Modélisation et Identification du Comportement Dynamique

UNIVERSITE DE NANTES

FACULTE DES SCIENCES ET DES TECHNIQUES

EacuteCOLE DOCTORALE SCIENCES POUR LrsquoINGENIEUR

GEOSCIENCES ARCHITECTURE (SPIGA)

Anneacutee 2013

Modeacutelisation et Identification du Comportement Dynamique des Broches UGV agrave Montages de Roulements Preacutechargeacutes

THESE DE DOCTORAT

Discipline Sciences de lrsquoIngeacutenieur

Speacutecialiteacute Meacutecanique

Preacutesenteacutee et soutenue publiquement par

David NOEL

Le 25 octobre 2013 devant le jury ci-dessous

Preacutesident Pascal RAY Professeur des Universiteacutes IFMA

Rapporteurs Didier REMOND Professeur des Universiteacutes INSA de Lyon

Philippe LORONG Professeur des Universiteacutes Arts et Meacutetiers ParisTech

Examinateurs Benoicirct FURET Professeur des Universiteacutes Universiteacute - IUT de Nantes

Mathieu RITOU Maicirctre de Confeacuterences Universiteacute - IUT de Nantes

Seacutebastien LE LOCH Maicirctre de Confeacuterences Universiteacute - IUT de Nantes

Membre inviteacute Alain AUFFRET Directeur Technique de PRECISE France et Preacutesident de lAUTGV

Directeur de thegravese Benoicirct FURET

Encadrants Mathieu RITOU amp Seacutebastien LE LOCH

laquo La simpliciteacute est la sophistication suprecircme raquo

Leacuteonard de Vinci

Remerciements

Le doctorat preacutesenteacute par ce manuscrit a eacuteteacute effectueacute au sein de lrsquoInstitut de Rechercheen Communications et Cyberneacutetique de Nantes Pour commencer je souhaite remercierMichel Malabre directeur de lrsquoinstitut ainsi que lrsquoensemble des membres du laboratoireougrave les conditions et lrsquoambiance de travail ont eacuteteacute stimulantes et lrsquoaccueil chaleureux

Je remercie Benoicirct Furet directeur de cette thegravese pour sa confiance et pour avoir cau-tionneacute mes cheminements scientifiques qursquoil ait eacuteteacute question drsquousinage ou non Je lui suisreconnaissant drsquoavoir mis agrave disposition des moyens humains et mateacuteriels conseacutequentsneacutecessaires agrave lrsquoaccomplissement de ces travaux Je remercie Mathieu Ritou pour noseacutechanges reacuteguliers au cours de ces trois anneacutees Sa grande rigueur mrsquoa permis de pro-gresser consideacuterablement notamment gracircce agrave son expertise approfondie concernant lesessais expeacuterimentaux Mes remerciements sincegraveres vont aussi agrave Seacutebastien Le Loch quimrsquoa fait profiter de ses connaissances pointues pour tout ce qui touche la modeacutelisationet la simulation numeacuterique Avec efficaciteacute il a toujours su me remettre sur les railslorsque jrsquoen avais besoin

Je tiens agrave remercier les membres du jury Pascal Ray pour mrsquoavoir fait lrsquohonneur depreacutesider le jury Didier Remond et Philippe Lorong pour tout le temps qursquoils ont consacreacuteagrave rapporter ce manuscrit et pour avoir ameneacute un eacutechange scientifique fructueux Jeremercie en particulier Alain Auffrey pour avoir suivi nos travaux avec inteacuterecirct pendantces trois anneacutees et apporteacute sa vision agrave la fois complegravete et preacutecise du monde industrieldrsquoaujourdrsquohui

Mes remerciements vont aussi agrave mes collegravegues du deacutepartement SGM de lrsquoIUT de Nantesqui mrsquoont accueilli chaleureusement et qui mrsquoont rapidement accordeacute leur confiancepour faire mes premiers pas en enseignement Un merci tout particulier agrave DominiqueBrunelliegravere pour son aura toujours positive qui mrsquoa beaucoup encourageacute

Je tiens ensuite agrave exprimer ma reconnaissance aux membres de lrsquoeacutequipe MO2P pourles eacutechanges constructifs Merci aussi agrave ceux baseacutes agrave lrsquoIUT sans qui la concreacutetisationde ce travail nrsquoaurait pas pu se faire merci agrave David Cocircme Erwan Erwann Philippe

David NOEumlL v

Philippe Alexis Vincent Freacutedeacuteric Rozenn Samuel et Yannick

Merci bien sucircr aux amis doctorants de Centrale Raphaeumll Jad Kara Roland TouskiCoko Anthony Cocircme Zham JC Thibault Raphaeumll Pierre Maiumlteacute Romain et BorisAu-delagrave des eacutechanges scientifiques ces anneacutees seront aussi marqueacutees par le souvenir decoinches endiableacutees et drsquoune multitude de bons moments passeacutes en dehors A lrsquoensembledes amis nantais avec qui nous avons tisseacute des liens Fripouille Muriel Nicolas JulienRoselyne Ceacutecile et Marion Bien sucircr merci aux amis cachanais Cleacutement Geoffrey NicoMorgan Sylvie Mathieu et Valou pour la stimulation scientifique et les nombreusesreacuteflexions sur les choix drsquoorientation

Enfin je tiens agrave remercier tout speacutecialement Elodie pour son soutien et lrsquoeacutequilibre auquelelle contribue au quotidien Merci agrave mes fregraveres et sœurs et bien sucircr agrave mes parents etgrands-parents qui mrsquoont toujours pousseacute et encourageacute agrave me surpasser pour ce qui mepassionne je leur dois beaucoup

vi David NOEumlL

Table des matiegraveres

Table des matiegraveres vii

Table des figures xi

Liste des tableaux xvii

Nomenclature xix

Introduction geacuteneacuterale 1

1 Contexte industriel et eacutetat de lrsquoart 51 Contexte industriel 6

11 Fraisage UGV 612 Structure drsquoune eacutelectrobroche UGV de fraisage 8

2 Problegravemes de vibration en usinage 1521 Pheacutenomegravene de broutement 1522 Choix des conditions de coupe 1623 Limite de lrsquoapproche par sonnage de lrsquooutil 18

3 Modeacutelisation de lrsquoeacutelectrobroche 2031 Techniques de modeacutelisation de broche 2032 Modegraveles de roulements agrave billes agrave contact oblique 23

4 Conclusion 27

2 Modeacutelisation dynamique du roulement agrave billes agrave contact oblique 291 Observations expeacuterimentales 31

11 Deacuteflexion axiale 3112 Expansion radiale 32

2 Modegravele dynamique agrave 5 degreacutes de liberteacute 3421 Mise en eacutequation 3422 A propos des effets dynamiques 3923 Expansion radiale des bagues 46

David NOEumlL vii

24 Reacutesolution numeacuterique 483 Calcul de la matrice de raideur 51

31 Calcul numeacuterique par diffeacuterences finies 5132 Calcul analytique de la matrice de raideur 5233 Comparaison des meacutethodes de calcul 54

4 Analyse du comportement 5941 Compreacutehension pheacutenomeacutenologique 5942 Paramegravetres drsquoinfluence sur la raideur 6343 Impact de lrsquohypothegravese cineacutematique 65

3 Construction de modegraveles axiaux par recalages 691 Simulations et expeacuterimentations 71

11 Modegravele axial de broche 7112 Expeacuterimentations 7813 Principe de recalage et de la validation de modegravele 83

2 Construction du modegravele 8921 Buteacutee sur le roulement de preacutecharge 8922 Expansion radiale des bagues de roulement 9223 Reacutetreacutecissement axial centrifuge 9524 Hysteacutereacutesis en deacuteplacement 10125 Synthegravese 109

3 Validation de la meacutethodologie 11231 Protocole expeacuterimental 11232 Reacutesultats du recalage 113

4 Modegravele de comportement global de broche 1171 Protocole expeacuterimental 119

11 Choix des moyens expeacuterimentaux 11912 Deacuteveloppement de lrsquoexcitateur eacutelectromagneacutetique 12013 Essais avec lrsquoexcitateur 122

2 Elaboration du modegravele non-lineacuteaire de broche 12421 Choix preacuteliminaires 12422 Structure du modegravele non-lineacuteaire 12523 Calcul du modegravele de roulement 12524 Modegravele multicorps de la broche 12625 Modeacutelisation de la cage agrave billes 12826 Modeacutelisation des systegravemes de preacutecharges 130

3 Impact des hypothegraveses du modegravele de broche 13131 Essais radiaux quasi-statiques 13132 Observation du comportement expeacuterimental 133

viii David NOEumlL

33 Simulation du comportement quasi-statique 13434 Pourquoi un comportement radial lineacuteaire 13935 Comportement local 14336 Conclusion 146

4 Analyse du comportement vibratoire 14741 Essais expeacuterimentaux 14742 Modeacutelisation du comportement sous sollicitations sinusoiumldales 150

Conclusion geacuteneacuterale 161

Perspectives 163

Annexes A-11 Structure des broches eacutetudieacutees A-1

11 Fischer MFW 2310 A-112 Fischer MFW 2320 A-213 Fischer MFW 1709 A-2

2 Vulgarisation scientifique comportement de montages preacutechargeacutes A-33 Gestion automatique des simulations A-4

Bibliographie A-5

David NOEumlL ix

x David NOEumlL

Table des figures

11 Exemple drsquoeacutelectrobroche UGV [Fischer] 912 Trois principales technologies de guidage pour les broches 1113 Dispositifs de lubrification par meacutelange air-huile [SNFA 1997] 1214 Solutions drsquoeacutetancheacuteiteacute dynamique sans contact [SNFA 1997] 1315 Serrage du porte outil par attachement de type HSK 1416 Analyse qualitative du pheacutenomegravene de broutement 1517 Modegravele agrave 1 ddl du pheacutenomegravene de reacutegeacuteneacuteration de surface 1618 Scheacutema bloc repreacutesentant le pheacutenomegravene de broutement 1619 Diagramme de Lobes de stabiliteacute theacuteorique pour le cas drsquoun systegraveme agrave 1

ddl 17110 Meacutethode de [Schmitz et al 2004] pour la deacutetermination des lobes dyna-

miques 19111 Evolution des freacutequences avec la vitesse de rotation due agrave deux effets

dynamiques sur le rotor [Lin et al 2003] 22112 Deacuteplacement radial des bagues de roulements obtenu gracircce au modegravele

thermo-meacutecanique complet de la broche [Holkup et al 2010] 23113 Deux approches pour eacutelaborer le modegravele de roulement 24114 Reacutepartition des efforts sur la bague inteacuterieure suivant une hypothegravese de

reacutepartition continue 25

21 Mesure expeacuterimentale des deacuteplacements axiaux agrave lrsquoavant u et agrave lrsquoarriegravereup2 de la broche pendant un palier de cycle de chauffe agrave 24 000 trmin 31

22 Expansion radiale du nez de la broche pour un test de monteacutee en vitessede 0 agrave 30 000 trmin par paliers de 5 000 trmin durant 10 s 33

23 Positionnement du centre de la bille et des centres de courbure 3524 Positions du centre de la bille et des centres de courbure des bagues avant

et apregraves chargement 3625 Equilibre dynamique de la bille 3726 Mouvements principaux de la bille et effets dynamiques correspondants 40

David NOEumlL xi

Table des figures

27 Construction graphique de lrsquoaxe de rotation propre ωR et de lrsquoangle drsquoin-clinaison β en fonction de lrsquohypothegravese cineacutematique (controcircle par la bagueinteacuterieure irc controcircle par la bague exteacuterieure orc et theacuteorie hybride enconfiguration quelconque) 42

28 Exemple des zones de validiteacute de la theacuteorie de controcircle de Jones dans lecas drsquoun chargement axial pour le roulement SNFA VEX70 43

29 Construction geacuteomeacutetrique de lrsquoangle drsquoinclinaison β 44210 Hypothegraveses pour la modeacutelisation de lrsquoassemblage arbrebague inteacuterieure

par MMC [Noel et al 2012] 47211 Comparaison des modegraveles MMC et Elements Finis pour lrsquoextreacutemiteacute avant

de lrsquoarbre de la broche Fischer MFW2310 Position non deacuteformeacutee en mmet deacuteformeacutee amplifieacutee de 200 fois 47

212 Algorithme de Newton-Raphson deacuteveloppeacute pour la reacutesolution en deacuteplace-ment 50

213 Erreur relative effectueacutee sans la nouvelle meacutethode de calcul de la rai-deur axiale ∆K11 en fonction de la vitesse de rotation N pour le cas dechargement axial en consideacuterant plusieurs intensiteacutes de chargement Fx 56

214 Modegravele volumique du rotor de la broche Fischer MFW2320 57215 Evolution des angles de contact αi et αo en fonction de lrsquoeffort axial Fx

pour diffeacuterentes vitesses de rotation N 60216 Situations geacuteomeacutetriques agrave la limite du deacutecollement pour une vitesse de

rotation faible agrave gauche) et une vitesse eacuteleveacutee (agrave droite) 60217 Exemple drsquoabaque repreacutesentant le comportement dynamique axial du rou-

lement agrave billes pour diffeacuterentes valeurs de chargement axial Fx [N ] 61218 Profil de la pression p sur la zone de contact 62219 Pressions maximales au contact en fonction de la vitesse de rotation N

pour diffeacuterentes valeurs de chargement axial Fx [N ] 62220 Comparaison des comportements statique et dynamique avec et sans force

centrifuge et moment gyroscopique 63221 Evolution de la raideur du roulement en fonction de la vitesse de rotation

N pour diffeacuterentes charges axiales Fx (en newtons sur les eacutetiquettes) 64222 Raideur axiale du roulement axialement chargeacute agrave 1 220N en fonction de

la vitesse de rotation N pour les quatre hypothegraveses cineacutematiques 65223 Angle drsquoinclinaison β en fonction de la vitesse de rotation N pour chacune

des 4 hypothegraveses cineacutematiques 66224 Moment gyroscopique Mg en fonction de la vitesse de rotation N pour

chacune des 4 hypothegraveses cineacutematiques 66

31 Structure de la broche Fischer MFW2310 71

xii David NOEumlL

Table des figures

32 Modegravele de broche axial consideacuterant lrsquoarbre et le corps de broche rigides 7233 Efforts sur les paliers du montage dans le cas de preacutecharges rigides 7534 Comportement du montage dans le cas de preacutecharges rigides 7635 Montage agrave preacutecharges eacutelastiques 7736 Moyens expeacuterimentaux pour le chargement axial de la broche 7937 Reacutesultat expeacuterimental efforts appliqueacutes sur la broche lors des essais de

chargement 8038 Reacutesultat expeacuterimental deacuteplacements axiaux du rotor u et de la douille

arriegravere up2 en fonction de la vitesse de rotation N pour le rotor chargeacuteuniquement par son poids propre 81

39 Reacutesultat expeacuterimental deacuteplacement avant u en fonction de lrsquoeffort axialF pour diffeacuterentes vitesses de rotation N 82

310 Illustration du calcul de la fonction coucirct exemple du comportement encharge agrave 4 000 trmin 84

311 Mesure du rayon de courbure drsquoune portion de bague exteacuterieure 86312 Reacutesultats numeacuteriques et expeacuterimentaux apregraves la phase 1 de recalage 87313 Montage agrave preacutecharge eacutelastique avec une buteacutee sur le palier 2 90314 Reacutesultats numeacuteriques et expeacuterimentaux suite agrave la phase 2 de recalage 91315 Reacutesultats numeacuteriques et expeacuterimentaux suite agrave la phase 3 de recalage 95316 Conditions limites en deacuteplacement pour lrsquoeacutetude de lrsquoexpansion centrifuge

axiale par EF 96317 Deacuteplacements axiaux des centres des paliers uO2 et uO3 et de la face avant

uOfaducircs agrave lrsquoexpansion centrifuge du rotor 97

318 Expansion centrifuge du rotor agrave 24 000 trmin 97319 Reacutesultats numeacuteriques et expeacuterimentaux suite agrave la phase 4 de recalage 99320 Reacutesultats numeacuteriques et expeacuterimentaux suite agrave la phase 5 de recalage 100321 Reacutesultats numeacuteriques et expeacuterimentaux pour les vitesses de rotation in-

termeacutediaires 101322 Deacuteplacements mesureacutees expeacuterimentalement lors drsquoune phase complegravete de

chargementdeacutechargement axial de la broche 102323 Raideurs axiales agrave vide mesureacutees expeacuterimentalement pendant les phases

de charge et de deacutecharge 102324 Prise en compte du frottement sur le roulement c dans le modegravele axial de

broche 103325 Montage agrave preacutecharge eacutelastique avec une buteacutee et un frottement sur le

palier 2 durant plusieurs cycles de charge et de deacutecharge agrave N = 0 trmin 104326 Montage agrave preacutecharge eacutelastique avec une buteacutee et un frottement sur le

palier 2 pour diffeacuterentes vitesses de rotation 105327 Reacutesultats numeacuteriques et expeacuterimentaux suite agrave la phase 6 de recalage 106

David NOEumlL xiii

Table des figures

328 Plage de fonctionnement en preacutecharge avant rigide 107329 Variation drsquoeffort ∆F maximum applicable en suppleacutement de lrsquoeffort F

pour rester en preacutecharge avant rigide 108330 Dispositif expeacuterimental lors des essais de charge sur la broche MFW 1709 112331 Reacutesultats expeacuterimentaux et numeacuteriques du modegravele recaleacute de la broche

Fischer MFW1709 114

41 Structure de lrsquoexcitateur eacutelectromagneacutetique [Tlalolini et al 2013] 12242 Excitateur eacutelectromagneacutetique monteacute sur broche Fischer MFW2310 12343 Montage des capteurs agrave courant de Foucault pour les essais de sollicitation

avec lrsquoexcitateur eacutelectro-magneacutetique 12344 Modegravele non lineacuteaire global de broche sous Simulink 12645 Modegravele tridimensionnel du rotor 12746 Modegravele de la cage agrave billes 12847 Deacuteplacement radial de lrsquoarbre par rapport agrave lrsquoaleacutesage en fonction de lrsquoeffort

appliqueacute pour diffeacuterentes valeurs de serrage radial s de la cage (en microns)12948 Profil des courants I1 et I2 dans les bobines et de lrsquoeffort radial appliqueacute

agrave lrsquoarbre Foy lors de lrsquoessai de chargement quasi-statique 13149 Signaux des deacuteplacements obtenus apregraves filtrage pour les essais de solli-

citation quasi-statique agrave 4 000 16 000 et 22 000 trmin 132410 Deacuteplacements mesureacutes pendant les essais de sollicitation quasi-statique

apregraves extraction des effets thermiques 133411 Comportement expeacuterimental du rotor en flexion lors drsquoun essai de sollici-

tation quasi-statique radial pour plusieurs vitesses de rotation 133412 Raideur radiale en bout drsquooutil identifieacutee expeacuterimentalement 134413 Comportement radial de la broche sous sollicitations quasi-statique en

bout drsquoarbre 136414 Raideurs radiales de la broche simuleacutees pour les diffeacuterentes variantes drsquoin-

teacutegration du modegravele de roulement 137415 Ratio drsquoeffort axial Fx induit en fonction de lrsquoeffort radial Fy (roulement

1) 140416 Configurations particuliegraveres seacutelectionneacutees pour lrsquoeacutetude 141417 Observation du comportement radial du roulement suivant le moment de

reacuteaction de lrsquoarbre 142418 Configuration de flexion de lrsquoarbre 142419 Efforts locaux avec preacutecharge forte et vitesse de rotation nulle ((a) rotor

rigide et (b) rotor infiniment souple) 144420 Efforts locaux avec preacutecharge faible et vitesse de rotation nulle 144

xiv David NOEumlL

Table des figures

421 Comportement radial du roulement agrave deacuteversement bloqueacute pour diffeacuterentesvaleurs de preacutecharge 145

422 Efforts locaux avec preacutecharge faible et vitesse de rotation importante 145423 Exemple de sollicitation de sinus balayeacute de 0 agrave 10Hz pour un effort unitaire147424 Post-traitement des donneacutees en deacuteplacement mesureacutees apregraves passage dans

le domaine freacutequentiel 148425 FRF obtenues expeacuterimentalement avec lrsquoexcitateur eacutelectromagneacutetique (broche

en rotation) ainsi que la FRF obtenue par sonnage au marteau (brochechaude agrave lrsquoarrecirct) agrave partir du capteur inductif C1 placeacute dans lrsquoexcitateur 149

426 FRF obtenues expeacuterimentalement avec lrsquoexcitateur eacutelectromagneacutetique (brocheen rotation) ainsi que la FRF obtenue par sonnage au marteau (brochechaude agrave lrsquoarrecirct) agrave partir du capteur inductif C2 placeacute sur le corps debroche 149

427 Modes radiaux du rotor rigide agrave N = 0 trmin 152428 Diagramme de Campbell pour le rotor rigide et modegravele statique de rou-

lement 152429 Diagramme de Campbell pour le rotor rigide et modegravele dynamique de

roulement 153430 Diagramme de Campbell 3D du rotor rigide 154431 Modes de vibration du rotor souple agrave N = 0 trmin 155432 Diagramme de Campbell pour le rotor souple et le modegravele statique de

roulement 155433 Diagramme de Campbell pour le modegravele dynamique de roulement et du

rotor souple 156434 Simulation du comportement freacutequentiel de lrsquoarbre flexible avec effets

dynamiques dans les roulements de la broche MFW3210 157535 Structure de la broche Fischer 2310 A-1536 Structure de la broche Fischer MFW 2320 A-2537 Structure de la broche Fischer MFW 1709 A-2

David NOEumlL xv

Table des figures

xvi David NOEumlL

Liste des tableaux

21 Critegraveres de validiteacute pour la theacuteorie du controcircle et expressions de lrsquoangledrsquoinclinaison β associeacutees 43

22 Coefficients pour la reacutepartition du moment gyroscopique entre les deuxbagues de roulement 45

23 Meacutethode de calcul du modegravele de roulement 5424 Temps de calcul en fonction de la meacutethode de reacutesolution 5525 Influence de lrsquoerreur de raideur sur les freacutequences propres de la broche

MFW2320 58

31 Synthegravese du comportement geacuteneacuteral des systegravemes agrave preacutecharge rigide eteacutelastique 78

32 Paramegravetres recaleacutes lors de la phase 1 8733 Paramegravetres recaleacutes lors de la phase 2 9134 Paramegravetres recaleacutes lors de la phase 3 9435 Paramegravetres recaleacutes lors de la phase 4 9836 Paramegravetres recaleacutes lors de la phase 5 10037 Paramegravetres recaleacutes lors de la phase 6 10638 Reacutesultats des analyses de sensibiliteacute κ et des eacutetapes successives de reca-

lage ε quantifie lrsquoeacutecart moyen entre expeacuterimental et simulation Eqn (37)111

41 Raideurs et chutes de raideur radiale de la broche 13642 Synthegravese des reacutesultats de simulation sous sollicitations quasi-statiques

radiales 137

David NOEumlL xvii

Liste des tableaux

xviii David NOEumlL

Nomenclature

Majuscules

A1 A2 distances entre les centres de courbures des pistes des bagues pro-jeteacutees respectivement axialement et radialement

B = fi + fo minus 1BD distance entre centres de courbure des bagues sans charge ni vitesseD diamegravetre des billesE module de YoungFc effort centrifuge sur la billeK matrice de raideur du roulementKp raideur des ressorts de preacutechargeKxx = K(1 1) raideur axiale du roulementMg moment gyroscopique sur la billeN vitesse de rotation de broche [trmin]P effort de preacutechargeQ effort normal au contact de la bille sur la pistelt distance radiale de lrsquoaxe du roulement au centre de courbure de la

baguelti = 05dm + (fi minus 05)D cosαlto = 05dm minus (fi minus 05)D cosα

X1 X2 distance entre le centre de la bille et le centre de courbure de labague exteacuterieure projeteacutee respectivement axialement et radiale-ment

Minuscules

a b demis axes de lrsquoellipse de contactd = (δx δy δz θy θz)t deacuteplacement global de la bague inteacuterieure du

roulement (deacuteflexions et deacuteversements) d et f sont exprimeacutes aucentre de la bague inteacuterieure Oh

David NOEumlL xix

Nomenclature

dm diamegravetre primitif ou orbital du roulement(eθ er z) directions du repegravere cylindrique associeacute agrave la position de la billef = (Fx Fy FzMyMz)t effort global de lrsquoarbre sur la bague inteacute-

rieure (forces et moments) f et d sont exprimeacutes au centre de labague inteacuterieure Oh

f = rD ratio entre rayons de courbure baguebiller rayon de courbure de la gorge de roulement dans le plan contenant

lrsquoaxe du roulements valeur radiale drsquointerfeacuterence entre la bague inteacuterieure et lrsquoarbreu = (u up2 up1)t

u deacuteplacement axial de lrsquoarbreui uo deacuteplacements radiaux des centres de courbure des baguesup1 deacuteplacement axial de la bague exteacuterieure du palier 2up1l deacuteplacement limite du systegraveme de preacutecharge du palierup2 deacuteplacement axial de la douille arriegravere (palier 3)v = (X1 X2 δi δo) variables localesvd = (X1 X2 δi δo FcMg) variables locales dynamiquesx direction axialey z directions radialesz nombre de billes

Lettres grecques

α angle de contactαth coefficient de dilatation thermique [mm]β angle drsquoinclinaison entre axe du roulement et axe de rotation propre

de la billeγ = Ddm

δ deacuteplacement normal local de la bille par rapport agrave la bague∆uN = ui minus uo diffeacuterentiel drsquoexpansions radiales des bagues agrave la vitesse

ε erreur moyenne entre lrsquoexpeacuterimental et les simulations [microm]λ coefficient de reacutepartition du moment gyroscopique de la bille entre

les bagues du roulementν coefficient de poissonξ vecteur reacutesidu des eacutequations drsquoeacutequilibre Eqn (31)ρ masse volumique

xx David NOEumlL

Nomenclature

ψ angle de positionnement orbitale de la billeω freacutequence de rotation de lrsquoarbre [rads]ωm freacutequence de rotation de la cageωR freacutequence de rotation propre de la billeωroll freacutequence de roulement entre la bille et la bagueωspin freacutequence de rotation relative entre la bille et la bague suivant la

normale au contact

Indices

b billei bague inteacuterieure (inner ring en anglais)o bague exteacuterieure (outer ring en anglais)r bague (ring en anglais)irc inner race controlorc outer race control

Accronymes

ddl degreacutes de liberteacuteEF Eacuteleacutements FinisFRF Fonction de Reacuteponse en FreacutequenceNdm critegravere de criticiteacute de lrsquoapplication des roulements (produit de la

vitesse de rotation N et du diamegravetre orbital dm)MMC Meacutecanique des Milieux ContinusMOCN Machine Outil agrave Commande NumeacuteriqueUGV Usinage agrave Grandes Vitesses

David NOEumlL xxi

Nomenclature

xxii David NOEumlL

Introduction geacuteneacuterale

Pour relever les deacutefis du transport aeacuterien mondial les geacuteants de lrsquoaeacuteronautique se livrentagrave une concurrence feacuteroce Les enjeux eacuteconomiques sont colossaux A titre drsquoexempleen France ce secteur drsquoactiviteacute est un des principaux fers de lance de lrsquoindustrie etrepreacutesente des centaines de milliers drsquoemplois directs et indirects Il est caracteacuteriseacute par undynamisme eacuteconomique important qui srsquoillustre par de nombreuses start-up naissantessources intrinsegraveques drsquoinnovation et par des fonds importants alloueacutes agrave la recherchepublique

Reacutecemment la communication des constructeurs en termes drsquoinnovation srsquoest plutocirctconcentreacutee sur la consommation reacuteduite des nouveaux appareils Il nrsquoen reste pas moinsque le coucirct global de fabrication est la clef pour assurer la compeacutetitiviteacute Depuis lesanneacutees 80 la maicirctrise des coucircts srsquoest opeacutereacutee notamment gracircce agrave lrsquoutilisation massive destechniques drsquoUsinage Grandes Vitesses (UGV) Ces techniques permettent un gain sub-stantiel gracircce agrave une grande productiviteacute La transition vers lrsquoUGV a eacuteteacute rendue possiblegracircce notamment au deacuteveloppement drsquoeacutelectrobroches UGV de tregraves forte puissance et detregraves grande vitesse de rotation De nombreuses fonctions techniques sont assureacutees dansun encombrement restreint et confineacute Dans la pratique elles sont mises agrave rude eacutepreuveSuite agrave des incidents la tenue en service nrsquoest pas toujours agrave la hauteur des espeacuteranceset met agrave mal la rentabiliteacute globale des eacutequipements En particulier la dureacutee de vie desroulements agrave billes est reacuteduite ce qui impose des interruptions fortuites de productionpour cause de maintenance

Vus les enjeux eacuteconomiques industriels et chercheurs analysent les causes de tenueen service reacuteduite des broches Le projet collaboratif FUI UsinAE a mis notammenten lumiegravere lrsquoimportance de maicirctriser lrsquoexploitation des broches et la lubrification desroulements Lrsquoapproche SMMS (Smart Machining Methods and Systems) baseacutee surlrsquoinstrumentation du moyen de production a eacuteteacute mise en place Les travaux de thegravese deCocircme de Castelbajac [2012] ont permis de proposer de nouvelles meacutethodes de diagnosticdes broches UGV et drsquoameacutelioration continue des process Ils se sont appuyeacutes sur destechniques drsquoExtraction de Connaissances agrave partir de Donneacutees essentiellement agrave partir

David NOEumlL 1164

de mesures vibratoires dans la broche [Castelbajac et al 2013] Les causes de deacutegradationde la broche ont ainsi pu ecirctre identifieacutees Ces travaux ont souligneacute lrsquoimportance du choixde conditions drsquoexploitation adapteacutees

Les techniques industrielles drsquooptimisation des conditions de coupe sont essentiellementexpeacuterimentales et neacutegligent en geacuteneacuteral lrsquoimpact de la vitesse de rotation de la broche surson comportement Ceci est drsquoautant plus critique lorsqursquoil srsquoagit drsquousinage de piegraveces enalliage drsquoaluminium car les vitesses de broche sont alors tregraves eacuteleveacutees et les problegravemesvibratoires limitants Pour aller plus loin dans lrsquooptimisation du choix de conditions decoupe une prise en compte du comportement dynamique de lrsquoensemble outil-broche estindispensable la prise en compte de la piegravece peut aussi ecirctre importante mais ne serapas eacutetudieacutee ici car le cadre des travaux est lrsquousinage aeacuteronautique de piegraveces massivesde structures Cette optimisation des conditions opeacuteratoires passe neacutecessairement parun travail de modeacutelisation du comportement vibratoire de la broche et des eacutetapes derecalage avec des essais expeacuterimentaux speacutecifiques Le but de ces travaux de thegravese estalors de proposer un modegravele capable de repreacutesenter le comportement vibratoire reacuteel enrotation de la broche Naturellement une approche pheacutenomeacutenologique a eacuteteacute adopteacutee afinde choisir rigoureusement les effets physiques agrave inclure pour deacutecrire le comportementcomplexe et coupleacute de la broche en rotation Cette eacutetude se scinde en quatre chapitresinscrits dans la continuiteacute logique de construction du modegravele global de la broche

Le premier chapitre permet drsquoappreacutehender en deacutetail le contexte industriel de lrsquousinage depiegraveces structurelles aeacuteronautiques en alliage drsquoaluminium La constitution technologiqueet les nombreuses fonctions techniques assureacutees par les eacutelectrobroches UGV sont deacutecritesEnsuite les probleacutematiques de vibration en usinage sont expliciteacutees conjointement avecles techniques de modeacutelisation et de choix de conditions de coupe Les limites des tech-niques expeacuterimentales utiliseacutees dans lrsquoindustrie pour leur optimisation deacutemontrent alorstout lrsquointeacuterecirct drsquoune approche de modeacutelisation numeacuterique du comportement de lrsquooutil etde lrsquoeacutelectrobroche Les meacutethodes de la litteacuterature pour la modeacutelisation des roulementsagrave billes et du rotor sont alors eacutetudieacutees Le positionnement scientifique des travaux parrapport agrave la litteacuterature est alors effectueacute Le but de ces travaux de thegravese est de mettreen place le modegravele juste neacutecessaire pour deacutecrire le comportement global de la brochePour cela un effort particulier sera apporteacute agrave la compreacutehension pheacutenomeacutenologique ducomportement complexe de la broche et de son montage de roulements afin de faire deschoix justifieacutes en termes de modeacutelisation

Le deuxiegraveme chapitre porte exclusivement sur la constitution drsquoun modegravele dynamiqueagrave cinq degreacutes de liberteacute du roulement agrave billes Les eacutetapes de la modeacutelisation analy-tique sont deacutetailleacutees de maniegravere peacutedagogique Le modegravele est raffineacute pour prendre encompte la deacuteformation macroscopique des bagues Diffeacuterentes techniques drsquoobtention deces deacuteformations sont abordeacutees Une eacutetude fine est reacutealiseacutee sur lrsquoexpression du couple

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gyroscopique sur les billes via quatre hypothegraveses cineacutematiques diffeacuterentes concernantle fonctionnement du roulement Une nouvelle meacutethode de calcul analytique exacte dela matrice de raideur du roulement est alors proposeacutee pour chacune de ces hypothegravesesLes gains en termes de temps et preacutecision de calcul des raideurs ainsi que leur influencesur les freacutequences propres drsquoun rotor sont investigueacutes Le comportement global du roule-ment agrave hautes vitesses est analyseacute et expliqueacute gracircce au suivi de lrsquoeacutevolution des grandeurslocales (pressions et angles de contact etc)

Le troisiegraveme chapitre est constitueacute drsquoune eacutetude du montage de roulements preacutechargeacute dela broche dans le but drsquoidentifier les grandeurs descriptives neacutecessaires agrave la simulation deson comportement Pour cela une campagne drsquoessais est reacutealiseacutee gracircce agrave un dispositifde sollicitation speacutecialement deacuteveloppeacute pour appliquer des efforts axiaux bidirection-nels agrave lrsquoarbre de la broche quelle que soit sa vitesse de rotation Un modegravele analytiqueaxial de la broche avec rotor rigide est deacuteveloppeacute pour une broche agrave double systegravemede preacutecharge ce qui accroicirct la complexiteacute du fonctionnement Il est baseacute sur le modegravelede roulement eacutetabli au chapitre preacuteceacutedent Les comportements theacuteoriques de montagesagrave preacutecharge rigide et eacutelastique sont analyseacutes Ensuite par des phases successives deconstruction et de recalage du modegravele de nouveaux pheacutenomegravenes physiques neacutecessairessont identifieacutes et inclus dans le modegravele Une meacutethode de construction de modegravele parrecalage est enfin syntheacutetiseacutee et valideacutee sur une autre eacutelectrobroche UGV agrave simple preacute-charge En conclusion ce chapitre permettra non seulement lrsquoidentification des efforts depreacutecharge et raideurs de preacutecharge mais surtout une meilleure compreacutehension du fonc-tionnement complexe de lrsquoeacutelectrobroche gracircce agrave un deacutecouplage en plusieurs pheacutenomegravenesphysiques simples mais indispensables agrave sa description

La constitution du modegravele vibratoire de broche en trois dimensions est lrsquoobjectif duquatriegraveme chapitre Un modegravele temporel complet et non-lineacuteaire est mis au point in-cluant le modegravele de roulement dans la situation de preacutecharge reacuteelle preacuteceacutedemment iden-tifieacutee Le deacuteveloppement au sein du laboratoire drsquoun palier eacutelectromagneacutetique destineacute agravela sollicitation radiale de broches est deacutecrit Les essais de sollicitations quasi-statiquespermettent de valider lrsquoeacutevolution de la raideur radiale de la broche avec la vitesse de ro-tation Des simplifications du modegravele sont alors investigueacutees et analyseacutees par simulationsnumeacuteriques Pour finir les comportements vibratoires de la broche obtenus expeacuterimenta-lement et en simulation sont analyseacutes conjointement Lrsquoeacutevolution des freacutequences propreset des couplages avec la vitesse de rotation sera investigueacutee

Pour terminer le meacutemoire la conclusion apportera une synthegravese geacuteneacuterale sur lrsquoensembledu travail accompli et sur les diffeacuterentes approches ou moyens deacuteveloppeacutes Elle fourniraaussi des propositions pour la poursuite des travaux engageacutes ainsi que des perspectivesplus larges autour de la theacutematique du comportement dynamique outil-broche en UGV

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pitre1

Contexte industriel et eacutetat de lrsquoart

Sommaire1 Contexte industriel 6

4 Conclusion 27

IntroductionCe chapitre introductif a pour but drsquoinscrire nos travaux dans un contexte industriel defraisage UGV aeacuteronautique Les deacutefis actuels concernant lrsquousinage y sont recenseacutes Cechapitre montrera que cette thegravese se place dans la logique drsquooptimisation de process delrsquoeacutequipe de recherche MO2P du laboratoire IRCCyN et de nos partenaires industriels

Apregraves avoir preacutesenteacute la structure technologique geacuteneacuterale des broches UGV les probleacute-matiques de vibrations en usinage seront expliqueacutees simplement afin drsquoen faire ressortirles besoins de modeacutelisation de broche Les techniques actuelles de modeacutelisation dyna-mique de broche et de roulements agrave billes agrave contact oblique seront ensuite expliciteacutees

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1 Contexte industriel

Des reacutesultats usuels de comportement dynamique rotor seront alors observeacutes Enfinla derniegravere partie fera ressortir les points clef de lrsquoeacutetat lrsquoart et permettra drsquoeacutetablir laprobleacutematique geacuteneacuterale de la thegravese ainsi que les grands axes drsquoeacutetude

11 Fraisage UGV

LrsquoUsinage agrave Grande Vitesse (UGV) est un concept qui est apparu degraves les anneacutees 50Lrsquoideacutee nouvelle est drsquoaugmenter la vitesse de coupe de sorte agrave reacuteduire lrsquoeacuteleacutevation detempeacuterature due agrave la formation du copeau et drsquoaugmenter la vitesse de deacuteformationde la matiegravere afin de reacuteduire les efforts neacutecessaires En pratique lrsquoaugmentation de lavitesse de coupe se traduit par des grandes vitesses drsquoavance et de rotation drsquoougrave unamalgame qui est fait quelque fois agrave tort sur la deacutefinition de lrsquoUGV Il a fallu cependantattendre les anneacutees 80 pour voir naicirctre les premiegraveres reacutealisations physiques de machinescapables et le deacutebut des applications industrielles

LrsquoUGV permet un gain de productiviteacute et ainsi une diminution des coucircts Cependantle saut technologique a eacuteteacute important par rapport agrave lrsquousinage conventionnel et sa geacuteneacute-ralisation srsquoest effectueacutee progressivement La marge de deacuteploiement de lrsquoUGV est au-jourdrsquohui encore importante Cette technologie est utiliseacutee dans trois secteurs drsquoactiviteacuteprincipaux Les machines ont des speacutecificiteacutes propres agrave chacun de ces secteurs Dans lrsquoaeacuteronautique des piegraveces drsquoalliage drsquoaluminium de dimensions importantes

et de formes moyennement complexes sont usineacutees dans la masse neacutecessitant destaux drsquoenlegravevement de matiegravere tregraves importants Le cadencement est faible Les ma-chines sont de grandes dimensions et sont construites pour des vitesses drsquoavanceet des puissances tregraves eacuteleveacutees (High Power Milling) Les phases drsquoeacutebauche durentde longues heures avec de fortes puissances de coupe variables suivant les tra-jectoires Des broches de 40 agrave 70 kW et 24 minus 30 000 trmin sont geacuteneacuteralementutiliseacutees Dans lrsquoautomobile ougrave lrsquoon a besoin de cadences de production importantes les

piegraveces sont fabriqueacutees en grandes seacuteries Les machines sont soit standards etflexibles avec de nombreux changements drsquooutils soit speacutecifiques deacutedieacutees agrave uneopeacuteration particuliegravere sur une piegravece Dans tous les cas les opeacuterations drsquousinagesont tregraves courtes Il ne srsquoagit que de finition de piegraveces ayant deacutejagrave eacuteteacute preacuteformeacuteesen fonderie ou forgeage On compte un changement drsquooutil en moyenne toutesles 17 secondes Il srsquoagit geacuteneacuteralement de broches agrave vitesse de rotation moyenne(12minus 18 000 trmin) et de puissance de 15 agrave 20 kW

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CH 1 Contexte industriel et eacutetat de lrsquoart

Dans lrsquoindustrie de fabrication des outillages les moules et matrices de forme tregravescomplexes sont des productions unitaires les meacutetaux usineacutes sont tregraves durs lesbroches tournent moins vite mais avec des efforts plus importants En eacutebauchecrsquoest le deacutebit de matiegravere qui prime alors qursquoen finition crsquoest la qualiteacute de surfaceobtenue

Ainsi suivant le tour drsquohorizon ci-dessus on ne peut pas parler drsquoUGV mais des tech-niques UGV

Les techniques UGV eacutetant relativement reacutecentes les axes de recherche sont nombreuxet varieacutes avec des enjeux eacuteconomiques majeurs De nombreux chercheurs travaillent surla geacuteneacuteration de trajectoires sur le comportement de la coupe sur les caracteacuteristiquesdes mateacuteriaux usineacutes et aussi sur lrsquoenvironnement drsquousinage (lubrification etc) Ma-nufacturing 21 est un groupe de recherche franccedilais regroupant de nombreux chercheursdu domaine

Au sein de lrsquoIRCCyN lrsquoeacutequipe MO2P partie prenante de Manufacturing 21 travailleactivement sur les aspects comportement outilmatiegravere usinage des composites geacuteneacutera-tion de trajectoires usinage robotiseacute surveillance drsquousinage et Smart Machining Pources deux derniers aspects scientifiques les travaux partent de lrsquoinstrumentation des ma-chines de mesures en temps reacuteel de pheacutenomegravenes physiques ou thermiques mis en jeudurant lrsquousinage ainsi que du traitement speacutecifique des signaux pour la prise de deacutecisions

En plus de ces diffeacuterents aspects de recherche en UGV le comportement de la machineet de ses eacutequipements est un autre axe drsquoeacutetude principal En effet les machines UGV secaracteacuterisent par des dynamiques eacuteleveacutees avec des vibrations de lrsquoensemble outilbrochequi doivent ecirctre maicirctriseacutees La structure de la machine et son comportement sont diffeacute-rents de ceux des machines conventionnelles ce qui donne lieu agrave de nouvelles eacutetudes

Parmi les eacuteleacutements essentiels constituant les machines-outils (bacircti axes actionneurscontrocircleurs ) il en est un qui concentre toutes les attentions des constructeurs etdes exploitants de machines il srsquoagit de lrsquoeacutelectro-broche Ce dernier est lrsquoeacuteleacutement centraldu systegraveme usinant il est lrsquoeacuteleacutement de transformation de lrsquoeacutenergie eacutelectrique en eacutenergiemeacutecanique neacutecessaire agrave la coupe Malgreacute les diffeacuterences preacutesenteacutees preacuteceacutedemment entreles domaines industriels les broches restent le talon drsquoAchille des machines UGV pourdes raisons diffeacuterentes mais dans tous les secteurs de lrsquoUGV

Drsquoun point de vue comportement vibratoire en usinage et dureacutee de vie des broches ilest neacutecessaire de pouvoir maicirctriser complegravetement cet eacuteleacutement preacutepondeacuterant du systegravemeafin de pouvoir optimiser ses conditions drsquoexploitation tout en assurant la qualiteacute despiegraveces et la productiviteacute

La maicirctrise du comportement dynamique des broches passe par la connaissance pheacuteno-

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meacutenologique la modeacutelisation et lrsquoidentification de cet ensemble eacutelectromeacutecanique tour-nant Lrsquoobjectif de cette thegravese est donc pour le domaine aeacuteronautique de deacutevelopperles moyens permettant de rendre possible cette maicirctrise de lrsquoexploitation des brochesLes paragraphes suivants de ce chapitre aborderont donc la structure technologique desbroches UGV les probleacutematiques de vibration en usinage ainsi que la modeacutelisation duproceacutedeacute drsquousinage La conclusion de ce chapitre syntheacutetisera la probleacutematique et appor-tera les eacuteleacutements de compreacutehension du cheminement scientifique des chapitres suivantspour atteindre les objectifs fixeacutes pour cette thegravese

12 Structure drsquoune eacutelectrobroche UGV de fraisage

121 Structure geacuteneacuterale

La broche est lrsquoorgane terminal de la machine outil sur lequel est fixeacute lrsquooutil Elle rem-plit les fonctions principales de guidage et conversion drsquoeacutenergie Les broches UGV sedistinguent des broches conventionnelles Les caracteacuteristiques de grandes vitesses de ro-tation et de fortes puissances ont reacutevolutionneacute leurs structures Ces broches sont un reacuteelconcentreacute de technologie puisqursquoelles regroupent de nombreuses fonctions techniques(refroidissement guidage serrage de lrsquooutil etc) Par ailleurs leur implantation dansdes tecirctes 5 axes impose de fortes contraintes drsquoencombrement

La figure 11 montre un exemple de broche UGV Sa structure est identique agrave celle de labroche Fischer MFW 2310 (N = 24 000 trminminus1 et P = 70 kW ) actuellement utiliseacuteepar de nombreux constructeurs aeacuteronautiques Cette broche est la broche principalementretenue dans le cadre de ces travaux de thegravese Les solutions technologiques classique-ment adopteacutees par les constructeurs de broches sont expliqueacutees dans les paragraphes quisuivent avant drsquoaborder les techniques drsquooptimisation de conception de broche preacutesentesdans la litteacuterature

122 Le guidage en rotation

Il existe trois principales technologies pour le guidage en rotation de la broche lespaliers hydrodynamiques les paliers magneacutetiques et les paliers agrave roulements agrave billes(voir Fig 12)

Les paliers hydrodynamiques sont caracteacuteriseacutes pour leurs proprieacuteteacutes de grande rai-deur et de dureacutee de vie eacuteleveacutee Lrsquointeacutegration de cette technologie est complexe car ilfaut geacuterer la preacutesence du film drsquohuile A lrsquoheure actuelle ce type de broche est de petitepuissance (lt 5kW ) Lrsquoamortissement de ces broches est inteacuteressant et crsquoest pourquoi

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1Outilserreacute

2Outildesserreacute

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ttachementHSK

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11Collerettede

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14Ressortsde

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Fig 11 ndash Exemple drsquoeacutelectrobroche UGV [Fischer]

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elles sont utiliseacutees pour des travaux de rectification Certains prototypes existent pour defortes puissances mais la technologie nrsquoest pas encore au point pour lrsquoindustrialisation

Les paliers magneacutetiques ont lrsquoavantage drsquoatteindre des vitesses de rotation tregraves eacuteleveacutees(vitesse de 180 000 trminminus1 atteinte en laboratoire) et des raideurs tregraves importantesLrsquousure du guidage est en theacuteorie inexistant leur dureacutee de vie est tregraves grande (de lrsquoordrede 40 000h)

Des prototypes de broche reacutepondant aux besoins de lrsquoUGV aeacuteronautique ont eacuteteacute misau point dans les anneacutees 90 par la socieacuteteacute S2M par exemple Seulement lrsquoutilisation agravegrande eacutechelle de cette technologie nrsquoest pas encore agrave lrsquoordre du jour car elle repreacutesenteun saut technologique trop important En particulier lrsquointeacutegration sur une MOCN 5axes agrave tecircte rotative est probleacutematique pour une puissance de 70 kW agrave 24 000 trmin carlrsquoespace disponible est restreint pour le refroidissement notamment

Pour controcircler le guidage de lrsquoarbre un asservissement est neacutecessaire Ce type de gui-dage a un amortissement passif extrecircmement faible Ainsi pour obtenir un amortisse-ment neacutecessaire pour un usinage dynamiquement stable un amortissement actif doitecirctre ajouteacute Crsquoest une complexiteacute suppleacutementaire mais qui semble pouvoir apporter dessolutions aux problegravemes drsquoinstabiliteacute drsquousinage rencontreacutes avec drsquoautres technologies deguidage ([Knospe 2007] et reacutesultats du projet UsinAE) Les deux problegravemes eacutevoqueacutessont un frein au deacuteploiement industriel de cette technologie de guidage

Les paliers agrave roulements agrave billes sont en geacuteneacuteral primeacutes pour la relative simpliciteacutede leur inteacutegration Des roulements agrave contact oblique sont le plus souvent utiliseacutes car ilsne preacutesentent pas de meacutecanisme drsquoautodestruction ducirc agrave lrsquoeacutechauffement diffeacuterentiel entrelrsquoarbre et lrsquoaleacutesage (la vitesse implique de la chaleur qui implique de lrsquoexpansion radialequi implique plus drsquoefforts de friction qui implique drsquoavantage de chaleur etc) Ils sonten geacuteneacuteral preacutechargeacutes pour assurer une raideur importante et une dureacutee de vie maicirctriseacuteeCe type de guidage est de loin le plus reacutepandu Cette solution est adopteacutee pour la grandemajoriteacute des broches UGV [Abele et al 2010] et crsquoest pourquoi les travaux qui suiventconsidegraverent exclusivement ce type de technologie de guidage

Aujourdrsquohui la vitesse de rotation est limiteacutee agrave 40 000 trminminus1 pour des broches de fortepuissance et fait intervenir des roulements dits hybrides La probleacutematique de dureacutee devie des roulements est eacutepineuse [Castelbajac et al 2013] Ils constituent la partie sensibledes broches Compte tenu des vitesses de rotation et des sollicitations qui leurs sontappliqueacutees des roulements agrave billes speacuteciaux ont eacuteteacute mis au point par les roulementiersdans la fin des anneacutee 90 Ils ont la particulariteacute drsquoavoir des billes en ceacuteramique (le plussouvent Nitrure de Silicium Si3N4) mateacuteriau agrave masse volumique plus faible que lrsquoacier(ρ = 3 190 kgm3) Elles sont donc moins sujettes aux effets dynamiques Par ailleurselles srsquousent moins le frottement est plus faible qursquoavec des billes en acier Les pistes

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sont en acier 100Cr6 finies par un proceacutedeacute de galetage des bagues [SNFA 1997] Tous leseacuteleacutements du roulements sont assembleacutes par appairage total afin de garantir une qualiteacutegeacuteomeacutetrique optimale En conclusion crsquoest gracircce agrave lrsquoensemble de ces caracteacuteristiquesspeacuteciales que sont obtenus ces roulements de haute preacutecision Ainsi ces composants ontune tregraves bonne tenue en fatigue neacutecessaire agrave des vitesses de rotation eacuteleveacutees

Le critegravere Ndm (produit de la vitesse de rotation N en trmin par le diamegravetre de reacute-volution des billes dm en mm) caracteacuterise la criticiteacute de lrsquoapplication (agrave la maniegravere duproduit pV pour les coussinets) Pour des roulements agrave billes classiques les roulementssont utiliseacutes jusqursquoagrave 500 000Ndm Pour lrsquoUGV ce critegravere avoisine 2 500 000Ndm crsquoestune application tregraves critique avec de surcroit des sollicitations tregraves varieacutees Malgreacute lrsquoem-ploi de roulements de haute preacutecision le guidage se trouve aux limites des possibiliteacutestechnologiques actuelles

(a) Guidage radial par palierhydrodynamique

(b) Principe de guidage parpaliers magneacutetiques [S2M]

(c) Roulement hybride agravecontact oblique [SNFA]

Fig 12 ndash Trois principales technologies de guidage pour les broches

123 Lubrification

La lubrification est une fonction importante et critique pour une broche Le projet FUIUsinAE a montreacute qursquoune bonne maicirctrise de la lubrification permet de gagner en dureacuteede vie des roulements Elle permet en particulier de refroidir les paliers et drsquoeacuteviter lesmicro-grippages des eacuteleacutements roulants

Pour la plupart des broches UGV une lubrification par brouillard drsquohuile est utiliseacutee(aussi appeleacutee lubrification par meacutelange air-huile) Cette technologie consiste agrave injec-ter directement dans les roulements un meacutelange air-huile au moyen soit de gicleurs(Fig 13(a)) soit de deux orifices diameacutetralement opposeacutes situeacutes dans la bague exteacute-rieure (Fig 13(b))

La lubrification agrave la graisse est exclue compte tenu des vitesses de rotation car elle nepeut ecirctre appliqueacutee au delagrave de 1 000 000Ndm La preacutesence drsquohuile en abondance dansla broche engendrerait des pertes par frottement visqueux (donc eacutechauffement et pertede puissance) et perturberait le bon fonctionnement de la broche La quantiteacute drsquohuile

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(a) Lubrification par gicleurs (b) Direct Lubrification System (DLS)

Fig 13 ndash Dispositifs de lubrification par meacutelange air-huile [SNFA 1997]

injecteacutee est tregraves faible moins drsquoun centimegravetre cube drsquohuile par heure et par roulement estneacutecessaire Ce meacutelange air-huile garantit la preacutesence drsquoun film drsquohuile entre les eacuteleacutementsroulants gracircce agrave lrsquoutilisation une huile tregraves visqueuse [SNFA 1997]

De nombreuses publications montrent agrave quel point la lubrification est un eacuteleacutement clefpour le bon fonctionnement de la broche Par exemple Wu et Kung [2005] ont eacutetudieacutelrsquoinfluence de diffeacuterents paramegravetres sur la performance de la broche et sur son refroi-dissement (concentration drsquohuile du meacutelange longueur des tuyaux pression drsquoair etc)Serrato et al [2007] ont eacutetudieacute en particulier lrsquoinfluence de la viscositeacute de lrsquohuile sur lecomportement vibratoire

124 Eacutetancheacuteiteacute dynamique

Lrsquoisolement de lrsquointeacuterieur de la broche vis-agrave-vis de lrsquoexteacuterieur doit ecirctre effectueacute soigneu-sement La preacutesence drsquoimpureteacutes telles que du lubrifiant drsquousinage ou des particulesprovenant de la coupe serait deacutesastreuse pour la santeacute des roulements

Compte tenu des vitesses de rotation une eacutetancheacuteiteacute par obstacle (ex joint agrave legravevresjoint glace etc) est agrave eacutecarter car sa faible dureacutee de vie et les pertes meacutecaniques engen-dreacutees seraient probleacutematiques Comme le diffeacuterentiel de pression agrave eacutetancher est faible etque les vitesses sont tregraves importantes la solution est drsquoutiliser des passages eacutetroits (la-byrinthes) et de se servir de lrsquoeffet centrifuge pour repousser les liquides (deacuteflecteurs etrainures centrifuges) La solution technique utiliseacutee porte alors communeacutement le nom dejoint chicane Pour ameacuteliorer lrsquoefficaciteacute de lrsquoeacutetancheacuteiteacute une chambre de surpression drsquoairest ajouteacutee localement pregraves du joint chicane (appeleacutee aussi rideau drsquoair Fig 14(b)) Parailleurs dans le cas preacutesent la broche est placeacutee en surpression afin qursquoaucune particulene puisse y peacuteneacutetrer

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(a) Passages eacutetroits et deacuteflecteurs (b) Chambre de surpression

Fig 14 ndash Solutions drsquoeacutetancheacuteiteacute dynamique sans contact [SNFA 1997]

125 Motorisation

Lrsquoentraicircnement de la broche en rotation est assureacute par un moteur placeacute entre les deux pa-liers Crsquoest pourquoi le terme drsquoeacutelectrobroche est utiliseacute Cette technologie srsquoest imposeacuteeaujourdrsquohui sur la plupart des machines agrave commande numeacuterique Elle permet de sup-primer tous les composants de transmission classiques (engrenages pouliescourroiesetc) Ainsi les vibrations de la transmission sont supprimeacutees lrsquoeacutequilibrage de la brocheest ameacutelioreacute De plus le controcircle des acceacuteleacuterations angulaires de la broche est plus preacutecis[Lin et al 2003] Cependant lrsquoemplacement du rotor induit une inertie importante delrsquoaxe de la broche et une source de chaleur importante agrave lrsquointeacuterieure mecircme de la broche

Historiquement les moteurs asynchrones eacutequipent des eacutelectrobroches Cependant lesmoteurs synchrones ont des caracteacuteristiques dynamiques meilleures des pertes ther-miques moins importantes et un meilleur rapport poidspuissance Ils sont classique-ment utiliseacutes pour eacutequiper les diffeacuterents axes de la machine Ces moteurs synchroneseacutetaient jusqursquoagrave preacutesent limiteacutes par la coheacutesion de lrsquoaimant permanent du rotor Depuispeu un renforcement du rotor avec des mateacuteriaux composites bobineacutes (carbone) regravegle ceproblegraveme Par ailleurs de nouveaux variateurs plus puissants ont vu le jour permettantainsi drsquoexploiter le plein potentiel de ce type de moteurs Gracircce agrave ces avanceacutees reacutecentescertaines broches ont pu ecirctre eacutequipeacutees de ces moteurs synchrones (ex broche FischerMFW2320)

126 Refroidissement actif

Vu la puissance importante concentreacutee dans un volume reacuteduit un systegraveme de refroidis-sement actif est alors neacutecessaire Il est placeacute dans le corps de broche via un systegravemespiroiumldal De mecircme certaines broches sont munies de canaux de refroidissement au pluspregraves des roulements La tempeacuterature du fluide caloporteur est reacuteguleacutee Une surchauffede la broche peut lui ecirctre dommageable Ainsi par seacutecuriteacute plusieurs capteurs de tem-

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peacuterature (sondes reacutesistives) sont placeacutes aux endroits critiques roulements et stator

Comme le systegraveme de refroidissement est placeacute dans le corps de broche un diffeacuterentielde tempeacuterature important est creacuteeacute entre le rotor et le stator Le diffeacuterentiel drsquoexpansionthermique peut alors poser des problegravemes concernant la preacutecision topologique des opeacute-rations drsquousinage par exemple Ainsi pour des applications de moulistes il existe aussiun systegraveme de refroidissement actif de rotor [Walter 2005] Une autre solution consisteagrave utiliser un systegraveme de controcircle actif pour corriger en temps reacuteel le point piloteacute destrajectoires en fonction des deacuteplacements mesureacutes en nez de broche

127 Liaison avec le porte outil

En usinage UGV lrsquoattachement normaliseacute de type HSK est utiliseacute Il offre une bonnepreacutecision radiale et axiale pour des vitesses de rotation eacuteleveacutees ainsi qursquoune meilleureraideur que les attachements utiliseacutes en usinage conventionnel

La liaison avec le porte outil est reacutealiseacutee par un cocircneplan En pratique la partie coniquepasse environ 20 du couple et lrsquoappui plan 80

Fig 15 ndash Serrage du porte outil par attachement de type HSK

Le serrage est actionneacute par la tige de tirage axial (en bleue sur Fig 15) lieacutee agrave la noix (enorange) Cette noix deacuteplace les griffes drsquoaccrochages (en jaune) qui effectuent le maintienen position En fonctionnement le serrage augmente sous lrsquoeffet des forces centrifuges surles griffes Le tirage axial exerce des efforts de lrsquoordre de 20 kN suivant les applicationsCet effort est obtenu en geacuteneacuteral par un empilement de rondelles eacutelastiques ou par unressort Pour libeacuterer lrsquooutil une fois le rotor agrave lrsquoarrecirct un veacuterin double effet (numeacutero 18sur la vue en coup de la Fig 11) vient en contact de lrsquoextreacutemiteacute de la tige de serragepour eacutecraser lrsquoempilement de rondelles

Malgreacute lrsquoensemble des innovations techniques et technologiques apporteacutees au cours dutemps sur les broches UGV les probleacutematiques technico-eacuteconomiques lieacutees agrave leur exploi-tation industrielle nrsquoen reste pas moins drsquoactualiteacute [Muraru et al 2005]

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2 Problegravemes de vibration en usinageLes vibrations en usinage concentrent une grande partie des probleacutematiques Les vibra-tions srsquoobservent sur la piegravece par une surface usineacutee deacutegradeacutee En plus des problegravemes denon qualiteacute des piegraveces les conseacutequences pour la broche et les outils sont une usure preacutema-tureacutee induisant alors sur un surcoucirct de production lieacute agrave la maintenance Les vibrationsdoivent donc ecirctre maicirctriseacutees Les causes sont multiples et reacutesultent potentiellement denombreux pheacutenomegravenes mauvais eacutequilibrage de lrsquooutil dent casseacutee conditions de coupeinadapteacutees En particulier le broutement pheacutenomegravene drsquoauto-excitation de la coupe estun pheacutenomegravene crucial en UGV puisqursquoil limite le paramegravetre de deacutebit de copeaux

Remarque cette partie a fait lrsquoobjet drsquoun sujet de concours des Classes Preacuteparatoiresaux Grandes Ecoles pour lrsquoeacutepreuve des TIPE [Noel 2012a]

