Mαθηματικός Λόγος194.30.242.9/gr/acl/lykeio/mathimatikos_logos.pdf · fractals (φράκταλς, μορφοκλάσματα) στο μυαλό του κατά τη

$Page 1: Mαθηματικός Λόγος194.30.242.9/gr/acl/lykeio/mathimatikos_logos.pdf · fractals (φράκταλς, μορφοκλάσματα) στο μυαλό του κατά τη$
1ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ Μάϊος 2013

ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΣΚΕΨΗΣ ΤΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΟΛΛΕΓΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ

ΕΛΛΗΝΟΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΟΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΝ ΙΔΡΥΜΑΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ-ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ

MαθηματικόςΛόγος

ΧΡΟΝΟΣ 1ος - τεύχος 1ο

2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΟΣ Μάϊος 2013

μαθηματικόςλόγος

ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΣΚΕΨΗΣ

ΤΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΟΛΛΕΓΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ

ΧΡΟΝΟΣ 1ος - τεύχος 1ο

❖ ❖ ❖

ΑΡΧΙΣΥΝΤΑΚΤΡΙΑ

Όλγα Κυριαζή

Στο τεύχος συνεργάστηκαν οι:

Ειρήνη Αϊδίνη

Αντιγόνη Αλειφέρη

Ελένη Αλεξανδράκη

Άγγελος Βακάλης

Άννα Ελευθεριάδου


Ελεάννα Πρωτοπαπά

❖ ❖ ❖

ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΙ

Χρίστος Κωνσταντόπουλος

Αλέξανδρος Μαναρίδης

Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α

Math Art - Algorithmic ArtΤης Όλγας Κυριαζή ................................................................................ 4

Συμμετρία: Το στοιχείο της τάξηςΤης Ελεάννας Πρωτοπαπά .................................................................... 9

Αρχιμήδης: Ο μετριόφρων επιστήμωνΤης Όλγας Κυριαζή ............................................................................. 11

Évariste GaloisΤου Άγγελου Βακάλη .......................................................................... 13

Curiosity RoverΤης Άννας Ελευθεριάδου .................................................................... 15

Διαβάσαμε και απαντάμεΤης Ειρήνης Αϊδίνη ............................................................................ 17

Της Ελένης Αλεξανδράκη .................................................................... 18

Της Αντιγόνης Αλειφέρη ..................................................................... 19

Είπαν για τα ΜαθηματικάΤης Της Όλγας Κυριαζή ..................................................................... 20


EDITORIAL

Ένας λόγος για ανάγνωση

Κατανοώ πως ο καθένας από εμάς έχει και κάποια ίσως πιο ενδια-φέρουσα ασχολία από το να διαβάσει το περιοδικό της ΜαθηματικήςΣκέψης. Λογικό να μην έχουμε απεριόριστο ελεύθερο χρόνο και να πνιγό-μαστε από τις υποχρεώσεις του σχολείου για να αφιερώσουμε χρόνο προ-κειμένου να διαβάσουμε για μαθηματικούς, ρητά και επιτεύγματα. Αςδώσουμε όμως μια ευκαιρία σε αυτό το περιοδικό που γράφτηκε από τουςμαθητές της Μαθηματικής Σκέψης της Α’ Λυκείου και όχι μόνο.

Οι σελίδες του περιοδικού μας είναι γεμάτες από τον μαγικό κόσμοτων Μαθηματικών. Τα Μαθηματικά, μια επιστήμη – που όσο κι αν φαί-νεται περίεργο – δεν είναι και δεν αφορά μόνο στις ιδιοφυΐες αλλά και σεεμάς που ενδιαφερόμαστε και τη μελετούμε γιατί την αγαπάμε. Την αγα-πάμε και είμαστε περίεργοι πόσο μακριά θα μας ταξιδέψει. Πόσο θα κου-ράσει τα αγύμναστα μυαλά μας; Θα προλάβει ποτέ να αναδείξει τιςαπεριόριστες δυνατότητες και τους τομείς τους οποίους απασχολεί και επη-ρεάζει; Θα παύσει να μας μαγεύει; Θα τελειώσει ποτέ αυτό το ταξίδι ή θαμας φτάσει μέχρι (της ζωής) το άπειρο;

«Ο Μαθηματικός Λόγος». Πολλά μπορούν να ειπωθούν. Όλοι μπορούννα σχολιάσουν κάτι διαφορετικό. Η Μαθηματική Σκέψη αφήνει αυτές τιςτρεις λέξεις στη δικιά σας φαντασία και σας εύχεται καλή ανάγνωση.

Καλή Ανάγνωση!Η αρχισυντάκτρια



Τα Μαθηματικά και η τέχνη είχαν ανέκα-θεν μια στενή σχέση. Πολλά είναι τα

ιστορικά παραδείγματα που επιβεβαιώνουντους συνεκτικούς δεσμούς μεταξύ τους. Επι-πλέον, είναι πολλοί εκείνοι που εμπνευσμένοιαπό τα μαθηματικά, τα σπούδασαν με απώτεροσκοπό να τελειοποιήσουν τα έργα τους. Μπορείνα μην το αντιλαμβανόμαστε, αλλά ακόμη καισε καθημερινό επίπεδο βλέπουμε – ή ακούμε –την εφαρμογή των μαθηματικών στην τέχνη.

Οι Αρχαίοι Αιγύπτιοι, Έλληνες και Ρωμαίοιγνώριζαν τη χρυσή τομή και την ενσωμάτωνανστο σχεδιασμό μνημείων, όπως ο Παρθενώναςκαι το Κολοσσαίο. Ο Έλληνας γλύπτης Πολύ-κλειτος ορίζει μια σειρά από μαθηματικές δια-στάσεις για να σκαλίσει με ιδανικό τρόπο ένανγυμνό άντρα. Τέλος, Αναγεννησιακοί ζωγράφοι,στράφηκαν στα μαθηματικά ενώ μερικοί, όπωςο Piero della Francesca, έγιναν οι ίδιοι επι-τυχημένοι μαθηματικοί.

Ποιος δεν περπατά καθημερινά σε πλακό-στρωτα; Ποιος όταν ήταν παιδί δεν κοιτούσε

κάτω ενώ περπατούσε προσπαθώντας να πατάειανά δύο τα τετράγωνα, ή να μην πατάει στιςγραμμές ή οτιδήποτε άλλο μπορούσε να σκε-φτεί; Δεν είναι όλα αυτά παραδείγματα τηςεφαρμογής των μαθηματικών στην τέχνη; Τοπαιδί που περπατά μόνο σε συγκεκριμένα τε-τραγωνάκια των πλακόστρωτων έχει ορίσει έναμοτίβο το οποίο ακολουθεί. Τα πλακόστρωτακατασκευάζονται με συγκεκριμένο αλγόριθμο.

