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UNIVERSIT E MOHAMED PREMIERFACULT E DES SCIENCES

DEPARTEMENT DE PHYSIQUE

OUJDA

NOTES DE COURS DE MECANIQUE QUANTIQUE

Pour les etudiants des sections PC2, MP2, et lieres SMP3, SMA3

T. OUALI, E. H. TAHRILaboratoire de Physique Theorique et des Particules

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Table des matieres

1 Emergence de la Mecanique Quantique 5

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Radiation du corps noir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 Aper cu sur la radiation des corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2 Interpretation classique et Hypothese de Planck . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Effet photoelectrique: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.1 Schema du dispositif experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.2 Faits experimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.3 Prediction de la theorie classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.4 Hypothese dEinstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 Dualite onde-corpusule et comportement ondulatoire de la matiere: . . . . . . . . 15

1.4.1 experience des fentes de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5 La fonction donde et son interpetation: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5.1 Interpretation probabliste de la fonction donde . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5.2 Vitesse de phase et vitesse de groupe de londe materielle: . . . . . . . . . 18

1.6 Principe dincertitude de Heisenberg: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Formalisme Mathematique de la Mecanique Quantique 23

2.1 Formulation ondulatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.1 Espace des fonctions donde F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.2 Operateurs lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 Formulation de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.1 Espace des etats et notation de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.2 Operateurs lineaires en notation de Dirac: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2.3 Observables et E.C.O.C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2.4 Exemples de representations: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

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3 Postulats de la Mecanique Quantique 47

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2 Enonce des postulats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2.1 Notion detat dun systeme: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2.2 Description de grandeur physique: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2.3 Resultats possibles de la mesure dune grandeur physique: . . . . . . . . 49

3.2.4 Reduction du paquet dondes: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2.5 Evolution des systemes dans le temps: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2.6 Regles de quantication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.3 Interpretation physique des postulats: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3.1 Mecanisme de mesure et quantication: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3.2 Valeur moyenne et ecart quadratique moyen dune observable . . . . . . . 55

3.3.3 Compatibilite des observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3.4 Levolution dans le temps du systeme physique . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.3.5 Problemes de potentiel de dimension 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4 Particules de spin 12 67

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2 Experience de Stern-Gerlach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2.1 Experience: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2.2 Prevision classique: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.3 Description mathematique de spin 12: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.3.1 Lespace des etats du spin et observable S z : . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.3.2 Observables S x et S y : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.4 Illustration des postulats: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.4.1 Preparation des etats et mesure de spin: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.4.2 Evolution dun spin 1 / 2 dans un champ magnetique uniforme: . . . . . . 74

5 Loscillateur harmonique a une dimension 77

5.1 Importance de loscillateur harmonique en physique: . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.2 Propprietes generales de lhamiltonien: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.2.1 Cas de loscillateur harmonique en mecanique classique: . . . . . . . . . . 78

5.2.2 Cas quantique: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.3 Etude de lequation aux valeurs propres: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.3.1 Les operateurs X et P : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

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5.3.2 Les operateurs a, a et N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.3.3 Spectre de H : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.3.4 Les etats propres de H : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

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Bibliographie:1- Quantum Mechanics: An introduction,

W. Greiner (Third Edition 1994, Springer-Verlag)2- Mecanique Quantique, Tome 1,C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laoe (Hermann 1977)3- Mecanique Quantique 1: Notes de Cours,R. Cote (Universite de Sherbrooke, 2000)4- Notes de cours sur la mecanique quantique,F. Flaure , (http://www.lpm2c.grenoble-cnrs.fr/people/Faure

Le contenu de ces notes a ete enseigne aux etudiants de PC2 et MP2 durant les anneesuniversitaires 2002 / 2003 et 2003/ 2004. Merci de nous communiquer toute remarque ou

correction.

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Chapitre 1

Emergence de la Mecanique

Quantique

1.1 Introduction

cest au debut du 20ieme siecle, alors que certains scientiques pensaient avoir atteint

une comprehension totale du monde qui nous entoure, que commencent ` a apparaitre un

ensemble de resultats experimentaux qui viennent mettre en cause la belle coherence des

lois de la physique classique.

En effet, jusqua cette periode, les theories classiques comme la mecanique

Newtonienne et lelectromagnetisme (regit par les equations de Maxwell) permettaientdexpliquer presque tous les phenomenes physiques observes.

La premiere mise en echec de la theorie classique est venue avec la theorie de

la relativite restreinte. Ensuite une serie dexperiences sur les atomes ont demontre

lincapacite de la physique classique (mecanique, thermdynamique, electromagnetisime)

de donner une explication a certains comportements de la matiere au niveau

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microscopique, i.e., quand il sagit de phenomenes o`u interviennent des particules de

faibles masses localisees dans des regions despace inniment petites (atomes, molecules,

noyaux atomiques, electron,...).Les recherches theoriques menees pour parvenir ` a donner une interpretation coherente

a ces experiences, ont debouche sur la necessite dintroduire des concepts radicalement

differents de ceux de la physique classique. Lensemble de ces concepts a donne naissance

a la Mecanique Quantique; une nouvelle mecanique dont les fondements sont acheves

vers 1927. Ainsi on peut dire que la mecanique quantique a revolutionne notre fa con

de decrire le monde physique et constitue, avec la relativite introduite par Einstein audebut du 20ieme siecle, un des piliers de ledice theorique de la physique moderne.

Pour comprendre cette revolution apportee par la mecanique quantique, voici quelqueschangements apportes par cette nouvelle theorie par rapport ` a la physique classique :

Abondon du concept de trajectoire dune particule,

Abondon du determinisme stricte de la mecanique classique au prot duneinterpretation probabiliste des phynomenes physiques (determinisme de tendance),

Abondon de la distinction stricte entre particule et onde,

Evolution du systeme par une serie de sauts discontinus et imprevisibles, Nonlocalite de la realite physique.Il est facile de sapercevoir que de point de vue philosophique, la mecanique quantique

nest pas neutre. Elle suppose une vision du monde physique incompatible avec le realisme

pur qui domine si fortement notre imagination. Cest cette incompatibilite qui rend la

mecanique quantique si difficile a comprendre et a accepter. Malgre les contestations et

les critiques que pourrait avoir la theorie parmi la communaute scientique, ses succes

sont tres nombreux et ses predictions sont dune precision stupeante. La mecanique

quantique a permis, entre autres choses :

de comprendre la stabilite des atomes, leurs structures, de construirelordonnancement des atomes dans le tableau periodique,

de determiner les affinites chimiques des atomes et donc de comprendre la formationdes molecules ainsi que les diverses reactions chimiques,

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de decouvrir de nouvelles particules elementaires (proton, neutron, quarks, ...) endonnant un modele coherent (le modele standard) des particules subatomiques et

de leurs interactions,

de comprendre et de calculer les proprietes physiques des liquides et des solides(chaleur specique, conductivite, rigidite, ...) ` a partir dun modele microscopique,

de donner des explications a certaines proprietes purment quantiques de certainscorps telles que la supraconductivite de plusieurs metaux et la superuidite dun

liquide comme lHelium.

La mecanique quantique est aussi `a la base de plusieurs inventions de la technologiemoderne :

Le Laser permet de generer un faisceau lumineux extrement coherent et possede denombreuses applications dans le domaine de medecine, des communications et dans

nombre dindustries de transformation,

Les processus radioactifs sont a la base de fonctionnement des reacteurs nucleairespour la production delectricite. Ils sont aussi utilises en medecine pour le traitementde certains concers (Hadrontherapie, etc ). Malheureusement ils sont aussi utilises

par les grandes puissances pour la construction des armes `a destruction massive

(bombe atomique, etc),

Lutilisation du spin des noyaux atomiques (la resonance magnetique nucleaire)dans certaines technologies pour construire des systemes dimagerie medicales dune

grande precision,

Construction dun microscope de tres grand pouvoir de resolution base sur un effetquantique tres speciale; leffet tunnel : microscope `a effet tunnel.

Une nouvelle spectroscopie, basee sur lutilisation du comportement ondulatoiredes electrons lors de leur diffusion sur un cristal, permet den reveler la structure

interne,

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Figure 1.1: radiation du corp noir

Des applications sans limite en electronique, au point quon peut affirmer sanscrainte que lelectronique moderne est entierement basee sur les decouvertes de la

mecanique quantique,

Les particularites de la mecanique quantique comme la superposition desetats quantiques et lenchevetrement ouvrent la voie vers des applications tres

sophistiquees de la theorie; cryptographie, teleportation, ordinateur quantique.

1.2 Radiation du corps noir

1.2.1 Aper cu sur la radiation des corpsSi une radiation heurte un corps, elle peut etre reechie sur la surface comme elle peut

penetrer `a linterieur en traversant ou en etant absorbe par ce corps. Un corps qui absorbe

toute la lumiere qui le heurte est appele : corps noir .

Letude du spectre du corps noir est `a lorigine de lapparaition de la mecanique

quantique. Cette etude a debute vers les annees 1859 avec les travaux de Kirchhoff concernant lanalyse de la fa con dont les corps en equilibre thermique echangent leur

energie thermique par emission du rayonnement electromagnetique (radiation thermique).

Pour les corps solides ce spectre depend essentielement de la temperature. A partir de1899 un grand progres a ete realise dans les donnees experimentales sur les corps noirs

en utilisant comme source une cavite fermee dans laquelle on pratique un petit trou:

Toute radiation incidente sur le trou est reechie par les parois interieures de la

cavite et ne peut plus sortir de la boite. Le trou absorbe toute la radiation incidente

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et donc est considere comme un corps noir. Dun autre c ote les parois, maintenues `a

une certaine temperature, qui contiennent des charges en mouvement sont aussi sources

de radiation electromagnetique qui passe ` a travers le trou. Cest cette energie quonmesure experimentalement. On suppose que la cavite est en equilibre thermodynamique

de sorte que le rayonnement a linterieur est en equilibre avec la matiere formant les

parois. lenergie emmagasinee `a linterieur de la cavite est donc constante dans le temps.