21 Pheacutenomegravene de broutement

Le pheacutenomegravene de broutement est aussi appeleacute pheacutenomegravene drsquoauto-reacutegeacuteneacuteration de sur-face Il reacutesulte drsquoune interaction entre la coupe et le comportement dynamique de lrsquoen-semble piegravece-outil-broche-machine En effet les harmoniques geacuteneacutereacutees par la coupe sontdu mecircme ordre de grandeur que les freacutequences propres de lrsquoensemble outil-broche drsquoougravelrsquointeraction Cette caracteacuteristique dynamique est drsquoailleurs aussi retenue comme deacutefini-tion de lrsquoUGV Dans les explications qui suivent une approche de vibration de lrsquoensembleoutil-broche est adopteacutee Une description similaire peut ecirctre effectueacutee concernant les vi-brations de la piegravece Pour comprendre le pheacutenomegravene il convient de consideacuterer le profilde la surface usineacutee drsquoun point de vue qualitatif agrave partir drsquoun problegraveme 1 ddl corres-pondant donc au tournage Fig 16 Les trois situations sont deacutetailleacutees dans lrsquoouvrage[Tournier et Coll 2010]

φ=180degφ=90deg

copeau

φ=0degpiegravece

Vc Vc Vc

preacuteceacutedente

Passe actuelle(a) (b) (c)

Fig 16 ndash Analyse qualitative du pheacutenomegravene de broutement

La situation (a) est stable et sans broutement car le profil usineacute se superpose au passage

David NOEumlL 15164

2 Problegravemes de vibration en usinage

de lrsquoarecircte preacuteceacutedente Les efforts drsquousinage sont constants Les situations (b) et (c)correspondent agrave des situations potentiellement instables les efforts sont non constantsvoir discontinus Ces deux derniegraveres situations sont des situations de broutement lasurface usineacutee est deacutegradeacutee et lrsquousinage geacutenegravere un bruit caracteacuteristique important Pourle fraisage la situation topologique est diffeacuterente puisque lrsquoeacutepaisseur du copeau varie avecla position angulaire de la dent Cependant la meacutethode est aussi baseacutee sur lrsquoobservationde lrsquoeacutepaisseur de matiegravere enleveacutee entre deux passes de dent conseacutecutives

22 Choix des conditions de coupe

A ce jour pour deacuteterminer les conditions de coupe dans lrsquoindustrie une approche expeacute-rimentale est favoriseacutee en utilisant la theacuteorie des lobes de stabiliteacute Lrsquoapproche consisteagrave consideacuterer le systegraveme usinant comme un systegraveme masse-ressort-amortisseur agrave un degreacutede liberteacute Ce type de modegravele a eacuteteacute initialement deacuteveloppeacute dans le cadre du tournage[Koenigsberger et Tlusty 1967 Merritt 1965 Tobias 1965] Le modegravele utiliseacute est preacutesenteacuteen Fig 17

y(t-T)

y(t) f(ty(t))

Fig 17 ndash Modegravele agrave 1 ddl du pheacutenomegravene de reacutegeacuteneacuteration de surface

La mise en eacutequation de ce problegraveme aboutit agrave un systegraveme boucleacute agrave retard dans ledomaine de Laplace avec le coefficient speacutecifique de coupe K la profondeur de passe apT la dureacutee seacuteparant le passage de deux dents conseacutecutives de lrsquooutil et Φ(p) la fonctionde transfert du systegraveme usinant [Altintas et Weck 2004]

+- Kap Φ(p)

H(p) Y(p)H0(p) F(p)

Fig 18 ndash Scheacutema bloc repreacutesentant le pheacutenomegravene de broutement

Lrsquoeacutetude de la stabiliteacute revient donc agrave eacutetudier les signes des pocircles de la fonction de trans-

16164 David NOEumlL

fert H(p)Ho(p) La profondeur de passe ap limite est alors exprimeacutee analytiquementpour chaque vitesse de rotation N de lrsquooutil [Altintas et Budak 1995] La repreacutesenta-tion graphique de la limite de stabiliteacute en fonction de la vitesse de rotation srsquoappelle lediagramme de lobes de stabiliteacute Il est traceacute ci-dessous pour lrsquoexemple drsquoun systegraveme agrave 1ddl

0 5 10 15 200

stable

instable instable

k=0k=1

Na0Na1Na2

N (103 trmin)

ap (mm)

Fig 19 ndash Diagramme de Lobes de stabiliteacute theacuteorique pour le cas drsquoun systegraveme agrave 1 ddl

Le diagramme de lobes distingue deux zones usinage stable et instable Pour maximiserle deacutebit copeau Q il faut agrave la fois maximiser la vitesse de rotation N et la profondeur depasse ap car il est directement proportionnel agrave ces deux paramegravetres Ainsi on preacutefegravererase placer dans la zone asymptotique correspondant aux vitesses Nak Ces vitesses derotation particuliegraveres sont analytiquement exprimeacutees par

Nak = 60f0

Z(k + 1) (11)

avec Z le nombre de dents de lrsquooutil k le numeacutero du lobe et f0 la freacutequence propredu systegraveme agrave 1 ddl Dans la pratique la freacutequence f0 est la freacutequence propre du modede flexion le plus souple de lrsquoensemble outil-broche mesureacutee gracircce agrave un essai drsquoimpactau marteau de choc Le travail agrave la vitesse de rotation Nak revient agrave exciter la broche agravesa freacutequence propre par une harmonique de la freacutequence de passage des dents (situation(a) de la Fig 16) Par ailleurs la profondeur de passe ap adopteacutee est aussi limiteacuteepar un niveau vibratoire global maximum fixeacute par le fabricant de broche par exempleVRMS lt 6mms

La meacutethode deacutecrite ci-dessus permet de trouver des conditions stables et productivesdans une grande partie des cas notamment dans le cas drsquooutils souples Dans le casdrsquooutils tregraves raides le risque de broutement est faible La vitesse de broche maximaleest en geacuteneacuteral choisie avec une profondeur de passe de sorte agrave ne pas deacutepasser le critegravere

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vibratoire fixeacute Le cas intermeacutediaire pose problegraveme Une solution alternative est drsquoutiliserla technique de balayage expeacuterimental en effectuant plusieurs passes agrave profondeur depasse progressive pour diffeacuterentes vitesses de rotation Cette meacutethode deacuteveloppeacutee parGreacutegoire Peigneacute agrave lrsquoIRCCyN permet drsquoobtenir les lobes reacuteels en incluant les limitationsdu niveau vibratoire global [Ritou et al 2008]

23 Limite de lrsquoapproche par sonnage de lrsquooutil

231 Premier mode de flexion

Lrsquoapproche par sonnage baseacutee uniquement sur la prise en compte du premier mode deflexion est insuffisante Il est possible de consideacuterer plusieurs modes deacutecoupleacutes et desuperposer plusieurs lobes la limite de stabiliteacute eacutetant la limite basse de lrsquounion de tousles lobes Pour gagner en preacutecision il est neacuteanmoins preacutefeacuterable de consideacuterer la fonctionde transfert complegravete et drsquoutiliser la meacutethode de calcul analytique iteacuterative deacutecrite dans[Altintas et Budak 1995]

232 Effets dynamiques

Une limite des plus gecircnantes du modegravele deacutecrit en partie 22 concerne la deacutependanceagrave la vitesse de rotation En effet le comportement de lrsquoensemble outil-broche eacutevolueagrave cause des effets dynamiques sur le rotor [Gagnol et al 2007a] et sur les billes desroulements [Cao et Altintas 2004a Schmitz et al 2004] Le comportement identifieacute parsonnage agrave lrsquoarrecirct de la broche nrsquoest donc pas suffisant La litteacuterature a montreacute des essaisdrsquoidentification par marteau de choc avec vitesse de rotation mais avec des vitessestrop faibles pour pouvoir identifier le comportement dynamique La deacutetermination de laprofondeur de passe limite a eacuteteacute adapteacutee par Schmitz et al [2004] Le principe de cettemeacutethode est illustreacute sur la Fig 110

18164 David NOEumlL

Lobes dynamiques

|Φ(iω)|

Fig 110 ndash Meacutethode de [Schmitz et al 2004] pour la deacutetermination des lobes dynamiques

Pour tracer les lobes dynamiques selon la meacutethode de Schmitz il est neacutecessaire drsquoeffec-tuer un processus iteacuteratif suivant la vitesse de rotation Pour chaque vitesse de rotationdiscregravete les lobes de stabiliteacute sont calculeacutes en consideacuterant le comportement dynamique agravela vitesse seacutelectionneacutee La valeur de ap correspondant agrave la vitesse de rotation est releveacuteeLe calcul est reacutepeacuteteacute pour diffeacuterentes vitesses de rotation Les lobes dynamiques sont alorscomposeacutes des valeurs de profondeur de passe obtenues aux vitesses correspondantes

233 Autres extensions

La meacutethode deacutecrite ci-dessus baseacutee sur une analyse freacutequentielle a des limites inheacuterentesau modegravele retenu Elle se base sur un critegravere de stabiliteacute de Nyquist et ne permet alorspas lrsquoeacutetude de la surface usineacutee Une alternative consiste agrave reacutealiser un modegravele temporel[Campomanes et Altintas 2003] Le modegravele temporel permet aussi de prendre en comptedes non-lineacuteariteacutes comme par exemple les non-lineacuteariteacutes des roulements ou encore dutalonnage

Dans le modegravele deacutecrit plus haut la piegravece est supposeacutee rigide Dans le cas particulier drsquousi-nage des voiles minces cette hypothegravese nrsquoest plus valide Une application industrielleclassique concerne le fraisage 5 axes des aubages de reacuteacteur drsquoavion Le comportementvibratoire de la piegravece est agrave prendre en compte Certains travaux vont jusqursquoagrave prendreen compte lrsquoeacutevolution de la topologie de la piegravece en cours drsquousinage de sorte agrave adaptersa raideur et sa masse [Assouline et al 2002]

David NOEumlL 19164

3 Modeacutelisation de lrsquoeacutelectrobroche

3 Modeacutelisation de lrsquoeacutelectrobrocheLes techniques de choix de conditions de coupe en UGV deacutecrites preacuteceacutedemment ontmontreacute que la connaissance du comportement dynamique de lrsquoensemble outil-broche estneacutecessaire Une approche purement expeacuterimentale (par sonnage de lrsquooutil) est insuffi-sante car elle se limite au comportement sans rotation crsquoest pourquoi cette partie dechapitre expose les techniques existantes de modeacutelisation de rotors et de roulements agravebilles agrave contact oblique des broches drsquousinage Le dernier paragraphe recensera les tra-vaux effectueacutes pour recaler les modegraveles numeacuteriques gracircce agrave des donneacutees expeacuterimentales

31 Techniques de modeacutelisation de broche

311 Modegravele meacutecanique du rotor

Modegravele discret

Pour lrsquoeacutetude dynamique classique drsquoun systegraveme les eacutequations de Lagrange traduisentla conservation de son eacutenergie meacutecanique Appliqueacutees de maniegravere geacuteneacuterique agrave un sys-tegraveme discret masses-ressorts-amortisseurs elles aboutissent agrave lrsquoeacutequation diffeacuterentielle dumouvement (12)

Mq + Cq + Kq = f(t) (12)

q eacutetant le vecteur des deacuteplacements geacuteneacuteraliseacutes contenant les composantes de po-sition et drsquoorientation des nœuds et M C et K respectivement les matrices de massedrsquoamortissement et de raideur du systegraveme

Modegravele par eacuteleacutements finis

La modeacutelisation drsquoune structure continue quelconque nrsquoest pas possible analytiquementAinsi une discreacutetisation est effectueacutee gracircce agrave la meacutethode des eacuteleacutements finis Les inconnuesdu problegraveme sont les deacuteplacements aux nœuds Ainsi les eacutequations aux deacuteriveacutees partiellessont eacutecrites localement et inteacutegreacutees analytiquement sur les eacuteleacutements gracircce agrave lrsquoemploi drsquounchamp de deacuteplacement simple sur lrsquoeacuteleacutement (fonctions de forme)

Modegravele speacutecifique rotor

La plupart des modegraveles deacuteveloppeacutes speacutecifiquement pour les broches sont baseacutes sur desmodegraveles EF de type poutre puisque les topologies de piegraveces de broche peuvent ecirctreapproximeacutees par des piegraveces de reacutevolution (principe du logiciel Rotorinsa par exemple)Comparativement agrave un modegravele par eacuteleacutements finis 3D le temps de calcul est reacuteduit

20164 David NOEumlL

Les premiegraveres modeacutelisations ont eacuteteacute baseacutees sur la theacuteorie drsquoEuler-Bernouilli pour leursimpliciteacute drsquoimpleacutementation Cependant les rapports diamegravetrelongueur des eacuteleacutements nepermettent pas de neacutegliger le cisaillement Ainsi les modegraveles actuels sont essentiellementbaseacutes sur la theacuteorie de Timoshenko qui integravegre ce dernier (comparaison des deux theacuteorieseffectueacutee dans [Nelson 1980])

Le modegravele discret associeacute permet alors drsquoaboutir sur le mecircme type drsquoeacutequations diffeacute-rentielles que lrsquoEqn (12) En y ajoutant speacutecifiquement les effets dus agrave la vitesse derotation du rotor lrsquoeacutequation du mouvement classiquement retenue devient lrsquoEqn (13)Les notations sont diffeacuterentes suivant les auteurs et le degreacute de complexification desmodegraveles mais le principe reste identique

Mq + (C + ωG)q + (Kt minus ω2Mω)q = f(t) (13)

avec q = (q1q2 middot middot middot qn)T pour qi = (uxi uyi uzi θxi θyi θzi)

et avec Mω la matrice drsquoassouplissement centrifuge et G la matrice des effets gyro-scopiques Kt est la matrice de raideur totale regroupant la raideur structurale du rotoret la raideur des roulements

Pour la reacutesolution de ce type drsquoeacutequation deux approches sont possibles approche mo-dale et approche temporelle Lrsquoapproche modale consiste agrave exprimer les efforts et lesinconnues en deacuteplacements avec une deacutecomposition de seacuteries entiegraveres de fonctions sinu-soiumldales Ainsi la reacutesolution aboutit agrave un problegraveme aux valeurs propres Les freacutequencespropres et les deacuteformeacutees associeacutees sont alors trouveacutees Puisque les matrices sont suppo-seacutees constantes pour cette eacutetape de calcul cette approche revient agrave une lineacutearisation dumodegravele Lrsquoavantage principal est le temps de calcul reacuteduit [Genta 1999]

La seconde approche dite approche temporelle revient agrave reacutesoudre agrave chaque pas de tempsles eacutequations du mouvement Elle permet lrsquoeacutetude des non-lineacuteariteacutes et des phases transi-toires Cette meacutethode est peu utiliseacutee puisqursquoelle requiert un temps de calcul conseacutequent

Reacutesultats classiques

Lrsquoeacutevolution des freacutequences propres agrave un grand inteacuterecirct pour simuler la stabiliteacute du fraisage(voir partie 22) La repreacutesentation des freacutequences en fonction de la vitesse de rotationest deacutenommeacutee diagramme de Campbell en dynamique du rotor La figue 111 montrelrsquoeacutevolution des freacutequences propres avec la vitesse de rotation modeacuteliseacutee dans [Lin et al2003] Lrsquoimpact de chaque effet dynamique sur le rotor y est pris en compte et observeacuteseacutepareacutement

David NOEumlL 21164

Fig 111 ndash Evolution des freacutequences avec la vitesse de rotation due agrave deux effets dynamiques surle rotor [Lin et al 2003]

Tout drsquoabord lrsquoassouplissement centrifuge est ducirc agrave lrsquoeacuteloignement de la matiegravere parrapport agrave lrsquoaxe de rotation reacutesultant de lrsquoeacutetat deacuteformeacute du rotor En effet lrsquoeffet centrifugea tendance agrave faire drsquoavantage fleacutechir le rotor deacuteformeacute Lrsquoimpact de lrsquoeffet gyroscopiquesrsquoobserve quant agrave lui par une seacuteparation en deux modes distincts la preacutecession directe(forward whirl en anglais) et la preacutecession inversereacutetrograde (backward whirl en anglais)La deacuteformeacutee en flexion est contenue dans un plan tournant soit dans le mecircme sens quele rotor pour la preacutecession directe soit dans un sens opposeacute pour la preacutecession indirecteLes modes sont alors symeacutetriquement deacutedoubleacutes par rapport agrave la freacutequence propre sansrotation

Extension des modegraveles

Certains auteurs ont eacutetendu la modeacutelisation du comportement vibratoire au-delagrave durotor monobloc Dans [Cao et Altintas 2007] le corps de broche est pris en compteLes assemblages avec la machine et entre rotor et le porte-outil sont aussi modeacuteliseacuteslocalement par des ressorts lineacuteaires de translation et de rotation Selon les reacutesultats desimulation la preacutecision est ainsi ameacutelioreacutee pour deacutetecter les conditions stables drsquousinage

Lrsquoinfluence du systegraveme de serrage a aussi eacuteteacute investigueacutee En particulier Smith et al[1999] ont montreacute expeacuterimentalement que lrsquoeffort de serrage au-delagrave drsquoaugmenter laraideur statique diminuait son amortissement Dans le cadre drsquoune eacutetude du compor-tement dynamique le systegraveme de serrage peut ecirctre pris en compte par un double rotor[Jiang et Zheng 2010] Gagnol et al [2007b] considegraverent le systegraveme de serrage en tantqursquoentiteacute geacuteomeacutetrique dont les proprieacuteteacutes de masse et de raideur sont identifieacutees expeacuteri-mentalement Une meacutethode plus simple consiste agrave consideacuterer uniquement le systegraveme deserrage en tant que masse additionnelle sans raideur [Rantatalo et al 2007]

22164 David NOEumlL

312 Modegravele thermo-meacutecanique

Pour des raisons de performance globale des MOCN UGV les constructeurs de brochesrsquoefforcent de maximiser le ratio puissanceencombrement de leurs produits Ainsi laprobleacutematique thermique est fondamentale si bien qursquoun systegraveme de refroidissementactif est neacutecessaire Les principales sources de chaleur dans lrsquoeacutelectrobroche sont les pertesdans le moteur la friction dans les roulements agrave billes et lrsquoeacutechauffement ducirc agrave la coupeLa connaissance des champs de tempeacuterature permet tout drsquoabord de dimensionner lelessystegravemes de refroidissement et de deacuteterminer lrsquoeacutevolution de la preacutecharge des roulementsdue agrave la tempeacuterature [Bossmanns et Tu 1999] En effet la connaissance des expansionsthermiques axiales du rotor est tregraves importante pour connaicirctre lrsquoeacutevolution de lrsquoeffort depreacutecharge des roulements puisqursquoil impacte directement le comportement dynamiquePour cela des modegraveles thermo-meacutecaniques complets ont eacuteteacute deacuteveloppeacutes [Holkup et al2010 Lin et al 2003] Dans de tels modegraveles lrsquoexpansion radiale des bagues de roulementspeut aussi ecirctre modeacuteliseacutee finement et servir de donneacutee drsquoentreacutee au modegravele de roulementagrave billes [Holkup et al 2010]

Fig 112 ndash Deacuteplacement radial des bagues de roulements obtenu gracircce au modegravele thermo-meacutecanique complet de la broche [Holkup et al 2010]

32 Modegraveles de roulements agrave billes agrave contact oblique

Dans le cadre de la construction du modegravele Eacuteleacutements Finis de rotor il est neacutecessaire dedeacutefinir les conditions limites Ces derniegraveres correspondent aux roulements agrave billes

David NOEumlL 23164

321 Objectif

Le but du modegravele de roulement est drsquoeacutetablir la Relation de Comportement (RdC) liantles efforts globaux appliqueacutes sur la bague inteacuterieure f aux deacuteplacements globaux de labague inteacuterieure d Des expressions simples ne prenant pas en compte la rotation duroulement ont eacuteteacute mises au point pour des cas particuliers de chargement purement axialou purement radial [Palmgren 1959] Ces expressions sont notamment reprises dans lescatalogues de roulementiers et sont utiliseacutees pour des calculs de preacutecharge par exemple

Pour ce qui concerne des modegraveles agrave plusieurs degreacutes de liberteacute il nrsquoy a pas de relationanalytique explicite Il est neacutecessaire de consideacuterer le comportement local du roulementcrsquoest-agrave-dire chacun des eacuteleacutements roulants Les relations de comportement local sont leplus souvent obtenues gracircce agrave la theacuteorie de Hertz puisqursquoelle a lrsquoavantage de fournir desexpressions analytiques [Hertz 1881] Une modeacutelisation par Eleacutements Finis du roulementest possible [Louf et Poss 2008] mais elle est geacuteneacuteralement eacutecarteacutee en raison du tempsde calcul trop important Pour mettre au point des modegraveles avec au moins deux degreacutesde liberteacute (ddl) il existe deux types de meacutethode la meacutethode dite analytique et cellenumeacuterique Ces meacutethodes sont reprises par la Fig 113 dans le cas du modegravele agrave 5 ddl(3 deacuteflexions et 2 deacuteversements)

Chargement global

f=(Fx Fy Fz My Mz )

Deacuteplacement global

d=(δx δy δz θy θz )

Efforts locaux

Deacuteplacements locaux

δi δo

Hypothegravese

sur la

reacutepartition

drsquoeffort

Hypothegravese de

deacuteplacement

de solide

rigide

Extraction du

mouvement

de corps

rigide

RdC globale

RdC locale

Meacutethode analytique

hypothegravese sur les efforts

Meacutethode numeacuterique

hypothegravese sur les

deacuteplacements

δ=KQ23

Fig 113 ndash Deux approches pour eacutelaborer le modegravele de roulement

322 Meacutethode analytique

La meacutethode analytique aussi appeleacutee meacutethode statique est baseacutee sur une hypothegravese dereacutepartition des efforts locaux appliqueacutes sur la bague inteacuterieure La figure 114 illustrela construction du modegravele agrave 2 ddl La reacutepartition drsquoeffort est exprimeacutee au moyen duparamegravetre de charge ε et des inteacutegrales de Sjovaumlll [Sjovall 1933] Les inteacutegrales permettentune expression continue des efforts (dessineacutes en rouge sur la Fig 114)

24164 David NOEumlL

cos αtQi

Bcos αtQmax

Fig 114 ndash Reacutepartition des efforts sur la bague inteacuterieure suivant une hypothegravese de reacutepartitioncontinue

Cette meacutethode a eacuteteacute populariseacutee par Palmgren [1959] avec un modegravele agrave 2 ddl Elle aeacuteteacute plus reacutecemment geacuteneacuteraliseacutee agrave 5 ddl par Houpert [1997] Finalement bien que cettemeacutethode preacutesente lrsquoavantage drsquoexprimer analytiquement les efforts globaux agrave partir desdeacuteplacements globaux elle est limiteacutee car elle ne permet pas de prendre en compte leseffets dynamiques sur les billes ce qui est reacutedhibitoire pour lrsquoeacutetude des broches UGV

323 Meacutethode numeacuterique

La meacutethode numeacuterique aussi appeleacutee meacutethode cineacutematique est baseacutee sur une hypothegravesede deacuteplacement de corps rigide de la bague inteacuterieure Elle a eacuteteacute mise point par Jones[1960] avec un modegravele agrave 5 ddl Lrsquoeacutequilibre de chacune des billes est exprimeacute analyti-quement mais il est ensuite reacutesolu numeacuteriquement Les efforts obtenus sur chacune desbilles sont simplement sommeacutes pour exprimer lrsquoeffort global sur la bague inteacuterieure f Leseffets dynamiques sur les billes agrave savoir lrsquoeffort centrifuge Fc et le moment gyroscopiqueMg sont introduits lors de lrsquoeacutequilibre de lrsquoeacuteleacutement roulant Pour cela des hypothegravesesfortes sont adopteacutees concernant la cineacutematique du roulement (pas de glissement agrave hautesvitesses entre la bille et la bague exteacuterieure) Les principales eacutetapes de construction dumodegravele sont deacutetailleacutees dans lrsquoouvrage de reacutefeacuterence [Harris et Kotzalas 2007a] pour lemodegravele agrave 3 ddl et [Cao et Altintas 2004b Jones 1960] pour le modegravele agrave 5 ddl

324 Matrice de raideur

Puisque le comportement du roulement est reacutegi par des lois de contact son comporte-ment est non-lineacuteaire Il est alors neacutecessaire de mettre au point des expressions lineacuteariseacuteesde la relation de comportement globale Cette matrice est indispensable pour contenir le

David NOEumlL 25164

temps de calcul de reacutesolutions numeacuteriques baseacutees sur le gradient Ces relations lineacuteariseacuteessont exprimeacutees au moyen drsquoune matrice Jacobienne plus communeacutement appeleacutee matricede raideur K Pour cela un calcul analytique est privileacutegieacute Les relations lineacuteariseacutees sontmises au point dans le cadre de la meacutethode analytique [Hernot et al 2000] et dans lecadre de la meacutethode numeacuterique [Cao et Altintas 2004b Jones 1960]

325 Inteacutegration du modegravele de roulement dans le modegravele de broche

Diffeacuterentes solutions existent pour inteacutegrer le modegravele de roulement dans le modegravele debroche modegravele lineacuteaire ou non-lineacuteaire deacutependance agrave la vitesse de rotation variation de la preacutecharge induite par la vitesse de rotation etou thermique

Dans [Gagnol et al 2007a] le comportement sans rotation et sous preacutecharge constantelineacuteariseacute est utiliseacute Dans [Rantatalo et al 2007] les valeurs des matrices de raideur desroulements sont preacutealablement calculeacutees pour une valeur de preacutecharge fixeacutee constante agravediffeacuterentes vitesses de rotation

La non-lineacuteariteacute radiale du roulement peut ecirctre inteacutegreacutee par des formules empiriques[Lin et al 2003] mais cette strateacutegie ne permet pas drsquoobtenir un modegravele agrave 5 ddl aveccouplage entre les ddl et la deacutependance agrave la vitesse de rotation La non-lineacuteariteacute dumodegravele complet de roulement peut ecirctre utiliseacutee Cao et Altintas [2004a] et Holkup et al[2010] calculent le comportement lineacuteariseacute des roulements agrave chaque pas de temps de lareacutesolution temporelle de lrsquoEqn (13)

Lrsquoutilisation du modegravele non-lineacuteaire est adapteacute pour lrsquoeacutetude de variation de preacutecharge in-duite par la thermique et la vitesse de rotation Ainsi Cao et al [2011] et Li et Shin [2004]analysent le comportement de diffeacuterentes strateacutegies de preacutecharge (rigide constante eacutelas-tique) et de diffeacuterentes configurations de roulements Cependant ces broches concerneacuteespar les travaux anteacuterieurs ont des systegravemes classiques agrave preacutecharge unique Aucune eacutetudenrsquoest recenseacutee sur le comportement du montage de roulement agrave deux systegravemes de preacute-charge comme celui preacutesenteacute par Fig 11

Drsquoautre part certains travaux font eacutetat drsquoune mise agrave jour de la topologie des baguesde roulements gracircce au modegravele thermo-meacutecanique [Holkup et al 2010] mais aucunemeacutethode simple nrsquoa eacuteteacute exposeacutee pour prendre en compte cette modification de topologiedans le modegravele de roulement

26164 David NOEumlL

4 ConclusionCe chapitre introductif a permis de deacutefinir le cadre industriel de lrsquousinage UGV de piegravecesstructurelles aeacuteronautiques en alliage drsquoaluminium et de deacutefinir les particulariteacutes de cesecteur vis-agrave-vis des broches utiliseacutees Les solutions technologiques inteacutegreacutees dans leseacutelectrobroches UGV ont eacuteteacute deacutetailleacutees Elles permettent de comprendre la complexiteacutede la structure ducirce au grand nombre de fonctions techniques agrave assurer Ensuite lesprobleacutematiques de vibrations en usinage ont eacuteteacute preacutesenteacutees au travers des techniques demodeacutelisation et de choix de conditions de coupe utiliseacutees dans lrsquoindustrie Les limitesintrinsegraveques de ces techniques montrent la neacutecessiteacute de modeacuteliser le comportement dy-namique de la broche Ainsi les meacutethodes de modeacutelisation des broches et de leurs rou-lements sont recenseacutees Les diffeacuterentes approches drsquointeacutegration du modegravele de roulementdans le modegravele de broche global sont enfin compareacutees

Le chapitre introductif a fait ressortir plusieurs limites actuelles Drsquoabord drsquoun pointde vue technique des moyens expeacuterimentaux sont indispensables pour valider et recalerles modegraveles deacuteveloppeacutes Des moyens speacutecifiques sont donc agrave concevoir pour solliciter labroche axialement et radialement avec rotation du rotor En particulier le comportementfreacutequentiel radial devra ecirctre mesureacute car crsquoest le reacutesultat final attendu pour exploiter lemodegravele complet de broche pour lrsquousinage

Lrsquoeacuteleacutement roulement agrave billes est sans eacutequivoque le point faible de lrsquoeacutelectrobroche pour lesapplications aeacuteronautiques En effet le critegravere Ndm est extrecircmement eacuteleveacute pour cetteapplication de broche UGV Il convient donc drsquoeacutetudier la validiteacute des modeacutelisationsclassiques des effets dynamiques dans le roulement et de les adapter si neacutecessaire pourles hauts Ndm Pour simuler le comportement global de la broche une modeacutelisation finede cet eacuteleacutement est donc indispensable Une attention particuliegravere sera donc porteacutee auxeffets dynamiques et aux hypothegraveses associeacutees Le modegravele analytique de roulement devrainteacutegrer les pheacutenomegravenes drsquoexpansion macroscopique des bagues jusque-lagrave uniquementinteacutegreacutes dans de rares modegraveles thermo-meacutecaniques complexes

La broche consideacutereacutee dans ces travaux est guideacutee par un montage de roulements agravedouble systegraveme de preacutecharge Lrsquoanalyse du comportement axial de ce type de montagecomplexe et coupleacute nrsquoa pas eacuteteacute eacutetudieacutee dans la litteacuterature Pour cela une analyse dufonctionnement des roulements seuls et des montages preacutechargeacutes doit ecirctre effectueacuteeLrsquoeacutevolution des raideurs sous les conditions drsquoexploitation reacuteelles permettra de choisirla strateacutegie drsquointeacutegration du modegravele de roulement dans le modegravele de broche

Enfin un dernier point essentiel concerne les paramegravetres de preacutecharge indispensables agravela modeacutelisation du montage de roulements Des modegraveles ont eacuteteacute deacuteveloppeacutes pour preacutedirelrsquoeacutevolution de la preacutecharge agrave cause de la thermique et de la vitesse de rotation dans

David NOEumlL 27164

4 Conclusion

les rares travaux ougrave lrsquoeffort de preacutecharge nrsquoest pas supposeacute constant En ce qui nousconcerne mecircme les valeurs nominales agrave froid fixeacutees par le constructeur ne sont pasconnues ce qui pose un obstacle suppleacutementaire Une deacutemarche scientifique baseacutee surdes reacutesultats expeacuterimentaux devra permettre drsquoidentifier preacuteciseacutement les valeurs de cesparamegravetres sous conditions reacuteelles de fonctionnement

De nombreux modegraveles complets sont deacuteveloppeacutes par les chercheurs mais sont trop lourdsagrave impleacutementer et recaler pertinemment pour lrsquoindustrie Il sera alors tregraves utile de deacutefinirquel est le juste degreacute de complexiteacute du modegravele pour repreacutesenter le comportement vi-bratoire de la broche en rotation notamment en ce qui concerne lrsquointeacutegration du modegravelede roulement Lrsquoideacutee est qursquoagrave terme des outils drsquoaide agrave la conception et au choix deconditions de coupe puissent ecirctre deacuteveloppeacutes sur la base des conclusions de ces travaux

28164 David NOEumlL

pitre2

Modeacutelisation dynamique duroulement agrave billes agrave contact oblique

Sommaire1 Observations expeacuterimentales 31

2 Modegravele dynamique agrave 5 degreacutes de liberteacute 3421 Mise en eacutequation 3422 A propos des effets dynamiques 3923 Expansion radiale des bagues 4624 Reacutesolution numeacuterique 48

3 Calcul de la matrice de raideur 5131 Calcul numeacuterique par diffeacuterences finies 5132 Calcul analytique de la matrice de raideur 5233 Comparaison des meacutethodes de calcul 54

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IntroductionComme preacutesenteacute dans le chapitre preacuteceacutedent afin de pouvoir mener une eacutetude complegravetedu comportement dynamique drsquoun rotor il est indispensable de mettre en place unmodegravele de roulement Il deacutefinit les conditions limites du modegravele du rotor Selon lrsquoeacutetat delrsquoart la vitesse de rotation joue un rocircle consideacuterable dans le comportement du roulementen particulier sur des applications preacutesentant unNdm important Ainsi en tant que choixpreacuteliminaire le modegravele de roulement baseacute sur la meacutethode numeacuterique est retenu puisqursquoilpermet de prendre en compte les effets dynamiques propres au roulement (discussion enpartie 32 du Chapitre I)

Le modegravele de roulement doit mettre en place la relation de comportement non-lineacuteaireentre les deacuteplacements relatifs de la bague inteacuterieure et les efforts qui lui sont appliqueacutesA partir de cette relation le calcul du comportement lineacuteariseacute sera aussi utile En effetun modegravele agrave 5 degreacutes de liberteacute est neacutecessaire pour lrsquoeacutetude 3D du rotor

La premiegravere partie vise agrave deacuteterminer les pheacutenomegravenes physiques intervenant dans lecomportement du roulement de sorte agrave cerner le type de modegravele qui doit ecirctre deacuteveloppeacutePour cela les reacutesultats de deux courtes campagnes drsquoessais sont analyseacutes

Dans une deuxiegraveme partie les eacutequations analytiques du modegravele de roulement sont ex-poseacutees en deacutetail agrave partir de trois eacutetapes majeures Les hypothegraveses et limites du modegraveleen particulier en ce qui concerne les effets dynamiques sont deacutetailleacutees Ce modegravele estenrichi pour permettre de prendre en compte les expansions radiales des bagues La deacute-termination de ces expansions par modeacutelisation est abordeacutee Les meacutethodes de reacutesolutionnumeacuterique sont preacutesenteacutees

La partie suivante est consacreacutee agrave la matrice de raideur La meacutethode de calcul numeacuteriqueest briegravevement deacutefinie La nouvelle meacutethode de calcul analytique est ensuite deacutetailleacuteeSa pertinence sera justifieacutee gracircce notamment agrave une comparaison avec drsquoautres meacutethodesde la litteacuterature

La derniegravere partie vise agrave observer et comprendre le comportement du roulement gracircceagrave des simulations numeacuteriques Lrsquoeacutevolution des grandeurs locales est analyseacutee ce quipermet de comprendre les paramegravetres drsquoinfluence sur les raideurs Finalement lrsquoimpactdes hypothegraveses cineacutematiques preacutesenteacutees est analyseacute en vue de comprendre la pertinencede chacune drsquoentre-elles

Ainsi lrsquoensemble de cette deacutemarche nous permet drsquoobtenir une modeacutelisation complegraveteet suffisante du roulement eacuteleacutement essentiel agrave la modeacutelisation des broches drsquousinage

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CH 2 Modeacutelisation dynamique du roulement agrave billes agrave contact oblique

1 Observations expeacuterimentalesLe but de cette partie est de cerner quels sont les paramegravetres drsquoinfluence du compor-tement du roulement hormis les charges appliqueacutees bien sucircr Cette eacutetape permet dedeacuteterminer les pheacutenomegravenes physiques agrave prendre en compte dans le modegravele afin que ilsoit adapteacute au contexte speacutecifique des broches UGV Deux seacuteries drsquoessais ont eacuteteacute reacutealiseacuteeschez le fabricant de broche Fischer

11 Deacuteflexion axiale

Des essais expeacuterimentaux ont eacuteteacute reacutealiseacutes sur la broche Fischer MFW 2310 (se reacutefeacuterer agravelrsquoAnnexe 11 pour les caracteacuteristiques de la broche et notations associeacutees) Deux capteursagrave courant de Foucault sont installeacutes axialement lrsquoun sur le nez de broche et lrsquoautre surla douille arriegravere La figure 21(b) trace les deacuteplacements mesureacutes lors drsquoun palier decycle de chauffe monteacutee 0 minus 24 000 trmin puis maintien agrave vitesse constante pendantvingt minutes puis descente de vitesse jusque 0 trmin

0 05 1 15 2 25 3 35 4-70

u [microm]u

p2 [microm]

(a) Monteacutee en vitesse 0minus 24 000 trmin seule-200 0 200 400 600 800 1000 1200 1400

u [microm]u

p2 [microm]

(b) Cycle completFig 21 ndash Mesure expeacuterimentale des deacuteplacements axiaux agrave lrsquoavant u et agrave lrsquoarriegravere up2 de la broche

pendant un palier de cycle de chauffe agrave 24 000 trmin

La monteacutee en vitesse de 0 agrave 24 000 trmin repreacutesenteacutee Fig 21(a) se traduit par undeacuteplacement de lrsquoarbre u neacutegatif crsquoest agrave dire que lrsquoarbre tend agrave sortir du corps de brocheDurant cette phase lrsquoeacutetat thermique est supposeacute constant puisque la monteacutee en vitessesrsquoeffectue sur un temps tregraves court La valeur de u observeacutee correspond alors directement agravela deacuteflexion axiale des deux roulements avant La douille elle-aussi se deacuteplace vers lrsquoavantmais drsquoune valeur up2 plus importante Selon la structure de la broche Fig 31 la valeurde up2 est directement la somme de la deacuteflexion des roulements avant et des roulementsarriegravere Les valeurs de ces deacuteflexions sont diffeacuterentes sur la phase de monteacutee en vitesse

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1 Observations expeacuterimentales

et descente en vitesse Par exemple le deacuteplacement arriegravere observeacute agrave froid est de 80micromalors qursquoil est drsquoenviron 100microm agrave chaud Deux raisons principales peuvent expliquer cepheacutenomegravene Lrsquoeffort de preacutecharge a fortement varieacute durant le cycle de chauffe Cettecause est agrave priori peu influente car les ressorts de preacutecharges sont choisis souples surce type drsquoapplication preacuteciseacutement pour compenser les dilatations axiales La seconderaison est que la tempeacuterature a un effet direct sur le comportement des roulements viales expansions radiales des bagues

La phase de chauffe de t = 4 s agrave t = 1 250 s se traduit par des deacuteplacements agrave lrsquoavant etagrave lrsquoarriegravere tregraves importants environ 17microm agrave lrsquoavant et 90microm agrave lrsquoarriegravere Les signes et lesens de ces deacuteplacements sont en accord avec lrsquointuition comme le refroidissement sesitue dans le corps de broche lrsquoarbre est globalement plus chaud que le corps de brocheLe diffeacuterentiel de tempeacuterature entre rotor et stator augmente

Cette campagne drsquoessais a montreacute une grande influence de la tempeacuterature sur le com-portement de la broche et des roulements Il sera neacutecessaire de choisir des conditionsthermiques stables pour les essais expeacuterimentaux si lrsquoon souhaite srsquoaffranchir de la mo-deacutelisation du comportement thermique transitoire De longs cycles de chauffe devrontecirctre respecteacutes et les tests devront dans la mesure du possible srsquoeffectuer dans un tempscourt pour eacuteviter des variations majeures de tempeacuteratures

La vitesse de rotation a eacutegalement un impact important sur le comportement du roule-ment La connaissance preacutecise des deacuteflexions axiales dues agrave la vitesse de rotation ainsique les raideurs des ressorts de preacutecharge permettront de deacuteterminer la variation desefforts de preacutecharges

12 Expansion radiale

Les observations de dilatations radiales ont eacuteteacute effectueacutees suite aux essais reacutealiseacutes surla broche Fischer MFW 2320 Elle a eacuteteacute instrumenteacutee par des capteurs agrave courant deFoucault placeacutes radialement dans le cadre du projet FUI UsinAE (caracteacuteristiques dela broche en Annexe 12) de sorte agrave pouvoir mesurer les deacuteplacements et deacuteformationsradiales du rotor en usinage

Dans le cadre de ces essais sur un banc test la broche est monteacutee dans un V et fonctionneagrave vide Un test de monteacutee en vitesse a eacuteteacute effectueacute par paliers de 5 000 trmin drsquounedureacutee 10 s Les donneacutees mesureacutees par les capteurs radiaux sont filtreacutes pour supprimerle faux-rond de la cible en rotation La figure 22 expose ces donneacutees post-traiteacutees Anoter qursquoavec la configuration de montage des capteurs les mesures correspondent audiffeacuterentiel drsquoexpansion entre lrsquoarbre et le corps de broche mesureacute au niveau du nez dela broche

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vitessetherm

Fig 22 ndash Expansion radiale du nez de la broche pour un test de monteacutee en vitesse de 0 agrave30 000 trmin par paliers de 5 000 trmin durant 10 s

En mesurant lrsquoexpansion radiale on distingue clairement les paliers de vitesse puisqueles brusques monteacutees en vitesse se traduisent par une expansion radiale par exemple de16microm entre 24 000 trmin et 30 000 trmin Cette expansion radiale due agrave la vitesse estparticuliegraverement importante car la mesure est prise sur un grand diamegravetre 110mmPendant chaque palier une expansion thermique est observeacutee Cette expansion est drsquoau-tant plus importante agrave hautes vitesses Elle repreacutesente environ 5microm pendant le palier de10 s agrave 30 000 trmin En effet crsquoest agrave hautes vitesses que les sources de chaleur frictionau niveau des roulements et perte par effet Joule dans le moteur ont la plus grandeimportance

Ayant deacutefini un ordre de grandeur des expansions radiales gracircce aux mesures expeacuterimen-tales il est leacutegitime de se demander si elles ont un impact significatif sur le comportementdu roulement En reacutealiteacute un calcul analytique sans vitesse de rotation montre que leseacutecrasements au contact sont du mecircme ordre de grandeur que les expansions radialesCes deux grandeurs interviennent toutes deux dans la geacuteomeacutetrie du contact avec desrayons de courbure des bagues proches du rayon de la bille La prise en compte de lrsquoex-pansion radiale est donc neacutecessaire Les mesures axiales effectueacutees sur la broche MFW2310 confirment cette observation (voir partie preacuteceacutedente)

En conclusion les deacuteformations macroscopiques des bagues doivent bien ecirctre inteacutegreacuteesaux modegraveles de broche et de roulement Les valeurs des deacuteformations radiales serontfonction de la vitesse de rotation et de la configuration thermique du roulement

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2 Modegravele dynamique agrave 5 degreacutes de liberteacute

2 Modegravele dynamique agrave 5 degreacutes de liberteacuteComme discuteacute dans lrsquoeacutetat de lrsquoart deux approches de modeacutelisation existent Les mesuresexpeacuterimentales ont montreacute que la vitesse de rotation doit ecirctre prise en compte dans lemodegravele Ainsi lrsquoapproche numeacuterique est adopteacutee puisqursquoelle permet de consideacuterer leseffets dynamiques dans le roulement Dans cette partie cette approche est expliciteacuteeComme les expansions macroscopiques radiales des bagues semblent avoir un impactimportant conformeacutement aux reacutesultats expeacuterimentaux le modegravele est enrichi pour inclurece pheacutenomegravene physique

21 Mise en eacutequation

Les trois eacutetapes principales de la mise en eacutequation du modegravele de roulement sont preacutesen-teacutees ici Ce sont les trois eacutetapes de la meacutethode numeacuterique en accord avec la Fig 113Dans un soucis de peacutedagogie les figures et eacutequations sont volontairement deacutetailleacutees etjustifieacutees en preacutecisant systeacutematiquement les hypothegraveses adopteacutees

211 Geacuteomeacutetrie du contact

Distance entre les centres de courbure

La premiegravere eacutetape du modegravele de roulement consiste agrave exprimer le deacuteplacement relatifau niveau de la bille Plus preacuteciseacutement il est neacutecessaire drsquoexprimer le deacuteplacement ducentre de courbure de la bague inteacuterieure Oi dans le plan de la bille (Oh er eθx) Pourcela une hypothegravese de deacuteplacement de corps rigide de la bague inteacuterieure par rapport agravela bague exteacuterieure est adopteacutee Notons que le deacuteplacement global d = (δx δy δz θy θz)t

est exprimeacute au centre de la bague exteacuterieure du roulement Oh La convention retenueest la suivante le deacuteplacement nul correspond agrave un effort nul sans vitesse de rotationN = 0

d = 0lArrrArr f = 0 pour N = 0 (21)

La figure 23 illustre les grandeurs utiliseacutees pour lrsquoexpression du deacuteplacement de corpsrigide

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Atilde

Centre du roulement

regiri

plan de coupe de la bille

sans chargement

avec chargement

Fig 23 ndash Positionnement du centre de la bille et des centres de courbure

Le vecteur deacuteplacement de la bague inteacuterieure par rapport agrave la bague exteacuterieure exprimeacuteau centre de la bague exteacuterieure Oh dans le repegravere de la bague exteacuterieure (Ohxy z)est noteacute d = (δx δy δz θy θz)t Comme le vecteur OhOi = BD sinαx + lti er alors ledeacuteplacement du point Oi est donneacute par

uOi = (δx minus θzlti cosψ + θylti sinψ) er + (δy cosψ + δz sinψ) x (22)

Eacutequations geacuteomeacutetriques

Pour eacutetudier la geacuteomeacutetrie du contact les centres de courbure et le centre de la billesont repreacutesenteacutes dans le plan de la bille (Ob erx) Fig 24 Une situation de charge estensuite consideacutereacutee Elle correspond agrave la configuration geacuteomeacutetrique finale pour laquelleles rapprochements au contact de la bille sur les pistes sont δi et δo respectivementpour le contact inteacuterieur et exteacuterieur De plus deux angles de contact sont envisageacutes agravesavoir αi et αo (voir configuration avec chargement de la Fig 23) Ce deacutedoublementdes angles de contact est ducirc aux effets dynamiques comme nous le verrons en deacutetails enpartie 411

La construction geacuteomeacutetrique est preacutesenteacutee Fig 24 Les deacuteplacements des centres decourbure des bagues y sont reporteacutes Celui de la bague inteacuterieure est exprimeacute parEqn (22) A cela les expansions radiales des bagues ui et uo ont eacuteteacute ajouteacutees Laprise en compte des expansions radiales agrave cette eacutetape est nouveau Ceci diffegravere des mo-degraveles classiquement utiliseacutes dans la litteacuterature [Cao et Altintas 2004a Harris et Kotzalas2007a Jones 1960] Lrsquointeacuterecirct de la prise en compte des deacuteformations macroscopiques desbagues sera prouveacute dans le chapitre III

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iiplusmnx - microzRi cos Atilde

+ microyRi sin Atilde

plusmny cos Atilde + plusmnz sin Atilde

(fo - 0

+ plusmn

(f i ndash 05) D + plusmn i

Centre de courbure de la bague inteacuterieure (position finale)

Centre de courbure de la bague exteacuterieure (position initiale)

Centre de la bille (position initiale)

Centre de la bille (position finale)

Centre de courbure de la bague exteacuterieure (position finale)

Centre de courbure de la bague inteacuterieure (position initiale) BDBD

Fig 24 ndash Positions du centre de la bille et des centres de courbure des bagues avant et apregraveschargement

Les distances entre les centres de courbures respectivement projeteacutees sur x et sur ersont A1 et A2 A1 = BD sinα + δx minus θzlti cosψ + θylti sinψ

A2 = BD cosα + δy cosψ + δz sinψ + ui minus uo(23)

Les deacuteformations macroscopiques des bagues suivant la direction radiale peuvent ainsiecirctre inteacutegreacutees au modegravele Par commoditeacute une autre expression de A1 est deacuteduite de sorteagrave ce que la configuration de deacuteplacement axial nul δx = 0 corresponde au roulement sanscharge Fx = 0 et agrave lrsquoarrecirct N = 0 trmin (convention exprimeacutee par Eqn (21)) Ainsila deacuteflexion axiale due agrave lrsquoexpansion radiale statique ∆u0 = (ui minus uo)N=0 est retrancheacuteeLa nouvelle deacutefinition des distances entre les rayons de courbure est la suivante

A1 = BD sin[arccos

(cosα + ∆u0

)]+ δx minus θzlti cosψ + θylti sinψ

Deux eacutequations geacuteomeacutetriques lient le rapprochement au contact avec la position descentres de courbure Ces eacutequations sont directement obtenues en appliquant le theacuteoregravemede Pythagore sur la Fig 24(A1 minusX1)2 + (A2 minusX2)2 minus [(fi minus 05)D + δi]2 = 0

X21 +X2

2 minus [(fo minus 05)D + δo]2 = 0(25)

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Dans le but de deacutecrire matheacutematiquement lrsquoeacutetat local du roulement un nombre minimalde variables est retenu Les variables locales seront noteacutees par v = (X1 X2 δo δi) Ellesdoivent ecirctre eacutevalueacutees pour chaque bille

Dans la suite de ce chapitre drsquoautres eacutequations font appel aux angles de contact αi etαo Au vue de la Fig 24 les angles de contact αi et αo sont deacuteduits geacuteomeacutetriquementagrave partir des variables locales v

cosαo = X2

(fo minus 0 5)D + δo(26a)

sinαo = X1

(fo minus 0 5)D + δo(26b)

cosαi = A2 minusX2

(fi minus 0 5)D + δi(26c)

sinαi = A1 minusX1

(fi minus 0 5)D + δi(26d)

212 Equilibre de la bille

La seconde eacutetape consiste agrave isoler chacune des billes Les efforts locaux au contact Qi

et Qo sont consideacutereacutes Les effets dynamiques sur les billes sont introduits Fc pour laforce centrifuge et Mg pour le moment gyroscopique Ils seront expliciteacutes dans la partie22 Les actions meacutecaniques appliqueacutes agrave la bille sont repreacutesenteacutees sur la Fig 25

Fig 25 ndash Equilibre dynamique de la bille

Le theacuteoregraveme de la reacutesultante dynamique projeteacute dans le plan de la bille aboutit agrave deuxeacutequations

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Qi sinαi minusQo sinαo + Mg

D(λi cosαi minus λo cosαo) = 0 (27a)

Qi cosαi minusQo cosαo minusMg

D(λi sinαi minus λo sinαo) + Fc = 0 (27b)

Les coefficients λi et λo expriment la reacutepartition du moment gyroscopique entre les deuxbagues Ils seront discuteacutes en partie 224

Les eacutequations (27) et la figure Fig 25 supposent que les surfaces peuvent fournirles efforts de reacuteaction au moment gyroscopique Mg crsquoest agrave dire que λoMgD le microQo

et λiMgD le microQi avec micro le coefficient drsquoadheacuterence au contact Cette hypothegravese estvalide dans le cas des montages de roulements de broches UGV car des preacutechargesrelativement importantes sont geacuteneacuteralement adopteacutees Elle a eacuteteacute veacuterifieacutee agrave posteriori agravepartir du modegravele recaleacute avec des mesures expeacuterimentales (voir Chap III)

Les eacutequations (27) sont manipuleacutees pour faire intervenir les variables locales v =(X1 X2 δo δi) Pour cela les angles de contact sont remplaceacutes gracircce agrave Eqn (26) Lesefforts locaux Qi et Qo sont exprimeacutes en fonction des deacuteplacements locaux δi et δo gracircceaux relations de comportement de Hertz [Hertz 1881]

δ = KQ23 (28)

La mise en eacutequation des relations de Hertz est exprimeacutee de deux maniegraveres diffeacuterentesdans [Harris et Kotzalas 2007b] et [Aublin et al 2006] Elles megravenent agrave des reacutesultatsidentiques Le coefficient K est obtenu gracircce aux rayons de courbure au lieu du contactet aux coefficients mateacuteriaux des deux solides en contact Par commoditeacute le coefficientKlowast = Kminus23 est introduit tel que Q = Klowastδ32

Au final les eacutequations (27) sont exprimeacutees avec les variables locales v gracircce aux relationsde Hertz (28) et aux relations geacuteomeacutetriques Eqn (26)

minusλoMg

DX2 minusKlowastoδ32

(fo minus 0 5)D + δo+Klowasti δ

32i (A1 minusX1) + λi

D(A2 minusX2)

(fi minus 0 5)D + δi= 0 (29a)

32i (A2 minusX2)minus λi Mg

D(A1 minusX1)

(fi minus 0 5)D + δi+ Fc = 0 (29b)

213 Equilibre global

Une fois les efforts locaux sur la bague inteacuterieure deacutetermineacutes pour chaque bille par lesreacutesolutions locales (ceci sera preacuteciseacute dans la partie 241) ils sont sommeacutes projeteacutes etexprimeacutes dans la base (O x y z)

38164 David NOEumlL

Fx =sumz

Qi sinαi + λiMg

Dcosαi (210a)

Fy =sumz

(Qi cosαi minus λi

Dsinαi

)cosψ (210b)

Fz =sumz

Dsinαi

)sinψ (210c)

My =sumz

[lti(Qi sinαi + λi

Dcosαi

)minus λifiMg

]sinψ (210d)

Mz =sumz

[minuslti

(Qi sinαi + λi

Dcosαi

)+ λifiMg

]cosψ (210e)

Il est aussi possible drsquoeffectuer lrsquoeacutequilibre de la bague exteacuterieure pour obtenir lrsquoeffortglobal appliqueacute sur la bague exteacuterieure Fo Cet effort est neacutecessaire lorsque le modegravele debroche inclus la modeacutelisation structurelle du corps de broche [Cao et Altintas 2004a]Lrsquoeffort global sur la bague exteacuterieure est noteacute Fo = (Fxo Fyo FzoMyoMzo)

Fxo = minussumz

Qo sinαo + λoMg

Dcosαo (211a)

Fyo =sumz

(minusQo cosαo + λo

Dsinαo

)cosψ (211b)

Fzo =sumz

Dsinαo

)sinψ (211c)

Myo =sumz

[minuslto

(Qo sinαo + λo

Dcosαo

)minus λofoMg

]sinψ (211d)

Mzo =sumz

[lto(Qo sinαo + λo

Dcosαo

)+ λofoMg

]cosψ (211e)

Il est important de remarquer que lrsquoeffort axial sur la bague inteacuterieure est lrsquoopposeacutede lrsquoeffort axial sur la bague exteacuterieure Fx = minusFxo (revenir agrave lrsquoEqn (27a) pour srsquoenconvaincre) Ceci nrsquoest pas le cas pour les autres composantes agrave cause des effets dyna-miques sur les billes Ce constat est important pour lrsquoeacutetude deacutetailleacutee des systegravemes depreacutecharge eacutelastique qui suivra dans le chapitre suivant

22 A propos des effets dynamiques

Les roulements agrave billes constituent lrsquoeacuteleacutement critique des broches UGV Le critegravere Ndmest eacuteleveacute La vitesse de rotation a donc une incidence importante sur le comportementdes roulements Cette partie a pour but de deacutetailler le modegravele cineacutematique et dynamiquedu roulement et drsquoexposer les diffeacuterentes hypothegraveses envisageacutees

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221 Expression des effets dynamiques

Pour une freacutequence de rotation ω entre les deux bagues le mouvement de la bille secompose de deux rotations principales une rotation orbitale selon lrsquoaxe du roulement(de freacutequence de rotation ωm) et une reacutevolution selon lrsquoaxe de rotation propre agrave la bille(de freacutequence de rotation ωR) La Fig 26 repreacutesente ce mouvement

Fig 26 ndash Mouvements principaux de la bille et effets dynamiques correspondants

La rotation orbitale de la bille implique un effort centrifuge Fc Comme lrsquoaxe de rotationpropre de la bille nrsquoest pas fixe dans lrsquoespace la bille est soumise agrave un moment gyrosco-pique Mg Sous vitesse de rotation constante du roulement le moment gyroscopique estexprimeacute par lrsquoEqn (212b) Elle se deacutemontre par inteacutegration drsquoun volume eacuteleacutementairede la bille [Harris et Kotzalas 2007a]

Fc = 1

2mdmω2(ωmω

)2(212a)

Mg = Jω2(ωmω

)(ωRω

)sin β (212b)

avec m la masse de la bille et J son moment drsquoinertie

m = ρb

6 (213a)

J = ρbπD5

60 (213b)

Pour garder en tecircte des ordres de grandeurs pour ces pheacutenomegravenes dynamiques cruciauxune application numeacuterique est effectueacutee pour le roulement hybride de haute preacutecisionSNFA VEX70 (roulement preacutesent dans deux des trois broches eacutetudieacutees) m = 1 44 gJ = 1 3110minus8 kgm2 A une vitesse de 30 000 trmin les effets dynamiques sont les

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suivants Fc = 136N et Mg = 60mNm (calculeacutes avec la theacuteorie du controcircle par labague exteacuterieure en accord avec la partie 223)

222 Cineacutematique du roulement

Le mouvement de la bille est reacutegi par les forces appliqueacutees sur celle-ci en particulier parla reacutepartition des forces de friction entre les deux chemins de roulement De nombreuxpheacutenomegravenes physiques interagissent La modeacutelisation de ces pheacutenomegravenes deacutepend desgrandeurs locales crsquoest agrave dire des forces locales (Qi Qo) et des angles de contact (αi αo)Ces variables ne sont pas encore deacutetermineacutees agrave ce stade Afin de simplifier la modeacutelisationdu roulement certaines hypothegraveses sont formuleacutees [Cao et Altintas 2004b Harris etKotzalas 2007a Jones 1960] La vitesse de rotation de lrsquoarbre est consideacutereacutee constanteet on suppose que le glissement ne srsquoopegravere pas sur la globaliteacute de la zone de contactLa vitesse de rotation drsquoaxe tangent au cercle primitif crsquoest agrave dire normale au plan(Oh erx) est neacutegligeacutee

Lrsquoexpression de la cineacutematique du roulement est eacutetablie en consideacuterant successivementle mouvement relatif de la bille par rapport agrave la bague inteacuterieure puis par rapport labague exteacuterieure [Harris et Kotzalas 2007a] Les rapports de vitesses sont les suivants

1 + (1 + γ cosαo)(cosαi + tan β sinαi)(1minus γ cosαi)(cosαo + tan β sinαo)

)minus1

(214a)

= minus1γ cos β

(cosαo + tan β sinαo

1 + γ cosαo+ cosαi + tan β sinαi

1minus γ cosαi

)minus1

(214b)

avec γ = Ddm Ces eacutequations font intervenir lrsquoangle drsquoinclinaison β qui correspondagrave lrsquoangle entre lrsquoaxe du roulement et lrsquoaxe de rotation propre de la bille (cf Fig 26) Cetangle est diffeacuterent pour chaque bille pour un cas de chargement quelconque Lrsquoexpressionde β est la seule inconnue agrave ce stade pour que le mouvement de la bille soit deacutetermineacuteUne nouvelle hypothegravese est alors neacutecessaire et puisqursquoelle deacutetermine la cineacutematique duroulement elle sera appeleacutee ldquohypothegravese cineacutematiquerdquo Cette hypothegravese fait lrsquoobjet de lapartie qui suit

223 Hypothegravese cineacutematique et angle drsquoinclinaison β

Lrsquoangle drsquoinclinaison β doit ecirctre deacutetermineacute Pour cela une hypothegravese cineacutematique doitecirctre adopteacutee Cette partie preacutesente en deacutetails deux hypothegraveses issues de la litteacuteratureainsi qursquoune nouvelle hypothegravese baseacutee sur une relation geacuteomeacutetrique

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La theacuteorie du controcircle

La theacuteorie de controcircle (Control Theory ou Jones Theory en anglais) suppose un roule-ment pur de freacutequence ωroll sur une des deux bagues et un roulement et une rotationselon la normale au contact de freacutequence ωspin (spinning en anglais) sur lrsquoautre bague[Jones 1960] Sur la bague dite de controcircle la rotation selon la normale au contact ωspinest supposeacutee nulle On se reacutefeacuterera par inner-race control et outer-race control suivantla bague de controcircle La figure 27 illustre ces deux cas dont reacutesultent des angles βircet βorc diffeacuterents Comme ωspin est nulle sur la bague de controcircle lrsquoaxe de rotation ωRpropre est alors deacutefini par le vecteur vitesse de roulement ωroll La table 21 preacutesentelrsquoexpression de lrsquoangle drsquoinclinaison β pour les deux cas de controcircle

ωRhyb

ωspino

ωrolli

ωrollo

βorcβirc

ωRorc

ωRirc

ωspini

Fig 27 ndash Construction graphique de lrsquoaxe de rotation propre ωR et de lrsquoangle drsquoinclinaison β enfonction de lrsquohypothegravese cineacutematique (controcircle par la bague inteacuterieure irc controcircle par labague exteacuterieure orc et theacuteorie hybride en configuration quelconque)

