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Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon
MatricesMatrices
27
36
39
43
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55
33
58
49
Nous présentons ici la notion de matrice, les opérations d’addition et
de multiplication par un scalaire ainsi que la transposition des
matrices.
Introduction
Les mises en situation utilisées dans cette présentation sont du
domaine de l’administration. Elles ont le mérite d’être simples, car
elles visent à donner un sens concret aux notions présentées sans
surcharger ce premier contact avec des notions trop complexes.
Mise en situationDeux marchands ambulants vendent des jus de fruits dans les parcs de la municipalité durant les fins de semaine. Dans les tableaux suivants, on a compilé les ventes dans chaque parc pour les trois jours d’une fin de semaine.
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42
63
72
63
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65
58
PARC BEAUSÉJOUR
Jours
Vendredi
Samedi
Dimanche
Orange Raisin Pomme
JusPARC DE LA MAIRIE
Jours
Vendredi
Samedi
Dimanche
Orange Raisin Pomme
Jus
Représentation par des matrices
Ces tableaux donnent une information que l’on peut véhiculer sans
tenir compte des en-têtes si on conserve la même structure, c’est-à-dire
la même disposition des nombres.
Ces nouveaux tableaux sont appelés des matrices. Les matrices sont
notre premier objet d’études en algèbre linéaire, donnons de ce nouvel
objet une définition précise.
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Matrice
On appelle matrice tout tableau rectangulaire de la forme :
où les aij sont les éléments de la matrice.
L’indice i indique la ligne de l’élément et l’indice j, sa colonne. Ces indices donnent l’adresse de l’élément.
On dit qu’une matrice qui comporte m lignes et n colonnes est une matrice de dimension mxn (ce qui se lit m par n).
a12 est l’élément «a un deux» et non pas «a douze».
DÉFINITION
.
.
a11
a21
am1
.
.
a12
a22
am2
.
.
a1n
a2n
amn mn
aij
...
...
...
Notations
On représente normalement une matrice par une lettre majuscule, A, B, C, … . Pour des matrices dont les éléments sont inconnus, on emploiera les majuscules X, Y et Z.
Lorsqu’il est nécessaire de préciser la dimension d’une matrice, on écrit Amn pour représenter une matrice A de dimension m n.
L’ensemble des matrices de dimension mxn sera noté Mm n. Ainsi, on
notera M2 3 l’ensemble de toutes les matrices de dimension 2 3.
On peut également représenter par (aij) ou (aij)m n une matrice de
dimension m par n dont les éléments sont les aij.
Égalité de matrices
Deux matrices Am n et Bp q sont égales si et seulement si :
• les matrices ont la même dimension (m = p et n = q);
• les éléments de même adresse sont égaux (aij = bij, pour tout i et pour tout j).
On emploiera le signe d’égalité usuel pour l’égalité des matrices.
2 3
23
12
14
27
19
212 3
23
12
14
27
19
21=
DÉFINITION
Opérations sur les matricesOn peut définir différentes opérations sur les matrices. L’addition et la multiplication par un scalaire sont les deux premières que nous verrons.
Considérons à nouveau les matrices des ventes dans les parcs de la municipalité. En additionnant les éléments de même adresse entre eux, on obtient la somme des ventes par jour pour chaque sorte de jus durant la fin de semaine considérée.
Mise en situation
On doit donc additionner les éléments de même adresse entre eux. Cela nous indique comment définir l’addition.
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63
72
63
43
65
58
B + M = + =
65
82
81
106
140
118
76
123
107
Addition de matrices
Soit A = (aij) et B = (bij), deux matrices de même dimension mn.
DÉFINITION
A + B = (aij) + (bij) = (aij + bij)
Cette définition signifie que la somme des matrices est obtenue en additionnant les éléments de même adresse entre eux. Cela respecte la structure de l’information véhiculée par les matrices.
2 3
4
–3
–2
5
9
4
+2 3
3
8
7
2
–2
1
=2 3
7
5
5
7
7
5
La somme de ces matrices, notée A + B, est une matrice de dimension mn définie par :
Multiplication par un scalaire
Supposons que le tableau ci-contre donne
les prix de vente et les coûts unitaires des
jus de nos marchands ambulants.
Mise en situation
Supposons que le propriétaire de l’entreprise envisage de majorer
ses prix de 20 %. On peut déterminer la nouvelle matrice des prix
par une opération sur la matrice.
3 1
1,00
1,40
1,203 1
=1,2
1,2 1,00
1,2 1,40
1,2 1,20P =
3 1
=1,20
1,68
1,44
À partir de ce tableau, on peut écrire la matrice des prix.
1,00
1,40
1,20
0,40
0,60
0,50
Jus
Orange
Raisin
Pomme
Prix Coût
1,2
Multiplication par un scalaire
Soit A = (aij), une matrice de dimension m n et k, un scalaire (nombre réel).
DÉFINITION
kA = k(aij) = (kaij)
Cette définition signifie que chaque élément de la matrice A est multiplié par le scalaire k.
2 3
4
–3
–2
5
6
42 3
4k
–3k
–2k
5k
6k
4k=
La multiplication de la matrice A par le scalaire k donne une matrice notée kA
k A = k
et définie par l’égalité :
Transposition d’une matriceConsidérons à nouveau le tableau donnant les prix de vente et les coûts unitaires des jus de nos marchands ambulants et la matrice véhiculant cette même information.
On peut également transmettre cette information par le tableau et la matrice ci-dessous.
