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Enseignement
des mathématiques
© MENJVA / DGESCO - Mai 2011
Module de formation
à destination des équipes de circonscription
Cycles 2 et 3
Le calcul mental
Modules de formation pour l’enseignement des mathématiques 3
Une formation pour les enseignants de cycle 2 et 3
Chaque module a vocation à être mis en œuvre au niveau des circonscriptions sur le temps de
formation statutaire (animations pédagogiques) sur des durées de 3, 6 ou 9 heures
Il débouche sur l’élaboration de séquences d’enseignement proposées ou élaborées pendant la
formation qui, après mise en œuvre dans les classes, font l’objet d’un temps de retour sur expé-
rience, sous la responsabilité de l’équipe de circonscription.
Une présentation en 5 rubriques
Les connaissances que l’enseignant doit maîtriser à son niveau
► Mise en situation, indications pour l’animation permettant de faire émerger les compétences mises en jeu et les connaissances à maîtriser, ressources disponibles et exploitables.
L’identification des connaissances à faire acquérir aux élèves
► Repérage, en appui sur les programmes et les progressions, des connaissances que les élè-ves doivent acquérir. Cette partie débouche sur la réalisation ou la proposition d’un « résumé type ». Une confrontation au contenu des manuels utilisés dans les classes des stagiaires peut être menée à ce niveau.
Place de cet enseignement dans la progression
► Repérage des capacités et connaissances préalables, nécessaires aux élèves pour acquérir les capacités et connaissances ciblées ; identification des obstacles les plus fréquents. Mise en évidence des liens avec d’autres notions disciplinaires au programme de l’école primaire.
Élaboration d’une ou plusieurs séances de classe
► Les séances visent explicitement à faire acquérir les connaissances-cibles et sont structurées en séquences d’apprentissage. Les formateurs peuvent s’appuyer sur les propositions faites dans les modules ou les élaborer avec le groupe de stagiaires. Une des séances au moins sera développée.
Évaluation des acquis des élèves
► L’évaluation est traitée tout au long du module, notamment dans la dimension liée à la gestion
des apprentissages des élèves par les enseignants. Elle apparaît spécifiquement en terme de
bilan de ce qui a été compris et retenu par les élèves en fin de séquence. Les modules de forma-
tion comportent des exemples et des outils d’aide à l’évaluation des élèves.
Plan sciences et technologies à l’école
Présentation des modules de formation
4 Le calcul mental
Ce que l’enseignant
doit savoir.
S’entendre sur le vocabulaire
Les termes calcul automatisé / calcul réfléchi (programmes 2002) et calcul rapide (dont la data-
tion est incertaine) ne sont plus en usage dans les programmes 2008. Cela est lié au fait que,
dans ces programmes, tables et calcul, sens et automatismes sont très étroitement interdépen-
dants. Les termes les plus courants sont explicités ci-dessous :
Calcul mental : pas de traitement écrit du calcul lui-même, même si le résultat peut être écrit (et
même aussi, parfois, l’énoncé du calcul).
Calcul posé : usage d’une technique opératoire.
Résultat automatisé : la réponse à « a x b » ou « a + b » (les tables) ne doit pas relever d’une
reconstruction, mais bien d’une restitution, la plus directe possible. Pour les tables, il ne s’agit
donc pas réellement d’un calcul mais d’un fait de mémoire. D’autres résultats de calcul mental
gagneront à être automatisés (par exemple, le passage à 10 au cycle 2), mais l’automatisation
est progressive, elle se construit, et y parvenir suppose d’avoir reconnu une situation… et donc
d’avoir réfléchi.
Procédure automatisée :
Certaines procédures de calcul doivent aussi progressivement être automatisées. C’est le cas,
particulièrement, des procédures qui sont des mises en œuvre directes des propriétés des opé-
rations, comme la distributivité « 5 x 104 = 5 x (100 + 4) = 5 x 100 + 5 x 4 = 520 » ou la commu-
tativité « 7 + 20 = 20 + 7 = 27 ».
Objectifs du module de formation
La proposition de formation envisage une clarification des perspectives actuelles de l’enseigne-
ment du calcul mental en abordant :
la distinction entre mémorisation des tables et traitement, enseignement, automatisation de
procédures qui utilisent les résultats mémorisés (c’est là que réside calcul mental !) ;
le nécessaire travail sur les procédures de calcul mental, qui inclut leur enseignement systé-
matique ;
la progressivité et la cohérence de cet enseignement ;
les liens à assurer avec les autres enseignements en mathématiques.
Des outils sont proposés (cycle 2) pour étayer le travail du groupe en formation et l’engager sur
des transpositions (cycle 3) :
un essai de recensement des procédures à enseigner au CP et CE1 ;
un exemple de séquence d’enseignement ;
une séance déclinée plus précisément.
Fiche connaissances
Modules de formation pour l’enseignement des mathématiques 5
L’automatisation de la procédure s’appuie alors sur la mise en évidence de la propriété utili-
sée. L’automatisme doit être régulièrement démonté et justifié, pour permettre aux élèves de
s’approprier la propriété (dont la maîtrise conditionne la compréhension des règles de calcul
algébrique au collège).
