This article was downloaded by: [University of North Carolina]On: 12 November 2014, At: 01:57Publisher: Taylor & FrancisInforma Ltd Registered in England and Wales Registered Number: 1072954 Registeredoffice: Mortimer House, 37-41 Mortimer Street, London W1T 3JH, UK

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Nombre De Facteurs AbsolumentIrréductibles D'un PolynômeAbdessamad Belhadef aa LMPA, Maison de la Recherche Blaise Pascal , Calais, FrancePublished online: 28 Oct 2008.

To cite this article: Abdessamad Belhadef (2008) Nombre De Facteurs Absolument Irréductibles D'unPolynôme, Communications in Algebra, 36:10, 3750-3758, DOI: 10.1080/00927870802158119

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Communications in Algebra®, 36: 3750–3758, 2008Copyright © Taylor & Francis Group, LLCISSN: 0092-7872 print/1532-4125 onlineDOI: 10.1080/00927870802158119

NOMBRE DE FACTEURS ABSOLUMENT IRRÉDUCTIBLESD’UN POLYNÔME

Abdessamad BelhadefLMPA, Maison de la Recherche Blaise Pascal, Calais, France

Dans cette note, nous établissons le lien entre le nombre de facteurs absolumentirréductibles d’un polynôme et la dimension d’un espace vectoriel de formesdifférentielles fermées. Notre résultat généralise un théorème de Gao.

In this note, we establish the relationship between the number of absolutely irreduciblefactors of a polynomial and the dimension of a space of closed differentials forms. Ourresult generalizes a theorem of Gao.

Key Words: Closed differential form; Irreducibility; Polynomial.

2000 Mathematics Subject Classification: 11R09; 12E05; 58A10.

1. INTRODUCTION

Soient K un corps commutatif de caractéristique p ≥ 0, K une clôturealgébrique et �x� y� des indéterminées algébriquement indépendantes surK. Soitf�x� y� un polynôme non constant surK tel que pgcd

(f� �f

�x

) = 1 dans K�x� y�.Contrairement aux usages, le degré de f désignera ici le couple �m� n� =�degx f� degy f� et sera noté deg�f�. Supposons dans toute la suite que le coefficientdominant de f (vu comme un élément de K�y��x�) est une constante. Pour expliquercette généralisation, on utilise la 1-forme différentielle � de K�x� y� définie par

� = g

fdx + h

fdy�

où g� h ∈ K�x� y� avec

���

{deg�g� ≤ �m+ s� n+ t�

deg�h� ≤ �m+ t′� n+ s′�

où s� t� s′� t′ sont des entiers avec s� s′ ≥ −1 et t� t′ ≥ 0. Cette forme différentielle estdite fermée si �

�y

(g

f

) = ��x

(hf

).

Received February 12, 2007; Revised September 18, 2007. Communicated by S. Kleiman.Address correspondence to Abdessamad Belhadef, 25 Boulevard de ‘l’ Esperance, Residance

Guynemer, Entree: B, Appt. 63, Saint Pol Sur Mer 59430, France; E-mail: abdessamad.belhadef@lmpa.univ-littoral.fr

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Définissons l’espace vectoriel surK par

W�f� ={� � � = g

fdx + h

fdy fermée et g� h satisfont à ���

}

Nous prendrons comme hypothèse sur la caractéristique p du corps K

��� “p = 0 ou p > 2mn+ sn+ tm′′

Le but de cette note est de montrer le résultat suivant qui détermine le nombrede facteurs absolument irréductibles de f .

Théorème. Soit r est le nombre de facteurs absolument irréductibles de f . Supposonsque la caractéristique p satisfait à l’hypohèse ���, alors r = dimKW�f�− u− v− uv,où u = inf�s + 1� t′� et v = inf�t� s′ + 1�.

2. RÉSULTATS PRÉLIMINAIRES

Pour la preuve de notre théorème, on va utiliser les deux lemmes etla proposition ci-dessous. On pose �f

�x= fx Comme pgcd�f� fx� = 1, alors la

factorisation de f surK en facteurs irréductibles est de la forme f = f1f2 · · · fr oùf1� � fr sont distincts deux à deux.

