Nombres complexes . Trigonométrie - maths-algo.fr Cours - Nombres... · Nombres complexes . Trigonométrie I) Ensemble des nombres complexes 1) Définition 2) Partie réelle, partie

Nombres complexes . Trigonométrie

I) Ensemble des nombres complexes

1) Définition

2) Partie réelle, partie imaginaire, forme algébrique

3) Egalité de deux complexes

4) Opérations + et × dans �

5) Représentation géométrique des complexes

6) Ordre dans �

II) Conjugué . Module

1) Définitions

2) Interprétation géométrique

3) Inverse d’un complexe non nul

4) Propriétés

5) Inégalité triangulaire

III) Argument d’un nombre complexe

1) Nombres complexes de module 1

2) Notation ei t

3) Argument


5) Exemple

6) Propriétés

7) Forme trigonométrique d’un complexe

8) Exercices

IV) Racines d’un complexe

1) Définition

2) Calcul algébrique des racines carrées

3) Résolution des équations du second degré

4) Racines n-ièmes de 1

5) Résolution de l’équation zn = a

V) Utilisations des nombres complexes en géométrie

1) Liens distance-module et angle-argument

2) Points alignés, droites orthogonales

3) Exercices

4) Transformation du plan

5) Translation, homothétie, rotation

VI) Utilisations des nombres complexes en trigonométrie

1) Formules d’Euler

2) Formules utiles

3) Linéarisation

4) Calcul de sommes trigonométriques

5) Exercice

VII) Exponentielle complexe

03 Cours - Nombres complexes. Trigonométrie.nb 1/11


1) Définition

2) Propriété fondamentale

3) Proposition

VIII) Trigonométrie

1) Ce qu’il faut savoir par cœur ou savoir retrouver rapidement

2) Exercices

I) Ensemble des nombres complexes

1) Définition

VS (Version Symbolique) : on pose � = 9x + i y ê Hx, yL œ �2=

VF (Version Française) : � est l’ensemble des nombres z qui peuvent s’écrire sous la forme z = x + i y avec x et y deux réels

quelconques.

Le nombre i est un nouveau “nombre”. Il vérifie i2 = -1.

Remarquons que:

(1) Cette définition de l’ensemble � n’a pas de sens... Qu’est-ce que c’est que ce nombre i, surgissant de nulle part ? On

peut présenter � plus rigoureusement, mais nous nous contenterons de celle-ci.

(2) Ce n’est pas la première fois que vous êtes confrontés (sans le réaliser) à une définition peu rigoureuse. Si vous n’en

êtes pas convaincu, essayez de donner par exemple la définition d’un angle, d’une droite ou d’un nombre réel....

2) Partie réelle, partie imaginaire, forme algébrique

(1) Etant donné z = x + i y un nombre complexe (avec x, y œ �), on pose Re z = x et Im z = y .

Re z est la partie réelle de z et Im z est la partie imaginaire de z.

(2) L’écriture z = x + i y du nombre complexe z (avec x, y œ �) est l’écriture (ou la forme) algébrique de z .

Par exemple avec z = i - 2 , Re HzL = -2 et Im HzL = 1

3) Egalité de deux complexes

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes parties réelles et imaginaires.

Soient z = x + i y et z ' = x '+ i y ' deux complexes écrits sous forme algébrique. Alors:

z = z ' ñ x = x ' et y = y ' ñ Re HzL = Re Hz 'L et Im HzL = Im Hz 'L

4) Opérations + et × dans �

Soient z = x + i y et z ' = x '+ i y ' deux complexes écrits sous forme algébrique

On pose: z + z ' = Hx + x 'L + i Hy+ y 'L et zäz ' = Hx x '- yy'L + i Hx y ' + x ' yL .En particulier i2 = -1 .

On pose a = 1 - i et b = -3 + 4 i . Calculer a + b , a2, a4, aäb et b2.


5) Représentation géométrique des complexes

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct:

(1) au complexe z = x + i y est associé le point Mx

y , appelé image de z dans le plan, noté M HzL.

(2) au point Mx

y est associé le complexe z = x + i y, appelé affixe de M et noté noté zM.

6) Ordre dans �

Il n’y a pas d’ordre dans � prolongeant l’ordre usuel b sur � et compatible avec la multiplication .

(Il faudrait avoir z r 0 et z ' r 0 fl z z ' r 0)

En effet: si i r 0 alors on doit avoir i2 r 0, ce qui est faux, et si i b 0 alors on doit avoir i2 r 0, ce qui est faux

II) Conjugué . Module

1) Définitions

Soit z = x + i y un complexe écrit sous forme algébrique. On définit:

(1) le conjugué z de z par z = x - i y

(2) le module z de z par z = x2 + y2 = z z


Si z est l’affixe du point M, alors:

(1) z = OM

(2) MHzL est le symétrique par rapport à la droite Ox du point M HzL

3) Inverse d’un complexe non nul

Soit z œ �* un nombre complexe non nul. Alors

1

z=

z-

z 2.

