MODES DE SCRUTINS ÉLECTORAUX, ALGORITHMES ET

COMPARAISON

• Congrès SBPMef août 2013

AUDERGHEM

• André STEF (Université de Lorraine)

APMEP Lorraine

Plan• 1. Scrutins plurinominaux• 2. Scrutin de liste

– Plus fort reste– Plus forte moyenne– Méthode d’Hondt– Méthode Imperiali

• 3. Exemple des Sénatoriales françaises• 4. Pouvoir électoral• 5. « Chute de l’Union soviétique »

Scrutin plurinominal

• Exemple: élections municipales en France, communes de moins de 3500 habitants

• Liste ou pas liste, on vote pour des noms, au maximum autant que de sièges à pourvoir

Scrutin plurinominal

• Ceux qui obtiennent la majorité absolue au premier tout sont élus (Quoique …)

• Les sièges non pourvus sont remis à un second vote (deuxième tour), ceux qui obtiennent le plus de voix sont alors élus (pas de majorité absolue requise)

Scrutin de liste

• Considérons un scrutin de liste (sans vote préférentiel) pour élire 7 représentants dont les suffrages exprimés pour chaque liste sont les suivants

liste 1 100

liste 2 25

liste 3 33

liste 4 18

Question: Attribuer les siège à chaque liste

Proportions

• Choix: le mode est la proportionnelle

• Cf code électoral français (source préfecture Nancy….)

Doc 1

Proportions• Lecture de la première partie du

document:• La majorité absolue (moitié +1): cette

conception rend problématique la recherche de majorité dans certaines situations

• Explication de la méthode par un exemple!• Le quotient: «  autant de fois une liste aura

obtenu, autant de fois un siège leur sera attribué »

Proportions• Prime en siège à la liste arrivée en tête:

Municipales (F) garantir une majorité pour diriger

• Absence de prime: la proportionnelle intégrale.

Proportions• «  autant de fois une liste aura obtenu, autant de fois un

siège leur sera attribué »

• C’est donc « grossièrement » une idée du nombre de suffrages pour obtenir un siège

• Quotient électoral= rapport du nombre de suffrages exprimés par le nombre de sièges à attribuer

• Pour l’exemple précédent 176 suffrages pour 7 sièges:

• QE=176/7=25,14…« suffrages par siège »

Proportions

QE=25,14 (« suffrages par siège »)

« Autant de fois les listes ont obtenu ce quotient, autant de fois un siège leur est attribué » (code électoral):

En math on calcule pour chaque liste i (suffrages Vi):

Proportions

QE=25,14 (« suffrages par siège »)

« Autant de fois les listes ont obtenu ce quotient, autant de fois un siège leur est attribué » (code électoral):

sièges

liste 1 100 3

liste 2 25 0

liste 3 33 1

liste 4 18 0

Somme 176 4

Et les 3 sièges restant ? Et avec une règle rigoureuse ?

Premier essai

Idée: regarder ce qui reste quand on a « utilisé » un certain nombre de fois le quotient (il restera alors 3 fois QE)

On attribue les 3 sièges restant aux 3 listes ayant les plus forts restes (V-n*QE)

V n V-n*QE

liste 1 100 3 24,57 +1

liste 2 25 0 25,00 +1

liste 3 33 1 7,86

liste 4 18 0 18,00 +1

Somme 176 4 75,4286

Premier essai

Cette méthode est appelée méthode de la proportionnelle avec la règle du plus fort reste

V n V-n*QE Total

liste 1 100 3 24,57 +1 4

liste 2 25 0 25,00 +1 1

liste 3 33 1 7,86 1

liste 4 18 0 18,00 +1 1

Somme 176 4 75,4286 7

Second essai

Le principe du plus fort reste a rompu l’idée de garder de bonnes proportions.

Nouvelle idée: attribuer les 3 sièges restants aux listes pour lesquelles la moyenne du nombre de suffrage par siège obtenu est la plus forte. On calcule pour chaque liste

qui donne la moyenne par siège d’une liste si on lui attribuait un siège supplémentaire

Second essai

On attribue ainsi un siège à chacune des liste ayant la plus forte moyenne: listes 1 et 2.

Mais il reste encore un siège à attribuer

Vi Ni Qi Ni’liste 1 100 3 25,00 4liste 2 25 0 25,00 1liste 3 33 1 16,50 1liste 4 18 0 18,00 0Vérifiez les voix des listes 176 4   6

Second essai

On recommence, en prenant désormais en compte les sièges déjà attribués ni’.