Certaines procédures, qui combinent connaissances sur les nombres et propriétés des opéra-
tions, peuvent aussi être progressivement automatisées.
Exemple : 25 + 27 = 25 + ( 25 + 2 ) = ( 25 + 25 ) + 2 = 50 + 2 = 52
Calcul réfléchi : Tout calcul fait appel à une activité cérébrale, même s’il ne s’agit que d’aller
chercher un résultat connu par cœur. Il ne faut pas oublier que les performances en calcul
mental dépendent largement de la capacité des élèves à mobiliser les résultats et les automa-
tismes procéduraux. Mais ce terme nous rappelle qu’il y a souvent une prise de décision par
le calculateur, qui demande une réflexion : quels résultats et automatisme mobiliser ?
Ainsi, pour calculer « 543 + 17 » ou « 5 x 4 », il y a plusieurs manières de faire…
Calcul rapide : C’est un critère de performance pour la restitution des tables, pas une forme
de calcul. Mais historiquement l’expression calcul rapide désignait des exercices de calcul et
de résolution de petits problèmes sans le recours à l’écrit.
Calcul approché : Un calcul approché permet de donner un ordre de grandeur du résultat,
c'est-à-dire, concrètement, de ne pas donner tous les chiffres mais un nombre qui paraît pro-
che du résultat au regard de sa taille. Par exemple, 160 est une valeur approchée de 4 X 42.
L’expression estimation de l’ordre de grandeur n’est mentionnée que dans le programme de
cours moyen mais donner, par un calcul mental, un ordre de grandeur du résultat d’une opé-
ration permet à l’élève de poser un regard critique sur son résultat et, à ce titre, doit être en-
traîné dès le cycle 2.
Indications
pour l’animation
Pour introduire l’animation, on peut demander oralement aux enseignants de re-
chercher des adjectifs associés au mot calcul : les termes mental, posé, automati-
sé, réfléchi, rapide, approché seront probablement proposés.
Autres suggestions :
Animation « déstabilisante » : entrée par des pratiques TUIC (par exemple le
site
calcul@TICE) ;
Animation « débutants » : les souvenirs de leur pratique de calcul mental, le cal-
cul mental dans les textes actuels, mis en relation avec les autres formes de
calcul ;
Animation « cri d’alarme » : entrée par les résultats des évaluations nationales
d’une circonscription.
6 Le calcul mental
Les programmes
On repérera dans les programmes la distinction tables / calcul mental. On mettra en évidence
l’articulation mémorisation des tables / techniques de calcul (et connaissances sur les nombres).
Pour les tables, les textes parlent de connaître - mémoriser - restituer.
Pour le calcul mental (qui est donc distinct de la mémorisation des tables), les textes parlent de
produire, reconnaître, utiliser, calculer mentalement. C’est un travail quotidien !
On doit retenir de la consultation des textes deux directions de travail (étroitement dépendan-
tes) :
l’apprentissage des tables (mémoire) ;
l’apprentissage du calcul mental (mise en œuvre de procédures et mobilisation de résultats
connus - tables).
Dans les programmes de la classe de 6ème, le calcul mental est mentionné : on s’y entraîne, on
consolide. Cela, implicitement, renvoie à l’école élémentaire l’enseigne-
ment des procédures de calcul.
Horaire et emploi du temps
Les programmes prévoient 180 heures annuelles, soit 5 heures hebdomadaires de mathémati-
ques. Cet horaire doit être respecté. Chaque jour, on inscrira à l’emploi du temps une séance
longue (55 minutes) et une séance courte (15 minutes) de mathématiques.
Place du calcul mental :
des séances courtes, 1/4 d’heure au quotidien, pour l’entraînement ;
quelques séances plus longues pour l’enseignement de procédures de calcul ou de nouveaux
résultats.
On peut observer des emplois du temps de CP au CM2, ou faire réaliser aux ensei-
gnants un emploi du temps pour un niveau de classe donné.
Nb. La construction d’un emploi du temps ne peut être envisagée qu’après avoir
clarifié les objectifs d’enseignement.
Indications
pour l’animation
Connaissances à faire acquérir aux élèves
Annexe 1
Horaires et programmes d’en-
seignement de l’école primaire,
BO hors série n°3 du 19 juin
2008 (extraits)
Annexe 2
Programmes de sixième,
28 août 2008 (extraits)
Modules de formation pour l’enseignement des mathématiques 7
La continuité maternelle / CP
A la fin de l’école maternelle, les élèves ont acquis des compétences en quantification. Ils peu-
vent avoir construit quelques faits numériques, même s’il n’y a pas d’apprentissages systéma-
tisés de ce point de vue, ni de passage à des écritures symboliques.
Voir « Le nombre au cycle 2 », SCEREN, page 23 - Première compétences pour accéder au
dénombrement.
