Nombres Complexes

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Nombres complexesNombres complexes

Exercice 1 [ 02025 ] [correction]Soit z U\ {1}. Montrer que z+1z1 iR.

Exercice 2 [ 02026 ] [correction]Soit P = {z C | Imz > 0}, D = {z C | |z| < 1} et f : C\ {i} C dfinie parf(z) = ziz+i .Montrer que tout lment de P son image par f dans D.Montrer que tout lment de D possde un unique antcdent par f dans P .

Exercice 3 [ 02027 ] [correction]a) Dterminer le lieu des points M daffixe z qui sont aligns avec I daffixe i etM daffixe iz.b) Dterminer de plus le lieu des points M correspondant.

Exercice 4 [ 02028 ] [correction]Calculer pour ]0, 2pi[ et n N, Cn =

nk=0

cos(k) et Sn =nk=0

sin(k).

Exercice 5 [ 02029 ] [correction]

Calculer pour R et n N, Cn =nk=0

(n

k

)cos(k) et Sn =

nk=0

(n

k

)sin(k).

Module et argument

Exercice 6 [ 02030 ] [correction]Dterminer module et argument de z =

2 +

2 + i

22.

Exercice 7 [ 02031 ] [correction]Soient z C? et z C. Montrer

|z + z| = |z|+ |z| R+, z = .z

Exercice 8 [ 02032 ] [correction]Etablir : |z|+ |z| 6 |z + z|+ |z z|.Interprtation gomtrique et prcision du cas dgalit

Exercice 9 [ 02033 ] [correction]Dterminer module et argument de ei + 1 et de ei 1 pour R.

Exercice 10 [ 02034 ] [correction]Simplifier ei1ei+1 pour ]pi, pi[.

Exercice 11 [ 02035 ] [correction]Dterminer module et argument de ei. + ei. pour , R.

Exercice 12 Centrale MP [ 02356 ] [correction]Soient a, b C. Montrer

|a|+ |b| 6 |a+ b|+ |a b|et prciser les cas dgalit.

Exercice 13 Mines-Ponts MP [ 02646 ] [correction]Si (x, y, z) R3 vrifie eix + eiy + eiz = 0, montrer que e2ix + e2iy + e2iz = 0.

Exercice 14 [ 00055 ] [correction]Soit a C tel que |a| < 1.Dterminer lensemble des complexes z tels que z a1 az

6 1Exercice 15 X MP [ 03040 ] [correction]Quelle est limage du cercle unit par lapplication z 7 11z ?

Exercice 16 X PSI [ 03107 ] [correction]Soit B une partie borne non vide de C.On suppose que si z B alors 1 z + z2 B et 1 + z + z2 B.Dterminer B.


Racines de lunit

Exercice 17 [ 02036 ] [correction]Calculer le produit des racines de lunit

Exercice 18 [ 02037 ] [correction]Soit n N?. On note Un lensemble des racines n me de lunit.Calculer

zUn

|z 1|.

Exercice 19 [ 02038 ] [correction]Soit une racine nme de lunit diffrente de 1. On pose

S =n1k=0

(k + 1)k

En calculant (1 )S, dterminer la valeur de S.

Exercice 20 [ 02039 ] [correction]Simplifier :a) j(j + 1) b) jj2+1 c)

j+1j1 .

Exercice 21 [ 02040 ] [correction]Soit n N?. Rsoudre lquation (z + 1)n = (z 1)n. Combien y a-t-il desolutions ?

Exercice 22 [ 02041 ] [correction]Soit n N?. Rsoudre dans C lquation zn + 1 = 0.

Exercice 23 [ 02042 ] [correction]Soit n N?. Rsoudre dans C lquation (z + i)n = (z i)n.Observer que celle-ci admet exactement n 1 solutions, chacune relle.

Exercice 24 [ 02043 ] [correction]Soit = ei 2pi7 . Calculer les nombres : A = + 2 + 4 et B = 3 + 5 + 6.

