Mon Representation d Etat

- Automatique -

Analyse et commande des syste`mes lineairesdans lEspace dEtat

M1/UE CSy

Jean-Jose ORTEU

2013-2014

2 Avant-propos

Avant-propos

Le cours dautomatique situe en M1 a ete structure en 10 modules :

M0 Theorie des Graphes et mode`les discrets

M1 Modelisation par fonction de transfert et Analyse des syste`mes lineaires conti-nus (*)

P1 Commande des Syste`mes a` Eve`nements Discrets (*)

P2 Analyse et Commande des Syste`mes Lineaires Continus (avec TP)

P3 Syste`mes Lineaires Echantillonnes et Commande Numerique (avec TP)

P4 Analyse et Commande dans lEspace dEtat des syste`mes lineaires continus (*)

P5 Conference sur lIntroduction a` la Surveillance, Supervision et Surete de Fonction-nement

P7 Commande avancee (*)

P8 Projet de commande/simulation sous MATLAB (*)

Les modules marques dune (*) sont des modules dharmonisation ou des modules auchoix.

Le present support de cours concerne le module P4. Il est incomplet mais il a semblea` lauteur quil avait neammoins le merite dexister...

Les etudiants sont vivement encourages a` emettre toutes les critiques quils jugerontnecessaires pour en ameliorer le contenu tant sur le plan de la forme que du fond.

Enfin, ce support de cours ne dispense ni de la presence en cours et TD, ni de lalecture des ouvrages de base dont la liste (non exhaustive) est fournie dans lannexebibliographique.

Ecole des MinesAlbi-Carmaux

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imprimee le 10 octobre 2013

Jean-Jose ORTEU

Table des matie`res

I Representation dEtat des syste`mes 6

1 Definitions 7

1.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Matrice de transfert en p du syste`me 13

2.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Calcul de linverse [pI A]1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Solution de lequation detat 18

3.1 Evaluation de la matrice de transition detat eAt . . . . . . . . . . . . . 19

3.1.1 Transformation de Laplace inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1.2 Diagonalisation de la matrice devolution A . . . . . . . . . . . 21

3.1.3 Application du theore`me de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . 23

4 Stabilite 26

5 Notions dobservabilite et de commandabilite 27

5.1 Position du proble`me . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3

4 Table des matie`res

5.3 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.3.1 Commandabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.3.2 Observabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.3.3 Commandabilite (des sorties) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.3.4 Cas general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.4 Formes canoniques pour les syste`mes monovariables . . . . . . . . . . . 37

5.4.1 Forme canonique de commandabilite . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.4.2 Forme canonique dobservabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.4.3 Forme canonique de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.4.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6 Exercice 46

II Commande des syste`mes dans lEspace dEtat 49

7 Commande decouplante 50

7.1 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

7.2 Exemple1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

7.3 Exemple2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

8 Commande par retour detat - Placement des poles 57

8.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

8.2 Determination de la matrice de reaction detat dans le cas des syste`mesmonovariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

8.2.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

8.2.2 Cas general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63


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Jean-Jose ORTEU

Table des matie`res 5

8.3 Determination de la matrice de reaction detat dans le cas des syste`mesmultivariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

8.4 Choix des poles du syste`me asservi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

8.5 Amelioration de la precision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

8.6 Commande avec retour detat et action integrale . . . . . . . . . . . . . 67

8.6.1 Exemple (suite TD No 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

9 Exercice (suite) 70

10 Commande modale 72

11 Commande quadratique 73

12 Reconstructeur detat 74

III Etude des syste`mes echantillonnes dans lEspace dEtat75

13 Representation detat dun syste`me echantillonne 76

14 Discretisation dun processus continu 77

15 Exemple1 : double integrateur 78

16 Exemple2 79

Jean-Jose ORTEU Versionimprimee le 10 octobre 2013


Premie`re partie

Representation dEtat des syste`mes

6

Chapitre 1

Definitions

La representation classique dans lanalyse des syste`mes a ete la representation par desequations differentielles. Elle est la plus naturelle car elle traduit de manie`re directe lecomportement du syste`me analyse. Comme nous lavons vu, cette representation peutaussi se ramener a` une representation par fonction de transfert.

La representation dans lespace detat permet de tirer profit de nombreux resultatsdisponibles en alge`bre lineaire.

Definition 1 Soit x(t) un vecteur de dimension n ayant les composantes suivantes :

x(t) =[x1(t) x2(t) xn(t)

]T

On appelera letat x(t) du syste`me, etant donnee la valeur initiale x(t0), lensembleminimal des composantes x1(t0), x2(t0), , xn(t0), permettant de determiner x(t) pourune certaine entree u(t) connue, pour tout t > t0.

En dautres termes, letat dun syste`me est un resume dinformations suf-fisantes permettant de decrire levolution de ce syste`me.

Un syste`me est dit decrit dans lespace detat si son fonctionnement ou son comporte-ment est regi par lequation differentielle suivante :

x(t) = A(t) x(t) +B(t) u(t)

Le vecteur x(t) nest pas forcement directement accessible a` la mesure et dans lecas general il nest accessible qua` travers une observation ou equation modelisant lamesure :

7

8y(t) = C(t) x(t) +D(t) u(t)

x(t) Rn est le vecteur detatu(t) Rm est le vecteur de commande (ou dentree)y(t) Rp est le vecteur dobservation (ou de sortie)

A est la matrice (n n) devolutionB est la matrice (nm) de commande (ou dentree)C est la matrice (p n) dobservation (ou de sortie)D est la matrice (pm) de couplage entrees-sorties (ou de transmission directe)

On suppose connu par ailleurs le vecteur x(t0) qui est le vecteur des conditions initialessur letat.

- B -

-

- C -

-

- D

?

A

6u

x x

y

+

+

+ +

Fig. 1.1 Representation detat dun syste`me

Dans le cas tre`s frequent ou` D = 0 le syste`me est dit propre ; il ny a alors aucuneliaison directe entree-sortie.

Le syste`me est dit stationnaire si les matrices A,B,C,D ne sont pas fonction dutemps.Dans la suite nous nous placerons systematiquement dans ce cas de figure et conside-rerons la representation detat suivante :

x(t) = A x(t) +B u(t) (1.1)

y(t) = C x(t) +D u(t) (1.2)

Lorsque le syste`me comporte une seule entree (u R), le syste`me est dit mono-entree(SI en anglais) et multi-entree (MI en anglais) dans le cas contraire (m > 1).


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Jean-Jose ORTEU

1.1. Exemple 9

Fig. 1.2 Representation detat dun syste`me

De la meme facon, le syste`me peut comporter une seule sortie (y R), on parle alorsdun syste`me mono-sortie (SO en anglais), ou plusieurs (p > 1), on a dans ce cas unsyste`me multi-sortie (MO en anglais).Un syste`me a` une seule entree et une seule sortie est dit monovariable (SISO en anglais),et dans la cas contraire, multivariable (MIMO en anglais).

Remarque sur le choix des variables detat :

Les variables detat doivent apporter une description interne du syste`me et on choisitcelles pour lesquelles on peut definir letat initial, cest-a`-dire en premie`re instance, lesparame`tres de description des reservoirs denergie (par exemple la tension au bornedun condensateur, le courant dans une self, . . .).

1.1 Exemple

Considerons le circuit passif RLC excite par 2 sources tel quil est represente sur laFigure 1.3.

Fig. 1.3 Circuit RLC



10 1.1. Exemple

Soit vc la tension aux bornes du condensateur et soient les conditions initiales :

vc(t = 0) = v(0)

i1(t = 0) = i1(0)

i2(t = 0) = i2(0)

di2dt

(t = 0) =di2dt

(0)

Nous allons nous interesser au courant i1 circulant dans la bobine dinductance L.

Les relations entre les tensions et courants dans les 2 mailles secrivent :

u1 = Ldi1dt

+R(i1 + i2) (1.3)

u2 =1

C

t

i2() d +R(i1 + i2) (1.4)

En eliminant i1 a` partir des relations (1.3) et (1.4), il vient :

d2i2dt2

+1

RC

di2dt

+i2LC

= 1

L

du1dt

+1

L

du2dt

+1

R

d2u2dt2

on trouverait, si on avait elimine i2, lequation differentielle suivante :

d2i1dt2

+1

RC

di1dt

+i1LC

=1

L

du1dt

1

L

du2dt

+u1

LRC

Choisissons pour vecteur detat :

x(t) =

[x1(t)x2(t)

]=

[i1vc

]

En tenant compte du fait que : i2 = Cdvcdt

lequation (1.4) peut secrire :

u2 = vc +R(i1 + i2)


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Jean-Jose ORTEU

1.1. Exemple 11

ce qui conduit a` :

u1 u2 = Ldi1dt

vc

et par ailleurs :

dvcdt

= vcRC

+u2RC

i1C

On obtient alors :

x(t) =

di1dt

dvcdt

=

01

L

1

C

1

RC

i1vc

+

1

L1

L

01

RC

u1u2

y(t) = i1 =[1 0

] i1vc

Nous avons donc un syste`me ayant 2 entrees et une sortie (Cf. Figure 1.4).