Soit une racine de f dans K�y�. Le fait que K�� y� est séparable surK�y�,implique qu’il existe une et une seule dérivation de K�� y� prolongeant la dérivationusuelle �

�ydans K�y�. On notera encore �

�yce prolongement.

Lemme 1. Soit � un élément de K�� y� de la forme � = g��y�

fx��y�, avec g ∈ K�x� y� et

deg�g� ≤ �m+ s� n+ t� où s ≥ −1 et t ≥ 0 sont deux entiers. Supposons que ��y� = 0,

et que l’hypothèse ��� soit vérifiée, alors � est algébrique surK.

Preuve. La démonstration de ce lemme est quasi-semblable à celle du Lemme 24dans Gao (2003).

Lemme 2. Soient G et H deux polynômes de K�x� y�. Supposons que p = 0 oup > 1+max�degx�G�� degy�H��, alors les deux assertions suivantes sont équivalentes:

(i) il existe P ∈ K�x� y� tel que G = �P�x

et H = �P�y;

(ii) �G�y

= �H�x.

Preuve. L’implication �i� ⇒ �ii� est triviale.

�ii� ⇒ �i� Supposons que la caractéristique p vérifie �p = 0 ou p >max�degx�G�� degy�H��. Notons deg�G� = �mG� nG� et deg�H� = �mH� nH�. Posons

G = ∑0≤i≤mG0≤j≤nG

aijxiyj et H = ∑

0≤i≤mH0≤j≤nH

bijxiyj

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On a

�G

�y= ∑

0≤i≤mG1≤j≤nG

jaijxiyj−1 = ∑

0≤i≤mG0≤j≤nG−1

�j + 1�aij+1xiyj�

et

�H

�x= ∑

1≤i≤mH0≤j≤nH

ibijxi−1yj = ∑

0≤i≤mH−10≤j≤nH

�i+ 1�bi+1jxiyj

Alors

�G

�y= �H

�x⇒

{mG = mH − 1 et nG − 1 = nH�

�j + 1�aij+1 = �i+ 1�bi+1j� �0 ≤ i ≤ mG� 0 ≤ j ≤ nG − 1�

Posons

P = ∑0≤i≤mG0≤j≤nG

1i+ 1

aijxi+1yj + ∑

0≤j≤nH

1j + 1

b0jyj+1

Alors on a �P�x

= G et �P�y

= H .

A présent, nous allons voir comment obtenir la caractérisation des 1-formesdifférentielles fermées de K�x� y� de la forme � = g

fdx + h

fdy.

La proposition suivante est similaire à un résultat de Ruppert. Pour plus dedétails, nous renvoyons à Ruppert (1999) ou Schinzel (2000, Lemma 2, p. 205).

Proposition. Si l’hypothèse ��� et la condition ��� sont vérifiées, alors � est ferméesi et seulement s’il existe P ∈ K�x� y� et 1� � r ∈ K tels que � = ∑r

i=1 idfifi

+ d�P�.

Preuve. On regarde les polynômes f� g� h comme des éléments de K�y��x�. SoitL le corps de décomposition de f surK�y�, On peut écrire f sous la forme f =�m

∏mi=1�x − ci�, où les ci ∈ L, sont des fonctions algébriques de y et �m ∈ K. Ecrivons

les décompositions en éléments simples de g

fet de h

f. On trouve

g

f=

m∑i=1

ai

x − ci+G� ai =

g�ci� y�

fx�ci� y�∈ L� G ∈ K�x� y��

h

f=

m∑i=1

bix − ci

+H� bi ∈ L� H ∈ K�x� y�

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D’après la fermeture de � et l’unicité de la décomposition en éléments simples d’unefraction rationnelle, on obtient �G