On pose a = 1 - i et b = -3+ 4 i . Calculer sous forme algébrique 1

a,1

b et

a

b .

4) Propriétés

" z, t œ � , on a:

(1) z + t = z + t et zä t = zä t .

(2) z = z .

(3) Re HzL = z+z-

2 et Im HzL = z-z

-

2 i

(4) z œ � ñ z = z et z œ i� ñ z = -z ( i� = 8i y ê y œ �< est l’ensemble des imaginaires purs)


Et:

" z, t œ � , on a:

(1) z = 0 ñ z = 0.

(2) z ä t = z ä t et z

t=z

t ( si t ∫ 0 )

(3) z = z .

(4) zM = OM et zB - zA = A B .

Trouver deux entiers naturels a, b vérifiant a2 + b2 = I32 + 52M I72 + 42M

5) Inégalité triangulaire

" z, t œ �, z + t b z + t . Il y a égalité lorsqu’il existe l œ �+ tel que z = l t ou t = l z

III) Argument d’un nombre complexe

1) Nombres complexes de module 1

Soit z = x + i y un complexe. Alors § z§ = 1 ñ $ t œ �ì : x = cos t

y = sin t .

On note � l’ensemble des nombres complexes de module 1. On a � = 8cos HtL + i sin HtL ê t œ �<.

sin(t)

cos(t)

t

z = eit

1

1

2) Notation ei t

On pose ei t = cos HtL + i sinH tL pour t œ �.

Cette notation se justifie car on retrouve la propriété de base de calcul de l’exponentielle:

" t, t ' œ �, ei Ht+t'L = ei t ei t'


3) Argument

Soit z œ �* et q œ �. Alors q est un argument de z ñ z = z eiq .

On écrit alors arg HzL = q @2 pD, car, si q est un argument de z, les autres sont q + 2 k p avec k œ �.

Attention: z = 0 n’a pas d’argument


q = ArgHzL = KO x, OMHzLO @2 pD

M(z)

q = arg(z)

0 x

y

5) Exemple

Calculer un argument de a = -1 + i et b = i - 3

6) Propriétés

" z, z ' œ �*, arg Hzäz 'L = arg HzL + arg Hz 'L @2 pD et arg z

z'= arg HzL - arg Hz 'L @2 pD

7) Forme trigonométrique d’un complexe

a) Définition

Tout complexe z ∫ 0 peut se mettre sous la forme z = r ei q avec r =§ z§ > 0 et q = ArgHzL œ �. Une telle écriture est une

forme trigonométrique de z. Elle n'est pas unique, car on peut remplacer q par q + 2 k p avec k œ �.

b) Calcul sur les nombres complexes mis sous forme trigonométrique

Soient r, r ' œ ]0,+¶[ et q, q ' œ � et n œ �. Alors:

(1) r eiq r ' eiq' = r r ' ei Hq+q'L et (2) r eiq

r' eiq'=r

r'ei Hq-q'L

(3) Ir eiqMn = rn ei n q et (4) Hcos HqL + i sinH qLLn = cosHn qL + i sin Hn qL (Formule de Moivre)

(5) cos HqL = ei q+e-i q

2 et sin HqL = ei q-e-i q

2 i (Formules d’Euler)

8) Exercices

a) Calculer les parties réelles et imaginaires de a =1-i 3

1+i

10 et de b =

1+ 2 +i

1+ 2 -i

10 .

b) Prouver que " a, b œ �, ei a + ei b = 2 cosHb-aL

2eiHa+bL

2 .


IV) Racines d’un complexe

1) Définition

Soient a, z œ � et soit n œ �*. Alors: z est une racine nième de a ñ zn = a

Par exemple, z = i 2 est une racine carrée de a = -2.

