Montage préparé par :

André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

Systèmes d’équationset matrices

Systèmes d’équationset matrices

Nous verrons maintenant comment utiliser les matrices dans la

résolution d’un système d’équations linéaires.

Introduction

Nous présenterons d’abord la méthode de Gauss, puis la méthode de

Gauss-Jordan.

Un ensemble d’équations dont tous les termes sont du premier degré est appelé système d’équations linéaires.

Mise en situationConsidérons les équations suivantes :

∆1

∆2

x – 2y = –8 (∆1)

3x + 5y = 9 (∆2)

∆1

Pour résoudre le système formé de ces deux équations, éliminons l’inconnue x dans la deuxième équation.

Pour ce faire, multiplions la première équation par –3 :

–3x + 6y = 243x + 5y = 9

0x + 11y = 33

Additionnons à la deuxième équation :

Substituons l’équation obtenue à la deuxième équation du système :

x – 2y = –8 (∆1)

0x + 11y = 33 (∆3)

∆3

La deuxième équation de ce nouveau système donne alors y = 3.

{(–2; 3)}Graphiquement, c’est le point de ren-contre des droites ∆1 et ∆2 et, pour trouver ce point, on a construit l’équation d’une autre droite ∆3, passant par le même point et parallèle à l’axe horizontal.

y = 3

En substituant cette valeur dans la deuxième équation, on trouve x = –2. L’ensemble-solution est donc :

Représentation par des matrices

Considérons à nouveau le système

d’équations linéaires :

x – 2y = –8 (∆1)

3x + 5y = 9 (∆2)

Grâce au produit de matrices, on peut représenter le système d’équations linéaires par une équation matricielle  :

1

3

–2

5

–8

9

x

y• =

Dans cette équation matricielle, on a :1

3

–2

5la matrice des coefficients, également appelée matrice associée au système d’équation, 

la matrice des inconnues, et

la matrice des constantes.

x

y

–8

9Tout système d’équations linéaires peut se représenter par une équation matricielle.

Représentation par des matrices

1 –2 –8

3 5 9

x – 2y = –8 (∆1)

3x + 5y = 9 (∆2)

On peut également représenter le système d’équations linéaires par la matrice augmentée associée au système.

Pour résoudre le système d’équations linéaires, nous allons effectuer sur les lignes de cette matrice les opérations que nous avons effectuées précédemment sur les équations. Cela donne :

1 –2 –8

3 5 9

L1≈1 –2 –8

0 11 33L2 – 3 L1

La deuxième ligne de la matrice obtenue donne alors y = 3.En substituant cette valeur dans la première équation, on trouve x = –2. L’ensemble-solution du système est alors :

{(–2; 3)}

Matrice augmentée

La procédure consiste, par des opérations sur les lignes, à faire apparaître des zéros sous la diagonale principale pour obtenir la matrice échelonnée.

Exemple 11.1.1

Trouver à l’aide d’une matrice augmentée,

l’intersection des droites :

2x – 5y = –4 (∆1)

3x + 4y = 17 (∆2)

Construisons la matrice augmentée et effectuons les opérations sur les lignes :

La deuxième équation donne y = 2 et, en substituant dans la première, on obtient :

2 –5 –4

3 4 17

L1≈2 –5 –4

0 23 462L2 – 3L1

Solution

∆1

∆22x – 10 = –4D’où x = 3. L’ensemble-solution est donc :

{(3; 2)}

Par conséquent, le point de rencontre est : (3; 2)

(3; 2)

Vérification par le produit2x – 5y = –4 (∆1)

3x + 4y = 17 (∆2)

Grâce au produit de matrices, on peut vérifier qu’il n’y a pas eu d’erreur de calcul.

2

3

–5

4

x

y•

–4

17=On cherchait

x

y

3

2

tel que

On a obtenu

En multipliant les matrices, on obtient :

2

3

–5

4

–4

17=•

3

2

Cela confirme que nous avons obtenu la bonne solution.

Exemple 11.1.2

Trouver à l’aide d’une matrice augmentée,

l’intersection des droites :

x – 3y = 2 (∆1)

2x – 6y = 12 (∆2)

Construisons la matrice augmentée et effectuons les opérations sur les lignes :

La dernière ligne indique que ce système d’équation est impossible. On dit également que les équations (contraintes) sont incompatibles.

1 –3 2

2 –6 12

L1≈1 –3 2

0 0 8L2 – 2L1

Solution

∆1

∆2

Le système n’a aucune solution et l’ensemble-solution est vide.Graphiquement, les équations sont représentées par des droites parallèles.

