Nombres entiers

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Nombres entiersNombres entiers

Exercice 1 [ 02054 ] [correction]Soit P = {2k | k Z} et I = {2k + 1 | k Z} les ensembles formsrespectivement des entiers pairs et impairs. Montrer que P I = .

Exercice 2 [ 02055 ] [correction]Montrer quil nexiste pas de suite strictement dcroissante dentiers naturels.

Principe de rcurrence

Exercice 3 [ 02056 ] [correction]Soit (un) une suite relle telles que u0 = 1 et n N, un+1 =

(1 + 1n+1

)un.

Donner lexpression du terme gnral un de cette suite.

Exercice 4 [ 02057 ] [correction]Soit (un) la suite relle dtermine par u0 = 2, u1 = 3 etn N, un+2 = 3un+1 2un.Montrer que n N, un = 2n + 1.

Exercice 5 [ 01274 ] [correction]a) Soit x R tel que x+ 1/x Z.Montrer que pour tout n N,

xn + 1xn Z

b) Dterminer un rel x non entier vrifiant la proprit x+ 1/x Z.

Exercice 6 [ 02058 ] [correction]Montrer que n N\ {0, 1} , 1 + 122 + + 1n2 > 3n2n+1 .

Exercice 7 [ 02059 ] [correction]Montrer que n N?, 1!3! . . . (2n+ 1)! > ((n+ 1)!)n+1.

Exercice 8 [ 02060 ] [correction]Le raisonnement suivant est erron :Montrons, par rcurrence sur n N?, la proprit :P(n) = n points deux deux distincts quelconques du plan sont toujours aligns.Pour n = 1 et n = 2, la proprit est vraie.Supposons la proprit tablie au rang n > 2.Considrons alors n+ 1 points deux deux distincts A1, A2, . . . , An, An+1.(HR) Les points A1, A2, . . . , An sont aligns sur une droite D.(HR) Les points A2, . . . , An, An+1 sont aligns sur une droite D.Or D et D contiennent les deux points distincts A2 et An, donc D = D.Par suite A1, A2, . . . , An, An+1 sont aligns sur la droite D = D.Rcurrence tablie.O est lerreur ?

Exercice 9 [ 02061 ] [correction]On se propose dtablir n N?, (p, q) N2 tel que n = 2p(2q + 1) en procdantde deux manires :a) 1re mthode : Pour n N? fix, on pose A = {m N/2m | n}.Montrer que A admet un plus grand lment p et que pour celui-ci on peut criren = 2p(2q + 1) avec q N.b) 2me mthode : Procder par rcurrence forte sur n N?

Sommes

Exercice 10 [ 02062 ] [correction]Parmi les formules suivantes, lesquelles sont vraies :a)

ni=1

+ ai = +ni=1

ai b)ni=1

ai + bi =ni=1

ai +ni=1

bi c)ni=1

ai = ni=1

ai

d)ni=1

aibi =ni=1

aini=1

bi e)ni=1

ai =(

ni=1

ai

)f)

nj=1

ni=1

ai,j =ni=1

nj=1

ai,j ?

Exercice 11 [ 02063 ] [correction]Etablir lune des trois formules suivantes :a)

nk=1

k = n(n+1)2 b)nk=1

k2 = n(n+1)(2n+1)6 c)nk=1

k3 = n2(n+1)2

4


Exercice 12 [ 02064 ] [correction]A partir des valeurs connues de

nk=1

k etnk=1

k2, calculer :

a)nk=1

k(k + 1) b) 1.n+ 2.(n 1) + + (n 1).2 + n.1.

Exercice 13 [ 02065 ] [correction]Calculer

nk=1

(1)kk.

Exercice 14 [ 02066 ] [correction]Montrer que la suite de terme gnral un =

nk=1

1n+k est strictement croissante.

Exercice 15 [ 02067 ] [correction]Montrer que

nk=0

k! 6 (n+ 1)!

Exercice 16 [ 02068 ] [correction]Calculer

nk=1

k(k+1)! .

