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MODÉLISATION PAR ÉLÉMENTS FINIS DE L’USINAGE DES PIÉCES EN ALLIAGES
D’ALUMINIUM AA 7175-T74
Mémoire
OUSSAMA MECHRI
Maîtrise en génie mécanique Maître ès sciences (M.Sc.)
Québec, Canada
© Oussama Mechri, 2016
MODÉLISATION PAR ÉLÉMENTS FINIS DE L’USINAGE DES PIÉCES EN ALLIAGES
D’ALUMINIUM AA 7175-T74
Mémoire
Oussama Mechri
Sous la direction de :
Augustin Gakwaya, directeur de recherche
iii
Résumé
Ce mémoire introduit une approche globale de modélisation de l’usinage des alliages
d’aluminium à haute résistance (grade aéronautique). Un modèle Éléments Finis 2D de
coupe orthogonale d’un alliage d’aluminium en formulation Lagrangienne permettant
la formation d’un copeau, le calcul des efforts de coupe ainsi que la prédiction de la
surface générée est présenté. Ce modèle a été obtenue en utilisant le logiciel
commercial, ABAQUS / Explicit V6.13. La loi de comportement de Johnson-Cook
(JC) avec endommagement a été utilisée pour décrire le comportement du matériau de
la pièce à usiner. L’équation d’endommagement de JC a été utilisée pour tenir compte
de la localisation de cisaillement lors de la formation du copeau segmenté. Les
coefficients de la loi de comportement de JC sont identifiés par des tests mécaniques
et des essais d'usinage spécifiques. Le modèle de frottement de Coulomb-Orowan a été
utilisé pour caractériser les effets collant/glissant au niveau de l'interface outil-copeau,
le coefficient de frottement et les flux de cisaillement ont été déterminés par des essais
d'étalonnage et d’usinage, respectivement. Une étude de sensibilité a montré une
précision raisonnable dans la géométrie du copeau et dans les efforts de coupe prédites
en utilisant les propriétés des matériaux déterminées expérimentalement et le modèle
de friction proposé.
Mots-clés : usinage, alliages d’aluminium, élément Finis, formulation Lagrangienne,
coupe orthogonale, loi de comportement de Johnson-Cook (JC), loi d’endommagement
de JC, modèle de frottement de Coulomb-Orowan, copeau segmenté, efforts de coupe.
iv
Abstract
This study introduces a global solution for modelling machining process of high-
strength aluminium alloy (aeronautical grade). A 2D finite element model, based on a
Lagrangian approach, for orthogonal cutting of an aluminum alloy allowing the
formation of a chip, the calculation of the cutting forces as well as generated surface is
presented. The solution was achieved using a commercial software package,
ABAQUS/Explicit V6.13. The Johnson-Cook (JC) equation with damage evolution is
used to describe the workpiece material behavior. The JC damage equation was used
to take into account for the shear localization during the segmented chip formation.
The JC coefficients are identified by material tests and machining data. The JC
coefficients are identified by material tests and machining data. Coulomb-Orowan
friction model has been used to characterize the sliding/sticking effects on the tool-chip
interface with the friction coefficient and shear flow stress determined by force
calibration and machining data, respectively. A sensitivity analysis has shown a
reasonable accuracy for predicted chip geometry and cutting forces using the
experimentally determined material properties and the proposed friction model.
Keywords: machining, aluminum alloy, finit element, Lagrangian approach, orthogonal
cutting, Johnson-Cook (JC) equation, JC damage equation, Coulomb-Orowan friction
model, segmented chip, cutting forces.
v
Table des matières
Résumé .................................................................................................................................... iii
Abstract ................................................................................................................................... iv
Table des matières ................................................................................................................... v
Liste des tableaux ................................................................................................................. viii
Liste des figures ...................................................................................................................... ix
Remerciements ...................................................................................................................... xii
INTRODUCTION GENERALE ........................................................................................... 1
CHAPITRE 1 : REVUE BIBLIOGRAPHIQUE ................................................................. 4
1.1. Introduction ................................................................................................................. 5
1.2. Généralités sur l’usinage ............................................................................................ 5
1.2.1. Principaux procédés d’usinage et outils de coupe .............................................. 6 1.2.1.1. Procédé de fraisage ........................................................................................... 6 1.2.1.2. Procédé de tournage .......................................................................................... 7 1.2.1.3. Procédé de perçage ............................................................................................ 8
1.2.2. La coupe orthogonale .......................................................................................... 9
1.3. Mécanismes de formation du copeau ...................................................................... 10
1.3.1. Morphologie du copeau ..................................................................................... 11
1.4. Alliages d’aluminium de la série 7000 ..................................................................... 13
1.4.1. Propriétés d’usinage des alliages d’aluminium ................................................ 13 1.4.1.1. Usinabilité des alliages d’aluminium .............................................................. 14
1.5. Modélisation de la coupe en usinage ....................................................................... 16
1.5.1. Modélisation analytique ..................................................................................... 17 1.5.1.1. Modèle mécanique .......................................................................................... 17 1.5.1.2. Modèle thermomécanique ............................................................................... 17
1.5.2. Simulation numérique de l’usinage .................................................................. 18 1.5.2.1. Modélisation de la coupe par la méthode des éléments finis .......................... 18 1.5.2.2. Modélisation de la coupe par les méthodes sans maillage .............................. 22
1.6. Conclusion ................................................................................................................. 24
CHAPITRE 2 : FORMULATION DU PROBLÈME DE COUPLAGE THERMOMÉCANIQUE ..................................................................................................... 25
2.1. Introduction ............................................................................................................... 26
2.2. Formulation variationnelle du problème thermomécanique ................................ 26
2.2.1. Problème mécanique .......................................................................................... 26
2.2.2. Problème thermique ........................................................................................... 27
2.3. Résolution du système thermomécanique par la méthode de Newton-Raphson . 30
2.4. Discrétisation spatiale par la MEF .......................................................................... 30
vi
2.4.1. Problème mécanique .......................................................................................... 30
2.4.2. Problème thermique ........................................................................................... 33
2.4.3. Méthode de résolution en dynamique explicite (DE) ........................................ 34 2.4.3.1. Problème mécanique ....................................................................................... 34 2.4.3.2. Problème thermique ........................................................................................ 37
2.5. Algorithme de résolution thermomécanique suivant le schéma explicite ............ 39
2.6. Conclusion .................................................................................................................. 39
CHAPITRE 3 : MODÉLISATION EF DE LA COUPE ORTHOGONALE DES ALLIAGES D’ALUMINIUM .............................................................................................. 42
3.1. Introduction ............................................................................................................... 43
3.2. Modèle EF de coupe orthogonale ............................................................................. 43
3.2.1. Description du modèle ........................................................................................ 43
3.2.2. Géométrie du modèle 2D .................................................................................... 44
3.2.3. Lois de comportement ........................................................................................ 44 3.2.3.1. Loi de comportement de l’outil de coupe ........................................................ 44 3.2.3.2. Loi de comportement du matériau de la pièce ................................................ 45
3.2.4. Modélisation du frottement à l’interface outil/copeau ...................................... 50 3.2.4.1. Aspect mécanique du contact outil-copeau ..................................................... 50 3.2.4.2. Aspect thermique du contact outil-pièce (Transfert de chaleur) ..................... 52
3.2.5. Maillage EF et conditions aux limites ............................................................... 53
3.3. Calibration du modèle .............................................................................................. 55
3.3.1. Résultats de la calibration du modèle EF .......................................................... 56
3.3.2. Calibration du mode Hourglass ......................................................................... 58
3.3.3. Calibration du coefficient de frottement μ ........................................................ 62
3.4. Application à l’AA 7175-T74 .................................................................................... 66
3.4.1. L’alliage d’aluminium 7175-T74 ....................................................................... 66
3.4.2. Dispositif expérimental utilisé ............................................................................ 67 3.4.2.1. Description de l’outil et de la pièce à usiner ................................................... 68 3.4.2.2. Instrumentation de l’essai d’usinage d’un disque ........................................... 69 3.4.2.3. Résultats des essais expérimentaux effectués ................................................. 71
3.4.3. Modifications nécessaires au niveau du modèle EF ......................................... 72 3.4.3.1. Modifications géométriques ............................................................................ 72 3.4.3.2. Modifications physiques ................................................................................. 73
3.4.4. Validation EF ..................................................................................................... 74
3.5. Conclusion .................................................................................................................. 77
CHAPITRE 4 : DIFFICULTÉS RENCONTRÉES, CONCLUSION ET PERSPECTIVES ................................................................................................................... 79
4.1. Difficultés rencontrées et alternatives ..................................................................... 80
4.2. Conclusion et perspectives ........................................................................................ 80
vii
Annexe 1 : ABAQUS ............................................................................................................. 84
1- Les logiciels de simulations par éléments finis ....................................................... 84
2- Présentation générale d’ABAQUS .......................................................................... 84
Annexe 2 : Lois de comportements utilisées en simulation numérique de l’usinage ...... 86
1- Modèle de comportement de Johnson-Cook........................................................... 86
2- Modèle de comportement de Zerrili-Armstrong .................................................... 86
3- Modèle de comportement de Marusich et Ortiz ..................................................... 87
Annexe 3 : Lois surfaciques et constitutives de contact et définition des conditions limites (extrait notes de cours GMC7011, section 5.6 par A. Gakwaya) .......................... 88
Annexe 4 : Modèle de frottement ......................................................................................... 93
Références bibliographiques ................................................................................................ 95
viii
Liste des tableaux
Tableau 3.1 : Paramètres thermomécaniques de l'interface outil-pièce.[2] [35] [44] ............ 53 Tableau 3.2 : Propriétés physiques du matériau de la pièce et de l’outil. [46-47-48] ............ 55 Tableau 3.3 : Coefficients de l’équation constitutive de JC pour l’alliage 7075-T651. [49] . 56 Tableau 3.4 : Paramètres endommagement de JC pour l’alliage 7075-T651. [49-50] .......... 56 Tableau 3.5 : Conditions de coupe retenues pour la calibration. [35] .................................... 56 Tableau 3.6 : Caractéristiques physiques et mécaniques de l'AA7175-T74. [53] ................. 66 Tableau 3.7 : Liste des essais effectués et des conditions de coupes associées. .................... 70 Tableau 3.8 : Épaisseurs des copeaux mesurées pour les essais effectués. ............................ 72 Tableau 3.9 : Propriétés thermomécaniques de l’AA 7175-T74. [53-54-56] ........................ 73 Tableau 3.10 : Paramètres de la loi de Johnson-Cook pour l'AA 7175-T74. ......................... 73 Tableau 3.11 : Paramètres thermomécaniques de l'interface outil-pièce (WC-CO K68/AA7175-T74). ................................................................................................................. 74
ix
Liste des figures
Figure 1.1. Illustration de quelques opérations de fraisage ; a) fraisage en bout, b) et c) surfaçage. [11] .......................................................................................................................... 6 Figure 1.2. Exemples d’outils de coupe utilisés en fraisage. [12] ............................................. 7 Figure 1.3. Illustration du procédé de tournage. [13] .............................................................. 7 Figure 1.4. (a) Outil de coupe en tournage et (b) ses principaux éléments constitutifs. [14] .. 8 Figure 1.5. Exemples de foret. [16]........................................................................................... 8 Figure 1.6. Illustration du procédé Perçage. [15] ..................................................................... 9 Figure 1.7. Configuration et paramétrage de la coupe orthogonale. [17] ............................... 9 Figure 1.8. Les principales zones du cisaillement. .................................................................. 10 Figure 1.9. Classification des copeaux : (a) continu, (b) segmenté, (c) discontinu, (d) fragmenté. [19] ....................................................................................................................... 12 Figure 1.10. Classifications des copeaux selon la norme ISO 3685‐1977. [19] ...................... 13 Figure 1.11. Illustration du maillage Eulérien à deux instants successifs (t0, t). [25] ............. 19 Figure 1.12. Modélisation EF de la coupe orthogonale en formulation Eulérienne : a) modèle géométrique, b) maillage. [26] ............................................................................................... 19 Figure 1.13. Illustration du maillage Lagrangien à deux instants successifs (t0, t). [25] ........ 20 Figure 1.14. Exemple de simulation EF en formulation lagrangienne de la coupe orthogonale 2D de l’alliage d’aluminium AA 2024‐T351 (coupeau segmenté) sous ABAQUS V6.6.1. [27] 20 Figure 1.15. Illustration du maillage ALE à deux instants successifs (t0, t). [25] .................... 21 Figure 1.16. Modélisation EF de la coupe orthogonale en formulation Arbitraire Lagrangienne Eulérienne (ALE). [28] ....................................................................................... 21 Figure 1.17. Exemple de simulation EF en formulation ALE de la coupe orthogonale 2D de l’acier AISI 4340 (coupeau continu) sous ABAQUS V6.11. [29] ............................................... 22 Figure 1.18. Fonction d'interpolation et sphère d'influence. [30] ......................................... 23 Figure 1.19. Exemple de simulation SPH de la coupe orthogonale 2D de l’alliage d’aluminium AA 6061‐T6 sous LS‐DYNA. [8] ................................................................................................ 23 Figure 2.1. Pose du problème mécanique. [32] ...................................................................... 26 Figure 2.2. Pose du problème thermique. [32] ...................................................................... 28 Figure 2.3. Discrétisation spatiale 2D en éléments quadrangles à 4 nœuds. [33] ................. 31 Figure 2.4. Algorithme de résolution du problème mécanique par un schéma d’intégration explicite. .................................................................................................................................. 37 Figure 2.5. Algorithme de résolution du problème thermique par un schéma d’intégration explicite. .................................................................................................................................. 38 Figure 2.6. Algorithme de résolution thermomécanique par un schéma d’intégration explicite. [32] .......................................................................................................................... 39 Figure 3.1. Géométrie du modèle de coupe orthogonale. ..................................................... 44 Figure 3.2. Schématisation des modes de rupture en configuration de coupe orthogonale. [2] ............................................................................................................................................ 49 Figure 3.3. Contact de l'interface outil‐pièce. ........................................................................ 50 Figure 3.4. Maillage et conditions aux limites du modèle EF. ................................................ 54 Figure 3.5. Partitionnement de la pièce. ................................................................................ 54 Figure 3.6. Distribution des contraintes équivalentes de Von Mises dans le cas de l’usinage de l’alliage 7075‐T651 à V=1144 m/min et f=0.15mm/tr. ...................................................... 57 Figure 3.7. Distribution de la température au cours de l’opération de coupe. ...................... 57 Figure 3.8. Signaux des efforts de coupe : a) Effort de coupe et b) Effort d’avance. ............. 58
x
Figure 3.9. Modes de déplacement de l'élément quadrilatère de premier ordre (CPE4RT). [16] .......................................................................................................................................... 59 Figure 3.10. Comparaison entre la morphologie du copeau expérimental et numérique pour différents modes de traitement d’Hourglass : a) Par défaut, b) Stiffness, c) RelaxStiffness, d) Expérimental. .......................................................................................................................... 60 Figure 3.11. Influence de la méthode de traitement d’Hourglass sur : a) L’effort de coupe, b) L’effort d’avance. ................................................................................................................ 61 Figure 3.12. Comparaison entre la morphologie expérimentale et numérique des copeaux obtenus pour différentes valeurs du coefficient de frottement : a) µ=0.1, b) µ=0.22, c) µ=0.5 et d) expérimental. .................................................................................................................. 63 Figure 3.13. Histogramme de comparaison entre les épaisseurs des copeaux expérimentaux et numériques pour trois valeurs différentes du coefficient de friction. ............................... 64 Figure 3.14. Comparaison simulation Vs expérience de : a) L’effort de coupe, b) L’effort d’avance, pour différentes valeurs du coefficient de frottement. ......................................... 64 Figure 3.15. Schéma de l'état du traitement thermique de l'AA 7175. .................................. 67 Figure 3.16. Configurations de coupe orthogonale: a) tournage d'un tube (avance axiale de l’outil), b) tournage d'un disque (avance de l’outil radial). [54] ............................................. 68 Figure 3.17. Description du set‐up et des différentes dimensions de la pièce à usiner. ........ 69 Figure 3.18. Description du montage de la table Kistler (Dynamométre) pour la mesure des efforts de coupe lors des essais. ............................................................................................. 70 Figure 3.19. Dispositif expérimental de coupe orthogonale .................................................. 70 Figure 3.20. Signaux des efforts de coupe expérimentaux obtenus pour un essai d’usinage d’un palier à V=600 m/min et f=0.15mm/tr : a) Effort de coupe et b) Effort d’avance. ......... 71 Figure 3.21. Modifications géométriques du modèle au niveau de l’outil de coupe. ............ 72 Figure 3.22. Distribution des contraintes équivalentes de Von Mises dans le cas de l’usinage de l’AA 7175‐T74 à V=600 m/min et f=0.15mm/tr. ................................................................ 75 Figure 3.23. Distribution de la température obtenue au cours de la simulation de l’opération de coupe de l’AA 7175‐T74 à V=600 m/min et f=0.15mm/tr. ................................................ 75 Figure 3.24. Comparaison entre l’épaisseur du copeau expérimental et numérique pour le cas de l’essai #3 avec V=600 m/min et f=0.15mm/tr. ............................................................. 76 Figure 3.25. Signaux des efforts de coupe numérique dans le cas de la simulation de la coupe orthogonale de l’alliage 7175‐T74 à V=600 m/min et f=0.15mm/tr : a) Effort de coupe et b) Effort d’avance. ............................................................................................................... 76 Figure 3.26. Comparaison simulation Vs expérimental de : a) L’effort de coupe et b) L’effort d’avance. ................................................................................................................................. 77
xi
«It always seems impossible until it’s done» Nelson Mandela
xii
Remerciements
L’exercice des remerciements est toujours périlleux. D’abord, ma gratitude et ma profonde reconnaissance s’adressent à mon directeur de recherche professeur Augustin Gakwaya pour la confiance et le soutien qu’il m’a apporté en me permettant de réaliser ce travail, pour les conseils directifs et constructifs qu’il m’a prodigués, pour l’encouragement qu’il m’a apporté et pour sa disponibilité exceptionnelle.
