Embed Size (px)
Citation preview
N° d'ordre : E.C.L.2002 - 30 Année 2002
THESE
Présentée devant
L 'ÉCOLE CENTRALE DE LYON
pour obtenir le grade de
DOCTEUR
(arrêté du 30/03/1992)
Spécialité: génie Électrique
Préparée au sein de
L'ÉCOLE DOCTORALE
ÉLECTRONIQUE, ELECTROTECHNIQUE, AUTOMATIQUE
DE LYON
Par
Mustapha HIMEUR
MODÉLISATION NUMÉRIQUE POUR LA COMPATIBILITÉ ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE CIRCUITS D'ÉLECTRONIQUE DE PUISSANCE
S o u t e n u e le 18 d é c e m b r e 2 0 0 2 devant la commiss ion d 'examen:
Jury : M M .
P h . Auriol Professeur - C E G E L Y - E C L F. C o s t a Maî t re d e C o n f é r e n c e s H D R L E S I R - E N S C a c h a n J . Roudet Professeur d e s universités - L E G L. Nicolas Directeur d e recherches C N R S C E G E L Y E C L J .C Fillion R e s p o n s a b l e d e service - H i s p a n o - S U I Z A C . Vol laire Maî t re d e C o n f é r e n c e s - C E G E L Y - E C L
Président Rapporteur Rapporteur Examinateur Examinateur Examinateur
École Centrale de Lyon B I B L I O T H E Q U E
36, avenue Guy de Collongue F - 6 9 1 3 4 ECULLY C E D E X
!
EÇÇ3LwEE C^ENTR/^LE D E L^f C^N
Liste des personnes habilitées à diriger des recherches
NOM-PRÉNOM FONCTION LABORATOIRE
AIT-EL-HADJ SMAÏL
ARQUES PHILIPPE
AURIOL PHILIPPE
PROFESSEUR
PROFESSEUR
PROFESSEUR
GRESTI ECL
ECL
CEGELY ECL
BAILLY CHRISTOPHE
BATAILLE JEAN
BAYADA GUY
BEN HADID HAMDA
BERGHEAU JEAN-MICHEL
BEROUAL ABDERRAHMANE
BERTOGLIO JEAN-PIERRE
BLAIZE ALAIN
BLANC-BENON PHILIPPE
BLANCHET ROBERT
BRUN MAURICE
BUFFAT MARC
MAÎTRE DE CONFÉRENCE
PROFESSEUR
PROFESSEUR
PROFESSEUR
PROFESSEUR
PROFESSEUR
DIRECTEUR DE RECHERCHE
MAÎTRE DE CONFÉRENCE
DIRECTEUR DE RECHERCHE
PROFESSEUR
PROFESSEUR
PROFESSEUR
LMFA
LMFA
MAPLY
LMFA
LTDS
CEGELY
LMFA
LTDS
LMFA
LEOM
LMFA
LMFA
ECL
UCBL
INSA
UCBL
ENISE
ECL
CNRS
UCBL
CNRS
ECL
ECL
UCBL
CAMBON CLAUDE
CAMBOU BERNARD
CARRIERE PHILIPPE
CHAMBAT MICHÈLE
CHAMPAGNE JEAN-YVES
CHAMPOUSSIN J-CLAUDE
CHAUVET JEAN-PAUL
CHEN LIMING
CLERC GUY
COMTE-BELLOT GENEVIÈVE
COQUILLET BERNARD
CREPEL PIERRE
DIRECTEUR DE RECHERCHE
PROFESSEUR
CHARGÉ DE RECHERCHE
PROFESSEUR
MAÎTRE DE CONFÉRENCE
PROFESSEUR
PROFESSEUR
PROFESSEUR
PROFESSEUR
PROFESSEUR ÉMÉRITE
MAÎTRE DE CONFÉRENCE
CHARGÉ DE RECHERCHE
LMFA
LTDS
LMFA
MAPLY
LMFA
LMFA
IFOS
ICTT
CEGELY
LMFA
IFOS
MAPLY
CNRS
ECL
CNRS
UCBL
INSA
ECL
ECL
ECL
UCBL
ECL
ECL
CNRS
DAVID BERTRAND
DUBUJET PHILIPPE
PROFESSEUR
MAÎTRE DE CONFÉRENCE ICTT
LTDS
ECL
ECL
ESCUDIE DANY CHARGÉ DE RECHERCHE LMFA CNRS
FERRAND PASCAL DIRECTEUR DE RECHERCHE LMFA CNRS
GAFFIOT FRÉDÉRIC
GAGNAIRE ALAIN
GALLAND MARIE-ANNICK
GARRIGUES MICHEL
GAY BERNARD
PROFESSEUR
MAÎTRE DE CONFÉRENCE
MAÎTRE DE CONFÉRENCE
DIRECTEUR DE RECHERCHE
PROFESSEUR
LEOM
LEOM
LMFA
LEOM
LMFA
ECL
ECL
ECL
CNRS
UCBL
T A <5 L-s
E c o l e Cen t ra le d e Lyon
B I B L I O T H E Q U E 36, avenue Guy de Collongue F - 6 9 1 3 4 ECULLY C E D E X
ECOLE CENTRALE DE LYON
Liste des personnes habilitées à diriger des recherches
GENCE Jean-Noël professeur LMFA UCBL GENDRY Michel chargé de recherche LEOM CNRS GEORGES Jean-Marie professeur émérite LTDS ECL GRENET Geneviève directeur de recherche LEOM CNRS GUIRALDENQ Pierre professeur émérite IFOS ECL
HAMADICHE Mahmoud maître de conférence LMFA UCBL HEIBIG Arnaud professeur MAPLY INSA HELLOUIN Yves maître de conférence ECL HENRY Daniel chargé de recherche LMFA CNRS HERRMANN Jean-Marie directeur de recherche IFOS CNRS HOLLINGER Guy directeur de recherche LEOM CNRS
JAFFREZIC-RENAULT Nicole directeur de recherche IFOS CNRS JEANDEL Denis professeur LMFA ECL JEZEQUEL Louis professeur LTDS ECL JOSEPH Jacques professeur LEOM ECL JUVE Daniel professeur LMFA ECL JUVE Denyse ingénieur de recherche IFOS ECL
KAPSA Philippe directeur de recherche LTDS CNRS KRÂHENBÙHL Laurent directeur de recherche CEGELY CNRS KRAWCZYK Stanislas directeur de recherche LEOM CNRS
LACHAL Aimé PRAG MAPLY INSA LANCE Michel professeur LMFA UCBL LANGLADE-BOMBA Cécile maître de conférence IFOS ECL LE HELLEY Michel professeur ECL LEBOEUF Francis professeur LMFA ECL LOUBETJean-Luc directeur de recherche LTDS CNRS LYONNET Patrick professeur LTDS ENISE
MAITRE Jean-François professeur MAPLY ECL MARION Martine professeur MAPLY ECL MARTELET Claude professeur IFOS ECL MARTIN Jean-Michel professeur LTDS ECL MARTIN Jean-René professeur IFOS ECL MATHIA Thomas directeur de recherche LTDS CNRS MATHIEU Jean professeur émérite LMFA ECL MAZUYER Denis professeur LTDS ECL MIDOL Alain maître de conférence LTDS UCBL MOREL Robert professeur LMFA INSA MOUSSAOUI Mohand professeur MAPLY ECL MUSY François maître de conférence MAPLY ECL
ECOLE CENTRALE DE LYON
NICOLAS Alain NICOLAS Laurent
professeur directeur de recherche
CEGELY ECL CEGELY CNRS
PERKINS Richard PERRET-LIAUDET Joël PERRIN Jacques PICHAT Pierre POUSIN Jérôme PONSONNET Laurence PREVOT Patrick
professeur maître de conférence professeur directeur de recherche professeur maître de conférence professeur
LMFA ECL LTDS ECL
INSA IFOS CNRS
MAPLY INSA IFOS ECL ICTT INSA
REBOUX Jean-Luc ROBACH Yves ROGER Michel ROJAT Gérard ROUSSEAU Jacques ROUY Elisabeth
professeur professeur professeur professeur professeur émérite professeur
LTDS ENISE LEOM ECL LMFA ECL
CEGELY UCBL LTDS ENISE
MAPLY ECL
SALVIA Michelle SANDRI Dominique SCHATZMAN Michelle SCOTT Julian SIDOROFF François SIMOENS Serge SOUTEYRAND Eliane STREMSDOERFER Guy SUNYACH Michel
maître de conférence maître de conférence directeur de recherche professeur professeur chargé de recherche directeur de recherche professeur professeur
IFOS MAPLY MAPLY
LMFA LTDS LMFA IFOS IFOS
LMFA
ECL UCBL CNRS ECL ECL CNRS CNRS ECL UCBL
TARDY Jacques THOMAS Gérard TROUVEREZ Fabrice TREHEUX Daniel
directeur de recherche professeur maître de conférences professeur
LEOM CNRS CEGELY ECL
LTDS ECL IFOS ECL
VANNES André-Bernard VIKTOROVITCH Pierre VINCENT Léo VOLPERT Vitaly
professeur directeur de recherche professeur directeur de recherche
IFOS LEOM IFOS
MAPLY
ECL CNRS ECL CNRS
ZAHOUANI Hassan professeur LTDS ENISE
Liste des personnes habilitées à diriger des recherches
R E M E R C I E M E N T S
J e remerc ie tout part icul ièrement Monsieur Laurent Nicolas Directeur d e
recherche C N R S a u sein du Cent re d e G é n i e Électr ique d e Lyon ( C E G E L Y ) , pour
avoir accepter d 'encadrer c e travail, pour ses conseils av isés et toujours pert inents,
s a rigueur scientifique et ses grandes quali tés humaines . Qu'i l t rouve à travers c e
m é m o i r e l 'expression d e m a gratitude et d e m o n amit ié qui j ' espère s e poursuivra a u
de là d e c e s a n n é e s p a s s é e s au laboratoire.
J e remerc ie le directeur du C E G E L Y , le professeur Alain Nicolas pour m'avoir
accueill i d a n s son laboratoire et pour avoir mis à m a disposition des moyens
informatiques considérables.
Q u e Monsieur Phil ippe Auriol, professeur à l'école centra le d e Lyon et
directeur du dépar tement E E A , trouve ici l 'expression d e notre grat i tude pour le
grand honneur qu'il nous a fait e n acceptant d e présider c e jury d e thèse .
J ' adresse m e s remerc iements à Monsieur Olivier F a b r e g u e ingénieur d e
recherche C N R S pour son soutien inconditionnel depuis le début d e m a thèse et les
é c h a n g e s scientif iques.
J e ne saurais oublier l 'ensemble du personnel du C E G E L Y , enseignants -
chercheurs , doctorants, personnels administratifs et techniques pour la cha leureuse
a m b i a n c e qu'ils ont su créer.
R É S U M É
L'étude de la compatibilité électromagnétique de systèmes électriques est devenue cruciale
dès leur phase de conception, en vue de diminuer les coûts et les temps d'élaboration de
prototypes.
Pour ce faire, un modèle basé sur la théorie des antennes est développé temporel. Il permet de
simuler à la fois les phénomènes électromagnétiques conduits et rayonnes. Sa mise en œuvre
nécessite l'écriture de l'équation intégrale du champ électrique (EFIE). Pour simplifier celle-
ci, l'approximation « fils fins » est utilisée. La formulation simplifiée est résolue par la
méthode des moments, associée à l'utilisation de polynômes d'interpolation de Lagrange au
second ordre pour le courant, en espace et en temps. Concernant les fonctions tests, on utilise
des distributions de Dirac, méthode connue sous le nom la méthode de collocation. La
formulation numérique est finalement implémentée en langage orienté objet JAVA™ pour sa
portabilité, sa fiabilité et sa robustesse.
Le modèle développé permet le calcul des courants dans une structure filaire, et l'obtention
des champs proches et lointains rayonnes. Des composants électroniques ou électriques,
peuvent être insérés dans le modèle, de même que des sources de tension. L'insertion de
composants non-linéaires tels que la diode a également été réalisée. Ils sont représentés par
leur comportement haute fréquence en régime transitoire.
L'étude de structures simples a permis de valider l'approche développée.
A B S T R A C T
T h e study of E M C is a crucial point in the deve lopment of electrical devices, and
particularly in the c a s e of microscopic devices. Numer ica l model ing tools c a n lower
the deve lopment cost.
T o this a i m , a mode l based o n the antenna's theory is d e v e l o p e d in the temporal
d o m a i n . This mode l m a k e s possible the simulation of both conducted a n d radiated
e lect romagnet ic p h e n o m e n a . T h e formulation is based on the electric field intégral
équat ions ( E F I E ) , simplified using the "thin wires" approximat ion. T h e problem is
solved by the method of moments . Lagrange's po lynômes of the second order are
used to represent the currents within the space and t ime d o m a i n . Dirac's distribution
is used as test function (matching-points method) . Finally, the numerical formulation
is imp lemented in the object-oriented J A V A ™ language , for its portability and
reliability a n d robustness.
T h e mode l al lows to c o m p u t e currents in a wire structure, a n d the near and far
radiated e lectromagnet ic field. Vol tage sources and electronic dev ices a re taken in
account , as well a s non-l inear devices such as diodes. T h e y a re represented by a
high f requency circuit mode l , in transient and steady state rég ime. T h e model has
b e e n val idated using simple structures.
À ma mère
À mon père
SOMMAIRE
INTRODUCTION 2
1 CHAPITRE 1 6
2 FORMULATION DU PROBLEME DE DIFFRACTION 26
3 RESOLUTION NUMERIQUE DE L 'EQUATION INTEGRALE 44
4 MISE EN ŒUVRE INFORMATIQUE 63
5 VALIDATION DU MODELE EN DIFFRACTION 75
6 MODELISATION DES PHENOMENES CONDUITS ET RAYONNES 90
7 CONCLUSION GENERALE ET PERSPECTIVES 119
8 ANNEXES 122
9 REFERENCES BIBLIOGRAPHIES 144
10 TABLE DES MATIERES 156
Introduction
Les avancées dans le domaine de l'électronique s'orientent suivant deux directions. D'une
part, afin d'obtenir des dispositifs électroniques de plus en plus rapides, les constructeurs font
appel à des technologies mettant enjeu des vitesses de commutation de plus en plus élevées,
de l'ordre de quelques Gigahertz. Parallèlement, la miniaturisation des circuits électroniques
permet de réduire les tensions et les courants de fonctionnement.
Néanmoins, les perturbations électriques créées par la proximité d'équipements électriques de
puissance sur les transmissions de données de niveaux faibles (dues à la miniaturisation) sont
de plus en plus fréquentes. Par ailleurs, la génération des perturbations électromagnétiques
provient en général de l'établissement et de la coupure d'un circuit électrique se traduisant par
de brutales variations de tension (dv/dt) ou de courant (di/dt) qui est un inconvénient des
temps de commutation rapides. Ces perturbations, engendrées par un rayonnement en champ
magnétique et électrique sur son environnement proche, ont induit l'étude de la compatibilité
électromagnétique (CEM). La CEM est l'art de faire coexister des systèmes électriques, sans
créer de dysfonctionnement.
Pour réguler l'étude de ces phénomènes, des normes internationales régissant le
comportement des systèmes électriques et électroniques en terme de compatibilité
électromagnétique sont apparues. Elles définissent les seuils de tolérance des dispositifs en
terme de perturbations et en terme d'immunité. Dans ce domaine, chaque pays possédait ses
propres normes mais depuis le 1 e r janvier 1996 une uniformisation a été proposée au niveau
européen. La norme « CE » (Certified Europ) est alors apparue. Pour obtenir le marquage
« CE », les industriels effectuent des essais sur les différents appareils électriques dans une
cage de Faraday anéchoïque ou en espace libre. De ce fait, ils sont autorisés à vendre ces
équipements sur tout le marché européen. Afin de réduire le nombre de tests, longs et coûteux
en chambre anéchoïque, de nouveaux outils de conception ont fait leur apparition. Ces outils
sont des logiciels de simulation numérique grâce auxquels il est possible de développer de
nouveaux produits aux normes, de prédire le comportement dans une situation donnée et ainsi
de les optimiser. L'objectif est de détecter au plus tôt les non conformités, de préférence avant
la construction de prototypes d'essais. Les simulations peuvent aussi donner des
renseignements sur des grandeurs difficilement quantifiables : on peut ainsi évaluer le niveau
de nuisances créées par un téléphone portable au niveau des cellules neuronales situées près
- 2 -
de l'antenne au moment de la communication. Ces outils d'aide à la conception représentent
un gain de temps et d'argent. Néanmoins, la modélisation numérique ne permet pas encore de
résoudre tous les problèmes et les essais expérimentaux, utilisés de façon complémentaire,
sont indispensables pour valider le système avant la mise en production. Des travaux sont
actuellement menés dans le but d'améliorer les méthodes prenant en compte les phénomènes
intéressants, à savoir le rayonnement électromagnétique, et ceci dans le cadre de la
compatibilité électromagnétique.
L'objectif de cette thèse est l'élaboration d'un code numérique pour le rayonnement et la
susceptibilité des circuits d'électronique de puissance. Il est basé sur la résolution de
l'équation intégrale du champ électrique (EFIE), qui est une méthode efficace pour la
modélisation et la simulation des phénomènes électromagnétiques en régime temporel et en
espace libre.
Ce travail de recherche s'inscrit donc dans ce contexte de modélisation, et de simulation
numérique pour la compatibilité électromagnétique. L'exposé est organisé comme suit.
Le chapitre 1, bibliographique, est consacré à une présentation des méthodes numériques pour
l'électromagnétisme, et à un état de l'art des recherches en compatibilité électromagnétique
pour l'électronique de puissance.
Le chapitre 2 concerne la formulation du problème de diffraction. On rappelle la solution des
potentiels retardés ainsi que les différentes familles d'équations intégrales pour structures
filaires, et le calcul du champ diffracté.
Le chapitre 3 traite de la résolution numérique de l'équation intégrale pour structures filaires
quelconques. On applique la méthode des moments qui conduit à une discrétisation dans le
domaine espace - temps. On construit enfin un système matriciel complété par la
connaissance des conditions aux limites.
Le chapitre 4 propose une discussion sur l'implémentation du logiciel. On explique la notion
de programmation orientée objet avant de présenter le langage JAVA™. On replace ensuite
dans ce cadre de programmation le logiciel. Finalement, on insiste sur l'importance du post-
processing dans les problèmes d'électromagnétisme.
Le chapitre 5 est réservé à la validation du problème en diffraction, et à la comparaison de nos
résultats avec ceux issus d'autres formulations. Les influences de divers paramètres sont
analysées, notamment l'influence du pas de discrétisation en temps et en espace sur la
précision et la stabilité des résultats. Le champ diffracté d'une antenne rectiligne ainsi que
l'illumination par une onde plane d'une structure rectiligne sont visualisés à l'aide des outils
de post processing.
- 3 -
Le chapitre 6 détaille la modélisation des phénomènes conduits et rayonnes. Pour bien
comprendre les phénomènes conduits, on reprend certaines notions, notamment la conduction
et le transport d'énergie. On cherche ensuite à insérer les composants électroniques linéaires
ou non. Dans le même temps, on propose une série d'exemples pour valider le code
développé.
- 4 -
Chapitre 1
- 5 -
1 CHAPITRE 1
1.1 PRÉSENTATION
La prise en compte de problèmes de CEM est devenue incontournable en raison de la
miniaturisation croissante des circuits, de l'augmentation de leur fréquence et de la
concentration de dispositifs hétérogènes en termes de puissance et de sensibilité.
La compatibilité électromagnétique est définie comme étant l'aptitude d'un dispositif, d'un
appareil ou d'un système à fonctionner dans son environnement électromagnétique de façon
satisfaisante et sans produire lui-même des perturbations électromagnétiques intolérables pour
tout ce qui se trouve dans cet environnement.
Les sources de perturbation des composants électroniques peuvent être d'origine naturelle
(foudre, décharges électrostatiques, rayonnements cosmiques) ou artificielle. Les sources
artificielles peuvent être intentionnelles (émetteurs radio, TV, radars, téléphones portables) ou
intrinsèques à un procédé (rayonnement HF des dispositifs)
La CEM met enjeu un système « Source de perturbation » et un (ou des) système(s) victimes
comme l'illustre la figure 1.1.
|SOURC^D^ERTUR^ATIOTJ—•|COUPLAGË|—•^ÉC^PT^^^^TIRR^J
Foudre; Par conduction Récepteur radio TV; décharges électrostatiques; Par rayonnement: Ordinateurs; émetteurs hertziens; inductif Capteurs analogiques allumages des véhicules; Capacitif Amplificateurs
électromagnétique
Figure 1.1: Décomposition d'un problème de CEM
Afin de limiter ces phénomènes, des normes ont été mises en place [DIR 89]. La directive
CEM porte la référence 89/336/CEE, elle a été transposée en droit français par le décret
92/587 du 26/06/92. Il y a donc bien longtemps que l'on doit prendre en compte son
application. La directive CEM s'applique à tous les appareils électroniques et électriques et
aux installations qui incluent des composants de cette nature.
La directive prévoit un certain nombre d'exigences essentielles qu'un produit marqué CE se
doit de satisfaire. Ce marquage unitaire correspond à une déclaration de conformité de la part
- 6 -
d'un fabricant d'un état membre de la communauté européenne lorsqu'il met le produit
concerné sur la marché ou lorsqu'il le met en service.
Le principe même de la directive, qui vise à éviter tout problème, implique évidemment que
tous les produits soient concernés, même s'ils sont fabriqués à l'unité ou d'occasion en
provenance de pays hors union européenne dès lors qu'ils rentrent dans celle-ci.
Les exigences essentielles concernent l'émission de perturbations et l'immunité des systèmes.
En effet :
« les appareils visés par la directive doivent être construits de telle sorte que les
perturbations électromagnétiques générées soient limitées à un niveau permettant aux
appareils radio et de communication et aux autres appareils électriques et
électroniques de fonctionner conformément à leur destination ».
- « les appareils visés par la directive doivent être construits de telle sorte qu'ils
possèdent un niveau adéquat d'immunité intrinsèque contre les perturbations
électromagnétiques, leur permettant de fonctionner conformément à leur destination ».
Chaque produit fabriqué doit être accompagné d'un dossier technique avec déclaration de
conformité.
Hormis les dessins de conception et fabrication et autres éléments techniques permettant de
bien situer le produit, il est surtout indispensable de préciser quelles normes évoquées dans la
directive ont été appliquées et quels résultats ont été obtenus. Il va de soi qu'un dispositif de
contrôle et de répression des fraudes est mis en place.
A cet égard notons que :
- le dossier technique de construction et la déclaration de conformité d'un appareil
donné doivent être tenus à la disposition d'une autorité compétente, à savoir pour la
France la SQUALPI à Paris ;
la recherche des infractions incombe à la direction générale de la Concurrence de la
Consommation et des Fraudes du ministère de l'Économie et des Finances ou encore à
la direction générale des Douanes ;
- la démarche de contrôle débute par la recherche du marquage unitaire, puis l'examen
du dossier de construction et de la déclaration de conformité, et se poursuit
éventuellement par des tests en site agréé ;
- les sanctions vont de la contravention (5 e classe) à un emprisonnement et une forte
amende (tribunaux d'instance).
A ce stade de la description sommaire de la directive CEM, le lecteur aura compris que
l'essentiel maintenant est de se préoccuper des normes.
- 7 -
La certification des appareils électriques est réalisée en chambre anéchoïque, cage de Faraday
métallique dont les parois sont recouvertes de mousses absorbant les rayonnements, afin de
modéliser un environnement libre non borné (Figure 1.2).
Les chambres semi-anéchoïques sont utilisées pour mesurer les interférences
électromagnétiques (EMI) ainsi que les mesures en compatibilité électromagnétique. Pour de
tels tests, les parois conductrices de la chambre se comportent comme des réflecteurs presque
parfaits et sont à l'origine de réflexions multiples et de phénomènes de résonance qui peuvent
entraîner d'importantes erreurs de mesure. L'atténuation des réflexions internes se fait à l'aide
des matériaux absorbants disposés sur les parois. Ces matériaux qui absorbent les
rayonnements électromagnétiques sont soit des mousses chargées aux carbones ou des tuiles
de ferrites. Les mousses sont efficaces pour les mesures de rayonnement hautes fréquence
(200 MHz - 1 GHz), alors que les tuiles de ferrites sont pour les basses fréquences
(30 MHz - 200 MHz).
Figure 1.2 : Coupe horizontale d'une chambre anéchoïque
Afin de limiter les essais en chambre anéchoïque, pour des raisons de coût et de détermination
anticipées, des outils de modélisation et de simulation numérique sont réalisés afin d'évaluer
leur susceptibilité et leur rayonnement électromagnétique. Ces logiciels viennent en
complément des essais en chambre anéchoïque et permettent d'obtenir des informations
essentiels. Des travaux sont menés au CEGELY dans l'optique d'optimisation des moyens de
- 8 -
mesure [HIM 02a][HIM 02b]. Pour qu'une cage anéchoïque passe la norme , il faut qu'elle
passe le critère normatif qui est défini comme l'atténuation normalisé de l'emplacement
(ANE).
1.2 MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR L'ÉLECTROMAGNÉTISME
1.2.1 G a m m e d e s f réquences e n C E M
f en HZ
• 10 GHz
10 GHz
GHz — — 106 GHz Ultraviolet
GHz —
—• 1000 GHz
Spectre de la lumière visiNe
300 GHz
1 GHz
1 MHz
1 KHz
— 1 Hz
0,1 Hz —
Rayons cosmiques
Rayon Gamma
Rayon X
Infrarouge
Ondes Hertziennes
Figure 1.3 : Spectre de fréquence
Dans toute la large gamme de fréquence, seules les fréquences hertziennes font l'objet de
cette étude. En général, les fréquences en électrotechnique ou en électronique de puissance ne
dépassent pas 300 MHz.
- 9 -
C'est dans la gamme des micro-ondes que les rayonnements sont les plus nocifs pour les
circuits susceptibles. Compte tenu de leur longueur d'onde, elle permet aux radiations de
pénétrer dans les boîtiers de protection par des ouvertures très fines, pour se propager vers les
victimes.
La complexité des systèmes d'équations integro-différentielles ne permet pas de trouver
aisément une solution approchée. La résolution nécessite l'utilisation de méthodes
numériques telles que :
B La méthode des éléments finis (Finite Elément Method),
• La méthode des volumes finis (Finite Volume Method), B La méthode des différences finis (Finite Différence Method),
• La méthode des moments (Moments Method),
• La méthode des équations intégrales de frontières (Boundary Intégral Equation Method), 8 La méthode des lignes de transmission (Transmission Line Method).
1.2.2 M é t h o d e des é léments finis
La méthode des éléments finis (Finite Elément Method = FEM) fut développée et appliquée
en premier lieu en génie civil et en mécanique, et n'a trouvé sa place que peu à peu en
électricité, vers la fin des années 1960. Cette méthode est fondée sur une formulation
intégrale. Le principe de la méthode des éléments finis est de découper le domaine
d'intégration à deux ou trois dimensions en données élémentaires de taille finie [ZIE 91]. Sur
chacun de ces sous-domaines, appelés éléments finis, la fonction inconnue est approchée par
une combinaison linéaire de polynômes à une ou plusieurs variables de faible degré. Les
coefficients de chaque polynôme sont déterminés par la valeur de la fonction en des points
particuliers que l'on appelle les nœuds de l'élément. Par exemple, en deux dimensions, on
pourra choisir des triangles comme éléments finis, leurs sommets pour nœuds et les
polynômes de degré inférieur ou égal à 1 comme base. Une fois effectué le découpage en
éléments finis, les valeurs de la fonction en chaque nœud deviennent les inconnues à
déterminer.
En électromagnétisme, la méthode des éléments finis a été utilisée en premier lieu pour
étudier des guides d'ondes de section arbitraire, des guides partiellement remplis de
diélectrique et de lignes imprimées blindées - structures où l'on détermine les champs sur la
section droite (problèmes à deux dimensions). Plusieurs développements algébriques ont été
considérés pour représenter les champs. Par la suite, des problèmes tridimensionnels ont aussi
- 1 0 -
été abordés, notamment l'étude de cavités partiellement chargées de diélectrique, et les
réflexions produites par des objets disposés dans des guides d'ondes. La méthode a été
adaptée à l'étude de cavités cylindriques circulaires destinées à des accélérateurs de particules.
Le découpage en triangles ou en tétraèdres implique une grille finie et donc une structure
bornée. La méthode a été adaptée au traitement de problèmes ouverts en plaçant des frontières
absorbantes. On peut l'utiliser pour des antennes de dimensions finies, et disposées sur des
surfaces courbées [JIN 93].
1.2.3 M é t h o d e des vo lumes finis
Cette méthode est basée sur des techniques développées et validées en dynamique des fluides
numérique. Elle permet d'étudier des problèmes de diffraction, de rayonnement, de
compatibilité électromagnétique, ou d'interférence et de blindage. La méthode des volumes
finis en régime temporel (Finite Volume Time Domain, FVTD) met en œuvre les équations
de Maxwell dans leur forme conservative [CAN 91].
Compte tenu de l'importance des structures fïlaires dans les problèmes de C.E.M., un schéma
de fil mince a été introduit dans un logiciel [BON 00]. Une insertion dans un schéma
numérique des volumes finis présente l'avantage de pouvoir modéliser de façon conforme des
fils obliques. On évite ainsi l'inconvénient des « marches d'escalier » des différences finies,
ce qui permet d'obtenir les fréquences de résonance exactes.
Figure 1.4 : Différents types de matériaux et structures fïlaires sur un B737
De plus, un schéma volumes finis peut être appliqué aussi bien au domaine temporel qu'au
domaine fréquentiel. Cette caractéristique est importante car elle permet d'utiliser dans les
deux cas la même structure de données, le même maillage, le même post-traitement et les
inconnues sont calculées aux mêmes endroits. Ainsi, dans l'optique de travailler à des
- i l -
fréquences plus élevées en utilisant des techniques multi-domaine/multi-méthode, le schéma
volumes finis semble bien adapté pour un couplage temporel/fréquentiel.
La technique de volumes finis semble s'adapter parfaitement à des problèmes de C.E.M. mais
aussi au calcul de section efficace radar, de guide d'onde, de cavité résonante ou encore de
rayonnement d'antenne.
1.2.4 M é t h o d e des dif férences finies
La méthode des différences finies permet aussi d'étudier des champs qui varient dans le
temps, en résolvant de manière approchée les équations de Maxwell. Leur traitement dans le
domaine temporel permet notamment d'étudier des régimes transitoires, des systèmes non
linéaires, voire des structures qui varient dans le temps et l'espace.
La méthode FDTD (Finite Différences in Time Domain) introduit par Yee [Yee 66] s'appuie
sur une discrétisation en carrés ou en cubes de l'espace avec des pas de discrétisation Ax, Ay
et Az. Toutes les dérivées spatiales sont remplacées pas des opérateurs discrétisés ce qui
donne le nom de différences finies. La dérivation par rapport au temps est également
discrétisée, avec un pas temporel At.