Exercice 25 [ 02044 ] [correction]Soient n N, n > 2 et = exp(2ipi/n).a) Etablir que pour tout z C, z 6= 1,

n1k=1

(z k) =n1`=0z`.

b) Justifier que lgalit reste valable pour z = 1.

c) En dduire lgalitn1k=1

sin kpin =n

2n1 .

Rsolution dquations et de systmes

Exercice 26 [ 02045 ] [correction]Pour quels a R lquation x3 + 2x2 + 2ax a2 = 0 possde x = 1 pour solution ?Quelles sont alors les autres solutions de lquation ?

Exercice 27 [ 02046 ] [correction]Rsoudre dans C, les quations :a) z2 2iz 1 + 2i = 0 b) z4 (5 14i)z2 2(12 + 5i) = 0.

Exercice 28 [ 02047 ] [correction]a) Dterminer les racines carres complexes de 5 12i.b) Rsoudre lquation z3 (1 + 2i)z2 + 3(1 + i)z 10(1 + i) = 0 en commenantpar observer lexistence dune solution imaginaire pure.c) Quelles particularits a le triangle dont les sommets ont pour affixe lessolutions de lquation prcdente ?

Exercice 29 [ 02048 ] [correction]

Rsoudre dans C le systme :{x+ y = 1 + ixy = 2 i

Exercice 30 [ 02049 ] [correction]Rsoudre dans C lquation z3 = 4

2(1 + i).

Exercice 31 [ 02050 ] [correction]Dterminer lensemble des points M daffixe z tels que

z + z = |z|


Exercice 32 [ 02051 ] [correction]Soit Z C?. Rsoudre lquation ez = Z dinconnue z C.

Exercice 33 [ 02052 ] [correction]Rsoudre lquation |z + 1| = |z|+ 1 dinconnue z C.

Exercice 34 [ 02053 ] [correction]Soit n N. Rsoudre, lorsquelle a un sens, lquation :

nk=0

cos(kx)cosk x = 0

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Corrections

Exercice 1 : [nonc]Puisque z U , on a z = 1/z donc(

z + 1z 1

)= z + 1z 1 =

1/z + 11/z 1 =

1 + z1 z =

z + 1z 1

puisz + 1z 1 iR

Exercice 2 : [nonc]Posons x = Re(z) et y = Im(z). |f(z)|2 = |zi|2|z+i|2 =

x2+(y1)2x2+(y+1)2 .

Si y > 0 alors x2 + (y 1)2 < x2 + (y + 1)2 donc |f(z)| < 1. Ainsi,z P, f(z) D.Soit Z D. Z = ziz+i z = i 1+Z1Z aveci 1+Z1Z = i

1+ZZZZ|1Z|2 =

2Im(Z)|1Z|2 + i

1|Z|2|1Z|2 P .

Ainsi, Z D,!z P, f(z) = Z.

Exercice 3 : [nonc]a) M = I est solution.Pour M 6= I, I,M,M sont aligns si, et seulement si, il existe R tel queIM = IM i.e. izizi R.Posons x = Re(z) et y = Im(z).Im(izizi)

= 0 x(x 1) + y(y 1) = 0 (x 12)2 + (y 12)2 = 12 .Finalement le lieu des points M solutions est le cercle de centre

1/21/2 et derayon 1/

2.

b) Le point M est limage de M par la rotation de centre O et dangle pi/2.

Le lieu des points M est donc le cercle de centre 1/21/2 et de rayon 1/2

Exercice 4 : [nonc]Cn et Sn sont les parties relles et imaginaires denk=0

eik = ei(n+1)1ei1 = ein/2 sin

(n+1)2

sin 2.

Ainsi Cn = cos n2sin (n+1)2

sin 2et Sn = sin n2

sin (n+1)2sin 2

.

Exercice 5 : [nonc]Cn et Sn sont les parties relles et imaginaires denk=0

(n

k

)eik = (1 + ei)n = 2nein2 cosn 2 .