�y= �H

�x, et pour tout i = 1� � m on a

�

�y�ai� = 0� �1�

ai

�

�y�ci� = −bi� �2�

En appliquant le Lemme 1 pour �1�, on obtient que ai ∈ K pour i = 1� � mOn suppose que ci et ck sont conjuguées surK�y� pour un certain couple

�k� i� ∈ �1� � m�2 avec k < i. Alors il existe � ∈ Gal�L/K�y�� = Gal�f�K�y�� telque ��ci� = ck. D’où

��g�

��f�= ��a1�

x − ��c1�+ · · · + ��ak�

x − ��ck�+ · · · + ��ai�

x − ��ci�+ · · · + ��am�

x − ��cm�+ ��G�

On sait ��g�

��f�= g

fet ��G� = G. Grâce à l’unicité de la décomposition en éléments

simples d’une fraction rationnelle, on obtient que ��ai� = ak. Comme ai ∈ K et �laisse fixe les éléments de K alors ai = ak. Si l’on fait une partition de �c1� � cm�où chaque classe contient les éléments conjugués surK�y�, alors les ai correspondantà une classe donnée sont tous égaux entre eux (en fait les ci correspondants àune classe donnée sont exactement les racines d’un certain facteur absolumentirréductible de f ).

On suppose que les ci sont numérotés de façon qu’apparaissent les élémentsde la première classe (i.e., les racines de f1), puis ceux de la deuxième classe et ainside suite. On note i le coefficient qui correspond à la ième classe. On a

g

f= 1

(1

x − c11+ · · · + 1

x − c1s1

)+ · · · + r

(1

x − cr1+ · · · + 1

x − crsr

)+G

= 1

(1f1

�f1�x

)+ · · · + r

(1fr

�fr�x

)+G

D’après la relation �2�, on trouve que hf= ∑m

i=1−ai

��y �ci�

x−ci+H . Nous utilisons à

nouveau la partition définie ci-dessus. On obtient que

h

f= 1

(−

��y�c11�

x − c11− · · · −

��y�c1s1�

x − c1s1

)+ · · · + r

(−

��y�cr1�

x − cr1− · · · −

��y�crsr �

x − crsr

)+H

= 1

(1f1

�f1�y

)+ · · · + r

(1fr

�fr�y

)+H

D’où

g

f=

r∑i=1

i1fi

�fi�x

+G

h

f=

r∑i=1

i1fi

�fi�y

+H

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On pose Ei = f

fi

�fi�x

et Fi = f

fi

�fi�y, pour i = 1� � r, et nous avons donc

g =

r∑i=1

iEi + fG

h =r∑

i=1

iFi + fH

Il est clair que pour tout i = 1� � r, on a

{deg�Ei� ≤ �m− 1� n�

deg�Fi� ≤ �m� n− 1�

Considérons les deux polynômes suivants∑r

i=1 iEi et fG. Regardons le degré enx de ces deux polynômes, on voit bien qu’il n’y a pas de simplification entre leurstermes dominants, donc degx�g� = degx�fG� et par suite degx�G� ≤ s. En ce quiconcerne leurs degrés en y, soit il n’y a pas de simplification entre leurs termesdominants et donc degy�fG� = degy�g� implique degy�G� ≤ t, soit leurs termesdominants se simplifient entre eux et on a degy�fG� = degy�

∑ri=1 iEi� ≤ n d’où

degy�G� = 0 ≤ t. Ce qui donne que degy�G� ≤ t ≤ 2mn+ sn+ tm < p.Comme �G

�y= �H

�xalors degx�H� = degx�G�+ 1 ≤ s + 1 ≤ 2mn+ sn+ tm < p.