Επομένως, μαθηματικές εξισώσεις δε λείπουνούτε από την αρχιτεκτονική. Η Αλάμπρα στηΓρανάδα χαρακτηρίζεται ως Παλάτι της συμ-μετρίας. Η είσοδος του, η οροφή του και ταπλακάκια του είναι κατασκευασμένα με βάσηεπαναλαμβανόμενα μοτίβα. Ειδικοί αναφέρουνότι το χαρακτηρι-στικό της εισόδουτης Αλάμπρα είναιη ιδιαιτερότητατων εικόνων, πουτην αποτελούν, ναταιριάζουν από-λυτα σε όποιαθέση και αν τιςμετατοπίσει κα-νείς. Επιπρόσθετα,οι καλλιτέχνες τουΙσλάμ χρησιμοποι-ούσαν σε μεγάλοβαθμό τη συμμετρία πιστεύοντας ότι με αυτότον τρόπο εκφράζουν την άπειρη σοφία και με-γαλοπρέπεια του Θεού.

Math Art – Algorithmic Artτης Όλγας Κυριαζή


Είναι αξιοσημείωτη η σύνδεση που πέτυχε οΜπαχ ανάμεσα στη σύνθεση κλασσικής μουσι-κής και στα μαθηματικά. Χωρίς φυσικά να έχειfractals (φράκταλς, μορφοκλάσματα) στομυαλό του κατά τη σύνθεση κομματιών, παρ’όλ’ αυτά στα κομμάτια του παρατηρείται μιακίνηση που έχει επαναλαμβανόμενη δομή σεδιαφορετικές (μουσικές) κλίμακες χαρακτηρι-στικές ενός φράκταλ. Η αναδρομική μορφήαυτής της μουσικής δομής μπορεί να οπτικο-ποιηθεί ως μια δομή φράκταλ. Συγκεκριμέναστη συλλογή του “The Goldberg Variations”υπάρχουν τριάντα παραλλαγές (variations) τα-ξινομημένες σε δέκα ομάδες των τριών. Κάθεσετ τριών κομματιών είναι μια ελεύθερη πα-ραλλαγή σε ντουέτα και κανόνα.

Κάτι παρόμοιο επιχείρησε με επιτυχία και οΙάννης Ξενάκης, Έλληνας που σταδιοδρόμησεστη Γαλλία. Ο Ιάννης Ξενάκης εργαζόταν ωςαρχιτέκτονας ενώ σπούδαζε μουσική. Έτσι εξη-γείται η συνήθεια του να χρησιμοποιεί μαθη-ματικές και αρχιτεκτονικές έννοιες στη μουσικήδομή. Ασχολήθηκε συστηματικά με τη μετα-φορά στη μουσική των μαθηματικών «Νόμωντων πιθανοτήτων», ενώ επινόησε τον όρο «Στο-χαστική μουσική», που βασίζεται στην ιδέαανάπτυξης του ηχητικού υλικού, με στατικούς

μέσους όρους «προς ένα στόχο». Σαν βάση γιατη μουσική του σύνθεση χρησιμοποίησε τουλά-χιστον 15 μαθηματικές θεωρίες.

Σήμερα, στον 21ο αιώνα, άνθρωποι με με-ράκι, αγάπη για τα μαθηματικά και δημιουρ-γικότητα δημιουργούν ιστοσελίδες, αναρτούνάρθρα και εικόνες τόσο εντυπωσιακές που δύ-σκολα φαντάζεται κανείς ότι από πίσω τουςκρύβουν μαθηματικές εξισώσεις. Σχήματα επα-ναλαμβανόμενα, κύκλοι, τετράγωνα, πολύγωνα,σχήματα, σχήματα ακανόνιστα και πολλέςγραμμές με χρώματα. Όλα αυτά δεσμεύουν τηνπροσοχή του καθένα και του δίνουν τη δυνα-τότητα να τα μεταφράσει όπως εκείνος θέλειμε οδηγό την φαντασία του!

Ποιος λοιπόν μπορεί να αρνηθεί τώρα τοπάντρεμα των μαθηματικών με τις διάφορεςμορφές τέχνης; Αρχιτεκτονική, γλυπτική, ζω-γραφική, μουσική μπορούν να βασιστούν σεμαθηματικά μοτίβα και συμμετρίες. Αυτά πουδιδασκόμαστε στην τάξη και που δύσκολα έλ-κουν το ενδιαφέρον και την προσοχή των προ-κατειλημμένων μαθητών για την σημασία τωνμαθηματικών, φτάνουν τώρα να είναι η βάσηπολλών μορφών τέχνης. Κάντε απλώς ένα κλικστο Διαδίκτυο γράφοντας “Math art!”




Βιβλιογραφία

http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematics_and_artΘεωρία των Ομάδων o μαθηματικός, η sυμμετρία, και το τέρας, Marcus du Sautoy.http://mathtourist.blogspot.gr/2008/09/fractal-in-bachs-cello-suite.htmlhttp://www.good-music-guide.com/reviews/017_goldberg.htmhttp://www.sansimera.gr/biographies/222#ixzz2R6BxxPHv


Ησυμμετρία ενδιαφέρει ανθρώπους απόπολλούς κλάδους, όπως τον μαθημα-

τικό, τον καλλιτεχνικό, το χώρο της φυσικήςκαι τον χώρο της αρχιτεκτονικής. Ωστόσο, αξιο-σημείωτο είναι το γεγονός πως η κάθε επιστήμηαντιλαμβάνεται διαφορετικά τον όρο «συμμε-τρία». Δεν παύει, ενώ αποτελί παγκόσμια αρχήνα εμφανίζεται σπάνια στην καθημερινότητάμας καθώς σε αυτήν δεν κυριαρχ η ασσυμετρία.Η συμμετρία συνδέεται άμεσα με την ταξινό-μηση και τα όρια, ενώ η ασσυμετρία είναι απε-ριόριστη.

Τα περισσότερα είδη συμμετρίας παρουσιά-ζουν της έννοιες της ισοομοιότητας και της πε-ριοδικότητας. Ένας σύντομος ορισμός τηςισοομοιότητας είναι πως τα επιμέρους στοιχείαπου συμμετέχουν στην συμμετρία ταυτίζονται

σε κάθε λεπτομέρεια, ενώ περιοδικότητα είναιη κανονική απόσταση μεταξύ στοιχείων στησυμμετρία. Αν, λοιπόν, παρατηρείται έλλειψηαυτών των στοιχείων τότε πολύ πιθανό είναινα υπάρχει έλλειψη συμμετρίας.