Exercice 17 [ 02069 ] [correction]a) Calculer

pk=1

kk!.

b) Soit p N. Montrer que n [[0, (p+ 1)! 1]], il existe un (p+ 1) uplet(n0, n1, . . . , np) Np+1 tel que :k [[0, p]] , 0 6 nk 6 k et n =

pk=0

nkk!.

c) Justifier lunicit dune telle suite.

Sommes gomtriques

Exercice 18 [ 02070 ] [correction]Calculer, pour tout R, la somme

nk=0

eik.

Exercice 19 [ 02071 ] [correction]Calculer, pour tout q C, la somme

nk=0

q2k.

Exercice 20 [ 02072 ] [correction]Pour q C\ {1} et n N, on pose Sn =

nk=0

kqk.

En calculant qSn Sn, dterminer la valeur de Sn.

Sommes doubles

Exercice 21 [ 02073 ] [correction]A partir des valeurs connues de

nk=1

k,nk=1

k2 etnk=1

k3, calculer :

a)

16i,j6n(i+ j)2 b)

16i


Exercice 26 [ 02078 ] [correction]Soit a R et P =

nk=0

(1 + a2k).

a) Calculer P quand a = 1.b) Calculer (1 a)P quand a 6= 1 et en dduire la valeur de P .

Nombres factoriels

Exercice 27 [ 02079 ] [correction]Exprimer 2 4 (2n) puis 1 3 (2n+ 1) laide de factoriels

Exercice 28 [ 02080 ] [correction]Montrer de deux manires

nk=1

(4k 2) =nk=1

(n+ k)

Coefficients binomiaux

Exercice 29 [ 02081 ] [correction]

Montrer que pour tout n N et tout p Z : p(n

p

)= n

(n 1p 1

). En dduire

quenp=0

p

(n

p

)= n2n1.

Exercice 30 [ 02082 ] [correction]Calculer pour tout n N? :a) S0 =

nk=0

(n

k

)b) S1 =

nk=0

k

(n

k

)c) S2 =

nk=0

k2

(n

k

).


Pour n N?, calculer A =E(n/2)k=0

(n

2k

)et B =

E((n1)/2)k=0

(n

2k + 1

)en formant

un systme dont A et B seraient solutions.


Soit n N. Calculernp=0

(n

p

)jp.

En dduire : A =E(n/3)k=0

(n

3k

), B =

E((n1)/3)k=0

(n

3k + 1

)et

C =E(n2/3)

k=0

(n

3k + 2

).

Exercice 33 [ 02085 ] [correction]Soit n, p, q N tels que n 6 p+ q.En dveloppant de deux manires (1 + x)p (1 + x)q, tablir :nk=0

(p

k

)(q

n k

)=(p+ qn

).


Calculer, pour tout n, p N, la sommenk=0

(p+ kk

)


Calculer pour n, p N?, la sommeni=0

(pj=1

(i+ j)).

Exercice 36 [ 02088 ] [correction]Dvelopper (a+ b+ c)n.


a) Soit n N. Calculernk=0

(1)k(n

k

).

b) Soit k, `, n N tels que ` 6 k 6 n. Comparer(n

k

)(k

`

)et(n

`

)(n `k `

).

c) Soit (xn) une suite de rels. On pose k N, yk =k`=0

(k

`

)x`.

Montrer que n N, xn =nk=0

(1)nk(n

k

)yk.



Montrer que pour tout n N?,nk=1

(1)k+1k

(n

k

)=

nk=1

1k .


Calculer Sn =nk=0

(1)k(

2n+ 1k

).

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Corrections

Exercice 1 : [nonc]Par labsurde. Si P I 6= , considrons x P I.Comme x P : k Z, x = 2k. Comme x I : ` Z, x = 2`+ 1.Par suite 2k = 2`+ 1 puis 1/2 = (` k) Z. AbsurdeLerreur de raisonnement classique est de dcrire x comme un nombre pair etimpair en prenant le mme entier k.