Les 7 sièges sont attribués.

Vi Ni’ Qi’ Ni’’

liste 1 100 4 20,00 5

liste 2 25 1 12,50 1

liste 3 33 1 16,50 1

liste 4 18 0 18,00 0

Vérifiez les voix des listes 176 6   7

Doc 2

Second essai

Cette méthode est appelée méthode de la proportionnelle avec la règle de la plus forte moyenne (méthode de Jefferson)

Plus fort reste

Plus forte

moyenne

liste 1 100 4 5

liste 2 25 1 1

liste 3 33 1 1

liste 4 18 1 0

Remarque: les méthodes donnent des résultats différents !

Troisième essai

La méthode de la plus forte moyenne vue précédemment respecte bien un idée de respect de « meilleure proportion ».

Cependant… cependant… l’algorithme est en deux parties distinctes …

Pourquoi ne pas appliquer ce principe de plus forte moyenne dès le premier siège à attribuer ?

Troisième essai

Le procédé est plus long (plus de colonnes)

    ni Qi ni Qi ni Qi ni Qi ni Qi ni Qi ni

liste 1 100 0 100 1 50 2 33,33 3 25 3 25 4 20 5

liste 2 25 0 25 0 25 0 25 0 25 0 25 1 12,5 1

liste 3 33 0 33 0 33 0 33 0 33 1 16,5 1 16,5 1

liste 4 18 0 18 0 18 0 18 0 18 0 18 0 18 0

Total    0 1 2 3 4 6 7

Troisième essai

S’agissant de repérer les plus fortes moyennes, on peut également réaliser un tableau de ces moyennes et prendre les 7 plus élevées (repérées en jaune)

    ni 1 2 3 4 5 6 ni

      Qi Qi Qi Qi Qi Qi

liste 1 100 0 100 50 33,333 25 20 16,7 5

liste 2 25 0 25 12,5 8,3333 6,25 5 4,17 1

liste 3 33 0 33 16,5 11 8,25 6,6 5,5 1

liste 4 18 0 18 9 6 4,5 3,6 3

Troisième essai

Cette dernière méthode est appelée méthode d’Hondt.

Remarque: les méthodes de Jefferson (méthode de la plus forte moyenne) et d’Hondt fournissent la même répartition!

Troisième essai: Commentaire

Les méthodes de Jefferson (méthode de la plus forte moyenne) et d’Hondt fournissent la même répartition!

On doit donc bien différencier:

- Méthode de répartition (plus forte moyenne ou plus fort reste) choix politique

- Algorithme pour obtenir cette répartition (Jefferson ou d’Hondt pour la méthode de la plus forte moyenne) choix matheux

Doc 3,4,5

Variante: méthode Imperiali

Comme pour la méthode d’Hondt, on calcule des rapports mais en utilisant des poids différents.

    ni 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 ni

      Qi Qi Qi Qi Qi Qi Qi  

liste 1 100 0 100 66,7 50 40 33,3 28,6 25 6

liste 2 25 0 25 16,7 12,5 10 8,33 7,14 6,25 0

liste 3 33 0 33 22 16,5 13,2 11 9,43 8,25 1

liste 4 18 0 18 12 9 7,2 6 5,14 4,5 0

Différences entre ces méthodes Qu’est-ce que cela change?

• En référence à la plus forte moyenne:- Méthode du plus fort reste: permet la

représentation des petites listes- Méthode Imperiali: favorise les plus

grosses listes (la moyenne baisse moins vite avec des poids plus faibles)

Différences entre ces méthodes Obtenir au moins un siège

• Données: n sièges à répartir, au moins deux listes, de suffrages en pourcentages Si ( Somme des Si = 1)

• Methode la plus forte moyenne: Si>1/(n+1)• Méthode du plus fort reste: Si>1/(2n)• Méthode Imperiali: Si>2/(n+3)

Le choix de la circonscription (1)

• Exemple: élections européennes en France:

• Mode de scrutin: proportionnelle intégrale à la règle de la plus forte moyenne et une liste doit obtenir au moins 5% des suffrages exprimés pour avoir droit à la répartition des sièges

• 87 sièges

Le choix de la circonscription (2)• Jusqu’en 1999:(87 députés) une

circonscription unique: La France : toute liste obtenant au moins 5% obtient des sièges (au moins 4 car QE<1/87 et 4QE< 0,05=5%

• A partir de 2004 (72 députés): 8 circonscriptions (dans chacune, un certain nombre de députés à élire, entre 3 et 13), dans chaque circonscription proportionnelle intégrale à la règle de la plus forte moyenne.