Η απλούστερη μορφή συμμετρίας είναι τομοτίβο, το οποίο μπορεί εύκολα να επεκταθείσε σειρές. Ένα αναγνωρίσιμο μοτίβο αποτελεί-ται από τρία ή περισσότερα αντικείμενα διατε-ταγμένα με κάποια σειρά (φωτογραφία 1). Αυτότο μοτίβο αν επεκταθεί θα σχηματίσει μίασειρά από τα ίδια αντικείμενα το ένα μετά τοάλλο. Για να κάνουμε όμως λόγο για συμμετρίαθα πρέπει το μοτίβο ή η σειρά να μην μετα-

Φωτογραφία 1



Σ Υ Μ Μ Ε Τ Ρ Ι Α :

Το στοιχείο της τάξηςτης Ελεάννας Πρωτοπαπά


βάλλονται για το συγκεκριμένο διάστημα πουεξετάζουμε ως παρατηρητές. Στην καθημερι-νότητά μας, μοτίβα και σειρές εντοπίζουμε στοκαλαμπόκι (φωτογραφία 2), στα ψάρια και ερ-πετά (φωτογραφία 3), στα σπίτια (φωτογραφία4) και σε ρούχα, όπως για παράδειγμα φουλάρια.

Η ακτινική συμμετρία ανήκει στην κατηγορίατης σημειακής συμμετρίας και κατηγοριοποιείταισε τρεις ομάδες. Η πρώτη αφορά τις δύο διαστά-σεις και θέτει ως σημείο αναφοράς ένα τυχαίο ση-μείο στο επίπεδο. Από αυτό το σημείο ξεκινούνημιευθείες προς όλες τις κατευθύνσεις (φωτογρα-φία 5). Η δεύτερη και η τρίτη ομάδα αφορούντις τρεις διαστάσεις. Η δεύτερη ορίζει και εκείνηως κέντρο ένα σημείο, αυτή τη φορά, στο χώρο.

Από εκεί ξεκινά η ακτινική συμμετρία και απλώ-νεται σε όλες τις διευθύνσεις του χώρου (φωτο-γραφία 6). Τέλος, στην τρίτη ομάδα σημείοαναφοράς αποτελεί ένας πολικός άξονας περιστρο-φής (φωτογραφία 7).

Στην καθημερινή μας ζωή η ακτινική συμμε-τρία εντοπίζεται στις χιονονιφάδες, στα φυτά,στις ρόδες των αυτοκινήτων και στα φρούτα (φω-τογραφία 8).

Η κλασσική συμμετρία απόκτησε ξανά εν-διαφέρον την περίοδο της Αναγέννησης. Έχειτις ρίζες της σε ελληνικές ιδέες σε θέματα όπωςη τάξη και η αρμονία. Ο Πυθαγόρας και οι μα-θητές του υποστήριξαν ότι η γεωμετρία είναιτο κλειδί της κατανόησης του κόσμου. Αν ανα-λογιστούμε και παρατηρήσουμε την αρχαία αρ-χιτεκτονική θα αντιληφθούμε πως οι αναλογίεςκαι οι γραμμές βοηθούν στην κατασκευή γαλή-νιων και συμμετρικών κτηρίων (φωτογραφία9). Έτσι, λοιπόν, λόγω της ανάπτυξης των τε-χνών κατά την περίοδο της Αναγέννησης οικαλλιτέχνες αντιλήφθηκαν τη σημασία τηςκλασσικής συμμετρίας και την εφάρμοσαν.

Είναι σημαντικό να κατανοήσουμε πόσηαξία έχει η συμμετρία στη ζωή μας, αλλά καιπόσο μεγάλη επίδραση έχει στους ανθρώπους,παρά το γεγονός πως η συμμετρία λείπει στηνκαθημερινότητά μας. Η συμμετρία και οι έν-νοιες που σχετίζονται άμεσα με αυτήν έχουνπροβληματίσει πολλούς επιστήμονες και έχουνβοηθήσει στην πρόοδο των ανθρώπων. Συμπε-ρασματικά, λοιπόν, είναι σημαντικό να γνωρί-ζουμε για αυτήν, αλλά και για τις διάφορεςεκφάνσεις της

Βιβλιογραφία:

Wade, D. (2012), Συμμετρία: Το στοιχείο της τάξης, Αλεξάνδρεια, 1-3, 8-9, 50-51.


Φωτογραφία 5 Φωτογραφία 6





ΟΑρχιμήδης ήταν μια ξεχωριστή και πο-λυεπίπεδη προσωπικότητα. Γεννήθηκε

στις Συρακούσες το 287π.Χ, από πλούσια οι-κογένεια. Ήταν γιος του αστρονόμου Φειδία.Σπούδασε στην Αλεξάνδρεια, όπου πιθανά ναγνώρισε τον Ευκλείδη. Εκεί συναναστράφηκεμε διάφορους Έλληνες επιστήμονες. Γνώρισετον Κόνωνα το Σάμιο, τον Δοσίθεο και τονΕρατοσθένη. Σε εκείνους έστελνε αργότερα τιςανακαλύψεις του, πριν τις κοινοποιήσει, για ναπάρει την άποψή τους. Συχνά έστελνε λανθα-σμένα θεωρήματα για να ελέγχει κάποιους μα-θηματικούς της Αλεξάνδρειας πουπαρουσιάζονταν ως μοναδικοί γνώστες της γε-

ωμετρίας. Αργότερα όμως επέστρεψε στην γε-νέτειρά του και εκεί αφοσιώθηκε στα Μαθημα-τικά και πραγματοποίησε τις περισσότερεςανακαλύψεις του.

Ο Αρχιμήδης ασχολήθηκε κυρίως με τα Μα-θηματικά αλλά και με τη Φυσική, την Αστρο-νομία ενώ πραγματοποίησε εφευρέσειςεξαιρετικής σημασίας και πρωτοποριακές γιατην εποχή του στον τομέα της Μηχανικής.Πρώτ’ απ’ όλα, είναι αξιοσημείωτη η συμβολήτου στα Μαθηματικά. Παρουσίασε μια μέθοδοπροσδιορισμού του αριθμού π και των πολύμεγάλων αριθμών και υπολόγισε το εμβαδόντμήματος παραβολής, σφαίρας και κυλίνδρου.