Mémoriser les tables : des différences, des ressemblances…
Les tables sont des « faits arithmétiques » à connaître... Au total, bien que le nombre de faits
soit restreint, la mémorisation de ces tables résiste :
Les informations qu’elles contiennent ne sont pas arbitraires et indépendantes les unes des
autres. Au contraire, leurs contenus s’entremêlent étroitement. Elles fourmillent de fausses ré-
gularités, de rimes troublantes, de jeux de mots trompeurs. (S. Dehaene – La bosse des
maths).
Les tables d’addition et de multiplication ne semblent pas compartimentées séparément en
mémoire, d’où certaines associations, confusions et un ralentissement général lorsqu’on dé-
bute un nouvel apprentissage.
Les tables ont un point commun sensible, c’est la difficulté de restitution qui s’accroît avec la
taille des nombres : les réponses sont plus lentes et le taux d’échec est croissant en relation
avec la taille du nombre. Exemple : la restitution du résultat de 3 + 4 est comparable à celui de
3 x 4, plus rapide et mieux réussie que la restitution du résultat de 8 + 9, comparable à celui de
8 x 9.
Enfin, une part de mémoire verbale intervient dans la restitution. Le calcul s’inscrit dans la lan-
gue dans laquelle on l’apprend : oraliser, marmonner sont des recours quasi permanents et
durables.
Enseigner et faire apprendre les tables d’addition et de multiplication
Avec des enseignants de CP, il est indispensable d’appréhender concrètement le suivi
GS/CP et les procédures de quantification.
A la fin de l’école maternelle, les problèmes constituent une première entrée dans l’u-
nivers du calcul, mais c’est le CP qui installera le symbolisme (signes des opérations,
signe égal) - Programmes de 2008
Questionner les enseignants : quels problèmes les élèves sa-
vaient-ils résoudre à leur entrée en CP ?
Indications
pour l’animation
Document 1
Diaporama : Mémoriser les
tables et apprendre le calcul
diapos 3 et 4
8 Le calcul mental
Pour les tables d’addition, des stratégies de recomposition mentale du résultat peuvent être ra-
pides et performantes (« 5 et 7 » peuvent être « visualisés » et recomposés en « 5 et 5 et 2 »).
Ce mode de restitution peut conduire à des réponses aussi rapides que le résultat mémorisé, il
a cependant un « coût » cognitif qui est très sensiblement supérieur.
Pour les tables de multiplication, la reconstruction est impossible (ou très complexe : 7 x 8 est le
double de 7 x 4 ou « 7 de plus que 49 »…). Les calculs ne sont pas aisés.
Une phase d’enseignement et des temps d’apprentissages sont nécessaires
L’école a une relation historique et culturelle avec les « tables » : l’image de l’élève qui récite
ses tables, le procédé La Martinière sont presque symboliques !
Les élèves doivent « mémoriser les tables » : cela signifie que tous les résultats doivent être
immédiatement disponibles, en fin d’école élémentaire, avec un taux élevé de réussite.
La construction des tables est un travail qui doit être mené à l’école. La construction repose sur
un principe d’économie : le moins de cas possible pour le plus d’efficacité possible !
Nb. Cela suppose d’y consacrer quelques séances spécifiques plus longues que le ¼ d’heure
quotidien.
L’apprentissage des tables par l’élève ne se réduit pas aux leçons à la maison et le rôle de l’é-
cole ne se limite pas à interroger l’élève sur ce qu’il a appris à la maison. Il faut proposer aux
élèves des séances d’entraînement.
Des outils pour les élèves
Les affichages en classe
L’affichage peut être utile en début d’apprentissage : l’affiche est construite avec les élèves et
ils y retrouvent facilement les résultats dont ils ont besoin. Mais laisser trop longtemps des affi-
ches de tables sur les murs de la classe est contre-productif car cela diffère l’obligation de mé-
moriser.
Les cahiers-outils
Les tables peuvent apparaître sous plusieurs formes. Les listes classiques sont indispensables.
Il convient d’y ajouter la liste des doubles et des carrés :
Le tableau de Pythagore
C’est un outil précieux, il réunit tous les résultats dans un espace restreint.
Dans le tableau d’addition, il faut mettre en évidence les décompositions de 10, les sommes qui
« changent la dizaine », les doubles, les doublons (commutativité 6 + 3 et 3 + 6).
2 + 2 = 4 2 x 2 = 4 2 x 2 = 4
2 + 3 = 5 2 x 3 = 6 3 x 3 = 9
2 + 4… 2 x 4… 4 x 4...
Modules de formation pour l’enseignement des mathématiques 9
Substrat de la mémoire dans un premier temps (court), le tableau de Pythagore peut devenir
un outil d’apprentissage : dans un tableau propre à chaque élève, chacun ne conserve que les
résultats qu’il n’a pas encore mémorisés et qu’il doit donc travailler. Au fur et à mesure des ré-
ponses justes aux diverses interrogations, chacun gomme ce qu’il sait.
