Bogdanoff I. Etat Topologique De L’Espace-Temps A L’Echelle Zero

7/28/2019 Bogdanoff I. Etat Topologique De LEspace-Temps A LEchelle Zero

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UNIVERSITE DEPARTEMENT LABORATOIRE GEVREYDE BOURGOGNE DE MATHEMATIQUE-PHYSIQUE

DIJON MATHEMATIQUES UMR 5029_____ _____ _____

THESEprsente par

Igor BOGDANOFF_____

En vue dobtenir le grade de

DOCTEUR DE LUNIVERSITE DE BOURGOGNE

Spcialit : Physique thorique_____

ETAT TOPOLOGIQUE DE LESPACE-TEMPS

A LECHELLE ZERO

Soutenue publiquement lUniversit de Bourgogne

Le 8 Juillet 2002

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examine par le jury compos de

Gabriel SIMONOFF PrsidentRoman JACKIW RapporteurJack MORAVA RapporteurHans JAUSLIN ExaminateurDaniel STERNHEIMER ExaminateurJac VERBAARSCHOT Examinateur


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REMERCIEMENTS

Je veux tout dabord saluer ici la mmoire de Mosh Flato qui avait

accept la tche ingrate de diriger cette recherche et auquel le destin

naura pas laiss le temps den connatre la fin. Ses anciens compagnons

damiti et de travail les membres du laboratoire Gevrey de

Mathmatique Physique et, enparticulier,Daniel Sternheimer vers lequel

va aujourdhui toute ma gratitude pour avoir accept de reprendre ce t

hritage savent que sans ses encouragements constants et laide quil a

su mapporter, ce travail nauraitprobablementpas existen la forme.

Etcesttoutnaturellementque je le lui ddie.

Lespremires tapes de cette recherche sontlies laccueil qua bien voulului rserverGabriel Simonoff, de lUniversit de BordeauxI, aujourdhui

prsident du Jury de cette thse. Je veux lui exprimer ma profonde

reconnaissance pour son aide prcieuse et le soutien quil a bien voulu

mapporter au long des annes.

Ma gratitude va galementversJac Verbaarschot, de lUniversitde New

York Stony Brook, qui a bien voulu accepter la codirection de cette

recherche. Jai eu grce lui le privilge de dcouvrir certains aspects

inattendus et toujours essentiels de la thorie topologique des champs.

Dans le mme esprit, je veux tmoigner ma profonde reconnaissance

RomanJakiw, du MassachusettsInstitute of Technology, qui ma fait

lhonneurdaccepterdtre le rapporteurquantaux aspects physiques de

laprsente recherche.Il a notamment fait apparatre que certains de mes

rsultats dbouchentsur une interprtation nouvelle dune dcouverte (le

rle du terme de Chern-Simons) laquelle son nom, avec ceux de S.

Deser et de S. Templeton, est attach.De celaje le remercie.De mme, je

remercie vivementJackMorava de lUniversitJohn Hopkins, qui a

accept dtre le second rapporteur de ce travail, plus particulirement

pourcertains dveloppements en interaction avec les mathmatiques.

Ma gratitude sadresse galement Hans Jauslin, de lUniversit de

Bourgogne, qui a bien voulu accepterde faire partie du jury en raison du

contenu de physique thorique de ce travail.


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Enfin, je tiens remercierles responsables qui ont permis la soutenance de

ce travail, parmi lesquels Jean-Claude Colson etJean-Michel Guillaume,

du service de la Recherche et Etudes Doctorales de lUniversit de

Bourgogne, ainsi que Batrice Casas, du laboratoire Gevrey de

Mathmatique Physique, qui ma apport son aide dans le cursus

administratif de cette soutenance.


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TABLE

Remerciements

INTRODUCTION GENERALE .........................................................................................1

CHAPITRE I.ETATKMSDELESPACETEMPSALECHELLEDEPLANCK....................8

1.1 Equilibre thermique du (pr)espace-temps lchelle de Planck.....................9 1.2 ConditionKMS lchelle de Planck................................................... ........ 11 1.3 Complexificationde lacoordonne genre temps lchelle de Planck ........ 13

1.4 Etat KMSet facteurs ................................................... .................................... 15

-Lchelletopologiquezro : = 0, signature {++++} .............................. 16 -Lchellequantique : 0< < Planck , signature {+++}..... ...... ...... ..... ...... 17 -Lchelle physique: > Plancksignature {+++ } ................................... 18

CHAPITRE II. LALIMITE TOPOLOGIQUE DE L'ESPACE-TEMPS

AL'ECHELLE ZERO................................................ .......................... 25

2.1 Thorie topologiquedes champs ................................................... ................. 252.2 Une nouvelle limite topologique.................................................. ................. 262.3 Echelle zroet premier invariant de Donaldson............................................ 272.4 Dualit entre mode Physique et mode topologique ...................................... 332.5 Transitionentre tat topologique et tat physique ....................................... 42


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CHAPITRE 3. AMPLITUDE TOPOLOGIQUE AL'ECHELLE ZERO....................... 44

3.1 Charge topologiquede l'instantonsingulier de taille zro.............. 44

3.2 Conjecture :origine topologiquede l'interactioninertielle............ 45

CONCLUSION................................................. ........................................................ ........ 48

BIBLIOGRAPHIE ...................................................... ...................................................... 51

PUBLICATIONS ANNEXEES

- Topological Field Theory of the Initial Singularity ofSpacetime Class. andQuantum Gravity vol18 n 21 (2001)- Spacetime Metric and the KMS Condition at the Planck Scale

Annals of Physics vol295 n 2 (2002)- KMS State of the Spacetime at the Planck Scale Ch.J. ofPhys. (2002)

- Topological Origin ofInertiaCzech . J. ofPhys. 51,N 11 (2001)

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INTRODUCTION____

L'objectif de la prsente recherche, dans le contexte de la supergravit N=2, consiste proposer une

solution au problme pos par l'existence et la nature de la Singularit Initiale de l'espace-temps

propre au modle cosmologique standard. L'une des insuffisances (sans doute la plus proccupante)

du modle type "Big Bang" reste en effet son inaptitude fournir une approche de l'origine singulire

de l'univers. Associe l'chelle zro de l'espace-temps, la Singularit Initiale ne peut tre dcrite par

la thorie physique (perturbative) en raison des divergences non renormalisables qui la caractrisent.

En revanche, nous proposons ici, notamment dans l'article publi en rf[1] et ci-joint en annexe [A1],l'existence d'une solution dans le cadre d'une thorie duale, non perturbative, relevant de la thorie

topologique des champs[2].

L'originalit de cette solution rside en ce qu'elle implique, en sus de l'tat physique, l'existence

possible, en de de l'chelle de Planck, d'un "tat topologique" de la mtrique du (pr)espace-

temps. Un tel tat s'inscrit logiquement dans le cadre de la thorie Euclidienne des champs propose

par J. Schwinger et applique il y a longtemps dj par S.Hawking en cosmologie quantique (voir la

rf[3] pour les travaux typiques de ces deux auteurs). Toutefois, l'interprtation purement

"topologique" des contraintes propres la gravit quantique rsulte d'une srie de rsultats rcents

obtenus par G.Bogdanoff[3] et indiquant l'existence probable de "fluctuations quantiques" (ou q-

superposition) de la signature de la mtrique l'chelle de Planck. En effet, il a t montr qu' cette

chelle (i.e. chelle de supergravit N = ...) la signature Lorentzienne de la mtrique (+++ ) ne

devrait plus tre considre comme fixe mais est trs probablement soumise des fluctuations

quantiques (+++) jusqu' la limite d'chelle zro.En outre, il a t tabli, toujours en rf[3], qu'en

raison de contraintes algbriques tout autant que physiques, il est galement probable qu'une telle

fluctuation de signature ne peut intervenir qu'entre la forme Lorentzienne (3, 1) et la forme

Euclidienne (4,0), l'exclusion de la forme ultra-hyperbolique (2,2) (sur ce point, voir les chaps. 1,


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3, 4 de la rf[3]). La thorie de fluctuation de la signature de la mtrique a t dveloppe ou

applique de diffrentes faons depuis, notamment en rf.[4]. Ces dveloppements rcents

conduisent dans tous les cas des rsultats sensiblement analogues ceux de la rf.[3].

Du point de vue physique, cette notion de fluctuation quantique de la signature peut tre vue comme

une consquence directe de la condition de KUBO-MARTIN-SCHWINGER (KMS) [5] laquelle

est trs probablement soumis le systme thermodynamique form par l'espace-temps l'chelle de

Planck. Cette approche a t tablie pour la premire fois en rf[3] et dveloppe par nous dans la

rf[1, A1] dj cite ainsi que, plus spcifiquement, dans les rf[6,7] ci-jointes en annexes [A2-A3].

Nos propositions formalises dans les travaux cits indiquent en effet que, compte tenu des

importants rsultats de Dolan et Jackiw [8] puis de Weinberg [9] concernant le comportement

thermique de l'univers primordial haute temprature, il est raisonnable de considrer que le

(pr)espace-temps se trouve en tat d'quilibre thermique l'chelle de Planck. Il est alors naturel

d'en dduire qu'en tant que systme thermodynamique, ce mme (pr)espace-temps est soumis la

condition KMS la mme chelle. Sur la base de cette approche, nous tablissons (notamment en

termes d'algbres d'oprateurs) qu' l'chelle zro, la signature de la mtrique doit donc tre

considre comme Euclidienne. Nous prsentons nos principales propositions dans ce domaine en

section I. Celles-ci sont exposes pour l'essentiel dans les articles [1-A1] et [6-A2, 7-A3] annexs

la prsente thse.

Par ailleurs, de manire vidente, la notion de fluctuation de signature de la mtrique entre l'chelle de

Planck (limite infrarouge de la thorie de fluctuation) et l'chelle zro (limite ultraviolette) apparat

comme une consquence naturelle de la non-commutativit de la gomtrie de l'espace-temps

l'chelle quantique [10]. Dans un tel contexte a d'ailleurs t construit, en termes d'algbres de Hopf

et toujours en rf[3], le "produit bicrois cocyclique"

Uq(so(4)op Uq(so(3,1)) (1)


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8

o Uq(so(4))op reprsente l'algbre de Hopf (ou "groupe quantique") Euclidien et Uq(so(3,1)) le

groupe quantique Lorentzien, le symbole dsignant un produit bicrois et un 2-cocycle de

dformation (voir les rfs [11,12]) pour des dveloppements plus prcis). Le produit bicrois (1)

suggre alors un genre inattendu d'"unification" entre les algbres de Hopf Lorentzienne etEuclidienne l'chelle de Planck et induit la possibilit d'une "q-dformation" de la signature de la

forme Lorentzienne (physique) la forme Euclidienne (topologique) [3-13]. En outre, l'qu.(1)

dfinit implicitement une transformation de (semi)dualit (au sens de Majid [12]) entre les groupes

quantiques Lorentzien et Euclidien (cf. equ.(27)). Nous revenons sur cet important rsultat au

paragraphe (2.2).