Nous pouvons appliquer le Lemme 2. Donc il existe P ∈ K�x� y� tel que G = �P�x

etH = �P

�y. On déduit que

� = g

fdx + h

fdy

=r∑

i=1

i1fi

�fi�x

dx + �P

�xdx +

r∑i=1

i1fi

�fi�y

dy + �P

�ydy

=r∑

i=1

i

(1fi

�fi�x

dx + 1fi

�fi�y

dy

)+ �P

�xdx + �P

�ydy

=r∑

i=1

idfifi

+ d�P��

3. PREUVE DU THÉORÈME

Soit � un élément de W�f�, d’après la proposition on a

g =

r∑i=1

iEi + f�P

�x

h =r∑

i=1

iFi + f�P

�y

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Prenons en compte la condition ���, on trouve en particulier

deg(�P

�x

)≤ �s� t� ⇒

{degx�P� ≤ s + 1

degy�P� ≤ t�

et

deg(�P

�y

)≤ �t′� s′� ⇒

{degx�P� ≤ t′

degy�P� ≤ s′ + 1

Donc on trouve {degx�P� ≤ inf�s + 1� t′� = u

degy�P� ≤ inf�t� s′ + 1� = v

On pose

P = ∑0≤i≤u0≤j≤v

�ijxiyj où �ij ∈ K� �i� j� ∈ �0� � u�× �0� � v�

Alors

� = g

fdx + h

fdy

=( r∑

i=1

i1fi

�fi�x

+ �P

�x

)dx +

( r∑i=1

i1fi

�fi�y

+ �P

�y

)dy

=r∑

i=1

i

(1fi

�fi�x

dx + 1fi

�fi�y

dy

)+ �P

�xdx + �P

�ydy

=r∑

i=1

i�i +u∑

k=1

�k0dk +v∑

j=1

�0j�j +∑

1≤k≤u1≤j≤v

�kjDkj

Avec

�i =1fi

�fi�x

dx + 1fi

�fi�y

dy� i = 1� � r�

dk = kxk−1dx� k = 1� � u�

�j = jyj−1dy� j = 1� � v�

Dkj = kxk−1yjdx + jxkyj−1dy� �k� j� ∈ �1� � u�× �1� � v�

Donc W�f� est inclu dans l’espace E engendré par

{�i�1≤i≤r�� dk�1≤k≤u�� �j�1≤j≤v�� Dkj�1≤k≤u�1≤j≤v�

}

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Montrons que �i�1≤i≤r�� dk�1≤k≤u�� �j�1≤j≤v�� Dkj�1≤k≤u�1≤j≤v�, sont linéairementindépendants surK. Soient �i�1≤i≤r�� �k�1≤k≤u�� j�1≤j≤v�� �kj�1≤k≤u�1≤j≤v� des éléments deK tels que

r∑i=1

�i�i +u∑

k=1

�kdk +v∑

j=1

j�j +∑

1≤k≤u1≤j≤v

�kjDkj = 0

Multiplions cette égalité par f et identifions les coefficients de dx et dy alors pour�1 ≤ i ≤ r� 1 ≤ k ≤ u� 1 ≤ j ≤ v� on trouve

r∑i=1

�iEi +u∑

k=1

�kf kxk−1 + ∑1≤k≤u1≤j≤v

�kjf kxk−1yj = 0�

et

r∑i=1

�iFi +v∑

j=1

jf jyj−1 + ∑1≤k≤u1≤j≤v

�kjf jxkyj−1 = 0

Soit � ∈ �1� � r� fixé, il est facile de vérifier que EiE� ≡ 0 �mod f� pour tout i �= �et EiE� � 0 �mod f� pour i = �. On multiplie la première équation par E�, on obtient��E

2� ≡ 0 �mod f� donc �� = 0 pour �� = 1� � r�, et par suite �k = �kj = j = 0

pour �k = 1� � u� et �j = 1� � v�En conclusion:

{�i�1≤i≤r�� dk�1≤k≤u�� �j�1≤j≤v�� Dkj�1≤k≤u�1≤j≤v�

}forme une base de E. Il est clair que �i�1≤i≤r�� dk�1≤k≤u�� �j�1≤j≤v� et Dkj�1≤k≤u�1≤j≤v� sontdes éléments deW�f�, doncW�f�=E et par suite dimKW�f�=dimKE= r + u+ v+ uv.

