Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Calcul daires à laide des limites Calcul daires à laide des limites

Montage préparé par :

André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

Calcul d’aires à l’aide des limites

Calcul d’aires à l’aide des limites

IntroductionIl nous faut maintenant définir l’aire d’une surface de

façon stricte pour pouvoir l’utiliser mathématiquement.

On peut être porté à croire qu’il est possible de déterminer

l’aire de toute région du plan. Ce n’est pas le cas. Il existe

des régions du plan dont la frontière est si complexe qu’il

est impossible d’en déterminer l’aire.

Pour donner une définition mathématiquement acceptable

de l’aire, nous aurons recours à la notion de limite et aux

sommations.

Valeur approchée de l’aireDécomposer l’aire sous la courbe définie par f(x) = x2 dans l’intervalle [0; 1] en 5 rectangles de même base et estimer l’aire sous la courbe à l’aide de ces rectangles.

Les intervalles obtenus sont :[0; 1/5], [1/5; 2/5], [2/5; 3/5],

[3/5; 4/5], [4/5; 5/5]

Considérons comme hauteur de chacun des rectangles l’image par la fonction de sa frontière de gauche. La hauteur du premier rectangle est alors f(0/5) = (0/5)2, celle du deuxième rectangle est f(1/5) = (1/5)2 ...

SS

At = 1

5=

0

52 1

5+

1

52 1

5+

2

52 1

5+

3

52 1

5+

4

52

1

53= (02 + 12 + 22 + 32 + 42)

30

125= = 0,24 unité d’aire

i = 0

41

5

i

52

Construisons cinq rectangles de même base, soit 1/5.

REMARQUE :

On effectue la somme en utilisant le fait que :

i = 1

ni 2 =

n (n + 1)(2n + 1)6

S

Valeur approchée de l’aireL’aire sous la courbe définie par f(x) = x2 dans l’intervalle [0; 1].

Cette estimation est en manque puisque l’aire des rectangles est inférieure à celle sous la courbe.Déterminons une autre estimation en considérant comme hauteur de chaque rectangle l’image par la fonction de sa frontière de droite.

SS

Notre estimation est de 0,24 unité d’aire.

On obtient alors :

At = i = 1

5Ai

1

5=

1

52 1

5+

2

52 1

5+

3

52 1

5+

4

52 1

5+

5

52

1

53= (12 + 22 + 32 + 42 + 52)

55

125= = 0,44 unité d’aire


En augmentant le nombre de rectangles, on peut obtenir une meilleure estimation de cette aire. Considérons dix sous-intervalles. On obtient :

At = i = 1

10 1

10

i

102

SS

Elle est comprise entre 0,24 et 0,44 unité d’aire.

= 1

103i2

i = 1

10• par les frontières de droite :

= 1

103

10 11216

= 0,385

At = i = 0

9 1

10

i

102

• par les frontières de gauche :

= 1

103

i = 1

10i2 =

1

103

9 10196

= 0,285


En augmentant le nombre de subdivisions de l’intervalle, on augmente la précision de l’estimation. On devrait pouvoir obtenir l’aire exacte en prenant la limite, si elle existe, lorsque le nombre de sous-intervalles tend vers l’infini.

At = i = 0

n–1 1

n

i

n2

SS

Elle est comprise entre 0,285 et 0,385 unité d’aire.

= 1

n3i2

i = 1

n–1• par les frontières de gauche :

= 1

n3

(n–1) n (2n – 1)6

A =

La limite lorsque n tend vers l’infini donne :

limn∞

n3

n3

(1 – 1/n)(2 – 1/n)6

(1 – 1/n)(2 – 1/n)6

limn∞

= = 26

= 13

S

• par les frontières de droite :

At = i = 1

n 1

n

i

n2

= 1

n3i2

i = 1

n=

1

n3

n(n + 1)(2n + 1)6

A =

La limite lorsque n tend vers l’infini donne :

limn∞

n3

n3

(1 + 1/n)(2 + 1/n)6

(1 + 1/n)(2 + 1/n)6

limn∞

= = 26

= 13

Aire sous une courbeConsidérons maintenant l’aire sous une courbe représentant une fonction continue non négative dans un intervalle [a ;b].

Pour calculer une valeur approchée de cette aire, on peut déterminer une partition de l’intervalle (division en sous-intervalles).