Du point de vue des groupes classiques, la fluctuation de la signature de la forme Lorentzienne vers la

forme Euclidienne peut tre dcrite par l'espace homogne symtrique construit en rf.[3 ]:

h=SO(3,1) SO(4)

SO(3)(2)

SO(3) tant plong diagonalement dans le produit SO(3, 1) SO(4). A partir de h, l'on peut

construire l'espace topologique quotient top =3, 1 4

SO(3), espace topologique spar susceptible

de dcrire la possible superposition des deux mtriques Lorentzienne et Riemanniennes. Il a t

montr dans [3] que top comporte un point singulier unique S pouvant correspondre l'origine de

l'espace de superposition .

Revenons prsent aux aspects physiques de la thorie de superposition. Comme nous l'indiquons au

(5.1 ) de la rf [1-A1], il devrait exister, l'chelle de Planck, une limite la temprature - et la

courbure - du (pr)espace-temps, limite postule par Hagedorn, et prcise par Atick et Witten [14], au

del de laquelle l'on devrait considrer un secteur purement topologique de l'espace-temps, dcrit par

la thorie topologique des champs de Witten ou Donaldson. Le premier invariant de Donaldson est une

forme algbrique "Riemannienne" dont nous suggrons au (2.3) l'isomorphisme avec l'invariant

topologique caractrisant, selon notre approche, la limite d'chelle 0 (cf. [1-A1]). A une telle chelle, la


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thorie ne devrait donc plus tre considre comme singulire mais devrait plutt tre redfinie sous

une nouvelle forme, Euclidienne et topologique. Cette approche repose sur deux ides essentielles :

((i) Conformment certains rsultats en thorie des (super)cordes, notamment ceux de E. Kiritsis et

C. Kounnas dans [15], nous considrons l'hypothse selon laquelle, trs haute courbure (i.e.

l'chelle de Planck T ~ MPlanck) la gravitation classique, dcrite par l'approximation O(1/MPlanck)

n'est plus valable. Nous proposons donc d'introduire, dans le Lagrangien "quantique" de la thorie,

des termes de drives suprieures en R2 (tout en considrant, en dimension 4, la possibilit d'un

"cut off" des termes de drives plus hautes sur la limite R2, ce qui limine les termes en R3+ ... +

Rn de la thorie des cordes). Les dtails de cette construction peuvent tre examins dans la rf[3].

(ii) Suite nos rsultats publis en [1-A1] et [6-A2], nous conjecturons que ces termes peuvent

autoriser la superposition (3, 1) (4, 0) de la signature de la mtrique dans le cadre d'une thorie

largissant la gravitation classique de type Einstein. A partir des indications du (5.1) de [1-A1] selon

lesquelles l'espace-temps l'chelle de Planck devrait tre vu comme soumis la condition KMS,

nous reprenons l'approche tablie en rf[3] concernant l'existence de deux potentiels gravitationnels

distincts. Nous conjecturons alors qu'en supergravit R + R2 (et en N = 2), l'approximation

linarise de la mtrique de Schwartzschild peut tre considre comme une solution locale exacte de

la thorie tendue. Nous rapprochons cette conjecture des rsultats physiques obtenus en [3], selon

lesquels la prsence de termes non-linaires R2 dans le Lagrangien effectif de supergravit peut

autoriser la superposition (3, 1) / (4, 0) de la signature de la mtrique partir de l'chelle de Planck

Au (1) de la rf [1-A1], nous prcisons le contenu du Lagrangien quadratique qui nous parat le plus

naturellement adapt aux conditions de trs hautes courbures de la varit, lorsque

l'chelle lPlanck (i.e. pour des chelles de longueur "infrieures" la longueur de Planck).

Notons qu'au sens strict, la notion "infrieur la longueur de Planck" n'a plus de signification en

termes de distance, en raison mme de la perturbation portant sur la mtrique Lorentzienne. Notre

Lagrangien "tendu" est alors :


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Lsupergravit =R

1

g2R

2 RR* (3)

avec une composante physique Lorentzienne (le terme d'Einstein R ) et une composante

topologiqueEuclidienne (le terme topologique RR*). L'interpolation entre ces deux composantes,

selon un mcanisme que nous suggrons ci-dessous, nous incite donc considrer que Lsupergravit

dcrit correctement les deux ples (physique et topologique) d'une mme thorie (la superposition)

ainsi que les deux mtriques associes.

Nous indiquons ainsi qu' la limite d'chelle = 0, la thorie, de dimension D = 4, rduite RR*,

domine par des instantons gravitationnels de dimension 0, peut tre vue comme purement

topologique. Dans ce secteur, la mtrique est statique, dfinie positive Euclidienne (+ + + +). Le

domaine de validit de l'volution Euclidienne s'tend jusqu' l'chelle de Planck ~ lPlanck. Au

del de l'chelle de Planck ( lPlanck), la thorie est de type Lorentzien et galement de dimension

D = 4. Enfin, dans le secteur de gravit quantique (0 lPlanck), la thorie, dfinie par la

quantification du groupe de Lorentz, possde une dimension supplmentaire (D = 5), laquelle autorise

la superposition des deux classes Lorentzienne et Euclidienne (ce qui induit une phase de

"fluctuation" des signatures (3, 1) (4, 0). La dynamique du (pr)espace-temps pourrait alorscorrespondre l'expansion d'un monople gravitationnel de dimension 5 tandis que l'tat de

superposition quantique de la mtrique peut tre associe (aprs compactification de la quatrime

coordonne spatiale du monople D = 5) une dualit monople-Instanton d'un genre nouveau en

dimension 4 (sur ce point, voir encore la rf.[3]).

Enfin, lorsque lPlanck , l'espace-temps entre dans la phase Lorentzienne conventionnelle de

l'expansion cosmologique.

En fonction de ce qui prcde, l'un des rsultats les plus importants prsents en rf.[1-A1] est donc

qu' l'chelle zro, la signature du (pr)espace-temps peut nouveau tre considre comme fixe,

mais sous une formeEuclidienne(++++). Ceci est important dans la mesure o la thorie Euclidienne


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peut tre interprtecomme la plus simple des thories topologiques des champs. Nous prsentons en

section 2 nos rsultats propres obtenus dans le cadre de la thorie topologique des champs. Ces

rsultats sont dtaills dans l'article [1-A1] joint en annexe. Une autre application possible de la thorie

topologique en cosmologie est galement propose dans l'article [16-A4].

Nous suggrons alors ci-aprs que la Singularit Initiale de l'espace-temps correspond un instanton

gravitationnel singulier de taille zro, caractris par une configuration Riemannienne de la mtrique

en dimension D=4. Dans cette perspective, le problme pos par la Singularit Initiale peut trouver une

solution dans le cadre de la thorie topologique des champs. Plus prcisment, nous suggrons que

l'chelle singulire zro peut tre dcrite en termes d'invariants topologiques (en particulier le premierinvariant de Donaldson ( 1)n i

i

). Nous introduisons ainsi un nouvel indice topologique, relie

l'chelle zro de l'espace-temps, de la forme

Z 0

=Tr(-1)s (4)

que nous appelons "Invariant de Singularit". Cette approche topologique de l'chelle zro, fonde sur

la thorie des instantons gravitationnels, comporte plusieurs consquences intressantes. Parmi celles-

ci, il nous a paru pertinent de mettre en vidence l'existence possible, l'chelle zro de l'espace-

temps, d'une "amplitude topologique" (relie la charge topologique de l'instanton gravitationnel

singulier de taille zro). Nous en tirons une conjecture inattendue, selon laquelle linteraction

inertielle, hors de porte de la thorie des champs, pourrait en revanche tre correctement dcrite dans

le cadre de la thorie topologique des champs. Nous dveloppons cette conjecture publie en rf. [16-

A4].

La prsentation de notre recherche est organise comme suit. En section I, nous rappelons nosrsultats publis en [5-A2, 6-A3] suggrant que le (pr)espace-temps, en quilibre thermique

l'chelle de Planck, est soumis la condition KMS. En section 2, nous rsumons nos principales

dmonstrations et exemples publis principalement en [1-A1] et indiquant que la limite d'chelle zro

du (pr)espace-temps (dans le contexte de la supergravit N=2) peut tre dcrite par la thorie


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topologique des champs. Nous proposons alors une solution nouvelle au problme pos par la

Singularit initiale de l'espace-temps dans le cadre de la thorie topologique des champs. Enfin, en

section 3, nous prsentons nos rsultats publis en rf[16], en particulier la conjecture (4.2) suggrant

l'existence d'une amplitude topologique au voisinage de la Singularit Initiale de l'espace-temps. Cesrsultats sont joints en annexe [A4].


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CHAPITRE 1

__

ETAT KMS DE lESPACE-TEMPS

A LECHELLE DE PLANCK

_______

Nous fondons notre approche du (pr)espace-temps lchelle quantique sur lune des conditionsphysiques les plus naturelles prdites par le Modle Standard lchelle de Planck. En accord avec

[7,8], et en particulier avec les rcents rsultats de Kounnas etal [17,18], nous prtendons dans la

prsente thse qu lchelle de Planck, le (pr)espace-temps, en tant que systme thermodynamique,

est en tat dquilibre thermodynamique[3]. Nous introduisons ce point de vue au (5.1) de notre

article publi en rf[1-A1]. Or selon des rsultats plus spcifiques prsents en [6-A2, 7-A3],

limportante consquence de cette approche est que le (pr)espace-temps lquilibre lchelle de

Planck devrait donc tre considr comme soumis la condition de Kubo-Martin-Schwinger (KMS)

[5]. De manire inattendue, la thorie KMS et la thorie modulaire pourraient comporter des

consquences spectaculaires sur la physique lchelle de Planck. Ceci en raison des effets KMS.

En effet, nous montrons dans les articles publis en rf. [1-A1, 6-A2, 7-A3] quappliques lespace-

temps quantique, les proprits KMS sont telles qu lintrieur des limites de la bande KMS (i.e.

entre lchelle zro = 0 et lchelle de Planck = Planck), la direction genre temps du systme

devrait tre considre comme complexe: t tr iti . Dans ce cas, lorsque 0, la thorie est

projete sur la limite purement imaginaire t iti de la bande KMS.Inversement, sur la limite

infrarouge Planck, la direction genre temps devient purement relle t tr Ceci signifie qu

lintrieur des limites de la bande KMS, les mtriques Lorentzienne et Euclidienne devraient tre

considres en tat de superposition quantique (ou couples), ceci induisant une unification (ou


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couplage) entre ltat physique (Lorentzien) et ltat topologique (Euclidien) du (pr)espace-temps

lchelle de Planck.