Cette energie est caracterisee par une densite denergie electromagnetique (, T ) pour

une temperature T donnee et une frequence entre et + d .

1.2.2 Interpretation classique et Hypothese de Planck

Cette densite est decrite par deux theoremes contardictoires obtenus separement en

physique classique :

Loi de radiation Rayleigh-Jeans (Rayleigh 1900 puis corrigee par Jeans en 1905)rendant compte des experiences dans la region des radiations des grandes longueurs

dondes ( basses frequences):

(, T ) = 8 2

c3 K B T (1.1)

ou K B = 1, 38065681023J/K et c est la vitesse de la lumiere. Cette densite divergepour les frequences elevees. Cette divergence, appelee la catastrophe de lultraviolet ,

nest pas acceptable physiquement.

Loi de Wien pour les radiations de courtes longueurs donde (hautes frequences)(1893) :

(, T ) = 3 exp

T (1.2)

et sont des constantes

Toutes les tentatives de la theorie classique ` a reproduire la courbe experimentale ont ete

voue a lechec. Pour resoudre le probleme, Max Planck a du faire une hypothese forcantlenergie a etre discontinue: quantiee ( hypothese qui etait tres etrange ` a lepoque) et

reussi ainsi a trouver une interpolation entre les deux lois.

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Hypothese de Planck Pour tout systeme dont la coordonnee oscilleharmoniquement dans le temps, lenergie totale ne peut prendre que certaines valeurs

donnees :

E = nh, n = 0, 1, 2, 3,... (1.3)

ou

h = 6, 62607551034J.s

est la constante de Planck. On dit alors que lenergie est quantiee

Les echanges entre la matiere et le rayonnement ne se font pas de fa con continue, maispar lechange de paquets denergie discrets et indivisibles: les quantas

En utilisant les methodes de la physique statistique, on obtient la densite denergie

comme :

(, T ) = 8

c3 h 3

eh/K B T 1 eh/K B T

(1.4)

Ce resultat de Planck coincide avec celui de Rayleigh-Jeans pour les basses frequences et

avec celui de Wien pour les hautes frequences.

Planck appela h le quantum daction. Notons que le terme h = h2 apparait souvent

en mecanique quantique; il a ete introduit pour la premiere fois par Dirac .

Finalement notons que de point de vue historique, ceci etait la premiere evidence de la

mecanique quantique. Cest Albert Einstein qui a pousse plus loin lidee des quantas.

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1.3 Effet photoelectrique:

Lejection des electrons de la surface dun metal sous leffet de la lumiere est dit effet photoelectrique . Ce phynomene fut observe pour la premiere fois par H. Hertz en 1887.Cest Einstein qui en a fourni lexplication theorique dans un article quil publia en1905, en considerant que le rayonnement electromagnetique (REM) est une collection de

particules - quantas de lumiere - chacune denergie h . Ce point de vue a revolutionne

notre conception de la lumiere!

1.3.1 Schema du dispositif experimental

La lumiere incidente est monochromatique et sa frequence est dans le domaine

dultraviolet ( 1016Hz ). Cette lumiere incidente provoque lejection des electrons

de la plaque metalique qui sont diriges vers le collecteur par la difference du potentiel

V = V B V A entre la plaque et le collecteur.

1.3.2 Faits experimentaux

Lorsque V est negative, les electrons sont repousses vers la plaque. Dans ce cas ily a un potentiel maximal V 0 (potentiel darret) au dessus duquel plus aucun electron

ne peut atteindre le collecteur.

Le potentiel darret V 0 ne depend pas de lintensite de la radiation incidente.

Le potenteil darret V 0 depend lineairement de la frequence de la radiation incidente.

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Lorsque V est suffisamment grande et positive, le courant delectron qui peutatteindre le collecteur sature.

Le courant de saturation depend lineairement de lintensite de la radiation incidente.

Il y a une frequence de seuil , s au dessous de laquelle aucun electron ne peut quitterla plaque.

Lejection des electrons par la radiation est instantannee (il ny a pas de tempsdattente).

Pour extraire un electron de la plaque, le champ electromagnetique doit vaincre les

forces qui retiennent les electrons dans le cristal qui forme la palque metalique. On denit

ainsi le travail de sortie W 0, comme etant le travail minimal que lon doit faire pour ejecter

un electron de la plaque. Ce travail est de lordre de quelques electrons-volts (eV ) dansla plus part des metaux (voir tableau):

metaux Na Co Al Pb Zn Fe Cu Ag

W 0(eV ) 2, 28 3, 90 4, 08 4, 14 4, 31 4, 50 4, 70 4, 73

1.3.3 Prediction de la theorie classique

Le champs electrique, et donc la force F = eE sur les electrons, augmente aveclintensite de la radiation I E 2. Lenergie cinetique des electrons ejectes devraitdonc dependre de lintensite de la radiation incidente sur la plaque.

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Pour toute frequence de la lumiere incidente on devrait observe le phynomene silintensite est assez suffisante ou si on attend assez longtemps.

Si lintensite est suffisamment faible, il faut attendre un certain temps pour quelonde puisse communiquer assez denergie a un electron pour lextraire de la plaque

supposee assez petite. Donc on devrait observer un temps dattente mesurable entre

lillumination et lemission dun electron.

1.3.4 Hypothese dEinstein

Le rayonnement electromagnetique est constitue dun grand nombre de petits paquets

denergie, les photons , dont lenergie, pour une frequence est donnee par :

E = h. (1.5)

En interaction avec la matiere la radiation electromagnetique se comporte commesi lenergie est contenue sous la forme de paquets localises dans lespace. Cest pour

cette raison que le photon est considere comme une particule.

Le nombre de photons depend directement de lintensite de REM.

Lors dune collision avec un electron ces particules donnent toute leur energie ` a cesderniers. Les photons sont absorbes entierement et instantanement par les electrons.

Le photon voyage a la vitesse de la lumiere, c, et il reste localise en se deplacant.Donc dapres le relativite restreinte la masse au repos du photon est nulle.

E 2 = ( m0c2)2 + p2c2 = ( h )2 (1.6)

Si on prend m0 = 0 et en exprimant la frequence en fonction du nombre donde

k = 2 c

on aura

p = hk ou encore p = hk (1.7)la direction de limpulsion du photon correspond a la direction de propagation de

londe lumineuse.

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Il est clair que lorsque la d.d.p est negative, les electrons sont repousses vers la plaque.

Il sensuit que lenergie cinetique maximale des electrons ejectes, T max , doit satisfaire la

relation :T max = eV 0 =

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mv2

m est la masse de lelectron, v sa vitesse (e) sa charge electrique. eV 0 est le travailfourni par le champ electrique pour arreter un electron.

Selon Einstein:

- lelectron absorbe un quantum denergie provenant de la REM incidente. Une partie

de cette energie sert `a vaincre les forces de liaison de lelectron au metal et le reste a lui

communiquer une energie cinetique. Lenergie cinetique maximale est donc:

T max = eV 0 = h W 0,dou lon deduit facilement que le potentiel darret :

V 0 = h W 0

e

et donc la pente de la courbe: potenteil darret en fonction de la frequence donne la

valeur de la constante de Planck (Cette valeur est la meme que celle trouvee par Planck

pour reproduire la courbe du corps noir)- le nombre de photons augmente avec lintensite de la radiation. la frequence reste la

meme et donc lenergie de chaque photon reste la meme. ce qui explique bien pourquoi

lenergie T max est independante de lintensite de la lumiere.

- La frequence de seuil sobtient en posant T max = 0. Dans ce cas, lenergie du photon

suffit juste pour extraire lelectron et on a

h s = W 0

Voici le frequence seuil pour quelques metaux:

metaux Ag Na Pb

s (Hz) 11, 41014 5, 61014 5, 11014

Remarque : Lelectron absorbe entierement le photon. Le fait que lelectron est lieau metal permet dassurer la conservation de lenergie et de la quantite de mouvement

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relativistes. La plaque (de masse tres grande par rapport ` a celle de lelectron) joue un

role dans cette conservation sans affecter le systeme. Pour un electron tout seul ceci nest

pas possible.Cest en 1914 1915 que R. Millikan a pu montrer experimentalement de fa con

exhaustive lhypothese dEinstein (irroniquement Millikan voulait par ses experiences

demontrer que Einstein avait tort!). Einstein re cut le prix Nobel en 1921 specialement

pour cette explication quil a apporte ` a leffet photoelectrique

1.4 Dualite onde-corpusule et comportement ondulatoire de la matiere:

Cest au 17ieme siecle que furent emises simultanement la theorie corpusculaire parNewton et ondulatoire par Huygens . Il faut attendre jusquau 19ieme siecle pourque laspect ondulatoire puisse dominer avec linterpretation de Maxwell . Puis vient,au debut du 20ieme siecle, Einstein pour mettre en evidence le caractere corpusculairesans toute fois mettre en cause le caractere ondulatoire, au contraire Einstein pressentait

dans son analyse une certaine cohabitation des deux aspects.

Les recherches actuelles ont montre que, selon lexperience ` a realiser, la lumiere devrait

etre decrite par des ondes electromagnetiques ou par des particules (photons).

- Laspect ondulatoire apparait dans les phynomenes de diffraction et dinterference.-Laspect corpusculaire est visible dans leffet photoelectrique, effet Compton,...

Mais que se passe-t-il pour les particules materielles? Leurs caractere corpusculaire

est evident, alors possedent elles un aspect ondulatoire?

En 1925 Louis de Broglie ( Physicien francais, prix Nobel 1929) emet lhypotheseque la matiere, tout comme la REM, peut etre affectee des proprietes dondes; ondes de

la matiere , generalisant ainsi les relations dEinstein pour la lumiere

E = h p = h (1.8)

pour une particule libre E = p2

2m de sorte que = h2m 2

Remarque :cette relation est valable seulement dans le cas des particules de masse au repos non

nulle. Pour le photon on a = c .

De fait que la valeur de laction quantique h est tres faible, la masse de la particule doit

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etre suffisament petite pour generer une longueur donde mesurable. Cest pour cette

raison le caractere ondulatoire apparait la premiere fois en physique quantique atomique.