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣΟ μετριόφρων επιστήμων

της Όλγας Κυριαζή

ΒΙΟΓΡΑΦΙΕΣΒΙΟΓΡΑΦΙΕΣ


Επιπλέον, ο Αρχιμήδης ήταν εκείνος που εισή-γαγε το μέγεθος του χρόνου, τον κινηματικόορισμό της έλικας και τρία καινούργια στερεάεκ περιστροφής, το ελλειψοειδές, το παραβολο-ειδές και το υπερβολοειδές. Δεύτερον, στο χώροτης Φυσικής ο Αρχιμήδης ανακάλυψε την έν-νοια της υδροστατικής πίεσης, τυχαία ενώέκανε μπάνιο, και τη θεωρία για τα κέντρα βά-ρους. Τρίτον, ασχολήθηκε με την αστρονομία,χωρίς να έχουν σωθεί οι ανακαλύψεις του.Παρ’ όλ’ αυτά, είναι γνωστό ότι αυτά που τοναπασχόλησαν ήταν η απόσταση του Ήλιου καιτων άλλων πλανητών από τη Γη, η συμπερι-φορά του φωτός στα κάτοπτρα, η μελέτη τωνηλιοστασίων και ο υπολογισμός της διάρκειαςτου έτους. Όσον αφορά τη Μηχανική εφηύρετους μοχλούς, τα καυστικά κάτοπτρα, ένα μο-ναδικό μηχανισμό με τον οποίο έκαιγε ταπλοία των Ρωμαίων με τη βοήθεια των ακτι-νών του Ηλίου, τον ατέρμονα κοχλία, το ρω-μαϊκό ζυγό, το υδραυλικό ρολόι, τουςκαταπέλτες, με μακρινή και κοντινή εμβέλειακαι τις άρπαγες, μηχανισμούς που ανύψωνανκαι αναποδογύριζαν τα εχθρικά πλοία.

Ο Αρχιμήδης είχε την ικανότητα να χρησι-μοποιεί πρωτότυπους και εξαιρετικούς τρόπουςστην απόδειξη των θεωρημάτων του. Πρώτον,χρησιμοποιώντας ελάχιστα αξιώματα απέδειξεότι κάθε μη αβαρές σώμα έχει κέντρο βάρους.Δεύτερον, υπολόγισε το κέντρο βάρους ομογε-νών σωμάτων εφαρμόζοντας πρώτα μεθόδουςμηχανικής ύστερα γεωμετρίας και χρησιμοποι-ώντας ένα εκπληκτικό σύστημα ανισοτήτων.Επιπρόσθετα, διατύπωσε το «συνεχές» ως άθροι-σμα άπειρων αδιαιρέτων τμημάτων ή χωρίων.Δηλαδή το εμβαδόν ως άθροισμα ευθύγραμμων

τμημάτων και τον όγκο ως άθροισμα επίπεδωντομών, για να υπολογίσει τον τετραγωνισμότμήματος της παραβολής. Επιπλέον, αποδείχ-θηκε ότι η λογική των ανισοτήτων που χρησι-μοποιούσε ήταν ένα προφητικό μαθηματικόεργαλείο (Μέθοδος της εξάντλησης). Τέλος, ηχρήση των εγγεγραμμένων και των περιγεγραμ-μένων σχημάτων του επέτρεψε να προσεγγίσειέννοιες κλειδιά.

Το συγγραφικό του έργο είναι πλούσιο, μεδεκαέξι βιβλία εκ των οποίων τα πέντε σώζον-ται στην αραβική γλώσσα. Κάποια από τα ση-μαντικότερα βιβλία του είναι ο «Ψαμμίτης», το«Περί ελίκων» και το «Βοεικό πρόβλημα». Στοτελευταίο υπάρχει ένα ποίημα στο οποίο εξη-γείται ένα πρόβλημα που βασάνιζε τον Αρχι-μήδη αναφορικά με το πλήθος των βοδιών τουθεού του Ήλιου.

Ο Αρχιμήδης σκοτώθηκε το 212π.Χ, απορ-ροφημένος από τη λύση ενός προβλήματος.Όταν ένας Ρωμαίος στρατιώτης τον πλησίασεκαι εκείνος του είπε «Μη μου τους κύκλουςτάραττε», ο στρατιώτης εξαγριώθηκε και τονσκότωσε. Στον τάφο του είναι χαραγμένη μιασφαίρα μέσα σε έναν κύλινδρο, όπως εκείνοςείχε ζητήσει, επειδή είχε θεωρήσει πολύ σημαν-τική την ανακάλυψη του σχετικά με την επι-φάνεια και τον όγκο της σφαίρας. ΟΠλούταρχος αναφέρει πως «σε όλη τη γεωμε-τρία δεν μπορούν να βρεθούν δυσκολότερεςκαι βαθύτερες θεμελιώδεις προτάσεις διατυπω-μένες απλούστερα και καθαρότερα από τη μέ-θοδο του Αρχιμήδη». Ο ίδιος ο Αρχιμήδηςθεωρεί ταπεινή και ανάξια κάθε τέχνη που εξυ-πηρετεί πρακτικές ανάγκες ή οικονομικό κέρ-δος.


OÉvariste Galois γεννήθηκε στις 26Οκτωβρίου του 1811, στην αρχαία κω-

μόπολη του Bourg-la-Reine, η οποία βρίσκε-ται περίπου 10 χιλιόμετρα από το Παρίσι. Οπατέρας του, Nicholas-Gabriel ήταν διευθυν-τής ενός εκπαιδευτικού ιδρύματος που προορι-ζόταν για τους νέους της περιοχής, ενώ το 1815εκλέχθηκε και δήμαρχος της περιοχής. Ταπρώτα δώδεκα χρόνια της ζωής του ο Évaristeανατράφηκε και μορφώθηκε από την μητέρατου, Adelaide Marie Demante. Χαρακτηρι-στικό της μόρφωσης που έλαβε ήταν πως έμαθεελληνικά, καθώς επίσης και λατινικά. Ο Évariste στις 6 Οκτωβρίου 1823 γράφτηκεστην 4η τάξη του College de Louis-le-Grandστο Παρίσι. Εκεί μάλιστα είχαν σπουδάσει καιμεγάλες μορφές της Γαλλίας όπως ο Ροβεσπιέ-ρος και ο Βίκτωρ Ουγκώ. Στο σχολείο αυτό,μια που θεωρούταν από τα σημαντικότερα στηΓαλλία, καλλιεργούταν ένα ιδιαίτερο πάθοςτόσο για τη δουλειά που θα μπορούσε να επι-φέρει ακαδημαική πρόοδο, όσο και τις φιλε-