J’aimerais remercier très sincèrement et chaleureusement M. Walid Jomaa pour m’avoir guidé tout au long de ce travail. Sa disponibilité, ses conseils, ses encouragements et son soutien indéfectible et constant m’ont été d’une aide précieuse. Je remercie M. Michel Guillot, codirecteur de ma maîtrise, pour son soutien. J’adresse également mes vifs remerciements, avec une mention particulière à Monsieur Mohamed Jebahi pour ses conseils judicieux et son aide précieuse. Un salut amical à Kadiata Ba, Julie Lévesque et Qiwei He et à tous les membres de du laboratoire M3C de l’Université Laval pour leurs accueil, l’ambiance conviviale dont j’étais témoin et tous les bons moments qu’on a pu partager. J’ai sincèrement pris beaucoup de plaisir pendant toute la durée de ma maîtrise et ceci grâce à vous. Ce travail n’a pu être mené à bien sans nos collaborateurs au sein de la Société HÉROUX- DEVTEK à savoir M. Arnaud Divialle et M. Carl Trudel. Je les remercie pour leurs appuis, leurs conseils précieux et leurs encouragements incessants. J’adresse aussi une pensée cordiale à tout le personnel de la Faculté des sciences et de génie de l’Université Laval pour l’aide qu’ils m’ont offert durant toute ma maîtrise. Je remercie également mon père Monji et ma mére Radhia qui n’ont jamais cessé de me soutenir, m’assister et m’encourager et à qui je dois ma réussite ; aucun mot ne serait assez loquace pour témoigner de l’étendue des sentiments de reconnaissance que j’éprouve à leur égard. A mes chères sœurs Dorsaf et Nesrine auxquelles je porte tant d’amour et d’estime pour leurs encouragements. Qu’elles jouissent de réussite et de bonheur en tout moment de leur vie. Bisou à Loulou ma petite nièce chérie. Finalement, un gros bisou et un gros merci à mon amour Asma qui n’a pas cessé de m’encourager durant cette maîtrise, tu es le soleil qu’illumine ma vie. Habib je t’aime… J’espère n’avoir oublié personne, merci à tous.
1
INTRODUCTION GENERALE
L’usinage par enlèvement de matière est une technique très répandue qui trouve
des applications dans l’industrie automobile, navale, ferroviaire et aéronautique. C’est
à cette dernière que notre étude s’intéresse, en particulier à l’usinage des alliages
d’aluminium. Le taux d’enlèvement de matière, liée aux économies de masse dans
l’aéronautique, peut représenter jusqu’à 95% du volume initial de la pièce [1]. Ceci ne
doit pas être réalisé au détriment de l’état de surface des pièces usinées, en particulier
en ce qui concerne l’intégrité de surface finie (contrainte résiduelle, fatigue, rugosité…)
car la sécurité des passagers en dépend. Comme l’intégrité de surface usinée est
fortement liée au procédé de fabrication, il devient nécessaire d’optimiser les
paramètres d’usinage pour améliorer la qualité de production. Pour cela et en
comparant avec les méthodes expérimentales classiques, la modélisation numérique de
l’usinage devient un outil économique et technique de plus en plus incontournable.
Bien qu’il soit l’un des procédés de fabrication les plus anciens, l’usinage ne
fait pas encore l’objet de modélisations prédictives fiables. L’aspect multi-physique de
la coupe, qui est gouverné par plusieurs phénomènes couplés tels que les effets
thermiques, mécaniques, tribologiques, et physicochimiques [2], rend complexe la
modélisation de la coupe.
Une des méthodes de modélisation numérique la plus répandue est la méthode
des éléments finis. Son utilisation dans le cadre de la modélisation de la coupe,
implique cependant un choix relatif au type de description cinématique du mouvement
de déformation : Eulérienne, Lagrangienne ou Arbitraire Lagrangienne Eulérienne. Les
premiers modèles Éléments Finis de la coupe ont été développés, dès l’année1974 [3],
en description Eulérienne. Pour cette description, il est nécessaire de connaître à priori
la géométrie du copeau et seuls les cas de coupe stationnaire (copeaux continus)
peuvent être modélisés. Peu après et à partir des années 1985 [4], l’approche
Lagrangienne a été adoptée pour la modélisation EF de la coupe. Cette approche permet
de réaliser des modélisations complètes des deux cas de coupe stationnaire (copeau
continu) et instationnaire (copeau segmenté ou discontinu) malgré les difficultés
souvent rencontrées au niveau du traitement des grandes déformations qui génèrent la
2
distorsion importante du maillage. Ce n’est que récemment et depuis 1993 [5], que la
formulation Arbitraire Lagrangienne Eulérienne (ALE) a été utilisée dans le cadre de
la modélisation des procédés de mise en forme des métaux [6] et plus particulièrement
dans la modélisation de l’usinage [5]. Cette formulation permet d’éviter la distorsion
du maillage mais ne peut pas prédire les copeaux segmentés à cause du remaillage.
C’est dans cette optique et en particulier dans le domaine aéronautique, qu’on
s’intéresse à la modélisation de l’usinage comme procédé prépondérant de fabrication
des pièces en alliages d’aluminium.
La présente étude est réalisée en partenariat avec Héroux-Devtek, une société
de l’industrie aéronautique œuvrant plus particulièrement dans le domaine de
fabrication des trains d’atterrissage. Nous avons développé un modèle de coupe
orthogonale basé sur la méthode des éléments finis à l’aide du logiciel
ABAQUS/Explicit V6.13. Afin de simuler la formation des coupeaux segmentés, qui
est une caractéristique de l’usinage des alliages d’aluminium à haute résistance, nous
avons opté pour une formulation Lagrangienne. Celle-ci a été appliquée sans avoir
recourt à un critère de séparation de matière ce qui rend notre modèle fidèle à la
physique de la coupe. Nous avons validé notre modèle dans le cas de la coupe
orthogonale des alliages d’aluminium 7075-T651 et 7175-T74. Cette étape comporte
une comparaison entre les résultats de simulation numérique et ceux obtenus
expérimentalement en termes d’efforts de coupe, d’épaisseur et de morphologie des
copeaux.
L’ensemble de ce travail est réparti en quatre chapitres distincts et complémentaires :
- Le premier chapitre est dédié à une revue bibliographique sur l’usinage, les
mécanismes de formation de copeaux, l’usinabilité des alliages d’aluminium à
haute résistance et les différentes approches appliquées à la modélisation de la
coupe.
- Le deuxième chapitre est consacré à l’aspect numérique de la modélisation de
l’usinage par éléments finis. Plus particulièrement, nous nous sommes focalisés
sur la discrétisation spatiale des équations qui décrivent les chargements
3
thermomécaniques couplés mis en œuvre lors du processus de formation du
coupeau.
- Dans le troisième chapitre, dédié à la modélisation EF de la coupe orthogonale,
nous nous sommes intéressés en premier lieu à la mise en œuvre d’un modèle
EF de coupe orthogonale et aux différents choix convenables pour une
modélisation soutenue et fidèle de la coupe des alliages d’aluminium. Certains
paramètres physiques et numériques de ce modèle EF ont été calibrés à travers
une étude paramétrique, dans le cas de l’usinage de l’alliage d’aluminium 7075-
T651, selon des résultats trouvés dans la littérature. Par la suite, nous avons
présenté, dans le cadre d’une synthèse de notre travail, une étude expérimentale
des essais de coupe orthogonale réalisés pour l’alliage d’aluminium
aéronautique AA 7175-T74. Et en guise de conclusion, nous avons proposé une
validation du modèle en effectuant une comparaison entre les résultats
numériques et expérimentaux pour l’AA 7175-T74.
- Enfin dans le dernier chapitre, nous avons évoqué les difficultés qu’on a pu
rencontrer dans le cadre de cette étude et nous avons souligné les alternatives
qu’on a adoptées pour les surmonter. Nous avons aussi donné une conclusion
générale et présenté quelques perspectives de l’ensemble du travail faisant
l’objet de ce mémoire.
4
Cette revue a pour objectif de présenter des généralités sur les procédés d’usinage.
Nous nous intéresserons, d’abord, aux principaux procédés d’usinage et aux outils de
coupe utilisés. Ensuite, nous discuterons des mécanismes de formation du copeau. Puis,
nous entamerons une présentation des principales caractéristiques de l’usinabilité des
alliages d’aluminiums de la série 7000. Enfin, nous mettrons l’accent sur les approches
utilisées dans la modélisation numérique de l’usinage par la méthode des éléments finis.
CHAPITRE 1
REVUE BIBLIOGRAPHIQUE
5
Chapitre 1 : Revue bibliographique
1.1. Introduction
L’usinage, qui est un procédé de mise en forme par enlèvement de matière, est
le procédé le plus utilisé dans la production des pièces mécaniques (automobile,
aéronautique, etc.) [7]. Plusieurs études ont montré que la qualité des pièces usinées est
intimement liée aux conditions d’usinage [8]. D’où, l’obtention des pièces complexes
de haute qualité passe essentiellement par l’optimisation des conditions d’usinage.
Cette optimisation est généralement basée sur des plans d’expériences qui restent très
couteux et lents à réaliser. L’emploi de la modélisation numérique dans la simulation
de l’usinage se présente alors comme une alternative incontournable et justifiée.
C’est dans ce cadre que nous nous proposons de développer un modèle numérique basé
sur la méthode des éléments finis pour simuler le procédé d’usinage dans le but de
prédire, non seulement les efforts de coupe et la morphologie des copeaux, mais aussi
les températures et les contraintes appliquées dans la zone de coupe, car ces paramètres
sont actuellement quasi-impossibles à déterminer avec les méthodes expérimentales
classiques. Nous avons utilisé dans cette étude le code de calcul commercial
ABAQUS/Explicit V6.13 souvent utilisé dans les simulations numériques du procédé
d’usinage.
Tout au long de ce travail, on s’est concentré sur les alliages d’aluminium de la
série 7000 souvent utilisés dans la fabrication de pièces aéronautiques.
1.2. Généralités sur l’usinage
On appelle usinage toute opération de mise en forme par enlèvement de matière
destinée à conférer à une pièce des dimensions et un état de surface (écart de forme et
rugosité) situés dans une fourchette de tolérance donnée [9]. L’enlèvement de matière
se fait par l’action mécanique d’un outil coupant qui génère la formation, à l’échelle
macroscopique, d’un ou de plusieurs copeaux.
6
1.2.1. Principaux procédés d’usinage et outils de coupe
Il existe plusieurs configurations d’usinage qui dépendent des formes des pièces
à fabriquer et des tolérances dimensionnelles et géométriques exigées. Les procédés les
plus utilisés sont le fraisage, le tournage et le perçage. Ces derniers, comparés aux
autres procédés, sont caractérisés par un taux d’enlèvement de matière élevé [9].
A chaque procédé d’usinage correspond un ensemble spécifique d’outils de
coupe. Ces outils sont fabriqués à partir de différents matériaux et ont des géométries
variées qui dépendent du procédé, du type de matériau usiné et des conditions d’usinage
(ébauche, ½ finition, finition, lubrification, vitesse de coupe, etc.)
1.2.1.1. Procédé de fraisage
Le fraisage est un procédé de fabrication mécanique par coupe faisant
intervenir, en coordination, le mouvement de rotation d’un outil à plusieurs arêtes
(mouvement de coupe) et l’avance rectiligne d’une pièce (dit mouvement d’avance)
(Figure 1.1). Dans certains centres d’usinage, l’outil peut être animé de mouvement
dans différentes directions par rapport à la pièce [10].
a) b) c)
Figure 1.1. Illustration de quelques opérations de fraisage ; a) fraisage en bout, b) et c) surfaçage. [11]
L’outil de fraisage ou fraise comporte plusieurs arêtes de coupe dont chacune enlève
une certaine quantité de matière sous forme de copeaux [10]. Les principaux types de
fraises utilisées en fraisage sont illustrés dans la figure 1.2.
7
Figure 1.2. Exemples d’outils de coupe utilisés en fraisage. [12]
Le fraisage est caractérisé par un rendement élevé, un bon fini de surface et une
haute précision, ainsi qu’une grande souplesse au niveau de la génération de différentes
formes [10]. Le plus souvent, le fraisage est utilisé pour fabriquer des pièces
prismatiques et des rainures. Grâce à l’utilisation des machines CNC (Computer
Numerical Control), des formes surfaciques assez complexes peuvent être réalisées
[10].
1.2.1.2. Procédé de tournage
Le tournage est un procédé d’usinage qui met en jeu des outils de coupe à arête
unique. D’une part, la pièce est animée d’un mouvement de rotation (mouvement de
coupe), qui est le mouvement principal du procédé. D’autre part, l’outil est animé d’un
mouvement de translation (rectiligne ou curviligne) synchronisé avec le mouvement de
coupe appelé mouvement d’avance (Figure 1.3), permettant de définir la géométrie
finale de la pièce usinée. La combinaison de ces deux mouvements, ainsi que la forme
de la partie active de l’outil, permettent l’usinage des formes de révolution (cylindres,
plans, cônes ou formes de révolution complexes) [13].
Figure 1.3. Illustration du procédé de tournage. [13]
8
Figure 1.4. (a) Outil de coupe en tournage et (b) ses principaux éléments constitutifs. [14]
1.2.1.3. Procédé de perçage
Le perçage est un procédé utilisé pour usiner des trous cylindriques par un outil
de coupe appelé foret. Le foret ou mèche, peut être défini comme un outil rotatif muni
d’une ou plusieurs arêtes de coupe et d’une ou plusieurs goujures hélicoïdales ou
rectilignes (Figure 1.5).
En plus du perçage de trous courts et du forage de trous profonds, ce concept inclut
également diverses opérations d’usinage consécutives, telles que brochage, alésage,
réalésage et certaines formes de finition comme le calibrage et le galetage [15]. Tous
ces procédés combinent un mouvement rotatif et un mouvement d’avance linéaire
(Figure 1.6).
Figure 1.5. Exemples de foret. [16]
(a) (b)
9
Figure 1.6. Illustration du procédé Perçage. [15]
Le processus de perçage peut être comparé au tournage et au fraisage, mais à
cette différence que les exigences au niveau de la formation et de l’évacuation des
copeaux sont plus strictes pour le perçage. Plus le trou est profond, plus il est difficile
de contrôler l’opération et d’évacuer les copeaux [15].
1.2.2. La coupe orthogonale
La complexité des phénomènes rencontrés en usinage limite, souvent, les
approches d’étude à une configuration dite « coupe orthogonale ». En général, la coupe
orthogonale offre l’avantage de simplifier le problème de simulation d’usinage et la
formation du copeau tant du point de vue de l’expérimentation que de la modélisation.
Cette configuration particulière requiert l’orthogonalité des vitesses de coupe et
d’avance (Fig.1.7). Lorsque l’épaisseur du copeau (e) est faible par rapport à sa
largeur (w), l’état de déformation peut être alors considéré plan [17].
Figure 1.7. Configuration et paramétrage de la coupe orthogonale. [17]
mouvement d’avance
mouvement de coupe
10
Contrairement aux autres procédés de fabrication tels que le fraisage par exemple où
l’outil est en mouvement continu par rapport à la pièce et possède une géométrie
complexe, la coupe orthogonale présente l’avantage d’une coupe à géométrie simple et
l’outil reste fixe pendant l’opération.
1.3. Mécanismes de formation du copeau
Le copeau est la partie de matière qui se détache lors de la coupe dans un
procédé d’usinage. En effet, sous l’action de l’arête de coupe de l’outil, le matériau de
la pièce subit une forte compression et se déforme plastiquement. Un cisaillement
intense est alors généré entre la pointe de l’outil engagée dans la matière et la surface
brute de la pièce, d’où la formation du copeau [9].
Le déplacement de l’outil et/ou la pièce pendant l’opération de coupe permet
l’écoulement du copeau sur la surface de l’outil et crée ainsi un contact outil-pièce. Les
mécanismes de base mis en jeu lors de la formation du copeau sont donc la déformation
plastique importante dans les différentes zones de concentrations de contraintes et de
déformations connues sous le nom « zones de cisaillement ».
Il existe trois zones de cisaillement : la zone de cisaillement primaire, la zone
de cisaillement secondaire et la zone de cisaillement tertiaire (Fig.1.8). Ces zones sont
le siège de déformations, taux de déformations et températures élevés.
Figure 1.8. Les principales zones du cisaillement.
11
i. Zone de cisaillement primaire (ZCP) : c’est le lieu d’un double cisaillement
qui s’étend de la pointe de l’outil jusqu’à la face libre du copeau (zone rouge
dans la figure 1.8). La ZCP est caractérisé par une forte déformation plastique,
accompagnée d’une élévation importante de la température. Cette zone est
l’endroit où s’effectue un changement brutal de la direction d’écoulement de la
matière qui passe de la vitesse de coupe ( ) à la vitesse de copeau ( ). Dans
la littérature, plusieurs modèles représentent la ZCP par un plan incliné d’un
angle (Φ) par rapport à la direction de coupe appelé angle de cisaillement [2].
ii. Zone de cisaillement secondaire (ZCS) : (zone vert dans la figure 1.8) le
contact outil-copeau sous un frottement dynamique à l’interface outil-matière
engendre des déformations plastiques intenses, principalement en cisaillement,
accompagnée d’une élévation de la température. Cette zone est appelée « zone
de cisaillement secondaire ». Cette ZCS est le lieu d’un frottement intense
responsable souvent d’une usure prématurée de l’outil [2].
iii. Zone de cisaillement tertiaire (ZCT) : cette zone (zone bleu dans la figure
1.8) correspond au contact outil-pièce après enlèvement de matière. Il s’agit du
contact entre la face de dépouille et la surface fraichement usinée. Le contact
outil-pièce provoque des déformations et des températures plus faibles par
rapport à celles rencontrées dans les deux premières zones (ZCP, ZCS). La ZCT
est souvent à l’origine des contraintes résiduelles d’origine thermiques et/ou
mécaniques, et/ou métallurgique apparaissant dans la pièce usinée [2]. De plus,
la ZCT conditionne aussi l’état micro-géométrique de la surface usinée
(rugosité, défaut, etc.) et la durée de vie de l’outil en terme d’usure en dépouille.
1.3.1. Morphologie du copeau
Selon la nature du couple outil/matière, les conditions de coupe et les
caractéristiques de la machine-outil, différents types de copeaux peuvent être obtenus.
La morphologie du copeau dépend des caractéristiques thermiques et mécaniques du
matériau à usiner et de la réponse de celui-ci face aux chargements thermomécaniques
qu’il subit lors de l’usinage, ainsi que de la nature du frottement au niveau de l’interface
12
outil-copeau [18]. La figure 1.9 montre quelques exemples des principales formes de
copeaux qu’on peut rencontrer en usinage.
Figure 1.9. Classification des copeaux : (a) continu, (b) segmenté, (c) discontinu, (d)
fragmenté. [19]
Copeau continu : l’état de déformation plastique est stable dans le temps, les
champs mécaniques et thermiques sont quasi constants (Figure 1.9 (a)). A l’échelle
de la formation du copeau, on parle de coupe stable. [19]
Copeau segmenté ou discontinu : ce copeau est obtenu dans des conditions de
déformation instable qui sont le résultat d’une compétition entre l’adoucissement
thermique et l’écrouissage. Ceci induit une localisation plus ou moins importante
de la déformation plastique conduisant à la formation d’un copeau segmenté, ou à
dents de scies (Figure 1.9 (b)). Dans des conditions de coupe sévère, le copeau peut
être formé par une suite de copeaux élémentaires issus principalement d’un
mécanisme de rupture, on parle alors de copeau discontinu (Figure 1.9 (c)). A
l’échelle de la formation du copeau, on parle de coupe instable. [19]
Copeau fragmenté : il est en majorité formé d’éléments séparés, plutôt dus à une
rupture ductile comme c’est le cas de l’usinage des matériaux fragiles comme les
céramiques (Figure 1.9 (d)). [19]
Une autre classification des différentes morphologies de copeaux est proposée
par la norme ISO 3685-1977, celle-ci étant basée sur la taille et le profil des copeaux,
figure 1.10. Cette classification comprend huit groupes en fonction de la morphologie.
