N O T E S U R L E S A N T E N N E S P A R F A I T E M E N T

par

Maurice B O U I X Professeur /~ la Facult~ des sciences **

C O N D U C T R I C E S *

I~I~SUM~. - - Apr~s avoir rappeld les formules qui donnent le champ dlectromagndlique harmonique exl~rieur une surface #trade englobant les sources, l 'auleur ~tudie une antenne tMorique constitute d'une surface par/ai- tement conductrice /ermde, /endue suivanl une ligne de courbure qui la partage en deux parties et alimentde de l'intdrieur d'une /ar qui sera prdcisdc, l I envisage plus particuliOrement le cas d'une anlenne de r~vo- fulton. II trouve une dquation int~grale qui d~lermine le champ magn~tique sur la surface de l'anlenne ; la

formute de Kirchoff permet d'avoir le champ dleetromagn~tique darts tout l'espace extgrieur.

PLAN. - - 1 : Caractdrisalion d'une onde dlectromagndtique extdrieure d u n e surface ferrule. 2 : Antenne par/aite- ment conduclrice. 3 : Equation intdgrale donnant le champ magndtique sur I'antenne. 4 : Elude de la r~sonanee

et de l'adaplation. 5 : Conclusion. Bibliographie (3 r~f.).

1. CABACT]~BISATION D'UNE ONDE ]~LECTROMAGNI~TIQUE

EXTI~RIEURE A UNE SURFACE FERMI~E

Les nota t ions sont analogues h celles des r6f6-

rences [1] et [2] auxquelles nous renvoyons le lecteur pour plus de pr6cisions.

On salt [1] que, si une surface ferm6e r~guli~re S partage l 'espace affine R s (l 'espace ordinaire) en deux

domaines D ext6rieur et D ' int6rieur, de fonctions caract~ristiques X et Z' (*), de fa~on que les sources

soient ent i~rement contenues dans la r6gion D ' ,

l ' int~grale de Kirchhoff donne le champ magn~tique dans D et zdro dans D ' , c'est-h-dire, si A est un point

arbi traire de R a, on a :

(1.1) 4 x z ( a ) H ( a ) = - - f s [ G ( A , M) ~n H (M) --

H (3//)5n G(A, M)] dS.

Dans cette relat ion MES, le vecteur n e s t le vecteur normal uni ta i re ext~rieur h S, 5n indique une d~ri-

r a t i o n en M su ivant la normale n, dS est l'~16ment de surface ; d ' au t re part , si ~ et fz sont respect ivement la permit t iv i t6 di~lectrique et la permdabilit~ magn~- t ique, si la conductibi l i t~ du milieu est suppos6e nulle, et si co est la pulsat ion, on pose k = (~[z)~/~ ;

r = [AMI; G(A, M ) = ( l / r ) exp ( - - ik r ) . On aura

alors 3nG = n. gradMG(A, M ) = ( l / r ) (dG]dr)n .AM. L'indiee M dans un op~rateur de d6rivation d~signe une d6rivat ion par rappor t aux coordonn~es de M

dans R a. Si dans (1.1) on fait venir le point A ~ D au point

M o de S, en le laissant du c6t6 ext~rieur sur la normale

(*) X est fonction caract~ristique de D si M ~ D :> X(M)=I, MCD:=~ x(M)=X.

en M o , on aura AM = -- no.MoA 4- MoM. Si on d6signe par AS o un 616ment de surface S con tenan t le point M o , on volt, d'apr~s (1.1), qu 'on peut ~crire lorsque l 'aire

de AS o tend vers z~ro :

( 1 . 2 ) - - (f3__limASo 4- f l i m A s 0 ) [ G ( M o , M ) 5nH(M) - - _+_ -4- H(M) 5nG(3Io, M)] dS = 4 x H (Mo) .

Si m a i n t e n a n t A vient en M o , mats vers l ' int6rieur

de S, le signe de l 'abscisse MoA est chang6, donc celui

de la deuxi~me int6grale ; on aura :

(1.3) -- ( fs nmASo-- fli,nZSo) [G(Mo, M) bul l (M) --

H(M) ~nG(Mo, M)]dS ~ 0 .

