Nombres complexes Partie réelle et partie imaginaire ...· Parmi les nombres complexes suivants,

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  • Partie relle et partie imaginaire dun complexe Nombres complexes Exercices corrigs

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    Objectifs abords dans cette fiche : (cliquez sur lexercice pour un accs direct)

    Exercice 1 : donner la partie relle et la partie imaginaire dun complexe crit sous forme algbrique

    Exercice 2 : effectuer des oprations sur les complexes pour en prciser les parties relle et imaginaire

    Exercice 3 : dterminer la partie relle et la partie imaginaire de la somme de termes ik selon k

    Exercice 4 : comprendre les notions de nombre rel et de nombre imaginaire pur

    Exercice 5 : montrer quun nombre complexe est un rel ou un imaginaire pur (plusieurs mthodes)

    Exercice 6 : dterminer la valeur dun paramtre pour quun complexe soit un rel ou un imaginaire pur

    Exercice 7 : rsoudre une quation dans lensemble des complexes en utilisant lgalit de 2 nombres

    Exercice 8 : utiliser une forme trigonomtrique pour connaitre une partie relle et une partie imaginaire

    Exercice 9 : utiliser une forme exponentielle pour dmontrer des formules trigonomtriques

    Exercice 10 : dterminer la partie relle et la partie imaginaire de la puissance dun complexe

    Exercice 11 : dmontrer quun complexe est un rel

    Exercices 12 : dterminer un ensemble de points M(z) tel que z soit un rel ou un imaginaire pur

    Exercice 13 : dterminer un ensemble de points M(z) en utilisant une fonction de z

    Exercice 14 : exhiber les solutions dune quation en utilisant deux mthodes (analytique, gomtrique)

    Exercice 15 : tudier le nombre complexe in selon la valeur de lentier naturel n

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    Nombres complexes Partie relle et partie imaginaire

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    Dterminer la partie relle et la partie imaginaire de chaque nombre complexe suivant.

    Rappel : Partie relle et partie imaginaire dun complexe crit sous sa forme algbrique

    Soit un nombre complexe tel que (avec et rels). Alors lcriture est appele forme

    algbrique (ou criture cartsienne) de ce complexe. Par ailleurs, on dit que :

    est la partie relle de et on la note

    est la partie imaginaire de et on la note

    Donc et

    Donc et

    Donc et

    Remarque importante : On verra plus loin que, si la partie relle dun nombre complexe est nulle, alors ce

    complexe est un imaginaire pur. Ici, est un imaginaire pur.

    Donc et

    Remarque importante : On verra plus loin que, si la partie imaginaire dun nombre complexe est nulle, alors

    ce complexe est un rel. Ici, est un rel.

    Exercice 1 (1 question) Niveau : facile

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    Dterminer la partie relle et la partie imaginaire de chaque nombre complexe suivant.

    Donc et

    Rappel : Oprations dans

    Lensemble est muni dune addition et dune multiplication (ainsi que dune soustraction et dune division),

    qui possdent les mmes proprits et rgles de calcul que dans lensemble . Les identits remarquables

    applicables dans le sont galement dans . En outre, dans lensemble des complexes, .

    (

    )

    Donc et

    Remarque : Pour ne plus avoir de nombre imaginaire pur au dnominateur, on multiplie (ou on divise) le

    numrateur et le dnominateur par .

    (

    )

    Donc

    et

    Remarque : Pour ne plus avoir de nombre complexe au dnominateur, on multiplie le numrateur et le

    dnominateur par le nombre complexe conjugu du dnominateur.

    Rappel : Conjugu dun nombre complexe

    Le conjugu du nombre complexe (avec et rels) est le nombre complexe not dfini par

    . On a donc et .

    Exercice 2 (1 question) Niveau : facile

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    Donc

    et

    Rappel : Produit dun nombre complexe par son conjugu

    Le produit dun nombre complexe (avec et rels) par son conjugu est gal

    . On a donc .

    Remarque importante : Autrement dit, le produit dun nombre complexe par son conjugu est gal au

    carr du module de , not | |. On a donc | | .

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    Dterminer la partie relle et la partie imaginaire du nombre complexe tel que :

    On remarque que le nombre complexe est la somme des termes dune suite gomtrique de raison .

    Rappel : Somme des termes dune suite gomtrique

    Soit une suite gomtrique de raison . Alors la somme des termes conscutifs de cette suite est

    donne par la formule :

    Autrement dit, avec o dsigne le rang partir duquel la suite est dfinie :

    Donc et .

    Exercice 3 (1 question) Niveau : moyen

    Correction de lexercice 3 Retour au menu

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    Parmi les nombres complexes suivants, certains sont des rels ou des imaginaires purs. Les prciser.

    Rappel : Nombre rel et nombre imaginaire pur

    Dans lensemble des complexes, un rel est un nombre complexe dont la partie imaginaire est nulle.

    Autrement dit, un nombre complexe tel que (avec et rels) est un rel si et seulement

    si . Les rels sont donc de la forme .

    Dans lensemble des complexes, un imaginaire pur est un nombre complexe dont la partie relle est

    nulle. Autrement dit, un nombre complexe tel que (avec et rels) est un imaginaire

    pur si et seulement . Les imaginaires purs sont donc de la forme .

    Remarque : L'ensemble des imaginaires purs peut tre not .

    donc nest pas un imaginaire pur. De plus, comme

    , nest pas un rel.

    Comme , est un imaginaire pur. En outre, comme , nest pas un rel.

    Comme , nest pas un imaginaire pur. Mais, comme , est un rel.

    Exercice 4 (1 question) Niveau : facile

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    Comme , est un imaginaire pur. De plus, comme , est un rel. En dfinitive, est

    le nombre complexe nul.

    Rappel : Le nombre complexe nul est le seul nombre complexe dont la partie relle et la partie imaginaire sont

    nulles.

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    Soient les nombres complexes et tels que et

    .

    1) Vrifier que est un nombre rel.

    2) Vrifier que est un nombre imaginaire pur.

    3) Que peut-on en dduire de et ?

    Rappel : Nombre rel et nombre imaginaire pur

    Pour montrer quun nombre complexe est un rel, on peut indiffremment montrer :

    1) que sa partie imaginaire est nulle, cest--dire que

    2) quil est gal son conjugu (ou que la diffrence entre ce nombre et son conjugu est nulle), cest--

    dire que

    3) que ce nombre est non nul et quil admet un argument de la forme , cest--dire que

    Pour montrer quun nombre complexe est un imaginaire pur, on peut indiffremment montrer :

    1) que sa partie relle est nulle, cest--dire que

    2) quil est gal loppos de son conjugu (ou que la somme entre ce nombre et son conjugu est nulle),

    cest--dire que

    3) que ce nombre est non nul et quil admet un argument de la forme

    , cest--dire que

    ( )

    1) Vrifions que est un nombre rel.

    1re

    mthode : On effectue directement lopration.

    Comme , est un nombre rel.

    Exercice 5 (3 questions) Niveau : facile

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    2e mthode : On crit les complexes sous leur forme algbrique puis on effectue lopration.

    Comme , est un nombre rel.

    3me

    mthode : On utilise le conjugu.

    Rappel : Proprits des conjugus de nombres complexes

    Soient deux nombres complexes et et soit un entier naturel non nul.

    Le conjugu dune somme est gal la somme des conjugus, cest--dire :

    Le conjugu dun produit est gal au produit des conjugus, cest--dire :

    Le conjugu dun quotient est gal au quotient des conjugus, cest--dire : (