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NT Rotplast - p 1/29

NOTE TECHNIQUE

Méthode de calcul des poutres et dalles par l’analyse plastique suivant l’article 5.6 de la NF EN 1992-1-1 (Eurocode 2 ou EC2)

Le présent document vient en complément du Guide du Plan Europe du CSTB - Poutres et dalles continues en béton armé d’après l’Eurocode 2 [3]. Le BAEL ne traitait pas des rotules plastiques et il était donc difficile de justifier la résistance structurelle des pièces sauf à utiliser l’une des deux méthodes simplifiées de redistribution des moments (voir en 1-a ci-après). L’Eurocode 2 donne les moyens d’appliquer la méthode des rotules plastiques en en définissant les conditions d’emploi. La méthode des rotules plastique n’est, en général, pas utilisée dans le cadre de l’étude d’une construction future (projet ou étude d’exécution), mais peut être utile pour justifier la résistance d’une structure existante qui ne satisferait pas aux conditions de la méthode de redistribution limitée de l’EC2. 1 – Dispositions normatives a) Suivant le BAEL Pour réduire les moments sur appuis ou pour vérifier la résistance structurale des poutres ou dalles, le BAEL proposait deux méthodes : la méthode des moments forfaitaires, dite Règles forfaitaires (§ B.6.2.21 et Annexe E.1) et la méthode dite Caquot « minoré » (§ B.6.2.210 et Annexe E.2). La méthode forfaitaire ne s'applique qu'à des éléments fléchis (poutres ou dalles calculées en flexion dans un seul sens) soumis à des charges d’exploitation ne dépassant pas 5 kN/m2 et remplissant les conditions suivantes :

- les moments d'inertie des sections transversales sont les mêmes dans les différentes travées en continuité ;

- les portées successives sont dans un rapport compris entre 0,8 et 1,25 ; - de plus, la fissuration ne compromet pas la tenue du béton armé, ni celle de ses revêtements.

Dans les cas où l'une de ces trois conditions complémentaires n'est pas satisfaite, on peut alors appliquer la méthode de calcul des planchers à charge d'exploitation relativement élevée (dite méthode Caquot) mais il est admissible d'atténuer les moments sur appuis dus aux seules charges permanentes par application aux valeurs trouvées d'un coefficient compris entre 1 et 2/3 ; les valeurs des moments en travée sont majorées en conséquence (Caquot « minoré »).

b) Suivant l’Eurocode 2 Deux méthodes sont proposées : la redistribution limitée (§ 5.5) et l’analyse plastique des sections (§ 5.6).

- La première autorise des diminutions possibles des moments sur appuis pouvant aller jusqu’à 20% pour des aciers de classe A et 30% pour les aciers de classe B ou C, sous réserve que les hauteurs de béton comprimé après redistribution (xu/d) ne dépassent pas les limites données dans le tableau ci-dessous pour les bétons de résistance ne dépassant pas 50 MPa. Au-delà de 50

MPa, la formule dépend du raccourcissement cu2


Tableau 1. Limite d’utilisation de la méthode de redistribution limitée

Classe de l'acier

A B C

= Maprès/Mavant 0,8 0,7 0,7

(xu/d)après 0,288 0,208 0,208

ap = Maprès/(b.d2.fcd) 0,204 0,153 0,153

(xu/d)avant 0,375 0,311 0,311

av = Mavant/(b.d2.fcd) 0,255 0,218 0,218

Limite d'emploi :av = Mavant/(b.d2.fcd) ≤ 0,294 pour les classes A, B, C Remarque. C’est en général quand les moments sur appuis sont trop élevés que l’on souhaite les

réduire, mais on est bloqué par la limite du moment réduit qui ne peut dépasser = 0,294.

Exemple. Pour un acier de classe B, on peut réduire le moment par un coefficient compris entre

0,7 pour av ≤ 0,218 et 1 pour < 0,294. On ne peut redistribuer le moment pour av ≥ 0,294.

Pour av ≤ 0,218, la réduction de moment est limitée à 0,7 - La deuxième, dite méthode d’analyse plastique (ou couramment appelée méthode des rotules

plastiques), se décompose en trois sous-méthodes comme indiqué en 2 ci-après. Les deux premières sont des méthodes simplifiées et sont réservées aux aciers de classe B ou C.