-u2

-u1-i1

Fig. 1.4 Un syste`me MISO (2 entrees/1 sortie)

Si nous posons u2 = 0, le syste`me se reduit a` un syste`me mono-entree/mono-sortie(SISO) :

x(t) =

di1dt

dvcdt

=

01

L

1

C

1

RC

i1vc

+

1

L

0

u1

La representation detat permet de mettre en evidence des informations in-ternes au syste`me, qui napparaissent pas necessairement sur la descriptionpar fonction (ou matrice) de transfert.



12 1.1. Exemple

La representation detat nest pas unique.

Elle peut etre orientee de facon a` faire apparatre explicitement des variables (detat)choisies par lutilisateur.

Considerons en effet une transformation definie par une matrice regulie`re T permettantde definir un nouveau vecteur detat x par x = T x.

(les colonnes de T1 sont formees par les vecteurs propres de A)

La representation detat associee a` x definie par :

x(t) = A x(t) +B u(t)

y(t) = C x(t) +D u(t)

conduit a` la representation detat associee a` x definie par :

x(t) = A x(t) +B u(t)

y(t) = C x(t) +D u(t)

avec :

A = T A T1

B = T B

C = C T1

D = D


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Jean-Jose ORTEU

Chapitre 2

Matrice de transfert en p dusyste`me

Appliquons la transformation de Laplace a` lequation detat matricielle (1.1) :

pX(p) x(0) = AX(p) +B U(p)

soit :

X(p) = [pI A]1 x(0) + [pI A]1 B U(p) (2.1)

En supposant que les conditions intiales sont nulles, il vient :

X(p) = [pI A]1 B U(p)

dou` :

Y (p) = C [pI A]1 B U(p) +D U(p)

La matrice de transfert secrit :

H(p) =Y (p)

U(p)= C [pI A]1 B +D

Cette matrice de transfert generalise la fonction de transfert dun syste`me monovariableau cas des syste`mes multivariables. Les elements Hij(p) de la matrice de transfert sont

13

14 2.1. Exemple

les fonctions de transfert entre la j e`me composante du vecteur dentree et la i e`me

composante du vecteur de sortie.

Le vecteur dentree U(p) est relie au vecteur de sortie Y (p) par :

Y (p) = H(p) U(p)

2.1 Exemple

Soit une representation detat dun syste`me continu dordre 3 de la forme :

x =

0 1 00 0 10 2 3

x+

001

u

y =[1 1 0

]x

(2.2)

La fonction de transfert H(p) sexprime par :

H(p) =Y (p)

U(p)= C [pI A]1 B

soit :

H(p) =[1 1 0

] p 1 00 p 10 2 p+ 3

1 00

1

= p+ 1

p(p+ 2)(p+ 1)

La tentation est grande de simplifier par (p+ 1).Nous verrons au chapitre 5 qui traite de commandabilite et dobservabilite, les pro-ble`mes qui peuvent etre lies a` ce type de simplification.

Apre`s simplification, il vient finalement :

H(p) =1

p(p+ 2)


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Jean-Jose ORTEU

2.2. Calcul de linverse [pI A]1 15

2.2 Calcul de linverse [pI A]1

Lalgorithme dit de Leverrier-Souriau permet le calcul de linverse de la matrice carac-teristique [pI A], ainsi que du polynome caracteristique de A :

D(p) = det[pI A] = pn + an1pn1 + + a1p+ a0

On pose :

[pI A]1 =V (p)

D(p)

avec :

V (p) = Vn1pn1 + + V1p+ V0

ou` les matrices Vi sont des matrices de Rnn.

Les coefficients ai et les matrices Vi sont calcules par les formules de recurrence sui-vantes (donnees sans autre demonstration) :

Vn1 = I

an1 = trace [Vn1A] (= trace [A])

Vn2 = Vn1A+ an1I (= A+ an1I)

an2 = 1

2trace [Vn2A]

Vn3 = Vn2A+ an2I

an3 = 1

3trace [Vn3A]

...

Vni = Vni+1A+ ani+1I

ani = 1

itrace [VniA]



16 2.3. Exemple

...

V0 = V1A + a1I

a0 = 1

ntrace [V0A]

0 = V0A + a0I

La dernie`re relation peut servir de verification et permettre dapprecier le cumul deserreurs lors du calcul des differents coefficients ai.

2.3 Exemple

A =

2 1 1 20 1 1 01 1 1 11 1 1 0

[pI A] =

p 2 1 1 20 p 1 1 01 1 p 1 11 1 1 p

V3 = I4

a3 = trace [A] = 4

V2 = A 4I4 =

2 1 1 20 3 1 01 1 3 11 1 1 4

V2A =

3 4 0 31 2 2 12 0 2 53 3 1 3

a2 = 1

2trace [V2A] = 2

V1 = V2A + 2I4 =

1 4 0 31 0 2 12 0 0 53 3 1 5

V1A =

5 2 0 21 0 2 41 7 3 40 4 2 7


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Jean-Jose ORTEU

2.3. Exemple 17

a1 = 1

3trace [V1A] = 5

V0 = V1A + 5I4 =

0 2 0 21 5 2 41 7 2 40 4 2 2

V0A =

2 0 0 00 2 0 00 0 2 00 0 0 2

a0 = 1

4trace [V0A] = 2

Il vient :

D(p) = p4 4p3 + 2p2 + 5p+ 2

[pIA]1 =1

D(p)

p3 2p2 p p2 + 4p+ 2 p2 2p2 3p 2

p + 1 p3 3p2 + 5 p2 2p 2 p 4

p2 + 2p 1 p2 7 p3 3p2 + 2 p2 5p+ 4

p2 3p p2 3p+ 4 p2 p 2 p3 4p2 + 5p 2



Chapitre 3

Solution de lequation detat

Si le syste`me nest pas excite, nous aurons lequation homoge`ne suivante :

x(t) = A x(t)

avec la condition initiale x(t0).

Nous aurons la solution :

x(t) = eA(tt0)x(t0)

La solution generale, dans le cas dun syste`me excite par une entree u est donnee parlequation suivante :

x(t) = eA(tt0) k(t)

Pour obtenir la valeur de k(t), il suffit de remplacer cette valeur de x(t) dans lequa-tion (1.1) :

x = eA(tt0) k + A eA(tt0) k = A eA(tt0) k +B u

Donc :

k = eA(tt0) B u

ou :

18

3.1. Evaluation de la matrice de transition detat eAt 19

k(t) = k(t0) + tt0

eA(t0) B u() d

Donc :

x(t) = eA(tt0) k(t0) + eA(tt0)

tt0

eA(t0) B u() d

avec : x(t0) = eA(t0t0) k(t0) = k(t0)

Il vient finalement :

x(t) = eA(tt0) x(t0) reponse a` la conditioninitiale avec entree nulle

+ tt0

eA(t) B u() d regime force correspondant a` lacondition initiale nulle avec entreenon nulle

(3.1)

Connaissant x(t) il est facile de determiner y(t) par lequation de sortie (1.2).

Pour une entree nulle, levolution du vecteur detat a` partir de t0 = 0 quand on ecartele syste`me de sa position dequilibre est decrite par :

x(t) = eAt x(0)

La matrice exponentielle eAt, dite matrice de transition, joue un role fondamental.

Elle peut se calculer de plusieurs manie`res differentes qui seront decrites ci-apre`s.

3.1 Evaluation de la matrice de transition detat

eAt

Connaissant la matrice A, le calcul de la matrice de transition eAt, peut se faire parde nombreuses methodes. Nous en decrirons trois qui conduisent a` des formes ana-lytiques. Lutilisation dun developpement limite de lexponentielle permet dobtenirune solution numerique.



20 3.1. Evaluation de la matrice de transition detat eAt

3.1.1 Transformation de Laplace inverse

En rapprochant (2.1) de (3.1) on en deduit le resultat tre`s important :

L

[eAt

]= [pI A]1

dou` on tire :

eAt = L1[pI A]1

Cette methode, qui necessite le calcul de linverse dune matrice (Cf. lalgorithme deLeverrier-Souriau au paragraphe 2.2) et le retour a` loriginal de la transformation deLaplace, convient tant que lordre de A est peu eleve.

Exemple

Soit la matrice detat :

A =

[5 16 0

]

On calcule :

[pI A] =

[p + 5 16 p

]

et :

[pI A]1 =1

det[pI A]

[p 16 p+ 5

]

avec :

det[pI A] = det

p+ 5 16 p = p(p+ 5) + 6 = p2 + 5p+ 6 = (p+ 2)(p+ 3)

soit :


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Jean-Jose ORTEU


[pI A]1 =1

(p+ 2)(p+ 3)

[p 16 p+ 5

]

Il suffit de decomposer en elements simples chaque terme de la matrice et dutiliserune table de transformees de Laplace pour remonter a` loriginal.