Nb. Les ajustements, par exemple réécrire un résultat oublié, se font très facilement mais, dans
l’année, il faudra prévoir plusieurs supports pour résister à la succession de gommage / réécri-
ture…
Le tableau de Pythagore et le tableau personnel peuvent être juxtaposés, c’est un investisse-
ment sur la réussite, et on voit rapidement que les résistances se situent dans la partie en bas,
à droite… Exemple en CE1 :
x 2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 6 8 10 12 14 16 18
3 6 9 12 15 18 21 24 27
4 8 12 16 20 24 28 32 36
5 10 15 20 25 30 35 40 45
Au cycle 2, on pourra rechercher avec les enseignants les différents outils et ta-
bleaux que présentent les manuels qu’ils utilisent dans leur classe : décomposition
des nombres, tableaux des décompositions de 5, de 10, diversité
des présentations des tables…
On peut aussi consulter des cahiers-outils d’élèves, des affiches de classe, lancer
un débat sur l’affichage…
On peut demander aux enseignants de :
constituer un répertoire adapté et utile à un élève de CP et de CE1 (tables / pro-
cédures) ;
construire une table qui ne retient que le minimum de cas à mémoriser (pas de
tables de 0 – inopérant, élément neutre – ni de 1 – numération : le successeur).
L’objectif est d’amener les enseignants à distinguer :
la construction des tables, qui est un travail réalisé, mis en forme
avec les élèves, durant une séance de travail ;
la mise à disposition sous forme de tables traditionnelles, support qui est à la
base des leçons à la maison ;
le tableau dit « de Pythagore » qui récapitule les résultats ;
le tableau de chaque élève qui ne conserve que les résultats qu’il
n’a pas mémorisés.
Indications
pour l’animation
diapo 7
diapo 8
diapos 9 et 10
diapo 11
10 Le calcul mental
La restitution des tables (l’interrogation)
Il faut limiter le rituel de « récitation des tables » afin de ne pas lier la restitution d’un calcul à
la récitation de l’ensemble de la table : pour répondre à « 6 fois 8 », l’élève ne doit pas avoir à
reprendre « 2 fois 8,16, 3 fois 8, 24, 4 fois 8, 32… » .
Travailler l’alternance des interrogations orales et écrites, strictement conduites :
des séances courtes (une dizaine de questions) mais intenses ;
un temps d’interrogation qui n’est pas interrompu par des « corrections ».
A l’oral, on dit, on répète, l’élève écrit le résultat. A l’écrit, l’exercice doit se dérouler dans un si-
lence total. Le maître doit pouvoir discerner tout murmure afin de repérer particulièrement l’élève
qui répète toute la table pour parvenir au résultat escompté.
Quel que soit le type d’interrogation, l’élève est amené à écrire un résultat (les interrogations indi-
viduelles laissent 24 élèves inactifs sur 25 …).
Récapitulatif d’interrogations type pour les tables d’addition et de multi-
plication.
L’usage des TUIC
L’utilisation des technologies usuelles de l’information et de la communication est un excellent
recours pour l’entrainement à la mémorisation des tables et pour vérifier les connaissances des
élèves. On trouvera une sitographie intéressante à l’adresse suivante :
https://tice.edres74.ac-grenoble.fr/spip.php?article521
L’exploration structurée du site suivant est plus particulièrement recommandée :
http://calculatice.ac-lille.fr/calculatice/
Un parcours « PAIRFORM@NCE » associant la problématique calcul mental et TUIC sera bien-
tôt disponible pour approfondir cette approche.
diapos 12 et 13
diapo 14
Répertorier les pratiques des stagiaires en matière d’interrogation des élèves pour
vérifier la connaissance des tables : formes, support, moment, durée… Toutes les
variables ont une incidence.
Débattre de l’usage du cahier ou de l’ardoise ; s’interroger sur l’habitude d’usage et
l’intérêt de l’un ou de l’autre pour un apprentissage suivi, différencié.
Indications
pour l’animation
Si le procédé La Martinière est fréquent et répandu, s’il permet au maître de saisir rapide-
ment tous les résultats écrits des élèves, il ne laisse aucune trace, ne permettant aucun
retour, ni pour l’élève, ni pour le maître.
On peut recommander l’écriture des résultats sur le cahier d’entraînement des élèves :
maître et élèves peuvent alors mettre en relation question et réponse et suivre l’évolution
de la mémorisation (voir plus haut la table de Pythagore personnelle, par exemple).
Modules de formation pour l’enseignement des mathématiques 11
Calcul mental et tables
Tout calcul nécessite de recourir aux connaissances des tables. Dans 56 + 20 ou 296 + 500,
tout adulte (expert…) reconnaît un résultat mémorisé des tables. Pour effectuer le calcul, il mo-
bilise la connaissance du résultat de 5 + 2 et transpose aux dizaines ou centaines, automatique-
ment.
Cette reconnaissance doit être enseignée à l’école : dans toute procédure de calcul, chacun,
pour utiliser les tables, doit avoir appris à les reconnaître au-delà de leur cadre habituel. On
peut demander aux élèves : « Quelle table voyez-vous dans 56 + 20 ou 296 + 500 ? »
Pourquoi enseigner le calcul mental ?