Commenons par rappeler les principaux rsultats concernant le possible quilibre thermique du(pr)espace-temps lchelle de Planck.

1.1 Equilibre thermique du (pr)espace-temps lchelle de Planck

Il est bien connu qu lchelle de Planck, lon doit sattendre une phase de transition

thermodynamique, troitement relie (i) lexistence dune limite suprieure la croissance de la

temprature (la temprature de Hagedorn) [14] et (ii) ltat dquilibre thermodynamiquecaractrisant

globalement le (pr)espace-temps cette chelle [3].

Dans ce contexte, les investigations dj cites de Dolan-Jackiw [8] et S. Weinberg [9] puis plus tard

de plusieurs autres (voir [3]) ont renouvel lide de Hagedorn concernant lexistence, trs haute

temprature, dune limite restreignant la croissance de lexcitation des tats du systme.Plus

rcemment, J.J. Atik et E.Witten ont montr lexistence dune limite de Hagedorn en thorie des

cordes [15]. La raison est que, comme rappel par C. Kounnas en thorie des supercordes

N = 4 , temprature finie, la fonction de partitionZ() et lnergie moyenne U()prsentent des

ples singuliers en T , dans la mesure o la densit des tats du systme crot

exponentiellement avec lnergie E (cf. rf[18]):

Z() dE (E)e E ~1

( b)(k 1)

U() lnZ~ (k 1)

1

b

Manifestement, il existe donc au voisinage de lchelle de Planck une temprature critiqueTH b1 ,

temprature limite laquelle le systme (pr)espace-temps peut tre considr en tat dquilibre


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thermodynamique, comme rappel en rf. [3]. En fait, a(t) reprsentant le facteur dchelle

cosmologique, la temprature globale T du systme obit la loi bien connue:

T(t) Tpa(tp )

a(t)

(5)

et selon le Modle Cosmologique Standard, au voisinage de lchelle de Planck, T atteint la

temprature limite TpEp

kB

C5

G

1

2

kB1 1,4.1032 K . En fait, il est couramment admis en thorie

des cordes que, avant la phase dinflation, le rapport entre le taux dinteractions ( ) des champs

initiaux et lexpansion (H) du (pr)espace-temps estH


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(A) = Tr(e HA)/Tr(e H)

etsatisfaitla condition KMS.

Nous fournissons une dfinition plus technique dans larticle publi en rf[6]. La dfinition (1.2.1) a

t rappele notamment dans la rf[10]. A prsent, il est habituel (et naturel) dopposer la notion

dquilibre celle dvolution dun systme. En fait, la clbre thorie modulaire de Tomita-Takesaki

a tabli que la dynamique intrinsque dun systme quantique correspond, dune manire unique, au

groupe dautomorphismes un paramtre fortement continu t dune C* - algbre de von

Neumann A [19]:

t(A) = ei H tA e i H t (6)

Ce groupe un paramtre dcrit lvolution temporelle des observables du systme et correspond

lalgbre de Heisenberg. Cependant, nous devons aussi tenircompte de la remarquable dcouverte de

Takesaki et Winnink, reliant le groupe dvolution t (A) du systme (plus prcisment le groupe

modulaire M= itM it) avec ltat dquilibre (A)Tr(Ae H)

Tr(e H)de ce mme systme [10]. La

condition KMS nest autre que cette relation entre volution t(A) et quilibre (A) dun systme.

Plus prcisment, dans le cadre de la mcanique statistique quantique, la condition KMS fournit une

formulation mathmatique rigoureuse de la coexistence de diffrents tats dquilibre possibles la

mmetemprature donne T.

En effet, il a t tabli [5] quun tat sur une C*-algbre A et le groupe dautomorphismes un

paramtre t(A) la temprature = 1 / k T vrifient la condition KMS si, pour tout couple A, B

de la * - sous-algbre deA, il existe une fonction (tc) holomorphe dans la bande {tc = t + i ,

Im t c [ 0 , ] } telle que:

24. (t) = (A ( tB)) ,

(ii) (t+ i ) = ( t(B)A), t . (7)


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En outre, un tat sur la C*-algbreA est sparateur si la reprsentation algbrique donne est une

algbre de von Neumann W* munie dun vecteur cyclique et sparateur. Les ensembles

Il

= {A A (A *A ) = 0}etIr= {A A : (A A* ) = 0}

forment un idal gauche et droite dansA . Pour tout tat KMS, lon a I l = I r.

La dfinition ci-dessus exprime la relation bijective entre tat lquilibre, tat holomorphe des

paramtres de mesure et condition KMS.

A prsent, comme nous le rappelons en [6-A2], si lon admet quau voisinage de lchelle de Planck

un tat du systme (pr)espace-temps satisfait la condition dquilibre dquilibre

([h, t(A)])dt 0, A U, alors, daprs [10], lon est amen admettre que ce systme est

soumis la condition KMS.

A partir de ce rsultat tabli pour la premire fois en [3] et dvelopp depuis (quoique dans une

contexte diffrent) par Derredinger et Lucchesi dans [20, 21], nous considrons prsent la possible

transformation holomorphe de la coordonne genre temps du systme (pr)espace-temps en tat KMS.

1.3Complexification de la coordonne genre temps lchelle de Planck

Lune des consquences de la condition KMS est quelle induit de manire naturelle lexistence dun

nouveau degr de libert sur le signe de la direction genre temps g00 de la mtrique. En effet,

lintrieur de la bande KMS, lon doit considrer la transformation [10-21]:

t = tr+ i ti (8)

De mme, la temprature (relle) devrait galement tre considre comme complexe lchelle de

Planck:


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Tc = Tr+ iTi (9)

Une telle transformation est lie au fait qutant donn un systme quelconque soumis la condition

KMS et considrant une algbre de von NeumannMsur laquelle peut tre dtermin un tat (ainsi

que deux lments A, B de M ), alors il existe une fonction (z) holomorphe dans la

bande z , imz 0, telle que:

(t) = (A ( tB)) (10)

et (tr+ i ) = ( t(B)A), t . (11)

Ici, t est le paramtre temporel du systme, de mme que le paramtre dchelle kT. Ainsi dans

notre cas, le systme thermodynamique lquilibre tant lespace-temps lui-mme, lintrieur des

limites de la bande KMS, i.e. de lchelle zro ( = 0) lchelle de Planck ( = Planck), la direction

genre temps du systme doit tre tendue la variable complexe tc = tr+ i ti , Im tc [i ti , tr]

Naturellement, selon la thorie modulaire de Tomita [10], la condition KMS, applique au systme

(pr)espace-temps, autorise, lintrieur de la bande KMS, l existence dun groupe

dautomorphismes tendu (holomorphe) reprsentant le groupe dvolution quantique du systme

lchelle de Planck. Celui-ci dpend de lalgbre de von Neumann Mq dont la forme gnrale,

construite en rf [3] est:

Mq c(Mq ) e

HcMq eHc

le paramtretant formellement complexe, interprtable comme un temps tet / ou une temprature Tcomplexes, la signature KMS de la mtrique tant (+++). Ainsi, la condition KMS suggre

lexistence lchelle de Planck, dun potentiel effectif une boucle coupl, en supergravit N=2, au

dilaton complexe =1

g2 i induisant la forme dynamique de la mtrique diag(1 , 1 , 1 , e

i) .

La signature de est alors Lorentzienne (i.e. physique) pour = et peut devenir Euclidienne


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(topologique) pour = 0. Par consquent, la signature KMS de la mtrique est bien superpose, de la

forme (+++). Il est intressant de noter que dans le contexte diffrent des supercordes, J.J. Atick et

E. Witten ont t les premiers proposer ds 1988 une telle extension de la temprature relle vers le

domaine complexe [14]. Rcemment, en thorie des cordes supersymmtriques N=4, I. Antoniadis,

J.P. Deredinger et C. Kounnas [17] ont galement suggr dtendre la temprature relle T vers lesvaleurs imaginaires pures, cette extension rsultant de lidentification de T avec linverse du rayon R

du cercle S1 reprsentant le temps Euclidien compactifi du systme (R = 1 / 2 T). En consquence,

lon peut introduire une temprature complexe dans lespace des modules thermique, la partie

imaginaire tant relie au champ antisymtrique B sous dualits de cordes:IIA S/T/U typeIIB S/T/U Htrotique .

Plus prcisment, dans lapproche dAntoniadis etal , le champ contrlant la temprature provient duproduit des parties relles de trois champs complexes: s= Re S, t= Re T and u= Re U. Dans notre

approche KMS, les parties imaginaires pures des modules S, T, Upeuvent tre interprtes en termes

de temprature Euclidienne.

A prsent, il apparat clairement que le groupe dautomorphismes de Tomita-Takesaki c (Mq )

induit, dans le champ KMS, lexistence de deux flots duaux lun de lautre. Tir de lqu. (12), le

premier, de la forme :

t(Mq ) eiHiMq e iHi (13)

correspond lalgbre des observables du systme et au flot Lorentzien en temps rel. Dans cette

perspective, ce courant reprsente un flot physique, que nous appelons P 0

. Quant au deuxime

flot possible, en partant nouveau de lequ. (12), il prend ncessairement la forme:

i (Mq ) e iHMq e

iH (14)

donnant surMq le semi groupe doprateur non stellaire. Considrant la continuation analytique entre

les quations (13) et (14 reprsente un courant en temps imaginaire ou, de manire quivalente,

un courant topologique que nous appelons T . Nous considrons maintenant la condition KMS en

termes dalgbres de von Neumann.


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20

1.4 Etat KMS et facteurs. Dans les tats KMS, les algbres de von Neumann impliques sont

ce que lon appelle des facteurs, i.e. un type particulier dalgbre de von Neumann, dont le centre

est rduit aux scalaires a . Il existe trois types de facteurs: le type I et le type II (en particulier ici

le II ) naturellement non commutatifs mais munis dune trace et que lon peut donc interprtercomme commutatifs sous la trace- et le type III, sans trace. Une trace sur un facteur M est une

forme linaire telle que (AB) = (BA), A,B M. Lorsque la mesure surMnest pas dfinie (ce qui

est le cas du type III), la notion de trace disparat et est remplace par celle de poids, qui

reprsente une application linaire deM+ sur + = [0, + ]. Les facteurs de type III sont importants ici

dans la mesure o ce sont les seuls facteurs intressants dans le contexte des tats KMS (les tats

KMS lis aux types II et III tant triviaux, cette trivialit rsultant de celle du groupe modulaire sous-

jacent dans ces deux cas). Nous utilisons ici les facteurs de type III , 0, 1 , caractriss par

linvariant S(M) 0 . Pour des dfinitions plus prcises, voir les rf [3] et [1-A1].A prsent,

nous suggrons dans larticle publi en rf [6-A2] que la condition KMS applique au (pr)espace-

temps lchelle de Planck dfinit trois diffrentes chelles sur le cne de lumire, depuis lchelle

zro jusqu lchelle de Planck. Ces trois domaines peuvent tre dcrits par trois diffrents types de

facteurs.

