Note sur le Noyau d'une Economie avec Production

Note sur le Noyau d'une Economie avec ProductionAuthor(s): Paul ChampsaurSource: Econometrica, Vol. 42, No. 5 (Sep., 1974), pp. 933-946Published by: The Econometric SocietyStable URL: http://www.jstor.org/stable/1913799 .

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Econometrica, Vol. 42, No. 5 (September, 1974)

NOTE SUR LE NOYAU D'UNE ECONOMIE AVEC PRODUCTION

PAR PAUL CHAMPSAUR'

Cette note discute les conditions d'existence d'un noyau non vide dans une economie de propriet6 priv6e oA des possibilites de production sont associees a chaque coalition en fonction de sa composition.

On 'tudie les relations entre noyau et equilibre concurrentiel dans le cas particulier oi il existe un ensemble d'entreprises et ou l'ensemble de production d'une coalition est egal A la somme des ensembles de production des entreprises dont les membres de la coalition poss6dent une majorite des parts.

1. INTRODUCTION

POUR DEFINIR LE NOYAU d'une economie, il suffit de definir I'ensemble des allocations qu'une coalition peut realiser par ses seules forces. Dans une economie de propriete privee avec production ceci conduit a associer a chaque coalition l'ensemble des activites de production qu'elle peut mettre en oeuvre seule, c'est-a-dire son ensemble de production. La definition d'une telle economie, munie d'une correspondance de production qui applique l'ensemble des coalitions dans l'ensemble des parties de l'espace des biens, est precisee dans la Section 2.

I1 existe deux approches principales pour etablir des conditions d'existence d'un noyau non vide. L'une passe par la definition d'un equilibre concurrentiel dont on connait les conditions d'existence et d'appartenance au noyau. Mais, lorsque la correspondance de production est definie sans reference a un ensemble d'entreprises, il est necessaire, sauf dans quelques cas particuliers, de generaliser la definition habituelle d'un equilibre concurrentiel. Parmi ces cas particuliers, les deux plus importants sont le cas oiu l'ensemble de production de l'economie toute entiere est un cone et le cas oii la correspondance de production est additive, c'est-a-dire o l'ensemble de production d'une coalition est egal a la somme des ensembles de production des membres de la coalition. Dans ce dernier cas, tout se passe comme si l'ensemble des entreprises coincidait avec l'ensemble des consommateurs. Boehm [1] et Sondermann [15] ont propose une generalisation de la definition habituelle d'un equilibre concurrentiel. Cependant, on a prefere dans la Section 3 suivre l'autre approche basee sur un theoreme demontre par Scarf [10] qui fournit directement des conditions d'existence d'un noyau non vide.

La convergence du noyau vers l'ensemble des equilibres concurrentiels quand le nombre de consommateurs croft a ete etablie avec des methodes ou formalisations diff6rentes par Debreu et Scarf [5], Hildenbrand [7], Nikaido [8], et Cornwall [3]. Mais tous ces auteurs se cantonnent au cas oiu la correspondance de production est additive. Aussi etudie-t-on dans la derniere section une autre situation dans laquelle l'ensemble de production d'une coalition est egal a la

' Je desire remercier tout particulierement J. P. Benassy dont les suggestions m'ont ete tres utiles. J'ai egalement beneficie des precieux commentaires de G. Laroque, J. C. Milleron, et D. Sondermann.

933



934 PAUL CHAMPSAUR

somme des ensembles de production des entreprises controlees par la coalition; une entreprise est controlee par une coalition si les membres de celle-ci poss6dent une majorite des parts de cette entreprise. Dans ce cas, si l'on maintient un ensemble fixe'd'entreprises, la multiplication des consommateurs se traduit par une diffusion croissante des parts des entreprises. On montre alors la convergence du noyau vers l'ensemble des equilibres concurrentiels.

