MODULE - METHODES POTENTIELLES - 2014

Contenu du cours (par M. Munschy, S. Fleury & P. Sailhac) : I. M. Munschy Notions de Bases des méthodes potentielles (gravimétrique et magnétique) I.a Propriétés physiques des roches : densités, aimantations induites et aimantations

rémanentes. I.b. Champs de potentiel (gravimétrique, magnétique, …) I.c. Etablissement de profils et cartes d'anomalies gravimétriques et magnétiques : les

mesures, les corrections des données, ... I.d. Calculs de l’effet de structures simples : sphère, cylindre, filon, faille et prisme

quelconque à deux dimensions. II. P. Sailhac Quelques méthodes d'interprétation et de transformations rapides des anomalies

qui permettent d'affiner la localisation des structures et d'en délimiter les contours. II.a Prolongement et dérivations II.b Spectre de Fourier II.c Réduction au pôle et signaux analytiques II.d Couche équivalente

Profil aéromagnetique de l’anomalie du champ total

Signature de Filons

~2km500m ~40°

Signature d’une faille

Problématique du prolongement, de la dérivation et de la réduction des champs de potentiel : Exemple en Aéromagnétisme

Profil de l’anomalieAéromagnetique (Données)

Structures en Profondeur (Objectif)

Gradient Horizontal

Anomalie du Champ Total

Géologie en Surface

Profil aéromagnetique de l’anomalie du champ total

Signature de Filons

~2km500m ~40°

Signature d’une faille

Problématique du prolongement, de la dérivation et de la réduction des champs de potentiel : Exemple en Aéromagnétisme

Profil de l’anomalieAéromagnetique (Données)

Structures en Profondeur (Objectif)

Model 2D

Model 3D

&

Potentiel gravimétrique (Newtonien) produit par densité massique r :

Anomalie ponctuelle en 1/r

Principe de base : définition des champs de potentiel

Champ de Potentiel = solution de l’équation de Poisson :

2

GV 42

espace

rdGVr'r

r'r

)(')( 3

Anomalie gravimétrique : dérivée verticale du potentiel Newtonien

Vg zz

espace

z

zzrdGg 3

3 )()'(')(

r'r

r'r

Anomalie ponctuelle en 1/r3 (à l’horizontale) ou 1/r2 (verticale)

Autres champ de potentiel en exploration géophysique :• Magnétique (relié au potentiel gravi par dérivation car les sources sont dipolaires)• VLF (utilisant le champ magnétique secondaire)• SP (dans le cas de l’approximation dans un milieu de conductivité constante)

En Gravimétrie :

Champ Gravimétrique à 2D :

Masse locale en z=z0 Prolongement vers le haut

hzz PGG *02

0zG

z2=z0+h

z0

Principe de base : le prolongement, comme propriété essentielle des champs de potentiel

Ref.: Paul et al. 1966, Geophysics 31, 940

Une ligne d’iso-potentiel est droite

Partie inférieure des iso-potentiel est droite

Intersection = point singulier des sources (coin, et segment supérieur d’un bord)

Source = Marche inclinée

Exemple d’utilité du prolongement vertical :Application à la caractérisation d’une marche et d’un pendage

(ref. Thomas Ridsdill-Smith - PhD)

Combinaison de levés àdes altitudes différentes(par prolongement vertical)

Problématique du prolongement, de la dérivation et de la réduction des champs de potentiel

Equation de Poisson :

2

hh GP

0zG

Masses en z=z0

Prolongement vers le haut

hzz PGG *02

0zG

z2=z0+h

z0

Fonction de Green en gravi définit l’opérateur de prolongement vers le haut :

0

2zG

2121 zzzz PPP Définition Propriété

Solution où :

Objectifs Principaux = Corriger les artéfacts liés à des altitudes irrégulières, à la topographie et au bruit des données

Moyen = Utilisation d’un filtre passe-bas transformant les donnée d’une altitude vers une altitude plus élevée

