Modélisation Topologique pour la Biologie

29/06/06

Mathieu Poudret

Les travaux du thème concernent la représentation et la manipulation de la structure et de la forme d’objets géométriques

Deux approches complémentaires :

Modélisation topologique

Géométrie discrète

SIC, Équipe Modélisation Géométrique et Animation 1/25

Les travaux fondamentaux portent sur la définition de modèles de base et de modèles multi-échelles, la conception d’opérations et le calcul de propriété géométriques

Domaines d’applications :

Géologie Imagerie

Équipe Modélisation Géométrique et Animation

C.A.O.

2/25

Modélisation Topologique

En modélisation géométrique à base topologique, nous nous intéressons :

• à la décomposition des objets en cellules de différentes dimensions

• au relations de voisinage entre ces cellules

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Quelques changements topologiques rencontrés en biologie

Modélisation Topologique 4/25

Quelques changements topologiques rencontrés en biologie

Mitose

Modélisation Topologique 4/25

Quelques changements topologiques rencontrés en biologie

Mitose

Phagocytose

Modélisation Topologique 4/25

Quelques changements topologiques rencontrés en biologie

Mitose

Phagocytose

Embryogenèse

Modélisation Topologique 4/25

Modèles Topologiques

Modèles Booléens [Requicha, Rossignac, Mantyla]

Modèles Frontières (B-Rep) [Baumgart, Weiler]

Modèles Cellulaires [Brisson, Lienhardt]

Peu intuitif pour notre domaine d’application

Structure complexe

Théorie mathématique

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Modèles Topologiques

Modèles Booléens [Requicha, Rossignac, Mantyla]

Modèles Frontières (B-Rep) [Baumgart, Weiler]

Modèles Cellulaires [Brisson, Lienhardt]

Peu intuitif pour notre domaine d’application

Structure complexe

Théorie mathématique

5/25

Carte généralisée de dimension n : Pour n ≥ 0, une carte généralisée de dimension n, ou n-G-carte, est une algèbre G = (B, α0, ..., αn), où : - B est un ensemble de brins ; - (αi)i=0, ..., n est une famille de bijections B → B telle que : - αi est une involution, pour tout i vérifiant 0 ≤ i ≤ n ; - αiαj est une involution, pour tous i, j vérifiant 0 ≤ i < i + 2 ≤ j ≤ n.

Cartes généralisées 6/25

Carte généralisée de dimension n : Pour n ≥ 0, une carte généralisée de dimension n, ou n-G-carte, est une algèbre G = (B, α0, ..., αn), où : - B est un ensemble de brins ; - (αi)i=0, ..., n est une famille de bijections B → B telle que : - αi est une involution, pour tout i vérifiant 0 ≤ i ≤ n ; - αiαj est une involution, pour tous i, j vérifiant 0 ≤ i < i + 2 ≤ j ≤ n.

Cartes généralisées 6/25

Carte généralisée de dimension n : Pour n ≥ 0, une carte généralisée de dimension n, ou n-G-carte, est une algèbre G = (B, α0, ..., αn), où : - B est un ensemble de brins ; - (αi)i=0, ..., n est une famille de bijections B → B telle que : - αi est une involution, pour tout i vérifiant 0 ≤ i ≤ n ; - αiαj est une involution, pour tous i, j vérifiant 0 ≤ i < i + 2 ≤ j ≤ n.

Cartes généralisées 6/25

Carte généralisée de dimension n : Pour n ≥ 0, une carte généralisée de dimension n, ou n-G-carte, est une algèbre G = (B, α0, ..., αn), où : - B est un ensemble de brins ; - (αi)i=0, ..., n est une famille de bijections B → B telle que : - αi est une involution, pour tout i vérifiant 0 ≤ i ≤ n ; - αiαj est une involution, pour tous i, j vérifiant 0 ≤ i < i + 2 ≤ j ≤ n.

Cartes généralisées

α0

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Carte généralisée de dimension n : Pour n ≥ 0, une carte généralisée de dimension n, ou n-G-carte, est une algèbre G = (B, α0, ..., αn), où : - B est un ensemble de brins ; - (αi)i=0, ..., n est une famille de bijections B → B telle que : - αi est une involution, pour tout i vérifiant 0 ≤ i ≤ n ; - αiαj est une involution, pour tous i, j vérifiant 0 ≤ i < i + 2 ≤ j ≤ n.

Cartes généralisées

α1

α0

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Carte généralisée de dimension n : Pour n ≥ 0, une carte généralisée de dimension n, ou n-G-carte, est une algèbre G = (B, α0, ..., αn), où : - B est un ensemble de brins ; - (αi)i=0, ..., n est une famille de bijections B → B telle que : - αi est une involution, pour tout i vérifiant 0 ≤ i ≤ n ; - αiαj est une involution, pour tous i, j vérifiant 0 ≤ i < i + 2 ≤ j ≤ n.

Cartes généralisées

α1

α2

α0

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Carte généralisée de dimension n : Pour n ≥ 0, une carte généralisée de dimension n, ou n-G-carte, est une algèbre G = (B, α0, ..., αn), où : - B est un ensemble de brins ; - (αi)i=0, ..., n est une famille de bijections B → B telle que : - αi est une involution, pour tout i vérifiant 0 ≤ i ≤ n ; - αiαj est une involution, pour tous i, j vérifiant 0 ≤ i < i + 2 ≤ j ≤ n.

Cartes généralisées

α1

α2

α0

6/25

Carte généralisée de dimension n : Pour n ≥ 0, une carte généralisée de dimension n, ou n-G-carte, est une algèbre G = (B, α0, ..., αn), où : - B est un ensemble de brins ; - (αi)i=0, ..., n est une famille de bijections B → B telle que : - αi est une involution, pour tout i vérifiant 0 ≤ i ≤ n ; - αiαj est une involution, pour tous i, j vérifiant 0 ≤ i < i + 2 ≤ j ≤ n.