Ces huit groupes pouvant contenir des sous-groupes en fonction de la taille des copeaux
(courts, longs ...) et des liens entre les copeaux (liés, séparés ...).
13
Figure 1.10. Classifications des copeaux selon la norme ISO 3685-1977. [19]
1.4. Alliages d’aluminium de la série 7000
L’élément d’alliage caractéristique de cette série est le zinc (Zn). Globalement,
ces alliages ont de très bonnes caractéristiques mécaniques. Ce sont des alliages
d’aluminium à haute résistance. Malheureusement ces très bonnes caractéristiques
mécaniques sont obtenues au détriment de la résistance à la corrosion. Pour retrouver
une bonne résistance à la corrosion, il faut effectuer un traitement thermique appelé
sur-revenu ou revenu à double palier « T7 ». Ce traitement se paie par une baisse des
caractéristiques mécaniques. Le sur-revenu fait baisser les caractéristiques mécaniques
d’environ 20% [20].
L’élément d’addition Zinc (Zn) associé au Magnésium (Mg) et parfois au cuivre,
améliore très fortement les caractéristiques mécaniques et l'usinabilité. Quant au
magnésium (Mg), il améliore les caractéristiques mécaniques, l'aptitude à la
déformation, la soudabilité et la résistance à la corrosion [20].
1.4.1. Propriétés d’usinage des alliages d’aluminium
D’une façon générale, l’aluminium et ses alliages se prêtent particulièrement
bien aux différentes opérations d’usinage [21] :
14
- Leur faible densité, qui se traduit par des effets d’inertie diminués, permet des
vitesses de rotation élevées (en tournage).
- Leur conductivité thermique élevée permet de limiter l’échauffement des pièces
(dans le cas de l’usinage à sec).
Par contre, leur faible module d’élasticité demande un serrage adapté des pièces (au
niveau des mandrins en tournage par exemple) pour ne pas créer des déformations.
Les machines utilisées doivent être rapides et puissantes (énergies spécifique de coupe
de l’ordre de 600-900 kJ/dm3) et permettent l’évacuation rapide des copeaux [21].
La lubrification peut être effectuée par huile de coupe, émulsions huileuses ou air
comprimé additionné d’un brouillard d’huile [21].
La première intention lors de l’étude de l’usinage des alliages d’aluminium se
concentre sur les critères de performance et de validation de l’usinage, tels que les
efforts de coupe, la durée de vie de l’outil, la morphologie du copeau et leurs impacts.
1.4.1.1. Usinabilité des alliages d’aluminium
L’usinabilité définit la facilité ou la difficulté de l’usinage d’un matériau donné.
Les études ont montré que l’usinabilité est très sensible aux propriétés mécaniques et
physiques du matériau de l’outil et de la pièce, à la rigidité de la machine-outil, à la
géométrie de l'outil et aux conditions d’usinage telles que la vitesse de coupe et la
profondeur de passe. L'usinabilité est, donc, une propriété du matériau de la pièce à
usiner gouvernée par un ensemble de conditions imposées par le système usinant.
Comparativement aux autres matériaux utilisés dans la fabrication des pièces
mécaniques, l’aluminium a une bonne usinabilité qui est relative à la nuance de
l’alliage.
Les critères les plus couramment utilisés pour l'évaluation de l'usinabilité sont :
La durée de vie de l’outil ou l’usure de l’outil : il s'agit du critère le plus
significatif en usinage car il affecte à la fois la qualité et le coût de la pièce
usinée. L’usinabilité augmente lorsque les taux d'usure de l'outil diminuent, et
sa durée de vie augmente, sous les conditions d'usinage (effort de coupe, vitesse
de coupe et profondeur de passe) les mieux appropriées. Le classement basé sur
15
les taux d'usure est généralement applicable à une gamme restreinte de
conditions de coupe ; lorsque ces conditions changent, par exemple la vitesse
de coupe augmente ou diminue sensiblement, le mécanisme d'usure de l'outil
dominant et les taux de l'usure de l'outil peuvent changer [22].
La forme du copeau : les matériaux produisant des copeaux courts segmentés
qui sont facilement générés et éliminés sont plus usinables que ceux qui
produisent des copeaux longs continus ou de petits copeaux en poudre, etc. La
forme du copeau est particulièrement importante pour des applications telles
que le perçage. L’évacuation du copeau, dans ce procédé, peut influencer les
taux de production. La forme du copeau est souvent utilisée pour évaluer
l'usinabilité des alliages ductiles, en particulier les alliages d’aluminium [22].
L’effort de coupe : l’usinabilité augmente à mesure que l'effort de coupe
diminue. Les efforts de coupe faibles impliquent une baisse du taux d’usure de
l’outil, une meilleure précision et une durée de vie accrue de la machine-outil
[22].
L’état de surface : généralement, l’usinabilité augmente à mesure que l'état de
surface obtenu dans un ensemble donné de conditions de coupe s'améliore. La
rugosité moyenne est le paramètre le plus couramment utilisé pour évaluer la
qualité de surface dans les tests d'usinage. Ce critère est le plus utilisé dans la
classification des différents types de matériaux selon leur usinabilité [22].
Le livre « Handbook of aluminum V.1 Physical Metallurgy and Processes »
[22] introduit un nouvel indice ou ratio indiquant le taux d'usinabilité des alliages
d'aluminium. Ce ratio couvre 5 groupes (A, B, C, D et E) qui sont classés en ordre
croissant selon la longueur du copeau et en ordre décroissant selon la qualité de surface
(état de surface). Pour les alliages de la série 7000, le ratio d’usinabilité est B [22] ce
qui se traduit par un copeau courbée et facilement cassable (segmentation : Figure1.9
(b)), bonne à excellente finition (état de la surface finie).
Les alliages de la série 7000 sont largement utilisés dans la construction
aéronautique en raison de leurs hautes caractéristiques mécaniques, leur faible densité
16
et leur bonne usinabilité. Les concepteurs des avions attendent de ces alliages des
performances accrues, notamment en intégrité de surface (contraintes résiduelles,
rugosité, fatigue, etc.). Comme ces caractéristiques sont fortement liées au procédé de
fabrication, il devient nécessaire d’optimiser les paramètres d’usinage pour améliorer
la qualité de production. Pour cela, la modélisation numérique de l’usinage se présente
comme une alternative économique aux essais expérimentaux souvent onéreux.
L’usinage des métaux met en jeu deux processus élémentaires, la création et
l’évacuation du copeau, gouvernés par deux mécanismes physiques de base, la
déformation plastique au sein du copeau et le contact de celui-ci avec l’outil. La
modélisation de la formation du copeau repose sur la compréhension de ces deux
mécanismes et a pour objet la prévision de la géométrie (forme) du copeau, des efforts
de coupe et d’échauffement de la pièce et de l’outil à partir des conditions de coupe et
des propriétés thermomécaniques du matériau usiné et de l’outil [23].
1.5. Modélisation de la coupe en usinage
Les premières tentatives de modélisation de l’usinage se limitaient à une
opération de coupe simple de type rabotage ou tournage orthogonal (Figure 1.7).
L’outil et la pièce usinée ont des géométries simples (l’arête de coupe de l’outil est
supposée rectiligne) et le copeau s’écoule le long de la face de coupe de l’outil selon
une direction bien définie. La coupe orthogonale est rarement utilisée dans les
applications industrielles, néanmoins elle permet de mettre en évidence les principaux
phénomènes physiques lors de la formation du copeau (zones de cisaillement primaire
et secondaire, frottement à l’interface outil-copeau, …) et les différentes difficultés
rencontrées.
Historiquement, les premières approches de modélisation de la coupe en
usinage ont été basés sur des équations analytiques. Puis, plus récemment, les progrès
dans les calculs numériques intensifs ont permis l’implantation de modèles numériques
de l’usinage. Nous présenterons dans un premier temps un rapide état de l’art
concernant les modèles mécaniques et thermomécaniques analytiques les plus
17
marquants. Nous aborderons dans un second temps le thème de la modélisation
numérique basée sur la méthode des éléments finis en usinage et ses principaux effets.
1.5.1. Modélisation analytique
1.5.1.1. Modèle mécanique
Les modélisations les plus simples de la formation du copeau sont purement
mécaniques, c'est-à-dire qu’elles négligent les effets thermiques. Le comportement du
matériau de la pièce est considéré parfaitement plastique (sans écrouissage).
Le modèle de Merchant [23] est le premier modèle mécanique qui a été proposé
pour étudier la coupe des métaux. Il s’agit de la première modélisation de la coupe
orthogonale permettant de prévoir les efforts de coupe. Ces paramètres sont déterminés
à l’aide des équations d’équilibre du copeau en tenant compte des contraintes à
l’interface de contact outil/pièce. Ce modèle considère que la formation de copeau
s’effectue par un simple cisaillement le long d’une ligne droite OA partant de la pointe
de l’outil jusqu’à la surface libre du copeau et inclinée d’un angle Φ appelé angle de
cisaillement primaire.
Le modèle mécanique de Merchant présente l’avantage d’être simple, toutefois il est
incomplet et limité dans la mesure où il néglige plusieurs effets intervenant lors de la
coupe réelle tels que l’écrouissage et les effets thermomécaniques [24].
1.5.1.2. Modèle thermomécanique
Les approches thermomécaniques de la formation du copeau sont apparues plus
récemment. En effet, leurs complexités exigent le recours au calcul par ordinateur.
Elles prennent en compte plus de phénomènes que l’approche purement mécanique,
comme l’échauffement et les grandes vitesses de déformation. Basées sur des
observations expérimentales, elles entrent encore dans le cadre de modèles simplifiés,
car elles mettent en jeu peu d’inconnues, contrairement à ce qui serait une méthode
utilisant une discrétisation par éléments finis [22].
Les composantes d’un modèle thermomécanique de la formation du copeau sont, d’une
part une cinématique simplifiée mais réaliste, dépendant de peu de paramètres et jouant
un rôle central, d’autre part une analyse thermique approchée associée à cette
18
cinématique. Enfin, un ensemble de données assez étendu pour pouvoir décrire
convenablement le comportement thermomécanique du matériau dans les gammes de
température, déformation et vitesse de déformation atteintes.
Les inconvénients majeurs des approches analytiques sont, d’une part, leur
cadre restreint de validité à cause des hypothèses simplificatrices réalisées (coupe
orthogonale, arête de l’outil rectiligne), et d’autres part le nombre de paramètres
d’entrée souvent important et nécessitant de nombreux essais [24]. Afin de prendre en
compte, de manière plus globale et couplée, les différents mécanismes physiques
intervenant lors de la coupe, de nombreux chercheurs ont développés des modèles
numériques.
1.5.2. Simulation numérique de l’usinage
La modélisation numérique de la formation du copeau a été développée pour
mettre en évidence et estimer les grandeurs inaccessibles par l’expérience comme par
exemple la température de coupe, les déformations et les contraintes [2]. Les évolutions
constantes des moyens de calculs mais aussi des méthodes numériques sont à l’origine
du développement des modèles numériques pour des problèmes thermo-élasto-
viscoplastiques en dynamique transitoire comme la coupe des métaux. La grande
majorité des modèles numériques de la coupe ont été développés dans le cadre de la
méthode des différences finies, des éléments finis et des méthodes sans maillage. Dans
la plupart des études [2] [3], ces modèles sont essentiellement consacrés à l’étude de la
coupe orthogonale pour des raisons de simplification et de réduction des temps de
calculs.
1.5.2.1. Modélisation de la coupe par la méthode des
éléments finis
La modélisation par éléments finis repose sur une discrétisation spatiale des
équations dynamiques sous forme variationnelle [3]. La théorie des éléments finis se
base sur l’une des trois formulations connues suivantes : formulation Eulérienne,
formulation Lagrangienne et formulation Arbitraire Lagrangienne Eulérienne (ALE).
19
Formulation Eulérienne :
La formulation eulérienne est une formulation spatiale de l’écoulement de matière.
Le maillage eulérien est constitué d’une grille fixe dans l’espace à travers laquelle
s’écoule la matière usinée (Figure 1.11). Tous les points de la discrétisation restent, par
conséquent, fixes tout au long de la simulation. A l’aide de cette formulation, on peut
étudier l’influence de certains paramètres du procédé d’usinage sur la formation du
copeau, comme par exemple l’influence de la profondeur de passe, de la vitesse de
coupe et du rayon du bec sur l’outil, des champs de déformations, des contraintes et de
la température. Dans le cadre de la modélisation de la coupe (Figure 1.12), cette
formulation simplifie de manière importante la mise en œuvre ce qui justifie la
formulation eulérienne des premiers modèles [8]. En effet, cette description évite les
problèmes numériques liés à la déformation importante du maillage. Le problème de la
représentation de la séparation du copeau est aussi écarté. En contrepartie, il est
nécessaire sous cette formulation de connaître à priori la géométrie du copeau et seuls
les copeaux continus peuvent être modélisés [3]. Le caractère prédictif de ce type des
modèles est donc très limité.
Figure 1.11. Illustration du maillage Eulérien à deux instants successifs (t , t). [25]
Figure 1.12. Modélisation EF de la coupe orthogonale en formulation Eulérienne : a) modèle
géométrique, b) maillage. [26]
20
Formulation Lagrangienne :
La formulation lagrangienne est une description matérielle, c’est-à-dire liée à la
matière. Dans cette formulation, chaque nœud du maillage suit le mouvement du point
matériel auquel il est attribué (Figure 1.13). Cette formulation a certaines qualités pour
l’application au problème de la coupe. Le traitement des conditions aux limites de
surface libre est simple. Il est possible de suivre une grandeur attachée à une particule
de l’écoulement [8]. Les deux principales difficultés associées à cette approche sont le
traitement des grandes déformations et la gestion de la séparation du copeau [8]. Les
grandes déformations localisées génèrent des distorsions importantes du maillage.
L’arrachement du copeau nécessite d’utiliser un critère de séparation afin de permettre
la formation de ce dernier (loi ou critères d’endommagement et/ou de rupture) [8].
Malgré ces difficultés, l’approche lagrangienne permet de réaliser des modélisations
complètes de coupeaux continus, segmentés et fragmentés.
Figure 1.13. Illustration du maillage Lagrangien à deux instants successifs (t , t). [25]
Figure 1.14. Exemple de simulation EF en formulation lagrangienne de la coupe orthogonale 2D de l’alliage d’aluminium AA 2024-T351 (coupeau segmenté) sous ABAQUS V6.6.1. [27]
21
Formulation Arbitraire Lagrangienne Eulérienne (ALE) :
Cette approche est un compromis entre l’approche eulérienne et lagrangienne
qui permet de profiter des avantages de ces deux derniers. Le maillage est globalement
Lagrangien, au sens où il est nécessaire que sa frontière suive la surface du domaine
occupé par la matière. Mais une liberté de choix quant au mouvement des nœuds
internes est introduite. Dans le cadre de la modélisation de la coupe (Figure 1.15), la
formulation ALE permet de minimiser la distorsion du maillage. Elle permet aussi de
raffiner le maillage dans certaines zones sans tenir compte du déplacement de la
matière. Cette formulation a été récemment utilisée dans le cadre de la coupe.
Figure 1.15. Illustration du maillage ALE à deux instants successifs (t , t). [25]
Figure 1.16. Modélisation EF de la coupe orthogonale en formulation Arbitraire Lagrangienne Eulérienne (ALE). [28]
22
Figure 1.17. Exemple de simulation EF en formulation ALE de la coupe orthogonale 2D de
l’acier AISI 4340 (coupeau continu) sous ABAQUS V6.11. [29]
La caractéristique commune à ces modèles EF est qu’ils permettent de mieux
appréhender la phénoménologie de la formation du copeau en fonction des variations
des paramètres du procédé. Néanmoins, on peut constater que l’approche lagrangienne
est la plus appropriée, vu que la morphologie du copeau peut être prédite correctement
; en particulier, pour le cas de notre étude de modélisation de l’usinage des alliages
d’aluminium de la série 7000 qui donne lieu à des copeaux segmentés.
1.5.2.2. Modélisation de la coupe par les méthodes sans
maillage
La méthode des éléments finis est largement utilisée pour la résolution des
équations aux dérivées partielles qui décrivent des phénomènes physiques et
mécaniques. Pour certaines classes de problèmes, il est nécessaire de représenter les
très grandes transformations. La résolution EF de tels problèmes est relativement
délicate. C’est le cas du problème de la coupe (forts gradients de déformation et de
température dans des zones de petites dimensions).
Une nouvelle méthode Lagrangienne de discrétisation spatiale adaptée à ce type
de problème est apparue dans les années 70, c’est la méthode SPH ou Smoothed
Particle Hydrodynamics. Le principe de cette méthode sans maillage est de réaliser les
approximations à partir des données nodales et non pas à partir des données sur les
éléments comme dans la méthode EF [30]. Au lieu d’avoir des nœuds et des éléments
reliant ces nœuds, cette méthode utilise des points (particules) auxquels sont affectées
des masses fixées. Les particules interagissent entre elles à travers des fonctions
d’approximation dans un domaine d’influence (figure 1.18).
23
Figure 1.18. Fonction d'interpolation et sphère d'influence. [30]
Le principal avantage de la méthode SPH est la possibilité de traiter plus
facilement qu’en EF les grandes déformations. En effet, la méthode SPH permet de
mettre en interaction un nombre variable de nœuds et la qualité des résultats est
faiblement liée à la position relative des nœuds. Dans le cadre de la modélisation de la
coupe, toutes les phases de remaillage nécessaires en EF peuvent être évitées grâce à
la méthode SPH. Mais puisqu’en formulation SPH standard l’approximation n’est pas
cohérente (manque de consistance), ceci entraîne une difficulté dans l’application des
conditions aux limites. Dans cette optique, des formulations avancées plus cohérentes
ont dû être développées [31].
La méthode SPH trouve des nombreuses applications dans les domaines où les
éléments finis sont limités par des problèmes de remaillage. Parmi ces applications, on
trouve la modélisation des procédés de mise en forme qui sont des applications
judicieuses de la méthode SPH. Par contre sous le logiciel ABAQUS, la modélisation
SPH de la coupe orthogonale ne fait pas encore l’objet de développements pertinents
ce qui ne nous permet pas de conclure sur la validité de cette approche sous ABAQUS.
Cependant la plupart des travaux de modélisation de la coupe orthogonale par SPH sont
effectués sur LS-DYNA et les résultats obtenus sont satisfaisants en comparaison avec
la réalité surtout en terme des efforts de coupe (Figure 1.19).
Figure 1.19. Exemple de simulation SPH de la coupe orthogonale 2D de l’alliage d’aluminium AA 6061-T6 sous LS-DYNA. [8]
24
1.6. Conclusion
Cette première partie, consacrée à l’étude bibliographique, a permis de passer
en revue les points clés nécessaires pour le passage vers la modélisation des procédés
d’usinage.
Quatre classifications de morphologies de copeaux ont été présentées et une
description de la physique de la coupe a été faite sous l’hypothèse de la coupe
orthogonale, une configuration souvent utilisée en raison de la complexité des
phénomènes mis en œuvre lors des opérations d’usinage. C’est, d’ailleurs, cette
configuration qui sera adoptée pour nos simulations de l’usinage.