La bague de controcircle correspond agrave la bague sur laquelle la valeur du moment de frictionsrsquoopposant agrave la rotation suivant la normal au contact est la plus eacuteleveacutee Un critegraveresuppleacutementaire est donc mis au point pour valider que la bague de controcircle choisie agravepriori est adapteacutee agrave la configuration (cf Tab 21 et [Jones 1960]) Ce critegravere est baseacutesur une comparaison des valeurs des moments de friction Les grandeurs a et L preacutesentesdans les formules du critegravere sont respectivement le demi-grand axe de lrsquoellipse de contactet lrsquointeacutegrale complegravete de seconde espegravece relative agrave la theacuteorie de Hertz

Numeacuteriquement un inconveacutenient de la theacuteorie du controcircle est que le type de controcircleseacutelectionneacute doit ecirctre valideacute apregraves le calcul Un nouveau calcul numeacuterique doit eacuteven-tuellement ecirctre effectueacute si le type de controcircle choisi agrave priori nrsquoest au final pas validePhysiquement cette solution pose aussi problegraveme par son coteacute binaire Elle suppose descas extrecircmes de la cineacutematique de la bille

Un ameacutenagement est ici proposeacute afin de pouvoir choisir agrave priori la theacuteorie adapteacutee Lafigure 28 deacutefinit par zone le type de controcircle adapteacute en fonction de lrsquoeffort axial Fx etde la vitesse de rotation N Pour cet exemple de chargement axial un roulement SNFA

42164 David NOEumlL

Tab 21 ndash Critegraveres de validiteacute pour la theacuteorie du controcircle et expressions de lrsquoangle drsquoinclinaison βassocieacutees

Type Inner-race control Outer-race control

tan βsinαi

cosαi minus γsinαo

cosαo + γ

Critegravere QiaiLi cos(αi minus αo) QoaoLo cos(αi minus αo)gt QoaoLo gt QiaiLi

VEX70 a eacuteteacute retenu Le reacutesultat a un sens uniquement dans le cas drsquoun chargement axialcar toutes les billes sont alors chargeacutees de maniegravere identique Les frontiegraveres de validiteacutede chacune des hypothegraveses de controcircle ont eacuteteacute deacutefinies et deacutelimitent trois zones unezone pour chaque type de controcircle et une zone entre les deux courbes pour laquelleles deux types de controcircle sont valides Pour cet exemple une reacutegression quadratique aeacuteteacute effectueacutee sur les courbes des frontiegraveres permettant de choisir directement le type decontrocircle valide

0 6 12 18 24 300

N [103 trmin]

Fx [N]

Inner-race control

Outer-race control

larr Birc

=372106 ω2 - 225103ω +423

=378106 ω2 - 209103ω +394 rarr

simuleacute avecInner-race controlsimuleacute avecOuter-race control

Fig 28 ndash Exemple des zones de validiteacute de la theacuteorie de controcircle de Jones dans le cas drsquoun char-gement axial pour le roulement SNFA VEX70

La theacuteorie du controcircle est lrsquohypothegravese la plus couramment utiliseacutee bien qursquoelle ne soit pastout le temps veacuterifieacutee expeacuterimentalement Neacuteanmoins le controcircle de la bague exteacuterieureest reconnue valide par la communauteacute dans le cas des roulements peu chargeacutes tournantagrave hautes vitesses et lubrifieacutes par meacutelange air-huile [Harris et Kotzalas 2007a] ce qui estle cas dans notre eacutetude Ces conclusions sont en accord avec les reacutesultats repreacutesenteacutes surla Fig 28

David NOEumlL 43164

Hypothegravese baseacutee sur le rapport des moments de friction

Changan et al [2000] calculent lrsquoeacutevolution de lrsquoangle drsquoinclinaison β en appliquant letheacuteoregraveme du moment dynamique agrave la bille Soit C le rapport des moments de frictionsrsquoopposant agrave la rotation selon les normales au contact Lrsquoangle drsquoinclinaison est alorsdonneacute par

tan β = C(S + 1) sinαi + 2 sinαoC(S + 1) cosαi + 2(cosαo + γ) + A

C = QiaiLiQoaoLo

A = γ C [cos(αi minus αo)minus S]

S = 1 + γ cosαo1minus cosαi

Contrairement agrave la theacuteorie du controcircle lrsquoangle β eacutevolue de maniegravere continue avec lescharges locales et la vitesse de rotation (cf exemple sur la Fig 27) Selon les auteurs lesreacutesultats numeacuteriques semblent plus preacutecis avec cette hypothegravese cineacutematique [Changanet al 2000 Lei et al 2010] Dans la suite du document on se reacutefeacuterera agrave cette hypothegravesepar ldquotheacuteorie hybriderdquo puisqursquoelle fait intervenir des consideacuterations de chargement localpour la deacutetermination de la cineacutematique

Relation geacuteomeacutetrique

Une expression plus simple de lrsquoangle drsquoinclinaison β est proposeacutee ici en consideacuterant quelrsquoaxe de rotation propre ωR de la bille est la bissectrice aux deux normales aux contactsLa construction geacuteomeacutetrique est illustreacutee Fig 29 Il vient alors la relation suivante

β = αi + αo2 (216)

ωrolli

ωrollo

Fig 29 ndash Construction geacuteomeacutetrique de lrsquoangle drsquoinclinaison β

Cette hypothegravese a priori simple a neacuteanmoins un sens meacutecanique Les rapports de vitesse

44164 David NOEumlL

de rotation suivant la normale sur la vitesse de roulement (spin-to-roll ratio) sont eacutegauxsur les deux zones de contact(

ωspinωroll

=(ωspinωroll

= tan(αi minus αo

) [1 + γ sin

(αi + αo

(αi minus αo

)](217)

Cette hypothegravese implique des simplifications pour les expressions de ωm et ωR Bienque cette hypothegravese semble agrave premiegravere vue limiteacutee par rapport aux autres hypothegravesespreacuteceacutedentes elle sera neacuteanmoins conserveacutee pour notre analyse comparative Dans lasuite du manuscrit cette hypothegravese sera deacutesigneacutee par ldquotheacuteorie geacuteomeacutetriquerdquo

224 Hypothegravese de contact distribution du couple gyroscopique

Lrsquohypothegravese de contact concerne la reacutepartition du moment gyroscopique entre les baguesinteacuterieure et exteacuterieure Cette reacutepartition est prise en compte matheacutematiquement parles coefficients λi and λo (voir Eqn (27) et Fig 25) Dans tous les cas ces coefficientsdoivent respecter les relations suivantes λi + λo = 2 et 0 lt λio lt 2

Deux approches sont recenseacutees dans la litteacuterature Soit les efforts tangentiels sont sup-poseacutes eacutegaux aux deux contacts [Cao et Altintas 2004b Jedrzejewski et Kwasny 2010Jones 1960] soit une distribution est associeacutee agrave lrsquohypothegravese cineacutematique correspondante[Antoine et al 2006 Changan et al 2000 Harris et Kotzalas 2007a Lei et al 2010] Lesvaleurs des coefficients λi et λo sont donneacutees Tab 22

Tab 22 ndash Coefficients pour la reacutepartition du moment gyroscopique entre les deux bagues de rou-lement

distribution outer-race inner-race theacuteorieeacutegale control control hybride

λi 1 0 2 2C(1 + C)λo 1 2 0 2(1 + C)

Dans le cadre de ces travaux preacutesenteacutes dans la suite du document les efforts tan-gentiels sont supposeacutes eacutegaux λi = λo = 1 Cela permettra des comparaisons de lanouvelle meacutethode de calcul de la matrice de raideur qui sera eacutetablie dans la deuxiegravemepartie de ce chapitre avec la meacutethode utiliseacutee dans [Cao et Altintas 2004b] De plusamples investigations pourraient ecirctre conduites avec une approche tribologique pourexaminer finement lrsquoimpact de ces coefficients

David NOEumlL 45164

23 Expansion radiale des bagues

La prise en compte de lrsquoexpansion radiale des bagues dans le modegravele analytique deroulement est un eacuteleacutement nouveau Il est neacutecessaire de deacuteterminer les valeurs de cesexpansions radiales au contact La mesure directe de ces expansions nrsquoest pas possibleou du moins uniquement sur le rotor proche du roulement Cette partie vise agrave mettreen place un modegravele de deacuteformations pour les bagues et drsquoen veacuterifier la pertinence

231 Quels pheacutenomegravenes physiques

Les mesures expeacuterimentales ont montreacute des deacuteformations radiales macroscopiques durotor causeacutees par la vitesse de rotation et la thermique A cela il faut ajouter lrsquoexpansionradiale due agrave lrsquoajustement geacuteneacuteralement serreacute de la bague inteacuterieure sur lrsquoarbre

En ce qui concerne la bague exteacuterieure elle est immobile et geacuteneacuteralement monteacutee avecun leacuteger jeu dans le corps de broche Une eacutetude succincte par eacuteleacutements finis a montreacute quelrsquoexpansion due aux charges locales des billes sur la bague exteacuterieure est neacutegligeable [Noel2010] Ainsi seule la thermique a de lrsquoinfluence majeur sur lrsquoexpansion macroscopiqueradiale de la bague exteacuterieure

Lrsquoexpansion thermique des bagues suivant lrsquoaxe du roulement nrsquoest pas prise en comptecar elle est neacutegligeable du fait de la largeur du roulement comparativement faible

232 Approche par modeacutelisation

Pour consideacuterer lrsquoexpansion radiale des bagues il est possible drsquoopter pour une modeacute-lisation par Eleacutements Finis (EF) Dans les travaux preacutesenteacutes dans [Holkup et al 2010]un modegravele thermo-meacutecanique complexe est proposeacute La mise en place drsquoun tel modegraveleest ambitieuse et fait intervenir de nombreux pheacutenomegravenes physiques notamment en cequi concerne la thermique

Dans le but drsquoobtenir un modegravele plus leacuteger une modeacutelisation par la Meacutecanique desMilieux Continus (MMC) est proposeacutee Cette modeacutelisation suppose que les piegraveces dereacutevolution sont de longueurs infinies Elle donnera donc seulement une estimation desexpansions radiales Les hypothegraveses du modegraveles sont symboliseacutees sur la Fig 210 avecs lrsquointerfeacuterence au serrage et p la pression de contact entre la bague et lrsquoarbre

46164 David NOEumlL

rrirsi

inner ring

Fig 210 ndash Hypothegraveses pour la modeacutelisation de lrsquoassemblage arbrebague inteacuterieure par MMC [Noelet al 2012]

Le modegravele aboutit sur des expressions analytiques de lrsquoexpansion radiale de la bagueinteacuterieure du type u(r) = Ar + B

r+ Cωr

3 Les constantes A et B deacutependent descoefficients mateacuteriaux E ν et du coefficient de dilatation thermique αth des rayons descylindres et de la tempeacuterature Ti La constante Cω deacutependant de la freacutequence de rotationω Ce modegravele est deacutetailleacute dans [Noel et al 2012]

La figure 211 montre la comparaison des reacutesultats du modegravele MMC et du modegraveleEF simple reacutealiseacute sur le logiciel Catia V5 Les deux modegraveles prennent en compte uneacutechauffement uniforme une pression due au serrage des bagues sur lrsquoarbre et de la vitessede rotation

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 22032

z (mm)

deacuteformeacutee EF

arbre non deacuteformeacute

deacuteformeacutee MMC

Fig 211 ndash Comparaison des modegraveles MMC et Elements Finis pour lrsquoextreacutemiteacute avant de lrsquoarbre dela broche Fischer MFW2310 Position non deacuteformeacutee en mm et deacuteformeacutee amplifieacutee de200 fois

Le modegravele MMC aboutit sur une deacuteformeacutee identique au modegravele par eacuteleacutements finis sur lesportions sans variation de diamegravetre Seulement le modegravele MMC est discontinu avec lesvariations de diamegravetre Il faudrait alors effectuer une moyenne glissante sur lrsquoexpansionpour obtenir des reacutesultats proches du modegravele eacuteleacutements finis

En conclusion le modegravele de MMC de lrsquoassemblage arbrebagues inteacuterieures donne uni-quement une estimation de lrsquoexpansion radiale Le calcul de ces expansions a le meacuteritedrsquoecirctre extrecircmement rapide Seulement il ne permet que drsquoeacutetudier lrsquoinfluence qualitativedes pheacutenomegravenes Pour obtenir des reacutesultats preacutecis une approche par modeacutelisation neacute-cessite tout de mecircme une connaissance preacutecise des champs de tempeacuterature ce qui pousseagrave une approche pheacutenomeacutenologique complexe [Holkup et al 2010]

David NOEumlL 47164

Dans la suite de ce travail nous opterons plutocirct pour une approche par recalage expeacuteri-mental des valeurs drsquoexpansion radiales plutocirct que de chercher agrave tout prix agrave modeacuteliser

24 Reacutesolution numeacuterique

Les eacutequations analytiques du modegravele de roulement ont eacuteteacute eacutetablies dans le partie preacuteceacute-dente Ces eacutequations doivent maintenant ecirctre reacutesolues Comme il nrsquoexiste pas de solutionanalytique explicite au problegraveme une reacutesolution numeacuterique est effectueacutee Une premiegraverereacutesolution locale permet drsquoobtenir les variables locales v = (X1 X2 δi δo) Cette reacuteso-lution est effectueacutee successivement pour chaque bille Deux types de reacutesolution globaleexistent et permettent soit drsquoobtenir lrsquoeffort f agrave partir drsquoun deacuteplacement d connu soitlrsquoinverse On parlera respectivement de reacutesolution en effort et de reacutesolution en deacuteplace-ment Une discussion concernant les temps de calcul est preacutesente en partie 331

241 Reacutesolution locale

Quelque soit le type de reacutesolution globale concerneacutee une reacutesolution locale doit au preacutea-lable ecirctre effectueacutee pour chaque bille Pour cette eacutetape le deacuteplacement global d est unedonneacutee drsquoentreacutee Les distances entre les centres de courbure des bagues dans le plan de labille (A1 A2) sont alors calculeacutees gracircce agrave Eqn (24) Les quatre eacutequations Eqn (25) etEqn (29) sont reacutesolues simultaneacutement Les inconnues sont les variables locales expri-meacutees par le vecteur v Puisqursquoil nrsquoy a pas de solution explicite pour le modegravele agrave plusieursddl une meacutethode de reacutesolution numeacuterique est adopteacutee La meacutethode de Newton-Raphsonest geacuteneacuteralement retenue pour sa simpliciteacute et surtout parce qursquoil est possible drsquoexprimeranalytiquement les deacuteriveacutees partielles des eacutequations par rapport aux variables locales vLrsquoalgorithme de reacutesolution est le suivant

vn+1 = vn minusAminus1n εn avec v = (X1 X2 δo δi)t (218)

εn est le vecteur reacutesidu des eacutequations Eqn (25) et Eqn (29) La matrice A estla matrice jacobienne construite agrave partir des deacuteriveacutees partielles des 4 eacutequations parrapport aux variables locales v Lrsquoexpression analytique de A est deacutetailleacutee dans [Cao etAltintas 2004b Jones 1960]

Comme pour tout algorithme iteacuteratif de reacutesolution la convergence deacutepend du point dedeacutepart v0 choisi De plus dans le cas preacutesent les eacutequations ne sont pas deacutefinies sur latotaliteacute de lrsquoespace des reacuteels mais sur R+ La configuration statique crsquoest agrave dire arbre agravelrsquoarrecirct avec un chargement axial est choisie comme point de deacutepart Ce point de deacutepartest calculeacute analytiquement par des formules analytiques simplifieacutees

48164 David NOEumlL

Pour assurer le bon conditionnement de la matrice jacobienne A agrave inverser il est preacute-feacuterable de normer les eacutequations car les deux premiegraveres font intervenir des grandeurs delrsquoordre du micron alors que les deux derniegraveres des efforts de lrsquoordre de la centaine deNewtons

Le cas de deacutecollement de bille pose aussi problegraveme numeacuteriquement car le conditionne-ment tend vers lrsquoinfini Il faut deacutetecter ce cas de deacutecollement Par exemple on peutdeacutetecter un deacutecollement si la condition qui suit est valide [Jones 1960]

(A2 minus (fo minus 05)D minusKoF

)2lt ((fi minus 05)D)2 (219)

La limite du deacutecollement srsquoobtient geacuteomeacutetriquement en consideacuterant X1 = δi = 0 ce quiimplique la charge Qi nulle La bague exteacuterieure est alors uniquement chargeacutee par lrsquoeffortcentrifuge soit δo = KoF

23c La partie 411 reviendra sur cette situation de deacutecollement

242 Reacutesolution globale en effort

La reacutesolution globale en effort consiste agrave deacuteterminer lrsquoeffort f agrave appliquer sur la bagueinteacuterieure pour obtenir un deacuteplacement d donneacute de celle-ci Une fois lrsquoeacutequilibre de cha-cune des billes effectueacute toutes les 4z variables locales sont connues ougrave z est le nombrede billes du roulement Les efforts potentiellement diffeacuterents sur chaque bille sont alorssimplement sommeacutes conformeacutement aux eacutequations (210) pour obtenir f

Dans le cas drsquoun deacuteplacement axial preacuteceacutedemment identifieacute il est neacutecessaire drsquoeffectuerlrsquoeacutequilibre local uniquement sur une bille puisque les variables locales v sont identiquespour toutes les billes Avec cette preacutecaution le temps de calcul est significativementdiminueacute

243 Reacutesolution globale en deacuteplacement

La reacutesolution en deacuteplacement est lrsquoinverse de la reacutesolution en effort Elle consiste agrave obte-nir le deacuteplacement d reacutesultant de lrsquoapplication de lrsquoeffort f donneacute Ce type de reacutesolutionest indispensable pour lrsquoeacutetude de montage de roulements Cependant la reacutesolution localeneacutecessite la donneacutee d en entreacutee Pour cela nous avons mis en place un nouvel algorithmede Newton-Raphson Il est illustreacute sur la Fig 212 Cet algorithme fait intervenir la meacute-thode de reacutesolution en effort et neacutecessite la matrice de raideur K du roulement

dn+1 = dn minusKminus1n (fn minus f) (220)

David NOEumlL 49164

somme des

efforts locauxcalcul de K

dn+1 = dn - K-1( fn - f )

reacutesolution locale

||gttol

||lttol

= fn - f

Fig 212 ndash Algorithme de Newton-Raphson deacuteveloppeacute pour la reacutesolution en deacuteplacement

avec Kn la matrice de raideur et fn lrsquoeffort donneacute par la reacutesolution en effort agravelrsquoiteacuteration n Lrsquoimpleacutementation de cet algorithme est simple mais le calcul analytiquede la matrice de raideur K est essentiel

244 Reacutesolution globale mixte

Deux types de reacutesolutions globales ont eacuteteacute preacutesenteacutes preacuteceacutedemment en effort et endeacuteplacement Supposons maintenant que certains deacuteplacements et certains efforts soientconnus Par exemple on cherche agrave reacutesoudre le problegraveme suivant pour eacutetudier lrsquoimpactdrsquoun roulement monteacute sur un arbre rigide (soient les deacuteversements θy et θz nuls)

minusrarr

Ce type de reacutesolution sera nommeacute mixte dans la suite du document Cette reacutesolutionutilise la mecircme technique que la reacutesolution en deacuteplacement Elle utilise un nouvel algo-rithme de Newton-Raphson de la mecircme maniegravere que lrsquoEqn (220)

den+1 = de

n minusKenminus1 (fe

n minus fe) (222)

avec le e multi-indice correspondant aux ddl pour lesquels les deacuteplacements sontrechercheacutes Dans lrsquoexemple citeacute plus haut e = 3 4 tel que de = (θy θz)t

50164 David NOEumlL

3 Calcul de la matrice de raideurLa matrice de raideur K du roulement repreacutesente le comportement lineacuteariseacute du roule-ment Le calcul de cette matrice est un point crucial neacutecessitant preacutecision et rapiditeacute Lamatrice de raideur peut ecirctre utiliseacutee pour des modegraveles de rotors diminuant ainsi consi-deacuterablement les temps de calcul et permettant une description simple du comportementdes rotors via un calcul rapide de Fonction de Reacuteponse en Freacutequence et Diagrammes deCampbell La matrice de raideur est aussi indispensable pour la reacutesolution numeacuteriqueen deacuteplacement de roulement telle que proposeacutee au paragraphe preacuteceacutedent

Pour le modegravele agrave 5 ddl la matrice de raideur est de dimension 5 times 5 Crsquoest la matricejacobienne construite agrave partir des deacuteriveacutees partielles des efforts par rapports aux deacutepla-cements K = [partfpartd] Il est possible de calculer les efforts lineacuteariseacutes precirct drsquoun eacutetat dechargement (fddd) donneacute

f minus fd = K (dminus dd) (223)

La partie qui suit expose une nouvelle meacutethode de calcul analytique de la matrice deraideur Nous eacutetudierons ensuite les apports eacuteventuels en terme de preacutecision et de tempsde calcul par rapport aux meacutethodes proposeacutees dans la litteacuterature

Remarque Ces travaux ont eacuteteacute publieacutes dans Journal of Tribology [Noel et al 2013a]

31 Calcul numeacuterique par diffeacuterences finies

Le calcul par diffeacuterences finies est la meacutethode la plus simple agrave mettre en place car ellene neacutecessite pas de nouvelles expressions analytiques La matrice de raideur est calculeacuteenumeacuteriquement avec 5 reacutesolutions en efforts suppleacutementaires suffisamment proche dudeacuteplacement d auquel on srsquointeacuteresse (5 car 5 ddl) Par exemple

partf(δx δy δz θy θz)partδx

= lim∆δxrarr0∆δx 6=0

f(δx + ∆δx δy δz θy θz)minus f(δx δy δz θy θz)∆δx

Cette meacutethode est gourmande en temps de calcul (comparatif preacutesenteacute en partie 331)De plus la reacutesolution en deacuteplacement est impossible car elle neacutecessite la connaissancede K

Cependant cette meacutethode de reacutesolution a une utiliteacute certaine dans le processus devalidation des reacutesultats obtenus par calcul analytique En effet les valeurs calculeacuteespar la meacutethode numeacuterique de K sont consideacutereacutees comme quasi-exactes une fois lrsquoeacutetudede convergence effectueacutee pour deacuteterminer le pas de calcul de la diffeacuterence finie Cettemeacutethode servira donc de reacutefeacuterence pour la suite

David NOEumlL 51164

3 Calcul de la matrice de raideur

32 Calcul analytique de la matrice de raideur

Cette partie preacutesente une nouvelle meacutethode de calcul analytique de la matrice de raideurCette meacutethode est inspireacutee de [Cao et Altintas 2004b Jones 1960] Elle est eacutetendue pourprendre en compte avec preacutecision les effets dynamiques sur les billes Cette meacutethodedeacutemontre tout son inteacuterecirct pour les applications critiques (critegravere Ndm eacuteleveacute) telles queles broches UGV

La matrice de raideur est deacutefinie par K = [partfpartd] Lrsquoeffort f est exprimeacute par unesomme des efforts locaux (Eqn (210)) De la mecircme maniegravere la raideur du roulementreacutesulte de la raideur eacuteleacutementaire procureacutee par chaque bille Ainsi pour exprimer cesraideurs eacuteleacutementaires les variables locales dynamiques vd = (X1 X2 δo δi FcMg)t etla distance projeteacutee entre les centres de courbures (A1 A2) sont consideacutereacutees Les eacuteleacutementsde la matrice K sont donc exprimeacutes par les deacuteriveacutees partielles de la fonction composeacuteef par rapport agrave la variable dj jiegraveme eacuteleacutement du vecteur de deacuteplacement global d

Kij = partf i

partdj=sumz

(partf i

partvkd

partvkdpartdj

)+ partf i

partA1

partdj+ partf i

partA2

partdj

](225)

i j k et z deacutesignent respectivement les indices de lrsquoeffort global du deacuteplacementglobal des variables locales dynamiques vd et de la bille Les termes partf ipartvkd partf ipartA1

et partf ipartA2 sont obtenus en diffeacuterentiant les eacutequations drsquoeacutequilibre global (Eqn (210))Cette eacutetape neacutecessite des manipulations trigonomeacutetriques conformeacutement agrave la figure 24Les termes partA1partd

j et partA2partdj deacutecoulent tregraves simplement des eacutequations drsquoexpression

du mouvement de solide rigide Eqn (24)

La clef est maintenant drsquoexprimer analytiquement les termes restant partvkdpartdj Pourcela les 6 eacutequations Eqn (25) (29) et (212) sont diffeacuterentieacutees par rapport au deacutepla-cement global dj Par exemple la diffeacuterentiation de lrsquoeacutequation de lrsquoeffort centrifuge Fcdonne

partFcpartdj

= partFcpartX1

partX1

partdj+ middot middot middot+ partFc

partδi

partδipartdj

+ partFcpartA1

partA1

partdj+ partFcpartA2

partA2

partdj(226)

Les six eacutequations diffeacuterentieacutees srsquoexpriment par des combinaisons lineacuteaires des variablespartvdpartd

j Ces 6 eacutequations peuvent ecirctre arrangeacutees sous forme matricielle Bpartvdpartdj =

52164 David NOEumlL

B1414 minus1 B36

partFc

partX1partFc

partX2partFc

partδo

partFc

partδiminus1 0

partMg

partX1

partMg

partX2

partMg

partδo

partMg

partδi0 minus1

partX1partdj

partX2partdj

partδo

partdj

partδi

partdj

partFc

partdj

partMg

partdj

= sj (227)

B36 = 1D

(λoX1

(fo minus 05)D + δominus λi(A1 minusX1)

(fi minus 05)D + δi

B46 = 1D

(minusλoX2

) (228)

La partie supeacuterieure gauche B1414 est eacutegale agrave la matrice A eacutevoqueacutee pour la reacutesolutionlocale dans Eqn (218) Lrsquoexpression de A est deacutetailleacutee dans [Cao et Altintas 2004bJones 1960] Le vecteur sj contient tous les termes relatifs agrave A1 et A2 Par exemple

sj5 = minus partFcpartA1

partA1

partdjminus partFcpartA2

partA2

partdj(229)

Les termes sj sont connus agrave ce stade du calcul La matrice B est une matrice de di-mensions 6 times 6 Force est de constater que son expression est indeacutependante du ddl jconsideacutereacute Cette expression matricielle permet drsquoexprimer simultaneacutement les deacuteriveacuteespartielles partvdpartd

j en inversant numeacuteriquement la matrice B Lrsquoapplication numeacuteriqueest effectueacutee pour chaque bille pour obtenir les raideurs eacuteleacutementaires Une fois les rai-deurs eacuteleacutementaires sommeacutees le processus est reacutepeacuteteacute pour chacun des ddl j La matricede raideur K est ainsi obtenue

Plusieurs hypothegraveses cineacutematiques ont eacuteteacute preacutesenteacutees en partie 223 A chacune de ceshypothegraveses sont associeacutees des expressions analytiques correspondant aux deux derniegravereslignes de la matrice B et du vecteur sj En effet ces termes correspondent agrave la diffeacuteren-tiations des eacutequations des effets dynamiques Effectuer ces manipulations analytiquesagrave la main nrsquoest pas raisonnable Il est preacutefeacuterable drsquoutiliser un logiciel de calcul symbo-lique tel que Mapletrade pour eacutetablir ces expressions Par exemple le terme B64 concernantlrsquohypothegravese de controcircle de la bague exteacuterieure est la suivante

David NOEumlL 53164

B64 = partMg

partδi= Jω2 tan β

[γ(ωmω

)(ωRω

((X1 minus A1) + tan β(A2 minusX2)) sinαosinαi(1 + γ cosαo)

minus (1 + γ tan β sinαi)(A2 minusX2)(1minus γ cosαi)2 + (2(X1 minus A1) + tan β(A2 minusX2)) tan β

1minus γ cosαi

+(ωRω

)((1 + γ cosαo)

(X2 minus A2) cosαo + (X1 minus A1) sinαo(1 + cos(αo minus αi))2

+(ωmω

) (X1 minus A1) + (A2 minusX2) tan βsinαi

Cette meacutethode de calcul se distingue de la litteacuterature La meacutethode exposeacutee dans [Cao etAltintas 2004b] revient agrave neacutegliger les termes B35 B36 et B46 Avec cette simplificationpartvkdpartd

j pour k isin 1 2 3 4 sont calculeacutes agrave part et partvkdpartdj pour k isin 5 6 sontcalculeacutes agrave posteriori Cette simplification diminue la complexiteacute des calculs analytiquesagrave effectuer puisque les effets dynamiques Fc et Mg nrsquoont pas besoin drsquoecirctre exprimeacutesanalytiquement en fonction des variables locales v = (X1 X2 δo δi) Lrsquoanalyse de lapertinence de cette nouvelle meacutethode de calcul analytique de la matrice de raideur estpreacutesenteacutee dans la partie suivante

33 Comparaison des meacutethodes de calcul

Cette partie vise agrave comparer diffeacuterentes meacutethodes de calcul sur des critegraveres de preacutecisionde la matrice de raideur et de temps de calcul Les cinq combinaisons des meacutethodespreacutesenteacutees preacuteceacutedemment sont retenues Elles ont eacuteteacute syntheacutetiseacutees dans le Tab 23Chaque meacutethode est deacutesigneacutee par son numeacutero

Tab 23 ndash Meacutethode de calcul du modegravele de roulement

Reacutesolution Reacutesolution Calcul Calcul Calculen en analytique de K analytique de K numeacuterique

effort deacuteplacement (ancienne meacutethode) (nouvelle meacutethode) de K

1 X X2 X X3 X X4 X X5 X X

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331 Temps de calcul

Les temps de calcul sont eacutevalueacutes pour chacune des meacutethodes preacutesenteacutees Tab 23 pourun chargement non axial f = (1 200 0 900 5 0) Les temps de calcul sont relatifs au casde reacutefeacuterence 1 Ils sont donneacutes en pourcentages dans le Tab 24 Le critegravere drsquoarrecirct pourles reacutesolutions locales correspondant agrave lrsquoalgorithme de lrsquoEqn (218) est εinfin = 10minus8 Lecritegravere drsquoarrecirct pour la reacutesolution globale en deacuteplacement correspondant agrave lrsquoalgorithmede lrsquoEqn (220) est εinfin = 10minus3

Tab 24 ndash Temps de calcul en fonction de la meacutethode de reacutesolution

Meacutethode 1 2 3 4 5

Coucirct 100 601 105 634 573

La reacutesolution en deacuteplacement est naturellement plus couteuse que celle en effort agrave causede la boucle de reacutesolution suppleacutementaire (voir Fig 212) Dans lrsquoexemple proposeacutelrsquoalgorithme exprimeacute par lrsquoEqn (220) converge en six pas de calcul Les diffeacuterences entreles meacutethodes analytiques ne sont pas significatives que ce soit pour la reacutesolution en effortou en deacuteplacement (respectivement les meacutethodes 1 par rapport agrave 3 et 2 par rapport agrave4) Le temps de calcul est leacutegegraverement supeacuterieur puisque des opeacuterations eacuteleacutementaires onteacuteteacute ajouteacutees pour la nouvelle meacutethode En conclusion la nouvelle meacutethode preacutesenteacutee enpartie 32 permettant le calcul simultaneacutee des deacuteriveacutees partielles des effets dynamiquesnrsquoaugmente pas de maniegravere significative le coucirct de calcul

La meacutethode de calcul de la matrice de raideur par diffeacuterences finies n5 est bien pluscouteuse que les meacutethodes de calcul analytiques (1 et 3) En effet pour un calcul deK 6 reacutesolutions en efforts sont neacutecessaires La mise en place de la meacutethode de calculanalytique est donc profitable car elle permet de diviser le temps de calcul quasimentpar 6 (comparaison entre les meacutethodes 5 et 1) et parce qursquoelle rend possible la reacutesolutionen deacuteplacement

332 Preacutecision de la matrice de raideur

La preacutecision du calcul de la matrice de raideur est eacutetudieacutee en consideacuterant le terme deraideur axiale Kxx = K11 eacutevalueacute pour le cas de chargement axial pur Pour rendrepossible la comparaison avec la meacutethode utiliseacutee dans [Cao et Altintas 2004b] la theacuteoriede controcircle de la bague exteacuterieure est choisie comme hypothegravese cineacutematique (voir partie223) Les reacutesultats des reacutesolutions en efforts et en deacuteplacements sont eacutegaux car lecritegravere drsquoarrecirct de lrsquoalgorithme suppleacutementaire repreacutesenteacute sur la Fig 212 a eacuteteacute choisi

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suffisamment petit La figure 213 preacutesente lrsquoerreur relative entre les raideurs axialescalculeacutees analytiquement par lrsquoancienne meacutethode 1 et la nouvelle meacutethode 3

∆K11 = 100∣∣∣∣∣∣K

(1)11 minusK

K(3)11

∣∣∣∣∣∣ (230)

0 6 12 18 24 300

N [103 trmin]

∆K11

50012002000

Fx [N]

Fig 213 ndash Erreur relative effectueacutee sans la nouvelle meacutethode de calcul de la raideur axiale ∆K11en fonction de la vitesse de rotation N pour le cas de chargement axial en consideacuterantplusieurs intensiteacutes de chargement Fx

Lrsquoerreur relative augmente avec la vitesse de rotation N et diminue avec la charge axialeFx Ainsi lrsquoerreur est grande dans des configurations de chargement pour lesquelles leseffets dynamiques sont importants vis-agrave-vis des charges locales Elle atteint 16 danslrsquoexemple ce qui nrsquoest pas acceptable Lrsquoerreur sur les valeurs de raideur est encore plusimportante si les billes des roulements sont en acier (masse volumique et donc effetsdynamiques 2 5 fois plus grands)

Les simplifications adopteacutees dans les travaux preacuteceacutedents [Cao et Altintas 2004b] nrsquoavaientcependant pas drsquoimpact si important dans leurs travaux car le critegravere Ndm nrsquoeacutetait alorspas si eacuteleveacute Neacuteanmoins dans le cas preacutesent lrsquoapplication est tregraves critique En effet laFig 213 montre que la nouvelle meacutethode se justifie au-delagrave de 18 000 trmin pour cetype de roulement geacuteneacuteralement monteacute sur les broches avec attachement HSK 63

A noter que lrsquoerreur maximale constateacutee entre les meacutethodes 3 et 5 est infeacuterieure agrave001 quelle que soit la vitesse de rotation et la charge axiale De plus la meacutethode decalcul par diffeacuterences finies n5 est reacuteputeacutee pour fournir des reacutesultats exacts Ainsi nouspouvons raisonnablement conclure que les nouvelles expressions analytiques donnent lavaleur exacte du comportement lineacuteariseacute du roulement contrairement agrave la meacutethode dela litteacuterature Par conseacutequent nous pouvons conclure que nous avons eacutetabli lrsquoexpressionanalytique complegravete de la matrice de raideur

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333 Impact sur les freacutequences propres drsquoun rotor de broche

La partie preacuteceacutedente a traiteacute du gain de preacutecision sur la matrice de raideur gracircce agrave lanouvelle meacutethode de calcul Pour se rendre compte de la pertinence de son utilisationil est inteacuteressant de consideacuterer son impact sur le modegravele de rotor En tant qursquousineurla preacutecision des valeurs de freacutequences propres est primordiale puisqursquoelles permettent lechoix de vitesses de rotation stable de lrsquooutil (voir partie 22 du chapitre I) Cette partieconsiste agrave quantifier lrsquoerreur commise si la nouvelle meacutethode nrsquoest pas utiliseacutee Pourcela lrsquoeacutelectrobroche UGV Fischer MFW 2320 est consideacutereacutee (voir Annexe 12) Elle aune forte puissante maximale de 100 kW et une vitesse maximale de 30 000 trmin Lerotor est guideacute par un montage ldquoOrdquo de tandem de roulements hybrides SNFA VEX70eacutelastiquement preacutechargeacutes Cette application est caracteacuteriseacutee par unNdm de 2 7106 crsquoestpourquoi elle se precircte bien agrave cette eacutetude drsquoimpact de calcul de la matrice de raideur surles freacutequences propres

Le modegravele volumique est preacutesenteacute sur la Fig 214 Les roulements agrave billes sont pris encompte en tant que ressorts lineacuteaires aux centres des roulements Chaque ddl correspondagrave une raideur qui nrsquoest drsquoautre que le terme diagonal de la matrice de raideur K Pourcette eacutetude succincte les termes extra-diagonaux sont neacutegligeacutes

Fig 214 ndash Modegravele volumique du rotor de la broche Fischer MFW2320

Au vu du montage de roulement lrsquoeffort de preacutecharge sur chaque roulement est consideacutereacuteconstant (agrave cause du systegraveme de preacutecharge consideacutereacute agrave raideur infiniment souple) Lavaleur de preacutecharge consideacutereacutee pour cet exemple est celle preacuteconiseacutee par le fabricant deroulement La preacutecharge dite ldquoforterdquo est adopteacutee puisque crsquoest celle qui correspond agrave unecaracteacuteristique de raideur importante du montage rechercheacute par le fabricant de brocheAinsi lrsquoeffort axial Fx sur chaque roulement est fixeacute agrave 1 220N

Le module Eleacutements Finis du logiciel Catiareg V5 a eacuteteacute choisi pour les simulations nu-meacuteriques Les bagues inteacuterieures de roulements les entretoises et les parties du moteursont modeacuteliseacutees par des masses additionnelles Les effets dynamiques sur le rotor nrsquoontpas eacuteteacute consideacutereacutes pour faciliter la comparaison (des modegraveles de rotor plus completsseront abordeacutes en deacutetail dans le Chapitre IV) Dans le cadre de cette eacutetude lrsquoanciennemeacutethode (1) et la nouvelle meacutethode (3) maintenant reacuteputeacutee exacte ont eacuteteacute eacutetudieacuteespour les hypothegraveses cineacutematiques de controcircle par la bague exteacuterieure et la theacuteorie hy-

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bride Les freacutequences propres des deux premiers modes de flexion sont preacutesenteacutes dans leTab 25

Tab 25 ndash Influence de lrsquoerreur de raideur sur les freacutequences propres de la broche MFW2320

Hypothegravese Modes de 0 trmin 30 000 trmin 30 000 trmin f (3) minus f (1)

f (3) []cineacutematique flexion [Hz] meacutethode (1) [Hz] meacutethode (3)[Hz]

Outer-race Mode 1 1 073 384 362 616control Mode 2 1 296 486 459 574

Theacuteorie Mode 1 1 073 406 390 395hybride Mode 2 1 296 512 493 394

Comme pour un simple systegraveme masse-ressort-amortisseur agrave 1 ddl une chute de raideurimplique une freacutequence propre plus basse ce qui explique lrsquoeacutevolution des freacutequencespropres du rotor entre 0 et 30 000 trmin Lrsquoincertitude sur les valeurs de freacutequencesprovenant de lrsquohypothegravese cineacutematique (entre le controcircle par la bague exteacuterieure et latheacuteorie hybride) est drsquoenviron 7 dans cet exemple De plus amples observations serontdonneacutees en partie 43 concernant le choix drsquohypothegravese cineacutematique

La nouvelle meacutethode de calcul analytique de la matrice de raideur (3) permet drsquoeacuteviterune erreur drsquoenviron 6 avec la theacuteorie du controcircle par la bague exteacuterieure et 4 avecla theacuteorie hybride comparativement avec lrsquoancienne meacutethode de calcul En terme defreacutequence cette erreur correspond agrave 16Hz et 27Hz Elle est trop importante si lrsquoonsouhaite preacutedire les conditions de stabiliteacute du proceacutedeacute de fraisage La nouvelle meacutethodede calcul analytique de la matrice de raideur est donc bien neacutecessaire pour mettre aupoint des modegraveles de broches agrave critegravere Ndm eacuteleveacute

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4 Analyse du comportementLe modegravele dynamique du roulement agrave billes a eacuteteacute eacutetabli preacuteceacutedemment La reacutesolution dumodegravele ainsi que le calcul analytique de la matrice de roulement ont eacuteteacute deacutetailleacutes Lrsquoana-lyse deacutebutera par une eacutetude pheacutenomeacutenologique en observant des reacutesultats de simulationsnumeacuteriques Les paramegravetres influent sur la raideur du roulement seront ensuite identifieacutesgracircce agrave une analyse de sensibiliteacute Enfin lrsquoincidence de lrsquohypothegravese cineacutematique sur lecomportement sera eacutetudieacutee

41 Compreacutehension pheacutenomeacutenologique

411 Impact de la vitesse de rotation

Lrsquoimpact de la vitesse de rotation sur les grandeurs de description de lrsquoeacutetat du roulementest agrave ce stade partiellement connu En effet pour mettre en place le modegravele dynamique deroulement un deacutedoublement de lrsquoangle de contact a eacuteteacute supposeacute Analysons plus en deacutetaille comportement du roulement gracircce agrave un exemple de chargement drsquoun roulement SNFAVEX70 Le chargement axial est retenu de sorte agrave pouvoir faire aiseacutement le lien entrecomportement global et local puisque toutes les billes sont chargeacutees de maniegravere identiquedans ce cas La theacuteorie du controcircle par la bague exteacuterieure est adopteacutee arbitrairementcomme hypothegravese cineacutematique Lrsquoinfluence du choix de lrsquohypothegravese est deacutetailleacutee par lasuite en partie 43

Angles de contact

Lorsque la vitesse de rotation est nulle la bille nrsquoest soumise qursquoagrave deux efforts auxpoints de contact dus agrave lrsquoeffort axial La droite drsquoaction commune de ces efforts deacutefinitun unique angle de contact Avec rotation du roulement les effets dynamiques entraicircnentun deacutedoublement des angles de contact (voir Fig 25) Leur eacutevolution avec le chargementaxial est traceacute sur la Fig 215 pour diffeacuterentes vitesses de rotation N

Sans vitesse de rotation lrsquoangle de contact augmente tregraves leacutegegraverement avec la chargeaxiale Ce pheacutenomegravene est tout agrave fait logique en consideacuterant le deacuteplacement du centre decourbure de la bague inteacuterieure ducirc agrave la deacuteflexion axiale δx positive (voir Fig 24)

Plus la vitesse de rotation augmente plus lrsquoangle de contact inteacuterieur αi augmente etlrsquoangle de contact exteacuterieur αo diminue Les effets dynamiques ont drsquoautant plus drsquoimpactque les efforts sont faibles Ainsi avec des efforts tregraves importants les angles de contacttendent vers lrsquoangle de contact initial Par contre avec des charges faibles lrsquoangle decontact exteacuterieur tend vers 0 Pour un effort axial nul lrsquoangle de contact inteacuterieur αi ne

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4 Analyse du comportement

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

0600012000180002400030000

N [trmin]

Fig 215 ndash Evolution des angles de contact αi et αo en fonction de lrsquoeffort axial Fx pour diffeacuterentesvitesses de rotation N

converge pas vers une valeur speacutecifique lorsque la charge est nulle En effet lrsquoeacutecrasementde la bille sur la bague exteacuterieure fait eacutevoluer la position de la bille Ainsi le pointde contact entre la bille et la bague inteacuterieure bien que non chargeacute a une positioneacutevoluant avec la vitesse de rotation Ce comportement est illustreacute sur la Fig 216 pourdeux vitesses de rotation diffeacuterentes et pour un effort axial Fx nul

Fig 216 ndash Situations geacuteomeacutetriques agrave la limite du deacutecollement pour une vitesse de rotation faibleagrave gauche) et une vitesse eacuteleveacutee (agrave droite)

Ce constat megravene drsquoailleurs agrave une formule permettant de deacutetecter la perte de contact dela bille et de la bague inteacuterieure A la limite du deacutecollement la geacuteomeacutetrie du contact estdicteacutee par la relation suivante

(A2 minus (fo minus 05)D +KeF

)2minus ((fi minus 05)D)2 = 0 (231)

Cette formule srsquoavegravere tregraves utile car elle permet de deacutetecter le deacutecollement En effet ilest probleacutematique numeacuteriquement car il est synonyme de matrices singuliegraveres lors de lareacutesolution et du calcul de la matrice de raideur

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Deacuteflexion axiale

Les reacutesultats de deacuteflexion axiale sont tregraves lieacutes aux reacutesultats preacutesenteacutes preacuteceacutedemmentconcernant les angles de contact Un abaque a eacuteteacute eacutelaboreacute dans les mecircmes conditionsque preacuteceacutedemment Fig 217

0 6 12 18 24 30-100

N [103 trmin]

δx [microm]

Fig 217 ndash Exemple drsquoabaque repreacutesentant le comportement dynamique axial du roulement agrave billespour diffeacuterentes valeurs de chargement axial Fx [N ]

Sans rotation de lrsquoarbre une deacuteflexion axiale δx positive est observeacutee Cette deacuteflexion δxest non-lineacuteaire par rapport agrave lrsquoeffort Fx Avec une vitesse de rotation augmentant labague inteacuterieure recule agrave cause de la seacuteparation des angles vue plus haut Le recul estdrsquoautant plus important que la vitesse est eacuteleveacutee et que la charge axiale est faible

La courbe correspondant agrave un effort nul sur la bague est inteacuteressante Elle coiumlncide avec lalimite de deacutecollement en fonction de la vitesse de rotation exprimeacutee par lrsquoeacutequation (231)Cette deacuteflexion augmente leacutegegraverement au-delagrave de 10 000 trmin agrave cause de lrsquoeacutecrasementlocaliseacute sur la bague exteacuterieure et causeacutee par lrsquoeffort centrifuge

Pression maximale au contact

A lrsquoeacutechelle macroscopique lrsquoeffort local Q correspond agrave une reacutepartition de pression nor-male p sur la zone de contact La figure 218 repreacutesente cette reacutepartition sur lrsquoellipsede contact de demi-axes a et b conformeacutement agrave la theacuteorie de Hertz Cette ellipse est laprojection de la zone de contact On note pmax la valeur maximale de cette pressionSa connaissance est une donneacutee importante pour calculer la dureacutee de vie en fatigue duroulement agrave bille Pour retenir un ordre de grandeur la limite de fatigue se situe auxalentours de 1 800 minus 2 000MPa pour les bagues en acier 100C6

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-bFig 218 ndash Profil de la pression p sur la zone de contact

Une simulation numeacuterique a eacuteteacute effectueacutee pour deacuteterminer les valeurs des pressionsmaximales de contact en fonction de la vitesse de rotation Les reacutesultats numeacuteriquessont traceacutes sur la Fig 219

0 5 10 15 20 25 30

N [103 trmin]

500 500

Fig 219 ndash Pressions maximales au contact en fonction de la vitesse de rotation N pour diffeacuterentesvaleurs de chargement axial Fx [N ]

La pression sur la bague exteacuterieure augmente agrave cause de lrsquoeffort centrifuge sur la billeet de la diminution de lrsquoangle de contact αo (courbes agrave iso-angle axial Fx) De mecircmecelle sur la bague inteacuterieure diminue agrave cause de lrsquoangle de contact αi qui augmente

Sans vitesse de rotation les pressions maximales ne sont pas eacutegales bien que les chargeslocales le soient Ceci est ducirc agrave des rayons de courbure diffeacuterents pour le contact inteacuterieuret exteacuterieur Pour des rayons de courbure dans le plan (O erx) eacutegaux ri = ro les pres-sions seraient quasiment eacutegales (influence des rayons de courbure dans le plan (Oy z)neacutegligeable) Le choix des rayons de courbure ri et ro est effectueacute par le roulementierde sorte agrave obtenir une usure identique des deux pistes Bien sucircr ce choix deacutepend dela plage de fonctionnement du roulement (effort et vitesse) Par exemple le roulement

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retenu dans cet eacutetude ne serait pas adapteacute pour une utilisation agrave une charge de 250Nagrave vitesse fixeacutee agrave 30 000 trmin puisque lrsquousure serait alors essentiellement localiseacutee surla bague exteacuterieure

Quel est lrsquoeffet dynamique preacutepondeacuterant

Il est leacutegitime de se demander qui de lrsquoeffort gyroscopique ou du moment gyroscopiquea un effet preacutepondeacuterant sur le comportement dynamique du roulement La figure 220trace le comportement du roulement avec et sans ces effets dynamiques pour N =24 000 trmin

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 300

Fx [kN]

δx [microm]

StatiqueDynamique F

Dynamique Mg

Dynamique Fc

Fig 220 ndash Comparaison des comportements statique et dynamique avec et sans force centrifugeet moment gyroscopique

Le comportement statique est un reacutesultat classique La courbe le deacutecrivant est du typeFx = Kδ32

x et est aiseacutement identifieacutee expeacuterimentalement La courbe du comportementdynamique complet fait lagrave-aussi apparaicirctre une deacuteflexion neacutegative due agrave la vitesse derotation Les courbes obtenues sans consideacuterer lrsquoeffort centrifuge Fc et le moment gyro-scopique Mg permettent drsquoaffirmer que chacun de ces deux effets dynamiques influentsignificativement sur le comportement du roulement Cependant lrsquoeffort centrifuge a uneffet preacutepondeacuterant sur la dynamique du roulement

Cette courbe permet aussi drsquoobserver la raideur du roulement puisqursquoelle corresponddirectement agrave la pente de ces courbes Notons eacutegalement que la raideur du roulementest non-lineacuteaire La raideur du roulement diminue avec la vitesse de rotation Par ailleursles effets dynamiques permettent de confeacuterer une raideur non nulle pour des deacuteflexionsaxiales neacutegatives La partie qui suit traite plus en deacutetail les raideurs du roulement

42 Paramegravetres drsquoinfluence sur la raideur

Le but de cette partie est de cerner quels sont les paramegravetres ayant le plus drsquoinfluencesur le comportement du roulement Pour cette eacutetude le roulement hybride de haute

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preacutecision SNFA VEX70 est seacutelectionneacute et consideacutereacute seul Lrsquoeacutetude montre lrsquoinfluence dela charge axiale et de la vitesse de rotation Les simulations numeacuteriques sont effectueacuteesavec lrsquohypothegravese cineacutematique correspondant agrave la theacuteorie hybride Le roulement seul estchargeacute axialement drsquoun effort Fx et pour diffeacuterentes vitesses de rotation Les raideursaxiale Kxx = K(1 1) et radiale Kyy = K(2 2) = K(3 3) sont repreacutesenteacutees sur lesFig 221 en fonction de la vitesse de rotation N

0 5 10 15 20 25 300

N [103 trmin]

[Nmicrom]

50 250500

2500 3000

60006000

(a) Evolution de la raideur axiale Kxx

0 5 10 15 20 25 300

N [103 trmin]

[Nmicrom]

50 250500

2500 3000

(b) Evolution de la raideur radiale KyyFig 221 ndash Evolution de la raideur du roulement en fonction de la vitesse de rotation N pour

diffeacuterentes charges axiales Fx (en newtons sur les eacutetiquettes)

Les profils des courbes de raideur axiale et radiale sont similaires Sans surprise lecomportement du roulement est non-lineacuteaire vis-agrave-vis du chargement axial et de la vitessede rotation Les raideurs chutent significativement avec la vitesse de rotation Ceci estun reacutesultat classique et preacutesent dans la litteacuterature [Li et Shin 2004 Rantatalo et al2007] Dans le cas preacutesent le critegravere Ndm est tregraves important ce qui explique la chute deraideur encore plus marqueacutee Par exemple pour un mecircme effort de preacutecharge de 1 000N la raideur Kxx passe de 140 agrave 241Nmicrom et la raideur Kyy passe de 301 agrave 331Nmicrompour une vitesse de rotation N allant de 0 agrave 30 000 trmin Ceci correspond agrave des pertesde raideur respectivement de 82 8 et 890 dues agrave la vitesse de rotation Cette chuteest drsquoautant plus importante que la charge axiale est faible A titre drsquoexemple pourun effort axial de 2 000N la chute de raideur axiale est de 725 et la chute de raideurradiale de 779 Ainsi pour assurer la raideur drsquoun meacutecanisme guideacute par des roulementsagrave contact oblique tournant agrave de hautes vitesses de rotation une preacutecharge importantedoit ecirctre choisie

Pour des charges axiales faibles lrsquoeacutevolution des raideurs agrave hautes vitesses est surprenantepuisqursquoelles augmentent leacutegegraverement avec la vitesse de rotation Cette situation particu-liegravere est due agrave lrsquoimportance des efforts dynamiques par rapport aux charges locales sur

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la bague inteacuterieure par exemple pour une charge axiale de 250N agrave 30 000 trminQi = 17 6N et Fc = 153N

43 Impact de lrsquohypothegravese cineacutematique

Lrsquohypothegravese cineacutematique concerne lrsquoangle drsquoinclinaison β deacutefinissant lrsquoaxe de rotationpropre de la bille concerneacutee (voir partie 223) Lrsquoimpact de cette hypothegravese sur le com-portement du roulement est eacutetudieacutee ici en particulier en ce qui concerne la raideur Laraideur axiale K11 est calculeacutee analytiquement avec la nouvelle meacutethode reacuteputeacutee exacte(voir partie 32) Dans le cadre de cette eacutetude une charge axiale de 1 220N est adopteacuteeCette charge correspond agrave la preacutecharge moyenne proposeacutee par le fabricant SNFA pour leroulement VEX 70 La raideur axiale du roulement en fonction de la vitesse de rotationN est traceacutee sur la Fig 222 pour les 4 hypothegraveses cineacutematiques eacutetudieacutees

0 6 12 18 24 3020

N [103 trmin]

[Nmicrom]

Inner-Race ControlOuter-Race ControlHybrideGeacuteometrique

Fig 222 ndash Raideur axiale du roulement axialement chargeacute agrave 1 220N en fonction de la vitesse derotation N pour les quatre hypothegraveses cineacutematiques

La perte de raideur due agrave la vitesse de rotation est tregraves importante Elle est caracteacuteris-tique des montages eacutelastiquement preacutechargeacutes (situation de preacutecharge constante commeici ougrave un effort constant est appliqueacute) Lrsquohypothegravese cineacutematique a un impact fort sur laraideur estimeacutee agrave hautes vitesses Celle estimeacutee avec la theacuteorie hybride est encadreacutee parles valeurs issues de la theacuteorie du controcircle En effet les controcircles par la bague exteacuterieureet la bague inteacuterieure supposent des cas extrecircmes en ce qui concerne les mouvementsde rotation suivant les normales au contact (spin) De plus les reacutesultats de la theacuteoriehybride tendent vers ceux du controcircle par la bague exteacuterieure ce qui est en accord avecles zones de validiteacute preacutesenteacutees Fig 28 Moins binaire que la theacuteorie du controcircle latheacuteorie hybride semble particuliegraverement pertinente Les valeurs obtenues par la theacuteoriegeacuteomeacutetrique sont la moyenne de valeurs de la theacuteorie du controcircle En effet la theacuteoriegeacuteomeacutetrique suppose un spin-to-roll ratio eacutegal sur chacune des bagues

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Dans cet exemple la chute de raideur due agrave la vitesse de rotation est de 757 et 783respectivement pour la theacuteorie hybride et le controcircle par la bague exteacuterieure Cet eacutecartserait plus faible dans le cas drsquoun roulement davantage chargeacute Lrsquoerreur relative entreces deux theacuteories est de (363minus 326)363 = 104 agrave une vitesse de 30 000 trmin

La diffeacuterence entre ces 4 courbes vient directement du calcul de lrsquoangle drsquoinclinaisonβ repreacutesenteacute Fig 223 Lrsquoangle drsquoinclinaison correspondant au controcircle par la bagueinteacuterieure est plus important que celui obtenu avec le controcircle par la bague exteacuterieureCe reacutesultat est illustreacute graphiquement agrave la Fig 27 Cet angle nrsquoimpacte pas de maniegraveresignificative les ratios de vitesse ωRω and ωmω ni la valeur de lrsquoeffort centrifuge Fc Parcontre lrsquoinfluence de lrsquoangle drsquoinclinaison a un impact direct sur la valeur du momentgyroscopique (voir Eqn (212)) A hautes vitesses la diffeacuterence entre Mg calculeacutes avecla theacuteorie hybride et la theacuteorie de controcircle par la bague exteacuterieure atteint 30 Enoutre les simulations numeacuteriques ont montreacute qursquoavec un moment gyroscopique non prisen compte lrsquohypothegravese cineacutematique nrsquoa pas drsquoinfluence

0 6 12 18 24 3010

N [103 trmin]

β [deg]

Fig 223 ndash Angle drsquoinclinaison β en fonction dela vitesse de rotation N pour cha-cune des 4 hypothegraveses cineacutematiques

0 6 12 18 24 30-016

N [103 trmin]

Mg [Nm]

Fig 224 ndash Moment gyroscopique Mg en fonc-tion de la vitesse de rotation N pourchacune des 4 hypothegraveses cineacutema-tiques

Comparons agrave preacutesent ces theacuteories agrave hautes vitesses Harris conclut que le controcircle parla bague exteacuterieure est adapteacutee agrave hautes vitesses uniquement pour des charges faibles[Harris et Kotzalas 2007a] Dans ce cas les reacutesultats de la theacuteorie hybride sont prochesde la theacuteorie de controcircle par la bague exteacuterieure (cette proximiteacute entre ces deux theacuteoriessrsquoobserve aussi sur Fig 222) En effet le spin sur la bague exteacuterieure ωspino tend alorsvers zeacutero la theacuteorie hybride convient De la mecircme maniegravere les reacutesultats de la theacuteoriehybride tendent vers ceux de la theacuteorie geacuteomeacutetrique avec des charges eacuteleveacutees agrave causedrsquoune augmentation de ωso aussi observeacutee dans lrsquoouvrage de Harris Ainsi la theacuteoriehybride convient aussi pour des charges importantes

En conclusion les simulations numeacuteriques ont montreacute que la theacuteorie hybride semble

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convenir Elle a lrsquoavantage drsquoadapter de maniegravere continue le calcul de lrsquoangle drsquoinclinai-son en fonction de la vitesse de rotation et des charges locales ce qui est drsquoavantagerepreacutesentatif de la reacutealiteacute physique Des investigations expeacuterimentales seraient neacuteces-saires pour valider deacutefinitivement cette theacuteorie reacutecente

Les reacutesultats concernant lrsquohypothegravese geacuteomeacutetrique ne semblent pas incoheacuterents Cettetheacuteorie peut donc ecirctre choisie si lrsquoon souhaite simplifier lrsquoimpleacutementation informatiqueElle procurera une bonne estimation de lrsquoangle drsquoinclinaison pour des charges relative-ment eacuteleveacutees

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ConclusionCe chapitre a permis drsquoeacutetablir le modegravele de roulement agrave contact oblique Un modegravelede roulement complet est en reacutealiteacute neacutecessaire pour lrsquoeacutetude de dynamique du rotor debroche puisqursquoil en deacutefinit les conditions limites

Tout drsquoabord lrsquoobservation de reacutesultats expeacuterimentaux a montreacute que la vitesse de ro-tation et les expansions radiales des bagues devaient ecirctre prises en compte dans lamodeacutelisation

Une meacutethode prenant en compte les effets dynamiques a eacuteteacute retenue Les trois principaleseacutetapes de mise en eacutequations sont deacutetailleacutees Cette meacutethode est eacutetendue pour prendre encompte les expansions radiales macroscopiques des bagues de roulements La reacutesolutionnumeacuterique est aussi expliqueacutee dans le but drsquoobtenir soit les efforts globaux agrave partirdes deacuteplacements globaux soit lrsquoinverse soit encore une combinaison des deux Cettederniegravere est une nouvelle meacutethode qui srsquoaveacuterera tregraves utile pour le modegravele vibratoirecomplet de la broche

Ensuite le calcul de la matrice de raideur est eacutetabli en justifiant son utiliteacute Un premiercalcul simple mais couteux par diffeacuterences finies est mis en place pour fournir des valeursde reacutefeacuterence Une nouvelle meacutethode de calcul analytique baseacutee sur une meacutethode existanteest deacuteveloppeacutee Elle permet un calcul exact de la matrice de raideur lineacuteariseacutee gracircce agraveune prise en compte totale des effets dynamiques Des comparaisons avec les meacutethodesexistantes sont preacutesenteacutees Lrsquoaccroissement du temps de calcul ducirc agrave la nouvelle meacutethodenrsquoest pas significatif Par ailleurs lrsquoeacutetude de lrsquoeacutevolution des freacutequences propres sur unebroche 30 000 trmin a montreacute qursquoelle se justifie pleinement par lrsquoameacutelioration de lapreacutecision de calcul notamment dans le cas de systegraveme agrave haut Ndm et modeacutereacutementchargeacute

Enfin une analyse des simulations numeacuteriques a permis de comprendre le comportementdu roulement notamment agrave travers lrsquoimpact de la vitesse vis agrave vis des angles de contactde la deacuteflexion axiale et des raideurs Lrsquoincidence des diffeacuterentes hypothegraveses cineacutematiques(dont lrsquoune drsquoelles est nouvelle la geacuteomeacutetrique) formuleacutees lors de la mise en eacutequationest analyseacutee Lrsquohypothegravese mixte semble convenir en theacuteorie car elle srsquoadapte de maniegraverecontinue aux efforts et agrave la vitesse de rotation