On choisit généralement Ax = Ay = Az, ce qui donne une grille FDTD cubique. Pour assurer
la stabilité des résultats, il faut que les distances entre nœuds et les périodes satisfassent la
relation :
où v m a x est la vitesse de phase maximale.
La méthode FDTD calcule les six composantes des champs à chaque période, en fonction de
celles de la période précédente, pour chaque cellule - et en présence de pertes, il faut aussi
tenir compte des périodes antérieures. Une étude détaillée requiert un grand nombre de points
de discrétisation, ce qui implique un nombre important de places en mémoire et un temps de
calcul considérable. Ces besoins informatiques importants ont, par le passé, considérablement
freiné l'implémentation de la méthode. Par conséquent, on a dû consacrer beaucoup de temps
et de moyens pour améliorer la modélisation des structures, en vue de faire un usage optimal
de l'espace en mémoire et pour accélérer les calculs [MIL 94] .
Toutefois, les moyens informatiques augmentent rapidement, avec la disponibilité croissante
de processeurs massivement parallèles, tandis que des logiciels performants sont maintenant
disponibles. De nombreux utilisateurs ont acquis une solide expérience dans l'utilisation de la
(1.1)
- 1 2 -
méthode FDTD pour résoudre les problèmes les plus divers. Il s'agit donc d'une méthode qui
présente de grandes potentialités pour analyser les champs dans de nombreuses structures
utilisées en électromagnétisme - pour autant que l'on dispose de moyens informatiques
adéquats.
1 .2.5 M é t h o d e des m o m e n t s
La méthode des Moments a été développée par Harrington en régime harmonique pour
l'étude des antennes [HAR 82]. Elle est basée sur la résolution de l'équation de continuité de
champ électrique ou magnétique total à la surface des objets diffractants. Les équations
intégrales du courant sur le contour des objets permettent de déterminer directement la
répartition des courants induits à partir du champ électrique incident. Elle réalise pour cela le
produit d'une fonction test et d'une fonction de base représentant le courant inconnu. Il est
également possible de résoudre les problèmes de couplage en régime transitoire.
Cette méthode permet de traiter les systèmes ouverts, comme par exemple la diffraction d'une
onde [BAN 96]. Elle nécessite de mailler exclusivement la surface de objets, ce qui limite les
temps de calcul et l'espace mémoire. Elle est, de ce fait, bien adaptée aux problèmes
hyperfréquences, où l'épaisseur de peau est négligeable. Par contre, elle ne peut pas d'écrire
les phénomènes à l'intérieur des objets, et ne tient pas compte de l'anisotropie des milieux.
1 .2.6 M é t h o d e s des équat ions intégrales de frontière
La méthode des équations intégrales de frontières consiste à mettre les équations de Maxwell
sous la forme d'une équation intégrale à la surface d'un domaine £2, en fonction de la valeur
de l'inconnue et de ses dérivées normale à la frontière T [BRE 80]. Elle utilise pour ce faire la
seconde identité de Green. La résolution du problème se fait en discrétisant numériquement la
frontière afin de transformer l'ensemble des équations à résoudre en un système linéaire.
Cette méthode a l'avantage de réduire la dimension du problème qui permet de diminuer le
nombre d'inconnues. Néanmoins, elle présente de fortes singularités qui sont doubles :
• Les singularités géométriques au niveau des points anguleux où la dérivé normale est
non définie [DAU 90] [GRI92].
• Les singularités au niveau de la fonction de Green [ALI 93].
- 1 3 -
Pour remédier à ce problème, il faut augmenter le nombre de points d'intégration ce qui
entraîne un coût supplémentaire en temps de calcul, ou des méthodes de régularisation
[BRE 80].
1.2.7 Méthodes des lignes de transmission
La méthode des lignes de transmission est basée sur une analogie entre l'état électrique d'un
réseau de lignes de transmission et les équations de Maxwell [KIN 55] [CHR 93]. Elle
nécessite un maillage de toute la région étudiée. Les nœuds du maillage sont connectés entre
eux via des lignes de transmission, qui possèdent les caractéristiques du milieu de propagation
réel.
L'intérêt de cette méthode réside dans sa capacité à traiter les phénomènes de conduction en
tenant compte des phénomènes de propagation des ondes, et cela en régime transitoire
[JOH 88], Les non linéarité ou autres inhomogénéités des matériaux sont acceptées, ce qui
permet d'introduire des composants électriques non linéaires. Cette capacité à traiter des
problèmes complexes trouve ses limites dans des temps de calculs longs et un espace
mémoire important. D'autre part, cette méthode nécessite de convertir les champs
électromagnétiques existant dans une zone d'espace en tensions et courants équivalents dans
un tronçon d'une ligne.
1.2.8 Conclusions sur les méthodes numériques
Beaucoup de méthodes ont été développées pour résoudre des problèmes, en électrostatique,
en magnétostatique et en électromagnétisme. Beaucoup de logiciels ont été mis au point et
sont maintenant disponibles, présentant une large gamme de performances et des
caractéristiques variées. Il est souvent possible de trouver une méthode qui soit bien adaptée à
un type de problèmes avec des contraintes données (temps de résolution, précision...) mais il
est impossible de trouver une méthode globale capable de résoudre tous ces problèmes avec
des performances optimales. Nous proposons néanmoins un organigramme de classification
des méthodes numériques détaillées précédemment (figure 1.5) [VIL 00], Les équations de
Maxwell peuvent être abordées selon deux aspects : temporel et harmonique. La plupart des
méthodes décrites précédemment sont utilisées pour les deux aspects. On peut grossièrement
les séparer en deux grands ensembles : les méthodes locales et les méthodes avec équations
intégrales. Elles aboutissent toutes à la résolution de systèmes linéaires.
- 1 4 -
Temporel T.F.
sur le temps
Harmonique
Application au volume d'étude METHODES LOCALES
1 1 1 Forme Forme Forme
Différentielle Variationnelle Conservative
i * 1 FDTD TLM Eléments
Volumes Finis Finis de
Volume
Volumes Finis
V
Application au volume d'étude METHODES LOCALES
T T Forme
Différentielle
I FDFD
Forme Variationnelle
Eléments Finis de Volume
Equations de PROPAGATION
T Projection sur Surfaces
ou Fils METHODES DE FRONTIERES
Equations de PROPAGATION
J Projection sur Surfaces
ou Fils METHODES DE FRONTIERES
t Fonctions
de GREEN
T.F. Spatiale Fonctions
de GREEN
TF. Spatiale
Formes Intégrales ou Variationnelles
Equations INTEGRALES
Formes Intégrales ou Variationnelles
Equations INTEGRALES
f Méthodes
des Moments
Eléments Finis de Surface f
Méthodes des Moments
Eléments Finis de Surface
Figure 1.5 : Organigramme des méthodes
Dans le souci de modéliser au mieux le problème de CEM qui nous incombe, deux critères
pouvant garantir sa réussite sont retenus : l'approche temporelle et l'aspect ouvert du
problème. Notre choix se porte sur la méthode des moments pour deux raisons majeures :
d'une part, elle s'affranchit d'un maillage entier du domaine, et d'autre part, elle peut être
assez facilement transposée dans le domaine temporel.
- 1 5 -
De plus, les travaux de recherche menés au CEGELY sur l'évaluation du rayonnement
électromagnétique des cellules de commutation des convertisseurs statiques ont conduit à des
résultats prometteurs, avec notamment l'utilisation de la méthode des moments fréquentielle
pour le volet modélisation [BEN 97] et l'insertion de composants non linéaire dans une
formulation au premier ordre de la méthode des moments [BOS 99]. Ce travail s'insère donc
dans une logique du laboratoire.
1.2.9 C o m p l é m e n t s aux méthodes numér iques
Ajouté aux méthodes de résolution pure, l'électromagnétisme utilise de plus en plus des outils
d'analyse numériques modernes permettant :
• L'optimisation des paramètres d'un problème grâce aux méthodes d'optimisation
stochastiques : l'algorithmes génétiques, le recuit simulé, méthode de Monte Carlo...
• La reconnaissance de formes dans un signal par l'utilisation des ondelettes.
1.2.9.1 U n e m é t h o d e s t o c h a s t i q u e : L e s a l g o r i t h m e s g é n é t i q u e s
Nous présentons ici un des exemples de méthodes d'optimisation stochastiques : les
Algorithmes Génétiques.
Les Algorithmes Génétiques (AG), introduit par Holland [HOL 75] [GOL 89], reposent sur
une analogie avec la théorie de l'évolution naturelle des espèces de Darwin (1809-1882) selon
laquelle les individus les mieux adaptés à leur environnement survivent et peuvent donner des
enfants encore mieux adaptés de génération en génération. Plus précisément, un algorithme
génétique est un algorithme qui fait évoluer une population de solutions, sous l'action de
règles précises : sélection élitiste et opérateurs génétiques (croisement,
mutation,...), de façon à optimiser un comportement donné. Ces algorithmes sont tout d'abord
des outils d'optimisation robustes, très efficaces quand les fonctions à optimiser sont
irrégulières et mal conditionnées (ce qui est souvent le cas lorsque l'on étudie des phénomènes
discrets et non linéaires). Le champ d'application des Algorithmes Génétiques est très large :
il va des applications réelles complexes comme le contrôle du flux de pipelines de gaz, le
design de profils d'ailes, l'électromagnétisme, ou la planification de trajectoires de robots,
vers des problèmes plus théoriques comme l'analyse combinatoire, la théorie des jeux,
l'économie et l'apprentissage. Dans le domaine du génie électrique, on trouve l'optimisation
- 1 6 -
de capteurs ou l'optimisation de conception de formes d'électrodes pour les systèmes 2D-plan
ou axisymétriques [SAR 99].
1.2.9.2 Ondelettes
L'analyse par ondelettes a été introduite au début des années 1980, dans un contexte d'analyse
du signal et d'exploration pétrolière. Il s'agissait à l'époque de donner une représentation des
signaux permettant de faire apparaître simultanément des informations temporelles
(localisation dans le temps, durée) et fréquentielles, facilitant par là l'identification des
caractéristiques physiques de la source du signal. Les ondelettes n'ont depuis lors cessé de se
développer et de trouver de nouveaux champs d'application. C'est ainsi qu'est apparu un
parallèle étonnant entre ces méthodes et des techniques développées à des fins totalement
différentes en traitement d'images, mais aussi d'autres théories mathématiques poursuivant des
objectifs sans aucun lien apparent (comme par exemple des problèmes d'analyse
mathématique pure, ou d'autres liés au problème de la quantification de certains systèmes
classiques, ou plus récemment des problèmes de statistiques). De plus, elle trouve son
application dans le domaine du rayonnement électromagnétique lors de l'évaluation des
interférences entre antennes, afin de trouver les meilleurs emplacements [STE 93] [TAM 02].
1.3 ÉTAT DES RECHERCHES EN CEM POUR L'ÉLECTRONIQUE DE PUISSANCE
1.3.1 Générations des perturbations
La compatibilité électromagnétique des circuits étudie les couplages pouvant véhiculer les
perturbations. Plusieurs types de couplages possibles en CEM existent dans un circuit de
convertisseur statique. Ces couplages peuvent être entre éléments du circuit ou entre le circuit
et son environnement [CHA 92] [GOE 92].
Les couplages entre les éléments du circuit sont les suivants :
• Couplage par impédance commune (figure 1.6.a) :
Ce couplage est réalisé par une impédance commune Z non nulle au circuit coupable et au
circuit victime. Ainsi, tout courant circulant dans le conducteur génère une différence de
potentiel (ddp) à ses bornes. Cette ddp est d'autant plus élevée que les fronts de courant et les
inductances parasites sont importantes.
• Couplage capacitif carte à châssis (figure 1.6.b) :
- 1 7 -
La différence de potentiel parasite U p existant entre une carte électronique et la masse
(châssis) génère un courant entre eux par l'intermédiaire de la capacité parasite inévitable
entre ces 2 éléments proches. Ce couplage est aussi appelé « par effet de main ».
Pour réduire cette action, on peut soit diminuer la capacité parasite entre la carte et le châssis
(difficile), soit diminuer la tension parasite en raccordant le circuit principal de la carte au
châssis.
Figure 1.6 : Principe de couplage par impédance commune (a) et « carte à châssis » (b)
• Couplage par diaphonie inductive (figure 1.7.a) :
Ce couplage est créé par l'existence d'une inductance mutuelle M entre le circuit coupable et
le circuit victime qui est proche. Les variations de courant du circuit parasite seront ainsi
transmises au circuit victime. Pour réduire cette action, il faut réduire l'inductance mutuelle
entre les 2 circuits en les éloignant ou réduire les variations de courant rapides du circuit
coupable.
® Couplage par diaphonie capacitive (figure 1,7.b) :
Ce couplage est généré par la capacité existant entre conducteurs proches. Toute variation de
tension entre le conducteur source et la masse se traduira par le passage d'un courant parasite
entre source et victime par la capacité parasite. Pour réduire cet effet, il faut soit éloigner les 2
conducteurs l'un et l'autre, soit diminuer les variations de tension dans le circuit coupable.
Tension utile
- 1 8 -
tension utile __n Uu n O victime
inductance mutuelle M Uu coupable O tension parasite
(a)
conducteur source Up (b)
Figure 1.7 : Principe du couplage par diaphonie inductive (a) et capacitive (b)
Les couplages entre le circuit et son environnement sont les suivants :
« Le couplage champ à fil (figure 1.8.a) :
Lorsqu'une onde électromagnétique arrive sur un matériau, elle est simultanément réfléchie,
transmise et absorbée. La partie absorption correspond à la circulation d'un courant parasite
dans le circuit victime qui tient lieu d'antenne, ce circuit se refermant en général sur la masse
par effet capacitif.
Pour réduire cet effet, il faut soit diminuer l'impédance entre le circuit victime et la masse par
rapprochement, soit réduire le champ électrique coupable par blindage électromagnétique du
circuit victime.
• Le couplage champ à boucle (figure 1.8.b) :
Ce couplage résulte de la loi de Lenz : lorsqu'un champ magnétique variable coupe un circuit
fermé, la variation de flux magnétique en résultant provoque une différence de potentiel qui
tend à s'opposer à la variation de flux. Pour réduire ce couplage, il faut éviter les boucles ou
réduire leur surface, ou bien réduire le champ magnétique coupable par un blindage
magnétique.
- 1 9 -
Figure 1.8 : Principe du couplage champ à fil (a) et champ à boucle (b)
La connaissance de ces couplages est nécessaire pour pouvoir déterminer et contrôler les
perturbations dans le circuit. Cependant, il est très difficile de quantifier ou de prévoir ces
couplages sans l'aide d'outils de simulation numériques très performants.
Trois théories principales prévalent pour le calcul des interactions ligne-à-ligne ou champ-à-
ligne [DEG 90] [GAR 83] :
• Régime quasi statique : lorsque la longueur d'onde est très supérieure à la plus petite
dimension du circuit, on peut considérer que le champ incident arrive sans déphasage en
tout point du circuit. Cette simplification permet d'intégrer les équations de Maxwell sur
tout le système, et de définir des coefficients de couplage en termes de d'inductances et de
capacités équivalentes. Des résultats approchés peuvent alors être obtenus à l'aide de
méthodes analytiques. Ce mode de calcul s'applique bien au couplage par induction.
• La théorie des lignes [BAL 82] (Antenna Theory) : c'est une théorie basée sur la
résolution des équations de Maxwell en tenant compte des retards dus à la propagation des
ondes [BLA 84]. Elles s'appliquent aussi bien à des structures complexes modélisées par
des fils ou des surfaces. Les équations du champ électrique et magnétique sont résolues
par des méthodes numériques, du fait de leur complexité. C'est une méthode qui s'adapte
bien au couplage par rayonnement.
• La théorie des lignes de transmission (Transmission Line Theory) [KIN 55] : c'est une
méthode basée sur la théorie des images en considérant un plan de masse parfaitement
conducteur. Elle emprunte des éléments à la théorie des antennes, et au régime quasi-
statique pour la notion de schémas équivalents. C'est une théorie qui se prête bien au
couplage par rayonnement.
- 2 0 -
Lorsqu'il s'agit d'étudier les perturbations conduites et les champs électromagnétiques qui en
résultent, la modélisation a souvent recours à l'utilisation de logiciels de calculs de circuits
tels que PSPICE ou SABER SKETCH, couplés avec une méthode numérique ou un calcul
analytique pour évaluer les couplages parasites et les rayonnements [ANT 96] [DIN 92]
[LAR 96] [PET 96] [SCH 98]. Associés à la modélisation haute fréquence des composants
magnétiques [FOU 98] [GUS 98], des semiconducteurs [BAT 92] [RAU 91], ou autres
[RIA 92] [KLE 77], ces travaux ont permis d'élaborer des modèles complets de circuits
électroniques.
De nombreux travaux réalisés en Europe se sont attachés à déterminer les mécanismes
régissant la génération de perturbations conduites et rayonnées dans les convertisseurs
statiques. Pour prendre en compte l'influence des composants dans la propagation des
phénomènes conduits [PUZ 92], il est également possible d'utiliser d'autres méthodes :
méthode intégrale, utilisation des différences finies [BER 94]. Par ailleurs, des travaux ont
aussi été effectués concernant la diffraction électromagnétique [POC 98] [SCH 92] ainsi que
les champs rayonnes par des antennes en prenant en compte des composants non linéaires. De
même, des études ont été réalisées à propos des champs rayonnes par des circuits imprimés
[BEN 97] [CER 93], en utilisant la théorie des lignes de transmission ou bien en se limitant au
mode différentiel, bien que cela ne soit valable que pour des cas très précis (par exemple pour
une paire de lignes de transmission au dessus d'un sol conducteur). Lors de l'évaluation des
rayonnements, les deux modes différentiel et commun doivent être pris en compte [DRI 94].
L'intérêt de la théorie des lignes de transmission réside dans les simplifications qu'elle
apporte par rapport à la Méthode des Moments, lourde à mettre en œuvre numériquement
notamment dans le cas de longues lignes. Une méthode mixte [RIF 94]
[RIF 96] basée à la fois sur le concept de réflexion modale et sur la théorie des lignes permet
de prendre en compte les composants non linéaires connectées sur les circuits imprimés ou sur
des lignes multifilaires. Cependant, une limitation apparaît car le temps de propagation en
ligne doit être supérieur à la durée des perturbations. En effet cette méthode utilise un
traitement du signal fréquentiel converti dans le domaine temporel pour résoudre le problème
de réflexion sur la charge non linéaire.
1.3.2 Susceptibil ité ou immunité des systèmes
La susceptibilité est définie comme étant l'aptitude d'un équipement ou d'un système à
fonctionner sans dégradation en présence d'une perturbation électromagnétique. Des travaux
ont tenté de définir l'influence électromagnétique sur les circuits électroniques, soit en mode
- 2 1 -
conduit, soit en mode rayonné. L'apparition des perturbations est conditionnée en amont par
le couplage ligne à ligne ou champ à ligne. De ce fait, il est important d'étudier l'influence
directe d'une illumination électromagnétique sur le fonctionnement d'un dispositif complet.
Par exemple, un convertisseur statique comprenant des cellules de commutation, des
alimentations, et des commandes (figure 1.9). Des auteurs se sont intéressés à l'évaluation des
courants induis sur des antennes [BAC 94] [HAR 82] [FEL 76], ou plus particulièrement sur
des pistes de circuits imprimés comprenant des composants [BOS 99] [RIF 94] [RIF 96].
L'étude des perturbations induites par des champs électromagnétiques sur des lignes de
transmission, des câbles ou des circuits a fait l'objet de nombreux travaux [FEL 94]
[GAR 87] [GUE 84]. Des études concernant les calculs de diaphonie entre pistes ou lignes
multifîlaires ont été menées afin de prédire la susceptibilité d'appareils non linéaires dans le
domaine temporel [BOU 94]. D'autres travaux se sont orientés sur les modes de défaillances
des systèmes électroniques [BAR 94] [MER 96], et sur le comportement de certains
composants non linéaires [BER 96] [LAU 95].
1.3.3 Modél isat ion d e s structures filaires
Le traitement numérique de la distribution du courant le long de structure filaire a débuté dans
les années 1960. Les pionniers des techniques numériques basées sur le calcul matriciel ont
été Mei et Harrington [HAR 69]. En 1965, Mei a proposé une équation intégrale pour une
structure filaire quelconque. Le courant peut être déterminé expérimentalement ou
////////////
Figure 1.9: Circuit électrique
- 2 2 -
théoriquement. En 1968, Harrington a développé une nouvelle technique numérique appelé
« La méthode des moments » [HAR 69]. La méthode des moments est une technique de
résolution d'équations fonctionnelles, en particulier les équations intégro-différentielles de
Pélectromagnétisme. Les équations du courant sur le contour des objets permettent de
déterminer la répartition du courant induit à partir du champ électromagnétique incident. Elle
réalise le produit scalaire d'une fonction de base judicieusement choisie avec une fonction test
représentant le courant inconnu.
Cette méthode est très efficace pour la modélisation des antennes, des lignes, des surfaces et
des lignes attachées à des structures larges, et l'étude de la diffraction d'une antenne
[KEL 62] [BOW 69] [KOU 74].
1.4 Problématique
On considère les problèmes de génération de perturbations, ainsi que l'influence d'une
agression électromagnétique sur un dispositif électrique. Pour cela, nous devons résoudre
simultanément un problème de diffraction (en émission ou en susceptibilité) et des équations
de circuit. Des modèles comportementaux de composants sont également utilisés pour
illustrer le fonctionnement des systèmes (modélisation des perturbations conduites par
exemple).
Le domaine de prédilection choisie pour notre thèse est l'électronique de puissance et
l'électronique discrète, utilisant généralement la technologie des circuits imprimés. Mais, il
peut être élargi à des circuits électriques de plus grandes dimensions, comme des réseaux de
distributions ou de communication, ou bien des antennes, possédant des composants
électrotechniques non linéaires.
Pour cela, il s'agit d'énoncer les hypothèses servant à l'élaboration du modèle.
On suppose que l'influence des diélectriques et des isolants est négligée. On considère une
structure tridimensionnelle, filaire, électriquement parfaite, dont l'épaisseur de peau est
négligeable. Les écrans ou les plans de masse sont pris en compte par la théorie des images.
On utilise la formulation intégrale temporelle découlant de la théorie des antennes Enfin la
géométrie et les dimensions des composants ne sont pas prises en compte.
L'objectif de notre étude est de rendre possible la simulation des phénomènes transitoires de
conduction.
- 2 3 -
1.5 CONCLUSION
Ce chapitre nous a permis d'avoir une vision globale des études concernant la compatibilité
électromagnétique appliquée à l'électronique de puissance. L'aspect normatif ainsi que les
méthodes numériques ont été présentés. De nombreux travaux s'intéressant à
l'expérimentation ont été réalisés, en revanche, au niveau de la modélisation, les outils
proposant de traiter simultanément les phénomènes conduits et rayonnes sont peu nombreux.
C'est dans cette perspective d'apporter une contribution à la modélisation numérique que
s'inscrit notre étude.
- 2 4 -
Chapitre 2
- 2 5 -
2 FORMULATION DU PROBLÈME DE DIFFRACTION Ce chapitre présente le problème que l'on se propose de résoudre. Dans un premier temps, on
définit les variables et la position du problème afin d'énoncer l'équation intégro-différentielle
qui le régit. Par la suite, on définit différentes familles des équations intégrales permettant de
résoudre ce problème dans le cadre d'une hypothèse « fils fins ». Notre choix s'oriente
finalement vers la formulation intégrale pour structure filaire de forme quelconque pour
laquelle on introduit les expressions en champ proche et lointain.
2.1 POSITION DU PROBLÈME
2.1.1 PRINCIPE DE LA MÉTHODE La structure, constituée de fils cylindriques parfaitement conducteurs, est illuminée par une
onde électromagnétique (É' ,H') définie en tout point de l'espace et à tout instant. Cette onde
induit sur la structure un courant l(M,t) de vecteur densité J (M, t). Le champ
électromagnétique (É ,H) en tout point P de l'espace à tout instant est alors, la superposition
du champ « incident » (Ê1 (P,t), H 1 (P,t)j qui existerait s'il n 'y avait pas de structure filaire, et
du champ « diffracté » ( Ë ^ (P, t), (P,t)) par le courant I induit sur la surface des fils.
Figure 2.1 : Diffraction d'une onde électromagnétique par un obstacle filaire
Les considérations précédentes s'écrivent :
Z
- 2 6 -
\É{P,t) = Éi{P,t) + Èdif{P,t)
{Ê(P,t) = H'{P,t) + Hdif(P,t)
Le champ diffracté (Édif,Hdif) par l'obstacle filaire est relié au courant par un opérateur
linéaire vectoriel intégro-différentiel portant sur l'espace et le temps noté LetL', soit :
\Ê*(P,t) = L(l(M,t))
[Hd*{P,t)=V{l{M,t))
Lorsque l'opérateur L est déterminé, la condition aux limites sur la surface S du fil, considéré
comme parfaitement conducteur, est appliquée :
\s-Ê(M,t) = 0
L V \ (2-3)
Où s est le vecteur tangent unitaire à l'axe curviligne du fil au point M (figure 2.1).
Ces conditions permettent, en utilisant les équations (2.1) et (2.2), d'écrire une équation
intégro-différentielle vérifiée par l(M, t) :
s • {Ê1 (M,t) + Ll({M,t))}= 0 (2.4)
La discrétisation spatiale se fera uniquement sur l'objet considéré (segmentation des fils) où
les inconnues qui sont les courants seront calculées par intégration de quantités sur tout
l'objet.
Deux types d'équation peuvent être obtenus :
• Sur le champ magnétique (M.F.I.E), elle est utilisée sur des surfaces limitant un
volume fermé, mais est inutilisable pour des structures filaires à cause des singularités
sur les densités de courant (extrémités) [GOM 91] [MAR 92].
• Sur le champ électrique (E.F.I.E), elle permet de traiter les structures filaires ainsi que
les surfaces ouvertes.
2.2 ÉQUATION DE MAXWELL
Les équations de Maxwell spécifient que toute variation spatiale d'un champ (magnétique ou
électrique) en un point de l'espace entraîne l'existence ou la variation temporelle d'un autre
champ au même point de l'espace.
Elle s'exprime sous la forme différentielle par:
- 2 7 -
rotË = V x Ë = - - ^ (2.5) dt
r o t H = V x H = J + ^ (2.6) 3t
divD = p (2.7)
divB = 0 (2.8)
Où : E est le vecteur champ électrique (V/m),
B est le vecteur induction magnétique (T),
H est le vecteur champ magnétique (A/m),
D est le vecteur déplacement électrique (C/m 2),
J est le vecteur densité de courant électrique dû au mouvement des charges libres
(A/m 2),
p est la densité volumique de charge (C/m )
Dans le cas où le milieu est linéaire homogène et isotrope, les paramètres o. et e sont des
scalaires tels que :
D = 8 .E (2.9)
B = jU.U (2.10)
Les équations de Maxwell dépendante du temps sont le point de départ de la formulation. On
veut en extraire une formulation intégrale de frontière en champ électrique à la surface des
conducteurs électriques parfaits.
On considère une structure filaire parcourue par un courant I(s,t) (figure 2.2), le champ
électrique s'exprime en fonction du potentiel vecteur magnétique A et du potentiel scalaire
électrique (j) et se détermine à partir de [STR 41] :
E(r,t) = - V O ( r , t ) - ^ A ( r , t ) , (2.11) dt
- 2 8 -
r (s) ~w Origine
F i g u r e 2 . 2 : G é o m é t r i e d e l a s t r u c t u r e
L e s c o o r d o n n é e s d e r r e p r é s e n t e n t l e p o i n t d ' o b s e r v a t i o n , e t c e l l e s d e r ' r e p r é s e n t e n t l e s
c o o r d o n n é e s a u p o i n t s o u r c e s , s e t s' s o n t l e s v e c t e u r s t a n g e n t s u n i t a i r e s à l ' a x e d u f i l .
2.3 Solutions des potentiels retardés
L e s s o l u t i o n s d e s p o t e n t i e l s é l e c t r o m a g n é t i q u e s r e t a r d é s A ( r , t ) e t < I > ( r , t ) p e u v e n t ê t r e
t r o u v é e s d a n s [ S T R 4 1 ] , e t l e c a l c u l d e s c h a m p s E e t H q u i e n d é c o u l e n t d a n s [ F E L 7 6 ] e t
[ D E G 9 0 ] . L e s p o t e n t i e l s é l e c t r o m a g n é t i q u e s s o l u t i o n s d ' o n d e n o n h o m o g è n e s p o u r u n c o r p s
p a r f a i t e m e n t c o n d u c t e u r s o n t d e l a f o r m e :
A ( , , ) = ^ j t o H s , ( 2 . 1 2 ) 4 7 t s R
4 7 t 7 l Q s R
3 l ( r ' , t ' ) = 3 q ( r ' , t ' )
3 s ' d l ' 1 ]
A v e c s = s ( r ) , s ' = s ( r ' ) , d s ' = û f e ( r ' ) , e t I ( s ' , t ' ) e t q ( s ' , t ' ) s o n t l e s c o u r a n t s i n c o n n u s e t l e s
d e n s i t é s l i n é a i r e s d e c h a r g e s a u p o i n t s ' e t a u t e m p s r e t a r d é f = t - R / c a v e c R = \r - r\.
L e s i n f o r m a t i o n s q u i p a r v i e n n e n t e n r à l ' i n s t a n t t s o n t c e l l e s q u i s o n t " é m i s e s " p a r l a s o u r c e S
à l ' i n s t a n t r e t a r d é t - R / c p o u r t e n i r c o m p t e d e l a d u r é e d e p r o p a g a t i o n R / c d e l ' i n f o r m a t i o n
e n t r e l a s o u r c e r ' e t l e p o i n t d ' o b s e r v a t i o n r ( r ' - r = R ) .
- 2 9 -
Pour aboutir à l'équation intégrale du champ électrique (appellation anglaise EFIE : Electric
Field Intégral Equation), il nous est nécessaire d'utiliser quelques hypothèses sur le type de
structures.
2 .3 .1 Première approximat ion
La dénomination « fils minces » repose sur l'hypothèse que le rayon a du fil est très petit par
rapport à la longueur d'onde X et que son axe a un rayon de courbure grand par rapport à X.
Le courant induit sur le fil a un vecteur densité de courant J parallèle à l'axe du fil
(figure 2.3). L'intensité du courant sur le fil en un point M d'abscisse curviligne s s'écrit
(Annexe A.l) :
l{s,t) = 2za-j(M,t)-s ,Qt j{M,t)=I-^--s (2.15) 2za
Figure 2.3 : Structure filaire - Première approximation
2 . 3 . 2 D e u x i è m e approximat ion
En outre, la détermination du courant sur le fil en un point M fait intervenir la distance
R - MM' lors de l'évolution du potentiel vecteur A en M (pour la contribution de la source
située en M') :
A ( M , t) = M('(M',t-R/e) d s ( Z 1 5 )
4TC s R
Lorsque M' (d'abscisse curviligne s') parcours Co , la distance MM' peut tendre vers zéro.
Afin d'éviter cette singularité, le calcul du courant est effectué sur l'axe du fil (M), alors que
les points source M' sont localisés sur le bord du fil (figure 2.4). Ainsi la distance MM' n'est
jamais nulle.