3 2
1,00
1,40
1,20
0,40
0,60
0,50
C =1,00
1,40
1,20
0,40
0,60
0,50
Orange
Raisin
Pomme
Prix Coût
1,00
0,40
1,40
0,60Prix
Coût
Orange Raisin Pomme
1,20
0,50 2 3
1,00
0,40D =
1,40
0,60
1,20
0,50
Les matrices C et D sont dites matrices transposées l’une de l’autre.
Transposition d’une matrice
Soit A = (aij), une matrice de dimension m n.
DÉFINITION
La matrice transposée de la matrice A = (aij)m n est donc la matrice définie par At = (bij)n m, où bij = aji.
2 3
4
–3
–2
5
6
4
3 2
4
–2
6
–3
5
4
On appelle matrice transposée de A, notée At, la matrice de dimension n m dont la ie colonne est la ie ligne de la matrice A pour i = 1, 2, ..., m.
A = A t =
ExercicesTrouver les éléments de la matrice
a + b
2c – d
c
a – bA = , sachant que :
a
c
b
d
2
3
4
2=
A =2
4
0
5
Soit B = et C = 2
1
–1
2
3
4
–3
2
1
–2
1
3
Calculer 2B = –3C =
Cliquer pour la réponse.
4
2
–2
4
6
8
9
–6
–3
6
–3
–9
Cliquer pour les réponses.
Calculer 4B – 2C = ; Bt + Ct = 14
0
–6
12
10
10
–1
0
4
3
0
7Cliquer pour les réponses.
VocabulaireAvec les matrices, on utilise un vocabulaire descriptif.
Matrice nulle : matrice dont tous les éléments sont nuls.
Matrice carrée : matrice dont le nombre de lignes est égal au nombre de colonnes. On dit qu’elle est d’ordre n, où n est le nombre de lignes et de colonnes.
0
0
0
0
0
0
L’autre diagonale est appelée diagonale secondaire.
2
1
–3
3
5
2
7
–3
5
Dans une matrice carrée, les éléments a11a22a33…ann forment la diagonale principale.
.
.
a11
a21
an1
.
.
a12
a22
an2
.
.
a1n
a2n
ann n n
aii
...
...
...
Matrices particulières
Matrice triangulaire supérieure : matrice carrée dont tous les éléments sous la diagonale principale sont nuls.
2
0
0
3
5
0
7
–3
5
Matrice triangulaire inférieure : matrice carrée dont tous les éléments au-dessus de la diagonale principale sont nuls.
2
4
3
0
5
6
0
0
5
Matrice diagonale : matrice carrée dont tous les éléments hors de la diagonale principale sont nuls.
8
0
0
0
5
0
0
0
–2
Matrice scalaire : matrice diagonale dont tous les éléments non nuls sont égaux.
8
0
0
0
8
0
0
0
8Matrice identité : matrice scalaire dont le scalaire est 1. On la représente par I.
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Matrices particulières
Matrice symétrique : matrice carrée qui est sa propre transposée;
At = A
2
–3
4
–3
6
–2
4
–2
4
Matrice antisymétrique : matrice carrée A dont la transposée est – A;
At = –A
0
6
5
–6
0
–2
–5
2
0
Propriétés des opérationsPour toute matrice A, B et C Mm n et pour tout scalaire p et q R, les propriétés suivantes s’appliquent :
1. Fermeture de l’addition sur l’ensemble des matrices
2. Commutativité de l’addition
3. Associativité de l’addition des matrices
4. Existence d’un élément neutre pour l’addition des matrices
5. Existence d’un élément inverse pour l’addition
A + B Mm n
A + B = B + A
A + (B + C) = (A + B) + C
Il existe, dans Mm n, une matrice nulle, notée 0, telle que :
A + 0 = 0 + A = A
Pour toute matrice A Mm n, il existe, dans Mm n, une matrice opposée, notée –A, telle que :
A + (–A) = (–A) + A = 0
Propriétés des opérations
6. Fermeture de la multiplication par un scalaire sur l’ensemble des matrices
7. Distributivité de la multiplication d’une matrice sur une somme de scalaires
8. Distributivité de la multiplication par un scalaire sur une somme de matrices
9. Associativité de la multiplication d’une matrice avec le produit de scalaires
10. Élément neutre pour la multiplication d’une matrice par un scalaire
Pour toute matrice A, B et C Mm n et pour tout scalaire p et q R, les propriétés suivantes s’appliquent :
pA Mm n
(p + q)A = pA + qA
p(A + B) = pA + pB
(pq)A = p(qA)
1A = A
Conclusion
À partir des matrices véhiculant de l’information, comme les ventes
par jour de la mise en situation, nous avons vu qu’il est possible, par
les opérations d’addition et de multiplication par un scalaire, de tirer
des informations supplémentaires des données de départ.
Les matrices sont de nouveaux objets mathématiques et l’usage
lorsqu’on aborde l’étude de nouveaux objets est :
• de définir à quelles conditions deux tels objets sont égaux;
• de définir les opérations sur ces objets;
• de déterminer les propriétés de ces opérations.
Les propriétés des opérations sont données en page 7 du volume.
ExercicesAlgèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences
de la nature, section 1.2, p. 9 et 10.
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences
humaines, section 1.2, p. 9 et 10.
LectureAlgèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences
de la nature, section 1.1, p. 3 à 8.
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences
humaines, section 1.1, p. 3 à 8.