1.4.1 experience des fentes de Young

Lexperience des fentes de Young a ete realise pour mettre en evidence le caractere

ondulatoire de la matiere.

I 1 et I 2 sont les intensites des ondes par lune des fentes lorsque lautre est fermee.

Dapres la theorie ondulatoire, lintensite observee sur lecran nest pas la somme des

intensites provenant de chaque fente:

I = I 1 + I 2.Mais on obtient une gure dinterference dont lintensite sobtient en sommant les

amplitudes des champs electriques de londe venant des deux fentes :

I E 1 + E 2 .La theorie ondulatoire predit tres bien la forme oscillatoire de lintensite observee sur

lecran. Un probleme survient cependant si on diminue lintensite du faisceaux lumineux

incident. Une telle diminution, selon cette theorie, se traduit par une diminution

damplitude sans toute fois changer la forme de la gure. Cependant ce nest pas ce

que lon observe!.

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Si on diminue le faisceaux jusqua ce quun seul photon a la fois soit present dans le

dispositif de diffraction. Apres un certain temps, les franges apparaissent comme formees

dune multitude dimpacts tres localises. Ces impacts montrent le caractere corpusculairedu photon (une onde remplie tout lespace). Le point dimpact sur lecran est aleatoire

(differents photons prepares (independament) dans les memes conditions ont des points

dimpacts differents). Lorsque lintensite est augmentee, les photons se distribuent sur

lecran avec une certaines lois de probablite. Il y a des coins dans lecran o u le photon

ne va jamais, ces lieux correspondent aux franges sombres. Cette experience conduit

apparement `a un paradox:

Si le photon est une particule, il doit passer necessairement par une des fentes, mais

pas par les deux a la fois! Un detecteur derriere chaque fente permet de le verier.Cependant si on bouche une seule fente par un detecteur, alors on nobtient plus

une gure dinterference mais celle de diffraction; Le resultat de lexperience change

completement. Ainsi le resultat observe depend du fait que lautre fente soit ferme ou

non: Si on essaye de connaitre par quelle fente est passe le photon on nobserve plus le

phynomene dinterference (si comme si en forcant le photon de nous montrer son caractere

corpusculaire, on perd completement la possibilte dobserver son c ote ondulatoire).

Ici on a une caracteristique essentielle du nouveau domaine : Lorsquon effectue une

mesure sur un systeme microscopique on le perturbe de facon fondamentale .

Remarque : cette experience a ete aussi realisee pour un faisceaux delectrons parTonomura et al (American journal of Physics 57, (1989) pp117).

1.5 La fonction donde et son interpetation:

1.5.1 Interpretation probabliste de la fonction donde

Lhypothese de de Broglie permet dassocier une onde a toute particule materielle. onveut maintenant associer `a cette particule une fonction donde (r , t ). Par analogieavec les ondes lumineuses :

|(r , t )|2doit etre relie `a la probabilite de trouver la particule en un certain point de lespace. On

lappelle densite de probabilite de presence .

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A linstant t la particule consideree a une probabilite |(r , t )|2d3r de se trouver dansun element de volume d3r autour du point r (x,y,z ). Or le fait que la particule doit setrouver quelque part dans lespace, alors la somme de tous les evenements doit donnerlunite, plus precisement :

+ |(r , t )|2d3r = 1 (1.9)En 1926, Schrodinger, dans ses articles, presenta, sa fameuse equation donde pour

(x, t ). Max Born proposa lexplication adopte aujourdhui pour cette fonction. Legrand changement apporte par celui-ci est de refuser de considerer la fonction donde

comme un element de la realite. Pour Born, est un outil du calcul.

1.5.2 Vitesse de phase et vitesse de groupe de londe materielle:

Pour simplier la notation on considere une particule dans un espace ` a une dimension.

Pour la particule libre, i.e., particule qui nest soumise `a aucune force, lenergie et la

quantite de mouvement sont bien denies et on peut supposer que la fonction donde

correspondante doit etre une onde plane (puisque E = h, p = hk predit que lafrequence et le vecteur donde sont relies):

(x, t ) = Ae (kxt ) (1.10)

la vitesse de phase de cette onde plane est donnee par:

v = k

= E p

.

Par exemple pour un photon, la relation de dispersion est = ck et donc la vitesse de

phase de londe lumineuse v = c. Pour londe materielle, cependant, lenergie dune

particule libre vaut:

E = p2

2m = h

2k22m =

hk22m

et la vitesse de phase est

v = k

= hk2m

= p2m

= v2

( ou v = pm est la vitesse de la particule). On arrive donc `a conclure que la vitesse de

londe plane quon vient dassocier a la particule ne correspond pas a la vitesse reelle de

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la particule! . Donc il y a un probleme a representer une particule materielle par une onde

plane. Cette representation donne lieu ` a un autre probleme; on a :

|(x, t )|2 = A2

Si donc lamplitude au carre de la fonction donde doit etre relie ` a la probabilite de trouver

la particule en un certain point de lespace, alors londe plane consideree indique que la

particule peut etre trouvee en nimporte quel point de lespace! . Londe plane ne nous

donne donc aucune information sur la position de la particule. Pire encore, si |(x, t )|2represente une densite de probabilite, alors on devrait avoir

+

|(x, t )|2dx = 1

(cette relation exprime le fait que la particule doit etre trouvee quelque part dans

lespace). Pour londe plane on a :

+ |(x, t )|2dx On conclut quon ne peut pas representer une particule par une onde plane. Pour

sumonter ces problemes, on represente la particule par une superposition des ondes planes

de differentes longueurs donde. Cest a dire en formant ce quon appelle un paquet

dondes ( a une dimension) on a :

(x, t ) = 1 2 + g(k)e(kx(k)t )dk (1.11)

On a

(x, 0) = 1 2 + g(k)ekx dk

ce qui montre que:

g(k) (k) = 1 2 +

(x, 0)ekx dx

nest autre que la transformee de Fourier de (x, 0). (k) represente un paquet dondes

mais dans lespace des vecteurs dondes ( ou impulsions ( p = hk), voir TD).

On introduit la vitesse :

vG = ddk

)k= k0 ,

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vitesse du maximum du paquet donde quon appelle vitesse du groupe du paquet donde,

avec :

= hk2

2m vG = hkm =

pm = v

ce qui correspond a la vitesse de la particule.

Le paquet donde ayant un maximum quelque part en x, la particule a donc plus de

chance detre trouvee dans une certaine region de lespace plut ot que dans lautre. Le

paquet donde nous donne ainsi linformation sur la position de la particule contrairement

a londe plane.

1.6 Principe dincertitude de Heisenberg:

Ennoce du Principe :

Si une mesure de la position est faite avec une precision x, et si une mesure silmultanee de la quantite de mouvement est faite avec une precision p, alors le produit des deux incertitudes ne peut jamais etre plus petit quun nombre de lordre de h,

i.e., x p > h.On dit que pour decrire le monde microscopique il faut abondonner la notion de

trajectoire dune particule. On associe cependant ` a la particule une fonction donde

(paquet donde) telle que |(x, t )|2dx est sa probabilte de presence entre x et x + dx.Donc si on considere un paquet dondes dune certaine largeur pour decrire une particule

localisee dans une region de lespace, |(x, t )|2 a une certaine largeur x; c.a.d, si oneffectue un tres grand nombre de mesures sur les particules decrites par le paquet dondes

(x, t ), on va observer en moyenne une certaine position, x0 comprise entre x0 + x/ 2

et x0 x/ 2. On dit alors que lincertitude sur la position est x.De meme pour |( p, t)|2 donne la probabilite de mesurer la quantite de mouvement de laparticule. Elle aussi lui correspond une certaine largeur p qui correspond a lincertitude

sur la mesure de la quantite de mouvement de la particule.

Les largeurs des fonctions (x, t ) et ( p, t) sont relies mathematiquement par

x p > h ( )

qui est donc une propriete generale des ondes. Il est donc impossible de concevoir une

particule qui serait simultanement localisee en position et en impulsion au dela de la

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limite xee par (*)

Le signe > est pour indiquer que la grandeur du produit est une quantite de lordre de

h et quelle depend de notre denition de la largeur des fonctions. Ce qui importe pournous cest lordre de grandeur.

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Chapitre 2

Formalisme Mathematique de la

Mecanique Quantique

2.1 Formulation ondulatoire

2.1.1 Espace des fonctions donde F a- Structure

Les fonctions dondes (r ), etudiees au chapitre 1, forment un espace vectoriel sur C ,note F :

F est de dimension innie

si 1, 2 F et 1, 2 C alors 11 + 22 F

F est un sous ensemble de lespace vectoriel des fonctions de carre sommable, note

L2, deni par:

L2 = { : R 3 C / + |(r )|2d3r < },F est dit sous espace vectoriel de L2

on exige, conformement `a la realite, que les fonctions F soient continues ,indeniment derivables et a support borne . On est donc amener a etudier ces

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espaces.

b- Produit scalaire sur F :On peut munir F par un produit scalaire deni par:

(, ) = + (r ) (r )d3r, , F . (2.1)En general, ( , ) C et on a les proprietes suivantes:

1. (, ) 0, et (, ) = 0 ssi = 02. (, + ) = ( , ) + ( , ) et (, ) = (, ), C

3. (, ) = ( , )

Un espace vectoriel (ni ou inni) sur C muni dun produit scalaire veriant les proprietes

precedentes (1 , 2, et 3) est dit espace de Hilbert .On montre que:

1. (, ) = + |(r |2d3r est reel et positif 2. (, ) = 0 ssi = 0

3. (1, 2) (1, 1) (2, 2) (inegalite de Schwartz) (, ) || est appele la norme de . On dit que ce produit scalaire denit unenorme sur F . Enn si : (, ) = 0 on dit que et sont orthogonales.

c- Bases orthonormees discretes dans F :Les operations structurelles sur un espace vectoriel peuvent etre effectuees sans reference

a une base. Toute fois le choix dune base (ou une representation) est plus commode

pour certains calculs.