Fort de ces conclusions il est maintenant indispensable de valider expeacuterimentalementle modegravele de roulement et si besoin de recaler ses paramegravetres descriptifs Comme ilnrsquoest pas possible de consideacuterer le roulement seul pour des expeacuterimentations sous ro-tation lrsquoeacutetape suivante consiste agrave consideacuterer un montage reacuteel de roulements pour eneacutetudier le comportement axial Comme la finaliteacute est de modeacuteliser les broches UGV onsrsquointeacuteressera agrave un montage reacuteel de roulement drsquoeacutelectro-broches UGV

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pitre3

Construction de modegraveles axiaux parrecalages

Sommaire1 Simulations et expeacuterimentations 71

IntroductionLe modegravele dynamique de roulement agrave cinq degreacutes de liberteacute a eacuteteacute mis en place au chapitrepreacuteceacutedent il doit maintenant ecirctre valideacute Compte tenu de lrsquoobjectif global de ces travauxlrsquoeacuteleacutement roulement est consideacutereacute dans le contexte reacuteel de montage de roulements debroche Ainsi le montage de la broche MFW2310 est consideacutereacute Il comporte une double

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preacutecharge ce qui nrsquoa jamais eacuteteacute eacutetudieacute auparavant et va grandement complexifier latacircche du fait du fonctionnement coupleacute des deux systegravemes de preacutecharge

Le but de ce chapitre est donc de confronter les reacutesultats de simulations agrave des mesuresexpeacuterimentales Lrsquointeacuterecirct est de valider le comportement de lrsquoeacuteleacutement roulement maissurtout drsquoidentifier les donneacutees inheacuterentes au montage En effet les efforts de preacutechargeles raideurs des ressorts de preacutecharge le serrage des bagues etc sont totalement inconnusagrave ce stade Ce sont des grandeurs hautement confidentielles elles constituent tout lesavoir-faire le cœur de meacutetier du fabricant de broche Par ailleurs il est tregraves deacutelicat deles deacuteduire des cocirctes nominales sur les piegraveces agrave tempeacuterature ambiante et non assembleacuteesIl est preacutefeacuterable de les recaler directement sur la broche assembleacutee et en fonctionnementcar ces grandeurs sont essentielles agrave la construction du modegravele de broche Pour cela lerecalage du modegravele numeacuterique est effectueacute gracircce agrave des essais de sollicitation axiale dela broche Pour preacuteserver ces donneacutees sensibles et confidentielles pour le fabricant desbroches testeacutees toutes les donneacutees deacutevoileacutees dans ce document sont coefficienteacutees

Le premier volet de cette meacutethodologie permet de preacutesenter le modegravele analytique axialde broche ainsi que la reacutesolution de ce modegravele Les fonctionnements des montages agravepreacutecharges rigides et agrave preacutecharges eacutelastiques sont expliciteacutes gracircce agrave des reacutesultats desimulations Le protocole expeacuterimental et un nouveau dispositif de sollicitation axialsont preacutesenteacutes Les deux types de reacutesultats expeacuterimentaux sous rotation de la brochesont alors observeacutes agrave vide et en charge Afin de cerner la meacutethode le processus derecalage est exposeacute en se basant sur une seacutelection de donneacutees expeacuterimentales

La suite du chapitre vise agrave srsquoappuyer sur les mesures expeacuterimentales pour construireun modegravele juste neacutecessaire repreacutesentatif du comportement reacuteel du montage A partirde plusieurs eacutetapes de recalage et drsquoobservation des lacunes du modegravele celui-ci estenrichi Chaque enrichissement du modegravele par un nouveau pheacutenomegravene physique estdeacutetailleacute et son impact sur le comportement est analyseacute Cette proceacutedure permettra demettre agrave jour quels sont les pheacutenomegravenes physiques indispensables pour modeacuteliser lecomportement reacuteel Enfin une synthegravese meacutethodologique regroupe les pratiques pourrepeacuterer sur les donneacutees expeacuterimentales du comportement drsquoun montage quelconque deroulements preacutechargeacutes quels pheacutenomegravenes physiques doivent ecirctre inclus dans son modegravele

La derniegravere partie est une application de la meacutethodologie de recalage preacuteceacutedemmenteacutetablie Elle est effectueacutee sur une autre eacutelectro-broche UGV La meacutethodologie sera appli-queacutee sur une structure plus simple classiquement constitueacutee drsquoun systegraveme de preacutechargeunique

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CH 3 Construction de modegraveles axiaux par recalages

1 Simulations et expeacuterimentationsLe principe de lrsquoidentification de paramegravetres par recalage est de confronter des reacutesultatsissus drsquoessais expeacuterimentaux et des reacutesultats de simulation dans le but drsquoidentifier lesparamegravetres du modegravele Dans ce cadre la solution la plus simple est de consideacuterer uneconfiguration de chargement axial de la broche Un modegravele axial de broche est doncdeacuteveloppeacute ainsi qursquoun nouveau dispositif de sollicitation pour les essais expeacuterimentauxcorrespondants

La meacutethodologie deacuteveloppeacutee ici a eacuteteacute publieacutee et preacutesenteacutee pour la confeacuterence ASMEIDETC 2013 agrave Portland [Noel et al 2013b]

11 Modegravele axial de broche

La broche seacutelectionneacutee pour cette eacutetude est une broche de fraisage UGV drsquoune puissancede 70 kW et de vitesse de rotation de 24 000 trmin Elle est de conception relativementancienne et est connue pour sa fiabiliteacute Le guidage est cependant relativement peucourant puisqursquoil comporte une double preacutecharge eacutelastique (voir Fig 31) La preacutechargearriegravere est eacutequipeacutee drsquoune douille agrave billes Les trois roulements avant sont des SNFAVEX70 et les deux roulements arriegravere sont des SNFA VEX60 Cette broche est reconnuepour ecirctre un produit haut de gamme et drsquoune grande raideur

Corps de broche

Fig 31 ndash Structure de la broche Fischer MFW2310

Des essais ont eacuteteacute effectueacutes cette broche monteacutee sur une machine agrave commande numeacuteriqueHuron KX30 dans une entreprise partenaire du laboratoire Europe Technologie Elleeacutequipe aussi actuellement de nombreuses machines dans les domaines de lrsquoautomobileet lrsquoaeacuteronautique

Dans le cadre de collaborations avec le fabriquant de broche celle-ci a eacuteteacute eacutequipeacutee decapteurs agrave courant de Foucault axiaux et radiaux sur le palier avant et au niveau de ladouille arriegravere Des capteurs de tempeacuterature KTY sont localiseacutes sur le palier avant lepalier arriegravere et au niveau du stator

Le modegravele axial agrave solides rigides correspondant est repreacutesenteacute Fig 32 Lrsquohypothegravese de

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1 Simulations et expeacuterimentations

solides rigides se justifie car les raideurs de lrsquoarbre et du coulisseau arriegravere solliciteacutes entractioncompression sont bien plus importantes que celle des roulements Lrsquoarbre estrepreacutesenteacute en vert

Preacutechargeacute pas

drsquoeffort exteacuterieur

Avec effort

plusmnx10gt0 plusmnx20gt0

plusmnx30gt0

Fx1 Fx3Fx2

Kxx1 Kxx2Kp1 Kxx3Kp2

Fig 32 ndash Modegravele de broche axial consideacuterant lrsquoarbre et le corps de broche rigides

Les raideurs constantes Kp1 et Kp2 correspondent aux raideurs eacutequivalentes des ressortsde preacutecharges (en rouge) respectivement de la preacutecharge avant et de la preacutecharge arriegravereLes raideurs non-lineacuteaires Kxx1 Kxx2 et Kxx3 correspondent aux trois paliers (en violet)Le modegravele dynamique non-lineacuteaire de roulement preacutesenteacute dans le chapitre preacuteceacutedent estconsideacutereacute bien que pour lrsquoinstant seul un des cinq degreacutes de liberteacute du modegravele ne soitneacutecessaire Les raideurs Kxx sont directement lieacutees aux eacuteleacutements K(1 1) des matricesde raideur des roulements

Le palier avant 1 est constitueacute des deux roulements identiques a et b (voir Fig 31) Lesrelations entre les grandeurs relatives aux roulements et aux paliers sont Fxa = Fxb =Fx12 et Kxxa = Kxxb = Kxx12 puisque les roulements sont dans une configuration detandem similaire agrave deux ressorts non-lineacuteaires fonctionnant en parallegravele Lrsquoeacutecrasementdu palier δx1 quant agrave lui est identique agrave la deacuteflexion axial des roulements a et b Lepalier arriegravere 3 reacutepond aux mecircmes consideacuterations car il est aussi en configuration detandem Les grandeurs du palier 2 sont directement celles du roulement c Fc = Fx2 etKxxc = Kxx2

La variable drsquoentreacutee du modegravele axial de broche est lrsquoeffort exteacuterieur F appliqueacute surlrsquoarbre Les paramegravetres du modegravele sont les efforts de preacutecharge (P1 P2) et les raideursdes ressorts de preacutecharge (Kp1 Kp2) Les variables de sortie sont les efforts axiaux surles trois paliers (Fx1 Fx2 Fx3) et les deacuteplacements axiaux u = (u up2 up1) respective-ment de lrsquoarbre de la douille arriegravere et de la bague exteacuterieure du roulement c Les

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grandeurs (δx10 δx20 δx30) sont les eacutecrasements de preacutecharge des paliers eacutegaux auxdeacuteflexions axiales de preacutecharge des roulements qui les constituent Elles correspondentrespectivement aux efforts de preacutecharge ((P1 + P2)2 P1 P22)

Le modegravele deacuteveloppeacute ici est reacutegi par les trois eacutequations drsquoeacutequilibre axial du systegraveme celle de lrsquoarbre et celles du systegraveme de preacutecharge arriegravere et du systegraveme de preacutechargeavant

F minus Fx1 + Fx2 + Fx3

P2 minusKp2 up2 minus Fx3

Lrsquoordre des eacutequations est volontairement choisi pour simplifier les notations dans la suitedu chapitre (voir partie 211) Ce systegraveme drsquoeacutequations nrsquoest pas directement reacutesolublepuisqursquoil comporte six inconnues (u up2 up1 Fx1 Fx2 Fx3) Les eacutequations manquantesconcernent le comportement des paliers qui lient les efforts aux deacuteplacements Ainsi lemodegravele de roulement donne trois relations suppleacutementaires

δx1 = u+ δx10 7minusrarr Fx12

δx2 = up1 minus u+ δx20 7minusrarr Fx2

Concernant le modegravele de roulement il est inteacuteressant de remarquer qursquoici la reacutesolutionen effort a eacuteteacute retenue car elle est environ six fois plus rapide que la reacutesolution endeacuteplacement (voir partie 331 du Chapitre II)

La reacutesolution des eacutequations drsquoeacutequilibre Eqn (31) est effectueacutee au moyen drsquoun algo-rithme de Newton-Raphson

un+1 = un minus Jminus1n ξn (33)

avec ξ le vecteur des reacutesidus des eacutequations Eqn (31) et J la matrice jacobienneJ est eacutetablie en diffeacuterenciant les Eqn (31) par rapport aux deacuteplacements axiauxu = (u up2 up1) Cette eacutetape de calcul formel est faciliteacutee par la connaissance du com-portement lineacuteariseacute des trois paliers

Fx1 = Kxx1(u+ δx10)

Fx2 = Kxx2(up1 minus u+ δx20)

avec Kxx la raideur axiale du palier directement fournie par le premier eacuteleacutement dela matrice de raideur dudes roulement(s) constituant le palier consideacutereacute Comme lemodegravele de roulement est non-lineacuteaire la valeur de la raideur axiale deacutepend de lrsquoeacutetat de

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chargement Fx Elle est donc calculeacutee agrave chaque iteacuteration de la reacutesolution

Au final la matrice Jacobienne J est

minusKxx1 minusKxx2 minusKxx3 Kxx3 Kxx2

Kxx3 minusKp2 minusKxx3 0Kxx2 0 minusKp1 minusKxx2

Lrsquoalgorithme de reacutesolution numeacuterique est initialiseacute avec lrsquoeacutetat preacutechargeacute (qui ne poseaucun problegraveme numeacuterique lieacute au deacutecollement des billes de roulement) Par conventionu est fixeacute agrave 0 pour F = 0N et N = 0 trmin Au final pour chaque pas de calcul n delrsquoalgorithme le modegravele de roulement est reacutesolu trois fois (ie pour chaque palier 1 2 et3)

Remarque La nouvelle meacutethode de calcul de la matrice de raideur preacutesenteacutee enpartie 32 du chapitre II deacutemontre ici toute son utiliteacute En effet si les valeurs calculeacuteesdes raideurs ne sont pas exactes la matrice jacobienne J est approcheacutee ce qui peut poserdes problegravemes de convergence de lrsquoalgorithme de Newton-Raphson relatif agrave Eqn (33)

Pour comprendre lrsquoeffet de la preacutecharge il est neacutecessaire drsquoanalyser au preacutealable le com-portement de montages agrave preacutecharge rigide puis agrave preacutecharge eacutelastique sans puis aveceffet de la vitesse de rotation Des reacutesultats de simulations numeacuteriques sont repreacutesenteacutesen consideacuterant la structure de la broche Fischer 2310 dont la structure est repreacutesenteacutee enFig 31 En compleacutement une animation Flash a eacuteteacute deacuteveloppeacutee pour vulgariser scien-tifiquement le comportement de tels montages preacutechargeacutes [Noel 2012b] (cette animationest incluse en annexe 2)

Montage agrave preacutecharge rigide

Les courbes du montage agrave preacutecharge rigide (Fig 33) relatives agrave une vitesse nulle sonttregraves preacutesentes dans la litteacuterature [Harris et Kotzalas 2007b Moret 1990 SNFA 1997] Larepreacutesentation adopteacutee sur la Fig 33 est adopteacutee pour les systegravemes preacutechargeacutes car elledonne par construction graphique les efforts sur lrsquoarbre et sur les paliers en fonction dudeacuteplacement du rotor et vice-versa Une repreacutesentation similaire est aussi utiliseacutee pourles assemblages boulonneacutes preacutecontraints [Aublin et al 2006]

Dans le cadre de cet exemple les deux systegravemes de preacutecharge sont consideacutereacutes rigides cequi correspond agrave prendre des ressorts de preacutecharge infiniment rigides Sur la Fig 33 lesreacutesultats repreacutesenteacutes sont les efforts sur les paliers avant 1 (lignes continues) et arriegravere2+3 (lignes pointilleacutees) Sur ce type de traceacute lrsquoeffort F correspondant agrave un deacuteplacement

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de lrsquoarbre u donneacute srsquoobtient graphiquement agrave partir de la distance entre les deux courbesgracircce agrave lrsquoeacutequilibre de lrsquoarbre F = F1minus(F2+F3) La Fig 33 montre un exemple de cetteconstruction sur les courbes relatives agrave N = 24 000 trmin ce qui est beaucoup moinshabituel que le traceacute agrave N = 0 trmin Lrsquoeffort de preacutecharge P1 + P2 est directementdonneacute par lrsquointersection des courbes de F1 et de F2 + F3 relatives agrave la mecircme vitesseLrsquointersection correspond agrave un chargement F nul et permet drsquoobserver le deacuteplacementaxial du rotor ducirc aux forces centrifuges et moments gyroscopiques sur les billes

-15 -10 -5 0 5 10 15-1000

u [microm]

1 agrave 0 trmin

3 agrave 0 trmin

F1 agrave 16 000 trmin

3 agrave 16 000 trmin

Fig 33 ndash Efforts sur les paliers du montage dans le cas de preacutecharges rigides

Le deacuteplacement u correspondant agrave un effort F1 nul signifie que les roulements du palieravant 1 sont deacutecolleacutes le point A repeacuterant la limite du deacutecollement Les courbes de laFig 33 agrave 0 trmin exposent donc les deacuteflexions de preacutecharge δx10 etmax(δx20 δx30) Ledeacutecollement des roulements pour des vitesses de rotation non-nulles nrsquoest plus observableEn effet la deacuteflexion neacutegative est tregraves importante avant qursquoil puisse y avoir deacutecollementcar les billes se deacuteplacent (voir reacutesultats de la Fig 217 du chapitre II)

La configuration de preacutecharge correspond agrave un effort F nul Sans vitesse de rotationla preacutecharge P0 est directement la somme des preacutecharges P1 et P2 donneacutees drsquoentreacutee dumodegravele La deacuteflexion u est nulle par convention Avec une vitesse de rotation qui aug-mente lrsquoeffort de preacutecharge augmente significativement (voir Fig 33) Dans lrsquoexemplelrsquoeffort de preacutecharge passe de 1 200N agrave 3 160N entre 0 et 24 000 trmin Cela est direc-tement ducirc agrave la deacuteflexion axiale de chaque roulement engendreacutee par la vitesse de rotation(voir discussion du chapitre II relative agrave la Fig 217) Cette deacuteflexion axiale augmentelrsquoeacutecrasement des roulements et donc les efforts de preacutecharge Crsquoest une des raisons pourlesquelles les systegravemes de preacutecharges rigides sont le plus souvent mis de coteacute pour lesrotors tournant agrave hautes vitesses Ces remarques sont valables dans le cas drsquoun montageen ldquoOrdquo Pour un montage en ldquoXrdquo la preacutecharge diminuerait au lieu drsquoaugmenter

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Une autre raison majeure eacutecarte cette solution technique de preacutecharge rigide le diffeacute-rentiel de tempeacuterature important entre le stator et le rotor ∆T = TeminusTi Une variationne serait-ce que de 10C repreacutesente un allongement diffeacuterentiel drsquoenviron 40microm entrele palier 1 et le palier 3 Cet allongement est plus important que les eacutecrasements depreacutecharge Comme les montages sont en ldquoOrdquo cet allongement entraicircnerait une pertetotale de preacutecharge

La Fig 34 repreacutesente le comportement du montage qui pourrait ecirctre observeacute lorsdrsquoexpeacuterimentations En effet elle fait apparaicirctre le deacuteplacement de lrsquoarbre u en fonctionde lrsquoeffort sur lrsquoarbre F deux grandeurs mesurables

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-15

F [kN]

u [microm]

0 trmin16 000 trmin24 000 trmin

Fig 34 ndash Comportement du montage dans le cas de preacutecharges rigides

Sur ces courbes obtenues par simulation il est possible de relever la souplesse commepente de la courbe La raideur eacutequivalente du montage de roulements Keq est alorsdirectement observeacutee Le comportement semble quasi lineacuteaire sans vitesse de rotationIl est quasi symeacutetrique dans la configuration retenue pour lrsquoexemple les paliers 1 et 2+ 3 ayant des raideurs du mecircme ordre de grandeur Dans cet exemple particulier laraideur axiale de la broche agrave F = 0 est de 650Nmicrom sans rotation de broche et passe agrave441Nmicrom agrave 16 000 trmin et agrave 434Nmicrom agrave 24 000 trmin soient des pertes de raideurrespectives de 32 1 et 33 2 Contrairement agrave la raideur du roulement seul qui chuteconsideacuterablement avec la vitesse de rotation (voir partie 42 du chapitre II) la raideurdu montage agrave preacutecharge rigide chute peu En effet la preacutecharge a significativementaugmenteacute avec la vitesse de rotation ce qui limite la chute de raideur

Montage agrave preacutecharge eacutelastique

Les reacutesultats des simulations effectueacutees pour le rotor avec preacutecharge eacutelastique sont preacute-senteacutes sur les Fig 35(a) et Fig 35(b) Ce comportement correspond au modegravele axialpreacutesenteacute preacuteceacutedemment avec des ressorts de preacutecharge consideacuterablement plus souplesque les roulements (comme en configuration reacuteelle)

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-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 100

16P24 u [microm]

F1 agrave 0 trmin

3 agrave 0 trmin

(a) Efforts sur les paliers-2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000 5000

u [microm]

(b) Comportement apparent du montageFig 35 ndash Montage agrave preacutecharges eacutelastiques

Le comportement du palier avant 1 repreacutesenteacutee par la courbe F1 en fonction de u estidentique agrave celui du systegraveme agrave preacutecharge rigide de la Fig 33 Le deacutecollement du palier1 est repeacutereacute par le point A Par contre les courbes de F2 + F3 semblent agrave preacutesenteacutevoluer lineacuteairement En effet la raideur eacutequivalente des paliers 2 et 3 est Kxx2 Kp1

Kxx2+Kp1+

Kxx3 Kp2Kxx3+Kp2

Comme la raideur des ressorts de preacutecharge est beaucoup plus faible que celledes roulements la raideur eacutequivalente devient Kp1 +Kp2 Dans ce cas elle nrsquoeacutevolue pasavec lrsquoeffort axial sur lrsquoarbre F Ainsi les courbes de F2 +F3 sont des droites Reacutesultantde ce constat la raideur eacutequivalente du montage eacutelastique est bien en deccedilagrave du montageavec preacutecharge rigide (voir Fig 35(b)) Une fois le palier 1 deacutecolleacute seuls les paliers2 et 3 sont chargeacutes Ainsi le comportement quasi-lineacuteaire des paliers 2 et 3 est aussiidentifiable sur la Fig 35(b) une fois le palier avant deacutecolleacute La limite est repeacutereacutee parle point drsquoinflexion A

Gracircce agrave la preacutecharge eacutelastique lrsquoeffort de preacutecharge P1 + P2 augmente peu avec lavitesse de rotation Dans lrsquoexemple la preacutecharge agrave 0 trmin est P0 = 1 205N et passeagrave P24 = 1 650N agrave 24 000 trmin La deacuteflexion axiale due agrave la vitesse de rotation apeu drsquoinfluence sur lrsquoaugmentation de preacutecharge gracircce agrave lrsquoeacutecrasement des ressorts depreacutecharge

Ce constat peut ecirctre eacutetendu agrave une autre reacuteflexion lrsquoimpact de lrsquointervalle de toleacuterancelieacute agrave la chaicircne de cote axiale Pour les mecircmes raisons il est moindre pour un systegraveme agravepreacutecharge eacutelastique alors que ce nrsquoest pas le cas pour un systegraveme agrave preacutecharge rigide

La raideur du systegraveme agrave preacutecharge eacutelastique est plus faible que celle drsquoun systegraveme agravepreacutecharge rigide La raideur axiale eacutequivalente de la broche donneacutee par

Keq = Kxx1 + Kxx2Kp1

Kxx2 +Kp1+ Kxx3Kp2

Kxx3 +Kp2(36)

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Cette raideur peut ecirctre approcheacutee par Keq sim Kxx1 pour la partie F gt 0 car la raideurdes ressorts est tregraves faible devant la raideur du palier avant 1 Dans lrsquoexemple retenu etagrave F = 0 la raideur sans rotation de lrsquoarbre est de 331Nmicrom Elle passe agrave 94 3Nmicrom agrave16 000 trmin puis 685Nmicrom agrave 24 000 trmin soit respectivement des chutes de raideurde 715 et 795 par rapport agrave la raideur sans rotation de lrsquoarbre

Synthegravese

La comparaison des systegravemes de preacutecharge rigide et eacutelastique ont permis de mettre enavant des comportement diffeacuterents

Tab 31 ndash Synthegravese du comportement geacuteneacuteral des systegravemes agrave preacutecharge rigide et eacutelastique

Type de preacutecharge Rigide Eacutelastique

Comportement symeacutetrique oui non

Chute de raideur avec N leacuteger tregraves important

Augmentation preacutecharge avec N tregraves important faible

sensibiliteacute agrave la thermique probleacutematique faible

12 Expeacuterimentations

121 Moyens expeacuterimentaux

Un dispositif de chargement axial a eacuteteacute speacutecialement deacuteveloppeacute dans le cadre des travauxde thegravese Il est destineacute agrave appliquer des efforts axiaux sur le rotor de la broche quelquesoit la vitesse de rotation de la broche souhaiteacutee La vue en coupe de ce dispositif estpreacutesenteacutee sur la Fig 36(a) Lrsquoeffort axial appliqueacute sur la broche est la reacuteaction dudispositif agrave un deacuteplacement de la broche suivant son axe

Lrsquoempilement des rondelles en configuration en seacuterie permet une grande course axialeLa course maximale de lrsquoempilement est drsquoenviron 5mm et correspond agrave un effort de2 650N Les rondelles ne sont pas preacutechargeacutees Un leacuteger jeu permet de deacutetecter la confi-guration de broche non chargeacutee lors des essais Le roulement agrave billes agrave gorge profondequant agrave lui est preacutevu pour travailler jusqursquoagrave 26 000 trmin

Les essais expeacuterimentaux preacutesenteacutes ici ont eacuteteacute reacutealiseacutes sur une MOCN Huron KX30 surlaquelle est monteacutee la broche Fischer MFW2310 dans le cadre de projets collaboratifsavec Europe Technologies (voir Fig 36(b)) La broche est verticale ce qui fait que le

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dynamomeacutetrique

Rondelles

eacutelastiques

Roulement agrave

gorge profonde

Rotor de la

broche

(a) Dispositif de chargement axial vu en coupe (b) Montage lors des essais sur machineFig 36 ndash Moyens expeacuterimentaux pour le chargement axial de la broche

chargement du montage de roulements est purement axial (sans charge radiale deacutependantde la pesanteur) Il est important pour ces essais que les efforts radiaux et les moments deflexion appliqueacutes en bout drsquoarbre soient neacutegligeables Pour cela une preacutecaution techniquea eacuteteacute adopteacutee un jeu radial important reacuteside entre le bacircti et le coulisseau du dispositifde chargement axial (voir Fig 36(a)) Ceci a eacuteteacute veacuterifieacute expeacuterimentalement avec latable dynamomeacutetrique Kistler agrave six composantes

Les deacuteplacements axiaux sont mesureacutes gracircce agrave deux capteurs agrave courant de FoucaultKeyence EX201 offrant une sensibiliteacute de 0 4microm jusqursquoagrave la freacutequence de 18 kHz Celuivisant la face avant est ajouteacute ponctuellement pour les essais Le capteur arriegravere a eacuteteacutespeacutecialement inteacutegreacute agrave la broche dans le cadre de la collaboration entre le laboratoireIRCCyN et le fabricant de broche Fischer dans le cadre du projet FUI UsinAE Lesdeacuteplacements axiaux mesureacutes disponibles correspondent donc au deacuteplacement de lrsquoarbreu et agrave celui de la douille arriegravere up2

122 Protocole drsquoessais

La tempeacuterature a un impact notoire sur le comportement de la broche Dans le cadre decette eacutetude il est neacutecessaire de srsquoaffranchir des effets de la tempeacuterature car on souhaiteeacutetudier le comportement dynamique sous des conditions de travail reacuteelles et stablesAinsi avant chaque essai une longue phase de chauffe est respecteacutee afin de se placerdans un reacutegime stationnaire Les donneacutees en tempeacuteratures de la commande numeacuteriquede la machine obtenues agrave partir de sondes inteacutegreacutees agrave la broche permettent de jugerlorsque le reacutegime permanent est atteint De plus chaque essai est effectueacute sur un temps

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court pour eacuteviter toute variation majeure de tempeacuterature Par ailleurs une freacutequencedrsquoeacutechantillonnage relativement eacuteleveacutee (12 5 kHz) est adopteacutee afin de pouvoir seacutelection-ner la partie pertinente des signaux mesureacutes (suppression des battements axiaux parexemple) Dans tous les cas la reacutepeacutetabiliteacute des essais a systeacutematiquement eacuteteacute veacuterifieacutee(eacutecarts de deacuteplacements axiaux entre les essais identiques infeacuterieurs au micron)

Deux types drsquoessais sont reacutealiseacutes pour ce processus de validation Drsquoune part des paliersde vitesse de 2 s par pas de 2 000 trmin de 0 agrave 24 000 trmin et sans effort axialLes autres essais sont des essais de chargement agrave diffeacuterentes vitesses de rotation Undeacuteplacement bi-directionnel est imposeacute Gracircce au dispositif de chargement axial lrsquoeffortappliqueacute sur lrsquoarbre est proportionnel au deacuteplacement imposeacute agrave lrsquoaxe z de la MOCN Leprofil des efforts mesureacutes par la table dynamomeacutetrique lors des essais est repreacutesenteacute surla Fig 37

Poids propre

Fig 37 ndash Reacutesultat expeacuterimental efforts appliqueacutes sur la broche lors des essais de chargement

Plusieurs va-et-vient sont systeacutematiquement effectueacutes pour srsquoassurer de la reacutepeacutetabiliteacute etde la non deacutependance agrave la tempeacuterature Les tests sont reacutealiseacutes avec plusieurs intensiteacutesdrsquoefforts Le deacuteplacement de la broche est symeacutetrique de part et drsquoautre du point drsquoeacutequi-libre Les efforts reacuteellement appliqueacutes au rotor quant agrave eux ne sont pas symeacutetriquescar ce profil est la somme du poids propre de lrsquoarbre et du chargement du dispositif dechargement (poids du rotor pris en compte sur la Fig 37) De plus le dispositif dechargement a un leacuteger jeu le profil des efforts preacutesente un leacuteger deacutecrochement pour lepassage au point drsquoeacutequilibre

123 Reacutesultats expeacuterimentaux

Post-traitement

Le post-traitement des signaux mesureacutes consiste agrave effectuer une moyenne glissante poursupprimer des signaux le battement axial de la face avant de la broche Comme dans [Ri-tou et al 2013] une solution plus eacuteleacutegante de moyenne synchrone pourrait ecirctre adopteacuteemais nrsquoest pas impeacuteratif dans ce cas Au final les deacuteplacements u et up2 sont eacutetalonneacutes desorte agrave faire correspondre lrsquoeacutetat (u up2) = (0 0) agrave lrsquoeacutetat de broche chaude sans rotationde lrsquoarbre et avec pour seule charge exteacuterieure F le poids propre du rotor

80164 David NOEumlL

Essais agrave vide

Les reacutesultats expeacuterimentaux des essais par palier sont repreacutesenteacutes sur la Fig 38 Lesdeacuteplacements mesureacutes par les deux capteurs positionneacutes selon la Fig 31 sont repreacute-senteacutes Les observations sont similaires agrave celles faites dans la parte 11 du chapitre IISeulement ces reacutesultats donnent une relation directe entre les deacuteplacements axiaux etla vitesse de rotation N et non plus en fonction du temps

0 4 8 12 16 20 24-90

N [103 trmin]

u [microm]up2 [microm]

Fig 38 ndash Reacutesultat expeacuterimental deacuteplacements axiaux du rotor u et de la douille arriegravere up2 enfonction de la vitesse de rotation N pour le rotor chargeacute uniquement par son poids propre

Les deacuteplacements dus agrave la vitesse de rotation observeacutes expeacuterimentalement sont en ac-cord avec les explications des reacutesultats theacuteoriques effectueacutees dans la partie 112 et ladisposition des capteurs (Fig 31) La deacuteflexion axiale des roulements a et c est neacute-gative agrave cause de la vitesse de rotation La deacuteflexion axiale δx1 est directement eacutegaleau deacuteplacement de lrsquoarbre u auquel est ajouteacute la deacuteflexion de preacutecharge δx10 Le deacutepla-cement arriegravere up2 est la somme de la deacuteflexion axiale des roulements avant a et b etde la deacuteflexion axiale des roulements arriegravere d et e A souligner ici que la deacuteflexion desroulements arriegravere due agrave la vitesse de rotation est environ deux fois plus importante quecelle des roulements avant Par ailleurs les deux courbes montrent des points drsquoinflexionaux alentours de 22 000 trmin Nous reviendrons sur ce pheacutenomegravene dans la suite dumanuscrit

Essais en charge

La figure 39 expose le deacuteplacement de lrsquoarbre u en fonction de lrsquoeffort exteacuterieure Fappliqueacute et ce pour diffeacuterentes vitesses de rotation N Lrsquoeffort F est la somme du poidspropre du rotor et de lrsquoeffort appliqueacute par le dispositif de chargement axial

David NOEumlL 81164

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

4 000 trmin 8 000 trmin12 000 trmin16 000 trmin20 000 trmin22 000 trmin24 000 trminpoints seacutelectionneacutes

Fig 39 ndash Reacutesultat expeacuterimental deacuteplacement avant u en fonction de lrsquoeffort axial F pour diffeacute-rentes vitesses de rotation N

Les essais sans rotation de la broche sont proscris pour eacuteviter un marquage eacuteventuel despistes de roulements La courbe de Fig 39 correspondant agrave 4 000 trmin est consideacutereacuteecomme le comportement statique de la broche puisque les effets dynamiques sont neacutegli-geables agrave cette vitesse Le comportement statique fait apparaicirctre plusieurs configurationsparticuliegraveres Le point A correspond au deacutecollement des roulements du palier avant 1Lrsquoeffort correspondant FA est approximativement eacutegal agrave la somme des deux efforts depreacutecharge car la raideur des ressorts de preacutecharge est faible P1 +P2 = 1 200N Pour desefforts F infeacuterieurs agrave FA la souplesse de la broche correspondant agrave la pente de la courbeest importante La raideur eacutequivalente Keq est donneacutee par Keq = Kxx2 Kp1

Kxx2+Kp1+ Kxx3 Kp2

Kxx3+Kp2

lorsque le palier avant 1 est deacutecolleacute Comme les raideurs des ressorts de preacutecharge estbien plus faible que la raideur des roulements le comportement eacutequivalent de la brocheest lineacuteaire lorsque le palier avant 1 est deacutecolleacute La pente de la courbe est lrsquoinverse de laraideur eacutequivalente Keq drsquoougrave Keq sim Kp1 + Kp2 = 120Nmicrom

Pour des vitesses de rotation plus importantes le point drsquoinflexion synonyme du deacutecol-lement du palier avant nrsquoest plus aussi marqueacute Il nrsquoy a plus de deacutecollement observablecar les angles de contact se seacuteparent agrave cause des effets dynamiques permettant le deacutepla-cement des billes conformeacutement agrave lrsquoanalyse meneacutee sur les Fig 215 et Fig 217

82164 David NOEumlL

13 Principe de recalage et de la validation de modegravele

Le recalage de modegravele srsquoarticule en geacuteneacuteral autour de quatre eacutetapes principales

1 Seacutelection des donneacutees expeacuterimentales

2 Deacutefinition drsquoune fonction coucirct

3 Seacutelection des paramegravetres agrave recaler via une analyse de sensibiliteacute

4 Identification des paramegravetres par minimisation de la fonction coucirct

Ces quatre eacutetapes sont deacutetailleacutees ici pour la premiegravere phase de recalage du modegravele

Pour le recalage la connaissance des deacuteplacements avant u et arriegravere up2 sont indispen-sables afin de dissocier le comportement des deux systegravemes de preacutecharge La connais-sance uniquement des reacutesultats avant permet drsquoobserver le comportement du systegravemeeacutequivalent agrave une preacutecharge seule Ainsi comme mentionneacute au paragraphe preacuteceacutedent lamesure de u seule permet de connaitre la somme des preacutecharges et la somme des raideursde preacutecharge Le systegraveme agrave doubles preacutecharges complexifie lrsquoeacutetude et les deacuteplacementsagrave lrsquoarriegravere doivent ecirctre pris en compte

On peut se demander pourquoi ne pas utiliser directement les deacuteplacements arriegravereup2 lors des essais de chargement bidirectionnel Le systegraveme de preacutecharge arriegravere estdrsquoavantage soumis aux variations du diffeacuterentiel de tempeacuterature rotorstator En effetla longueur axiale entre les paliers 1 et 3 est bien plus importante Lrsquoeffet direct est quela variation du diffeacuterentiel de tempeacuterature est directement observable sur les signauxmesureacutes lors des essais de chargement Par exemple une petite variation de 1C dudiffeacuterentiel de tempeacuterature entraicircne un deacuteplacement drsquoenviron 4microm agrave lrsquoarriegravere ce quiest du mecircme ordre de grandeur que ce que lrsquoon souhaite observer Pour srsquoaffranchir desdeacuteplacements agrave lrsquoarriegravere dus agrave la tempeacuterature on utilise les donneacutees de up2 obtenus lorsdes essais agrave vide par paliers de vitesse qui ont eacuteteacute speacutecifiquement post-traiteacutes

Lors du processus de recalage la quantiteacute de calculs numeacuteriques va deacutependre du nombrede points expeacuterimentaux seacutelectionneacutes Il est donc important drsquoen seacutelectionner un mini-mum suffisant Dans un premier temps uniquement trois vitesses de rotation N sontseacutelectionneacutees (4 000 16 000 24 000) La vitesse de 4 000 trmin est assimileacutee au compor-tement agrave lrsquoarrecirct 16 000 trmin agrave une vitesse modeacutereacutee et 24 000 trmin agrave une vitesse tregraveseacuteleveacutee Sept points sont retenus dans un premier temps sur les courbes de la Fig 39 Ilssont reacutepartis identiquement sur toutes les courbes et de maniegravere automatique de sorte agravece qursquoils soient situeacutes agrave ldquoeacutequidistance curvilignerdquo le long de la courbe effort-deacuteplacement

David NOEumlL 83164

Pour cela lrsquoabscisse curviligne de la courbe normeacutee en efforts et en deacuteplacements estconsideacutereacutee

Concernant les reacutesultats des essais agrave vide (poids propre seulement) seuls les deacuteplace-ments relatifs aux vitesses 16 000 et 24 000 trmin sont retenus ceux relatifs agrave la statiqueeacutetant nuls

132 Deacutefinition de la fonction coucirct

Les donneacutees retenues pour le processus de recalage sont deacutefinies dans le paragraphepreacuteceacutedent Il est neacutecessaire de deacutefinir une fonction coucirct lieacutee agrave ces donneacutees Pour garderun sens physique qui permettra de juger la qualiteacute de la solution obtenue la fonctioncoucirct choisie a la dimension drsquoun deacuteplacement comme lrsquoillustre la Fig 310

ε = 1i+ j

isum|usim minus uexp|+

jsum|up2sim minus up2exp|

Cette fonction coucirct correspond agrave lrsquoeacutecart moyen par point entre lrsquoexpeacuterimental et lasimulation Le nombre de point est arbitrairement choisi pour que le temps de calculsoit raisonnable Les points i au nombre de 7 par vitesse de rotation sont issus desessais en charge Les points j au nombre de 2 sont issus des essais agrave vide La fonctioncoucirct est donc calculeacutee sur 23 points

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

ExperimentalSimulationPoint seacutelectionneacute

Ecart ε

Fig 310 ndash Illustration du calcul de la fonction coucirct exemple du comportement en charge agrave4 000 trmin

133 Analyse de sensibiliteacute

Deacutefinition

La seacutelection des paramegravetres pour le recalage se fait gracircce agrave une analyse de sensibiliteacuteUne analyse OFAT (One-Factor-At-a-Time) est retenue pour sa simpliciteacute Classique-

84164 David NOEumlL

ment les analyses de sensibiliteacute concernent des paramegravetres de mecircme dimension pourrecaler par exemple des masses ou encore des raideurs Ici ce nrsquoest pas le cas Il est neacute-cessaire drsquoadapter la meacutethode de calcul de sensibiliteacute pour assurer le conditionnement delrsquoanalyse Comme les paramegravetres du modegravele ne correspondent pas aux mecircmes grandeursphysiques la plage de variation des paramegravetres est prise en compte Supposons que lafonction coucirct ε soit une combinaison lineacuteaire des paramegravetres p = (p1 p2 ) dans levoisinage drsquoun configuration nominale pnom

ε(p1 p2 ) =sumi

∆pi(38)

avec ∆pi la plage de variation fixeacutee pour le paramegravetre pi et κi la sensibiliteacute en mi-crons Ainsi pour eacutevaluer la deacutependance de la fonction coucirct par rapport aux paramegravetrespi la fonction ε est diffeacuterencieacutee

partε

partpi

∣∣∣∣∣pnom

= ε(pinom + ζ∆pi)minus ε(pinom)ζ∆pi

∣∣∣∣∣pnom

= κi∆pi

avec ζ la perturbation fixeacutee agrave 1 pour cette eacutetude Ainsi la sensibiliteacute κi est obtenuepar

κi = 1ζ

(ε(pinom + ζ∆pi)minus ε(pinom)

)∣∣∣∣pnom

La sensibiliteacute des paramegravetres deacutepend bien sucircr du point consideacutereacute Ces sensibiliteacutes ont unsens physique elles correspondent agrave la variation drsquoeacutecart moyen ε entre les deacuteplacementsmesureacutes et simuleacutes pour un changement de la valeur du paramegravetre pi eacutegal agrave la plage devariation de celui-ci (comportement lineacuteaire supposeacute)

Plages de variation

Le choix des plages de variation est important car les valeurs retenues deacuteterminent laseacutelection de paramegravetres via lrsquoanalyse de sensibiliteacute Ce choix est effectueacute avec les donneacuteesconnues et ce en gardant des ordres de grandeurs coheacuterents

Les plages de variation sont fixeacutees arbitrairement agrave 5 des valeurs nominales pourles caracteacuteristiques de mateacuteriaux et agrave 01 pour les grandeurs geacuteomeacutetriques (diamegravetreorbital dm et diamegravetre de bille D) En ce qui concerne les rayons de courbure desbagues les paramegravetres adimensionnels fi = riD et fe = reD sont consideacutereacutes car ilssont identiques pour les deux reacutefeacuterences de roulement preacutesenteacutes Bien que les rayons decourbure aient un intervalle de toleacuterance tregraves serreacute pour la fabrication (super-finitionpar galetage) les mesures effectueacutees sur des roulements de broches montrent que leroulementier peut parfois changer la valeur nominale (expertises effectueacutees pendant leprojet FUI UsinAE sur Alicona Infinite Focus)

David NOEumlL 85164

Portion

de bagueFig 311 ndash Mesure du rayon de courbure drsquoune portion de bague exteacuterieure

Les mesures ont montreacute des rayons de courbure de la bague exteacuterieure supeacuterieurs etallant jusqursquoagrave +10 de la valeur nominale pour un eacutetat de deacutegradation extrecircme Ainsiles plages retenues sont fi = 056+10

minus1 et fe = 054+10 minus1

La toleacuterance sur lrsquoangle de contact agrave vide est α = 25+3minus2 Cet intervalle est speacutecifieacute par

le fabricant de roulements La valeur retenue pour lrsquoangle de contact est identique pourchaque roulement Cette hypothegravese a eacuteteacute adopteacutee car les roulements sont appaireacutes par leroulementier en vue drsquoassurer une usure la plus uniforme possible de tous les roulementsLes valeurs de reacutefeacuterence correspondent aux valeurs nominales

Les preacutecharges et raideurs de preacutecharge sont inconnues agrave ce stade Les valeurs mini-males retenues correspondent agrave la preacutecharge leacutegegravere recommandeacutee par le fabricant deroulements La valeur de la preacutecharge avant est celle deacutefinie pour un roulement VEX70seul (roulement c) soit P1min = 100N La valeur de la preacutecharge arriegravere est celle drsquountandem de roulements VEX60 (roulements d et e) soit P2min = 150N Les valeurs maxi-males sont deacutetermineacutees gracircce agrave la somme des preacutecharges identifieacutees expeacuterimentalementP1 + P2 1 200N Par exemple P1max = (P1 + P2)exp minus P2min = 1 050N De mecircmeP2max = 1 100N Pour ce qui est des raideurs de preacutecharge uniquement la somme estconnue Kp1 + Kp2 120Nmicrom Les valeurs minimales de Kp1 et Kp2 sont fixeacutees agrave01Nmicrom Pour ce qui concerne les valeurs nominales pour lrsquoanalyse de sensibiliteacute despreacutecharges et raideurs de preacutecharge sont arbitrairement fixeacutees agrave la moitieacute des sommesidentifieacutees expeacuterimentalement

Analyse de sensibiliteacute

Les reacutesultats de lrsquoanalyse de sensibiliteacute sont donneacutes dans le Tab 38 preacutesent en finde partie concernant les colonnes reacutefeacuterant agrave la ldquoPhase 1rdquo Les paramegravetres de preacutechargeet lrsquoangle de contact ont une sensibiliteacute de plus de 05microm Ces paramegravetres sont doncretenus pour le recalage les autres paramegravetres ayant des sensibiliteacutes faibles

86164 David NOEumlL

134 Minimisation de la fonction coucirct recalage phase 1

Une premiegravere eacutetape de recalage est effectueacutee avec cinq paramegravetres Le point de deacute-part de lrsquoalgorithme de recalage est (P1 P2 Kp1 Kp2 α0) = (600 600 6 6 25) Lrsquoeacutecartmoyen entre expeacuterimental et simulation numeacuterique avec les valeurs nominales est alorsde ε = 657microm La fonction Matlab utiliseacutee est fmincon correspondant agrave une meacutethodede minimisation mono-objectif sous contraintes baseacutee sur le gradient Les bornes desplages de variation sont retenues en tant que contraintes de ce problegraveme de minimi-sation Plusieurs essais avec un algorithme geacuteneacutetique (fonction ga de Matlab) ont eacuteteacuteeffectueacutes pour srsquoassurer que le reacutesultat trouveacute ne corresponde pas agrave un minimum local

Les valeurs des paramegravetres recaleacutes sont donneacutees par le Tab 32

Tab 32 ndash Paramegravetres recaleacutes lors de la phase 1

P1 [N ] P2 [N ] Kp1 [Nmicrom] Kp2 [Nmicrom] α []

925 150 120 508 28

Les deacuteplacements arriegravere up2 simuleacutes sont de 37 0microm et de 76 7microm respectivementagrave 16 000 trmin et 24 000 trmin pour des valeurs mesureacutees de 370microm et 802micromLrsquoerreur moyenne donneacutee par la fonction coucirct est de ε = 547microm Neacuteanmoins trois desparamegravetres coiumlncident avec une borne de leur plage de variation

Les reacutesultats du modegravele recaleacute et des mesures expeacuterimentales sont repreacutesenteacutes sur laFig 312

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

Exp 4 000 trminNum 4 000 trminExp 16 000 trminNum 16 000 trminExp 24 000 trminNum 24 000 trminPoints seacutelectionneacutes

Fig 312 ndash Reacutesultats numeacuteriques et expeacuterimentaux apregraves la phase 1 de recalage

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Les reacutesultats numeacuteriques concordent approximativement agrave 16 000 trmin La deacuteflexionagrave vide est correcte pour toutes les vitesses de rotation mais la raideur nrsquoest pas correcteA vide le montage simuleacute agrave 4 000 trmin est trop raide et trop souple agrave 16 000 et24 000 trmin De plus pour les hautes vitesses et des efforts neacutegatifs importants lemodegravele donne des raideurs tregraves faibles alors que le comportement reacuteel montre une raideuraugmentant dans cette zone (agrave gauche des points B Brsquo et Brdquo)

135 Conclusion de la premiegravere phase de recalage

Obtenir des paramegravetres recaleacutes eacutegaux aux bornes de plage de variation est mauvaissigne Sans ces bornes le modegravele aurait besoin de valeurs de paramegravetre physiquementincoheacuterentes pour deacutecrire le comportement reacuteel mesureacute Dans la suite on consideacutereraque le recalage est un eacutechec si au moins un des paramegravetres atteint une borne de sa plagede variation Ici nous pouvons conclure que le modegravele est soit insuffisant soit qursquounou plusieurs paramegravetres sensibles nrsquoont pas eacuteteacute seacutelectionneacutes pour le recalage De plusnous avons fixeacute arbitrairement une contrainte suppleacutementaire pour consideacuterer que lemodegravele est repreacutesentatif du comportement reacuteel lrsquoerreur moyenne ε devra ecirctre infeacuterieureau micron sur lrsquoensemble de la plage de sollicitation axiale

Dans le cas preacutesent le modegravele axial de broche est trop limiteacute pour deacutecrire le comporte-ment reacuteel mesureacute En effet bien que la deacuteflexion agrave vide soit correcte la raideur obtenueagrave vide nrsquoest qursquoapprocheacutee De plus pour des efforts neacutegatifs importants le modegravele donneune raideur diminuant alors que lrsquoexpeacuterimental deacutecrit une raideur qui augmente de nou-veau

Des pheacutenomegravenes physiques manquent sans doute au modegravele pour deacutecrire le compor-tement reacuteel De nouveaux enrichissements sont envisageacutes dans les parties suivantes enexpliquant preacutealablement de maniegravere theacuteorique leurs impacts pheacutenomeacutenologiques res-pectifs Une synthegravese permettra de mettre en avant les pheacutenomegravenes agrave ajouter au modegravelepour assurer le succegraves de la meacutethode de recalage sur drsquoautres broches

88164 David NOEumlL

2 Construction du modegravele

21 Buteacutee sur le roulement de preacutecharge

Les reacutesultats expeacuterimentaux de la Fig 312 preacutesentent de nouveaux points drsquoinflexionB Brsquo and Brdquo Le modegravele actuel ne permet pas de deacutecrire un tel comportement Unpheacutenomegravene physique est manquant

La raideur de la broche mesureacutee pour des efforts infeacuterieurs (F lt (FB FBprime FBprimeprime)) est plusimportante ce qui rappelle la caracteacuteristique des montages agrave preacutecharges rigides preacutesenteacutespreacuteceacutedemment Deux causes possibles ont eacuteteacute envisageacutees Drsquoune part certaines baguesexteacuterieures pourraient avoir une expansion radiale telle qursquoavec la surcharge dynamiquedes billes leur ajustement deviendrait serreacute dans le corps de broche Cette hypothegravese aeacuteteacute eacutecarteacutee gracircce aux reacutesultats drsquoune eacutetude des deacuteformations macroscopiques de la bagueexteacuterieure par modeacutelisation par eacuteleacutements finis [Noel 2010] Lrsquoautre cause possible est lapreacutesence drsquoune buteacutee qui restreindrait le deacuteplacement axial de la bague exteacuterieure duroulement c dans le sens avant de la broche (cf Fig 31)

211 Modeacutelisation de la buteacutee

Le modegravele est donc modifieacute pour prendre en compte cette hypotheacutetique buteacutee La limiteup1l restreignant le deacuteplacement axial de la bague exteacuterieure du roulement c est fixeacuteetelle que

up1 ge up1l avec up1l lt 0 (311)

La meacutethode de reacutesolution preacutesenteacutee dans la partie 11 de ce chapitre doit aussi ecirctremodifieacutee Durant la boucle de reacutesolution si up1 lt up1l alors le deacuteplacement up1 est fixeacuteagrave la valeur de up1l Lrsquoeacutequilibre du systegraveme de preacutecharge avant nrsquoa alors plus besoin drsquoecirctrereacutesolu Uniquement les deux premiegraveres eacutequations drsquoeacutequilibre du systegraveme Eqn (31) sontreacutesolues Dans ce cas le calcul des deacuteplacements se fait avec lrsquoalgorithme de Newton-Raphson

minus Iminus1n

up1 = up1l

avec I = J(1 2 1 2) la matrice Jacobienne des eacutequations drsquoeacutequilibre de lrsquoarbre etdu systegraveme de preacutecharge arriegravere

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212 Compreacutehension pheacutenomeacutenologique de la preacutesence de la buteacutee

Le modegravele retenu pour cet exemple inclut une buteacutee sur le palier 2 comme expliqueacutedans le paragraphe preacuteceacutedent Pour la compreacutehension des simulations numeacuteriques sonteffectueacutees avec une buteacutee fixeacutee arbitrairement agrave up1l = minus48microm Les reacutesultats theacuteoriquessont repreacutesenteacutes sur la Fig 313

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 100

u [microm]

F1 at 0 trmin

3 at 0 trmin

F1 at 16 000 trmin

3 at 16 000 trmin

F1 at 24 000 trmin

3 at 24 000 trmin

(a) Efforts sur les paliers-4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000 5000-60

u [microm]

(b) Comportement apparent du montageFig 313 ndash Montage agrave preacutecharge eacutelastique avec une buteacutee sur le palier 2

Les courbes de la Fig 313(a) font apparaicirctre drsquoautres points drsquoinflexion BBrsquo and BrdquoCes points drsquoinflexion sont agrave la limite de la buteacutee Pour des deacuteplacements u supeacuterieurs(agrave droite) il fonctionne tel un montage eacutelastiquement preacutechargeacute de maniegravere identiqueagrave ce qui a eacuteteacute preacutesenteacute preacuteceacutedemment Pour des deacuteplacements u infeacuterieurs (agrave gauche)le montage fonctionne tel un montage rigidement preacutechargeacute agrave lrsquoavant avec le roulementc bloqueacute Le deacuteplacement u correspondant agrave la limite de buteacutee nrsquoest pas directementla valeur limite up1l En effet la vitesse de rotation implique une deacuteflexion axiale desroulements et donc une diminution de lrsquoespace restant entre la bague exteacuterieure duroulement c et la buteacutee

Le diffeacuterentiel de tempeacuterature entre rotor et stator influence aussi la course possible duroulement c Cependant une surchauffe nrsquoest pas dangereuse ici pour lrsquoespeacuterance de viedu montage car un diffeacuterentiel de tempeacuterature augmentant a tendance agrave accroitre lacourse possible du roulement up1l et agrave reacuteduire la preacutecharge

Cette solution technique de buteacutee est extrecircmement judicieuse Si la course est bienchoisie elle permet un comportement du montage agrave hautes vitesses tel un montagerigidement preacutechargeacute Ainsi le montage eacutelastiquement preacutechargeacute nrsquoa plus lrsquoinconveacutenientde la raideur trop faible

90164 David NOEumlL

213 Phase 2 du recalage

Le modegravele axial de broche inteacutegrant la buteacutee a eacuteteacute preacutesenteacute Le nouveau paramegravetre estla course disponible pour le roulement c up1l Une nouvelle phase de recalage est alorseffectueacutee avec les paramegravetres suivants (P1 P2 Kp1 Kp2 α0 up1l)

Le comportement du modegravele recaleacute en phase 2 est repreacutesenteacute sur la Fig 314 Les deacutepla-cements arriegravere up2 simuleacutes sont de 37 0microm et de 632microm respectivement agrave 16 000 trminet 24 000 trmin pour des valeurs mesureacutees de 370microm et 802microm Lrsquoerreur moyenneest de ε = 333microm Les valeurs des paramegravetres recaleacutes sont donneacutees par le Tab 33

P1 [N ] P2 [N ] Kp1 [Nmicrom] Kp2 [Nmicrom] α [] up1l [microm]

842 319 122 0100 280 minus429

Les deux paramegravetres α et Kp2 ont des valeurs eacutegales agrave une borne de leur plage devariation Le reacutesultat nrsquoest donc pas correcte Les deux paramegravetres sont agrave des valeursmaximisant le deacuteplacement up2 En effet la deacuteflexion axiale des roulements est drsquoautantplus importante que lrsquoangle de contact initial est grand Une raideur de preacutecharge arriegraverefaible implique une surcharge axiale dynamique faible et donc une deacuteflexion axiale arriegravereimportante

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

Fig 314 ndash Reacutesultats numeacuteriques et expeacuterimentaux suite agrave la phase 2 de recalage

Les trois points drsquoinflexion suppleacutementaires sont maintenant bien preacutesents pour les simu-lations Pour lrsquoinstant le deacuteplacement u correspondant agrave la limite de la buteacutee nrsquoest pascorrect Le montage est toujours trop raide agrave 4 000 trmin et trop souple aux vitesseseacuteleveacutees Un ou plusieurs pheacutenomegravenes physiques sont donc toujours manquants

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22 Expansion radiale des bagues de roulement

La phase 2 de recalage a souleveacute un problegraveme de raideur Pour ajuster la raideur dumontage la premiegravere ideacutee est de reacutegler les efforts de preacutecharge Dans le cas preacutesentla somme des efforts de preacutecharge est deacutejagrave deacutetermineacutee par le deacutecollement du palieravant Une autre solution est de reacutegler la valeur drsquoangle de contact initial En effet unroulement agrave angle de contact de 15 a une raideur axiale infeacuterieure agrave celui agrave 25 Pourpermettre drsquoapprocher la raideur mesureacutee agrave la fois avec et sans vitesse de rotation laprise en compte de lrsquoexpansion radiale des bagues inteacuterieures est envisageacutee Nous verronsque cette expansion revient au final agrave reacutegler la valeur de lrsquoangle de contact initial

221 Strateacutegie

Jusqursquoagrave preacutesent une expansion radiale des bagues nulle est prise en compte dans le mo-degravele de roulement Cette prise en compte de lrsquoexpansion radiale des bagues est discuteacuteeau chapitre II Deux possibiliteacutes ont eacuteteacute envisageacutees pour modeacuteliser lrsquoexpansion radialedes bagues par eacuteleacutements finis et par la Meacutecanique des Milieux Continus (MMC) Ce-pendant la modeacutelisation de lrsquoexpansion radiale suppose la connaissance des champs detempeacuterature des serrages des bagues et la connaissance preacutecise de la topologie des piegravecesToutes ces grandeurs physiques sont indisponibles Une autre approche par identificationexpeacuterimentale est alors envisageacutee ici

222 Modeacutelisation de lrsquoexpansion radiale

De nouveaux paramegravetres sont ajouteacutes au modegravele Ces paramegravetres font reacutefeacuterence agrave la priseen compte des expansions radiales des bagues dans le modegravele analytique de roulementpreacutesenteacute en partie 211 du chapitre 2 Le diffeacuterentiel drsquoexpansion radiale au niveau descentres de courbure des bagues agrave la vitesse de rotation N est noteacute ∆uN tel que

∆uN = (ui minus uo)N (313)

Pour lrsquoinstant seules trois vitesses de rotation sont consideacutereacutees Il serait alors possibledrsquoajouter trois paramegravetres pour le processus de recalage qui seraient ∆u04 ∆u16 et∆u24 Cependant une solution plus judicieuse consiste agrave choisir uniquement deux para-megravetres ∆u0 et d tels que

∆uN = ∆u0 + dω2 (314)

En effet la modeacutelisation MMC du rotor a montreacute que lrsquoexpansion radiale eacutevolue avec lecarreacute de la vitesse de rotation de la broche [Noel et al 2012] Les nouveaux paramegravetres

92164 David NOEumlL

sont consideacutereacutes identiques pour les cinq roulements Cette approximation permet delimiter le nombre de paramegravetres du recalage puisqursquoil nrsquoest plus neacutecessaire de reca-ler lrsquoexpansion radiale pour chaque vitesse de rotation Dans le tableau de synthegraveseTab 38 le paramegravetre d nrsquoest pas directement donneacute car il est difficile agrave interpreacuteter(dimension de [microms2]) Ici on observera lrsquoexpansion radiale centrifuge agrave 24 000 trminnoteacutee ∆u24 minus∆u0 qui en est deacuteduite

Il est important de remarquer que le paramegravetre α a le mecircme impact que ∆u0 Ils sont re-dondants En effet lrsquoangle de contact αprime ducirc agrave lrsquoexpansion radiale en statique est exprimeacutepar

cosαprime = cosα + ∆u0

BD(315)

Notons alors qursquoil est eacutequivalent de consideacuterer soit lrsquoangle de contact initial α et un dif-feacuterentiel drsquoexpansions radiales soit simplement lrsquoangle de contact αprime prenant en compteles expansions thermique centrifuge et celle due au serrage Les Eqn (24) confirmentceci Doreacutenavant au lieu de recaler lrsquoangle de contact αprime nous traiterons donc unique-ment des expansions radiales au travers des paramegravetres ∆u0 et d car ils sont davantageeacutevocateurs des pheacutenomegravenes physique en jeu

223 Plages de variation

Pour prendre en compte lrsquointervalle de toleacuterance sur lrsquoangle de contact α = 25+3minus2 les

valeurs suivantes sont retenues α = 23 hArr α = 25 et ∆u0 = 129microm

α = 28 hArr α = 25 et ∆u0 = minus212microm(316)

Ces eacutequivalences sont valables pour les deux types de roulements preacutesents ici car lesgrandeurs BD respectives sont identiques

Pour trouver les plages de variation du paramegravetre ∆u0 il faut aussi y ajouter lrsquoexpansionthermique et le serrage Des hypothegraveses et des calculs sont effectueacutes pour obtenir uneestimation des plages des paramegravetres Une valeur maximale drsquointerfeacuterence de serrage s aurayon est fixeacutee agrave 40microm Elle correspond au double de la valeur de serrage recommandeacuteepar deacutefaut par le fabricant de roulements La valeur de lrsquoexpansion radiale de la bagueest infeacuterieure agrave cette valeur de serrage mais elle est neacuteanmoins proche car lrsquoarbre estbeaucoup plus massif que les bagues

Pour ce qui est du diffeacuterentiel drsquoexpansions radiales ducirc agrave la thermique il est neacutecessairedrsquoeffectuer des hypothegraveses quant aux tempeacuteratures Il est supposeacute eacutegal sur toutes lesbagues inteacuterieures et exteacuterieures agrave partir des tempeacuteratures Ti et To Les expansions