λεύθερες και προοδευτικές ιδέες. Μετά από με-ρικά χρόνια, έχοντας απογοητευτεί από το σχο-λείο του, θεωρώντας ότι οι καθηγητές τουήθελαν να τον αποσπάσουν από τα Μαθημα-τικά, ήθελε διακαώς να εισαχθεί στη ΓαλλικήΠολυτεχνική Σχολή, που ήταν προορισμένη γιατην εκπαίδευση των νέων επιστημόνων ως μελ-λοντικών πολιτικών. Αυτή η επιλογή του βα-σιζόταν στην αντίληψή του ότι αυτή η σχολήθα του εξασφάλιζε τις καλύτερες δυνατές προ-οπτικές για μία μετέπειτα καριέρα μαθηματι-κού, ενώ κυριαρχούσε το πολιτικό πνεύμα,κάτι που του άρεσε χάρη στην ανατροφή του,τόσο σε οικογενειακό, όσο και σε σχολικό περι-βάλλον. Έτσι, προετοιμάστηκε μόνος του, αλλάτον Ιούνιο του 1828 έδωσε εξετάσεις όπου καιαπέτυχε να εισαχθεί. Παρά τη μεγάλη του απο-γοήτευση, συνέχισε να δουλεύει μόνος του, πα-ρακολουθώντας μαθήματα Μαθηματικών απότον Louis-Paul-Emile Richard. Στις 2 Ιουλίου1829 ο πατέρας του Évariste, αυτοκτόνησε στοΠαρίσι. Κρεμάστηκε σε ένα διαμέρισμα στην

ÉvaristeGalois

του Άγγελου Βακάλη


Jean de Beauvais, πολύ κοντά στο Louis-le-Grande. Αιτία της αυτοκτονίας του ήταν οδιασυρμός του ονόματος του στην Bourg-la-Reine από τους πολιτικούς του αντιπάλους,καθώς ο Nicolas Galois ήταν διαρκώς στόχοςτων κληρικών. Το 1831, πριν τη διάλυση τουΠυροβολικού, 19 αξιωματικοί είχαν συλληφθείμε την κατηγορία της συνομωσίας κατά της κυ-βέρνησης, καθώς προσπαθούσαν να δώσουν κα-νόνια στο λαό. Στις 9 Μαΐου περίπου 200άτομα μαζεύτηκαν σε ένα εστιατόριο όπου ορ-γανώθηκε ένα συμπόσιο για να γιορτάσουν τηναθωωτική απόφαση για τους 19. Κατά τη διάρ-κεια αυτής της γιορτής, και ενώ γίνονταν προ-πόσεις από τους συμμετέχοντες, ο Galoisθέλησε να κάνει μια πρόποση. Ύψωσε το ποτήριτου στο ένα χέρι και το στιλέτο του στο άλλοκαι φώναξε "Στον Louis-Philippe!". Στην αρχήη φράση του παρερμηνεύθηκε, αλλά μόλις οισυμμετέχοντες παρατήρησαν το ανοιχτό στι-λέτο στο χέρι του Évariste, άρχισαν να τονεπευφημούν για αυτή του την απειλή εναντίοντου βασιλιά. Σύντομα ακολούθησαν και άλλοι,και η συγκέντρωση διαλύθηκε με τους ρεπουμ-πλικάνους να φωνάζουν στους δρόμους κατάτου Βασιλιά. Συνελήφθη την επόμενη ημέραστο σπίτι της μητέρας του στο Παρίσι και κρα-τήθηκε στη φυλακή Sainte-Pelagie μέχρι τις15 Ιουνίου οπότε και έγινε η δίκη. Μετά τηνδίκη του, αθωώθηκε, με βασικό κριτήριο τηνέπαρση λόγω της ηλικίας του. Λίγους μήνες αρ-γότερα, έδωσε αφορμή στη μυστική αστυνομίανα τον συλλάβει και κρατήθηκε στη φυλακή.Επειδή υποπτεύονταν ότι έχει χολέρα μεταφέρ-θηκε στο νοσοκομείο της φυλακής όπου στις

29 Απριλίου του 1832 εξέτισε την ποινή τουαλλά παρέμεινε για λίγο καιρό ακόμη στο νο-σοκομείο. Εκεί γνώρισε και ερωτεύτηκε τηStephanie-Felice du Motel, κόρη του θερά-ποντος ιατρού του. Η γνωριμία και ο έρωτάςτου αυτός απέβη μοιραίος, μια που ηStephanie υπήρξε η αιτία διαμάχης του Ga-lois με δύο φίλους της, που κατέληξε σε μονο-μαχία και θάνατο του ιδίου. Το τέλος τουοφειλόταν σε οξεία περιτονίτιδα που προκλή-θηκε σφαίρα που εβλήθη από απόσταση 25 βη-μάτων. Το έργο αυτού του σπουδαίου μυαλούαξίζει ιδιαίτερη αναφορά. Είχε πολλές αξιόλο-γες δημοσιεύσεις, παρά τις δυσκολίες που αν-τιμετώπισε. Μέσα από τη δουλειά του πέτυχενα δώσει απάντηση στο πότε είναι ή όχι επιλύ-σιμη μια αλγεβρική εξίσωση θέτοντας τις βά-σεις της «θεωρίας των ομάδων». Το έργο τουξεκινώντας από την επίλυση ενός κλασικούπροβλήματος οδήγησε στη δημιουργία μιαςνέας θεωρίας που αποτελεί σήμερα βασικόκορμό της σύγχρονης άλγεβρας. Η Θεωρία Ga-lois είναι ο κλάδος της άλγεβρας που συνδέειτη θεωρία σωμάτων με τη θεωρία ομάδων. Πιοσυγκεκριμένα, η θεωρία Galois χρησιμοποιείομάδες μεταθέσεων για να περιγράψει τις σχέ-σεις μεταξύ των ριζών ενός πολυωνύμου καθώςκαι για να περιγράψει το σώμα ριζών του.

Συνολικά, μπορεί κανείς να αντιληφθεί τησημασία του Galois για τη θεμελίωση της επι-στήμης της άλγεβρας, όπως την ξέρουμε σή-μερα. Το μόνο σίγουρο είναι πως, αν δεν έχανετόσο γρήγορα τη ζωή του, θα είχε γράψει τοόνομά του κάτω από πολλές ακόμα θεωρίες…


Τον Αύγουστο του 2012 οι επιστήμονεςτης ΝΑΣΑ κατάφεραν να προσγειώσουν

ένα ρομποτικό όχημα, το Curiosity, στον Άρη.Η αποστολή του οχήματος, με στόχο την εξε-ρεύνηση του κόκκινου πλανήτη, είναι η πιοακριβή και τεχνολογικά προηγμένη που εστάληποτέ από τη Γη στον Άρη. Αποτελεί ακόμα έναεπίτευγμα μείζονος σημασίας, καθώς οι έρευνεςστον Άρη θα συντελέσουν στην διευκόλυνσηκαι άλλων μελλοντικών εξερευνήσεων. Οι επι-στήμονες οι οποίοι εργάστηκαν για αυτό το εγ-χείρημα κατέβαλαν μια τεράστια προσπάθειαπροκειμένου το Curiosity να φτάσει ασφαλέςστον προορισμό του, έτσι ώστε τελίκα, να κάνειμε επιτυχία τα πρώτα του βήματα στην επι-φάνεια του Άρη. Ειδικότερα, για να επιτευχθείη προσεδάφισή του στον Κόκκινο Πλανήτη οιμηχανικοί της ΝΑSA είχαν προσομοιώσει επα-νηλλειμένα τη στιγμή της προσγείωσής του με

τη χρήση μαθηματικών μοντέλων και εξισώ-σεων. Τελικά, τo ποσοστό επιτυχίας των προ-σομοιώσεων επιβεβαίωσε την ομάδα της ΝΑΣΑκατα 95% ότι η προσγείωση του Curiosity θαήταν επιτυχής, με την προϋπόθεση ωστόσο, ότιόλες οι σημαντικές μεταβλητές είχαν ληφθείυπόψη.