Denition : soit un ensemble {ui(r ), i = 1 , 2, . . .} de fonctions dans F inni et denombrable, repere par les indices i = 1, 2, . . .. Cet ensemble est dit une base de F , si toute fonction donde (r ) dans F secrit de fa con unique sous la forme :

(r ) = j

c j u j (r )

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ou les c j C sont dites composantes de (r ) relativement a la base {ui(r )}.Si de plus on a:

(ui , u j ) = ui (r )u j (r )d3r = ij , ij = 1 si i = j0 si i = j , (2.2)alors la base {u i(r )} est dite orthonormee ( ij est appele symbol de Kr oneker).

Determination des coefficients des fonctions dondes sur la base {u i(r )}:

(ui , ) =

u i (r )(r )d3r

= j c j ui (r )u j (r )d3r

= j c j u i (r )u j (r )d3r= j c j ij= ci

(2.3)

on dit que la suite des composantes {ci} represente (r ) relativement a la base{ui(r )}.

Il est facile de verier que si = i ciui et = j d j u j , alors on a:

= ci = di i = 1, 2, . . .

si + = k bkuk , alors bk = ck + dk k = 1, 2, . . .

si a = k bkuk , alors bk = ack k = 1, 2, . . .

(, ) = j c j d j , en particulier ( , ) = j c j c j = j |c j |2

Relation de fermeture:

Si {ui(r )} F est un ensemble orthonorme, pour quil soit une base de F , il fautquil satisfait une condition supplementaire dite relation de fermeture (quon notesouvent tout court R.F) comme suit:

iui (r )ui(r ) = (r r ). (2.4)

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Prenons (r ) F quelconque tel que (r ) = i ciu i(r ) avec {ui(r )} base de F alors on peut ecrire :(r ) = i(u i , )ui(r )

= i( u i (r )(r )d3r )ui(r )= ( i ui (r )ui(r ))(r )d3r ,(2.5)

posons F (r , r ) = i u i (r )ui(r ) (r ) = (r )F (r , r )d3r . Cetteequation est caracteristique de la fonction de Dirac (voir TD) do` u on obtient la R.F.d- Generalisation aux bases continues

Les resultats precedents peuvent etre generalises ` a un espace de dimension innie etcontinu, qui nest ni F ni L2, mais ou les fonctions dondes peuvent etre developpees. Lageneralisation la plus simple de la sommation discrete est lintegration de Riemann, la

fonction donde est ecrite dans ce cas sous la forme :

(r ) = c() (r )dou

lensemble { (r ), R } est dit orthonorme si :( , ) = (r ) (r )d3r = ( ) (2.6)

Si les composantes c() sont uniques, alors { (r ), R } est une base et larelation de fermeture (F.R) est donnee par :

(r ) (r )d = (r r ) (2.7) le produit scalaire et la norme secrivent:

(, ) = c() b()d, (, ) = ||2 = |c()|2d (2.8)ou on a pris (r ) = c() (r )d et (r ) = b() (r )d.

Remarques:

( , ) = | |2 diverge car ( ) est egale a 0 si = et si = F

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la variable peut avoir plusieurs signications et appartenir ` a un espace reel pluslarge que R (exemple R 3), deux exemples importants sont r 0 (position), ou p0 (impulsion), les elements des bases respectives sont:

r 0 (r ) = (r r 0 ) (2.9) p0 (r ) = ( 12h )

3/ 2ei p0 .r / h , (2.10)

il est facile de verier que ces deux bases ne sont pas dans F . Cependant toute fonctiondondes sexprime en terme de ces deux ensembles (il suffit dutiliser la denition de la

fonction de Dirac et la transformee de Fourier inverse):

(r ) = (r 0 ) (r r 0 )d3r 0 = (r 0 )r 0 (r )d

3r 0

(r ) = ( 12h )3/ 2 ( p0 )ei p0 r / h d3 p0 = ( p0 ) p0 (r )d3 p0

ou ( p0 ) est la transformee de Fourier de (r ) (voir T.D).

2.1.2 Operateurs lineaires

La mecanique quantique concerne les resultats de mesures sur un systeme physique. Ces

mesures sont des operations quon effectue sur ce systeme. Ces operations sont traduites

mathematiquement par ce quon appelle les mathematiques des operateurs , lobjetde cette section.

a- Denition dun operateur lineaire

Un operateur lineaire A est par denition une correspondance , ou loi, par laquelle on

associe a toute fonction donde , une autre fonction donde = A de facon que :

si = alors A = A

A(a + b) = aA + bA, a, b C (linearite)Soient A et B deux operateurs lineaires et F alors on a:

cA (c C ) est un operateur lineaire deni par ( cA) = c(A)

A + B est un operateur lineaire deni par ( A + B) = A + B

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A.B (multiplication des operateurs) est un operateur lineaire deni par ( AB ) =A(B )

11, appele operateur identite, est deni par 1 1 = ,avec ces proprietes, lensemble des operateurs lineaires forme ce quon appelle lalgebre

des operateurs.

Remarques

En general cette algebre nest pas commutative, cest ` a dire, si A et B sont deuxoperateurs lineaires alors en general A.B = B.A, on dit dans ce cas que A ne commutepas avec B . On denit ainsi le commutateur de A et B comme:

[A, B ] = A.B B.A

Un operateur ne possede pas souvent un inverse. Un operateur A qui possede uninverse, quon note A1, est tel que:

AA1 = A1A = 11,

donc une equation de type A.B = 0 nimplique pas que A = 0 ou B = 0. On ne peut

affirmer quun des deux operateurs est nul que si linverse de lautre existe (inversible).

b- Exemples doprerateurs lineaires

A(x) = d((x)

dx , B(x) = x(x)

(x) est une fonction donde a une dimension. Il est facile de verier que A et B sont

lineaires. Regardons la relation entre AB et BA:

(AB )(x) = A(B (x))= A(x(x)) = ddx (x(x))

= ddx (x)(x) + x ddx ((x))

= 1 (x) + x(A(x)) = 11(x) + B(A(x))

= (11 + BA)(x),

dou [A, B ] = AB BA = 11.

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2.2 Formulation de Dirac

dans ce qui precede, lintroduction de la fonction donde pour decrire letat quantique

dune particule, nous a amene `a letude de lespace F des fonctions de carre sommable.Historiquement cette demarche a ete elaboree par Schrodinger (mecanique ondulatoire).Une autre demarche a ete develoopee par Heisenberg , Born , Jordan associant a chaquegrandeur mesurable une matrice (mecanique des matrices). Ce sont deux formulations

equivalentes dune theorie plus generale dite Theorie quantique de Dirac. On resume

cette theorie dans les points suivants:

Pour decrire letat dun systeme quantique, on introduit des vecteurs detats agissantdans un espace vectoriel de Hilbert abstrait , appele espace des etats , note E . cetespace peut etre de dimension nie ou innie, denombrable ou continu.

A chaque mesure ( cest a dire grandeur physique) on associe un operateur agissantsur lespace des etats.

Cet espace et ces operateurs sont introduits en utilisant une notation particulieredite notation de Dirac.

Dans cette formulation, les fonctions dondes apparaissent comme une representation

particuliere de lespace des etats E . De plus elle permet de decrire des systemes physiquesplus generale que la fonction dondes ne peut pas (exemple de spin).

2.2.1 Espace des etats et notation de Dirac

a- Denition

Un etat quantique est represente par un vecteur note | (appele vecteur ket ou kettout court). Lensemble des ces vecteurs kets forme un espace vectoriel dit espace des

etats, note E . On construit : | 1 + 2 = | 1 + | 2 et on a les axiomes suivants| 1 , | 2 et | 3 E :

|1 + 2 = | 2 + 1 ;| 1 + 2 + | 3 = | 1 + | 2 + 3 = | 1 + | 2 + | 3

|0 E : | + |0 = |0 + | = | ,

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d- Sous espace de E :Cest un sous ensemble de

E ayant les memes proprietes que

E mais de dimension plus

petite.

e- Bases dans lespaces des etats E Le choix dune base permet de denir les composantes dun vecteur ket donne

Relation dorthonormalisation:Un ensemble {| ui } (dans le cas discret), ou {| } (dans le cas continu), de kets estdit orthonorme si on a respectivement:

ui |u j = ij | = ( )

Remarques :

| E car | est inni (lim ( ) = ), mais les kets de E sontdeveloppables sur cet ensemble.

|ui ou

| forment des bases si

|

E on respectivement:

!ci : | = i ci |ui discret

!c() : | = dc() | continueu j | = c j ; | = c()

R.F :pour la base discrete: pour la base continue:

| = i ci |ui | = dc() | = i ui | | ui = d | | = i |u i ui | = d | |= [ i |ui ui |] | = [ d | |] | i |u i ui |=11 d | |=11.

(2.12)

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Reciproquement avec ces relations on montre que {| ui } et {| } formentrespectivement des bases de E .

Produit scalaire:soit {|ui }une base discrete de E et soient les kets | et | tels que: | = i ci |uiet | = j b j |u j

| = i,j b j u j |ci |u i= i,j b j ci u j |ui= i,j b j ci ji

= i bi ci

en particulier | = i |ci |2.Dans le cas dune base continue on a:

| = db ()c() Representations des kets et des bras:Etant donnee une base (discrete ou continue) on peut representer tout ket comme une

matrice a une colonne.

Base discrete Base continue

|

u1 |u2 |...u3 |..

.

|

...

...

|......

(2.13)

De meme les bras sont representes par des matrices ` a une ligne

Cas discret:

| ( |u1 , . . . , |ui , . . .).Cas continue:

| (. . . . . . , | , . . . . . . ).

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Changement de base:Les composantes dun vecteur (ket ou bra) dependent du choix de la base dans E , ilconvient de savoir exprimer les composantes dun meme vecteur relativement ` a une baseen fonction de ses composantes dans une autre. Dans la suite on se restreint seulement

au cas discret.

Soient deux bases {| ui } et {| vi } telles que | = i ci | ui et | = i di | vi .La question est de trouver les relations entre les ci et di . Supposons quon connaitlexpression de chaque |ui sur la base {|vi }:

| ui = j T ji |v j T ij = vi |u j .

les nombres T ij sont les element de matrice de passage de {|vi } a {|ui }, donc pour les kets:

| = i ci |ui= i,j ciT ji |v j= j d j |v j

d j =i

T ji ci v j | = i T ji u i | .