Ainsi Cn = 2n cos n2 cosn2 et Sn = 2n sin

n2 cosn

2 .

Exercice 6 : [nonc]|z|2 = 2 +2 + 22 = 4 donc |z| = 2. Posons un argument de z quon peutchoisir dans [0, pi/2] car Re(z), Im(z) > 0. On a cos = 12

2 +

2 donccos(2) = 12

(2 +

2) 1 = 22 avec 2 [0, pi] donc 2 = pi/4 puis = pi/8.

Exercice 7 : [nonc]() ok() Si |z + z| = |z|+ |z| alors, en divisant par |z| : |1 + x| = 1 + |x| avecx = z/z C.Ecrivons x = a+ ib avec a, b R.

|1 + x|2 = (a+ 1)2 + b2 = 1 + a2 + b2 + 2aet

(1 + |x|)2 = (1 +a2 + b2)2 = 1 + a2 + b2 + 2

a2 + b2

|1 + x| = 1 + |x| donne alors a = a2 + b2 do b = 0 et a > 0.Par suite x R+ et on conclut.

Exercice 8 : [nonc]|z|+ |z| = 12 |(z z) + (z + z)|+ 12 |(z z) + (z + z)| 6 |z + z|+ |z z|.Interprtation : Dans un paralllogramme la somme des longueurs de deux ctsest infrieure la somme des longueurs des diagonales.Il y a galit si, et seulement si, : z z = 0 (i.e. z = z) ou z+zzz R+ etz+zzz R+ ce qui se rsume z = z.

Exercice 9 : [nonc]z = ei + 1 = 2 cos 2ei/2.Si cos 2 > 0 alors |z| = 2 cos 2 et arg(z) = 2 [2pi], si cos 2 = 0 alors |z| = 0.et si cos 2 < 0 alors |z| = 2 cos 2 et arg(z) = 2 + pi [2pi].z = ei 1 = 2i sin 2ei/2 et la suite est similaire.


Exercice 10 : [nonc]ei1ei+1 =

i sin /2cos /2 = i tan

2 .

Exercice 11 : [nonc]ei + ei = ei +

2 (ei

2 + ei

2 ) = 2 cos 2 ei

+2 ce qui permet de prciser

module et argument en discutant selon le signe de cos 2 .

Exercice 12 : [nonc]Si a = 0, lingalit est vraie avec galit si, et seulement si, b = 0.Si a 6= 0, lingalit revient

1 + |u| 6 |1 + u|+ |1 u|

avec u = b/a. En crivant u = x+ iy,

(1 + |u|)2 = 1 + 2x2 + y2 + x2 + y2

6 2 + 2(x2 + y2)= |1 + u|2 + |1 u|26 (|1 + u|+ |1 u|)2

avec galit si, et seulement si, x2 + y2 = 1 et1 u2 = 0 soit u = 1 ce qui

revient a = b.

Exercice 13 : [nonc]Puisque eix + eiy + eiz = 0, on a 1 + ei + ei = 0 avec = y x et = z x.Ainsi

{cos+ cos = 1sin+ sin = 0

.

sin+ sin = 0 donne = [2pi] ou = pi [2pi].Si = pi [2pi] alors la relation cos+ cos = 1 donne 0 = 1.Il reste = [2pi] et alors 2 cos = 1 donne = 2pi3 [2pi].Par suite ei = j ou j2.On obtient alors aisment 1 + e2i + e2i = 0 puis e2ix + e2iy + e2iz = 0.

Exercice 14 : [nonc]Pour que la quantit soit dfinie il est ncessaire que z 6= 1/a.

Si tel est le cas z a1 az 6 1 |z a|2 6 |1 az|2

Sachant |x+ y|2 = |x|2 + 2Re(xy) + |y|2, on obtient z a1 az 6 1 (|a|2 1)(|z|2 1) > 0

Lensemble recherch est lensemble des complexes de module infrieur 1.

