Les lois de conservation pour le modèle de Saint-Venant

à deux couches

Ricardo André Lopes Barros

1 septembre 2005

Laboratoire de Modélisation en Mécanique et Thermodynamique

Fac. des Sci. et Tech. de Saint-Jérôme

Les approches que l’on trouve dans la littérature

scientifique

Le théorème de Noether

L’analyse directe de la compatibilité d’un système sur-déterminé d’équations différentielles de 1er ordre.

L’existence de lois de conservation n’est pas déterminé par la symétrie du système d’équations différentielles. On n’a pas l’assurance que l’on peut trouver toutes les lois de conservation à partir du théoreme de Noether.

Pour un système qui est déjà sous forme conservative, l’analyse directe de compatibilité nous conduit à un système lineaire avec n(n-1)/2 équations différentielles de 2ème ordre.

Inconvénients de ces méthodes

en 1997, Lubin G. Vulkov détermine toutes les lois de conservation pour les équations d’Euler pour les fluides compressibles.

en 1999, le même auteur détermine toutes les lois de conservation pour les équations d’Euler pour les fluides incompressibles.

en 2002, I. T. Dimitrova détermine toutes les lois de conservation pour le système de Saint-Venant à une couche.

en 2002, P. Montgomery and T. Moodie déterminent toutes les lois de conservation multinomiales pour le système de Saint-Venant à deux couches.

Quelques remarques historiques

Le flux à deux couches

γ1 γ2et notent les densités de chaque fluideλ = γ2

γ1< 1on introduit le paramètre

(h1)t + div (h1u1) = 0

(h2)t + div (h2u2) = 0

D 1u1

D t+∇[g(h1 + λh2)] = 0

D 2u2

D t+∇[g(h1 + h2)] = 0

ρi = hiγi i = 1, 2pour

On introduit les variables définis par

Modèle physique

(ρ1)t + div (ρ1u1) = 0

(ρ2)t + div (ρ2u2) = 0

D 1u1

D t+∇

(∂W

∂ρ1

)= 0

D 2u2

D t+∇

(∂W

∂ρ2

)= 0

W (ρ1, ρ2) =g

2

(ρ21

γ1+ 2

ρ1ρ2

γ1+

ρ22

γ2

)où

et on réécrit le système comme

Ce système a été introduit par Gavrilyuk et al. Ils l’ont obtenu en modélisant un mélange homegène de deux fluides en utilisant une approche variationnelle.

Les 2 premières équations répresentent les lois de conservation de la masse pour chaque composant.

Les 2 dernières appelées équations pour la quantité du mouvement sont precisement les équations d’Euler-Lagrange pour le Lagrangien:

L =12ρ1|u1|2 +

12ρ2|u2|2 −W (ρ1, ρ2).

(ρ1)t + (ρ1u1)x = 0

(ρ2)t + (ρ2u2)x = 0

(u1)t +(

u21

2+ Wρ1

)x

= 0

(u2)t +(

u22

2+ Wρ2

)x

= 0

Le cas 1-d

Dans ce cas particulier, le système admet une forme conservative:

U =

ρ1

ρ2

u1

u2

, A =

u1 0 ρ1 00 u2 0 ρ2

W11 W12 u1 0W12 W22 0 u2

Ut + AUx = 0

On a le système quasi-linéaire

définit par:

où on représent les constantes Wρiρj Wijpar

On prouve que le système est strictement hyperbolique pour des petites vitesses relatives.

Nous allons démontrer que toutes les lois de conservation pour ce système sont obtenus comme combinaison linéaire des équations pour la:

Les lois de conservation pour ce système

conservation de masse et vitesse de chaque composant;

quantité totale de mouvement;

énergie totale.

La méthode utilisée

qui admet une forme conservative, on a le critère mathématique suivant:

D2ϕ · AϕUne entropie existe ssi symétrique.

Cela nous conduit à un système linéaire avecn(n-1)/2 équations différentielles de 2ème ordre.