Après nous nous sommes intéressés au matériau de la pièce à usiner. Nous
avons donc effectué une étude générale sur l’aluminium et ses alliages dans laquelle
on s’est concentré sur l’objet du présent travail, à savoir les alliages de la série 7000
pour lesquels on a donné leurs différentes caractéristiques et souligné leurs critères
d’usinabilité.
Concernant la simulation numérique de la coupe, un état de l’art des différentes
méthodes de modélisation, que ce soit analytiques ou numériques, a été donné tout en
spécifiant les avantages et les inconvénients de chacune de ces approches. D’ailleurs,
c’est à partir de cette étude que nous avons choisi de nous limiter à l’approche
lagrangienne partant du fait que les alliages de la série 7000 produisent des copeaux
segmentés et que cette segmentation ne peut pas être maitrisée qu’en formulation
lagrangienne sous ABAQUS/Explicit V 6.13.
La prochaine étape de ce travail sera entièrement consacrée à la modélisation
numérique de l’usinage par la méthode des éléments finis : la formulation du problème
de couplage thermomécanique et sa résolution du point de vue purement théorique.
25
CHAPITRE 2
FORMULATION DU PROBLÈME DE COUPLAGE
THERMOMÉCANIQUE
Ce deuxième chapitre est consacré, en premier lieu, à l’étude des aspects théoriques
liés à la modélisation par éléments finis de l’usinage. Les équations gouvernant le
comportement thermo-élasto-visco-plastique du matériau ainsi que leurs formulations
variationnelles et la discrétisation spatiale sont rappelées. Ensuite et en second lieu, nous
remémorons le principe de résolution des équations locales des modèles (mécanique et
thermique) selon le schéma d’intégration explicite du logiciel ABAQUS V6.13.
26
Chapitre 2 : Formulation du problème de couplage
thermomécanique
2.1. Introduction
La modélisation du comportement d’un matériau sollicité en grandes
déformations est primordiale dans la simulation numérique de l’usinage. Dans ce
chapitre, nous rappellerons les principaux modèles utilisés pour décrire les
chargements thermomécaniques rencontrés lors de l’usinage.
2.2. Formulation variationnelle du problème
thermomécanique
2.2.1. Problème mécanique
Soit un corps occupant un volume V de frontière , de densité soumis à
chaque instant t de l’intervalle total de temps [0, ] à des forces de volume , à des
forces surfaciques sur une partie de la frontière , à des forces surfaciques de
contacte sur , ainsi qu’à un champ de déplacement sur la partie
complémentaire de sa frontière (Figure 2.1).
Figure 2.1. Pose du problème mécanique. [32]
27
Le problème posé est alors le suivant : connaissant l’état initial en tout point du volume
V, on se propose de déterminer à chaque instant t les différents champs mécaniques qui
sont les champs de déplacements, de contraintes et de déformations induits par les
forces de coupe. Ces champs vérifient :
Les équations aux dérivées partielles d’équilibre dynamique local dans le
domaine de volume déformé V :
ddiv f u (2.1)
Les équations cinématiques dans V :
1
2e T
D grad u grad u (2.2)
Dans ces conditions, et sont respectivement les champs de vitesse et d’accélération
de chaque point matériel. La forme variationnelle faible associée au problème
différentiel dérive directement du principe de puissances virtuelles :
, : 0F c c
ed c
V V S S S
F u u D dV f u dV t u dS t u dS u u dV (2.3)
Où δD est le taux de déformation virtuelle et δu le champ de vitesses virtuelles.
2.2.2. Problème thermique
Soit un corps occupant un volume V de frontière , de densité soumis à
chaque instant t de l’intervalle totale du temps [0, ] à un flux de chaleur sur une
partie de la frontière ainsi qu’à un champ de température sur la partie
complémentaire de sa frontière (Figure 2.2).
28
Figure 2.2. Pose du problème thermique. [32]
L’équation générale de chaleur est donnée par :
(k )V plC T div gradT R (2.4)
Où est la source interne de chaleur provenant de la contribution mécanique :
: : : :p epl
Y X RR X R r Y D T D r
T T T T
(2.5)
L’équation de chaleur (éq.2.4) est résolue par la méthode de Galerkin. Les conditions
aux limites de ce problème de diffusion de la chaleur sont :
Une condition aux limites de type Dirichlet (Température imposée ) sur la
surface .
Trois conditions aux limites de type Neumann représentant :
o Une condition de flux de chaleur imposé sur .
o Une condition de convection telle que le flux de chaleur imposé sur
est régie par l’équation : où représente le
coefficient d’échange convectif de et la température ambiante.
o Une condition de rayonnement telle que le flux de chaleur d’origine
radiative émis par cette zone est donné par la loi de Stefan-
Boltzmann : où et représentent
respectivement le facteur d’émission et la constante de Stefan.
Le vecteur flux de chaleur , appliqué sur la surface Sq, s’écrit donc comme suit :
29
c r sq q q q (2.6)
La forme variationnelle faible associée à l’équation de chaleur (éq. (2.4)) s’exprime
alors sous la forme :
( , , ) 0T T T T TV pl
V V V V Sq
G u T T T C TdV T R dV T k TdV T dV T qdS
(2.7)
Où représente une température virtuelle vérifiant les conditions aux limites
thermiques sur (c’est-à-dire cinématiquement admissible).
Sachant que :
, , , , ,,i i i i iiT kT T kT T kT (2.8)
Or :
, , ,,
T Ti i ii
V V V
T k T dV T kT dV T kT dV (2.9)
Où
, ,,T
i i i fiV S S
T kT dV T kT n dS Tq dS (2.10)
Ce qui donne :
, ,
T
T Tf i i
V S V
T k T dV Tq dS T kT dV (2.11)
Avec : le flux de chaleur (inconnu) correspondant au champ de température (connu)
sur la frontière donné conformément par la loi de Fourier. On obtient ainsi l’équation
de la chaleur sous sa forme variationnelle faible :
, ,( , , ) 0T
T T T T TV pl f i i
V V S V V Sq
G u T T T C TdV T R dV Tq dS T kT dV T dV T qdS
(2.12)
Cette forme sera utilisée pour résoudre l’équation de la chaleur par la méthode des
éléments finis.
30
2.3. Résolution du système thermomécanique
par la méthode de Newton-Raphson
A partir des deux formes variationnelles faibles du problème mécanique (éq. (2.3))
et du problème thermique (éq. (2.12)), on obtient le système d’équations définissant le
problème thermomécanique couplée suivant :
, ,( , , )
, : 0
0
F c
T
T T T T TV pl f i i
V V
ed c
V V S S V
S V V Sq
G u T T T
F u u D dV f udV t udS t udS
C TdV T R dV Tq dS T kT dV T d
u udV
V T qdS
(2.13)
Ces deux équations scalaires sont, géométriquement, fortement non linéaires (grandes
déformations, grands déplacements, grandes rotations). Il convient donc de les
linéariser pour pouvoir les résoudre. Deux méthodes de linéarisation sont souvent
utilisées :
Linéarisation des formes variationnelles faibles en prenant la dérivée de
Gâteaux ou de Fréchet de l’équation (2.13).
Discrétisation par éléments finis des formes faibles afin d’arriver à un système
algébrique non linéaire, que l’on linéarise par un développement limité
(Méthode de Newton-Raphson)
Dans ce mémoire, c’est en utilisant la discrétisation par la MEF qu’on résoudra ce
problème thermomécanique.
2.4. Discrétisation spatiale par la MEF
2.4.1. Problème mécanique
La discrétisation spatiale par la MEF (formulation en déplacement) consiste à
décomposer le domaine de volume V en sous domaines de forme simple, appelés
élément fini, tel que:
j
elts
V V (2.14)
31
Ces sous domaines peuvent être de différentes formes géométriques. Pour les
problèmes en 2 dimensions, les éléments triangulaires à 3 ou 6 nœuds ou les éléments
quadrangles à 4 ou 8 nœuds peuvent être utilisés. Pour les problèmes en 3 dimensions,
il existe des éléments tétraédriques à 4 ou 10 nœuds, des éléments pyramidaux à 5 ou
13 nœuds, des prismes à 6 ou 15 nœuds ou encore des hexaèdres à 8 ou 20 nœuds [33].
Dans le cas de la présente étude, nous avons utilisé pour notre modèle EF 2D
des éléments quadrangles à 4 nœuds pour la pièce et des éléments triangulaires à 3
nœuds pour l’outil de coupe (voir chapitre 3). La figure 2.3 présente une illustration de
la discrétisation 2D en éléments quadrangles à 4 nœuds que nous avons adoptés.
Figure 2.3. Discrétisation spatiale 2D en éléments quadrangles à 4 nœuds. [33]
Sur chaque sous-domaine, nous adoptons une approximation nodale du champ
de déplacement u définie par :
k kj j
k
u N u (2.15)
Où les représentent les fonctions d’interpolation des déplacements (qui ne
dépendent que des coordonnées spatiales suivant les trois axes d’un repère orthonormé)
associées au nœud k de chaque élément. Le vecteur est le déplacement du nœud k
de l’élément j. De la même manière les champs de vitesses sont déterminés par :
k kj j
k
u N u (2.16)
32
k kj j
k
u N u (2.17)
Et l’accélération réelle pour l’élément j par :
k kj j
k
u N u (2.18)
En utilisant les approximations ci-dessus et la forme faible (éq. (2.3)) sur l’élément j,
on obtient la représentation matricielle élémentaire semi-discrète suivante :
| | 0M ki i k k kj j j j ext j int jI M u F F u (2.19)
où | définit le vecteur des forces extérieures de l’élément j au point k :
| j j j
F C
T T Tk k k kj ext d c
V S S
F N f dV N t dS N t dS (2.20)
| est le vecteur des forces intérieures de l’élément j au point k défini par :
| j
Tk kj int
V
F B dV (2.21)
Où est la matrice de l’opérateur de déformation-déplacement ( ) :
kk N
Bx
(2.22)
la matrice masse de l’élément j :
0 j
Tki k ij
V
M N N dV (2.23)
En écrivant la condition d’équilibre (éq. (2.19)) sur l’ensemble des éléments, on obtient
le système algébrique traduisant l’équilibre mécanique global du système :
| | 0M ki i k k kj j j ext j int
j
I M u F F u
(2.24)
En statique :
0 k k k iint extF F R u (2.25)
33
En dynamique :
0ki i k iM u R u (2.26)
2.4.2. Problème thermique
La discrétisation spatiale du problème thermique par la MEF (formulation en
température) consiste à décomposer le domaine ou volume V en sous domaine .
eT
elts
V V (2.27)
Dans chaque sous-domaine, l’approximation nodale du champ de température T est
définie par :
k kj T T
k
T N T (2.28)
Où les représentent les fonctions d’interpolation des températures aux nœuds . Le
vecteur est la température du nœud k de l’élément j. De la même manière, les
champs de vitesses de température sont déterminés par :
k kj T j
k
T N T (2.29)
En utilisant les approximations ci-dessus et la forme faible (éq. (2.12)) sur l’élément j,
on obtient la forme élémentaire semi-discrète suivante :
| | 0T ki i k k kj j j j ext j int jI C T G G T
(2.30)
où | définit le vecteur des efforts thermiques extérieurs de l’élément j au point
k qui s’écrit:
| Tk k
j ext T
V
G N dV (2.31)
| est le vecteur des efforts intérieurs thermiques de l’élément j au point k défini
par :
q
| q T
T T Tk k k k k kj int T pl T T f T T
V S S V
F N R dV N dS N q dS dVB kT B (2.32)
34
où est la matrice de l’opérateur gradients de température-déplacement:
kk TT
NB
x
(2.33)
est la matrice de capacitance thermique de l’élément j :
0 j
Tki k ij T v T
V
C N C N dV (2.34)
En écrivant la condition d’équilibre sur l’ensemble des éléments, on obtient le système
algébrique semi-discret traduisant l’équilibre thermique global du système.
| | 0T ki i k k kj j j ext j int
j
I C T G G T
(2.35)
2.4.3. Méthode de résolution en dynamique explicite (DE)
2.4.3.1. Problème mécanique
En dynamique transitoire, les algorithmes explicites sont les plus utilisés pour
résoudre des problèmes de grandes tailles associés à l’équation différentielle semi-
discrète du second ordre (éq. (2.26)). Elle est basée sur la technique de différences
finies centrées. Si la réponse du système est fortement non-linéaire, cette méthode doit
être employée avec un incrément variable de temps. Cette méthode est implémentée
dans le logiciel ABAQUS/Explicit. Elle consiste à calculer une solution à l’instant
∆ en fonction des quantités connues à l’instant t.
La clef de l'efficacité informatique de la méthode dynamique explicite est
l'utilisation de la matrice masse diagonale, car l'accélération au début de l'incrément est
calculée en chaque nœud comme suit :
1
int i ii i iextu M F F
(2.36)
Où la matrice diagonale Mii s’obtient de la matrice masse M cohérente calculée avec
les fonctions d’interpolations N de l’élément et qui n’est calculée que pour les éléments
connectés au nœud courant. La matrice masse diagonale est employée parce que son
inverse est simple à calculer et que sa multiplication par les vecteurs forces extérieures
et intérieures exige seulement n opérations, où n est le nombre de degrés de liberté dans
35
le modèle. Les procédures explicites n'exigent aucune itération et aucun calcul de
matrice de rigidité tangente.
Connaissant l’accélération, les équations du mouvement pour le solide sont
intégrées en utilisant la méthode d'intégration explicite de différences finies centrées
qui se traduit par :
1
1 1
2 2
2i i
ii i
t tu u u
(2.37)
1 1 1
2
i i ii
u u t u
(2.38)
Le principal problème en utilisant l’analyse dynamique explicite est que le contrôle de
stabilité de la solution est difficile, car aucun critère de convergence n’existe.
o Stabilité de la méthode explicite :
La stabilité du schéma de différences finies centrées dans la procédure dynamique
explicite est déterminée à partir de la stabilité d’un système linéaire. L’équation
d’équilibre dynamique à l’instant t s’écrit :
. . . t t t t t t te x tM C u K uu F (2.39)
Avec . et :
- : la matrice d’amortissement à l’instant t,
- : la matrice de rigidité à l’instant t,
- : la matrice masse à l’instant t.
En fait, il s’agit d’une projection sur la base modale et une normalisation de la matrice
des vecteurs propres par rapport à la matrice masse M et la matrice de rigidité K. Soit
Ф la matrice modale contenant les vecteurs propres du système, alors on écrit de façon
générale :
2. .t tK u M u (2.40)
Avec :
2
Φ . .Φ I
Φ . .Φ Λ
T
T
M
K
(2.41)
36
Où I est la matrice unité d’ordre n et Λune matrice diagonale contenant les ,
i.e. les valeurs propres du système avec 1… .
Avec cette normalisation et pour un amortissement visqueux découplé pour chaque
mode nous aurons :
Φ . .Φ 2 ξT C (2.42)
La stabilité d’un schéma explicite est donnée par la taille de l’incrément de temps ∆t.
La limite de stabilité pour une solution non amortie pour |λ| 1 est donnée par :
2t t stable
max (2.43)
Où ω est la plus grande valeur propre du système d’équations mécaniques.
La plus grande valeur propre du système peut être trouvée si l’on détermine le mode
maximum de dilatation volumique sur l’ensemble des éléments.
Pour contrôler les oscillations à hautes fréquences, un facteur d’amortissement a été
introduit ; ce qui nous donne comme nouveau domaine de validité :
22t t 1 ξ ξstable
max (2.44)
Oùξest la valeur de l’amortissement critique etξ 1 dans le mode d’oscillations le
plus élevé. Grâce à ce coefficient, on a pu réduire la valeur de l’incrément de temps.
De ceci, une approximation de la limite de stabilité de la solution mécanique est donnée
par :
t min
d
L
c (2.45)
Où L est la plus petite dimension de l’élément du maillage et c est la vitesse d’une
onde solide traversant l’élément. Cette vitesse peut être déterminée en calculant les
différents modules effectifs du matériau élastique de la réponse matérielle :
d
Ec
(2.46)
37
Où est la densité du matériau et est le module de Young.
Par mesure de sécurité afin d’éviter les effets de non-linéarités et de plasticité, il est
souvent pris, comme pas de temps critique, un pas de temps plus petit (de 10% environ),
que celui qui vient d’être calculé :
t 0 .9 tr é e l th é o r iq u es ta b le s ta b le (2.47)
Pour résumer, l’algorithme de résolution du problème mécanique par un schéma
d’intégration explicite est regroupé dans la figure (2.4) qui suit :
Figure 2.4. Algorithme de résolution du problème mécanique par un schéma d’intégration explicite.
2.4.3.2. Problème thermique
La méthode d’intégration explicite est basée sur la méthode d’Euler suivante :
1 1 1n n n n n nT T t T t T (2.48)
Où n dénote l’incrément de temps, Δ est la taille de l’incrément de temps (ou pas)
entre les instants, Δ et le paramètre Θ est dans
l’intervalle 0,1 . Quand la valeur deΘ 0, on a un schéma d’intégration purement
implicite (ou Euler arrière). Par contre, lorsqu’il est égal à zéro, on a un schéma
d’intégration purement explicite.
On peut ainsi écrire en utilisant les équations (2.35) ;(2.48) le système suivant :
38
int
1
0n ext n n
n n n n
C T G G
T T t T
(2.49)
En combinant les deux équations du système (2.49), nous obtenons :
1
int int
1
1 int
n ext extn n n n
n n n ext n n
C T G G C G G
T T t C G G
(2.50)
Le procédé explicite ici est comme celui utilisé pour la mécanique, car la forme de la
matrice de capacitance C est similaire à celle de la matrice masse M dans l’équation
(2.36).
La figure 2.5 ci-dessous représente le schéma d’algorithme de résolution du problème
thermique sous intégration explicite d’après L. Philipe [20] :
Figure 2.5. Algorithme de résolution du problème thermique par un schéma d’intégration explicite.
o Stabilité de la méthode explicite :
La stabilité d’un schéma explicite est conditionnée par la taille de l’incrément
de tempsΔ . Pour chaque élément du maillage, une approximation de la limite de
stabilité de la solution thermique est donnée par : 2m in
2
Lt
(2.51)
39
Où est la diffusivité du matériau. Les paramètres , représentent
respectivement la conductivité, la densité et la chaleur spécifique du matériau.
2.5. Algorithme de résolution thermomécanique
suivant le schéma explicite
Nous présentons dans cette partie l’algorithme général de résolution
thermomécanique. Cet algorithme est séquentiel, il effectue un pas mécanique
isotherme suivi d’un pas thermique à géométrie fixe (figure 2.6) pour une résolution
thermomécanique complète.
