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Natation à faible nombre de Reynolds François Alouges 1 Collaborations: A. DeSimone, A. Lefebvre-Lepot, B. Merlet, L. Heltai, L. Giraldi 1 CMAP Ecole Polytechnique Décembre 2012 F. Alouges

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  • Natation faible nombre de Reynolds

    Franois Alouges1Collaborations:

    A. DeSimone, A. Lefebvre-Lepot,B. Merlet, L. Heltai, L. Giraldi

    1CMAPEcole Polytechnique

    Dcembre 2012

    F. Alouges

  • Quest ce que la natation?

    Dfinition: Capacit se dplacer dans ou sur leau avec desmouvements appropris priodiques (une brasse), et sansforce extrieure

    Problme de contrle: Etant donn un corps dformable, est-ilpossible de trouver une loi de forces internes produisant unchangement de forme priodique (une brasse) et qui induiseun dplacement par raction sur le fluide ?

    F. Alouges

  • Motivation

    Des systmes performants...

    cSpeedo, cEPFL

    F. Alouges

  • Motivation

    ... la microtechnologie.

    ESPCI (2005), Monash University (Australia 2008), SpintecCEA GrenobleConception de micro-robots nageurs : diagnostique,microchirurgie non invasive, dpt de mdicament, rparationdADN, etc.)

    F. Alouges

  • Motivation

    F. Alouges

  • Motivation

    F. Alouges

  • Nombre de Reynolds Re = ULDans leau 10

    6m2s.Pour un dauphin, un homme, etc., nageant dans leau, ona L 1m,U 1m/s et

    Re 106.

    Bon modle: Equations dEuler[(ut + (u )u

    )+p = f ,

    divu = 0

    Pour une bactrie L 1m,U 1m/s et

    Re 106.

    Bon modle: Equations de Stokes[u +p = f ,divu = 0

    F. Alouges

  • Nombre de Reynolds Re = ULDans leau 10

    6m2s.Pour un dauphin, un homme, etc., nageant dans leau, ona L 1m,U 1m/s et

    Re 106.

    Bon modle: Equations dEuler[(ut + (u )u

    )+p = f ,

    divu = 0

    Pour une bactrie L 1m,U 1m/s et

    Re 106.

    Bon modle: Equations de Stokes[u +p = f ,divu = 0

    F. Alouges

  • Situations faible nombre de Reynolds

    Dans leau, des tailles et des vitesses faibles U,L 1 (ungrand nombre dcoulements biologiques)A lchelle humaine, des fluides trs visqueux 1, (miel,silicone, etc.)Des vitesses extrmement faibles U 1 et/ou desfluides extrmement visqueux (ex: glaciers)

    F. Alouges

  • Proprits des fluides faible nombre de Reynolds

    Re =UL

    (Film: G. I. Taylor)

    F. Alouges

  • Le thorme de la coquille Saint-Jacques

    (Film: G. Blanchard, S. Calisti, S. Calvet, P. Fourment, C.Gluza, R. Leblanc, M. Quillas-Saavedra)

    F. Alouges

  • Le thorme de la coquille Saint-Jacques

    Obstruction:[Purcell]En rgime de Stokes, un mouvement rciproque ninduit aucundplacement global

    F. Alouges

  • Evidence du thorme de la coquille Saint-Jacques

    (Film: G. I. Taylor)

    F. Alouges

  • Exemple de robot nageur (Purcell)

    Edward Mills Purcell(1912 - 1997)

    F. Alouges

  • Exemple de robot nageur (Purcell)

    F. Alouges

  • Modlisation

    Etat = (forme, position)Forme= = (1, , N) (un nombre fini de variables)Position= p( R3 SO(3))

    Le nageur change de forme = (t) et pousse le fluide.Celui-ci ragit en suivant les quations (de Stokes) et dplace(et tourne) le nageur.

    Auto-propulsion

    0 m = Ftot= Fvisc + Fext= Fvisc

    La force totale et le couple total appliqus au fluide par le robotsont nuls.

    F. Alouges

  • Modlisation

    Etat = (forme, position)Forme= = (1, , N) (un nombre fini de variables)Position= p( R3 SO(3))

    Le nageur change de forme = (t) et pousse le fluide.Celui-ci ragit en suivant les quations (de Stokes) et dplace(et tourne) le nageur.

