Systèmes d’équations du premier degré à deux variables

Résolution par méthodes algébriques :

- méthode de comparaison;

- méthode de substitution;

- méthode de réduction.

Remarque : Tu devrais visionner « Systèmes d’équations du premier degré à deux variables, introduction.ppt » avant de visionner celui-ci.

Pour résoudre un système d’équations du premier degré à deux variables, de manière algébrique, on peut utiliser 3 méthodes.

La méthode de comparaison quand la même variable est isolée dans les deux équations :

y1 = ax + b

y2 = ax + b

La méthode de substitution quand une variable est isolée dans une seule équation :

ax + by1 + c = 0

y2 = ax + b

La méthode de réduction quand aucune variable n’est isolée :

ax + by1 = c

ax + by2 = c

Par résolution algébrique

y2 = 2x + 5

y1 = 3x + 2

Nombre de planches

13

0 1 2 3 4 5

Salaires comparés

Montantgagné ($)

121110

9876543210

À ce point précis,

En utilisant cette égalité, on peut résoudre le système rapidement et précisément en procédant par équivalence algébrique.

les deux équations sont égales.

La méthode de comparaison

Sachant qu’au point d’intersection y1 = y2

alors 3x + 2 = 2x + 5

On se retrouve alors avec une équation dans laquelle, il n’y a qu’une seule variable.

On peut alors isoler x pour trouver sa valeur.

On compare ainsi les deux équations.

On utilise la méthode de comparaison quand la même variable est isolée dans les deux équations. y1 = 3 x + 2

y2 = 2 x + 5

3x + 2 = 2x + 5

La méthode de substitution

On utilise la méthode de substitution quand une variable est isolée dans une seule équation.

Exemple :

ax + by1 + c = 0

y2 = ax + b

Dans le plan cartésien, on trace deux droites d’équations.

On voudrait connaître les coordonnées du point d’intersection de ces deux droites.

4x + 2y1 – 8 = 0

y2 = x – 2

( )

Sachant qu’au point d’intersection y1 = y2

On se retrouve alors avec une équation dans laquelle, il n’y a qu’une seule variable.

On substitue dans la 2e équation la variable par l’expression qui lui est égale.

y2 = x - 2

4x + 2 y1 - 8 = 0

x - 2

4x + 2(x - 2) - 8 = 0

On peut alors isoler x pour trouver sa valeur.

4x + 2x - 4 - 8 = 0

6x - 12 = 0

6x = 12

x = 2

Connaissant la valeur de x, on peut calculer la valeur de y avec une ou l’autre des équations.

x = 2

y = x - 2

0 = 2 - 2

Validation :

4x + 2y – 8 = 0

4 X 2 + 2 X 0 – 8 = 0

Couple solution : (2 , 0)

On valide en vérifiant avec l’autre équation.

Donc, x = 2 et y = 0

Problème

Quel est le couple solution du système suivant ?

x =

y + 3 - 20 = 0x

y - 8

( )

On se retrouve alors avec une équation dans laquelle, il n’y a qu’une seule variable.

On peut alors isoler y pour trouver sa valeur.

y + 3(y - 8) - 20 = 0

y + 3(y - 8) - 20 = 0

y + 3y - 24 - 20 = 0

4y - 44 = 0

4y = 44

y = 11

Connaissant la valeur de y, on peut calculer la valeur de x avec une ou l’autre des équations.

y = 11

Validation :

Couple solution : (3 , 11)

On valide en vérifiant avec l’autre équation.

Donc, x = 3 et y = 11

x = y - 8

y + 3x – 20 = 0

x = 11 – 8

x = 3

11 + 3 X 3 – 20 = 0

La méthode de réduction

On utilise la méthode de réduction quand aucune variable n’est isolée.

ax + by1 = c

ax + by2 = c

Exemple 1 : 2x + 3y = 13

x - 2y = - 4

On crée un système équivalent.

Démarche

1) On multiplie, l’une des équations ou les deux, par un facteur pour former un système équivalent au premier dans lequel les coefficients d’une même variable sont opposés.

2x + 3y = 13

x - 2y = -4

2x + 3y = 13

x - 2y = -4 X -2 -2x + 4y = 8

Nouveau système : 2x + 3y = 13

-2x + 4y = 8

2) On additionne les 2 équations pour obtenir une seule équation avec une seule variable.