Το ρομποτικό όχημα, αλλιώς γνωστό και ωςρόβερ, εξερευνά τον κρατήρα Γκέιλ στον Άρη,ως μέρος της αποστολής της ΝΑΣΑ ‘Mars Sci-ence Laboratory mission’ (MSL). Εκτοξεύ-θηκε τις 26 Νοεμβρίου από το ακρωτήριοΚανάβεραλ, ενώ έφτασε στον Άρη στον κρα-τήρα Γκέιλ στις 6 Αυγούστου, μετά από ταξίδιαπόστασης 563 εκατομμυρίων χιλιομέτρων. Ηαποστολή συνολικά θα διαρκέσει 23 μήνες καιοι επιστήμονες ευελπιστούν ότι ως τότε θαέχουν αποκτήσει μια λεπτομερότερη και πιοολοκληρομένη εικόνα για τον κόκκινο πλανήτη.

CURIOSITYROVER

της Άννας Ελευθεριάδη


Ο στόχος της πολυδάπανης αυτής αποστολήςείναι η εξερεύνηση του κλίματος και της γεω-λογίας του Άρη. Επιπλέον, μέσω αυτού οι επι-στήμονες επιδιώκουν να διαπιστώσουν εαν οισυνθήκες που επικρατούν στον Άρη ήταν ή θαείναι ποτέ ευνοϊκές για την ύπαρξη μικροβια-κής ζωής και για την εξερεύνηση από τους αν-θρώπους. Ακόμα, επιχειρούν να εξακριβώσουντον ρόλο και τη σημασία του νερού στον Άρη.Προκειμένου να επιτύχει τον στόχο του, τοCuriosity θα ερευνήσει την ύπαρξη νερού,οξυγόνου, αζώτου, άνθρακα, υδρογόνου καιάλλων χημικών στοιχείων, εξετάζοντας την σύ-σταση του εδάφους.

Το βάρος του Curiosity υπολογίζεται σε 889κιλά, το μήκος του σε 2,9 μέτρα, το πλάτοςτου σε 2,7 μέτρα, ενώ το ύψος του σε 2,2μέτρα. Το Curiosity έχοντας μέγεθος μικρούαυτοκινήτου, διαθέτει ακόμα έναν εξελιγμένοεξοπλισμό, ο οποίος επιτρέπει τον εντοπισμό,την συλλογή και την ανάλυση των ευρημάτων.Επιπλέον, μέσω αυτού του επιστημονικού εξο-πλισμού, το Curiosity έχει την δυνατότητα νααναλύει τη χημική σύσταση δειγμάτων πουλαμβάνει. Ο εξοπλισμός περιλαμβάνει εκτόςάλλων την Κάμερα Χειρός ή MAHLI, η οποίαείναι σχεδιασμένη για τη μελέτη βράχων σχεδόνσε μικροσκοπικό επίπεδο, το Φασματόμετροσωματιδίων Άλφα - Ακτίνων Χ (APXS), τοοποίο προσδιορίζει τη χημική σύσταση, και τοσύστημα ChemCam, το οποίο χρησιμοποιείμια υπέρυθρη δέσμη λέιζερ για να εξαερώνει

ίχνη πετρωμάτων και να προσδιορίζει τη σύ-σταση των αερίων.

Ένα από τα σημαντικότερα επιτεύγματα τουτροχοφόρου ρομπότ ήταν να αγγίξει, ξεδιπλώ-νοντας το μηχανικό του βραχίονα, έναν μικρόβράχο στην επιφάνεια του πλανήτη Άρη. Hεξωγήινη πέτρα από βασάλτη δεν είχε ιδιαίτερηεπιστημονική σημασία, ωστόσο η κίνηση αυτήτου έδωσε τη δυνατότητα να εξετάσει την απο-τελεσματικότητα των εργαλείων του. Το ρομ-ποτικό όχημα ανέλυσε τη χημική σύσταση τουμικρού βράχου χρησιμοποιώντας ειδικές ακτί-νες λέιζερ. Το πείραμα καταγράφηκε από τοσύστημα ChemCam, το οποίο δύναται να δια-κρίνει περισσότερα από 6.000 διαφορετικάμήκη κύματος στο υπεριώδες, υπέρυθρο καιορατό φάσμα του φωτός, ενώ έχει σχεδιαστείγια να λάβει περίπου 14.000 μετρήσεις. Η συγ-κεκριμένη τεχνική έχει επίσης χρησιμοποιηθείγια την εξέταση της σύνθεσης των υλικών σεακραίες συνθήκες περιβάλλοντος, σε πειραμα-τικές μελέτες καθώς και στην ανίχνευση τουκαρκίνου. Μετά την ολοκλήρωση της άσκησηςμε τον αναδιπλούμενο βραχίονα, το Curiosityθα μεταβεί σε μια τοποθεσία, καλούμενη απότους επιστήμονες ως «Γκλένελγκ», περίπου 400μέτρα από το σημείο προσεδάφισης, καθώς δο-ρυφορικά δεδομένα δείχνουν ότι στην περιοχήαυτή συναντώνται τρία διαφορετικά πετρώ-ματα που θα άξιζε να μελετηθούν


ΔΙΑΒΑΣΑΜΕ & ΑΠΑΝΤΑΜΕ

“ Ο Ίωνας φιλόσοφος Ηράκλειτος διατύπωσε την άποψηότι «Παντών πατήρ πόλεμος».Ο Αρχιμήδης αναφέρει ότι«Δεν θα γράψω τίποτε για τις εφευρέσεις μου, που αφο-ρούν τον πόλεμο». Σχολιάστε την αντίθεση που διατυπώ-νεται στα παραπάνω ”