Pour le termep

(p+ 2)(p+ 3)on trouve :

p

(p+ 2)(p+ 3)=

2

p+ 2+

3

p+ 3

ce qui conduit a` loriginal : 2e2t + 3e3t

La meme methode appliquee aux 4 termes de la matrice conduit a` :

eAt =

2e

2t + 3e3t e2t + e3t

6e2t 6e3t 3e2t 2e3t

3.1.2 Diagonalisation de la matrice devolution A

On peut aisement montrer que si la matrice A est diagonale, par exemple A =

1 0 00 2 0

0 0 3

,

alors la matrice [pI A]1 est aussi diagonale.

On a :

[pI A]1 =

1

p 10 0

01

p 20

0 01

p 3

qui conduit a` loriginal :

eAt =

e

1t 0 00 e2t 00 0 e3t




dou` une expression tre`s simple de la matrice exponentielle a` partir de la connaissancedes elements diagonaux de la matrice A.

Si la matrice A nest pas diagonale, mais est diagonalisable, il existe alors unematrice de changement de base T telle que :

T1AT = A

ou` A est une matrice diagonale constituee des valeurs propres de A.

En appliquant le resultat etabli precedemment, on calcule aisement eAt a` partir de A.

Par ailleurs, on demontre que :

eAt = TeAtT1

La matrice diagonalisante T a ses colonnes formees par les composantes des vecteurspropres de A.Le proble`me se rame`ne donc au calcul des valeurs propres et vecteurs propres de lamatrice A.

Exemple


A =

[5 16 0

]

Calculons ses vecteurs propres et ses valeurs propres :

det[pI A] = det

p+ 5 16 p = p(p+ 5) + 6 = p2 + 5p+ 6 = (p+ 2)(p+ 3)

Les 2 valeurs propres sont : 1 = 2 et 2 = 3.

Les vecteurs propres sobtiennent en resolvant les equations :

A vi = i vi pour i 1, 2


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Jean-Jose ORTEU


Il vient :

v1 =

[13

]v2 =

[12

]

On en deduit T =

[1 13 2

]et son inverse T1 =

[2 13 1

]

Donc la matrice de transition detat est donnee par :

eAt = T

e

2t 0

0 e3t

T1 =

2e

2t + 3e3t e2t + e3t

6e2t 6e3t 3e2t 2e3t

3.1.3 Application du theore`me de Cayley-Hamilton

Le theore`me de Cayley-Hamilton indique que toute matrice satisfait a` son equationcaracteristique.

Par exemple, pour A =

[1 42 3

]dont lequation caracteristique est

det

1 42 3 = 0, soit 2 4 5 = 0, on peut ecrire A2 4A 5I = 0.

Lapplication de ce theore`me permet decrire que eAt peut etre developpe en un nombrefini de termes, egal a` lordre de la matrice A, de la forme :

eAt = 0(t)I + 1(t)A+ 2(t)A2 + + n1(t)A

n1

Supposons que la matrice A posse`de n valeurs propres distinctes 1, 2, , n et de-signons par A la matrice diagonale formee des valeurs propres.Appelons T la matrice dont les colonnes sont formees par les composantes des vecteurspropres de A.

On sait que :

A = T1AT et Ak = T1AkT




donc :

eAt = T1eAtT

= 0(t)I + 1(t)A + 2(t)A2 + + n1(t)A

n1

Le calcul de la matrice de transition eAt se rame`ne donc au calcul des valeurs propres(supposees distinctes1) de la matrice A puis au calcul des coefficients k(t) solutionsde :

0(t) + 1(t)1 + 2(t)21 + + n1(t)

n11 = e

1t

0(t) + 1(t)2 + 2(t)22 + + n1(t)

n12 = e

2t

...

0(t) + 1(t)n + 2(t)2n + + n1(t)

n1n = e

nt

Exemple


A =

[5 16 0

]

det[pI A] = det

p+ 5 16 p = p(p+ 5) + 6 = p2 + 5p+ 6 = (p+ 2)(p+ 3)

Les 2 valeurs propres sont : 1 = 2 et 2 = 3.

1Si la matrice A admet une valeur propre multiple (par exemple 1 et 2 distinctes, 3 = 4 avecn = 4), alors 0(t), 1(t), 2(t), et 3(t) sont solutions de :

0(t) + 1(t)1 + 2(t)21 + 3(t)

31 = e

1t

0(t) + 1(t)2 + 2(t)22 + 3(t)

32 = e

2t

0(t) + 1(t)3 + 2(t)2

3 + 3(t)3

3 = e3t

1(t) + 22(t)3 + 33(t)2

3= te3t

La dernie`re equation est obtenue par derivation de la precedente par rapport a` 3. Si lordre demultiplicite est plus eleve, on augmente lordre de la derivation.


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Jean-Jose ORTEU


Calculons les coefficients 0(t) et 1(t) en resolvant le syste`me dequations :

0(t) 21(t) = e

2t

0(t) 31(t) = e3t

dou` :

0(t) = 3e2t

2e3t

1(t) = e2t

e3t

Donc :

eAt = (3e2t 2e3t)I + (e2t e3t)A =

2e

2t + 3e3t e2t + e3t

6e2t 6e3t 3e2t 2e3t



Chapitre 4

Stabilite

Un syste`me est dit stable si a` toute entree bornee correspond une sortie bornee.

Un syste`me lineaire invariant est stable si pour des entrees nulles et quelle que soit lacondition initiale x(0), on a :

limt+

x(t) = 0

On montre que le syste`me est stable, si les racines du polynome caracteris-tique (ou les valeurs propres de la matrice detat A) ont leurs parties reellesstrictement negatives.

En conclusion, letude de la stabilite dun syste`me lineaire invariant decrit par unerepresentation detat, se rame`ne a` letude du signe des parties reelles des valeurs propresde la matrice detat A.

Il existe un moyen deviter le calcul des valeurs propres de A, et detudier le signe desparties reelles de ces valeurs propres : cest le crite`re de Routh deja` presente dansle cours Analyse des syste`mes lineaires continus.

26

Chapitre 5

Notions dobservabilite et decommandabilite

5.1 Position du proble`me

Etant donne un syste`me represente par equations detat :

1. Est-il possible de generer une commande qui permette de faire passer le syste`medun etat quelconque x(t1) (a` linstant t1) a` un autre etat quelconque x(t2) (a`linstant t2) ?

2. En supposant que lentree du syste`me est connue, peut-on, par la seule observa-tion des sorties sur un intervalle de temps [t1, t2], deduire letat initial x(t1) dusyste`me ?

5.2 Exemple

Considerons le syste`me de la Figure 5.1.

La representation par fonction de transfert conduit a` :

Y (p)

U(p)=

3p(p+ 2)

p(p+ 1)(p 1)(p+ 2)=

3

(p 1)(p+ 1)(5.1)

Remarque :

Nous avons simplifie par les termes p et (p+ 2).Nous verrons plus loin dans ce chapitre, les proble`mes qui peuvent etre lies a` ce type

27

28 5.2. Exemple

u -

-

-

2p

1p+1

x1

x2

?

6+ -

-

-

1p1

2p+2

x3

x4

?

6+ -

y

Fig. 5.1

de simplification.

En choisissant comme variables detat, les variables xi(i 1, , 4) correspondant auxsorties de chaque bloc (Cf. Figure 5.1), on obtient lequation detat suivante :

x1x2x3x4

=

0 0 0 00 1 0 01 1 1 02 2 0 2

x1x2x3x4

+

2100

u

y =[0 0 1 1

]x1x2x3x4

Le changement de base defini par :

T =

1 2 0 11 0 0 01 0.5 1 00 2 0 0

, x = T x

permet dobtenir une nouvelle representation detat du syste`me :


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Jean-Jose ORTEU

5.2. Exemple 29

x1x2x3x4

=

2 0 0 00 0 0 00 0 1 00 0 0 1

x1x2x3x4

+

021.52

u

y =[1 0 1 0.75

]x1x2x3x4

Cette equation correspond au schema de la Figure 5.2.

u -

-

-

2p+1

1.5p1

2p

1p+2

-x

4

-x

3

-x

2

x1

0.75

+

+

6

?

-y

Fig. 5.2

On constate, sur ce schema, que x1 nest pas influence par lentree u, et correspondainsi a` un pole (ou mode) non commandable. De meme, x2 ninfluence pas la sortie,et correspond a` un pole non observable.

On notera que la representation par fonction de transfert (Cf. equation (5.1)) ne re-tient que les poles observables et commandables, et ne rend pas compte de lensemble



30 5.3. Definitions

du syste`me represente Figure 5.1 ou Figure 5.2.Dailleurs la fonction de transfert est un syste`me du second ordre, alors que la repre-sentation detat du syste`me est dordre 4.