David NOEumlL 93164

radiales des centres de courbures des bagues sont alors donneacutees par uith = 05λacier(Ti minus 20)(dm minusD cosα)

uoth = 05λacier(To minus 20)(dm +D cosα)(317)

Ainsi le diffeacuterentiel drsquoexpansion radial est donneacute par

∆uth = uith minus uoth = 05λacier [(Ti minus To)dm minusD cosα(Ti + To minus 40)] (318)

Il est drsquoautant plus important que le diffeacuterentiel de tempeacuterature est important et que lestempeacuteratures sont faibles Pour lrsquoestimer le couple de tempeacuteratures (Ti To) = (40 80C)a eacuteteacute choisi Il preacutesente un diffeacuterentiel de tempeacuterature relativement important pour unemoyenne de tempeacuterature plutocirct basse Avec ces valeurs lrsquoexpansion thermique ∆uth estde 170microm pour le roulement VEX70 et 148microm pour le VEX60

En supposant la lineacuteariteacute des effets des pheacutenomegravenes physiques les valeurs drsquoexpansionsont sommeacutees en consideacuterant le serrage le diffeacuterentiel de tempeacuterature et la toleacuterance delrsquoangle de contact Les valeurs extrecircmes pour ∆u0 sont fixeacutees de maniegravere identique pourles deux reacutefeacuterences de roulement ∆u0max = 699microm et ∆u0min = minus212microm

224 Phase 3 de recalage

Plusieurs paramegravetres ont eacuteteacute ajouteacutes par les raffinements preacuteceacutedents Les sept paramegravetressuivants sont maintenant seacutelectionneacutes pour le recalage (P1 P2 Kp1 Kp2 up1l∆u0 d)Le paramegravetre α a eacuteteacute retireacute car il est redondant avec les paramegravetres drsquoexpansion radiale(comme discuteacute en partie 22)

Le comportement obtenu suite agrave la phase 3 de recalage est repreacutesenteacute Fig 315 Les deacute-placements arriegravere up2 simuleacutes sont 37 0microm et 76 7microm respectivement agrave 16 000 trminet 24 000 trmin pour des valeurs mesureacutees de 370microm et 802microm La phase 3 de recalageaboutit aux valeurs de paramegravetres donneacutees par le Tab 34

P1 P2 Kp1 Kp2 up1l ∆u0 ∆u24 minus∆u0

[N ] [N ] [Nmicrom] [Nmicrom] [microm] [microm] [microm]

852 263 131 0100 519 122 820

La valeur de la raideur de preacutecharge arriegravere Kp2 est eacutegale agrave sa borne infeacuterieure de plagede variation Le reacutesultat nrsquoest donc pas valable Le comportement du montage avec ces

94164 David NOEumlL

valeurs de paramegravetres est traceacute sur la Fig 315

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

Les reacutesultats de simulation concordent bien cette fois-ci avec les mesures expeacuterimentalesLes raideurs calculeacutees sont assez proches Lrsquoerreur moyenne ε est passeacutee de 3 33microm agrave1 03microm avec lrsquoajout au modegravele des expansions radiales des bagues Lrsquoerreur de 1 03micromest raisonnable On pourrait consideacuterer que le modegravele deacutecrit relativement bien le com-portement reacuteel Seulement le comportement simuleacute montre quelques lacunes

La buteacutee semble ecirctre trop eacuteloigneacutee agrave 24 000 trmin car le contact avec la buteacutee apparaicirctagrave environ minus700N pour les simulations alors qursquoelle semble apparaicirctre pour un effort auxalentours de minus200N sur les mesures expeacuterimentales (point drsquoinflexion Brdquo) La raideuraxiale simuleacutee sans vitesse de rotation est trop grande En effet lrsquoexpansion radiale sansvitesse de rotation ∆u0 est trop faible

23 Reacutetreacutecissement axial centrifuge

Jusqursquoagrave preacutesent aucun couple de paramegravetres nrsquoa permis drsquoeacutegaler le deacuteplacement axialarriegravere reacuteel agrave 24 000 trmin de up2 = 80microm respectivement 63 4 63 2 et 76 8micrompour les phases de recalage 1 agrave 3 En theacuteorie il suffirait de mieux reacutepartir la preacutechargeet la raideur de preacutecharge entre lrsquoavant et lrsquoarriegravere Crsquoest pourquoi lrsquoalgorithme derecalage tend agrave diminuer au maximum la raideur de preacutecharge arriegravere pour que le palierarriegravere ne subisse pas drsquoeacuteleacutevation de preacutecharge dynamique importante et garde ainsiune deacuteflexion axiale maximum La piste envisageacutee pour enrichir le modegravele consiste agravetrouver le pheacutenomegravene physique qui aurait eacuteteacute jusque-lagrave omis et qui correspondrait agrave undeacuteplacement axial arriegravere important le reacutetreacutecissement axial centrifuge

David NOEumlL 95164

231 Quantification du pheacutenomegravene

Lors de la monteacutee en vitesse du rotor celui-ci subit une expansion centrifuge radiale(voir Fig 22) Par effet Poisson le rotor subit alors un reacutetreacutecissement axial Avantdrsquointeacutegrer ce pheacutenomegravene physique il convient de veacuterifier srsquoil implique des deacuteplacementssignificatifs Pour cela un modegravele par Eacuteleacutements Finis (EF) simple de rotor a eacuteteacute reacutealiseacutesous le logiciel Catia V5 afin drsquoobtenir un ordre de grandeur des deacuteplacements des centresdes paliers 2 et 3 par rapport au centre du palier 1 ainsi que le deacuteplacement de la faceavant par rapport au centre du palier 1

Les conditions limites scheacutematiseacutees ci-apregraves sont utiliseacutees pour le modegravele EF Le pointOfa correspond agrave la position de la face avant Le point O2 est le centre du palier 2correspondant directement au centre de la bague inteacuterieure du roulement c Les pointsO1 et O3 sont les centres des paliers 1 et 3 au milieu des tandems de roulements lesconstituant

Ofa O1 O2 O3

Fig 316 ndash Conditions limites en deacuteplacement pour lrsquoeacutetude de lrsquoexpansion centrifuge axiale par EF

Le seul chargement appliqueacute au rotor est ducirc agrave la vitesse de rotation En effet commele problegraveme concerne un mateacuteriau isotrope agrave eacutelasticiteacute lineacuteaire les deacuteformations sontsuperposables La preacutecharge et lrsquoeffort axial du systegraveme de serrage outil ne sont doncpas pris en compte Pour obtenir avec preacutecision les deacuteplacements de ces points remar-quables il serait aussi neacutecessaire de prendre en compte la variation de charge axiale avecla vitesse de rotation Seulement la raideur axiale du rotor est tregraves importante Une hy-potheacutetique augmentation de preacutecharge mecircme de 1 000N nrsquoa pas drsquoimpact significatifsur le deacuteplacement axial de ces points

Les reacutesultats du deacuteplacement des points sont donneacutes sur la Fig 317 La coupe de ladeacuteformeacutee amplifieacutee de 1 000 fois est repreacutesenteacutee sur la Fig 318 Les couleurs repreacutesententuniquement la composante de deacuteplacement axial des nœuds en mm

96164 David NOEumlL

0 5 10 15 20 25-35

N [103 trmin]

ux [microm]

Fig 317 ndash Deacuteplacements axiaux des centres des paliers uO2 et uO3 et de la face avant uOfaducircs agrave

lrsquoexpansion centrifuge du rotor

Fig 318 ndash Expansion centrifuge du rotor agrave 24 000 trmin

Lrsquoexpansion centrifuge radiale entraicircne un reacutetreacutecissement axial du rotor Ainsi agrave 24 000trmin le centre de la face avant se deacuteplace vers le centre du palier 1 drsquoune valeur de3 00microm Les centres des paliers 2 et 3 se rapprochent respectivement de 4 37 et 32 8microm(deacuteplacements neacutegatifs dans le repegravere lieacute au centre du palier 1)

Les deacuteplacements des centres de paliers dus agrave lrsquoexpansion centrifuge sont donc consideacute-rables compareacutes aux deacuteplacements axiaux modeacuteliseacutes jusqursquoici Le pheacutenomegravene ne peutecirctre neacutegligeacute Le deacuteplacement up2 de la douille arriegravere nrsquoest finalement pas ducirc uniquementaux effets dynamiques dans les roulements Crsquoest pourquoi dans les eacutetapes preacuteceacutedentesde recalage la preacutecharge arriegravere identifieacutee eacutetait tregraves faible impliquant ainsi une deacuteflexionaxiale tregraves importante des roulements arriegravere pour compenser le pheacutenomegravene de reacutetreacutecis-sement axial centrifuge manquant

232 Enrichissement du modegravele

Le paragraphe preacuteceacutedent a montreacute par une modeacutelisation par EF qursquoil eacutetait neacutecessaire deprendre en compte les deacuteplacements des centres des paliers dus agrave lrsquoexpansion centrifugedu rotor (uOfa

uO2 uO3) Pour cela les expressions des deacuteflexions axiales sont modifieacuteesagrave partir des Eqn (34)

δx2 = up1 minus (u+ uO2) + δx20 7minusrarr Fx2

David NOEumlL 97164

Les grandeurs mesureacutees par les capteurs axiaux lors des essais sont alors u+ uOfapour

lrsquoavant et toujours up2 agrave lrsquoarriegravere

Il serait possible de prendre en compte directement les valeurs des deacuteplacements simuleacutesdans la partie 231 Seulement dans le cadre de recalage du modegravele axial de broche nousrevendiquons lrsquoutilisation du modegravele simple traduit par des eacutequations analytiques Pourmettre en place la meacutethode de recalage de ce chapitre seuls la reacutefeacuterence des roulements etleur agencement est neacutecessaire Utiliser un modegravele EF agrave ce stade suppose la connaissancede la geacuteomeacutetrie du rotor de la reacutepartition des masses etc ce qui peut repreacutesenter unobstacle Ainsi une approche par recalage est privileacutegieacutee

Trois nouveaux paramegravetres sont ajouteacutes au processus de recalage les scalaires (a b c)tels que

uOfa= a ω2

uO2 = b ω2

uO3 = c ω2

Dans la suite des travaux les valeurs des paramegravetres a b et c ne seront pas directementdonneacutees puisqursquoelles ne seraient pas palpables A la place les valeurs des deacuteplacementsdes centres des paliers seront donneacutees agrave 24 000 trmin

(uOfa24 uO224 uO324

)en mi-

Le nouveau pheacutenomegravene drsquoexpansion centrifuge axiale eacutetant inteacutegreacute au modegravele axial debroche les trois paramegravetres (a b c) sont ajouteacutes au recalage Ainsi dix paramegravetressont retenus pour la phase 4 de recalage Lrsquoalgorithme de minimisation est de nouveauexeacutecuteacute Le comportement axial recaleacute est traceacute en Fig 319 Lrsquoerreur moyenne estinfeacuterieure au micron avec ε = 0726microm Les valeurs des paramegravetres recaleacutes sont donneacuteespar le Tab 35

P1 P2 Kp1 Kp2 up1l ∆u0 ∆u24 minus∆u0 uOfa24 uO224 uO324

[N ] [N ] [Nmicrom] [Nmicrom] [microm] [microm] [microm] [microm] [microm] [microm]

481 680 686 490 minus550 minus156 666 1 36 minus1 34 minus40 7

98164 David NOEumlL

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

Les deacuteplacements arriegravere up2 simuleacutes sont de 34 7microm et de 80 2microm respectivement agrave16 000 trmin et 24 000 trmin pour des valeurs mesureacutees de 370microm et 802microm Ledeacuteplacement arriegravere up2 simuleacute correspond bien agrave la valeur mesureacutee gracircce au nouvelenrichissement De mecircme contrairement aux phases de recalage preacuteceacutedentes la valeurde raideur des ressorts de preacutecharge arriegravere Kp2 nrsquoest plus eacutegale agrave la borne drsquoespace derecherche et est du mecircme ordre de grandeur que la raideur Kp1 ce qui est bon signe

Ce reacutesultat de cette simulation est plus proche de la reacutealiteacute que celui reacutesultant de laphase 3 lrsquoerreur a baisseacute de 29 5 gracircce agrave lrsquoajout du reacutetreacutecissement centrifuge Lecomportement agrave moyenne et haute vitesses de rotation est bien deacutecrit par le modegravele

Cependant la raideur axiale sans rotation de lrsquoarbre nrsquoest pas correcte elle est de lrsquoordredu double de celle observeacutee expeacuterimentalement ce qui nrsquoest pas acceptable Pour remeacutedieragrave ces manquements une nouvelle eacutetude de sensibiliteacute est effectueacutee pour veacuterifier si un ouplusieurs paramegravetres jusqursquoici eacutecarteacutes ne preacutesentent pas des sensibiliteacutes importantes etneacutecessitent drsquoecirctre seacutelectionneacutes pour le recalage

234 Etude de sensibiliteacute

Une nouvelle analyse de sensibiliteacute est effectueacutee avec les paramegravetres trouveacutes agrave la phase4 de recalage adopteacutes en tant que valeurs nominales Les reacutesultats sont repris dans leTab 38 en fin de partie Les reacutesultats confirment la sensibiliteacute importante du compor-tement des roulements vis-agrave-vis du rayon des gorges des bagues exteacuterieures fe

Une nouvelle phase de recalage a eacuteteacute effectueacutee avec lrsquoajout du paramegravetre fe = reDAinsi onze paramegravetres sont retenus pour la phase 5 de recalage Lrsquoalgorithme de recalage

David NOEumlL 99164

est de nouveau exeacutecuteacute Le comportement axial recaleacute est traceacute sur la Fig 319 Lrsquoerreurmoyenne est de ε = 0458microm Les valeurs des paramegravetres recaleacutes sont donneacutees par leTab 36

P1 P2 Kp1 Kp2 up1l ∆u0 ∆u24 minus∆u0 uOfa24 uO224 uO324 fe

670 484 463 757 minus546 369 80 133 minus0092 minus420 0573

Les deacuteplacements arriegravere up2 simuleacutes sont de 34 9microm et de 80 3microm respectivement agrave16 000 trmin et 24 000 trmin pour des valeurs mesureacutees de 370microm et 802microm Cereacutesultat de simulation est plus proche que celui reacutesultant de la phase 4 lrsquoerreur ε ayantbaisseacute de 36 9

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

Le comportement reacuteel tregraves bien deacutecrit Les raideurs agrave vide (pentes des courbes agrave F = 0)sont maintenant correctes Ceci est important pour la suite des travaux car elles deacutefi-nissent les conditions limites au modegravele EF pour la deacutetermination du comportementvibratoire de la broche

Nous allons maintenant valider ce modegravele recaleacute en simulant le comportement pourdrsquoautres vitesses de broche que celles utiliseacutees lors du recalage Les comportementssimuleacutes et mesureacutes expeacuterimentalement sont traceacutes pour les autres vitesses de rotationsur la Fig 321

100164 David NOEumlL

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

Exp 8 000 trminNum 8 000 trminExp 12 000 trminNum 12 000 trminExp 20 000 trminNum 20 000 trminExp 22 000 trminNum 22 000 trmin

Fig 321 ndash Reacutesultats numeacuteriques et expeacuterimentaux pour les vitesses de rotation intermeacutediaires

Le comportement simuleacute coiumlncide bien avec lrsquoexpeacuterimental Lrsquoeacutecart moyen ε sur lrsquoen-semble des vitesses est eacutegale agrave 072microm Les modegraveles analytiques proposeacutes pour deacutecrireles expansions radiales des bagues et le reacutetreacutecissement axial du rotor sont donc validestout comme lrsquoensemble du modegravele Un leacuteger eacutecart subsiste agrave 12 000 trmin mais peutsrsquoexpliquer par un eacutetat thermique leacutegegraverement diffeacuterent des autres vitesses de rotationmalgreacute les preacutecautions prises lors des essais Quoiqursquoil en soit nous pouvons consideacute-rer que le modegravele juste neacutecessaire est obtenu pour repreacutesenter le comportement axialpendant cette phase de chargement

24 Hysteacutereacutesis en deacuteplacement

Jusqursquoagrave preacutesent les reacutesultats expeacuterimentaux consideacutereacutes concernent la phase drsquoeffortsdeacutecroissants des cycles de chargement (cf Fig 37) Le modegravele a preacuteceacutedemment eacuteteacuterecaleacute sur cette phase de chargement Seulement pour un cycle complet de charge-mentdeacutechargement une hysteacutereacutesis en deacuteplacement apparaicirct lors des essais comme preacute-senteacute sur la Fig 322

Cette hysteacutereacutesis est synonyme drsquoun pheacutenomegravene dissipatif durant ce cycle Le pheacutenomegravenesupposeacute est un frottement sec Compte tenu de la structure de la broche il est supposeacuteintervenir entre la bague exteacuterieure du roulement c et le corps de broche Les frottementssrsquoopposant au deacuteplacement de la douille arriegravere seront par contre toujours consideacutereacutescomme neacutegligeables du fait de la preacutesence de la douille agrave billes Cette hypothegravese estsoutenue par le fait qursquoagrave hautes vitesses de rotation lrsquohysteacutereacutesis nrsquoapparait pas pour desefforts neacutegatifs car comme abordeacute preacuteceacutedemment le roulement c est alors en buteacutee Acontrario ce nrsquoest pas le cas agrave 4 000 trmin ougrave lrsquohysteacutereacutesis est alors notable lorsque lepalier avant est deacutecolleacute

David NOEumlL 101164

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

4 000 trmin 8 000 trmin12 000 trmin16 000 trmin20 000 trmin22 000 trmin24 000 trmin

Fig 322 ndash Deacuteplacements mesureacutees expeacuterimentalement lors drsquoune phase complegravete de charge-mentdeacutechargement axial de la broche

Les raideurs axiales pour les phases de chargement et de deacutechargement ont eacuteteacute calculeacutees agravepartir des reacutesultats expeacuterimentaux Les raideurs agrave videKox0 sont traceacutees sur la Fig 323telles que

Kox0 = partF

∣∣∣∣∣F=0

La raideur est calculeacutee ici par diffeacuterences finies centreacutees agrave partir des efforts F = plusmn100N

0 4 8 12 16 20 240

N [103 trmin]

[Nmicrom]

phase de deacutechargementphase de chargement

Fig 323 ndash Raideurs axiales agrave vide mesureacutees expeacuterimentalement pendant les phases de charge etde deacutecharge

Ainsi suivant le cycle de chargement consideacutereacute la raideur axiale est significativement

diffeacuterente agrave 4 000 trmin elle est de 153 ou 139Nmicrom Les chutes de raideur avec Ndrsquoenviron 60 diffegraverent aussi mecircme si les deux phases montrent clairement une raideuraxiale qui augmente de nouveau aux hautes vitesses de rotation Les paragraphes quisuivent vont permettre agrave partir drsquoun modegravele enrichi de comprendre les causes de cecomportement particulier

Cette partie commencera par eacutetablir le raffinement du modegravele de broche axial pourprendre en compte ce frottement Ensuite le modegravele sera recaleacute sur lrsquoensemble du cyclede chargementdeacutechargement Enfin lrsquoimpact du frottement sera commenteacute gracircce agrave dessimulations numeacuteriques effectueacutees avec le modegravele recaleacute

241 Raffinement du modegravele avec un frottement sec

Un modegravele simple de frottement de Coulomb est pris en compte Il srsquooppose au mou-vement de la bague exteacuterieure du roulement c (voir Fig 31) La valeur agrave la limitedrsquoadheacuterence est noteacutee Ff Les pressions normales de contact engendrant cette limitesont supposeacutees constantes et nrsquoentrent pas en consideacuteration dans le modegravele Cela sup-pose ainsi que les efforts radiaux sont inexistants sur le roulement c ce qui est le caspour cette eacutetude purement axiale

Le frottement est pris en compte en consideacuterant une position initiale de la bague exteacute-rieure up10 Lrsquoalgorithme de reacutesolution est preacutesenteacute sur la Fig 324

Equilibre arbre +

preacutecharge arriegravere

(up1 fixeacute)

ε3 = P1 - F2

- Kp1 up10

Reacutesolution des 3

eacutequations drsquoeacutequilibre

P1=P1nom+Ff P1=P1nom - Ff

ε3lt-Ff

ε3gtFf

-Ff le ε3 le Ff

up1 = up10

Ff up10

heacute

GlissementGlissementagrave gauche agrave droite

Fig 324 ndash Prise en compte du frottement sur le roulement c dans le modegravele axial de broche

Dans un premier temps les eacutequilibres de lrsquoarbre et de la preacutecharge arriegravere sont reacutesolussimultaneacutement Pour cela la meacutethode est celle correspondant au roulement c bloqueacuteaussi utiliseacutee pour modeacuteliser la buteacutee (voir Eqn (312) de la partie 211) Le deacuteplace-ment ou non du roulement c deacutepend alors de son eacutequilibre ε3 Si la somme des forcessrsquoexerccedilant sur la bague exteacuterieure est infeacuterieure agrave la limite drsquoadheacuterence la bague duroulement c reste immobile le modegravele est alors deacutejagrave reacutesolu Si la somme des efforts estsupeacuterieure agrave cette limite drsquoadheacuterence la bague se deacuteplace Lrsquoeacutequilibre doit ecirctre reacutesolu denouveau Lrsquoeffort de frottement est pris en compte en tant qursquoeffort de preacutecharge avantsuppleacutementaire Suivant le sens de deacuteplacement de la bague la preacutecharge apparente P1

est la preacutecharge nominale P1nom plus ou moins lrsquoeffort de frottement Ff (voir Fig 324)

Le modegravele preacutesenteacute suppose que lrsquoeffort de frottement soit constant La deacutependance agrave lavitesse de rotation est neacutegligeacutee Ce pourrait ne pas ecirctre tout agrave fait le cas car lrsquoexpansionradiale de la bague exteacuterieure due agrave la surcharge centrifuge des billes pourrait augmentercet effort Cependant ceci devrait peu influencer le comportement simuleacute du modegravele caragrave hautes vitesses lrsquoeffet de la buteacutee limite lrsquohysteacutereacutesis

Le comportement du montage est simuleacute lors des cycles de charge et de deacutecharge pourplusieurs intensiteacutes drsquoefforts maximaux Les reacutesultats de simulation sont traceacutes sur laFig 325 pour des essais sans vitesse de rotation La buteacutee est fixeacutee agrave up1l = minus52micromet lrsquoeffort de frottement agrave Ff = 80N

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 100

u [microm]

3 pour F

max= 2500 N

3 pour F

max= 2000 N

3 pour F

max= 1500 N

3 pour F

max= 1000 N

(a) Efforts sur les paliers-2000 -1000 0 1000 2000

u [microm]

= 2500 N

= 2000 N

= 1500 N

= 1000 N

(b) Comportement apparent du montageFig 325 ndash Montage agrave preacutecharge eacutelastique avec une buteacutee et un frottement sur le palier 2 durant

plusieurs cycles de charge et de deacutecharge agrave N = 0 trmin

Le cycle de chargement est traceacute pour plusieurs valeurs drsquoefforts maximaux Fmax Cesvaleurs correspondent agrave lrsquoinversion de lrsquoeacutevolution du chargement F Les points C et

E correspondent aux efforts maximaux respectivement neacutegatifs et positifs Les pointsD et F correspondent au deacutebut de glissement du roulement c Ainsi les zones CD etEF sont des zones pour lesquelles la preacutecharge avant est rigide Suivant les valeurs desefforts maximum les zones de comportement rigide sont diffeacuteremment situeacutees Les zonesFC et DE sont des zones ougrave les deux preacutecharges sont eacutelastiques et correspondent agrave uneffort F sur lrsquoarbre respectivement deacutecroissant et croissant Drsquoapregraves la Fig 325(b) laraideur axiale de la broche est plus importante sur la zone FC En effet durant cettephase le roulement c glisse vers la gauche impliquant une preacutecharge apparente plusimportante P1 = P1nom + Ff Ces reacutesultats de simulation expliquent ainsi pourquoi laphase de deacutechargement preacutesente expeacuterimentalement une raideur axiale plus importante(voir Fig 323)

De nouvelles simulations numeacuteriques sont effectueacutees agrave diffeacuterentes vitesses de rotationLrsquoeffort sur lrsquoarbre F eacutevolue entre minus1 900N et 1 600N comme lors des essais expeacuteri-mentaux Les reacutesultats sont traceacutes sur les Fig 326

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 100

u [microm]

F1 agrave 0 trmin

3 agrave 0 trmin

(a) Efforts sur les paliers

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

N=0 trminN=16000 trminN=24000 trmin

(b) Comportement apparent du montageFig 326 ndash Montage agrave preacutecharge eacutelastique avec une buteacutee et un frottement sur le palier 2 pour

diffeacuterentes vitesses de rotation

Sur cette figure lrsquohysteacutereacutesis est moins visible agrave hautes vitesses car une grande partiedu cycle srsquoeffectue en configuration de roulement c en buteacutee Pour des efforts positifsimportants et deacutecroissants (portion de E agrave C) la preacutecharge avant est bloqueacutee drsquoougraveune raideur importante du montage Ceci explique pourquoi les modegraveles sans frotte-ment des parties preacuteceacutedentes avaient des difficulteacutes agrave recaler la raideur agrave 4 000 trminDans cet exemple dont les paramegravetres sont ceux trouveacutes par recalage en partie 243la somme des efforts de preacutecharge passe de 1 100N sans vitesse de rotation agrave 1 600N agrave24 000 trmin pour une deacuteflexion u agrave vide de pregraves de 25microm Cette hausse importantede preacutecharge aux hautes vitesses implique une raideur axiale pouvant augmenter Unetelle hausse est en effet observeacutee expeacuterimentalement pendant la phase de deacutechargement

(voir Fig 323) Concernant la phase de chargement la raideur agrave vide agrave 24 000 trminest encore plus importante car le roulement c est en buteacutee En effet lrsquointersection descourbes de la Fig 326(b) agrave 24 000 trmin (en rouge) se situe agrave preacutecharge avant rigidelors du chargement et agrave preacutecharge eacutelastique lors du deacutechargement

Conformeacutement agrave ce qui a eacuteteacute preacutesenteacute dans le paragraphe preacuteceacutedent le comportementincluant le frottement doit tenir compte de lrsquohistorique du deacuteplacement du roulement cup1 Crsquoest pourquoi il est neacutecessaire de prendre en compte lrsquohistorique de chargementdans sa globaliteacute Une solution simple serait de recaler seacutepareacutement la phase de charge etla phase de deacutecharge en consideacuterant la preacutecharge avant apparente comme P1 + Ff puisP1 minus Ff Mais dans ce cas le tarage des deacuteplacements pose problegraveme

Les valeurs des paramegravetres recaleacutes sont donneacutes par le Tab 37 et le comportement dumontage avec ces valeurs est traceacute sur la Fig 327 Pour observer les efforts sur lespaliers pour ce modegravele recaleacute se reporter agrave la Fig 326(a) car les paramegravetres de cetexemple correspondent agrave ceux recaleacutes

P1 P2 Kp1 Kp2 up1l ∆u0 ∆u24 minus∆u0 uOfa24 uO224 uO324 fe Ff

[N ] [N ] [Nmicrom] [Nmicrom] [microm] [microm] [microm] [microm] [microm] [microm] [N ]

574 528 620 549 minus522 432 73 0402 minus0305 minus428 0571 809

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

Lrsquoerreur moyenne ε est maintenant de 0 48microm du mecircme ordre de grandeur que preacuteceacute-dement mais en deacutecrivant le cycle complet avec hysteacutereacutesis Le modegravele est donc consideacutereacutecomme neacutecessaire et suffisant pour deacutecrire correctement le comportement axial reacuteel dela broche

Depuis le modegravele initial (Fig 312) les enrichissements successifs ont permis drsquoobtenirdrsquoexcellents reacutesultats Ils nous ont surtout permis drsquoaccroicirctre notre compreacutehension dufonctionnement complexe drsquoune eacutelectrobroche Il a en effet eacuteteacute possible de deacutecoupler cecomportement agrave priori complexe en une somme de pheacutenomegravenes physiques simples Parailleurs les travaux ont montreacute que la complexiteacute du fonctionnement vient notammentdu fait que quelques microns suppleacutementaires en quelques endroits de la broche (buteacuteeserrage etc) vont changer significativement son comportement

244 Mise agrave profit du frottement

Lrsquointeacuterecirct du frottement sur un systegraveme de preacutecharge eacutelastique serait de pouvoir travailleren configuration de preacutecharge rigide dans les conditions reacuteelles drsquousinage et ainsi avoirdes proprieacuteteacutes de raideur importante Quelles sont les plages drsquoefforts peacuteriodiques ∆Fcorrespondant agrave une configuration de preacutecharge rigide pour le palier avant crsquoest-agrave-diremaximisant la raideur La figure suivante explique qualitativement cette recherche Ellecorrespond agrave un zoom effectueacute sur les courbes agrave 0 trmin de la Fig 326(b)

-1200 -1000 -800 -600 -400 -200 0-10

u [microm]

max= 2500 N

= 2000 N

= 1500 N

= 1000 N

2 ∆F

Fig 328 ndash Plage de fonctionnement en preacutecharge avant rigide

Dans lrsquoexemple preacutesenteacute ci-dessus lrsquoeffort axial F peut varier entre minus1 000N et minus630Nsans que le palier 2 ne se deacuteplace Dans ces conditions la preacutecharge avant fonctionneen preacutecharge rigide avec une raideur axiale eacutequivalente de la broche de 180Nmicrom alorsque sans frottement la raideur serait de 120Nmicrom Le gain de raideur avec lrsquoadheacuterenceest de 50 dans ces conditions

Une eacutetude a eacuteteacute meneacutee pour deacuteterminer pour chaque effort axial F quel est lrsquoeffortsuppleacutementaire maximum plusmn∆F qui peut ecirctre appliqueacute en va-et-vient pour que le pa-lier avant fonctionne en preacutecharge rigide Cette eacutetude est effectueacutee avec les paramegravetresidentifieacutes lors du recalage final de la partie 243 Dans lrsquoexemple preacuteceacutedent lrsquoeffort sup-pleacutementaire est ∆F = 185N pour un chargement F = 815N Lrsquoensemble des reacutesultatsest preacutesenteacute sur la Fig 329

-1200 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 100050

∆ F [N]

0rpm4000rpm8000rpm12000rpm16000rpm20000rpm24000rpm

Fig 329 ndash Variation drsquoeffort ∆F maximum applicable en suppleacutement de lrsquoeffort F pour rester enpreacutecharge avant rigide

Les plages de fonctionnement nrsquoont de sens que sans buteacutee car lorsqursquoun systegraveme depreacutecharge est en buteacutee la preacutecharge devient neacutecessairement rigide Crsquoest pourquoi lescourbes sont limiteacutees sur les courbes agrave hautes vitesses Neacuteanmoins en buteacutee la preacute-charge reste rigide Les plages de fonctionnement en preacutecharge rigide sont relativementlarges sachant que lrsquoeffort drsquoadheacuterence identifieacute est seulement de 903N Elles diminuentleacutegegraverement avec la vitesse de rotation Par contre ces plages sont reacuteduites pour desefforts neacutegatifs importants et tendent vers la valeur de frottement seul car les raideursdes ressorts de preacutecharges sont souples

Les simulations numeacuteriques montrent tout lrsquointeacuterecirct de la preacutesence de frottement sur lepalier 2 pour des applications de perccedilage notamment Dans le cas du fraisage les effortsaxiaux sont limiteacutes Il est fort probable que cette broche fonctionne en preacutecharge avantrigide

Plus geacuteneacuteralement le savoir faire du concepteur de broche reacuteside dans le choix de cefrottement Il convient de le maicirctriser lorsque la broche est chaude afin drsquoeacuteviter uncoincement qui deacutetruirait la broche Le choix des ajustements est alors une opeacuterationdeacutelicate

25 Synthegravese

251 Geacuteneacuteralisation de la meacutethodologie

Pour pouvoir appliquer la meacutethode de modeacutelisation qui a eacuteteacute deacuteveloppeacutee la liste deseacuteleacutements neacutecessaires est courte la reacutefeacuterence des roulements ainsi que leur agencement(double tandem en ldquoOrdquo par exemple) Ceci est un avantage consideacuterable de la meacutethodecompte tenu du fait que les fabricants de broches ne sont pas speacutecialement enthousiastesagrave deacutevoiler des informations internes agrave leurs produits

Pour un unique systegraveme de preacutecharge seul le deacuteplacement de la face avant est neacutecessairedans ce cas la meacutethode est donc non intrusive Pour un double systegraveme de preacutechargeune deuxiegraveme donneacutee de deacuteplacement est neacutecessaire comme discuteacute dans ce preacutesentchapitre Finalement le mateacuteriel expeacuterimental est limiteacute le dispositif de chargementaxial un capteur de deacuteplacement et un capteur drsquoeffort

Les pheacutenomegravenes physiques intervenants dans cet exemple de recalage ne sont pas forceacute-ment preacutesents quelle que soit la broche En effet les choix et strateacutegies des constructeursconcernant le guidage du rotor peuvent ecirctre diffeacuterents Les paragraphes suivants syn-theacutetisent les meacutethodes de repeacuterage sur les reacutesultats expeacuterimentaux des effets de tel outel pheacutenomegravene physique agrave inclure pour obtenir un modegravele juste neacutecessaire

Effort(s) de preacutecharge

Ce paramegravetre est deacuteterminant pour le montage de roulements Mecircme si la valeur no-minale choisie par le constructeur de broche est connue elle nrsquoest qursquoapprocheacutee carlrsquointervalle de toleacuterance peut ecirctre important et surtout parce que lrsquoeffort de preacutechargevarie avec la situation thermique de la broche Ce pheacutenomegravene est drsquoautant plus marqueacuteavec des ressorts de preacutecharge relativement rigides Le fait drsquoavoir un unique systegraveme depreacutecharge va simplifier la deacutemarche

Raideur des ressorts de preacutecharge

Ce paramegravetre concerne bien sucircr exclusivement les systegravemes agrave preacutecharge eacutelastique La va-leur approcheacutee de ce paramegravetre est directement relevable sur une courbe effortdeacuteplacementune fois le palier avant deacutecolleacute Cependant une mesure preacutealable de la raideur des res-sorts (par un essai de compression par exemple) peut permettre de supprimer ce para-megravetre du recalage pour gagner en temps de calcul et en preacutecision

Buteacutee drsquoun systegraveme de preacutecharge eacutelastique

La buteacutee est un choix du constructeur permettant de contenir la raideur pour les grandes

vitesses de rotation Drsquoautres constructeurs peuvent faire un choix diffeacuterent Pour repeacutererla preacutesence ou non drsquoune buteacutee il faut repeacuterer un second point drsquoinflexion pour des effortsneacutegatifs sur les courbes effortdeacuteplacement

Expansion radiale des bagues

Lrsquoexpansion radiale des bagues permet drsquoenglober lrsquointervalle de toleacuterance sur lrsquoangle decontact le serrage des bagues inteacuterieures sur lrsquoarbre le diffeacuterentiel drsquoexpansion radial ducircagrave la thermique et lrsquoexpansion centrifuge de la bague inteacuterieure et du rotor Pour cetteraison ce paramegravetre ∆u0 est indispensable pour le recalage Lrsquoexpansion centrifuge estagrave prendre en compte pour les hauts Ndm

Reacutetreacutecissement centrifuge axial

Le reacutetreacutecissement centrifuge axial est agrave inclure pour les grandes vitesses de rotation etles grands diamegravetres de rotor donc pour les hauts Ndm eacutegalement Il peut cependantecirctre neacutegligeacute pour les montages agrave preacutecharge unique pour lesquels la raideur des ressortsde preacutecharge est faible (Kp lt 2Nmicrom par exemple) En effet dans ces conditionslrsquoaugmentation de preacutecharge due au reacutetreacutecissement centrifuge peut ecirctre non significativepar rapport agrave la preacutecharge initiale

Frottement

Le pheacutenomegravene de frottement est aiseacutement repeacutereacute lors drsquoun cycle de chargementdeacutechargementgracircce agrave la preacutesence drsquoune hysteacutereacutesis sur les courbes effortdeacuteplacement Sa valeur ap-procheacutee peut ecirctre releveacutee comme la moitieacute de lrsquoeacutecart en effort entre les courbes duchargementdeacuteplacement lorsque le palier avant est deacutecolleacute

Paramegravetres additionnels

Dans le cas de recalages non fructueux (erreur trop importante ou borne de lrsquoespace derecherche drsquoun paramegravetre atteinte) une analyse de sensibiliteacute peut reacuteveacuteler la neacutecessiteacutede seacutelectionner pour le recalage un paramegravetre jusque-lagrave fixeacute agrave sa valeur nominale Danslrsquoexemple le rayon de courbure de la bague exteacuterieure a eacuteteacute recaleacute

252 Synthegravese numeacuterique des phases de recalage

Tab38ndashReacutesultats

desanalyses

desensibiliteacuteκet

deseacutetap

essuccessiv

recalageε

quantifi

elrsquoeacutecartmoyen

entreexpeacute

rimentalets

imulation

ase1(partie

Phase2

Phase3

Phase4

Phase5(partie

Phase6

Paramegravetres

κ[microm

]Recaleacute

Recaleacute

κ[microm

]Recaleacute

Recaleacute

Kp1[Nmicrom

20Kp2[Nmicrom

Preacutecharges

up1l[microm

]minus

minusminus

minus519

minus550

minus546

minus522

α0[deg

minusminus

0[microm

]minus

minusminus

minus156

24minus

0[microm

10minus

minusminus

minus8

56plusmn

99minus

minusminus

minus0

minusminus

54plusmn

07minus

minusminus

minus0

4plusmn

minusminus

75plusmn

88minus

minusminus

minus9007

71minus

minusν b

026plusmn

minusminus

00minus

minusν r

03plusmn

minusminus

68minus

minusEb[GPa]

315plusmn

minusminus

62minus

minusEr[GPa]

210plusmn

minusminus

12minus

Roulementsagravebilles

ρb[kgm

90plusmn

minusminus

9minus

minusuO

4[microm

minusminus

minus1

4[microm

]minus

0minus

minusminus

minus1

34minus

3minus

2minus

4[microm

]minus

0minus

minusminus

minus407

minus420

minus428

Autres

minusminus

minus809

Erreur

[microm

3 Validation de la meacutethodologie

3 Validation de la meacutethodologieLa meacutethodologie suivie dans ce chapitre a permis drsquoidentifier les grandeurs physiquesinheacuterentes au montage de roulements preacutechargeacutes Est-ce que le comportement deacutecritest une particulariteacute de la broche Fischer MFW 2310 Est-ce que la modeacutelisation etla meacutethodologie drsquoidentification est valide pour drsquoautres broches Cette partie a pourbut de valider ces deux interrogations leacutegitimes en eacutetendant les reacutesultats agrave une autreapplication Pour cela la broche Fischer MFW1709 est retenue broche agrave structure plussimple baseacutee sur un systegraveme de preacutecharge unique

31 Protocole expeacuterimental

La broche MFW 1709 est monteacutee sur un robot anthropomorphique Kuka KR 270 delrsquoIRCCyN Le mecircme dispositif de chargement axial est utiliseacute dans la position de brocheverticale (voir Fig 330)

Fig 330 ndash Dispositif expeacuterimental lors des essais de charge sur la broche MFW 1709

Effectuer des essais sur un robot pose des problegravemes par rapport agrave une exeacutecution surMOCN Le robot a une structure bien plus souple due principalement aux six liaisonspivot (terme rotoiumlde employeacute par les roboticiens) en seacuterie [Dumas et al 2011] Lesefforts appliqueacutes sont de lrsquoordre de la moitieacute de la charge utile Pour de telles chargeslrsquoeffecteur se deacuteplace de plusieurs millimegravetres dans la direction radiale agrave la broche Cedeacuteplacement parasite est tregraves gecircnant pour les essais car la broche nrsquoest alors plus chargeacuteepurement axialement Preacutealablement aux essais une trajectoire miroir a donc due ecirctreidentifieacutee de sorte agrave ce que le deacuteplacement de lrsquoeffecteur srsquoeffectue bien selon lrsquoaxe de la

broche Plusieurs points de cette trajectoire miroir ont eacuteteacute identifieacutes empiriquement Latrajectoire programmeacutee est ainsi lrsquointerpolation lineacuteaire de ces points

Compte tenu de lrsquoarchitecture de la broche composeacutee drsquoun unique systegraveme de preacutechargeune seule donneacutee expeacuterimentale de deacuteplacement est neacutecessaire pour le recalage Le deacute-placement avant u pointeacute sur le nez de broche est mesureacute

Sachant que les pheacutenomegravenes thermiques transitoires jouent un rocircle important agrave bassesvitesses il nrsquoa pas eacuteteacute possible drsquoeffectuer un recalage sur un cycle complet de charge etdeacutecharge De plus des pheacutenomegravenes parasitent de maniegravere importante les deacuteplacementsmesureacutes lors des arrecircts puis des changements de direction du robot agrave cause des freinset des jeux drsquoinversion dans les liaisons Le cycle en hysteacutereacutesis nrsquoest donc pas inteacutegreacute agravecette validation seule la phase de deacutechargement est retenue car elle a eacuteteacute effectueacutee degravesle deacutemarrage de lrsquoessai dans une configuration de broche chaude

32 Reacutesultats du recalage

La meacutethodologie deacutecrite dans la partie 251 a eacuteteacute appliqueacutee sur le modegravele de la brocheFischer MFW 1709 Cette broche est guideacute par un montage en ldquoOrdquo constitueacute drsquountandem agrave lrsquoavant et drsquoun roulement seul coulissant dans le corps de broche agrave lrsquoarriegravere(voir scheacutematisation de la structure en Annexe 13) Une seule valeur drsquoeffort de preacute-charge et une seule valeur de raideur de preacutecharge sont rechercheacutees Lrsquoapplication estcaracteacuteriseacutee par un critegravere Ndm de 2 millions ce qui justifie pleinement la recherchede lrsquoexpansion radiale centrifuge des bagues et du reacutetreacutecissement axial centrifuge delrsquoarbre Les reacutesultats expeacuterimentaux agrave 24 000 trmin de la Fig 331 montre une raideurqui augmente avec des efforts axiaux neacutegatifs ce qui est probablement synonyme de lapreacutesence drsquoune buteacutee sur le roulement de preacutecharge Au final les paramegravetres retenus sont(PKp upl∆u0∆u24 minus∆u0 uO224) Le premier recalage est infructueux Lrsquoanalyse desensibiliteacute effectueacutee ensuite montre qursquoil est neacutecessaire drsquoinclure les paramegravetres de rayonde courbure de la bague exteacuterieure fe et de masse volumique des billes ρb

Les paramegravetres identifieacutes sont

P Kp upl ∆u0 ∆u24 minus∆u0 u0224 fe ρb[N ] [Nmicrom] [microm] [microm] [microm] [microm] [kgm3]

1 310 13 8 79 0 56 5 9 54 minus20 2 0 575 3 200

Lrsquoerreur moyenne ε entre les reacutesultats expeacuterimentaux et numeacuteriques est ε = 0 66micromLes reacutesultats sont traceacutes sur la Fig 331 Lrsquoadeacutequation entre expeacuterimental et simulation

est tregraves bonne compte tenu de la qualiteacute des reacutesultats expeacuterimentaux obtenus

-1500 -1000 -500 0 500 1000-50

u [microm]

Fig 331 ndash Reacutesultats expeacuterimentaux et numeacuteriques du modegravele recaleacute de la broche FischerMFW1709

Il est inteacuteressant de remarquer que cette broche est aussi conccedilue de maniegravere agrave ce quele roulement de preacutecharge soit en buteacutee agrave 24 000 trmin agrave chaud Par contre ici lemoteur est au centre du montage pouvant fonctionner en buteacutee Ainsi il est probableque le roulement arriegravere soit deacutejagrave en buteacutee lorsque la broche est froide le comportementeacutelastique eacutetant effectif lorsque le broche est chaude et agrave basses vitesses

Dans tous les cas la conclusion de cette eacutetude est que la meacutethodologie de recalagefonctionne aussi pour drsquoautres structures de broche Elle permet drsquoobtenir les grandeursrelatives au systegraveme de preacutecharge dans les conditions reacuteelles drsquoutilisation Cette nouvelleapplication valide la modeacutelisation et la meacutethode de recalage proposeacutee le juste modegraveledu comportement axial du montage de roulements de cette broche a eacuteteacute obtenu

ConclusionLrsquoobjectif de ce chapitre eacutetait de mettre au point une meacutethodologie pour identifier lesgrandeurs physiques relatives au montage de roulements preacutechargeacutes en recalant le mo-degravele numeacuterique gracircce au comportement reacuteel mesureacute Finalement une succession drsquoenri-chissements du modegravele srsquoest aveacutereacutee neacutecessaire afin drsquointeacutegrer de nouveaux pheacutenomegravenesphysiques Cette meacutethodologie a eacuteteacute deacuteveloppeacutee avec un montage reacuteel de broche UGVagrave deux systegravemes de preacutecharge imbriqueacutes Le montage agrave double preacutecharges non eacutetudieacuteeauparavant repreacutesente une difficulteacute suppleacutementaire due agrave son fonctionnement coupleacute

Le premier volet de cette eacutetude a consisteacute agrave deacutefinir le modegravele analytique de comportementaxial du montage preacutechargeacute La compreacutehension de ce comportement a eacuteteacute illustreacutee endeacutetails pour des preacutecharges eacutelastique et rigide Des moyens expeacuterimentaux ont eacuteteacute misen place et exploiteacutes gracircce notamment agrave un nouveau dispositif de chargement axialdeacuteveloppeacute dans le cadre de cette thegravese de doctorat Enfin les quatre eacutetapes de la meacutethodede recalage ont eacuteteacute deacutecrites pour la premiegravere phase de recalage

Les reacutesultats de cette premiegravere phase de recalage nrsquoayant pas eacuteteacute concluante de nouveauxenrichissements du modegravele ont eacuteteacute envisageacutes De nouveaux pheacutenomegravenes physiques ont eacuteteacuteidentifieacutes comme devant ecirctre neacutecessairement inteacutegreacutes au modegravele de la broche la preacutesencedrsquoune buteacutee de fin de course sur un systegraveme de preacutecharge lrsquoexpansion radiale des baguesde roulement le reacutetreacutecissement axial centrifuge du rotor Lrsquoimpact de ces nouveauxpheacutenomegravenes est discuteacute et illustreacute gracircce agrave des reacutesultats de simulation Notamment lanouvelle meacutethode de prise en compte du diffeacuterentiel drsquoexpansion radiale des bagues deroulements inteacuterieure preacutesenteacutee au chapitre II srsquoest reacuteveacuteleacutee indispensable pour obtenirdes deacuteflexions et raideurs correctes En outre la derniegravere analyse de sensibiliteacute a deacutevoileacutelrsquoimportance du rayon de courbure de la bague exteacuterieure paramegravetre qui a eacuteteacute ajouteacutepour le recalage Finalement le modegravele enrichi a eacuteteacute recaleacute et permet une excellenteadeacutequation entre la simulation et le reacuteel

La suite des travaux a consisteacute agrave analyser lrsquoensemble du cycle de charge et de deacutechargefaisant apparaicirctre une hysteacutereacutesis sur les deacuteplacements axiaux Elle srsquoexplique par unemodeacutelisation de frottement sec lieacute au deacuteplacement de la bague exteacuterieure du roulementde preacutecharge avant Le modegravele est recaleacute de nouveau sur tous les cycles de charge et dedeacutecharge Une exploitation de ce modegravele a permis de deacutecouvrir dans quelles conditionsil serait possible de fonctionner en preacutecharge rigide gracircce au frottement sur le roulementde preacutecharge

Enfin la meacutethodologie drsquoidentification par recalage a eacuteteacute valideacutee avec succegraves sur uneautre broche agrave structure simple systegraveme de preacutecharge cette fois-ci monteacutee sur un robotindustriel anthropomorphe

En conclusion les valeurs de preacutecharge et de raideur des ressorts de preacutecharge eacutetaientinitialement rechercheacutees Elles ont eacuteteacute au final identifieacutees avec succegraves et drsquoautres pheacute-nomegravenes physiques essentiels pour modeacuteliser le comportement reacuteel de la broche ont eacuteteacutereacuteveacuteleacutes lrsquoexpansion radiale des bagues de roulements la course avant une eacuteventuellebuteacutee le reacutetreacutecissement axial centrifuge et lrsquoeffort de frottement appliqueacute sur un roule-ment de preacutecharge Cette eacutetude a aussi permis de mettre en exergue lrsquoavantage drsquounebuteacutee et drsquoun frottement maicirctriseacute pour obtenir une raideur importante de la broche agravehautes vitesses de rotation

Au final la meacutethodologie preacutesenteacutee permet drsquoidentifier les grandeurs reacuteelles en fonction-nement grandeurs indispensables pour poursuivre les travaux puisqursquoelles deacutefinissentles conditions limites neacutecessaires agrave la modeacutelisation 3D du rotor Plus geacuteneacuteralementces travaux permettent de mieux comprendre le fonctionnement complexe drsquoune eacutelec-trobroche UGV agrave hautes vitesses En effet le comportement axial complexe a pu ecirctreexpliqueacute par le deacutecouplage en pheacutenomegravenes physiques simples du modegravele

pitre4

Modegravele de comportement global debroche

Sommaire1 Protocole expeacuterimental 119

3 Impact des hypothegraveses du modegravele de broche 13131 Essais radiaux quasi-statiques 13132 Observation du comportement expeacuterimental 13333 Simulation du comportement quasi-statique 13434 Pourquoi un comportement radial lineacuteaire 13935 Comportement local 14336 Conclusion 146

IntroductionA preacutesent que le comportement axial du montage de roulement est identifieacute il est pos-sible drsquoinclure le modegravele de roulement dans un modegravele global tridimensionnel de brocheLrsquoeacutetude de ce chapitre doit permettre de comprendre lrsquoeacutevolution du comportement vibra-toire avec la vitesse de rotation La compreacutehension pheacutenomeacutenologique permettra de fairedes choix justifieacutes en termes drsquohypothegraveses de modegravele en particulier en ce qui concernelrsquointeacutegration du modegravele de roulement

Pour appuyer cette eacutetude du comportement radial de broche des moyens expeacuterimentauxspeacutecifiques sont neacutecessaires La premiegravere section justifie le deacuteveloppement drsquoun excitateurde broche et en deacutecrit les principales eacutetapes de conception Les caracteacuteristiques duproduit sont eacutenonceacutees et le protocole expeacuterimental sur MOCN est eacutetabli

La seconde partie preacutesente la construction du modegravele non-lineacuteaire et tridimensionnel dela broche Les choix drsquooutils numeacuteriques sont justifieacutes et aboutissent sur une simulationpiloteacutee par Simulink faisant intervenir un modeleur dynamique multi-corps et le modegravelede roulement preacuteceacutedemment deacuteveloppeacute Le parameacutetrage de chacun de ces deux sous-modegraveles est eacutetabli afin qursquoils puissent eacutechanger les grandeurs drsquoefforts et de deacuteplacementsrelatifs aux roulements De plus les systegravemes de preacutecharge eacutelastique sont impleacutementeacutesdans le modeleur tridimensionnel Il reflegravete ainsi le comportement axial recaleacute au chapitrepreacuteceacutedent

La partie suivante est destineacutee agrave observer lrsquoimpact des hypothegraveses du modegravele de brochesur son comportement Pour cela une eacutetude expeacuterimentale et une eacutetude numeacuteriquesont effectueacutees en observant le comportement radial sous efforts quasi-statiques et avecrotation de la broche Ainsi les reacutesultats permettront de conclure sur le juste modegraveleneacutecessaire agrave la description de comportement reacuteel de la broche

Enfin le comportement vibratoire de la broche est investigueacute Des essais speacutecifiques sontreacutealiseacutes avec lrsquoexcitateur de broche pour obtenir les fonctions de transfert agrave diffeacuterentesvitesses de rotation La simulation du comportement vibratoire est effectueacutee par eacutetapesdans le but drsquoanalyser les causes drsquoeacutevolution des freacutequences avec la vitesse de rotationUne reacuteflexion pour lrsquoindustrialisation de tels modegraveles agrave des fins de conception et de choixde conditions de coupe est meneacutee

CH 4 Modegravele de comportement global de broche

1 Protocole expeacuterimentalLe but de cette partie est de mettre en place les moyens expeacuterimentaux pour lrsquoeacutetudeexpeacuterimentale du comportement dynamique radial de broches en particulier gracircce audeacuteveloppement drsquoun excitateur de broche au sein du laboratoire

11 Choix des moyens expeacuterimentaux

Pour les travaux drsquoeacutetude du comportement de la broche complegravete des moyens de char-gement sont neacutecessaires Comme vu au chapitre preacuteceacutedent un dispositif de chargementaxial a eacuteteacute deacuteveloppeacute pour charger la broche axialement quelle que soit sa vitesse derotation A preacutesent le comportement sous sollicitations radiales est agrave lrsquoeacutetude puisque lafinaliteacute premiegravere de la broche est le fraisage

111 Marteau de choc

Des essais de sonnage au marteau de choc sont reacutealiseacutes Crsquoest la meacutethode la plus simpleagrave mettre en place et elle neacutecessite un traitement relativement simple de donneacutees commepreacutesenteacute dans le chapitre I Cependant elle a des limites Tout drsquoabord le comportementde la broche est agrave priori non lineacuteaire vis agrave vis des efforts appliqueacutes Les roulements agravebilles se comportent en theacuteorie tels des ressorts durcissants La souplesse est alors deacute-pendante de lrsquointensiteacute du choc Mais la limite la plus gecircnante concerne la deacutependanceagrave la vitesse de rotation Le comportement vibratoire drsquoune eacutelectrobroche UGV est forte-ment deacutependant de sa vitesse de rotation Ceci est ducirc principalement agrave lrsquoassouplissementdes roulements avec la vitesse de rotation et au comportement dynamique du rotor Lecomportement identifieacute agrave lrsquoarrecirct de la broche nrsquoest donc pas suffisant Dans [Schmitzet al 2004] lrsquoidentification par marteau de choc est reacutealiseacutee avec des vitesses de rotationjusqursquoagrave 28 000 trmin Cependant un moyennage sur quinze mesures est neacutecessaire etmecircme avec de telles preacutecautions aucune variation de freacutequence propre nrsquoest observable

En conclusion ce type de mesure est eacutecarteacute pour la mesure de la FRF avec vitessede rotation Neacuteanmoins la FRF obtenue par sonnage au marteau de choc sera utiliseacuteecomme reacutefeacuterence agrave 0 trmin

112 Pot vibrant

Lrsquoutilisation drsquoun pot vibrant est aussi possible Par exemple dans [Girardin et al2010] le pot vibrant est utiliseacute pour qualifier le comportement vibratoire drsquoune table

dynamomeacutetrique Ce mateacuteriel classique pour lrsquoeacutetude des vibrations de structures per-mettrait de solliciter la broche avec vitesse de rotation par lrsquointermeacutediaire drsquoun paliersuppleacutementaire agrave la maniegravere du dispositif de chargement axial Cette solution pose neacutean-moins problegraveme car qui dit palier suppleacutementaire dit modification du comportementvibratoire de lrsquoensemble outil-broche Cette solution est alors eacutecarteacutee

113 Excitateur eacutelectromagneacutetique

Pour solliciter la broche sans qursquoil nrsquoy ait contact la solution drsquoun excitateur eacutelectro-magneacutetique est alors envisageacutee Crsquoest une solution technique non disponible dans lecommerce lourde agrave mettre en place mais qui preacutesente de nombreux avantages excitation sans contact sollicitation sous rotation de la broche freacutequence de sollicitation eacuteleveacutee (plus seulement des sollicitations quasi-statiques) profil des efforts personnalisables pour reproduire les efforts reacuteels du fraisage

Lrsquoutilisation drsquoun palier magneacutetique pour le choix de conditions drsquoexploitation a eacuteteacuteinitieacutee par Chen et Knospe [2005] dans le cas du tournage Pour le fraisage lrsquoidentifi-cation du comportement dynamique a eacuteteacute effectueacutee par lrsquoeacutequipe de Abele et al [2006]La broche retenue est guideacutee par un montage en ldquoOrdquo de roulements en tandem et preacute-chargeacute eacutelastiquement Lrsquoeacutetude consistait agrave montrer lrsquoinfluence de la vitesse de rotationsur la FRF en bout drsquooutil avec une approche de modeacutelisation veacuterifieacutee par les essaisexpeacuterimentaux Des perspectives de choix de conditions drsquoexploitation et de controcircledu broutement sont abordeacutees (perspectives deacuteveloppeacutees aussi dans [Abele et al 2007])Lrsquoexcitateur a eacuteteacute utiliseacute pour des freacutequences drsquoexcitation infeacuterieures agrave 3 kHz et un effortmaximal de 100N agrave 1 5 kHz Lrsquoutilisation drsquoun excitateur et drsquoun vibromegravetre laser agraveeffet Doppler a permis lrsquoeacutetude de lrsquoeacutevolution des modes et freacutequences propres avec la vi-tesse de rotation [Rantatalo et al 2007] La broche alors eacutetudieacutee eacutetait une eacutelectrobrocheFischer MFWS-2305248 guideacute par deux roulements eacutelastiquement preacutechargeacutes

Dans le cadre de nos travaux une validation du comportement dynamique avec vitessede rotation est indispensable Le choix drsquoessais avec excitateur eacutelectromagneacutetique srsquoestalors imposeacute Les paliers magneacutetiques destineacutes agrave un guidage radial sont relativement peureacutepandus Aucun produit de seacuterie ne convenait agrave la plage de freacutequences et de lrsquointensiteacutedes efforts souhaiteacutes La solution de deacuteveloppement en interne a eacuteteacute privileacutegieacutee

12 Deacuteveloppement de lrsquoexcitateur eacutelectromagneacutetique

Dans le cadre du projet UsinaE Greacutegoire Peigneacute (entreprise Mitis) Georges Moraru(ENSAM drsquoAix en Provence) et Lionel Arnaud (ENI de Tarbes) ont porteacute le projet de

reacutealisation drsquoun deacutemonstrateur en 2009 pour lrsquoIRCCyN Le palier associait alors deuxeacuteleacutements du commerce un palier MECOS et un amplificateur de Advance MotionControl Il eacutetait piloteacute par Labview pour une bande passante limiteacute agrave environ 150HzPlus reacutecemment David Tlalolini et Mathieu Ritou ont deacuteveloppeacute un nouveau moyenau sein de lrsquoIRCCyN Lrsquoexcitateur est dimensionneacute de sorte agrave atteindre des freacutequencesde sollicitations jusqursquoagrave 4 000Hz Cette gamme de freacutequence correspond agrave la gammedrsquointeacuterecirct pour lrsquousinage (crsquoest agrave dire dix fois la freacutequence de rotation drsquoune brochetournant agrave 24 000 trmin) Cette freacutequence est neacuteanmoins grande lorsqursquoil srsquoagit deconstruire un palier Les paliers magneacutetiques disponibles dans le commerce atteignenten geacuteneacuteral 50Hz voire 100Hz puisqursquoils sont plutocirct conccedilus pour assurer le centragede rotor Ainsi aucun eacuteleacutement du commerce ne convient que ce soit pour le palier oulrsquoamplificateur de courant Nous avons ducirc en concevoir de nouveaux

Pour atteindre les performances en freacutequence des tocircles speacutecifiques agrave grains orienteacutes enFer-3Silicium ont eacuteteacute choisies de sorte agrave favoriser le champ eacutelectromagneacutetique dans lerotor et le stator Pour obtenir un flux magneacutetique circulaire les tocircles ont eacuteteacute deacutecaleacuteesangulairement de maniegravere agrave placer les directions de laminage des tocircles conseacutecutives agrave90 [Lopez 2011]

Le dimensionnement des quatre eacutelectro-aimants a eacuteteacute reacutealiseacute par David Tlalolini gracircceagrave des simulations numeacuteriques effectueacutees sous le logiciel Simulink Pour alimenter leseacutelectro-aimants des amplificateurs de puissance asservis en courant ont eacuteteacute speacutecifique-ment conccedilus et reacutealiseacutes par Sylvain Rialland de lrsquoentreprise Synervia partenaire delrsquoIRCCyN Les amplificateurs agrave Modulation de Largeur drsquoImpulsion (MLI) sont baseacutessur des ponts en H permettant de fournir 15A en continu jusqursquoagrave 5 kHz Pour piloter lesefforts appliqueacutes au rotor une interface speacutecifique a eacuteteacute deacuteveloppeacutee sous Labview Ellefournit les consignes speacutecifiques aux amplificateurs et gegravere lrsquoacquisition des signaux