- 3 0 -
MM' > a
Figure 2.4 : Structure filaire - Seconde approximation fils fins
2 .3 .3 Cri tère de validité des approximat ions
Ces deux approximations ne sont valables que lorsque le diamètre du fil est petit devant le
temps de montée du champ incident appliqué. En effet, l'étude rigoureuse des structures
cylindriques infiniment longues montre [BEN 70] que le vecteur densité de courant n'est pas
réparti uniformément sur la surface du cylindre. Cependant, lorsque le champ incident varie
lentement par rapport au temps nécessaire pour illuminer la section transversale de l'obstacle,
le cylindre peut être considéré comme mince. Les critères de validité [STA 68] établis sont :
S Dans le cas d'une onde incidente de forme Gaussienne, les résultats obtenus avec les
approximations « fils minces » restent valable pour :
— > 8 (2.16) a
Avec : a : largeur à mi-hauteur de la Gaussienne, a : rayon du fil, c : célérité de la lumière.
S Dans le cas d'une onde incidente de type I.E.M.N, le domaine de validité de
l'approximation « fils minces » se traduit par :
^ 2 3 - > 3 (2.17) a
Avec : x m : temps de montée de l'IEMN
À partir des formulations intégrales (2.12) (2.13) et des approximations « fils minces », on
peut recenser un certain nombre d'équations intégrales permettant de résoudre des problèmes
de rayonnement électromagnétique, en ajoutant des hypothèses supplémentaires.
- 3 1 -
2.4 Les différentes famiiles d'équations intégrales
Ils existent deux types de familles, pour fils rectilignes et pour fils de forme quelconque.
2.4 .1 Équat ions intégrales pour structure filaire rectiligne
2 .4 .1 .1 É q u a t i o n s i n t é g r a l e s p o u r f i ls m i n c e s r e c t i l i g n e s
Dans l'espace libre, on considère un fil rectiligne mince dirigé suivant la direction Oz d'un
système d'axe (O, x, y, z) z
Figure 2.5 : Fil rectiligne de longueur 1
L'équation (2.4) permet alors, en déterminant l'opérateur L, de retrouver les équations
intégrales pour des fils minces rectilignes données dans la littérature.
L'opérateur L dépend uniquement de la forme de l'obstacle et s'exprime à partir des
potentiels retardés. En utilisant (2.12) et (2.13) et en dérivant (2.11) on obtient l'équation dans
le cas des fils minces rectilignes (figure 2.5) :
1 d'
dz2 c 2 3 t 2
A z ( z , t ) = - ± aV
at-(2.18)
où le terme aE
z
at désigne le champ à la surface du fil. Ce terme permet l'introduction des
charges localisées. A z ( z , t ) est le potentiel vecteur tangent à S, s'exprimant en fonction du
courant induit sur le fil.
A (z,t) = - ^ ^ t o / ^ (2.19)
- 3 2 -
R = V ( z - z ' ) 2 + a 2 (2.20)
R est la distance d'interaction entre le point source z ' et le point d'observation z (figure 2.5).
Les points z et z ' sont respectivement choisis sur l'axe et la surface du fil.
Ces équations ont permis aux auteurs SENGUPTA-TAI [SEN 73] et LIU-MEI [LIU 73]
d'établir les équations intégrales suivantes.
2.4.1.2 Équation integro-différentielle de Sengupta-Taï En remplaçant dans l'équation (2.18), le potentiel vecteur par son expression (2.19), on
obtient l'équation de Sengupta et Tai
a2 i B ^ I ^ I ^ M
4 * 0 R c2 dt2 dz2 c 2 dt2
Où :
tQ=t-R/c (2.22)
Ei
z=uz-Éi(z,t) (2.23)
2.4.1.3 Equation de LIU et MEI La résolution de l'équation différentielle (2.18) permet d'obtenir la solution générale suivante
[MEI 73] : 1
AZ(Z,T) = -=-0
z\t-z - z'\
( dz'+lEz
0 z\t-
\z - z\ dz'\ + {fl{ct-z) + f2(ct + z)}
(2.24)
où le premier terme est la solution de l'équation générale, et le second terme est la solution de
l'équation (2.18) sans second membre, les fonctions fi(ct-z) et f2(ct+z) traduisent
respectivement la propagation dans le sens des z positifs et dans le sens des z négatifs. Ces
deux fonctions sont déterminées par les conditions aux limites aux extrémités du fil :
7 z(0,f) = / z ( / , r ) = 0 (2.25)
En égalant les deux expressions (2.19) et (2.24) du potentiel vecteur, on retrouve l'équation
de LIU et MEI :
- 3 3 -
L
0 4 T T
\z- z
DZ'=-
4(z-zf+a2 2Z° [0
\z-z \z - z'\ dz'+jEz\ z\t-x-
c ) 0 l c dz'\ (2.26)
+ \fl(ct-z) + f2(ct + z)}
Où : Z 0 = Impédance du vide
2.4.2 Équations intégrales pour structure filaire de forme quelconque Avec des conditions moins restrictives sur la forme du fil, on cherche à établir l'expression du
champ électrique E. Pour se faire, on dérive l'équation (2.11) par rapport à t, et on calcule le
gradient de l'équation (2.12). Afin de simplifier l'écriture, posons t'=t-R/c et rappelons
ques = s(r), s '=s(r'), ds'=c/s(r').
dA(r,t) _ /u0 c s' d
dt Ait
VO(T,t) = - ^ - J [v±-q(r>,t) + ±Vq(r',t) K
VO(r,t) =
4%e
1
0C(r)V R
ds'
Ane
0 c(i-) R — q(r',t)u + *\ ——u ° V ; r R dt' dR r
ds'
(2.27)
(2.28)
(2.29)
dt' 1 , r avec —— = — et u, = —
dR c r R
On utilise l'équation de continuité du courant pour faire apparaître le terme courant I
(2.30)
On obtient ainsi à partir de l'équation (2.29) :
_L7(r,,.)= a (rf,.) ds' K ' dt' K '
_ , / \ 1 , f / \ R R dl(r',t')\
47te, RJ cR
(2.31)
'0 C(r)\
I(r',t') = I{s',t') (2.32)
q{r\t') = q{s',t') (2.33)
En remplaçant les équations (2.27) et (2.31) dans l'équation du champ électrique (2.11), on
obtient l'équation établie par Miller, Poggio et Burke [MIL 73a] :
- 3 4 -
™ C(r)
avec t'= t-R/c
R dt ds' (2.34)
g{s\t')=-)^-l(S\t,)dt] (2.35)
(2.36) R = J(s-s')2 +a2(s') R est la distance d'interaction entre le point d'observation et le point source (figure 2.2)
définie par :
# = |F(s)-rCs')| (2.37)
r (s) : position du point d'observation,
r(s') : position du point source.
L'équation (2.34) est valable dans tout l'espace et à n'importe quel instant sauf dans le
voisinage immédiat de la source. La condition |i?| > a(r') doit être respectée sinon des
problèmes de singularités apparaissent.
Pour simplifier, on suppose le conducteur parfait, ce qui entraîne que le champ à l'intérieur du
conducteur est nul. La composante tangentielle du champ électrique est continue à la traversée
de toute surface, par conséquent s -{E + Ê"'c)-s -[E'"0) où E i n c est le champ appliqué qui
induit le courant I.
Donc s • [Ê + Êmc ) = 6 ce qui donne :
s>Ê = -s-ÊbK
s.E™{s,t) = ?SL] An L
7( j ' , r ' ) + c — — I ( s \ t ' ) + c2—q{s',t') R dt R 2 ds R-
ds
(2.38)
(2.39)
Dans le cas d'une structure rayonnante, on s'intéresse particulièrement à la connaissance du
champ diffracté dans tout l'espace. La formule précédente nous fournit le moyen d'établir la
relation entre le champ incident et le champ diffracté par l'intermédiaire du courant. La
discrétisation de l'EFIE conduit alors à l'écriture d'un système matriciel à résoudre sous la
forme d'un schéma implicite [FEL 76] :
J Us'
f terme d'inté
grale propre (l(S',f))ds) = ^Einc(s,t)}
termes dépendants
des temps retardés (/(j',T)>fej (2.40)
- 3 5 -
Une technique de résolution numérique de PEFIE est décrite dans [DEG 90] et dans un
chapitre écrit par Mittra dans [FEL 76]. Elle découle de la méthode des moments décrite en
régime harmonique par [HAR 82]. Elle utilise, du fait de la singularité du noyau de l'EFIE,
une interpolation d'ordre 2 par rapport à l'espace pour exprimer le courant sur chaque
segment, et une interpolation d'ordre 2 également pour la dépendance par rapport au temps,
sous forme de polynômes de Lagrange ; cependant, et malgré l'ordre élevé de singularité du
noyau, d'autres interpolations sont possibles.
Une résolution numérique de l'équation en champ électrique est également envisageable avec
la technique des différences finies ; cette technique a la particularité de réduire l'ordre de
singularité du noyau de l'équation, et donc d'utiliser pour l'interpolation des fonctions
inconnues des fonctions de base plus simples, c'est à dire par exemple des fonctions
impulsions pour la densité de courant inconnue. Analytiquement, cette approche donne une
équation équivalente à l'EFIE, mais il est possible de noter certaines différences subtiles dans
la manière dont apparaissent les opérateurs de dérivation dans les équations. Cela a du reste
une grande influence dans l'interprétation numérique. Tout d'abord, les opérateurs dérivés par
rapport à l'espace et au temps apparaissent à l'intérieur de l'intégrale dans la formulation
intégrale, alors qu'ils apparaissent à l'extérieur dans la formulation en différences finies. Le
second point à remarquer est bien sûr l'absence des densités de charges, puisque la dérivée
seconde par rapport au temps le fait disparaître.
2 .4 .3 Bi lan sur les différentes famil les d'équat ions intégrales
La présentation des deux méthodes étudiées a permis d'exploiter de nombreux résultats
intéressants. Mais lorsqu'il s'agit de faire l'étude de n'importe quel type de structure
d'antenne on s'aperçoit que la méthode pour la formulation de forme quelconque, bien que
nécessitant une mise en œuvre plus lourde, s'avère plus propice. Le tableau 2.1 résume
qualitativement les propriétés de ces différentes formulations.
- 3 6 -
Avantages Inconvénients
Formulations rectilignes Facile à programmer et donne Pas adapté aux structures
de bons résultats réalistes
Formulation forme Adaptable à tout types de Méthode plus complexe à
quelconques structures mettre en œuvre
Tableau 2.1 : Synthèse de deux types de structures
2 .4 .4 Singulari tés
La présence de singularités dans les équations intégrales est liée à l'intégration sur le domaine
source de la solution élémentaire, appelé fonction de Green. Elle représente l'effet d'une
source ponctuelle sur un point quelconque de l'espace. Par source ponctuelle, on entend la
distribution de Dirac : quantité finie non nulle concentrée en un point. Si le problème est
linéaire, la perturbation due au fil dans notre cas, sur le domaine D est la sommation continue
de toutes ces sources élémentaires pondérées par sa densité d(r) :
JG(r,r')d(r)dSr (2.41) D
Si R désigne la distance de la source à l'observateur, la nature de l'intégrale dépend de l'ordre
de singularité au voisinage du point source :
• 1/R singularité faible, l'intégrale est interprété au sens de Lebesgue ;
• I / R 2 singularité forte, l'intégrale est interprété au sens de la valeur principale de
Cauchy (VPC) ;
" I / R 3 hyper-singularité, l'intégrale est interprété au sens de la partie finie de
Hadamard (PFH).
Plusieurs traitements peuvent être employés pour soulever la singularité d'un problème en
électromagnétisme. Il existe des méthodes numériques pour supprimer les fortes singularités à
partir d'approximations numériques [LIN 85] [HAD 52].
Pour contourner les problèmes de singularités dans notre étude, différentes approximations
ont été utilisées pour supprimer à la fois l'intégration sur la circonférence et éviter la
singularité de l'intégrant [RED 84]. Le point d'observation est toujours à la surface du
conducteur, ainsi la distance R est toujours au moins égale au rayon du fil (figure 2.2). Cette
hypothèse permet de contourner le problème de singularité tout en conservant une bonne
- 3 7 -
précision du modèle [IMB 75]. D'autres techniques de traitements d'un fil dans un schéma
aux différences finies peuvent être trouvées dans [TAF 93].
2.5 CALCUL DU CHAMP DIFFRACTÉ
2 .5 .1 C h a m p rayonné
Le champ électrique Ë(P,t) existant en tout point de l'espace à chaque instant est dû à la
superposition du champ incident Ë'(P,t) et du champ diffracté Ë a (P,t) s'exprimant par la
relation :
Ë(P,t) = Ë i ( P , t ) + È d i f ( P , t ) (2.42)
2 .5 .2 Équat ion d e propagat ion du c h a m p diffracté
Le champ électromagnétique créé en un point P quelconque de l'espace défini pa r ( e 0 , / / 0 ) ,
situé dans un domaine D est solution des équations d'onde suivantes :
V2Êd{P,t)-s0p0^TÉd{P,t) = p0^-j{P,t) + — gradp{P,t) (2.43)
dt dt e 0
V2Hd{P,t)-e0p0 ^ïHd{P,t) = -rot J(P,t) (2.44) dt
avec :
d d d
dx2 + dy2 + dz2
Où (e0>p0) sont respectivement la permittivité et la perméabilité du vide, et î (P, t ) et p(P,t)
sont les densités de courant et de charge liées par la condition de conservation de la charge :
d ivï (P, t ) + | - p ( P , t ) = 0 (2.46) dt
Ces densités sont représentées sur la surface de la structure filaire et sont définies dans tout
l'espace par :
j(P,t)=j(M,t)-ôs (2 Al)
p(P,t) = p(M,t)-ôs (2.48)
Où ô est une distribution localisée sur la surface du fil définie par :
- 3 8 -
(ô„ç>(x,y,z))= l<p(x\y',z')ds', s
(p étant une fonction test définie dans 91 3 .
(2.49)
2 . 5 . 3 Principe d e résolution
Nous étudions uniquement le champ diffracté Ë d ( P , t ) , que l'on peut décomposer suivant les
trois composantes dans l'espace :
Ë d ( P , t ) = E ^ ( P , t ) u x + E d ( P , t ) u y + E ^ ( P , t ) u z (2.50)
u x , u y , u z sont les vecteurs unitaires du système.
Les 3 composantes du champ diffracté obéissent à l'équation :
V 2 E £ ( P , t ) - s 0 u . 0 - ^ E £ ( P , t ) = ï l o | - j ( M , t ) . 5 i + — g r a d p ( M , t | ô s
dt s n
u . (2.51)
avec k = x,y,z (2.52)
Le terme de droite de l'équation est appelé terme d'excitation [BOU 64]. On peut le mettre
sous la forme suivante en introduisant l'équation de continuité de courant.
Bk(M,t) = /u0 —j(M,t)-ôs grad -div \j{M,i)-ôsdx dt P J
(2.53)
L'équation du champ diffracté est résolue en introduisant la fonction de Green à trois
dimensions G k ( P , P ' , t ) . Elle vérifie l'équation (2.54) avec les mêmes conditions aux limites
que la composante du champ électrique E k considérée :
V2Gk(P,P,t)-e0p.0—Gk{P,P, t) = 8(P,P\t) at
(2.54)
ou
(P,t) est le point d'observation à l'instant t, P' est le point source à l'origine des temps, don
de coordonnée de (0,0,0), ô est la distribution de Dirac définie par :
(ô, <p{X> y, z,t)) = p(0,0,0,0) (2.55)
où <p est une fonction test définie dans le domaine {D, 0 < t < °°}.
Lorsque G k est déterminée, la résolution au sens des distributions [SCH 66] de l'équation du
champ est donnée par :
Ê*(l>,t) = Bk(Mj)*Gk(P,P,t)
Ce qui entraîne que :
(2.56)
- 3 9 -
E£(P , t ) = JJ a i 1
,«„—j(M,t)-ô grad • div\j(M,t)-ô dr v dt s e „ ^
*Gk(P,M\t) >UkdS
(2.57)
s est la surface de l'obstacle filaire.
Dans un système de coordonnées curvilignes [n,u^,s] (figure 2.6), on a :
Figure 2.6
dS = a(s')-d8-ds' (2.58)
Où a(s') est le rayon du fil au point source M' , d'abscisse curviligne s'.
En introduisant la première approximation (cf. 2.3.1) des « fils fins » dans l'équation (2.57),
on en déduit l'expression des composantes du champ électrique diffracté, en remarquant que
Gk(M,M',t) est indépendante de 0'.
Ë j ( P , t ) = j£{s' l(s' ,t)}*Gk(P,M' ,t)Ûkds' (2.59)
où : / = a i f -Ha—J{M,t)-ô grad-div\j{M,t)-ô dx
u ot s e„ n s
(2.60)
2 . 5 . 4 Solution d a n s l 'espace libre
Lorsque D est l'espace libre, la solution de l'équation est connue [SCH 66] :
G , ( W ( ) = G ^ , M V ) = - % ^ , Vk
4?rPM'
où : PM' est la distance entre le point source M et le point,
1 c = est la vitesse de la lumière,
ô est la distribution de Dirac.
L'expression du champ rayonné en zone proche est alors donnée par :
(2.61)
- 4 0 -
4n c s' dl{s',t') t cl dl{s',t') | c2.R j dl(s\x)
R dt' R' ds' RJ 0 ds' dr \ds' (2.62)
avec :
R = PM\ R = yJ(s-s')2 +a2{s'), t ' = r -
R
c (2.63)
2 .5 .5 C h a m p lointain
Lorsque l'on s'intéresse au champ Ë(P,t) à grande distance (figure 2.6), il est préférable de
travailler en coordonnées sphériques (r,9,(p) pour obtenir une meilleure représentation des
phénomènes et parce que la résolution numérique est plus facile.
L calcul se simplifie par l'utilisation de certaines approximations, à savoir :
S On néglige les termes V R
2 ' R 3 devant le terme
S On considère, dans un système d'axes (M ; ;X;, y K , Zj ) rapporté au centre Mj d'un dipôle de
vecteur unitaire s'deux expressions différentes de R :
P
Figure 2.7 : Passage en coordonnée sphérique du champ lointain
> Terme d'amplitude : R = r = M,P car R » MjM', (R = PM')
> Terme de retard : R = r = MjP
Pour ce cas,
- 4 1 -
Ë d ( P , t ) = - ^ - J ^ 0 r [ s ' 9 l ( s ' ;
4TI fj [R DT'
s' dl(s',t') ÏC.R dl(s',f)
R dt' R dt' ds1 (2.64)
avec t'=t + S1
C
s-R (2.65)
c
2.6 CONCLUSION PARTIELLE
Dans ce chapitre, la formulation du problème de diffraction a été établie. Les potentiels
retardés sont utilisés comme point de départ des méthodes de résolution numérique des
problèmes d'antennes. Pour les résoudre, différentes formulations intégrales ont été proposées
pour des antennes fïlaires rectilignes ou de forme quelconques. La singularité qui apparaît lors
du calcul intégral est prise en compte en considérant la distance entre le point d'observation et
le point source comme étant non nulle.
Des expressions des champs diffractés proche et lointain pour le cas d'une forme quelconque
ont été établies à partir des fonctions de Green.
- 4 2 -
Chapitre 3
-43 -
3 RÉSOLUTION NUMÉRIQUE DE L'ÉQUATION INTÉGRALE
3.1 Introduction
Ce chapitre présente et décrit l'outil de simulation numérique qui a été développé pour
modéliser et étudier dans le domaine temporel le comportement des structures filaires
soumises à une agression électromagnétique conduite (générateurs localisées) ou rayonnée
(illumination par une onde).
Le but de la méthode est d'aboutir à la construction d'un système linéaire dont les inconnues
sont les valeurs du courant en chaque point de la structure étudiée, et pour chacun des instants
pour lesquels on désire connaître leur valeur. Dans ce but, on définit de fonctions test et un
produit scalaire entre ces fonctions et celles intervenant dans le problème. Plusieurs
alternatives sont possibles pour le choix de ces fonctions tests. Pour des raisons de simplicité
et de rapidité de convergence, la méthode de collocation a été très utilisée par de nombreux
auteurs.
3.2 Application de la méthode des moments
L'idée de base qui consiste à discrétiser une équation fonctionnelle linéaire pour la représenter
par une équation matricielle linéaire est relativement ancienne. Toutes les méthodes
reprennent à leur compte sous différents aspects les mêmes théories mathématiques des
espaces linéaires et des projections orthogonales sur des sous-espaces d'espaces fonctionnels.
Les plus connues sont la méthode des moments, la méthode des résidus pondérés, la méthode
de Petrov-Galerkin. C'est Kantorovitch et Akilov dans [KAN 64] qui donnèrent à Harrington
l'idée de nommer sa méthode numérique « Méthode des Moments », équivalente elle aussi à
la méthode variationnelle de Raleigh-Ritz.
La méthode de Galerkin, de même que la méthode variationnelle de Raleigh-Ritz, utilisent
des fonctions de base et test identiques. Cependant, comme le constate Harrington, ce choix
est en fait un traitement particulier, car il n 'y a aucune raison valable pour que les fonctions
de base et de test soient semblables, si ce n'est la facilité que procure ce cas particulier pour
prouver un certain nombre de théorèmes mathématiques, au détriment de la simplicité
calculatoire [STR 80].
-44-
Ainsi, lorsque les fonctions test sont identiques aux fonctions de base, ce procédé de calcul est
connue sous le nom de la méthode Galerkin. Si le résidu (erreur entre la solution approchée et
la solution exacte) est multiplié scalairement par lui même (norme des résidus), la procédure
s'appelle la méthode des moindres carrés. La plus simple des procédures de calcul est la
méthode de collocation (ou point-matching), où la fonction test est la fonction impulsion de
Dirac.
3.2 .1 Principe d e la m é t h o d e
On considère une équation fonctionnelle
L<p = f (3.1)
où L est un opérateur linéaire sur un espace de Hilbert
On désigne par : C L : le domaine ou le champ d'existence de L, I Y : l'image ou le champ de
valeurs de L. Les ensembles C L et I Y sont des sous espaces vectoriels de
On suppose que L est régulier. Il définit par conséquent une application biunivoque de C L
dans T L . Dans ces conditions, l'opérateur inverse L"1 existe et l'équation (3.1) a une solution
unique donnée par :
<P = L'xf (3.2)
La méthode des moments permet d'obtenir une approximation de L"1 et par conséquent aussi
une approximation de <p.
Soit ç>!, <p2,... une base de fonctions dans CL.
On a :
<p=Yua>(pi (3-3) Pour une solution approchée, la relation (3.3) est une sommation finie tandis que pour une
solution exacte, elle est généralement une sommation infinie. En substituant (3.3) dans (3.1)
et en utilisant la linéarité de L, on obtient :
Zp = 5 > , l f o ) = / (3.4)
où les égalités sont généralement approchées.
Soit Wx,W2,...une base de fonctions dans T L . Le produit scalaire désigné par ( , ) des
équations (3.4) par chacune des fonctions Wm donne, compte tenu de la linéarité de L :
{Wm,L(p) = Yjai{Wm,L9,)-{Wmj) i (3.5)
m = 1,2,...
- 4 5 -
Sous forme matricielle, la seconde équation (3.5) s'écrit
[ ' J k ] = [ / " . ] (3.6)
avec
M-
\Wx,L9x) (Wi,L92)
(W2,L<px) {W2,L<p2) (3.7)
a,
a 0 l/J = (w2,f) (3.8)
Si les fonctions Lan sont linéairement indépendantes, la matrice [/„„• ] 1 est régulière et son
inverse [/,„,]' existe. Dans ces conditions à la solution de l'équation (3.6) est donnée par :
k ] = [ ^ r i / j (3.9)
Par substitution de l'équation (3.9) dans (3.3), on obtient la fonction (p.
3.2.2 Fonction de base
Le choix de fonctions de base (ou fonctions d'expansion) est dicté par un certain nombre de
critères découlant directement du principe de la Méthode des Moments. Les fonctions de base
(pi <pt doivent être choisies dans le domaine C L de l'opérateur. Il faut, pour que la matrice [lmt ]
ne soit pas singulière, que les fonctions L{(pt ) soient linéairement indépendantes, et forment
une base complète, afin qu'il soit possible de représenter un fonction d'excitation f
quelconque. Ce dernier critère implique que les fonctions <p, soient linéairement
indépendantes et forment elles aussi une base complète.
3.2.3 Fonction de test
Les fonctions de test Wi doivent appartenir à l'image IY de l'opérateur, et doivent être
linéairement indépendantes pour que la matrice [îmi ] ne soit pas singulière. La fonction test ou
fonction poids détermine la manière de représenter l'espace des solutions par rapport à la
solution exacte du problème. Il définit le lieu et le type de solutions calculées. À titre
d'exemple, l'utilisation de la fonction de Dirac comme fonction de test (méthode de
collocation) revient à calculer la solution exacte au point d'application de la fonction test.
- 4 6 -
Lorsque la fonction test est identique à la fonction de base, la solution calculée correspond à
la moyenne des solutions exactes sur le domaine d'intégration, au sens des normes (méthode
de Galerkin).
3.3 DISCRÉTISATION DE I'ÉQUATION DANS LE DOMAINE ESPACE - TEMPS
Les informations qui parviennent en r à l'instant t sont celles qui sont "émises" par la source S
à l'instant retardés t - R / c p o u r tenir compte de la durée de propagation R/c de l'information
entre la source r' et le point d'observation r (r r'=R).
L'expression de l'équation intégrale du champ électrique est la suivante :
471 S.S' d r . , . . S'.R d T . , 1 N ~S'.R I . ,\
I(s',t') + c——I(s',t') + c2 — q(s',t') R dt R2 ds R'
ds
avec t'=t-R/c
q{s\t') = -)-?-l{s>,tl)dti
(3.10)
(3.11)
R = Y](s-s')2 +A2(s')
R est la distance d'interaction entre le point d'observation et le point source définie par
R = \r(s)-r(s')\ (3.12)
r(s) : position du point d'observation,
r(s') : position du point source.
3.3.1 D é v e l o p p e m e n t du courant suivant une base d e fonctions
La structure filaire étudiée est subdivisée en un nombre Ns de segments spatiaux de longueur
As (figure 3.1) et on définit une fonction portes pour exprimer le courant inconnu I(s'). La
démarche est identique pour le temps qui est subdivisé en Nt segments de durée Àr y .
- 4 7 -
Figure 3.1 : Discrétisation de la structure filaire
Pour simplifier les calculs numériques, le développement des fonctions inconnues est effectué
sur des bases discrètes, c'est à dire différentes de zéro uniquement dans un sous domaine.
On utilise des fonctions portes qui, pour un domaine D limité à une dimension, donnent le
développement suivant :
La variation du courant peut être approximée par l'équation suivante :
(3.13) 1 = 1 J=I
(3.14)
(3.15)
As, et sont respectivement les pas d'échantillonnage sur l'espace et le temps supposés
constants.
Avec U et V une base de fonctions portes.
T J ( s ' - s O Wt'-tj)
Figure 3.2 : Base de fonctions "Portes1
-48 -
Pour définir complètement les courants I(s,t) en fonction d'un nombre fini d'inconnues, on se
donne la forme de la fonction I^s'-s^t'-tj).
3.3 .2 Cho ix d e s fonctions de base et de test
Il existe quelques critères généraux pour le choix de fonctions de base et de test qui découlent
directement du principe de la méthode des moments. Les fonctions de base et de test les plus
couramment employées dans la littérature peuvent être classées selon deux catégories.
Plusieurs choix sont possibles : produit d'impulsions rectangulaires, produit de fonctions
triangulaires [SCH 98], produit de fonctions triangulaire sinusoïdale [RIC 73] ou interpolation
quadratique dans l'espace et le temps.
• La première catégorie comprend les fonctions de base et de test définies sur le domaine
complet de l'opérateur ou plus précisément sur un fil entier ou un tronçon filiforme de la
structure compris entre deux jonctions. Des exemples sont les approximations polynomiales
(Mac laurin, chebychev, Hermite, Legendre) et trigonométriques (série de fourier). Ces
fonctions donnent une densité de courant et de charge continues sur un fil entier.
• La seconde catégorie comprend les fonctions de base et de test nulles partout sauf sur un
sous-domaine de l'opérateur correspondant à un segment élémentaire relativement court d'un
fil. Ces fonctions sont beaucoup plus utilisées que celle de la première catégorie parce
qu'elles sont d'un usage plus facile et donnent généralement une précision comparable avec
des temps de calcul plus courts. Les trois types de fonctions de base appartenant à cette
catégorie qui sont les plus fréquemment employées sont représentées figure 3.3.
- 4 9 -
0 1 V» 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6
Figure 3.3 : Fonctions de base et de test.
ai Fonctions impulsion rectangulaire a2 Approximation en escalier bi Fonctions triangulaires linéaires b2 Approximation linéaire par morceaux ci Fonctions triangulaires sinusoïdales C2 Approximation sinusoïdale par morceaux
Les fonctions de test associées aux fonctions de base précédentes sont généralement de deux
types : des distributions de Dirac pondérées et des fonctions triangulaires.
Ces fonctions de test permettent d'éviter l'intégration sur un segment élémentaire et sont
habituellement associées au fonction de base de type impulsion rectangulaire.
Plusieurs codes de calcul d'usage général basés sur ce choix de fonctions de test ont été
développés aux USA et en France. Les plus connus sont les codes développés par Warren et
Al. [WAR 74] et Bevensee et A1.[BEV 78], utilisant des fonctions de base du type impulsion
rectangulaire et des fonctions de test du type distribution de Dirac.
Aux fonctions de base triangulaires linéaires ou sinusoïdales sont généralement associées des
fonctions de test du même type (méthode de Galerkin ). Deux codes de calcul d'usage général
basés sur ce choix ont été développés aux USA. Le code de Kuo et Al. [KUO 74] utilisent
pour fonctions de base et de test des fonctions triangulaires linéaires, et le code de Richmond
[RIC 74] met en œuvre des fonctions de base et de test triangulaires sinusoïdales. Ces deux
programmes sont les plus couramment utilisés dans le cas de structures filiformes isolées dans
l'espace.
- 5 0 -
3 .3 .3 Utilisation d e s po lynômes d e Lagrange
Cette dernière forme permet d'obtenir des résultats stables même pour des fils courbes.
Dans la pratique, on utilise des polynômes d'interpolation de Lagrange d'ordre 2 pour les
variables d'espace et de temps [MIL 73a], ce qui permet d'écrire I^s'-s^t'-tj) sous la
forme :
( \ /=+l m=v+2 (i m \ Iij\s'-s.,t-t . = S S B}>m)I.7 . (3.16) \ 1 J) l=-\ / K = V V i + hj + m
avec :
B(l,m) = P = 1 ^ = » + 2 H + pl J + q, 1 J p = - l q = n L s Yt _ t ) (3.17)
+ i i + P À J + m J+qy p £ 1 q # m
où : Ii+ij+m sont les valeurs des courants aux centres des ( i+ l ) è m e segments et ( j+m) è m e
intervalles sur le temps.