Le choix de la circonscription (3)• Qu’est-ce que cela change ?

• Indice: seul les deux plus grands partis étaient favorable à cette modification!

Sénatoriales françaises (1)• Les sénateurs sont élus par départements

en nombre variable (de 2 à …?).• Mode de scrutin (avant 1998):

- s’il y a moins de 3 sénateurs (sens large), scrutins uninominaux majoritaires à deux tours, pour chaque poste de sénateur (même collège)

- S’il y a au moins 4 sénateurs: scrutin de liste à la proportionnelle à la plus forte moyenne, sans panachage

Sénatoriales françaises (2)• Mode de scrutin (APRES 1998):

- s’il y a moins de 2 sénateurs (sens large), scrutins uninominaux majoritaires à deux tours, pour chaque poste de sénateur (même collège)

- S’il y a au moins 3 sénateurs: scrutin de liste à la proportionnelle à la plus forte moyenne, sans panachage

Sénatoriales françaises (3)• Mode de scrutin (APRES 2002):

- s’il y a moins de 3 sénateurs (sens large), scrutins uninominaux majoritaires à deux tours, pour chaque poste de sénateur (même collège)

- S’il y a au moins 4 sénateurs: scrutin de liste à la proportionnelle à la plus forte moyenne, sans panachage

Sénatoriales françaises (4)• Explications ?

• Regarder qui dirigeait le sénat• Regarder qui compose le collège électoral

pour les sénatoriales• Regarder les incidences de scrutins

uninominaux ou de liste à la proportionnelle intégrale

Scrutin de liste avec vote nominatif (Belgique)

• Cadre: scrutin de liste à la méthode de la proportionnelle (d’Hondt ou Imperiali) pour l’attribution des sièges par liste

• Les électeurs peuvent voter pour une liste entière ou seulement pour un ou plusieurs candidats d’une même liste

• Désignation des élus sur chaque liste: algorithme qui prend en compte les votes de listes (listes complètes) et les votes nominatifs (hors listes complètes)

Scrutin de liste avec vote nominatif (Belgique)

• Désignation des élus: DES MATHS!• Préliminaire: pour établir le nombre d’élus

par liste avec une méthode proportionnelle on additionne pour chaque liste le nombre de bulletins comportant la liste entière ou des membres de la liste (Chiffre électoral de la liste)

Scrutin de liste avec vote nominatif (Belgique)

• Pour chaque liste ( Ni élus), on calcule:– Suffrages utiles SUi=Chiffre électoral(i) X Ni– Chiffre d’éligibilité Cei=SUi / (Ni+1)

(c’est-à-dire Cei=Chiffre électoral X Ni/(Ni+1) )

-- Nombre des votes de liste

Vli= nombre de vote de liste(entière) X Ni /2

Scrutin de liste avec vote nominatif• Attribution des votes de liste: Les votes de

liste sont ajoutés aux suffrages nominatifs obtenus par le premier candidat de la liste, à concurrence de ce qui est nécessaire pour parfaire le chiffre d'éligibilité. L'excédent, s'il y en a, est attribué au 2ème candidat; et ainsi de suite, jusqu'à ce que tous les votes de liste aient été attribués.

Doc 6

Scrutin de liste avec vote nominatif• Sont alors élus dans la liste ceux qui ont

obtenu le chiffre d’éligibilité (en prenant les candidats dans l’ordre de la liste) puis, le cas échéant, ceux qui ont obtenu le plus de suffrages.

•

Scrutin de liste avec vote nominatif• CE que je comprends:

– Les têtes de listes restent « protégées »– Mais des candidats mal classés sur la liste

peuvent être très bien élus, s’il y a suffisamment d’élus sur la liste

– Mais un candidat avec un très bon score personnel (même supérieur au chiffre d’éligibilité) peut ne pas être élu.

Scrutin de liste avec vote nominatif• CE que je NE comprends PAS:

– le calcul du chiffre d’éligibilité (sens?)– La valeur du nombre de votes de liste (coef

½)– Il semble que ces valeurs évoluent au fil des

élections (ré équilibrage en 1999?)