2. DEFINITIONS ET NOTATIONS

Soit une economie comportant 1 biens reperes par un indice h et un ensemble C de n consommateurs reperes par un indice i. Designons par Xi 1'ensemble de consommation du consommateur i. Les gofuts de ce consommateur sont representes par une fonction d'utilite ui definie sur Xi. Le consommateur i possede un vecteur de ressources initiales coi.

Interpretons cette economie comme un jeu a n participants, les n participants etant constitues par les n consommateurs. Soit ' l'ensemble des coalitions possibles. Definissons l'ensemble des allocations realisables pour une coalition quelconque A e W. L'allocation 4 = {x, ... , x.} est realisable pour la coalition A si

Vie A, Xi zXi,'

et

Z (x -oi) w) Y(A), icA

ou Y(A) est l'ensemble de production dont dispose la coalition A. De meme une imputation v e RI est realisable pour la coalition A si

Vi e A, 3xi e Xi tels que

E (xi -oi) ) Y(A) icA

et

uA(x,) > vi, Vi e A.

On note V(A) I'ensemble des imputations realisables pour la coalition A. La correspondance Y( * ) de W dans l'ensemble des parties de R' est appelee correspondance de production. On definit Y(A) comme 1'ensemble des activites de production possibles pour la coalition A quelles que soient les actions des agents n'appartenant pas at A. I1 est alors naturel de supposer que ce qui est possible pour deux coalitions disjointes le reste, si ces deux coalitions se regroupent en une seule. C'est l'hypothese suivante, qui sera admise dans toute la suite, de superadditivite de la correspondance de producti9n Y( . ):

HYPOTHESE 1: V(A1,A2)eW X W avec A1 rA2= , Y(A1 u A2) D Y(A1) + Y(A2).



LE NOYAU D UNE ECONOMIE 935

Cette correspondance de production resume a la fois les contraintes techniques limitant toute activite de production et les regles institutionnelles en vigeur dans l'economie de propriete privee consideree. Dans le cas d'une economie d'echange on a bien sur

Y(A) = {0}, VA c W.

Debreu et Scarf [5] consideraient le cas o'u Y(C) est un cone ayant l'origine pour sommet et ou

VA e W, Y(A) = Y(C).

Tout le monde a alors libre acces aux techniques existantes, techniques a rendement constant. Ceci suppose, en particulier, que tous les facteurs de production soient definis dans la liste des 1 biens. Cornwall [3], Hildenbrand [7], et Nikaido [8] consideraient le cas'plus general oi la correspondance de production est additive:

V(A1,A2) eC'x W avec A1 r)A2 =

Y(A1 u A2) = Y(A1) + Y(A2).

Dans ce cas il est clair que

VAe'- , Y(A)= Yj, ieA

oui Yi- Y({i}) est l'ensemble de production dont dispose le consommateur i. I1 est alors vain'de chercher a caracteriser un ensemble d'entreprises distinct de

I'ensemble des consommateurs. Aussi est-il interessant d'etudier des situations telles que la correspondance de production ne soit pas additive.

Que refleterait une non-additivite eventuelle de la correspondance de production? Tout d'abord, a un niveau purement technique, la collaboration ou la specialisation permises par l'union de deux coalitions disjointes peuvent leur, permettre des activites de production auparavant inaccessibles par la simple addition des activites de production ouvertes a chacune des deux coalitions separees. Ceci peut notamment se produire s'il existe des facteurs de production, divisibles ou non, qui ne sont pas pris en compte dans la liste des I biens. Ensuite et en admettant l'existence d'un ensemble d'entreprises distinct de l'ensemble des consommateurs, les regles institutionnalles concernant la propriete et le controle de ces entreprises peuvent se traduire par une correspondance de production non-additive. C'est le cas pour la situation etudiee dans la Section 4.

Reste maintenant a definir le noyau de cette economie. C'est l'ensemble des allocations realisables qui ne soient bloquees par aucune coalition. Soit - = { x1, . . , xn} une allocation. II existe deux definitions legerement differentes d'une coalition qui bloque cette allocation.