L'61imination de flimaSo entre (1.2) et (1.3) mont re

que, si H(Mo) est le champ en M o du c6t6 ext6rieur, on a l '6quat ion que nous appellerous 6quation int6-

grale l imite de Kirchhoff.

(1.4) 2 7: H(Mo) + J's[G(M o , M) ~nH(M) --

H(M) 5nG(M o , M ) ] d S = 0 off M o, M E S .

L'int~grale a un sens, ear lorsquc M vient en Mo, alors G(Mo, M) est O(r-t), 5nG(M o. M) est O(r -2) et dS est O(r~).

L '6qua t ion int6grale (1.4) est une condit ion n6ces- saire h laquelle dolt satisfaire tou t champ 61ectro- magn~t ique ext6rieur h S dont les sources sont int6- rieures h S. I1 dolt satisfaire de plus h la condit ion de divergence nulle ; on mont re [1] qu ' i l suffit que

div H ---- 0 sur S pour qu ' i l en soil ainsi par tout . Soit

d o n c : +

(1.5) d ivH(Mo) = 0 , M o ~ S .

Les relations (1.4) et (1.5) ~quivalent h quat re

* Partie originale de la conf6rence faite par l'auteur, le 23 septembre 1970, lors de la Journ~e d'6tude sur les SYSTIb,,Mt~S R&YONNANTS HYPERFRI~QUENCES, MI~.THODES DE C&LGUL, SIMULA, TION, organisde par la Soci6t6 fran~aise des 61ectriciens ~ Lannion.

** De Rouen, directeur du CETHEDEC.

- - 1 0 1

2]4 M. P, OUIX

re la t ions sealaires homog~nes entre six composantes

de H et 5nH sur S. Pour que le probl6me soit d6termin6, il f au t done

encore deux aut res condi t ions sealaires, don t l 'une au moins n ' e s t pas homog~ne (sauf pour un probl6me d 'osc i l la t ions propres off elles pour ra ien t 6tre toutes

homog~nes).

2 . A N T E N N E

P A B F A I T E M E N T C O N D U C T R I G E

Si E est une surface pa r f a i t emen t eonductr ice , elle

est caract6ris6e par le fa i t que le champ 61ectrique E est normal ~ S, soi t :

(2.1) n o A r o t H ( M o ) = 0 , pour M o ~ y , .

Nous a d m e t t r o n s ici, mais ce fa i t est 6tabli dans un t r a v a i l en cours, que l 'on peu t ut i l iser les r6sul ta t s du p a r a g r a p h e pr6c6dent pour 6tudier les champs ext~rienrs ~ la surface d 'un obstacle di61ectrique ou au t res en eng loban t les sources et l ' obs tac le dans une sm'face ferm6e r6guli6re S e t en d6formant cont inue- men t ce t te surface pour veni r l ' app l iquer sur la surface E de l 'obs tac le pou rvu que E soit aussi r6guli6re.

Si nous app l iquons donc la surface S sur la surface p a r f a i t e m e n t conductr ice E, ces deux surfaces sont confondues et on les appe l l e ra S, et la re la t ion (2.1) est va lab le sur S. Mais alors (1.4) (1.5), (2.1) cons t i tuen t six re la t ions homog6nes entre les six fonct ions incon- nues sur S ; le syst6me est bien en g6n6ral d6termin6, mais il n ' a que la solut ion nulle, sauf pour cer ta ines valeurs discr~tes de k cor respondan t aux osci l lat ions propres .

Pou r rompre l 'homog6n6it6 et ob ten i r un disposi t i f r a y o n n a n t ~ pa r t i r de la surface pa r f a i t emen t conduc- t r ice S, on pour ra p a r t a g e r cet te surface S e n deux demi-coqui l les s~par6es pa r une fente de fa$on que la re la t ion (2.1) puisse 6tre remplac6e par une re la t ion

non homog~ne du t y p e

(2.2) n o A ro t H(Mo) = Z, - - i -

ofl E est une d i s t r ibu t ion d6finie sur S et a y a n t sou suppor t sur la fente.