Παρόλο που μέχρι σήμερα η φράση τουΕφεσίου διδασκάλου και φιλόσοφου

Ηράκλειτου παραμένει δυσερμήνευτη, σίγουραόμως, έρχεται σε αντιπαράθεση με τα λεγόμενατου Αρχιμήδη στο συγκεκριμένο απόσπασμααπό τον διάλογό του με τον Ιέρωνα. Η φράση«πόλεμος πατήρ πάντων» είναι μία από τις πιογνωστές ρήσεις του Ηράκλειτου που συνδέεταιστην ουσία με το «τα πάντα ρει» καθώς ταπάντα στον κόσμο είναι σε συνεχή ροή, κίνησηκαι διεργασία (δηλαδή σε πόλεμο). Κατά τονέλληνα φιλόσοφο, κάθε πράγμα για να υπάρχεικαι να ορισθεί, απαιτεί την ύπαρξη και άλλωνπραγμάτων κατά τρόπο που να εκφράζει τηταυτότητά του σε σύγκριση με τα άλλα. Αυτήη έννοια ορίζεται από τον Ηράκλειτο ως πόλε-

μος, ή αντίθεση μεταξύ των αντιθέτων (πχ.Φλόγα και πάγος). Από την άλλη, όπως βλέ-πουμε στο συγκεκριμένο απόσπασμα, ο Αρχι-μήδης αναφέρεται στην κυριολεκτική σημασίατου πολέμου. Πόλεμος είναι η δυσάρεστη γι’αυτόν κατάσταση μάχης μεταξύ ομοεθνών ήκαι ξένων, με πολλές απώλειες. Για τον λόγοαυτό, δεν θέλει να εμπλακεί και να γίνει συνέ-νοχος ως βοηθός σ’ ένα «έγκλημα». Οι εφευρέ-σεις του είναι για να βοηθούν/ διευκολύνουντους ανθρώπους στη ζωή τους για καλό σκοπό.Ο Αρχιμήδης δεν θέλει να σπείρει ένα σπόρο«δηλητηριώδους» φυτού που θα διαδώσει τοκακό στους ανθρώπους. Έτσι, αρνείται να γρά-ψει τίποτε για τις εφευρέσεις του που αφορούντον πόλεμο

«πόλεμος πατήρ πάντων»

της Ειρήνης Αϊδίνη


Ο Ίωνας φιλόσοφος Ηράκλειτος υποστη-ρίζει πως «Πάντων πατήρ πόλεμος». Η

συγκεκριμένη φράση προβάλλει την άποψηπως σε συνθήκες πολέμου ο άνθρωπος είναιικανός να μεγαλουργήσει στην προσπάθειά τουνα αντιμετωπίσει τον εχθρό, ευφευρίσκονταςνέες μηχανές, στρατηγικές, καθώς και τρόπουςεπίλυσης προβλημάτων. Σύμφωνα λοιπόν μετον Ηράκλειτο, η πίεση του πολέμου βάζει τονάνθρωπο σε εγρήγορση και επιφυλακή, ενώταυτόχρονα η επιτακτική ανάγκη για ασφάλειακαι το πάθος για την υπεράσπιση της πατρίδαςτον ωθούν να σκεφτεί έξω από το καθεστη-μένο. Κατ’ αυτόν τον τρόπο, ο άνθρωπος γίνε-ται δημιουργικός και καινοτόμος,κατασκευάζοντας έτσι πρωτότυπες μηχανές,αναπτύσσοντας νέες ιδεολογίες και τέλος εξε-λίσσοντας την επιστήμη και την τεχνολογία.

Από την άλλη πλευρά, ο Αρχιμήδης αναφέ-ρει σε διάλογό του με τον Ιέρωνα πως «Δεν θαγράψω τίποτε για τις εφευρέσεις μου, που αφο-ρούν στον πόλεμο». Ο κύριος λόγος για τονοποίο ο Αρχιμήδης δηλώνει τα προηγούμενα,είναι επειδή πιστεύει, σε αντίθεση με τον Ηρά-κλειτο, πως απαραίτητη προϋπόθεση για ναπαραχθεί οτιδήποτε είναι ο νους του ανθρώπουνα βρίσκεται σε ηρεμία. Δηλαδή, προκειμένουνα κατασκευάσει ή να ανακαλύψει κάτι ο άν-θρωπος πρέπει να βρίσκεται σε περιβάλλον ει-ρήνης. Μόνον τότε θα έχει την δυνατότητα νααφοσιωθεί στο έργο του ή να βυθιστεί στις σκέ-ψεις του και να οδηγηθεί τελικά σε ένα συμ-πέρασμα ή σε κάποια ανακάλυψη. Ως εκ

τούτου, ο Αρχιμήδης δηλώνει πως δεν θα αφή-σει στοιχεία σχετικά με τις πολεμικές του μη-χανές, καθώς γνωρίζει πως όχι μόνο θαχρησιμοποιηθούν στον πόλεμο αλλά ενδέχεταινα αποτελέσουν και αφορμή για το ξέσπασμαμιας καινούργιας διαμάχης, γεγονός που θασυντελέσει στο να μην βρίσκονται οι άνθρωποισε ηρεμία και συνεπώς να μην είναι σε θέσηνα καινοτομήσουν και να προοδεύσουν.

Κατά τη γνώμη μου και οι δύο απόψεις,τόσο αυτή του Ηράκλειτου όσο και αυτή τουΑρχιμήδη, είναι σωστές, καθώς οι άνθρωποιδιαφέρουν μεταξύ τους. Το γεγονός αυτό έχειως άμεση συνέπεια η αποδοτικότητα του καθε-νός να ποικίλει ανάλογα με το περιβάλλον στοοποίο βρίσκεται. Δηλαδή, άλλοι λειτουργούνκαλύτερα υπό συνθήκες πίεσης και άγχους, ενώάλλοι έχουν ανάγκη από μια ήρεμη ατμό-σφαιρα προκειμένου να εργαστούν σωστά καιαποτελεσματικά. Συνεπώς, βλέπουμε πως ο άν-θρωπος μπορεί να είναι ευφευρετικός τόσο σεσυνθήκες πολέμου όσο και σε περιόδους ειρή-νης ανάλογα με τον χαρακτήρα και τον τρόποσκέψης του

της Ελένης Αλεξανδράκη


Μαθηματικό μοντέλο ονομάζεται έναπρότυπο (συνάρτηση) που μας βοηθάει

να προβλέψουμε ικανοποιητικά την εξέλιξηενός φαινομένου. Ουσιαστικά, πρόκειται γιαέναν τρόπο με τον οποίο εμπλέκονται τα μα-θηματικά σε όλους τους υπόλοιπους τομείς τηςζωής μας. Στον κόσμο μας η ερμηνεία πολλώνφαινομένων μπορεί αρκετές φορές να είναιαπλή και να εξηγείται μέσω θεωριών που θε-μελιώνονται με την εξέλιξη της επιστήμης καιπροσδιορίζει την αξία χρήσης αυτής της επι-στήμης. Για παράδειγμα η δυνατότητα που πα-ρέχει μια συγκεκριμένη επιστήμη σχετικά μετην πρόβλεψη ενός φαινομένου ντετερμινι-στικά. Το πρώτο βήμα προς την πρόβλεψηείναι η ύπαρξη ενός τέλειου τέτοιου μοντέλουπου μπορεί να περιγράψει κάθε φυσικό φαινό-μενο και δεύτερο βήμα είναι η επίλυση του αλ-γοριθμικά (σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων).