936 PAUL CHAMPSAUR

DtFINITION 1: La coalition A bloque l'allocation 4 s'il existe une allocation 4 = {x, * * , x telle que

Vi c- A, jxi c- Xi,

E (i- )i) ,e Y(A), icA

et

Vi e A, ui(xi) > u,(xj)

DEFINITION 2: La coalition A bloque l'allocation 4 s'il existe une allocation 4 = {x, . * *,5Z,} telle que

Vie A, xi xi,

E (5ic - coi) c Y(A), icA

et

Vi e A, ui(Ti) > ui(xi),

avec une inegalite stricte au momns.

Dans la Section 3 (resp. Section 4) on raisonnera sur le noyau correspondant a la Definition 1 (resp. Definition 2). Le noyau correspondant 'a la Definition 2 (ou "noyau fort") est inclus dans le noyau correspondant 'a la'Definition 1. Ces deux definitions sont equivalentes dans le cas particulier suivant: (i) les ensembles de consommation Xi sont tous egaux a l'orthant non negatif Q de R'; et (ii) les preferefces des consommateurs sont toutes strictement monotones.

On trouvera une discussion de ces definitions et d'autres systemes d'hypotheses assurant leur equivalence dans Cornwall [3 et 4].

3. EXISTENCE D'UN NOYAU NON VIDE

La demonstration d'existence d'un noyau non vide repose sur le theoreme suivant du 'a Scarf [10 et 11].

THAORkME 1: Sous les conditions suivantes tout jeu balanceda un noyau non vide: (a) VA e'6', V(A) estferme et non vide; (fi) (v e V(A) et v' < v) implique que v' e V(A); (y) V(C) est borne superieurement.

La condition (,B) est automatiquement satisfaite compte tenu de la definition des ensembles V(A) donnee dans la Section 1.

II est facile de voir que la condition (y) est satisfaite pourvu que l'Hypothese 2 suivante soit verifiee.

HYPOTHtSE 2: Vi e C, Xi est borne' inferieurement.




Si S(Y(C)) est le cone asymptotique de Y(C),,on a:

S(Y(C)) Q = {O},

S(Y(C)) r) (- S(Y(C))) = {O},

ou Q est l'orthant non negatif de R'. Enfin la condition (a) est satisfaite sous les Hypotheses 2 et 3.

HYPOTHtSE 3: Vi e C, Xi estferme; Vi e C, ui est continue sur Xi; VA e % l, Y(A) estferme et 0 e Y(A); et Vi e C, w,i e Xi.

Rappelons la definition d'un jeu balance. Tout d'abord une famille T c (-W de coalitions est balancee s'il existe des nombres reels b(A) non negatifs tels que

, b(A) = 1, b/i G C. A 3i AeT

Un jeu est balance si, pour toute famille balancee T de coalitions, on a:

qAeT V(A) c V(C).

Les conditions d'application du Theoreme 1 etant reunies il reste a mettre en evidence un corps d'hypothese suffisant pour que le jeu associe 'a l'economie de propriete privee consideree soit balance. Il existe des exemples de jeux non balances ayant un noyau vide parce que les preferences des consommateurs ne sont pas convexes (voir Shapley et Shubik [14] ou Henry [6]) ou bien parce que les ensembles de production ne sont pas convexes (voir [2]). Aussi est-il normal d'introduire une hypothese de convexite.

HYPOTHtSE 4: Vi, Xi est convexe; Vi, ui est quasiconcave; et Y(C) est convexe.

Malheureusement les Hypotheses 1 a 4 sont insuffisantes pour demontrer que le jeu est balance. II existe des exemples simples d'economies de propriete privee ayant un noyau vide alors que les Hypotheses 1 a 4 sont satisfaites (voir [2]). Dans le cas d'une economie d'echange, ces hypotheses sont suffisantes pour que le noyau soit non vide (voir Scarf [10]). Aussi faut-il exiger de la correspondance de production des proprietes plus fortes. L'une quelconque des conditions suivantes, ajoutee aux hypotheses 1 a 4, permet de montrer que le noyau de l'economie consideree est non vide.

