M.P.S.

Outils mathématiques pour comprendre la magnitude d’un séisme

LYCEE INTERNATIONAL GEORGES DUBY

LUYNES (AIX EN PROVENCE)

Année scolaire 2010/2011

I ) unités-nécessité de choisir un étalon, une unité commune pour comparer des longueurs, des durées, des températures, des sons, des peaux humaines, des séismes etc.

-difficultés du choix d’un étalon de mesure pour un phénomène nouveau et mal connu par exemple pour mesurer la pollution, la douleur etc.…

a) exemple introductif avec les températures :

-Le degré Fahrenheit est une unité de mesure de la température qui doit son nom à ce physicien allemand (1689, 1736).Celui-ci décida de choisir dans son échelle, la température la plus basse de l'hiver rude 1708-1709 de sa ville natale de Danzig ; comme autre référence il considérait la température du sang (il utilisait le sang d'un cheval …).

Cette échelle est encore utilisée dans certains pays anglophones.

- l'échelle répandue aujourd'hui est due au physicien suédois (1701-1744) Celsius.Le 0 °C correspondant au point de congélation de l'eau et 100 °C correspondant au point d'ébullition.

b) exercice : Il existe entre le degré Fahrenheit et Celsius une correspondance affine :

Si F est la température en Fahrenheit et C celle en degrés Celsius, alors : C = a F + bTrouver les coefficients a et b sachant que : 0 °C correspond à 32°F et que 100 °C correspond à 212° F

° F ° C

Ébullition

de l'eau 212°F

Ébullition de l'eau

100°C

Fonction affine

Température

du sang 96°F

Congélation

de l’eau 32°F

Congélation de l’eau

0°C

Température

la plus basse

de Danzig 0°F

en 1724 en 1742

II ) la magnitude d’un séisme

La magnitude d’un séisme est une valeur intrinsèque. Cette notion a été introduite en 1905 par l'Américain Richter.

Un sismographe très sensible peut enregistrer une magnitude de l'ordre de -2, équivalente à l'énergie dégagée par la chute d'une brique sur le sol d'une hauteur de 1 mètre.

Le séisme de plus grande magnitude connue au cours de ce siècle est celui du Chili en 1960 de magnitude 9,5. La magnitude 10 semble être une limite raisonnable.

La magnitude est une fonction logarithme (décimal) c'est-à-dire que lorsque l'amplitude du mouvement varie d'un facteur 10, la magnitude change d'une unité. Par exemple un séisme de magnitude 6 est 10 fois plus important qu'un séisme de magnitude 5 et 100 fois plus important qu’un séisme de magnitude 4.

L'échelle de Richter permet de comparer entre elles les énergies libérées dans les différents séismes.

Un séisme de magnitude 5 correspond à peu près à l'énergie dégagée par la bombe nucléaire qui détruisit Hiroshima.

La magnitude d'un tremblement de terre mesure l'énergie libérée lors d'un séisme. Plus la magnitude est élevée, plus le séisme a libéré d'énergie. Il s’agit d'une échelle logarithme, c'est-à-dire qu'un accroissement de magnitude de 1 correspond à une multiplication par 30 de l’énergie (et à une multiplication par 10 de l’amplitude du mouvement).

amplitude de mouvement magnitude (échelle log) énergie sismique libérée

100a 2+loga 900e

10a 1+ loga 30e

a loga e

1000a 7 27000 e

100a 6 900 e

10a 5 30 e

a 4 e

X30

X30

X30

X30

X30

X10

X10

X10

X10

X10

III) la fonction logarithme décimal Une feuille d’exercices concernant les intervalles musicaux, le décibel, l’échelle de Richter, le pH d’une solution est donné aux élèves. À la fin de ce M PS, une réponse pourra être donnée…

a) approche et définition provisoire.

1) logarithme et puissance de 10 :

- faire observer que les nombreux suivants 0.1 ; 0.001 ; 1 ; 10 ; 1000 peuvent tous s'écrire sous forme d'une puissance de 10

-utiliser la touche log de la calculatrice

-faire constater que la valeur de l'exposant est égale à celle du logarithme. Par exemple, on dira que le logarithme de 1000 est égal à 3 car 1000= .

2) logarithme d’un nombre autre qu'une puissance de 10

- demander aux élèves de proposer une conjecture avec plusieurs nombres simples :

-par exemple faire calculer log 2 (la calculatrice affiche 0.301…) et faire calculer (la calculatrice affiche 1.999…)

3) Définition provisoire :

Soit a un réel strictement positif ; il peut s'écrire sous forme d'une puissance de 10 . l'exposant de cette puissance de 10 est appelé logarithme décimal de ce nombre a

a = et log a = n et donc a=

b) étude sommaire et courbe représentative de la fonction logarithme décimal

-compléter le tableau de valeurs suivant et tracer approximativement la courbe représentative

x -10 -5 -1 -0.1 0 0.1 0.2 0.5 1 2 3 5 10 100 logx

- quelles remarques peut-on faire ?

- proposer un tableau de variations

c) propriétés algébriques

1) propriété 1 :

Comparer log 4 , log 5 et log 20 . Avec plusieurs exemples…Quelle conjecture ?

log ab= log a + log b

Vérification : Soit a= et b = alors…

2) propriété 2 :

Comparer log15 log 5 et log3 . Avec plusieurs exemples….Quelle conjecture ?

log = log a – log b

Vérification : Soit a= et b = alors…

3) propriété 3 :

Comparer log 2 et log 8 .Avec plusieurs exemples….Quelle conjecture ?

log = n log a

Vérification : Soit a= alors…

4) résolution de l'équation = b (a 0 et b )

Par exemple pour résoudre l’équation = 8 . On sait que x = 3…

Retrouvez le avec les propriétés algébriques

log = x log 2 . d’où…

Pour résoudre l'équation = b , on note log = log b d’où

x log a = log b et donc

x =

1

IV ) papier semi- logarithmique : En général pour l’axe des abscisses on a une échelle arithmétique, et sur l'axe des ordonnées on

choisit une échelle logarithmique. Le but étant que le graphique soit réalisable. Exemple :

100 000

80 000

10 000 log 100 000 = 5

log 80 000 4.90

8000

log 10 000 = 4

log 8000 3.90

1000 log 1000 = 3

800 log 800 2.90

100 log 100 = 2

80 log 80 1.90

x 2007 2008 2009 2010

y 80 800 8000 80 000