C(t j - t • j ) — 2, si R < — — pour éviter l'extrapolation dans le futur,
ou v = < c ( t i -1 =,)
•1, s i R > J J _ 1
2
La formule du courant est du second degré en espace et en temps. Elle fait intervenir 9 points
de discrétisation. En écrivant l'équation suivant le type de problème, pour chaque point, on
construit pour un instant donné un système linéaire sous la forme habituelle : A.X=B
> Le vecteur X des inconnues du problème est formé par les valeurs des courants aux points
de discrétisation, à l'instant pour lequel on désire connaître leur valeur.
> Le vecteur B au second membre est obtenu en sommant les contributions des composantes
tangentielles du champ incident et du champ rayonné par les autres éléments de courant à
des instants antérieurs pour lesquels la valeur du courant est connue.
> La matrice A est nommée matrice d'interactions.
Le domaine espace temps est alors découpé en petits éléments centrés sur les points
d'échantillonnages comme le montre la figure 3.4. Dans ces conditions, les coefficients Iy
représentent des valeurs de la fonction f aux points d'échantillonnage caractérisés par les
indices i e t j .
- 5 1 -
temps ( j )
Figure 3.4 : Diagramme spatio-temporel du cône d'onde séparant le futur du passé.
On pose s'-Sf - st et f - t j = tj
l=[J=l •> •> J
(3.18)
p = l q = n + 2 | s i + s . - s . B ( , m ) = n j j \ _ —
p = - l q = n
f M
t . + t . " t . , . j J j + q
s. . , - s . t . - t ,
(319)
s i + i i+pA i + m i + q p ï1 q / m
En remplaçant Itj (xi",tj") par son expression dans l'équation, on obtient : N NT
O ù :
Ri =Ri(s"i)=\r-rt ~xt\
t'=t-Rt/c
i j
s.si d T..( » "\ s.R d T..( " "\ 7s.R, ( '• »
x ^ M ^ ' 0 - J + C ^ ^ / Y ^ ' 0 - ) + c V ^ ^ ' ^ ' (3.20)
(3.21)
(3.22)
En utilisant comme fonction test la fonction de Dirac, on multiplie l'intégrale par
f(s,t) = S(s-su)ô(t-tv) où u et v désigne un point particulier et un instant donné, et le
produit scalaire :
- 5 2 -
t b
(f>g)= I le(s,t)ô(s-su)ô(t-tv)dxdc = g(su,tv) — o o n
(3.23)
Pour le choix des points de collocation pour l'espace, su est pris sur chaque segment i du
maillage. Pour le choix des points de collocation dans le temps, t v est pris à chaque pas de
temps.
Le résultat s'écrit comme suit
ds.
(3.24)
R
i u =\rv-r,-x, (3.25)
fj^tv-Rjc-tj (3.26)
De plus, les dérivées par rapport aux temps et en espace de I {x^ ,t • ) peuvent être écrites :
3 / I I n \ /=+l m=n+2 a m \
,j + m
9 / » » \ /=+l m-n+2 ri m \
dSj v 1
J ' /=-] m-n s 1 i + l,j + m (3.28)
(l,m) _"> = n + 2 i q m ) _w = n + 2
w = +n t'-t. j + w
w = +n f M
t . + t . - t . , v ; 7 + w
5 ( / , m ) ( 3 2 Q )
r = - l K + r = - 1 -s. -s. , z z j + r
B(l,m) (3.30)
On choisit un pas de discrétisation constant sur le temps :
At. =At, V. J J
(3.31)
Notons que Bj est indépendant du pas de temps spécifique ôj et devient donc :
- 5 3 -
Bo,m)==p = > i-fi+H'j+T'i+pJ l'y p = - l q = n
p * 1 q ï m
s. , - s. I I r. . +1 i+p) {j+m j+g
(3.32)
t . - t . ^ = - q 8 e t t . L - t . , = | t . , - t . 1 + 1 t . - t . I = m 8 - q ô (3.33) j j+q 4 j+m j+q ^ j+m j j ^ j j + q / v '
(vi-i+P) ^ p * 1 q * m
(3.34)
, Ar . Ar ou: <r < —
2 2
(3.35)
su.El"c(su,tv)=±i: i
47r/=l_A//2
Riu dt; ]' Rj dx,. 1
J m i Riu tj=tv-Riu/c-t.
(3.36)
Le terme de charge peut être obtenu :
(3.37)
'i -S/2
(3.38)
/ n n \ /=+l m=n+2 (j m \
On pose
a 3/2
O X i -S/2
On voit que :
«v = -2+ Qij-i+ % = Jjfiù (3.4i)
- 5 4 -
Qij devient :
l=\ m=n+2 [l,m) QUj = , m?w
c i Ii+l,j+m (3.42)
ou :
M. V r=+l i •8 Z 1
r
V
p = + l l s . - s . z y —\ n f =-1 (Pi-s Jp ! s.+1-,+p
a=lq=n+2 q a
i n a=Oq=n ( m _ ( l )
(3.43)
J
Le terme de charge spatio-temporelle peut ensuite s'écrire de la manière suivante :
+m 1 n+2
+ t / II\ /=+l W!=7l'+2 (lm\J + m 1 « + 2 /„ A
**(''•' J"£l Iï l rJ:- I f^
/ ' + '-.' (3.44)
Où : »'=• 2, pourRiu/c<S <1,5 (afn d'éviter l'interpolation dans le futur)
1, dans les autres cas
En remplaçant chaque terme par son expression dans l'équation, on aboutit à une expression
pour le courant inconnu pour un pas de temps t v.
i+l,j+m „ N Ai/2, s, l=+lm=n+2 (l,m) Rh, l=+lm=n+2 il,m)
» * / = i —Ai/2 Riu l=-l m=n ' ' R2 / = _ i m = n '
u=l , . . . ,N ,e tv= l , . . . ,N T
ou: t . = t 1. <=> t . = J v c y J
v - J C J
At
et j est choisi de façon que la condition suivante soit respectée : At
2
f
c'est à dire : Riu
v j
V cAt j
<0.5
(3.45)
(3.46)
(3.47)
En posant r.^ - o u " ( ) " représente la valeur entière ferme de , on peut écrire :
1 = v - r. j i m
(3.48)
- 5 5 -
Un réarrangement de l'équation permet d'exprimer les courants inconnus à l'instant t v; Ij v en
fonction de Emc - s .Einc [s J , et des courants connus aux instants antérieurs à t v uv u v w v'
u Nl=+l A//2
4ni=V=-\ «-A//2 7/+/,v
c 2 Riu qy2 *(r „,BV,<q/2>) l [r><aY>t
7?. ? = 0 7 « n
v " v' An i=\ /=-l » -A//2l»»=^
\ fL BM + c ^ , J,m) R- 1 J? i+l,v-r. +m
m
~h~ M ' - i - 9 v ~ r - + m
r. +\m\ + l lu
s = 1 r = -1 t = n L , L i + l i + l + r,s + tn"
(3.49)
( ) signifie dans l'équation (3.49) la valeur entière inférieure près du quotient.
, v J l p o u r r i u = p
0 autrement (3.50)
3.4 Système matriciel On trouve une équation de la forme :
[Z(,l[/v]=[£'"cJ+[£ ] (3.51)
Écrit cela sous forme matriciel, cette équation donne :
_ /=+l n+2 _ +1 +1 »'+2 n+2 ^ (/m r «) v ~ r | - ' ' u + ' " _
/=-l m=n ' /=- l r=- l iw=«' (=n s=l
(3.52)
avec :
- 5 6 -
+1 A s
An ,+_, ds i-l
+ 1 A ( - / - R / 2 P
R = - L A , _ ; _ R / 2 Ki-l-r,u <7=0 J
On peut mettre Z sous une forme plus condensée afin de séparer les calculs
=-E E4-M., - P) xïï + E E4,-.-„ - ») wll, \2
Avec:
Al,m) Mo -A , . , / 2
/ J T J I - L T C
D 2 , D M Ki-l,U
d s ; , }
r r m-l-r » J p J-Ji-l-r ' - ' - r
L 2 V
LV
' 2 V
(3.53)
(3.54)
(3.55)
(3.56)
(3.57)
En introduisant l'inverse de la matrice Zui, le courant est obtenu finalement sous la forme
suivante :
/ = + 1 r,,. TP ~
M=N 1iv ^ui
+1 +1 N'+2 N+2
EE E E . / = - ! R= -L M=?)' R=N
(l,m,r,t) X E 7
5 = 1
(3.58)
Les hypothèses choisies et l'algorithme construit font apparaître pour un instant donné trois
valeurs de courant inconnu pour les deux premiers termes de l'intégrale. Ceci vient du fait que
les opérations de dérivation sont sous le signe intégral. Le calcul du terme de charge est plus
compliqué et fait intervenir cinq valeurs de courant inconnues encadrant le point de calcul. La
matrice X est par conséquent pentadiagonale.
Le calcul des coefficients des différentes matrices Zui, Xui, et Wui est fait dans l'annexe A.2.
- 5 7 -
L'adjonction d'impédances localisées ne pose pas de problème de principe puisque la chute
de tension à leurs bornes peut être aisément prise en compte dans l'équation. On peut
introduire des résistances, des inductances, des capacités et plus particulièrement des éléments
non linéaires (Chapitre 6). Ce dernier point confère un grand nombre d'avantage aux
méthodes temporelles.
3.5 CONDITIONS AUX LIMITES
3.5 .1 Extrémités d'un fil ouvert
La condition aux limites imposée aux courants aux extrémités (i ± 1 ) d'un fil est :
avec À i ± 1 = 0
i représente le dernier intervalle d'échantillonnage avant l'extrémité (figure 3.5)
Dans ces conditions, l'interpolation polynomiale de Lagrange, pour les éléments situés au
voisinages de ces extrémités, s'écrit :
(3.59)
(3.60)
avec Ij_! j = 0
ou :
(3.61)
avec j = 0
Extrémité
- - Vf •\r____ (i-1) (i) (l+D
Figure 3.5 : Condition d'extrémité libre d'un fil ouvert
- 5 8 -
3 .5 .2 Jonctions entre fils
De nombreux auteurs se sont heurtés avec plus ou moins de succès à l'étude de la diffraction
d'une onde plane sur une structure filaire en croix [TAY 70] [CHA 71] [KIN 81]. Ceci a fait
l'objet de nombreuses publications. De ce fait de nombreuses approches numériques et
analytiques ont été développées pour prendre en compte la loi de Kirchhoff sur les courants.
Bevensee permet de traiter des problèmes plus ou moins complexes en expliquant que le
choix des fonctions de base et de test confère au code de calcul des propriétés ou des capacités
particulières [BEV 78] [STR 81].
Ainsi cette méthode de collocation avec des fonctions de base triangulaire semble être
inadaptée aux jonctions multiples sauf si les fonctions test sont elles aussi triangulaires. Un
code développé par Bevensee utilisant des fonctions de base rectangulaires et des fonctions de
test impulsions, propose une méthode numérique pour traiter les jonctions multiples basés sur
une redistribution des charges aux jonctions. En ce qui concerne les autres codes qui utilisent
des fonctions de base et de test plus sophistiquées, le traitement des jonctions multiples peut
être résolu par la procédure de chevauchement des segments (overlapping wires). Ce modèle
de jonction, présenté dans [DEG 90], est l'un des plus performants. Il permet de respecter la
loi de Kirchhoff de la théorie des circuits basse fréquence sur les courants de façon implicite
sans ajout d'équation. L'exemple le plus simple pour illustrer une jonction est celui de la
jonction d'un fil avec lui-même sans changement de rayon. Une telle jonction peut être
imaginée en tout point d'un fil rectiligne. Lorsque les fonctions de base et de test sont des
fonctions triangulaires linéaires ou sinusoïdales, chaque segment du fil supportant une
fonction triangulaire peut être considéré comme étant relié au segment suivant par une
jonction s'étalant sur le support d'une demi-fonction triangulaire. Prenons l'exemple d'une
jonction de trois fils de mêmes rayons (figure 3.6 a) avec leurs représentations équivalentes
par trois fils aux extrémités libres dont deux se chevauchent sur une longueur égale au support
d'une demi-fonction triangulaire (figure 3.6 b). Cette procédure se généralise directement au
cas d'une jonction comportant un nombre quelconque de fils.
- 5 9 -
(a) (b)
Figure 3.6 : Jonctions de trois (a) avec représentations équivalentes (b)
Une autre méthode a été développée [BOS 99]. Elle est basée sur le traitement numérique des
couplages entre segments.
Pour notre part, lorsque l'on étudie une structure présentant une jonction multiple
(figure 3.7 a), on considère ce fil prolongé par un élément (figure 3.7 b) parcouru par un
courant caractéristique de la jonction [WU 76]. Ce courant est obtenu à chaque pas de temps,
en appliquant la loi des nœuds à la jonction :
(i) (i-i) (o (i+D
(b)
Figure 3.7 : Jonction multiples a et b
(3.62)
où n est le nombre de fils aboutissant à la jonction.
L'élément (i+1) a une longueur n ' qui est la moyenne des longueurs des segments qui partent
du nœud, et définie par :
1 4 k=\ k*i
M) ; n>3 (6.63)
- 6 0 -
3.6 CONCLUSION PARTIELLE
L'objectif de ce chapitre est la résolution de l'équation intégrale du champ électrique. La
méthode de résolution retenue est la méthode des moments dans le domaine espace-temps.
Elle utilise les polynômes de Lagrange au second ordre pour représenter la solution discrète
du courant. Concernant les fonctions tests, on utilise la méthode de collocation (impulsion de
Dirac) plutôt que la méthode de Galerkin qui nécessite une intégration supplémentaire et
présente une implémentation plus difficile. Le chapitre 4 présente les choix de programmation
fait pour mettre en œuvre ces méthodes numériques.
- 6 1 -
Chapitre 4
- 6 2 -
4 MISE EN ŒUVRE INFORMATIQUE Nous présentons dans ce chapitre la mise en œuvre informatique de la modélisation
numérique décrite précédemment. Nous énonçons pour cela, dans un premier temps, les
concepts fondamentaux de la programmation par objet et replaçons dans ce cadre le langage
JAVA™ que nous avons utilisé. À partir de ces concepts, nous détaillons la structure du code
et abordons enfin l'importance et la mise en place du post processing dans ce type d'outils de
modélisation.
4.1 Programmation orientée objet
Depuis les années cinquante, il y eu plusieurs évolutions successives concernant le
développement de logiciels. Une des principales a été l'apparition de la programmation
Orientée Objet (POO) [BUZ 93][STR 97], créée à la fin des années 70, et qui se présentait
comme une nouvelle méthode de programmation tendant à se rapprocher de notre manière
naturelle d'appréhender le monde.
À la différence de la programmation structurée [HOL 93], dont le principe est de diviser un
programme en sous-programmes, afin de pouvoir gérer sa complexité en tenant compte avant
tout du traitement de données, la conception objet s'intéresse d'abord aux données elles-
mêmes, auxquelles elle associe ensuite les traitements.
Année 1967 1980 1982 1995
Langage POO Simula Smalltalk C++ JAVA™
Tableau 4.1 : Évolution temporelle des langages orienté objet
4 .1 .1 Objets
Les objets de la POO sont des entités informatiques qui ont été conçues de façon à reproduire
dans un langage de programmation les mêmes propriétés que nous trouvons dans un objet du
monde réel. Ces propriétés peuvent être résumées en deux caractéristiques principales que les
objets du monde réel présentent : ils sont dans un certain état et ils possèdent un certain
comportement.
Un objet est caractérisé par plusieurs notions:
• Les attributs : Il s'agit des données caractérisant l'objet. Ce sont des variables
stockant des informations d'état de l'objet.
- 6 3 -
• Les méthodes (appelées parfois fonctions membres) : Les méthodes d'un objet
caractérisent son comportement, c'est-à-dire l'ensemble des actions (appelées
opérations) que l'objet est à même de réaliser. Ces opérations permettent de faire
réagir l'objet aux sollicitations extérieures (ou d'agir sur les autres objets). De plus, les
opérations sont étroitement liées aux attributs, car leurs actions peuvent dépendre des
valeurs des attributs, ou bien les modifier.
• L'identité: L'objet possède une identité, qui permet de le distinguer des autres objets,
indépendamment de son état. On construit généralement cette identité grâce à un
identifiant découlant naturellement du problème (par exemple un produit pourra être
repéré par un code, une voiture par un numéro de série,...).
4 . 1 . 2 C lasses
On appelle classe la structure d'un objet, c'est-à-dire la déclaration de l'ensemble des entités
qui composeront un objet. Un objet est donc "issu" d'une classe, c'est le produit qui sort d'un
moule. En réalité on dit qu'un objet est une instanciation d'une classe, c'est la raison pour
laquelle on pourra parler indifféremment d'objet ou d'instance (éventuellement d'occurrence).
Une classe est composée de deux parties:
• Les attributs (parfois appelés données membres): il s'agit des données représentant
l'état de l'objet,
• Les méthodes (parfois appelées fonctions membres): il s'agit des opérations
applicables aux objets.
Si on définit la classe voiture, les objets Peugeot 406, Renault 18 seront des instanciations de
cette classe. Il pourra éventuellement exister plusieurs objets Peugeot 406, différenciés par
leur numéro de série. Mieux: deux instanciations de classes pourront avoir tous leurs attributs
égaux sans pour autant être un seul et même objet. Ainsi, dans le monde réel, deux T-shirts
peuvent être strictement identiques et pourtant ils sont distincts. D'ailleurs en les mélangeant il
serait impossible de les distinguer...
- 6 4 -
Attributs
Méthodes-
Voiture
marque couleur proprto
marque couleur proprto tteraarr#r() tournée () aocetarer ()
r ratôfitiî'Ô arrêter ()
Ctes*» documenté»
Voiture
Classe non-documentée
Figure 4.1 : Définition d'une classe
4 . 1 . 3 Encapsulat ion
L'encapsulation [BUZ 93] est un mécanisme qui classifie les attributs et les méthodes d'une
classe (objet) en définissant leurs niveaux de visibilité, de façon à empêcher l'accès à ses
données par un autre moyen que les services proposés. L'encapsulation est surtout utilisée
pour garantir l'intégrité des données contenues dans un objet.
L'encapsulation permet de définir des niveaux de visibilité des éléments de la classe, ces
niveaux de visibilité définissent les droits d'accès aux données selon que l'on y accède par une
méthode de la classe elle-même, d'une classe héritière, ou bien d'une classe quelconque. Il
existe trois niveaux de visibilité :
• Publique : Les fonctions de toutes les classes peuvent accéder aux données ou aux
méthodes d'une classe définie avec le niveau de visibilité public. Il s'agit du plus bas
niveau de protection des données.
• Protégée : l'accès aux données est réservé aux fonctions des classes héritières, c'est-à-
dire par les fonctions membres de la classe ainsi que des classes dérivées.
• Privée : l'accès aux données est limité aux méthodes de la classe elle-même. Il s'agit
du niveau de protection des données le plus élevé.
4 . 1 . 4 Po lymorph isme
Le polymorphisme est une propriété essentielle de la programmation orientée objet,
caractérisée par la possibilité de définir plusieurs fonctions de même nom mais possédant des
paramètres différents (en nombre et/ou en type), de façon que la bonne fonction soit choisie
en fonction des paramètres d'appel.
-65 -
L'intérêt du polymorphisme est de rendre possible le choix automatique de la bonne méthode
à adopter en fonction du type de donnée passée en paramètre.
Ainsi, on peut par exemple définir plusieurs méthodes homonymes additionQ effectuant une
somme de valeurs.
• La méthode int addition(int, int) pourra retourner la somme de deux entiers
. » La méthode jloat addition(float, float) pourra retourner la somme de deux flottants
• La méthode char addition(char, char) pourra définit au gré de l'auteur la somme de
deux caractères
• etc.
F o r m e
dessiner ()
TV
1 1 Carre C e r c l e T r i a n g l e
dessiner 0 dessiner 0 dessiner 0
Figure 4.2 :La fonction dessiner() peut renvoyer 3 formes de types différents.
4.1.5 HÉRITAGE
L'héritage (en anglais inheritancé) est un principe propre à la programmation orientée objet,
permettant de créer une nouvelle classe à partir d'une classe existante. Le nom d'"héritage"
(pouvant parfois être appelé dérivation de classe) provient du fait que la classe dérivée (la
classe nouvellement créée) contient les attributs et les méthodes de sa super-classe (la classe
dont elle dérive). L'intérêt majeur de l'héritage est de pouvoir définir de nouveaux attributs et
de nouvelles méthodes pour la classe dérivée, qui viennent s'ajouter à ceux et celles héritées.
Par ce moyen on crée une hiérarchie de classes de plus en plus spécialisées. Cela a comme
avantage majeur de ne pas avoir à repartir de zéro lorsque l'on veut spécialiser une classe
existante. De cette manière il est possible d'acheter dans le commerce des librairies de classes,
qui constituent une base, pouvant être spécialisées à loisir (on comprend encore un peu mieux
l'intérêt pour l'entreprise qui vend les classes de protéger les données membres grâce à
l'encapsulation...).
- 6 6 -
e i .9
E B
• 9 )
Relation d'héritage
Figure4.3 : Héritage
4 . 1 . 6 Génér ic i té
Une fonction générique est définie comme un modèle qui permet de créer différentes versions
de cette fonction pour prendre en compte des arguments de types variables. Par exemple une
fonction de tri générique est écrite une seule fois en appliquant un algorithme classique puis
on génère automatiquement différentes versions pour trier des entiers, des réels, des
structures, etc.
On peut de la même manière avoir des objets génériques, pour lesquels on crée des versions
spécialisées. Un objet pile dispose d'un pile des méthodes empile, dépile, etc. et l'on crée une
pile d'entiers, une pile de réels, etc.
4.2 Langage JAVA™
Java est un langage inventé par les développeurs de Sun. Si les bases de ce langage ont été
conçues en 1990, Java reste encore aujourd'hui dans une phase de développement. Le
compilateur normalisé actuel est le JDK 1.4.1.
Selon les développeurs de Sun, Java (qui signifie café en argot américain) est un langage objet
natif : simple, distribué, interprété, robuste, sécurisé, neutre vis à vis de l'architecture,
portable, à haute performance, multi-thread (multitâches) et dynamique. Mis à part l'aspect de
haute performance qui est TRES loin d'être vérifié, Java dispose bien des fonctions
énumérées.
Java est un langage objet natif. Cela signifie qu'il réalise un ensemble de concepts lui
permettant de dépasser le cadre du simple langage de programmation structuré (Pascal, C...).
De plus, Java, par sa vocation objet, introduit un ensemble de d'instructions essentielles
permettant :
- 6 7 -
• la définition de classes, la définition de méthodes, la définition d'un constructeur (et
destructeur) d'une instance de classe, l'appel d'une méthode, l'appel d'une instance de
classe
Par ailleurs, Java propose un ensemble de mécanismes pratiques (issus du langage C)
permettant :
•S la notation de commentaires, d'opérateurs et de séparateurs pour les expressions
La plupart de la publicité faite autour de Java se référait aux applets. Mais Java est un langage
de programmation à vocation plus générale. Java possède ainsi de nombreuses fonctionnalités
qui permettent de créer des programmes robustes dans un laps de temps plus court qu'avec
d'autres langages de programmation.
Cependant, il s'agit d'un compromis, on constate ainsi une vitesse d'exécution réduite (bien
que des efforts significatifs soient mis en oeuvre dans ce domaine - le JDK 1.3 en particulier,
introduit le concept d'amélioration de performances « hotspot »). Comme tout langage de
programmation, Java a des limitations internes qui peuvent le rendre inadéquat pour résoudre
certains types de problèmes. Java évolue cependant rapidement, et chaque nouvelle version
permet de répondre à une gamme de problèmes de plus en plus large.
4 .2 .1 C o m p a r a i s o n entre J A V A ™ et C + +
Les langages de programmation orientés objets les plus diffusés actuellement sont le C++
[STR 97], qui datent de 1982, et le JAVA™ [HOR 99], dont les premières applications datent
de 1995. Malgré son temps d'existence relativement court, nous avons choisi JAVA™ pour
développer notre outil de simulation des phénomènes de rayonnement électromagnétique, car
il présente plusieurs avantages par rapport au C++, à savoir :
• Portable : Les types de données utilisés dans Java™ sont indépendants de la plate-forme.
Par exemple, une variable int sera toujours définie dans un entier 32 bits en complément à
2, aussi bien sur un Pentium que sur un Power Macintosh. Il en est de même pour tous les
autres types de variables : les float, double et long se conforment à la spécification
IEEE754, les char relèvent du standard Unicode et les boolean prennent toujours les
valeurs true et false.
• La gestion de mémoire automatique : l'environnement d'exécution de JAVA™ possède
un processus de « ramasse-miettes » (garbage collector) qui s'occupe de la gestion
- 6 8 -
automatique de la mémoire utilisée par le programme. Cette gestion automatique évite des
erreurs de programmation souvent rencontrées dans les programmes écrits en C++.
• Concepts de parallélisme : les applications en JAVA™ peuvent posséder plusieurs flux de
contrôle ou threads, ainsi que des méthodes pour gérer ces threads, en simplifiant le
développement et la gestion de programmes destinés à travailler avec du calcul distribué.
• Notions de package : JAVA™ permet de regrouper l'ensemble de classes qui font partie
d'une application en packages, ce qui élimine la redondance occasionnée par l'utilisation
de fichiers d'en tête (header files) et facilite la compréhension du code développé.
4.3 RÉSOLUTION D'UN PROBLÈME DE RAYONNEMENT ÉLECTROMAGNÉTIQUE
4 .3 .1 Part ie informatique
Pour structurer notre formulation en langage objet, il faut créer chaque entité sous forme
d'une classe. Le fait de programmer en POO laisse au programmeur le choix de définir ces
propres entités, c'est à dire ses propres classes. Notre choix s'est orienté vers l'organisation
suivante : la structure de l'antenne et le champ forment chacun une entité (classe). Le
problème regroupant la structure et le champ constitue lui aussi une classe.
La classe Problème :
• Contient la méthode : main (procédure principale)
• Définit une structure et un champ
• Définit et calcule les constantes relatives aux problèmes (dt, interpolation,...).
• Calcule les constantes de la matrice principale
• Calcule le courant circulant dans la structure.
La classe Structure :
• Permet de choisir un type de structure (Exemples : antennes rectilignes, boucles,
zig-zag, circuit)
• Discrétise la structure en dipôles et segments.
• Définit les caractéristiques propres de chaque segment.
• Calcule les constantes d'interpolation propres à la structure
- 6 9 -
La classe Champ :
» Permet de choisir un type de champ incident
• Calcule la valeur du champ aux points d'observation
D'autres classes sont utilisées pour améliorer la structuration de l'application comme Vecteur,
Segments, Dipole, Matrice ....
Les résultats des simulations sont stockés dans un fichier au format Excel ou au choix de
l'utilisateur.
Structure Champ
• Type • Calcul des constantes
propres • Discrétisation en
segments
• Type • Valeur du champ aux
points d'observation
• Type • Calcul des constantes
propres • Discrétisation en
segments
• Type • Valeur du champ aux
points d'observation
Problème
Méthode : main 1 Définition des
constantes (dt, . . . ) • Calcul des constantes ' Calcul des coefficients
de h matrice • Calcul du courant
Matrice
« Remplissage • Inversion
Fichier
• Valeurs du courant en fonction du temps
Figure 4.1 : Organisation de notre application
Un des avantages dans le langage JAVA est de pouvoir générer la documentation complète
des classes et des packages sous forme de fichier *.htm.
- 7 0 -
4 .4 Post processing
4.4.1 Interface h o m m e mach ine
Plusieurs logiciels de modélisation, notamment de calculs de champs, sont développés
actuellement au CEGELY. Certaines parties de ces logiciels, comme l'entrée des données,
l'exploitation des résultats ou plus généralement l'environnement graphique peuvent être
communes à l'ensemble de ces logiciels tout en nécessitant des développements spécifiques à
l'électromagnétisme. Le but est de regrouper tout cet ensemble appelle IHM (Interface
Homme Machine) dans une librairie qui peut être utilisée dans les différents développements
effectués au laboratoire afin de décharger les chercheurs de cette tâche. L'usage d'une telle
librairie permet de mieux séparer la partie IHM de la partie scientifique, et donc de mieux
structurer les logiciels, chose importante lorsque l'on veut réutiliser les codes développés par
des chercheurs. Elle permet également d'avoir une homogénéité des logiciels du laboratoire et
offre aux utilisateurs des fonctionnalités graphiques avancées.
Pour réaliser ces environnements graphiques, nous avons choisi le langage JAVA qui est un
langage objet particulièrement adapté à la réalisation d'IHM et immédiatement portable entre
les différentes plate-forme (Windows, Unix, Linux,...). De plus ce langage est
particulièrement robuste et supporte de façon native l'Internet. Malgré le passage par une
machine virtuelle lors de son exécution, les applications JAVA restent rapides et de
nombreuses études montrent qu'il est maintenant parfaitement adapté à l'écriture des
applications de calcul scientifique. La librairie Swing est utilisée pour le coté IHM et la
librairie JAVA3D pour la visualisation 3D.
L'évolution actuelle des moyens de calcul permet de modéliser des structures de plus en plus
complexes qui se rapprochent de la réalité. Parallèlement, les outils informatiques permettent
maintenant de représenter ces systèmes de façon très réaliste. Une recherche de "réalité
virtuelle" lors de l'exploitation de résultats obtenus dans le génie électrique permet une
meilleure compréhension de phénomènes qui sont souvent complexes.
On peut également rajouter à la scène des informations qui ne sont pas visibles naturellement
ou qui n'existent pas dans le monde réel afin d'augmenter la perception des utilisateurs (flux,
forces, champ etc. ...). Ce concept se nomme réalité augmentée. Cette "augmentation de la
réalité" peut être dynamique et permet de simplifier énormément la compréhension de
certains phénomènes comme le flux autour d'un transformateur ou la propagation d'une onde
en temporel.
- 7 1 -
Afin d'approcher cette « réalité virtuelle » [PAU 97] dans la librairie actuellement développée
au laboratoire, nous avons tout d'abord travaillé sur l'aspect dynamique de la visualisation des
objets et sur la qualité de l'interaction avec l'utilisateur. En effet la compréhension d'un
système est grandement facilitée si la représentation est dynamique et varie instantanément
aux sollicitations de l'utilisateur.
Un navigateur 2D et 3D est actuellement en développement. Il permet de visualiser des
résultats de modélisation issus de différents fichiers (actuellement : Phi3d, Flux3d, Fissure,
Amira). Il est possible de naviguer dans l'espace 2D ou 3D, d'afficher, cacher ou mouvoir les
objets et de choisir différents paramètres d'affichages tels que le maillage, les couleurs de
dégradés etc ... Un module de tracé de courbes 2D dynamique et interactif y a également été
intégré.
La rapidité des outils permet cette navigation en temps réel pour des problèmes de taille
raisonnable sur une machine moyenne (Pentium III, 700 Mhz, 256 Mo de ram, carte
graphique Geforce 2x à 32Mo). Cette fluidité va permettre également de réaliser des
animations temporelles en 3D comme des résultats de propagation. Différents plans de coupe
peuvent être déplacés par l'utilisateur dans l'espace avec calcul instantané de leur intersection
avec l'objet modélisé afin de visualiser en temps réel les résultats sur ces plans.