Pour les bras

|v j = |[ i |ui ui |] | v j= i |ui ui |v j= i |ui [ v j |ui ]= i |ui T ji

On denit

(T )ik = T ki = ( vk |ui ) = ui |vkappele conjugue hermitique de T . On montre que TT = T T = 11 et inversement:

ui | = j T ij v j | ; |ui = j |v j T ji

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2.2.2 Operateurs lineaires en notation de Dirac:

a- Denition:

Soit A un operateur lineaire agissant sur le ket | , on ecrit cette action comme suit:A| = | ,

laction de A sur un bra | donne un autre bra | quon ecrit sous la forme:

|A = |.

b- Conjugaison hermitique:

On denit ladjoint (ou conjugue hermitique) dun operateur A, note A, de la manieresuivante:

| = A| | = |A (2.14)Remarque: |A = A| ; A| = |A .On montre facilement les proprietes suivantes:

(A) = A, (A) = A, C , (AB ) = BA.

Demontrons, par exemple, la derniere propriete: soit | = AB | , dune part on a :

| = ( AB )| | = |(AB )dautre part:

| = ( AB )| = A(B | ) | = ( |B)A = |(BA).En regle generale, pour calculer le conjugue hermitique dune expression quelconque

contenant un produit compose de nombres complexes, kets, bras et operateurs, il fautsuivre les etapes suivantes:

1. remplacer:

les nombres complexes par leurs conjugues complexes ( C C ) les kets par leurs bras associes: ( | E | E )

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les bras par les kets associes: ( | E | E )

les operateurs par leurs adjoints: ( A

A)

2. Inverser lordre des operateurs dans le produit, lordre des nombres complexesnest pas important.

Exemple: | |A Conj.Herm.

| A|

c- Operateurs Hermitiques:

Un operateur A est dit hermitique (ou autoadjoint ) sil coincide avec son conjugue

hermitique (ou son adjoint) A: A = A.On denit lelement de matrice dun operateur A entre | et | par le nombrecomplexe :

|A| = ( |A)| = |(A| ),son conjugue complexe est donne par (en utilisant la regle precedente):

|A| = |A| .Ainsi, dans le cas dun operateur hermitique on a :

|A| = |A| (2.15)Exemples:

On peut former des operateurs a partir des kets et bras poses dans un ordre Ket-Bra comme suit:

A = | | = A| = | | = |ou =

| C

= A = | | Un exemple important doperateur hermitique est loperateur projecteur :Prenons un ket | tel que | = 1 (le ket | est dit dans ce cas normalise a lunite),le projecteur sur letat | est deni par:

P = | |,

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on peut montrer facilement que cet operateur est hermitique ( P = P ) et quil verie lapropriete caracterisant les pro jections, ` a savoir: P 2 = P .

Ceci peut etre generalise ` a une projection sur un sous espace de dimension n:

P n =n

i=1 | i i| avec i| i = 1 i (2.16)

d- Representation dun operateur lineaire:

En choisissant une base dans E (discrete ou continue), un operateur lineaire A est alorsrepresente dans cette base par une matrice dont les elements sont donnes par :

base discrete

{|ui

}: base continue

{|

}:

Amn = um |A|un A = |A|

ou m () est lindice de la ligne et n ( ) est lindice de colonne. Si A est hermitique alors

on a :base discrete {|ui }: base continue {| }:

um |A|un = un |A|um |A| = |A|

Amn = Anm A = A Changement de base:Soit T la matrice de passage de la base {| vi } a la base {| ui }: T ij = vi | u j . Leselements de matrice dun operateur A dans la base {| ui } peuvent etre exprimes enfonction de ceux dans la base {|vi }:

um |A|un = um |11A11|un= um

|[ k

|vk vk

|]A[ l

|vl vl

|]

|un

= k,l um |vk vk|A|vl vl|un= k,l (T km ) Akl T ln= k,l T mk Akl T ln ,

quon ecrit sous forme compacte comme:

A{|u i } = T A{|vi }T (2.17)

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Transformation des kets:Etant donne une base {|u i } telle que | =

i ci|ui , alors on peut exprimer les

composantes de | = A| en terme de celles de | :cm = um | = um |A|

= um |A11| = n um |A|un un |= n Amn cn .e- Probleme de valeurs propres et vecteurs propres:

Si on a:

A

| =

| , C ,

| =

|0 , (2.18)

alors | est dit vecteur propre, ou ket propre, de A associe a la valeur propre ( peutetre egale `a 0). Letude et la determination des valeurs propres et vecteurs propres dun

operateur lineaire se resume comme suit:

Tout vecteur propre est deni ` a un facteur pres: Si | est vecteur propre associe ala valeur propre = | ( C ) est aussi vecteur propre associe `a la meme valeurpropre . Ce facteur peut etre toujours choisi de sorte que | = 1. La determination des valeurs propres est effectuee ` a travers la recherche des solutionsde lequation caracteristique de loperateur A:

det( A 11) = 0 ,cette equation peut secrire toujours sur C comme:

(x 1)g1 . . . (x i)gi . . . = 0 (2.19)les i sont les valeurs propres de A et les exposants gi sont dits multiplicites des i :

1. Si gi = 1, alors la valeur propre i est dite valeur propre simple ou non degenereeet le vecteur propre associe est deni sans ambiguite (unique ` a un facteur pres).

2. Si gi > 1, alors la valeur propre i est valeur propre multiple ou degeneree, gi est dit

le degre de degenerescence. Dans ce cas, plusieurs vecteurs propres sont associes a

i et peuvent etre choisis de sorte `a former une base orthonormee dun sous espace

de dimension gi , quon note E gi , appele espace propre associe a i .

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3. Lensemble des valeurs propres de A est dit spectre de A.

Une fois les valeurs propres determinees, on les remplace par leurs valeurs dans

A|i = i|i et on determine les composantes de vecteur propre associe; |i .

f- Cas doperateurs hermitiques

Pour les operateurs hermitiques, on a les resultats importants suivants:

Les valeurs propres sont reelles: soit A = A un operateur hermitique et | un ketpropre de A de valeur propre (eq. 2.18), alors on a:

|A| = | = |A| = |= =

Le bra associe a un ket propre | de valeur propre , est aussi un vecteur propreassocie a la meme valeur propre :

A| = | |A = |A | = | =

Deux kets propres associes a deux valeurs propres differentes sont orthogonaux:Soient A|1 = 1|1 et A|2 = 2|1 tels que 1 = 2, alors on a :

2|A|1 =( 2|A)|1 = 2 2|1 , (1)2|(A|1 ) = 1 2|1 , (2).

(1) (2) = (2 2) 2|1 = 0 = 2|1 = 0 .

2.2.3 Observables et E.C.O.C

a- Observable:

Un operateur hermitique est dit observable si on peut, avec ses kets propres, construire

au moins une base orthonormee de E .Si {|in } est un systeme orthonorme de kets propres associe ` a la valeur propre n ,

avec i = 1, . . . , gn (ou gn est le degre de degenerescence de n ), c.a.d:

in | jn = ij ,

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ce qui implique que :

in | jn = ij nn , (2.20)alors, pour une observable on a de plus la R.F.:

n

gn

i=1 |in

jn | = 11 (2.21)

Remarque: Dans le cas dun espace detat de dimension nie, tout operateur hermitiquedenit une observable.

b- Ensembles complets dobservables qui commutent(E.C.O.C):

En physique classique, il faut toujours choisir un referentiel adapte au probleme. De

meme, en mecanique quantique, on cherche ` a representer E par une base adaptee formeede kets propres dune ou plusieurs observables.

Si une observable donnee a toutes ses valeurs propres non-degenerees , alors elle formea elle seule un E.C.O.C .

Observables compatibles:Deux observables A et B sont dites compatibles [ A, B ] = 0.

Theoreme: Si [A, B ] = 0, alors on peut trouver une base orthonormee formee de ketspropres communs a A et B .

Preuve:1- Si les spectres de A et B sont non degeneres:Prenons |i un ket propre de A de valeur propre i , alors:

AB |i = A(B |i ) = BA|i = iB |i ,ce qui signie que B

|i est un ket propre de A associe a la meme valeur propre i , or les

i sont toutes simples = B|i est proportionnel a |i , autrment dit il existe i reeltel que B|i = i|i , ce qui signie que |i est un ket propre de B de valeur propre i . On conclut donc que |i est un ket propre a la fois de A et de B. On note souventce ket propre commun sous la forme :

|i | i , i .

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2- Si le spectre de lun des deux operateur est degenere, soit par exemple celui delobservable A. Dans ce cas, lequation aux valeurs propres de A secrit:

A|in = n |in , |in E gn , (i = 1, 2, . . . , gn ),donc, dapres 1-, les kets propres B|in ((i = 1 , 2, . . . , gn ), n xe) sont des elements deE gn , on dit que E gn est globalement invariant par action de B . En consequence on a :

1. Dans la base des kets propres de A, B est represente par des blocs diagonaux de

dimensions gi , c.a.d que les elements de matrice in |B | jn = 0 si n = n .2. Ceci nous permet de diagonaliser B relativement a chaque sous espace propre E gn .

Cette operation naffecte pas A car toute combinaison lineaire de kets propresassocies a la meme valeur propre est aussi ket propre de A associe a la memevaleur propre. On obtient ainsi une base de kets propres communs a A et B .

Maintenant si a linterieur de chaque sous espace propre E gn de A, le spectre de B est nondegenere , alors cette base est unique ( a des facteurs de phase pres) et les observablesA et B constituent un E.C.O.C , dans ce cas, souvent les elements de la base sont notes

| i , i . Si au contraire a linterieur dun sous espace propre de A, les valeurs propres deB sont degenerees, alors A et B ne peuvent pas former a elles seules un E.C.O.C et oncherche une troisieme observable C compatible avec A et B jusqua ce que la base soit

denie sans ambiguite.