On peut former des rectangles en choisissant comme hauteur d’un rectangle soit l’image par la fonction de sa frontière de gauche, soit l’image de sa frontière de droite ou encore l’image d’une valeur quelconque du sous-intervalle. La somme des aires de ces rectangles est alors une valeur estimée de l’aire sous la courbe.

SSS

Partition

S

DéfinitionPartition

Soit [a; b], un intervalle. Une partition P de [a; b] est une suite de nombres réels x0, x1,x2, ..., xn tels que :

a = x0 < x1 < x2 < … < xn = b

On note la partition de la façon suivante : P = {x0, x1, x2, …, xn}

x0

x1 x2 x3 xi–1. . . . . .xi xn–2 xn–1 xn

Si les sous-intervalles n’ont pas même largeur, la partition est irrégulière.

x0

Si les sous-intervalles ont même largeur, la partition est régulière.

x1 x2 . . . xi–1 xi xn–2 xn–1 xn. . .

REMARQUE :

L’intersection de deux sous-intervalles adjacents d’une partition P ne contient que la frontière commune.

Somme de Riemann

L’aire est définie par la limite lorsque la largeur du plus grand des sous-intervalles tend vers 0, soit :

En utilisant une somme de Riemann, on peut calculer une valeur approchée de l’aire sous la courbe d’une fonction positive.

S

DéfinitionSomme de Riemann

Soit f, une fonction continue et non négative définie sur [a; b] et P = {x0, x1, x2, …, xn} une partition de cet intervalle. On appelle somme de Riemann toute somme de la forme :

i = 1

nf(xi ) ∆xi , où ci [xi–1; xi] et ∆xi = xi – xi–1

lim(max∆xi) 0

i = 1

nf(xi ) ∆xi

Aire sous une courbe

Dans les exemples que nous allons présenter, les partitions comporteront n sous-intervalles de même largeur, soit :

S

DéfinitionAire sous une courbe

Soit f, une fonction continue et non négative définie sur [a; b] et P = {x0, x1, x2, …, xn} une partition de cet intervalle. L’aire sous la courbe dans l’intervalle [a; b] est définie par :

, où ci [xi–1; xi] et ∆xi = xi – xi–1i = 1

nf(ci ) ∆xi

Lorsque le nombre de sous-intervalles tend vers ∞, la largeur de ces sous intervalles tend vers 0. On a donc la forme équivalente :

∆x =b – a

n

lim∆x 0

i = 1

nf(ci ) ∆x

A[a; b] =

A[a; b] = , où ∆x =b – a

n

lim(max∆xi) 0

REMARQUE :

Une partition régulière dont on utilise l’image soit de la frontière de gauche, soit de la frontière de droite comme hauteur des rectangles est un cas particulier de somme de Riemann.

Calcul de l’aire à l’aide des limitesProcédure

pour calculer l’aire sous une courbe à l’aide d’une limite

2. Déterminer les frontières de l’intervalle [xi–1; xi]. Cet intervalle servira à déterminer le terme général de la sommation.

3. Choisir la frontière de l’intervalle dont l’image servira de hauteur du rectangle et déterminer cette image.

4. Déterminer l’aire du rectangle construit sur l’intervalle [xi–1; xi]. C’est le terme général de la sommation. On appelle ce rectangle le représentant.

5. Décrire la somme des aires des rectangles de la partition à l’aide de la notation sigma et en appliquer les propriétés.

6. Évaluer la limite de la somme lorsque le nombre de sous-intervalles tend vers l’infini.

Voyons en détail les étapes de cette procédure à l’aide d’un exemple.

1. Vérifier si la procédure s’applique (f ≥ 0 dans tout l’intervalle).

Partition d’un intervalleDéterminer les frontières des sous-intervalles de la partition régulière de l’intervalle [2; 5] en n sous-intervalles.

Dans une partition régulière, tous les sous-intervalles sont de même largeur. Celle-ci est :

On obtient les frontières en additionnant successivement n fois la largeur des sous-intervalles à partir de x0 = 2. Cela donne :

∆x =5 – 2

n3n

=

Déterminer les frontières du ie sous-intervalle.

La frontière de gauche du ie sous-intervalle est obtenue en additionnant i–1 fois la largeur des intervalles à x0 = 2 et celle de droite en l’additionnant i fois.

SS

Exercice (partition d’un intervalle)Déterminer les frontières des sous-intervalles de la partition régulière de l’intervalle [1; 3] en n sous-intervalles.