Exemple 11.1.3

Trouver à l’aide d’une matrice augmentée,

l’intersection des droites :

x – 3y = 2 (∆1)

3x – 9y = 6 (∆2)

Construisons la matrice augmentée et effectuons les opérations :

Il reste moins d’équations que d’in-connues, cela signifie qu’il y a une infinité de solutions.

1 –3 2

3 –9 6

L1≈1 –3 2

0 0 0L2 – 3L1

Solution

∆1

∆2

Considérons que la variable y est une variable libre et représentons-la par le paramètre t. En substituant dans la première équation, on a alors x = 2 + 3t.L’ensemble-solution est donc :

{(x; y) | x = 2 + 3t et y = t}

Types de solution, systèmes à deux inconnues

Dans un système de deux équations à deux inconnues, on peut

rencontrer trois situations après avoir échelonné la matrice.

Matrice échelonnée

a b c

0 d eSolution unique

Types de solution Types de graphique

a b c

0 0 e

a b c

0 0 0

, où a ≠ 0 et d ≠ 0.

Aucune solution, où e ≠ 0.

Infinité de solutions

autant d’équations que d’inconnues

moins d’équations que d’inconnues

message d’impossibilité

0 = e ≠ 0

Types de solution, systèmes à deux inconnuesUn système d’équations non homogène peut, initialement, avoir plus d’équations que d’inconnues. Ce n’est qu’après avoir échelonné, en comparant le nombre d’équations et le nombre d’inconnues, que l’on peut déterminer le type de solution de ce système.

Matrice échelonnée

Solution unique

Types de solution Types de graphique

, où a ≠ 0 et e ≠ 0.

Aucune solution, où f ≠ 0.

Infinité de solutions

autant d’équations que d’inconnues

moins d’équations que d’inconnues

message d’impossibilité

0 = e ≠ 0

a b c

d e f

g h i

Matrice initiale d’un système de trois équations à deux inconnues

a b c0 e f0 0 0

a b c0 0 f0 0 0

a b c0 0 00 0 0

Exercice 1

Résoudre le système d’équations ci-contre à

l’aide d’une matrice augmentée :

x + 2y = –6 (∆1)

2x – 3y = 16 (∆2)

Il reste autant d’équations que d’inconnues et la deuxième ligne donne y = –4 et, en substituant dans la première, on obtient :

1 2 –62 –3 16

L1

≈ L2 – 2L1

Cliquer pour la solution.

∆1

∆2

x – 8 = –6D’où : x = 2. L’ensemble-solution est donc :

{(2; –4)}

Par conséquent, les trois droites se rencontrent en un même point.

(2; –4)

4x + y = 4 (∆3)

4 1 4 L3 – 4L1

1 2 –60 –7 28

0 –7 28

L1

≈ L2

L3 – L2

1 2 –60 –7 28

0 0 0

∆2

S

Exercice 2

Résoudre le système d’équations ci-contre à

l’aide d’une matrice augmentée :

x + 2y = –6 (∆1)

2x – 3y = –4 (∆2)

La troisième ligne indique que le système n’a aucune solution. Les équations sont incompatibles.

1 2 –62 –3 –4

L1

≈ L2 – 2L1

Cliquer pour la solution.

∆1

∆2

Par conséquent, les trois droites ne se rencontrent pas en un même point.

S4x + y = 4 (∆2)

4 1 4 L3 – 4L1

1 2 –60 –7 8

0 –7 28

L1

≈ L2

L3 – L2

1 2 –60 –7 8

0 0 20

∆3

Systèmes d’équations linéaires à trois inconnues

Résoudre le système d’équations linéaires ci-

contre à l’aide d’une matrice augmentée.

x + 2y – 3z = –3

2x + y – 3z = 6

Construisons la matrice augmentée et effectuons les opérations :

Il reste autant d’équations que d’inconnues, cela signifie qu’il y a une solution unique et, par substitution, on trouve que cette solution est (2; –7; –3). On peut représenter cette solution par un point dans l’espace. Nous étudierons cela plus en détail dans un autre chapitre.

1 2 –3

2 1 –3L1

≈ L2 – 2L1

On procédera de façon analogue pour un système d’équations linéaires à trois inconnues.