Être performant en calcul mental aide dans la résolution de problèmes ;
Être performant en calcul mental est nécessaire pour être performant dans tous les autres
calculs, à l’école, au collège et au lycée (calcul posé, calcul algébrique, résolution d’équation,
calculs géométriques,…) ;
Être performant en calcul mental permet d’appréhender les ordres de grandeurs ;
Dans la vie de tous les jours, être performant en calcul mental est fort
utile.
...
Le recours au calcul mental a des limites
Il faut permettre aux élèves de mesurer leur efficience … et situer leurs limites. Il faut les ame-
ner à faire preuve d’autonomie et d’initiative en choisissant la forme de calcul la plus adaptée
(calcul mental / calcul posé / calculatrice). Pour cela, on peut proposer aux élèves des concours
« calcul mental contre calcul posé » ou même « calcul mental contre calculatrice » sur des opé-
rations choisies. Par exemple :
1000 + 1000 ; 10 000 – 5 000 ; 50 000 x 2 ; 100 000 : 2 …
Choisir ce qu’on sait faire en calcul mental et ce qu’on fait avec un calcul posé ou à la calcula-
trice peut constituer un excellent « test » de début d’année, à reprendre
en fin d’année pour permettre à chaque élève d’évaluer ses progrès.
Le calcul mental : des procédures à enseigner et à apprendre
Réfléchir à l’usage du calcul mental dans la vie quotidienne de l’élève et de l’adulte :
« Dans quelles situations utilisez-vous le calcul mental ? et vos élèves ? »
Indications
pour l’animation
On peut souligner la limite du calcul mental en demandant par exemple aux ensei-
gnants : quelle forme de calcul choisiriez-vous pour les calculs suivants ?
564812 + 6754
567 x 1000
2500 x 4
...
Indications
pour l’animation
12 Le calcul mental
Des procédures de calcul à découvrir, entraîner et automatiser.
Dans les programmes, peu de procédures sont citées :
quelques repères au CP et CE1 sont donnés pour les apprentissages initiaux ;
au cycle 3, la mention répétée « consolider les acquis » est d’une impressionnante ouver-
ture…
Un balisage est donc indispensable. Pour « automatiser » des procédures, il faut les repérer,
les identifier, les désigner, les exercer. Ce travail est l’essentiel du parcours de formation à pro-
poser.
L’apprentissage préconisé est un passage par l’explicite :
expliciter ou faire expliciter les propriétés des nombres et celles des opérations en jeu dans
le calcul mental demandé, systématiquement en début d’apprentissage, puis chaque fois
que nécessaire ensuite ;
recenser les procédures adaptées à la progression de chaque année de l’école élémentaire
pour les enseigner explicitement.
Procédure ou procédures ?
Les propriétés des nombres ainsi que les relations que l’on peut percevoir entre deux nombres
sont d’une très grande variété. Cela doit nous inciter à beaucoup de prudence quant à la focali-
sation excessive sur une seule procédure pour effectuer mentalement une opération. Par
exemple, 125 x 42 ne se calcule pas comme 125 x 19 ; de même pour 125 + 42 ou 125 + 19…
Il serait contreproductif d’imposer une stratégie et une seule, même, et surtout, celle qui appa-
raît comme une évidence pour celui qui enseigne… Enseigner les procédures, c’est enseigner
méthodiquement chaque procédure (voir annexe 3, « repères des procédures CP et CE1 »),
l’exercer, l’automatiser puis accompagner les choix opportuns dans la situation donnée. Pour
choisir, il faut avoir le choix...
Ainsi, on doit recommander aux élèves :
d’observer avant de calculer ;
de chercher des relations « faciles » (c’est-à-dire, connues) avant de calculer ;
de différer le calcul (ce n’est pas une mécanique réflexe, donc pas de « calcul rapide »).
Il est souvent intéressant, aussi, de demander aux élèves de recommencer le calcul en utilisant
une autre procédure que celle qu’ils ont spontanément utilisée.
On pourra recenser les pratiques d’enseignement du calcul mental que les ensei-
gnants utilisent : « quelles procédures ont-ils apprises à leurs élèves au cours de la
période, du trimestre… en cours ? ».
On obtient le plus souvent le travail sur les tables (confondu avec les procédures), les
multiplications par 10, 100, 1000 (au cycle 3), la décomposition de +9 en (+10 –1)…
Cela met en lumière la difficulté à identifier des procédures et peut permettre de défi-
nir un objet de formation : quelles procédures apprendre, à quel niveau ?
Indications
pour l’animation
Modules de formation pour l’enseignement des mathématiques 13
Progression et programmation
Proposition de travail des enseignants en formation
Le document « progression » propose une distribution de quel-
ques connaissances et capacités spécifiques à travail-
ler. Il doit être mis en relation avec les « repères pour la
progressivité » : la progression est-elle cohérente ? Points ou-
bliés…
Le document « répertoire » propose pour le CP / CE1 un déve-
loppement (non exhaustif) de procédures à étudier.