Dans une partition régulière, tous les sous-intervalles sont de même largeur. Celle-ci est :

On obtient les frontières en additionnant successivement n fois la largeur des sous-intervalles à partir de x0 = 1. Cela donne :

∆x =3 – 1

n2n

=

Déterminer les frontières du ie sous-intervalle.

La frontière de gauche du ie sous-intervalle est obtenue en additionnant i–1 fois la largeur des intervalles à x0 = 1 et celle de droite en l’additionnant i fois.

SS

REMARQUE :

De façon générale, les frontières du ie intervalle sont :

xi–1 = a + (i – 1) ∆x

xi = a + i ∆x

où ∆x = (b – a)/n

Image de la frontière droiteDéterminer l’image par la fonction f(x) = x2 + x de la frontière de droite du ie sous-intervalle de la partition régulière de l’intervalle [2; 5] en n sous-intervalles.

La frontière de droite est :

L’image par la fonction donne :

2n + 3in

=

S

xi =3in2 +

f2n + 3i

n= +

2n + 3in

2n + 3in

2

=4n2 + 12ni + 9i2

n2+

2n + 3in

=4n2 + 12ni + 9i2

n2+

2n2 + 3ni

n2=

6n2 + 15ni + 9i2

n2

6n2 + 15ni + 9i2

n2

2n + 3in

3n

∆x =

S

Exercice (image de la frontière droite)Déterminer l’image par la fonction f(x) = x2 + 2x + 1 de la frontière de droite du ie sous-intervalle de la partition régulière de l’intervalle [1; 3] en n sous-intervalles.

La frontière de droite est :

L’image par la fonction donne :

n + 2in

=

S

xi =2in1 +

fn + 2i

n

=n2 + 4ni + 4i2

n2+

2n2 + 4ni

n2=

4n2 + 8ni + 4i2

n2

=n + 2i

n2+ 2

n + 2in

+ 1 =n2 + 4ni + 4i2

n2+ 2

n + 2in + 1

+n2

n2

S

2n

∆x =

4n2 + 8ni + 4i2

n2

n + 2in

Aire du représentantDéterminer l’aire du rectangle construit sur l’intervalle [xi–1; xi] et dont la hauteur est la frontière de droite de l’intervalle par la fonction f(x) = x2 + x.

L’image de la frontière de droite par la fonction est :

S

f(xi) =6n2 + 15ni + 9i2

n2

La largeur de l’intervalle est :

Ai = ∆x f(xi) =L’aire du rectangle est :

3n

∆x =

3n

6n2 + 15ni + 9i2

n2

9

n3(2n2 + 5ni + 3i2)=

S

9

n3(2n2 + 5ni + 3i2)Ai=

6n2 + 15ni + 9i2

n2

2n + 3in

3n

∆x =

Exemple (aire du représentant)Déterminer l’aire du rectangle construit sur l’intervalle [xi–1; xi] et dont la hauteur est la frontière de droite de l’intervalle par la fonction f(x) = x2 + 2x + 1.

L’image de la frontière de droite par la fonction est :

S

f(xi) =4n2 + 8ni + 4i2

n2

La largeur de l’intervalle est :

Ai = ∆x f(xi) =L’aire du rectangle est :

2n

∆x =

2n

4n2 + 8ni + 4i2

n2

8

n3(n2 + 2ni + i2)=

S

2n

∆x =

4n2 + 8ni + 4i2

n2

n + 2in

8

n3(n2 + 2ni + i2)Ai =

Somme des aires de rectanglesDécrire la somme des aires des rectangles de la partition régulière permettant d’estimer l’aire sous la courbe de la fonction définie par f(x) = x2 + x dans l’intervalle [2; 5]. Appliquer les propriétés de la sommation.

S

L’aire du représentant est : Ai 9

n3(2n2 + 5ni + 3i2)=

La somme des aires des rectangles est :

Ai = i = 1

n 9

n3(2n2 + 5ni + 3i2)

i = 1

n 9

n3(2n2 + 5ni + 3i2)

i = 1

n=

9

n32n2 +

i = 1

n=

i = 1

n

i = 1

n3i25ni +

9

n3 2n3 + 5n

= i = 1

n

i = 1

ni2i + 3

2n3 + 5n

9

n3= + 3 n(n +1)

2n(n +1)(2n + 1)

6

9

n3= 33n3 + 24n2 + 3n

6S

9

n3(2n2 + 5ni + 3i2)Ai=

6n2 + 15ni + 9i2

n2

2n + 3in

3n

∆x =

9

n333n3 + 24n2 + 3n

6At =

Exercice (somme des aires de rectangles)Décrire la somme des aires des rectangles de la partition régulière permettant d’estimer l’aire sous la courbe de la fonction définie par f(x) = x2 + x + 1 dans l’intervalle [1; 3]. Appliquer les propriétés de la sommation.