Il apparat donc que la fonction de transfert, a` elle seule, est quelquefois insuffisantepour decrire un syste`me.Par contre, la representation detat permet de rendre compte des proble`mes eventuelsde non commandabilite ou non observabilite : ceci pourra etre fait directement surtoute representation detat, ou bien a` partir de formes canoniques specifiques.

5.3 Definitions

5.3.1 Commandabilite (de letat)

Definition 2 Le syste`me :

x(t) = A x(t) +B u(t)

y(t) = C x(t) +D u(t)

est dit commandable ou gouvernable si on peut, sur une duree finie, modifier toutes lescomposantes du vecteur detat x(t) par un signal de commande u(t) en vue dobtenirun etat final x(tf ) a` partir dun etat inital x(ti).

La commandabilite est une propriete importante en automatique pour la conduite deprocedes ou pour le guidage.

Theore`me 1 Un syste`me lineaire invariant dordre n est commandable si et seule-ment si la matrice Gc :

Gc =[B AB A2B An1B

]est de rang n.

Remarque :


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Jean-Jose ORTEU

5.3. Definitions 31

Soit :

x(t) = A x(t) +B u(t)

y(t) = C x(t) +D u(t) (5.2)

un representation detat dun syste`me lineaire invariant et soit :

x(t) = A x(t) +B u(t)

y(t) = C x(t) +D u(t) (5.3)

la representation du meme syste`me obtenue par la transformation definie par la matriceregulie`re T , soit x = T x.

En notant respectivement Gc et G

c les matrices de commandabilite associees auxrepresentations correspondant aux equations (5.2) et (5.3), il vient :

Gc =[B AB A2B An1B

]

Gc =[B AB A2B An1B

]=

[TB TAT1TB (TAT1)n1TB

]= T

[B AB A2B An1B

]= T Gc

Donc si Gc est de rang n, alors G

c est aussi de rang n.

Exemple

Considerons le circuit electrique de la Figure 5.3.

Intuitivement, dans le cas ou` il y a coupure, on concoit que si letat du circuit estrepresente par x1 et x2, respectivement tension aux bornes du condensateur et courantdans la self, x1 ne sera pas affecte (commande) par le generateur G de tension u.

Pour le syste`me sans coupure, les equations detat secrivent :

x1x2

=

1

RC1

C

1

L0

x1x2

+

0

1

L

u



32 5.3. Definitions

Fig. 5.3

La matrice de commandabilite associee a` ce syste`me vaut :

Gc1 =

01

LC

1

L0

Cest une matrice carree de rang 2 : le syste`me est commandable.

Pour le syste`me avec coupure, les equations detat secrivent :

x1x2

=

0 0

0 R

L

x1x2

+

0

1

L

u

La matrice de commandabilite associee a` ce syste`me vaut :

Gc2 =

0 0

1

L

R

L2

Le determinant de Gc2 est nul et la matrice Gc2 nest plus de rang 2 car la deuxie`me

colonne se deduit de la premie`re par le facteur multiplicatif R

L: le syste`me est non

commandable.On verifie ainsi mathematiquement notre intuition, a` savoir que dans ce cas, letatx1, tension aux bornes du condensateur, ne peut etre modifie par la commande u.

5.3.2 Observabilite

Definition 3 Le syste`me :

x(t) = A x(t) +B u(t)

y(t) = C x(t) +D u(t)


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Jean-Jose ORTEU

5.3. Definitions 33

est dit observable sil est possible de retrouver son etat initial x(ti) a` partir de lobser-vation de son entree u(t) et de sa sortie y(t), sur un intervalle de temps fini.

Lobservabilite caracterise la possibilite de retrouver letat dun syste`me en observantson entree et sa sortie.Ce proble`me dobservabilite a une importance pratique car certaines variables internessont quelquefois inaccessibles a` la mesure ou couteuses a` mesurer.

Theore`me 2 Un syste`me lineaire invariant dordre n est observable si et seulementsi la matrice Ob :

Ob =

CCACA2

...CAn1

est de rang n.

Remarque :

En raisonnant par analogie avec le paragraphe 5.3.1 relatif a` la commandabilite, onmontre quun changement de base naffecte pas la propriete dobservabilite dun sys-te`me ; autrement dit, il y a invariance de lobservabilite (de la commandabilite) parrapport a` une transformation lineaire.

Exemple

Considerons le syste`me represente Figure 5.4 constitue dun moteur a` courant continucommande par linduit - champ inducteur constant - entranant une charge.

On supposera que linductance de linduit est negligeable et on designera par J lecoefficient dinertie de lensemble rotor du moteur plus arbre de transmission pluscharge, f le coefficient de frottement visqueux, Ke le coefficient de proportionnaliteentre la force contre-electromotrice developpee par le moteur et la vitesse de rotationet Kc le coefficient de proportionnalite entre le couple Cm developpe par le moteur etle courant dinduit.



34 5.3. Definitions

Fig. 5.4

Choisissons comme variables detat : x1 = , la position de larbre du moteur, x2 = , la vitesse de rotation.Lequation detat de ce syste`me secrit :

x =

=

0 1

0 1

Tm

+

0

KmTm

u

avec :

Km =Kc

Rf +KcKe

Tm =RJ

Rf +KcKe

On notera que la fonction de transfert du moteur secrit :

(p)

U(p)=

Kmp(1 + Tm p)

Supposons que la sortie mesuree (observee) soit la vitesse de rotation , cest-a`-direla variable detat x2. Lequation de sortie secrit alors :

y =[0 1

]x

Est-il possible de remonter a` letat initial (position et vitesse de depart) a` partir dela connaissance de la sortie, cest-a`-dire de la vitesse, et du signal de commande uqui la fait evoluer ?Formons la matrice dobservabilite Ob1 du syste`me :


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5.3. Definitions 35

Ob1 =

0 10

1

Tm

Le determinant de Ob1 est nul : ce syste`me nest donc pas observable.La connaissance de la vitesse (et de lentree u) ne suffit pas pour en deduire laposition.

Supposons cette fois que lon observe levolution de la position . Lequation desortie secrit alors :

y =[1 0

]x

Formons la matrice dobservabilite Ob2 du syste`me :

Ob2 =

[1 00 1

]

Cette matrice est regulie`re : donc le syste`me est observable.De la connaissance de levolution de la position (et de lentree u), on peut remontera` la valeur initiale de la vitesse, il suffit de deriver.

5.3.3 Commandabilite (des sorties)

La commandabilite est la possibilite de transferer un syste`me dun etat initial a` unetat de consigne. Cependant, le facteur determinant dun syste`me reste souvent soncomportement en termes de sorties : on devra alors caracteriser la possibilite de trans-ferer la sortie du syste`me dune valeur initiale a` une valeur de consigne, ce qui conduita` la definition suivante :

Definition 4 Un syste`me est commandable vis-a`-vis des sorties sil existe unecommande u(t) permettant damener en temps fini le vecteur de sortie dune valeurinitiale y(ti) quelconque donnee a` une valeur finale y(tf) quelconque choisie.

Theore`me 3 Un syste`me lineaire invariant sans transfert direct (D = 0) est com-mandable vis-a`-vis des sorties si et seulement si :

rang[CB CAB CA2B CAn1B

]= p

(ou` p est la dimension de y = C x).



36 5.3. Definitions

Les proprietes de commandabilite (par rapport a` letat) et de commandabilite vis-a`-visdes sorties sont distinctes comme le prouve lexemple de la Figure 5.5.

u - 1p+1

-x

- y1

-2 - y2

Fig. 5.5 Syste`me non commandable vis-a`-vis des sorties

Dans cet exemple, le syste`me est commandable sans letre vis-a`-vis de ses sorties.

A = 1, B = 1, C =

[12

], rang(CB) = rang(C) = 1 < 2

En pratique, si les sorties mesurees sont choisies independantes (ce qui impose rang(C) =p), la commandabilite vis-a`-vis de letat implique celle vis-a`-vis des sorties.

5.3.4 Cas general

Dans le cas le plus general un syste`me peut etre decompose en quatre sous-syste`mes(Cf. Figure 5.6) : SCO : partie commandable et observable ; SCO : partie commandable et non observable ; SCO : partie non commandable et observable ; SCO : partie non commandable et non observable ;

La Figure 5.6 montre que la fonction de transfert, qui lie la sortie y a` lentree u dunsyste`me monovariable ne decrit que la partie SCO, cest-a`-dire la partie commandableet observable de ce syste`me.

Pour un syste`me monovariable, la propriete de non commandabilite (non observabilite)correspond a` une degenerescence de lordre de la fonction de transfert due a` lexistencedau moins un pole et un zero communs dans la fonction de transfert du syste`me (Cf.lexemple de la Figure 5.1 dans le present chapitre ou lexemple de la page 14).

En pratique, il ny a pas de moyen daction sur les parties non commandables et/ounon observables, dans le premier cas par definition de la notion de commandabilite et


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5.4. Formes canoniques pour les syste`mes monovariables 37

u -

-

- SCO

SCO

SCO

SCO

- y

Fig. 5.6 Decomposition dun syste`me

dans le deuxie`me cas par suite de labsence dinformations permettant de decider dela commande a` appliquer.