4. COMMENTAIRES

Pour s = s′ = −1 et t = t′ = 0 la condition ��� devient

��′�

{deg�g� ≤ �m− 1� n�

deg�h� ≤ �m� n− 1��

et par suite u = v = 0 donc notre théorème nous donne dimKW�f� = r. Gao aconsidéré l’équation aux dérivées partielles suivante:

����

�y

(g

f

)= �

�x

(h

f

)

Il a défini l’espace vectoriel surK suivant V�f� = �g ∈ K�x� y� � ��� et ��′� sontvérifiées pour certain h ∈ K�x� y��� sous l’hypothèse “p = 0 ou p > �2m− 1�n”, ila montré dans son article Gao (2003) que dimKV�f� = r = dimKW�f�. En fait,

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ceci n’est pas fortuit et nous allons montrer que notre résultat généralise celuide Gao. Considérons notre espace W�f� correspondant à la condition ��′� etconsidérons l’application linéaire définie par

� � W�f� −→ V�f�

� = g

fdx + h

fdy −→ g

Il est clair que d’une part � est surjectif et que d’autre part on a.

��w� = 0 ⇒ g = 0 ⇒ �

�x

(h

f

)= 0

On va distinguer les deux cas suivants:

1ercas: p = 0 On a hf= a

boù a� b ∈ K�y� avec pgcd�a� b� = 1, alors h = f

ba

implique b divise f . Or ��x

(hf

) = 0 donc f �h�x

− hf

�f

�x= 0 d’où b f �h

�x= a�f

�x. On voit

bien que b divise �f

�xce qui est impossible du fait que pgcd

(f� �f

�x

) = 1. Donc b est uneconstante. Comparons le degré en y des deux membres de l’égalité suivante h = f

ba.

On trouve a = 0 et cela nous amène à w = 0.

2emecas: p > 0 On a hf= a

boù a� b ∈ K�yp� avec pgcd�a� b� = 1. Nous

utilisons le même raisonnement ci-dessus et on obtient w = 0.On conclut que � est un isomorphisme d’espaces vectoriels.

Remarque. Dans le cas de la caractéristique p > 0, Gao conjecturait dans Gao(2003, Remark. p. 807) que l’on pourrait améliorer la borne p > �2m− 1�n pourla remplacer par une borne plus petite p > n. En fait ni le théorème Gao (2003,Theorem 2.3, p. 805), ni le lemme Gao (2003, Lemma 2.4, p. 805) ne sont vrais pourcette dernière borne, comme le montre l’exemple ci-dessous.

Considérons le polynôme sur le corps �p suivant f�x� y� = xp + y + x avecp ≥ 2. Ce polynôme est absolument irréductible sur�p. On a deg�f� = �p� 1� doncles conditions ��′� sont

{deg�g� ≤ �p− 1� 1�

deg�h� ≤ �p� 0�

Posons g = y∑p−1

i=0 aixi +∑p−1

i=0 bixi et h = ∑p

i=0 uixi. L’équation ��� s’écrit sous la

forme

�∗� h�f

�x− g

�f

�y+

(�g

�y− �h

�x

)f = 0

On résout ce système d’équations linéaires. On trouve que g = a0�x + y�+ b0 eth = −a0x

p + b0. Donc l’espace V�f� est de dimenssion 2 sur�p.Prenons maintenant le polynôme g = a0�x + y�+ b0 avec a0 �= 0 et une

racine de f dans �p�y�. Posons � = g��y�

fx��y�= a0� + y�+ b0. Il est facile de vérifier

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que ��y�� = −1 et �

�y��� = 0. Cependant comme n’est pas algébrique sur�p, alors

� ne l’est pas non plus.Je voudrais remercier le professeur Mohamed Ayad pour les discussions à

propos de ce travail.

REFERENCES

Gao, S. (2003). Factoring multivariate polynomials via partial differential equations. Math.Comput. 72:801–822.

Ruppert, W. (1999). Reducibility of polynomials f�x� y� modulo p. J. Number Theory77:62–70.

Schinzel, A. (2000). Polynomials with Special Regard to Reducibility. Cambridge: CambridgeUniv. Press.

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