Figure 2.6. Algorithme de résolution thermomécanique par un schéma d’intégration explicite. [32]
2.6. Conclusion
Nous avons présenté à travers ce chapitre les principaux aspects numériques liés à
la modélisation des procédés d’usinage. Nous avons commencé par la formulation
variationnelle en déplacement et en température du problème thermomécanique, de là
nous avons obtenu un système algébrique d’équations non linéaires. Pour résoudre ces
équations de mouvement aux dérivées partielles par la méthode de Newton-Raphson
40
une discrétisation spatiale s’impose, la discrétisation spatiale utilisant la MEF a été
explicitée. Enfin, nous avons abouti à un système algébrique de deux équations à deux
systèmes d’inconnues qui sera résolue selon la méthode dynamique explicite dont
l’algorithme de résolution thermomécanique, implémenté dans ABAQUS V6.13, a été
présenté.
Dans le chapitre suivant, nous nous intéresserons à la modélisation numérique
de l’usinage, à sa mise en données et aux différents critères de choix imposés par ce
type d’application pour une simulation fiable et concrète. L’organigramme, qui suit,
regroupe les paramètres nécessaires en entrée (Input), mais également des résultats en
sorties (Output) dont il est possible de faire l’acquisition à l’issue d’une simulation
numérique de la coupe.
41
Organigramme de la technique de modélisation éléments finis d’un procédé d’usinage.
42
CHAPITRE 3
MODÉLISATION EF DE LA COUPE ORTHOGONALE DES
ALLIAGES D’ALUMINIUM
Ce chapitre est consacré à la modélisation par EF de la coupe orthogonale des
alliages d’aluminium à haute résistance. La première partie est consacrée à la présentation
du modèle EF proposé via le code de calcul ABAQUS/Explicit V6.13. La deuxième partie
est dédiée à la calibration de certains paramètres numériques (mode Hourglass) et
physiques (coefficient de frottement) du modèle en se basant sur des résultats
expérimentaux de la littérature relative à la coupe orthogonal de l’alliage d’aluminium
7075-T651. Dans la troisième et dernière partie de ce chapitre, nous avons validé notre
modèle de coupe orthogonale sur l’AA 7175-T74 mais en se référant, cette fois, à nos
propres résultats expérimentaux.
43
Chapitre 3 : Modélisation EF de la coupe orthogonale
des alliages d’aluminium.
3.1. Introduction
Ce chapitre décrit l’approche qui a été adoptée pour la modélisation de l’usinage
des alliages d’aluminium à haute résistance (grade aéronautique) en utilisant le code de
calcul ABAQUS/Explicit V6.13. L’objectif principal est de développer un modèle EF
robuste qui est capable de simuler avec précision le comportement du matériau et les
différents phénomènes physiques associés à la coupe des alliages d’aluminium de la
série 7000. En effet, la prise en compte de ces phénomènes physiques est assurée
principalement par un choix judicieux, de la loi de comportement de l’alliage de notre
présente étude (équation constitutive et endommagement) et du modèle de frottement
caractérisant les phénomènes opérants à l’interface outil-matière/outil-copeau
(frottement, transfert de chaleur, etc.).
En premier lieu, une description du modèle EF est présentée et certains
paramètres de ce modèle comme le mode Hourglass (paramètre numérique) et le
coefficient de frottement (paramètre physique) sont calibrés à travers une étude
paramétrique, dans le cas de l’usinage de l’alliage d’aluminium 7075-T651, avec
comme référence des résultats tirés de la littérature. En deuxième lieu, le modèle EF,
ainsi développé et calibré, est validé expérimentalement selon des résultats des essais
de coupe orthogonale de l’alliage d’aluminium 7175-T74 effectués dans le cadre de ce
projet.
3.2. Modèle EF de coupe orthogonale
3.2.1. Description du modèle
Le modèle EF développé est basé sur une approche purement lagrangienne.
Cette approche a été adoptée vu que les alliages d’aluminium de la série 7000, objet de
la présente étude, sont susceptibles au cours de l’usinage à la localisation du
44
cisaillement qui conduit souvent à des copeaux segmentés et/ou discontinus [34]. Il est
important de rappeler que ce type de copeaux n’est pas modélisable par la formulation
eulérienne pure et est difficile à réaliser par l’approche ALE.
3.2.2. Géométrie du modèle 2D
Afin d’atteindre le régime stationnaire de la coupe et surmonter les problèmes
de distorsion du maillage, nous avons proposé des dimensions et une géométrie
particulière du modèle (Figure 3.1). La longueur de la coupe est égale à 5 mm pour
pouvoir atteindre la stabilité au niveau des efforts de coupe. La partie destinée à être
enlevée est orientée de manière à se rapprocher de l’angle de cisaillement. Le rayon
d’acuité d’arête de l’outil rn = 5 μm.
Figure 3.1. Géométrie du modèle de coupe orthogonale.
3.2.3. Lois de comportement
3.2.3.1. Loi de comportement de l’outil de coupe
Le comportement du matériau de l’outil de coupe est modélisé par une loi
thermo-rigide (ou thermoélastique). Par conséquent, la variation de la température dans
l’outil est décrite par l’équation de la chaleur (éq. (2.4)) tout en tenant compte de la
chaleur générée par le frottement et celle générée par la déformation plastique à
l’interface de contact outil-copeau. Le transfert de chaleur est supposé être réalisé par
conduction.
45
3.2.3.2. Loi de comportement du matériau de la pièce
Contrairement à l’outil de coupe, la modélisation du comportement du matériau
de la pièce s’avère plus complexe et reste l’une des difficultés majeures rencontrées
dans la simulation de l’usinage. En effet, la précision des résultats obtenus
numériquement dépend essentiellement du choix du type de loi de comportement du
matériau de la pièce. Comme nous l’avons expliqué dans le premier chapitre, la coupe
est un procédé complexe qui met en œuvre des phénomènes mécaniques et thermiques
à très hautes vitesses de déformations [2]. Donc, il est primordial d’adopter une loi
thermo-viscoplastique qui tient compte de cette complexité.
Plusieurs modèles de comportement des matériaux destinés à la simulation
numérique de l’usinage ont été recensés dans la littérature. Cependant, l’identification
de chacun des coefficients de ces modèles applicables à l’usinage reste un grand défi
pour les chercheurs [35]. Quelques équations constitutives des plus utilisées dans le cas
de la modélisation de l’usinage sont présentées en Annexe 2.
Dans la présente étude, nous avons choisi l’équation constitutive de Johnson-Cook
(JC) [36]. Il s’agit du modèle de matériau le plus utilisé en modélisation de l’usinage
et sa disponibilité dans le code de calcul ABAQUS/Explicite V6.13 nous a facilité
énormément la tâche.
Équation constitutive de JC :
Le modèle de JC [36] est un modèle empirique qui prend en considération
l’effet de l’écrouissage, de la viscosité et de l’adoucissement thermique selon
l’équation phénoménologique de la contrainte d’écoulement thermo-viscoplastique du
matériau définie comme suit :
* *1 ln 1mn
plA B C T (3.1)
Où est la contrainte d’écoulement équivalente; A, B, n, C et m sont des constantes
du matériau à déterminer expérimentalement. La constante A traduit la limite
d’élasticité, les constantes B et n traduisent l’écrouissage, C traduit la sensibilité à la
vitesse déformation et m la sensibilité à la température ; pl est la déformation plastique
équivalente ;
46
- * est le ratio de la vitesse de déformation plastique relative défini par :
*
0
pl
(3.2)
où pl et 0 sont, respectivement, la vitesse de déformation plastique équivalente
actuelle et de référence.
- *T est le ratio de la température relative défini par :
*
0
1
r
fr f
f r
f
si T T
T TT si T T T
T T
si T T
(3.3)
oùfT et
rT sont, respectivement, la température de fusion et la température de
référence (ambiante).
L’utilisation d’un formalisme lagrangien nécessite l’utilisation d’un critère de
séparation du copeau de la pièce. Ce critère de séparation peut être géométrique ou
physique. Le critère géométrique prédéfinit le trajet de séparation du copeau ce qui
n’est pas très satisfaisant (par exemple : Une valeur critique de distance, quand la
distance entre le nœud de l’élément le plus proche sur le trajet de l’arête de l’outil est
inférieure ou égale à cette valeur, la séparation du copeau a lieu [4]). Le critère
physique, quant à lui, se base sur l’état physique des éléments dans la zone de
séparation du copeau (par exemple : énergie à la rupture [2], effort local [37] ou
contrainte effective [38]). Le seul problème posé par le critère physique est la
détermination des valeurs critiques qui nécessitent des tests avancés et souvent
onéreux.
47
La séparation du copeau, dans la présente étude, est exprimée par un critère
physique basé sur une loi d’endommagement de JC.
Modèle d’endommagement de JC :
L’endommagement est décrit par un critère d’initiation de l’endommagement
(amorçage de la fissure) et par un critère d’évolution de l’endommagement
(propagation de la fissuration) jusqu`à la rupture.
(i) Initiation de l’endommagement
Le modèle de loi de comportement thermo-viscoplastique de JC (éq. (3.1)) est
souvent couplé à un critère d’initiation de l’endommagement de JC, qui stipule que la
déformation à l’initiation de la rupture est définie par [39] :
1 2 3 4 50
exp 1 ln 1pl rf
f r
T Td d d d d
T T
(3.4)
avec 1d ,
2d ,3d ,
4d et5d sont des constantes liées à l’endommagement du matériau à
déterminer expérimentalement ; est la triaxialité des contraintes ( ⁄ , où
est la pression hydrostatique et est la contrainte d’écoulement équivalente
(éq. (3.1)) ); pl est la vitesse de déformation plastique équivalente actuelle; 0 est de
la vitesse de déformation plastique équivalente de référence; fT est la température de
fusion et rT est la température de référence.
Tel que formulé dans [40], la modélisation de l’initiation de l’endommagement sous
ABAQUS/Explicit V6.13 est donné par la loi d’endommagement cumulé suivante :
0 1pl
d df
avec
(3.5)
Où d représente le paramètre d’initiation d’endommagement, pl
est la différence,
par incrément, de la déformation plastique équivalente et f est la déformation
plastique équivalente à l’initiation de l’endommagement (éq. (3.4)). Pendant la
simulation, l’initiation de l’endommagement se produit lorsque 1.
48
(ii) Évolution de l’endommagement
Dès que l’initiation de l’endommagement se produit 1 , la contrainte
d’écoulement sera évaluée par l’expression suivante [40] :
(1 )d (3.6)
Où est la variable d’endommagement, et représente la contrainte d’écoulement sans
endommagement (éq. (3.1)).
Cette variable d’endommagement d (une variable scalaire variant de 0 à 1) représente
le critère d’évolution de l’endommagement, qui peut être décrit par une loi linéaire ou
exponentielle fonction de la déformation plastique équivalente. Ces lois ont été
proposées dans le cadre de la MEF afin de réduire la dépendance à la taille du maillage
EF lors de l’accumulation de l’endommagement. L’évolution de l’endommagement,
tel que formulée dans [40], s’exprime comme suit :
0
0
2
1 exp
pl
plplply
pl plf f f
upl
f
LLuévolution Linéaire
u u Gd
du évolution ExponentielleG
(3.7)
où et ̅ sont respectivement le déplacement plastique équivalent et la déformation
plastique équivalente, est le déplacement plastique équivalent à la rupture, L est la
largeur caractéristique du plus petit élément du maillage, est la contrainte
d’écoulement à l’initiation de l’endommagement (pour 1) et est l’énergie à la
rupture du matériau.
Pour évaluer la variable d’endommagement et son influence sur la contrainte
d’écoulement, il faut spécifier soit une valeur du déplacement plastique à la
rupture , ou bien une valeur de l’énergie à la rupture . La valeur de cette dernière
dépend principalement du type de chargement ou du mode de rupture des matériaux en
question (par exemple : cisaillement). Dans le code ABAQUS/Explicit V6.13 [40],
est exprimé en fonction du module de Young , du coefficient du Poisson et de la
49
ténacité en mode I (ouverture) et en mode II (cisaillement) de rupture , du
matériau usiné. L’expression de est donc donnée par :
2 2
,,
1f c I III II
G KE
(3.8)
Afin de simuler la séparation du copeau et de tenir compte en même temps de
la localisation du cisaillement lors de la formation des copeaux segmentés, les deux
modes de rupture ont été utilisés. Le mode I a été introduit avec la loi d’évolution
linéaire de l’endommagement pour décrire la séparation du copeau en utilisant une
énergie à la rupture associée avec la technique de contrôle de distorsion, comme
indiqué sur la figure 3.2. Par contre, dans le copeau, la loi d’évolution exponentielle de
l’endommagement a été utilisée avec un critère de rupture basé sur l’énergie à la rupture
en mode II associé aussi avec la technique de contrôle de distorsion. Ce dernier
retarde l’apparition de la rupture dans le copeau, ce qui permet de représenter
correctement la formation des bandes de cisaillement et par conséquent la prédiction
de la segmentation.
Figure 3.2. Schématisation des modes de rupture en configuration de coupe orthogonale. [2]
Dans le modèle proposé, le couplage thermomécanique se manifeste aussi par
la prise en compte de l’effet de la vitesse de déformation. En effet, l’énergie de
déformation est exprimée par l’éq. (3.9), qui relie la contrainte d’écoulement et la
vitesse de déformation, définie comme suit [40] :
:p pq (3.9)
Où représente la fraction de travail plastique converti en chaleur, appelé également
coefficient de Taylor-Quinney (généralement pris dans la littérature [2] entre 0,8 et 1).
50
3.2.4. Modélisation du frottement à l’interface
outil/copeau
La définition convenable du comportement à l’interface outil/copeau est
nécessaire pour pouvoir modéliser correctement le processus de formation de copeaux.
Plusieurs études [41], [42] ont montré que le modèle de frottement joue un rôle
déterminant dans la simulation de l’usinage (Figure 3.3).
Figure 3.3. Contact de l'interface outil-pièce.
Cette étape constitue un verrou scientifique dans la modélisation de l’usinage et
beaucoup d’effort tant sur le plan expérimental que numérique restent encore à faire
pour résoudre les problématiques reliées au contact outil/matière. La formulation
variationnelle du problème de contact (outil-pièce), tel que traité en éléments finis, est
présentée en Annexe 3.
Le problème est complexe et met en jeu des phénomènes physico-chimiques
opérant à très haute température et à contraintes élevées. Le comportement du matériau
à l’interface outil-copeau peut être représenté par des lois thermomécaniques. Ainsi
dans la suite de ce paragraphe, on présentera les deux aspects du contact : l’aspect
mécanique, définissant la contrainte locale de glissement et l’aspect thermique
définissant les flux de chaleur à l’interface de contact. Ces deux aspects sont couplés.
3.2.4.1. Aspect mécanique du contact outil-copeau
Le frottement à l’interface de contact outil-copeau est difficile à déterminer car
il dépend de la vitesse de glissement local, de la pression de contact, de la température
et du comportement mécanique des matériaux de l’outil et de la pièce. En usinage, le
51
frottement influence la morphologie du copeau, la température de coupe et l’usure des
outils [41]. Par conséquent, il est nécessaire de comprendre le mécanisme de frottement
entre l’outil et le copeau afin d’estimer correctement les efforts et la température de
coupe. Dans la littérature, il existe plusieurs modèles de frottement permettant la
modélisation des problèmes de contact en usinage. Diverses lois de frottement ont été
proposées (Annexe 4) dans le but de simuler le comportement de la matière à l’interface
outil-copeau. Il a été démontré dans des études [2] que la loi de Coulomb-Orowan est
parmi les modèles les plus adéquats pour décrire le contact outil-copeau en usinage.
Dans le modèle Coulomb-Orowan (Annexe 4, éq. (4.3)), le contact outil-copeau est
composé de deux zones : une zone de contact glissant et une zone de contact collant
(cisaillement). Le modèle Coulomb-Orowan [43] est défini par les relations suivantes :
max
max maxf
p p par glissementsi
p par cisaillementsi
(3.10)
où µ est le coefficient de frottement, est la pression de contact, est la contrainte
de glissement lorsque le matériau le moins dur en contact tend à se cisailler (souvent à
haute pression de contact). Dans la présente étude, a été calculée analytiquement
en utilisant le modèle théorique d’Oxley [44] et les résultats des essais expérimentaux
d’usinage de l’AA 7075-T651 [35].
Nous supposons aussi que la pression de contact le long de la longueur de
contact est décrite par la relation [45] suivante :
0 1
c
xp p
l
(3.11)
où représente la pression hydrostatique à la pointe de l’outil, x représente la position
sur la face de contact de l’outil de longueur totale (0 ), est la longueur de
contact et est un exposant qui dépend du matériau.
52
3.2.4.2. Aspect thermique du contact outil-pièce (Transfert de
chaleur)
La chaleur à l’interface outil-copeau provient essentiellement de la chaleur
générée par frottement et par la déformation plastique générée lors de l’usinage. La
zone de cisaillement primaire (déformation plastique) et la zone de cisaillement
secondaire (frottement outil-copeau) constituent les principales sources d’énergie
thermique (chaleur) en usinage. Afin de pouvoir tenir compte de ces deux phénomènes,
nous avons choisi de suivre l’approche suivante :
Déformation plastique convertie en chaleur :
Il a été démontré [33] que la plus grande partie de la chaleur générée par
déformation plastique est évacuée dans le copeau, et le reste est dissipé dans l’outil.
D’où, à l’interface outil-copeau, le flux de chaleur par conduction est exprimé comme
suit :
( )c piéce outilq h T T (3.12)
où est le coefficient de transfert thermique, et é et sont respectivement la
température de la pièce et de l’outil dans la zone du contact.
Chaleur générée par frottement :
La densité de flux de chaleur générée par frottement à l’interface outil/copeau
est donnée par la relation suivante :
f f f gq V (3.13)
où représente la fraction de l’énergie de frottement converti en chaleur,
(généralement égale à 1), et τ et V sont respectivement la contrainte de cisaillement
et la vitesse de glissement à l’interface outil-copeau. Une partie de cette chaleur est
évacuée par le copeau et le reste est diffusé dans l’outil. Alors, les deux quantités sont
définies, en introduisant un coefficient de partage, comme suit :
1
f pièce pièce f
f outil outil fpièce outil
q qq q
(3.14)
53
où → est le coefficient de partage de la chaleur, variant de 0 à 1. Pour → 0
toute la chaleur générée par frottement est évacuée par le copeau. Généralement →
est inférieur à 0.5, car le fait que le copeau glisse sur la face de coupe de l’outil à une
vitesse ne permet pas le transfert de la chaleur générée instantanément.
Analytiquement, on a trouvée 0 .6 3p i è c e .
Pour résumer, les valeurs des paramètres retenues et implémentées dans notre
modèle pour une modélisation convenable du comportement de l’interface outil-pièce
sont regroupées dans le tableau 3.1.
Tableau 3.1 : Paramètres thermomécaniques de l'interface outil-pièce.[2] [35] [44]
& /
/° →
à 400 0.218 0.9 331 100 0.37
3.2.5. Maillage EF et conditions aux limites
L’outil et la pièce à usiner sont maillés par des éléments de type CPE4RT
(Figure 3.3). Ces derniers sont de type quadrilatère à 4 nœuds avec un couplage
déplacement-température et une intégration réduite. Afin de réduire les problèmes liés
aux distorsions des éléments et alléger le maillage, la pièce est partitionnée de telle
sorte qu’on peut distinguer 4 zones comme l’illustre la figure 3.4. Chaque zone possède
un degré de raffinement de maillage spécifique qui est conditionné par l’importance
des modes de déformations associés à cette zone dans le processus de la coupe.
