Embed Size (px)
Citation preview
This article was downloaded by: [Ohio State University Libraries]On: 28 April 2013, At: 09:16Publisher: Taylor & FrancisInforma Ltd Registered in England and Wales Registered Number: 1072954 Registered office: MortimerHouse, 37-41 Mortimer Street, London W1T 3JH, UK
Revue Française de Génie CivilPublication details, including instructions for authors and subscription information:http://www.tandfonline.com/loi/tece18
Modélisation numérique du déferlement plongeantStéphane Abadie aa Laboratoire de Sciences Appliquées au Génie Civil, ISA-BTP/Université de Pau et desPays de l'Adour, Allée du Parc Montaury, F-64600, Anglet E-mail:Version of record first published: 05 Oct 2011.
To cite this article: Stéphane Abadie (2001): Modélisation numérique du déferlement plongeant, Revue Française deGénie Civil, 5:7, 931-944
To link to this article: http://dx.doi.org/10.1080/12795119.2001.9692333
PLEASE SCROLL DOWN FOR ARTICLE
Full terms and conditions of use: http://www.tandfonline.com/page/terms-and-conditions
This article may be used for research, teaching, and private study purposes. Any substantial or systematicreproduction, redistribution, reselling, loan, sub-licensing, systematic supply, or distribution in any form toanyone is expressly forbidden.
The publisher does not give any warranty express or implied or make any representation that the contentswill be complete or accurate or up to date. The accuracy of any instructions, formulae, and drug dosesshould be independently verified with primary sources. The publisher shall not be liable for any loss, actions,claims, proceedings, demand, or costs or damages whatsoever or howsoever caused arising directly orindirectly in connection with or arising out of the use of this material.
RFGC – 5/2001. Génie côtier, pages 931 à 944
Modélisation numériquedu déferlement plongeant
Stéphane Abadie
Laboratoire de Sciences Appliquées au Génie CivilISA-BTP/Université de Pau et des Pays de l’AdourAllée du Parc MontauryF-64600 [email protected]
RÉSUMÉ. Une modélisation numérique du déferlement par les équations de Navier-Stokes etun suivi d’interface volumique VOF-CIAM sont proposés. La méthode est validée dans le casde la propagation d’ondes non linéaires permanentes. Le déferlement plongeant sur fond platd’une onde sinusoïdale de forte cambrure est ensuite étudié. Les caractéristiques dudéferlement sont bien traduites par la méthode au moins avant l’impact où la comparaisonavec des résultats antérieurs est possible. L’intérêt des premiers résultats obtenus aprèsl’impact justifie la démarche et encourage un travail plus systématique à partir de cet outil.
ABSTRACT. Wave breaking is simulated using the Navier-Stokes equations and the volumetracking algorithm PLIC-VOF. The method is first validated on the case of non linear wavepropagation on flat bottom. The plunging motion of a sinusoidal wave of large initialsteepness is next studied. The characteristics of the wave up to the impact are found to be welldescribed by the method. First results obtained after the impact encourage us to go on in thisdirection.
MOTS-CLÉS : déferlement, simulation numérique, équations de Navier-Stokes, méthode deprojection, méthode VOF, suivi d’interface, vorticité, impact de jet.
KEYWORDS: wave breaking, numerical modelling, Navier-Stokes equations, projection method,VOF method, interface tracking, vortivity, jet impact.
Dow
nloa
ded
by [
Ohi
o St
ate
Uni
vers
ity L
ibra
ries
] at
09:
16 2
8 A
pril
2013
932 RFGC – 5/2001. Génie côtier
1. Introduction
Le déferlement des vagues en zone côtière est un phénomène largement étudiédepuis une vingtaine d’années. Ces efforts importants de recherche ont abouti à unemeilleure connaissance de l’écoulement avant impact et dans la zone de surf dite« interne » quelques mètres au-delà de ce dernier. Dans le premier cas, l’écoulementest irrotationnel et le domaine liquide simplement connexe, autorisant ledéveloppement de modèles théoriques ou numériques reposant sur l’approximationdu fluide parfait (voir par exemple [NEW 85]). Dans le second cas, l’écoulement estquasi stationnaire (analogie avec un ressaut hydraulique propagatif) et la turbulencebien développée autorisant cette fois l’emploi de modèle statistique de turbulence(voir par exemple [SVE 84]). Entre les deux se trouve la zone dite de « transition »,marquée par un caractère fortement dynamique, instationnaire et diphasique. Lavague y dissipe la majeure partie de son énergie sur les distances très courtes qui lacaractérisent. De ce fait, elle revêt une importance fondamentale dans le bilansédimentaire en zone côtière.