Lchelle topologiquezro ( = 0, signature {++++}): cette chelle initiale, que nous

proposons dappeler en rf.[1-A1] chelle topologique correspond au sommet imaginaire du cne

de lumire, i.e. un instanton gravitationnel de taille zro. Toutes les mesures ralises sur la mtrique

Euclidienne tant -quivalentesjusqu linfini, le systme est ergodique. Comme montr par A.

Connes, tout flot ergodique pour une mesure invariante dans la classe de mesure de Lebesgue donne

un unique facteur hyperfini de type type II [11]. Ceci suggre fortement que lchelle singulire zro

devrait tre dcrit par un facteur de type II , muni dune trace hyperfinie note Tr . Par hyperfinie,

nous entendons simplement que la trace du facteur II nest pas finie. Nous appelons MTop,1

un tel

facteur topologique, qui est un produit tensoriel infini dalgbres de matrices (ITPFI) du type


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21

dAraki-Woods RO,1 [10]. Daprs [3], ltat initial surMTop0,1 , correspondant, dans lex. (2.1) de [1-

A1] aux valeurs divergentes du champ dilaton1

g2, peut tre donn par:

(MTop0,1

)

Tr (e HMTop0,1 )

Tr (e H) (15)

et considrant le caractre hyperfini de la trace Tr , lon a de manire quivalente:

(MTop0,1 ) = Tr (e HMTop

0 ,1 eH) (16)

o (MTop0,1 ) reprsente un type de courant particulier, que nous proposons dappeler courant

tracial T . Clairement, linvariant hyperfiniT est une pure amplitude topologique [2, 22] et, en tant

que telle, se propage en temps imaginaire de lchelle zro linfini. En ce sens, (MTop,1 ) peut

tre vu comme un cycle topologique zro reprsentant une pseudo dynamique Euclidienne

intrinsque contrlant lclatement de la Singularit Initiale de lespace-temps [3]. Cest pourquoi

nous suggrons de dcrire par (MTop,1 ) lvolution topologique du (pr)espace-temps au

voisinage de lchelle zro

(ii) lchellequantique(0 < < Planck , signature {+++}): nous abordons le domaine KMS

[5]. Considrant les fluctuations quantiques de g , il nexiste plus de mesure invariante sur la

mtrique non commutative Par consquent, selon la thorie des algbres de von Neumann, le bon

facteur adressant de telles contraintes est uniquement une algbre non commutative sans trace, i.e.

un facteur de type III [10] (le seul type de facteur impliqu dans des tats KMS non triviaux). Plus

prcisment, il sagt dun type III que nous appelons Mq , muni de la priode 0, 1 . Dans ce

cas, la notion de trace doit obligatoirement tre remplace par celle de poids de lalgbre sous-jacente

(ce qui nous introduit de manire naturelle la notion de flot des poids de lalgbre A). Nous

considrons alors [1] que le seul objet pertinent pour dcrire une possible volution lchelle

quantique est le flot des poids de lalgbre de type III caractrisant le systme (pr)espace-temps

cette chelle. Or, il a t dmontr par A. Connes que tout facteur de type III peut tre dcompos de

faon canonique selon le produit crois suivant [10]:III II *+


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22

Cest donc ainsi quapparat obligatoirement dans notre construction le *+ (dual of ) agissant de

manire priodique sur le facteur de type II . Alors, la priodicit (-dpendante) de laction de *+

sur MTop0,1 prend la forme:Mq= MTop

0,1

*

MTop0,1

S1

La relation entre et est telle que 2

, de sorte que lorsque , lon obtient 0 (la

priodicit est supprime). A prsent, comme la thorie est dfinie sur lespace de Hilbert

( ) = L2*

, Mqdevient:Mq = MTop0,1

L2

*

Le facteur L2*

, de type I , induit le flot modulaire (priodique) dvolution du systme.

Le facteur KMS Mq de type III connecte le facteur topologique de type II MTop,1 avec le

facteur physique de type I que nous appelons

MPhys:Mq = MTop0,1

MPhys (17)

En termes de flots, l qu. (17) connecte le flot topologique des poids MTop0,1 et le flot modulaire

physique induit par L2*

. Ceci fournit une bonne image de lunification entre tats

physiques et topologiques, rapprocher du produit bicrois (41) Uq(so(4)op Uq(so(3,1))

unifiant les groupes quantiques Euclidien et Lorentzien. Le flot

quantique c (Mq flow ) ecHMq flowe

cH est construit la prop. (1.4.1).

(iii) lchellephysique ( > Planck, signature {+++ }): cette dernire chelle reprsente la partie

physique (relativiste) du cne de lumire. Par consquent, la notion de mesure (de Lebesgue) est

pleinement dfinie. Lalgbre de von Neumann implique est donc munie dune trace hyperfinie et est

donne sur lespace de Hilbert infini ( ), avec = L2. Alors, (L2) est un facteur de type I

index par le groupe rel , que nous appelons MPhys . Ainsi, (L2) = MPhys et le flot induit par

MPhys est simplement le flot dvolution en temps rel , donn par le groupe modulaire:

t(MPhys ) eiHtMPhys e

iHt


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23

Dans ce cas, tous les automorphismes sont intrieurs. Nous appelons flot physique P 0

ce flot

dvolution en temps rel. Naturellement, t(MPhys ) donne simplement lalgbre des observables du

systme [19].A partir de cette construction, dtaille dans les rfs [1-A1] et [6-A2], nous proposonsdtablir que ltat KMS unifie le flot physique et le courant topologique.

Proposition 1.4.1 A lchelle KMS 0 < < lPlanck , les deux groupes dautomorphismes

t(MPhys ) et (MTop0 ,1 ) sont coupls au sein de luniquefacteurde type III de la forme Mq = MTop

0,1

L2*

. Le groupe dautomorphismes tendu (complexe) associdcrivant lvolution

lchelle quantique est de la forme Mq

(Mq

) eHcM

q e

HcMq correspond au couplage

entre le groupe dautomorphismes un paramtre donnant le flot physique et le semi-groupe

dautomorphismes donnantle flottopologique du systme. PreuveComme tabli en [1] et rappel ci-

dessus, ltat KMS du (pr)espace-temps peut tre donn de manire canonique par lunique facteur

III de la forme:

Mq = MTop0,1

L2

*

= MTop0,1

MPhys (18)

qui reprsente ce que nous proposons dappeler lunification KMS de ltat topologique et de

ltat physique de la mtrique du (pr)espace-temps lchelle de Planck. Or, les rsultats gnraux

obtenus dans la rf [3] permettent de considrer lexistence dun poids opratoriel deMq sur son sous-

groupe MTop0,1 , ltat dquilibre surMqtant donn par ltat sur MTop

0,1 . Nous exprimons alors ltat

sous la nouvelle forme propose en [6]:

(Mq-tat) = Tr (eHMTop

,1 eH) (19)

Ceci reprsente ce que nous proposons dappeler le courant tracial engendr par le facteur

topologique MTop0,1 . Cependant, Connes-Takesaki ont montr [10] que le flot des poids sur un facteur

de type III est donn par le flot des poids sur le facteur de type II associ. Car il existe un

homomorphisme OUT III OUT II tel que la squence (20) est exacte:


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24

1 H1(F)M

OUTM OUT , (N) 1 (20)

Laction multiplicative de : o S eS , s on MTop

0,1 translate la trace de MTop0,1 , ce qui

engendre le flot des poids sur MTop0,1 etMq (cf.[10]). Ainsi, (Mq-tat) devient un automorphisme de

semi-groupe-dpendant: (Mq-tat) = eHMTop

0,1 eH

Lqu. (19) dcrit donc le flot des poids de Mq. Mais comme soulign en [6], lon peut galement

interprter lqu.(19) comme un flot modulaire en temps imaginaire it, dual du flot modulaire

usuel en temps rel donn par: t(Mq-evolution) `= eiHtMPhyse

iHt , t .

Une interprtation de ce type a galement t propose (quoique dans un contexte diffrent) par

Derrendinger et Lucchesi en [13]. Finalement, le flot KMS connecte le flot des poids (Mq- state) au

groupe modulaire t(Mq-evolution ) :

c(Mq flow ) (MTop

0,1 ) t(MPhys )

e ( it)HMq flow e( it)H

e cHMq flowecH

ce qui est index par la variable en temps complexe c. Encore une fois, un tel flot exprime lunification

entre le flot physique t(Mq-evolution ) = t(MPhys ) et le flot topologique (Mq- state) = (MTop0,1 ) au

sein dun flot KMS (ou flot quantique) unique Q0 P

donn par le groupe dautomorphismes Mq:

c (Mq flow ) = (Mq- state) t(Mq-evolution )

La bande KMS tale de lchelle zro lchelle de Planck du (pr)espace-temps admet donc zrcomme borne infrieure et lchelle de Planck comme borne suprieure. Entre ces deux limites, le fl

topologique Euclidien et le flot physique Lorentzien sont donc unifis de manire naturelle au sein du fl

quantique holomorphe


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25

Q0 P

c (Mq flot) ecHMq flote

cH.

Une autre faon de vrifier le couplage de MPhys et MTop,1 au sein de lunique facteur de type III rside

dans linvariant de Connes:

: OUT M =AUT M

INT M(21)

(automorphismes de M quotients par les automorphismes intrieurs, ncessairement prsents dans le

cas non commutatif). Cet invariant de M reprsente un flot ergodique {W(M) , W }o W est un

groupe de transformations un paramtre i.e. un flot qui admet une description en termes de

classes de poids et dont le paramtre naturel est +*. Nous considrons prsent le facteur de type

III Mq de lqu.(18). Partant de lqu.(20), lon peut construire lextension Ext(note T) de OUTMq par INT Mq dans AUT Mq:

AUT Mq OUT MqT INT Mq (22)

avec {x,y} OUT Mq et {x,y} INTMq. Le groupe des automorphismes intrieurs INTMq est un

sous-groupe normal de AUT Mq . Considrant alors deux poids et de Mq, et appliquant le

thorme de Radon-Nikodym [10], il existe un unitaire de Mq tel que

t (x) ut t (x)ut

avec ut (D ; D )t et t (x) INT Mq pour une certaine classe dautomorphismes modulaires.

Considrons alors que sous la trace du facteur II impliqu dans le produit crois Mq =MTop,1

*+ tous les automorphismes modulaires sont (ncessairement) intrieurs. Il en rsulte la restriction

de INTMq un sous-groupe du groupe des automorphismes modulaires, sous-groupe que nous

appelons INTmod Mq. Puis, nous cherchons limage du groupe modulaire intrieur dans OUTMq.