Problématique du prolongement, de la dérivation et de la réduction des champs de potentiel

Relation entre les anomalies gravimétriques et magnétiques : Dérivation oblique

Relation entre une anomalies magnétique quelconque et celle qu’on aurait mesurée au pôle pour une même source : Intégration oblique puis dérivation verticale

Masses à z=z0

Dérivation

2zG

0zG

z2=z0+h

z0

Dipôles à z=z0

Objectifs Principaux = Mettre en évidence le bord des anomalies, et placer le maximum des anomalies à l’aplomb des sources

Moyen = Utilisation de combinaison de filtres de dérivation

• La réduction au pôle ramène le sommet de l’anomalie au-dessus du centre de la structure.• Le signal analytique aussi (à 2D), et permet en plus de localiser les sommets de la

structure par dérivation (pour des sources de grande largeur devant leur profondeur).

Problématique comparable à la réduction au pôle, par transformation en signal analytique des anomalies magnétiques du champ total

Anomalies magnétiques de structures 2D en fonctions de l’inclinaison apparente I’

Prolongement dans le domaine de Fourier à 1 et 2 variables

Exercice permettant de déterminer l’opérateur de prolongement vers le haut

On considère la fonction homogène f(x,y,z) dans le demi-plan supérieur ne contenant aucune source (z croissant vers le bas). Cette fonction f est soit l’anomamie magnétique du champ total T soit l’anomalie gravimétrique g. Ainsi l’anomalie vérifie l’équation de Laplace :

(1)

1/ Définir la transformée de Fourier 2D F(u,v,z) de f(x,y,z) suivant les variables x et y.2/ Montrer que l’équation (1) dans le domaine de Fourier 2D s’écrit :

(2)

3/ Pour résoudre l’équation différentielle (1 ou 2), on a besoin de fixer les conditions aux limites. Une première condition est fournie par l’argument physique : l’anomalie est nulle très loin des sources, i.e. f(x,y,z)→0 pour z→-. La deuxième condition est fournie par des données sur le plan z=0 : f0(x,y)=f(x,y,z=0). En notant F0(u,v)=F(u,v,z=0), déterminer les solutions F de l’équation (2) en fonction de F0, puis les solutions f de l’équation (1) en fonction de f0.

4/ Déduire de la question 3/ l’expression de l’opérateur de prolongement vers le haut depuis un plan horizontal.

02

2

2

2

2

2

z

f

y

f

x

ff

4 2 (u 2 v 2 )F(u, v, z) 2 F(u, v, z)

z 2 0

 • on obtient les expressions suivantes dans le domaine de Fourier (z positif vers le

bas) :

– prolongement :   

– dérivations :    

– opérateur de prolongement :   

– opérateur de dérivation :    

  

212220 )vu( avec e),v,u(F)z,v,u(F z

),,(2),,( zvuiuFzvuFx

21222 )vu( avec )z,v,u(F)z,v,u(Fz

),,(2),,( zvuivFzvuFy

21222 )vu( avec e)v,u(P z

z

2122 )( )(2),( vuaveciviuvuOD

V

)ˆˆˆ( zyxVet

V.3 Opérations de prolongement et de dérivation

 • on obtient les expressions suivantes dans le domaine spatial :

  

opérateur de prolongement d’un profil (à 2D) :

opérateur de prolongement d’une carte (à 3D) :       

  

222

1

zx

z )x(Pz

V.3 Opérations de prolongement et de dérivation

23222

1/z

zyx

z )y,x(P

Exercice :

On s’intéresse à l’opérateur de prolongement de hauteur z dontle spectre de Fourier (à 1D) s’écrit

Pz(u)=e2pz|u|

où u est la fréquence et z est positif pour un prolongement vers le bas.

• Représenter le spectre Pz(u) de l’opérateur de prolongement vertical pour plusieurs valeurs de z (petites et grandes, négatives et positives) et discuter du rôle de z sur le filtrage.