Exercice 15 : [nonc]Pour ]0, 2pi[ et z = ei,

11 z =

11 ei = e

i/2 i2 sin /2 =

12 +

12 icotan

2

Limage du cercle unit est la droite dquation x = 12 .

Exercice 16 : [nonc]On observe que B = {i,i} est solution. Montrons quil ny en a pas dautres. . .Posons f : C C et g : C C dfinies par

f(z) = 1 z + z2 et g(z) = 1 + z + z2

On remarque

|f(z) i| = |z + i| |z (1 + i)| , |f(z) + i| = |z i| |z (1 i)||g(z) i| = |z i| |z + 1 + i| et |g(z) + i| = |z + i| |z + 1 i|

Soient a B et (zn)n>0 la suite dlments de B dfinie par z0 = a et pour toutn N

zn+1 ={f(zn) si Re(zn) 6 0g(zn) si Re(zn) > 0

Posons enfinun =

z2n + 1 = |zn i| |zn + i|Si Re(zn) 6 0 alors

un+1 = |f(zn) i| |f(zn) + i| = un |zn (1 + i)| |zn (1 i)|Selon le signe de la partie imaginaire de zn, lun au moins des deux modules|zn (1 + i)| et |zn (1 i)| est suprieur

2 alors que lautre est suprieur 1.


Ainsiun+1 >

2un

Si Re(zn) > 0, on obtient le mme rsultat.On en dduit que si u0 6= 0 alors la suite (un) nest pas borne. Or la partie B estborne donc u0 = 0 puis a = i. Ainsi B {i,i}.Sachant B 6= et sachant que lappartenance de i entrane celle de i etinversement, on peut conclure

B = {i,i}

Exercice 17 : [nonc]n1k=0

e2ikpi/n = exp(n1k=0

2ikpin

)= exp

(2ipin

n1k=0

k

)= exp(i(n 1)pi) = (1)n1.

Exercice 18 : [nonc]Notons k = e

2ikpin avec k Z. |k 1| = 2

sin kpin .zUn

|z 1| =n1k=0

2 sin kpin = 2Im(n1k=0

ei kpin)

= 4Im(

11eipi/n

)= 2 cos

pi2n

sin pi2n=

2 cot pi2n .

Exercice 19 : [nonc]On a

(1 )S =n1k=0

(k + 1)k nk=1

kk =n1k=0

k nn = n

doncS = n

1

Exercice 20 : [nonc]a) j(j + 1) = j2 + j = 1. b) jj2+1 = jj = 1c) j+1j1 =

(j+1)(j1)(j1)(j1) =

(j+1)(j21)(j1)(j21) =

j3+j2j1j3j2j+1 =

12j3 .

Exercice 21 : [nonc]Notons k = e

2ikpin avec k Z les racines n me de lunit.

Si z est solution alors ncessairement z 6= 1 et(z+1z1)n

= 1 donck {0, 1, . . . , n 1} tel que z+1z1 = k ce qui donne (k 1)z = k + 1.Si k = 0 alors ce la donne 0 = 2 donc ncessairement k {1, . . . , n 1} et k 6= 1.Par suite z = k+1k1 =

2 cos kpin2i sin kpin

= i cot kpin .Inversement, en remontant le calcul : okFinalement S = {i cot kpin /k {1, . . . , n 1}}.Puisque la fonction cot est injective sur ]0, pi[, il y a exactement n 1 solutions.

Exercice 22 : [nonc]On a

zn + 1 = 0 zn = eipiz0 = ei

pin est solution particulire de lquation et donc

S = {z0k/k {0, . . . , n 1}} ={ei

(2k+1)pin /k {0, . . . , n 1}

}

Exercice 23 : [nonc]z = i nest pas solution.Pour z 6= i, (z + i)n = (z i)n

(z+izi)n

= 1 k {0, . . . , n 1} , z+izi = k ennotant k = e

2ikpin .

Pour k = 0, k = 1 et lquation z+izi = k na pas de solution.Pour k {1, . . . , n 1}, k 6= 1 et lquation z+izi = k a pour solutionzk = ik+1k1 .