CONDITION 1: Rendements non decroissants:

Y(C) + Y(C) = Y(C).

CONDITION 2: Additivite de la correspondance Y(.).



938 PAUL CHAMPSAUR

CONDITION 3: Pseudo-additivite:

Vi, 3Zi ' R' tels que

VA e- , Y(A) cZ E Zi, ieA

et

Z ZCZ Y(C). ieC

CONDITION 4: Superadditivite forte:

V(Aj, A2) eW x Ce,

Y(A1) + Y(A2) c Y(A1 u A2) + Y(A1 n A2).

Cette derniere condition a e proposee par D. Sondermann [15]. Les Conditions 1 et 2 sont evidemment toutes deux des cas particuliers des Conditions 3 ou 4.

Plutot que de faire directement la demonstration d'existence d'un noyau non vide 'a partir d'une des Conditions 3 ou 4, il est plus interessant de rechercher d'abord un point commun a ces diverses conditions susceptible d'etre utilise ensuite dans la demonstration. A cette fin definissons l'ensemble P de tous les vecteurs prix p e R' tels que la forme lineaire p y atteigne son maximum sur l'ensemble Y(C). Grace a l'Hypothese 1, pour tout p e P cette forme lineaire est egalement bornee sur Y(A) pour toute coalition A. Definissons la fonction g(A, p) de QP x P dans R par

g(A,p) = sup p.y. ye1(A)

Pour tout p e P, g(. , p) peut s'interpreter comme la fonction caract6ristique d'un jeu, jeu qui regle la repartition entre les divers consommateurs du benefice total g(C, p) tire des activites de production. Chacune des Conditions 1 a 4 implique que ce "jeu de repartition des benefices" possede un noyau non vide. C'est evident dans le cas des Conditions 1, 2, et 3. Quant a la Condition 4 elle implique que

VP c-P, V(Aj, A2) C ' x 'W,

g(A1, p) + g(A2, p) < g(A1 u A2, p) + g(A1 n A2, p)

Ceci signifie que, pour tout p e P, le "jeu de repartition des benefices" est convexe. C'est une condition suffisante pour qu'il possede un noyau non vide (voir Shapley [12]).

Pourquoi ne pas faire de cette propriete commune une hypothese?

HYPOTHESE 5: Pour tout p e P, le jeu de repartition des be'nefices a un noyau non vide.

En resume pour tout p e P il existe alors une repartition du benefice T(p) e Rn entre les consommateurs qui ne soit contestable par aucune coalition:

VA IF, E Ti(p) > g(A, p) ieA



LE NOYAU D'UNE ECONOMIE 939

et n

Ti(p) = g(C, p) i = 1

ou Ti(p) est la part du binefice total revue par le consommateur i. C'est dire aussi, selon les termes de Boehm [1], qu'il existe une "structure d'entreprises stable" pour tout syst6me de prix p e P.

THEORtME 2: Sous les Hypotheses 1 a 5 le noyau de l'economie de propriete priv&e consideree est non vide.

Verifions que le jeu associe a cette economie est balance. I1 faut montrer que, si T est une famille balancee de coalitions et v une imputation, on a

{VA e T, v e V(A)} => {v e V(C)}.

Soit ui(v) le sous-ensemble de Xi defini par

uj(v) = {xi e X,/ui(xi) > Vi}.