Exercice 2 : [nonc]Par labsurde, supposons que (un) soit une telle suite.A = {un/n N} est une partie non vide de N, elle possde donc un plus petitlment m.Puisque m A, il existe n N tel que m = un. Mais alorsun+1 < un 6 m = minA. Absurde.

Exercice 3 : [nonc]u0 = 1, u1 = 2, u2 = 3,...Par rcurrence, on montre aisment n N, un = n+ 1.

Exercice 4 : [nonc]Par rcurrence double.Pour n = 0 et n = 1 : okSupposons la proprit tablie aux rangs n et n+ 1 (avec n > 0).un+2 = 3un+1 2un =

HR3.2n+1 + 3 2.2n 2 = 2n+2 + 1.

Rcurrence tablie

Exercice 5 : [nonc]a) Par rcurrence double.La proprit est vraie pour n = 0 et pour n = 1 (par hypothse)Supposons la proprit vraie aux rangs n et n+ 1.On remarque que(

xn+1 + 1xn+1

)(x+ 1

x

)=(xn+2 + 1

xn+2

)+(xn + 1

xn

)on en dduit que(

xn+2 + 1xn+2

)=(xn+1 + 1

xn+1

)(x+ 1

x

)(xn + 1

xn

) Z

Rcurrence tablie.b) Il suffit de choisir x solution de lquation x2 px+ 1 = 0 avec p un entier.Pour p = 3, = 5 et

x = 3 +

52

convient

Exercice 6 : [nonc]Par rcurrence sur n > 2.Pour n = 2 ok.Supposons la proprit tablie au rang n > 2.1 + + 1n2 + 1(n+1)2 >

HR

3n2n+1 +

1(n+1)2 >?

3(n+1)2n+3 .

Vrifions lingalit propose :3n

2n+1 +1

(n+1)2 3(n+1)2n+3 = n2+2n

(2n+1)(n+1)2(2n+3) > 0.Rcurrence tablie.

Exercice 7 : [nonc]Par rcurrence sur n > 1.Pour n = 1 : okSupposons la proprit tablie au rang n > 1.1!3! . . . (2n+ 1)!(2n+ 3)! >

HR((n+ 1)!)n+1(2n+ 3)!>

?((n+ 2)!)n+2.

Vrifions lingalit propose :((n+1)!)n+1(2n+3)!

((n+2)!n+2 =(2n+3)!

(n+1)!(n+2)n+2 =(n+2)(n+3)...(2n+3)(n+2)(n+2)...(n+2) > 1.

Rcurrence tablie.

Exercice 8 : [nonc]A lavant dernire ligne, pour que A2 et An soient distincts, il est ncessaire quen > 3.Lhrdit de la rcurrence ne senchane alors plus avec linitialisation.

Exercice 9 : [nonc]a) A est une partie de N, non vide car m = 0 A et majore car2m | n 2m 6 n m 6 log2 n donc A possde un plus grand lment p.Puisque p A, 2p | n ce qui permet dcrire n = 2pk.Puisque p+ 1 / A, 2 6 |k et donc k est impair de la forme 2q + 1 avec q N.b) Pour n = 1 : p = q = 0 conviennent.


Supposons la proprit tablie jusquau rang n > 1.Si n+ 1 est impair alors lcriture est directement obtenue avec p = 0 etn+ 1 = 2q + 1.Si n+ 1 est pair alors on peut crire n+ 1 = 2k avec 1 6 k 6 n.Par lhypothse de rcurrence, on peut crire k = 2p(2q + 1) puisn+ 1 = 2p+1(2q + 1).Rcurrence tablie.

Exercice 10 : [nonc]b) c) f)

Exercice 11 : [nonc]Par rcurrence.

Exercice 12 : [nonc]a)

nk=1

k(k + 1) =nk=1

k2 +nk=1

k = n(n+1)(n+2)3 .

b) 1.n+ 2.(n 1) + + (n 1).2 + n.1 =nk=1

k(n+ 1 k) =

(n+ 1)nk=1

k nk=1

k2 = n(n+1)(n+2)6

Exercice 13 : [nonc]2nk=1

(1)kk =n`=1(2` 1) + 2` = n et

2n+1k=1

(1)kk = n (2n+ 1) = (n+ 1)

Exercice 14 : [nonc]

un+1 un =n+1k=1

1n+1+k

nk=1

1n+k =

12n+2 +

12n+1 1n+1 = 12n+1 12n+2 > 0.