Si les parties non commandables ou non observables sont stables, les variables qui lescaracterisent tendent vers zero, chacune avec sa dynamique propre, et ne sont doncpas susceptibles de perturber le fonctionnement entree-sortie du syste`me. Par contreen cas dinstabilite incontrolable, il apparat un risque de deterioration du materiel.

De facon a` sassurer que la regulation dun syste`me se realise sans surprise, il est neces-saire de verifier au prealable que les modes instables du syste`me sont commandableset observables.

5.4 Formes canoniques pour les syste`mes monova-

riables

Nous avons vu quun syste`me lineaire posse`de une infinite de representations detat.Bien que ces representations soient toutes equivalentes, certaines dentre elles sont plusappropriees que dautres dun certain point de vue.



38 5.4. Formes canoniques pour les syste`mes monovariables

Dans ce paragraphe, nous allons introduire 3 representations appelees respectivementforme canonique de commandabilite, forme canonique dobservabilite etforme canonique de Jordan.

5.4.1 Forme canonique de commandabilite

On conside`re le syste`me :

x(t) = A x(t) +B u(t)

y(t) = C x(t) +D u(t)

On appelle Gc la matrice de commandabilite associee au syste`me :

Gc =[B AB A2B An1B

]

On definit egalement la matrice carree suivante :

M =

a1 an1 1... 0

an1...

1 0 0

ou` les ai sont les coefficients du polynome caracteristique du syste`me, cest-a`-dire :

det[pI A] = pn + an1 pn1 + + a1 p+ a0

On a alors le resultat suivant :

Si la matrice de commandabilite Gc est regulie`re alors le changement de base definipar :

z = Q x ou` Q = (Gc M)1

donne lieu a` la representation suivante :

z(t) = Ac z(t) +Bc u(t)

y(t) = Cc z(t) +D u(t)


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Jean-Jose ORTEU


ou` :

Ac = QAQ1 =

0 1 0 0...

...... 00 0 1a0 an1

Bc = Q B =

0...01

Cc = C Q1 =

[b0 bn1

]

Cette representation est appelee forme canonique de commandabilite (ou formecompagne de commande).

Quand elle existe, la forme canonique de commandabilite dun syste`me peut sobtenirassez simplement a` partir de sa fonction de transfert.

En effet, considerons le syste`me defini par sa fonction de transfert :

Y (p)

U(p)=

b2 p2 + b1 p+ b0

p3 + a2 p2 + a1 p+ a0(5.4)

Lequation differentielle associee est :

d3y

dt3+ a2

d2y

dt2+ a1

dy

dt+ a0 y = b2

d2u

dt2+ b1

du

dt+ b0 u

Lequation (5.4) peut se mettre sous la forme :

Y (p)

U(p)=Y (p)

Z(p)

Z(p)

U(p)

avec :




Z(p)

U(p)=

1

p3 + a2 p2 + a1 p+ a0et

Y (p)

Z(p)= b2 p

2 + b1 p+ b0

De ces deux fonctions de transfert on tire les deux equations differentielles ou` la variablez est un intermediaire de calcul :

d3z

dt3= a2

d2z

dt2 a1

dz

dt a0 z + u (5.5)

y = b2d2z

dt2+ b1

dz

dt+ b0 z (5.6)

En prenant comme composantes du vecteur detat :

x1 = z

x2 =dz

dt

(=dx1dt

)

x3 =d2z

dt2

(=dx2dt

)

les equations (5.5) et (5.6) secrivent :

dx3dt

= a0 x1 a1 x2 a2 x3 + u

y = b0 x1 + b1 x2 + b2 x3

Ces equations conduisent a` la representation :

A =

0 1 00 0 1a0 a1 a2

B =

001

C = [ b0 b1 b2 ] D = 0

5.4.2 Forme canonique dobservabilite


x(t) = A x(t) +B u(t)

y(t) = C x(t) +D u(t)


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Jean-Jose ORTEU


On appelle Ob la matrice dobservabilite associee au syste`me :

Ob =

CCACA2

...CAn1

On definit egalement la matrice carree suivante :

M =

a1 an1 1... 0

an1...

1 0 0

ou` les ai sont les coefficients du polynome caracteristique du syste`me, cest-a`-dire :

det[pI A] = pn + an1 pn1 + + a1 p+ a0

On a alors le resultat suivant :

Si la matrice dobservabilite Ob est regulie`re alors le changement de base defini par :

z = Q x ou` Q =M Ob

donne lieu a` la representation suivante :

z(t) = Ao z(t) +Bo u(t)

y(t) = Co z(t) +D u(t)

ou` :

Ao = QAQ1 =

0 0 a0

1...

...

0...

...... 0

...0 0 1 an1




Bo = QB =

b0...

bn1

Co = C Q1 =

[0 0 1

]

Cette representation est appelee forme canonique dobservabilite.

Comme pour la forme canonique de commandabilite, celle dobservabilite peut sobte-nir immediatement a` partir de la fonction de transfert du syste`me.

5.4.3 Forme canonique de Jordan


x(t) = A x(t) +B u(t)

y(t) = C x(t) +D u(t)

On suppose que la matrice A a des valeurs propres toutes reelles. Il existe alors unematrice regulie`re Q telle que la matrice :

A = Q AQ1

soit sous forme diagonale ou de Jordan suivant que les valeurs propres deA sont simplesou multiples.

Dans le cas de valeurs propres simples, les colonnes de la matrice Q1 sont constitueespar les vecteurs propres de A.

Dans le cas de valeurs propres multiples, il existe une methode de construction de lamatrice Q1 qui ne sera pas detaillee dans ce cours (Voir cours de Math).

En outre, le changement de base :

z = Q x

conduit a` la representation detat :

z(t) = Aj z(t) +Bj u(t)

y(t) = Cj z(t) +D u(t)


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Jean-Jose ORTEU


ou` :

Aj = QAQ1 = A Bj = QB Cj = C Q

1

La forme canonique dun syste`me peut egalement etre determinee a` partir dune de-composition en elements simples de sa fonction de transfert.

Cas dune matrice A a` valeurs propres simples

Considerons un syste`me possedant 3 poles distincts p1, p2, p3 dont la fonction de trans-fert a ete decomposee en elements simples sous la forme :

Y (p)

U(p)=

1p p1

+2

p p2+

3p p3

On montre que ces equations conduisent a` la representation :

Aj =

p1 0 00 p2 0

0 0 p3

Bj =

w1w2w3

Cj = [ 1 2 3 ] Dj = 0

avec : wi i = i pour i [1, 2, 3]

On montre que le syste`me est commandable si et seulement si Bj na aucune lignenulle.

On montre que le syste`me est observable si et seulement si Cj na aucune colonne nulle.

Cas dune matrice A a` valeurs propres multiples

Considerons un syste`me possedant 1 pole double p1 et un pole simple p2. Sa decom-position en elements simples secrit :

Y (p)

U(p)=

11(p p1)2

+12

p p1+

2p p2

On montre que ces equations conduisent a` la representation :




Aj =

p1 1 00 p1 0

0 0 p2

Bj =

0w1w2

Cj = [ 11 12 2 ] Dj = 0

avec : w1 11 = 11 w1 12 = 12 w2 2 = 2

Le bloc

[p1 10 p1

]est appele bloc de Jordan dordre 2.

On montre que le syste`me est commandable si et seulement si les composantes de Bjqui correspondent a` la dernie`re ligne de chaque bloc de Jordan sont toutes non nulles.

5.4.4 Exemples

Exemple No 1

Soit une representation detat dun syste`me continu dordre 2 de la forme :

x =

[1 10 1

]x+

[11

]u

y =[1 1

]x

Forme canonique de commandabilite

x =

[0 11 2

]x+

[01

]u

y =[1 0

]x

Forme canonique dobservabilite

x =

[0 11 2

]x+

[10

]u

y =[0 1

]x


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Jean-Jose ORTEU


Forme canonique de Jordan

(voir cours)

Exemple No 2

On conside`re le syste`me de fonction de transfert :

Y (p)

U(p)=

p + 3

p2 + 3p+ 2

Forme canonique de commandabilite

x1x2

=

0 12 3

x1x2

+

01

u

y =[3 1

] x1x2

Forme canonique dobservabilite

x1x2

=

0 21 3

x1x2

+

31

u

y =[0 1

] x1x2

Forme canonique de Jordan

x1x2

=

1 0

0 2

x1x2

+

11

u

y =[2 1

] x1x2



Chapitre 6

Exercice

Cet exercice est extrait du livre dexercices cite en reference [6].

La modelisation simplifiee en vue de lasservissement en position dun actionneur elec-tromecanique et de sa charge a conduit au schema de la Figure 6.1.

Fig. 6.1 Un actionneur electromecanique

Lensemble chariot de masseM , ressort de raideur k, coefficient de frottement visqueuxf modelise la partie mecanique.