Jrsquoai effectueacute la conception structurelle en concertation avec Mathieu Ritou PhilippeMoret Philppe Coquerie et Erwan Paviot ces deux derniers ayant fabriqueacute le produit agravelrsquoIUT de Nantes Le bacircti en aluminium est reacutealiseacute en deux parties usineacutees dans la masseDes galeries de refroidissement ont eacuteteacute preacutevues afin drsquoeacutevacuer la chaleur perdue par effetJoule dans les bobines (la puissance maximale de lrsquoexcitateur est drsquoenviron 2 5 kW )Lrsquoeffort obtenu par un eacutelectro-aimant est drsquoautant important que lrsquoentrefer est petitPour cette raison lrsquoentrefer nominal au rayon est fixeacute agrave g0 = 0 25mm ce qui rend lestoleacuterances de fabrication serreacutees notamment en ce qui concerne la mise en position desquatre empilements de tocircles du stator

Lrsquoeffort maximal de 200N est obtenu dans le cas drsquoefforts continus Pour obtenir desefforts importants un courant de preacute-magneacutetisation I0 est appliqueacute Il correspond paranalogie meacutecanique agrave une preacutecharge Comme dans le cas du comportement axial drsquoun

(a) Positionnement des quatreeacutelectro-aimants

(b) Maquette numeacuterique en perpective

Fig 41 ndash Structure de lrsquoexcitateur eacutelectromagneacutetique [Tlalolini et al 2013]

montage preacutechargeacute et symeacutetrique la preacute-magneacutetisation a lrsquoavantage de lineacuteariser le com-portement du palier eacutelectromagneacutetique Cette lineacuteariteacute est inteacuteressante car elle permetdrsquoestimer les efforts agrave partir des courants I1 = I0 + Iy et I2 = I0minus Iy appliqueacutes aux deuxdemi-axes sans avoir recourt agrave un moyen de mesure suppleacutementaire Cette estimationsera utile compte tenu de la bande passante limiteacutee de la table dynamomeacutetrique Kistler9255 utiliseacutee (sa freacutequence propre est de lrsquoordre 1 7 kHz une fois brideacutee sur la machine)Ainsi en neacutegligeant le deacuteplacement radial du rotor par rapport au stator le modegraveleeacutelectro-magneacuteto-meacutecanique aboutit agrave lrsquoEqn (41) une fois lineacuteariseacute

Foy = kiIy (41)

avec ki = 4micro0I0h bN2

et avec Iy le courant drsquoexcitation micro0 la permeacuteabiliteacute du vide I0 le courant de preacute-magneacutetisation b et h la largeur et la hauteur de lrsquoeacutelectroaimant Nb le nombre de spiresdes bobines et g0 lrsquoentrefer au rayon

Durant les essais de caracteacuterisation sur la machine CN Hermle la constante ki a eacuteteacuteidentifieacutee avec une zone de lineacuteariteacute pour Foy limiteacutee agrave plusmn120N ki = 80 2NA

13 Essais avec lrsquoexcitateur

Dans le cadre des travaux de thegravese les premiegraveres campagnes drsquoessais avec lrsquoexcitateuront eacuteteacute reacutealiseacutees Les essais ont eacuteteacute reacutealiseacutes sur MOCN Huron KX30 nouvellement ins-talleacutee dans les locaux du groupe Europe Technologies situeacutes au Technocampus EMC2agrave Bouguenais La broche Fischer MFW2310-24 est la mecircme que celle utiliseacutee pour lesessais de sollicitations axiales Elle nrsquoa pas subi de changement des roulements depuis

Le dispositif expeacuterimental est deacutecrit sur la Fig 42

Broche

Porte outil speacutecifique

Bobinage

Table dynamomeacutetrique

Capteur agrave courant de Foucault

Fig 42 ndash Excitateur eacutelectromagneacutetique monteacute sur broche Fischer MFW2310

Pour cette campagne drsquoessai deux capteurs agrave courant de Foucault Keyence EX-201 sontutiliseacutes Le premier noteacute C1 est solidaire du corps de lrsquoexcitateur et le deuxiegraveme noteacuteC2 est monteacute dans un support speacutecifique fixeacute sur le nez de la broche Les deacuteplacementsradiaux mesureacutes par ces deux capteurs ne sont pas identiques En effet le deuxiegravememesure le deacuteplacement de lrsquoarbre par rapport au corps de broche alors que le premiercumule le comportement de toute la chaicircne cineacutematique de la machine

Oc OcFig 43 ndash Montage des capteurs agrave courant de Foucault pour les essais de sollicitation avec lrsquoexci-

tateur eacutelectro-magneacutetique

Lors des essais des efforts radiaux seront appliqueacutes en quasi-statique et par balayage si-nus jusqursquoagrave 4 kHz Les essais sont effectueacutes broche chaude et thermiquement stable afinde srsquoaffranchir des effets thermiques La freacutequence drsquoeacutechantillonnage est de 51 2 kHz

2 Elaboration du modegravele non-lineacuteaire de broche

2 Elaboration du modegravele non-lineacuteaire de brocheCette partie preacutesente comment le modegravele de broche tridimensionnel et non-lineacuteaire a eacuteteacuteconstruit et comment il integravegre le modegravele complet de roulement deacutefini aux chapitres IIet III

21 Choix preacuteliminaires

Le modegravele de roulement agrave 5 ddl a eacuteteacute deacuteveloppeacute comme eacutenonceacute dans le chapitre II Ila eacuteteacute impleacutementeacute sous le logiciel Matlab pour permettre un deacuteveloppement simple etil est consideacutereacute comme un sous-systegraveme inteacutegreacute dans le modegravele global de broche Pourmettre au point un modegravele de rotor deux solutions ont eacuteteacute envisageacutees deacutevelopper unemodeacutelisation de type poutre ou utiliser un logiciel existant La programmation drsquounmodegravele de rotor est une eacutetape longue et ne fait pas lrsquoobjet de la preacutesente eacutetude De plusces travaux privileacutegient une approche drsquoapplicabiliteacute industrielle Ainsi lrsquoutilisation drsquounlogiciel du commerce a eacuteteacute privileacutegieacutee

Les speacutecifications du logiciel seacutelectionneacute doivent ecirctre calcul temporel pour la prise en compte des non-lineacuteariteacutes interfaccedilage avec Matlab pour lrsquoutilisation du modegravele de roulement dynamique multicorps avec prise en compte des effets rotatifs (effet gyroscopique

assouplissement) corps deacuteformables geacuteomeacutetrie CAO complexe

Les logiciels speacutecifiques de rotors ne conviennent donc pas (RotorE RotorInsa etc) etceux de calcul EF quasi-statiques non plus En revanche VirtualLab commercialiseacute parla socieacuteteacute LMS convient aux speacutecificiteacutes listeacutees plus haut Crsquoest un modeleur dynamiquemulti-corps permettant lrsquoextension de la modeacutelisation par eacuteleacutements-finis et partageantlrsquointerface avec Catia V5 La disponibiliteacute de ces moyens numeacuteriques a eacuteteacute rendu possiblegracircce au financement de lrsquoAIP Primeca des pays de la Loire et de lrsquoIRCCyN Lrsquoavantagedu logiciel de modeacutelisation 3D VirtualLab est qursquoil permet le calcul temporel de sorte agravece qursquoon puisse reproduire en simulation les essais reacuteels Il a aussi lrsquoavantage drsquoexporterses modegraveles en interfaccedilant le calcul avec Simulink par exemple

En deacutefinitive le modegravele global de broche est impleacutementeacute sous Simulink Il est composeacute dedeux sous-systegravemes le modegravele de roulement codeacute en Matlab et le modegravele du rotor issudu logiciel VirtualLab Des routines speacutecifiques ont eacuteteacute deacuteveloppeacutees pour automatiser lescalculs et le post-traitement des donneacutees (voir principe en annexe 3) Pour comprendrelrsquoampleur du travail reacutealiseacute ici il est important de remarquer que lrsquointeacutegration des cinq

roulements avec le modegravele non-lineacuteaire agrave 5 ddl nrsquoest pas trivial car elle ne correspondpas agrave des fonctionnaliteacutes de base de VirtualLab Le deacuteveloppement du modegravele globalrobuste avec un pilotage par Simulink a eacuteteacute ardu Merci donc au service support de LMSpour sa reacuteactiviteacute et sa disponibiliteacute

22 Structure du modegravele non-lineacuteaire

Comme le montre la Fig 44 le modegravele de roulement calcule les efforts agrave partir desdeacuteplacements Le modegravele de rotor exporteacute de VirtualLab calcule les deacuteplacements descentres de roulements au pas de temps suivant gracircce aux efforts appliqueacutes sur les baguesinteacuterieures de roulements Les manipulations de signe sont effectueacutees pour faire corres-pondre les repegraveres locaux de chaque roulement au repegravere global lieacute au corps de broche(voir deacutetails dans la partie 45)

Le bloc precharge statique calcule les deacuteflexions de preacutecharge agrave lrsquoinitialisation de lasimulation Les efforts de preacutecharges retenus sont ceux identifieacutes dans le chapitre III(eacutetat chaud de la broche) (P1 P2) = (574 528) Le bloc chargement gegravere les valeursdes efforts appliqueacutes en bout drsquooutil en fonction du temps Les non-lineacuteariteacutes du modegravele5 ddl de roulement sont pleinement inteacutegreacutees en tant que conditions limites du rotordrsquoougrave le nom de modegravele non-lineacuteaire de broche

23 Calcul du modegravele de roulement

Le calcul du comportement du roulement est lrsquoeacuteleacutement le plus coucircteux en temps de calculIl est neacutecessaire de prendre des preacutecautions pour assurer un temps de calcul raisonnableLa reacutesolution la plus rapide du modegravele de roulement est retenue reacutesolution en efforts(voir Chapitre II)

Deux preacutecautions suppleacutementaires sont prises Drsquoune part le calcul de modegravele de rou-lement est paralleacuteliseacute de sorte agrave ce que chacun des roulements soit calculeacute en parallegravelepar un processeur diffeacuterent Drsquoautre part les grandeurs locales x = (X1 X2 δi δo) sontgardeacutees en meacutemoire pour chaque roulement et pour chaque bille pour le pas de tempssuivant Ainsi la reacutesolution du modegravele de roulement est initialiseacutee avec le reacutesultat decalcul du pas preacuteceacutedent ce qui rend la reacutesolution beaucoup plus rapide (temps de calculdiviseacute en geacuteneacuteral de 3 agrave 5)

plantout

in out

Scope3

Scope2

Scope1

Level-2 MATLABS-Function3

preacutecharge statique

chargement

Level-2 MATLABS-Function

modegravele de roulement

Ground1

Ground

Demux3

Demux2

Demux1

Demux-1

mfx3 fx3

modegravele multi-corps VirtualLab

Fig 44 ndash Modegravele non lineacuteaire global de broche sous Simulink

24 Modegravele multicorps de la broche

Le modegravele multicorps est repreacutesenteacute sur la Fig 45 avec le rotor de broche modeacuteliseacute parEF Lrsquoarbre creux lrsquooutil la partie rotor du moteur ainsi que les bagues inteacuterieures et lesentretoises sont consideacutereacutes comme un solide monobloc en acier (en bleu sur la Fig 45)Les repegraveres locaux des diffeacuterents solides sont aligneacutes au repegravere global lieacute au corps debroche dans la configuration de repos Pour simplifier la mise en place fastidieuse dumodegravele dans VirtualLab les repegraveres locaux lieacutes aux bagues inteacuterieures ont des directions

coiumlncidant avec le repegravere global dans la configuration initiale Des repegraveres locaux lieacutesaux bagues exteacuterieures sont aussi ajouteacutes de la mecircme maniegravere Les centres de ces repegraveressont (O1 O5)

O O OO OOc Oc

Fig 45 ndash Modegravele tridimensionnel du rotor

Dans ce modegravele il est neacutecessaire de deacutefinir les donneacutees drsquoimport et drsquoexport du modegraveleVirtualLab Les variables drsquoexport sont les 25 donneacutees de deacuteflexion et de deacuteversementrelatives aux roulements crsquoest agrave dire (δx δy δz θy θz) pour les roulements numeacuteroteacutes de 1agrave 5 (voir la Fig 45) Pour pouvoir eacutetudier la FRF (Fonction de Reacuteponse en Freacutequence)en bout drsquooutil les deacuteplacements de lrsquoextreacutemiteacute de lrsquooutil Oc2 sont aussi exporteacutes soienttrois grandeurs suppleacutementaires (dox doy doz) Au final 28 grandeurs sont exporteacutees etstockeacutees agrave chaque pas de temps

Les variables drsquoimport sont les 25 donneacutees de forces et moments correspondant auxactions meacutecaniques appliqueacutees sur la bague inteacuterieure de chaque roulement (Fx Fy FzMyMz) A ces grandeurs srsquoajoutent les efforts appliqueacutes en bout drsquooutil (Fox Foy Foz)

NB les simulations numeacuteriques sont ici destineacutees agrave la comparaison avec les essais expeacute-rimentaux effectueacutes avec lrsquoexcitateur eacutelectromagneacutetique Crsquoest pourquoi lrsquooutil retenupour lrsquoeacutetude correspond agrave lrsquooutil speacutecifique de lrsquoexcitateur de broche et les deacuteplacementsexporteacutes sont ceux de la cible du capteur C2

Dans le logiciel VirtualLab il est possible de passer simplement de la configurationde piegravece rigide agrave flexible (ie Eleacutements Finis) une fois le modegravele flexible deacutefini Cecifacilitera la deacutemarche drsquoeacutetude

Des eacuteleacutements teacutetraegravedriques agrave fonctions de formes quadratiques sont utiliseacutes par commo-diteacute le maillage srsquoeffectuant alors automatiquement Une taille de maille relativementpetite est choisie (taille maximale de maille 8mm avec flegraveche proportionnelle de 0 2) cardans le cas drsquoun maillage grossier le rotor ainsi mailleacute preacutesente un deacuteseacutequilibre statiqueet dynamique important qui perturbent les simulations agrave vitesses de rotation eacuteleveacuteesUtiliser un maillage fin nrsquoest pas gecircnant pour le temps de calcul global car le calculpar Elements Finis nrsquoest pas effectueacute agrave chaque pas de temps En effet le VirtualLabutilise des techniques de reacuteduction modale du modegravele comme par exemple la meacutethodede Craig-Bampton

Lors du premier passage en modeacutelisation EF du rotor il est entre autres neacutecessaire

de deacutefinir lrsquointerface du maillage avec lrsquoexteacuterieur Ceci deacutefinit la maniegravere dont sont ap-pliqueacutees les conditions limites sur le maillage Pour cela le logiciel utilise le conceptde piegravece virtuelle deacutefinie par des entiteacutes surfaciques et une poigneacutee Ainsi les nœudscorrespondant aux entiteacutes geacuteomeacutetriques seacutelectionneacutees sont lieacutes aux conditions limites(deacuteplacement ou effort) Par exemple les conditions limites en deacuteplacement et en effortcorrespondant au roulement sont appliqueacutees sur la piegravece virtuelle souple construite agravepartir de la gorge et du centre de la bague inteacuterieure A ce rotor monobloc sont ajouteacuteesdes masses additionnelles celle du systegraveme de serrage de lrsquooutil et celle ajouteacutee pourcompenser la masse volumique plus importante du moteur

25 Modeacutelisation de la cage agrave billes

Le palier arriegravere flottant est guideacute axialement par une cage agrave billes (cf Fig 45) Sescaracteacuteristiques geacuteomeacutetriques sont connues mais sa caracteacuteristique de raideur radiale nelrsquoest pas Son comportement doit ecirctre modeacuteliseacute pour deacuteterminer srsquoil doit ecirctre pris encompte dans le modegravele complet de la broche Pour cela un modegravele analytique simple agrave1 ddl a eacuteteacute mis en place Un serrage radial s est consideacutereacute il correspond agrave lrsquointerfeacuterencecumuleacutee de la bille avec les bagues inteacuterieure et exteacuterieure

La cage agrave billes est consideacutereacutee comme une juxtaposition de roulements agrave une rangeacutee debilles Pour mettre en place le modegravele on ne considegravere qursquoune rangeacutee La bille repeacutereacuteepar lrsquoangle ψ est soumise agrave un eacutecrasement δb tel que δb = δy cosψ + s

δb = δi + δo = δy cosψ + s (42)

avec δi et δo les deacuteplacements normaux de la bille respectivement par rapport auxbagues inteacuterieure et exteacuterieure et δy le deacuteplacement imposeacute de lrsquoarbre suivant y

Centre du

roulement

plan de coupe de

la bille

δ ycosΨ

Fig 46 ndash Modegravele de la cage agrave billes

Lrsquoeacutequilibre de la bille donne une relation entre les efforts locaux Qi = Qo Gracircce auxrelations de Hertz lrsquoeacutequilibre de la bille se traduit par

= δoKo

En reacutesolvant le systegraveme formeacute des eacutequations 42 et 43 il vient alors Qi =

(δiKi

|dy cosψ + s|Ki +Ko

Qo =(δoKo

Les efforts sur la bague inteacuterieure sont alors sommeacutes

Fy = Zsumz

Qi cosψ (45)

avec Z le nombre de rangeacutee de billes suivant x et z le nombre de billes sur lapeacuteripheacuterie drsquoune rangeacutee Ce modegravele donne le comportement effortdeacuteplacement de lacage agrave billes Il est illustreacute gracircce aux courbes de la Fig 47 pour plusieurs valeurs deserrage

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

Fy [N]

δy [microm]

Fig 47 ndash Deacuteplacement radial de lrsquoarbre par rapport agrave lrsquoaleacutesage en fonction de lrsquoeffort appliqueacutepour diffeacuterentes valeurs de serrage radial s de la cage (en microns)

Les courbes correspondant agrave un jeu radial (ie s lt 0) ont logiquement un effort nuljusqursquoagrave la valeur de deacuteplacement radial eacutegal au jeu Sans surprise plus la preacutechargeest importante plus la raideur de la cage est importante Le comportement est non-lineacuteaire pour la cage monteacutee sans jeu mais peut ecirctre consideacutereacute lineacuteaire avec un serrage(s gt 2microm) Cette lineacuteariteacute confeacutereacutee par la preacutecharge a aussi eacuteteacute observeacutee preacuteceacutedemmentconcernant la preacute-magneacutetisation du rotor de lrsquoexcitateur de broche et le montage deroulement agrave preacutecharge rigide

Dans le cadre du montage de broche reacuteel un leacuteger serrage drsquoenviron 4microm a eacuteteacute mesureacuteLe comportement radial de la cage retenu est alors de raideur lineacuteaire Kd = 896NmicromEn fonctionnement le serrage augmente peu puisque le diffeacuterentiel thermique entre lecoulisseau arriegravere et le corps de broche est relativement faible La raideur de la cage agravebilles est donc agrave priori supeacuterieure agrave celle des roulements arriegravere (environ 4 fois plus agrave0 trmin) En conclusion son comportement nrsquoa pas besoin drsquoecirctre inteacutegreacute au modegraveleglobal de broche dans un premier temps

NB un modegravele de cage plus complet peut ecirctre aiseacutement mis en place sur le principeexposeacute dans cette partie pour prendre en compte le deacuteversement de la cage et le momentde reacuteaction correspondant

26 Modeacutelisation des systegravemes de preacutecharges

La gestion des systegravemes de preacutecharge srsquoeffectue aussi dans le logiciel VirtualLab Deuxnouveaux ensembles de solides sont deacutefinis le coulisseau avant et le coulisseau arriegravereCes deux solides sont deacutefinis en liaison glissiegravere avec le corps de broche Lrsquoeacutequilibre deces solides gegravere virtuellement la preacutecharge eacutelastique sur le rotor Des ressorts axiaux deraideur Kp1 et Kp2 sont ajouteacutes entre le corps de broche et leur coulisseau respectif Lesefforts de preacutecharge P1 et P2 sont appliqueacutes sur les coulisseaux ainsi que les efforts minusFx3

et minusFx4 minus Fx5 (nouvelles variables drsquoimport) Ainsi les eacutequilibres des coulisseaux sontconformes aux eacutequations eacutetablies dans le chapitres III Eqn (34) mais la reacutesolutionsrsquoeffectue maintenant en dynamique dans VirtualLab

Afin de modeacuteliser la buteacutee dans VirtualLab la raideur des ressorts de preacutecharge avantest deacutefinie en deux parties ils sont de raideur Kp1 pour un deacuteplacement up1 gt up1l etde raideur 1 000Kp1 pour un deacuteplacement up1 lt up1l

3 Impact des hypothegraveses du modegravele de brocheLrsquoeacutetude agrave partir drsquoun essai de chargement quasi-statique est une premiegravere eacutetape devalidation Le chargement est deacutefini par des efforts constants mais sous rotation dela broche Cette eacutetape srsquoaffranchir ainsi des paramegravetres drsquoamortissement du modegraveleCrsquoest pourquoi elle permet de valider la raideur radiale de broche et de tester plusieurshypothegraveses drsquointeacutegration du modegravele de roulement dans celui de la broche

31 Essais radiaux quasi-statiques

Pour ces essais lrsquoexcitateur eacutelectromagneacutetique est utiliseacute dans la configuration de brocheverticale preacutesenteacutee sur la Fig 42 Les efforts imposeacutes sont continus et peuvent doncecirctre directement mesureacutes par la table dynamomeacutetrique Ainsi le courant imposeacute agrave lrsquoex-citateur est choisi maximal de sorte agrave avoir un effort maximal imposeacute sur la broche deplusmn170N Lrsquoexcitateur travaille en partie dans son domaine de comportement non-lineacuteairemais ce nrsquoest pas gecircnant puisqursquoil nrsquoest alors pas neacutecessaire drsquoestimer les efforts agrave partirdu courant dans les bobines La figure 48 expose le courant deacutelivreacute dans les bobines etlrsquoeffort correspondant appliqueacute en bout drsquoarbre

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0 1 2 3 4 5 6 7 8-200

200F [N]

Fig 48 ndash Profil des courants I1 et I2 dans les bobines et de lrsquoeffort radial appliqueacute agrave lrsquoarbre Foy

lors de lrsquoessai de chargement quasi-statique

Le profil ci-dessus est choisi pour pouvoir deacutetecter un eacuteventuel comportement hysteacutereacute-tique de la broche Lrsquoorigine des efforts correspond agrave la sollicitation par le courant depreacutemagneacutetisation uniquement Comme il subsiste un leacuteger deacutefaut drsquoalignement entre lerotor de broche et le stator de lrsquoexcitateur lrsquoeffort agrave lrsquoorigine du graph nrsquoest pas nul enreacutealiteacute il est drsquoenviron 15N

La flexion du rotor est mesureacutee en bout de rotor gracircce agrave un support speacutecialement deacute-veloppeacute pour placer le capteur au plus proche de la sollicitation Ce support est fixeacute

3 Impact des hypothegraveses du modegravele de broche

au corps de broche et non pas sur lrsquoexcitateur Ainsi seules la flexion du rotor et ladeacuteflexion des roulements sont mesureacutees et la deacuteformation de toute la chaine cineacutematiquede la machine ne lrsquoest pas (cf Fig 43)

312 Traitement des signaux

Les donneacutees en effort et deacuteplacement sont filtreacutees pour supprimer le bruit hautes freacute-quences Comme les signaux observeacutes varient lentement la freacutequence de coupure choisieest basse et permet ainsi de supprimer le faux-rond mesureacute par le capteur agrave courantde Foucault Cette technique nrsquoest plus envisageable pour des vitesses de rotation pluspetites que 4 000 trmin En effet la freacutequence des deacutefauts serait alors trop faible pourune suppression de faux-rond par un simple filtre sans perte du signal rechercheacute Lesignal ainsi filtreacute est repreacutesenteacute pour trois vitesses de rotation sur la Fig 49

0 1 2 3 4 5 6 7 8-4

[microm]

40001600022000

Fig 49 ndash Signaux des deacuteplacements obtenus apregraves filtrage pour les essais de sollicitation quasi-statique agrave 4 000 16 000 et 22 000 trmin

Les signaux de deacuteplacement apregraves filtrage preacutesentent une deacuterive avec le temps drsquoautantplus importante avec une vitesse de rotation faible Cette deacuterive drsquoorigine thermiquecorrespond directement au reacutetreacutecissement radial de lrsquoarbre ducirc agrave son refroidissementbien que les essais soient reacutealiseacutes dans un temps court A la vitesse de 22 000 trminle diamegravetre de lrsquoarbre augmente tregraves leacutegegraverement puisque celui-ci continue agrave monter entempeacuterature par rapport au corps de broche

Pour pouvoir eacutetudier le comportement en flexion il est neacutecessaire de srsquoaffranchir decette expansion thermique Ainsi une hypothegravese drsquoeacutevolution lineacuteaire en fonction dutemps du diamegravetre de lrsquoarbre est faite Cette eacutevolution est identifieacutee sur deux zonessans chargement Les eacutevolutions lineacuteaires sont traceacutees sur la Fig 49 et les zones ysont deacutelimiteacutees par les croix rouges Le comportement en flexion de lrsquoarbre est alors ladiffeacuterence de la courbe filtreacutee brute et de la droite drsquoeacutevolution de lrsquoexpansion thermiqueLe reacutesultat apregraves traitement est preacutesenteacute Fig 410 pour toutes les vitesses de rotation

0 1 2 3 4 5 6 7 8-4

doy [microm]

4000800012000160002000024000

Fig 410 ndash Deacuteplacements mesureacutes pendant les essais de sollicitation quasi-statique apregraves extractiondes effets thermiques

Les zones drsquointeacuterecirct exploiteacutees par la suite sont mises en valeur par un fond rouge Surchacune des courbes agrave basses vitesses une sorte de marche est observeacutee environ 0 3 sapregraves le retour agrave vide du rotor Ce comportement non voulu est ducirc agrave une erreur depilotage en courant qui a eacuteteacute supprimeacutee dans les essais suivants

32 Observation du comportement expeacuterimental

La figure 411 expose la flexion du rotor doy en fonction de lrsquoeffort radial appliqueacute enbout drsquooutil Foy apregraves post-traitement Ici la phase de chargement 2 est repreacutesenteacutee Parrapport aux donneacutees preacutesenteacutees ci-dessus lrsquoeffort sur lrsquoarbre correspondant au courantde preacute-magneacutetisation de lrsquoexcitateur a eacuteteacute ajouteacute Les deacuteplacements sont tareacutes de sorteque Foy = 0 corresponde agrave doy = 0

-150 -100 -50 0 50 100 150

[microm]

4000800012000160002000024000

Fig 411 ndash Comportement expeacuterimental du rotor en flexion lors drsquoun essai de sollicitation quasi-statique radial pour plusieurs vitesses de rotation

Durant cet essai le comportement est quasi symeacutetrique Contrairement agrave lrsquointuition lecomportement radial nrsquoest pas raidissant comme lrsquoest le comportement axial En effetla pente des courbes de la Fig 411 augmente tregraves leacutegegraverement avec la valeur abso-lue de lrsquoeffort Le comportement radial observeacute expeacuterimentalement est donc leacutegegraverementassouplissant et peut ecirctre consideacutereacute comme quasi-lineacuteaire

La raideur radiale agrave vide Koy0 est traceacutee pour les deux phases de chargement 1 et 2 surla Fig 412 telle que

Koy0 = partFoypartdoy

∣∣∣∣∣Foy=0

4 8 12 16 20 240

N [103 trmin]

[Nmicrom]

phase 1phase 2

Fig 412 ndash Raideur radiale en bout drsquooutil identifieacutee expeacuterimentalement

Les deux phases de chargement donnent la mecircme raideur agrave hautes vitesses Par contreagrave basses vitesses la seconde phase est plus raide Ceci srsquoexplique par la reacuteduction dudiffeacuterentiel thermique entre rotor et stator En effet lorsque le diffeacuterentiel diminue lessystegravemes de preacutecharges se compriment drsquoavantage entraicircnant une raideur plus impor-tante Pour cette raison seule la phase 1 est retenue pour lrsquoexploitation

Comme un roulement agrave billes seul la raideur de la broche chute avec la vitesse derotation passant de 134 agrave 56 3Nmicrom soit une chute de 58 0 Les causes de cettechute de raideur seront expliqueacutees gracircce aux reacutesultats de simulations numeacuteriques quivont suivre

33 Simulation du comportement quasi-statique

331 Principe de lrsquoeacutetude

Le modegravele non-lineacuteaire de broche global eacutenonceacute preacuteceacutedemment comprend le modegravele deroulement non-lineacuteaire agrave 5 ddl et un modegravele multi-corps deacuteformable du rotor (par EF)

Lrsquoideacutee de ce travail est de deacuteterminer le modegravele le plus simple et suffisant pour deacutecrirepertinemment le comportement reacuteel de broche Des variantes sont alors envisageacutees pourlrsquointeacutegration du modegravele de roulement

modegravele non-lineacuteaire de roulement modegravele lineacuteaire de roulement en utilisant la totaliteacute de la matrice de raideur K modegravele lineacuteaire de roulement en utilisant uniquement la diagonale de la matrice

de raideur K modegravele lineacuteaire avec les efforts de preacutecharge maintenus constants quelle que soit

la vitesse de rotation modegravele non-lineacuteaire avec une buteacutee plus courte

Toutes les simulations sont effectueacutees avec le rotor souple et en temporel Un profil decharge trapeacutezoiumldal de 0 agrave 500N est retenu avec des temps suffisamment longs pour quela consideacuteration drsquoeffort quasi-statique reste valide La pesanteur suivant lrsquoaxe minusx estprise en compte dans le modegravele pour se placer dans les mecircmes conditions que les essaisexpeacuterimentaux Quelles que soient les simplifications envisageacutees une phase que nousbaptisons preacutecharge dynamique est respecteacutee Cette phase permet drsquoatteindre lrsquoeacutequilibredynamique axial de lrsquoarbre puisque lrsquoarbre en deacutebut de simulation est en position drsquoeacutequi-libre agrave N = 0 trmin et doit atteindre une nouvelle position axiale avec la vitesse (cfmesures axiales du deacuteplacement agrave vide u sur la Fig 38 du chapitre III) En effetles effets dynamiques sur les roulements et sur le rotor (reacutetreacutecissement axial centrifugenotamment) modifient les positions des systegravemes de preacutecharge et par conseacutequent lesvaleurs de preacutecharge drsquoougrave le terme de ldquopreacutecharge dynamiquerdquo Cette phase de calcul estobligatoirement effectueacutee avec le modegravele non-lineacuteaire de roulement de faccedilon agrave obtenirla configuration correcte correspondant au dernier recalage effectueacute dans le chapitre III(mais sans le frottement ici) Dans le cas drsquoune simulation avec modegravele lineacuteaire du rou-lement les matrices de raideur sont calculeacutees une fois la preacutecharge dynamique effectueacuteeLe calcul du comportement des roulements nrsquoest alors plus qursquoun produit matriciel (voirEqn (224) du chapitre II) tregraves inteacuteressant pour le temps de calcul Cette eacutetape de preacute-charge dynamique est un point clef dans la meacutethode de reacutesolution qui a eacuteteacute deacuteveloppeacutee

332 Comportement radial

Les reacutesultats de simulation du comportement radial de la broche sous efforts quasi-statiques sont repreacutesenteacutes sur la Fig 413 Ils correspondent au modegravele non-lineacuteaire deroulement Les deacuteplacements agrave vitesse de rotation non nulle ont eacuteteacute filtreacutes pour garderuniquement la composante continue et supprimer les faibles oscillations dues aux leacutegersdeacutefauts drsquoeacutequilibrage statique et dynamique du rotor souple

0 100 200 300 400 500 600 700 8000

[microm]

06 00012 00018 00024 000

Fig 413 ndash Comportement radial de la broche sous sollicitations quasi-statique en bout drsquoarbre

A toutes les vitesses de rotation le comportement radial de la broche semble lineacuteairece qui est inattendu Pour srsquoen convaincre des reacutegressions lineacuteaires ont eacuteteacute effectueacuteesagrave chaque vitesse de rotation avec des coefficients de correacutelation R2 supeacuterieurs agrave 0 999pour toutes les vitesses de rotation et toute la plage drsquoeffort Les raideurs radiales etchutes de raideur dues agrave la vitesse de rotation sont donneacutees dans le Tab 41

Tab 41 ndash Raideurs et chutes de raideur radiale de la broche

N [trmin] 0 6 000 12 000 18 000 24 000

Koy [Nmicrom] 142 138 110 840 735

KoyKoy(N = 0) [] 0 971 771 590 509

La raideur sans rotation obtenue par simulation est du mecircme ordre de grandeur quelrsquoexpeacuterimental respectivement 142 et 134Nmicrom Il en est de mecircme agrave 24 000 trmin 73 5 et 563Nmicrom De plus les figures suivantes montreront que les profils drsquoeacutevolutionde la raideur avec la vitesse de rotation sont similaires Cette comparaison valide lemodegravele non-lineacuteaire complet de broche

333 Raideur radiale de la broche suivant le modegravele de roulementchoisi

Des simulations numeacuteriques ont eacuteteacute effectueacutees pour les diffeacuterentes variantes eacutenonceacuteesdans la partie 331 Les raideurs radiales agrave Foy = 0 sont traceacutees sur la Fig 414

0 4 8 12 16 20 240

N [103 trmin]

[Nmicrom]

non-lineacuteairelineacuteaire K pleinelineacuteaire K diagonalenon-lineacuteaire buteacutee courtelineacuteaire preacutecharge constante

Fig 414 ndash Raideurs radiales de la broche simuleacutees pour les diffeacuterentes variantes drsquointeacutegration dumodegravele de roulement

Les valeurs importantes sont syntheacutetiseacutees dans le Tab 42 pour une comparaison aiseacuteeentre les variantes du modegravele Dans le cadre de cette comparaison le modegravele non-lineacuteaireest pris comme reacutefeacuterence puisqursquoil inclut le modegravele complet de roulement calculeacute agrave chaquepas de temps

Tab 42 ndash Synthegravese des reacutesultats de simulation sous sollicitations quasi-statiques radiales

Variante de chute raideur eacutecart eacutecartmodegravele 0minus 24 000 [] 0 trmin [] 24 000 trmin []

non-lineacuteaire 49 1 ndash ndash

lineacuteaire K pleine 47 0 0 4

lineacuteaire K diag 42 1 minus15 1 minus3

non-lin buteacutee courte 39 3lowast 0 19 3

lineacuteaire preacutecharge cste 65 3 0 minus32 0

Pour le cas de reacutefeacuterence la raideur radiale passe de 143 agrave 73 0Nmicrom entre 0 et24 000 trmin soit une chute de raideur de 49 La chute de raideur radiale est bien

moins importante que celle du roulement seul sous effort radial constant (88 dechute de raideur radiale pour un roulement VEX70 axialement preacutechargeacute agrave 1 000N cf Fig 221(b)) En effet les efforts de preacutecharge augmentent consideacuterablement avec lavitesse de rotation preacutevenant ainsi cette chute de raideur Pour ce modegravele complet lasomme des efforts de preacutecharge passe de 1 100 agrave 1 750N

Lrsquoutilisation drsquoune matrice de raideur pleine plutocirct qursquoun calcul agrave chaque pas de tempsde leur comportement non-lineacuteaire ne donne pas des reacutesultats significativement diffeacute-rents Lrsquoerreur deacutecoulant de cette simplification est nulle sans vitesse de rotation et estde 4 agrave 24 000 trmin la lineacutearisation du comportement du roulement ayant tendanceagrave sureacutevaluer la raideur Lrsquoimpact de la lineacutearisation est en accord avec lrsquoanalyse effectueacuteedans la partie preacuteceacutedente qui montrait la lineacuteariteacute du comportement vis-agrave-vis de lrsquoef-fort radial Ainsi pour la broche consideacutereacutee il nrsquoest donc pas neacutecessaire de seacutelectionnerle modegravele de roulement non-lineacuteaire une fois la preacutecharge dynamique effectueacuteeLes termes de la matrice de raideur qui lineacutearisent le modegravele de roulement sont alorsconstants Ils sont calculeacutes une fois pour toute pour la simulation en consideacuterant cettepreacutecharge dynamique pour chaque roulement Ces matrices lineacuteaires pleines reacuteduisantsignificativement le temps de calcul par rapport au modegravele non-lineacuteaire ce modegravele li-neacuteariseacute est donc preacutefeacuterable

Lrsquoutilisation seulement des termes diagonaux de la matrice de raideur donne une alluresimilaire de chute de raideur avec la vitesse de rotation Seulement les valeurs de rai-deurs sont fortement sous eacutevalueacutees agrave 0 trmin avec une erreur de plus de 15 Cetteerreur diminue avec la vitesse de rotation Dans lrsquoensemble lrsquoerreur est trop importanteavec la simplification de matrices de raideur K diagonales Cependant tous les termesextradiagonaux de K ne sont pas agrave prendre en compte puisque les deacuteflexions radialeset les deacuteversements sont nuls lors du calcul preacutealable des matrices de raideur En effetla preacutecharge dynamique geacutenegravere un effort axial pur Par conseacutequent chaque matrice deraideur est de la forme de celle calculeacutee agrave 0 trmin pour le roulement 1

K1 = 106

27 0 0 0 0 086 0 0 0 minus1 44

86 0 144 0sym 1710minus4 0

1710minus4

Les termes extradiagonaux lient les ddl du plan (Oxy) et du plan (Ox z) de maniegravereindeacutependante Par exemple un moment Mz est induit par la deacuteflexion δy et un effort Fyest induit par un deacuteversement θz

Consideacuterons maintenant le modegravele agrave preacutecharge constante Lrsquoeacutevolution de la preacutechargeavec la dynamique est ici neacutegligeacutee La matrice lineacuteariseacutee pleine est eacutevalueacutee agrave la vitesse

N consideacutereacutee mais agrave partir de la preacutecharge de la broche agrave lrsquoarrecirct Ce modegravele montreune chute de raideur bien plus importante que le modegravele avec preacutecharge variant avec lavitesse de rotation elle est de de 65 au lieu de 49 0 (voir Fig 414 et Tab 42) Ilest donc indispensable pour la modeacutelisation de consideacuterer le comportement non-lineacuteaireaxial deacutefinissant la situation de preacutecharge dynamique agrave hautes vitesses (modegravele analy-tique deacuteveloppeacute dans le chapitre III) Dans cette eacutetude lrsquohypothegravese simplificatrice depreacutecharge constante implique une erreur de 32 sur la raideur radiale agrave 24 000 trminConsideacuterant la conception de broche lrsquoimportance de lrsquoimpact de la preacutecharge dyna-mique est notamment lieacutee au choix de la raideur des ressorts de preacutecharge le concep-teur nrsquoayant pas la main sur les autres pheacutenomegravenes ineacutevitables vus au chapitre III Il estinteacuteressant de constater que des ressorts de preacutecharge trop souples nuisent agrave la raideurradiale de la broche agrave hautes vitesses Cependant un choix de ressorts raides entraicircneune deacutependance agrave la thermique plus importante La maicirctrise des champs de tempeacuteratureest alors drsquoautant plus cruciale pour que le montage de roulement travaille avec des ef-forts de preacutecharge approprieacutes Ce point illustre une fois de plus la haute complexiteacute deseacutelectrobroches UGV Lrsquoexpeacuterience du concepteur de broche est alors drsquoune importancecapitale pour mettre au point des produits performants et robustes

Pour eacutevaluer lrsquointeacuterecirct drsquoune buteacutee dans le systegraveme de preacutecharge atteinte agrave hautes vitesses(voir partie 21 du chapitre III) une simulation est effectueacutee avec une course plus courte up1l = 45microm au lieu de up1l = 52microm identifieacutee expeacuterimentalement Le comportementdrsquoun tel montage est strictement identique au cas de reacutefeacuterence agrave basse vitesse de rotationcar la buteacutee nrsquoest alors pas atteinte Par contre une fois la buteacutee atteinte la raideurradiale augmente significativement avec la vitesse de rotation gain de 10 de raideurentre 21 000 et 24 000 trmin (voir Fig 414 et Tab 42) Lors de la conception le choixde la course du systegraveme de preacutecharge est alors deacutelicat et suppose comme pour le choix dela raideur des ressorts de bien connaicirctre lrsquoeacutetat thermique de la broche en fonctionnementQuoi qursquoil en soit la preacutesence drsquoune buteacutee est tregraves inteacuteressante pour contenir la pertede raideur due agrave la vitesse Plus geacuteneacuteralement cette partie a montreacute lrsquoimportance dumodegravele construit au chapitre III et son impact majeur sur le comportement en flexionde la broche

34 Pourquoi un comportement radial lineacuteaire

Theacuteoriquement le comportement radial de roulement agrave billes est consideacutereacute comme non-lineacuteaire refleacutetant la non-lineacuteariteacute des lois de contact de Hertz Cependant les expeacuteri-mentations Fig 411 et les simulations Fig 414 ont montreacute un comportement radiallineacuteaire de la broche Par ailleurs nous avons eacutegalement vu dans la partie 33 qursquoil nrsquoestpas neacutecessaire de recalculer lrsquoeacutetat de preacutecharge axiale lors du chargement radial Les

matrices lineacuteaires calculeacutees uniquement agrave partir de la preacutecharge dynamique sont suffi-santes par rapport au modegravele non-lineacuteaire qui reacute-eacutevalue tout agrave chaque pas de temps enfonction de la charge f Cette partie vise agrave expliquer ces deux conclusions importantes

341 Etat de chargement axial

En theacuteorie un effort radial appliqueacute sur un roulement agrave contact oblique induit un effortaxial Pour le veacuterifier des simulations numeacuteriques ont eacuteteacute effectueacutees avec le modegravele debroche complet non-lineacuteaire La preacutecharge puis un effort radial variable sont appliqueacutesagrave la broche La figure 415 preacutesente lrsquoeacutevolution des efforts axiaux Fx du roulement 1en fonction de lrsquoeffort radial Fy dans ce mecircme roulement Lrsquoeffort axial est normeacute aveclrsquoeffort axial agrave vide Fx0

-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 4000995

Fy [N]

x0 [N]

24 000 trmin0 trmin

Fig 415 ndash Ratio drsquoeffort axial Fx induit en fonction de lrsquoeffort radial Fy (roulement 1)

Que ce soit avec ou sans rotation de la broche lrsquoaugmentation drsquoeffort axial est neacutegli-geable (moins de 1 5 ) Il en est de mecircme pour les 4 autres roulements de la brocheLrsquoeffort de preacutecharge sur le roulement reste alors quasi-identique et les matrices deraideurs nrsquoont donc pas besoin drsquoecirctre recalculeacutees en fonction du chargement radialCeci abonde pour lrsquoutilisation de la matrice lineacuteariseacutee du comportement du roulement(Eqn (47))

Remarque les leacutegegraveres oscillations radialesaxiales agrave 24 000 trmin sont dues agrave lrsquoeffetde balourd du rotor qui est ici tregraves leacutegegraverement deacuteseacutequilibreacute agrave cause de la discreacutetisa-tion du maillage EF (modegravele non parfaitement axisymeacutetrique deacuteseacutequilibre statique etdynamique)

342 Liens entre raideur en flexion du rotor et raideur des roule-ments

Les simulations numeacuteriques preacutesenteacutees plus haut donnent par ailleurs un deacuteversementdes roulements tregraves faible Afin de comprendre lrsquoimpact drsquoun faible deacuteversement surle comportement radial du roulement deux configurations particuliegraveres dans le plan(Oxy) sont consideacutereacutees pour le rotor La premiegravere consiste agrave fixer un moment dereacuteaction de lrsquoarbre sur le roulement nul Mz = 0 et donc de consideacuterer que lrsquoarbreest extrecircmement souple La seconde revient agrave consideacuterer un arbre rigide et donc undeacuteversement nul θz = 0 Une troisiegraveme est ajouteacutee et correspond agrave un deacuteversement θzneacutegatif Les trois configurations retenues sont scheacutematiseacutees sur la Fig 416)

θzlt 0

δygt 0

θz = 0

δygt 0

θzgt 0

δygt 0

Fygt 0

Mzlt 0

Fygt 0

Mzlt 0

Fygt 0

Fig 416 ndash Configurations particuliegraveres seacutelectionneacutees pour lrsquoeacutetude

Pour eacutetudier la configuration agrave deacuteversement bloqueacute la nouvelle meacutethode de reacutesolutionmixte preacutesenteacutee dans la partie 244 du chapitre II est utiliseacutee Dans ces simulationslrsquoeffort axial sur la bague inteacuterieure Fx est consideacutereacute constant et la vitesse de rotationN est nulle Les reacutesultats sont traceacutes en Fig 417(a) Les simulations des deux casparticuliers ont eacuteteacute reacutealiseacutees dans les conditions similaires au modegravele axial recaleacute auchapitre III (expansion radiale de bagues effort de preacutecharge) Sur la Fig 417(b)les comportements des roulements avant de la broche 1 et 2 sont repreacutesenteacutes Ils sontextraits de la simulation EF sous chargement quasi-statique avec le modegravele non-lineacuteairede roulement

Les deux cas extrecircmes de chargement deacutecoulent sur un comportement fondamentalementdiffeacuterent du roulement La raideur eacutequivalente du roulement est bien diffeacuterente avec undeacuteversement nul le roulement ayant ses deacuteversements bloqueacutes par un arbre rigide a uneraideur radiale environ 20 fois supeacuterieure au roulement pour lequel lrsquoarbre trop souplene confegravere pas de moment de reacuteaction

0 100 200 300 400 500 600-5

Fy [N]

δy [microm]

θz = 0

M z = 0

Mz = -769Nm

θz = 0104deg

(a) Cas extrecircmes0 100 200 300 400 500 600

Fy [N]

δy [microm]

θz = -000134deg

θz = -000177deg

Mz = -8425Nm

Mz = -8433Nm

θ z = 0

Mz = -769Nm

θz = 0deg

Mz=0 NmRoulement 1Roulement 2

(b) Comparaison avec situation des deuxroulements avant de la broche

Fig 417 ndash Observation du comportement radial du roulement suivant le moment de reacuteaction delrsquoarbre

Les deacuteversements importants obtenus avec un arbre tregraves souple (configuration ndeg1) nepermettent pas drsquoobtenir un comportement radial lineacuteaire sur une large plage de va-riation des efforts radiaux A contrario une reacutegression sur la courbe agrave deacuteversement θznul (configuration ndeg2) a confirmeacute lrsquoaspect lineacuteaire du comportement Lrsquoerreur moyenneentre ce comportement identifieacute et le comportement simuleacute est de 6 1110minus4 microm

δy(Fy θz = 0 Fx = 1000) = 1338106Fy (48)

Le comportement des roulements avant de la broche MFW2310 simuleacutee avec le mo-degravele EF non-lineacuteaire montre une raideur du roulement encore plus importante (cfFig 417(b)) En effet le deacuteversement imposeacute par la flexion de lrsquoarbre est neacutegatif commeillustreacute sur la Fig 418

Moment appliqueacute sur lrsquoarbre

Effort appliqueacute sur lrsquoarbre

Fig 418 ndash Configuration de flexion de lrsquoarbre

Il srsquoagit de la configuration ndeg3 de la Fig 416 Le deacuteversement imposeacute par lrsquoarbre estopposeacute au sens naturel de deacuteversement du roulement lorsqursquoil est libre (configurationndeg1) Le moment suppleacutementaire alors imposeacute par la flexion de lrsquoarbre (dont la raideurest importante) augmente alors la raideur radiale du roulement De mecircme les momentsde reacuteaction des roulements reacuteduisent la flexion de lrsquoarbre de par leur sens drsquoapplicationCe comportement est donc tregraves beacuteneacutefique pour la raideur de la broche

Cette configuration est identique sur les roulements arriegravere car les repegraveres locaux desroulements 4 et 5 sont simplement inverseacutes tout comme la charge radiale Ce ne seraitpas le cas pour un effort radial au centre du rotor ou encore pour un montage en ldquoXrdquocar dans ces deux situations les moments de reacuteaction sur lrsquoarbre favoriseraient la flexiondu rotor Ces remarques rejoignent les regravegles de conception classiques preacuteconisant unmontage en ldquoOrdquo pour un effort en porte-agrave-faux

Ces observations sont diffeacuterentes pour le roulement central 3 En effet le deacuteversementimposeacute est positif en consideacuterant son repegravere local Dans cette configuration le momentde reacuteaction participe agrave la flexion du rotor Cependant il reste tregraves faible car le roulement3 est tregraves peu chargeacute radialement dans cette configuration de flexion

Quoi qursquoil en soit les faibles deacuteversements dus agrave la raideur importante du rotor lineacutearisele comportement radial des roulements de la broche Cette eacutetude confirme en outre laneacutecessiteacute drsquoutiliser un modegravele de roulement agrave 5 et non 3 ddl en tant que conditionslimites du rotor de broche en flexion

35 Comportement local

La partie preacuteceacutedente fait eacutetat drsquoun comportement radial lineacuteaire du roulement pourun deacuteversement faible Est-ce une condition neacutecessaire et suffisante Pourquoi cettelineacuteariteacute Cette partie propose de reacutepondre agrave ces questions en observant le chargementlocal des roulements dans les deux cas particuliers de deacuteversement nul et de momentde reacuteaction nul deacutejagrave consideacutereacutes dans la section preacuteceacutedente Elle permettra de tirer desconclusions pour la broche reacuteelle car ses roulements ont des deacuteversements tregraves faibles

Dans un premier temps les charges locales sont traceacutees sur la Fig 419 pour une vitessede rotation nulle et une preacutecharge forte par rapport agrave la charge radiale

Le roulement agrave deacuteversement bloqueacute a une reacutepartition drsquoefforts locaux reacuteguliegravere et dontles valeurs varient peu de celles sans charge radiale (preacutecharge uniquement) Ce nrsquoest pasle cas avec un moment de reacuteaction nul puisque lrsquoeffort maximal est bien plus importantComme crsquoest le comportement local qui confegravere la non lineacuteariteacute (loi de Hertz) il estalors logique que la configuration agrave moment de reacuteaction nul soit non-lineacuteaire puisque les

136Nrarr larr515N

(a) θz = 0 avec FyFx = 0 62 etN = 0 trmin

230Nrarr

larr23N

(b) Mz = 0 avec FyFx = 0 62 etN = 0 trmin

Fig 419 ndash Efforts locaux avec preacutecharge forte et vitesse de rotation nulle ((a) rotor rigide et (b)rotor infiniment souple)

charges locales ont fortement varieacute par rapport agrave la configuration agrave preacutecharge

Il est alors inteacuteressant de consideacuterer une preacutecharge plus faible pour observer la reacutepartitionde charges sur les billes (cf Fig 420)

927Nrarr larr825N

222Nrarr

larr0N z

Fig 420 ndash Efforts locaux avec preacutecharge faible et vitesse de rotation nulle

La situation srsquoamplifie encore avec une preacutecharge faible Dans la situation agrave moment dereacuteaction nul certaines billes sont mecircme non chargeacutees et deacutecolleacutees La figure 421 montrele comportement radial agrave deacuteversement bloqueacute pour diffeacuterentes valeurs de preacutecharge Lalimite de deacutecollement correspond agrave au moins une des billes deacutecolleacutee

Comme le montre la Fig 421 le comportement est lineacuteaire jusqursquoagrave ce qursquoune bille aumoins soit deacutecolleacutee Une fois le deacutecollement apparu le comportement radial est assouplis-sant contrairement au comportement axial qui lui est durcissant (reacutesultat observablesur la Fig 220 du chapitre II) Quelle que soit la valeur de lrsquoeffort de preacutecharge lalimite de deacutecollement correspond agrave un mecircme ratio entre lrsquoeffort radial et la preacutecharge FyFx = 1 62 Ce rapport est valable pour ce roulement il sera autre pour un angle

0 05 1 15 20

δy [microm]

e deacute

200 N400 N600 N800 N1000 N

Fig 421 ndash Comportement radial du roulement agrave deacuteversement bloqueacute pour diffeacuterentes valeurs depreacutecharge

de contact diffeacuterent Ainsi pour que lrsquohypothegravese de lineacuteariteacute du comportement puisseecirctre retenue dans le modegravele de broche il est neacutecessaire que lrsquoeffort de preacutecharge soit aumoins aussi important que lrsquoeffort radial appliqueacute au roulement

Remarque

A hautes vitesses lrsquoanalyse est similaire La lineacuteariteacute est toujours fonction du rapportentre effort radial et preacutecharge Seulement le deacutecollement des billes ne srsquoobserve pluscomme le confirme la Fig 422 avec les efforts des billes sur la bague inteacuterieure en vertet en rouge sur la bague exteacuterieure

208Nrarr larr121N

(a) θz = 0 avec FyFx = 0 62 etN = 24 000 trmin

254Nrarr

larr133N z

(b) Mz = 0 avec FyFx = 0 62 etN = 24 000 trmin

Fig 422 ndash Efforts locaux avec preacutecharge faible et vitesse de rotation importante

36 Conclusion

Eacutetant donneacute que le rotor de lrsquoeacutelectrobroche eacutetudieacutee est raide en flexion les deacuteversementsdes roulements sont tregraves faibles Ainsi le comportement radial de chaque roulement estlineacuteaire agrave condition que lrsquoeffort radial ne soit pas trop grand par rapport agrave lrsquoeffort depreacutecharge (infeacuterieur agrave 1 62 fois pour le roulement eacutetudieacute) Ces conclusions sont impor-tantes Elles expliquent pourquoi dans la bibliographie eacutetudieacutee la modeacutelisation lineacuteairedu comportement radial de roulement a donneacute des reacutesultats repreacutesentatifs de la reacutealiteacuteSoulignons eacutegalement que crsquoest bien le rotor et les deacuteversements faibles qursquoil impose quiconfegraverent une raideur radiale importante au roulement

Nous avons vu dans la section 34 que le modegravele lineacuteaire du roulement est valide sila preacutecharge dynamique est consideacutereacutee Le choix drsquoune modeacutelisation lineacuteaire impliqueun gain consideacuterable en temps de calcul notamment lors de lrsquoeacutetude vibratoire qui vasuivre Cependant pour le calcul des matrices de raideur les deacuteversements doivent ecirctrebloqueacutes

Aussi lrsquoeacutetude preacuteceacutedente a montreacute la neacutecessiteacute de prendre en compte le couplage dansle comportement du roulement correspondant aux termes extradiagonaux de la matricede raideur Ils contribuent significativement au comportement radial du roulement ainsiqursquoagrave la flexion de lrsquoarbre (assouplissement ou raidissement respectivement suivant laconfiguration en ldquoXrdquo ou ldquoOrdquo) Les termes agrave prendre en compte sont les termes croiseacutesliant les ddl θz et δy ainsi que ceux liant θy et δz Par contre les couplages avec le degreacutede liberteacute axial sont neacutegligeables ce qui implique que la matrice de raideur nrsquoa besoindrsquoecirctre calculeacutee qursquoune seule et unique fois et ce agrave partir de la preacutecharge dynamique

4 Analyse du comportement vibratoireLa raideur radiale de la broche a eacuteteacute valideacutee qualitativement avec des essais de solli-citation quasi-statique A preacutesent le comportement sous sollicitations dynamiques estabordeacute gracircce agrave un nouveau type drsquoessais expeacuterimentaux Les reacutesultats des simulationsnumeacuteriques correspondantes seront compareacutes aux reacutesultats drsquoessais Lrsquoeacutevolution des freacute-quences propres est expliqueacutee par des simulations numeacuteriques

41 Essais expeacuterimentaux

411 Profil drsquoeffort

Les essais expeacuterimentaux ont eacuteteacute reacutealiseacutes avec lrsquoexcitateur eacutelectromagneacutetique Pour ob-tenir la Fonction de Reacuteponse en Freacutequence (FRF) en bout drsquooutil un profil drsquoeffort desinus balayeacute (chirp ou swept sine en anglais) entre les freacutequences fmin et fmax a eacuteteacutechoisi T eacutetant la dureacutee du sinus balayeacute

F (t) = sin[2πt

(fmax minus fmin

2T t+ fmin

)](49)

Le profil temporel drsquoun sinus balayeacute entre 0 et 10Hz est repreacutesenteacute Fig 423(a) Latransformeacutee de Fourier de ce signal est donneacute en Fig 423(b)

0 2 4 6 8 10-1

0 2 4 6 8 10

(a) Profil temporel

0 10 20 30 40 5010

f [Hz]

(b) Profil freacutequentielFig 423 ndash Exemple de sollicitation de sinus balayeacute de 0 agrave 10Hz pour un effort unitaire

Conformeacutement agrave la Fig 423(b) la sollicitation de sinus balayeacute permet drsquoexciter toutesles freacutequences entre fmin et fmax Des effets de bords sont preacutesents aux freacutequences prochesde fmin et fmax car la dureacutee du balayage est limiteacutee Pour cette raison lrsquoobservationdrsquoune plage de freacutequence donneacutee est reacutealiseacutee avec des bornes du sinus balayeacute leacutegegraverementeacutetendues Dans le cadre des essais expeacuterimentaux des balayages de 30 s ont eacuteteacute effectueacutes

4 Analyse du comportement vibratoire

de 0 agrave 2 200Hz et de 1 800 agrave 4 200Hz

412 Post-traitement

Un post-traitement speacutecifique est neacutecessaire pour les mesures de deacuteplacements Apregravesun filtre passe-bas pour supprimer le bruit HF il est neacutecessaire de supprimer les deacutepla-cements correspondant au faux-rond Celui-ci srsquoobserve dans le domaine freacutequentiel parune famille drsquoharmoniques de la freacutequence de rotation de la broche (voir donneacutees brutsur Fig 424 correspondant agrave lrsquoessai agrave N = 24 000 trmin) Les donneacutees correspon-dant agrave ces harmoniques sont eacutecarteacutees par un filtre en peigne Ensuite un second filtrepasse-bas est appliqueacute sur les donneacutees freacutequentielles

600 800 1000 1200 1400 1600 1800

f [Hz]

(f)| [microm]

brutsans harmoniquessans harmoniques filtreacute

Fig 424 ndash Post-traitement des donneacutees en deacuteplacement mesureacutees apregraves passage dans le domainefreacutequentiel

Une meacutethode plus soigneacutee aurait consisteacute en un traitement synchrone des signaux Cettealternative permettrait drsquoobtenir des donneacutees de meilleure qualiteacute particuliegraverement agravebasses vitesses de rotation agrave cause de la preacutesence de nombreuses harmoniques de la freacute-quence du rotor Pour cela une freacutequence drsquoeacutechantillonnage importante est impeacuterative

Les FRF construites agrave partir des signaux post-traiteacutes ainsi que celle obtenues par lesessais traditionnels de sonnage au marteau de choc sont repreacutesenteacutes sur le Fig 425 etFig 426 Les essais de sonnage ont eacuteteacute reacutealiseacutes dans des conditions de broche supposeacuteechaude crsquoest pourquoi cette FRF sert de reacutefeacuterence

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

f [Hz]

| [micromN]

4000800012000160002000024000sonnage

Fig 425 ndash FRF obtenues expeacuterimentalement avec lrsquoexcitateur eacutelectromagneacutetique (broche en ro-tation) ainsi que la FRF obtenue par sonnage au marteau (broche chaude agrave lrsquoarrecirct) agravepartir du capteur inductif C1 placeacute dans lrsquoexcitateur

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 400010

f [Hz]

| [micromN]

4000800012000160002000024000sonnage

Fig 426 ndash FRF obtenues expeacuterimentalement avec lrsquoexcitateur eacutelectromagneacutetique (broche en ro-tation) ainsi que la FRF obtenue par sonnage au marteau (broche chaude agrave lrsquoarrecirct) agravepartir du capteur inductif C2 placeacute sur le corps de broche

Les FRF obtenues par les deux capteurs sont diffeacuterentes du fait de leur implantation Eneffet alors que le capteur C1 mesure le comportement de toute la chaicircne cineacutematique dela machine le capteur C2 mesure uniquement le comportement de la broche Comme desurcroit les deacuteformeacutees modales sont plus importantes en Oc1 qursquoen Oc2 pour les premiersmodes de flexion du rotor (voir Fig 43) les amplitudes des deacuteplacements mesureacutes parle capteur C2 sont plus importantes Comme les deux capteurs ont la mecircme sensibiliteacuteles FRF mesureacutees par le capteur C1 sont agrave priori de meilleure qualiteacute

Sur la Fig 425 les freacutequences propres en dessous de 450Hz correspondent agrave des modesde la machine (coulant etc) Ceci a eacuteteacute veacuterifieacute par des essais de sonnage compleacutementaires

de la machine Les freacutequences sont indeacutependantes de la vitesse de rotation de la brocheet sont basses car les piegraveces qui la constituent sont massives et eacutelanceacutees Neacuteanmoinsce capteur C1 permet eacutegalement drsquoobserver les freacutequences propres de la broche commenous allons le voir