Ut + AUx = 0

Pour un système

E(ρ1, ρ2, u1, u2) =12ρ1u

21 +

12ρ2u

22 + W (ρ1, ρ2)

On définit

comme l’énergie totale du système et on lui réécrit comme:

Notre cas particulier

(ρ1)t + (Eu1)x = 0

(ρ2)t + (Eu2)x = 0

(u1)t + (Eρ1)x = 0

(u2)t + (Eρ2)x = 0

P =

0 0 1 00 0 0 11 0 0 00 1 0 0

Comme conséquence de cette forme présentée, on a:

A = PD2E

Poù est définit par

On va voir comment cela nous permet d’établir une façon plus convenable de considerer le critère précédent pour la caractérisation des entropies.

En effet:

Si on écrit

X = PD2ϕ

on voit que le problème de trouver une entropie pour notre système est reduit au problème de trouver les solutions de l’équation

XA = AX. (1)

D2ϕ · A symetrique⇐⇒ (PD2ϕ)A = A(PD2ϕ)

Quelques remarques sur le problème de Frobenius

commutent avec une matrice constante donnée est connue comme le problème de Frobenius.

Le problème de trouver toutes les matrices X qui

CA = {X ∈Mn×n(R) : XA = AX}

On introduit l’espace vectoriel composé par les A CAcommutateurs de noté par et définit par

Quelques remarques sur le problème de Frobenius

commutent avec une matrice constante donnée est connue comme le problème de Frobenius.

Le problème de trouver toutes les matrices X qui

CA = {X ∈Mn×n(R) : XA = AX}

On introduit l’espace vectoriel composé par les A CAcommutateurs de noté par et définit par

Corollaire. Considerons A ∈ Mn×n(R). Si le polynomecaracteristique de A a n racines reels distinctes, alors CA =Vect

(I,A,A2, . . . , An−1

).

L’équation XA = AX et les entropies pour le système

On revient à notre problème et on voit que pour chaque U on a

X(U)A(U) = A(U)X(U)donc on peut conclure que

X(U) ∈ CA(U) = {X ∈M4×4(R) : XA(U) = A(U)X}.Comme le système est strictement hyperbolique pour les petites vitesses relatives, il y a un domaine où chaque matrice A(U) a toutes ses valeurs propresréelles et distinctes.

On peut donc appliquer le Corollaire au dessus, ce qui nous donne

dim CA(U) = 4, ∀U ∈ Ret son expression détérminée par

α0,α1,α2,α3Il y a donc des scalaires tels que

X(U) = α0I + α1A(U) + α2A2(U) + α3A

3(U).

CA(U) = Vect(I,A(U), A2(U), A3(U)

).

En conséquence, on peut établir la Proposition suivante pour les entropies:

Comme cela est valable pour toutes les valeurs Udu domaine d’hyperbolicité, on a:

Proposition. Pour chaque solution X de (1), ils existentdes fonctions α, β, γ et δ qui dependent de U , telles que

X = αI + βA + γA2 + δA3.

Proposition. Pour chaque entropie ϕ du systeme ils exis-tent des fonctions α, β, γ et δ qui dependent de U , tellesque

D2ϕ = αP + βPA + γPA2 + δPA3.

∂bij

∂vk=

∂bik

∂vj, ∀ i, j, k = 1, . . . , 4

où v1 = ρ1, v2 = ρ2, v3 = u1 v4 = u2.et

Une fois que B est symétrique, les conditions decompatibilité sont données par:

B = αP + βPA + γPA2 + δPA3.