Exercice 15 : [nonc]Par rcurrence sur n N, sachant (n+ 1)! + (n+ 1)! = 2.(n+ 1)! 6 (n+ 2)!.

Exercice 16 : [nonc]nk=1

k(k+1)! =

nk=1

(k+1)1(k+1)! =

nk=1

(1k! 1(k+1)!

)=

nk=1

1k!

nk=1

1(k+1)! = 1 1(n+1)! .


pk=1

kk! =pk=1

(k + 1)! k! = (p+ 1)! 1.b) Par rcurrence forte sur p > 0.Pour p = 0 : okSupposons la proprit tablie jusquau rang p > 0.Soit n [[0, (p+ 2)! 1]].Ralisons la division euclidienne de n par (p+ 1)! : n = q(p+ 1)! + r avec0 6 r < (p+ 1)!.Puisque 0 6 n < (p+ 2)! on a 0 6 q 6 p+ 1.

Par HR, on peut crire r =pk=0

nkk! et en prenant np+1 = q on a n =p+1k=0

nkk!.

Rcurrence tablie.c) Supposons n =

pk=0

nkk! =pk=0

nkk! avec les conditions requises.

Si np < np alorspk=0

nkk! 6 npp! +p1k=0

k.k! = (np + 1)p! 1 < npp! 6pk=0

nkk!.

Ceci est absurde donc ncessairement np > np puis par symtrie np = np.On simplifie alors le terme npp! et on reprend le principe pour conclure lunicit.

Exercice 18 : [nonc]Si 6= 0 [2pi] alors

nk=0

eik = ei(n+1)1ei1 (somme gomtrique de raison ei 6= 1)

Si = 0 [2pi] alorsnk=0

eik =nk=0

1 = n+ 1.

Exercice 19 : [nonc]Si q2 6= 1 alors

nk=0

q2k = q2n+21q21 (somme gomtrique de raison q2)

Si q2 = 1 alorsnk=0

q2k = n+ 1.



qSn Sn =nk=0

kqk+1 nk=0

kqk =n+1k=1

(k 1)qk nk=0

kqk =

nqn+1 nk=1

qk 0 =nqn+2(n+1)qn+1+qq1 .

Donc Sn = nqn+2(n+1)qn+1+q

(q1)2 .


16i,j6n

(i+ j)2 =ni=1

nj=1

(i2 + 2ij + j2

)= n

ni=1

i2 + 2ni=1

nj=1

ij + nnj=1

j2 = n2(n+1)(7n+5)

6 .

b)

16i 0.n+1k=1

(4k 2) =nk=1

(4k 2) (4n+ 2) =HR

nk=1

(n+ k) (4n+ 2).n+1k=1

(n+ 1 + k) = (n+ 2)(n+ 3) . . . (2n+ 2) =nk=1

(n+ k) (2n+1)(2n+2)n+1 =nk=1

(n+ k) (4n+ 2).Rcurrence tablie.(2) Directe :nk=1

(4k 2) = 2nnk=1

(2k 1) = 2n(1 3 . . . (2n 1)) = (2n)!n! etnk=1

(n+ k) = (n+ 1)(n+ 2) . . . (2n) = (2n)!n! .


p

(n

p

)= p n!p!(np)! = n

(n1)!(p1)!(np)! = n

(n 1p 1

).

np=0

p

(n

p

)= n

np=1

(n 1p 1

)= n(1 + 1)n1 = n2n1.