Dans une certaine classe de cohomologie {K}, le groupe t (x) est donn par INTmodMq, tandis que

les transformations non unitaires (x) sont donnes par OUT Mq. Lon obtient alors pour le flot

physique:


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26

t (x) = eiHt

MqeiHt INTmodMq

tandis que le flot topologique des poids de Mq est donn par:

(x) = eH

Mq eH

OUT Mq

et de lextension AUT Mq OUT MqT INTmod Mq lon peut tirer [1]:

(tT ) t (x)T (x) (23)

A lintrieur du groupe gnral des extensions {Ext}, lon obtient alors le sous-groupe holomorphe

trivial:

it(Mq ) e( it)H

Mq e( it)H= c (Mq ) e

HcMq eHc

qui correspond ltat KMS et unifie au sein de la forme tendue unique C(Mq) le flot physique

t (x) et le courant topologique (x). Clairement, lon obtient C(Mq) OUT MqT INTmodMq.

Une nouvelle fois lon trouve le rsultat ci-dessus:

c(Mq flot) = (Mq-tat) t(Mq-volution) qed

Il rsulte de (1.4.1) ainsi que de plusieurs autres propositions publies en rfrence (notamment le

(5) de (1-A1)) lun des principaux rsultats de la prsente recherche: lchelle zro de lespace-

temps (ou du (pr)espace-temps) est de nature topologique. Nous apportons au(2) de la rf[1]

plusieurs exemples de nature illustrer ce rsultat. En particulier, considrant toujours le (pr)espace-

temps en tant que systme thermodynamique, nous montrons:

Exemple1.4.2La limite dchellezro du noyau de la chaleurdu systme thermique (pr)espace-

temps esttopologique

La dmonstration de lex. (1.4.2) est donne au (2.1) de la rf[1]. De mme, nous tablissons la

limite ultraviolette dune autre approche standard:


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27

Exemple 1.4.3La limite dchelle zro de lespace-temps de Minkowski, donne en termes

dintgrales de chemins de Feynmann, est topologique.

La dmonstration est fournie lexemple (2.2) de la rf[1-A1]. Ensuite, nous proposons un nouvelexemple montrant que la limite dchelle zro 0 de la thorie supersymmtrique N=2 est

topologique. En effet, considrant la varit espace-tempsM lon peut montrer [23] que lespace des

tats dnergie zro dcrits par lHamiltonien du systme est donn par lensemble des formes

harmoniques sur Met est gal au nombre de Betti deM. Lon a ainsi pour 0:

Tr( 1)F = ( 1)kbi k 0

4

= (M)

o bi

est le ith nombre de Betti et (M) la caractristique dEuler-Poincar deM. Finalement, sur la

limite dchelle zro, nous retrouvons lindice topologique [2] correspondant toute thorie

topologique des champs standard.

Pour finir, nous indiquons dans lex.(2.4) de [1] quil est possible dobtenir un rsultat analogue dans

le contexte de la supergravit N = 2.

Exemple 1.4.4La limite dchellezro du (pr)espace-temps en supergravitN=2 est topologique.

En fait, pour une varit spinorielle, lon peut exprimer H en termes de loprateur de Dirac D .

Alors, en dimension D=4, nous avons montr que la limite 0 du systme dcrit par loprateur de

Dirac est donn par linvariant topologique suivant:

Ind(D )dimM

8 2Tr(R R)

1

8 2Tr(F F)

Nous retrouvons une nouvelle fois la limite topologique de la thorie pour 0.

Lensemble de ces rsultats nous amne prsent formaliser le deuxime rsultat principal de notre

recherche: la limite dchelle zro de lespace-temps est purement topologique.


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28

CHAPITRE 2

____

LA LIMITE TOPOLOGIQUE DE L'ESPACE-TEMPSA L'ECHELLE ZERO

____

2.1 Thorie topologique des champs

L'on dfinit habituellement, partir de Witten [2], la thorie topologique des champs comme la

quantification de zro, le Lagrangien de la thorie tant (i) soit un mode 0, soit (ii) une classe

caractristique cn (V) d'un fibr vectoriel V M construit sur l'espace-temps. Nous proposons

alors au (2.2) une nouvelle limite topologique de la thorie, non triviale, fonde non plus sur H = 0

mais sur = 0 et donc indpendante de H. La limitetopologique ordinaire de la thorie quantique des

champs, dcrite par l'invariant de Witten Z = Tr(-1)n [24]est donne par la limite de la fonction de

partition

Z = Tr(-1)n e H (24)

calcule sur le (3+1)- espace-temps Minkoskien pour les valeurs nulles (ou invariantes) de H. n

reprsente le nombre d'tats d'nergie zro de la thorie, par exemple le nombre fermionique dans les

thories supersymmtriques [23]. Alors, Z dcrit tous les tats d'nergie zro pour les valeurs nulles

de l'Hamiltoniern H.

2.2Une nouvelle limite topologique

A prsent, nous proposons ici une nouvelle limite topologique de la thorie quantique des champs,

limite non triviale (i.e. correspondant au minimum non trivial de l'action). Construite partir du mode

zro de l'chelle du systme 0 et indpendante de H, cette limite inattendue (en dimension D=4)


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30

m :H2(M) H2 (M) mod

(k)

Il a t prcis en rf. [3] en quel sens l'image de la symtrie 0, dcrite par le groupe de jauge non

bris du type SU(2) SU(2), peut tre donne par le premier invariant de Donaldson, associ ici

l'existence d'une "amplitude topologique" caractrisant la thorie. Lorsque la dimension dim de

l'espace des modules des instantons est non nul, les invariants de Donaldson sont donns par la

fonction de corrlation de la thorie :

Z( 1 . .. r) DXeS Wk1

ii 1

r

Wki ii 1

r

(Dim k 0) (26)

Or, notre rsultat formel le plus surprenant est qu' l'chelle = 0 associe la limite des hautes

tempratures, l'espace des modules des instantons tant nul sur cette limite, la fonction de partition,

donne par

Z 0

Tr(-1)s

eH (27)

doit redonner le premier invariant de Donaldson

I = ( 1)n i

i

, (28)

invariant topologique non polynomial, rduit un entier pour dim k = 0. Nous formalisons ceci

dans la prop. qui suit :

Proposition 2.3.2 La limite de haute temprature de la thorie quantique des champs,

correspondant 0 dans lafonction departition Z= Tr (-1) s e H donne lepremier invariantde

Donaldson. La mtrique sous-jacente de la varit de dimension 4 reprsentant l'espace-temps

l'chelle zro estEuclidienne (+ + + +).

Remarque Soit la fonction de partition des tats de la mtrique Z = Tr(-1)s e H . La limite

0 de la fonction de partition Z, de la forme


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31

Z 0

Tr(-1)s

correspond une symtrie gnralise de tous les tats possibles de la mtrique, tous les tats

instantoniques de g , donns par la charge topologique de l'instanton gravitationnel singulier, tant

quivalents l'chelle 0. Nous appelons "symtrie 0" la symtrie gnralise caractrisant l'chelle

singulire 0.

Preuve Selon des arguments standard, l'on peut crire :

Tr (-1) se H = d (t)CPB

d (t)exp SE( , )

A la suite des travaux de Witten [26], il a t montr par L. Alvarez-Gaum [27] qu'tant donne une

thorie quantique des champs supersymtrique, l'on peut dfinir l'invariant topologique I = Tr (-1)f , f

tant le nombre fermionique. Nous suggrons d'tendre en supergravit ce rsultat, afin qu'il soit

possible partir de l'indice de l'oprateur de Dirac de la varit spinorielle (pr)espace-temps, de

dfinir l'invariant topologique

= Tr (-1) s

donne la diffrence entre le nombre d'instantons et de monopoles gravitationnels dans l'espace de

Hilbert de la thorie l'chelle 0 et s dsigne le nombre d'instantons. Les proprits de la supergravit

sont telles que l'indice supergravitationnel dpend seulement des modes 0 des tats d'nergie - les

valeurs propres de l'Hamiltonien D2 paramtrant l'nergie - , les tats d'nergie non nuls induisant

l'existence de paires monoples - instantons. Tr (-1)S est invariant sous les dformations continues de

D2 et constitue donc un indice topologique de la thorie de dformation quantique de la signature

d'espace-temps. Le calcul de l'indice de l'oprateur de Dirac partir de la rgularisation de la trace

donne par l'qu.(30) donne l'indice de l'oprateur de Dirac :

= Tr e c D2

= Tr (-1) Se c D2

= [Dx] [D ] edtL

0

cpl

(29)


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32

avec c . Lorsque c = 0, la limite de la fonction de partition Z = Tr (-1) Sec H est rduite :

Z0 = Tr (-1) S (30)

Witten a montr [26] que Tr (-1)n peut tre compris comme l'indice d'un oprateur agissant sur

l'espace de Hilbert du systme. Partageons en un sous-espace monople et un sous-espace

instanton = m + i . m et i dfinissent les tats monoples et instantons l'chelle 0. Q

tant un gnrateur de supersymtrie, il rsulte de (7.19) Q = 0 , Q* = 0. Comme Q est adjoint

de Q* en regard de la norme de l'espace de Hilbert, l'on a Tr(-1) S = Ker Q - Ker Q* , de sorte qu'en

tant qu'indice topologique, Tr (-1)Sest invariant sous les dformations continues des paramtres de la

thorie qui ne modifient pas le comportement asymptotique de l'Hamiltonien haute nergie. Le

Hamiltonien correspond au Laplacien sur les formes H = dd* +d*d et l'espace des tats d'nergie 0 est

donn par l'ensemble des formes harmoniques paires sur Mn:

Tr (-1) Se - H = (M) = ( 1)kbkk 0

n

(31)

o (M) est la caractristique d'Euler de M et bi le i me nombre de Betti. = Tr (-1)S est

indpendant de , les seules contributions provenant du secteur topologique d'nergie 0 : = n i

(E=0) - n m (E=0).

est donc un invariant topologique. Montrons que cet invariant est isomorphe aupremier invariant de Donaldson. La constante de couplage g de la thorie est dimensionnelle : g

g'( ), tant le rayon de l'instanton. La limite = 0 implique donc = 0 et correspond au secteur des

instantons de taille 0. Or, sur la limite = 0, Dim M k = 0. Lorsque la dimension de l'espace des

modules des instantons est non nul, les invariants de Donaldson sont donns par :

Z( 1 . .. r) DXeS Wk1

ii 1

r

Wki ii 1

r

(Dim M k 0) (32)

A prsent, qu'en est-il de ces mmes invariants lorsque l'espace des modules est de dimension 0? La

solution est dans la correspondance entre les invariants de Donaldson sur les varits de dimension 4 et

les groupes d'homologie de A. Floer [28] sur les varits de dimension 3. Coupons la 4 - varit M en

deux parties non fermes M+ et M :