α,β, γ, δPour des fonctions Uqui dépendent enBconsidérons la matrice définit par

α,β, γ, δCe qu’on se propose maintenant de faire c’est de déterminer pour quelles fonctions

devient une matrice Hessienne.B

b11 = βW11 + γ(2u1W11) + δ(3u21W11 + ρ1W

211 + ρ2W

212)

b12 = βW12 + γ(u1 + u2)W12 + δ(u21 + u1u2 + u2

2 + ρ1W11 + ρ2W22)W12

b13 = α + βu1 + γ(u21 + ρ1W11) + δ(3ρ1u1W11 + u3

1)

b14 = γ(ρ2W12) + δ(2ρ2u2 + ρ2u1)W12

b22 = βW22 + γ(2u2W22) + δ(3u22W22 + ρ1W

212 + ρ2W

222)

b23 = γ(ρ1W12) + δ(2ρ1u1 + ρ1u2)W12

b24 = α + βu2 + γ(u22 + ρ2W22) + δ(3ρ2u2W22 + u3

2)

b33 = βρ1 + γ(2ρ1u1) + δ(3ρ1u21 + ρ2

1W11)

b34 = δ(ρ1ρ2W12)

b44 = βρ2 + γ(2ρ2u2) + δ(3ρ2u22 + ρ2

2W22)

Les conditions de compatibilité sont données par le système linéaire

MY = 0,

Y = [αρ1 αρ2 αu1 αu2 βρ1 βρ2 βu1 βu2 γ γρ1 γρ2 γu1 γu2 δ δρ1 δρ2 δu1 δu2 ]T.

M Yoù 20× 18est une matrice de dimension etc’est le vecteur

On a utilisé le logiciel MATHEMATICA pour détérminer une base pour le noyau pour cette matrice. On a obtenu 4 vecteurs V1, V2, V3 V4etavec une caractéristique remarquable:

Les 9ème et 14ème composantes de ces vecteurs sont nulles !!!

Y = f1(U)V1 + f2(U)V2 + f3(U)V3 + f4(U)V4,

Comme toutes les solutions vérifient

On constate que ces composants correspondent aux variables γ δet .

f1, f2, f3, f4pour des fonctions scalaires on peutconclure:

BPour que soit une matrice Hessienne

il faut que γ = δ = 0.

A l’aide de cette information, on montre, en revenant aux conditions de compatibilité, que

α βet sont constants !

Pour trouver les entropies du système, il suffit de résoudre l’équation:

D2ϕ = αP + βD2E,

ϕ = αUTPU

2+ βE + c · U + const,

βαoù et sont constants.

coù représent un vecteur constant.

A l’aide de cette information, on montre, en revenant aux conditions de compatibilité, que

α βet sont constants !

Pour trouver les entropies du système, il suffit de résoudre l’équation:

D2ϕ = αP + βD2E,

βαoù et sont constants.

ϕ = α(ρ1u1 + ρ2u2) + βE + c1ρ1 + c2ρ2 + c3u1 + c4u2 + const.

Quelques remarques sur le problème de Frobenius

On présente une série de résultats qui seront ensuite appliqués.

Lemme. Soit A ∈Mn×n(R). Si le polynome minimal estegal au polynome caracteristique de A, alors les matricesI,A,A2, . . . , An−1 sont lineairement independantes.

commutent avec une matrice constante donnée est connue comme le problème de Frobenius.

Le problème de trouver toutes les matrices X qui

CA = {X ∈Mn×n(R) : XA = AX}

Si on introduit l’espace vectoriel composé par les A CAcommutateurs de noté par et définit par

le résultat suivant peut être trouvé sur le livre deV. Prasolov:

Theoreme. Soit m la dimension du space CA. Alors, lesconditions suivantes sont equivalentes:

a) m = n;

b) le polynome caracteristique de A est egal au polynomeminimal.

On présente comme conséquence presque immédiate les Corollaires suivants:

Corollaire. Dans le cas ou le polynome minimal estegal au polynome caracteristique de A, on a CA =Vect

(I,A,A2, . . . , An−1

).

Corollaire. Considerons A ∈ Mn×n(R). Si le polynomecaracteristique de A a n racines reels distinctes, alors CA =Vect

(I,A,A2, . . . , An−1

).

Fin