Ainsi on denit un ensemble complet dobservales qui commutent (ou compatibles)

comme un ensemble dobservables A, B , C , . . ., veriant les conditions suivantes:

1. Toutes les observables A, B , C , . . . commutent deux a deux.

2. A chaque systeme {an , bn , cn , . . .} forme respectivement de valeurs propres desobservables A, B , C , . . ., correspond un vecteur propre unique commun `a toutes lesobservables, on note parfois ce ket |an , bn , cn ,... ..

2.2.4 Exemples de representations:

On revient dans ces exemples a lespace des fonctions dondes dune particule F , lespacedes etats correspondant est deni en associant ` a chaque fonction donde (r ) le ket | .

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Le produit scalaire dans cet espace coincide avec celui deni auparavant (eq. 2.1) pour

les fonctions dondes:

| = d3r (r )(r ), (2.22)

E , quon note parfois E r , est lespace des etas dune particule (sans spin).

a- Bases {|r } et {| p }:Ces bases sont obtenues en faisant la correspondance suivante:

(r r ) |r ( 12h

)3/ 2ei p .r / h | p relation dorthonormalisation:

r |r = d3r (r r ) (r r ) = (r r ) p | p = d3r ( 12 h )ei( p p ) .r / h = ( p p ) relation de fermeture:Le fait que {|r } et {| p } forment une base de E on a:

d3r |r r |= 11 ; d

3 p| p p | = 11 (2.23)Remarques:-r (x,y,z ), sont les coordonnees dun point de lespace a trois dimension R 3.- p ( px , py , pz), sont les composantes du vecteur impulsion.- En utilisant (eq.2.23), les composantes dun ket relativement ` a ces deux bases sont

donnees respectivement par:

| = 11

| =

d3r

|r

r

| dans

{|r

}| = 11| = d3 p| p p | dans {| p },

or dapres la denition du produit scalaire (eq. 2.22), on a :

r | = d3r (r r )(r ) = (r ) (a); p | = d3r ( 12 h )3/ 2ei p .r / h (r ) = ( p ) (b).(2.24)

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Ainsi la valeur de la fonction donde (r ) au point r apparait comme composante duket | sur la base {|r }. De meme ( p ) (la transformee de Fourier de (r )) apparaitcomme composante du ket | sur la base {| p }. Relation de passage entre les deux bases :Cette relation est donnee par:

r | p = p |r = ( 12 h )

3/ 2 d3r ei p .r / h (r r )= ( 12 h )3/ 2ei p .r / h(2.25)

Produit scalaire et norme relativement a ces deux bases:La relation qui denit le produit scalaire dans E (eq.2.22) apparait comme consequencedes equations (eqs. 2.23, 2.24a-b):- Dans la base {|r }:

| = d3r |r r |= d3r (r )(r ),en particulier on a:

| = d3r |(r )|2.- Dans la base

{| p

}:

| = d3 p | p p |= d3 p ( p )( p ),en particulier on a :

| = d3 p|( p )|2.On voit ainsi que la norme dun ket ne depend pas du choix de la base relation deParceval-Plancherel.

b- Les operateurs R et P :

Soit un ket | E et r | = (r ) (x,y,z ) la fonction donde correspondante. Operateur position:Loperateur position X est deni par:

| = X |

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tel que

r | = (x,y,z ) x(x,y,z ) = x r |

r |X | = x r | , (2.26)de la meme fa con on denit les operateurs Y et Z :

r |Y | = y r |r |Z | = z r |

(2.27)

On peut voir X , Y et Z comme les composantes dun operateur vectoriel, note R , telque:

r |R | = r r |

Conjugaison hermitique:Les operateurs X , Y et Z sont hermitiques ( R est hermitique)

|X | = d3r |r r |X |= d3r (r )x(r )= [ d3r (r )x (r )]

= |X | .La meme demonstration pour Y et Z et on trouve |Y | = |Y | , |Z | =|Z | . Valeurs propres et vecteurs propres de R :Considerons laction de X sur |r , dapres (eq. 2.26) on a:

r |X |r = x r |r = x (r r )= x (r

r ) = x r

|r

X |r = x|r ,On voit ainsi que la base {|r } est aussi une base de vecteurs propres de X avecles valeurs propres x de R . De la meme facon on montre aussi que Y |r = y|r ,Z |r = z |r . Ce qui prouve que {|r } constitue une base de vecteurs proprescommuns de X , Y et Z .

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Operateur impulsion:Loperateur vectoriel P est deni par ses composantes P x , P y et P z agissant enrepresentation {| p } sur un ket | comme suit:

p |P x | = px p | p |P y| = py p | p |P z| = pz p |

(2.28)

ou de facon compacte:

p |P | = p p |

Conjugaison hermitique:

les operateurs P x , P y et P z sont hermitiques ( P est hermitique), par exemple: |P x | = d3 p | p p |P x |= d3 p ( p ) px ( p )= [ d3 p ( p ) px ( p )]= |P x|

La meme demonstration se fait pour P y et P z , on trouve |P y| = |P y| ,

|P z

| =

|P z

| .

Valeurs propres et vecteurs propres de P :Considerons laction de P x , sur | p , dapres (eq. 2.28) on a :

p |P x | p = px p | p = px ( p p )= px ( p p ) = px p | p

P x | p = px| p .On montre de la meme facon que P y| p = py| p , P z| p = pz| p . Ce qui prouve que

{| p } forme une base de vecteurs propres communs de P x , P y et P z . Action de P en representation {|r }:Considerons P x et calculons r |P x | :

r |P x | = d3 p r | p p |P x |= ( 12 h )3/ 2 d3 pei p .r / h px ( p )= hi x (r ) = hi x r | ,44

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(De la meme fa con on montre que P y hi y , P z hi z ). En representation {|r }loperateur P coincide avec hi = ih Commutation entre R et P :On calcule ici les relations de commutation entre les composantes de R et de P .considerons la representation {|r } et calculons par exemple [X, P x ]:

r |[X, P x ]| = r |(XP x P x X )|= r |XP x | r |P x X |= x r |P x | hi x ( r |X | )= x hi

x r | hi x (x r | )

= ih r | ,or | est arbitraire et |r est un ket de base quelconque, donc:

[X, P x ] = ih11,

souvent on necrit pas explicitement 11.

Par un meme raisonnement on calucule toutes les relations de commutation restantes,

quon ecrit nalement sous forme compacte comme suit:

[R i , R j ] = 0, [P i , P j ] = 0, [R i , P j ] = ih ij (2.29)

ou i, j = 1 , 2, 3) et R1 = X, R 2 = Y, R3 = Z , P 1 = P x , P 2 = P y , P 3 = P z . Ces relations de

commutations sont dites canoniques.

E.C.O.Ca-R et P sont des observablesb- {X,Y,Z } forme un E.C.O.C . a (x,y,z ) correspond un ket propre unique |r {|r } est une base orthonorme de E . X (Y ou bien Z) tout seul ne forme pas unE.C.O.C. car a x donne il y a une innite de |r (y, z

R).

c- De meme {P x , P y , P z} forme un E.C.O.C. , a ( px , py , pz) correspond un ket propreunique | p

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Chapitre 3

Postulats de la Mecanique

Quantique

3.1 Introduction

En general, le mouvement dun systeme materiel en mecanique classique est decritpar les variables q i(i = 1 ,....,N ) (dites coordonnees generalisees) et q i = dqidt (vitesses

generalisees). La donnee de ces variables, ` a chaque instant, permet de calculer la position

et la vitesse dun point quelconque du systeme. On denit le moment conjugue par:

pi = L q i

ou L L(q i , q i , t ) est appele lagrangien du systeme. Les ( q i , pi) sont appeles variablesdynamiques fondamentales . A partir de ces variables, on peut exprimer toutes lesgrandeurs physiques associees au systeme (energie, moment cinetique,...) commefonctions de ces derniers . Ainsi la description dun systeme se resume dans les pointssuivant:

1. Letat du systeme ` a un instant t0 xe est deni par la donnee des variables

dynamiques ( q i , pi) i = 1,...,N .

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2. Une fois letat du systeme est donne ` a un instant xe, alors toutes les grandeurs

physiques associees sont parfaitement determinees a cet instant . (Le resultat

de toute mesure est donc predit avec certitude ).

3. Levolution dans le temps de letat du systeme est donnee par les equations

suivantes:dq idt

= Hp i

dpidt

= Hq i

,

dites equations canoniques de Hamilton-Jacobi. H H(q i , pi , t ) est la fonctiondHamilton qui donne lenergie totale du systeme. Ces equations differentielles sont

de premier ordre ce qui implique que la solution ( q i , pi) est unique si (q i(t0), pi(t0))

est xe a un instant t0 donne. ( Si on connait letat initial du systeme, alors son etat a un instant quelconque est determine avec certitude )

Cas particulier:pour un point materiel en mecanique de Newton:

(q i) r (position), ( q i) v (vitesse), ( pi) p = mv et lHamiltonien secrit:H = p 2

2m + V (r , t ),

(si les forces agissant sur le point derivent dun potentiel scalaire V (r , t )) Les equations de Hamilton-Jacobi se reduisent ` a:dr

dt =

d pm

, d p

dt = V.

Dans le cas des systemes quantiques, on a ainsi besoin de repondre aux questions

suivantes:

1. Quelle description mathematique doit-on donner ` a un tel systeme a un instant

donne?

2. Une fois cet etat donne, comment prevoir les resultats de mesures des diverses

grandeurs physiques?

3. Connaissant letat du systeme ` a un instant t0, comment determiner son etat ` a un

instant quelconque t?

Lobjet de ce chapitre est de repondre ` a ces questions en etudiant lensemble des postulats

sur lesquels repose la mecanique quantique.

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3.2 Enonce des postulats

3.2.1 Notion detat dun systeme:Dans le chapitre precedent on a associe un ket de lespace des etats dune particule E achaque fonction donde:

| E (r ) = r | .Cette fonction donde represente toute linformation possible sur letat du systeme

concerne.Cette notion detat se generalise a un systeme physique quelconque:

Postulat1 : La connaissance du systeme `a un instant donne est completement contenue

dans un ket | appartenant `a lespace des etats E .3.2.2 Description de grandeur physique:

On a vu au Chap II , quaux variables r et p sont associes respectivement les operateursR et P qui sont des observables. Cette affirmation est generalisee en postulat :Postulat2 : Toute grandeur physique mesurable, quon note par A, est representee par une observable, A, agissant dans lespace des etats du systeme E .