Pouvoir électoral et vote proportionnel

• (d’après article de « Pour la science » février 1993 de Ian Stewart )

• Exemple: Un conseil intercommunal est composé de représentants de conseils municipaux:

Pouvoir électoral et vote proportionnel- représentants municipaux désignés en

conseil municipal selon un mode uninominal (élection un par un des représentants)

- Conséquence(?): tous les représentants d’une même commune votent de la même manière (opposition non représentée)

- Cela revient donc à considérer que chaque commune (ou maire) « possède » un certain nombre de voix lors des scrutins intercommunaux

Pouvoir électoral et vote proportionnel

    Exemple fictif: conseil de Votblockia

 Habitants (milliers) "VOIX"

LES MOUTONNIERES 300 10

BEAURICHARDS 260 9

LES BOUTS 200 7

SEXAPILE 81 3

BREUX D'HOUILLE 37 1

ILE VERRAT 22 1

Total   31

Votblockia Les majorités possibles sont déterminées

exclusivement par les votes des 3 communes possédant le plus de voix

  "VOIX" majorité majorité majorité

LES MOUTONNIERES 10 10 10  

BEAURICHARDS 9 9 9

LES BOUTS 7    7 7

SEXAPILE 3      

BREUX D'HOUILLE 1      

ILE VERRAT 1      

Total 31 19 17 16

Les votes des autres communes n’a pas d’importance concernant la décision finale !!

VotblockiaPour tout vote est exigée la majorité absolue

des membres, c’est-à-dire 16 voix

  "VOIX"

LES MOUTONNIERES 10

BEAURICHARDS 9

LES BOUTS 7

SEXAPILE 3

BREUX D'HOUILLE 1

ILE VERRAT 1

Total 31

Votblockia « Pouvoir de vote » des communes et donc

des habitants de Sexapile, Breux d’Houille, Ile de Verrat: Zéro

Question: comment « donner du pouvoir » à ces communes, donc à leurs habitants ?

 Habitants (milliers) "VOIX"

LES MOUTONNIERES 300 10

BEAURICHARDS 260 9

LES BOUTS 200 7

SEXAPILE 81 3

BREUX D'HOUILLE 37 1

ILE VERRAT 22 1

Total   31

Votblockia Solutions:

1) Redécouper les communes (pas facile, ce sont des communes)

2) Changer le nombre de voix de communes- Lesquelles ? (attention aux conséquences locales)

 Habitants (milliers) "VOIX"      

LES MOUTONNIERES 300 10      

BEAURICHARDS 260 9      

LES BOUTS 200 7      

SEXAPILE 81 3      

BREUX D'HOUILLE 37 1      

ILE VERRAT 22 1      

Total   31      

Votblockia Une solution (majorité 17 sur 33)

 

Habitants

(milliers)

"VOIX" modif majorité majorité majorité majorité majorité majorité

LES MOUTONNIERES 300 10 12 12 12       12BEAURICHARDS 260 9 9 9   9 9 9  LES BOUTS 200 7 7   7 7 7 7  SEXAPILE 81 3 3     3     3BREUX D'HOUILLE 37 1 1       1   1ILE VERRAT 22 1 1         1 1Total 900 31 33 21 19 19 17 17 17

Indice de Pouvoir Indice de pouvoir d’une commune: Nombre

de coalitions différentes où le vote de cette commune est décisif, c’est-à-dire que le seul changement de vote de la commune fait basculer le résultat

Cet indice, généralisé, permet de comparer les pouvoirs des citoyens ou des représentants

Exemple (calculé): indice du président des Etats-Unis= 40 fois celui d’un sénateur=175 fois celui d’un député

« Chute de l’Union soviétique »

• (d’après article de « Pour la science » 199.. De Ian Stewart ?)

• Expression d’une opinion minoritaire:– …minoritaire,– …dominée– …(semblant) inexistante (regarder les

résultats d’élections) – … jusqu’à ce que …

« Chute de l’Union soviétique »

Chef 1

soviet suprême 1 1 1

soviet local 1 1 1 1 1 0 1 1 1

secteur 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0

cellule 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1

Une structure pyramidale et un vote majoritaire

Doc 9

Références

- « Pour la science » février 1993 de Ian Stewart- « Pour la science » 199x de Ian Stewart? (la

chute de l’Union Soviétique)- Tangente HS 45 Math et politique- Code électoral français et « réponse aux

questions »- Wikipedia pour le système électoral belge- Résultats électoraux diffusés sur internet par le

ministère de l’Intérieur français