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Mouvement d’un projectile dans un champ de pesanteur uniforme
Objectifs :
Savoir appliquer la 2ème loi de Newton.
Etablir l’équation de la trajectoire d’un projectile dans un champ de pesanteur.
Visualiser la trajectoire d’un projectile dans le champ de pesanteur terrestre. Comparer
les résultats des mesures réalisées à partir d’un enregistrement vidéo du mouvement
avec les paramètres déterminés par étude théorique.
Modéliser une trajectoire et les vecteurs-vitesse et accélération au cours du
mouvement.
Matériel
Balle de tennis
Webcam et logiciels Latis pro
I- Etude théorique
On étudie le lancer d’un projectile, de masse m et de centre d’inertie G avec une vitesse
initiale 0V
dans un champ de pesanteur uniforme (lancer au voisinage de la terre).
1- Appliquer la 2e loi de Newton à la balle dans le champ de pesanteur terrestre uniforme en
supposant que la poussée d’Archimède et les forces de frottement sont négligeables par
rapport au poids.
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2- Montrer que le mouvement est plan et que l’on obtient pour : le vecteur-accélération
0
0
x
G y
z
a
a a
a g
Le vecteur- vitesse
Le vecteur- position
3- Etablir l’équation y = f(x) de la trajectoire à partir des équations horaires paramétriques.
4- La flèche de la trajectoire est l’altitude maximale atteinte par rapport au point de
lancement. Elle correspond donc ici à z(tF). montrer que :
5- La portée est la distance entre le point de lancement O et le point d’impact P sur le plan
horizontal contenant O. Elle correspond donc ici à xP. montrer que :
6-Calculer toutes les valeurs numériques (des questions 2, 3, 4 et 5) pour la valeur de
V0=6,07m.s-1 et de α=68,03° afin de les comparer à celles obtenues par modélisation.
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ETUDE THEORIQUE
Le système Le système étudié est un projectile de masse m dans un champ de pesanteur.
Le référentiel Le système est étudié dans un référentiel terrestre auquel on associe un repère d’espace
orthonormé et un repère de temps.
Les conditions initiales A t = 0 s, le projectile se trouve à l’origine du repère, il est également animé d’une vitesse
faisant un angle α comme indiqué dans le schéma précédent. On obtient alors les
coordonnées x0, y0 et z0 du vecteur et les coordonnées vx0, vy0 et vz0 du vecteur
.
La 2e loi de Newton : principe fondamental de dynamique La somme des vectorielle forces extérieures au système est égal à la masse fois le vecteur
accélération.
Le diagramme objet-interaction nous permet de dire que le projectile n’est soumis qu’à
l’attraction de la Terre.
D’où
Soit
En projetant cette équation vectorielle selon les axes x, y et z, on obtient trois équations
scalaires :
Projectile
Terre
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Vecteur vitesse Le vecteur accélération est égal à la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse, soit :
Cette équation vectorielle se transforme également en trois équations scalaires en la
projetant selon les trois axes x, y et z :
Pour obtenir les équations de vx(t), vy(t) et vz(t), on se pose la question suivante : quelles
sont les fonctions dont les dérivées valent respectivement 0, 0, -g, soit :
Où C1, C2 et C3 sont des constantes.
Ces trois équations scalaires sont valables quel que soit t, elles sont donc valables pour
l’instant t = 0 s lorsque
En t = 0 s, le vecteur des équations (3) est égal au vecteur des conditions initiales
(équations (2)), soit :
On peut donc réécrire les équations (3) :
5
Le vecteur position Le vecteur accélération est égal à la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse, soit :
De même que précédemment, cette équation vectorielle se transforme également en trois
équations scalaires en la projetant selon les trois axes x, y et z :
Pour obtenir les équations de x(t), y(t) et z(t), on se pose la question suivante : quelles sont
les fonctions dont les dérivées valent respectivement , 0, , soit :
Où C’1, C’2 et C’3 sont des constantes.
Ces trois équations scalaires sont valables quel que soit t, elles sont donc valables pour
l’instant t = 0 s lorsque
En t = 0 s, le vecteur des équations (4) est égal au vecteur des conditions
initiales (équations (1)), soit :
On peut donc réécrire les équations (4) et obtenir les équations horaires paramétriques du
vecteur position :
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Equation de la trajectoire La trajectoire est l’ensemble des points occupés par le projectile au cours du temps. Il suffit
d’écrire t en fonction de x et de remplacer t par cette expression dans z.
En sachant que V0 et cosα sont différents de zéro. On obtient alors
Soit
Flèche de la trajectoire La flèche de la trajectoire correspond à l’altitude maximale atteinte, soit lorsque la composante vz(t)
s’annule.
On en déduit tF :
On remplace t de la composante z(t) du vecteur par tF :
soit
Portée La portée est la distance entre le point de lancement O et le point d’impact P sur le plan
horizontal contenant O.
Ces deux points correspondent aux solutions de l’équation z(t) = 0, on obtient ainsi deux
valeurs de t (équation du second degré en t).