L’étude détaillée (et critique) de ce document avec les
enseignants concernés peut être un point de départ.
Au cycle 2
Construire des séances permettant de présenter aux élèves de chaque niveau la technique
évoquée, de l’entraîner – c’est une répétition quotidienne sur une semaine dans le temps fort,
puis des reprises à intervalles réguliers, enfin des évaluations.
L’analyse détaillée du document proposé doit conduire à
aborder l’idée de séquence (le calcul mental du complé-
ment à 100 est envisagé dans une posture additive ou soustrac-
tive ; les séances de travail - découverte, entraînement - s’étalent
sur plusieurs jours).
On pourra demander aux enseignants en formation de :
composer la séance 2 : 100 – 23 = 100 – 20 – 3 ;
créer ce type de travail à propos d’autres repères.
Au cycle 3
A partir du document de travail du cycle 2 se pose la question de la progressivité.
Comment entretenir les connaissances acquises, comment les consolider ?
Comment élargir le niveau de compétence (par exemple le domaine numérique dans lequel
l’élève utilise telle ou telle procédure) ?
Quelles nouveautés enseigner dans le champ additif (à l’évidence les décimaux méritent un
travail spécifique) et dans le champ multiplicatif ?
On peut proposer de développer le répertoire de procédures de calcul mental : quelles progres-
sions jusqu’au CM2 ?
Document 2
Progression calcul mental (.pdf)
Document 3
Répertoire de procédures de
calcul mental (.doc)
Document 4
Séquence CE1 complément à
100 (.doc)
Les apprentissages se construisent dans la durée : la notion de séquence est essentielle.
L'un des passages importants de cette formation consiste en une clarification des notions de
programmation et de progression, de séance et de séquence. Le temps passé à cette clarifica-
tion sera sans doute variable d'un groupe d'enseignants à l'autre, en fonction de leur expé-
rience, mais il convient dans tous les cas de le prévoir.
Indications
pour l’animation
14 Le calcul mental
Construire une programmation
Chaque année, il faut déterminer une programmation pour les activités de calcul mental, tou-
jours associée aux autres apprentissages mathématiques (techniques opératoires, mesures…).
La programmation doit lier les autres apprentissages des mathématiques aux procédures du
calcul mental. Exemple : lorsqu’on étudie « la relation centimes et euro » - Grandeurs et mesu-
res CE1 -, il est impossible d’éviter de revenir au complément à 100. Autre exemple, la distribu-
tivité dans la technique opératoire de la multiplication doit être travaillée en calcul mental.
Liens avec les autres apprentissages mathématiques (CP et CE1)
Calcul mental et nombre (dizaines…)
Au CP/CE1, la représentation des nombres se construit pour une part sur le matériel (à varier :
les abaques – intérêt pour les échanges/groupements et la position ), sur la file puis la droite
numérique et les écritures. Par exemple, 45 doit être écrit sous des formes diverses :
« quarante-cinq » ; 40 et 5 ; 4 dizaines et 5 unités ; 4x10 + 5 ; …
En variant les écritures et donc les approches, on permet à l'élève d'apprendre à connaître les
nombres et de mieux percevoir leurs propriétés qui seront utiles pour le calcul mental.
Découverte des signes [+] et [-]
Calcul mental et techniques opératoires
Les techniques opératoires ne doivent pas être transposées en calcul mental ; les techniques
du calcul mental sont à apprendre spécifiquement.
Calcul mental et problèmes
Sens et technique (les programmes le répètent) sont liés et tout à fait complémentaires. Des
problèmes « simples » (programmes 2008) doivent être résolus mentalement : nombres et cal-
culs y trouvent une fonction. Les techniques de calcul mental s’appliquent prioritairement dans
le quotidien de la vie courante (monnaie, petites comparaisons de mesures, échanges entre
enfants…).
Calcul mental, sens et technique
En calcul mental, des techniques spécifiques sont à découvrir et à exercer. Elles ne s'installe-
ront durablement que si elles sont comprises, c'est à dire reliées à des connaissances déjà ins-
tallées sur les nombres et les opérations : sens et technique sont étroitement liés.
Exemple : complément à 100
Les techniques du passage de 73 à 100 (73+ ?=100 ; 100-73= ?) demandent une étude dis-
tincte, systématisées séparément. (voir un exemple de séquence – un exemple de séance).
La technique acquise ne s’applique pas comme une évidence dans des situations où il faut ren-
dre la monnaie si on donne 100€ pour payer un achat de 73€ (idem en centimes), si on cherche
l’écart entre une longueur de 1 m et 73 cm, si je cherche l’année du centenaire d’une personne
de 73 ans…
La complémentarité doit être enseignée dans un rapport identique à la construction sens et
technique qui lie technique opératoire et problèmes simples.
Modules de formation pour l’enseignement des mathématiques 15
Des ressources pour varier les entraînements
Les techniques usuelles de l’information et de la communication (TUIC)
La plupart des sites ont deux limites : d’une part, ce sont les tables qui sont principalement mi-
ses à l’épreuve, et d’autre part, l’appui et le ressort relèvent de la performance.