2 – Exposé de la méthode des rotules plastiques

Trois cas sont possibles : a) Une méthode simplifiée sans vérification directe de la capacité de rotation des sections (§5.6.2) sous réserve que :

• les aciers soient de classe B ou C, • le rapport des moments sur appuis intermédiaires aux moments en travée de chaque

côté d’un appui soient compris entre 0,5 et 2, • la hauteur relative comprimée xu/d soit inférieure à 0,25 pour les bétons de résistance au

plus égale à 50 MPa.

b) Une méthode simplifiée avec vérification directe de la capacité de rotation des sections (§5.6.3) sous réserve que :

• les aciers soient de classe B ou C,

• la rotation s déterminée à partir des valeurs de calcul des actions et des propriétés des

matériaux soit inférieure à la capacité de rotation k.pl,d déterminée à l’aide d’un abaque (Fig.5.6N) en fonction de la classe des aciers, de la résistance du béton, de la hauteur relative du béton comprimé xu/d et de la distance à l’appui du point de moment nul.

c) La méthode générale, sans autre condition à satisfaire que vérifier que la rotation agissante sur

appui s est inférieure à la capacité de rotation de la section de la rotule pl,d.

Il n’est pas donné d’explications complémentaires concernant cette dernière, il suffit de calculer les

deux rotationss et pl,d. Pour plus de précision, on pourra se référer à l’article 3.7 du Code Modèle MC1990 [2]. Remarque. Les dalles sont généralement armées avec des treillis soudés qui sont des aciers de classe A et donc pour lesquels les deux méthodes d’analyse plastique simplifiées a) et b) ne peuvent s’appliquer. Il ne reste que la méthode générale c). 3 – Méthode simplifiée sans vérification explicite de la capacité de rotation des sections Conditions d’utilisation : aciers de classe B ou C et rapport des moments sur appuis intermédiaires aux moments en travée compris entre 0,5 et 2,


Tableau 2. Conditions d’utilisation de la méthode d’analyse plastique sans vérification explicite de la capacité de rotation

Résistance du béton fck ≤ 50 MPa fck > 50 MPa

Hauteur comprimée de la section = xu/d ≤ 0,25 = xu/d ≤ 0,15

ce qui correspond à un moment réduit = MEd/(b.d2.fcd) ≤ 0,18 = MEd/(b.d2.fcd) ≤ 0,113

Rappel : = 0,8 (1 – 0,4) en fonction de = xu/d Dans le cas d’une poutre en Té continue, les calculs des moments sur appuis calculés par l’équation des trois moments peut conduire à des moments sur appuis trop importants, on peut ainsi diminuer ces moments sur appuis jusqu’à la moitié des moments en travée. Exemple. Poutre continue en Té de n travées identiques (Fig. 1)

• Travée de rive M0 = moment isostatique = p.L2/8 Ma = moment résistant sur appui en valeur absolue Mt = moment maximal en 1re travée = M0 – Ma/2 + Ma

2/(16M0) La condition Mt = 2Ma Ma

2 – 40M0.Ma + 16M02 = 0 Ma = (20 – 3840.5).M0

soit Ma = 0,404 M0 et Mt = 0,808 M0

• Travée intérieure Mt = 2Ma Ma = M0/3 et Mt = 2M0/3

Fig. 1 – Moments sur appuis et en travées

Il faudra vérifier qu’en combinaison quasi-permanente, l’ouverture des fissures est compatible avec la classe d’exposition et que la flèche est conforme aux exigences dues à la nature des charges supportées (revêtements fragiles ou cloisons fragiles). Tableau 3. Limites conventionnelle servant pour le calcul de l’ouverture des fissures wk pour les bâtiments en béton armé sous combinaison quasi-permanente (NF EN 1992-1-1/NA).