Jusqu’à très récemment pourtant, cet écoulement est resté peu étudié et ceprincipalement en raison du manque d’outil mathématique adapté. Une desdifficultés est le passage d’un domaine liquide simplement connexe (avant impact)au domaine complexe généré par la reconnexion de l’interface eau/air sur elle-même. Avec l’apparition de nouvelles méthodologies dites de suivi d’interfacesmotivées par l’étude des problèmes multiphasiques au sens large, ce « vide »méthodologique commence lentement à s’estomper. Une seconde barrière, plusdifficilement franchissable, est néanmoins liée à la nature transitoire turbulente del’écoulement. En effet, compte tenu des nombres de Reynolds rédhibitoires d’un telproblème et surtout du caractère non développé de cette turbulence, les outils dedescription adaptés manquent cruellement et le problème du déferlement est encoreloin d’être totalement résolu.
L’étude présentée dans cet article participe de l’effort de recherche vers un essaide caractérisation de cet écoulement complexe. La méthodologie employée reposesur une simulation numérique « directe » des équations de Navier-Stokesdiphasiques bidimensionnelles et un suivi d’interface volumique. Après avoirprésenté les fondements de cette modélisation et sa validation dans le cas simple dela propagation d’ondes permanentes, les résultats concernant l’écoulement générépar un déferlement plongeant sont analysés.
2. Présentation de la méthode
2.1. Résolution de l’écoulement
On considère un domaine fluide semi-périodique horizontalement et composé dedeux fluides non miscibles : l’eau et l’air. L’écoulement est supposé incompressibleet l’on néglige en première approximation l’effet de la tension superficielle sur le
Dow
nloa
ded
by [
Ohi
o St
ate
Uni
vers
ity L
ibra
ries
] at
09:
16 2
8 A
pril
2013
Modélisation numérique du déferlement plongeant 933
mouvement. Dans ce cadre, les équations du problème sont simplement celles deNavier-Stokes incompressibles, dans lesquelles la masse volumique et la viscositésont des fonctions binaires. Il importe donc de connaître à chaque instant la positionde l’interface entre les deux fluides afin de pouvoir réinitialiser ces fonctions. Cesera le rôle du suivi d’interface réalisé de façon indépendante de la résolution del’écoulement et détaillé dans le paragraphe 2.2. A l’instant initial, la position del’interface étant connue, le calcul du couple vitesse/pression dans le domainecomplet peut être réalisé.
Dans ce but, l’algorithme de projection [CHO 67] suivant a été mis en œuvre :
– un champ de vitesse conservant la quantité de mouvement mais à divergence apriori non nulle est dans un premier temps calculé explicitement par les équations deNavier-Stokes (n étant l’indice temporel courant) :
où C est le terme convectif approché par un schéma temporel d’ordre 2 :
– puis l’équation de continuité est résolue par une projection du champ de vitesseintermédiaire sur un espace à divergence nulle :
Cette étape requiert le calcul implicite du champ de pression par l’équation dePoisson suivante :
-
� �� �CUU.pgt
UU~ nnTnnnn
n
nn
U����P����UU
'�
� � � �1n1nnn UU.UU.2C �� �����
� �n1nn
n1n pp
tU~
U ��U
'� ��
� � U~
.ppt
. n1nn
n
� ¸¸
¹
·
¨¨
©
§��
U
'� �
[1]
Dow
nloa
ded
by [
Ohi
o St
ate
Uni
vers
ity L
ibra
ries
] at
09:
16 2
8 A
pril
2013
934 RFGC – 5/2001. Génie côtier
Ces équations sont discrétisées sur une grille décalée vitesse/pression suivant laméthode des volumes finis.
Les conditions aux limites utilisées sont les suivantes : périodicité en vitesse etpression sur les limites latérales, condition de glissement pour la vitesse et Neumannhomogène pour la pression sur les limites horizontales. Ces conditions conduisent(pour l’équation [1]) à un système linéaire à sept diagonales, inversé suivantl’algorithme Bi-CGSTAB [VAN 92].