Remarque: En comparaison avec la mecanique classique, letat et les grandeursphysiques sont representes de fa con differentes:

Etat Grandeurs physiques

Mecanique classique Variables dynamiques Fonctions des variables

Mecanique quantique vecteur ket Operateurs observables

3.2.3 Resultats possibles de la mesure dune grandeur physique:

Les valeurs propres dune observable jouent un role primordial, elles sont au centre dutroisieme postulat:

Postulat3 : La mesure dune grandeur physique Arepresentee par lobservable A ne peut fournir comme resulats que lune des valeurs propres de loperateur A.

Remarque: Rappelons que les valeurs propres de A sont reelles. Si le spectre de Aest discret, alors les grandeurs physiques sont quantiees .

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dou:

| n = P n | ;ou P n est loperateur de projection sur {|uin }

= n |n =gn

i=1 |cin |2 = P (an ). (3.4)

Sous cette forme (3.4) il est clair que P (an ) nest pas affectee par un changement de basedans E n (de fait que la norme dun ket ne depend pas du choix de base). On peut encoredevelopper cette expression (3.4) pour ecrire la probabilite sous forme:

P (an ) = |P +n P n | = |P n | , (3.5)

ou on a utilise les proprietes dun projecteur, ` a savoir P n = P n , et P 2n = P n .

c- Cas dun spectre continu (non degenere):

On va se limiter ici au cas non degenere. On note les valeurs propres et etats propres

dune observable A comme suit: A|u = |u , la decomposition de letat du systemesur cette base des etats propres de A est donnee par:

| = dc()|u (3.6)Postulat4(cas continu) :La probabilite elementaire dobtenir comme resultat de mesure la valeur propre situee entre et + d est:

dP () = |c()|2d. (3.7)Si position x, alors c() (x) et dP (x) est la densite de probabilite dobserver la

particule dans lintervale [ x, x + dx]

Remarques:

1. Dans tous les ennonces precedents du postulat4 on a pris letat du systeme norme

( | = 1), ce fait est essentiel pour avoir:

n P (an ) = ngn

i=1 |cin |2 = | = 1 .

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Si ce nest pas le cas, il suffit de modier les denitions des probabilites comme suit:

Dans le cas discret:P (an ) =

1|

gn

i=1 | uin | |2. Dans le cas continu:

dP () = 1| |

c()|2d.2. Si on remplace | par | = ei | , R on a

| = | , | uin | |2 = | uin | |2,ce qui donne:

P (an )(a partir de | ) = P (an)(a partir de | ).Cela signie que deux vecteurs detats proportionnels (on dit aussi egaux ` a une

phase globale pres) representent le meme etat physique.Attention! | = 1|1 + 2|2 et | = 1ei 1 |1 + 2ei 2 |2 ne decrivent pasle meme etat! (sauf si 2 = 1 + 2 n )

3.2.4 Reduction du paquet dondes:

Cest un phenomene specique de la mecanique quantique.

a- Cas non degenere:

Si une mesure est effectuee sur un etat | et donne la valeur an a linstant t, alorsune mesure a linstant immediatement posterieur t + dt ne peut donner que an et avec

certitude. Do u le postulat:

Postulat5 : Si la mesure A de lobservable A donne le resultat an et si la valeur propre an est non degeneree, alors immediatement apres cette mesure, le systeme est dans letat

propre |un : juste avant la mesure immediatement apres

|

Mesure de A donnant le resultat a n

|un .Cette evolution est une sorte de projection et pas une evolution dans le temps.

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b- Cas degenere

Dans ce cas on a le postulat etendu suivant:

Postulat5 (etendu) : Si la mesure Ade lobservable A donne le resultat an et si la valeur propre an est degeneree, alors letat du systeme immediatement apres cette mesure est la

projection du vecteur detat juste avant la mesure sur le sous espace propre E gn associe a la valeur propre an :

juste avant la mesure immediatement apres

| =

n

gn

i=1cin

|uin

mesure donnant a n 1

g n

i =1|cin |2

gn

i=1cin

|un

P n | |P n |Ce postulat nous permet de noter aussi que loperation de mesure permet de preparerun systeme dans un etat bien particulier.

3.2.5 Evolution des systemes dans le temps:

A un instant t donne, le systeme est dans letat |(t) , levolution au cours du tempsde cet etat est determinee ` a partir de lequation de Schrodinger. Cette equation ne se

demontre pas et a le statut dun postulat:

Postulat6 : Levolution dun systeme, represente par letat |(t) , dans le temps est gouvernee par lequation :

ih ddt |(t) = H (t)|(t) , (3.8)

ou H (t) est lobservable associee a lenergie du systeme, appelee lhamiltonien du systeme.

3.2.6 Regles de quantication

Etant donnee une grandeur physique classique, quel est son analogue en mecanique

quantique?

Considerons par exemple un systeme constitue dune particule (sans spin), on a vu quon

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a la correspondance suivante:

r (vecteur position) R (observable position) p (vecteur impulsion) P (observable impulsion) .

Regle generale: Lobservable A qui decrit une grandeur physique A denieclassiquement, sobtient en remplacant, dans lexpression convenablement symetrisee de

A, r et p respectivement par les observables R et P . Exemple:

grandeur classique symetrisation observable correspondante

r . p 12 (r . p + p .r ) 12 (R .P + P .R )

Il existe des grandeurs physiques qui nont pas dequivalent classique.

3.3 Interpretation physique des postulats:

3.3.1 Mecanisme de mesure et quantication:

Lors dune operation de mesure (Postulats 4 et 5) le systeme est perturbe de fa confondamental. Lorigine de cette perturbation est d u au fait que lappareil de mesure

interagit avec le systeme ce qui implique que la formulation indeterministe des postulats

4 et 5 est liee a cette interaction, et donc loperation de mesure nest pas denie en soi,mais par ses consequences (juste apres la mesure, le systeme est dans letat propre etc.)

Le postulat3 permet dexpliquer la quantication de certaines grandeurs physiques,par exemple lenergie des atomes,....Mais nimplique pas que toutes les grandeurs sont

quantiees, par exemple X et P ont des spectres continus.

Dans les cas de la mesure de la position et dimpulsion dun systeme dans letat | (onprend dimension 1 pour simplier), on obtient des resultats avec les probabiltes suivantes:

d

P (x) =

|x

|

|2dx =

|(x)

|2dx,

resultat compris entre x et x + dx.

dP ( p) = | p| |2dp = |( p)|2dp,resultat compris entre p et p + dp.

Dou la coherence entre les regles de quantication et linterpretation probabiliste de la

fonction donde.

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3.3.2 Valeur moyenne et ecart quadratique moyen dune observable

a- Valeur moyenne:

Soit un etat quelconque | (norme), preparable un nombre inni de fois. Soit A uneobservable dont le spectre est discret.

Supposons que sur N mesures de A on obtient N (an ) fois la valeur propre an avec:

N (a n )N N P (an ) : probabilite de trouver an .

n N (an ) = N .La valeur moyenne de lobservable A dans letat norme | , notee A , est la moyennedes resultats obtenus en effectuant un grand nombre de mesure de A sur des systemestous dans letat | (theoriquement on prend N ):

A = limN n

an N (a n )N =

nanP (an )

(3.9)

on montre aussi que

A = |A| (3.10)Remarque: Si | nest pas norme, alors on modie lexpression de la valeur moyenne(3.10) en divisant par la norme de | :

A = |A||

b- Ecard quadratique moyen:

La valeur moyenne ne donne aucune idee sur la dispersion des resultats que lon peut

sattendre a obtenir dans une mesure de A. Pour rendre compte de cette dispersion, ondenit lecard quadratique moyen, note A, par

( A)2 = (A A )2 , (3.11)et on montre facilement que:

A = A2 A 2. (3.12)55

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Dans le cas dun spectre continu ( A|v = |v ), on a :( A)2 =

(

A )2

|v

|

|2d

= 2| v | |2d [ | v | |2d]2 (3.13)c- Relations dincertitude de Heisenberg

Soient les observables position X et impulsion P satisfaisant les relations de commutation

donnees en (2.29), et soit | = ( X + iP )| , avec | norme et o u le parametre R .On a | 0, or :

| = |(X iP )(X + iP )|= |X 2| + i |(XP P X )| + 2 |P 2|= X 2 h | + 2 P 2= X 2 h + 2 P 2 ,

on obtient ainsi un polynome de degre 2 en , dou:

| 0 ssi = h2 4 X 2 P 2 0,cest a dire X 2 P 2 h

2

4 .

Posons X = X X , P = P P , alors [X , P ] = ih et X 2

P 2

h 2

4 . OrX 2 = ( X )2 et P 2 = ( P )2 ce qui donne nalement:

X P h2

. (3.14)

Le meme raisonnement pour Y , P y , Z et P z (si on est en 3 dimenions) donne des relations

analogues a (3.14).