‐ Zone 1 : Partie la moins influencée par l’opération de coupe (substrat).
‐ Zone 2 : Zone d’intérêt pour le fini de surface (contrainte résiduelle,
microstructure, micro-dureté, etc.).
‐ Zone 3 : Zone de séparation.
‐ Zone 4 : Zone du copeau.
54
Figure 3.4. Maillage et conditions aux limites du modèle EF.
Figure 3.5. Partitionnement de la pièce.
En plus du raffinement local du maillage et de la gestion du contact, le fait de
partitionner la pièce nous permet d’assigner à chaque zone le comportement associé :
‐ Zone 1 : Comportement thermo-élasto-viscoplastique.
‐ Zone 2&3 : Comportement thermo-élasto-viscoplastique avec
endommagement à évolution linéaire.
‐ Zone 4 : Comportement thermo-élasto-viscoplastique avec endommagement à
évolution exponentielle.
En ce qui concerne les conditions aux limites, l’outil est encastré et la pièce est
mobile. Celle-ci se déplace horizontalement de la gauche vers la droite. La vitesse de
coupe ( est appliquée à son extrémité gauche et sa base est fixée en déplacement
suivant Y (Figure 3.4). La partie supérieure de l’outil est encastrée. Ce dernier est
considéré rigide avec un comportement thermique et la pièce est considérée comme
solide déformable.
4
3
2
1
55
3.3. Calibration du modèle
Après avoir défini le modèle EF, la calibration de certains paramètres critiques
est une étape nécessaire et importante pour réussir la simulation de l’usinage. On se
propose de calibrer notre modèle selon des données expérimentales de coupe
orthogonale effectuées sur l’alliage 7075-T651. Ce choix est justifié par le fait que
l’AA 7075-T651 possède des propriétés mécaniques et un comportement en usinage
très proche de l’AA 7175-T74. De plus, contrairement à l’alliage d’aluminium 7175-
T74, l’alliage 7075-T651 fait l’objet de nombreux travaux expérimentaux et
numériques d’usinage [46], [35].
La calibration du modèle EF proposée est basée sur les travaux de W. Jomaa
[35]. Il s’agit des tests de coupe orthogonale sur l’alliage d’aluminium 7075-T651 avec
un outil en carbure de tungstène (WC-Co) non revêtu (Grade K68 de Kennametal Inc.).
Les propriétés physiques de l’alliage d’aluminium 7075-T651 et de l’outil sont
présentées dans le tableau 3.2. Les paramètres de l’équation constitutive de JC (éq.
(3.1)) pour l’alliage AA7075-T6 ainsi que les constantes d’endommagements (éq.
(3.4)) sont donnés, respectivement, dans les tableaux 3.3 et 3.4. Les conditions de
coupe retenues pour l’étape de calibration sont présentées dans tableau 3.5.
Tableau 3.2 : Propriétés physiques du matériau de la pièce et de l’outil. [46-47-48]
Paramètres physiques Pièce à usiner (AA7075-T6) Outil (WC-CO K68) Densité, / 2810 11900
Module d’élasticité, (GPa) 71.7 612 Coefficient de Poisson, 0.33 0.22
Chaleur spécifique, (J/Kg/°C)
C 0.786 839.2 C 0.12 334.01
Conductivité thermique, (W/m/°K)
λ 0.0002 0.1366128.63
λ 0.042 35.95
Dilatation thermique, (µm/m/°K)
25.2 4.9
Température de fusion, (°K) 635 ∅
Température de référence, (°K)
25 25
56
Tableau 3.3 : Coefficients de l’équation constitutive de JC pour l’alliage 7075-T651. [49]
A (MPa) B
(MPa) n C m ° °
575 0.72 0.017 1.61 1 25 635
Tableau 3.4 : Paramètres endommagement de JC pour l’alliage 7075-T651. [49-50]
Initiation Évolution linéaire
Évolution exponentiel
0.110 0.572 -3.446 0.016 1.099 20 40
Tableau 3.5 : Conditions de coupe retenues pour la calibration. [35]
Vitesse de coupe, V (m/min) Avance, f (mm/tr) Largeur de coupe, W (mm) 0.15 4.3
3.3.1. Résultats de la calibration du modèle EF
Il est important de souligner que le modèle EF proposé a pu simuler la formation
des copeaux segmentés lors de l’usinage à grande vitesse de l’alliage 7075-T651 (voir
figure 3.6). En utilisant ce modèle EF, une simulation numérique préliminaire, qui a
été élaboré avec des paramètres par défaut (Mode de traitement Hourglass, coefficient
de frottement, etc.), montre que le choix des conditions aux limites, de l’équation
constitutive JC, et du maillage ont permis la formation d’un copeau segmenté en accord
avec la littérature [35]. En effet, la distribution des contraintes et la forme du copeau
(Figure 3.6), la distribution de la température (Figure 3.7), et les signaux des efforts de
coupe (Figure 3.8) sont estimés dans l’ordre de grandeur des valeurs expérimentales
et/ou analytiques [35]. Les deux courbes de signaux des efforts (Figure 3.8) offrent des
évolutions oscillatoires caractéristiques de la présence des bandes de cisaillement
qu’on peut facilement remarquer au niveau du copeau segmenté obtenu (Figure 3.6).
Toutefois, pour atteindre la précision requise par nos calculs prédictifs, nous avons
calibré le coefficient de frottement et le mode Hourglass du modèle EF proposé. Dans
la littérature, l’effort de coupe et la morphologie du copeau sont les données
expérimentales les plus utilisées dans la calibration des modèles EF en usinage.
57
Figure 3.6. Distribution des contraintes équivalentes de Von Mises dans le cas de l’usinage
de l’alliage 7075-T651 à V=1144 m/min et f=0.15mm/tr.
Figure 3.7. Distribution de la température au cours de l’opération de coupe.
58
a)
b)
Figure 3.8. Signaux des efforts de coupe : a) Effort de coupe et b) Effort d’avance.
3.3.2. Calibration du mode Hourglass
La pièce est maillée par des éléments quadrilatères CPE4RT du premier ordre
à intégration réduite. L’utilisation de ce type d’élément peut conduire à des modes de
déformation à énergie nulle, appelé mode d’Hourglass, qu’il faut éliminer. Le mode de
déplacement associé à l’Hourglass est représenté par Γ dans la figure 3.9. Le premier
vecteur (ΣI) correspond à une translation de corps rigide. Les vecteurs (Λ1I) et (Λ2I)
peuvent être combinés pour représenter les modes de déformation normale uniforme,
59
de cisaillement uniforme, et de rotation du corps rigide. Le dernier vecteur (ΓI) donne
lieu à un mode de déformation qui est négligé lors de l’utilisation des éléments à un
point d’intégration : c’est le mode Hourglass. L’excitation de ce mode peut donc
conduire à des distorsions de maillage sévères sans qu’aucune contrainte ne s’y oppose.
Les éléments du maillage sont en effet particulièrement sollicités dans ce mode
d’Hourglass au niveau de la zone de cisaillement primaire. D’où, l’intérêt qu’il faut
porter au choix entre les différentes méthodes de traitement d’Hourglass pour palier à
ce problème et pour contrôler la convergence des éléments thermomécaniques
CPE4RT à intégration réduite.
Figure 3.9. Modes de déplacement de l'élément quadrilatère de premier ordre (CPE4RT).
[16]
Trois méthodes différentes de traitement des modes Hourglass, autre que la
méthode par défaut, peuvent être utilisées dans ABAQUS/Explicite V6.13. La
différence entre la première formulation et les trois derniers est dans la régularisation
EF (ou stabilisation) requise du fait de l’utilisation de l’intégration réduite. Les trois
formulations disponibles dans ABAQUS V6.13 [40] pour contrôler ces modes
Hourglass sont :
La méthode « Relax Stiffness » qui utilise une intégration viscoplastique
pour définir les forces anti-Hourglass.
La méthode « Stiffness » qui définit un contrôle Hourglass strictement
élastique.
La méthode « Enhanced » qui est basée sur la formulation dite « Assumed
Enhanced Strain » et qui consiste à introduire des modes de déformation
enrichie supplémentaires pour stabiliser le calcul numérique.
La méthode Enhanced est généralement utilisée dans des structures de type
coque, c’est à dire pour des éléments subissant des grands déplacements et des grandes
60
rotations mais des petites déformations (par exemple : mise en forme du métal en
feuille ou de tôles). Dans le cadre de notre étude, nous avons des très grandes
déformations mais des petits déplacements (sauf pour les copeaux). De plus pour le
type d’élément de maillage que nous avons utilisé (CPE4RT : élément iso-
paramétrique), ABAQUS recommande l’utilisation d’une stabilisation artificielle [40].
On en déduit que la méthode Enhanced est théoriquement inapproprié pour le
traitement des modes Hourglass de notre modèle EF, nous allons donc retenir
uniquement les deux méthodes Stiffness et Relax-Stiffness pour la calibration.
Impact de la méthode de traitement Hourglass sur la morphologie des
copeaux :
La figure 3.10 montre l’effet des modes de traitement Hourglass sur la
morphologie du copeau dans le cas de l’usinage de l’alliage 7075-T651 et compare les
différentes morphologies des copeaux obtenus numériquement à la morphologie du
copeau obtenu expérimentalement.
a) b) c)
d) Figure 3.10. Comparaison entre la morphologie du copeau expérimental et numérique pour
différents modes de traitement d’Hourglass : a) Par défaut, b) Stiffness, c) RelaxStiffness, d)
Expérimental.
150 µm 150 µm 150 µm
61
À partir d’une première comparaison, numérique, on peut constater que pour
les deux méthodes de traitement d’Hourglass (Figure 3.10 (a) et (b)), la méthode par
défaut et la méthode Stiffness, donnent pratiquement la même forme des copeaux. Par
contre avec la méthode Relax-Stiffness (figure 3.10 (c)), le copeau obtenu à une
courbure plus prononcée. On note aussi que la distribution de contraintes n'est pas la
même. On peut en déduire que l’effet Hourglass contrôle la courbure des copeaux pour
un modèle EF de coupe orthogonale.
Selon une deuxième comparaison, de calibration, entre les copeaux numériques
(Figure 3.10 (a), (b) et (c)) et le copeau expérimental (Figure 3.10 (d)), on peut conclure
que la méthode Relax-Stiffness donne la morphologie du copeau la plus proche de la
morphologie expérimentale, donc nous retiendrons cette méthode de traitement
d’Hourglass pour une morphologie optimale du copeau.
Impact de la méthode de traitement Hourglass sur les efforts de coupe :
Pour comparer l’influence du traitement Hourglass sur l’effort de coupe, nous
comparons les moyennes des efforts de coupe, dans la partie du régime stationnaire,
entre les différents méthodes et l’expérimental. On obtient les histogrammes regroupés
dans la figure 3.11 suivante :
a) b)
Figure 3.11. Influence de la méthode de traitement d’Hourglass sur : a) L’effort de coupe,
b) L’effort d’avance.
Les efforts de coupe et d’avance sont globalement légèrement affectés par les
différentes méthodes de traitement d’Hourglass utilisées, tel qu’indiqués sur la figure
3.11 (a) pour l’effort de coupe et la figure 3.11 (b) pour l’effort d’avance. Mais en
comparant les différentes approches de stabilisation d’éléments avec les efforts de
coupe expérimentale, on peut constater que la méthode Relax-Stiffness donne
62
relativement un effort d’avance plus poche de l’expérimental. Tandis que pour l’effort
de coupe les trois méthodes de traitement Hourglass donnent des efforts de coupe qui
atteignent pratiquement le même niveau et ceci ne nous permet pas, en les comparant
avec l’effort de coupe expérimentale, de choisir la méthode la plus optimal.
Globalement, on peut conclure que les méthodes de traitement d’Hourglass ont un
impact faible sur l’effort de coupe et l’effort d’avance.
Ainsi, si certaines variables locales (morphologie du copeau) sont plus ou moins
sensibles à la méthode de traitement d’Hourglass, les grandeurs globales comme
l’effort de coupe sont moins affectées. Nous maintenons donc le choix orienté selon la
morphologie du copeau, à savoir la méthode Relax-Stiffness, pour toutes nos prochaines
simulations.
3.3.3. Calibration du coefficient de frottement μ
Le coefficient de frottement est un paramètre physique indispensable pour une
définition optimale du contact à l’interface outil-pièce (éq. (3.10)). Ce paramètre est
difficile à mesurer expérimentalement et constitue un verrou majeur pour une
modélisation optimale de la coupe. On se propose donc de calibrer ce paramètre
numériquement. L’idée est de prendre trois valeurs du coefficient de frottement [0.1 ;
0.22; 0.5] et d’effectuer la simulation de coupe pour chaque valeur afin de pouvoir
étudier son influence sur les résultats et ainsi le calibrer par rapport aux résultats
expérimentaux de la littérature [35].
Impact du coefficient de frottement sur la morphologie du copeau :
Sur le plan pratique, la variation du coefficient de frottement pour la même
condition de coupe, peut être assimilée à la variation des conditions de lubrification
(usinage à sec et avec différents types de lubrifiants). La calibration du coefficient de
frottement permet donc de fixer le coefficient de frottement qui se rapportera à l’effort
de coupe et à la condition de lubrification réelle. Pour calibrer le coefficient de
frottement, on compare les copeaux obtenus par simulation numérique à ceux issus des
essais expérimentaux de [35] (Figure 3.12). On choisit alors la valeur correspondante
à la morphologie du copeau la plus proche.
63
a)
b)
c)
d)
Figure 3.12. Comparaison entre la morphologie expérimentale et numérique des copeaux
obtenus pour différentes valeurs du coefficient de frottement : a) µ=0.1, b) µ=0.22, c) µ=0.5
et d) expérimental.
À partir de la figure (3.12), on peut constater que la courbure du copeau est
relativement sensible au coefficient de frottement. Mais ce dernier n’a pas d’influence
notable sur la segmentation vue que pour les trois valeurs du coefficient de frottement
nous avons abouti après simulation à un copeau segmenté. Selon les travaux d’A. Samir
64
[2], le frottement agit principalement sur la zone de cisaillement secondaire, et a peu
d’influence sur la segmentation de copeau, on peut conclure que notre modèle confirme
bien cette constatation.
Figure 3.13. Histogramme de comparaison entre les épaisseurs des copeaux expérimentaux
et numériques pour trois valeurs différentes du coefficient de friction.
Selon la figure (3.12) et l’histogramme (Figure.3.13), on peut par comparaison
conclure que pour μ=0.22 nous avons l’épaisseur et la morphologie de copeau la plus
proche du copeau expérimental. Il reste maintenant à valider cette valeur par rapport
aux efforts de coupe.
Influence du coefficient de frottement sur les efforts de coupe :
Les histogrammes (Figure 3.14) montrent l’impact du coefficient de frottement
sur l’évolution de l’effort de coupe et d’avance. Il est plausible que le coefficient de
frottement influe sur les efforts de coupe, mais à partir des résultats numériques, on
peut constater que l’influence du coefficient μ est plus prononcée sur l’effort d’avance
(Figure 3.14 (b)) que sur l’effort de coupe (Figure 3.14 (a)).
a) b)
Figure 3.14. Comparaison simulation Vs expérience de : a) L’effort de coupe, b) L’effort
d’avance, pour différentes valeurs du coefficient de frottement.
65
On constate, à partir de la figure (3.14), que pour les trois valeurs du coefficient
de frottement simulées, notre modèle EF surestime l’effort de coupe et sous-estime
l’effort d’avance (sauf pour μ=0.5). Cette constatation concorde avec les conclusions
tirées des travaux de K. CENK [51]. Ce dernier a trouvé que le modèle de
comportement de JC en modélisation EF de l’usinage surestime généralement l’effort
de coupe et sous-estime l’effort de d’avance. Il a conclu que les efforts de coupe
dépendent principalement de la définition de la contrainte d'écoulement du matériau à
usiner et donc de la loi de comportement qui le régit.
En deuxième lieu, on peut mentionner que pour μ=0.22 nous avons l’erreur la
plus faible au niveau l’effort d’avance (Figure 3.14 (b)). Tandis que pour l’effort de
coupe (Figure 3.14 (a)), on constate que la valeur du coefficient de frottement n’a pas
une influence notable c’est-à-dire que la source de l’erreur sur l’effort de coupe ne
réside pas dans la valeur du coefficient de frottement, mais peut être attribuée à d’autres
pistes qu’on n’a pas exploitées dans la présente étude. Parmi ces pistes, on peut citer
principalement : l’usure de l’outil et la modélisation complexe du contact outil/pièce.
Ces derniers ont fait l’objet de récents travaux de recherche [41], [42] et [51] qui ont
démontré qu’ils ont une influence importante sur l’effort de coupe, sauf que nous ne
les avons pas pris en compte dans notre modèle EF puisque nous avons considéré notre
outil comme étant rigide (pas d’usure) et nous avons utilisé un modèle de frottement
usuel (Colomb-Orowan) avec un coefficient de frottement constant tout au long de la
simulation. Ces simplifications au niveau de la modélisation peuvent donc constituer
des sources potentielles et justificatives de l’erreur inappréciable que nous avons
retrouvée au niveau de l’effort de coupe.
Nous avons choisi la valeur de μ=0.22 comme étant actuellement la meilleure
valeur du coefficient de frottement vis-à-vis l’effort d’avance. Cette valeur nous permet
d’appuyer notre choix précédent du coefficient de frottement vis-à-vis la morphologie
du copeau (section précédente). Nous pouvons donc conclure que pour μ=0.22 nous
avons un bon compromis entre la morphologie du coupeau (forme et épaisseur) et
l’effort d’avance.
66
Le fait de calibrer ces deux paramètres, numérique (Hourglass= Relax-Stiffness)
et physique (coefficient de frottement μ=0.22), a permis d’avoir une bonne corrélation
entre les résultats de simulation et les résultats expérimentaux (Même morphologie de
copeau (segmentation : figure 3.10 et courbure : figure 3.12), 0.3% d’erreur sur
l’épaisseur du copeau (figure 3.13) et 8% sur l’effort d’avance (figure 3.14)). Ainsi on
peut associer une certaine fiabilité à notre modèle.
La calibration des résultats numériques de l’usinage de l’AA 7075-T651 par
comparaison avec la littérature étant achevée, dans la prochaine étape, nous allons
valider les capacités de notre modèle EF en simulation de l’usinage de l’alliage
d’aluminium aéronautique 7175-T74. Pour ça, nous utiliserons comme référence nos
propres résultats expérimentaux.
3.4. Application à l’AA 7175-T74
3.4.1. L’alliage d’aluminium 7175-T74
L’alliage 7175 est dérivé de l’alliage 7075 et il s’en différencie, du point de vue
composition chimique, par des teneurs maximales en impuretés, Fe, Si, Mn et Ti,
légèrement plus faibles. Ceci permet d’améliorer sa ténacité sans modifier les autres
propriétés : il est donc recommandé par rapport au 7075 chaque fois que l’on désire
une ténacité renforcée [52].