Fig. 1.11 : Interface graphique du navigateur 3D
Un travail important à effectuer concerne la qualité d'immersion de l'utilisateur dans le monde
virtuel. Elle est conditionnée par la modélisation de l'objet et son environnement (détails et
textures ...), la modélisation de l'utilisateur (champ de vision, hauteur, déplacement ...), les
interfaces de perception (écran sphérique, effet stéréoscopique, lunettes 3D ...) et les
interfaces d'interaction sur le système (gants, head mounted display ...). Le navigateur en
cours de développement peut gérer la modélisation des détails et des textures. Il est prévu
- 7 2 -
pour gérer des interfaces de perception et d'interaction avancés tels que les visiocasques ou
capteur de déplacement de l'utilisateur [BRY 92]. Dans le domaine de la synthèse d'image et
de la réalisation d'animations, des auteurs tels que Khan et Hewitt [KHA 78], Reynolds [REY
82] ou Nicol [NIC 85], ont montré l'intérêt de la programmation objet pour contrôler les
déplacements d'objets à la fois dans l'espace et le temps.
4 . 5 C o n c l u s i o n
Nous avons présenté dans ce quatrième chapitre les concepts fondamentaux de la
programmation par objet. Ils nous ont permis de mettre en évidence les avantages de ce type
de programmation pour obtenir des codes de calcul scientifiques complexe mais structuré et
flexible. Le langage JAVA™ applique ses concepts et est apparue comme un langage très
performant pour la mise en œuvre d'un outil d'étude de rayonnement électromagnétique. La
structure de cet outil est présentée ainsi que les méthodes implémentées pour la visualisation
des résultats (post processing).
- 7 3 -
Chapitre 5
- 7 4 -
5 VALIDATION DU MODÈLE EN DIFFRACTION Un problème de diffraction est défini à partir de paramètres spécifiques :
- les paramètres définissant la géométrie de la structure considérée et sa discrétisation
spatio-temporelle : longueur totale de l'antenne L, rayon du fil a, longueur spatiale des
segments Al, longueur des intervalles temporels At)
- les paramètres définissant le champ incident perturbateur (variation temporelle ou
longueur d'onde X en fréquentiel, amplitude Eo, angle d'incidence).
La résolution du problème est réalisée à l'aide d'une méthode numérique. Il est nécessaire,
d'une part de connaître l'influence des paramètres sur l'erreur et la stabilité afin de valider le
modèle proposé et de définir les règles nécessaires à son fonctionnement, et d'autre part,
d'optimiser les relations entre paramètres caractéristiques.
Nous étudierons dans un premier temps la validation du modèle en régime harmonique, puis
les critères de validité, et enfin la validation en régime temporel.
5.1 Validation en régime harmonique
On considère une antenne rectiligne de longueur variable et de rayon a égal à 5 mm, illuminée
sous incidence normale par une onde plane dans l'espace. La longueur d'onde X du
rayonnement incident est égale à 1 m. La simulation de référence utilise la méthode des
moments en régime harmonique avec un schéma d'interpolation du courant d'ordre 2
[DEG 90]. L'onde incidente est de la forme Emc = £0.sin(27r * / * / ) , avec une fréquence f de
300 MHz. On visualise le courant au centre de l'antenne pour deux longueurs d'antenne
différentes. L'antenne est discrétisée en N=40 segments.
Discrétisation spatiale et temporelle :
Al = 0.025 m Ns = 40 At = 8.33.10"" s Nt = 2000
Temps de calcul : 10s
- 7 5 -
Figure 5.1 : Évolution du courant au centre de l'antenne en fonction du temps pour une
longueur Z = A/2 = 0,5 m (a) et L = X -1 m (b)
On choisit un nombre de pas de temps important de façon à obtenir le régime établi du
courant. Lorsque celui-ci est atteint, on relève la valeur maximum du courant au centre de
l'antenne. Les figures 5.2 (L=X/2) et 5.3 (L=À) illustrent la variation de l'amplitude du
courant induit le long d'un fil illuminé sous une incidence normale par une onde plane de
longueur d'onde X=l m dont le champ électrique incident est parallèle au fil; le rayon du fil
étanta = 5.10" 3m.
Discrétisation spatiale et temporelle :
Al = 0.025 m Ns = 40 At = 8.33.10"11 s Nt = 2000
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 X
Figure 5.2 : Variation de l'amplitude du courant induit (L=À/2).
- 7 6 -
l(mA)
y
Figure 5.3 : Variation de l'amplitude du courant induit (L=À)
L'allure de la répartition du courant calculé par notre modèle est en corrélation avec la
répartition de référence. La simulation prévoit, au centre de l'antenne, un courant induit de
4 mA à la résonance, c'est à dire pour L égale À/2, et un courant induit I r ef de 1,3 mA pour
L égale à la longueur d'onde [DEG 90]. Les résultats obtenus par notre méthode sont en
corrélation avec ceux issus de la littérature en général.
5.2 Critères de validité du modèle
Le pas d'échantillonnage sur le temps dépend de plusieurs critères.
Dans le cadre de l'approximation « fils minces », en régime harmonique, une simplification
importante revient à considérer le rayon petit devant la longueur afin de négliger la
composante transversale du courant induit devant la composante horizontale. En régime
temporel, il faut que le rayon du fil soit petit devant la longueur d'onde correspondant à la
fréquence la plus élevée du spectre de l'excitation pour laquelle la densité spectrale reste
valable.
5.2 .1 Précision et stabilité : influence du nombres d e segments
Le pas de discrétisation spatiale est déterminé en fonction de la longueur de l'antenne et de
son nombre de segments Àl = L/N.
On mesure le courant au centre de l'antenne pour des longueurs d'antenne L variant de 0,5 à
1,5 m, les valeurs du rayon a variant de 1 à 10 mm. Pour chaque cas, on représente aussi
l'erreur commise (ec) sur le courant en fonction du nombre N de segments.
- 7 7 -
Discrétisation temporelle
Nt = 2000
I(mA)
4
3,5
3
2,5
2
I(mA)
2
1,6
1,2
0,8 H
0,4
0
- a=1 mm - A=FIMM - a=7mm -a=8,5mm -a=10mm
N 10 20 30 40
(a) 50 60 70 80
L - 0,5 m
ec (%) 25 -,
20 -a=1mm a=5mm 15 -a=7mm a=8,5mm
10 -
a=10mm 5 -
N 0 -
10 20 30 40 (c)
50 60 70
L = 1 m
ec (%)
25 -i
20 -a=1mm a=5mm 15 -a=7mm 10 -a=8,5mm a=10mm 5 -
,.N o - -
80
- a=1mm - a=5mm - a=7mm - a=8,5mm - a=1Qmm
40 (b)
50 60 70 80
-•— A=LMM A=5MM A=7MM A=8,5MM A=10MM
• A=5mm - A — A = 7 M M -H<— A=8,5mm
A=10mm
L = 1,5 m
Figure 5.4 : Influence du nombre de segments N sur l'amplitude du courant induit et sur
l'écart pour L variant de 0,5 à 1,5m
L'analyse des courbes amène à plusieurs commentaires.
On peut d'abord remarquer que le modèle reflète la réalité physique: dans le cas de la
résonance, pour L=0,5m=À/2, le courant ne dépend pas du rayon de l'antenne. De plus, pour L
compris entre 0,5 m et 1,25 m, le courant donné à L et a fixés ne varie pas beaucoup à partir
- 7 8 -
de N=20 : Cela montre la bonne stabilité de l'algorithme, et valide ainsi l'hypothèse selon
laquelle la valeur du courant au point médian est correcte.
Dans le cas étudié ici, le modèle montre ses limites pour une antenne de longueur L=l,5m,
surtout pour des rayons d'antenne petits. Cependant, le modèle reste valide pour n'importe
quelle longueur d'antenne sous réserve du choix de rayon approprié. Le graphique (e) montre
que l'évolution du courant en fonction de N ne permet pas de conclure quant à sa valeur
réelle : L'algorithme converge bien, mais la valeur retournée n'est pas très stable en fonction
de N. De plus si on augmente N, l'algorithme diverge.
Nous voyons donc ainsi que dans ses domaines de convergence, le modèle est stable et
produit des résultats fiables, pour un nombre de segments bien défini.
Des études pour des longueurs intermédiaires d'antenne (0,75 et 1,25m) ont été simulées et
présentent des résultats similaires.
Considérons maintenant l'évolution du pas de discrétisation Al en fonction du nombre N de
segments, et, en parallèle, l'évolution du courant médian en fonction du même paramètre N,
dans le but d'évaluer le ratio Àl/a.
Le rayon a est égal à 5 mm : si le pas de discrétisation Al devient inférieur à 2 fois le rayon, le
courant diverge.
Deux longueurs d'antenne sont présentées pour rendre compte du choix de Al : une longueur
de 0,5 m et une de 1 m.
i l M I(mÀ) Al (mm) I(mA)
(a) (b)
Figure 5.5 : Limite du nombre de segments N
- 7 9 -
Lorsque le pas de discrétisation Al est asymptote à l'axe des abscisses, on aboutit à la limite
de convergence du modèle pour laquelle la valeur du pas de discrétisation est égale à 2 fois le
rayon, c'est-à-dire 10 mm.
Le courant a une valeur optimale lorsque la relation Al > 2a entre le rayon et le pas de
discrétisation est respectée.
Nous allons maintenant être plus précis dans l'analyse des performances du modèle en
donnant ses conditions optimales d'utilisation. En pratique, étant donnée une antenne
rectiligne de longueur L et de rayon a, quel choix de N doit-on faire ? N o p t est choisi pour
respecter le compromis suivant :
- obtenir un résultat avec une erreur minimale,
rester au mieux à l'intérieur du domaine de convergence,
- minimiser le nombre de segments N (et donc le temps de calcul).
Le graphique 3D ci-dessous donne N o p t en fonction de L et a.
90
Figure 5.6 : N o p t en fonction de L et a.
Globalement, on voit que le choix de Al est important, les résultats donnés par le modèle sont
optimaux. On remarque aussi que pour une antenne longue et de faible rayon, le modèle
nécessite plus de segments, ce que nous avions noté par ailleurs.
Note : il faut peut-être rappeler que ce diagramme donne les conditions optimales
d'utilisation du code : ainsi, on peut choisir moins de segments si la précision requise n'est
- 8 0 -
pas trop grande (il suffit alors de se reporter aux courbes d'erreurs pour connaître la précision
des calculs).
En conclusion, les résultats que nous avons présentés concernant l'antenne rectiligne en
réception nous ont permis d'aboutir à la donnée des conditions optimales d'utilisation de ce
modèle. L'intérêt de cette démarche réside dans la généralisation de l'utilisation des structures
rectilignes. Par la suite, tout circuit que nous étudierons sera décomposé en tronçons rectiligne
où le courant sera calculé de manière indépendante. Ainsi, pour chaque tronçon du circuit,
nous nous servirons de ces résultats pour optimiser le N propre à ce tronçon. Ceci permet
d'utiliser directement le programme dans les meilleures conditions, sans tâtonnement inutile.
5 .2 .2 Rappor t entre le pas temporel et le pas d e discrétisation spat iale
La relation qui lie le pas temporel au pas de discrétisation spatiale s'écrit
At = — où At est le pas de pas temporel, Al est le pas de discrétisation spatiale et c est la c
célérité de la lumière (dans l'air ou dans le vide).
On se réfère donc à la limitation de calcul des courants inconnus aux segments voisins
préconisée par [MIT 73].
5.3 VALIDATION EN RÉGIME TEMPOREL
Toutes les simulations présentées dans le précédent paragraphe ont été effectuées avec notre
modèle temporel. Seule l'excitation du type sinusoïdal rappelle le régime harmonique. Le
calcul, quant à lui, est conduit temporellement à l'aide d'une résolution itérative. Cela signifie
que les critères de discrétisation spatiale et temporelle restent vrais dans le cas d'une
excitation transitoire. Par conséquent, les exemples qui suivent se bornent à valider des
exemples tirés de la littérature dans le domaine temporel.
La figure 5.7 illustre un dipôle en émission :
- la figure (a) présente une source de tension V (t)
- la figure (b) illustre une antenne illuminée par une onde plane E 1 (t)
- la figure (c) donne l'allure gaussienne des signaux V(t) et E 1 (t).
- 8 1 -
5.3.1 Dipôle e n réception
Les figures 5.8 et 5.9 présentent le courant induit et la densité de courant sur une antenne
rectiligne par une onde plane impulsionnelle en incidence normale. L'antenne a une longueur
L=l m, pour un rayon a = 6,738 mm. Elle est isolée dans l'espace. Le champ électrique
perturbateur est défini par une exponentielle de Gauss de la
formel** = E0exp[-a2(t-tmax)2], où E 0 = lV/m, a 0 = 2 4 , 9 5 * c 2 , et / m a x = 0 , 5 2 / c . Le
courant calculé à l'aide de notre modèle est comparé avec celui obtenu par [DAF83], qui
utilise le même type d'interpolation que notre méthode, identique au code de [VAN 72].
Discrétisation spatiale et temporelle :
Al = 0.025 m Ns = 40 At = 8.33.10"11 s Nt = 2000
Temps de calcul :10 s
- 8 2 -
l(mA)
Figure 5.8 : Courant induit au centre d'une antenne rectiligne L=lm, a = 6,738 mm par une
onde plane
Figure 5.9 : Densité de courant au centre d'une antenne rectiligne L=lm, a = 6,738 mm
Les résultats de notre simulation sont en corrélation avec les résultats de [DAF 83].
À titre indicatif, dans le cas où l'onde incidente est une impulsion électromagnétique
d'origine nucléaire IEMN, le champ Eo peut prendre des valeurs de l'ordre de 5.10 4 V/m et le
courant induit au milieu du fil serait égal à 200 A. Le courant évolue donc dans les mêmes
proportions.
5 .3 .2 Dipôle e n émission
Un générateur de tension est introduit au centre d'une antenne rectiligne, et délivre une
tension défini par une exponentielle de Gauss de la forme V(t) = Km a x Qxp[-a2 (t - tmax ) 2 ] , où
V m a x = lV/m, a0 = 5,38.109 s"1, et tmax - 0,5 ns . Cet exemple a été traité par [GIR 97] avec
pour caractéristiques L = 1 m, a = 1 mm, et un pas d'échantillonnage Al = 10 mm.
- 8 3 -
Discrétisation spatiale et temporelle
Al = 0.010 m Ns = 100
Temps de calcul : 22 s
At = 3.34.10" n s Nt = 2000
L(MA)
3,0 NOTRE SIMULATION
2,0 — [GIR 97]
40
TEMPS (NS)
-2,0
-3,0
Figure 5.10 : Courant au centre du dipôle
Avec les mêmes caractéristiques d'entrée concernant la discrétisation spatiale et temporelle
que [GIR 97], on retrouve l'allure et les amplitudes de courant, ce qui valide notre modèle en
émission.
5.4 CHAMP RAYONNÉ
On s'intéresse au champ électrique rayonné à grande distance par un dipôle en réception ayant
les caractéristiques décrites au §5.3.1.
r.E(V)
0,3 -
0,2 -
0,1 -
MÉTHODE [DAF 83]
-0,1 *
-0,2 -
-0,3 -
0 •^n t (ns)
25
Figure 5.11 : Champ rayonné lointain à grande distance
- 8 4 -
Avec la formulation que nous avons proposée, le champ lointain est calculable, et la courbe
obtenue (figure 5.10) est en concordance avec celle de la référence [DAF 83].
5.5 VISUALISATION DES RÉSULTATS
Pour une bonne compréhension des résultats, il est nécessaire de mettre en œuvre des outils de
post processing efficace.
L'évolution actuelle des moyens de calcul permet de modéliser des structures de plus en plus
complexes qui se rapprochent de la réalité. Parallèlement, les outils informatiques permettent
maintenant de représenter ces systèmes de façon très réaliste. Une recherche de "réalité
virtuelle" lors de l'exploitation de résultats obtenus permet une meilleure compréhension de
phénomènes qui sont souvent complexes.
Dans cette optique, on utilise l'outil développé au CEGELY, qui permet de visualiser l'effet
d'une onde plane sur une structure rectiligne et d'obtenir une animation temporelle des
phénomènes étudiés.
La figure 5.12.a illustre la structure tridimensionnelle maillée, uniquement pour une question
de visualisation, différemment du maillage de calcul. La figure 5.12.b montre la structure avec
la répartition du courant à un instant t fixé. Enfin, la figure 5.12.C donne une représentation de
l'amplitude du courant suivant l'axe de l'antenne visualisable grâce à une variation de la
forme de celle-ci.
(a) (b) (c)
Figure 5.12 : Structure filaire maillée (a), répartition du courant à un instant t (b), effet de
l'onde plane (c)
- 8 5 -
Les figures 5.13 et 5.14 illustrent la visualisation de l'effet de l'onde plane sur l'antenne à
différents pas de temps. On représente la répartition du courant le long de l'antenne suivant la
position de l'onde.
Figure 5.13 : Effet de l'onde plane X = 1 m à un instant donné
Figure 5.14 : Effet de l'onde plane à un autre instant
Avec une formulation « fils fins », on a une représentation de champ rayonné dans un plan
orthogonale à l'axe Z. Un quadrillage du plan est effectué afin que le code fournisse la valeur
du champ en un point, à chaque pas de temps. Une représentation pour un instant t fixe,
permet de visualiser le champ proche rayonné de l'antenne (figure 5.15 b). L'antenne est de
- 8 6 -
longueur L = 1 m, de rayon a = 5 mm, et elle est soumise à une onde plane sinusoïdale de
fréquence 300 MHz.
00 (b)
Figure 5.15 : Représentation de maillage (a) et du champ rayonné (b)
De plus, la figure 5.16 montre simultanément la répartition du courant et l'amplitude du
champ rayonné à un instant donné.
Figure 5.16 : Représentation simultanée du l'amplitude du courant et du champ rayonné de
l'antenne
Le champ proche calculé à l'aide de notre modèle est comparé aux résultats fournis par les
logiciels Wave 2D et Wave 3D, qui utilisent la méthode des éléments finis respectivement en
2 et 3 dimensions (figure 5.17). L'hypothèse utilisée par Wave 2D est celle d'une antenne
infiniment longue, alors que Wave 3D et notre modèle considèrent une antenne de longueur
L=l m.
- 8 7 -
E(V/m)
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Figure 5.17 : Champ diffracté
Nos résultats sont en adéquation avec ceux fournis par Wave 3D.
5.6 CONCLUSION
L'étude que nous avons menée, à l'aide d'un modèle « fils fins » utilisant la méthode des
moments, a permis la validation de nombreux résultats issus de la littérature. Les résultats
obtenus sont satisfaisants pour des sollicitations harmoniques. L'étude sur la précision et la
stabilité a permis de connaître les domaines de convergence du modèle et ces limites, en
particulier le nombre de pas de discrétisation optimal en fonction du rayon et de la longueur
de l'antenne considérée. L'étude dans le domaine temporel en réception et en émission fournit
des résultats tout à fait concordants avec les résultats de références. Les résultats de calcul sur
les champs proche et lointain coïncident avec les résultats issus de modélisations différentes.
L'utilisation du post processing pour la visualisation des phénomènes physiques (évolution du
courant le long de la ligne, représentation de l'amplitude du courant suivant l'axe, évolution
du champ proche) est une approche innovante.
- 8 8 -
Chapitre 6
- 8 9 -
6 MODÉLISATION DES PHÉNOMÈNES CONDUITS ET RAYONNES
6.1 Introduction
On souhaite déterminer la susceptibilité électromagnétique d'un circuit lorsqu'il est en
fonctionnement normal.
L'enjeu de ce type de problème est de simuler à la fois les phénomènes conduits et les
phénomènes induits, sachant qu'en définitive, il s'agit du même terme J dans les équations de
Maxwell. Nous allons adapter la formulation proposée dans le chapitre précédent pour les
phénomènes rayonnes aux phénomènes de conduction.
L'intérêt de cette approche réside dans la proposition d'une méthode reliant un code de calcul
de couplage de champs électromagnétiques à un code de circuit (de type SPICE ou autres),
afin de résoudre les problèmes d'interaction de champs et de circuits d'une manière auto
consistante, pour les problèmes non séparables [ZIM 84].
Dans cette optique, nous allons considérer l'insertion de composants électriques dans le cas
d'antennes et de circuits (Source de tension continue ou alternative, résistance, inductance,
capacité et diode).
6.2 Conduction et transport d'énergie
Différents types de transport d'énergie existent, ce sont les phénomènes de conduction, de
convection et de rayonnement. Le phénomène qui nous intéresse ici est le transport d'énergie
par rayonnement dont une illustration fondamentale est la chaleur que le soleil fournit à la
Terre.
Dans le cas d'un fil, une partie de l'énergie sert à la mise en mouvement des électrons, l'autre
se dissipe sous forme de rayonnement électromagnétique. Il en est de même si l'onde est
remplacée par un générateur, dans ce cas la perte d'énergie par effet Joule sera plus ou moins
importante. C'est la configuration de la structure qui détermine, via le calcul des couplages, la
portion d'énergie guidée et la portion d'énergie rayonnée. Dans le cas d'une étude des
phénomènes conduits, nous supposons que le système fonctionne de façon optimale lorsque
l'énergie rayonnée par les fils est la plus faible possible. Mais ce n'est pas le cas d'une
antenne par exemple, pour laquelle le rayonnement de la structure est volontaire.
- 9 0 -
Soit un volume V quelconque délimité par une surface S, en intégrant l'identité de Poynting
(6.1) obtenue à partir des équations de Maxwell - Ampère et de Maxwell - Faraday dans ce
domaine, on a :
J_B_
Mo 2
2 \
+ div = 0 (6.1)
o J
Ujv) 7)t
]_B_
Mo 2
2 ^ EAB
Mo dr = 0 (6.2)
Le terme en en — + B2
apparaît donc comme la somme d'une énergie purement électrique 2 2M0
et d'une énergie purement magnétique. Ce sont des énergies correspondant au champ
électromagnétique créé par des distributions de charges en mouvement ou non. Ce terme peut
être encore vu comme étant la puissance disponible dans le volume considéré a l'instant t. Ce
terme est appelé densité d'énergie électromagnétique. Le second terme de (6.2) représente la
variation d'énergie cinétique des charges contenues dans le volume de contrôle considéré (ou
encore la puissance dissipée par effet joule). Le troisième terme représente l'énergie (ou la
puissance) rayonnée à travers S.
Par ailleurs, le théorème de Green - Ostrogradsky nous dit que :
JJJ> d T = ïï -dS
Mo (s) M> (6.3)
Et l'identité de Poynting se met sous la forme :
Iii) ^t
E2
• + -1 B
Mo 2
- dr+—^ = -4-dt «
E ^ . d S (6.4)
(s) /"o Il s'agit de la loi de conservation de l'énergie, et elle suggère qu'une partie de l'énergie totale
est localisée dans les régions où règne un champ électromagnétique, indépendamment de la
présence de charge. La variation de l'énergie mécanique totale correspond donc au flux du
TÉAB -- reHI A D —
vecteur P = <£j ,dS, appelé vecteur de Poynting. (s)
Ce vecteur est donc directement associé à la puissance transportée par le champ
électromagnétique. Son flux à travers une surface S donne l'expression de la puissance qui
traverse cette surface.
- 9 1 -
Dans le cas où les conducteurs sont considérés comme électriquement parfaits, il n'existe
donc aucun champ dans la structure. Par conséquent, les pertes par effet Joule sont nulles dans
l'équation (6.2), et la totalité de la puissance fournie par la source se propage par
rayonnement. Ce rayonnement est situé autour de la structure, et il est plus ou moins guidé.
Un exemple, une paire de fils non torsadée rayonne plus qu'un câble coaxial. En effet, les
câbles coaxiaux ou les lignes à rubans utilisent le principe du condensateur pour transporter
l'énergie avec un minimum de pertes. Le champ électrique est alors perpendiculaire aux
rubans (figure 6.1). Dans le cas d'une antenne rectiligne, au contraire, le champ électrique est
parallèle au fil, quelle que soit la fréquence du générateur d'alimentation, et une grande part
de l'énergie est rayonnée.
La configuration géométrique de la structure, dans l'exemple de la ligne à rubans, détermine
la qualité du transport de l'énergie. Cela se traduit par une orientation particulière du trièdre
E, H, k. La figure 6.1 illustre la différence de potentiel créée par la répartition des charges qui
définit le sens du champ électrique. Le champ électrique quant à lui s'oriente dans le sens des
potentiels décroissants.
- Q
Figure 6.1 : Orientation et configuration géométrique du champ électromagnétique
En continu, si la ligne est sans pertes (pertes par effet Joule), aucune différence de potentiel
n'apparaît le long du fil, excepté aux points de connexion du générateur et du récepteur. En
alternatif, les temps de propagation sur les fils vont faire apparaître une répartition de charges
non homogène le long du fil, et donc des différences de potentiel. Le champ électrique
possède alors une composante parallèle au fil, qui crée une perte par rayonnement.
En conclusion, il ressort que le phénomène de conduction véhicule une énergie qui n'est pas
localisée dans le fil, mais guidée à l'extérieur du fil sous la forme d'un rayonnement
électromagnétique. De plus, ce rayonnement peut prendre différentes orientations dans
l'espace par rapport à la direction du fil. L'orientation du champ est sujette à deux influences :
la valeur des couplages imposés par la géométrie,
- la répartition des charges et potentiels le long des fils.
- 9 2 -
Par contre, le champ magnétique n'est pas sensible aux différences de potentiels, mais à
l'amplitude et au sens du courant J dans le circuit. Pour le cas de structures filaires, le champ
magnétique est toujours perpendiculaire à l'axe du fil.
Dans le cadre de notre étude, nous nous intéressons plus particulièrement au champ
électrique, du fait de l'emploi de l'EFIE.
6.3 PHÉNOMÈNE DE PROPAGATION
Le phénomène d'induction provoque l'existence d'un courant surfacique J s , significatif pour
les fréquences suffisamment élevées, et ce bien qu'il ne règne pas de champ électrique à
l'intérieur du conducteur, et donc qu'il n'y ait aucun courant volumique associé. On calcule
ce courant surfacique J s grâce à l'EFIE. Une modélisation plus réaliste prendrait en compte la
polarisation du conducteur par le champ électrique ; ce phénomène fait alors apparaître des
densités de charges par couplages successifs des différentes portions du fil, ce qui crée un
courant le long de celui-ci. Néanmoins, étant confronté à un phénomène transitoire, on peut le
négliger dans notre modélisation.
Afin d'obtenir un couplage entre la structure étudiée et l'onde électromagnétique, il faut que
le champ électrique ait une composante non nulle suivant l'axe. Ce champ induit alors un
courant surfacique qui provoque un rayonnement de la structure. Le phénomène se reproduit,
c'est-à-dire que ce champ rayonné se couple également à la structure, induit à son tour un
nouveau courant. L'amorce de la propagation dans la structure a bien lieu et le phénomène
s'entretient puisque le champ électrique conserve une composante non nulle suivant l'axe du
fil.
Nous allons maintenant essayer de faire le lien entre ces remarques et la formulation initiale
de notre problème. Le champ électrique rayonné en chacun des segments de la structure est
calculé grâce à la connaissance des courants induits aux instants précédents. Pour être plus
général, il suffit de prendre en compte tous les courants de la structure lors du calcul du
champ diffracté.
Au contraire, si l'on se limite à faire intervenir uniquement la contribution localisée des
courants voisins pour le calcul du champ rayonné, on se trouve dans le cas d'un calcul de type
circuit. De la sorte, on peut simuler la conduction de proche en proche avec la connaissance
du champ électrique dans chaque portion de circuit successive. Cette modélisation est illustrée
sur la figure 6.2 :
- 9 3 -
couplage proche
A L
Figure 6.2 : Conducteur vu comme un tube de champ
Dans cette configuration, on approche le conducteur par un tube de champ. De ce tube ne
s'échappe aucun rayonnement vers les segments qui ne se situent pas dans le voisinage
immédiat du conducteur. L'onde de champ est transformée en une onde de tension. Elle se
propage à l'intérieur du tube de segment en segment. Notre calcul d'un champ diffracté local
permet de conserver ce phénomène de « conduction pure » en ajoutant des termes
complémentaires. Néanmoins, lorsque l'on considère le couplage de deux segments adjacents
non alignés, celui-ci n'est pas maximal et la différence observée correspond aux pertes dans le
coude formant la jonction [BEN 97]. Afin d'obtenir une modélisation parfaite du phénomène
de « conduction pure sans pertes », il nous faut imposer le produit scalaire s'.s égal à 1.
L'EFIE restreinte au voisinage du point d'observation, peut alors, remplacer de manière
avantageuse les équations du circuit. On a alors la loi locale suivante, donnant le champ
électrique en un point de l'espace s' et à l'instant / :
Dans cette équation, L est l'opérateur intégro-différentiel sur J s . Notons que cette loi est très
similaire à la loi d'Ohm car elle met en relation le courant et le champ.
On peut favoriser le guidage de l'énergie le long des fils grâce à un choix spécifique lors du
calcul : on choisit les couplages maximaux entre deux segments consécutifs, et nuls ailleurs.
Ces observations nous apprennent plusieurs choses : tout d'abord, puisque le rayonnement est
un phénomène inhérent à la propagation, on a nécessairement une composante tangentielle au
fil du champ électrique non nulle. De plus, ce phénomène de propagation est exclusivement
un phénomène transitoire.
Par ailleurs, on peut arranger cette formulation du problème de rayonnement au cas des
phénomènes conduits. Pour cela, on suppose qu'il y a une source de champ E localisée dans
le circuit, cette source étant censée modéliser une source conduite ; un couplage optimal entre
la source et le segment d'application assure alors la génération du phénomène de conduction.
(6.5)
- 9 4 -
En ce qui concerne la propagation du phénomène, elle est garantie par un couplage exclusif et
optimisé entre deux segments adjacents. Ainsi, l'énergie ne traverse jamais de zones dans
l'air, puisqu'elle est dirigée le long des fils conducteurs.
Enfin, on peut écrire la vitesse v à laquelle l'énergie conduite est transportée par les champs
électromagnétiques de surface :
(6.6)
Dans cette relation, co est la vitesse de la lumière dans le vide, et la permittivité et
perméabilité relative du milieu environnant. La vitesse v est donc liée aux paramètres
caractéristiques du milieu. C'est pourquoi un fil de cuivre plongé dans l'eau de mer ou dans
l'air ne conduira pas un signal à la même vitesse.
6.4 PERTES PAR RAYONNEMENT
Nous proposons une modélisation de ces phénomènes conduits en accord avec les hypothèses
retenues initialement pour le rayonnement. L'objectif, à présent, est de trouver un moyen de
simuler l'introduction de composants.
La propagation est rendue possible par couplage entre le champ rayonné et les segments. Il est
donc nécessaire qu'apparaisse une composante du champ électrique tangentielle à l'axe du fil.