Le mode preacutesent aux alentours de 3 500Hz sur la Fig 425 est un mode non coupleacuteattribuable agrave la broche Sa freacutequence correspondante deacutecroit avec la vitesse de rotationpassant drsquoenviron 3 600 agrave 3 300Hz Ce mode nrsquoest pas deacutetecteacute sur la Fig 426 car lesdeacuteplacements au niveau du capteur C2 sont trop petits En effet la souplesse apparentemesureacutee lors de lrsquoessai au marteau est tregraves faible en Oc2 Pour une raison similairelrsquoantireacutesonance mesureacutee par marteau de choc agrave 3 000Hz sur la Fig 425 nrsquoest pasdeacutetecteacutee par le capteur C1

Aux alentours de 2 2 kHz un mode apparaicirct aux vitesses de rotations importantes surles mesures du capteur C1 seulement Son amplitude augmente significativement avecN tandis que la freacutequence diminue tregraves leacutegegraverement Cela peut suggeacuterer que la deacuteformeacuteedrsquoun mecircme mode de la broche eacutevolue avec N

Aux alentours de 800 minus 1 200Hz des modes coupleacutes sont deacutetecteacutes par les mesures desdeux capteurs Ces modes dominants sont lieacutes agrave la broche car ils eacutevoluent fortementavec la freacutequence de rotation de la broche N Ce couplage ne srsquoexplique pas agrave ce stadeDes reacutesultats de simulation numeacuterique sont neacutecessaires pour comprendre le pheacutenomegravenegracircce agrave lrsquoanalyse des deacuteformeacutees modales et de leur eacutevolution avec la vitesse de rotationde la broche Cette compreacutehension est tregraves importante pour lrsquousinage car ces modescoupleacutes ont un impact important sur la stabiliteacute de lrsquousinage de par leurs souplessesimportantes

42 Modeacutelisation du comportement sous sollicitationssinusoiumldales

421 Avant propos

Les observations des simulations qui suivent sont qualitatives En effet pour que cesreacutesultats soit quantitatifs un recalage complet est neacutecessaire Cette eacutetape nrsquoest paseffectueacutee ici car dans le cadre de ces travaux de thegravese nous recherchons plutocirct lesconsideacuterations sur le modegravele en lui-mecircme De plus un processus de recalage du com-portement vibratoire de la broche a eacuteteacute deacutejagrave eacuteteacute formaliseacute dans les travaux de thegravese deGagnol [2006] Le recalage se scindait en deux eacutetapes Dans un premier temps le re-calage des freacutequences propres eacutetait effectueacute par sous structures agrave partir des paramegravetresmateacuteriaux puis les paramegravetres drsquoamortissement eacutetaient recaleacutes

Par commoditeacute drsquointeacutegration lrsquoarbre le moteur les bagues inteacuterieures de roulementset les entretoises ont eacuteteacute consideacutereacutees monobloc et en acier dans cette premiegravere eacutetape demodeacutelisation Il serait cependant inteacuteressant de modeacuterer cette hypothegravese et de modeacuteliserlrsquointerface entre le porte outil et le rotor par des raideurs localiseacutees dont les paramegravetresseraient recaleacutes Avec la modeacutelisation de rotor monobloc il faudrait par exemple recalerle diamegravetre du moteur pour ajuster sa raideur En effet le moteur reacuteel a un module deYoung diffeacuterent de lrsquoacier choisi pour le rotor monobloc

Lrsquoamortissement est un paramegravetre physique primordial pour la stabiliteacute en usinage [Lo-rong et al 2011] Dans le modegravele deacuteveloppeacute dans ces preacutesents travaux les paramegravetresdrsquoamortissement sont de deux types purement visqueux dans les roulements (fixeacute arbi-trairement agrave 2 000Nms) et structurel (fixeacute arbitrairement agrave 1 et 2 sur les premiersmodes de flexion du rotor puis 5 sur les suivants) Lrsquoamortissement axial dans les rou-lements est fixeacute agrave cent fois plus car on souhaite mettre de coteacute les modes de vibrationaxiaux et se concentrer sur les modes radiaux

Quoi qursquoil en soit le rotor monobloc et ces valeurs drsquoamortissement qui pourraient ecirctrerecaleacutes avec la meacutethode du chapitre III par exemple vont nous permettre une compreacute-hension et une analyse qualitative des reacutesultats expeacuterimentaux gracircces aux simulations

422 Meacutethode drsquoobtention des FRF

Les simulations numeacuteriques peuvent en theacuteorie ecirctre effectueacutees avec le modegravele coupleacuteentre Simulink et VirtualLab soit avec un profil de sinus balayeacute soit avec un profil reacuteelde choc Cette solution fonctionne mais srsquoest reacuteveacuteleacutee tregraves couteuse en temps de calcul carle modegravele multi-corps et le modegravele de roulement fonctionnent alors de maniegravere seacutequen-tielle Pour permettre lrsquoeacutetude du comportement freacutequentiel sous plusieurs hypothegraveses demodeacutelisation une solution plus rapide a eacuteteacute retenue Elle consiste agrave utiliser uniquementVirtualLab le comportement des roulements pouvant ecirctre consideacutereacute comme lineacuteaireconformeacutement aux conclusions de la partie 3 de ce chapitre Pour cela le calcul preacutea-lable des matrices de raideur pour chaque roulement et agrave chaque vitesse de rotationest effectueacute avec le modegravele non-lineacuteaire de montage preacutechargeacute recaleacute expeacuterimentalementdans le chapitre III Dans VirtualLab la simulation reste temporelle La FRF et sesfreacutequences propres sont calculeacutees agrave chaque pas de temps gracircce agrave une lineacutearisation ducomportement multi-corps

Pour bien comprendre le comportement vibratoire de la broche Fischer MFW2310 deseacutetapes sont entreprises dans la modeacutelisation Tout drsquoabord lrsquoarbre est consideacutereacute rigideet les roulements indeacutependants de la vitesse de rotation Les effets dynamiques rotorsont pris en compte En geacuteneacuteral le comportement freacutequentiel est repreacutesenteacute sur ce qui

est communeacutement appeleacute diagramme de Campbell valeur des freacutequences propres enfonction de la vitesse de rotation Ici nous repreacutesentons aussi la FRF en fonction dela vitesse de rotation pour comparaison avec les reacutesultats expeacuterimentaux Par abus delangage ces diagrammes seront deacutesigneacutes par diagramme de Campbell 3D

423 Comportement vibratoire pour lrsquoarbre rigide

Pour comprendre le comportement vibratoire de la broche MFW2310 il est neacutecessairedrsquoeffectuer des eacutetapes Dans cette partie le comportement vibratoire a eacuteteacute simuleacute avecun arbre rigide pour observer le comportement seul des roulements

Avec comportement statique des roulements

Une premiegravere simulation sans vitesse de rotation a eacuteteacute effectueacutee reacuteveacutelant deux modesde vibration Les deacuteplacements correspondant aux deux modes rigides sont repreacutesenteacutessur la Fig 427

(a) Premier mode rigide f = 1 10 kHz (b) Deuxiegraveme mode rigide f = 1 51 kHzFig 427 ndash Modes radiaux du rotor rigide agrave N = 0 trmin

Le premier mode fait pivoter le rotor autour du palier avant et sollicite principalement lepalier arriegravere Le deuxiegraveme mode concerne le palier avant et dans une moindre mesurele palier arriegravere en opposition de phase Il a une freacutequence plus eacuteleveacutee du fait de laraideur radiale du palier avant plus importante que celle du palier arriegravere

Drsquoautres simulations ont eacuteteacute effectueacutees en faisant varier la vitesse de rotation Pourlrsquoinstant les effets dynamiques du roulement ne sont pas pris en compte (leur raideurest donc constante) seuls ceux sur le rotor interviennent Lrsquoeacutevolution des freacutequencespropres est traceacutee sur le diagramme de Campbell en Fig 428

0 5 10 15 20 25900

N [103 trmin]

1093Hz

1099Hz

1503Hz

1522Hz

1096Hz

1512Hz

Fig 428 ndash Diagramme de Campbell pour le rotor rigide et modegravele statique de roulement

La figure 428 fait apparaicirctre une leacutegegravere seacuteparation symeacutetrique des deux modes eacutevoqueacutespreacuteceacutedemment Ce comportement est ducirc aux effets gyroscopiques sur le rotor commeeacutevoqueacute dans le chapitre I Le mode dont la freacutequence augmente est appeleacute preacutecessiondirecte lrsquoautre est nommeacutee preacutecession indirecte Dans ce cas preacutecis lrsquoeacutecart entre lesfreacutequences est faible car les roulements sont raides

Avec comportement dynamique des roulements

Une analyse similaire a eacuteteacute reacutealiseacutee une fois les effets dynamiques dans les roulementslieacutes agrave la vitesse de rotation inclus mais toujours avec un arbre rigide Le diagramme deCampbell est traceacute en Fig 429

0 5 10 15 20 25400

N [103 trmin]

6957Hz

6978Hz8649Hz

8874Hz

1096Hz

1512Hz

Fig 429 ndash Diagramme de Campbell pour le rotor rigide et modegravele dynamique de roulement

Les deacuteformeacutees des deux modes sont similaires agrave celles de la Fig 427 Seulement unechute de freacutequence importante est observeacutee avec la vitesse de rotation Le mode 1 passede 1 096Hz agrave une freacutequence meacutediane de 697Hz soit une chute de freacutequence de 36 Lemode 2 passe de 1 512Hz agrave une freacutequence meacutediane de 876Hz soit une chute de 42

Ces chutes de freacutequence sont importantes Elles sont dues agrave la perte de raideur radialedes roulements imposeacutee principalement par les effets dynamiques sur les billes Vu lrsquoim-portance des variations de freacutequence il est primordial de consideacuterer soigneusement leseffets dynamiques dans les roulements pour ce type drsquoapplication agrave tregraves haut critegravereNdm Aussi comme vu dans la partie preacuteceacutedente la prise en compte de lrsquoeacutevolution de lapreacutecharge avec la vitesse de rotation est neacutecessaire pour simuler la raideur De maniegravereeacutevidente cette eacutevolution a aussi un impact direct sur lrsquoeacutevolution des freacutequences propresde rotor

FRF en fonction de la vitesse de rotation

Pour une exploitation en usinage via les diagrammes de lobes de stabiliteacute la fonctionde transfert de la souplesse en bout drsquooutil est neacutecessaire (voir partie 22 du chapitre I)Ainsi la FRF est traceacutee en fonction de la vitesse de la broche sur les diagrammes deCampbell 3D de la Fig 430 au droit du capteur C2 (point Oc2 sur la Fig 45)

(a) Avec comportement statique des roulements (b) Avec comportement dynamique desroulements

Fig 430 ndash Diagramme de Campbell 3D du rotor rigide

Sur les diagrammes de Campbell 3D la seacuteparation des modes gyroscopiques nrsquoest pasdeacutecelable puisque les freacutequences correspondantes sont trop proches Sur ces diagrammesseul le mode 2 eacutevoqueacute preacuteceacutedemment comme eacutetant principalement la vibration du palieravant est visible En effet la FRF eacutetant calculeacutee en Oc2 qui est tregraves proche du nœuddu premier mode la souplesse apparente du premier mode en ce point est si faible quele mode 1 nrsquoest presque pas visible sur les FRF On deacutecegravele tout de mecircme ce mode agravehautes vitesses lorsque la dynamique des roulements est prise en compte En effet lesfreacutequences sont alors plus proches agrave hautes vitesses et la souplesse du mode 1 devientalors plus importante du fait de la proximiteacute du mode 2 Sur la Fig 430(b) la rai-deur radiale statique observable agrave f = 0Hz passe de 465Nmicrom agrave 153Nmicrom entre 0et 24 000 trmin soit une chute de 67 1 La comparaison de ces valeurs avec cellesobtenues dans lrsquoeacutetude sous sollicitation quasi-statique de la partie 333 (respectivement142 et 78Nmicrom) montre lrsquoimportance de la flexibiliteacute du rotor dans le comportementradial La suite des travaux concernera alors le rotor flexible les deux modes observeacutesdans cette premiegravere partie seront ensuite deacutesigneacutes par modes rigides

424 Comportement vibratoire pour lrsquoarbre flexible

Une eacutetude similaire agrave celle de la partie preacuteceacutedente a eacuteteacute effectueacutee mais cette fois avec lerotor flexible

Les modes reacutesultant de la simulation effectueacutee agrave 0 trmin sont au nombre de quatrepour des freacutequences infeacuterieures agrave 4 kHz Ils sont repreacutesenteacutes sur la Fig 431

Chacun de ces modes reacutesulte drsquoun couplage entre le comportement en flexion du rotoret le comportement des roulements Les modes 1 et 2 sont des modes sollicitant princi-

(a) Mode souple 1 f = 903Hz (b) Mode souple 2 f = 1 350Hz

(c) Mode souple 3 f = 1 580Hz (d) Mode souple 4 f = 2 860HzFig 431 ndash Modes de vibration du rotor souple agrave N = 0 trmin

palement les roulements Ils sont similaires aux modes rigides observeacutes preacuteceacutedemmentLes deacuteformeacutees respectives du rotor correspondent aux premier et deuxiegraveme modes deflexion Les modes 3 et 4 sont des modes rotor respectivement le premier et deuxiegravememode de flexion drsquoun rotor Ils sollicitent tregraves peu les roulements

Drsquoautres simulations ont eacuteteacute effectueacutees en faisant varier la vitesse de rotation Pour lrsquoins-tant le comportement statique des roulements est consideacutereacute Lrsquoeacutevolution des freacutequencespropres est donneacutee sur le diagramme de Campbell de la Fig 432

0 5 10 15 20 250

N [103 trmin]

Fig 432 ndash Diagramme de Campbell pour le rotor souple et le modegravele statique de roulement

La figure 432 fait apparaicirctre les quatre modes preacutesenteacutes sur la Fig 431 et un modede torsion agrave une freacutequence constante de 1 4 kHz Sur chacun des modes de flexionune seacuteparation des modes gyroscopiques apparaicirct et est plus marqueacutee que pour le rotorrigide En effet la flexibiliteacute du rotor implique un plus grand eacuteloignement de la matiegraverepar rapport agrave lrsquoaxe de rotation et donc des effets dynamiques rotor plus importantsPar ailleurs on peut noter que les effets gyroscopiques sont plus importants sur lesmodes 2 et 4 qui correspondent tous deux au second mode de flexion drsquoun rotor (cf Fig431) La seacuteparation des modes gyroscopiques est symeacutetrique Par exemple le mode 4passe de 2 860Hz agrave 2 860 plusmn 330Hz Cette symeacutetrie montre que dans le cas preacutesentlrsquoassouplissement centrifuge du rotor est neacutegligeable Quand est-il maintenant en prenanten compte les effets dynamiques dans les roulements

Une nouvelle seacuterie de simulations a eacuteteacute effectueacutee avec le comportement dynamique desroulements et de lrsquoarbre flexible Le diagramme de Campbell reacutesultant est traceacute enFig 433

0 5 10 15 20 250

N [103 trmin]

Fig 433 ndash Diagramme de Campbell pour le modegravele dynamique de roulement et du rotor souple

Le diagramme de Campbell de la figure 433 fait toujours apparaicirctre les quatre modes quise deacutedoublent avec la vitesse de rotation (deacutedoublement faible pour le mode 1) Cepen-dant ici les freacutequences diminuent avec la vitesse de rotation agrave cause de lrsquoassouplissementdynamique des roulements Les modes 1 et 2 sont plus impacteacutes par lrsquoassouplissementdes roulements que les modes 3 et 4 car comme souligneacute preacuteceacutedemment ils sollicitentfortement les roulements alors que les modes 3 et 4 tregraves peu (Fig 431) Ainsi les modes1 et 2 agrave preacutecession direct ont des freacutequences qui diminuent avec la vitesse de rotationce qui nrsquoest pas classique Au vu de la proximiteacute des modes 1 2 et 3 un couplage vaprobablement srsquoopeacuterer Une eacutetude des fonctions de transfert permet drsquoen savoir plus

La fonction de transfert en bout drsquooutil en fonction de la vitesse de rotation est obtenuepar simulation numeacuterique et traceacutee en Fig 434 Pour obtenir une souplesse similaireagrave lrsquoexpeacuterimental pour le mode dominant les valeurs drsquoamortissement du modegravele ontducirc ecirctre manuellement et approximativement recaleacutees lrsquoamortissement visqueux dansles roulements a eacuteteacute ajusteacute agrave 2 000Nms et les amortissements structuraux des deuxpremiers modes de flexion du rotor ont eacuteteacute fixeacutes agrave 1 et 2 Pour que le couplagedes premiers modes soit similaire agrave lrsquoexpeacuterimental le diamegravetre exteacuterieur eacutequivalent dumoteur a eacuteteacute ajusteacute agrave 102mm Les masses et inerties additionnelles du systegraveme de serrageoutil et du moteur (dont la masse volumique est plus importante) sont modeacuteliseacuteescomme preacuteceacutedemment

Fig 434 ndash Simulation du comportement freacutequentiel de lrsquoarbre flexible avec effets dynamiques dansles roulements de la broche MFW3210

Sur le diagramme de Campbell 3D issu de la simulation le mode 2 est dominant carsa souplesse apparente en bout drsquooutil est plus importante que celle du mode 1 Eneffet le mode 2 sollicite davantage le palier avant (voir Fig 431) La preacutecession directeest geacuteneacuteralement plus souple que lrsquoindirecte comme observeacute pour les modes 2 et 4 Lapreacutecession directe du mode 2 et la preacutecession indirecte du mode 3 sont proches et ont dessouplesses importantes Cette proximiteacute est aussi observeacutee entre 800Hz et 1 200Hz surles mesures expeacuterimentales des Fig 425 et Fig 426 La preacutecession directe du mode2 passe de 1 350Hz agrave 1 050Hz pour la simulation Expeacuterimentalement les modes etleur couplage eacutevoluent eacutegalement avec la vitesse de rotation La freacutequence dominantepour le capteur C1 passe de 1 150Hz agrave 910Hz et celle du capteur C2 passe de 1 000Hzagrave 920Hz La diffeacuterence agrave 4 000 trmin est probablement due agrave lrsquoimpact combineacute ducouplage des modes et de leurs souplesses apparentes qui diffegraverent selon la position ducapteur

Quoi qursquoil en soit cette eacutetude par simulation semble montrer que le mode dominantobserveacute expeacuterimentalement reacutesulte drsquoun couplage entre le premier mode rotor (mode 3)et le mode rigide relatif au palier avant (mode 2) Neacuteanmoins un recalage complet de labroche serait souhaitable afin de conforter cela

Le mode 4 agrave 4 000 trmin se situe agrave une freacutequence de 2 860Hz pour la simulation alorsqursquoelle est de 3 600Hz en expeacuterimental Cette diffeacuterence confirme la neacutecessiteacute drsquoeffectuerun recalage sur la reacutepartition reacuteelle de masse et de raideur sur le rotor Neacuteanmoins lachute importante de la preacutecession inverse du mode 4 est bien observeacutee agrave la fois enexpeacuterimental et en simulation (Fig 425 et Fig 434)

Cette eacutetude a confirmeacute qursquoil eacutetait indispensable drsquoeffectuer un recalage pour pouvoirdeacutecrire le comportement reacuteel un recalage classique sur lrsquoamortissement mais pas seule-ment Le rotor nrsquoeacutetant pas en reacutealiteacute une piegravece monobloc et mono-mateacuteriau il est aussineacutecessaire de recaler localement les masses et raideurs et donc drsquoidentifier quels para-megravetres permettent ce recalage masses additionnelles coefficients mateacuteriaux geacuteomeacutetrieconcerneacutee La meacutethode de recalage du chapitre III pourrait alors ecirctre utiliseacutee Cettedeacutemarche en serait simplifieacutee puisque le modegravele de roulement est deacutejagrave recaleacute et que nousavons deacutejagrave deacutetermineacute gracircce agrave ce chapitre les hypothegraveses convenant agrave lrsquointeacutegration dumodegravele de roulement Aussi pour que lrsquoeacutetape de recalage soit viable industriellementil sera alors neacutecessaire de deacutevelopper des outils de recalage automatiseacutes pour que lesphases de deacuteveloppement soient reacuteduites avec un produit commercial

Les hypothegraveses du modegravele concernant lrsquointeacutegration du modegravele de roulement et le com-portement du montage (partie 333) vont avoir des impacts similaires sur lrsquoeacutevolutiondes freacutequences propres puisque celles-ci sont directement lieacutees aux raideurs radiales desroulements Ainsi les pheacutenomegravenes lieacutes au comportement du montage preacutechargeacute vus preacute-ceacutedemment vont comme en quasi-statique influer significativement sur le comportementvibratoire de la broche Par exemple la valeur de la course drsquoun systegraveme de preacutechargeavant une buteacutee modifie la chute de freacutequence propre dominante agrave haut reacutegime

Une eacutetude similaire baseacutee sur des simulations numeacuteriques a eacuteteacute effectueacutee sur la brocheMFW2320 (structure scheacutematiseacutee en Fig 536) [Noel et al 2012] Les hypothegraveses dumodegravele eacutetaient alors simplifieacutees pas de prise en compte des termes extradiagonauxde la matrice de raideur du roulement et effort de preacutecharge constant Outre les effetsdynamiques sur les billes et sur le rotor cette eacutetude a montreacute lrsquoimpact des deacuteformationsmacroscopiques des bagues de roulement sur le comportement vibratoire de la broche

ConclusionCe dernier chapitre avait pour objet lrsquoeacutetude du comportement tridimensionnel de labroche et la deacutetermination du degreacute de complexiteacute du modegravele neacutecessaire agrave la descrip-tion du comportement reacuteel Une analyse des moyens expeacuterimentaux existant pour lasollicitation radiale de rotor a abouti au choix drsquoun excitateur eacutelectromagneacutetique puis-qursquoil permet une sollicitation sans contact quelle que soit la vitesse de rotation de labroche La premiegravere partie deacutecrit alors la conception la fabrication et la qualificationde ce nouveau moyen au sein du laboratoire IRCCyN Ses capaciteacutes ont eacuteteacute eacutevalueacutees etle protocole expeacuterimental a eacuteteacute mis au point

Dans un second temps la construction du modegravele non-lineacuteaire de broche est deacutetailleacutee Lamodeacutelisation volumique de la broche est effectueacutee au moyen drsquoun modeleur dynamiquemulti-corps qui permet la modeacutelisation par eacuteleacutements finis de la dynamique du rotor Lemodegravele global sous Simulink permet lrsquointerfaccedilage entre le modegravele volumique de brocheet le modegravele de roulement non lineacuteaire agrave cinq degreacutes de liberteacute Il gegravere lrsquoeacutechange de don-neacutes pour inteacutegrer les conditions limites du rotor calculeacutees agrave chaque pas de temps par lemodegravele de roulement Ainsi ce dernier calcule les efforts agrave partir des deacuteplacements desbagues de roulements avec le modegravele non-lineacuteaire complet Un modegravele de cage agrave billesest deacuteveloppeacute et analyseacute Sa raideur tregraves importante devant celle des roulements agrave billesarriegravere montre qursquoil nrsquoest pas neacutecessaire de lrsquointeacutegrer dans le modegravele de broche tridimen-sionnel dans un premier temps Le systegraveme de preacutecharge eacutelastique avec potentiellementune buteacutee est lui-aussi mis en place dans le modeleur dynamique afin que le modegravele debroche tridimensionnel reflegravete le comportement axial recaleacute au chapitre preacuteceacutedent

Ensuite une eacutetude complegravete a eacuteteacute effectueacutee pour tester lrsquoimpact des hypothegraveses dumodegravele en particulier concernant lrsquointeacutegration du modegravele de roulement agrave 5 ddl dansle modegravele de broche Des essais expeacuterimentaux ont eacuteteacute meneacutes pour observer de com-portement radial sous sollicitations quasi-statiques Les reacutesultats des essais comme dessimulations montrent un comportement radial quasi-lineacuteaire Des variantes du modegraveleont souligneacute que lrsquoutilisation de la matrice de raideur complegravete du roulement donnedes reacutesultats tregraves proches tout en reacuteduisant consideacuterablement le temps de calcul Ilconvient neacuteanmoins drsquointeacutegrer lrsquoeacutevolution de la preacutecharge avec la dynamique du rotor etdes roulements Par ailleurs certains termes extra-diagonaux sont alors indispensablesLa lineacuteariteacute est expliqueacutee par un deacuteversement tregraves faible des roulements du fait de laraideur importante du rotor sur sa partie centrale et une preacutecharge axiale du montageimportante En outre un raidissement mutuel du roulement et de lrsquoarbre reacutesulte deleur interaction dans ce montage en O Ainsi en conclusion le comportement lineacutea-riseacute de roulement est suffisant et doit ecirctre obligatoirement calculeacute une fois la preacutechargedynamique reacute-eacutevalueacutee avec le modegravele axial non-lineacuteaire du chapitre III

La derniegravere partie consiste en lrsquoeacutetude du comportement vibratoire de la broche Unenouvelle campagne drsquoessais avec lrsquoexcitateur eacutelectromagneacutetique a eacuteteacute meneacutee Les FRFmontrent un impact significatif de la vitesse de rotation sur les modes dominants Pourcomprendre le couplage des premiers modes des simulations numeacuteriques sont effec-tueacutees par eacutetapes dans le but de dissocier les causes drsquoeacutevolution des freacutequences Ainsilrsquoassouplissement dynamique des roulements amegravene agrave une chute des freacutequences avec lavitesse de rotation La freacutequence dominante observeacutee semble reacutesulter du couplage entrela preacutecession directe du mode 2 et la preacutecession indirecte du mode 3 de la broche Cecouplage et son eacutevolution avec la vitesse de rotation sont fondamentaux pour maicirctriserle comportement vibratoire de lrsquoensemble outil-broche en usinage

Conclusion geacuteneacuterale

Les broches drsquoUsinage agrave Grandes Vitesses sont agrave la fois extrecircmement performantes ettregraves sensibles agrave de nombreux paramegravetres Pour aller plus loin dans lrsquooptimisation deleur conception et de leur utilisation il est neacutecessaire de bien comprendre leur fonction-nement agrave hautes vitesses ainsi que les pheacutenomegravenes physiques qui interagissent Cettecompreacutehension pheacutenomeacutenologique a eacuteteacute la ligne directrice de ces travaux de doctoratavec lrsquoobjectif de justifier les choix de modeacutelisation en vue de proposer au final un modegravelejuste neacutecessaire pour deacutecrire le comportement reacuteel des broches

Le premier chapitre du manuscrit a preacutesenteacute en deacutetail le contexte technico-eacuteconomique etles pratiques actuelles de modeacutelisation utiliseacutees dans lrsquoindustrie et la recherche Cet eacutetatde lrsquoart a reacuteveacuteleacute des lacunes quant agrave lrsquoidentification des grandeurs physiques inheacuterentesaux montages de roulements preacutechargeacutes De plus une multitude de modegraveles est proposeacuteedans la litteacuterature Certains thermo-meacutecaniques sont tregraves lourds agrave mettre en place Pourun deacuteveloppement industriel il faut discerner la complexiteacute neacutecessaire des modegraveles pourrepreacutesenter le comportement vibratoire notamment en ce qui concerne lrsquointeacutegrationdu modegravele de roulement dans le modegravele de broche La suite des travaux srsquoest alorsdiviseacutee en trois parties correspondant aux eacutetapes naturelles de construction drsquoun modegraveledynamique tridimensionnel de broche valideacute et recaleacute par les essais expeacuterimentaux quiont jalonneacute chacune des eacutetapes

Tout drsquoabord lrsquoeacuteleacutement roulement agrave billes agrave contact oblique a eacuteteacute finement modeacuteliseacute pourprendre en compte les effets dynamiques sur les billes et sur les bagues En effet les rou-lements en tant que conditions limites du rotor sont un point clef de la modeacutelisationglobale des broches Une meacutethode de prise en compte des deacuteformations macroscopiquesdes bagues dans le modegravele analytique agrave cinq degreacutes de liberteacute du roulement a eacuteteacute propo-seacutee Une compreacutehension pheacutenomeacutenologique fine lieacutee aux grandeurs locales du roulementtelle que lrsquoincidence des hypothegraveses cineacutematiques a alors eacuteteacute permise Par ailleurs unenouvelle technique de calcul analytique exact du comportement lineacuteariseacute du roulementa eacuteteacute mise au point puis valideacutee Le gain obtenu en termes de preacutecision de cette matricede raideur confirme lrsquointeacuterecirct drsquoutiliser cette nouvelle meacutethode pour les hauts Ndm

Lrsquoeacutetape suivante eacutetait initialement destineacutee agrave identifier les grandeurs relatives au sys-tegraveme de preacutecharge des roulements dans les conditions de fonctionnement de la brochePour cela des essais expeacuterimentaux de sollicitation axiale ont eacuteteacute reacutealiseacutes avec un dis-positif speacutecialement deacuteveloppeacute pour solliciter la broche en rotation En deacutefinitive deseacutetapes successives de construction du modegravele axial de broche ont permis drsquoidentifier lespheacutenomegravenes physiques indispensables au modegravele expansion radiale des bagues preacute-sence drsquoune buteacutee reacutetreacutecissement centrifuge de lrsquoarbre et frottement sec sur le systegravemede preacutecharge Au final le comportement mesureacute est tregraves bien deacutecrit par le modegravele avecune erreur moyenne infeacuterieure au micron pour des deacuteplacements observeacutes sur quelquesdizaines de microns Ce chapitre a permis de deacutecoupler le comportement axial complexedrsquoun montage de roulement agrave double preacutecharge gracircce agrave plusieurs pheacutenomegravenes physiquessimples Il a alors eacuteteacute possible drsquoen expliquer lrsquoimpact significatif sur le comportement dela broche Une meacutethode geacuteneacuterale de recalage de modegravele a eacuteteacute enfin proposeacutee et valideacuteesur une autre broche agrave preacutecharge unique

Dans le dernier chapitre un modegravele tridimensionnel de la broche non-lineacuteaire et parEleacutements Finis a eacuteteacute mis au point Pour eacutetayer les simulations un excitateur eacutelectroma-gneacutetique a eacuteteacute deacuteveloppeacute afin de solliciter expeacuterimentalement la broche avec des effortsradiaux Une premiegravere eacutetape de validation de la raideur radiale de la broche a eacuteteacute ef-fectueacutee gracircce agrave des essais expeacuterimentaux avec sollicitations radiales quasi-statiques Uncomportement radial lineacuteaire a eacuteteacute reacuteveacuteleacute et expliqueacute par lrsquoimportance de la preacutecharge etde la raideur du rotor Les reacutesultats numeacuteriques ont deacutemontreacute que dans ces conditionsil nrsquoest pas neacutecessaire de prendre en compte la non-lineacuteariteacute des roulements une foisla preacutecharge dynamique reacuteeacutevalueacutee Par contre certains termes extra-diagonaux de lamatrice de raideur lineacuteariseacutee du roulement ne doivent pas ecirctre neacutegligeacutes Enfin le com-portement vibratoire a eacuteteacute compareacute qualitativement entre les diagrammes de Campbellexpeacuterimentaux et simuleacutes Lrsquoeacutevolution des freacutequences propres et le couplage des modesont eacuteteacute analyseacutes gracircce au modegravele numeacuterique complet de la broche Ces reacutesultats deacute-montrent qursquoil est indispensable de prendre en compte lrsquoassouplissement dynamique desroulements en configuration recaleacutee pour deacutecrire avec succegraves la chute des freacutequencespropres due agrave la vitesse de rotation

Perspectives

Les travaux preacutesenteacutes dans ce manuscrit ont permis de mieux comprendre le fonction-nement des broches Ils permettent eacutegalement de mettre en lumiegravere de futures pistesdrsquoeacutetude afin de poursuivre et drsquoapprofondir les travaux entrepris

Pour commencer il serait neacutecessaire drsquoappliquer le processus de recalage du modegravele axialde broche sur des produits de constructeurs diffeacuterents Ces nouveaux essais permettraientde valider le modegravele et de geacuteneacuteraliser ce processus de recalage axial Pour aller plus loindans cette eacutetude il serait bon de pouvoir mieux maicirctriser le diffeacuterentiel de tempeacuteratureentre le rotor et le stator lors des essais par exemple gracircce agrave un frein sans contactaccoupleacute au rotor pour solliciter la puissance de la broche Ainsi divers eacutetats thermiquespourraient ecirctre eacutetudieacutes et les protocoles drsquoessais seraient simplifieacutes gracircce agrave la suppressiondes longues phases de chauffe agrave vide jusque-lagrave preacutealables aux essais

Comme vu au dernier chapitre le comportement radial de la broche est agrave recaler Cetteeacutetape est cruciale pour une exploitation quantitative des simulations dans le cadrede choix de conditions de coupe par exemple Pour recaler les freacutequences dominanteset les souplesses modales correspondantes des proceacutedures automatiseacutees adapteacutees auxcontraintes industrielles sont agrave deacutevelopper Elles pourraient par exemple se baser surles deux types drsquoessais retenus dans cette thegravese de sorte agrave obtenir un grand nombrede donneacutees expeacuterimentales et ainsi deacutecoupler plus aiseacutement les effets des grandeursphysiques agrave recaler

Le chapitre II a montreacute qursquoil eacutetait important de prendre en compte avec finesse les effetsdynamiques Il a aussi deacutemontreacute que lrsquohypothegravese neacutecessaire agrave lrsquoexpression de la cineacute-matique du roulement a un impact consideacuterable sur son comportement puisqursquoelle esten fait intimement lieacutee agrave la maniegravere dont se reacutepartit le moment gyroscopique entre labague inteacuterieure et la bague exteacuterieure Une eacutetude expeacuterimentale en conditions drsquoutili-sation reacuteelles (eacutetat thermique et lubrification par brouillard drsquohuile) devrait permettrede mettre en lumiegravere la cineacutematique notamment gracircce agrave lrsquoinstrumentation de la vitessede rotation de la cage ou encore gracircce au suivi vibratoire des freacutequences caracteacuteristiques

Perspectives

des roulements Cette eacutetude prend tout son sens puisque la tendance des roulementierset des constructeurs de broches est drsquoaugmenter le critegravere Ndm au-delagrave de ce qui estreconnu comme extrecircmement critique

La dispersion des caracteacuteristiques drsquoune broche avant et apregraves reacutevision ou encore entrediffeacuterentes broches drsquoune mecircme reacutefeacuterence serait un problegraveme reacuteel pour le choix de condi-tions de coupe En effet les conditions de coupe retenues ne seraient plus forceacutementoptimales si les caracteacuteristiques de raideurs de guidage changeaient Ainsi le processusnon intrusif de recalage du modegravele axial permettrait drsquoeacutetudier ces eacuteventuelles dispersionsentre broches supposeacutes identiques

Les derniegraveres perspectives concernent lrsquoexploitation dans le cadre industriel des reacutesul-tats obtenus dans cette thegravese Tout drsquoabord la construction de modegraveles axiaux systeacute-matiquement lieacutes agrave des reacutesultats expeacuterimentaux permettent de faire un grand pas enavant vers la compreacutehension pheacutenomeacutenologique du comportement complexe et coupleacutedes eacutelectrobroches UGV Ces reacutesultats permettent drsquoaller plus loin dans lrsquooptimisationde la conception du guidage du rotor particuliegraverement en ce qui concerne le choix dela preacutecharge gracircce aux nouveaux pheacutenomegravenes physiques pris en compte dans un modegraveleanalytique

Pour finir cette piste concerne le supposeacute Eldorado qursquooffrirait lrsquoexcitateur eacutelectroma-gneacutetique Lrsquoideacutee est drsquoimaginer un processus automatique et simple permettant drsquooptimi-ser les conditions de coupe de plusieurs outils agrave partir drsquoune identification expeacuterimentaledu comportement dynamique sous rotation de la broche Le deacutefi est de taille pour reacute-pondre aux attentes et contraintes du monde industriel En ce qui concerne le maillon ducomportement de broche ce processus devra recaler automatiquement le comportementfreacutequentiel de la broche avec le porte-outil speacutecifique puis simuler le comportement aveclrsquooutil reacuteel Un tel produit permettrait de simplifier la qualification des outils coupantsde tout usineur des PME aux grands groupes

Annexes

Sommaire1 Structure des broches eacutetudieacutees A-1

2 Vulgarisation scientifique comportement de montages preacute-chargeacutes A-3

3 Gestion automatique des simulations A-4

1 Structure des broches eacutetudieacutees

11 Fischer MFW 2310

Cette broche est une broche de fraisage UGV drsquoune puissance de 70 kW et de vitessede rotation de 24 000 trmin Elle est de conception relativement ancienne et connuepour sa fiabiliteacute Le guidage est cependant relativement peu courant puisqursquoil comporteune double preacutecharge La preacutecharge arriegravere est eacutequipeacutee drsquoune douille agrave billes Les troisroulements avant sont des SNFA VEX70 et les deux roulements arriegravere sont des SNFAVEX60 Cette broche est reconnue pour ecirctre un produit haut de gamme et drsquoune granderaideur

Corps de broche

Fig 535 ndash Structure de la broche Fischer 2310

David NOEumlL A-1

Cette broche est monteacutee sur une machine agrave commande numeacuterique Huron KX30 dans uneentreprise partenaire du laboratoire Europe Technologie Elle eacutequipe aussi actuellementde nombreuses machines dans lrsquoautomobile et lrsquoaeacuteronautique

Des capteurs de tempeacuterature sont localiseacutes sur le palier avant le palier arriegravere et auniveau du stator Dans le cadre du projet UsinAE la broche a eacuteteacute speacutecifiquement eacutequipeacuteede capteurs agrave courant de Foucault axiaux et radiaux sur le palier avant et au niveau dela douille arriegravere

12 Fischer MFW 2320

Cette broche est une broche de fraisage UGV drsquoune puissance de 100 kW et de vitessede rotation de 30 000 trmin Cette broche reacutecente est composeacutee drsquoun montage tandemsen ldquoO Les quatre roulements sont des roulements hybrides de haute preacutecision SNFAVEX Des essais ont eacuteteacute effectueacutes sur le banc test de Fischer en Suisse et sur un machineForest Aerostar de Daussault Aviation agrave Seclin

Corps de broche

Palier arriegraverePalier avant

a b c d

Oslash110

Corps de broche

Fig 536 ndash Structure de la broche Fischer MFW 2320

13 Fischer MFW 1709

Cette broche est une broche de fraisage UGV drsquoune puissance de 40 kW et de vitesse derotation de 24 000 trmin Le guidage est reacutealiseacute par un montage en ldquoOrdquo de roulementshybride SNFA VEX

Corps de broche

A-2 David NOEumlL

Annexes

Cette broche est monteacutee sur le robot anthropomorphique Kuka 270 preacutesent dans leslocaux de lrsquoIUT de Nantes

2 Vulgarisation scientifique comportement demontages preacutechargeacutes

Cette animation a eacuteteacute deacuteveloppeacutee pour permettre la compreacutehension du comportementdes montages preacutechargeacutes Elle est destineacutee au lecteur novice en la matiegravere ou encorepour lrsquoenseignement de la technologie

David NOEumlL A-3

3 Gestion automatique des simulations

3 Gestion automatique des simulationsDans la description effectueacutee preacuteceacutedemment le modegravele VirtualLab est supposeacute ecirctreexeacutecuteacute agrave la main par lrsquoutilisateur puis importeacute dans Simulink pour ecirctre finalementexeacutecuteacute agrave la main dans Simulink Cette solution est correcte pour le deacuteveloppement desmodegraveles mais ne convient pas pour lrsquoexploitation du modegravele Une automatisation a eacuteteacuteneacutecessaire

Pour cela une fonction Matlab a eacuteteacute mise au point pour piloter lrsquoensemble des opeacuterationsde la maniegravere suivante

1 deacutefinitions des paramegravetres de la simulation (type de chargement choix du modegravelelineacuteairenon-lineacuteaire de roulement etc)

2 eacutecriture dans un fichier externe des paramegravetres agrave modifier dans le modegravele Vir-tualLab (vitesse de rotation N par exemple)

3 exeacutecution drsquoune macro DOS pilotant VirtualLab (modification du modegravele agrave partirdes paramegravetres du fichier externe exeacutecutionexport du modegravele)

4 chargement du modegravele VL dans Simulink

5 exeacutecution du modegravele global de broche

6 sauvegarde des reacutesultats

A-4 David NOEumlL

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Version eacutediteacutee le 23 avril 2014

A-10 David NOEumlL

Les eacutelectrobroches drsquoUsinage agrave Grandes Vitesses concentrent de nombreuses fonctions techniques essentielles dans un espace tregraves restreint et confineacute Elles sont caracteacuteriseacutees par de fortes puissances de tregraves hautes vitesses de rotation et neacutecessitent une raideur importante Il srsquoagit drsquoapplications preacutesentant un tregraves haut critegravere et donc tregraves critiques pour les roulements Le comportement des broches UGV en est drsquoautant plus complexe et difficilement preacutevisible Lrsquoideacutee de ces travaux est de proposer un modegravele dynamique juste neacutecessaire pour faciliter la conception de nouvelles broches et optimiser le choix des conditions de coupe tous deux pour un environnement industriel Pour cela une approche pheacutenomeacutenologique est adopteacutee

Pour commencer lrsquoeacuteleacutement roulement agrave billes agrave contact oblique est finement modeacuteliseacute Outre les effets dynamiques sur les billes agrave haute vitesse de rotation les deacuteformations macroscopiques des bagues sont consideacutereacutees pour le modegravele analytique agrave cinq degreacutes de liberteacute du roulement Une nouvelle formulation analytique exacte de la matrice de raideur du roulement est proposeacutee puis valideacutee Ensuite le modegravele du comportement axial drsquoune broche agrave double preacutecharge est recaleacute gracircce aux reacutesultats expeacuterimentaux obtenus avec le dispositif de chargement axial deacuteveloppeacute agrave cet effet Au final non seulement les grandeurs de preacutecharge sont identifieacutees mais surtout de nouveaux pheacutenomegravenes physiques indispensables pour simuler le comportement complexe et coupleacute de la broche sont deacuteceleacutes expansion radiale des bagues preacutesence drsquoune buteacutee reacutetreacutecissement centrifuge de lrsquoarbre et frottement sec sur le systegraveme de preacutecharge Enfin pour lrsquoeacutetude du comportement global de broche un excitateur eacutelectromagneacutetique a eacuteteacute deacuteveloppeacute afin de solliciter la broche radialement et sans contact Le modegravele tridimensionnel de la broche non-lineacuteaire et par Eleacutements Finis est mis au point pour une reacutesolution en temporel Lrsquointeacutegration du modegravele de roulement dans le modegravele de broche est envisageacutee pour plusieurs hypothegraveses Les reacutesultats de simulation valideacutes par des essais expeacuterimentaux montrent que dans le cas drsquoun rotor raide en flexion et drsquoune preacutecharge importante il nrsquoest pas neacutecessaire de prendre en compte la non-lineacuteariteacute des roulements une fois la preacutecharge reacuteeacutevalueacutee par eacutequilibre dynamique axial Enfin les comportements freacutequentiels obtenus expeacuterimentalement et par simulation sont compareacutes et analyseacutes Lrsquoeacutevolution des freacutequences et le couplage des modes sont examineacutes gracircce au modegravele numeacuterique complet

Mots-cleacutes broche UGV roulements agrave billes matrice de raideur montage de roulements preacutechargeacute recalage de modegravele dynamique des rotors excitateur eacutelectromagneacutetique

Modeling and Identification of the Dynamic Behavior

of HSM Spindles Guided by Preloaded Bearings

High Speed Machining spindles fulfill a great number of technical functions in a reduced and confined environment In the aerospace industry spindles have very high power and speed capabilities The dmN criterion representing the criticality of the application for rolling bearings is extremely high It is therefore difficult to predict their coupled and complex behavior This work aim at proposing a strictly minimal dynamic model to ease new spindle design and to optimize the cutting conditions in an industrial environment In this context a phenomenological approach is selected

First a detailed model of the angular ball bearing is built Dynamic effects on balls and macroscopic deformations of rings are included in the five degrees of freedom analytical model A new exact analytical formulation of the stiffness matrix is proposed and validated Then the axial behavior of a spindle with double preload is updated The experimental results are obtained with a new testing device designed to apply bidirectional axial loads on the spindle at any given speed At the processlsquos end preload parameters are identified More importantly new essential physical phenomena are found enabling a better understanding of the complex and coupled axial behavior of the spindle radial expansion of the bearing rings the presence of a stroke limit centrifugal axial shrinking and solid friction of preload device Finally an electromagnetic actuator is developed to study the three-dimensional behavior of the spindle A time domain model of the spindle in Finite Elements is built including the complete updated bearing model Simplifying hypotheses for the integration of the bearing model are studied In the case of a stiff bending rotor and a high preload a linear model of the bearing can be selected once the axial dynamic and non-linear equilibrium is reached At the end both numerical and experimental Frequency Response Functions are compared and analyzed Frequency evolution and mode coupling with shaft speed are investigated thanks to the complete numerical model developed in this work

Keywords HSM spindle ball bearing stiffness matrix preloaded bearing model updating rotor dynamics active magnetic bearing (AMB)

Table des figures

Liste des tableaux

Nomenclature

Contexte industriel et eacutetat de lart

Contexte industriel

Fraisage UGV

Structure dune eacutelectrobroche UGV de fraisage

Problegravemes de vibration en usinage

Pheacutenomegravene de broutement

Choix des conditions de coupe

Limite de lapproche par sonnage de loutil

Modeacutelisation de leacutelectrobroche

Techniques de modeacutelisation de broche

Modegraveles de roulements agrave billes agrave contact oblique

Conclusion

Modeacutelisation dynamique du roulement agrave billes agrave contact oblique

Observations expeacuterimentales


Expansion radiale

Modegravele dynamique agrave 5 degreacutes de liberteacute

Mise en eacutequation

A propos des effets dynamiques


Reacutesolution numeacuterique

Calcul de la matrice de raideur

Calcul numeacuterique par diffeacuterences finies

Calcul analytique de la matrice de raideur

Comparaison des meacutethodes de calcul

Analyse du comportement

Compreacutehension pheacutenomeacutenologique

Paramegravetres dinfluence sur la raideur

Impact de lhypothegravese cineacutematique

Construction de modegraveles axiaux par recalages

Simulations et expeacuterimentations

Modegravele axial de broche

Expeacuterimentations

Principe de recalage et de la validation de modegravele

Construction du modegravele

Buteacutee sur le roulement de preacutecharge

Expansion radiale des bagues de roulement

Reacutetreacutecissement axial centrifuge

Hysteacutereacutesis en deacuteplacement

Synthegravese

Validation de la meacutethodologie

Protocole expeacuterimental

Reacutesultats du recalage

Modegravele de comportement global de broche


Choix des moyens expeacuterimentaux

Deacuteveloppement de lexcitateur eacutelectromagneacutetique

Essais avec lexcitateur

Elaboration du modegravele non-lineacuteaire de broche

Choix preacuteliminaires

Structure du modegravele non-lineacuteaire

Calcul du modegravele de roulement

Modegravele multicorps de la broche

Modeacutelisation de la cage agrave billes

Modeacutelisation des systegravemes de preacutecharges

Impact des hypothegraveses du modegravele de broche

Essais radiaux quasi-statiques

Observation du comportement expeacuterimental

Simulation du comportement quasi-statique

Pourquoi un comportement radial lineacuteaire

Comportement local

Conclusion

Analyse du comportement vibratoire

Essais expeacuterimentaux

Modeacutelisation du comportement sous sollicitations sinusoiumldales


Perspectives

Annexes

Structure des broches eacutetudieacutees

Fischer MFW 2310

Fischer MFW 2320

Fischer MFW 1709

Vulgarisation scientifique comportement de montages preacutechargeacutes

Gestion automatique des simulations

Bibliographie

laquo La simpliciteacute est la sophistication suprecircme raquo

Leacuteonard de Vinci

Remerciements

David NOEumlL v

vi David NOEumlL

Nomenclature xix

4 Conclusion 27

David NOEumlL vii

viii David NOEumlL

Perspectives 163

Bibliographie A-5

David NOEumlL ix

x David NOEumlL

Table des figures

David NOEumlL xi

Table des figures

xii David NOEumlL

Table des figures

David NOEumlL xiii

Table des figures

Fischer MFW1709 114

xiv David NOEumlL

Table des figures

David NOEumlL xv

Table des figures

xvi David NOEumlL

Liste des tableaux

MFW2320 58

radiales 137

David NOEumlL xvii

Liste des tableaux

xviii David NOEumlL

Nomenclature

Majuscules

Minuscules

David NOEumlL xix

Nomenclature

Lettres grecques

de la billeγ = Ddm

xx David NOEumlL

Nomenclature

normale au contact

Indices

Accronymes

David NOEumlL xxi

Nomenclature

xxii David NOEumlL

David NOEumlL 1164

2164 David NOEumlL

David NOEumlL 3164

4164 David NOEumlL

pitre1

4 Conclusion 27

David NOEumlL 5164

11 Fraisage UGV

6164 David NOEumlL

David NOEumlL 7164

8164 David NOEumlL

1Outilserreacute

2Outildesserreacute

stegravem

serragepo

urlrsquoa

ttachementHSK

ositifd

esouffl

agecocircne

lements

agravebilleshy

brides

intchican

Ressortsde

preacutecha

palieravan

tempeacute

rature

desroulem

9Moteurasyn

chrone

10Circ

ementliq

11Collerettede

fixationsurla

machine

illeagravebilles

tempeacute

rature

dumoteur

14Ressortsde

preacutecha

palierarriegrave

16Circ

lubrificatio

ndesroulem

deserragedrsquoou

ositifh

ydraulique

dedesserrage

drsquoou

Jointtourna

urarrosage

centre

delrsquoo

David NOEumlL 9164

10164 David NOEumlL

123 Lubrification

David NOEumlL 11164

12164 David NOEumlL

125 Motorisation

David NOEumlL 13164

14164 David NOEumlL

φ=180degφ=90deg

copeau

φ=0degpiegravece

Vc Vc Vc

David NOEumlL 15164

y(t-T)

y(t) f(ty(t))

+- Kap Φ(p)

H(p) Y(p)H0(p) F(p)

16164 David NOEumlL

0 5 10 15 200

stable

instable instable

k=0k=1

Na0Na1Na2

N (103 trmin)

ap (mm)

Nak = 60f0

Z(k + 1) (11)

David NOEumlL 17164

18164 David NOEumlL

Lobes dynamiques

|Φ(iω)|

David NOEumlL 19164

Modegravele discret

Mq + Cq + Kq = f(t) (12)

20164 David NOEumlL

David NOEumlL 21164

22164 David NOEumlL

David NOEumlL 23164

321 Objectif

Chargement global

f=(Fx Fy Fz My Mz )

Efforts locaux

δi δo

Hypothegravese

sur la

reacutepartition

drsquoeffort

Hypothegravese de

deacuteplacement

de solide

rigide

Extraction du

mouvement

de corps

rigide

RdC globale

RdC locale

deacuteplacements

δ=KQ23

24164 David NOEumlL

cos αtQi

Bcos αtQmax

David NOEumlL 25164

26164 David NOEumlL

David NOEumlL 27164

4 Conclusion

28164 David NOEumlL

pitre2

David NOEumlL 29164

30164 David NOEumlL

0 05 1 15 2 25 3 35 4-70

u [microm]u

p2 [microm]

u [microm]u

p2 [microm]

David NOEumlL 31164

32164 David NOEumlL

vitessetherm

David NOEumlL 33164

34164 David NOEumlL

Atilde

Centre du roulement

regiri

sans chargement

avec chargement

David NOEumlL 35164

(fo - 0

+ plusmn

A1 = BD sin[arccos

(cosα + ∆u0

X21 +X2

36164 David NOEumlL

cosαo = X2

sinαo = X1

cosαi = A2 minusX2

sinαi = A1 minusX1

David NOEumlL 37164

δ = KQ23 (28)

minusλoMg

D(A2 minusX2)

(fi minus 0 5)D + δi= 0 (29a)

D(A1 minusX1)

(fi minus 0 5)D + δi+ Fc = 0 (29b)

38164 David NOEumlL

Fx =sumz

Qi sinαi + λiMg

Dcosαi (210a)

Fy =sumz

Dsinαi

)cosψ (210b)

Fz =sumz

Dsinαi

)sinψ (210c)

My =sumz

Dcosαi

)minus λifiMg

]sinψ (210d)

Mz =sumz

[minuslti

(Qi sinαi + λi

Dcosαi

)+ λifiMg

]cosψ (210e)

Fxo = minussumz

Qo sinαo + λoMg

Dcosαo (211a)

Fyo =sumz

Dsinαo

)cosψ (211b)

Fzo =sumz

Dsinαo

)sinψ (211c)

Myo =sumz

[minuslto

(Qo sinαo + λo

Dcosαo

)minus λofoMg

]sinψ (211d)

Mzo =sumz

Dcosαo

)+ λofoMg

]cosψ (211e)

David NOEumlL 39164

Fc = 1

2mdmω2(ωmω

)2(212a)

Mg = Jω2(ωmω

)(ωRω

)sin β (212b)

m = ρb

6 (213a)

J = ρbπD5

60 (213b)

40164 David NOEumlL

)minus1

(214a)

= minus1γ cos β

1minus γ cosαi

)minus1

(214b)

David NOEumlL 41164

ωRhyb

ωspino

ωrolli

ωrollo

βorcβirc

ωRorc

ωRirc

ωspini

42164 David NOEumlL

tan βsinαi

cosαo + γ

0 6 12 18 24 300

N [103 trmin]

Fx [N]

Inner-race control

Outer-race control

larr Birc

=372106 ω2 - 225103ω +423

=378106 ω2 - 209103ω +394 rarr

David NOEumlL 43164

C = QiaiLiQoaoLo

β = αi + αo2 (216)

ωrolli

ωrollo

44164 David NOEumlL

ωspinωroll

=(ωspinωroll

= tan(αi minus αo

) [1 + γ sin

(αi + αo

(αi minus αo

)](217)

λi 1 0 2 2C(1 + C)λo 1 2 0 2(1 + C)

David NOEumlL 45164

46164 David NOEumlL

rrirsi

inner ring

r+ Cωr

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 22032

z (mm)

David NOEumlL 47164

48164 David NOEumlL

)2lt ((fi minus 05)D)2 (219)

David NOEumlL 49164

somme des

dn+1 = dn - K-1( fn - f )

||gttol

||lttol

= fn - f

minusrarr

den+1 = de

n minus fe) (222)

50164 David NOEumlL

David NOEumlL 51164

Kij = partf i

partdj=sumz

(partf i

partvkd

partvkdpartdj

)+ partf i

partA1

partdj+ partf i

partA2

partdj

](225)

partFcpartdj

= partFcpartX1

partX1

partδi

partδipartdj

+ partFcpartA1

partA1

partA2

partdj(226)

52164 David NOEumlL

B1414 minus1 B36

partFc

partX1partFc

partX2partFc

partδo

partFc

partδiminus1 0

partMg

partX1

partMg

partX2

partMg

partδo

partMg

partδi0 minus1

partX1partdj

partX2partdj

partδo

partdj

partδi

partdj

partFc

partdj

partMg

partdj

= sj (227)

B36 = 1D

(λoX1

B46 = 1D

(minusλoX2

) (228)

partA1

partA2

partdj(229)

David NOEumlL 53164

B64 = partMg

[γ(ωmω

)(ωRω

1minus γ cosαi

+(ωRω

)((1 + γ cosαo)

+(ωmω

54164 David NOEumlL

331 Temps de calcul

Coucirct 100 601 105 634 573

David NOEumlL 55164

∆K11 = 100∣∣∣∣∣∣K

(1)11 minusK

K(3)11

∣∣∣∣∣∣ (230)

0 6 12 18 24 300

N [103 trmin]

∆K11

50012002000

Fx [N]

56164 David NOEumlL

David NOEumlL 57164

58164 David NOEumlL

Angles de contact

David NOEumlL 59164

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

0600012000180002400030000

N [trmin]

)2minus ((fi minus 05)D)2 = 0 (231)

60164 David NOEumlL

0 6 12 18 24 30-100

N [103 trmin]

δx [microm]

David NOEumlL 61164

0 5 10 15 20 25 30

N [103 trmin]

500 500

62164 David NOEumlL

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 300

Fx [kN]

δx [microm]

StatiqueDynamique F

Dynamique Mg

Dynamique Fc

David NOEumlL 63164

0 5 10 15 20 25 300

N [103 trmin]

[Nmicrom]

50 250500

2500 3000

60006000

0 5 10 15 20 25 300

N [103 trmin]

[Nmicrom]

50 250500

2500 3000

64164 David NOEumlL

0 6 12 18 24 3020

N [103 trmin]

[Nmicrom]

David NOEumlL 65164

0 6 12 18 24 3010

N [103 trmin]

β [deg]

0 6 12 18 24 30-016

N [103 trmin]

Mg [Nm]

66164 David NOEumlL

David NOEumlL 67164

68164 David NOEumlL

pitre3

David NOEumlL 69164

70164 David NOEumlL

Corps de broche

David NOEumlL 71164

Avec effort

plusmnx30gt0

Fx1 Fx3Fx2

72164 David NOEumlL

David NOEumlL 73164

74164 David NOEumlL

-15 -10 -5 0 5 10 15-1000

u [microm]

1 agrave 0 trmin

3 agrave 0 trmin

David NOEumlL 75164

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-15

F [kN]

u [microm]

76164 David NOEumlL

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 100

16P24 u [microm]

F1 agrave 0 trmin

3 agrave 0 trmin

u [microm]

Kxx2+Kp1+

Kxx3 Kp2Kxx3+Kp2

Kxx2 +Kp1+ Kxx3Kp2

Kxx3 +Kp2(36)

David NOEumlL 77164

Synthegravese

78164 David NOEumlL

dynamomeacutetrique

Rondelles

eacutelastiques

Roulement agrave

gorge profonde

Rotor de la

broche

David NOEumlL 79164

Poids propre

Post-traitement

80164 David NOEumlL

Essais agrave vide

0 4 8 12 16 20 24-90

N [103 trmin]

Essais en charge

David NOEumlL 81164

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

Kxx2+Kp1+ Kxx3 Kp2

Kxx3+Kp2

82164 David NOEumlL

David NOEumlL 83164

ε = 1i+ j

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

Ecart ε

Deacutefinition

84164 David NOEumlL

ε(p1 p2 ) =sumi

∆pi(38)

partε

partpi

∣∣∣∣∣pnom

= κi∆pi

κi = 1ζ

)∣∣∣∣pnom

Plages de variation

David NOEumlL 85164

Portion

86164 David NOEumlL

925 150 120 508 28

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

David NOEumlL 87164

88164 David NOEumlL

minus Iminus1n

up1 = up1l

David NOEumlL 89164

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 100

u [microm]

F1 at 0 trmin

3 at 0 trmin

F1 at 16 000 trmin

3 at 16 000 trmin

F1 at 24 000 trmin

3 at 24 000 trmin

u [microm]

90164 David NOEumlL

842 319 122 0100 280 minus429

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

David NOEumlL 91164

221 Strateacutegie

∆uN = ∆u0 + dω2 (314)

92164 David NOEumlL

BD(315)

David NOEumlL 93164

852 263 131 0100 519 122 820

94164 David NOEumlL

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

David NOEumlL 95164

Ofa O1 O2 O3

96164 David NOEumlL

0 5 10 15 20 25-35

N [103 trmin]

ux [microm]

David NOEumlL 97164

uOfa= a ω2

uO2 = b ω2

uO3 = c ω2

(uOfa24 uO224 uO324

)en mi-

98164 David NOEumlL

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

David NOEumlL 99164

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

Kox0 = partF

∣∣∣∣∣F=0

0 4 8 12 16 20 240

N [103 trmin]

[Nmicrom]

Equilibre arbre +

(up1 fixeacute)

ε3 = P1 - F2

- Kp1 up10

ε3lt-Ff

ε3gtFf

-Ff le ε3 le Ff

up1 = up10

Ff up10

heacute

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 100

u [microm]

3 pour F

max= 2500 N

3 pour F

max= 2000 N

3 pour F

max= 1500 N

3 pour F

max= 1000 N

u [microm]

= 2500 N

= 2000 N

= 1500 N

= 1000 N

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 100

u [microm]

F1 agrave 0 trmin

3 agrave 0 trmin

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

-1200 -1000 -800 -600 -400 -200 0-10

u [microm]

max= 2500 N

= 2000 N

= 1500 N

= 1000 N

2 ∆F

-1200 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 100050

∆ F [N]

25 Synthegravese

Frottement

desanalyses

deseacutetap

essuccessiv

recalageε

quantifi

entreexpeacute

rimentalets

imulation

ase1(partie

Phase2

Phase3

Phase4

Phase5(partie

Phase6

Paramegravetres

κ[microm

]Recaleacute

Recaleacute

κ[microm

]Recaleacute

Recaleacute

Kp1[Nmicrom

20Kp2[Nmicrom

Preacutecharges

up1l[microm

]minus

minusminus

minus519

minus550

minus546

minus522

α0[deg

minusminus

0[microm

]minus

minusminus

minus156

24minus

0[microm

10minus

minusminus

minus8

56plusmn

99minus

minusminus

minus0

minusminus

54plusmn

07minus

minusminus

minus0

4plusmn

minusminus

75plusmn

88minus

minusminus

minus9007

71minus

minusν b

026plusmn

minusminus

00minus

minusν r

03plusmn

minusminus

68minus

minusEb[GPa]