Classe d’exposition X0, XC1 XC2, XC3, XC4

Localisation Intérieurs de bâtiments Extérieurs de bâtiments gel modéré,

loin de la mer et des sels de déverglaçage

Tous bâtiments y compris toitures Vérification non exigée Vérification non exigée

Bâtiments d’habitation, bureaux, salles de réunion, commerces

catégories A, B, C ou D hors toitures

Vérification non exigée 0,3 mm

0,808M0

-0,404M0 -M0/3 -M0/3 -0,404M0

0,808M02M0/30,631M0 0,631M0


Application numérique. Poutre de deux travées identiques (Fig. 2 et 3)

Portée entre nus Ln = 18,0 m, appuis de 0,60 m, portée de calcul Leff = 18,60 m Charges permanentes : g = 72 kN/m Charges variables q = 52,3 kN/m Charge ELU : 175,65 kN/m Béton fck = 30 MPa Moment isostatique : M0 = p.L2/8 = 0,17565×18,62/8 = 7,596 MNm D’après l’équation des 3 moments, le moment sur appui vaut MEd = - M0 = - 7,596 MNm. Moment au nu : Mnu = p.(t/2).(L-t/2)/2 + (1-t/2/L).MEd Mnu = -6,99 MNm soit un moment réduit :

= Mnu/(bw.d2.fcd) = 7,596/(0,4×1,52×20) = 0,388 > 0,372. La section est insuffisante. On ne peut faire de

redistribution limitée car > 0,294. Il ne reste que la méthode des rotules plastiques.

1,80

0,20

0,40

1,60 1,50

Fig. 2 – Section en Té

Peut-on appliquer l’analyse plastique sans vérification de la capacité de rotation ? Si oui, jusqu’à quel moment sur appui minimum peut-on aller ? Si on prend des moments en travée égaux à la moitié du moment sur appui comme indiqué sur la figure ci-contre, on aura en travée Mtra = 0,808M0 = 6,138 MNm

= 6,138/(1,8×1,52×20) = 0,0758 << 0,372 OK Et sur appui Mapp = -0.404 M0 = -3,069 MNm

= 3,069/(0,4×1,52×20) = 0,170 < 0,18 OK Nous avons supposé que l’axe neutre était dans la table,

ce que nous allons vérifier avec = 0,0758 en travée

095,0)211.(d25,1xu m < hf = 0,20 m OK

0,808M0

-0,404M0

0,808M0

-M0

0,563M0

Fig. 3 Courbes des moments Ouverture de la fissure sur appui sous combinaison quasi-permanente

Du fait d’une diminution de la section d’armatures sur appui, on peut craindre une ouverture de fissure plus importante sous combinaison quasi-permanente. Une ouverture de fissure importante n’a pas de conséquence en intérieur de bâtiment (pas de risque de corrosion), car la vérification de l’ouverture de la fissure n’est pas exigée en classe d’exposition XC1 (NF EN 1992-1-1/NA, § 7.3.1 (5) NOTE), il suffit de la traiter avec un mortier de résine. De plus, pour les bâtiments de catégories A à D (habitations, bureaux, salles de réunion, commerces) à l’exception des toitures, elle n’est pas non plus exigée (Tableau 7.1NF de l’Annexe nationale de l’Eurocode 2 (NF EN 1992-1-1/NA). Par contre, il faudra vérifier que la flèche est compatible avec les revêtements fragiles ou cloisons éventuels.

4 – Méthode simplifiée avec justification de la capacité de rotation des sections

Si les conditions de rapports des moments de la méthode précédente et de moment réduit sur

appui inférieur à 0,18 ne sont pas vérifiées, on peut vérifier si la condition s ≤ k.pl,d est satisfaite. Cette méthode simplifiée avec vérification directe de la capacité de rotation des sections (§5.6.3) est possible sous réserve que :

• les aciers soient de classe B ou C,

• la rotation s déterminée à partir des valeurs de calcul des actions et des propriétés des

matériaux soit inférieure à la capacité de rotation k.pl,d .

Pour cela, considérons les deux travées encadrant l’appui étudié comme étant isostatiques, c’est-à-dire indépendantes et sur appuis simples (Fig.4 en pointillé bleu).