Cette composante existe tant que le système est soumis à des variations temporelles, et parce
que le fil possède une impédance caractéristique (impédance de rayonnement, puisqu'il n 'y a
pas de pertes Joule par hypothèse). En courant continu, lorsque le régime permanent est
atteint, cette composante disparaît. Par ailleurs, en dehors de toute singularité et de
changement de rayon, l'impédance caractéristique du fil est uniforme ce qui conduit à
l'établissement d'un régime stationnaire et à la disparition de la composante.
Dans le cas où l'impédance entre deux segments est inadaptée, un rayonnement
supplémentaire est provoqué. Le but est d'entretenir une désadaptation pour modéliser
l'impédance localisée d'un composant. Dans ces conditions, l'insertion d'un composant dans
un circuit se traduit, premièrement, par l'ajout d'un terme d'impédance en série avec
l'impédance caractéristique du fil, et deuxièmement, par l'apparition d'un terme de champ
électrique supplémentaire parallèle au fil. En régime continu, le champ électrique
correspondant est statique.
Cependant, un problème se pose alors en ce qui concerne la dissipation de l'énergie dans une
résistance. En effet, comment trouver l'énergie de rayonnement équivalente à celle dissipée
- 9 5 -
par effet Joule ? On peut l'expliquer de la manière suivante : tout d'abord, il y a une
différence de potentiel aux bornes de la résistance, et par conséquent une discontinuité dans la
répartition des charges, ce qui donne naissance à un champ électrique. Par ailleurs, cette
différence de potentiel est créée en amont par une source d'énergie. Cette énergie est donc
transmise de la source au récepteur. Du fait qu'il n 'y a qu'une faible partie de celle-ci qui est
dissipée par rayonnement dans les fils, on peut alors utiliser l'équivalence entre le champ créé
par la source et celui créé par le récepteur : cela peut s'écrire sous la forme d'une loi de
maille. La figure 6.3 montre l'équivalence en termes de rayonnement de la transmission
d'énergie d'une source à un récepteur.
Énergie chimique ou mécanique
Source
Énergie thermique ( R)
ou stockée (L, C)
Récepteur
Figure 6.3 : Synoptique de la conversion d'énergie
6.5 MODÉLISATION DES GÉNÉRATEURS
Le problème à présent est d'insérer un générateur de tension afin de s'intéresser à la
génération des phénomènes stationnaires. Un générateur de tension est caractérisé par la
tension à vide mesurée à ses bornes. Le but est d'établir une relation entre la tension
caractéristique et le champ électrique localisé produisant la force électromagnétique. Dans le
cas général de phénomènes non stationnaires, la différence de potentiel entre deux points A et
B ne dépend pas uniquement de la circulation du champ électrique, mais également de la
dérivée temporelle du potentiel vecteur.
Dans une approche électrotechnique, et pour des fréquences basses, un générateur de tension à
vide ne débite aucun courant. Il en va différemment en haute fréquence car les phénomènes de
propagation le long du fil entraînent l'apparition d'un courant sur le segment d'intégration
AB, même lorsque le circuit est ouvert.
- 9 6 -
Notre objectif est de modéliser une source de tension ponctuelle. En pratique, notre source
sera d'une longueur AB très petite devant la longueur d'onde X : A B « A , .
Étant donné que nous raisonnons en termes de champ électrique, il va falloir représenter cette
source de tension localisée par une répartition de champ électrique adéquate. On sait que :
e= J AB 5 oA dl (6.7)
On considère la longueur d'un segment très petite devant le temps de propagation, de ce fait
on peut négliger le courant, l'équation (6.7) contenant le potentiel vecteur  devient :
U A f l = i Ë - d ï (6.8) AB
La détermination de la tension aux bornes du générateur demande de connaître la variation
temporelle du courant dans le fil.
\AB\ «X A ^ ^ Q
Ç m Ç m Ç #^gj>^# Ç # Ç #—- )/(g,Q Si-l Si Si+1
Figure 6.4 : Source localisée de champ électrique
Le générateur est introduit au segment i. La différence de potentiel est évaluée aux bornes du
segment centré sur le segment i, c'est à dire aux bornes des deux demi-segments connectés au
segment i. Si la variation est considérée linéaire sur les deux segments connectés au segment
i, on utilise un fonction triangulaire ou rectangulaire comme fonction de base pour le courant :
E(s,t) =
- ' - ^ E t (t) pour s i 4 < s < S;
f ' - ' " } (6.9) [ S S m ) E,(t) pour S; < s < S;
-sM)
la relation (6.8) devient donc :
- 9 7 -
s + s i + l i
U.(0= )E{s,t) dtMs.^-s.^.it) (6.10) s , +s 8
2
•ème Ce champ électrique équivalent est ajouté au i terme du vecteur champ incident. On a
considéré un générateur idéal, mais on peut tout de même, lui adjoindre sa résistance interne
(en série) comme dans le modèle de Thévenin.
6.6 INSERTION DE COMPOSANTS ÉLECTRONIQUES ET ÉLECTRIQUES
On s'intéresse dans ce chapitre à deux cas de résolutions : le cas rayonné et le cas conduit.
6.6.1 Résolut ion dans le cas du rayonnement
La discrétisation des différentes équations intégrales a été ultérieurement présentée dans
l'hypothèse d'une charge quelconque localisée sur la structure fîlaire. Dans ce paragraphe
nous développerons l'incidence de la modification des équations intégrales sur le traitement
numérique dans le cas d'éléments linéaires tels qu'une résistance, une capacité ou une
inductance [GUE 83].
La forme discrétisée de l'équation pour fils quelconques donnée précédemment est :
[Zuilliv] + \El. ] = \Einc +Edif] (6.11)
A v e c i = l , . . . , N s ; u = l , . . . , N s e t v = 1 , . . . , N T
Lorsque la structure fîlaire est localement chargée par une impédance linéaire quelconque, on
pose :
KJ=KIJ'[/J (6-12) Où [ZÎ.J est une matrice impédance dont seuls les éléments diagonaux peuvent prendre une
valeur non nulle. Chacun de ces éléments représente la présence d'une impédance sur un
segment donné de la structure fîlaire. Ainsi Zx
mm est l'impédance localisée sur le m l è m e
segment du fil.
En injectant l'expression de la matrice E)- (6.12) dans (6.11), on obtient : y
Z. +Z.. [liv} = Einc+Edif
uv uv (6.13)
- 9 8 -
On constante lors de la résolution numérique, la présence de charges linéaires modifie
l'écriture de Zj u ainsi que le champ diffracté quand il s'agit de composants non linéaires.
6.6.1.1 Résolution en présence d'une résistance La résistance est le composant le plus simple à manipuler, car la tension à ses bornes dépend
uniquement du courant inconnu au temps présent. Le champ électrique dû à la présence
d'une charge résistive localisée sur le segment As, de la structure s'exprime par :
\uiv] n \ R " ] (6.14)
Dans le cas d'une charge résistive uniformément répartis sur le fil tous les éléments
diagonaux Rn ont une valeur non nulle. Ce qui lui confère la propriété de donner les
propriétés physiques du fil en lui donnant sa conductivité par défaut le cuivre.
Dans le cas d'une charge résistive localisée au point sm , tous les termes de la diagonale sont
nuls excepté celui de rang m. Pour ce faire, on utilise le principe de Kronecker pour conserver
l'élément placé en m.
Rii = Sim.Rmm (6.15)
o"1
(6.16) As,
0
En reportant l'expression (6.14) dans (6.11), on obtient par inversion de la matrice
l'expression du courant :
Z,„ +-As,
(6.17)
Nous ne notons aucune autre modification dans le cas d'une charge résistive. Le courant est
obtenu par inversion de la matrice ZjU.
La matrice Zm modifiée est toujours indépendante du temps. Elle sera par conséquent, comme
dans le cas sans charge, inversée et stockée préalablement pour être utilisée à chaque
incrémentation sur le temps.
Jusqu'à présent, on ne s'est pas intéresse à l'aspect physique du matériau, donc pour simuler
les phénomènes conduits et faire des circuits électriques, on donne les propriétés physiques de
- 9 9 -
la ligne, c'est à dire la résistivité du fil. Lors de notre modélisation, l'effet de peau et la
température ne seront pas pris en compte.
6 . 6 . 1 . 2 R É S O L U T I O N E N P R É S E N C E D ' U N E I N D U C T A N C E
Le champ E)v causé par le charge inductive Li au point sm s'exprime par
rL
E1 = _ D L = - L z . *v A. A. i dt i i
u: i di. iv (6.18)
On utilise l'interpolation quadratique dans le temps du courant à travers l'inductance
(Annexe A.3) [ANG 82] :
A =^Jv_ = J: h-Slj -21 +-I *v As. As. Att 1 2 J 7 - 1 2 } ' 2
E »v A * . 2At ; As. I 2At ''v'2 At ''v_1
-L.
(6.19)
(6.20)
i i Nous pouvons expliciter l'expression (6.20) en décomposant les termes dépendant des temps
présent et des temps passés : U. = U J + U 2
IV I V I V
avec
L. , i i U „ =
A . 2At
L.
Ul=-*-1
A . \ 2 A r Ar ' ' M J z
La matrice Z\\ pour une inductance se présente de la façon suivante :
0 '
(6.21)
(6.22)
(6.23)
0
(6.24)
En introduisant l'expression de £?,(6.20) dans (6.13), on obtient le courant induit sur le fil
localement chargé en st par une inductance :
[/j k+^rkr+^r] (6-25) où :
- 1 0 0 -
E«=E«+%*- (6.26) As,
\ziu + Zu j étant la nouvelle matrice impédance indépendante du temps.
Il apparaît deux modifications, celle de la matrice Ziu pour un ou plusieurs éléments
diagonaux, et celle du champ diffracté E?t'J par addition de la tension U2 connue à l'instant t v.
6 .6 .1 .3 R é s o l u t i o n e n p r é s e n c e d ' u n e c a p a c i t é
Au point si où est localisée la charge capacitive C „ la champ électrique s'exprime par :
U. E. =• l v
1 I hWt 'V As. A J . . C . 1
i i i -°° (6.27)
D'une façon analogue au cas de l'inductance, on utilise une interpolation quadratique dans le
temps du courant à travers la capacité (Annexe A.3). Elle permet d'exprimer le champ sous la
forme :
U. E. =• t v
1 5At »v As. As.C. 12 / i
I. + _ L _ J f : _ L _ / . _ £ ! / . + ' / / . ( * > • i>v As.C. 3As..C. ' » v - l 2 i,v-2 1 ix ^
2 1 At v - 1
/ i
(6.28)
La tension induite sur la capacité à l'instant t v apparaît comme la somme de deux tensions
une tension inconnue à l'instant t v, Uh
A . . C . 12 tv n iv i i (6.29)
La matrice s'identifie alors à l'impédance d'une charge linéaire quelconque Z
(6.30)
• Une tension connue à l'instant t v, £/ puisque s'exprimant en fonction des courants
U2 = IV
induits sur la capacité aux instants antérieurs à t v :
1 '^Vi-k.^h l7'(^ri A s . C . 3 (6.31)
- 1 0 1 -
En reportant l'expression (6.28) du champ E dans (6.13), on obtient le courant induit sur le
fil localement chargé en Sj par une capacité :
W = k+Z t f Fk+££] (6.32)
où :
As,
\ziu + Z°n J étant la nouvelle matrice impédance indépendante du temps.
On peut remarquer sur l'équation la modification de deux termes due à la présence de la
capacité :
S Modification d'un ou plusieurs éléments diagonaux de Ziu,
S Modification du champ diffracté £,ff par addition de la tension Ufv connue à
l'instant t v.
Avec cette dernière modification, on constate que lors de la résolution numérique, la présence
de charges linéaires ou non modifie l'écriture de la matrice Ziu. Aux termes diagonaux de Zlu
s'ajoutent ceux de la matrice impédance Z\.
Un exemple d'une antenne rectiligne localement chargée en son milieu par une capacité de
10 pF d'une part, ou une inductance de 33,4.10"9 H. La figure 6.5 présente le courant induit au
centre de l'antenne illuminée par une onde plane impulsionnelle en incidence normale.
L'antenne a une longueur L=l m, pour un rayon a = 6,738 mm.
Figure 6.5 : Courant au centre de l'antenne localement chargée par une capacité et une
inductance
- 1 0 2 -
6 .6 .2 Résolution dans le cas conduit
On peut relier l'impédance caractéristique d'un composant inséré dans un segment M aux
différentes valeurs de la tension en M grâce à l'application de la loi d'Ohm. L'équation (6.10)
nous permet de relier, de manière locale, la source de tension sur un segment au champ
électrique. Cette relation peut alors être superposée à l'équation intégrale du champ électrique
résolue par la Méthode des Moments.
On peut expliciter le principe du calcul. On représente le comportement du composant par un
modèle plus ou moins complexe. On considère que ce modèle est isolé des autres parties de la
structure filaire, comme s'il était enfermé dans une sphère centrée sur le segment d'insertion
du composant. Les équations le régissant sont des équations de circuit à l'intérieur de cette
sphère. La seule relation possible avec l'extérieur est le passage du courant traversant le
segment, ainsi que la tension aux bornes de ce segment, comme l'illustre la figure 6.6. Le
courant I(s,t) traversant le segment M à un instant donné vaut I(sm,t0.
l(s,t) i
Si-l Si Si+l
i=M
Figure 6.6 : Insertion d'un composant
Le plus souvent, on peut exprimer la loi d'Ohm à l'instant présent en fonction des courants
aux temps précédents, ce qui provient de l'existence des dérivées ou des intégrations
temporelles intervenant dans les équations de circuit [SKI 65] [CHU 75]. On l'écrit dans le
cas général :
um,v = zmIm,v + T^^m^mJ (6.34)
On peut la mettre sous forme matricielle, de même que dans l'EFIE. On obtient :
um,v=ZV
mI^v + %ZJ
mIi - (6.35)
où les matrices Z„,v sont réduites à un unique terme Z,„v sur la diagonale à l'instant tv.
- 103 -
On remarque donc que la tension aux bornes d'un composant est la somme de deux termes.
Le premier terme dépend du courant à l'instant présent. On ajoute le terme d'impédance
associé Zm
v divisé par la demi-longueur Às,„ du segment [sm.j, sm+i] au terme de couplage sur
la diagonale de la matrice ZM'. L'addition correspond à la mise en série de l'impédance du
composant et de celle du fil. Le second terme dépend des courants aux instants passés, et est
ajouté au vecteur champ diffracté E^k. Tandis que la matrice Z„ù est définie une fois pour
toutes par la géométrie de la structure, la matrice ZM
V évolue à chaque pas en fonction du
temps. Cette différence rend les calculs matriciels et les procédures numériques plus lourds.
Finalement, par superposition, l'EFIE donne :
l,,+E«+-±-ZlZilIJ (6.36)
— m \ — m / m j
Cette équation montre que l'insertion d'un composant crée un champ électrique rayonné, de
même forme que le champ diffracté par la structure filaire. Ce champ est parallèle à l'axe du
fil, ce qui veut dire que le composant rayonne de la même manière qu'un dipôle orienté dans
le sens du fil. La géométrie du composant n'est jamais prise en compte, et il ne peut donc y
avoir aucune autre composante de champ que celle qui est tangente à l'axe du fil.
u „ Ai
Z„„+-Ax
6.6.3 Application aux composants l inéaires
Dans le cas d'un élément de charge linéaire, résistance, capacité ou inductance, la tension
U(t) aux bornes est directement liée au courant / par :
(6.37)
m 0
La théorie des traitements des jonctions a été présentée au paragraphe 3.5.2, on va s'intéresser
à la simulation d'un circuit comportant uniquement des résistances pour vérifier si les lois des
Mailles et de Kirchhoff sont respectées.
- 1 0 4 -
6.6.4 Circuit résistif avec jonctions
Le circuit est composé de trois mailles distinctes (figure 6.7 a), alimentées par un générateur
de tension continue Ei = 100 V, et chargé par 5 résistances : RI = 100 £2 ; R2 = 50 Q ;
R3 = 200 Q ; R4 = 100 Q , ; R5 = 50 Q .
Le circuit est bidimensionnel 20 x 20 cm. Chaque segment est discrétisé en 10 éléments
identiques numérotés, avec pour rayon a = 5 mm afin de respecter le critère de convergence
Al > 2a (Cf Chapitre 5). L'élément 5 inclut la source de tension continue Ei. Les résistances
RI à R5 sont placées au centre de leur segment respectif (figure 6.7 b).
R2
RI
A
El R4
R3
R5
R2
RI
i i i i
I I I I M I
E l it
i.T| ) | | | | | ; i
R3 : I I I _ M I I I
R4 | |
:: R5
(a) (b)
Figure 6.7 : Structure à jonctions multiples (a) (b)
Les équations des mailles s'écrivent sous forme matricielle :
" R4 0 -R4 ^ mailleX ~E~
0 RI + R2 + R3 -R3 I maille! = 0
-R4 -R3 R3 + R4 + R5 JmailleZ _ 0
(6.38)
La matrice de transformation C appelée aussi matrice de connexion est une matrice qui
permet de passer du vecteur représenté par la matrice F au vecteur représenté par la matrice I.
I représente la matrice des courants dans les branches et I' représente la matrice des courants
dans chaque maille.
I=C.F (6.39)
T\ "0 1 0 "
12 0 1 0 ^ mailleï
13 = 0 - 1 1 I maille!
14 1 0 - 1 J- maillet
15 0 0 1
- 1 0 5 -
Le tableau 6.1 donne les valeurs simulées des courants continus traversant les cinq
résistances, en comparaison avec les valeurs calculées analytiquement. On constate que la loi
de Kirchhoff sur les courants est bien représentée par notre modèle, qui utilise le traitement
des jonctions proposé au paragraphe 3.5.2.
Courant I; Calculé (A) Simulé (A)
II 0,4211 0,4112
h 0,4211 0,4112
h 0,3158 0,3167
14 1 1,0124
I 5 0,7368 0,7354
Tableau 6.1 : Valeurs des courants calculés et simulés dans les différentes branches
Notre modèle vérifie de manière satisfaisantes les lois de Kirchhoff et les lois de continuité du
courant pour des phénomènes stationnaires (source de tension continue).
6.6.5 MODÈLE RLC PARALLÈLE
Le montage RLC parallèle (figure 6.8) permet de modéliser le comportement réel de certains
composants, en particulier celui d'une inductance (pour laquelle il rend compte des capacités
inter-spires parasites), ou encore celui d'un condensateur (dans ce cas, le RLC parallèle tient
compte de l'existence de courants de fuite dans le condensateur..).
Figure 6.8 : Schéma de montage RLC parallèle
- 1 0 6 -
L'écriture de la loi d'Ohm pour ce circuit dorme :
f U
1 m ' v 12C 2At 1
+ + — 5At 3L R
r 12
k + 5 h 8 + -1
— LR ,• + - / ,
CJ CJ-\ lC,j-2 (6.41)
V C,v-1
(L,v-2
Cette équation, définie à un temps tv, fait intervenir en plus du courant principal ImiV les
courants ÎL,V-I et ic,v-i, courants circulant dans les branches parallèles du circuit. La loi d'Ohm
prend cette forme lorsque l'on s'intéresse à la dépendance temporelle, et pour une résolution
complète il faut utiliser une méthode récurrente à partir des équations du circuit.
La figure 6.9 ci-dessous illustre bien l'importance de la prise en compte des composants
parasites. Dans notre exemple, une tension de 100 V est délivrée dans une charge RL à l'aide
d'un générateur de créneaux. La courbe tension en fonction du temps présente des fronts de
tension, dont la pente est d'environ 2000V/us. L'inductance du circuit est égale à lOOuH, et la
résistance de charge de 10£2. On obtient des courbes d'allure différente selon que l'on prend
le modèle d'une inductance pure et idéale ou que l'on tient compte de la capacité de fuite,
prise égale à 25pF.
avec capa
temps (ns)
Figure 6.9 : Tension aux bornes de la résistance de charge dans le cas d'une inductance de
lissage idéale, et dans le cas d'une inductance avec capacité inter-spires de 25 pF
- 107 -
6.7 Applications aux composants non linéaires
6.7 .1 L a diode
Le modèle utilisé dans un premier temps est celui de Bâtard [BAT 9 2 ] . Il se compose
principalement d'une résistance binaire et d'une source de courant commandées, et de
composants passifs. Il est représenté figure 6 . 1 0 .
'CR • R OFF 1
LCF
CF
R, U
Figure 6 . 1 0 : Schéma du modèle fm de la diode ( J C F = K . V L )
La force contre-électromotrice U E représente la tension de seuil avant l'amorçage, le
condensateur C R définit la capacité parasite de transition. Le générateur de courant J C F permet
de simuler le courant de recouvrement inverse, i.e. le flux de charges accumulées à l'état
passant dans la jonction et libérées au blocage. La cellule parallèle L / R L joue le rôle de
capteur pour le générateur de courant. La constante de temps L / R L détermine le temps de
remontée du courant inverse.
La mise en équation de ce modèle fin est détaillée en annexe A.4 . La relation traduisant la loi
d'Ohm pour la diode s'écrit au temps tv :
U,. At
1 0 R L _ f 2 +\5RLL-K-At + 24CRRLR • At + \5LAt + 36L • RLCR + 36L • CRR
(5(2RLAt + 3RLK• L + 3L)UE + 2Q(RK-L)LRLiLtV_t -5(RK-L)LRLiLv_2 +
+ ( 3 R L +2R*RLAT + 3RHL).{SIK + 8 / ^ - 6 ^ V _ 2 + 1 2 - ATJF 5 ' 2
5 h + 8 Z C R , V - 1 _ 6 z ' c R , v - 2 j=2
1 2 ^ 3 ^<"R
( 6 . 4 2 )
- 108-
Le modèle de diode doit commuter de façon autonome en fonction de la valeur de la tension à
ses bornes. La règle de commande s'énonce de manière standard, en considérant la tension
aux bornes de R L négligeable :
s i V D > 0 = > R = R
s i V D < 0 = > R = R off
on (6.43)
Cependant, cette règle ne suffit pas pour une bonne commutation à l'amorçage. En effet,
lorsque la diode devient passante, R vaut Ron très faible. Un courant positif important traverse
Ro„. Par réaction, le générateur impose également un courant supplémentaire JCF - Ce dernier,
ne peut pas s'écouler dans le circuit externe à la diode, du fait de l'existence d'une impédance
de charge ; il remonte dans la branche principale d'impédance très faible Ro„. Il apparaît alors
un courant négatif dans R ^ , qui inverse la valeur de la tension V D , et vient perturber le
fonctionnement du capteur. Il s'en suit un blocage puis un réamorçage intempestif, conduisant
à l'instabilité du modèle. Par contre, aucun problème n'est rencontré au blocage. La résistance
R est élevée et vaut Roff, le courant JCF s'écoule cette fois dans le circuit externe à la diode. La
raison de ce dysfonctionnement est que le modèle comportemental proposé n'instaure pas
d'équilibre naturel entre les transferts énergétiques. Pour remédier à l'instabilité, une
condition en courant à l'amorçage est ajoutée à la commande en tension. La table logique est
la suivante :
Entre ces deux états, R reste dans l'état précédent ; la diode est en commutation.
Les ligures 6.12 et 6.13 présentent un exemple de simulation dans le cas d'une diode soft
(diode de puissance lente) et d'une diode snap-off (rapide). Un redresseur mono-alternance
simplifié est constitué d'une diode et d'une résistance de charge de 100 O en série, alimenté
par un générateur de tension sinusoïdale 100 V et une fréquence de 250 KHz (figure 6.11). Le
circuit est une maille de 120 mm de coté. Le tableau 6.2 donne les valeurs de chacun des
composants élémentaires du modèle. La distinction entre diode soft et snap-off traduit
physiquement la faculté du composant à recouvrir les charges stockées dans la zone de
transition.
s i V D > 0 e t s i l k > 0 = > R = R
s i l k < 0 ^ > R = R o f f
on (6.44)
- 1 0 9 -
D
100 V 250 KHz ru
R= 100 n Figure 6.11 : Circuit mono-alternance
Ron Roff K C R L R L U E
Diode soft 6 mQ 300 M£2 3ÔÔÔ 80 pF 0,1 nH 0,6 m£2 ÏV
Snap-off 6 m Q 300 MO, 4500 80 pF 0,05 nH 0,8 mQ, IV
Tableau 6.2 : Valeurs des composants élémentaires pour deux types de diodes
I(A)
— snapp off
temps (|is)
Figure 6.12 : Allure des courants dans une diode soft et une diode snap-off à l'amorçage et au
blocage pour une tension d'alimentation 100 V - 250 kHz et une charge de 100 Q,
- 1 1 0 -
U W snap-off
Figure 6.13 : Allure des tensions pour une diode soft et une diode snap-off à l'amorçage et au
blocage pour une tension d'alimentation 100 V - 250 kHz et une charge de 100 Q,
La figure 6.12 montre clairement la différence de comportement entre les deux types de
diodes (soft et snap-off) concernant le temps de recouvrement inverse. Le temps de
recouvrement inverse désigne le temps nécessaire à la diode pour retrouver son pouvoir
bloquant et que les charges en excès soient évacuées. Il varie selon les constructeurs :
généralement, il représente le temps au bout duquel le courant inverse a atteint 25% de la
valeur max I R M . Au blocage, l'amplitude de la tension augmente à partir du moment où le
courant inverse a atteint son maximum. Les courants et les tensions sont rigoureusement
identiques à ceux obtenus à l'aide des simulateurs du type SICOS [JAS 90] ou SPICE
utilisant les équations de circuit.
La comparaison des résultats que nous avons obtenus avec ceux de la référence [BOS 99]
montre une bonne adéquation (figure 6.14), ce qui valide notre approche.
Figure 6.14 : Allure du courants dans une diode soft [BOS 99]
- 1 1 1 -
Lors d'une conception d'un montage de puissance, une des préoccupations essentielles est de
limiter les surtensions, les surintensités et les pertes. Les pertes se produisent lors des phases
de conduction mais aussi lors des phases de commutation. Il est donc particulièrement
important de les connaître, et de les maîtriser afin de ménager les composants et d'améliorer
le rendement. On va ainsi s'intéresser au rayonnement occasionné par les interrupteurs.
L'évaluation du champ électrique rayonné par un circuit simple est de l'ordre de quelques
V.m"1, c'est pourquoi la représentation de ce phénomène nous a paru pertinente. La figure
6.15 présente le champ rayonné du circuit électrique. On constate que le champ rayonné est
important lorsque apparaît une variation brusque du courant, en l'occurrence dans la phase de
blocage de la diode.
Eray (V/m)
0,1 -
0,05 -
-0,25 J
Figure 6.15 : Champ rayonné à 40 cm au dessus du circuit.
6.8 PRÉSENCE D'UNE DIODE DANS UNE ANTENNE
Il s'agit à présent dans cette étude d'étudier le comportement d'une diode soumise à un
champ électromagnétique. 2 cas sont étudiés :
• un modèle où la caractéristique de la diode est représentée par des segments de droite,
• le modèle introduit par Bâtard [BAT 92].
On considère dans ce cas un dipôle en réception, localement chargé par une diode dont la
caractéristique est donnée figure 6.16.
- 1 1 2 -
I A
50 Q
5 k Q
Figure 6.16 : Caractéristique I = f(V) de la diode
La figure 6.17 présente le courant induit dans une antenne rectiligne illuminée par une onde
plane impulsionnelle en incidence normale. L'antenne a une longueur L=l m, pour un rayon
a = 6,738 mm et une résistance linéaire de 50 Q, a été placée en son centre. Elle est isolée dans
l'espace. D'autre part, elle est comme indiquée précédemment localement chargé par une
diode au milieu du fil. La représentation de l'évolution du courant en fonction du temps
(figure 6.18) montre que, durant la première alternance, le courant induit sur cet élément est
identique à celui qui existerait en présence d'une résistance linéaire de 50 Q . Par contre, on
observe un amortissement très important de l'alternance négative.
I(mA)
25
temps (ns)
Figure 6.17 : Évolution du courant induit sur une résistance linéaire de 50 O
-113 -
I(mA)
i
Figure 6.18 : Évolution du courant en présence de la diode
Le courant calculé à l'aide de notre modèle est comparé avec celui obtenu par [GUE 83]. Les
résultats de notre simulation sont en corrélation avec les résultats de référence.
Cette validation de ce modèle, nous permet d'étudier l'influence d'une onde de type IEMN
sur le même type d'antenne, mais en utilisant le modèle Bâtard [BAT 92] pour une diode
lente de type soft.
I(mA)
Figure 6.19 : Évolution du courant en présence de la diode [BAT 92]
La figure 6.19 présente l'évolution du courant en fonction du temps, et on constate que le
modèle de la diode amortit le courant mais ne l'annule pas totalement. Ceci peut s'expliquer
par la présence du champ perturbateur et un temps de recouvrement trop long vis à vis de la
fréquence de ce champ, la diode ne retrouve pas son pouvoir bloquant.
- 1 1 4 -
6.8 .1 Perturbat ion é lect romagnét ique sur un circuit
L'exemple suivant présente la réaction d'un circuit soumis à une perturbation
électromagnétique du type IEMN. L'onde arrivant sous incidence normale est de la forme
Einc = E0 [exp(-ar) - exp(-yfff)] » où EO = 50 kV/m, a = 3,3.10 6, et 13 = 4,5.10 8 . Les
dimensions du circuit sont petites devant la longueur d'onde équivalente à l'onde
perturbatrice. Le circuit comporte une seule maille carré de 120*120 mm, et fonctionne
comme un redresseur mono-alternance alimenté sous 100 V à une fréquence de 500 kHz. La
charge est une résistance pure de 100 Q. Le modèle de la diode est celui de [BAT 92].
Pour simuler ce type de problème, on doit effectuer un couplage entre les formulations de
conduction et de rayonnement. On voit apparaître deux termes sources :
- la source de tension présente dans le circuit, localisée spatialement (sur un segment de
la structure) avec une contribution constante dans le temps.
- L'onde perturbatrice qui atteint la structure dans sa globalité (sur l'ensemble des
segments) mais dont l'effet est instantané.
L'instant d'incidence a lieu lorsque le courant est nul, cependant il est possible de choisir un
autre instant, et de modifier la caractéristique de l'onde.
Figure 6.20 : Courant en fonctionnement normal et perturbé
dans le circuit redresseur mono-alternance.
- 115 -
I(A)
0,8 -
0,6 -
0,4 -
0,2 -
Perturbé
Normal
0 temps ([is)
-0,212
-0,4
-0,6 -
-0,8 -
1,5
Figure 6.21 : Comparaison des courants en fonctionnement normal et perturbé (zoom).
La ligure 6.20 présente le courant dans le circuit avec et sans perturbation. Les signaux sont
comparés sur la figure 6.21 en faisant un zoom de la figure 6.20. L'onde incidente induit un
double pic de courant, d'une durée très courte, dont l'amplitude est de l'ordre de0,6 A. On
constate que la diode, lors d'une agression perd son pouvoir bloquant. Cependant, la
surintensité n'altère pas le fonctionnement du circuit.
Le champ rayonné de ce circuit simple sans la perturbation est représenté sur la figure 6.22.