Lensemble resistance R, inductance L, force contre-electromotrice introduite par len-

roulement e(t) = dy

dt, force appliquee a` la charge f(t) = i(t), caracterise la partie

electrique.

Les variables u, i, y denotent respectivement la tension a` lentree, le courant dans len-roulement et la position de la charge a` partir dun etat dequilibre.

On adopte les valeurs numeriques suivantes :

M = 30 kg , k = 15N/m , f = 15N.s/m , R = 10L = 10H , = 0, 2 V.s/m , = 6N/A

46

47

Premie`re partie : Modelisation par fonction de transfert et Analyse

1) Etablir les equations electriques et mecaniques du syste`me.

2) Calculer Y (p) = L[y(t)] en fonction de U(p) = L[u(t)] et des conditions initiales.

3) Donner lordre, la classe et le gain du syste`me.

4) Etudier la stabilite du syste`me.

5) Calculer la reponse y(t) pour une entree nulle lorsque letat initial est :y(0) = 1m , y(0) = 1m/s , i(0) = 0.(On donnera lexpression analytique de cette reponse).Tracer cette reponse.

6) Calculer la reponse y(t) lorsquon applique un echelon de tension u = 100V avecdes conditions initiales nulles.(On donnera lexpression analytique de cette reponse).Tracer cette reponse.

7) Donner la valeur du temps de reponse a` 5%.

8) Calculer la frequence de coupure a` -3 dB du syste`me.

Deuxie`me partie : Modelisation par representation detat et Analyse

9) Donner une modelisation detat du syste`me (entree u, sortie y), en utilisantcomme vecteur detat :

x =

y

dy

dt

i



48

10) Determiner le polynome caracteristique de la matrice detat A obtenue et etudierla stabilite du syste`me.

11) Apre`s avoir calcule la matrice de transition detat de 3 facons differentes calculerla reponse x(t) pour une entree nulle lorsque letat initial est :

x(0) =

110

12) Calculer la reponse x(t) lorsquon applique un echelon de tension u = 100V avecdes conditions initiales nulles.

13) Etudier lobservabilite et la gouvernabilite du syste`me.

Cet exercice sera poursuivi au chapitre 9 pour la partie commande du syste`me.


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Jean-Jose ORTEU

Deuxie`me partie

Commande des syste`mes danslEspace dEtat

49

Chapitre 7

Commande decouplante

7.1 Theorie

En boucle ouverte (Cf. Figure 7.1) :

y1

y2

u1

u2

G11

G22

G21

G12

+

+

++

Fig. 7.1 Syste`me couple en boucle ouverte

On a :y = Gp u (7.1)

avec :

Gp =

[G11 G12G21 G22

](matrice de transfert du process)

y =

[y1y2

](vecteur des sorties)

50

7.1. Theorie 51

u =

[u1u2

](vecteur des entrees)

En boucle fermee (Cf. Figure 7.2) :

G11

G12

G21

G22

Gm1

Gm2

Gc11

Gc12

Gc21

Gc22

Gv1

Gv2

v1

v2

y1

y2

2

u1+

+ +

+

+

+

+

+

+

+

1

u2

Fig. 7.2 Syste`me en boucle fermee

u1 = Gv1 Gc11 1 +Gv1 Gc12 2

u2 = Gv2 Gc21 1 +Gv2 Gc22 2

soit sous forme matricielle :u = Gv Gc (7.2)

avec :

Gv =

[Gv1 00 Gv2

](matrice des actionneurs)



52 7.1. Theorie

Gc =

[Gc11 Gc12Gc21 Gc22

](matrice des correcteurs)

=

[12

](vecteur des ecarts)

Par ailleurs :

1 = v1 Gm1 y1

2 = v2 Gm2 y2

soit sous forme matricielle : = v Gm y (7.3)

avec :

Gm =

[Gm1 0

0 Gm2

](matrice des capteurs)

v =

[v1v2

](vecteur des consignes)

En combinant les equations (7.1) et (7.2), il vient :

y = Gp Gv Gc (7.4)

En posant G0 = Gp Gv Gc et en combinant les equations (7.3) et (7.4), il vient :

y = G0 v G0 Gm y

soit finalement :y = [I +G0 Gm]

1 G0 v

On trouve ainsi la matrice de transfert du syste`me en boucle fermee :

H = [I +G0 Gm]1 G0

Le syste`me en boucle fermee sera decouple si la matrice H est diagonale.


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Jean-Jose ORTEU

7.2. Exemple1 53

1er type de proble`me :On choisit les correcteurs directs Gc11 et Gc22 (par exemple des correcteurs de typeproportionnels) et on cherche les correcteurs croises Gc12 et Gc21 qui rendent lamatrice H diagonale.Puisque les matrices I et Gm sont diagonales, il faut que la matrice G0 soit egalementdiagonale.

G0 =

[G11 G12G21 G22

] [Gv1 00 Gv2

] [Gc11 Gc12Gc21 Gc22

]

Soit :

G0 =

[G11 Gv1 Gc11 +G12 Gv2 Gc21 G11 Gv1 Gc12 +G12 Gv2 Gc22G21 Gv1 Gc11 +G22 Gv2 Gc21 G21 Gv1 Gc12 +G22 Gv2 Gc22

]

En ecrivant que cette matrice est diagonale, il vient :

Gc12 = G12 Gv2 Gc22G11 Gv1

Gc21 = G21 Gv1 Gc11G22 Gv2

2ie`me type de proble`me :On se donne la matrice de transfert du syste`me boucle :

H(p) =

[H11(p) 0

0 H22(p)

]

et on calcule la matrice Gc qui va bien.

H = [I +G0 Gm]1 G0

[I +G0 Gm]H = G0

G0 [I Gm H ] = H

Soit :

G0 = H [I Gm H ]1 = Gp Gv Gc

On trouve finalement :

Gc = [Gp Gv]1 H [I Gm H ]

1



54 7.2. Exemple1

-

6h1

?

R3

?q1

R1

6h2

R2

?q2

Fig. 7.3 Un exemple de syste`me couple

7.2 Exemple1

On conside`re le syste`me de la Figure 7.3.

avec :

S1 = 1m2 , S2 = 0.5m

2 , R1 = 0.5 s/m2 , R2 = 2 s/m

2 , R3 = 1 s/m2

S1dh1dt

= q1 h1 h2R1

h1R3

S2dh2dt

= q2 +h1 h2R1

h2R2

En prenant comme vecteur detat :

x =

[h1h2

]

et en posant :

q =

[q1q2

]

on obtient la representation detat :

x =

[3 24 5

]x+

[1 00 2

]q


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Jean-Jose ORTEU

7.2. Exemple1 55

La matrice de transfert Gp reliant les entrees q1 et q2 aux sorties h1 et h2 sobtient a`partir de :

Gp = (pI A)1 B =

p+ 5

(p+ 1)(p+ 7)

4

(p+ 1)(p+ 7)

4

(p+ 1)(p+ 7)

2(p+ 3)

(p+ 1)(p+ 7)

Il sagit bien dun syste`me couple.

Nous allons calculer la matrice Gc permettant de decoupler les sorties.

On choisit des correcteurs directs de type proportionnels, i.e. Gc11 = K1 et Gc22 = K2.

On suppose que les fonctions de transfert des actionneurs sont des gains unite.

On calcule les correcteurs croises :

Gc12 = G12 Gc22G11

= 4

(p+ 1)(p+ 7)K2

(p + 1)(p+ 7)

p+ 5=4K2p+ 5

Gc21 = G21 Gc11G22

= 4

(p+ 1)(p+ 7)K1

(p + 1)(p+ 7)

2(p+ 3)=2K1p+ 3

On peut maintenant calculer la matrice de transfert du syste`me en boucle fermeedonnee par :

H = [I +G0 Gm]1 G0

avec :

G0 = Gp Gv Gc =

K1p+ 3

0

02K2p + 5

Il vient finalement :



56 7.3. Exemple2

H =

K1p+ 3

1 +K1p+ 3

0

0

2K2p+ 5

1 +2K2p+ 5

=

K1K1 + 3

1 +p

K1 + 3

0

0

2K22K2 + 5

1 +p

2K2 + 5

Les fonctions de transfertH1(p)

Q1(p)et

H2(p)

Q2(p)ont des gains statiques differents de 1 ce

qui permet de prevoir un proble`me de precision statique en reponse a` un echelon dedebit en entree.

Pour remedier a` ce proble`me, on peut utiliser des correcteurs directs de type PI, i.e. :

Gc11 = K1

(1 +

1

p

), Gc22 = K2

(1 +

1

p

)

qui conduisent aux correcteurs croises suivants :

Gc12 =4K2(p+ 1)

p(p+ 5), Gc21 =

2K1(p+ 1)

p(p+ 3)

7.3 Exemple2


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Jean-Jose ORTEU

Chapitre 8

Commande par retour detat -Placement des poles

La commande par retour detat consiste a` elaborer un signal de commande, a`partir des grandeurs detat, supposees, dans un premier temps, toutes accessibles a` lamesure. Si tel nest pas le cas, on devra avoir recours a` un observateur de letat(Cf. chapitre 12).