2.2. Le suivi d’interface
La méthode employée pour décrire l’évolution temporelle de l’interface eau/airappartient aux méthodes de type VOF (volume de fluide). L’interface y est décritepar une fonction F traduisant le coefficient de remplissage de l’eau dans chaquemaille d’un maillage fixe. Cette représentation permet de traiter facilement leproblème de reconnexion de l’interface sur elle-même en comparaison des méthodesà traceurs surfaciques.
L’algorithme VOF-CIAM [LI 95] qui a été programmé se décompose de la façonsuivante :
– la première étape consiste à reconstruire une interface approchée sous forme desegments linéaires à partir des valeurs de F dans chaque maille (voir figure 1) ;
– ces segments sont ensuite advectés par l’écoulement calculé précédemment(déplacement lagrangien dans le maillage) ;
– enfin, la fonction F est réinitialisée par un simple calcul d’aire.
Le transport lagrangien permet d’obtenir une précision supérieure aux méthodesVOF antérieures utilisant un calcul de flux pour l’étape d’advection [HIR 81]. Eneffet, ce calcul de flux entraîne généralement une perte d’information par diffusionnumérique qui n’apparaît pas ici.
3. Validation
3.1. Ondes permanentes
La méthode est dans un premier temps testée dans le cas de la propagationd’ondes permanentes. Des solutions de référence sont obtenues par la méthode deRienecker et Fenton [RIE 81], consistant à approcher la fonction courant solution duproblème potentiel par une série de Fourier. Les simulations réalisées correspondentà des ondes non linéaires (voir tableau 1). Les résultats de cette validation, présentésfigure 2, montrent une très bonne corrélation entre la surface libre initiale issue del’approximation de Fourier et l’interface calculée par VOF après une période depropagation. La méthode permet en particulier de conserver parfaitement la hauteurde vague (pas de dissipation numérique) et la célérité de l’onde. L’erreur cumulée
Dow
nloa
ded
by [
Ohi
o St
ate
Uni
vers
ity L
ibra
ries
] at
09:
16 2
8 A
pril
2013
Modélisation numérique du déferlement plongeant 935
sur les deux composantes de la vitesse est également en moyenne, dans tout ledomaine, de l’ordre de 4 %. Ces résultats indiquent un comportement trèssatisfaisant de la méthode sur l’ordre de grandeur temporel d’une période de vaguequi est l’intervalle dans lequel toutes les simulations de l’étude sont restreintes.
0
0
0
0 .0 5
0 .4 5
0 .6 5
1
0 .6
1
a ) b )
Figure 1. a) Interface réelle et fractions volumiques correspondantesb) Reconstruction par la méthode VOF-CIAM a) Real interface and corresponding water volumic fractionb) Interface approximation by the PLIC-VOF method
H/L d/L Re maillage 't/T 'x/L='y/L
cas 1 5.4u 10-3 1.1u 10-1 10 000 300u 75 5.0u 10-4 3.3u 10-3
cas 2 2.1u 10-2 1.05u 10-1 10 000 300u 75 5.0u 10-4 3.3u 10-3
Tableau 1. Paramètres de la simulation (H = hauteur de vague, d = profondeur,T = période de vague)Simulation data (H = wave height, d = water depth, T = wave period)
3.2. Déferlement avant impact
Le déferlement étudié dans cet article est créé par l’instabilité d’une ondesinusoïdale de très forte cambrure initiale sur fond plat. Ce déferlement particulier,dont les caractéristiques sont proches d’un déferlement par remontée de fond,permet de limiter le nombre de paramètres influençant l’écoulement au nombre de3 : la cambrure initiale H0/L0, le rapport profondeur/longueur d’onde d/L0 et lenombre de Reynolds UcL/P, le nombre de Froude et le rapport des caractéristiquesdes deux fluides (viscosité et densité) étant conservés constants par ailleurs.
Dow
nloa
ded
by [
Ohi
o St
ate
Uni
vers
ity L
ibra
ries
] at
09:
16 2
8 A
pril
2013
936 RFGC – 5/2001. Génie côtier
Figure 2. Comparaison entre la surface libre calculée à t = T par VOF et la surfaceinitiale à t = 0Comparison between the computed free surface at t = T and initial surface
Le cas étudié dans cet article correspond aux données du tableau 2.