Le r a y o n n e m e n t de l ' an t enne const i tu6e par la

surface S fendue d6pend de la d i s t r ibu t ion E ; afin ._)_

de pouvoi r v6rifier not re th6orie, il f audra choisir Y, pour cons t i tue r un module de disposi t i f usuel possible

et v6rifiable. Ar ia de ne pas compl iquer cet expos6 pa r un

syst~me de coordonn6es t rop g6n6ral, nous l imi terons notre 6tude fi unc an t enne form6e d 'une surface de r6volut ion p a r f a i t e m e n t conductr ice , rappor t6e h un rep~rc o r t h o n o r m 6 0 x g z , Oz 6tan t l ' axe de r6volut ion, et la fente 6 tan t situ6e dans le p lan z = 0. Nous ut i l iserons les coordonn@s cyl indr iques usuelles p,

~10, Z,

Nous supposerons dans not re module (Fig. 1) que les deux bords de la fente coincident avec les bords d 'un guide d 'onde p la t form6 de deux disques conduc-

[ANNALES DES TI:;I,I~COMMUNICAT1ONS

Z

" F

' l

FIG. 1. Surface ferm6e partag6e en deux calottes par une fente situ~e dans le plan xOy.

teurs inf in iment voisins excit6s pa r une source plac6e en O su ivan t un mode TEM rad ia l don t le champ ~lec- t r ique est parall~le h Oz ; l ' emploi du guide iuf in iment p l a t p e r m e t d%viter ] ' in t roduc t ion des modes sup6- rieurs 6vanescents dans le calcul. On supposera m6me, pour simplifier, que la t angen te h la m6ridienne sur la fente est paral l~le h Oz.

Si la hau teu r du guide d 'onde dans le sens de Oz est finie, soit e, de fa~on que ses faces a ient pour cotes • (1]2)e, on voi t pa r un calcul simple fa i t en s~parant les var iab les cyl indr iques dans les 6quat ions de Maxwell , que les champs du mode TE~I rad ia l sont donn~s pa r :

(2.3) ~ = - - i-k~[~) 112 [AH(~)(kp) + BH(1)(kp)],

H = q) [AH({t(kp) -t- BH(1)(kp).

Dans ces relat ions, p, ~, k d6signent les vec teurs

uni ta i res des coordonn6es cyl indr iques : k su ivant Oz ,

su ivan t la t angen te au parall~le dans le sens direct

pa r r a p p o r t h Oz et p su ivan t le r ayon du parall~le en s'61oignant de Oz ; H (1) et H(o 2) sont les fonct ions de Hanke l de premiere et de deuxi6me esp~ce, de fa~on que si J o , J1 sont des fonct ions de Bessel de premi6re esp~ce et Yo, Y1 des fonct ions de Bessel de deuxi~me espgce, on nit :

It(o 1)~ J o • iYo ; H(I )~ J1_+ i Y r

L ' ind ice (2) caract6rise la p ropaga t ion su ivant les p croissants e t l ' indice (1) su ivan t les p d6croissants , puisque c 'es t un fac teur exp (+ icot) qui est sous- entendu.

Nous a dme t t rous m a i n t e n a n t que les coefficients A et B d4pendent de la hau teu r e du guide et aug- m e n t e n t ind6f iniment lorsque e - > 0 de fa~on que la puissance t ranspor t6e pa r le guide reste finie.

1 0 2 - -

I. 26, n ~ 2-~t, 1971]

L ' i n t r o d u c t i o n du guide p la l l )ermct (le ne l)as

pr@iser la n a t u r e de la source p l a t @ en O, mais

d ' i u t r o d u i r e daus les calculs s e u l e m e n t le t a u x d ' o n d e

s t a t i onna i r e dans le gt ide qui r6sume |es i n t e r ac t i ons

de la source et de l ' a n t e n n e , o u c e /lui est & iu iva l eu t

lc coeff icient dc r( ' f lexion c o m p l e x e earact@is6 pa r

le r a p p o r t B[A ou t ) lu t6t cue(ire lira ]3[.t. e-->O

On d e v r a alors @rire :

a) le r a e e o r d e m e n t des c h a m p s t augen t i e l s , ~ la

sor t ie du guide, a v e e les c h a m p s ext6r ieurs , soil., si

t~ = , sur la f eu te :