    Auto-propulsion

    0 m = Ftot= Fvisc + Fext= Fvisc

    La force totale et le couple total appliqus au fluide par le robotsont nuls.

    F. Alouges

  • Le systme diffrentiel

    Or Fvisc = f et

    f = DN(,p)v

    (linarit des quations de Stokes)

    v(x) = Ap + B

    0 = Fvisc =

    DNp,(

    Ap + B)

    dx0,

    0 = Tvisc =

    x0 DNp,(

    Ap + B)

    dx0.

    p = V (p, ) .

    F. Alouges

  • Le systme diffrentiel

    Or Fvisc = f et

    f = DN(,p)v

    (linarit des quations de Stokes)

    v(x) = Ap + B

    0 = Fvisc =

    DNp,(

    Ap + B)

    dx0,

    0 = Tvisc =

    x0 DNp,(

    Ap + B)

    dx0.

    p = V (p, ) .

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  • Le systme diffrentiel

    Or Fvisc = f et

    f = DN(,p)v

    (linarit des quations de Stokes)

    v(x) = Ap + B

    0 = Fvisc =

    DNp,(

    Ap + B)

    dx0,

    0 = Tvisc =

    x0 DNp,(

    Ap + B)

    dx0.

    p = V (p, ) .

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  • Le systme diffrentiel

    Or Fvisc = f et

    f = DN(,p)v

    (linarit des quations de Stokes)

    v(x) = Ap + B

    0 = Fvisc =

    DNp,(

    Ap + B)

    dx0,

    0 = Tvisc =

    x0 DNp,(

    Ap + B)

    dx0.

    p = V (p, ) .

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  • Rsum 1

    Micro-natation Re 0Equations de Stokes (linaires)Ecoulements rversibles (thorme de la coquilleSaint-Jacques)Linarite + autopropulsion p = V (p, )

    F. Alouges

  • Exemple: le nageur de Najafi et Golestanian (2001)

    &%'$B1

    &%'$B2

    &%'$B3

    - -

    a

    1 2

    -x1 x2 x3

    p

    En changeant 1 et 2, les sphres imposent des forcesf1, f2, f3 au fluide avec f1 + f2 + f3 = 03 variables 1, 2,p et deux paramtres de contrleLes vitesses (et donc les forces) sont linaires en 1, 2, p

    p = V1()1 + V2()2

    F. Alouges

  • Exemple: le nageur de Najafi et Golestanian (2001)

    &%'$B1

    &%'$B2

    &%'$B3

    - -

    a

    1 2

    -x1 x2 x3

    p

    En changeant 1 et 2, les sphres imposent des forcesf1, f2, f3 au fluide avec f1 + f2 + f3 = 03 variables 1, 2,p et deux paramtres de contrleLes vitesses (et donc les forces) sont linaires en 1, 2, p

    p = V1()1 + V2()2

    F. Alouges

  • Plans tangents

    On peut rcrire le systme sous la forme

    ddt

    12p

    = u1 10

    V1()

    +u2 01

    V2()

    = u1F1()+u2F2()

    ProblmePeut-on trouver (t) priodique tel que p ne le soit pas?

    Rponse: A-t-on dim(Lie(F1,F2)) = 3?Ici:

    [F1,F2] =

    001V2 2V1

    F. Alouges

  • Plans tangents

    On peut rcrire le systme sous la forme

    ddt

    12p

    = u1 10

    V1()

    +u2 01

    V2()

    = u1F1()+u2F2()

    ProblmePeut-on trouver (t) priodique tel que p ne le soit pas?

    Rponse: A-t-on dim(Lie(F1,F2)) = 3?Ici:

    [F1,F2] =

    001V2 2V1

    F. Alouges

  • Contraintes holonomiques ou pas?

    p = W (1, 2)

    F. Alouges

  • Contraintes holonomiques

    p = W (1, 2) p = V1()1 + V2()2

    F. Alouges

  • Contraintes holonomiques

    p = W (1, 2) p = V1()1 + V2()2

    quivalent si V = W cest--dire rotV = 0

    F. Alouges

  • Le thorme de la coquille Saint-Jacques

    La coquille Saint-Jacques na quun degr de libert . Lesystme devient

    = (t)p = V ()

    et p = V (y)dy =: W ()

    Si est priodique, p lest aussi...La contrainte est toujours holonomique.