Ainsi S = {z1, . . . , zn1} avec zk = i 2 coskpin e

i kpin

2i sin kpin ei kpin

= cot kpin R deux deuxdistincts car cot est strictement dcroissante sur lintervalle ]0, pi[ o voluent leskpin pour 1 6 k 6 n 1.

Exercice 24 : [nonc]On a 1 +A+B = 0, AB = 2 et Im(A) > 0, A = B = 1+i

7

2 .

Exercice 25 : [nonc]a) Puisque les racines de lquation zn 1 sont 1, , . . . , n1, on azn 1 = (z 1)

n1k=1

(z k). Or on a aussi zn 1 = (z 1)(1 + z + + zn1)do lgalit propose pour z 6= 1.


b) Les fonctions x 7n1k=1

(x k) et x 7n1`=0x` sont dfinies et continues sur R

et concident sur R\ {1}, elles concident donc aussi en 1 par passage la limite.c) Pour z = 1, lgalit du a) donne

n1k=1

(1 k) = n. Or par factorisation de

lexponentielle quilibre, 1 k = e ikpin 2i sin kpin etn1k=1

ei kpin = eipin

n1k=1

k

= in1

doncn1k=1

(1 k) = 2n1n1k=1

sin kpin puis la relation propose.

Exercice 26 : [nonc]x = 1 est solution de lquation si, et seulement si, a2 2a 3 = 0 ce qui donnea = 1 ou a = 3.Lorsque a = 1, les solutions de lquation sont 1, 3+

5

2 , 3+

52 .

Lorsque a = 3, les solutions de lquation sont 1, 3+i3

32 , 3+i3

3

2 .

Exercice 27 : [nonc]a) S = {1,1 + 2i},b) S = {1 + i,3 + 2i, 1 i, 3 2i}.

Exercice 28 : [nonc]a) (3 2i)b) a = 2i, b = 1 + 3i et c = 2 + ic) |c b| = |c a| = 13 et |b a| = 26. Le triangle est rectangle isocle.

Exercice 29 : [nonc]Systme somme produit. S = {(1 + 2i,i), (i, 1 + 2i)}.

Exercice 30 : [nonc]4

2(1 + i) = 8eipi4 donc z0 = 2eipi12 est solution particulire de lquation et donc

S = {z0, z0j, z0j2}.

Exercice 31 : [nonc]Soit M(z) solution avec z = a+ ib et a, b R.On a 2a =

a2 + b2 donc a > 0 et b = 3a.

Ainsi M se situe sur les demi-droites dorigine O dirige par les vecteurs ~u 13 et

~v

13 .Inversement : ok.

Exercice 32 : [nonc]Posons = |Z| et = argZ [2pi]. ez = Z z = ln + i + 2ikpi avec k Z.

Exercice 33 : [nonc]|z + 1|2 = |z|2 + 2Re(z) + 1 et (|z|+ 1)2 = |z|2 + 2 |z|+ 1 donc|z + 1| = |z|+ 1 Re(z) = |z| z R+.

Exercice 34 : [nonc]Lquation a un sens pour x 6= pi2 [pi].nk=0

cos kxcosk x = Re

(nk=0

eikxcosk x

)= 1cosn xRe

(cosn+1 xei(n+1)x

cos xeix)

= 0 cosn+1 x =cos(n+ 1)x.Si x 6= 0 [pi] alors eixcos x 6= 1 etnk=0

eikxcosk x =

1cosn x

cosn+1 xei(n+1)xcos xeix =

1cosn x

cosn+1 xcos(n+1)xi sin(n+1)xi sin x

doncnk=0

cos kxcosk x = 0 sin(n+ 1)x = 0 x = 0 [pi/(n+ 1)].

Si x = 0 [pi] alorsnk=0

cos kxcosk x = n+ 1.

Finalement S ={

kpi(n+1)/k Z et (n+ 1) 6 |k

}.

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