(2.4) ~[AH(~)(It'a)tI31I(~)(I,'u)j=H(3I), j sur la

(n A k)kIAH(~o)(ka)+BH(1)(kct)] = n A r o t I t ( M ) t f en te ;

b) la g r a n d e u r de la tens ion , soi t V, en t re les 1)ords

de la fen te , que l ' on cons id6re ra c o m i c une d o n @ e

du p rob l~me s o i t :

(2.5) l i m { - - i ( b t / ~ ) ~te e[Af[(~)(laO i- BIt(~0)(L'I*)} = V. e--->0

I1 res te eucore h @fire la cond i t i on de d ive rgence

nul le sur la surface, mats dans l ' e x e m p l e qne nous

a l lons t r a i t e r , d i e sera v6rifi6e c o m m c cons&tuence

des re la t ions ( 2 . 4 ) e t des sym6t r ies du problb.me ;

aussi , nous ne l '6cr i rons I ) a s ; le r a c c o r d e m e n t des

c h a m p s n o r m a u x sera pal" 1/t m 6 m e assur6.

R e m a r q u o u s eu c o m p a r a n t les r e l a t ions (2.4) et

(2.5), q u e s i V est tint, cela i m p l i q u e que le croct~et

de (2.5) d e v i e n t inf ini a v e e ( l / e ) , done que Fun au

moius des coel l ic ients A ou B d e v i e n t inf ini ; mats

d ' a u t r e pa r t , la coud i t ion de r a c c o r d e l n e n t des c h a m p s

m a g n 6 t i q u c s imp l ique , si H I M ) dol t res te r tint que

le c roche t de la p rcmi6rc r e l a t ion (2.4) rcs te lu i -m@~e

tint ; cc c roche t se p r6sen tc ra alors conune la d i tKrencc

des d e u x t e r m e s qui a u g m e n t e n t i n d 6 l i n i m e n t a v e c

( l / e ) t o u t en r e s t a n t finie.

E n g a r d a n t ce t t e image p h y s i q u e en t6te daus la

sui te , nous a b a n d o n n e r o n s c e p e n d a n t ce t t e fo rmu-

l a t ion t rop p r & i s e en i n t r o d u i s a n t s e u l e m e n t des

cond i t ions sur la fen te f a i s an t i n t e r v e u i r I t et bull.

3. ] ~ Q U A T I O N I N T I ~ G B A L E D O N N A N T LE C H A M P M A G N I ~ T I Q U E

S U R L ' A N T E N N E

Nous nous t )ornerous ici a ehe rche r une soh i t ion de

r 6 v o l u t i o n te l le que le c h a m p m a g n 6 t i q u e II soi l

c o n s t a n t sur chaque para l la le ct soi l po r t6 p a r lc

v e c t e u r ? , soi l H = H v q0. Soi l t le v e c t c u r un i t a i r e

t a n g e n t h la m6r id ienne , or ient6 de fagou quc le -~- -4- + +

rep6re E , ? , n soi t d i rec t p o u r n ex t6 r i eu r "h S. On

pose sur la sur face S du cot6 ex t6 r i eu r :

(3.1) H(Mo) = tl(So) % ; H I M ) - his) ? ,

de fagon que s o , s so ient les at)seisses eurv i l ignes de

M o e t M sur la m6r id ienne de M o e t M. Soi t z la v a l e u r

de s sur la f en te (ou t o u t air moths au mi l ieu de la

A N T E N N E S P A _ R F A I T E M E N T C O N D U ( i T R I C E S 3/4

fenle , cello-el s ' 6 t e n d a n t de c~ e[2 hcr ! e[2, 1)uisque

la t a n g e n t e h la m6r id ienne sur la fente es t SUl)l)os6e

i)arallSle ~'~ O:. A p a r t i r de l ' exp re s s iou du r o t a t i o n n e l eu coordonn6es

cy l ind r iques ([11 a v e c (Is 2 = (t~ z ~ ,zZd? z + dze),

on p e u t calculer :

( 3 . 2 ) ~ / t [ [ = - 1l A r o t / ~ ( ] 1 ~ ) ) h i s ) ~ .

