7/24/2019 moindres carres

1/2

2008 EXERCICES MOINDRES CARRES 2009

Exercice 1 : Exemple corrig

Un organisme banquaire du secteur htelier a besoin de prvoir en fonction du montant des prts accords aux professionnequelles sommes il doit lui-mme emprunter sur les marchs financiers. Pour cela il ralise une tude sur les 12 trimestres coulLe montant global des prts accords chaque trimestre est donn en millions d e . Tous les calculs sont faits 0, 1prs.

Rang du trimestre xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Montant yi 40 42 44 45 48 50 52 55 58 63 68 70

1. On envisage de rsumer quantitativement les valeurs observes laide dun ajustement affine des 12 points (xi; yi).

a. Donner une quation de la droite1 dajustement par la mthode des moindres carrs.

b. Dterminer une estimation des prts accords au quatrime trimestre 2003 sachant que le point (1; 40)est celui dpremier trimestre2000.

2. Cette extrapolation des donnes repose sur les 12 trimestres prcdents ltude, mais pour tenir compte de lvolutircente, on se limite aux quatre dernires observations. Reprendre alors la mthode des moindres carrs pour dterminune quation du nouvel ajustement affine 2 et donner la prvision plus raliste pour le quatrime trimestre 2003.

3. Dans un repre orthogonal, reprsenter le nuage des 12 points et les deux droites1 et2. Units graphiques: 1cm po1 rang sur laxe des abscisses et 1 cm pour 5 millions d e sur laxe des ordonnes en commanant la graduation 35.

Solution partielle

1. On obtient sur TI 82: y= 2, 7x + 35 et r = 0, 98. Lajustement est justifi.

2. x= 16 donne la valeur estime: y= 2, 7 16 + 35 = 78, 2millions de . Point A.

3. On obtient sur TI 82 en gardant la mme numrotation des trimestres: y = 4, 1x+ 21, 7 et r = 0, 98. Lajustement est bonne qualit. La prvision est alors: y= 4, 1 16 + 21, 7 = 87, 3millions de . Point B .

i

A

B

X

Y

1 10 16

10

50

78, 2

87, 3

Montants en e

Rangs des trimestres

1

7/24/2019 moindres carres

2/2

Exercice 2 : Modle de rgression linaire: BTS 1989 actualis

Une chane htelire projette douvrir une unit supplmentaire proximit dune ville. Une enqute du service commercauprs dagences de voyage a permis de connatre lvolution de la demande de nuites en fonction du prix propos:

prix en e Demande mensuelle

14,4 54018 452

21,6 33525,2 18832,4 16836 18

1. Construire le nuage des points (xi, yi) o la variable x est le prix et la variable y la demande. Units graphiques: 1 cpour 2 e en commenant la graduation 10 e et1 cm pour50 clients.

2. Dterminer une quation de la droite dajustement du nuage par la mthode des moindres carrs (les coefficients serodonns lunit prs). Cet ajustement est-il de bonne qualit? (on donnera r 102 prs).

3. Si on suppose que lajustement trouv donne une bonne corrlation entre x et y, dterminer lexpression du chiffre daffairprvisible de lunit qui sera ouverte.

4. En dduire le prix de la nuite qui maximise le CA mensuel prvisible et calculer ce CA.

2