S

L’aire du représentant est : Ai 8

n3(n2 + 2ni + i2)=

La somme des aires des rectangles est :

Ai = i = 1

n 8

n3(n2 + 2ni + i2)

i = 1

n 8

n3(n2 + 2ni + i2)

i = 1

n=

8

n3n2 +

i = 1

n=

i = 1

n

i = 1

ni22ni +

8

n3 n3 + 2n = i = 1

n

i = 1

ni2i +

n3 + 2n 8

n3= + n(n +1)

2n(n +1)(2n + 1)

6

8

n3= 14n3 + 9n2 + n

6S

2n

∆x =

4n2 + 8ni + 4i2

n2

n + 2in

8

n3(n2 + 2ni + i2)Ai =

8

n3At = 14n3 + 9n2 + n

6

Limite de la sommeÉvaluer la limite lorsque n tend vers l’infini de :

S

En appliquant les propriétés des limites et en évaluant, on obtient :

Ai i = 1

n 9

n3= 33n3 + 24n2 + 3n

6

9

n3

33n3 + 24n2 + 3n6

limn∞

= limn∞

96

1

n333n3 + 24n2 + 3n

33 + = limn∞

96

n3

n3

24n

+ 3n2

11 + 8n

+ = limn∞

276

1n2

= 992

11 = 276

Interpréter le résultat.

On obtient que l’aire sous la courbe de la fonction définie par f(x) = x2 + x dans l’intervalle [2; 5] est de 99/2 unités d’aire.

9

n3(2n2 + 5ni + 3i2)Ai=

6n2 + 15ni + 9i2

n2

2n + 3in

3n

∆x =

S

Exercice (limite de la somme)Évaluer la limite lorsque n tend vers l’infini de :

S

En appliquant les propriétés des limites et en évaluant, on obtient :

Ai i = 1

n 8

n3= 14n3 + 9n2 + n

6

8

n3

14n3 + 9n2 + n6

limn∞

= limn∞

86

1

n314n3 + 9n2 + n

14 + = limn∞

86

n3

n3

9n

+ 1n2

14 + 9n

+ = limn∞

86

1n2

= 563

14 = 86

Interpréter le résultat.

On obtient que l’aire sous la courbe de la fonction définie par f(x) = x2 + 2x + 1 dans l’intervalle [1; 3] est de 56/3 unités d’aire.

S

2n

∆x =

4n2 + 8ni + 4i2

n2

n + 2in

8

n3(n2 + 2ni + i2)Ai =

Discussion de la démarcheDans les deux situations que nous venons de présenter, les fonctions étaient croissantes et nous avons utilisé la frontière de droite comme hauteur du représentant des rectangles.

Quelques questions se posent :

Aurions-nous obtenu le même résultat en considérant la frontière de gauche pour déterminer l’aire du représentant?

Le processus donne une valeur numérique, mais est-ce bien la mesure de la surface ?

Considérons encore quelques exemples pour consolider notre intuition.

Cette procédure fonctionnerait-elle pour une fonction décroissante ?

Les exemples sont toujours des fonctions quadratiques, la procédure est-elle valide pour une fonction cubique? exponentielle? logarith-mique? trigonométrique? ou autre?

SS

Exemple

Esquissons le graphique de la fonction :

Déterminer l’aire sous la courbe définie par f(x) = 4 – 2x dans l’intervalle [0; 2] en considérant les frontières de gauche.

∆x =2 – 0

n =

2n

L’aire du représentant est :

f2i – 2

n= 4 – 2

2i – 2n

L’image par la fonction de la frontière de droite du ie intervalle est :

Ai

La fonction est non négative dans l’intervalle, on peut poursuivre.

La largeur des intervalles est :

= 4 n – 4i + 4

n

= (n – i + 1)4n

2n

8

n2= (n – i + 1)

La somme des aires est :

Ai = i = 1

n

i = 1

n8

n2(n – i + 1)

i = 1

n8

n2= (n – i + 1)

8

n2 i = 1

n= n – i + 1

i = 1

n

i = 1

n

8

n2= n2 – + nn(n + 1)

2

n2 + n2

8

n2=

Déterminons la limite :8

n2

n2 + n2

limn∞

A =

1

n2n2 + nlim

n∞=

82

= 4 1 = 4

La surface sous la courbe définie par f(x) = 4 – 2x dans l’intervalle [0; 2] a une mesure de 4 unités d’aire.