3x – 2y + 4z = 8

–3

63 –2 4 8 L3 – 3L1

1 2 –3

0 –3 3

–3

120 –8 13 17

L1

L2 /(–3)L3

1 2 –3

0 1 –1

–3

–40 –8 13 17

L1

L2

L3 + 8L2

1 2 –3

0 1 –1

–3

–40 0 5 –15

≈ ≈

Types de solution, systèmes à trois inconnues

Solution unique

SS

Lorsqu’il reste autant d’équations que d’inconnues après avoir éche-lonné, on a une solution unique.

Les trois plans se rencontrent alors en un même point.

a b c d

0 e f g

0 0 h i

, où h ≠ 0.

Infinité de solutions

Lorsqu’il reste moins d’équations que d’inconnues après avoir éche-lonné, on a une infinité de solutions.

Les trois plans peuvent être confondus ou avoir une droite comme intersection.

a b c d

0 e f g

0 0 0 0

a b c d

0 e f g

0 0 0 i

Aucune solutionLorsque la matrice échelonnée com-porte une équation impossible, le système n’a aucune solution.

, où a ≠ 0 et i ≠ 0.

Deux des plans peuvent être parallèles distincts.

Les plans pris deux à deux peuvent se couper selon des droites parallèles distinctes.

La représentation graphique d’une équation à trois inconnues est un plan dans l’espace. Voici quelques cas concernant les systèmes de trois équations à trois inconnues.

Un système d’équations linéaires à trois inconnues peut, initialement, avoir plus d’équations que d’inconnues ou moins d’équations que d’inconnues. Ce n’est qu’après avoir échelonné, en comparant le nombre d’équations et d’inconnues, que l’on peut déterminer le type de solution du système.

Quelques notions théoriques

Une matrice échelon (ou matrice échelonnée) est une matrice dont le

nombre de zéros précédant le premier élément non nul de chaque

ligne augmente de ligne en ligne jusqu’à n’avoir possiblement que

des zéros.

Dans une matrice échelon, le premier élément non nul d’une ligne est appelé le pivot de cette ligne.

DÉFINITION

1 2 –3

0 1 –1

2

–40 0 5 –15

MÉTHODE DE GAUSS

Pour résoudre un système d’équations linéaires, on construira la matrice augmentée, puis on éliminera les coefficients de x1 à partir de la deuxième ligne en descendant, puis, si possible, les coefficients de x2 à partir de la troisième ligne en descendant.On peut alors compléter la résolution par substitution. C’est la méthode de Gauss. Pour obtenir la matrice échelonnée, on effectue des opérations élémentaires sur les lignes.

S

Quelques notion théoriques

Soit A, une matrice. On appelle opérations élémentaires sur les lignes de A les opérations suivantes :

1. Interchanger la ligne i et la ligne j. Cette opération est notée par :Li Lj

2. Multiplier la ligne i par un scalaire non nul. Cette opération est notée par :

Li aLi, où a R\{0}

3. Substituer à la ligne i la somme d’un multiple non nul de la ligne i et d’un multiple de la ligne j. Cette opération est notée par :

Li aLi + bLj, où a R\{0} et b R

Opérations élémentaires sur les lignes

Matrices équivalentes-lignes

Quelques notions théoriques

On dit que deux matrices sont équivalentes-lignes si on peut les

obtenir l’une de l’autre par une série d’opérations élémentaires sur

les lignes. Pour noter l’équivalence de matrices, on emploie le

symbole ≈.

DÉFINITION

1 2 –3

0 1 –1

2

–40 0 5 –15

≈1 2 –3

2 1 –3

–3

63 –2 4 8

Quelques notions théoriquesDÉFINITION

x + 3y – 2z + 5u = 0

5x + 3y – 2z + 2u = 0

3x – 5y + 4z – 3u = 0

Système d’équations linéaires homogène

Un système d’équations linéaires est homogène lorsque toutes les constantes bi du système d’équations sont nulles.

Un système homogène a toujours au moins une solution (0; 0; ...; 0), on l’appelle la solution triviale. Il peut avoir une infinité de solutions.

Quelques notions théoriquesDÉFINITION

Variable libre et variable liée

Dans un système d’équations linéaires, une variable liée est une variable dont la valeur est constante ou dépend d’une autre variable. Dans la matrice échelonnée d’un système d’équations, les variables liées sont généralement les variables associées au pivot de chaque ligne. Les autres variables sont des variables libres.

1 –2 3 –5 3

0 0 0 0 00 0 –1 13 13

x zy u

x est une variable liée.

z est une variable liée.

y est une variable libre.

u est une variable libre.