Maillage Re H0/L0 d/L0 't/T 'x/L='y/L
360 u 120 104 0.13 0.13 5 u 10-4 2.77 u 10-3
Tableau 2. Données de la simulationSimulation data
Ce cas correspond à un déferlement plongeant. On montre qu’il est possible degénérer un ensemble continu de déferlement allant du déversant au très fortementplongeant en jouant sur la cambrure initiale. Ce paramètre impose à la fois lesdimensions du jet expulsé et l’instant de déclenchement de l’instabilité (voirfigure 3).
Le nombre de Reynolds pris dans cette simulation ne correspond évidemmentpas aux nombres rencontrés dans le phénomène réel. Du point de vue numérique, ilapparaît nécessaire de limiter ce nombre à des valeurs raisonnables afin de pouvoir
Dow
nloa
ded
by [
Ohi
o St
ate
Uni
vers
ity L
ibra
ries
] at
09:
16 2
8 A
pril
2013
Modélisation numérique du déferlement plongeant 937
conduire les calculs. Du point de vue physique, les caractéristiques de l’écoulementdans les premiers instants succédant à l’impact (structures tourbillonnaires grandeéchelle) conduisent à penser que cette viscosité artificielle ne perturbe pasl’interprétation des résultats tant qu’elle reste inférieure à une certaine valeur. Onespère ainsi capter les éléments essentiels de cet écoulement jusqu’à ce que lespetites échelles commencent à jouer un rôle non négligeable.
Figure 3. Déclenchement du déferlement en fonction de la cambrure initialeWave breaking starting as function of wave initial steepness
Le résultat obtenu dans ce cas par la méthode VOF est comparé à une étudeantérieure [VIN 81] menée en fluide parfait par éléments frontières. La corrélationentre les deux résultats est très bonne, à la fois sur la position de l’interface(figure 4) et sur la direction et l’intensité des vitesses (figure 5) validant par là mêmela méthodologie complète. La séquence de développement du jet (figure 4) laisseapparaître une légère différence entre les deux méthodes à attribuer à l’influence dunombre de Reynolds sur le phénomène (le Reynolds est infini dans le cas deséléments frontières, alors qu’il n’est que de 10 000 dans le cas b).
déferlement plongeant
déferlement déversant
Dow
nloa
ded
by [
Ohi
o St
ate
Uni
vers
ity L
ibra
ries
] at
09:
16 2
8 A
pril
2013
938 RFGC – 5/2001. Génie côtier
b )
a )
t= 0 .0 T
t= 0 .17 T
t= 0 .3 0T
t= 0 .38T
t= 0 .46 T
Figure 4. Interfaces calculées a) par la méthode des éléments frontières [VIN 81],b) Cette étudeComputed free surfaces a) with the Boundary Element Method [VIN 81],b) This study
Dow
nloa
ded
by [
Ohi
o St
ate
Uni
vers
ity L
ibra
ries
] at
09:
16 2
8 A
pril
2013
Modélisation numérique du déferlement plongeant 939
a) b)
c
Figure 5. Champ des vitesses, t = 0.28 T, a) méthode éléments frontières [VIN 81]b) Cette étudeVelocity field, t = 0.28 T, a) Boundary Elements Method [VIN 81]b) This study
Lors de la phase d’éjection, la méthode VOF permet également de retrouver lerésultat déjà connu d’un jet approximativement en chute libre.
Différentes études antérieures (par exemple [NEW 85]) montrent quel’accélération est maximale au niveau de la partie verticale inférieure de la vague etpeut atteindre 5 à 6g juste avant l’impact. Dans la figure 6 retraçant l’évolutiontemporelle de ce maximum d’accélération, ce résultat est également retrouvé par laméthode VOF avant l’impact. Cependant, une brusque augmentation de ceparamètre (jusqu’à 13g dans notre cas) est observé dans les tous derniers instantsprécédant l’impact. Si ce nouveau résultat mérite confirmation au moyen d’uneétude plus détaillée, la différence entre les deux valeurs pourrait s’expliquer par lefait que la méthode VOF permet d’aller plus loin en temps dans la simulation etdonc de décrire une phase inaccessible aux éléments frontières.
