Modélisations de fonctions d’obsolescence et application aux

contrats de leasing financier

Daniel Justens – Christian Bihoyiki

HEFF/UER mathématiques appliquées

IREM de Bruxelles

Université de Liège

17 janvier 2006

Plan• Travail dans le contexte d’un exemple : le

matériel informatique. Etude de l’ évolution de ses performances

• « Loi de Moore », ses qualités et ses limites

• Modélisations

• Construction de fonctions d’obsolescence

• Application aux leasings financiers

Performances du matériel informatique

• La fameuse « Loi de Moore »

• 1965. Gordon Moore constate : le nombre de transistors sur une plaque de silicium double tous les ans depuis 5 ans.

• 1975. Fondateur d’Intel. Correction : le doublement n’a lieu que tous les deux ans.

• Qu’en est-il réellement ?

Tout le monde la reprend :

Quelques chiffres (www.cs.rpi.edu)Années nombre de ln(ni)

transistors1971 2300 7,74066441972 3500 8,16051821974 6000 8,69951471982 134000 11,80559511985 275000 12,52452641989 1200000 13,99783211993 3100000 14,94691271995 5500000 15,52025871997 7500000 15,83041361999 9500000 16,06680242000 42000000 17,55318022005 1000000000 20,7232658 (Sciences et vie octobre 2005)

Et la loi de Moore ?

Le dangeureux passage aux logarithmes

Que se passe-t-il sans la dernière observation?

Quant au modèle avec ...

Autre problème : la confrontation avec les lois de la physique

• On est passé de 2 300 transistors par puce en 1971 à 1 000 000 000 fin 2005 (octobre)

• Le retrécissement se heurte aux dimensions de la matière : les couches de matériaux isolants sont d’une épaisseur de l’ordre de 5 atomes.

• La physique macroscopique cesse d’être utilisable et on constate des fuites : chauffe.

• La vitesse de transmission de l’information est bornée.

Les solutions envisagées

• Nouveaux matériaux isolants

• Utiliser une gamme de transistors différents

• Utilisation de pinces pour serrer et détendre le silicium

• Remplacer le silicium

• Utiliser les nanotubes de carbone

• Utiliser l’électronique magnétique

Quousque tandem?

• La « loi de Moore » pourrait fêter ses 50 ans, mais après ?

• L’évolution passée et ses perspectives sont-elles mathématisables ?

• Comment ?

• Quelles sont les implications financières ?

Mesure objective de puissance : les MIPSJean Baudet (2004) : De la Machine au Système. Vuibert.

Une régression sans outlier

Régularité de la paramétrisation

Modélisation exponentielle

• Une première modélisation donne théoriquement et numériquement :

• On vérifie que :

e(2*0,3285) = 1,929

Modélisation de l’intensité des sauts temporels

• Considérons une suite de variables g1, g2, ... définies sur les réels positifs, équidistribuées et de fonction de répartition F. Notons :

Modélisation de la fréquence des sauts temporels

• On introduit un processus de Poisson de paramètre . La probabilité d’observer k sauts dans l’intervalle [0, t[ est donnée par :

• On note Tk le temps d’arrêt correspondant au ke saut.

Tendance du processus « saut cumulé »

• On définit alors :

• On montre que :

• On peut construire une semimartingale avec processus de compensation

Retour au processus « puissance »• On arrive au modèle théorique :

• Sur base des observations :

• Visualisons l’évolution de M(t) avant de traiter la tendance à la saturation

Le modèle prévisionnel

La tendance à la saturation

Paramétrisation

• La puissance initiale est donnée par le modèle exponentiel par hypothèse de continuité

• La puissance maximale doit être tirée des conditions techniques

• La vitesse de croissance peut s’obtenir en postulant la dérivabilité du processus

Illustration numérique

Numériquement :

Doublement tous les deux ans

Tendance à la saturation après 45 ans

Un modèle descriptif général.

Fonction d’obsolescence

• Dans notre cas particulier, on peut choisir :

Illustration du saut « pentium IV »

Passage au financier

• Définition du leasing :

Notations et mise en équation• On note L le loyer :

L = capital x barème locatif

cf : la notion de taux de chargement

• OA l’option d’achat en fin de contrat. L’équation d’équilibre est donc :

Taux de la transaction ?

• Dépend de l’exercice ou non de l’option d’achat.

• Comment modéliser cette option ?

• Le sous-jacent n’est pas une lognormale mais une Poisson

• Raisonnement différent de BS

Exercice de l’option ...• Soit un matériel acquis en t0 et pour lequel

l’option se place en t1

• L’option est exercée si la valeur résiduelle du matériel est supérieure à OA. Mathématiquement :

• Ou encore en termes d’obsolescence :

Résolution d’un exemple

• Soit le contrat réel suivant :

• Sans option, le TAEG vaut : 0,058

• Avec, il passe à : 0,068

Utilisation du processus « sauts cumulés »

• Sous notre modèle, la valeur de la fonction d’obsolescence après deux ans est :

• Et on peut le paramétriser en posant par exemple :

• mg = 5 et = 0,04.

Numériquement donc :

probabilité obsolescence

0 saut 0,923116346 0,481595783

1 saut 0,073849308 0,899691014

2 sauts 0,002953972 0,980590643

> 2 sauts 8,03736E-05 0,996244373

Et en guise de conclusion

• Intérêt des fonctions d’obsolescence du point de vue didactique, illustrateur en matière de modèles et financier

• Développement de modèles optionnels à sous-jacent non-lognormal

• Imagination des organismes financiers pour contourner la législation.

Merci de votre attention