2) Calcul algébrique des racines carrées

a) Proposition

Un nombre complexe non nul a admet deux racines carrées opposées.

b) Calcul pratique des racines carrées de a

Pour calculer sous forme algébrique les racines carrées du complexe a

(1) On pose z = x + i y avec x, y œ � . Alors z2 = a ñ (S : x2 - y2 = Re a

2 x y = Im a. ( En effet, Hx + i yL2 = x2 - y2 + 2 i xy )

(2) Si on peut trouver une solution "évidente" Hx, yL de (S), les deux racines carrées sont ≤Hx + i yL.(3) Sinon on remarque que z2 = a amène l'équation x2 + y2 = »a» qui ajoutée à (S) permet de résoudre (S).

c) Exemples

Calculer les racines carrées de a = -8 + 6i ; b = 7 - 24i et c = 2 - 3i

3) Résolution des équations du second degré

a) Théorème

Les solutions dans � de l’équation a z2 + b z + c = 0 avec a, b, c œ � et a ∫ 0 sont -b≤ d

2 a avec d2 = D = b2 - 4 ac.

b) Exemple

Résoudre dans � l’équation H1+ iL z2 - H5 + iL z + 6 + 4 i = 0

c) Exercices

a) Résoudre dans � l’équation z4 - H5 - 14 iL z2 - 2 H5 i+ 12L = 0

b) Résoudre dans � l’équation z3 + H6 + 4 iL z2 + H8+ 15 iL z + 3 + 11 i = 0 (chercher une racine réelle)

4) Racines nièmes de 1 (ou de l’unité)

a) Définition

Soit n œ �*. Les racines nièmes de 1 (ou de l’unité) sont les nombres complexes z vérifiant zn = 1.

b) Théorème

Les racines nièmes de l’unité sont les z = e2 i k p

n avec k œ 80, 1, ..., n - 1< .


c) Images dans le plan

Il y a n racines nièmes de l’unité . Leurs images dans le plan forment les sommets du polygone régulier à n côtés inscrit dans le

cercle trigonométrique dont l’un des sommets est le point A = 1

0 .

n=6

A

d) Exercice

Prouver que la somme Sn des racines nièmes de 1 est nulle.

5) Résolution de l’équation zn = a

On met a sous forme trigonométrique a = r ei q. Alors b = rn

eiq

n vérifie bn = a, et zn = a ñ zn = bn ñ J zbNn = 1 : on est

ramené aux racines nièmes de 1.

a) Résoudre dans � l’équation z3 = i . b) Résoudre dans � l’équation Hz - 1L4 + z4 = 0 .

V) Utilisations des nombres complexes en géométrie

1) Liens distance-module et angle-argument

On a: zAB

= zB - zA et A B =§ zB - zA§ et JA B, C DN = ArgzD-zC

zB-zA

@2 pD . Ces relations permettent de transformer des

problèmes d’angles ou de distances en problèmes sur les nombres complexes et réciproquement.

2) Points alignés, droites orthogonales

Soient A, B, C trois points distincts. On note Z =zC-zB

zB-zA. Alors:

A, B, C sont alignés ñ Z œ � ñ Z = Z et (A BL¦ HBCL ñ Z œ i� ñ Z = -Z .

3) Exercices

a) Chercher E = 8M HzL ê § H2 i+ 1L z - 3§ b 4<b) Pour z œ � on note AHzL, BIz2M et C Iz3M. Chercher E = 8M HzL ê HOBL¦ HACL<

4) Transformation du plan

a) Définition

Une transformation du plan est une application (une fonction) du plan dans le plan.


b) Ecriture complexe

Soit f :�2ö�2

MöM' une transformation du plan qui à un point M associe le point M '. Si on note M = MHzL = x

y et

M ' = M ' Hz 'L = x '

y ' avec z = x + i y et z ' = x '+ i y ', l’écriture complexe de f est la relation qu’il y a entre z ' et et z.

c) Exemple

La symétrie orthogonale par rapport à (Ox) a pour écriture complexe z ' = z-

5) Translation, homothétie, rotation

a) Définitions

La translation de vecteur u est l’application notée tu définie par: " M œ �

2, tuHML = M ' avec MM ' = u .

L’écriture complexe de la translation tu est z ' = z + z

u .

L’homothétie de centre le point A et de rapport k œ � est l’application notée hA,k définie par:

" M œ �2, hA,k HML = M ' avec AM ' = k AM .

L’écriture complexe de l’homothétie de centre A HaL et de rapport k est z ' - a = k Hz - aL .

La rotation de centre le point A et d’angle q œ � est l’application notée rotA,q définie par:

" M œ �2, rA,q HML = M ' avec :

AM ' = AM

JAM, AM 'N = q @2 pD L’écriture complexe de la rotation de centre A HaL et d’angle q est z ' - a = ei q Hz - aL .

b) Dessins

6) Exercice

On note j = e2 i p

3 . Prouver que 1 + j + j2 = 0 et que j3 = 1. Soient A,B,C trois points du plan d’affixes a, b, c.

a) Prouver que: le triangle ABC est équilatéral direct ñ a+ b j + c j2 = 0 .

b) Prouver que: le triangle ABC est équilatéral ñ a2 + b2 + c2 = a b+ a c+ b c .