Conclusion

n2

n21 + lim

n∞= 4

1n

∆x =2n

4n

(n – i + 1)

S

8

n2(n – i + 1)

SS

Exercice


Déterminer l’aire sous la courbe définie par f(x) = 4 – 2x dans l’intervalle [0; 2] en considérant les frontières de droite.

∆x =2 – 0

n =

2n


f2i n

= 4 – 22i n


Ai



= 4 n – 4i

n

= (n – i )4n

2n

8

n2= (n – i )


Ai = i = 1

n

i = 1

n8

n2(n – i)

i = 1

n8

n2= (n – i)

8

n2 i = 1

n= n – i

i = 1

n

8

n2= n2 – n(n + 1)

2

n2 – n2

8

n2=


n2

n2 – n2

limn∞

A =

1

n2n2 – nlim

n∞=

82

= 4 1 = 4

La surface sous la courbe définie par f(x) = 4 – 2x dans l’intervalle [0; 2] a une mesure de 4 unités d’aire.

Conclusion

n2

n21 – lim

n∞= 4

1n

S

∆x =2n

4n

(n – i)8

n2(n – i)

SSS

2

Exemple


Déterminer l’aire sous la courbe définie par f(x) = 4 – x2 dans l’intervalle [0; 2].

∆x =2 – 0

n =

2n


f2in

= 4 –2in

2


= 4 –4i2

n2

Ai 8

n3(n2 – i2)= = (n2 – i2)

4

n2

2n

= (n2 – i2)4

n2

(n2 – i2)4

n2

∆x =2n




Ai = i = 1

n 8

n3(n2 – i2)

i = 1

n

8

n3(n2 – i2)

i = 1

n= n2 – i28

n3 i = 1

n

i = 1

n=

8

n3n3 – = n(n + 1)(2n + 1)

6

8

n3= 4n3 – 3n2 – n

6


n3

4n3 – 3n2 – n6

limn∞

A =

1

n34n3 – 3n2 – nlim

n∞=

86

n3

n34 – lim

n∞=

86

3n

– 1n2

4 = 86

163=

La surface sous la courbe définie par f(x) = 4 – x2 dans l’intervalle [0; 2] a une mesure de 16/3 unités d’aire.

Conclusion

SSS

Exercice


Déterminer l’aire sous la courbe définie par f(x) = 4x – x2 dans l’intervalle [0; 4].

∆x =4 – 0

n =

4n


f4in


Ai 64

n3(ni – i2)=

16

n2= (ni – i2)

4n

= (ni – i2)16

n2



= 4 – 4in

24in

= –16i2

n2

16in


Ai = i = 1

n 64

n3(ni – i2)

i = 1

n

64

n3(ni – i2)

i = 1

n= ni – i264

n3 i = 1

n

i = 1

n=

64

n3n – = n(n + 1)(2n + 1)

6 n(n + 1)

2


n3

n3 – n6

limn∞

A =

1

n3n3 – nlim

n∞=

646

n3

n31 – lim

n∞=

323

1n2

1 = 323

323=

(ni – i2)16

n2

∆x =4n

64

n3= n3 – n

6 La surface sous la courbe définie par f(x) = 4x – x2 dans l’intervalle [0; 4] a une mesure de 32/3 unités d’aire.

Conclusion

ConclusionSi f est une fonction continue et non négative sur un intervalle [a; b], on a défini l’aire sous la courbe de f sur cet intervalle par :

Cela signifie que l’aire est définie comme la limite de la somme des aires de rectangles construits sur les sous-intervalles d’une partition P lorsque la largeur du plus grand sous-intervalle tend vers 0.

où P = {x0, x1, x2, …, xn} est une partition de [a; b],

i = 1

nf(ci ) ∆xiA[a; b] = lim

(max∆xi) 0

Les exercices permettent de vérifier que la limite est la même en considérant la frontière de gauche ou la frontière de droite. Notre définition semble tenir la route pour les polynomiales de degré inférieur à 3. Peut-on généraliser à toutes les fonctions?

ci [xi–1; xi] et ∆xi = xi – xi–1

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