Sous l’action des charges appliquées, les deux travées se déforment comme indiqué en noir

laissant apparaître un angle d’ouverture entre les deux faces d’extrémité des deux travées. Pour une poutre continue, cet angle doit être nul. Il existe alors un moment M3m (calculé par l’équation des 3 moments) tel que les rotations à gauche et à droite de l’appui soient identiques.

M3m M3m

Fig. 4 – Poutre de deux travées – Rotation dur appui Si le moment résistant sur appui MRd est inférieur au moment agissant M3m, il subsiste un angle

résiduel s. Cet angle résiduel est égal à 0 si MRd = M3m et s = si MRd = 0. Remarque. Pour le calcul des moments sur appui d’une poutre continue et pour simplifier les calculs, l’Eurocode 2 (§ 5.4) autorise de retenir les hypothèses suivantes :

- application de la théorie de l’élasticité - sections non fissurées, - relations contrainte-déformation linéaires, - valeurs moyenne du module d’élasticité, - prise en compte d’une largeur de table de compression constante égale à sa valeur en travée

(§ 5.3.2.1 (4)) Limite d’utilisation (§ 5.6.3 (2)). La hauteur de béton comprimé xu/d ne doit pas dépasser 0,45

pour fck ≤ 50 MPa et 0,35 pour fck > 50 MPa. Ce qui correspond à un moment réduit limite respectivement de 0,294 et 0,241.

Calcul de s

On calcule l’angle s en fonction du moment résistant disponible MRd par intégration de la courbure en section non fissurée et en section fissurée suivant la méthode proposée par le Prof. Walraven (Voir Annexe A). Remarque. La méthode Walraven a retenu un calcul en élastique linéaire et non en élasto-plastique comme l’ELU l’exigerait. Dans le même esprit que l’équation des 3 moments démontrée dans le domaine élastique est autorisée par l’Eurocode 2 pour le calcul des moments en ELU.

L’angle s est obtenu par intégration de la courbure entre les points limites de plastification (A et B de la Fig. 5).

L’angle pl,d est calculé par intégration de l’allongement de l’armature entre les appuis et les points A et B.

lpl

lpl

AB

pour le calcul de spl,dpl,d

Fig. 5 – Zones de calcul de s et de pl,d

Remarque. Par simplification, on peut calculer s sur la portée Lef sans changer le résultat de façon significative.

Si le moment est légèrement inférieur au moment résistant correspondant à ud (quelques %

suffisent, voir Fig. 6) l’allongement de l’armature est inférieur à s0 et le comportement est


élastique, le calcul élastique est alors justifié (formules donnant la hauteur comprimée et la raideur) utilisées par Walraven).

xxx

s

s0 ud

MR

MRA

MRB

0

zone de plastification

A

B

Moment résistant en fonction de epsilon,s

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

Fig. 6 – Exemple de variation de c et de MR en fonction de s

Pour tenir compte de la participation du béton tendu situé entre deux fissures à la raideur de la travée (« tension stiffening effect »), on pondère les deux rotations ainsi obtenues par le coefficient

de l’article 7.4.3 (3) de l’Eurocode 2 (Eq. 7.19) : 2

cr

M

M.1

avec = 1 (chargement unique de courte durée)

La rotation est à calculer pour chaque abscisse x en fonction du rapport Mcr/M. La résistance de traction du béton est prise égale à fctm,fl = fctm.(1,6 – h) ≥ fctm. Tableau 4. Moment d’inertie et moments de fissuration

Section brute non fissurée Section

rectangulaire Section en Té

Centre de gravité et moment d’inertie

h.bS

2

h'vv

12

h.bI

3

nf

fww h).bb(h.bS

S

2/h).bb(2/h.bv

2fw

2w

vh'v

23fw

3w

nf v.S3

h).bb(

3

h.bI

Raideur

12

h.b.E)I.E(

3c

nf nfcnf I.E)I.E(

Moment de fissuration Mcr 6

h.b.fM

2

fl,ctmcr

'v

I.fM nf

fl,ctmcr

pour la fibre inférieure tendue

v

I.fM nf

fl,ctmcr

pour la fibre supérieure tendue

Remarque. Pour plus de précision et de façon plus économique, on peut utiliser les moments

d’inertie de la section homogénéisée en section non fissurée avec un coefficient d’équivalence e.