VI) Utilisations des nombres complexes en trigonométrie

1) Formules d’Euler

" q œ �, cosH qL = ei q + e-i q

2 et sinH qL = ei q - e-i q

2 i


2) Formules utiles

" q œ �, 1+ eiq = 2 cos J q2N ei

q

2 et 1- eiq = -2 i sin J q2N ei

q

2

3) Linéarisation

a) But

Exprimer des quantités du type A = cosk x sinq x (avec k, q œ �) comme somme d’expressions du type B = cos Hn xL ou C = sin Hm xL (avec n, m œ �).

b) Moyens

* Toujours possible: Euler + Binôme + Moivre + Euler

* Parfois possible: utiliser les formules cos2 x =1+cos H2 xL

2 et sin2 x =

1-cos H2 xL

2

Par exemple, linéariser A = cos4 HxL et B = sin3HxL .

4) Calcul de sommes trigonométriques

Soient x œ � et n œ �. On pose C = Sk=0

ncosHk xL et S = S

k=0

nsinHk xL . Simplifier la somme A = C + i S et en déduire des

expressions compactes de C et de S sans le symbole ⁄.

5) Exercice

Trouver un polynôme P HxL tel que cosH5 xL = PHcos HxLL. En déduire la valeur exacte de cosJ p

10N.


1) Définition

Soit z = x + i y œ �. On pose ez = exHcosH yL + i sin HyLL . On note aussi expHzL = ez .

Par exemple: a = eln 2+ i p = eln 2HcosHpL+ i sinHpLL = -2.

2) Propriété fondamentale

" z, z ' œ �, ez+z' = ez ez'

3) Proposition

Soient z, z ' œ �. Prouver que ez = ez' ñ $ k œ � ê z - z ' = 2 i k p


VIII) Trigonométrie

1) Ce qu’il faut savoir par cœur ou savoir retrouver rapidement

a) Valeurs trigonométriques usuelles

0p

6

p

4

p

3

p

2

cos 13

2

2

2

1

20

sin 01

2

2

2

3

21

tan 01

31 3 ¶

b) Formules de base

cos2HxL+ sin2HxL = 1 tan HxL = sinHxL

cosHxL

cosH-xL = cosHxL sinH-xL = -sinHxL tanH-xL = - tanHxL

cosHa + bL = cosHaL cosHbL - sinHaL sinHbL sinHa + bL = sinHaL cosHbL + cosHaL sinHbLcosHa - bL = cosHaL cosHbL + sinHaL sinHbL sinHa - bL = sinHaL cosHbL - cosHaL sinHbL

tanHa+ bL = tanHaL + tanHbL

1- tanHaL tanHbLtanHa- bL = tanHaL - tanHbL

1+ tanHaL tanHbL

c) Angles doubles

cos H2 xL = cos2HxL- sin2HxL = 2 cos2HxL - 1 = 1 - 2 sin2HxL sinH2 xL = 2 sinHxL cosHxL

cos2HxL = 1+ cosH2 xL

2sin2HxL = 1- cosH2 xL

2

d) Usage du cercle trigonométrique

Pour retrouver rapidement les formules du type:

cosH≤x ≤ aL =. .. sinH≤x ≤ aL=. .. avec a œ :0, p

2, p>

e) Résolution des équations trigonométriques

cosHxL = cosHaL ñ x = a + 2 k p ou x = -a+ 2 k p

sinHxL = sinHaL ñ x = a + 2 k p ou x = p - a+ 2 k p

tanHxL = cosHaL ñ x = a+ k p

f) Transformation des produits en sommes

En ajoutant et soustrayant les formules cosHa ≤ bL = et sinHa ≤ bL =

cos HaL cos HbL =. .. sinHaL sinHbL =. .. sinHaL cos HbL =. ..


g) Transformation des sommes en produits

En ajoutant et soustrayant cosHa ≤ bL = et sinHa ≤ bL = puis en posant a = p + q et b = p - q c’est à dire p = a+b

2 et q =

a-b

2 .

cosHpL + cosHqL =. .. cosHpL - cosHqL =. .. sinHpL + sinHqL =. .. sinHpL - sinHqL =. ..

2) Exercices

a) Factoriser sin HpL + sin HqL et sin HpL- sin HqL

b) Résoudre dans � l’équation cosH2 xL = sin HxL

c) Résoudre dans � les équations (1): sin HxL- 3 cos HxL = 1 et (2): cos HxL + sin HxL = 1

2 .

d) Simplifier C = cos4 x - sin4 x et D = cos2 x- cos2 y

sin Hx+yL sin Hx-yL .

e) Résoudre dans � l’équation sinHxL + sinH2 xL + sinH3 xL = 0

f) On suppose que a + b + c = p . Montrer que cos2HaL + cos2HbL+ cos2HcL + 2 cosHaL cos HbL cosH cL = 1.


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