Les procédures sont peu sollicitées. L’analyse de l’erreur est impossible.
Ces limites doivent être connues des enseignants.
Les jeux
De nombreux jeux de société, de cartes ou de dés, permettent de travailler le calcul mental en
s’amusant, par exemple :
le mille-bornes (multiples de 25 ; compléments à 100, à 200, etc.) ;
le jeu de l’oie (additions de 2 nombres, compléments à…) ;
les monopolys, etc.
Le formateur peut inviter les enseignants à consulter un site qui propose un excellent
essai d’analyse de l’offre dans ce domaine :
http://www.ac-grenoble.fr/mathssciences/spip.php?rubrique143
On demande aux enseignants d’explorer quelques sites (trois au maximum – une pe-
tite coordination est nécessaire) et d’en dégager les intérêts et les imites.
Le site « calcul@TICE » - http://calculatice.ac-lille.fr/calculatice/
onglet « exercices » : voir les différents niveaux, la gradation, la répartition table/
calcul mental – les limites – la performance (un score).
Remarque d’utilisateur : l’impact du défi est incontestable sur la mémorisation des
tables et la prise de conscience, dès le CP, de l’intérêt du passage du dénombre-
ment à la mémorisation des résultats des tables !
onglet « application » : un travail de paramétrage de chaque situation est possible
(voir le « mode d’emploi »).
Indications
pour l’animation
« Le calcul mental peut devenir un défi »
Les séances de calcul mental doivent être
ludiques, l’élève doit y trouver du plaisir :
plaisir de chercher, de trouver, de réussir
de plus en plus rapidement.
« Un calcul mental est un petit problème »,
la résolution d’un calcul mental demande :
prise d’information ;
réflexion et raisonnement ;
choix et mise en œuvre d’une stratégie ;
formulation du résultat.
16 Le calcul mental
L’évaluation doit être envisagée à la fin de chaque période. Elle porte sur ce qui a été enseigné
et entrainé ; il n’y a « ni piège, ni surprise ».
Elle a trois fonctions :
valoriser les progrès - c’est essentiel - l’élève doit prendre plaisir à progresser, le calcul men-
tal est aussi un jeu ;
dire à l’élève ce qu’il sait et ce qu’il ne sait pas encore suffisamment bien (repérer ses forces
et ses difficultés) ;
indiquer à l’enseignant ce sur quoi il doit insister encore .
Elle porte sur trois aspects liés au calcul mental :
la mémorisation de résultats ;
l’automatisation des procédures étudiées ;
l’utilisation de ces procédures dans la résolution de problèmes simples.
Évaluer la mémorisation des tables
L’évaluation de la mémorisation des tables peut être exemplaire pour accompagner le change-
ment de conception et de pratique de l’évaluation.
Dans les classes, on observe encore trop souvent des pratiques d’interrogation surprenantes,
comme, par exemple, demander aux élèves de donner 10 résultats de calculs issus des tables
et traduire le nombre de réussites en note : (x) réussites correspondent à une note (x/10).
Quelle est le sens d’une telle pratique ? quelle est sa valeur ?
Dans une logique d’acquisition de compétence, l’indicateur donné pour la fin de l’école primaire
(palier 2 du Socle commun de connaissances et de compétences) est intitulé ainsi : « restituer
les tables d’addition et de multiplication de 2 à 9 ». Le niveau de référence est donc la disponibi-
lité immédiate des résultats. On doit considérer la compétence acquise lorsque le taux de réus-
site est élevé : seul le taux de 9 réponses sur 10 (ou une erreur dans une série conséquente
d’interrogations) peut avérer du niveau de performance attendu en fin de palier.
Il y a là un saut professionnel essentiel et conséquent, qui peut être débattu en formation pour
éclairer la sensible différence entre la réussite d’une tâche, d’un exercice et l’accès à une com-
pétence.
Évaluation
Le retour sur les évaluations nationales (livret enseignant) peut conforter les deux direc-
tions à travailler pour développer les compétences des élèves en calcul mental :
recherche des items évaluant la mémorisation des tables ;
recherche des items évaluant le calcul mental (ils sont très peu nombreux).
Au cycle 3
Voir le livret enseignant CM2, janvier 2011, page 24 ex 5 et 6, items 72
et 73.
Rappel des calculs dictés : A : 2x9; B : 3x4 ; C : 5x5 ; D : 3x8 ; E : 7x5 ; F : 8x9 ;
G : 7x9 ; H : 7x8 ; I : 9x9 ; J 6x7.
Remarque : les 2 items (72 et 73) évaluent les tables avec des modes d’interrogations
différents.
Indications
pour l’animation
Diapo 15
Modules de formation pour l’enseignement des mathématiques 17
Évaluer les procédures
A chaque fin de période de travail doit correspondre une évaluation qui fasse le point sur la part
d’automatisation des procédures étudiées.