S

Exemple 11.1.5

S

Dans une usine de fabrication de meubles non peints, on cherche à éliminer les pertes de temps en fabriquant trois nouveaux modèles de chaises.

Le temps en heures nécessaire à la réalisation d’un exemplaire de ces modèles et les temps libres sont indiqués dans le tableau ci-contre.

Déterminer combien il faut produire de chaises de chaque modèle pour éliminer les temps morts.

Posons x le nombre de chaises du premier modèle (M1), y le nombre de chaises du deuxième modèle (M2) etz le nombre de chaises du troisième modèle (M3).

Écrivons les équations de contrainte :

x + 2y + 2z = 109

2x + 2y + 3z = 164

3x + 4y + 5z = 273

L1

≈ L2 – 2L12 2 3 164

3 4 5 273 L3 – 3L1

1 2 2 109

0 –2 –1 –54

L1

≈ L2

L3 – L2

1 2 2 109

0 –2 –1 –54

0 0 0 0

1 2 2 1090 –2 –1 –54

x et y sont des variables liées et z est une variable libre. D’où :

x = 55 – t, y = 27 – t/2 et z = t.S

1 2 2 109

0 –2 –1 –54

0 0 0 0

{(x; y; z) | x = 55 – t, y = 27 – t/2 et z = t}

La chaise de type M3 étant la plus chère à cause de son temps de réalisation, la demande pour ce modèle est assez faible et on prévoit ne pouvoir en vendre plus de 10 par mois. En tenant compte de ces contraintes de marché, déterminer les solutions au problème et les représenter sous forme de tableau.

Puisque y = 27 – t/2, t doit être un nombre pair pour produire un nombre entier de chaises.

S

Cette contrainte impose 0 ≤ t ≤ 10. De plus, il faut que t soit un nombre pair. La direction a donc le choix entre plusieurs solutions donnant un nombre entier de chaises par mois. Ce sont les solutions compilées dans le tableau ci-contre.

Méthode de Gauss-Jordan

Par la méthode de résolution de Gauss-Jordan, on détermine la matrice échelonnée réduite, définie de la façon suivante.

DÉFINITION

Une matrice échelonnée réduite est une matrice dont :

• le pivot de chaque ligne de la matrice des coefficients est 1;

• le pivot est le seul élément non nul de la colonne où il se trouve.

Par la méthode de Gauss-Jordan, les substitutions à rebours sont faites par des opérations de lignes et on lit directement la solution dans la matrice.

En utilisant cette méthode, on peut facilement décrire toutes les manipulations pour les faire effectuer sur ordinateur.

ExempleRésoudre le système d’équations ci-contre par la méthode de Gauss-Jordan.

x + 2y – 3z = –7

2x – 3y + 5z = 18

4x + y – 2z = 24

L1

≈ L2 – 2L12 –3 5 18

4 1 –2 24 L3 – 4L1

7L1 + 2L2

≈ L2

L3 – L2

1 2 –3 –70 –7 11 32

0 –7 10 52

1 2 –3 –7

0 –7 11 32

0 0 –1 20

7 0 1 15 L1 + L3

≈ L2 + 11L3

L3

0 –7 0 252

0 0 –1 20

7 0 0 35

L1 /7≈ L2 /(–7)

L3 /(–1)

0 1 0 –36

0 0 1 –20

1 0 0 5 L’ensemble-solution est :

{(5; –36; –20)}

ExerciceRésoudre le système d’équations ci-contre par la méthode de Gauss-Jordan.

x + 2y – z = 14

2x + 5y – 4z = 33

3x + 7y – 5z = 47

L1

≈ L2 – 2L12 5 –4 33

3 7 –5 47 L3 – 3L1

L1 – 2L2

≈ L2

L3 – L2

1 2 –1 140 1 –2 5

0 1 –2 5

1 2 –1 14

0 1 –2 5

0 0 0 0

1 0 3 4

L’ensemble-solution est :

{(x; y; z)| x = 4 – 3t, y = 5 + 2t, z = t}.

Sur la première ligne, le premier élément non nul est dans la colonne de x, cette variable est liée. Sur la deuxième ligne, le premier élément non nul est dans la colonne de y, cette variable est liée. La variable z est libre.

S

S

S

Exercices

Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences

de la nature, section 2.2, p. 36 à 39, section 2.4 no. 1.

Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences

humaines, section 2.2, p. p. 36 à 39 , section 2.4 no. 1..

LectureAlgèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences

de la nature, section 2.1, p. 28 à 36.

Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences

humaines, section 2.1, p. 28 à 36.