La proposition {VA e T, v e V(A)}. peut alors s'ecrire:

(1) VAeT, { iE } {'EA Y(A)} #0. ieA ieA

Comme ui(v) est convexe (Hypothese 4), on a

Z b(A)ui(v) c ui(v) A 3i AeT

ou les b(A) sont les nombres reels non negatifs associes a la famille balancee T et tels que

Z b(A) = 1. AeT A ai

Or n

Z Z 3(A)ui(v) = , b(A) E ui(v). i=1 AeT AeT ieA

A3i

On en deduit que

(2) { 6(A) E uj(v)} uj(v)} eT ieA i{1

Considerons maintenant 1'ensemble suivant: n

Z 6(A){coi + Y(A)} = E wo + E 6(A)Y(A)}. AeT i=1 AeT



940 PAUL CHAMPSAUR

Pour tout p e P, il est clair que la borne superieure de la forme lineaire p * y sur l'ensemble lAcT b(A)Y(A) est egale a 2AET b(A)g(A, p). On en deduit que

(3) b(A) Y(A) cA Y c ReTVp c P, py b(A)g(A, P)}. AeT AeTJ

On sait qu'un jeu defini par une fonction caracteristique a un noyau non vide si et seulement si il est balance (voir Scarf [9] ou Shapley [13]). Or si le jeu defini par la fonction caracteristique g(. , p) est balance (ceci resulte donc de l'Hypothese 5), cette fonction caracteristique est telle que

E 6(A4g(A, p) -< g(C, p). AeT

Grace a (3) on en deduit que

E b(A) Y(A) c {y e R'/5Vp e P, py < g(C, p)}. AeT

Comme l'ensemble Y(C) est convexe et ferme, on a

Y(C) = {y e R'/Vp e P, py < g(C, p)}.

Voir par exemple le Theoreme 18.8 de Rockafellar [9]. Par consequent n

(4) E b(A) {,i + Y(A)} c { a)i + Y(C)}.

Le rapprochement de (1), (2), et (4) permet d'ecrire

{ u(v)} {i wi + Y(C)} #0,

c'est-a-dire que v e V(C). Q.E.D.

4. NOYAU ET EQUILIBRE CONCURRENTIEL

Cette section est consacree a l'etude des relations entre le noyau et l'ensemble des equilibres concurrentiels, notamment quand le nombre de consommateurs croit. Considerons donc une economie 6, avec n x r consommateurs. Il y a n diff6rents types avec r consommateurs identiques dans chaque type. Ainsi chaque consommateur est repere par un indice double (i, q) ou i e { 1, . . . , n} et q e { 1,... , r}. Soit Cr l'ensemble de tous les consommateurs. Dire que les consommateurs (i, q) et (i, q') sont identiques, c'est dire bien sufr que

Xi,q = Xi,q = Xi,

Wi,q = Wi,q' = Oi,

Ui,q = Ui,q' = Ui

et, pour toute coalition A ne contenant ni (i, q) ni (i, q'):

Y(A u {i,q}) = Y(A u {i,qi})-



LE NOYAU D 'UNE ECONOMIE 941

Afin de caract&riser commodement l'ensemble des equilibres concurrentiels, intro- duisons les hypotheses suivantes.

HYPOTHESE 6: Vr, Y(Cr) = Y. Y est un cone ayant l'origine pour sommet.

Rappelons que cette Hypothese 6 implique l'Hypothese 5.

HYPOTHESE 7: Vi, ui est strictement quasi-concave.

DE1FINITION 3: Sous l'Hypothese 6, l'allocation de l'economie 6r definie par les vecteurs de consommation xiq est l'allocation d'un equilibre concurrentiel si: (i) Vi, Vdq, x*q e X1; (ii) si y* = q (xq - wi), y* e Y; (iii) 3p* e R', p* = 0 tel que p* - Y 0 et p* y* = 0; (iv) x*q maximise ui(xi,q) sur l'ensemble {Xi,q e Xi/P*Xi,q < P*4X,q}-

L'Hypothese 7 implique que toute allocation d'un equilibre concurrentiel attribue des vecteurs de consommation identiques 'a des consommateurs identiques. Par consequent l'ensemble des equilibres concurrentiels de l'economie 'r est caracterise par un sous-ensemble W de HIn= 1 Xi qui est independant de r grace 'a l'Hypothese 6. Au prix d'une hypothese supplementaire de non saturation locale des prf&rences, on peut montrer que tout equilibre concurrentiel appartient au noyau.