4. Ecoulement après impact
L’écoulement postdéferlement se caractérise dans un premier temps parl’apparition d’un jet secondaire fortement ascendant. L’origine de ce jet en termesde particules fluides est déterminée dans [ABA 98]. Le jet ascendant apparaîtessentiellement constitué de particules initialement au repos (voir figure 7) et nondans le jet déferlant. Un autre résultat est que le jet de déferlement ne pénètre pas lacolonne d’eau alors que le déferlement est fortement plongeant. Les particules issuesde ce jet sont rapidement entraînées dans un mouvement circulaire autour de l’airemprisonné.
S’il n’y a pas de transfert de masse vers le fond, en revanche, un transfert dequantité de mouvement existe et modifie le champ de vitesse (figure 8) sous le pointd’impact. L’écoulement initialement ondulatoire devient fortement rotationnel sous
Dow
nloa
ded
by [
Ohi
o St
ate
Uni
vers
ity L
ibra
ries
] at
09:
16 2
8 A
pril
2013
940 RFGC – 5/2001. Génie côtier
la crête et l’on observe la naissance d’un nouveau champ de vitesse ondulatoire cettefois en aval du jet secondaire. L’onde ainsi créée se propage ensuite vers la droite àsa propre célérité.
Figure 6. Evolution temporelle de l’accélération maximum dans la vagueTime evolution of the maximum of acceleration in the wave
La zone de circulation sous la crête est le siège d’une vorticité négativeimportante qui apparaît dès la reconnexion de l’interface et qui entoure le volumed’air piégé. Ce large tourbillon très énergétique acquiert par la suite sa dynamiquepropre. En effet, il se détache rapidement du mouvement ondulatoire et descend versle fond, y générant de fortes vitesses horizontales (figure 9). Quantitativement, cesvitesses atteignent alors un maximum de 2c (c célérité de l’onde linéaire à cetteprofondeur) qui est approximativement égal à la vitesse maximale dans le jetdéferlant. Ce mécanisme de descente tourbillonnaire pourrait être un des principauxprocessus de mise en suspension du sédiment lors du déferlement plongeant.
En ce qui concerne la pression, elle atteint sa valeur maximale au point et àl’instant d’impact. On trouve ainsi en variable adimensionnelle (p* = p/Uc2) desvaleurs de l’ordre de 3 ou 4, correspondant dans ce cas à environ trois fois lapression hydrostatique. La pression sur le fond reste inchangée jusqu’à la descentedu vortex grande échelle qui triple alors cette valeur hydrostatique.
impact
Dow
nloa
ded
by [
Ohi
o St
ate
Uni
vers
ity L
ibra
ries
] at
09:
16 2
8 A
pril
2013
Modélisation numérique du déferlement plongeant 941
t0=instant d’impact t0+0.02T (T période de vague)
t0+0.05T t0+0.11T
Figure 7. Suivi numérique d’un volume d’eau (en sombre) au cours du mouvementTracking of a marked water volume (in dark) during the breaking motion
t=0 .46T t=0 .52T
t= 0.58T t=0 .65T
Figure 8. Champ des vitesses à différents instants après l’impactVelocity field after the impact
Dow
nloa
ded
by [
Ohi
o St
ate
Uni
vers
ity L
ibra
ries
] at
09:
16 2
8 A
pril
2013
942 RFGC – 5/2001. Génie côtier
Figure 9. Evolution temporelle du maximum de vitesse u* = u/c sur le fondTime evolution of the velocity maximum on the seabed
Le principal mécanisme de génération de vorticité est la reconnexion d’interfacequi peut intervenir plusieurs fois au cours du mouvement. La première source devorticité est l’impact du jet déferlant. L’interaction de la crête avec le jet secondaireascendant en est une seconde (figure 10). L’intensité tourbillonnaire (enstrophie)augmente à chacun de ces événements d’un ordre de grandeur. Ce phénomène jouesans aucun doute un rôle important dans la dissipation énergétique de la vague.