Η έννοια «τέλειο μοντέλο» τοποθετείται στοεπίπεδο του ικανοποιητικού, δηλαδή του κατάπόσο μπορεί να προσεγγιστεί το φαινόμενο. Γι’αυτόν τον σκοπό η εξέλιξη μπορεί να επιτευχ-θεί με δύο τρόπους: είτε με την συνεξέλιξημιας μαθηματικής θεωρίας στο πλαίσιο που

οριοθετείται από το πρόβλημα, είτε με τηνανάπτυξη μιας νέας μαθηματικής θεωρίαςσε περισσότερο αφηρημένο επίπεδο, ηοποία θα αναδιαμορφωθεί έτσι, ώστε ναχρησιμοποιηθεί ως μία καλύτερη προσέγ-γιση του προβλήματος. Η ικανότητα επί-λυσης των μοντέλων είναι το

σημαντικότερο πλεονέκτημα μιας τέτοιας χρή-σης των μαθηματικών, γι'αυτό εξάλλου καισυντελείται μεγάλη προσπάθεια για μια τέτοιουείδους προσέγγιση. Ακόμα, κι όταν δεν είχεςπλήρως σωστά αποτελέσματα (κι αυτό είναι σύ-νηθες) μπορείς να καταφέρεις να γνωρίζεις,έστω και πειραματικά, την απόκλιση του μον-τέλου από την καθημερινότητα.

Τελικά, το «κέρδος» από την, όπως παρα-πάνω περιγράφηκε, συνεξέλιξη των μαθηματι-κών και των άλλων επιστημών υπήρξεσημαντικό. Αφενός μεν για τα μαθηματικάστην αναδιαμόρφωσή τους και μετεξέλιξη τουςμε μια αξία χρήσης που τους προσδόθηκε και,κατά κύριο λόγο, με τις «νέες πηγές» έμπνευσηςγια αυτά με τη μορφή πεδίων καινούριων απο-τελεσμάτων. Αφετέρου, για τις υπόλοιπες επι-στήμες, στη διαμόρφωση μιας εγκυρότητας γι'αυτές (στο μέτρο που τα μαθηματικά είναι έγ-κυρα) και μιας προβλεψιμότητας, υπό τημορφή αιτίας-αποτελέσματος που επιβάλλεταιαπό τα μαθηματικά μοντέλα (=πρότυπα).Όμως, ως αντιστάθμισμα υπάρχουν, βεβαίως,κάποια μειονεκτήματα, τα οποία αξίζουν επί-σης ιδιαίτερης διεύρυνσης και ελέγχου

Ο Αρχιμήδης αναφέρει τον όρο «μαθηματικά μοντέλα». Τι εννοεί με τον όρο αυτό;

της Αντιγόνης Αλειφέρη


Είπαν...για τα Μαθηματικά

Lorn Kelvin

“Tα μαθηματικά είναι η μόνη αξιόλογη μεταφυσική”

Bertrand Russell

“Για να είσαι καλός φιλόσοφος,

πρέπει να αποκηρύξεις τη μεταφυσική, αλλά να είσαι

καλός μαθηματικός”

Ευγένιος Ιονέσκο

“Χαϊδέψτε έναν κύκλο,και θα γίνει φαύλος”

της Όλγας Κυριαζή Α4


François Fénelon

“Mην επιτρέψεις στονεαυτό σου να παραπλανηθεί

από τη διαβολική έλξη της Γεωμετρίας”

Κάρολος Δαρβίνος

“Ο μαθηματικός είναι έναςτυφλός σε ένα σκοτεινό δωμάτιο που ψάχνει για μια μαύρη γάτα

που δεν είναι εκεί ”

Carl Friedrich Gauss

“Oι μαθηματικοίστηρίζονται ο ένας

στους ώμουςτου άλλου”

Αλβέρτος Αϊνστάιν“Τα καθαρά Μαθηματικά είναι,

κατά κάποιο τρόπο, η ποίηση των λογικών ιδεών. Όταν οι νόμοι των μαθηματικών ανταποκρίνονται στην πραγματικότητα, δεν είναι σαφείς, και όταν είναι σαφείς,

δεν ανταποκρίνονται στην πραγματικότητα ”


Πυθαγόρας

“Πάντα κατ’ αριθμόν γίνονται”(Τα πάντα γίνονται σύμφωνα

με αριθμούς)

J. B. Shaw

“Ο μαθηματικός συναρπάζεταιαπό την απίστευτη ομορφιά

στους τύπους που δημιουργεί, καιμέσα στην ομορφιά αυτή βρίσκει

αδιαμφισβήτητη αλήθεια”

James Jeans

“O μεγάλος Αρχιτέκτονας του Σύμπαντος αρχίζει να

μοιάζει τώρα σαν ένας γνήσιος μαθηματικός.”

Edward Gibbon

“Τα μαθηματικάχαρακτηρίζονται από το ιδιαίτερο

προνόμιο, ότι στην πορεία της ιστορίας πάντα προοδεύουνκαι ποτέ δεν οπισθοδρομούν ”


Georg Cantor

“Στα μαθηματικά, η τέχνη του να διατυπώνειςσωστά το ερώτημα, βρίσκεται ψηλότερα από το να δίνεις

σωστά την απάντηση”

Οδυσσέας Ελύτης

“Φτασμένες οι προλήψεις σε μια καθαρότητα μαθηματική, μας οδηγούν στη βαθύτερη γνώση

του κόσμου”

Πηγές:

http://www.i-math.gr/articles/all-articles/295-history-philosophy/1614-10-mathematicians-quotes-you-probably-never-heard-of.htmlhttp://users.sch.gr/dimandres/APOFTH.htmhttp://users.sch.gr/dimandres/APOFTH.htm

Documents

Mαθηματικός Λόγος194.30.242.9/gr/acl/lykeio/mathimatikos_logos.pdf · fractals (φράκταλς, μορφοκλάσματα) στο μυαλό του κατά τη