Remarques:

X P = h2 (valeur minimal) nest vrai que si (x) est un paquet donde gaussien. En general on montre que, pour deux observables A et B : A B 12 | [A, B ] |3.3.3 Compatibilite des observables

Deux observables A et B sont compatibles si les grandeurs physiques quelles repesentent

peuvent etre simultanement parfaitement determinees. Lordre dans lequel on effectue

les mesures na pas dimportance. On a dans ce cas [A, B ] = 0; et donc (voir chapitre I I )

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il existe une base detats propres communs, quon note {|an , bn , i } (lindice (i) indiqueque {A, B} peut ne pas etre un E.C.O.C. ):

A|an , b p, i = an |an , b p, iB |an , b p, i = b p|an , b p, i

a- Probabilites:

Soit letat du systeme donne par | = n,p,i cn,p,i |an , b p, i ; calculons la probabiliteP (an , b p) dobtenir lors de la premiere mesure an et lors de la deuxieme b p1ere mesure :

la probabilite de trouver an est donnee par:

P (an ) = p,i |cn,p,i |2

Letat immediatement apres cette mesure est donne par:

|n = 1

p,i |cn,p,i |2 p,i cn,p,i |an , b p, i2 ieme mesure :Letat du systeme est maintenant |n :

La probabilite de trouver b p est donnee par:

P a n (b p) = 1

p,i |cn,p,i |2 i |cn,p,i |2

Letat immediatement apres cette deuxieme mesure est donne par:

|n,p = 1

i |cn,p,i |2 i cn,p,i |an , b p, i . (3.15)La probabilite de trouver an lors de la premiere mesure et b p lors de la deuxieme est:

P (an , b p) = P (an ).P a n (b p) = i |cn,p,i |2 (3.16)

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|n,p donne par (3.15) est un etat propre commun ` a A et B, donc si on mesure anouveau A et B on trouve a coup sur (an , b p).

Si on inverse lordre de mesure (la premiere mesure porte sur B puis la deuxieme surA), alors on aura:

P (b p, an ) = i |cn,p,i |2

| p,n = 1 i |cn,p,i |2 i cn,p,i |an , b p, i .On conclut ainsi que lorsquon mesure deux observables compatibles , les predictionsphysiques sont les memes , quelque soit lordre dans lequel on effectue les mesures:

P (an , b p) =

P (b p, an ) =

i |an , b p, i

|

|2

|n,p = | p,n = 1 i |cn,p,i |2 i cn,p,i |an , b p, iDans le cas ou [A, B ] = 0 A et B sont dits incompatibles. Si on mesure A puis B on

aura:

|1ere mesure donne a 1

|u12eme mesure donne b 2

|v2Si on mesure B dabord puis on effectue une mesure de A on aura:

|

1ere mesure donne b 2

|v2

2eme mesure donne a 2

|u1 .

Letat nal depend de lordre dans lequel on a effectue les deux mesures. Deux observables

incompatibles ne peuvent pas etre mesurees simultanement; la seconde mesure fait perdre

linformation fournie par la premiere.

b- Preparation detat:

Cas non degenere:

Soit A une observable dont le spectre {an} est non degenere et soit letat du systeme| = n cn |un ({|un } est la base des etats propres de A) . Si la mesure de A sur cetetat donne la valeur propre an alors letat du systeme immediatement apres la mesureest cn|cn ||un |un . Letat du systeme apres la mesure est determine sans ambiguite . Cas degenere:Dans ce cas le spectre de A est degenere: A|uin = an |uin , i = 1, . . . , gn , letat du systeme

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se decompose sur la base des etats propres de A comme: | = n,i cin |uin . Si la mesurede A sur cet etat donne la valeur propre an alors letat du systeme immediatement apresla mesure est | = 1 i |ci |2

gn

i=1 cin |uin ; les cin sont xes par la donnee de letat avant la

mesure | . Ainsi letat | apres la mesure depend donc de | .Introduisons une deuxieme observable B tel que [A, B ] = 0:

Si{A, B}forme un E.C.O.C , alors il existe une base des etats propres communs unique: {|an , b p }.Si la mesure de A et B sur letat | = n,p cn,p |an , b p donne (an , b p) alors letat du systemeimmediatement apres la mesure est: |n,p = cn,p|cn,p ||an , b p |an , b pLa donnee du resultat de mesure xe de fa con unique letat nal du systeme;

independemment de letat initial.

Si {A, B} nest pas un E.C.O.C , alors au couple (an , b p) correspond les etats proprescommuns |an , b p, i ,et letat apres la mesure ne sera pas determine de maniere unique.On recommence ainsi le meme raisonnement en introduisant une troisieme observable C

compatible avec A et B :Pour que letat du systeme apres une mesure soit determinee, dans tous les

cas, uniquement par le resultat obtenu, il faut que cette mesure porte sur

un E.C.O.C .Ce qui justie physiquement lintroduction de la notion d E.C.O.C . La mesure dun

E.C.O.C permet de preparer le systeme dans un etat quantique determine.

3.3.4 Levolution dans le temps du systeme physique

Dapres le 6 eme postulat, lequation de Schrodinger (3.8) regit levolution du systeme

physique dans le temps. Etudions les proprietes generales de cette equation:

a- proprietes generales:

Lequation (3.8) est une equation differentielle du premier ordre en t, donc connaissantletat initial |(t0) a t0, on peut determiner letat du systeme |(t) a un instant ulterieurt quelconque:

Aucun indeterminisme napparait dans levolution au cours du temps dun systeme

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b- Evolution de la valeur moyenne dune observable:

Soit le systeme dans letat

|(t) a linstant t, la valeur moyenne dune observable A

dans cet etat est donnee par (3.10). Cette valeur moyenne peut dependre du temps et

on lecrit:

A (t) = (t)|A|(t) .En utilisant lequation de Scrodinger (3.8) on montre que levolution de la moyenne de

A est regit par lequation suivante:

ddt

[ A (t)] = 1ih

[A, H (t)] +At

. (3.19)

Notons que A ne depend que de temps t.Exemple:Considerons une particule plongee dans un potentiel scalaire V (r ), lhamiltonien de cesysteme secrit:

H =P 22m

+ V (R ). (3.20)A partir de (3.19) et en utilisant (2.29) et (3.20), on peut calculer les valeurs moyennes

de R et P , on obtient:ddt R = 1ih [R , H ] + Rt = 1i h [R , P

2

2m ]ddt P = 1ih [P , H ] + P t = 1ih [P , V (R )] .

On voit ici que R et P ne dependent pas de temps contrairement au cas classique(r (t), p (t)). Toute la dependance en t est reportee dans le vecteur detat |(t) .Finalement en utilisant le fait que ([ A, F (B)] = [A, B ]dF (B )dB voir TD), on montre que :

ddt

R = 1m

P , ddt

P = V (R ) . (3.21)

Ce resultat est appele Theoreme dEhrenfest , a comparer avec les equations calssiquede Newton (voir introduction de ce chapitre).

c- Systemes Conservatifs:

Ce sont les systemes dont lhamiltonien ne depend pas explicitement du temps. En

mecanique classique ceci a pour consequence la conservation de lenergie du systeme et

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lenergie totale est dite dans ce cas constante de mouvement . En mecanique quantiqueon a :

Equation aux valeurs propres:lequation aux valeurs propres pour H estH | n, = E n | n, , (3.22)

ou lindice repere les valeurs propres doperateurs formant avec H un E.C.O.C .

Les valeurs et les etats propres de H ne dependent pas du temps t.Ecrivons letat du systeme comme :

|(t) = n, cn, (t)| n, , (3.23)toute la dependance temporelle de |(t) est contenue dans les composantes cn, (t) =

n, |(t) . Donc connaissant letat initial |(t0) = n, cn, (t0)| n, , on aura a partir de(3.8):|(t) = n, cn, (t0)e

iE n (tt 0 )/ h | n, . (3.24)Remarque: Dans le cas du spectre continu de H on a :

|(t) = dEcn, (E, t 0)e

iE (t

t 0 )/ h

| n, .Etat stationnaires:Si |(t0) est lui meme etat propre de H de valeur propre E n :

|(t0) = cn, (t0)| n, ,alors

|(t) = cn, (t0)eiE n (tt 0 )/ h | n, = eiE n (tt 0 )/ h |(t0) |(t0) .

Les proprietes physiques dun systeme qui se trouve dans un etat propre deH ne varient pas au cours du temps. Pour cette raison les etats propres deH sont dits etats stationnaires.

Conservation de lenergie en mecanique quantique:Si a t = t0 le systeme est dans letat |(t0) , alors si la mesure de lenergie donne unevaleur E k , letat apres cette mesure sera donc | k, . Si on repete la mesure une deuxieme

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fois, on aura avec certitude E k et letat du systeme restera toujours | k, . Ainsi quelquesoit le nombre de mesures quon effectuera apres, on trouvera toujours la meme energie

E k et le meme etat | k, .Letat du systeme nevoluera plus apres la premiere mesure. Levolutionphysique dans le temps ne se produit que si lenergie de letat initial nest pasbien denie (non connue avec certitude).

Constantes de mouvement:Ce sont les observables qui ne dependent pas explicitement du temps et qui commutent

avec lhamiltonien H :At

= 0 [A, H ] = 0. (3.25)

Les constantes de mouvement A possedent les proprietes suivantes:

1. La valeur moyenne de A dans letat |(t) nevolue pas au cours du temps:ddt A = 0.

2. Puisque [A, H ] = 0, alors il existe une base {| n,p, } des etats propres communs `aA et H dans E (les indices n et p pour reperer respectivement les valeurs propresde H et A, lindice pour indiquer que {A, H } peut ne pas etre un E.C.O.C ):

H | n,p, = E n | n,p, , A| n,p, = a p| n,p, .Donc si le systeme est dans un etat stationnaire | n,p, , il y resteraindeniment. Les valeurs propres de A sont dits dans ce cas des bonsnombres quantiques.

3. Pour un etat quelconque |(t) , la probabilite de trouver la valeur propre a p nedepend pas du temps:

a t = t0 |(t0) =

n,p,

cn,p, (t0)| n,p, , donc la probabilite de trouver la valeura p est

P (a p, t0) = n, |cn,p, (t0)|2

a t = t1 les composantes de |(t1) seront dapres (3.23, 3.24): cn,p, (t1) =cn,p, (t0)eiE n (t 1 t 0 )/ h , ce qui implique :

P (a p, t1) = n, |cn,p, (t1)|2 =

n, |cn,p, (t0)|2 = P (a p, t 0).

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Remarque: Pour un systeme conservatif, H est une constante de mouvement.

Frequences de Bohr dun systeme. Regles de selection:Soit B une observable quelconque du systeme tel que [ H, B ] = 0. Pour un systemeconservatif on peut calculer B (t) a un instant t quelconque. Dapres (3.24) on obtient:

B (t) = (t)|B |(t)= n,n ,, cn , (t0)cn, (t0) n , |B | n, ei(E n E n )( tt 0 )/ h (3.26)