Exercice 30 : [nonc]a) S0 = (1 + 1)n = 2n.


b) ((1 + x)n) = n(1 + x)n1 donnenk=1

k

(n

k

)xk1 = n(1 + x)n1 donc

S1 = n2n1.c) (x((1 + x)n)) = (nx(1 + x)n1) = n(1 + x)n1 + n(n 1)x(1 + x)n2 donnenk=1

k2

(n

k

)xk1 = n(1 + x)n1 + n(n 1)x(1 + x)n2 donc

S2 = n2n1 + n(n 1)2n2 = n(n+ 1)2n2.


A+B =np=0

(n

p

)= (1 + 1)n = 2n et

AB =np=0

(1)p(n

p

)= (1 1)n = 0n = 0, donc A = B = 2n1.

Exercice 32 : [nonc]np=0

(n

p

)jp = (1 + j)n = 2neinpi3 cosn pi3 .

A+B + C = 2n, A+ jB + j2C = 2neinpi3 cosn pi3 etA+ j2B + jC = 2neinpi3 cosn pi3 (par conjugaison).Par suite A = 2n3

(1 + 2 cos npi3 cosn

pi3), B = 2n3

(1 + 2 cos (n2)pi3 cosn

pi3

),

C = 2n3(

1 + 2 cos (n+2)pi3 cosnpi3

).


Le coefficient de xn dans (1 + x)p (1 + x)q = (1 + x)p+q est(p+ qn

).

Lorsquon dveloppe le produit (1 + x)p (1 + x)q, on obtient un xn en croisantun xk de (1 + x)p par un xnk de (1 + x)q (pour 0 6 k 6 n). Le coefficient de xk

dans (1 + x)p est(p

k

)et le coefficient xnk dans (1 + x)q est

(q

n k

)donc le

coefficient de xn dans (1 + x)p (1 + x)q estnk=0

(p

k

)(q

n k

)do lgalit.

Exercice 34 : [nonc]nk=0

(p+ kk

)=(p

0

)+(p+ 1

1

)+(p+ 2

2

)+ +

(p+ nn

)=(

p+ 21

)+(p+ 2

2

)+ +

(p+ nn

)donc

nk=0

(p+ kk

)=(p+ 2

2

)+ +

(p+ nn

)=(p+ n+ 1

n

)

Exercice 35 : [nonc]ni=0

(pj=1

(i+ j))

=ni=0

(i+p)!i! = p!

ni=0

(i+ pi

)= p!

(p+ n+ 1

n

)= (p+n+1)!(p+1)n! .


(a+ b+ c)n =nk=0

k`=0

(n

k

)(k

`

)ankbk`c` et

(n

k

)(k

`

)= n!(nk)!(k`)!`! .


a)nk=0

(1)k(n

k

)= 0n =

{1 si n = 00 sinon

.

b)(n

k

)(k

`

)= n!k!(nk)!

k!`!(k`)! =

n!`!(n`)!

(n`)!(nk)!(k`)! =

(n

`

)(n `k `

).

c)nk=0

(1)nkyk =nk=0

k`=0

(1)nk(n

k

)(k

`

)x` =

n`=0x`

nk=`

(1)nk(n

k

)(k

`

)

Ornk=`

(1)nk(n

k

)(k

`

)= (1)n`

(n

`

)nk=`

(1)k`(n `k `

)or

nk=`

(1)k`(n `k `

)={

1 si ` = n0 sinon

.

Par suite :nk=0

(1)nkyk = xn.

Exercice 38 : [nonc]Par rcurrence sur n > 1 sachant :


n+1k=1

(1)k+1k

(n+ 1k

)=n+1k=1

(1)k+1k

(n

k

)+n+1k=1

(1)k+1k

(n

k 1

)=

nk=1

1k +

n+1k=1

(1)k+1n+1

(n+ 1k

)=

nk=1

1k +

1n+1 =

n+1k=1

1k .


Exploitons(

2n+ 1k

)=(

2nk 1

)+(

2nk

).

On obtient Sn =nk=0

(1)k(

2nk 1

)+

nk=0

(1)k(

2nk

).

Par dcalage dindice Sn =n1k=0

(1)k+1(

2nk

)+

nk=0

(1)k(

2nk

).

Aprs simplification, Sn = (1)n(

2nn

).

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