Section fissurée

Section rectangulaire Section en Té

Fibre neutre

Coefficient d’équivalence c

se

E

E

d.b

As d.x

..2). ee2

e

x racine de

02

h).bb(d.A.x.h).bb(A.

2

x.b 2f

wsefwse

2w

a) Si x < hf section rectangulaire b.h b) Si fibre supérieure tendue section rectangulaire bw.h

Moment d’inertie

2se

3

f )xd.(A.3

x.bI 2

se

3fw

3

f )xd.(A.3

h).bb(

3

x.bI

Raideur ssfc A.E).3/xd).(xd(I.E fcf I.E)I.E(

Calcul des rotations Tableau 5. Calcul des rotations

Rotation à gauche

de la travée (à droite de l’appui gauche)

Rotation à droite de la travée

(à gauche de l’appui droit)

Section non

fissurée

L

0 nfcg

I.E

dx.M).1(.

L

x1

L

0 nfcd

I.E

dx.M.)1(.

L

x

Section fissurée

L

0 fcg

I.E

dx.M..

L

x1

L

0 fcd

I.E

dx.M..

L

x

En fonction d’une charge répartie p et des moments résistants à gauche de la travée Mg et à droite de la travée Md, le moment M à l’abscisse x vaut : M = p.x.(L-x)/2 + (1 –x/L).Mg + (x/L).Md

La rotation s sur l’appui i vaut : i,g1i,ds

Pour l’application numérique, voir le cas suivant.

Calcul de la capacité de rotation pl,d

On calcule la hauteur de béton comprimé xu en ELU sous l’action du moment MRd et de la distance

du point de moment nul à l’appui, qu’à défaut, l’on peut prendre égale à MEd/VEd. On détermine

un coefficient = /d et un coefficient k = (/3)0,5 En fonction du rapport xu/d, de la classe de l’acier B ou C et de la résistance du béton fck, on lit sur

l’abaque de la Fig. 5.6N de l’Eurocode 2 (Fig. 7 ci-après), la valeur de pl,d.


pl,d (mrad)

35

30

25

20

15

10

5

00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,450,40

classe B

xu/d

<= C50/60

C90/105

C90/105

<= C50/60

classe C

Fig. 7 – Abaque de pl,d

Il reste à vérifier s ≤ k.pl,d. en additionnant les valeurs des deux côtés de l’appui Exemple d’une poutre en Té de deux travées symétriques (Fig. 8) Béton : fck = 25 MPa, acier classe B, fyk = 500 MPa Charge linéaire répartie uniforme pondérée ELU : p = 65 kN/m Moment d’inertie en section non fissurée

- sur appui : 00313,012

h.bI

3w

nf m4

- en travée : Inf = 0,00650 m4

5,1 5,1

0,4

1 2 35,5 5,5

80 kN/m 80 kN/m

Fig. 8 – Exemple de poutre

2,00

0,30

0,50

0,16

Armatures disponibles et moments résistants Nous supposons que les sections ont été armées de 2 lits de 3HA14 en travée et 2 lits de 3HA16 sur l’appui intermédiaire.


Tableau 6 Données

Ln 5,1 m portée entre nus

t 0,4 m épaisseur appui intermédiaire

b 2 m largeur table

h 0,5 m hauteur totale

bw 0,3 m largeur âme

hf 0,16 m épaisseur table

p 80 kN/m = 1,35g+1,5q en ELU

d 0,45 m hauteur utile

Lef 5,5 m = Lnu+Min(t;h)

M0 0,3025 MNm = p.Lef2/8

Map,max -0,3025 MNm = - M0 sur appui pour deux travées identiques (équation des 3 moments)

Mapp,nu -0,2491 MNm =p.(t/2).(Laxe-t/2)/2 + Maxe.(1-t/2/Laxe)

Caractéristiques du béton

fck 25 MPa résistance béton

C 1,5

fcd 16,67 MPa = fck/C

fctm 2,60 MPa EC2-Tab. 3.1

fctm,fl 2,86 MPa = (1,6-h).fctm Résistance à la traction du béton

cu2 3,5 ‰ EC2-Tab. 3.1

Ecm 31 GPa EC2-Tab. 3.1

Caractéristiques de l’acier

classe B d’acier

sS

yk0s

0suk

0sukydsd

E.

