MODULE D’YOUNG Le module d'Young et la limite d'élasticité sont les deux caractéristiques principales des matériaux de structure fonctionnant dans le domaine élastique (ski, éléments de structure de bâtiment, bras de suspension, pâle d'hélicoptère, aile d'avion,… tous pouvant être assimilés à des poutres aux extrémités libres ou encastrées). Le dimensionnement des structures repose sur la vérification des conditions de : • rigidité : le changement de forme de la structure ne peut pas dépasser une certaine valeur seuil, fixée dans les cahiers de charges, • solidité : la contrainte imposée doit être inférieure à la limité d'élasticité du matériau. Le but de cet exercice est de montrer que la valeur numérique du module d'Young peut être déduite du potentiel d'interaction entre les atomes. Par la suite, nous tenterons de minimiser la masse d'une structure à rigidité imposée et d'optimiser le module d'Young des composites. 1. Le potentiel d'interaction U de 2 atomes distants de r dans une liaison iono-covalente s’écrit : = = + - = On suppose que ces atomes forment une molécule stable avec une énergie de liaison de - 4 eV pour une séparation de 0,3 nm. - calculer A et B, - tracer les courbes U(r) et F(r). 2. En se rappelant la loi de Hooke (cours MMCE) dans son expression la plus simple, analyser le comportement de cette liaison en "traction-compression" uni-axiale, - déduire de cette analyse l'expression du module d'Young, - calculer sa valeur numérique, est-elle raisonnable? - évaluer la contrainte de rupture, en considérant un modèle simplifié du matériau, de type cubique simple, est-elle raisonnable? pourquoi? 3. On revient dans le domaine de l'élasticité linéaire et on considère une poutre encastrée de section carrée e 2 , de longueur l et fléchissant librement d'une hauteur f, sous l'effet d'une force ponctuelle F (cf le schéma ci-dessous) : f F l f F l La RdM nous donne l'expression de ce fléchissement : ⋅ ⋅ ⋅ = . Dans ce problème sont imposés par le cahier de charges : la longueur l = 1m, la charge F = 300 kG, la flèche maximale f = 5 mm, et la forme de la section (carrée, mais e reste à déterminer). On recherche un matériau (parmi ceux du tableau ci-dessous) permettant de minimiser la masse de la poutre. E (GPa) ρ (kg/m 3 ) Béton E20 20 2400 Bois (contreplaqué) 5,5 800 Acier au carbone 210 7800 Aluminium (7075) 72 2810

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• rigidité : le changement de forme de la structure ne peut pas dépasser une certaine valeur seuil, fixée dans les cahiers de charges,

• solidité : la contrainte imposée doit être inférieure à la limité d'élasticité du matériau. Le but de cet exercice est de montrer que la valeur numérique du module d'Young peut être déduite du potentiel d'interaction entre les atomes. Par la suite, nous tenterons de minimiser la masse d'une structure à rigidité imposée et d'optimiser le module d'Young des composites. 1. Le potentiel d'interaction U de 2 atomes distants de r dans une liaison iono-covalente s’écrit :

�� ==+−= ��

�

��

On suppose que ces atomes forment une molécule stable avec une énergie de liaison de - 4 eV pour une séparation de 0,3 nm.

- calculer A et B, - tracer les courbes U(r) et F(r).

2. En se rappelant la loi de Hooke (cours MMCE) dans son expression la plus simple, analyser le comportement de cette liaison en "traction-compression" uni-axiale,

- déduire de cette analyse l'expression du module d'Young, - calculer sa valeur numérique, est-elle raisonnable? - évaluer la contrainte de rupture, en considérant un modèle simplifié du matériau, de type

cubique simple, est-elle raisonnable? pourquoi? 3. On revient dans le domaine de l'élasticité linéaire et on considère une poutre encastrée de section carrée e2, de longueur l et fléchissant librement d'une hauteur f, sous l'effet d'une force ponctuelle F (cf le schéma ci-dessous) :

l�

La RdM nous donne l'expression de ce fléchissement :�

��

� ⋅

⋅⋅= .

Dans ce problème sont imposés par le cahier de charges : la longueur l = 1m, la charge F = 300 kG, la flèche maximale f = 5 mm, et la forme de la section (carrée, mais e reste à déterminer). On recherche un matériau (parmi ceux du tableau ci-dessous) permettant de minimiser la masse de la poutre.

E (GPa) ρ (kg/m3) Béton E20 20 2400 Bois (contreplaqué) 5,5 800 Acier au carbone 210 7800 Aluminium (7075) 72 2810

- exprimer la masse de la poutre en fonction des paramètres du cahier des charges d'une part

et du matériau d'autre part, - quelle est la combinaison de propriétés de matériaux qui permet de minimiser la masse pour

une rigidité imposée? - quel est le meilleur matériau pour l'application considéré, discutez le classement obtenu, - calculer la masse et la section de la poutre de masse minimale, - comment augmenter le module d'Young du matériau choisi?

4. Rigidité d'un composite à fibres longues On considère un composite unidirectionnel à fibres longues. Une fraction volumique fv de fibres de module Ef est insérée dans une matrice de module Em. Donnez l'expression du module Ecomp du composite dans le cas simple où la sollicitation est parallèle aux fibres.