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33

M = M+ h M (33)

o les bords de M+ et M sont des 3-sphres d'homologie. Soient S+ et S les sphres d'homologie

formant les bords de M+ et M . Considrons leur homologie de Floer HF* (M+)et HF* (M ). Pour

une charge topologique donne k, nous considrons les instantons gravitationnels sur les 4-varits

M+ et M . Les solutions des conditions aux bords permettant de dfinir la connexion sur les bords S

sont notes C . Dans ce cas, C.Nash a montr [29] que l'espace des modules des instantons sur la

varit ferme M devient C C = Mk . Les conditions au bord permettent de construire deux

classes d'homologie de Floer [C ] = HF* (S ). Donaldson tablit que le couplage de ces classes

fondes sur la dualit de Poincar donne [C ] [C ] = qd(M), o reprsente le couplage des

cycles d'homologie. Or, d = 0 correspond la dimension 0 de l'espace des modules. Dans ce cas,

comme montr dans [29], les invariants de Donaldson deviennent des entiers. En effet, l'valuation de

l'invariant qd(M) implique d = dim M k /2. La charge topologique k doit donc satisfaire l'galit de

Witten, soit dim M k = 8 p1(E) -3

2( (M) + (M)), o p1(E) est le premier nombre de Pontryagin du

fibr donnant la charge topologique de la configuration, (M) la caractristique d'Euler et (M) la

signature de M. Nous avons alors 8p1(E) -3

2( (M) + (M)) = 0 et l'espace modulaire Mk est rduit

un ensemble discret de points. Pour dim Mk = 0, les invariants de Donaldson se rduisent l'valuation de la fonction de partition Z, exprime comme une somme algbrique alterne sur les

instantons :

Z = ( 1)n i

i

(34)

i dsignant le i me instanton et ni = 0 ou 1 dterminant le signe de sa contribution Z. Donaldson a

montr sur des bases topologiques [25] que lorsque dim Mk = 0, alors ( 1)n i

i

est un invariant

topologique non polynomial, rduit un entier. Nous retrouvons le mme rsultat partir de

T Q , . La fonction de partition Z la temprature -1 a la forme gnrale Zq = Tr (-1)S e-

H. Pour = 0, Zq devient Z= 0

= Tr (-1)S. Or, Tr (-1)Sest isomorphe ( 1)n i

i

, s et ni donnant

dans les deux cas le nombre d'instantons de la thorie. Z= 0

= Tr (1)S redonne donc le premier invariant


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des meilleures cls pour comprendre la possible dualit entre observables physiques (infrarouge) et

tats topologiques (ultraviolet) :

Vide topologique ( = 0, instanton ) i dualit Vide physique ( = Planck, monopole )

Ceci est bas sur la dualit instantons / monopoles initialement suggre en rf.[3] et rcemment

prouve dans le contexte des supercordes C.P. Bacchas, P. Bain et M.B. Green [32]. En outre,

toujours dans le contexte des supercordes a t conjecture une symtrie du type U=S T [3] partir

de laquelle l'on peut infrer la dualit ci-dessus entre observables (physique) et cycles (topologique)

sur une 4-varit M :

Si prsent l'on associe, de manire naturelle, l'tat "physique" de l'espace-temps la forme

Lorentzienne de la mtrique (chelle de Planck) et l'tat topologique la forme Euclidienne (chelle

zro), alors il est galement naturel d'en dduire qu'entre l'chelle zro et l'chelle de Planck, il devrait

exister une superposition (+++) entre les structures mtriques (et algbriques) Lorentzienne

(physique) and Euclidienne (topologique).

2.4 Dualit entre mode Physique et mode topologique

Afin d'tablir d'un point de vue algbrique les hypothses de superposition et de dualit voques ci-

dessus, nous suggrons prsent d'adopter la dmarche propose en rf[3], consistant considrer la

mtrique d'espace-temps comme soumise une q-dformation (i.e. dformation quantique au sens de

la rf[13]) l'chelle de Planck. Cet tat quantique de la mtrique donne lieu une nouvelle

description algbrique non plus en termes de groupes classiques mais de groupes quantiques. Dans ce

sens, nous utilisons ici une application du rsultat gnral obtenu en [3] sous la forme du produit

bicrois cocyclique :

M (H) =Hop H


36/162

36

oHest une algbre de Hopf, un produit bicrois (i.e. un type spcial de produit crois, dfini

en rf[12]) et un 2-cocycle ou"twist" au sens de Drinfeld [33]. Cette construction est inspire par

l'ide d'unifier deux groupes quantiques diffrents au sein d'une structure algbrique unique. Le point

intressant est que les deux groupes quantiques impliqus sont relis dans l'qu.(35) par une relationde dualit, plus exactement de "semidualit", en un sens expliqu dans la rf[3]. Pour mettre en

vidence cette proprit qui fournit un cadre algbrique la dualit annonce entre mode physique et

mode topologique, nous proposons prsent de construire la semidualisation des donnes

correspondant

H A

La forme exacte de l'objet rsultant A* H a t conjecture dans [3] mais demeure non explicite

certains gards, malgr les progrs effectus dans [34]. Alors, en rapportant les conditions ci-dessus

aux lments de A* , nous avons :

Proposition 2.4.1 Leproduit bicroisH A admet la semidualisation suivante :

(i) Considrant deux bigbresXetH,Xest un H-module cogbrique gauche, i.e.

(h x) h(1) x(1) h(2 ) x(2 ) et (h x) (h) (x)

(ii) H est unX-module cogbrique cocyclique droite dans le sens nouveau :

(h x) h(1) x (1) h(2 ) x(2 ) et (h x) (h) (x)

(h(1) x(1) ) y(1) (h(2 ),x(2 ) ,y(2 ) ) (h(1),x(1),y(1))h(2 ) (x(2 )y(2 ) )

o

(h(1) x(1) ,y(1),z(1) ) (h(2 ) ,x(2 ),y(2 )z(2 ) ) (h(1) ,x(1),y(1)) (h(2 ),x(2 )y(2 ),z(2 ))

(h,1,x) (h,x,1) (h) (x)

(iii) les deux algbres de Hopf sontcompatibles dans le sens


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37

h 1 (h),1 1 x (x), (1,x,y) (x) (y)

et

(A) (h(1) ,x(1),y(1))h(2 ) (x(2 )y(2 ) ) h(1) x(1) (h(2 ) x(2 ) ) y

(B) (hg) x h (g(1) x(1) ) g(2 ) x (2 )

(C) h(2 ) x(2 ) h(1) x(1) h(1) x (1) h(2 ) x(2 )

(D) (hg,x,y) (h(1), g(1) x(1), (g(2 ) x(2 ) ) y(1) ) (g(3),x (3),y(2 ) )

Remarque Il rsulte de ces donnes l'existence d'un certain type de double produit crois cocyclique

de la forme

X H, dont la structure, d'abord conjecture dans [3], a t prcise dans [34]. A partir de (ii), il

est clair qu'il s'agt d'une forme de quasi-algbre de Hopf duale, o le produit serait associatifsous

conjugaison par une fonctionnelle construite partir de .

Dmonstration Pour raliser la semidualisation, l'on suppose que A est de dimension finie. Soit

X = A* . Les conditions rsultantes conservent leur signification pour tout X. Le fait que A soit un H-

module algbrique droite implique que X est un H-module cogbrique gauche, en accord avec

a h,x a,h x x A*

Ensuite, nous dfinissons sur H X X

(h,x,y) x y, (h)

et l'on peut vrifier que H devient un X-module cogbrique droite, comme annonc. L'action de X

est donne ici par la coaction de A selon :

h x x,h(1 ) h(2 ) h H


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38

Finalement, l'on parvient semidualiser les conditions de compatibilit (A) et (D). Concernant (B) et

(C), ils sont dualiss selon les formules de la rf [12] pour les produits bicroiss usuels (le cocycle

n'intervient pas). Pour (A), nous considrons x y pour obtenir

(h(1) ,x(1),y(1)) x(2 )y(2 ), a h(2 ) = x(1), a(1) h(1) y, a(2 ) (h(2 ) x(2 ) )

ou encore, en utilisant les dfinitions ci-dessus :

(h(1) ,x(1),y(1)) h(2) (x(2 )y(2 )), a h(1) x (1) ,a(1) (h(2 ) x(2 ) ) y, a(2 )

(h(1) x(1))(h(2 ) x (2 )) y, a

pour tout a A, qui est la condition (A)- nonce. De mme pour (D).

A prsent, appliquons la construction gnrale obtenue ci-dessus et considrons les structures

algbriques Lorentzienne et Euclidienne.Alors, nous suggrons la proposition suivante (voir la

prop(4.1) de la rf[1]) :

Proposition 2 .4.2Les algbres de HopfEuclidienne etLorentzienne sont relies par le produit

bicroiscocyclique de laforme Uq(so(4))op Uq(so(3, 1))

Preuve Considrant l'approche en termes d'algbres enveloppantes, partir de l'algbre de Hopf

Euclidienne H = Uq(so(4)), nous avons la dcomposition bien connue H = Uq(su(2)) Uq(su(2))

ainsi que l'algbre "oppose" Hop= Uq(su(2))op Uq(su(2))op, tandis que la forme Lorentzienne est

A = H = Uq(su(2)) Uq(su(2)) Uq(so(3, 1)). Comme expliqu en [3], le cocycle de

dformation est = 23 . Alors, l'action et la coaction sont :

(a b) (h g) h(1)aSh(2 ) g(1)bSg(2 )

(h g) (h(1) g(1)).(Sh(3 ) Sg(3 )) h(2 ) g(2 )

h(1)Sh(3 ) g(1)Sg(3 ) h(2 ) g(2 ) (36)


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39

o l'on retrouve la structure de produit tensoriel de l'action et de la coaction pour chaque copie

Uq(su(2)). D'autre part, la cocycle h,g Uq(su(2)) est :

(h g) (h(1) g(1) )(1

(1) )(Sh(4 ) Sg(4) )(1(1))

(h(2 ) g(2 ))((2 )

1)(Sh(3) Sg(3 ) )((2 )

1)

o le produit est en H = Uq(su(2)) Uq(su(2)). Ceci donne :

(h g) h(1)Sh(4 ) g(1)(1)

Sg(4 )(1)

h(2 )(2 )

Sh(3 )(2 )

g(2 )Sg(3 )

h(1)Sh( 4) g(1)(1)

Sg(2 )(1) h(2)

(2 )Sh(3 )

(2 ) 1 (37)

pour les structures explicites de produit bicrois. qed

Clairement, la prop.(2.4.1) prouve la possible "unification" ( l'chelle de Planck dans notre modle)

entre les algbres de Hopfq-Lorentzienne et q-Euclidienne.