Par aualogie avec (2.4) et (2.5), posons, en tena, , t

c o m p t e de ee ([tte-l~/'~ 1,'= 9 e t I,'E - i( t*[z)l tz l- l= i(oz,

(3.3) n /~ ro t 11 = - io~z(~Je) ~ sur la fente .

I ' o sous 1) roviso i rement Vie E o e t d6signons par

H o = h(o) le c h a m p m a g n 6 t i q u e sur la fen te , en

s u p p o s a n t que p o u r e assez pe t i t mats non nul, E o

e t 1t o y so ien t cons tan t s .

E e r i v o n s m a i n t e n a n t l ' 6 q u a t i o n (1.4) duns ees

hypo thbses , en d i s t i n g u a n t daus l ' i n t6gra le les po r t ions

r e l a t ives "a la fen te not6es f e e t r e l a t ives h la sur-

face S hors de la f en te not6es Ys-e. Divisous les d e u x

meml) res pa r 27: et posous ?(Mo) = ?o, ( % , ? ) = ~. Si on p r o j e t t e la r e l a t ion in t6gra le stir les vec t eu r s

-+- -+- _~-

l o = t (5Io) et n o = zt(M o) on v6rif ie a i s6ment q u ' o n

t r o u v e z6ro h cause de la sym6t r i e du p r o b l ~ m e ; _+_

seule la p r o j e c t i o n sur % donne un r6su l t a t non t r iv ia l .

En p o s a n t

(3.4) ]?(So, s) = ~ - 6 ( 3 0 , .1.1) cos + d +,

�9 * - i

/ ( = 0 / 2 7:)

1 "r: A(so, s) ~ - . / 6 5 n G ( M ~ 31) cos + d +,

a v e e

, = = EP § 2 cos + + - -

n . MoM = s in0(p - Po c o s + ) + cos0(z - - Zo),

+ -A,--

(3.5) sin 0 = - - dz]ds, sur la m6r id i enne 0 (k, n),

G ( M o , M) = (1I t ) exp ( - - ikr),

.G(Mo, M) = ( l / r ) dG/dr-

- exp ( - - ikr) (ikr -a + r -2) n . MoM , dS = pds d +,

l ' 6 q u a t i o n (1.4) s '6cr i t alors, selou que M o est hors

de la fen te ou sur la fen te :

(3.6) h(so) --- fs_e[P(So, s) § p(s) A(so, s)] his) ds

§ io)z E o J'e P(So, (~) p(c~) d~r - H o J'e P(So, 6") (Ib

- - 11o ~e p((~) A ( s o , ~) d(r - O,

(3.7) 1 1 o - f s - e E P ( % , s) + p(s) A(~o, s)l his) ds

+ i(oz E o fe F((ro, z) ~(z) do Ho fe F(Oo, o) do

-- Ho fe ~(r A(r , r de = O,

ear H o = h(%), si o ,o o , s o n t les al)seisses curv i l ignes

de M, M o sur la fente .

Les in t6gra les not6es fe p o r t a n t sur P e t A son t

en fa i l des in t6grales doubles , et son t finies si on les

eonsid~re e o m m e tel les ; on ne p e u t pas les ca lculer

- - 1 0 3 - -

4/4

en g6n6ral comme deux int~grales simples superpos~es. D 'apr~s ce que nous avons remarqu6 duns t ' a v a n t -

dernier al in6a du p a r a g r a p h e 2, nous pour rons suppo- ser que E o - + c~ avec 1]e, alors que H o reste fini et est 6gal h h(%). Lorsque e - - ~ 0, les int6grales t enden t vers z6ro comme O(e).

I1 reste douc en t e n a n t compte de ce que V[e =

E 0 ~ oo, V , H 0 finis

(3.9) h(so) - - f s ~: ~, s �9 [0,L] WF(So, s )+ p(s) A(So, s)] h(s) ds

+ itoz aV P(So, ~) = 0,

(3.10) Ho - - J's ~ ~. s E [o, L] [F(~, S) § p(s) A(~, S)] h(s) ds

§ itoz a V lira ( l i e ) j'e P(~o, ~) d~ = 0. e--~-0

Si on discr6tise le sys tbme (3.9), (3.10) en p r e n a n t un po in t s = ~ sur la fente et 2 n points sur la m6ri- dienne hors de la fente, on ob t i en t 2 n + 1 ~quations homog~nes h 2 n § 2 inconnues qui sont les 2 n valeurs h(so) pou r s o :/: r la va leur h(cr) = H o et la va leur de V.