Dans tout ce chapitre, on suppose que le syste`me est commandable.

8.1 Principe

On conside`re un syste`me decrit dans lespace detat sous la forme :

x = A x+B u

y = C x+D u

x Rn est le vecteur detatu Rm est le vecteur de commande (ou dentree)y Rp est le vecteur dobservation (ou de sortie)

A est la matrice (n n) devolutionB est la matrice (nm) de commande (ou dentree)C est la matrice (p n) dobservation (ou de sortie)D est la matrice (pm) de couplage entrees-sorties (ou de transmission directe)

Un tel syste`me, qui est en boucle ouverte, peut etre schematise par les Figures 8.1et 8.2.

57

58 8.1. Principe

- B -

-

- C -

-

- D

?

A

6u

x x

y

+

+

+ +

Fig. 8.1

-PROCEDE

x = A x+B uy = C x+D u

-

?

u y

x

Fig. 8.2

Le principe dune correction ou compensation par retour detat consiste a` definir uneloi de commande de la forme :

u = v K x

ou` : v vecteur de dimension m correspond a` la consigne du syste`me asserviK matrice de dimension (mn) est denotee matrice de reaction detat.

Cette loi de commande implique la connaissance du vecteur detat x.

Le syste`me corrige, qui est en boucle fermee, est alors schematise par les Figures 8.3et 8.4.

Dans lhypothe`se ou` D = 0, le syste`me corrige est tel que :

x = A x+B u

u = v K x


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Jean-Jose ORTEU

8.1. Principe 59

- B -

-

- C -

-

- D

?

A

6u

x x

y

+

+

+ +-

K

6v

+

Fig. 8.3

-

-PROCEDE


-

K

6

+REGULATEUR

v u

x

y

Fig. 8.4

y = C x

Donc, le syste`me corrige admet la representation :

x = (A BK) x+B v

y = C x



608.2. Determination de la matrice de reaction detat dans le cas des syste`mes

monovariables

8.2 Determination de la matrice de reaction detat

dans le cas des syste`mes monovariables

Le comportement dynamique du syste`me en boucle ouverte est fixe par le polynomecaracteristique Po :

Po(p) = det(pI A) = pn + dn1p

n1 + dn2pn2 + + d0

Le comportement dynamique du syste`me en boucle fermee est fixe par le polynomecaracteristique Pf :

Pf (p) = det[pI (ABK)] = pn + n1p

n1 + n2pn2 + + 0

Les n coefficients de la matrice de retour detat K (de dimension 1 n) se calculenta` partir de la dynamique souhaitee pour le syste`me corrige. Cette dynamiqueest fixee par le choix des poles du syste`me en boucle fermee qui fixent le polynomecaracteristique souhaite en boucle fermee Pf (Cf. paragraphe 8.4).

Notons que la compensation par retour detat modifie le comportement dyna-mique du syste`me boucle sans toutefois modifier lordre du syste`me commande.

8.2.1 Exemple

Considerons un oscillateur non amorti de pulsation w0 dont une representation detatest donnee par :

[x1x2

]=

[0 1

w20 0

] [x1x2

]+

[01

]u

Le polynome caracteristique de ce syste`me est :

det(pI A) = p2 + w20

Ce syste`me presente 2 poles complexes conjugues egaux a` :

p1 = j w0p2 = j w0


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8.2. Determination de la matrice de reaction detat dans le cas des syste`mesmonovariables 61

ce qui correspond bien a` un syste`me du second ordre non amorti (coefficient damor-tissement = 0).

La Figure 8.5 montre la reponse dun tel syste`me aux conditions initiales x1 = 0, 3 etx2 = 0, 5 dans le cas ou` w0 = 1.

0 5 10 15 20 25 300.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6en boucle ouverte

Fig. 8.5 Reponse a` des conditions intiales en boucle ouverte

Supposons que lon souhaite corriger ce syste`me de manie`re a` ce quil presente 1 polereel double p0 = 2w0. En faisant cela, on double la pulsation des oscillations nonamorties et on fait passer le coefficient damortissement de 0 a` 1.

Le choix de ces poles fixe le polynome caracteristique du syste`me en boucle fermee :

Pf(p) = (p+ 2w0)2 = p2 + 4w0 p+ 4w

20 (8.1)

Par ailleurs, le polynome caracteristique du syste`me boucle est egal a` :

det[pI (A BK)] = det

([p 00 p

]

[0 1

w20 0

]+

[01

] [K1 K2

])

= p2 +K2 p+ w20 +K1 (8.2)




monovariables

En comparant les expressions (8.1) et (8.2), on obtient les relations suivantes :

K2 = 4w0

w20 +K1 = 4w20

qui conduisent aux coefficients de la matrice de retour detat :

K1 = 3w20

K2 = 4w0

soit de manie`re plus condensee :

K =[3w20 4w0

]

La Figure 8.6 montre la reponse du syste`me corrige aux conditions initiales x1 = 0, 3et x2 = 0, 5 dans le cas ou` w0 = 1.On peut constater un tre`s bon amortissement, comme on pouvait sy attendre du faitdu pole double p0 = 2.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

0.1

0.2

0.3avec retour detat

Fig. 8.6 Reponse a` des conditions intiales en boucle fermee


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Jean-Jose ORTEU

8.2. Determination de la matrice de reaction detat dans le cas des syste`mesmonovariables 63

8.2.2 Cas general

La determination des coefficients de la matrice de retour detat est grandement sim-plifiee si le syste`me considere est represente sous la forme canonique de comman-dabilite. Cette forme existe si et seulement si le syste`me est commandable.

Soit le syste`me :

x = Ac x+Bc u

y = Cc x

ou` :

Ac =

0 1 0 0...

...... 00 0 1a0 an1

Bc =

0...01

Cc =[b0 bn1

]

La matrice detat du syste`me en boucle fermee est donnee par :

A1 = Ac BcK =

0 1 0 0...

...... 00 0 1a0 an1

0...01

[K0 K1 Kn1

]

soit :

A1 =

0 1 0 0...

...... 00 0 1

a0 K0 an1 Kn1

Cette matrice detat correspond au polynome caracteristique :

Pf(p) = pn + (an1 +Kn1) p

n1 + + (a1 +K1) p+ (a0 +K0)




multivariables

La comparaison de ce polynome avec le polynome caracteristique desire defini par :

Pf(p) = pn + n1p

n1 + n2pn2 + + 0

conduit a` choisir les coefficients Ki de la matrice de reaction tels que :

Ki = i ai

8.3 Determination de la matrice de reaction detat

dans le cas des syste`mes multivariables

Dans le cas des syste`mes monovariables, la matrice de retour detat est une matriceligne de dimension n egale au degre du polynome caracteristique du syste`me (qui estegal a` la dimension du vecteur detat). Il existe donc un seul choix possible des ncoefficients Ki de la matrice de reaction detat.

Dans le cas de syste`mes multivariables, lequation caracteristique est toujours dunordre n egal a` la dimension du vecteur detat mais la matrice de retour detat estdefinie par mn coefficients Kij relies entre eux par n relations non lineaires obtenuespar exemple en identifiant termes a` termes les coefficients du polynome caracteristiquedesire :

Pf(p) = pn + n1p

n1 + n2pn2 + + 0

et ceux de det(pI A +BK).

Il existe donc une infinite de choix possibles des m n coefficients Kij de la matriceK de retour detat et donc une infinite de structures de commandes possibles.

Lunicite du choix sobtient par lintroduction de relations supplementaires resultantde techniques de commande particulie`res qui sortent du cadre de ce cours.

8.4 Choix des poles du syste`me asservi

Nous avons etudie, dans le cours ASLC, les caracteristiques dynamiques dun syste`medu second ordre en fonction de la localisation de ses poles dans le plan complexe.Nous avons vu, par exemple, que lamortissement est dautant plus rapide que les polessont plus a` gauche de laxe complexe et que la frequence doscillation crot avec leloi-gnement de laxe reel.Par extrapolation, ces caracteristiques sont utilisees pour un syste`me dordre quel-conque, les proprietes etant dautant plus proches de celles dun second ordre reel quele syste`me admet deux poles dominants.


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Jean-Jose ORTEU

8.4. Choix des poles du syste`me asservi 65

Pour guider la synthe`se dun regulateur par placement de poles, nous enoncerons uncertain nombre de re`gles de base permettant dassurer la robustesse de la regulationrealisee : ne deplacer les poles du syste`me que si les conditions de stabilite, de dynamique, ouplus generalement de comportement lexigent.

limiter la valeur superieure des parties reelles des poles au niveau necessite par larapidite ou la marge de stabilite requises.

limiter la valeur inferieure des parties reelles de facon a` ne pas solliciter exagerementet inutilement les actionneurs.

assurer un amortissement suffisant des oscillations correspondant aux poles com-plexes.