Par ailleurs, le rsultat ci-dessus suggre un certain type de dualit entre les groupes quantiques

Lorentzien et Euclidien. Pour mettre en vidence cette dualit, l'tape suivante consiste montrer

l'existence d'une intressante relation de "semidualit" (propose dans le cas gnral par S. Majid

[12]) entre algbres de Hopf Lorentzienne et Euclidienne. Mieux, une telle dualit fournit unedescription de la transition entre le groupe quantique q-Euclidien et le groupe quantique q-Lorentzien

[3]. D'o la proposition :

Proposition 2.4.3 Le groupe quantique Euclidien Uq-1(su(2)) Uq(su(2))

Uq(su(2))op Uq(su(2)) est connectpar semidualit au groupe quantique Lorentzien Uq(su(2))

Uq(su(2))op* (Uq(su(2))).Alors, la semidualitrelie une version de Uq(so(4)) (Euclidien)

une version de Uq(so(3, 1)) (Lorentzien).

Il existe dans la rf. [3] une dmonstration complte de la prop. (2.4.2), base sur les proprits du

"double de Drinfeld" (Uq(su(2))). Alors, utilisant la construction en termes de cocycle M (H), nous

obtenons la relation :


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40

Uq(su(2)) Uq(su(2)) Uq(so(4))semidualisation

Uq(su(2))* Uq(su(2)) ~ Uq(so(3,1))

(38)

La "q-dformation" de l'algbre de Hopf q-Euclidienne vers l'algbre de Hopf q-Lorentzienne

correspond une transformation de dualit et induit l'existence d'un 2-cocycle de dformation. De

mme, le produit bicrois cocyclique

Uq(so(4)op Uq(so(3, 1)) (39)

dfinit implicitement la nouvelle transformation de (semi)dualit :

Uq(so(4))op Uq(so(3, 1)) Uq(so(4)) semidualisation SOq(3,1) Uq(so(4))op

o est construit partir de celui-ci tant driv de la structure quasitriangulaire de Uq(su(2)).

Naturellement, l'on peut galement semidualiser partir des autres facteurs pour construire certains

types de quasi-algbres de Hopf A H* , associ H A. Cette fois, la coaction cocyclique

de A sur H est dualise en une coaction cocyclique de A sur H* tandis que l'action de H sur A est

remplace par une coaction de H* sur A. La construction devient alors gnrale, de la forme A Y

(o Y joue le rle de H*). L'on obtient ainsi des exemples du type Uq(su(2)) Uq(su(2))* ,

Uq(so(3, 1)) SOq(4)cop etc., par semidualisation de cette forme. Ceux-ci sont duaux des

constructions prcdentes.

A prsent, une consquence intressante de ces rsultats concerne les proprits de dualit au niveau

de la q-dformation de l'espace-temps lui-mme. En effet, la lumire des constructions prcdentes,

l'on parvient l'importante observation qui suit concernant la transition de la mtrique q-Euclidienne

la mtrique q-Lorentzienne:


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41

Corollaire 3.4.4Pour q 1, la transition de la mtrique q-Euclidienne la mtrique q-Lorentzienne

au rayon unit est une dualitde * -algbre de Hopf Uq(su(2)) SUq(2).

Dmonstration Selon une construction introduite par Majid [12,13] et applique dans la rf[3], l'on

dcrit le q-espace-temps 3,1 par l'algbre tresse BMq(2), Mq(2) ayant une * - structure unitaire

correspondant SUq(2) (par * - structure, nous entendons "structures relles", au sens prcis dans

la rf[12]). Ici, BMq(2) admet une description en tant que matrices hermitiennes tresses. L'on crit

alors q3, 1 BMq(2). Par ailleurs, l'on note Mq(2) la structure algbrique rsultat du twist (au sens

de la rf[13]) de Mq(2). Enfin, il a t montr [3] que la - structure de q4 = Mq(2) est donne par

la * - structure unitaire de Mq(2) qui, au rayon = 1, donne le * - groupe quantique SUq(2),

construction duale de celle associe la * - algbre de Hopf Uq(su(2)). Explicitement, la -structure de q

4 Mq(2) esta b

c d

d q 1c

qb aet concide avec celle de la * - structure

unitaire de Mq(2) sur l'identification des deux espaces vectoriels. Or, Uq(su(2)) B(Uq(su(2))) en

tant que * - algbre sous transmutation [12]. Cette transformation, combine avec l'auto-dualit de ces

groupes de tresse, donne l'isomorphisme de * - algbre Uq(su(2)) BSUq(2) comme expliqu ci-

dessus. Il en rsulte (cf. [3]) que les structures naturelles de l'espace q-Euclidien q4

et celle du q-

Lorentzien q3, 1

, covariantes sous Uq(so(4)) et Uq(so(3, 1)) [32] sont relies comme suit :

Uq(su(2))

dualit de -algbres de HopfSU

q(2) ~

q4

/ 1

Transmutation q - changement de signature

BUq(su(2)) autodualit de groupes - tresssBSUq (2) = q

3, 1/ 1

(40)

et cette construction rend explicite le changement de signature comme quivalent une dualit de * -algbre de Hopf.

L'on remarquera que nous obtenons une relation de dualit entre les q-espaces q4 et q

3, 1comme une

sorte de T-dualit [27]. Cette interprtation est possible seulement lorsque q 1 - i.e. l'chelle de


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42

Planck -. L'on peut tendre ces rsultats, obtenus partir des groupes quantiques Lorentzien et

Euclidien, au groupe de q-Poincar

q3, 1 Uq (so (3 , 1))

~ (41)

vu, bien sr, comme dual du groupe de q-Poincar Euclidien

q4 Uq (so (4))

~ (42)

En revenant sur la remarque prcdente, la dualit d'algbre de Hopf a t rcemment relie la T-

dualit en thorie des supercordes par C.Klimcik et P.Sevara [36]. De telles dualits en termes de

groupes quantiques ont galement t proposes par S. Majid [13].

De manire intressante, les rsultats ci-dessus fournissent ainsi certaines indications sur l'origine

algbrique de la fluctuation de signature l'chelle de Planck, considre comme transformation de

dualit. Une remarque importante est que certains des isomorphismes ci-dessus sont valides seulement

lorsque q 1, i.e. en thorie non classique. Notons galement que la dualit d'algbres de Hopf au

niveau semi-classique est une dualit de bigbres de Lie et a t comprise physiquement comme une T-

dualit non ablienne pour des modles sur G, G* [36], de sorte que la dualit mise en vidence ici

est relie d'autres types de dualits en physique.

A prsent, appliquons les rsultats algbriques obtenus prcdemment dans un contexte plus

physique. En effet, la dualit entre les groupes quantiques Lorentzien et Euclidien peut tre tendue

une dualit entre secteur "physique" (Lorentzien) et secteur "topologique" (Euclidien) de la thorie.

D'o la proposition formule au (4.3) de l'article [1-A1] :

Proposition2.4.4Il existe, l'chelle de Planck, une symtrie de dualit entre l'anneau de

cohomologieBRST (secteurphysique de la thorie) et l'anneau de cohomologie de l'espace des

modules des instantons (secteurtopologique)

Ainsi, partant de la forme gnrique des groupes de cohomologie BRST(cf. rf. [22]), soit


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43

HBRST(g ) =

ker QBRST(g)

imQBRST(g 1) (43)

nous montrons la prop. (4.3) de (1-A1) que la thorie topologique ralise l'injection d'anneaux :

HBRST g 0 U

k HBRSTg

H mod(k)

i 0d

k H(i)

mod(k) (44)

l'qu. (44) fournissant un chemin injectifdu mode physique dans le mode topologique. En termes

d'observables O i et de cycles d'homologie Hi M mod dans l'espace des modules M mod des

configurations du type instantons gravitationnels [ (x)] sur les champs gravitationnels de la

thorie, nous relevons l'quivalence :

O 1O 2 ... O n #(H1 H2 ... Hn)

o le secteur physique de la thorie est dcrit par les observables O i et le secteur dual, de type

topologique, par les cycles d'homologie Hi M mod . L'oscillation de signature entre secteur

physique et secteur topologique est alors induite par la divergence Uk j d4x du courant-

fantme j [22]. Lorsque U = 0, comme il n'existe pas d'espace de plongement pour l'espace des

modules, nous suggrons que la thorie est alors projete dans la branche de Coulomb, l'origine

de M mod , sur un instanton singulier de taille 0 [37] que nous identifions l'espace-temps l'chelle

0. La thorie est ramifie sur le secteur purement topologique Hi , la signature correspondant ce

secteur tant Euclidienne (+ + + +).

2.5 Transition entre tat topologique et tat physique

Nous concluons cette section par une question importante : comment peut-on expliquer, d'un point de

vue cosmologique, la transition de l'tat topologique l'tat physique de l'espace-temps? Nous

suggrons une approche dans le cadre de la thorie KMS dans le (5.2) de l'article [1-A1]. Cette

approche est formalise dans la conjecture suivante :


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44

Conjecture 2.5.1 A l'chelle infrarouge Planck, la brisure de l'tatKMSdu (pr)espace-

temps induitle dcouplage entre le flottopologique et le flot physique de la thorie.

Rappelons que nous avons montr en [1-A1] que l'tat KMS du (pr)espace-temps l'chelle de

Planck induit de manire naturelle le couplage entre l'tat physique et l'tat topologique de la mtrique.

Par consquent, l'hypothse nouvelle dveloppe en [1-A1] est que la transition entre tat topologique

( l'chelle zro) et tat physique de l'espace-temps (au del de l'chelle de Planck) peut tre dcrite en

termes de brisure de l'tat KMS. Une telle approche est d'ailleurs renforce par le fait que la brisure

d'tat KMS au del de l'chelle de Planck pourrait elle-mme tre lie la brisure de supersymtrie

attendue la mme chelle. Cette importante relation est d'ailleurs annonce par les intressants

rsultats de Deredinger et Luchiesi dans la rf[20], rsultats que nous dtaillons au (5.2.1) de [1-

A1].

En fait, Derrendinger et Lucchesi ont clairement confirm l'existence d'une troite relation entre la

supersymtrie thermique et la condition KMS. Cette relation est ralise au niveau des coordonnes de

Grassman thermiques, en raison d'une condition d'(anti)priodicit dcrite par les quations (45) et

(46) :

(t i) (t) (45)

(t i) (t) (46)

Les auteurs ont prouv de manire convaincante qu'en l'absence de la corrlation supersymtrie/tat

KMS au niveau de la mtrique d'espace-temps, les bosons (priodiques) et les fermions

(antipriodiques) nepeuvent pasappartenir au mme multiplet de supersymtrie. A prsent, que se

passe-t-il au del de l'chelle de Planck, lorsque l'tat KMS est bris? Dans ce cas, un point X du

superespace est nouveau muni des coordonnes de Grassmann usuelles

X (x , , )


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45

Cette condition est quivalente la supersymtrie temprature nulle, pour laquelle les paramtres de

transformation (i.e. les Grassmanniennes and ) sont des constantes. Or prcisment, le rsultat

principal des rfs [20,21] tablit qu' temprature finie, il est impossible d'utiliser des paramtres

constants dans les rgles de transformations de supersymtrie. Les paramtres de supersymtriedoivent tre des variables dpendant du temps, (anti)priodiques en temps imaginaire. Ainsi, d'une

manire naturelle, les coordonnes thermiques Grassmanniennes X (x , ( t), ( t)) doivent tre

"translates" en temps imaginaire et sont par consquent soumises aux conditions

d'antipriodicit (t i) (t) et (t i)

(t) des qu.(45) et (46). Comme montr en

[1-A1], l'application de ces conditions implique que globalement, le systme espace-temps doit tre

soumis la condition KMS l'chelle de Planck. Cet important rsultat peut tre considr comme

une confirmation de la conjecture (5.5) propose en rf. [1-A1].