Eray (V/m)
0,2 -
0,1 -
-0,6 J
Figure 6.22 : Champ rayonné sans perturbation à 40 cm du plan du circuit
- 1 1 6 -
6.9 CONCLUSION
Tout d'abord, la simulation des phénomènes conduits et rayonnes a été adapté à la
formulation du problème de diffraction électromagnétique. L'impédance des composants est
assimilée à un terme de rayonnement localisé supplémentaire. Les générateurs sont considérés
comme des sources de champ électriques locales. Pour le cas conduit, les composants sont
caractérisés par la loi d'Ohm.
L'EFIE nous a permis :
D'insérer des composants linéaires sur une antenne pour étudier la diffraction de
celle-ci,
A partir d'hypothèses sur la conduction et le rayonnement des segments, de
superposer à la formulation les phénomènes conduits.
Un circuit comportant des résistances nous a permis de valider les phénomènes conduits avec
une bonne précision. L'étude d'un circuit RLC nous a permis d'apprécier les phénomènes
transitoires.
Pour finir, des études avec des diodes ont été réalisées à partir de modèles analytiques
différents pour valider le comportement du code de calculs. Il faut bien noter que ces modèles
de composants simulent uniquement des phénomènes conduits. Par conséquent, le composant
est considéré comme ponctuel et le champ électrique correspondant à la tension à ces bornes
prend arbitrairement l'orientation du fil. A l'avenir, ce type de modèle peut être complété par
un modèle de rayonnement, tenant compte de la géométrie du composant et de sa signature
électromagnétique [HUM 99].
Enfin, on a superposé un problème de conduction et de diffraction d'un circuit simple, cela
ouvre la voie à l'étude de circuit plus complexes.
- 1 1 7 -
Conclusion générale
- 1 1 8 -
7 Conclusion générale et perspectives
Notre objectif était de simuler le rayonnement de circuits électroniques et électriques. Nous
avons dans cette étude abordé principalement l'aspect modélisation des circuits électriques
comportant des composants linéaires ou non, ainsi que l'évaluation de la susceptibilité
électromagnétique.
Nous avons développé et mis en œuvre une formulation intégrale temporelle en champ
électrique. Pour simplifier celle-ci, on a utilisé l'approximation des « fils fins ». Ensuite, la
discrétisation du problème a été réalisée en utilisant des fonctions d'interpolation du second
ordre pour le courant inconnu et une méthode de collocation pour construire le système
matriciel.
Le programme informatique découlant de cette formulation a été en langage JAVA™,
permettant de résoudre des problèmes de rayonnement électromagnétique, couplés à des
problèmes de circuits électriques (dont on pourra ainsi calculer le champ rayonné). Ce
mémoire insiste, en outre, sur l'importance du post processing en présentant, entre autre,
l'évolution temporelle de l'effet d'une onde sur une antenne, et la distribution du champ
rayonné par celle-ci.
Nous avons pu simuler le fonctionnement du système complet en introduisant dans le circuit
des composants électroniques et électriques. En définitive, notre étude a débouché sur la
création d'un modèle global, capable de traiter simultanément les phénomènes de conduction
et de rayonnement, permettant ainsi d'évaluer la susceptibilité d'un système électrique simple
en fonctionnement nominal.
Par le présent travail, nous avons introduit une démarche reproductible pour le développement
d'outils numériques d'aide à la conception en CEM, et le fait d'avoir programmé en langage
JAVA™ nous permettra d'ajouter des modules de composants tels que le modèle dérive
diffusion des semiconducteurs.
Perspectives
Nous avons donc présenté un modèle performant, qui présente néanmoins quelques
insuffisances et limitations. Nous allons donc évoquer trois domaines principaux de
recherches et améliorations possibles pour des travaux ultérieurs.
- 1 1 9 -
En ce qui concerne la modélisation des composants, nous nous sommes heurtés à des
difficultés pour ce qui est de mettre en place certains des modèles comportementaux. En effet,
lorsque l'architecture de ceux-ci est organisée autour de sources de tension ou de sources de
courant, la procédure itérative du time-stepping devient instable.
Nous avons fait l'hypothèse, dans notre travail, de composants non rayonnants et non
susceptibles. Pour compléter notre étude, il faudrait assimiler à la modélisation des
composants le phénomène de rayonnement.
Enfin, il faudrait insérer les semi-conducteurs en couplant directement leurs équations de
comportement avec les équations de circuit. Cependant le couplage est apparu difficile à
réaliser notamment à cause du nombre de ces équations de comportement et par le fait
qu'elles sont fortement non linéaires.
Pour les structures filaires, nous avons développé une formulation intégrale. Pour tenir
compte du rôle des bandes conductrices, des boîtiers métalliques, il est nécessaire de lui
ajouter une formulation surfacique.
Par ailleurs, la formulation souffre du fait qu'elle ne prend pas en compte les pièces massives
comme les plans de masse ou les diélectriques. Elle ne prend pas non plus en compte l'effet
de peau. En régime harmonique, une étude [JAC 00] a montré qu'il est possible de prendre en
compte plusieurs objets de caractéristiques différentes distants, collés ou encore emboîtés.
Ceci peut être étendu au régime temporel et aux structures filaires. Prenons pour cela
l'exemple d'un fil fin et d'une plaque de cuivre.
Dans notre travail, une description du phénomène de conduction est réalisée à partir de la
propagation et du couplage du champ électrique. Pour les formulations surfaciques, par
contre, on utilise généralement la version intégrale de l'équation du champ magnétique
(MFIE). À ce jour, le couplage de ces deux méthodes n'est pas immédiat.
- 1 2 0 -
Annexes
- 121 -
8 Annexes
8.1 Annexes A. 1 : Expression du courant I en fonction du vecteur densité de J
dans l'approximation des fils minces
L'intensité du courant l(s,t) sur le fil, en un point M d'abscisse curviligne S est liée au
vecteur densité de courant J par :
l{s,t)= p-s-ds' ( A U ) section
le structure fîlaire est supposée parfaitement conductrice, par conséquent J est localisé sur la
surface S du fil et défini par :
J(P,t) = j(M,t)-ôs, Me S (A1.2)
où ôs est une distribution localisée sur la surface du fil (figure A 1.1) et définie par :
(ôs, (p{x, y, z)) = p(y0 ,y0,z0 )dS0 (Al .3)
Co : Axe curviligne du fil
a : Rayon du fil
Figure A l . 1 : Structure fîlaire quelconque
(p est une fonction test [SCH 66] [BOU 64] définie dans i ? 3 .
Dans ces conditions, l'expression (Al . l ) à l'aide (Al.2) s'écrit :
a lit
l(s,t)= p(M,t)-s-ôs-ds'= \\J(M,t)-s-ô{r'-a)-r'dPdff (Al .4) section 0 0
- 122-
La première approximation des fils minces consiste à supposer J parallèle à S et
indépendant de la coordonnée 9'. L'expression (Al.4) s'écrit alors :
l(s,t) = 2jca-j(M,t) (Al.5)
où a est le rayon du fil et J est le module de J .
-123-
8.2 Annexe A.2 : Calcul des termes intégrale de l'EFIE
Tout d'abord, l'expression de l'équation intégrale du champ électrique (EFIE) est la suivante :
s.Einc(s,t) = ^ - [ V ' Air J An
11.1 M n+c—-R dt ' ' Ri d s
I{s\f) + c*—q Râ
ds (A2.1)
En discrétisant cette équation, et en appliquant la distribution de Dirac, on aboutit à l'équation
suivante :
R»*] J[i;,j> RJ xr^j* K qiAi,j[ ds,
(A2.2)
On remplace les dérivées spatiales et temporelles par leurs polynômes de Lagrange respectifs,
l'équation (A2.2) s'écrit :
JLh.1' Ani=\ " - A / / 2
. 2
s. l=+lm=n+2 h m \ R. l-+\m=n+2 h m)
Ru. l=-l m=n 1 l=-\ m=n ' IU
i+lj+m
n
s = \ r = -\ t = n
(A2.3)
Pour faire apparaître une matrice Z, on sépare les signes Sommes et on introduit une
distribution de Dirac pour construire un système linéaire.
„ Nl=+\ Ai 2 T " I Z S . / { 4;r/=!/=-1 « -Ai /2 R
R
V iu 2 « ;
Riu i+l,v
n R- q=2 ( / , « ? / 2 > ) 1
J-l C ^ /' + / + r ,v k ,v-r. +/»
iu
r. + \m\ +1
2 Rh. " + 2 ("/«A 1 U + 1 n + 2
- c - y - I *V E Z I
Rjum = ri 5 = 1 r = - l t = n
2 > C ( r ' ° I W'-/ + / i + l + r,s + t-< / '
(A2.4)
- 124 -
( ) signifie dans l'équation (A2.4) la valeur entière inférieure fermé du quotient Riu
cAt
X( \ J1 p o u r r i u = p
0 autrement (A2.5)
L'algorithme de résolution doit respecter le critère suivant :
le pas de temps At sera le même tout au long de la programmation
Rg : u et v représentent les points de collocations en espace et en temps.
Avec : u = l , . . . , N S et v=1v..Nt T
At 7\L
r v =v.Ar avecv = l , . . . ,N T
tj=j.At
Af ,=_ / ,Vj
(A2.6)
(A2.7)
(A2.8)
(A2.9)
" Riu » t . =t 1 . =>t. = i v c j j
et j est choisi de telle façon que
. cAt ) 2
Riu
c.At At
At
(A2.10)
(A2.l l )
En posant r. = l^—) ; " ( \ " représente la valeur entière fermée de , on peut écrire : *" \cAt/ w cAt
j=v-riu (A2.12)
L'expression du champ incident en chaque point de la structure discrétisée s'écrit :
Einc=s .EincL ,t ) (A2.13) uv u \ u v' v '
L'équation à résoudre peut se mettre sous la forme matricielle comme suit
-125 -
(A2.14)
Lors de la discrétisation temporelle, il faut que la condition sur n soit respectée
- 2 , pourRiu/c£ <1,5 (afn d'éviter l'interpolation dans le futur) n
{- 1, dans les autres cas
L'expression matriciel du système à résoudre s'écrit :
(A2.15)
/=+l n+2 , +1 +1 »'+2 »+2 (r'- ."+IH+1\ v-r+m 7.-,.,.„+__ _ l}
2 'F'""* I J, /=-l m=n ' l=-\r=-l m-n' l=n s=\
On sépare chaque terme de l'équation (A2.16) pour les calculer séparément
ZUi s'écrit :
(A2.16)
47T FCY
+1 A,. , /2 ,
-A,_,/2 P=° I _4M.,-^^,B::f-^.,B:'.f
Ri-l,u
ds i-1
r=-l 2 Ki-l-r,u <Z=0
Sous forme condensée, l'équation s'écrit
+i i +1 2
[ p=0 r=-l q=0
.<«),.(f))l
(A2.17)
(A2.18)
Par identification, l'expression de Xuis'écrit :
- - ( / , « ) _ / / 0 ? r '"f
p c X5i-1 p 2 s - D i - l
d S ; , } (A2.19)
-A,-,/2 L
Avec tBi et s Bi, les dérivées temporelles et spatiales des polynômes de B et C :
»D,M)=
W = " + 2 1 t i ^
w = +n \ f-t . j + w
y
i
w = +n \t .+t . - t . J J J + ™
(A2.20)
(HM) _ r = 1 1 (1 NI) R = 1 1
r--l F^J* ~ r = -l(V.'+s.-« ) ' T R \I I I+R)
IF (A2.21)
W,,, s'écrit
- 1 2 6 -
( / . » . r , ) 2
- J
- A M _ r / 2
Ri-l-r,u 0 ( l , m ) ^ ( M ) , » n J D i - l . r L / i - l U S i - l - r
(A2.22)
Les polynômes B et C sont :
B> (l,m) p = 1 q = n + 2
= n n
p = - l q = n
p * 1 q * m
( " s. + s . - s . V
i i i + p j (t"-qS)
(m-q)S s. , , - s . ,
1 + 1 î + p
(A2.23)
C; ( l , m ) r = + l
- 8 I 1 P z t 1 ( s i _ s i + p )
r = S - ! ( s i - S i + r J P ^ k + l - ^ + p J A '
V
s = 1 q = n + 2 « ^
z n 8 = 0 q = n ( m " < l ) ,
(A2.24)
Pour le calcul des éléments des matrices, on utilise une schéma d'intégration quadratique.
JU + 1 3 3
• S E S
/ = - l o = 0 6 = 0
E ^ ( ' M , i - / > f e i i , «
p = 0
+ E Ê ^ - ' - ^ - P)pt-l-r,uj(q12),r,((9+l ) /2) A w ' - r , «
r = - l o = 0
(A2.25)
s u et S j sont les vecteurs tangents de module égal à 1.
- 1 2 7 -
Calcul de l'intégrale
Le but est de ramener l'équation intégrale à la forme connue suivante
..a Aa,b) = f A Si (A2.26)
avec :
R. \s. h=r -r.-s. = R. -s.s. IU\ l ) U l l m i l (A2.27)
Rb (s. I = iu\ i
M Il2 R. -R. -Is.s.-R. +s.
m m i i m i
b/2 (A2.28)
On pose :
5 = - 2 ^ , - ^ (A2.29)
et C = Rj = Riu • Ritl (A2.30)
En utilisant une table appropriée [GRA 80], les valeurs des intégrales de (A2.26) sont calculés
analytiquement pour chaque valeurs de a et b :
/ M ) _ iu
(A2.30)
(1,0]
i u 12
7P'°) _ iu
0
(A2.31)
(A2.32)
(A2.33)
iu
/u) _ iu
C "\ n ln 2R. \s. + 2s. +B
i
A . / 2
- A . / 2
R. s. iu\ i
V 2
- A . / 2 2 iu
(A2.34)
(A2.35)
-128-
iu 1 " „
- s . - - B 2 i A
R. i s iu\ i
V 2
-A./2 8 V •AC) R\U (A2.36)
/P'1) _ _i 3 w +
' 3 „2Ï7(U) 1 2C + - 5 4 J iu
+ -BCl{°Ù-2 *«
N \ I I
R. I s. s. iu\ i ) i
f 1 ^ s. +-B
1 2 ,
A./2
~ M 2 \
(A2.37)
2 ( 2 > y j + j 8
-arctan
nA . /2
iu 1
4C + 5 2 Y / 2 4 C - 5 '
J - A . / 2
2s. +B i
A . / 2
s i B 2 = AC
- A . / 2
(A2.38)
iu
,(2-2) _ iu
7P>2) _ iu
InR. \s. iu\ i
V 2 -LBIm - A . / 2 2 ™
I l / I l
5 . -BLnR. s. i iu\ i
iu
- A . / 2 -L ) ™
(A2.39)
(A2.40)
(A2.41)
- 1 2 9 -
2s. + B i
A . / 2
IU
J - A . / 2
1
» 1 s. + - B
. * 2
\ 2
A . / 2
J - A . / 2
(A2.42)
s i B 2 = 4C
2 B J . + 4 C
4C + B2)R. \S".
iu\ i
/ P U
iu 1
B 1
/ M 1 s. +-B
V ' 2
\ 2
A . / 2
A . / 2
1
f » l \ s. +-B
L 1 2 J
A . / 2
- A . / 2
(A2.43)
s i B z = 4C
(2,31 (0,11 (1,31 f0,3] /V j = /V ' J >-CD } (A2.44)
w iu vu vu
(3,31 fUl (2,3) (1,31 /V j = D > -BD. > -Cil, ' (A2.45)
IU IU IU IU
Pour les calculs de X u i et W u i , ils peuvent s'exprimer en fonction de lfu
b et des constantes
d'interpolations. Par identification avec l'équation (A2.25), on établit :
= ~ K " È È W ^ Ï ( A 2 - 4 6 )
417 £otZo
=-c1jJ±h • T T ^ , „ ) / ; M , F , , . / ^ , U (A2.47) o=0 6=0
On introduit le polynôme D pour alléger les expressions de F et G.
- 130-
, n+2
Dr=àt2u'(^-sJum(m-^ On obtient pour chaque valeur de o et b les polynômes F et G correspondants
(A2.48)
p(0,0) i,uj,m
4 s P(2.0) ____L___L
I,U,/,M £ ) ( ' , ' " ) C
n+2
g=n
F. , = Ar
F?? = 0 -* i,u,l,m
1 1 \ f " + 2 " + 2
Î^L = cAt2 ^ R l u S ' - s i + p ) j r , 2 -r„X'"<,+n>| i,u,l,m 0 = - \
f 1 ."1 f n+2 »+2 1
1 f n+2 n+2 1
FSS. — - R . _ ' « + ri'«
1^ , [ 9=» ?=n J
= 0
^ £ , = 0 Vb
GSSl = 0 Va
(A2.49)
(A2.50)
(A2.51)
(A2.52)
(A2.53)
(A2.54)
(A2.55)
(A2.56)
(A2.57)
(A2.58)
(A2.59)
(A2.60)
(A2.61)
(A2.62)
(A2.63)
- 131 -
£ ( U )
£(2,D i,»,/ ,m ,r ,1
£(3,1) i,u,l,m,r,t
£(0,2) t,u,l,m,r,t
G ( U )
i,u,l,m,r,t
1
c2.Df'm)
1 P=-i
p=-i
c 2 . D ( / , m ) i + '
p=-i
= Ar
(A2.64)
(A2.65)
(A2.66)
(A2.67)
P=-i p=-i n+2 2r („-I"V/
<7=n
£ (2,2) = A, ; .D, ( ' 'm )
£(3,2) i,u,l,m,r,( = At-
c.D (/ , /») S;
*,È'fo-0-*. p=- l
n+2
x n+2 0 = M
q=)l /-(M)
77(0,3) n+2 n+2 o=n ?=n
(A2.68)
(A2.69)
(A2.70)
(A2.71)
n+2 n+2 o=n g=n
£(2,3)
£(3,3) i,u,l,nt,r,t
-At2
£)(/,'«) X r — /* n+2 n+2
2>+rr* </=n o=n
- A r 2 - L - ^ D(l'm)
n+2 n+2 o=n g=n r-(f.')
ui+/
(A2.72)
Cjft0 (A2.73)
(A2.74)
Au final, on aboutit à l'équation matricielle du courant suivante
1=7.
l=+\ n+2 _ t/î •* v-r,_; „ +»i
/=-l m=n , r, , , „+l»il+l\ +1 +1 n2 n+2 ('"••» I I ) (/,m,r,l) 2 /
ES S Z ./=-! r=-1 m=n' (=n
v-n_;_, ,,+m W 2 - / ^ v _ ' / - / - r , i +m+/+l-s
(A2.75)
- 1 3 2 -
avec ri=<
_, ._, Riu . . 2 pour AR = —— < 1.5 c.At (A2
•1 autrement
- 133 -
8.3 ANNEXE A.3 : APPROXIMATION D'UNE FONCTION PAR UN POLYNÔME
8.3.1 Introduction
Soit une fonction f(x) de la variable réelle x il peut être utile de remplacer cette fonction dans
un intervalle donné de variation de x par une fonction de forme plus simple. Ici nous
prendrons un polynôme. La substitution d'un polynôme aura pour but de remplacer une
expression analytique compliquée qui se prête mal au calcul [ANG 82 ].
Il existe plusieurs méthodes d'interpolation de polynômes telle que :
S Polynôme d'interpolation de Lagrange
S Polynômes d'interpolation de Newton
S Polynôme d'interpolation de Bessel
S Polynôme d'interpolation de Stirling
8 .3 .2 Déterminat ion des coefficients des po lynômes de N e w t o n
Dans le cadre de notre étude, on s'intéressera plus particulièrement à la méthode de Newton
Soit une fonction f(x) connue par certaines valeurs bo, b l , ,bn qu'elle prend au point de
discrétisation aO, a l , . . . ,an
Le polynôme d'interpolation de Newton s'écrit sous la forme suivante :
P(x) = B0+Bl(x-a) + B2(x-a)(x-a + h) + ...
x-a + (n-ï)h\
Figure A3.1
- 1 3 4 -
Nous allons déterminer les coefficients B de manière que P(x) prenne les valeurs bO,bl,...,bn
pour les valeurs a,a-h,...,a-nh de la variable. (Avec h l'intervalle d'interpolation et a la valeur
initial de x)
Soit: f(aD = P(ai) (A3.2)
En donnant successivement à x les valeurs a,a-h,...,a-nh, cette condition nous permet
d'écrire :
b0=B0
bx=B0-hBx,
b2=B0- 2hBx + 2\h2B2 (A3.3)
bn =B0- nhBx +... + (-l)~" n\h"Bn
On peut exprimer les valeurs des coefficients B en fonction de b, d'où :
B0=K
B =
bo ~bi _ ^ 1
h h
_(b0-bx)-(bx-b2)_Abx-Ab2 _A2b2
1 2\h2 2\h2 2\h2
£ ~ \ _ x - A ' - \ _A"b„ B„ =•
n\h" n\h"
x — ci Si on pose u - l e polynôme (1) s'écrit sous la forme
h
1 P(x) = b0+ uAbx + — u(u + \)A% +...
(A3.5)
+ — u(u +1)...{u + n - l)A"6„
Ce polynôme (A3.5) est appelé polynôme d'interpolation de Newton ascendant.
8.3.3 UTILISATION DU POLYNÔME D'INTERPOLATION DE NEWTON DANS LE CALCUL NUMÉRIQUE
DES DÉRIVÉES
Soit à calculer la dérivée suivante :
/ ' ( M ) = - f / ( W ) (A3.6) au
- 135 -
En désignant toujours l'intervalle d'interpolation par h, par b la valeur initiale de x et par
u=(x-a)/h,
La dérivation du polynôme d'interpolation de Newton ascendant nous donne :
h Aèft +
2w-1 3w 2 -6w + 2 . , , A k + àbn + ... 2! " 3!
si on fait u=0 dans l'expression précédente, on a
1 1 Ab, + -A2b0 +-Aib, + ...
(A3.7)
(A3. 8)
Utilisation du polynôme d'interpolation de newton dans l'approximation de l'intégrale d'une
fonction.
Soit à calculer
6
/ = \f(x)dx
on pose : b-a = nh, u = , ç(u) = f(a + hu). h
(A3.9)
(A3.10)
Nous avons :
n
I = h\q>(u)du (A3. l l ) 0
Si nous substituons à <p(u)le polynôme d'interpolation de Newton ascendant (A3.5) passant
par les n+1 points a, f(a) ; a-h, f(a-h) ;a-nh,f(a-nh)
I = h\
r 1 b0 + uAbx +—u(u + \)A\ +...
+—u(u + ï)...(u + n~\)A"b
du
I = h nbn +—n2Ab, + f 3 2 A ' n n
T T A\+-
3!
f 4 n 3 2
— + n + n
\
A3h+,
(A3.12)
(A3.13)
En repassant à la variable x, on obtient :
I = h nf(b) + ^n2Af(b-h) + • + — 3 2
A2f(b-2h) + 3!
( 4 « 3 2 — + n +n
V 4
Aif(b-3h) + ...
(A3.14)
- 1 3 6 -
Application de l'interpolation quadratique dans le temps du courant induit sur la charge
capacitive et inductive.
On se propose d'exprimer le courant Ij induit à l'instant tj sur une charge capacitive ou
inductive en utilisant une interpolation quadratique de I(t), c'est à dire en remplaçant I(t) par
une parabole de degré 2 passant par les points (tj-2, I j - 2 ) , (tj-i, Ij-i), (tj> Ij) (figure A3.2).
*i-2 tj-1 &
Figure A3.2
À l'instant tj, seul le courant Ij est inconnu, les courants Ij.2 et Tj_i sont déterminés aux instants
antérieurs tj_2 et tj_i. Les différence première àl(t) et seconde A 2/(r) utilisées dans cette
interpolation sont données par le tableau suivant :
t I(t) A2/(0
tj-2 Ij-2
tj-1 A 2 / 2 = / y - 2 / , _ 1 + / , _ 2
tj Ij
En choisissant un intervalle d'interpolation h constant et égale au pas d'échantillonnage sur le
temps Atj, les expressions (A3.8) et (A3.14) nous permettrons d'exprimer respectivement la
tension aux bornes de la capacité et de l'inductance.
Cas de la capacité
- 1 3 7 -
Cette intégrale peut s'écrire autrement :
3 C
(A3.15)
<j-\ 'j \I(T)ÎT+ \I(T)IT
•j-i
(A3.16)
à l'instant tj, l'intégrale (A3.15) se décompose en deux intégrales. La valeur de la première est
connue, la seconde est exprimée en utilisant le polynôme d'interpolation de Newton (A3.14).
On a donc :
\l(r)dr = Atj\^IJAJ_l-l-IJ_2
0-i avec : t-t, u = ; et h = At:
At. 3
J
d'où finalement l'expression de la tension aux bornes d'un condensateur
5 , 2 . 1 V^-Atj 3 C 3
•j-i
(A3.17)
(A3.18)
(A3.19)
L'expression de la tension aux bornes de la capacité s'écrit finalement
Vf--3 C
(A3.20)
Cas de l'inductance
Vf=L—L 3 dt, 3
(A3.21)
La dérivée du courant à l'instant tj est donnée par le polynôme d'interpolation de Newton
(A3.8).
L'expression de la tension aux bornes de la self s'exprime de la façon suivante :
^=f{(^-^)+}(/>"2^,+/^)}
(A3.22)
(A3.23)
- 138 -
Vf = — ( - / , . - 2 / . , + - / , 2 | (A3.24) 3 At, [2 1 1 1 2 1 2
- 1 3 9 -
8.4 ANNEXE A.4 : LA DIODE
La simulation de la diode utilise le modèle de Bâtard [BAT 92].
Équations de base :
J C F = K - V L (A4.1)
I = i C R + i D + J C F (A4.2)
i D = i L + i R L (A4.3)
U k = U E + R - i D ; k + V L ; k (A4.4)
j=2\U i 1 J M [ S . 2 . 1 . | c A 4 r \
U k = — + — i r i c i - i—>c i-2 (A4.S) k C r C R C R j 3 CR,j 1 2 CR,j 2 j
V L , k = R L i R L ; k (A4.6)
V L ; k = ^ f f - i L , k - 2 . i L , k _ , + i - i L ; k _ 2 l (A4.7)
On introduit dans (6) l'expression du courant i R L donne par (3)
V L > k = R L - ( i D i k - i L > k ) (A4.8)
On combine (7) et (8) et isole
4 L i , k - i - L i , k _ 2 + 2 R L A t - i D _ k
l L , k 3L + 2 R L A t (A4.9)
On combine (7) avec (4) pour obtenir U
- 140-
Uk =UE+RiDk + 3 .
1 . At »L,k - 2 i L , k - r +-i
L,k-2
Puis dans cette expression on injecte iL (9)
Uk =UE+RiDk+ — At 4LiL>k_! -LiLk_2 +2RLAt-iD>k 3L + 2RLAt On isole iD de la combinaison de (10), (9) et (5)
—
2*L,k-l + ~ Ï L , k - 2
(A4.10)
(A4.11)
lD,k=-1
~((l 5AtL+l bRiAt! )cR,k+(24LAt+l 6RiAt2 )ba-i+ 36CRR-L+24CRR-RLAt+36LRLCR
+(-ULAt-l2RLAt2)cR,k-2+(36L+24RLAt)At^i^icRj
j=2
+4SLRlCr ûjt-i - 1 ILRlCr ù,k-2+(-36CRL-24CR-RLAtpE ) (A4.12)
On isole iCR de la combinaison de (1) et (2)
ÎCR,k =Ik ~ÎD,k —KVuk
On combine (8) et (9) pour obtenir une expression de VL
VL,k=Ri-(iD,k
4 m ~ 1 ~ ^ 2 ^ ^ ' i D J t ) (A4.13)
De la combinaison de (12) et (13) on obtient iD, qui combinée avec (A4.14) et injectée dans
(A4.11) donne:
Équation finale :
At k \0KLAt2 +15RLL-K-At + 24CRRLR -At + l 5LAt + 36L- RLCR + 361 • CRR
(5(2RLAt + 3RLK • L + 3LpE + 20(RK - l)LRLiLk_, - 5(RK -l)LRLiLk_2 +
+ (3R L + 2Jtf R L J f + 3R L z). 57, + 8 / ^ , - Ô i ^ + U - A t j ]
{ 3 z ••- JJJ
k'H5. 2 . ^
lr- i + - lr„ i-i _ li 2.
(A4.14)
- 141 -
Bibliographie
- 142-
[1] A.Bouzourène, M.Himeur et G.Rojat, « Contribution à la surveillance de l'état des
transistors de puissance bipolaires à grilles isolées (IGBT) », Électronique de puissance du
futur (EPF 2000), Lille 29 et 30 novembre, 1 e r décembre 2000.
[2] S.Benhassine, M.Himeur, L.Nicolas, L.Pichon, C.Vollaire., « Comparaison de
modèles numériques spéciaux pour la modélisation de l'interaction onde - réseau » Journée
« SDSE'01 » Sûreté et Disponibilité des Systèmes Électrotechnique. GdR Lyon, 14 décembre
2001.
[3] Himeur M., Askri A., Nicolas L., Vollaire C , « Calcul de l'atténuation normalisée de
l'emplacement ANE » nème colloque international de compatibilité électromagnétique CEM
02, actes du colloque, Grenoble, 1 2 - 1 4 mars 2002.
[4] Himeur M., Askri A., Nicolas L., Vollaire C , Numerical calculation of the normalized
site atténuation (NSA) » The Tenth Biennial IEEE Conférence on Electromagnetic Field
Computation - Perugia, Italy, June 16-19 2002.
[5] M. Himeur., O. Fabregue., L. Nicolas ., « Use the post processing for the phenomena
représentation » compumag '03, submitted.
- 143 -
9 RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIES
[ALI 93] Aliabadi M.H., Brebia C.A., « Advanced formulation in boundary élément
methods » Computational mechanics publications, 1993.
[ANT96] Antonini G., Cristina S., Orlandi A., «EMC characterization of SMPS
devices : circuit and radiated émissions model », IEEE Trans. on EMC, vol. 38, no. 3, aug.
1996.
[ANG 82 ] Angot André « Compléments de mathématiques à l'usage des ingénieurs de
l'électrotechnique et des télécommunications » sixième édition 2 è tirage . édition MASSON
1982.
[BAC 94] Bâcha A., Saguet P., Ndagijimana F., « Détermination of currents in wires
from their scattered field », Proceedings of the EUROEM94 international symposium,
Electromagnetic environments & conséquences, Part I, Sérafîn, Bolomey, Dupouy éd.,
Bordeaux, 30 mai -3 juin 1994.
[BAL 82] Constantine. A.Balanis, « Antenna Theory: Analysis and design », 2 n d ed, by
John Wiley & Sons, Inc, 1982.
[BAN 96] Bancroft R., « Undestanding electromagnetic scattering using the moment
method - A practical approch », Atech House, Inc, 1996.
[BAR 94] Bareau P., Pacaud A., « Étude statistique de la propagation d'un signal
radiofréquence perturbateur sur une carte électronique » L'onde Électrique, vol. 74, n° l , pp
43-48, janv. Fév. 1994.
[BAT 92] BATARD Ch., « Interactions composants - circuits dans les onduleurs de
tension. Caractérisation - modélisation - Simulation », thèse de 3 è m e cycle, INPT, Toulouse,
1992.