315plusmn

minusminus

62minus

minusEr[GPa]

210plusmn

minusminus

12minus

ρb[kgm

90plusmn

minusminus

9minus

minusuO

4[microm

minusminus

minus1

4[microm

]minus

0minus

minusminus

minus1

34minus

3minus

2minus

4[microm

]minus

0minus

minusminus

minus407

minus420

minus428

Autres

minusminus

minus809

Erreur

[microm

1 310 13 8 79 0 56 5 9 54 minus20 2 0 575 3 200

-1500 -1000 -500 0 500 1000-50

u [microm]

pitre4

111 Marteau de choc

112 Pot vibrant

Foy = kiIy (41)

Broche

Bobinage

plantout

in out

Scope3

Scope2

Scope1

chargement

Ground1

Ground

Demux3

Demux2

Demux1

Demux-1

mfx3 fx3

O O OO OOc Oc

Centre du

roulement

plan de coupe de

la bille

δ ycosΨ

= δoKo

(δiKi

Qo =(δoKo

Fy = Zsumz

Qi cosψ (45)

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

Fy [N]

δy [microm]

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0 1 2 3 4 5 6 7 8-200

200F [N]

0 1 2 3 4 5 6 7 8-4

[microm]

40001600022000

0 1 2 3 4 5 6 7 8-4

doy [microm]

4000800012000160002000024000

-150 -100 -50 0 50 100 150

[microm]

4000800012000160002000024000

∣∣∣∣∣Foy=0

4 8 12 16 20 240

N [103 trmin]

[Nmicrom]

phase 1phase 2

0 100 200 300 400 500 600 700 8000

[microm]

06 00012 00018 00024 000

N [trmin] 0 6 000 12 000 18 000 24 000

Koy [Nmicrom] 142 138 110 840 735

KoyKoy(N = 0) [] 0 971 771 590 509

0 4 8 12 16 20 240

N [103 trmin]

[Nmicrom]

K1 = 106

27 0 0 0 0 086 0 0 0 minus1 44

86 0 144 0sym 1710minus4 0

1710minus4

-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 4000995

Fy [N]

x0 [N]

24 000 trmin0 trmin

θzlt 0

δygt 0

θz = 0

δygt 0

θzgt 0

δygt 0

Fygt 0

Mzlt 0

Fygt 0

Mzlt 0

Fygt 0

0 100 200 300 400 500 600-5

Fy [N]

δy [microm]

θz = 0

M z = 0

Mz = -769Nm

θz = 0104deg

Fy [N]

δy [microm]

θz = -000134deg

θz = -000177deg

Mz = -8425Nm

Mz = -8433Nm

θ z = 0

Mz = -769Nm

θz = 0deg

δy(Fy θz = 0 Fx = 1000) = 1338106Fy (48)

136Nrarr larr515N

230Nrarr

larr23N

927Nrarr larr825N

222Nrarr

larr0N z

0 05 1 15 20

δy [microm]

e deacute

200 N400 N600 N800 N1000 N

Remarque

208Nrarr larr121N

254Nrarr

larr133N z

36 Conclusion

F (t) = sin[2πt

(fmax minus fmin

2T t+ fmin

)](49)

0 2 4 6 8 10-1

0 2 4 6 8 10

(a) Profil temporel

0 10 20 30 40 5010

f [Hz]

412 Post-traitement

600 800 1000 1200 1400 1600 1800

f [Hz]

(f)| [microm]

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

f [Hz]

| [micromN]

4000800012000160002000024000sonnage

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 400010

f [Hz]

| [micromN]

4000800012000160002000024000sonnage

421 Avant propos

0 5 10 15 20 25900

N [103 trmin]

1093Hz

1099Hz

1503Hz

1522Hz

1096Hz

1512Hz

0 5 10 15 20 25400

N [103 trmin]

6957Hz

6978Hz8649Hz

8874Hz

1096Hz

1512Hz

0 5 10 15 20 250

N [103 trmin]

0 5 10 15 20 250

N [103 trmin]

Perspectives

Annexes

11 Fischer MFW 2310

Corps de broche

David NOEumlL A-1

12 Fischer MFW 2320

Corps de broche

a b c d

Oslash110

Corps de broche

13 Fischer MFW 1709

Corps de broche

A-2 David NOEumlL

Annexes

David NOEumlL A-3

A-4 David NOEumlL

Bibliographie

Citeacute page 120

Citeacute page 23

David NOEumlL A-5

Bibliographie

A-6 David NOEumlL

Bibliographie

David NOEumlL A-7

Bibliographie

Citeacute page 121

A-8 David NOEumlL

Bibliographie

Citeacute page 71

Citeacute page 12

David NOEumlL A-9

Bibliographie

Citeacute page 22

A-10 David NOEumlL

Table des figures

Liste des tableaux

Nomenclature

Contexte industriel

Fraisage UGV









Conclusion




Expansion radiale
























Synthegravese





















Comportement local

Conclusion





Perspectives

Annexes


Fischer MFW 2310

Fischer MFW 2320

Fischer MFW 1709



Bibliographie

Remerciements

David NOEumlL v

vi David NOEumlL

Nomenclature xix

4 Conclusion 27

David NOEumlL vii

viii David NOEumlL

Perspectives 163

Bibliographie A-5

David NOEumlL ix

x David NOEumlL

Table des figures

David NOEumlL xi

Table des figures

xii David NOEumlL

Table des figures

David NOEumlL xiii

Table des figures

Fischer MFW1709 114

xiv David NOEumlL

Table des figures

David NOEumlL xv

Table des figures

xvi David NOEumlL

Liste des tableaux

MFW2320 58

radiales 137

David NOEumlL xvii

Liste des tableaux

xviii David NOEumlL

Nomenclature

Majuscules

Minuscules

David NOEumlL xix

Nomenclature

Lettres grecques

de la billeγ = Ddm

xx David NOEumlL

Nomenclature

normale au contact

Indices

Accronymes

David NOEumlL xxi

Nomenclature

xxii David NOEumlL

David NOEumlL 1164

2164 David NOEumlL

David NOEumlL 3164

4164 David NOEumlL

pitre1

4 Conclusion 27

David NOEumlL 5164

11 Fraisage UGV

6164 David NOEumlL

David NOEumlL 7164

8164 David NOEumlL

1Outilserreacute

2Outildesserreacute

stegravem

serragepo

urlrsquoa

ttachementHSK

ositifd

esouffl

agecocircne

lements

agravebilleshy

brides

intchican

Ressortsde

preacutecha

palieravan

tempeacute

rature

desroulem

9Moteurasyn

chrone

10Circ

ementliq

11Collerettede

fixationsurla

machine

illeagravebilles

tempeacute

rature

dumoteur

14Ressortsde

preacutecha

palierarriegrave

16Circ

lubrificatio

ndesroulem

deserragedrsquoou

ositifh

ydraulique

dedesserrage

drsquoou

Jointtourna

urarrosage

centre

delrsquoo

David NOEumlL 9164

10164 David NOEumlL

123 Lubrification

David NOEumlL 11164

12164 David NOEumlL

125 Motorisation

David NOEumlL 13164

14164 David NOEumlL

φ=180degφ=90deg

copeau

φ=0degpiegravece

Vc Vc Vc

David NOEumlL 15164

y(t-T)

y(t) f(ty(t))

+- Kap Φ(p)

H(p) Y(p)H0(p) F(p)

16164 David NOEumlL

0 5 10 15 200

stable

instable instable

k=0k=1

Na0Na1Na2

N (103 trmin)

ap (mm)

Nak = 60f0

Z(k + 1) (11)

David NOEumlL 17164

18164 David NOEumlL

Lobes dynamiques

|Φ(iω)|

David NOEumlL 19164

Modegravele discret

Mq + Cq + Kq = f(t) (12)

20164 David NOEumlL

David NOEumlL 21164

22164 David NOEumlL

David NOEumlL 23164

321 Objectif

Chargement global

f=(Fx Fy Fz My Mz )

Efforts locaux

δi δo

Hypothegravese

sur la

reacutepartition

drsquoeffort

Hypothegravese de

deacuteplacement

de solide

rigide

Extraction du

mouvement

de corps

rigide

RdC globale

RdC locale

deacuteplacements

δ=KQ23

24164 David NOEumlL

cos αtQi

Bcos αtQmax

David NOEumlL 25164

26164 David NOEumlL

David NOEumlL 27164

4 Conclusion

28164 David NOEumlL

pitre2

David NOEumlL 29164

30164 David NOEumlL

0 05 1 15 2 25 3 35 4-70

u [microm]u

p2 [microm]

u [microm]u

p2 [microm]

David NOEumlL 31164

32164 David NOEumlL

vitessetherm

David NOEumlL 33164

34164 David NOEumlL

Atilde

Centre du roulement

regiri

sans chargement

avec chargement

David NOEumlL 35164

(fo - 0

+ plusmn

A1 = BD sin[arccos

(cosα + ∆u0

X21 +X2

36164 David NOEumlL

cosαo = X2

sinαo = X1

cosαi = A2 minusX2

sinαi = A1 minusX1

David NOEumlL 37164

δ = KQ23 (28)

minusλoMg

D(A2 minusX2)

(fi minus 0 5)D + δi= 0 (29a)

D(A1 minusX1)

(fi minus 0 5)D + δi+ Fc = 0 (29b)

38164 David NOEumlL

Fx =sumz

Qi sinαi + λiMg

Dcosαi (210a)

Fy =sumz

Dsinαi

)cosψ (210b)

Fz =sumz

Dsinαi

)sinψ (210c)

My =sumz

Dcosαi

)minus λifiMg

]sinψ (210d)

Mz =sumz

[minuslti

(Qi sinαi + λi

Dcosαi

)+ λifiMg

]cosψ (210e)

Fxo = minussumz

Qo sinαo + λoMg

Dcosαo (211a)

Fyo =sumz

Dsinαo

)cosψ (211b)

Fzo =sumz

Dsinαo

)sinψ (211c)

Myo =sumz

[minuslto

(Qo sinαo + λo

Dcosαo

)minus λofoMg

]sinψ (211d)

Mzo =sumz

Dcosαo

)+ λofoMg

]cosψ (211e)

David NOEumlL 39164

Fc = 1

2mdmω2(ωmω

)2(212a)

Mg = Jω2(ωmω

)(ωRω

)sin β (212b)

m = ρb

6 (213a)

J = ρbπD5

60 (213b)

40164 David NOEumlL

)minus1

(214a)

= minus1γ cos β

1minus γ cosαi

)minus1

(214b)

David NOEumlL 41164

ωRhyb

ωspino

ωrolli

ωrollo

βorcβirc

ωRorc

ωRirc

ωspini

42164 David NOEumlL

tan βsinαi

cosαo + γ

0 6 12 18 24 300

N [103 trmin]

Fx [N]

Inner-race control

Outer-race control

larr Birc

=372106 ω2 - 225103ω +423

=378106 ω2 - 209103ω +394 rarr

David NOEumlL 43164

C = QiaiLiQoaoLo

β = αi + αo2 (216)

ωrolli

ωrollo

44164 David NOEumlL

ωspinωroll

=(ωspinωroll

= tan(αi minus αo

) [1 + γ sin

(αi + αo

(αi minus αo

)](217)

λi 1 0 2 2C(1 + C)λo 1 2 0 2(1 + C)

David NOEumlL 45164

46164 David NOEumlL

rrirsi

inner ring

r+ Cωr

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 22032

z (mm)

David NOEumlL 47164

48164 David NOEumlL

)2lt ((fi minus 05)D)2 (219)

David NOEumlL 49164

somme des

dn+1 = dn - K-1( fn - f )

||gttol

||lttol

= fn - f

minusrarr

den+1 = de

n minus fe) (222)

50164 David NOEumlL

David NOEumlL 51164

Kij = partf i

partdj=sumz

(partf i

partvkd

partvkdpartdj

)+ partf i

partA1

partdj+ partf i

partA2

partdj

](225)

partFcpartdj

= partFcpartX1

partX1

partδi

partδipartdj

+ partFcpartA1

partA1

partA2

partdj(226)

52164 David NOEumlL

B1414 minus1 B36

partFc

partX1partFc

partX2partFc

partδo

partFc

partδiminus1 0

partMg

partX1

partMg

partX2

partMg

partδo

partMg

partδi0 minus1

partX1partdj

partX2partdj

partδo

partdj

partδi

partdj

partFc

partdj

partMg

partdj

= sj (227)

B36 = 1D

(λoX1

B46 = 1D

(minusλoX2

) (228)

partA1

partA2

partdj(229)

David NOEumlL 53164

B64 = partMg

[γ(ωmω

)(ωRω

1minus γ cosαi

+(ωRω

)((1 + γ cosαo)

+(ωmω

54164 David NOEumlL

331 Temps de calcul

Coucirct 100 601 105 634 573

David NOEumlL 55164

∆K11 = 100∣∣∣∣∣∣K

(1)11 minusK

K(3)11

∣∣∣∣∣∣ (230)

0 6 12 18 24 300

N [103 trmin]

∆K11

50012002000

Fx [N]

56164 David NOEumlL

David NOEumlL 57164

58164 David NOEumlL

Angles de contact

David NOEumlL 59164

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

0600012000180002400030000

N [trmin]

)2minus ((fi minus 05)D)2 = 0 (231)

60164 David NOEumlL

0 6 12 18 24 30-100

N [103 trmin]

δx [microm]

David NOEumlL 61164

0 5 10 15 20 25 30

N [103 trmin]

500 500

62164 David NOEumlL

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 300

Fx [kN]

δx [microm]

StatiqueDynamique F

Dynamique Mg

Dynamique Fc

David NOEumlL 63164

0 5 10 15 20 25 300

N [103 trmin]

[Nmicrom]

50 250500

2500 3000

60006000

0 5 10 15 20 25 300

N [103 trmin]

[Nmicrom]

50 250500

2500 3000

64164 David NOEumlL

0 6 12 18 24 3020

N [103 trmin]

[Nmicrom]

David NOEumlL 65164

0 6 12 18 24 3010

N [103 trmin]

β [deg]

0 6 12 18 24 30-016

N [103 trmin]

Mg [Nm]

66164 David NOEumlL

David NOEumlL 67164

68164 David NOEumlL

pitre3

David NOEumlL 69164

70164 David NOEumlL

Corps de broche

David NOEumlL 71164

Avec effort

plusmnx30gt0

Fx1 Fx3Fx2

72164 David NOEumlL

David NOEumlL 73164

74164 David NOEumlL

-15 -10 -5 0 5 10 15-1000

u [microm]

1 agrave 0 trmin

3 agrave 0 trmin

David NOEumlL 75164

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-15

F [kN]

u [microm]

76164 David NOEumlL

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 100

16P24 u [microm]

F1 agrave 0 trmin

3 agrave 0 trmin

u [microm]

Kxx2+Kp1+

Kxx3 Kp2Kxx3+Kp2

Kxx2 +Kp1+ Kxx3Kp2

Kxx3 +Kp2(36)

David NOEumlL 77164

Synthegravese

78164 David NOEumlL

dynamomeacutetrique

Rondelles

eacutelastiques

Roulement agrave

gorge profonde

Rotor de la

broche

David NOEumlL 79164

Poids propre

Post-traitement

80164 David NOEumlL

Essais agrave vide

0 4 8 12 16 20 24-90

N [103 trmin]

Essais en charge

David NOEumlL 81164

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

Kxx2+Kp1+ Kxx3 Kp2

Kxx3+Kp2

82164 David NOEumlL

David NOEumlL 83164

ε = 1i+ j

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

Ecart ε

Deacutefinition

84164 David NOEumlL

ε(p1 p2 ) =sumi

∆pi(38)

partε

partpi

∣∣∣∣∣pnom

= κi∆pi

κi = 1ζ

)∣∣∣∣pnom

Plages de variation

David NOEumlL 85164

Portion

86164 David NOEumlL

925 150 120 508 28

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

David NOEumlL 87164

88164 David NOEumlL

minus Iminus1n

up1 = up1l

David NOEumlL 89164

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 100

u [microm]

F1 at 0 trmin

3 at 0 trmin

F1 at 16 000 trmin

3 at 16 000 trmin

F1 at 24 000 trmin

3 at 24 000 trmin

u [microm]

90164 David NOEumlL

842 319 122 0100 280 minus429

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

David NOEumlL 91164

221 Strateacutegie

∆uN = ∆u0 + dω2 (314)

92164 David NOEumlL

BD(315)

David NOEumlL 93164

852 263 131 0100 519 122 820

94164 David NOEumlL

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

David NOEumlL 95164

Ofa O1 O2 O3

96164 David NOEumlL

0 5 10 15 20 25-35

N [103 trmin]

ux [microm]

David NOEumlL 97164

uOfa= a ω2

uO2 = b ω2

uO3 = c ω2

(uOfa24 uO224 uO324

)en mi-

98164 David NOEumlL

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

David NOEumlL 99164

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

Kox0 = partF

∣∣∣∣∣F=0

0 4 8 12 16 20 240

N [103 trmin]

[Nmicrom]

Equilibre arbre +

(up1 fixeacute)

ε3 = P1 - F2

- Kp1 up10

ε3lt-Ff

ε3gtFf

-Ff le ε3 le Ff

up1 = up10

Ff up10

heacute

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 100

u [microm]

3 pour F

max= 2500 N

3 pour F

max= 2000 N

3 pour F

max= 1500 N

3 pour F

max= 1000 N

u [microm]

= 2500 N

= 2000 N

= 1500 N

= 1000 N

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 100

u [microm]

F1 agrave 0 trmin

3 agrave 0 trmin

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

-1200 -1000 -800 -600 -400 -200 0-10

u [microm]

max= 2500 N

= 2000 N

= 1500 N

= 1000 N

2 ∆F

-1200 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 100050

∆ F [N]

25 Synthegravese

Frottement

desanalyses

deseacutetap

essuccessiv

recalageε

quantifi

entreexpeacute

rimentalets

imulation

ase1(partie

Phase2

Phase3

Phase4

Phase5(partie

Phase6

Paramegravetres

κ[microm

]Recaleacute

Recaleacute

κ[microm

]Recaleacute

Recaleacute

Kp1[Nmicrom

20Kp2[Nmicrom

Preacutecharges

up1l[microm

]minus

minusminus

minus519

minus550

minus546

minus522

α0[deg

minusminus

0[microm

]minus

minusminus

minus156

24minus

0[microm

10minus

minusminus

minus8

56plusmn

99minus

minusminus

minus0

minusminus

54plusmn

07minus

minusminus

minus0

4plusmn

minusminus

75plusmn

88minus

minusminus

minus9007

71minus

minusν b

026plusmn

minusminus

00minus

minusν r

03plusmn

minusminus

68minus

minusEb[GPa]

315plusmn

minusminus

62minus

minusEr[GPa]

210plusmn

minusminus

12minus

ρb[kgm

90plusmn

minusminus

9minus

minusuO

4[microm

minusminus

minus1

4[microm

]minus

0minus

minusminus

minus1

34minus

3minus

2minus

4[microm

]minus

0minus

minusminus

minus407

minus420

minus428

Autres

minusminus

minus809

Erreur

[microm

1 310 13 8 79 0 56 5 9 54 minus20 2 0 575 3 200

-1500 -1000 -500 0 500 1000-50

u [microm]

pitre4

111 Marteau de choc

112 Pot vibrant

Foy = kiIy (41)

Broche

Bobinage

plantout

in out

Scope3

Scope2

Scope1

chargement

Ground1

Ground

Demux3

Demux2

Demux1

Demux-1

mfx3 fx3

O O OO OOc Oc

Centre du

roulement

plan de coupe de

la bille

δ ycosΨ

= δoKo

(δiKi

Qo =(δoKo

Fy = Zsumz

Qi cosψ (45)

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

Fy [N]

δy [microm]

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0 1 2 3 4 5 6 7 8-200

200F [N]

0 1 2 3 4 5 6 7 8-4

[microm]

40001600022000

0 1 2 3 4 5 6 7 8-4

doy [microm]

4000800012000160002000024000

-150 -100 -50 0 50 100 150

[microm]

4000800012000160002000024000

∣∣∣∣∣Foy=0

4 8 12 16 20 240

N [103 trmin]

[Nmicrom]

phase 1phase 2

0 100 200 300 400 500 600 700 8000

[microm]

06 00012 00018 00024 000

N [trmin] 0 6 000 12 000 18 000 24 000

Koy [Nmicrom] 142 138 110 840 735

KoyKoy(N = 0) [] 0 971 771 590 509

0 4 8 12 16 20 240

N [103 trmin]

[Nmicrom]

K1 = 106

27 0 0 0 0 086 0 0 0 minus1 44

86 0 144 0sym 1710minus4 0

1710minus4

-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 4000995

Fy [N]

x0 [N]

24 000 trmin0 trmin

θzlt 0

δygt 0

θz = 0

δygt 0

θzgt 0

δygt 0

Fygt 0

Mzlt 0

Fygt 0

Mzlt 0

Fygt 0

0 100 200 300 400 500 600-5

Fy [N]

δy [microm]

θz = 0

M z = 0

Mz = -769Nm

θz = 0104deg

Fy [N]

δy [microm]

θz = -000134deg

θz = -000177deg

Mz = -8425Nm

Mz = -8433Nm

θ z = 0

Mz = -769Nm

θz = 0deg

δy(Fy θz = 0 Fx = 1000) = 1338106Fy (48)

136Nrarr larr515N

230Nrarr

larr23N

927Nrarr larr825N

222Nrarr

larr0N z

0 05 1 15 20

δy [microm]

e deacute

200 N400 N600 N800 N1000 N

Remarque

208Nrarr larr121N

254Nrarr

larr133N z

36 Conclusion

F (t) = sin[2πt

(fmax minus fmin

2T t+ fmin

)](49)

0 2 4 6 8 10-1

0 2 4 6 8 10

(a) Profil temporel

0 10 20 30 40 5010

f [Hz]

412 Post-traitement

600 800 1000 1200 1400 1600 1800

f [Hz]

(f)| [microm]

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

f [Hz]

| [micromN]

4000800012000160002000024000sonnage

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 400010

f [Hz]

| [micromN]

4000800012000160002000024000sonnage

421 Avant propos

0 5 10 15 20 25900

N [103 trmin]

1093Hz

1099Hz

1503Hz

1522Hz

1096Hz

1512Hz

0 5 10 15 20 25400

N [103 trmin]

6957Hz

6978Hz8649Hz

8874Hz

1096Hz

1512Hz

0 5 10 15 20 250

N [103 trmin]

0 5 10 15 20 250

N [103 trmin]

Perspectives

Annexes

11 Fischer MFW 2310

Corps de broche

David NOEumlL A-1

12 Fischer MFW 2320

Corps de broche

a b c d

Oslash110

Corps de broche

13 Fischer MFW 1709

Corps de broche

A-2 David NOEumlL

Annexes

David NOEumlL A-3

A-4 David NOEumlL

Bibliographie

Citeacute page 120

Citeacute page 23

David NOEumlL A-5

Bibliographie

A-6 David NOEumlL

Bibliographie

David NOEumlL A-7

Bibliographie

Citeacute page 121

A-8 David NOEumlL

Bibliographie

Citeacute page 71

Citeacute page 12

David NOEumlL A-9

Bibliographie

Citeacute page 22

A-10 David NOEumlL

Table des figures

Liste des tableaux

Nomenclature

Contexte industriel

Fraisage UGV









Conclusion




Expansion radiale
























Synthegravese





















Comportement local

Conclusion





Perspectives

Annexes


Fischer MFW 2310

Fischer MFW 2320

Fischer MFW 1709



Bibliographie

vi David NOEumlL

Nomenclature xix

4 Conclusion 27

David NOEumlL vii

viii David NOEumlL

Perspectives 163

Bibliographie A-5

David NOEumlL ix

x David NOEumlL

Table des figures

David NOEumlL xi

Table des figures

xii David NOEumlL

Table des figures

David NOEumlL xiii

Table des figures

Fischer MFW1709 114

xiv David NOEumlL

Table des figures

David NOEumlL xv

Table des figures

xvi David NOEumlL

Liste des tableaux

MFW2320 58

radiales 137

David NOEumlL xvii

Liste des tableaux

xviii David NOEumlL

Nomenclature

Majuscules

Minuscules

David NOEumlL xix

Nomenclature

Lettres grecques

de la billeγ = Ddm

xx David NOEumlL

Nomenclature

normale au contact

Indices

Accronymes

David NOEumlL xxi

Nomenclature

xxii David NOEumlL

David NOEumlL 1164

2164 David NOEumlL

David NOEumlL 3164

4164 David NOEumlL

pitre1

4 Conclusion 27

David NOEumlL 5164

11 Fraisage UGV

6164 David NOEumlL

David NOEumlL 7164

8164 David NOEumlL

1Outilserreacute

2Outildesserreacute

stegravem

serragepo

urlrsquoa

ttachementHSK

ositifd

esouffl

agecocircne

lements

agravebilleshy

brides

intchican

Ressortsde

preacutecha

palieravan

tempeacute

rature

desroulem

9Moteurasyn

chrone

10Circ

ementliq

11Collerettede

fixationsurla

machine

illeagravebilles

tempeacute

rature

dumoteur

14Ressortsde

preacutecha

palierarriegrave

16Circ

lubrificatio

ndesroulem

deserragedrsquoou

ositifh

ydraulique

dedesserrage

drsquoou

Jointtourna

urarrosage

centre

delrsquoo

David NOEumlL 9164

10164 David NOEumlL

123 Lubrification

David NOEumlL 11164

12164 David NOEumlL

125 Motorisation

David NOEumlL 13164

14164 David NOEumlL

φ=180degφ=90deg

copeau

φ=0degpiegravece

Vc Vc Vc

David NOEumlL 15164

y(t-T)

y(t) f(ty(t))

+- Kap Φ(p)

H(p) Y(p)H0(p) F(p)

16164 David NOEumlL

0 5 10 15 200

stable

instable instable

k=0k=1

Na0Na1Na2

N (103 trmin)

ap (mm)

Nak = 60f0

Z(k + 1) (11)

David NOEumlL 17164

18164 David NOEumlL

Lobes dynamiques

|Φ(iω)|

David NOEumlL 19164

Modegravele discret

Mq + Cq + Kq = f(t) (12)

20164 David NOEumlL

David NOEumlL 21164

22164 David NOEumlL

David NOEumlL 23164

321 Objectif

Chargement global

f=(Fx Fy Fz My Mz )

Efforts locaux

δi δo

Hypothegravese

sur la

reacutepartition

drsquoeffort

Hypothegravese de

deacuteplacement

de solide

rigide

Extraction du

mouvement

de corps

rigide

RdC globale

RdC locale

deacuteplacements

δ=KQ23

24164 David NOEumlL

cos αtQi

Bcos αtQmax

David NOEumlL 25164

26164 David NOEumlL

David NOEumlL 27164

4 Conclusion

28164 David NOEumlL

pitre2

David NOEumlL 29164

30164 David NOEumlL

0 05 1 15 2 25 3 35 4-70

u [microm]u

p2 [microm]

u [microm]u

p2 [microm]

David NOEumlL 31164

32164 David NOEumlL

vitessetherm

David NOEumlL 33164

34164 David NOEumlL

Atilde

Centre du roulement

regiri

sans chargement

avec chargement

David NOEumlL 35164

(fo - 0

+ plusmn

A1 = BD sin[arccos

(cosα + ∆u0

X21 +X2

36164 David NOEumlL

cosαo = X2

sinαo = X1

cosαi = A2 minusX2

sinαi = A1 minusX1

David NOEumlL 37164

δ = KQ23 (28)

minusλoMg

D(A2 minusX2)

(fi minus 0 5)D + δi= 0 (29a)

D(A1 minusX1)

(fi minus 0 5)D + δi+ Fc = 0 (29b)

38164 David NOEumlL

Fx =sumz

Qi sinαi + λiMg

Dcosαi (210a)

Fy =sumz

Dsinαi

)cosψ (210b)

Fz =sumz

Dsinαi

)sinψ (210c)

My =sumz

Dcosαi

)minus λifiMg

]sinψ (210d)

Mz =sumz

[minuslti

(Qi sinαi + λi

Dcosαi

)+ λifiMg

]cosψ (210e)

Fxo = minussumz

Qo sinαo + λoMg

Dcosαo (211a)

Fyo =sumz

Dsinαo

)cosψ (211b)

Fzo =sumz

Dsinαo

)sinψ (211c)

Myo =sumz

[minuslto

(Qo sinαo + λo

Dcosαo

)minus λofoMg

]sinψ (211d)

Mzo =sumz

Dcosαo

)+ λofoMg

]cosψ (211e)

David NOEumlL 39164

Fc = 1

2mdmω2(ωmω

)2(212a)

Mg = Jω2(ωmω

)(ωRω

)sin β (212b)

m = ρb

6 (213a)

J = ρbπD5

60 (213b)

40164 David NOEumlL

)minus1

(214a)

= minus1γ cos β

1minus γ cosαi

)minus1

(214b)

David NOEumlL 41164

ωRhyb

ωspino

ωrolli

ωrollo

βorcβirc

ωRorc

ωRirc

ωspini

42164 David NOEumlL

tan βsinαi

cosαo + γ

0 6 12 18 24 300

N [103 trmin]

Fx [N]

Inner-race control

Outer-race control

larr Birc

=372106 ω2 - 225103ω +423

=378106 ω2 - 209103ω +394 rarr

David NOEumlL 43164

C = QiaiLiQoaoLo

β = αi + αo2 (216)

ωrolli

ωrollo

44164 David NOEumlL

ωspinωroll

=(ωspinωroll

= tan(αi minus αo

) [1 + γ sin

(αi + αo

(αi minus αo

)](217)

λi 1 0 2 2C(1 + C)λo 1 2 0 2(1 + C)

David NOEumlL 45164

46164 David NOEumlL

rrirsi

inner ring

r+ Cωr

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 22032

z (mm)

David NOEumlL 47164

48164 David NOEumlL

)2lt ((fi minus 05)D)2 (219)

David NOEumlL 49164

somme des

dn+1 = dn - K-1( fn - f )

||gttol

||lttol

= fn - f

minusrarr

den+1 = de

n minus fe) (222)

50164 David NOEumlL

David NOEumlL 51164

Kij = partf i

partdj=sumz

(partf i

partvkd

partvkdpartdj

)+ partf i

partA1

partdj+ partf i

partA2

partdj

](225)

partFcpartdj

= partFcpartX1

partX1

partδi

partδipartdj

+ partFcpartA1

partA1

partA2

partdj(226)

52164 David NOEumlL

B1414 minus1 B36

partFc

partX1partFc

partX2partFc

partδo

partFc

partδiminus1 0

partMg

partX1

partMg

partX2

partMg

partδo

partMg

partδi0 minus1

partX1partdj

partX2partdj

partδo

partdj

partδi

partdj

partFc

partdj

partMg

partdj

= sj (227)

B36 = 1D

(λoX1

B46 = 1D

(minusλoX2

) (228)

partA1

partA2

partdj(229)

David NOEumlL 53164

B64 = partMg

[γ(ωmω

)(ωRω

1minus γ cosαi

+(ωRω

)((1 + γ cosαo)

+(ωmω

54164 David NOEumlL

331 Temps de calcul

Coucirct 100 601 105 634 573

David NOEumlL 55164

∆K11 = 100∣∣∣∣∣∣K

(1)11 minusK

K(3)11

∣∣∣∣∣∣ (230)

0 6 12 18 24 300

N [103 trmin]

∆K11

50012002000

Fx [N]

56164 David NOEumlL

David NOEumlL 57164

58164 David NOEumlL

Angles de contact

David NOEumlL 59164

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

0600012000180002400030000

N [trmin]

)2minus ((fi minus 05)D)2 = 0 (231)

60164 David NOEumlL

0 6 12 18 24 30-100

N [103 trmin]

δx [microm]

David NOEumlL 61164

0 5 10 15 20 25 30

N [103 trmin]

500 500

62164 David NOEumlL

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 300

Fx [kN]

δx [microm]

StatiqueDynamique F

Dynamique Mg

Dynamique Fc

David NOEumlL 63164

0 5 10 15 20 25 300

N [103 trmin]

[Nmicrom]

50 250500

2500 3000

60006000

0 5 10 15 20 25 300

N [103 trmin]

[Nmicrom]

50 250500

2500 3000

64164 David NOEumlL

0 6 12 18 24 3020

N [103 trmin]

[Nmicrom]

David NOEumlL 65164

0 6 12 18 24 3010

N [103 trmin]

β [deg]

0 6 12 18 24 30-016

N [103 trmin]

Mg [Nm]

66164 David NOEumlL

David NOEumlL 67164

68164 David NOEumlL

pitre3

David NOEumlL 69164

70164 David NOEumlL

Corps de broche

David NOEumlL 71164

Avec effort

plusmnx30gt0

Fx1 Fx3Fx2

72164 David NOEumlL

David NOEumlL 73164

74164 David NOEumlL

-15 -10 -5 0 5 10 15-1000

u [microm]

1 agrave 0 trmin

3 agrave 0 trmin

David NOEumlL 75164

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-15

F [kN]

u [microm]

76164 David NOEumlL

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 100

16P24 u [microm]

F1 agrave 0 trmin

3 agrave 0 trmin

u [microm]

Kxx2+Kp1+

Kxx3 Kp2Kxx3+Kp2

Kxx2 +Kp1+ Kxx3Kp2

Kxx3 +Kp2(36)

David NOEumlL 77164

Synthegravese

78164 David NOEumlL

dynamomeacutetrique

Rondelles

eacutelastiques

Roulement agrave

gorge profonde

Rotor de la

broche

David NOEumlL 79164

Poids propre

Post-traitement

80164 David NOEumlL

Essais agrave vide

0 4 8 12 16 20 24-90

N [103 trmin]

Essais en charge

David NOEumlL 81164

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

Kxx2+Kp1+ Kxx3 Kp2

Kxx3+Kp2

82164 David NOEumlL

David NOEumlL 83164

ε = 1i+ j

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

Ecart ε

Deacutefinition

84164 David NOEumlL

ε(p1 p2 ) =sumi

∆pi(38)

partε

partpi

∣∣∣∣∣pnom

= κi∆pi

κi = 1ζ

)∣∣∣∣pnom

Plages de variation

David NOEumlL 85164

Portion

86164 David NOEumlL

925 150 120 508 28

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

David NOEumlL 87164

88164 David NOEumlL

minus Iminus1n

up1 = up1l

David NOEumlL 89164

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 100

u [microm]

F1 at 0 trmin

3 at 0 trmin

F1 at 16 000 trmin

3 at 16 000 trmin

F1 at 24 000 trmin

3 at 24 000 trmin

u [microm]

90164 David NOEumlL

842 319 122 0100 280 minus429

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

David NOEumlL 91164

221 Strateacutegie

∆uN = ∆u0 + dω2 (314)

92164 David NOEumlL

BD(315)

David NOEumlL 93164

852 263 131 0100 519 122 820

94164 David NOEumlL

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

David NOEumlL 95164

Ofa O1 O2 O3

96164 David NOEumlL

0 5 10 15 20 25-35

N [103 trmin]

ux [microm]

David NOEumlL 97164

uOfa= a ω2

uO2 = b ω2

uO3 = c ω2

(uOfa24 uO224 uO324

)en mi-

98164 David NOEumlL

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

David NOEumlL 99164

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

Kox0 = partF

∣∣∣∣∣F=0

0 4 8 12 16 20 240

N [103 trmin]

[Nmicrom]

Equilibre arbre +

(up1 fixeacute)

ε3 = P1 - F2

- Kp1 up10

ε3lt-Ff

ε3gtFf

-Ff le ε3 le Ff

up1 = up10

Ff up10

heacute

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 100

u [microm]

3 pour F

max= 2500 N

3 pour F

max= 2000 N

3 pour F

max= 1500 N

3 pour F

max= 1000 N

u [microm]

= 2500 N

= 2000 N

= 1500 N

= 1000 N

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 100

u [microm]

F1 agrave 0 trmin

3 agrave 0 trmin

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

-1200 -1000 -800 -600 -400 -200 0-10

u [microm]

max= 2500 N

= 2000 N

= 1500 N

= 1000 N

2 ∆F

-1200 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 100050

∆ F [N]

25 Synthegravese

Frottement

desanalyses

deseacutetap

essuccessiv

recalageε

quantifi

entreexpeacute

rimentalets

imulation

ase1(partie

Phase2

Phase3

Phase4

Phase5(partie

Phase6

Paramegravetres

κ[microm

]Recaleacute

Recaleacute

κ[microm

]Recaleacute

Recaleacute

Kp1[Nmicrom

20Kp2[Nmicrom

Preacutecharges

up1l[microm

]minus

minusminus

minus519

minus550

minus546

minus522

α0[deg

minusminus

0[microm

]minus

minusminus

minus156

24minus

0[microm

10minus

minusminus

minus8

56plusmn

99minus

minusminus

minus0

minusminus

54plusmn

07minus

minusminus

minus0

4plusmn

minusminus

75plusmn

88minus

minusminus

minus9007

71minus

minusν b

026plusmn

minusminus

00minus

minusν r

03plusmn

minusminus

68minus

minusEb[GPa]

315plusmn

minusminus

62minus

minusEr[GPa]

210plusmn

minusminus

12minus

ρb[kgm

90plusmn

minusminus

9minus

minusuO

4[microm

minusminus

minus1

4[microm

]minus

0minus

minusminus

minus1

34minus

3minus

2minus

4[microm

]minus

0minus

minusminus

minus407

minus420

minus428

Autres

minusminus

minus809

Erreur

[microm

1 310 13 8 79 0 56 5 9 54 minus20 2 0 575 3 200

-1500 -1000 -500 0 500 1000-50

u [microm]

pitre4

111 Marteau de choc

112 Pot vibrant

Foy = kiIy (41)

Broche

Bobinage

plantout

in out

Scope3

Scope2

Scope1

chargement

Ground1

Ground

Demux3

Demux2

Demux1

Demux-1

mfx3 fx3

O O OO OOc Oc

Centre du

roulement

plan de coupe de

la bille

δ ycosΨ

= δoKo

(δiKi

Qo =(δoKo

Fy = Zsumz

Qi cosψ (45)

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

Fy [N]

δy [microm]

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0 1 2 3 4 5 6 7 8-200

200F [N]

0 1 2 3 4 5 6 7 8-4

[microm]

40001600022000

0 1 2 3 4 5 6 7 8-4

doy [microm]

4000800012000160002000024000

-150 -100 -50 0 50 100 150

[microm]

4000800012000160002000024000

∣∣∣∣∣Foy=0

4 8 12 16 20 240

N [103 trmin]

[Nmicrom]

phase 1phase 2

0 100 200 300 400 500 600 700 8000

[microm]

06 00012 00018 00024 000

N [trmin] 0 6 000 12 000 18 000 24 000

Koy [Nmicrom] 142 138 110 840 735

KoyKoy(N = 0) [] 0 971 771 590 509

0 4 8 12 16 20 240

N [103 trmin]

[Nmicrom]

K1 = 106

27 0 0 0 0 086 0 0 0 minus1 44

86 0 144 0sym 1710minus4 0

1710minus4

-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 4000995

Fy [N]

x0 [N]

24 000 trmin0 trmin

θzlt 0

δygt 0

θz = 0

δygt 0

θzgt 0

δygt 0

Fygt 0

Mzlt 0

Fygt 0

Mzlt 0

Fygt 0

0 100 200 300 400 500 600-5

Fy [N]

δy [microm]

θz = 0

M z = 0

Mz = -769Nm

θz = 0104deg

Fy [N]

δy [microm]

θz = -000134deg

θz = -000177deg

Mz = -8425Nm

Mz = -8433Nm

θ z = 0

Mz = -769Nm

θz = 0deg

δy(Fy θz = 0 Fx = 1000) = 1338106Fy (48)

136Nrarr larr515N

230Nrarr

larr23N

927Nrarr larr825N

222Nrarr

larr0N z

0 05 1 15 20

δy [microm]

e deacute

200 N400 N600 N800 N1000 N

Remarque

208Nrarr larr121N

254Nrarr

larr133N z

36 Conclusion

F (t) = sin[2πt

(fmax minus fmin

2T t+ fmin

)](49)

0 2 4 6 8 10-1

0 2 4 6 8 10

(a) Profil temporel

0 10 20 30 40 5010

f [Hz]

412 Post-traitement

600 800 1000 1200 1400 1600 1800

f [Hz]

(f)| [microm]

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

f [Hz]

| [micromN]

4000800012000160002000024000sonnage

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 400010

f [Hz]

| [micromN]

4000800012000160002000024000sonnage

421 Avant propos

0 5 10 15 20 25900

N [103 trmin]

1093Hz

1099Hz

1503Hz

1522Hz

1096Hz

1512Hz

0 5 10 15 20 25400

N [103 trmin]

6957Hz

6978Hz8649Hz

8874Hz

1096Hz

1512Hz

0 5 10 15 20 250

N [103 trmin]

0 5 10 15 20 250

N [103 trmin]

Perspectives

Annexes

11 Fischer MFW 2310

Corps de broche

David NOEumlL A-1

12 Fischer MFW 2320

Corps de broche

a b c d

Oslash110

Corps de broche

13 Fischer MFW 1709

Corps de broche

A-2 David NOEumlL

Annexes

David NOEumlL A-3

A-4 David NOEumlL

Bibliographie

Citeacute page 120

Citeacute page 23

David NOEumlL A-5

Bibliographie

A-6 David NOEumlL

Bibliographie

David NOEumlL A-7

Bibliographie

Citeacute page 121

A-8 David NOEumlL

Bibliographie

Citeacute page 71

Citeacute page 12

David NOEumlL A-9

Bibliographie

Citeacute page 22

A-10 David NOEumlL

Table des figures

Liste des tableaux

Nomenclature

Contexte industriel

Fraisage UGV









Conclusion




Expansion radiale
























Synthegravese





















Comportement local

Conclusion





Perspectives

Annexes


Fischer MFW 2310

Fischer MFW 2320

Fischer MFW 1709



Bibliographie

Nomenclature xix

4 Conclusion 27

David NOEumlL vii

viii David NOEumlL

Perspectives 163

Bibliographie A-5

David NOEumlL ix

x David NOEumlL

Table des figures

David NOEumlL xi

Table des figures

xii David NOEumlL

Table des figures

David NOEumlL xiii

Table des figures

Fischer MFW1709 114

xiv David NOEumlL

Table des figures

David NOEumlL xv

Table des figures

xvi David NOEumlL

Liste des tableaux

MFW2320 58

radiales 137

David NOEumlL xvii

Liste des tableaux

xviii David NOEumlL

Nomenclature

Majuscules

Minuscules

David NOEumlL xix

Nomenclature

Lettres grecques

de la billeγ = Ddm

xx David NOEumlL

Nomenclature

normale au contact

Indices

Accronymes

David NOEumlL xxi

Nomenclature

xxii David NOEumlL

David NOEumlL 1164

2164 David NOEumlL

David NOEumlL 3164

4164 David NOEumlL

pitre1

4 Conclusion 27

David NOEumlL 5164

11 Fraisage UGV

6164 David NOEumlL

David NOEumlL 7164

8164 David NOEumlL

1Outilserreacute

2Outildesserreacute

stegravem

serragepo

urlrsquoa

ttachementHSK

ositifd

esouffl

agecocircne

lements

agravebilleshy

brides

intchican

Ressortsde

preacutecha

palieravan

tempeacute

rature

desroulem

9Moteurasyn

chrone

10Circ

ementliq

11Collerettede

fixationsurla

machine

illeagravebilles

tempeacute

rature

dumoteur

14Ressortsde

preacutecha

palierarriegrave

16Circ

lubrificatio

ndesroulem

deserragedrsquoou

ositifh

ydraulique

dedesserrage

drsquoou

Jointtourna

urarrosage

centre

delrsquoo

David NOEumlL 9164

10164 David NOEumlL

123 Lubrification

David NOEumlL 11164

12164 David NOEumlL

125 Motorisation

David NOEumlL 13164

14164 David NOEumlL

φ=180degφ=90deg

copeau

φ=0degpiegravece

Vc Vc Vc

David NOEumlL 15164

y(t-T)

y(t) f(ty(t))

+- Kap Φ(p)

H(p) Y(p)H0(p) F(p)

16164 David NOEumlL

0 5 10 15 200

stable

instable instable

k=0k=1

Na0Na1Na2

N (103 trmin)

ap (mm)

Nak = 60f0

Z(k + 1) (11)

David NOEumlL 17164

18164 David NOEumlL

Lobes dynamiques

|Φ(iω)|

David NOEumlL 19164

Modegravele discret

Mq + Cq + Kq = f(t) (12)

20164 David NOEumlL

David NOEumlL 21164

22164 David NOEumlL

David NOEumlL 23164

321 Objectif

Chargement global

f=(Fx Fy Fz My Mz )

Efforts locaux

δi δo

Hypothegravese

sur la

reacutepartition

drsquoeffort

Hypothegravese de

deacuteplacement

de solide

rigide

Extraction du

mouvement

de corps

rigide

RdC globale

RdC locale

deacuteplacements

δ=KQ23

24164 David NOEumlL

cos αtQi

Bcos αtQmax

David NOEumlL 25164

26164 David NOEumlL

David NOEumlL 27164

4 Conclusion

28164 David NOEumlL

pitre2

David NOEumlL 29164

30164 David NOEumlL

0 05 1 15 2 25 3 35 4-70

u [microm]u

p2 [microm]

u [microm]u

p2 [microm]

David NOEumlL 31164

32164 David NOEumlL

vitessetherm

David NOEumlL 33164

34164 David NOEumlL

Atilde

Centre du roulement

regiri

sans chargement

avec chargement

David NOEumlL 35164

(fo - 0

+ plusmn

A1 = BD sin[arccos

(cosα + ∆u0

X21 +X2

36164 David NOEumlL

cosαo = X2

sinαo = X1

cosαi = A2 minusX2

sinαi = A1 minusX1

David NOEumlL 37164

δ = KQ23 (28)

minusλoMg

D(A2 minusX2)

(fi minus 0 5)D + δi= 0 (29a)

D(A1 minusX1)

(fi minus 0 5)D + δi+ Fc = 0 (29b)

38164 David NOEumlL

Fx =sumz

Qi sinαi + λiMg

Dcosαi (210a)

Fy =sumz

Dsinαi

)cosψ (210b)

Fz =sumz

Dsinαi

)sinψ (210c)

My =sumz

Dcosαi

)minus λifiMg

]sinψ (210d)

Mz =sumz

[minuslti

(Qi sinαi + λi

Dcosαi

)+ λifiMg

]cosψ (210e)

Fxo = minussumz

Qo sinαo + λoMg

Dcosαo (211a)

Fyo =sumz

Dsinαo

)cosψ (211b)

Fzo =sumz

Dsinαo

)sinψ (211c)

Myo =sumz

[minuslto

(Qo sinαo + λo

Dcosαo

)minus λofoMg

]sinψ (211d)

Mzo =sumz

Dcosαo

)+ λofoMg

]cosψ (211e)

David NOEumlL 39164

Fc = 1

2mdmω2(ωmω

)2(212a)

Mg = Jω2(ωmω

)(ωRω

)sin β (212b)

m = ρb

6 (213a)

J = ρbπD5

60 (213b)

40164 David NOEumlL

)minus1

(214a)

= minus1γ cos β

1minus γ cosαi

)minus1

(214b)

David NOEumlL 41164

ωRhyb

ωspino

ωrolli

ωrollo

βorcβirc

ωRorc

ωRirc

ωspini

42164 David NOEumlL

tan βsinαi

cosαo + γ

0 6 12 18 24 300

N [103 trmin]

Fx [N]

Inner-race control

Outer-race control

larr Birc

=372106 ω2 - 225103ω +423

=378106 ω2 - 209103ω +394 rarr

David NOEumlL 43164

C = QiaiLiQoaoLo

β = αi + αo2 (216)

ωrolli

ωrollo

44164 David NOEumlL

ωspinωroll

=(ωspinωroll

= tan(αi minus αo

) [1 + γ sin

(αi + αo

(αi minus αo

)](217)

λi 1 0 2 2C(1 + C)λo 1 2 0 2(1 + C)

David NOEumlL 45164

46164 David NOEumlL

rrirsi

inner ring

r+ Cωr

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 22032

z (mm)

David NOEumlL 47164

48164 David NOEumlL

)2lt ((fi minus 05)D)2 (219)

David NOEumlL 49164

somme des

dn+1 = dn - K-1( fn - f )

||gttol

||lttol

= fn - f

minusrarr

den+1 = de

n minus fe) (222)

50164 David NOEumlL

David NOEumlL 51164

Kij = partf i

partdj=sumz

(partf i

partvkd

partvkdpartdj

)+ partf i

partA1

partdj+ partf i

partA2

partdj

](225)

partFcpartdj

= partFcpartX1

partX1

partδi

partδipartdj

+ partFcpartA1

partA1

partA2

partdj(226)

52164 David NOEumlL

B1414 minus1 B36

partFc

partX1partFc

partX2partFc

partδo

partFc

partδiminus1 0

partMg

partX1

partMg

partX2

partMg

partδo

partMg

partδi0 minus1

partX1partdj

partX2partdj

partδo

partdj

partδi

partdj

partFc

partdj

partMg

partdj

= sj (227)

B36 = 1D

(λoX1

B46 = 1D

(minusλoX2

) (228)

partA1

partA2

partdj(229)

David NOEumlL 53164

B64 = partMg

[γ(ωmω

)(ωRω

1minus γ cosαi

+(ωRω

)((1 + γ cosαo)

+(ωmω

54164 David NOEumlL

331 Temps de calcul

Coucirct 100 601 105 634 573

David NOEumlL 55164

∆K11 = 100∣∣∣∣∣∣K

(1)11 minusK

K(3)11

∣∣∣∣∣∣ (230)

0 6 12 18 24 300

N [103 trmin]

∆K11

50012002000

Fx [N]

56164 David NOEumlL

David NOEumlL 57164

58164 David NOEumlL

Angles de contact

David NOEumlL 59164

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

0600012000180002400030000

N [trmin]

)2minus ((fi minus 05)D)2 = 0 (231)

60164 David NOEumlL

0 6 12 18 24 30-100

N [103 trmin]

δx [microm]

David NOEumlL 61164

0 5 10 15 20 25 30

N [103 trmin]

500 500

62164 David NOEumlL

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 300

Fx [kN]

δx [microm]

StatiqueDynamique F

Dynamique Mg

Dynamique Fc

David NOEumlL 63164

0 5 10 15 20 25 300

N [103 trmin]

[Nmicrom]

50 250500

2500 3000

60006000

0 5 10 15 20 25 300

N [103 trmin]

[Nmicrom]

50 250500

2500 3000

64164 David NOEumlL

0 6 12 18 24 3020

N [103 trmin]

[Nmicrom]

David NOEumlL 65164

0 6 12 18 24 3010

N [103 trmin]

β [deg]

0 6 12 18 24 30-016

N [103 trmin]

Mg [Nm]

66164 David NOEumlL

David NOEumlL 67164

68164 David NOEumlL

pitre3

David NOEumlL 69164

70164 David NOEumlL

Corps de broche

David NOEumlL 71164

Avec effort

plusmnx30gt0

Fx1 Fx3Fx2

72164 David NOEumlL

David NOEumlL 73164

74164 David NOEumlL

-15 -10 -5 0 5 10 15-1000

u [microm]

1 agrave 0 trmin

3 agrave 0 trmin

David NOEumlL 75164

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-15

F [kN]

u [microm]

76164 David NOEumlL

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 100

16P24 u [microm]

F1 agrave 0 trmin

3 agrave 0 trmin

u [microm]

Kxx2+Kp1+

Kxx3 Kp2Kxx3+Kp2

Kxx2 +Kp1+ Kxx3Kp2

Kxx3 +Kp2(36)

David NOEumlL 77164

Synthegravese

78164 David NOEumlL

dynamomeacutetrique

Rondelles

eacutelastiques

Roulement agrave

gorge profonde

Rotor de la

broche

David NOEumlL 79164

Poids propre

Post-traitement

80164 David NOEumlL

Essais agrave vide

0 4 8 12 16 20 24-90

N [103 trmin]

Essais en charge

David NOEumlL 81164

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

Kxx2+Kp1+ Kxx3 Kp2

Kxx3+Kp2

82164 David NOEumlL

David NOEumlL 83164

ε = 1i+ j

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

Ecart ε

Deacutefinition

84164 David NOEumlL

ε(p1 p2 ) =sumi

∆pi(38)

partε

partpi

∣∣∣∣∣pnom

= κi∆pi

κi = 1ζ

)∣∣∣∣pnom

Plages de variation

David NOEumlL 85164

Portion

86164 David NOEumlL

925 150 120 508 28

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

David NOEumlL 87164

88164 David NOEumlL

minus Iminus1n

up1 = up1l

David NOEumlL 89164

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 100

u [microm]

F1 at 0 trmin

3 at 0 trmin

F1 at 16 000 trmin

3 at 16 000 trmin

F1 at 24 000 trmin

3 at 24 000 trmin

u [microm]

90164 David NOEumlL

842 319 122 0100 280 minus429

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

David NOEumlL 91164

221 Strateacutegie

∆uN = ∆u0 + dω2 (314)

92164 David NOEumlL

BD(315)

David NOEumlL 93164

852 263 131 0100 519 122 820

94164 David NOEumlL

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

David NOEumlL 95164

Ofa O1 O2 O3

96164 David NOEumlL

0 5 10 15 20 25-35

N [103 trmin]

ux [microm]

David NOEumlL 97164

uOfa= a ω2

uO2 = b ω2

uO3 = c ω2

(uOfa24 uO224 uO324

)en mi-

98164 David NOEumlL

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

David NOEumlL 99164

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

Kox0 = partF

∣∣∣∣∣F=0

0 4 8 12 16 20 240

N [103 trmin]

[Nmicrom]

Equilibre arbre +

(up1 fixeacute)

ε3 = P1 - F2

- Kp1 up10

ε3lt-Ff

ε3gtFf

-Ff le ε3 le Ff

up1 = up10

Ff up10

heacute

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 100

u [microm]

3 pour F

max= 2500 N

3 pour F

max= 2000 N

3 pour F

max= 1500 N

3 pour F

max= 1000 N

u [microm]

= 2500 N

= 2000 N

= 1500 N

= 1000 N

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 100

u [microm]

F1 agrave 0 trmin

3 agrave 0 trmin

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000-60

u [microm]

-1200 -1000 -800 -600 -400 -200 0-10

u [microm]

max= 2500 N

= 2000 N

= 1500 N

= 1000 N

2 ∆F

-1200 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 100050

∆ F [N]

25 Synthegravese

Frottement

desanalyses

deseacutetap

essuccessiv

recalageε

quantifi

entreexpeacute

rimentalets

imulation

ase1(partie

Phase2

Phase3

Phase4

Phase5(partie

Phase6

Paramegravetres

κ[microm

]Recaleacute

Recaleacute

κ[microm

]Recaleacute

Recaleacute

Kp1[Nmicrom

20Kp2[Nmicrom

Preacutecharges

up1l[microm

]minus

minusminus

minus519

minus550

minus546

minus522

α0[deg

minusminus

0[microm

]minus

minusminus

minus156

24minus

0[microm

10minus

minusminus

minus8

56plusmn

99minus

minusminus

minus0

minusminus

54plusmn

07minus

minusminus

minus0

4plusmn

minusminus

75plusmn

88minus

minusminus

minus9007

71minus

minusν b

026plusmn

minusminus

00minus

minusν r

03plusmn

minusminus

68minus

minusEb[GPa]

315plusmn

minusminus

62minus

minusEr[GPa]

210plusmn

minusminus

12minus

ρb[kgm

90plusmn

minusminus

9minus

minusuO

4[microm

minusminus

minus1

4[microm

]minus

0minus

minusminus

minus1

34minus

3minus

2minus

4[microm

]minus

0minus

minusminus

minus407

minus420

minus428

Autres

minusminus

minus809

Erreur

[microm

1 310 13 8 79 0 56 5 9 54 minus20 2 0 575 3 200

-1500 -1000 -500 0 500 1000-50

u [microm]

pitre4

111 Marteau de choc

112 Pot vibrant

Foy = kiIy (41)

Broche

Bobinage

plantout

in out

Scope3

Scope2

Scope1

chargement

Ground1

Ground

Demux3

Demux2

Demux1

Demux-1

mfx3 fx3

O O OO OOc Oc

Centre du

roulement

plan de coupe de

la bille

δ ycosΨ

= δoKo

(δiKi

Qo =(δoKo

Fy = Zsumz

Qi cosψ (45)

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

Fy [N]

δy [microm]

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0 1 2 3 4 5 6 7 8-200

200F [N]

0 1 2 3 4 5 6 7 8-4

[microm]

40001600022000

0 1 2 3 4 5 6 7 8-4

doy [microm]

4000800012000160002000024000

-150 -100 -50 0 50 100 150

[microm]

4000800012000160002000024000

∣∣∣∣∣Foy=0

4 8 12 16 20 240

N [103 trmin]

[Nmicrom]

phase 1phase 2

0 100 200 300 400 500 600 700 8000

[microm]

06 00012 00018 00024 000

N [trmin] 0 6 000 12 000 18 000 24 000

Koy [Nmicrom] 142 138 110 840 735

KoyKoy(N = 0) [] 0 971 771 590 509

0 4 8 12 16 20 240

N [103 trmin]

[Nmicrom]

K1 = 106

27 0 0 0 0 086 0 0 0 minus1 44

86 0 144 0sym 1710minus4 0

1710minus4

-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 4000995

Fy [N]

x0 [N]

24 000 trmin0 trmin

θzlt 0

δygt 0

θz = 0

δygt 0

θzgt 0

δygt 0

Fygt 0

Mzlt 0

Fygt 0

Mzlt 0

Fygt 0

0 100 200 300 400 500 600-5

Fy [N]

δy [microm]

θz = 0

M z = 0

Mz = -769Nm

θz = 0104deg

Fy [N]

δy [microm]

θz = -000134deg

θz = -000177deg

Mz = -8425Nm

Mz = -8433Nm

θ z = 0

Mz = -769Nm

θz = 0deg

δy(Fy θz = 0 Fx = 1000) = 1338106Fy (48)

136Nrarr larr515N

230Nrarr

larr23N

927Nrarr larr825N

222Nrarr

larr0N z

0 05 1 15 20

δy [microm]

e deacute

200 N400 N600 N800 N1000 N

Remarque

208Nrarr larr121N

254Nrarr

larr133N z

36 Conclusion

F (t) = sin[2πt

(fmax minus fmin

2T t+ fmin

)](49)

0 2 4 6 8 10-1

0 2 4 6 8 10

(a) Profil temporel

0 10 20 30 40 5010

f [Hz]

412 Post-traitement

600 800 1000 1200 1400 1600 1800

f [Hz]

(f)| [microm]

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

f [Hz]

| [micromN]

4000800012000160002000024000sonnage

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 400010

f [Hz]

| [micromN]

4000800012000160002000024000sonnage

421 Avant propos

0 5 10 15 20 25900

N [103 trmin]

1093Hz

1099Hz

1503Hz

1522Hz

1096Hz

1512Hz

0 5 10 15 20 25400

N [103 trmin]

6957Hz

6978Hz8649Hz

8874Hz

1096Hz

1512Hz

0 5 10 15 20 250

N [103 trmin]

0 5 10 15 20 250

N [103 trmin]

Perspectives

Annexes

11 Fischer MFW 2310

Corps de broche

David NOEumlL A-1

12 Fischer MFW 2320

Corps de broche

a b c d

Oslash110

Corps de broche

13 Fischer MFW 1709

Corps de broche

A-2 David NOEumlL

Annexes

David NOEumlL A-3

A-4 David NOEumlL

Bibliographie

Citeacute page 120

Citeacute page 23

David NOEumlL A-5

Bibliographie

A-6 David NOEumlL

Bibliographie

David NOEumlL A-7

Bibliographie

Citeacute page 121

A-8 David NOEumlL

Bibliographie

Citeacute page 71

Citeacute page 12

David NOEumlL A-9

Bibliographie

Citeacute page 22

A-10 David NOEumlL

Table des figures

Liste des tableaux

Nomenclature

Contexte industriel

Fraisage UGV









Conclusion




Expansion radiale
























Synthegravese





















Comportement local

Conclusion





Perspectives

Annexes


Fischer MFW 2310

Fischer MFW 2320

Fischer MFW 1709



Bibliographie

Documents

Modélisation et Identification du Comportement Dynamique