+2x + 3y = 13

-2x + 4y = 8

7y = 21

3) On peut alors isoler la variable : y = 3

( ) =

4) Connaissant la valeur de y, on peut calculer la valeur de x avec une ou l’autre des équations de départ.

2x + 3y = 13

x - 2y = -4

x - 2 X 3 = -4

x - 6 = -4

5) Validation : On valide en vérifiant avec l’autre équation.

x = 2

y = 3

2 X 2 + 3 X 3 = 13

Couple solution : (2 , 3)

Donc, x = 2 et y = 3

Exemple 2 : On doit trouver le couple solution du système suivant :

5x + 8y = 29

3x + 6y = 21

( 5x + 8y = 29 )

( 3x + 6y = 21 )

X 3

X -4

= 15x + 24y = 87

= -12x – 24y = -84

Nouveau système : 15x + 24y = 87

-12x – 24y = -84

1) On multiplie, l’une des équations ou les deux, par un facteur pour former un système équivalent au premier dans lequel les coefficients d’une même variable sont opposés.

2) On additionne les 2 équations pour obtenir une seule équation avec une seule variable.

+ 15x + 24y = 87

-12x – 24y = -84

3x = 3

3) On peut alors isoler la variable : x = 1

4) Connaissant la valeur de x, on peut calculer la valeur de y avec une ou l’autre des équations de départ.

3x + 6y = 21

3 X 1 + 6y = 21

3 + 6y = 21

6y = 18

y = 3

5) Validation : On valide en vérifiant avec l’autre équation.

Donc, x = 1 et y = 3

5x + 8y = 29

5 X 1 + 8 X 3 = 29

Couple solution : (1 , 3)

Remarque : On sait que lorsque les deux droites se rencontrent, les deux équations sont égales.

Donc, avec l’une ou l’autre des 3 méthodes, on peut travailler, en

premier, soit avec x soit avec y.

Problèmes

En 1996, la population de Saint-Jérôme dans les Laurentides, comptait près de 25 600 habitants et habitantes. Une étude prévoyait que cette population devraitcroître de 1 000 personnes par année. Dans la région du Bas-Saint-Laurent, la population de Rimouski atteignait 32 400 la même année; on envisageait un tauxd’accroissement de 600 personnes par année.

1ère étape :

x : le nombre d’années écoulées depuis 1996

y : le nombre de personnes

2e étape :

Identifier les variables :

Établir le système : y1 = 1 000 x + 25 600

y2 = 600 x + 32 400et

C) En 2 010, quelle sera la population de Saint-Jérôme selon cette hypothèse ?

B) Combien de personnes compteront alors chacune de ces municipalités ?

A) En quelle année les deux villes auront-elles la même population ?

3e étape : Résoudre le système :

y1 = 1 000 x + 25 600

y2 = 600 x + 32 400

Ici, la méthode de comparaison est préférable.

1 000 x + 25 600 = 600 x + 32 400

400 x = 6 800

x = 17

Connaissant la valeur de x, on peut calculer la valeur de y avec une ou l’autre des équations.

4e étape :

y1 = 1 000 X 17 + 25 600

y1 = 42 600

y1 = 1 000 x + 25 600

5e étape : Valider la solution avec l’autre équation :

Ensemble-solution : (17, 42 600)

y2 = 600 x + 32 400

y2 = 600 X 17 + 32 400

y2 = 42 600

A) En quelle année les deux villes auront-elles la même population ?

x : le nombre d’années écoulées depuis 1996 =

Réponse : en l’année 2 013

B) Combien d’habitants comptera alors chacune de ces municipalités ?

Réponse : 42 600 personnes

17 ans

C) En 2 010, quelle sera la population de Saint-Jérôme selon cette hypothèse ?

Il n’est pas nécessaire de résoudre le système pour répondre à cette question.

Il suffit de calculer le nombre d’années écoulées depuis 1 996 :

Puis, utiliser l’équation représentant l’augmentation de population de Saint-Jérôme pour calculer :

y1 = 1 000 x + 25 600

y1 = 1 000 X 14 + 25 600

y1 = 39 600

Réponse : 39 600 personnes

2 010 – 1996 = 14 ans

L’assistance à un match de baseball est de 45 000 personnes. On constate qu’il y a 8 fois plus de partisans et partisanes de l’équipe locale que de l’équipe adverse.