Nous concluons notre tude de l'chelle zro de l'espace-temps par la recherche d'une

possible amplitude topologique caractrisant l'chelle zro.


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46

CHAPITRE 3___

AMPLITUDE TOPOLOGIQUE

A L'ECHELLE ZERO

____

Nous avons suggr en [1-A1] que la Singularit Initiale de l'espace-temps, non rductible dans le

cadre habituel de la thorie quantique des champs, peut tre dcrite dans le cadre de la thorie

topologique des champs (voir section 2). De ce point de vue, l'chelle zro de l'espace-temps peut

tre identifie un instanton gravitationnel singulier de taille zro [3, 37]. Nous poussons ici l'une

des consquences de cette identification, relevant de l'existence d'une "amplitude topologique"

l'chelle zro de l'espace-temps.

3.1 Charge topologique de l'instanton singulier de taille zro

Nos principaux rsultats publis en [16-A4] suggrent que la gomtrie de l'instanton peut tre

identifie celle de la boule B4 dont le bord est la sphre S3. L'on peut alors montrer (voir encore

[16-A4]) que le bord de l'espace-temps peut tre identifi au bord S3 de l'instanton gravitationnel

singulier B4. Dans un tel contexte, l'chelle zro de l'espace-temps (i.e. la Singularit Initiale) peut

tre entirement caractrise par la charge topologique Qs de l'instanton gravitationnel singulier B4,

soit

QS d4xR R (47)

Par construction, Qs est un invariant topologique, indpendant de la taille de l'instanton et qui reste

donc dfini l'chelle = 0. De ce point de vue, la "propagation" (i.e. pseudo-dynamique


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47

Euclidienne au sens fix en ([16]) de la singularit initiale est induite par l'existence de l'amplitude

topologique associe Qs, dtectable sur le bord S3 de l'instanton gravitationnel muni de la topologie

B4. Les pseudo-observables sont ici interprtes comme cocycles sur l'espace des modules des

instantons et sont associes aux cyclesi

de la 4-varit B4(application de Donaldson). Considrant

un point X de B4, l'amplitude topologique assurant la propagation de la charge instantonique Qs

prend alors la forme:

O

S3. O X #(S

3,X) (48)

L'amplitude topologique de la thorie est donne par les pseudo-observables du membre de

gauche, tandis que le membre de droite dsigne le nombre d'intersections des i B4. La fonction

# (S3

,X) est nulle si le point X est situ hors de la sphre S3 et vaut 1 si X est l'intrieur de S3 (i.e.si X B4), cas o il existe une amplitude topologique.

3.2 Conjecture : origine topologique de l'interaction inertielle

A titre d'application nous conjecturons une approche nouvelle, selon laquelle linteraction inertielle

pourrait tre correctement dcrite dans le cadre de la thorie topologique des champs, propose par

Edward Witten en 1988 [2]. Plus prcisment, nous suggrons en rf. [16-A4] que le caractre non

local de la charge topologique Qs peut tre reli la nature non locale de l'interaction inertielle. Nous

conjecturons alors que cette proprit observable ne peut tre explique en thorie quantique des

champs mais pourrait trouver une solution dans le cadre de la thorie topologique des champs. En

effet, lvaluation de la contribution inertielle (ou potentiel inertiel) totale rsultant de la somme des

masses de lunivers, de la forme :

Uinertiel total =

GM

c2runivers 1 (49)

savre tre un invariant pour chaque masse locale. Or, la charge topologique de linstanton

gravitationnel singulier, de la forme


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48

Q1

32 2d

4xR R = 1 (50)

reprsente galement un invariant de type topologique. Lgalit entre la masse inertielle et la masse

gravitationnelle est ici explique en termes de quantification de la charge topologique de linstantongravitationnel singulier. Nous en tirons un modle de "pseudo-propagation" de l'amplitude

topologique Inttop, susceptible d'tre dcrite par les transformations conformes Conf (S3) de la

sphre S3(voir, par exemple la rf. [38] pour rappel). Conf (S3) peut tre dcrit par le groupe de

Mbius Mb(3) [38], dfini partir de l' inversion de S3. D' o :

Proposition 3.2.1 Pour toute similitude h Sim ( 3), l'application gnrale dfinissant la

charge topologique de l'instanton, i.e. : S3 S3 , dfiniepar(n) = n et = g-1 o h o g sur S3

n appartientau groupe de MbiusMb(3), groupe conforme de S3.

La prop. (3.2.1) a t tablie dans les rf.[3] et [16-A4].

L'on poursuit en suggrant dans la prop. (3.2.2) que Mb(3) est le groupe conforme Conf (S3) de

S3. Posons que Conf (S3) dcrit l'invariance d'chelle (i.e. invariance conforme) de la sphre

identifie ici, suivant l'inclusion S3 SL(2, C), l' espace physique, compactifi de 3.

Proposition 3.2.2Soit Mb (3) = Conf (S3). le rayon r 0 de S3 engendrant Sr 03

, et

Mb(3), alors Sr 03

appartient au faisceau (S3)de sphres S3. Rciproquement, une

bijection de S3 vrifiant cette proprit appartient Mb (3) . Le groupe Mb (3) prsente un

isomorphisme naturel avec PO( ) de la quadrique d'quation q x2

x52

i 1

4

.

La prop.(3.2.2) a t tablie en rf[3]. Dans un tel cadre, la principale conjecture de l'article ci-joint

en annexe A4 est alors que le fondement sur lequel repose le "principe de Mach" [39] (tout comme

l'interaction inertielle) ne doit pas tre considre comme classiquement "physique" mais relve de la

thorie topologique des champs. Nous tirons de notre approche cf. [16-A4], l'existence d'un

"principe de Mach topologique", explicit dans la conj. (3.2.3).


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49

Conjecture3.2.3Les amplitudes topologiques associes lapropagation de la charge topologique

de l'instanton gravitationnel singulierde taille zro correspondant la SingularitInitiale de l'espace-

temps dterminent le comportementinertiel des masses locales.

A titre d'illustration de la conjecture 3.2.3, nous considrons l'exprience du pendule de Foucault ,

qui ne peut trouver d'explication satisfaisante en mcanique classique ou relativiste [40]. Rappelons

que le problme essentiel consiste en l'invariance angulaire du plan d'oscillation de . Alors, le

"principe de Mach topologique" nonce que l'interaction entre et l'espace-temps global E au sens

de Mach est de type topologique - ce qui pourrait expliquer les proprits d'invariance globale du

systme form par la plan d'oscillation de et le reste de l'univers.

Finalement, les perspectives conjecturales introduites dans la rf [16-A4], confrent une certaine

pertinence la proposition de "principe de Mach topologique" et, plus gnralement, l'approche

topologique du problme de la singularit initiale. L'on peut esprer que cette approche prliminaire

permettra d'ouvrir des perspectives nouvelles sur l'origine de l'espace temps ainsi que sur plusieurs

autres questions non rsolues (notamment celles concernant la nature de l'interaction inertielle).


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CONCLUSION____

Nos principaux rsultats, travers notamment la thorie des groupes quantiques [12], les algbres

d'oprateurs et la gomtrie non commutative [10] et, enfin, la thorie topologique des champs [2]

suggrent l'existence d'une possible transition de phase concernant la mtrique de l'espace-temps

depuis l'chelle topologique zrojusqu' l'chelle physique (au del de l'chelle dent Planck). Ces

rsultats font suite ceux obtenus par G.Bogdanoffdans [3] concernant la fluctuation attendue de la

signature de la mtrique l'chelle de Planck.

A ce stade, nous rsumons nos rsultats les plus significatifs :

(i) la mtrique de l'espace-temps l'chelle zro peut tre considrecomme Euclidienne (++++) i.e.

topologique ;

(ii) la singularit initiale de l'espace-temps pourrait tre dcrite par identification un instanton

singulier de taille zro ;

(iii) partir de (i) et (ii), nous suggrons l'existence d'une symtrie de dualit (que nous appelons i -

dualit), entre tat physique (chelle de Planck) et tat topologique (chelle zro) de l'espace-temps.

Une telle symtrie dcoule directement de la condition KMS laquelle l'espace-temps devrait tre

soumis l'chelle de Planck.

Alors, la rsolution possible de la Singularit Initiale dans le cadre de la thorie topologique nous

amne envisager l'existence, avant l'chelle de Planck, d'une premire phase d'expansion purement

topologique du (pr)espace-temps, paramtre par la croissance de la dimension de l'espace des

modules dimM et dcrite par la "pseudo-dynamique" Euclidienne

(MTop0,1 )= e - H MTop

0,1e H


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Ainsi, la chane d'vnements susceptibles d'expliquer la transition depuis la phase topologique zro

jusqu' la phase physique de l'espace-temps (au del de l'chelle de Planck) pourrait prendre la forme

suivante :

En termes de C*-algbres, les transformations ci-dessus sont donnes par :

Flot physique

P 0

t(MPhys) eiHtMPhys e

Flot topologiqueT 0

(MTop0 ,1 ) e HMTop

0,1e

H

II +*

Flot KMS Q0 P

c(Mq) e

cHMq ecH

Enfin, nous tirons des rsultats de la prsente recherche l'existence de trois phases au cours de

l'expansion du (pr)espace-temps :

(i) - Echellezro (SingularitInitiale) : tattopologiquepur

(ii)- Echelle de Planck(tatKMS) : tattopologique + tatphysique

(iii)-Echelle classique (brisure de l'tatKMS) : tatphysique pur

L'existence de la phase (ii) de fluctuation de la signature de la mtrique de l'espace-temps l'chelle

de Planck a t tablie dans la rf.[3]. Les conclusions de [3] sont d'ailleurs renforces par les

approches rcentes de compactification 4D 3D de l'espace-temps l'chelle quantique (sur ce

point, voir par exemple la rf[41]. En effet, il est gnralement admis qu' haute temprature

(temprature de Planck) une thorie dynamique (i.e. la thorie des champs) perd un degr de libert

par rduction dimensi

Documents

Bogdanoff I. Etat Topologique De L’Espace-Temps A L’Echelle Zero