- 1 4 4 -
[BEN 70] Bennet C L . , Week L., « Transient scattering from conducting cylinders »
IEEE Transactions on Antennas and Propagation, Vol. AP 18, n°5, September 1970.
[BEN 97] BEN H ADJ SLAMA J., « Modélisation du rayonnement électromagnétique
des circuits d'électronique de puissance. Application à un hacheur », thèse de doctorat, ECL,
Lyon,déc. 1992.
[BER 94] Berenger J.P., « Introduction de circuits localisées et des charges non linéaires
dans le formalismes des fils minces aux différences finies », CEM 94, 7 è m e colloque
international et exposition sur la CEM, Toulouse, 2-4 mars 1994.
[BER 96] Berrebi G., « Susceptibilité de composants CMS soumis aux stress
impulsionnels » 8 è m e colloque international et exposition sur la CEM, Actes de colloque, Lille,
3-5 sep. 1996.
[BEV78] Bevensee R.M., Brittingham J.N., Deadrick F.J., Lehman T.H., Miller
E.K.,Poggio A.J., « Computer codes for EMP Interaction and coupling », IEEE Trans.
Antennas Propagt, vol AP-26, p 156, jan 1978
[BLA 84] Blake L.V., « Antennas », Artech House, INC., 1984.
[BON 00] Bonnet P. « Résolution des équations de Maxwell instationnaires et
harmoniques par une technique de volumes finis, application a des problèmes de compatibilité
électromagnétique >>http://www.ville-clermontferrand.fr/devel/recherche/Jeune%20Chercheur
/2000/bonnet.htm.
[BOS 99] BOST F., « Vers une modélisation temporelle unique des phénomènes
électromagnétiques conduits et rayonnes dans les systèmes électriques. Application à
l'électronique de puissance. », thèse de doctorat, ECL, Lyon, 1999.
[BOW 69] Bowman, J.J., Senior, T.B.A., and Uslenghi, P.L.E., eds., Electromagnetic and
Acoustic Scaterring by Simple Shapes, North-Holland Publishing Compagny, Amstersdam,
1969, pp. 29-31.
- 145-
[BRE 80] Brebia C.A., The boundary élément method for engineers, Pentech Press,
London, 1980.
[BRY 92] Bryson, S., Levit, C , « The Virtual Wind Tunnel », IEEE Computer Grahpics
and Applications, pages 25-34, July 1992.
[BUZ 93] Buzzi-Ferraris G., « Scientific C++ : Building Numerical Libraries the Object-
Orientes Way », Addison-Wesley Publishing Company, 1993.
[CAN 91] Cangellaaris A.C., « Time-domain finite methods for electrmagnetic wave
propagation and scattering » IEEE Transactions on magnetics., vol. 27, n°5, pp. 3780-3785,
September 1991.
[CER 93] Cerri G., De Léo R., Mariani Primiani V., « A rigorous model for radiated
émission prédiction in PCB circuits », IEEE Trans. On EMC, vol.38, n° l , feb 1993.
[CHA 92] Charoy A., « Compatibilité électromagnétique, parasites et perturbations des
électroniques » Éditions Dunod, Paris, 1992.
[CHR 93] Christopoulos C , Herring J.L., « The applications of transmission-Line
Modeling (TLM) to EMC problems », IEEE Trans. on EMC, vol 35, no. 2, may 1993.
[CHU 75] Chua.L.0., Lin P-M., « Computer-aided analysis of electronic circuits :
Algorithms and computational techniques », by Prentice-Hall, Inc, Englewood Cliffs, New
Jersy, 1975.
[DAF 83] Dafif O., « Étude de la diffraction d'ondes électromagnétiques en régime
transitoire par des structures fïlaires de formes quelconques en présence du sol » Thèse de
doctorat, université de Limoges, UER des sciences, 1983.
[DAU 90] Dauge M., Nicaise S., Bourland M., Lubuma J.M.-S., « Coefficients des
singularités pour des problèmes aux limites elliptiques sur un domaine à points coniques. I
Résultats généraux pour le problème de Dirichlet » R.A.I.R.O Mathematical Modeling and
Numerical Analysis, vol. 24, n° l , 1990.
- 1 4 6 -
[DEG90] Degauque P., Hamelin J., CEM-Bruits et perturbations radioélectriques,
collection technique et scientifique des télécommunications, Bordas et cnet-enst, Paris, 1990.
[D1N 92] Dinh T.V., Cabon B., Daoud N., Chilo J., « Electromagnetic modelling of
conductive or superconductive microstrip Unes using SPICE as electromagnetic solver»,
Journal de physique III, vol.2, n°l 1, nov.1992.
[DIR 89] Directive 89/336/CEE du 3 mai 1989.
[DRI94] Drissi M., Citerne J., Hervé P., Rochdi M., « Analysis of radiation émissions
from PCB's », Proceedings of the EUROEM94 international symposium, Electromagnetic
environments & conséquences, Part I, Sérafïn, Bolomey, Dupouy éd., Bordeaux,
30 mai-3 juin 1994.
[FEL 76] Felsen L.B., Transient electromagnetic fields, Springer-verlag, New York,
1976.
[FEL 94] Feliziani M., Celozzi S., Borgeest K., « SPICE model of excited transmission
lines with non linear loads » Proceedings of the EUROEM94 international symposium,
Electromagnetic environments & conséquences, Part I, Sérafïn, Bolomey, Dupouy éd.,
Bordeaux, 30 mai -3 juin 1994.
[FOU 98] Fouassier P., Cogitore B., Keradec J.P., « Modélisation haute fréquence des
transformateurs : de la recherche aux applications industrielles », EPF'98, Actes du colloque,
Belfort, 16-18 déc. 1998
[GAR83] Gardiol F., Ianovici M., Zûrcher J.F., Compatibilité électromagnétique,
Propagation des phénomènes électromagnétiques, M. Ianovici & J.J. Morf, École
Polytechnique Fédérale de Lausanne et Zurich, Press polytechniques romandes, Lausanne,
Suisse, 1983.
- 1 4 7 -
[GAR 87] Garbe H., Singer H., « Computation of transient electromagnetic effects in
Systems with non linear components » EM 1987, 7ème international Zurich symposium and
technical exhibition on electromagnetic compatibility, 3-5 march, 1987.
[GIR 97] Girard C., « Contribution à la modélisation des structures fïlaires en régime
transitoire - Application en électronique de puissance », Thèse de doctorat d'électronique,
université de Limoges, faculté des sciences, 1997.
[GOL 89] Goldberg D.E., Richardson J., « Genetic algorithm with in search optimization
&Machine learning », Addison Wesley, 1989.
[GOE 92] Goedbloed J.J., « Electromagnetic compatibility » édition published by
Prentice Hall International (UK), 1992.
[GOM 91] Gomez R., Salinas A., Rubio Bretones A., and Martin M., « Time-domain
intégral équation for EMP analysis » Int. J. Numer. Model. (Spécial Issue on electromagnetic
compatibility), 4, pp. 153-162,1991.
[GRA 80] Gradshteyn I.S., Ryzhik I.W., « Table of intégrais, Séries and products »,
Académie New-York, édition 1980.
[GRI92] Grisvard P., « Singularities in boundary value problems », Research notes in
applied Mathematics, Série editors : Masson, Springer - Verlag, 1992.
[GUE 83] Guédira M.R., « Étude en régime transitoire du comportement de structures
fïlaires présentant des charges linéaires ou non linéaires » Thèse de doctorat de 3 e cycle
d'électronique, spécialité : « Communications Micro ondes et optique », université de
Limoges, UER des sciences, décembre 1983.
[GUE 94] Guerrieri S., Rachidi F., Ianoz M., Zweiacker P., Borghetti A., Nucci C.A.,
« Effet d'une impulsion électromagnétique sur des réseaux électriques à plusieurs branches.
Modélisation et validation expérimentale», CEM94, 7ème colloque international et
exposition sur la CEM, Toulouse, 2-4 mars 1994.
- 1 4 8 -
[GUS98] Gustin F., Bocus S.D., Bemot F., Berthon A., «Modélisation d'un
transformateur haute fréquence dans l'étude d'un convertisseur DC-AC-AC pour moteur
brushless », EPF'98, Actes du colloques, Belfort, 16-18 déc. 1998
[HAD 52] Hadamard J., « Lectures on Cauchy's Probblem in Linear Partial Differential
Equations », New York, Dover, 1952.
[HAR 69] Harrington R.F., « Field computation by moments methods » Me Graw-Hill,
1969.
[HAR 82] Harrington R.F., « Field computation by moment methods », Robert E. Krieger
Publishing Company, reprint édition 1968, Malabar, Floride, 1982.
[HIM 02a] Himeur M., Askri A., Nicolas L., Vollaire C , « Calcul de l'atténuation
normalisée de l'emplacement ANE» H è m e colloque international de compatibilité
électromagnétique CEM 02, actes du colloque, Grenoble, 12 - 14 mars 2002
[HIM 02b] Himeur M., Askri A., Nicolas L., Vollaire C , « Numerical calculation
of the normalized site atténuation (NSA) » The Tenth Biennial IEEE Conférence on
Electromagnetic Field Computation - Perugia, Italy, June 16-19 2002.
[HOL 75] Holland J., « Adapdation in natural and artificial Systems », The univ. Of
Michigan Press, Ann Arbor, 1975.
[HOR 99] Horstmann C.S., Cornell G., « Core Java 2 : Volume 1 - Fundamentals »,
Prentice Hall PTR/Sun Microsystems Press, ISBN 0-130-81933-6,1999.
[HUM 99] Humbert L. « Influence du vieillissement des composants constituant une
cellule de commutation sur sa signature électromagnétique », thèse de doctorat, ECL, Lyon,
1999.
[IMB 75] Imbriale W.A., « Application of the method of moments to thin wire élément
and array», Chapitre 2 de Numerical and asymptotic techniques in electromagnetics,
Springer-Verlag, 1975.
- 1 4 9 -
[JAC 00] Jacques T., « Parallélisation de la méthode des équations intégrales de frontière
en vue de modéliser les phénomènes de diffraction électromagnétique », thèse de doctorat,
ECL, Lyon, nov. 2000.
[JAS 90] Jastre R., « Logiciel de commande pour la simulation d'interrupteurs de
puissance S.I.C.O.S », mémoire CNAM, ECL, Lyon, oct.90.
[JIN 93] Jin J.M., « The finite élément method in electromagnetics », New York :
Wiley, 1993.
[JOH 88] Johns P.B., « Simulation of electromagnetic wave interactions by TLM »,
Wave motion, 10, pp. 597-610,1988.
[KAN 64] Kantorovich L. V., Akilov G.P., « Functional Analysis in Normed Spaces »,
translated by D.E. Brown, Pergamon Press, Oxford, pp. 586-587, 1964.
[KEL 62] Keller, J.B., « Geometrical theory of diffraction », J.Opt. Soc. Am., Vol. 52,
N°2,1962, pp. 116-130.
[KHA 78] KAHN Kenneth M., Cari HEWITT « Dynamic graphies using quasi
parallelism », ACM Computer graphies, 1978, vol 12, n 2, p 357-362.
[KIN 55] King R.W.P., « Transmission line theory », Me Graw Hill, New York, 1955.
[KLE 77] Kleiner C.T., Johnson E.D., Me Murray L.R., Susuki F., « An electrical surge
arrestor model for electromagnetic puise analysis », IEEE Trans. on nuclear Science, vol. 5,
pp. 192-194, dec.1977.
[KOU 74] Kouyoumjian, R. G., and Pathak, P. H., " A uniform geometrical theory of
diffraction for an edge in a perfectly conducting surface," Proc. IEEE, Vol . 62, 1974, pp.
1448-1461.
- 150 -
[KUO 72] Kuo D., Chao H.H., Mautz J.R., Strait B.J. and Haarrington R.F., « Analysis of
radiation and scattering of arbitrary configurations of thin wire, IEEE Trans. on Ant. And
Prop., vol. AP-20, pp 814, nov. 1972.
[LAR 96] Lardellier M., « Contribution à l'étude des perturbations électromagnétiques
générés par des convertisseurs à liaisons directes », thèses de doctorat, CEGELY, ECL, Lyon,
1996.
[LAU 95] Laurin J.J., Zaky S.G., Balmain K.G., « On the prédiction of digital circuit
susceptibility to radiated EMI » IEEE Trans. on EMC, vol. 37, n°4, nov. 1995.
[LIN 85] Lins P., Davis., « On the approximate computation of certain strongly singular
intégrais » Computing 35, Springer - Verlag, pp 345-353, 1985.
[LIU 73] Liu T.K., Mei K.K., Radio Sci. 8, 797, 1973.
[MAR 92] Martin R.G., Salinas A., Rubio Bretones., « Time-domain intégral équation
methods for the transient analysis » IEEE Antennas and propagation Magazine, vol.34, n°3,
June 92.
[MEI 73] MEI K.K and LIU T.K., « A time domain intégral équation solution for linear
antennas and scatterers » Radio sciences - Vol. 8, 1973.
[MER 96] Merienne F., Roudet J., Baudet J., « Analyse de l'auto-perturbation d'un
convertisseur statique d'électronique de puissance par courant de mode commun », 8 è m e
colloque international et expositions sur la CEM, Actes du colloque, Lille, 3-5 sept. 1996.
[MIL 73a] Miller E.K., Poggio A.J., Burke G.J., « An integro differential équation
technique for the time domain analysis of thin wire structures. I. Numerical method », Journal
of Computational Physics 12, pp. 24-48,1973
[MIL 73b] Miller E.K., Poggio A.J., Burke G.J., « An integro differential équation
technique for the time domain analysis of thin wire structures. I. Numerical results », Journal
of Computational Physics 12, pp. 210-233, 1973.
- 1 5 1 -
[MIL 94] Miller E.K., « Time-domain modeling in electromagnetics », Journal of
electromagnetics waves and applications, vol. 8, N°9/10, pp 1125-1172, 1994.
[NIC 85] NICOL C. J. « Modelling solids in four dimensions », Computer graphies
forum, 1985, vol 4, p 239-244.
[PAU P7] Paush R., Profitt D., Williams G., « Quantifying Immersion in Virtual
Reality » ACM SIGGRAPH, 1997.
[PET 96] Petit Ph, « Modélisation des circuits en électronique de puissance par la
méthodes des fils fins »,CNAM ,thèse de 3 è m e cycle, Lille, 1996.
[PET96] Petit Ph., Labarre-Poudroux C , Gautier C , Costa F., «Modélisation du
câblage imprimé en électronique de puissance par la méthode des fils fins », 8 è m e colloque
international et expositions sur la CEM, Actes du colloque, Lille, 3-5 sept. 1996
[POC 98] Pocock M.D., Bluck M.J., Walker S.P., « Electromagnetic scattering from 3-D
curved dielectric bodies using time-domain intégral équations », IEEE Trans. Antennas
propagation. Vol. 46, n°8, aug. 1998.
[POC 97] Pocklington H.C., « Electrical oscillation sin wires », Proc. Cambridge Phil.
Soc , vol 9, pp.324 - 332,1897.
[POU 94] Poudroux C , Riffi M., Demoulin B., « Utilisation de l'approximations des
modes semi-dégénés pour évaluer l'amplitude des tensions induites aux extrémités d'une
ligne multifilaire » CEM94, 7 è m e colloque international et exposition sur la CEM, Toulouse,
2-4 mars 1994.
[PUZ 92] Puzzo. A., « Contribution à l'étude des perturbations rayonnées par les
convertisseurs H.F » thèse de 3 è m e cycle, école centrale de Lyon, juinl992.
[RAU 91] Raulet C. « Disjoncteur statique moyenne tension, mise en série de transistors
MOSFET de puissance », thèse de doctorat 3 e cycle, CEGELY, ECL, Lyon, 1991.
- 1 5 2 -
[RED 84] Redlich R., « On the extended boundary condition as applied to the dipole
antenna problem », IEEE Trans. on Ant. and Prop., vol AP-32 n°4, pp. 403-404, avril, 1984.
[REY 82] REYNOLDS Craig W. « Computer animation with scripts and actors,
Computer graphies », 1982, vol 16, n 3, p 289-296.
[RIA 92] Riaublanc P., Renard M., « Modélisation physique des éclateurs à gaz »,
CEM'92, Lyon, France, 2-4 mars 1992.
[RIC 74] Richmond J.H., « Radiation and scattering by thin-wire structures in a
homogeneous conducting médium » IEEE Transactions on antennas and propagation, vol AP-
22, pp 365, June 1974.
[RIF 94] Riffi M., El Bekkali M., Bennouna M., « Utilisation des concepts d'ondes
modales pour évaluer l'amplitude des tensions induites sur une lignes multifilaire chargée par
des éléments non linéaires », CEM 94, 7 è m e colloque international et exposition sur la CEM,
Toulouse, 2-4 mars 1994.
[RIF 96] Riffi M., El Bekkali M., Benseddik M., Bennouna M., « Évaluation du courant
induit par des champs électromagnétiques transitoires sur des pistes de circuits imprimés
chargée par des éléments non linéaires », CEM 94, 8 è m e colloque international et exposition
sur la CEM, Actes du colloque, Lille, 3-5 septembre 1996.
[SAR99] Saréni B., « Méthodes d'optimisation multimodales associées à la
modélisation numérique en électromagnétisme », thèse de doctorat, ECL, Lyon, janvier. 1999.
[SCH 66] Schwart L., « Théorie des distributions » Herman, paris, 1966
[SCH92] Schlemmer E., Rucker W.M., Richter K.R., «Calcul des champs
électromagnétiques diffractés par un obstacle diélectrique tridimensionnel par éléments de
frontière en régime transitoire» Journal de physique III, vol. 2, n ° l l , pp 2115-2126,
nov. 1992.
- 153 -
[SCH 98] Schunn, F.; Singer, H. « A new numerical formulation in time-domain analysis
of thin-wire structures » Antennas and Propagation Society International Symposium, 1998.
IEEE , Volume: 2 ,1998, Page(s): 960 -963 .
[SENG 73] SENGUPTA D.L and TAI C.T., « Radiation and réception of transientsby
linear antennas » Topics in applied physics - Vol. 10, pp 182 - 234, édition LB Felsen.
[SKI 65] Skilling H.H., « Electrical engineering Circuits », Second édition, by John
Wiley & Sons, Innc, 1965.
[STA 68] Stakgold L, « Boundary value problems of mathematical physics » Mac Millan
company, New York, 1968.
[STE 93] Steinberg B.Z., Leviatan Y., « On the use of the wavelet expansions in the
method of moments » IEEE Trans. AP, vol. 41 , pp.610-619, 1993.
[STR 41] Stratton J.A., Electromagnetic theory, Mac Graw Hill, NEW York, 1941.
[STR 80] Strait B.J., Applications of the Method of Moments of Electromagnetic Fields,
The SCEEE Press, pp. 1-14, NY, 1980.
[STR 97] Stroutstrup B., « The C++ Programming Language », Addison-Wesley, ISBN
0-201-88954-4,1997.
[TAF 93] Taflove A., Umashankar K., « Computational Electrodynamics » Artech House
Publishers 1993.
[TAM 02] Tamas R., Cacoveanu R., Chilo J., « Utilisation des ondelettes dans
l'évaluation des interférences entre antennes» CEM 08, l l è m e colloque international de
compatibilité électromagnétique, Actes du colloque, Grenoble, 12-14 Mars 2002.
[VIL 00] Villeger S., « Développement de modèles théoriques pour l'étude de la
susceptibilité de cartes de circuit imprimé dans leur boîtier face à des parasites transitoires »
Thèse de doctorat de 3 e cycle d'électronique des hautes fréquences et optoélectroniques,
- 154 -
spécialité : « Télécommunications », université de Limoges, faculté des sciences, décembre
2000.
[WAR 74] Warren D.E., Baldwin T.E., Adams A.T., « Near electric and magnetic fields
of wire antennas », IEEE Trans. Antennas Propagat, vol. AP-22, march 1974.
[WU 76] Wu T.T., King R.W.P., « The tapered antenna and its application to the
junction problem for the thin wires » IEEE Trans.Ant. Prop., AP-24, 1, 1976.
[YEE 66] Yee K.S., « Numerical solution of initial boundary-value problems involving
Maxwell's équations in isotropic média », IEEE Trans. Antennas Propagat., vol AP-14,
pp.302-307,1966.
[ZIE 91] Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., « La méthode des éléments finis - Formulation
de base et problèmes linéaires », Afhor technique, 1991.
[ZIM 84] Zimmerman W.R., « Démonstration of a time-domain integrated
elctromagnetic field circuit analysis program », IEEE Trans. on Electromagn. Compat., vol.
EMC 26, n°4, nov., 1984, pp. 201-206.
-155 -
10 TABLE DES MATIÈRES
INTRODUCTION 2
1 CHAPITRE 1 6
1.1 PRÉSENTATION 6
1.2 METHODES NUMERIQUES POUR L'ELECTROMAGNETISME 9
1.2.1 Gamme des fréquences en CEM. 9
1.2.2 Méthode des éléments finis 10
1.2.3 Méthode des volumes finis 11
1.2.4 Méthode des différences finies 12
1.2.5 Méthode des moments 13
1.2.6 Méthodes des équations intégrales de frontière 13
1.2.7 Méthodes des lignes de transmission 14
1.2.8 Conclusions sur les méthodes numériques 14
1.2.9 Compléments aux méthodes numériques / 6
1.3 É T A T DES RECHERCHES EN C E M POUR L'ELECTRONIQUE DE PUISSANCE 1 7
1.3.1 Générations des perturbations 17
1.3.2 Susceptibilité ou immunité des systèmes 21
1.3.3 Modélisation des structures filaires 22
1.4 PROBLEMATIQUE 2 3
1.5 CONCLUSION 2 4
2 FORMULATION DU PROBLEME DE DIFFRACTION 26
2 . 1 POSITION DU PROBLÈME 2 6
2.1.1 Principe de la méthode 26
2 . 2 ÉQUATION DE MAXWELL 2 7
2 . 3 SOLUTIONS DES POTENTIELS RETARDES 2 9
2.3.1 Première approximation 30
2.3.2 Deuxième approximation 30
2.3.3 Critère de validité des approximations 31
2 . 4 L E S DIFFÉRENTES FAMILLES D'ÉQUATIONS INTÉGRALES 3 2
2.4.1 Équations intégrales pour structure fîlaire rectiligne 32
2.4.2 Équations intégrales pour structure fîlaire de forme quelconque 34
- 1 5 6 -
2.4.3 Bilan sur les différentes familles d'équations intégrales 36
2.4.4 Singularités 37
2 . 5 C A L C U L D U C H A M P D I F F R A C T É 3 8
2.5.1 Champ rayonné 38
2.5.2 Équation de propagation du champ diffracté 38
2.5.3 Principe de résolution 39
2.5.4 Solution dans l'espace libre 40
2.5.5 Champ lointain 41
2 . 6 C O N C L U S I O N P A R T I E L L E 4 2
3 R E S O L U T I O N N U M E R I Q U E D E L ' E Q U A T I O N I N T E G R A L E 4 4
3 . 1 I N T R O D U C T I O N 4 4
3 . 2 A P P L I C A T I O N D E L A M É T H O D E D E S M O M E N T S 4 4
3.2.1 Principe de la méthode 45
3.2.2 Fonction de base 46
3.2.3 Fonction de test 46
3 . 3 DISCRÉTISATION D E L ' É Q U A T I O N D A N S L E D O M A I N E E S P A C E - T E M P S 4 7
3.3.1 Développement du courant suivant une base de fonctions 47
3.3.2 Choix des fonctions de base et de test 49
3.3.3 Utilisation des polynômes de Lagrange 51
3 . 4 S Y S T È M E M A T R I C I E L 5 6
3 . 5 C O N D I T I O N S A U X LIMITES 5 8
3.5.1 Extrémités d'un fil ouvert 58
3.5.2 Jonctions entre fils 59
3 . 6 C O N C L U S I O N P A R T I E L L E 6 1
4 M I S E E N ΠU V R E I N F O R M A T I Q U E 6 3
4 . 1 P R O G R A M M A T I O N O R I E N T É E O B J E T 6 3
4.1.1 Objets 63
4.1.2 Classes 64
4.1.3 Encapsulation.... 65
4.1.4 Polymorphisme 65
4.1.5 Héritage 66
4.1.6 Généricité 67
- 157 -
4 . 2 L A N G A G E J A V A ™ 6 7
4.2.1 Comparaison entre JAVA™ et C++ 68
4 . 3 R E S O L U T I O N D ' U N P R O B L È M E D E R A Y O N N E M E N T É L E C T R O M A G N É T I Q U E 6 9
4.3.1 Partie informatique 69
4 . 4 P O S T P R O C E S S I N G 7 1
4.4.1 Interface homme machine 71
4 . 5 C O N C L U S I O N 7 3
5 V A L I D A T I O N D U M O D E L E E N D I F F R A C T I O N 7 5
5 . 1 V A L I D A T I O N E N R É G I M E H A R M O N I Q U E 7 5
5 . 2 C R I T È R E S D E VALIDITÉ D U M O D È L E 7 7
5.2.1 Précision et stabilité : influence du nombres de segments 77
5.2.2 Rapport entre le pas temporel et le pas de discrétisation spatiale 81
5 . 3 V A L I D A T I O N E N R É G I M E T E M P O R E L 8 1
5.3.1 Dipôle en réception 82
5.3.2 Dipôle en émission 83
5 . 4 C H A M P R A Y O N N E 8 4
5 . 5 VISUALISATION D E S R É S U L T A T S 8 5
5 . 6 C O N C L U S I O N 8 8
6 M O D E L I S A T I O N D E S P H E N O M E N E S C O N D U I T S E T R A Y O N N E S 90
6 . 1 I N T R O D U C T I O N 9 0
6 . 2 C O N D U C T I O N E T T R A N S P O R T D ' É N E R G I E 9 0
6 . 3 P H É N O M È N E D E P R O P A G A T I O N 9 3
6 . 4 P E R T E S P A R R A Y O N N E M E N T 9 5
6 . 5 M O D É L I S A T I O N D E S G É N É R A T E U R S 9 6
6 . 6 I N S E R T I O N D E C O M P O S A N T S É L E C T R O N I Q U E S E T É L E C T R I Q U E S 9 8
6.6.1 Résolution dans le cas du rayonnement 98
6.6.2 Résolution dans le cas conduit 103
6.6.3 Application aux composants linéaires 104
6.6.4 Circuit résistif avec jonctions 105
6.6.5 Modèle RLC parallèle 106
6 . 7 A P P L I C A T I O N S A U X C O M P O S A N T S N O N LINÉAIRES 1 0 8
6.7.1 La diode 108
- 1 5 8 -
6.8 P R É S E N C E D ' U N E D I O D E D A N S U N E A N T E N N E 112
6.8.1 Perturbation électromagnétique sur un circuit 115
6.9 C O N C L U S I O N 117
7 C O N C L U S I O N G E N E R A L E E T P E R S P E C T I V E S 1 1 9
8 A N N E X E S 1 2 2
8.1 A N N E X E S A . l : E X P R E S S I O N D U C O U R A N T I E N F O N C T I O N D U V E C T E U R D E N S I T É D E J
D A N S L ' A P P R O X I M A T I O N D E S FILS M I N C E S 122
8.2 A N N E X E A . 2 : C A L C U L D E S T E R M E S I N T É G R A L E D E L ' E F I E 124
8.3 A N N E X E A . 3 : A P P R O X I M A T I O N D ' U N E F O N C T I O N P A R U N P O L Y N Ô M E 134
8.3.1 Introduction 134
8.3.2 Détermination des coefficients des polynômes de Newton 134
8.3.3 Utilisation du polynôme d'interpolation de Newton dans le calcul numérique des
dérivéesl35
8.4 A N N E X E A . 4 : L A D I O D E 140
9 R E F E R E N C E S B I B L I O G R A P H I E S 1 4 4
1 0 T A B L E D E S M A T I E R E S 1 5 6
- 159-
dernière page de la thèse
AUTORISATION DE SOUTENANCE
Vu les dispositions de l'arrêté du 25 avril 2002,
Vu la demande du Directeur de Thèse
Monsieur L. NICOLAS
et les rapports de
Monsieur François COSTA Maître de Conférences - E.N.S. de CACHAN - Laboratoire SATIE - UMR 8029 - 6 1 , avenue du Président Wi lson - 94235 CACHAN Cedex
et de
Monsieur James ROUDET Professeur des Universités - Laboratoire d'Electrotechnique de Grenoble - UMR 5529 - BP 46 -38402 SAINT MARTIN D'HERES Cedex
est autorisé à soutenir une thèse pour l'obtention du grade de DOCTEUR
Ecole doctorale ELECTRONIQUE, ELECTROTECHNIQUE, AUTOMATIQUE (EEA)
M o n s i e u r H I M E U R M u s t a p h a
Fait à Ecully, le 11 décembre 2002
P/Le Directeur de l'E.C.L
F. LEBOEUF
Mustapha HIMEUR 18 décembre 2002 Thèse ECL 2002-30 Spécialité Génie Électrique
TITRE ; Modél isat ion numér ique pour la compatibil ité électromagnétique de circuits
d'électronique de puissance.
Mots clés : Compatibilité électromagnétique (CEM), rayonnement électromagnétique, structure filaire, méthodes des moments, Programmation JAVA™, électronique de puissance.
Résumé
L'étude de la compatibilité électromagnétique de systèmes électriques est devenue
cruciale dès leur phase de conception, en vue de diminuer les coûts et les temps d'élaboration
de prototypes.
Pour ce faire, un modèle basé sur la théorie des antennes est développé temporel. Il
permet de simuler à la fois les phénomènes électromagnétiques conduits et rayonnes. Sa mise
en œuvre nécessite l'écriture de l'équation intégrale du champ électrique (EFIE). Pour
simplifier celle-ci, l'approximation «fils fins» est utilisée. La formulation simplifiée est
résolue par la méthode des moments, associée à l'utilisation de polynômes d'interpolation de
Lagrange au second ordre pour le courant, en espace et en temps. Concernant les fonctions
tests, on utilise des distributions de Dirac, méthode connue sous le nom la méthode de
collocation. La formulation numérique est finalement implémentée en langage orienté objet
JAVA™ pour sa portabilité, sa fiabilité et sa robustesse.
Le modèle développé permet le calcul des courants dans une structure filaire, et
l'obtention des champs proches et lointains rayonnes. Des composants électroniques ou
électriques, peuvent être insérés dans le modèle, de même que des sources de tension.
L'insertion de composants non-linéaires tels que la diode a également été réalisée. Ils sont
représentés par leur comportement haute fréquence en régime transitoire. L'étude de
structures simples a permis de valider l'approche développée.
TITLE : Numerical modelling of power electronic circuits for electromagnetic
compatibility.
Keywords : Electromagnetic compatibility (EMC), Electromagnetic moment method, language JAVA™, power electronic.
Direction de recherche Monsieur Laurent Nicolas, Directeur de recherche C N R S CEntre de Génie Électrique de Lyon ( C E G E L Y ) UMR - C N R S 5005 École Centrale de Lyon 69134 Ecully Cedex - France