HYPOTHESE 8: V i, Vxe X1 .

Si e(x) est un voisinage de x dans R', alors il existe x' e Xi tel que

uj(x ) > uj(x)

et

x' c e(x) n Xi.

THE1OR'EME 3: Sous les hypotheses 1, 6, et 8 tout equilibre concurrentiel appartient au noyau.

La demonstration de ce theoreme est un prolongement simple de la demonstration proposee par Debreu et Scarf [5] dans le cas d'une economie d'echange. Aussi n'est-elle pas donnee ici. Il faut cependant remarquer que, alors que dans une economie d'echange l'Hypothese 8 seule suffit, dans une economie avec production il faut ajouter des hypotheses supplementaires concernant la correspondance de production. Il existe en particulier des cas oju les conditions d'existence d'un equilibre concurrentiel sont reunies alors que le noyau est vide. Voir a ce sujet [2].

Suivant la demarche de Debreu et Scarf [5] il est commode d'utiliser un systeme d'hypotheses suffisant pour que toute allocation appartenant au noyau de d'r



942 PAUL CHAMPSAUR

attribue des vecteurs de consommation identiques aux consommateurs d'un meme type.

HYPOTHfESE 9: 3A e [0, 1[ tel que, pour toute coalition A de l'Wconomie &r, on a

{ri(A) > Ar, Vi} -: Y(A) = Y(Cr)

ou ri(A) est le nombre de consommateurs du type i appartenant a la coalition A.

Cette hypothese signifie que toute coalition reunissant une proportion suffisante de consommateurs de chaque type peut disposer de toutes les techniques de production connues. I1 est interessant de remarquer que cette hypothese est satisfaite dans le cas oiu il existe un ensemble J fixe de m entreprises et ou ces entreprises sont controlees selon une regle de majorite. Notons Yj l'ensemble de production de l'entreprise j. Soit Yjiq la part de l'entreprise j possedee par le consommateur (i, q). L'identite des consommateurs d'un meme type se traduit par

Yjiq = Yjiq" V(q, q').

Une coalition A de l'economie 6, controle l'entreprise j si les parts possedees par les membres de la coalition constituent une proportion suffisante, egale 'a A e [O, I[, du total des parts. Soit J(A) l'ensemble des entreprises controlees par la coalition A. On a:

J(A) = j6 J Y Yjiq > A Yi C YjiqJ{ (i,q)c-A (i,q)c-C,

Y(A)= Z Yj. jeJ(A)

La correspondance de production ainsi definie est superadditive (Hypothese 1) mais n'est pas, en general, additive. D'autre part, pour que la coalition A controle toutes les entreprises, il suffit que

ri(A) > Ar, di.

LEMME 1: Sous les Hypotheses 4, 6, 7, et 9 toute allocation appartenant au noyau de l'eonomie 6, attribue un meme vecteur de consommation a tous les consommateurs d'un meme type des que

1 1r-

Consid6rons une allocation realisable 4 n'attribuant pas un meme vecteur de consommation a tous les consommateurs d'un meme type. Pour chaque type i ordonnons les vecteurs de consommation attribues selon les gouits communs des consommateurs de ce type:

Ui(Xi,r) -> Ui(Xir r-1) Ui(Xi, 1), bi.

Considerons la coalition A formee de (r - 1) n consommateurs au total et com- prenant les (r - 1) consommateurs de chaque type les moins favorises par l'allocation 4. Grace a l'Hypothese 9 cette coalition est telle que

Y(A) = Y

des que (r - 1) > Ar, c'est-a-dire des que r > 1/(1 -




Considerons alors l'allocation (* qui attribue aux membres de la coalition A les vecteurs de consommation suivants:

X,*q = -[(r - q)xi,q + qxi,q +I] (q = 1. -1), r

et *

x.1, wji, Vi.