Combien y a-t-il de partisans et partisanes de l’équipe locale ?

1ère étape :

x :

y : le nombre de partisans de l’équipe adverse

2e étape :

Identifier les variables :

Établir le système : x = 8y

le nombre de partisans de l’équipe locale

Attention : Les partisans de l’équipe locale sont 8 fois plus nombreux que les partisans de l’équipe adverse.

Pour créer l’égalité,

Exemple : Si x = 16 et que y = 2, alors

16 = 8 X 2

x = 8y

il faudra multiplier par 8 le nombre departisans de l’équipe adverse.

x + y = 45 000et

2e étape : Établir le système : x = 8y

3e étape : Résoudre le système :

Ici, la méthode de substitution est préférable.

x + y = 45 000

x = 8y

x + y = 45 000

9y = 45 000

y = 5 000

Connaissant la valeur de y, on peut calculer la valeur de x avec une ou l’autre des équations.

4e étape :

x = 8y

x = 8 X 5 000

x = 40 000

x = 8y8y

5e étape : Valider la solution avec l’autre équation.

Couple solution : (40 000, 5 000)

x + y = 45 000

40 000 + 5 000 = 45 000

Combien y a-t-il de partisans et partisanes de l’équipe locale ?

Réponse : 40 000 partisans et partisanes

Un serveur de restaurant examine ses pourboires à la fin de la soirée. De la somme qu’il a amassée, il constate qu’il possède 38 pièces de monnaie réparties en pièces de 1,00 $ et 2,00 $ pour un total de 51,00 $.

Combien de pièces de 2,00 $ a-t-il reçu ?

1ère étape :

x : le nombre de pièces de 1,00 $

y : le nombre de pièces de 2,00 $

2e étape :

Identifier les variables :

Établir le système : x + y = 38 pièces

1x + 2y = 51 dollars et

Cette équation ne tient compte que des pièces.

Cette équation tient compte de la valeur des pièces.

3e étape : Résoudre le système.

Ici, la méthode de réduction est préférable.

x + y = 38

1x + 2y = 51

x + y = 38

1x + 2y = 51

X -1 - x - y = - 38

Nouveau système : - x - y = - 38

1x + 2y = 51

On additionne les 2 équations pour obtenir une seule équation avec uneseule variable :

- x - y = - 38

1x + 2y = 51 +

y = 13

=( )

Connaissant la valeur de y, on peut calculer la valeur de x avec une ou l’autre des équations de départ.

4e étape :

x + y = 38

x + 13 = 38

x = 25

5e étape : Valider la solution avec l’autre équation.

Ensemble-solution : (25 , 13)

1x + 2y = 51

1 X 25 + 2 X 13 = 51

Combien de pièces de 2,00 $ a-t-il reçu ?

Réponse : 13 pièces

y = 13

Remarque : Dans ce problème, x + y = 38

1x + 2y = 51

On aurait pu isoler y dans la première équation et travailler avec la méthode de substitution.

y = 38 – x

1x + 2y = 51 1x + 2( 38 – x ) = 51

On aurait pu aussi isoler y dans les deux équations et travailler avec la méthode de comparaison.

y = 38 - x

y = -x + 512 2

2 238 – x = -x + 51

La méthode à utiliser dépend de l’écriture des équations; on choisit une méthode simplement pour faciliter le travail.

N’importe quelle méthode est bonne.

Remarque

Certains systèmes ont des ensembles-solution particuliers.

Exemple

Dans le système suivant :

y1 = 2x + 3

y2 = 2x + 5 y2 = 2x + 5

13

0 1 2 3 4 5

121110

9876543210

y1 = 2x + 3

Les deux équations ont le même taux de variation et des ordonnées à l’origine différentes.

Les droites sont donc parallèles.

Elles ne se rencontreront jamais.

Ensemble-solution : aucun

Exemple

Dans le système suivant :13

0 1 2 3 4 5

121110

9876543210

y = 2x + 4

y = 2x + 4

2x – y + 4 = 0

Il y aura une infinité de solutions.

En effet, si on ramène la 2e équation sous la forme fonctionnelle.

2x – y + 4 = 0

y = 2x + 4

On constate que les taux de variation et les ordonnées à l’origine sont les mêmes.

Les droites sont donc confondues.

2x – y + 4 = 0

Tous les couples de coordonnées sont solutions de ce système.