(NB : L’évaluation des tables suppose des interrogations ciblées, orales et écrites et fait partie
de ces séries d’exercices)
Il y a peu de ressources dans ce domaine. Les référents proposés (les protocoles des évalua-
tions nationales) évaluent essentiellement la mémorisation des tables.
On doit donc compléter les évaluations en partant du recensement des procédures à connaître
et développer la concrétisation de la progressivité (par exemple, quelles évolutions des appren-
tissages dans le champ additif entre le CP et le CM2 ?)
Ce type de travail peut donner lieu à une production en formation, en prenant appui sur les
« repères pour la progressivité des apprentissages » et l’ouvrage « Le nombre au cycle 2 ».
Rappel : les exercices proposés dans les protocoles des évaluations nationales de CM2 de
2009 à 2011 correspondent aux compétences attendues en fin de CM1.
Au cycle 2
Voir le livret enseignant CE1, mai 2010, page 24 ex 6, items 68 et 69,
70 et 71.
Seuls les deux premiers items (68 et 69) évaluent les tables (5 interrogations sur
l’addition / 5 interrogations sur la multiplication).
On pourra débattre du choix « 9x2 » et/ou « 2x9 » et vérifier que la pratique de la
commutativité a un impact lorsqu’elle n’est pas systématiquement entraînée.
Les items 70 et 71 évaluent le calcul mental (les procédures utilisent les résultats
des tables - on pourra demander aux enseignants de reconnaître des procédures
sensées être automatisées).
L’étude des consignes respectives vaut d’être détaillée :
Tables : « dire… répéter » - C’est-à-dire restituer.
Procédures : « dire… répéter… comptez dans votre tête… (laisser 30 secondes)-
C’est-à-dire traiter l’information, appeler les connaissances des tables et opérer des
calculs.
Rappel : Pour le maître, l’objet est bien d’évaluer le degré de mémorisation des ta-
bles, il prendra donc en compte le taux de réussite. Mais pour l’élève, chaque résul-
tat donné est à étudier : juste, il peut être effacé de son répertoire personnel ; faux,
il doit être noté sur son répertoire personnel, donc à apprendre.
(Voir la partie « mémoriser les tables »)
Diapo 16
18 Le calcul mental
Évaluer la capacité d’un élève à choisir une procédure adaptée
Exemple, autour du thème développé dans la fiche séance « compléments à 100 » :
56 + 40 =… 87-30=…
67 + … =100 100-24=…
42 + … = 60 70-35=…
Évaluer la capacité d’un élève à reconnaître une procédure
Exemples : 58+32 = 60+… 58-32=56-…
Évaluer le niveau d’automatisation d’une procédure
Pour chaque procédure, on donne quelques calculs à réaliser dans un temps donné, par exem-
ple, 5 cas à réaliser en 2 minutes :
67+…=100 …+86=100 78+…=100 …+55=100 39+…=100
100-27=… 100-….=76 100-28=… 100-19=… 100-…=52
Évaluer l’application d’une procédure dans des problèmes simples
Rendre la monnaie / égaliser deux sommes / écart…
Prix 65 centimes ; on paie avec 1 euro.
J’ai 34 euros. Combien me manque-t-il pour acheter un cadeau à 50 euros ?
Différence d’âge entre deux frères de 23 ans et 40 ans.
Niveau d’exigence en fin d’école élémentaire
En fin de CM2, il est raisonnable de considérer que le calcul mental se limite aux nombres infé-
rieurs à 1000.
C’est une investigation détaillée qui est indispensable pour situer le niveau d’ambition harmoni-
sé aux compétences acquises dans le domaine du nombre (naturel et décimal), des multiples
d’usage courant…
Pour le champ multiplicatif, quelques repères :
34x5
24x15
25x12 125 : 5
324x5 84 : 4
34x11 35 : 2
En début d’année et en fin d’année, sur la même série de propositions, on peut interro-
ger les élèves sur ce qu’ils savent faire en calcul mental (en utilisant la consigne « barre
ce que tu ne sais pas faire »).
Exemple au CE1 : 23+10 546+4+10 300x2 300+100+50 12+6+2 etc.
Modules de formation pour l’enseignement des mathématiques 19
On peut proposer aux enseignants :
d’élaborer des situations d’évaluation relatives aux différentes procédures étu-
diées dans une séquence donnée (ex. voir séquence complément à 100) ;
d’élaborer des situations d’évaluation pour les différents types de procédures
identifiées. (ex. voir répertoire des procédures CP et CE1) ;
au cycle 3, de rechercher l’évaluation des procédures pour l’exercice 19 du
protocole d’évaluation nationale CM2 de janvier 2011
(item 94, calculer 8,3 x 5 - item 95, compléter 246 + 34 +…. = 500)
Indications
pour l’animation
Table des documents complémentaires
20 Le calcul mental
Annexe 1 : Programmes d’enseignement de l’école primaire (extraits)
Modules de formation pour l’enseignement des mathématiques 21
Annexe 2 : Programmes de sixième (extraits)