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Les deux solutions de t correspondent à t= 0 (voir les conditions initiales) et
On remplace maintenant t dans l’équation de l’abscisse x par tp :
Soit
Car
Application numérique g = 9.81 m.s-2, V0=6,07m.s-1 et de α=68,03°
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Composantes x et z du vecteur position
Composantes x et z du vecteur vitesse
Composante z du vecteur accélération
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II. Etude Expérimentale
II.1. Etude via le logiciel LATIS PRO
II.1.1 Pointage vidéo
A l’aide d’une webcam, réaliser l’enregistrement d’une balle de tennis lancée obliquement.
On dispose alors d’un fichier vidéo numérique au format avi et on exploite cet enregistrement
avec le logiciel Latis pro, A défaut, on utilisera une vidéo déjà prête.
Lancer Latis pro. Puis faire Edition, Analyse de séquence vidéo, puis Ouvrir…
Aller chercher le fichier .avi désiré
Aller dans l’onglet Paramètres
- Cliquer sur le bouton sélection de l’origine,
- Cliquer sur le bouton sélection de l’étalon, pointer sur le début et la fin de
la règle.
- Sélectionner un système d’axe, le cas échéant
- Cliquer sur le bouton sélection manuelle des points, puis pointer les
positions successives de la balle.
Une fois le pointage achevé, Fermer la fenêtre Séquence vidéo et exploiter les
courbes.
II.1.2. Modélisations
II.1.2.a. Equations horaires paramétriques
1- Tracer x(t). Quelle est l’allure de la courbe ? Relever le modèle proposé par le logiciel
(type et valeurs numériques). A quoi correspond le coefficient directeur de la fonction linéaire
x(t) ?
2- Tracer y(t). Quelle est l’allure de la courbe ? Relever le modèle proposé par le logiciel
(type et valeurs numériques).
II.1.2.b. Coordonnées du vecteur-vitesse
1- Tracer vx(t). Quelle est l’allure de la courbe ? Relever le modèle proposé par le logiciel
(type et valeurs numériques). Comparer la valeur au coefficient directeur de la fonction x(t).
Que vaut l’accélération suivant l’horizontale ? Qualifier le mouvement suivant l’horizontale.
2- Tracer vy(t). Quelle est l’allure de la courbe ? Relever le modèle proposé par le logiciel
(type et valeurs numériques). A quoi correspond le coefficient directeur de la fonction affine
vy(t) ? Quelle valeur devrait-on retrouver ? Qualifier le mouvement suivant la verticale.
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3- A quelle date a-t-on vy = 0 m.s-1 ? Comparer le sens des vecteurs a
et v
(en fait, il suffit
de comparer ici les signes de ay et vy) et en déduire la nature du mouvement avant et après
cette date.
II.1.2.c. Equation de la trajectoire
1- Tracer y(x). Quelle est l’allure de la courbe ? Relever le modèle proposé par le logiciel
(type et valeurs numériques).
2- A l’aide du curseur réticule relever sur la trajectoire modélisée la valeur de ymax
(correspondant à la flèche), et celle de xmax (correspondant à la portée).
CORRECTION DU TP
II.1.2.a. Equations horaires paramétriques
L’allure de la courbe de x(t) est une droite affine. L’équation proposée par latis pro est :
x(t) =1,98 t+0,529
La valeur du coefficient directeur de la fonction x(t) est 1,98, elle correspond à la vitesse de
déplacement de la balle de golf selon l’axe (Ox), puisque ce coefficient peut être obtenu par la
dérivée de x(t) par rapport au temps soit vx(t).
L’allure de la courbe de y(t) est une parabole. L’équation proposée par latis pro est :
y(t) = -4,871*t2+ 4,867*t+1,007
II.1.2.b. Coordonnées du vecteur-vitesse
L’allure de la courbe de vx(t) est une droite constante. L’équation est vx(t) = 1,98. Cette valeur
correspond au coefficient directeur de la courbe x(t).
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L’accélération étant la dérivée par rapport au temps de la vitesse, l’accélération selon l’axe (Ox) sera
donc nulle (dérivée d’une constante). Le mouvement sera donc « rectiligne » uniforme selon l’axe
(Ox).
L’allure de la courbe vy(t) est une droite affine décroissante. L’équation de la droite est :
vy(t) =-9,741*t + 4,867
Le coefficient directeur de la fonction affine est -9.741, il correspond à l’accélération du projectile
selon l’axe (Oy). La balle n’étant soumise qu’à son poids (frottements négligeables), selon la 2e loi de
Newton ( ), on devrait obtenir un coefficient directeur : -g = -9.81.
Calcul d’erreur :
L’erreur de mesure est de 0.7 % par rapport à la valeur théorique, le résultat est donc cohérent.
L’erreur peut provenir du pointage des positions de la balle ou du pointage de l’étalon de mesure.
On peut donc qualifier ce mouvement de mouvement uniformément varié.
vy(t) s’annule à t1 = 500 ms d’après la courbe (instant où la droite vy(t) coupe l’axe des abscisse).
Avant t1, la vitesse vy est positive et l’accélération ay est négative. Le mouvement est donc ralenti.
Après t1, la vitesse vy et l’accélération ay sont toutes les deux négatives, le mouvement est donc
accéléré.
II.1.2.c. Equation de la trajectoire
La trajectoire de la balle de golf est courbe parabolique d’équation :
Y(x)=-1,246 x2+3,755 x - 0,6
La valeur maximale correspond à Ymax = 2.231 m
N’ayant pas placé correctement l’origine, la portée n’a aucun intérêt.