a) t=0.46T b) t=0.58T
déferlementimpact
descente du vortex
Dow
nloa
ded
by [
Ohi
o St
ate
Uni
vers
ity L
ibra
ries
] at
09:
16 2
8 A
pril
2013
Modélisation numérique du déferlement plongeant 943
c) t=0.78T d) t=0.84T
Figure 10. Mise en évidence de deux mécanismes de génération de vorticité : a-b)par pénétration du jet déferlant et c-d) par interaction du jet secondaire avec letourbillon créé par le déferlementVariable = vorticité (adimensionnelle), (trait continu = vorticité négative),
UrotT* Z , 22023565 Z� Z Z'*max
*min ,,*
Two mechanisms of vorticity generation : a-b) first jet impact and c-d) splash-up/wave crest interactionvariable = non dimensional vorticity (continued line = negative vorticity)
UrotT* Z , 220,235,65* *max
*min Z� Z Z'
5. Conclusions et perspectives
Cette étude propose une modélisation numérique du déferlement par leséquations de Navier-Stokes et le suivi d’interface VOF-CIAM. Elle se limitevolontairement à une configuration simplifiée de déferlement sur fond plat afin delimiter les paramètres d’écoulement. Les résultats présentés concernent l’écoulementgénéré après l’impact. On détermine ainsi par exemple l’origine des masses d’eauconstituant le jet secondaire ascendant observé après impact. Celles-ci proviennentainsi de la partie aval du déferlement. Les variables de l’écoulement étant égalementaisément accessibles, il est possible de qualifier et de quantifier cet écoulementcomplexe. L’outil développé nous semble donc performant.
Le réalisme des résultats actuels nous conduit à envisager une étudeparamétrique fonction des deux paramètres du problème que sont la cambrureinitiale et le rapport de la profondeur sur la longueur d’onde. Ces deux paramètresdoivent nous permettre de générer les principaux types de déferlement. Le but est lacaractérisation de la zone de transition. Celle-ci devrait aboutir à une meilleurecompréhension des processus de dissipation énergétique de la houle ainsi que des
Dow
nloa
ded
by [
Ohi
o St
ate
Uni
vers
ity L
ibra
ries
] at
09:
16 2
8 A
pril
2013
944 RFGC – 5/2001. Génie côtier
conditions de mise en suspension du sédiment et par là même de mieux les intégrerdans les modélisations à plus grande échelle.
Une autre application possible de cet outil est l’étude de l’impact de vaguesdéferlantes (et déferlées) sur les structures côtières. En effet, si de telles étudesexistent déjà en méthodes potentielles, donc sans reconnexion fluide/fluide, ilapparaît intéressant de disposer d’un outil plus complet. Celui-ci devrait nouspermettre d’étudier par exemple l’influence du point de déferlement sur l’intensitéde l’impact.
6. Bibliographie
[ABA 98] ABADIE S., CALTAGIRONE J.P. et WATREMEZ P., « Mécanisme de génération du jetsecondaire ascendant dans un déferlement plongeant », C. R. Acad. Sci., Paris, t. 326,Série IIb, p. 553-559, 1998.
[CHO 67] CHORIN A.J., « A numerical method for solving incompressible viscous flowproblem », J. Comp. Phys., 2, p. 12-26, 1967.
[HIR 81] HIRT C.W., NICHOLS B.D., « Volume of Fluid Method for the dynamic of freeboundaries », J. Comp. Phys., 39, p. 323-345, 1981.
[LI 95] LI J., « Calcul d’interface affine par morceaux (Piecewise Linear InterfaceCalculation) », C. R. Acad. Sci. Paris, Série IIb, Paris, p. 320, 391-396, 1995.
[NEW 85] NEW A. L., MC IVER P., PEREGRINE D.H., « Computations of overturning waves »,J. Fluid Mech., 150, p. 233-251, 1985.
[RIE 81] RIENECKER M.M., FENTON J.D., « A Fourier approximation method for steady waterwaves », J. Fluid Mech., 104, p. 119-137, 1981.
[SVE 84] SVENDSEN I.A., MADSEN P.A., « A turbulent bore on a beach », J. Fluid Mech., 148,p. 73-96, 1984.
[VAN 92] VAN DER VORST H.A., « BI-CGSTAB: A fast and smoothly converging variant ofBI-CG for the solution of nonsymmetric linear systems », SIAM J. Sci. Stat. Comput., 13,p. 631-644, 1992.
[VIN 81] V INJE T., BREVIG P, « Numerical simulation of breaking waves », J. Adv. WaterResour., 4, p. 77-82 ,1981.
Dow
nloa
ded
by [
Ohi
o St
ate
Uni
vers
ity L
ibra
ries
] at
09:
16 2
8 A
pril
2013