Duns le cas g6n6ral, on peu t r6soudre le syst6me int6gral (3.9)-(3.10) et ob ten i r une solut ion h(s) con t enan t V comme fac teur de propor t ionnal i t6 .

4. E T U D E D E L A I : U ~ S O N A N C E E T D E L ' A D A P T A T I O N

La puissance qui sort de la fente est le flux du vec- teur de P o y n t i n g h t r ave r s cet te fente, soit :

(4.1) ~- n . (E o/~ ) dS = r:a Y H 0.

II y au ra r6sonauce lorsque I m ( V H ~ ) = 0. On p e u t chercher la r4sonance soit pour une an tenne fixe, c 'es t -h-dire pour une surface S donn6e et en fa i san t var ie r k = to ~ / r 2 7:]~ si X est la longueur d 'onde dans le mil ieu (r [z), soit encore en se do nna n t k et en fa i san t var ie r un ou plusieurs pa ram~t res don t d6pend la surface.

D ' a u t r e pa r t , une fois r6solu le syst~me (3.9)-(3.10), on connai t la fonct ion h sur l ' an tenne , ce qui p e r m e t

d '6crire les expressions de H et 5nH par (3.1), (3.2), (3.3), et de calculer le champ 61ectromagn6tique

M. B O U I X [Ar~NALES DES T~LIE(]0MMUINICATIONS

dans t ou t l 'espace extdr ieur pa r l ' in t6grale de Kir- chhoff (1.1). On connal t [ t ] la forme l imi te de cet te int~grale lorsque le po in t A v a h l ' infini , ce qui pe rme t de calculer le d i ag ramme de r ayonnemen t . On peu t imposer cer ta ines condi t ions h ce d i ag ramme et essayer d ' en d6duire la surface de l ' an t enne pa r les 6quat ions (3.9)-(3.10).

Si on connai t pa r ai l leurs la ligne de t ransmiss ion qui a l imente la fente, en la supposan t int6rieure h pour simplif ier ; comme duns le cas du guide p l a t du pa r a g ra phe 2, la connaissauce de V et de H 0 p e r m e t de calculer des coefficients analogues /~ A et B si la l igne de t ransmiss ion est h mode pr inc ipa l unique, et de d6terminer l ' imp6dauce pr6sentde p a r l ' an t enne h cet te ligne de t r a n s m i s s i o n ; pa r suite on pour ra calculer un disposi t i f d ' a d a p t a t i o n su ivan t des pro- c6d6s classiques.

5. C O N C L U S I O N

Nous abordons i nd~pendammen t de cet ar t ic le le calcul effectif d ' un module d ' an t enne su ivan t l ' expos6 que nous venons de faire, ce qui v a n o u s conduire /~ chercher la forme du coefficient non pr6cis6 duns le

syst~me (3.9)-(3.10) lira ( l / e ) f e I~ (~o , dcr)~r. Ensui te , e--~0

nous aurons h effectuer la r6solut iou du syst~me int6gral , mais nous ne pouvons exposer ici les m6thodes qui pa ra i s sen t 6tre p romet teuses ; cela fera 6ventuel- l ement l ' ob je t d 'unc au t re publ ica t ion .

M a n u s c r i t recu le 14 ]anvier 1971.

BIBLIOGRAPHIE

[1] BOUIX (M.). Les discontinuit6s du rayonnement 61ectro- magn6tique. Dunod, Paris (1966), 246 p.

[2] Bovix (M.). D6termination d'une solution des 6qua- tions de Maxwell harmoniques extdrieure h une sur- face. Application du rayonnement d'une antenne mdtallique. Re~. C E T H E D E C (~e trim.) t968, n ~ 16, pp. 1-50.

[3] GOUDET (G.), CHAVANCE (P.). Ondes centimdtriques, lignes, circuits, antennes. Chlron, Paris (i956), 422 p.

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