    F. Alouges

  • Le thorme de la coquille Saint-Jacques

    La coquille Saint-Jacques na quun degr de libert . Lesystme devient

    = (t)p = V ()

    et p = V (y)dy =: W ()

    Si est priodique, p lest aussi...La contrainte est toujours holonomique.

    F. Alouges

  • Un thorme de contrle

    ThormeLe systme de 3-sphres de Najafi et Golestanian estglobalement contrlable.

    Depuis nimporte quel tat (i ,pi), on peut atteindre nimportequel autre tat (f ,pf ) avec une loi de force approprie (fi(t))itelle que

    i fi(t) = 0 (ou de faon quivalente avec des

    fonctions i(t)).

    F. Alouges

  • Un thorme de contrle

    ThormeLe systme de 3-sphres de Najafi et Golestanian estglobalement contrlable.

    Depuis nimporte quel tat (i ,pi), on peut atteindre nimportequel autre tat (f ,pf ) avec une loi de force approprie (fi(t))itelle que

    i fi(t) = 0 (ou de faon quivalente avec des

    fonctions i(t)).

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  • Dautres sytmes contrlables:

    B

    y

    z

    q

    r

    l

    x

    p

    s

    e

    x1

    x2

    x3

    x4

    r1,2

    e1,4

    3 contrles (resp. 4), 3 crochets de Lie (resp. 6)Contrlabilit avec un bord (thse de L. Giraldi)

    F. Alouges

  • Efficacit de la natation

    Lighthill

    Eff1 =

    1T

    T0

    f v d dt(cT

    )2=

    T T

    0f1(t)v1(t) + f2(t)v2(t) + f3(t)v3(t) dt

    c2

    But: Trouver les trajectoires joignant (i , c i) (f , cf ) etmaximisant lefficacit (c est fix).

    F. Alouges

  • Efficacit de la natation

    Lighthill

    Eff1 =

    1T

    T0

    f v d dt(cT

    )2=

    T T

    0f1(t)v1(t) + f2(t)v2(t) + f3(t)v3(t) dt

    c2

    But: Trouver les trajectoires joignant (i , c i) (f , cf ) etmaximisant lefficacit (c est fix).

    F. Alouges

  • Efficacit de la natation

    Cinmatique: Sur , vitesses et forces sexprimentlinairement en fonction de et pp sexprime lnairement en fonction de

    Eff1 = T T

    0

    Ni,j=1

    gij((t))i(t)j(t) dt = T T

    0(G, ) dt

    G = (gij) dfinit une mtrique sur lespace tangent (, c)

    Godsiques optimales dans un espace sous-riemannienF. Alouges

  • Efficacit de la natation

    Cinmatique: Sur , vitesses et forces sexprimentlinairement en fonction de et pp sexprime lnairement en fonction de

    Eff1 = T T

    0

    Ni,j=1

    gij((t))i(t)j(t) dt = T T

    0(G, ) dt

    G = (gij) dfinit une mtrique sur lespace tangent (, c)

    Godsiques optimales dans un espace sous-riemannienF. Alouges

  • Efficacit de la natation

    Cinmatique: Sur , vitesses et forces sexprimentlinairement en fonction de et pp sexprime lnairement en fonction de

    Eff1 = T T

    0

    Ni,j=1

    gij((t))i(t)j(t) dt = T T

    0(G, ) dt

    G = (gij) dfinit une mtrique sur lespace tangent (, c)

    Godsiques optimales dans un espace sous-riemannienF. Alouges

  • Une mthode de tir

    Lquation des godsiques sous-riemanniennes est une EDOdu 2nd ordre

    (G ) + 12

    ((G1 , )(G2 , )

    )+ curlV () = 0. (1)

    oG = (gij), = (1, 2)t

    G1 =G1

    ,G2 =G2

    F. Alouges

  • Natation optimale

    F. Alouges

  • Plane Swimmer

    F. Alouges

  • Le problme de la dimension infinie

    Que se passe-t-il lorsque les formes sont dcrites par unnombre infini de variable?

    Contrlabilit ? Cf. Tucsnak, LohacCrochets de Lie ?Godsiques optimales EDO -> EPDP ?Rsolution numrique

    F. Alouges

  • Eutreptiella

    F. Alouges