Propriétés du matériau AA7175-T74 :
Tableau 3.6 : Caractéristiques physiques et mécaniques de l'AA7175-T74. [53]
Caractéristiques physiques AA7175-T74Masse volumique 2800 kg/m3
Caractéristiques mécaniques AA7175-T74Résistance élastique 455 MPa
Résistance à la rupture 524 MPa Allongement à la rupture 11%
Module de Young 71.7 GPa Résistance au cisaillement 310 MPa
Dureté HB 140 Caractéristiques thermiques AA7175-T74
67
Conductivité thermique 163 W/m-K Point de fusion 477 - 635.0 °C
Température de recuit 413 °C
L’alliage AA 7175-T74 utilisé dans nos essais, se différencie aussi de l’alliage
AA 7075-T651 par le type de traitement thermique subi par chacun. Le T651, d’après
le chapitre 1 section 4, correspond à une mise en solution séparée, trempe puis revenu,
alors que le T74 correspond à une mise en solution, trempe et sur revenu de degré 4
(Figure 3.15).
Figure 3.15. Schéma de l'état du traitement thermique de l'AA 7175.
Jusqu’à date peu de travaux ont été effectués sur cet alliage d’aluminium spécial
7175-T74 et nous n’avons pas pu trouver des travaux expérimentaux d’usinage de ce
dernier dans la littérature. On se propose donc, pour la validation de nos simulations de
coupe orthogonale de l’AA 7175-T74, d’élaborer nos propres tests expérimentaux pour
cet alliage.
Dans ce qui suit, nous présenterons d’abord le dispositif expérimental in-situ
utilisé pour la coupe orthogonale. Puis nous examinerons la réponse de notre modèle
EF face à un changement de matériau à usiner (de l’AA 7075-T6 vers AA 7175-T74).
Par la suite, nous validerons nos simulations en se référant cette fois à nos propres
résultats expérimentaux.
3.4.2. Dispositif expérimental utilisé
La configuration de coupe orthogonale peut se ramener en réalité à un procédé
de tournage orthogonal qui correspond, soit à une opération de tournage d’un tube
(figure 3.16. (a)), soit à une opération de tournage d’un palier (figure 3.16. (b)). Une
68
seule arête de coupe est active, elle est à la fois perpendiculaire à la vitesse de coupe et
à la vitesse d’avance.
a) b)
Figure 3.16. Configurations de coupe orthogonale: a) tournage d'un tube (avance axiale de
l’outil), b) tournage d'un disque (avance de l’outil radial). [54]
Dans le cadre de cette étude expérimentale, nous avons choisi de nous
restreindre au cas de tournage d’un disque (appelé aussi coupe orthogonale en plongée).
Le choix s’est fixé sur cette configuration car contrairement à la configuration de
tournage d’un tube, elle nous permet de faire plusieurs essais sur la même pièce et donc
de minimiser le temps de mise en place de la pièce et de réglages nécessaires pour
l’étalonnage. A noter aussi que lors du dressage du tube, la vitesse n’est pas
rigoureusement uniforme le long de l’arête [55].
Le diamètre du disque doit être suffisamment grand pour atteindre le régime
stationnaire de coupe et permettre aux efforts de coupe de se stabiliser.
3.4.2.1. Description de l’outil et de la pièce à usiner
Outil :
Une plaquette de carbure non revêtue (TPGN160304/K68/KENNAMETAL) est
utilisée comme outil de coupe. Elle est fixée à l’aide d’un système de bridage sur le
corps porte d’outil (CTFPL-123B/NB5/KENNAMETAL) lui conférant un angle de
coupe de 5° et un angle de dépouille de 6°.
Pièce à usiner :
La pièce est en alliage d’aluminium AA7175-T74 (fourni par notre partenaire
Héroux-Devtek dans le cadre de ce projet) et se présente sous la forme d’un bloc
69
cylindrique plein, de diamètre de 61 mm avec une hauteur de 93 mm. Sur cette hauteur,
huit gorges sont usinées ayant respectivement une épaisseur de 4 mm chacune et
espacée d’une distance égale à 4.5 mm, avec une profondeur égale à 30 mm. Ceci donne
lieu à huit disques d’épaisseur 4.5 mm, de diamètre extérieur égal à
61 mm et de diamètre intérieur égal à 31 mm. Les propriétés géométriques de la pièce
sont regroupées dans la figure 3.17 qui suit.
Figure 3.17. Description du set-up et des différentes dimensions de la pièce à usiner.
3.4.2.2. Instrumentation de l’essai d’usinage d’un disque
La coupe orthogonale présente l’avantage d’une coupe à géométrie simple. Ceci
facilite forcément son instrumentation. Pour effectuer l’analyse expérimentale de la
coupe, on s’intéresse uniquement à l’évolution des efforts de coupe au cours d’une
opération d’usinage. Ceci est effectué en instrumentant l’opération de tournage d’un
disque afin de mesurer les trois composantes de l’effort de coupe.
L’idée est d’instrumenter l’outil de coupe pendant l’essai afin d’évaluer les
efforts de coupe générés lors de la coupe. Pour ce faire, on utilise une table de Kistler
à 4 capteurs piézoélectriques (dynamomètre) montée sur le porte-outil, comme le
montre la figure 3.18. Ainsi, les efforts de coupe et d’avance et l’effort de
pénétration sont alors mesurés selon le schéma d’instrumentation donné à la figure
3.18 ci-dessous.
70
Figure 3.18. Description du montage de la table Kistler (Dynamométre) pour la mesure des
efforts de coupe lors des essais.
Dans cette optique, nous nous proposons d’effectuer des essais instrumentés
d’usinage à sec d’un disque sur une tour à commande numérique (Mori Seiki SL-25M).
La liste des essais qu’on a effectués ainsi que les différentes conditions utilisées sont
reportées dans le tableau 3.7 qui suit et le dispositif de coupe orthogonale mis en œuvre
est comme montré à la figure 3.19.
Tableau 3.7 : Liste des essais effectués et des conditions de coupes associées.
Essai# Vitesse de coupe (m/min) Avance (mm/tr) Largeur de coupe (mm)
1 600 0.03 4.5
2 600 0.07 4.5
3 600 0.15 4.5
Figure 3.19. Dispositif expérimental de coupe orthogonale
Table de Kistler
Outil
Mandrin porte outil
71
3.4.2.3. Résultats des essais expérimentaux effectués
Efforts de coupe :
Les signaux des efforts de coupe obtenus pour l’essai#3 sont regroupés dans la
figure 3.20 qui suit :
a)
b) Figure 3.20. Signaux des efforts de coupe expérimentaux obtenus pour un essai d’usinage
d’un palier à V=600 m/min et f=0.15mm/tr : a) Effort de coupe et b) Effort d’avance.
Morphologie du copeau :
Les images microscopiques des copeaux ne sont pas encore disponibles car les
copeaux doivent subir un prétraitement (polissage et enrobage) avant la prise des
images via un microscope optique. Cependant, nous avons pu mesurer à l’aide d’un
micromètre l’épaisseur des copeaux obtenus. Les valeurs mesurées sont regroupées
dans le tableau 3.8 qui suit:
72
Tableau 3.8 : Épaisseurs des copeaux mesurées pour les essais effectués.
Essai# Epaisseur du copeau «H» [mm]
1 0.091
2 0.157
3 0.274
3.4.3. Modifications nécessaires au niveau du modèle EF
Nous avons effectués différentes modifications géométriques et physiques au
modèle EF de la section 3.2 précédente. Ces modifications sont nécessaires pour
assurer une concordance entre les conditions expérimentales et les conditions
numériques.
3.4.3.1. Modifications géométriques
La géométrie de la piéce 2D demeure inchangée, mais l’outil de coupe est
modifé de manière à assurer un angle de coupe égale à 5° par rapport à la verticale, un
angle de dépouille de 6° par rapport à l’horizontal et une arête de coupe parfaitement
rectiligne (sans arrondi) correspondant aux paramètres expérimentaux. Le modèle,
ainsi modifié, est illustré par la figure 3.21.
Figure 3.21. Modifications géométriques du modèle au niveau de l’outil de coupe.
V
Angle de coupe=5°
Angle de dépouille=6°
73
3.4.3.2. Modifications physiques
Lois constitutives :
L’outil de coupe est en carbure de tungstène (WC-Co, Grade K68), et il est
modélisé par une loi de comportement thermo-rigide comme pour le modèle précédent.
La pièce est maintenant en alliage d’aluminium AA 7175-T74. On garde la
même loi constitutive thermo-élasto-viscoplastique avec endommagement de J-C, tout
en effectuant les modifications nécessaires pour introduire les paramètres
caractéristiques correspondant au nouvel alliage AA 7175-T74.
Les nouvelles propriétés thermomécaniques de l’alliage d’aluminium 7175-T74 sont
regroupées dans le tableau 3.9 qui suit :
Tableau 3.9 : Propriétés thermomécaniques de l’AA 7175-T74. [53-54-56]
Paramètres physiques Pièce à usiner (AA7175-T6)
Densité, / 2800 Module d’élasticité, (GPa) 71.7
Coefficient de Poisson, 0.33 Chaleur spécifique, (J/Kg/°C) 865
Conductivité thermique, (W/m/°K) 163 Dilatation thermique, (µm/m/°K) 25.2
Température de fusion, (°K) 642 Température de référence, (°K) 25
Façe au manque d’information sur l’alliage d’aluminium AA 7175-T651, les
paramètres de Johnson-Cook de l’AA 7175-T74 ont été déterminés par méthode
inverse [46], qui est basée sur un modèle analytique et sur des résultats d’essais
expérimentaux d’usinage de l’AA 7175-T74 réalisés dans le cadre de ce projet. Les
paramétres obtenus sont regroupés dans le tableau 3.10 qui suit :
Tableau 3.10 : Paramètres de la loi de Johnson-Cook pour l'AA 7175-T74.
A (MPa) B (MPa) n C m
400 0.16 0.10 0.47 1000 25 642
74
Loi d’endommagement
Pour obtenir les paramètres d’endommagement de Johnson-Cook de l’AA7175-
T74, ceci nécessite des essais à effectuer sur les barres d’Hopkinson. Nous n’avons pas
pu effectuer ces essais car de tels montages n’existent pas à l’université et il a été
difficile d’accéder aux installations externes pour des raisons d’ordre administratif en
lien avec le problème de confidentialité. Donc, nous avons été contraint de garder les
mêmes paramètres que ceux utilisés pour l’AA 7075-T6 (tableau 3.4) or comme nous
l’avons expliqué (section 3.4.1) l’AA 7175 est dérivé de l’AA 7075 mais il s’en
déférencie par une tanacité renforcée et en utilisant ces paramétres d’endommagement
nous sous-estimrons la tenacité de notre matériau (résistance à la rupture) ainsi nous
sousestimrons les efforts de coupe au niveau de notre modèle EF.
Contact à l’interface outil-pièce
Le changement au niveau du matériau usiné implique nécessairement un
changement au niveau de l’interface outil-pièce. La contrainte de glissement est
maintenant prise égale à la contrainte initiale de cisaillement du matériau tel
que √3⁄ [2]. Le coefficient de frottement précédemment calibré a été
recalibré pour l’AA 7175-T74 (les détails de calibration ne seront pas présentés car la
méthodologie est identique à celle proposée dans la section précédente (section 3.3.2)).
Les valeurs des paramètres retenues et implémentées dans notre modèle, sont
regroupées dans le tableau 3.11.
Tableau 3.11 : Paramètres thermomécaniques de l'interface outil-pièce (WC-CO
K68/AA7175-T74).
/ /° →
. 0.9 283 100 0.9
3.4.4. Validation EF
Nous avons choisi de nous restreindre à un seul cas de référence pour la
validation de notre modèle. La condition retenue est telle queV 600m/min et
0.15 / qui correspond à l’essai#3 de l’étude expérimentale.
75
Résultats et discussion :
Figure 3.22. Distribution des contraintes équivalentes de Von Mises dans le cas de l’usinage
de l’AA 7175-T74 à V=600 m/min et f=0.15mm/tr.
Figure 3.23. Distribution de la température obtenue au cours de la simulation de l’opération
de coupe de l’AA 7175-T74 à V=600 m/min et f=0.15mm/tr.
76
Figure 3.24. Comparaison entre l’épaisseur du copeau expérimental et numérique pour le cas
de l’essai #3 avec V=600 m/min et f=0.15mm/tr.
a)
b) Figure 3.25. Signaux des efforts de coupe numérique dans le cas de la simulation de la coupe
orthogonale de l’alliage 7175-T74 à V=600 m/min et f=0.15mm/tr : a) Effort de coupe et b)
Effort d’avance.
77
a) b)
Figure 3.26. Comparaison simulation Vs expérimental de : a) L’effort de coupe et b) L’effort
d’avance.
Ainsi à partir des résultats présentés et de l’estimation de l’erreur entre les
résultats numériques et expérimentaux, on peut déduire la validité du modèle EF en
simulation de l’usinage de l’AA 7175-T74. Le modèle a permis de reproduire la
physique de la coupe qui donne lieu à la formation d’un copeau (Figure 3.22) dont la
géométrie est fidèle à celle obtenue expérimentalement (Figure 3.24). Pour les efforts
de coupe et comme on a pu le remarquer (Figure 3.26) l’erreur n’est pas négligeable au
niveau de l’effort d’avance. On peut considérer que cette erreur est causée par la loi de
comportement de J-C adoptée qui comme nous l’avons expliqué sous-estime
généralement l’effort d’avance en modélisation EF. Cependant l’ampleur de la valeur
de cette erreur peut être associée aussi au fait qu’on a utilisé les constantes
d’endommagement de J-C de l’AA7075-T651 pour la simulation de l’usinage de
l’AA7175-T74, alors que l’alliage 7175 présente une ténacité renforcée par rapport à
l’alliage 7075. Et ceci sans évoquer la différence qui existe entre le traitement
thermique subit par chacun et son effet sur l’endommagement.
3.5. Conclusion
Une modélisation de la coupe orthogonale 2D basée sur la MEF a été mise en
place et appliquée à l’usinage des alliages d’aluminium 7075-T651 et 7175-T74. Le
modèle EF a été calibré après une étude sur l’influence des paramètres numériques liés
à la MEF (méthode de traitement d’Hourglass) et sur l’effet des paramètres physiques
liés au contact (coefficient de frottement). Il a été mis en évidence que les méthodes de
traitement d’hourglass ont un impact sur la courbure du copeau et que le coefficient de
78
frottement influe sur les efforts de coupe et plus particulièrement sur l’effort d’avance.
Un compromis entre les résultats des simulations et les résultats expérimentaux issus
de la littérature [35] a été établi. Et ceci correspond à un choix judicieux de la méthode
de traitement d’Hourglass (Relax-Stiffness) et de la valeur du coefficient de frottement
(μ=0.22) ainsi que d’une bonne calibration du modèle.
Après la mise en œuvre du modèle EF 2D de la coupe orthogonale et sa
calibration, nous avons défini le modèle EF pour l’alliage d’aluminium aéronautique
spécial AA7175-T74, mais en se référant, cette fois à nos propres essais expérimentaux.
Les résultats obtenus nous permettent de conclure que le modèle EF mis en
œuvre est capable de simuler le comportement du matériau et les différents
phénomènes physiques associés à la coupe des alliages d’aluminium de la série 7000.
Le modèle EF retenu conduit à des résultats prédictifs fiables vis-à-vis la forme du
copeau et les efforts de coupe. Il est donc susceptible d’être exploré davantage pour
une étude plus approfondie à savoir l’estimation des contraintes résiduelles au niveau
de la surface générée après usinage.
79
CHAPITRE 4
DIFFICULTÉS RENCONTRÉES, CONCLUSION ET PERSPECTIVES
Ce chapitre présente une synthèse du travail effectué dans le cadre de ce mémoire. En
premier lieu, nous avons souligné les principales difficultés qu’on a rencontrées et les
solutions ou arrangements qui ont été adoptés pour atteindre nos objectifs sans compromettre
le cahier des charges du projet. En deuxième lieu, nous avons tiré les conclusions les plus
pertinentes et nous avons proposé quelques perspectives afin de continuer à développer et à
améliorer le modèle retenu.
80
Chapitre 4 : Difficultés rencontrées, conclusion
et perspectives
4.1. Difficultés rencontrées et alternatives
Bien que nous ayons réussi à valider notre modélisation de coupe orthogonale
de l’AA 7175-T74 et d’en tirer des conclusions pertinentes, nous avons été confrontés
à certaines difficultés qui nous ont obligé à trouver de nouvelles alternatives.
La plus grande limitation rencontrée dans ce projet est le manque d’information
sur l’alliage d’aluminium 7175-T74. Par conséquent, nous avons choisi d’effectuer des
essais expérimentaux d’usinage sur ce même matériau afin de déterminer les
paramètres de la loi de comportement de Johnson-Cook via une méthode
d’identification inverse basée sur un modèle analytique. Cependant pour les paramètres
d’endommagement de Johnson-Cook de l’AA 7175-T74, nous nous sommes trouvés
dans l’impossibilité d’effectuer les essais nécessaires pour la caractérisation de
l’endommagement car les montages pour de tels essais n’existent pas à l’université et
par manque de flexibilité administrative reliée à un probléme de confidentialité; nous
avons donc été contraint d’utiliser ceux de l’AA 7075-T651, un alliage proche mais
toutefois différent.
4.2. Conclusion et perspectives
L’objectif de ce mémoire de maîtrise consistait à développer une méthodologie
astucieuse de la modélisation de l’usinage des alliages d’aluminium à haute résistance
en se basant sur la configuration de coupe orthogonale. Cette configuration est certes
peu fréquente dans l’industrie mais elle offre néanmoins l’avantage de restituer les
tendances majeures observées lors de la coupe tout en simplifiant la modélisation et
l’accès aux paramètres clés (efforts de coupe, température au contact outil-pièce, …).
En utilisant le logiciel ABAQUS/Explicit V6.13, un modèle élément finis 2D de coupe
81
orthogonale en formulation Lagrangienne avec contrôle de distorsion, assurant un
couplage thermomécanique, a été développé.
La première partie de ce mémoire a mis en évidence la nécessité de la
modélisation numérique des opérations d’usinage, qui se présente aujourd’hui comme
une alternative très économique permettant d’étudier la coupe et tous ses paramètres
dans un temps réduit. De plus la modélisation numérique donne accès à des grandeurs
inaccessibles par l’expérience et difficiles à déterminer analytiquement, comme la
distribution de la température, la vitesse de déformation ou les contraintes dans la pièce
usinée et dans l’outil. Des généralités sur l’usinage ont été aussi présentées en
décrivant, en premier lieu, les procédés de coupe en général et la coupe orthogonale en
particulier, et en second lieu le processus de formation du copeau, la physique de la
coupe et l’usinabilité des alliages d’aluminium ont été explicités. Cette partie
introductive a permis également de positionner nos travaux de recherche durant ce
projet par rapport aux travaux antérieurs qu’on peut trouver dans la littérature, qui ont
traité la modélisation de l’usinage sous différentes formulations (Eulérienne,
Lagrangienne, ALE, SPH…).