Grace a la convexite de Xi on a:

X*q E Xi, Vi, Vq.

D'autre part si l'on note: r n

Y* = Z q(X q-wi) q=1 i=1

et n-1 n

Y = Z E (Xi,q - W0i) q=1 i=1

I1 est facile de voir que

= (r - 1) Y* Y, r

Comme l'allocation 4 est realisable et que Y est un cone on a:

y* e Y = Y(A).

L'allocation (* est donc realisable pour la coalition A. Enfin il est clair que

ui(xi*q) V Uj(X,q), Vi, Vq = 1, ..., r - 1,

avec une inegalite stricte au moins grace a la quasi-concavite stricte de ui. La coalition A bloque donc l'allocation 4.

Grace au Lemme 1 des-que r > 1/(1 - A) une allocation appartenant au noyau Nr de l'economie tr est caracterisee par un element de l'ensemble nl= I Xi

D'autre part dans cet ensemble on:

Nr?i c Nr, Vr >

On peut alors enoncer le theoreme suivant:

THEOREIME 4: Sous les Hypotheses 1, 4, et 6 a 9 toute allocation appartenant au noyau de l'eonomie o'r pour tout r est l'allocation d'un equilibre concurrentiel pourvu que wi appartienne d l'interieur de Xi pour tout i.

Soit 4 = (xx, . . . , Xn) une allocation appartenant au noyau de 6r pour tout r. Soit Fi 1'ensemble de tous les vecteurs z de R' tels que

uj(z + wi) > u1(xj).



944 PAUL CHAMPSAUR

Soit F la fermeture convexe de l'union des Fi. Supposons qu'il existe un vecteur ye Y r- F, c'est-a'-dire tel que

y e Y, n

Y= izi, i = 1

avec

Zi c Fi, Li x o, Vi,

et n

E i= 1. i= 1

Choisissons un nombre entier positif t. Soit a! le plus petit entier plus grand ou egal 'a toci. On definit zt par

at

La convexite de Xi implique que

Zt e Xi, Vt.

D'autre part on a par definition:

ui(zi + w0) > Ui(Xi), Vi.

La continuite de ui permet donc de trouver une valeur de t suffisamment elev&e pour que

(5) ui(zt + wi) > uj(xj), Vi.

En outre: n

Z atzt = ty i = 1

et donc, comme Y est un cone

(6) atizti e Y.

Soient at et bt deux entiers tels que

a= max at

i=1l..,n

et

b 1 A



LE NOYAU D 'UNE ECONOMIE 945

Choisissons r = b' + -a. Considerons alors dans l'economie ff, une coalition A, et une allocation 4* telles que: (i) ri(A,) = at + bt, Vi; (ii) 4* attribue 'a at membres du type i de A, le vecteur de consommation cwi + zt et aux autres membres de At du type i le vecteur xi.

Par construction on a

ri(A,) > Ar, Vi,

et donc Y(Ad) = Y. A l'aide de (6) on en deduit que l'allocation 4* est realisable pour A,. Les inegalites (5) montrent que la coalition A, bloque l'allocation initiale

ce qui est contradictoire. Par consequent on a

Yr-F = 0.

Un theoreme de separation des deux convexes Y et F fournit alors un systeme de prix qui permette de caracteriser l'allocation 4 comme l'allocation d'un equilibre concurrentiel. Q.E.D.

Quand la taille de l'economie &f, caracterisee par le nombre r croit, c'est la diffusion croissante des parts des entreprises parmi les consommateurs qui provoque une concurrence croissante entre les proprietaires des entreprises pour le controle de celles-ci et conduit 'a l'annulation du benefice qu'ils peuvent tirer de cette propriete.

C.O.R.E.

Manuscript received April, 1972; revision received July, 1973.

REFERENCES

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946 PAUL CHAMPSAUR

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Note sur le Noyau d'une Economie avec Production