Cartes généralisées

α1

α2

α0

6/25

Ce qu’on peut représenter

Cartes généralisées 7/25

Ce qu’on ne peut pas représenter

Cartes généralisées 8/25

La coutûre

Les opérations 9/25

La coutûre

Les opérations 9/25

La coutûre

Les opérations 9/25

La coutûre

Les opérations 9/25

La coutûre

Les opérations 9/25

b1

b2

La coutûre

Les opérations 9/25

b1

b2

La coutûre

Les opérations 9/25

La contrainte de cohérence des 3-G-cartes :

- α0α2 est une involution ; - α0α3 est une involution ; - α1α3 est une involution. b1

b2

La coutûre

Les opérations 9/25

La contrainte de cohérence des 3-G-cartes :

- α0α2 est une involution ; - α0α3 est une involution ; - α1α3 est une involution. b1

b2

La coutûre

Les opérations 9/25

Les opérations

Co-raffinement

10/25

Les opérations

Co-raffinement

Arrondi

10/25

Topologie pour la simulation

Simulation : reproduction par calcul d'un phénomène réel à partir d'un modèle abstrait (équations, règles de transition, scripts, etc.)

Phénomènes complexes à simuler :

• Plusieurs entités en interaction

• Lois reposant sur des relations de voisinages

• Voisinages dynamiques

Apport des structures topologiques :

• Suivi des relations de voisinage

• Opérations robustes

• Structuration

11/25

Topologie

Voisinage

Modifications

Lois decomportement

Topologie pour la simulation 12/25

Domaines identifiés :

• Simulation en géologieCollaboration avec l'École des Mines de Paris et l'Institut Français du PétroleThèse de P.F. LEON (sept 05)

• Simulation en biologieCollaboration IBISC, ÉvryThèse de M. POUDRET (sept 05)

• Simulation chirurgicaleProjet de collaboration : Alcôve (INRIA Futurs, Lille) et le LSIIT de StrasbourgTopologie

Voisinage

Modifications

Lois decomportement

Topologie pour la simulation 12/25

Application à la géologie

Analyse de l'évolution des couches géologiques :

À partir du modèle de constitution :

• Probabilité de présence du matériau recherche

• La validation coûte chère !

Validation par la simulation

Connaissancesa priori

CarottagePrélèvements Modèle de Constitution

du sous-sol

13/25

Modélisation• G-cartes

• Prise en compte du temps

Opérations :

Application à la géologie

Méthodologie

Opérations topologiques

Opérations de base

Opérations de haut niveau

compos.compos.

Calcul de l’évolution (animation)

14/25

Une opération : la sédimentation

Apparition d'une couche = "face"

Situation de départ

Déformation

Application à la géologie 15/25

Animation d’un glissement

1 modification topologique = 1 G-carte = 1 image clé = 1 date

Approche Keyframing : Interpolation entre des images clés

t

Application à la géologie 16/25

Application à la géologie

Résultat

17/25

Application à la biologie

Simuler puis valider des modèles géométriques, topologiques et biochimiques à l’aide des techniques de modélisation géométrique à base topologique

Notre objectif :

18/25

Application à la biologie

Simuler puis valider des modèles géométriques, topologiques et biochimiques à l’aide des techniques de modélisation géométrique à base topologique

Notre objectif :

Ce qui existe :

Modèles à vase unique

18/25

Application à la biologie

Simuler puis valider des modèles géométriques, topologiques et biochimiques à l’aide des techniques de modélisation géométrique à base topologique

Notre objectif :

Ce qui existe :

Modèles à vase unique

Automates cellulaires

18/25

Notre premier outil :

Un simulateur à base de règles. Les règles influent sur des données biochimiques ou topologiques.

L’ idée :

À partir de 3 exemples, faire émerger une application biologique afin de mettre au point nos outils

Application à la biologie 19/25

Notre premier outil :

Un simulateur à base de règles. Les règles influent sur des données biochimiques ou topologiques.

L’ idée :

À partir de 3 exemples, faire émerger une application biologique afin de mettre au point nos outils

Application à la biologie 19/25

A

B

M

MA

B

Application à la biologie 20/25

A x

B

M

MA

∅ → xA

B

Application à la biologie 20/25

A x

B

M

MA

∅ → xA

xA → xP(A)

B

Application à la biologie 20/25

A x

B y

M

MA

∅ → xA

xA → xP(A)

B

∅ → yB

Application à la biologie 20/25

A x

B y

M

MA

∅ → xA

xA → xP(A)

B

∅ → yB

Application à la biologie 21/25

A x

B y

M

M

A+B → P(A)=B

A

∅ → xA

xA → xP(A)

B

∅ → yB

Application à la biologie 22/25

A x

B y

M

M

A+B → P(A)=B

A

∅ → xA

xA → xP(A)

B

∅ → yB

Application à la biologie 22/25

A x

B y

M

M

A+B → P(A)=B

A

∅ → xA

xA → xP(A)

B

∅ → yB

a.xb + b.yb → c.xyb

Application à la biologie 23/25

A x

B y

M

M

A+B → P(A)=B

A

∅ → xA

xA → xP(A)

B

∅ → yB

xyB → xyP(B)

a.xb + b.yb → c.xyb

Application à la biologie 23/25

Application à la biologie 24/25

Application à la biologie

Règles d’évolution

+

24/25

α0

α1

α2

Application à la biologie 25/25

α0

α1

α2

compartiments

Application à la biologie 25/25

α0

α1

α2

interface

Application à la biologie 25/25

α0

α1

α2

Application à la biologie 25/25

α0

α1

α2

Application à la biologie 25/25