Au niveau de la deuxième partie nous nous sommes concentrés à la théorie de
modélisation de l’usinage. Ainsi, nous avons établi d’abord les équations du modèle
élasto-viscoplastique avec endommagement en tenant compte du couplage
thermomécanique, ce dernier étant capable d’exprimer les principaux phénomènes
(grandes déformations à hautes températures) mis en jeu lors de l’usinage. Ensuite, au
niveau numérique, une formulation variationnelle classique à deux champs
(déplacement et température) a été utilisée. Après discrétisation par éléments finis de
deux fonctionnelles, on a abouti à un système algébrique thermomécanique couplé
semi-discret. Sa résolution a été effectuée selon le schéma dynamique explicite en
utilisant l’algorithme de résolution de Newton-Raphson (ABAQUS/Explicit).
La troisième partie de l’étude a été consacrée à la mise en œuvre et à la
validation du modèle EF de coupe orthogonale. Ce modèle a été appliqué dans un
premier temps à un alliage d’aluminium usuel 7075-T651, permettant ainsi de choisir
convenablement les lois de comportement et d’endommagement des matériaux et les
82
lois de frottement caractérisant le contact outil-matière, régis par la physique de la
coupe. Aussi, nous avons procédé à la calibration des différents paramètres physiques
et numériques impliqués lors de la coupe et qui sont difficiles à déterminer par les
méthodes classiques (analytiques et expérimentales) ; et ceci a été réalisé en ayant
recours à des résultats expérimentaux regroupés de la littérature et en procédant à
l’optimisation de l’erreur (numérique vs expérimentale). Dans un deuxième temps et
après calibration, le modèle a été appliqué à l’alliage d’aluminium aéronautique 7175-
T74. Les résultats numériques obtenus semblent être en bon accord avec les résultats
expérimentaux obtenus dans le cadre de ce mémoire. On a pu alors conclure, que nous
avons élaboré un modèle prédictif de l’usinage à grande vitesse des alliages
d’aluminium à haute résistance donnant lieu à la formation d’un copeau segmenté.
Au niveau de la simulation, il reste encore du travail à faire notamment au
niveau de l’analyse des aspects thermiques surtout dans la zone de contact outil/pièce.
Cependant, l’ensemble des analyses menées au cours de notre étude a permis de
modéliser la coupe orthogonale de l’AA 7175-T74 et les paramètres ayant une
influence significative sur les résultats de simulation ont été cernés et identifiés.
Comme l’extraction des contraintes résiduelles au niveau de la surface usinée
de la pièce est l’objectif ultime de ce projet, une extension de notre modèle EF est alors
requise afin d’y inclure les autres étapes comme le dégagement de l’outil, le
refroidissement de la pièce et la relaxation des contraintes et de procéder à leurs
simulations.
De façon globale, nous avons présenté un modèle complet de simulation de
l’usinage des alliages d’aluminium à haute résistance en tenant compte des différents
aspects physiques, thermomécaniques et tribologiques. Une fois complété, ce dernier
permettra un meilleur contrôle des procédés d’usinage. Ainsi, grâce à un meilleur
contrôle, il sera possible d’estimer les contraintes résiduelles après usinage de finition
et donc d’optimiser au niveau des conditions des opérations d’usinage (vitesse de
coupe, avance et géométrie de l’outil) et de réduire les coûts tout en améliorant la
qualité des pièces usinées.
83
ANNEXE
84
Annexe 1 : ABAQUS
1- Les logiciels de simulations par éléments finis Dans le domaine de la recherche industrielle privée ou publique (construction
automobile, aéronautique, spatial…), des techniques de simulation et d’analyse numérique de phénomènes physiques se sont beaucoup développées ces dernières années et ont contribué grandement à améliorer la productivité des industriels et la vie de tous les consommateurs. La quatrième révolution industrielle en cours de démarrage et dont la clé de voute est l’usine digitale sera entièrement basée sur des outils numériques de représentation de la réalité virtuelle combinée avec une robotisation de la production. Dans cette quête de logiciels de conception et de calculs assistés par ordinateur de plus en plus performants on peut mentionner le logiciel ABAQUS. ABAQUS c’est avant tout un logiciel de simulation par éléments finis de problèmes très variés en électromécanique des milieux continus. Il est très répandu et connu, en particulier pour ses traitements performants de problèmes non-linéaires.
2- Présentation générale d’ABAQUS
ABAQUS est un progiciel de calcul éléments finis développé initialement par HKS et depuis 2005 par ABAQUS Inc (Dassault Systèmes). Il se compose de trois produits : ABAQUS/Standard, ABAQUS/Explicit et ABAQUS/CAE. :
ABAQUS/Standard est un solveur généraliste qui recourt à un schéma traditionnel d'intégration implicite.
Le solveur ABAQUS/Explicit emploie un schéma d'intégration explicite pour résoudre des problèmes dynamiques transitoires ou quasi statiques non linéaires.
ABAQUS/CAE constitue une interface intégrée de visualisation et de modélisation pour les dits solveurs.
Chacun de ces produits est complété par des modules additionnels et/ou optionnels, spécifiques à certaines applications. Les produits ABAQUS, ABAQUS/CAE notamment, sont écrits intégralement avec les langages Fortran pour les parties calcul C++ pour les parties visualisation graphiques et Python pour les scripts et les paramétrisations. La gestion de l'interface graphique est assurée par FOX Toolkit.
ABAQUS est très largement utilisé dans les industries automobiles et aéronautiques. En raison du large spectre de ses capacités d'analyse et de sa bonne ergonomie, il est également très populaire dans les milieux universitaires, pour la recherche et l'éducation.
ABAQUS fut d'abord conçu pour analyser les comportements non-linéaires. Il possède en conséquence une vaste gamme de modèles de matériaux.
En 2005, ABAQUS Inc a été acquise par Dassault Systèmes et est devenue SIMULIA.
85
Principe : ABAQUS n’est qu’un solveur (Standard, Explicite ou Implicite, ...) qui effectue
la résolution d’un problème décrit par un fichier « entrée » (ou fichier de données) et qui écrit la solution vers un fichier « de sortie » (ou fichier de résultats) :
- Le fichier (« texte ») de données a pour extension (.inp) et son contenu correspond à des combinaisons qui décrivent les géométries, les matériaux, les conditions aux limites,…
- Le fichier de résultats a pour extension (.odb) et son contenu se représente sous forme de contours et de courbes montrant les résultats.
Les autres fichiers créés pendant le calcul dans ABAQUS sont :
Le Fichier (.dat) qui contient : o Le résumé du modèle élaboré, o Les messages d’erreur concernant notre modélisation, o Les temps de calcul.
Le fichier (.msg) qui contient : o Le fichier résumant le calcul en cours, o Les messages d’erreur lors du déroulement du calcul.
Figure 1. Histogramme de résolution via ABAQUS. Réf : S.Kammoun, « Introduction au code
commercial de calcul par élément finis ABAQUS ». TP ABAQUS. Université catholique de Louvain, novembre 2007.
86
Annexe 2 : Lois de comportements utilisées en simulation numérique de l’usinage
Il existe divers modèles performants de comportement des matériaux utilisables
en simulation numérique de l’usinage qui permettent de prendre en considération les effets thermiques et mécaniques. Cependant, leur utilisation exige l’identification des paramètres matériaux quand ils ne sont pas disponibles.
1- Modèle de comportement de Johnson-Cook En usinage, ce modèle est très souvent utilisé pour modéliser le comportement
du matériau usiné. Le modèle de Johnson–Cook est un modèle empirique qui prend en considération l’effet de l’écrouissage, de la viscosité et de l’adoucissement thermique selon l’équation phénoménologique de la contrainte d’écoulement thermo-viscoplastique du matériau suivante :
0
0 0
1 ln 1
m
n
f
T TA B C
T T
(2.1)
Où A, B, n, C et m des constantes du matériau usiné à déterminer expérimentalement,
0 est la vitesse de déformation de référence, fT et
0T sont respectivement la température
de fusion et la température de référence (ambiante). Pour décrire l’initiation d’endommagement, le modèle de Johnson-Cook est souvent couplé à une loi d’endommagement sous la forme suivante :
30
1 2 4 50 0
1 ln 1p
d
ff
T Td d e d d
T T
(2.2)
Avec1d ,
2d , 3d ,
4d et 5d sont les paramètres d’endommagement du modèle de Johnson-
Cook associés au matériau usiné.
2- Modèle de comportement de Zerrili-Armstrong Ce modèle est très largement utilisé dans le cadre des études du comportement
des matériaux soumis à de fortes sollicitations dynamiques. Le modèle de Zerrili-Armstrong est un modèle semi-empirique basé sur la théorie de la mobilité des dislocations dans la microstructure. Il propose une expression de la contrainte d’écoulement équivalente en fonction de la déformation plastique équivalente , de la vitesse de déformation plastique , de la températureT , du diamètre moyen d’un grainDet de la structure cristallographique du matériau usiné. La loi de comportement de Zerrili-Armstrong s’écrit alors sous les formes suivantes :
i. Pour un matériau cubique à faces centrées :
21 3 6 7exp ln
CC C C T C T
D (2.3)
87
ii. Pour un matériau cubique centré :
21 3 6 7 4exp ln nC
C C C T C T CD
(2.4)
iii. Pour un matériau hexagonal compact :
6 7
' '21 3 6 7 5exp ln exp( ln
CC C C T C T C C T C T
D (2.5)
Où1C à
7C , 6
'C et '7C sont des constantes modèles à déterminer. L’inconvénient majeur
du modèle de Zerrili-Armstrong est le grand nombre de paramètres à identifier et qui dépendent fortement de la structure cristallographique du matériau usiné.
3- Modèle de comportement de Marusich et Ortiz La loi thermo-viscoplastique de Marusich et Ortiz est très utilisée dans la
simulation numérique de l’usinage à grande vitesse (UGV). Cette loi dite à deux branches est implémentée dans un code de calcul EF appelé « Third Wave Advandtedge™ », elle est décrite par les équations suivantes :
1
0
1
m
g
si
t
22
1
0 0
1 1
m mm
t
g
si
t (2.6)
1
00
1n
g T
Avec la contrainte équivalente, la déformation équivalente, la vitesse de déformation,
1m et 2m sont respectivement les sensibilités à faibles et à hautes vitesses
de déformation, T est une fonction thermique et n est le paramètre d’écrouissage.
88
Annexe 3 : Lois surfaciques et constitutives de contact et définition des conditions limites
(extrait notes de cours GMC7011, section 5.6 par A. Gakwaya)
Dans la pratique, les problèmes de mise en forme des métaux incluent toujours
des conditions aux limites de type contact unilatéral avec frottement. Il est donc nécessaire de posséder un algorithme permettant de prendre en compte ces conditions. La première phase consiste à inclure directement la description géométrique des contacteurs dans la définition du problème à traiter. Il faut ensuite tester si les points définissant le solide mis en forme ne sont pas intérieurs au contacteur. S’ils le sont, il est donc nécessaire de les ramener sur la surface des contacteurs en permettant toutefois un mouvement tangentiel selon un algorithme de projection-glissement. Dans notre cas, les conditions limites du problème sont le contact matériau-outil de coupe. C’est donc ce contacteur qui va « guider » les déformations de l’alliage d’aluminium pendant l’opération de l’usinage. L’action locale de l’outil sur le matériau induit des efforts surfaciques
ct sur la surface
de contact SC. Les composantes normales et tangentielles s’écrivent :
, N C t C N CP t n n P t P avec t n
(3.1)
et représentent respectivement la pression de contact PN et la cission de frottement PT. Les lois de comportement surfacique régissant le contact matériau-outil définissent les relations basées sur des observations expérimentales entre le champ cinématique local et les efforts locaux dans la zone interfacielle. Pour le traitement numérique du contact avec frottement, on introduit des mesures de pénétration fictive gN du contacteur (outil/esclave) dans la surface maître
(obstacle/matériau) et des mesures de vitesses de glissement relatif T
V
, α = 1,2.
On définira la vitesse de pénétration par :
(1) (2) 1 2 2( , )Ng v v n (3.2)
Où v(1) et v(2) sont les vitesses spatiales des points en contact respectivement sur l’outil et le matériau. Et la vitesse relative tangentielle par :
89
( 2 )
tg t (3.3)
où représente le taux de variation des coordonnées paramétriques locales et tα est le vecteur tangent.
Contact normal :
La pression est définie par :
( ) mN N NP C g (3.4)
Où m et CN sont des paramètres de matériau à déterminer par des essais de compression. Pour la cission de frottement et le taux de glissement plastique, on utilise une approche élastoplastique. Le terme e
Tg correspond aux microdéplacements décrivant un
comportement adhésif, tandis que la partie PTg correspond au glissement avec
frottement. Les contraintes tangentielles sont donc définies par :
a v e c e e PT T T T T TP C g g g g (3.5)
Où CT est un autre paramètre des matériaux Le contact avec frottement est donc décrit par une loi de type Coulomb exprimée en termes d’une fonction de frottement :
( , ) 0
si
( , ) 0 on a un comportement élastique
et si
( , ) 0 on a un comportement plastique
N T T N
N T
N T
P P P P
P P
P P
(3.6)
La loi d’évolution du glissement plastique P
Tg est choisi en accord avec le principe de
dissipation plastique maximum et se réduit à :
, avec TN T T T
T T
PP P n n
P P
(3.7)
définissant la direction de glissement. Donc, pour PN et μ fixe, on a une loi associée et λ est un paramètre de cohérence en frottement tel que :
90
0, ( , ) 0, 0PN PT (3.8)
Formulation variationnelle pour la contribution du contact
La contribution au principe des travaux virtuels (notes de cours GMC7011, section 5.5, éq(5.98)) provenant du contact s’écrit alors en configuration actuelle :
c C
C N N T T
S
c
S
W P g Pd Su dt S g (3.9)
Où e t N Tg g représentent des variations objectives virtuelles.
Le processus itératif (notes de cours GMC7011, section 5.5, éq(5.88)) et l’équation(notes de cours GMC7011, section 5.5, éq(5.98)) exigent une linéarisation de l’équation (3.9) cohérente avec l’algorithme et la loi de comportement utilisée. On obtient :
(1)
1
C C
iN N T T n N N T T T T
S S
D P g P g dS u P g P g P g dS
(3.10)
La linéarisation du terme de contact normal se calcule facilement d’après :
NN N N N N N N
N
PD P g g g g P g
g
(3.11)
La matrice de rigidité correspondante sera symétrique. Pour la linéarisation de la partie tangentielle, on doit tenir compte de deux parties :
A) Lorsqu’il y a adhésion (comportement élastique), on a :
TT T T T T T T
T
PD P g g g g P g
g
(3.12)
La matrice tangente correspondante sera symétrique comme dans le cas normal
B) Lorsqu’il y a glissement, on doit vérifier la condition de consistance plastique qui fait intervenir la pression. Donc, la linéarisation se fait en direction du vecteur
91
( , ), et on a
( )
N T
T TT T T T T N T T T
T N
g g g
P PD P g g g g g g P g
g g
(3.13)
Il y a donc couplage entre les forces normales et tangentielles dans la zone de contact, ce qui produira une matrice tangente non symétrique. Aussi, la cission de frottement ne sera connue qu’après un processus de mise à jour de l’algorithme d’intégration de sa loi de comportement.
Mise à jour des contraintes tangentielles
Pour un incrément donné de déplacement ∆un+1 (d’un nœud sur le contacteur), entre deux instants tn et tn+1, on calcule l’approche
1nNg
et le glissement incrémental
total 1nTg
que l’on peut découper en partie élastique et plastique.
Si 1nNg
> 0, il y a contact et on calcule la pression de contact
11
nn NnN gCP
S’il y a frottement, on suppose que les contraintes tangentielles sont élastiques et on évalue
La prédiction élastique :
1 1n n n
ET T T T
E EP T N
P P C g
P P
(3.14)
Où l’indice supérieur E indique une prédiction élastique
Sinon, une correction plastique est ensuite effectuée :
1 1 1si 0 alors
n n n
E EP T TP P
(3.15)
1
1 1 1
1
autrement, si 0 alors n
n n n
n
ETE
P T T ET
PP P
P
(3.16)
La dissipation due au glissement plastique est donnée par :
1 1 1
11
n n n
ET T TP
nT n
P P PD
C t
(3.17)
Pour améliorer la convergence, l’équivalent du module tangent élastoplastique est :
1
1
nT epT
n
PC
u
(3.18)
92
Dans le cas des grandes déformations élastoplastiques, le traitement du frottement conduit à une matrice complexe mais relativement facile à calculer à partir des équations (3.11), (3.14) et (3.17) :
C C CC N C C T CD W u v K v v K v (3.19)
Où CNK est symétrique et la partie non symétrique de C
TK provient seulement du terme
de couplage entre la pression et la scission de frottement (4.14), ∆vC indique les degrés de liberté dans la zone potentielle de contact. Ainsi, une formulation élastoplastique de contact permet de régulariser le problème de frottement et d’obtenir une formulation en termes de déplacement.
93
Annexe 4 : Modèle de frottement
Le frottement à l’interface de contact outil-copeau est difficile à déterminer car
il dépend de la vitesse de glissement local, la pression de contact, la température et le comportement des matériaux de l’outil et celui de la pièce. En usinage, le frottement influence la morphologie du copeau, la température de coupe et l’usure des outils. Par conséquent, il est nécessaire de comprendre le mécanisme de frottement entre l’outil et le copeau afin d’estimer correctement les efforts et la température de coupe. Dans la littérature, il existe plusieurs lois de frottement permettant la modélisation des problèmes de contact en usinage, les principales lois de frottement sont regroupées dans la figure 2.1.
Figure 4. Les principales lois de frottement. (k : la limite d’écoulement en cisaillement)
Loi de Coulomb :
g
n
g
v
v
(4.1)
Où est la contrainte de cisaillement, est le coefficient de frottement de Coulomb qui dépend de la nature et de l’état de surface des matériaux en contact,
n est la contrainte
normale et gv est la vitesse de glissement. Le modèle de Coulomb fut l’un des premiers
à tenir compte de etn .
Loi de Tresca :
0
3g
g
vm
v
(4.2)
Où mest le coefficient de frottement de Tresca, 0
3
est la contrainte d’écoulement en
cisaillement du matériau usiné. Ce modèle de frottement est souvent utilisé lorsque les contraintes normales sont importantes. Le coefficient m représente le ratio entre la contrainte de cisaillement et la contrainte d’écoulement en cisaillement
0 3 .
94
Loi de Coulomb-Orowan :
0
3
gn
g
g
g
v
v
v
v
0
0
3
3
n
n
si
si
(4.3)
Cette loi est une extension de celle proposée par Coulomb (éq.4.1) et permet de limiter la contrainte de cisaillement lorsqu’il y a des pressions élevées comme c’est le cas en usinage. Ces pressions élevées en usinage sont de l’ordre de deux fois la contrainte d’écoulement du matériau. Elle est associée au critère de plasticité de Von-Mises.
95
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