriceobtenuenecontientpasdesmodesparasitesde Hourglass. 2.8.2.3. Matrice angulaire fictive LamatriceangulairefictiveestproposeparZienkiewicz[232]etaussiutilisepar BatozetDhatt[18]pourviterleproblmedesingularitdelamatricederigidit lmentaire.Cettematricesupplmentairederangdeuxpermetdliminerles10autres modesparasites(deuxparface).Elleestcalculedanslereprelocaldechaquefacede llment prismatique. Lnergie de pnalit associe une face lie au plan ( y x, ) est : ( )dA CAy y x x }+ = P, , , ,. .* *3 3e e e e o = | |{ }n nK e ee*(2.70) avec| |eKest la matrice angulaire fictive associe aux variables locales ie . o{ } { }Tn 3 2 1e e e e = pourlafacetriangulaireet{ } { }Tn 4 3 2 1e e e e e = pourla face quadrilatrale. Lexposant (*) signifie que la variable *neest une quantit virtuelle. Pour le paramtre de pnalit 3o , nous avons constat que, les rsultats numriques se dtriorentsicelui-ciestconstantpartoutdanslemaillage.Ayad[10]etCook[226] considrent quune valeur de 3oen fonction de la gomtrie de llment permet de retenir uneprcisionacceptable.Nousproposons,aprsunetudeattentivepourcelui-cila relation suivante : 2max3. 2LV= o (2.71) 12.V EC = : est une constante inspire des rfrences [10, 18]. Lmax : le plus long ct de llment. Par exemple pour la face triangulaire la matrice angulaire fictive est : | |((((

+ ++ +=22122121 31 21 3123123121 32 21 32 32 31 31 322322323.4y x Symx x y y y xx x y y x x y y y xACK o=(2.72) Chapitre 2. Elments finis volumiques bass sur le concept SFR 71 avec : A = surface de triangle et la notationxij = xi xj ; yij = yi yj Lamatrice[T3]transformelesrotationsfictivesdunudidurepreglobalaurepre local : { } | |{ }i iT u e3= (2.73) { } | |)`=ziyixiil l luuue33 32 31(2.74) avec ijl : les cosinus directeurs de laxez . La relation entre les variables de rotations{ } edans le repre local et les rotations globale {} uest : { } | |{ } u t e3= (2.75a) Po