Cet ensemble de conditions conduit a` une localisation des poles correspondant auschema de la Figure 8.7.

Marge de stabilit

Amortissement

Limitationdue auxactionneurs

Im

Re

Fig. 8.7 Localisation des poles

De facon pratique, le choix des poles du syste`me corrige peut seffectuer simplement a`partir dun examen des poles du syste`me initial.

Dans le cas des poles instables par exemple un bon positionnement apre`s correctionconsiste a` les remplacer par leurs symetriques par rapport a` laxe imaginaire.



66 8.5. Amelioration de la precision

8.5 Amelioration de la precision

Pour ameliorer la precision statique, on choisit une loi de commande de la forme(Cf. Figure 8.8) :

u = v K x

- -

-PROCEDE

x = A x+B uy = C x

-

K

6

+REGULATEUR

v u

x

y

Fig. 8.8 Commande par retour detat avec gain pour la precision statique

Il faut alors calculer le gain qui permet de satisfaire a` la contrainte de comportementstatique.

Si lon a deja` calcule le gain statique du syste`me en boucle fermee (sans ), il suffit deprendre :

=1

gain statique

Sinon, on peut le calculer directement a` partir de la representation detat, en ecrivantquen regime permanent :

0 = (A BK) x+B v

y = C x

Soit :y = C (ABK)1 B v

Le gain statique vaut donc C (A BK)1 B et on prend alors :

=1

C (A BK)1 B


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Jean-Jose ORTEU

8.6. Commande avec retour detat et action integrale 67

8.6 Commande avec retour detat et action inte-

grale

Considerons le syste`me en boucle ouverte suivant :

x = A x+B u+B1 w

y = C x

ou` u represente lentree du syste`me et w represente une perturbation agissant sur lesyste`me.

Nous supposons que le syste`me est de type 1 entree/1 sortie (u et y sont des sca-laires) et quil est commandable.

Dans le cas ou` le syste`me est de classe 0 (pas dintegration), nous allons genererune commande en boucle fermee qui utilise a` la fois un retour detat et un termecorrespondant a` lintegration de lerreur1 = y v :

u = K xKI xI avec xI = t0() d

Notons que :

xI = = y v = C x v

-

- - KI -

-PROCEDE

x = A x+B u+B1 wy = C x

-

?

w

K

6

+

++6

v u

x

y xI

Fig. 8.9 Commande par retour detat avec action integrale

1Attention au sens du comparateur qui, par commodite decriture, a ete choisi pour que le gainintegral secrive KI au lieu de KI .



68 8.6. Commande avec retour detat et action integrale

En definissant un nouvel etat (on parle detat augmente) :

[xxI

]

lequation detat du nouveau syste`me secrit :

[xxI

]=

[A 0C 0

] [xxI

]+

[B0

]u+

[B10

]w

[01

]v (8.3)

et la loi de commande secrit :

u = [K KI

] [ xxI

](8.4)

Les equations (8.3) et (8.4) sont de la forme :

[xxI

]= A

[xxI

]+B u+

[B10

]w

[01

]v

u = K [xxI

]

Les techniques de placement de poles vues au paragraphe 8.2 permettent de calculer levecteur de retour detat K qui conduit a` un syste`me en boucle fermee presentant unebonne precision statique, i.e. une erreur nulle en regime permanent aussi bien vis-a`-visdune variation de consigne du type echelon que vis-a`-vis dune perturbation constanteagissant sur le syste`me.

8.6.1 Exemple (suite TD No 1)

A =

[1 11 2

], B =

[0

100

], C =

[1 0

]

A =

[A 0C 0

]=

1 1 01 2 0

1 0 0

, B =

[B0

]=

0100

0


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Jean-Jose ORTEU

8.6. Commande avec retour detat et action integrale 69

On souhaite que le syste`me en boucle fermee presente 3 poles (-3), (-4) et (-4).

En appliquant les techniques de placement de poles vues au paragraphe 8.2, on trouve :

K =[K KI

]=[0.31 0.08 0.48

]

1) Tracer la reponse h1(t) du syste`me en boucle fermee en reponse a` un echelon dedebit en entree (w = 0).

2) Que devient le niveau h1(t) en presence dune perturbation constante (q = 0) ?



Chapitre 9

Exercice (suite)

On reprend lexercice du chapitre 6 en vue dameliorer le comportement dynamiquedu syste`me.

Troisie`me partie : Commande par retour detat du syste`me

On effectue une commande par retour detat en choisissant un signal de commande dela forme u = v K x ou` v represente lentree du syste`me boucle. On desire que lesvaleurs propres du syste`me corrige aient les valeurs suivantes :

p1 = 0, 5 + 0, 6 jp2 = 0, 5 0, 6 jp3 = 2

14) Discuter le choix de ces valeurs propres.

15) Calculer la reaction detat K pour obtenir les valeurs propres desirees.

16) Calculer le comportement du syste`me boucle en reponse a` un echelon de consigne.

Donner le gain statique du transfertY (p)

V (p).

17) On desire que la position y en me`tres soit identique en regime statique au signalde consigne v en volts tout en conservant le meme comportement dynamique.

70

71

En adoptant une loi de commande de la forme :

u = q v K x

trouver le gain q qui permettra de satisfaire a` la contrainte de comportementstatique.



Chapitre 10

Commande modale

La commande modale constitue une forme particulie`re de compensation par reactiondetat.La matrice K est calculee de manie`re a` permettre le remplacement dun ou plu-sieurs modes du syste`me initial par un nombre equivalent de modes imposes, afindassurer au syste`me corrige la dynamique choisie par le concepteur.

72

Chapitre 11

Commande quadratique

Le principe de la commande quadratique consiste a` definir une loi de commande de laforme :

u = v K x

ou` : v vecteur de dimensionm correspond a` la consigne du syste`me asserviK matrice de dimension (mn) permettant de minimiser un crite`re

quadratique J(x, u).

Le crite`re a` minimiser est defini par :

J(x, u) = +0

(xTQx+ uTRu) dt

ou` Q et R sont des matrices carrees de dimensions respectives n n et mm.

73

Chapitre 12

Reconstructeur detat

Dans les chapitres precedents, nous avons suppose tous les etats du processus acces-sibles pour elaborer la commande. La plupart du temps, soit par impossibilite physiquedintroduire un capteur, soit parce que linformation delivree par un capteur est tropbruitee pour pouvoir etre exploitee, soit pour des questions de cout, . . . on ne peut pasmesurer tous les etats.Nous allons voir dans ce chapitre comment on peut, a` partir de mesures faites surlentree et la sortie du processus, reconstruire (on dit aussi estimer) le vecteur detatx, note alors x. Le sous-syste`me qui realise cette reconstruction est appele un recons-tructeur detat (ou observateur).

-

-PROCEDE


-

observateur detat

K

6

REGULATEUR+v u

y

x

Fig. 12.1

74

Troisie`me partie

Etude des syste`mes echantillonnesdans lEspace dEtat

75

Chapitre 13

Representation detat dun syste`meechantillonne

76

Chapitre 14

Discretisation dun processuscontinu

77

Chapitre 15

Exemple1 : double integrateur

78

Chapitre 16

Exemple2

On conside`re le processus continu de la figure 16.1 avec G(p) =2

p(p+ 1).

u(t)G(p)

y(t)

Fig. 16.1 Processus continu

On decide dechantillonner ce processus suivant le schema de la figure 16.2.

u(kT )T

BOZ G(p) T

y(kT )

Fig. 16.2 Processus echantillonne

1) Calculer sa fonction de transfert en z.

On se propose de retrouver le resultat de la question 1) a` partir de la representationdetat du processus continu.

2) Ecrire la representation detat du processus continu de la figure 16.1 en prenant

comme vecteur detat x =

[yy

].

79

80

3) En deduire la representation detat du processus echantillonne de la figure 16.2.

4) A` partir du resultat de la question 3), calculer la fonction de transfert en z duprocessus echantillonne.

Solution :

On traite le cas general :

G(p) =b

p(p+ a)

1)

H(z) = (1z1)Z

[b

p2(p+ a)

]=

b

a

(T

z 1

1 eaT

a(z eaT )

)(cf. table)

2)

x =

[yy

]

x =

[0 10 a

]x+

[0b

]u

y =[1 0

]x

3)

eAt = L1[pI A]1 = L1

1

p

1

p(p+ a)

01

p+ a

F = eAT =

1

1

a(1 eaT )

0 eaT

G = T0eAxdx.B =

T0

1

1

a(1 eax)

0 eax

dx

[0b

]


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Jean-Jose ORTEU

81

G = T0

b

a(1 eax)

b eax

dx =

b

a2(aT 1 + eaT )

b

a(1 eaT )

4)

H(z) = P (zI F )1G

(zI F )1 =

1

z 1

1

a

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Bibliographie

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