f

9,0).1k(1.f

fyk 500 MPa

S 1,15

fyd 434,8 MPa = fyk/S

Es 200 GPa

e 6,45 =Es/Ecm

uk 50 ‰ EC2-Annexe C

ud 45 ‰ = 0,9uk

k 1,08 EC2-Annexe C

s0 2,17 ‰ = fyd/Es

sd 465,9 MPa Pour s = ud

appui travée

2x3HA16 2x3HA14

As,prov 12,06 9,24 cm2 = n..Ø2/4

l 0,008933 0,006844 = As/bw.d

Inf 0,006849 0,007063 m4 inertie non fissurée

xu 0,1325 0,0161 m par approximations successives

s 8,39 45 ‰ = cu2.(d-xu)/xu

s 439,3 465,9 MPa = f(s)

z 0,3970 0,4435 m = d - 0,4xu

MRd 0,2103 0,1910 MNm = As.s.z

Mcr 0,13898 0,054549 MNm = (Inf/v).fctm,fl

Mmi-trav 0,1513 MNm = M0+Map/2

Mmax,trav 0,1702 MNm = Mmi,trav + M2/(16M0)

MRd,axe = 0,2103 < Mmax,ap = 0,2491 MNm : il y a rotule plastique


Caractéristiques géométriques des sections homogénéisées

rectangle sur appui à mi-travée

rectangle n° 1 2 As,inf As,sup As,inf As,sup

bi 1,7 0,3 4,62 12,06 9,24 0 m largeur = (b-bw) et bw ou As

hi 0,16 0,5 6,452 6,452 6,452 6,452 m hauteur hf et h ou e

Ai 0,272 0,15 0,00298 0,00778 0,00596 0 m2 aire = bi.hi

1i 0,08 0,25 0,45 0,05 0,45 0,05 m = hi/2

mi 0,02176 0,0375 0,00134 0,00039 0,00268 0 m3 moment statique = Ai.i

2i 0,10667 0,33333 0,45 0,05 0,45 0,05 m = 2hi/3 ou hi

Ii 0,002321 0,0125 0,0006 1,9E-05 0,00121 0 m4 moment d'inertie/fibre sup = mi.2i

A 0,432761 m2 A 0,42796 m2 = Ai aire

m 0,06099 m3 m 0,06194 m3 = mi moment statique

v 0,140933 m v 0,14474 m = m/A dist. CdG à fib.sup.

v' 0,359067 m v' 0,35526 m = h-v dist. CdG à fib.inf.

ITé 0,006849 m4 ITé 0,00706 m4 = Ii - A.v2 moment d'inertie section en Té

Moments agissants et résistants - Arrêt des barres

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5MEd

MR,inf

MR,sup

Fig. 9 - Courbe des moments résistants et fléchissants

Calcul de la rotation s Découpons la travée de gauche en 20 tronçons pour calculer la rotation sur l’appui intermédiaire au moyen des formules suivantes et en intégrant par Simpson. Tableau 7 ( Formules

En section fissurée :

.I.E

L.M.

L

x.

60

kK

.I.E

L.M.

L

x1.

60

kK

fd,f

fg,f

)1.(I.E

L.M.

L

x.

60

kK

)1.(I.E

L.M.

L

x1.

60

kK

nfd,nf

nfg,nf

ssf

e2

ee

E.A).yd).(3/yd(I.E

.2).(.d

y


Tableau 8 – Calcul de s - Travée gauche

x M As,inf As,sup Inf (homog.) ksimpson Knf,g Knf,d e. y E.If Kf,g Kf,d

0 0,000 0,0000 4,62 0 0,00678 1 0,000 0,000 0,0000 0,00331 0,0781 14,57 0,00 0,00

1 0,255 0,0389 4,62 0 0,00678 4 0,000 -0,060 0,0031 0,00331 0,0781 14,57 0,00 0,00

2 0,510 0,0726 4,62 0 0,00678 2 0,435 -0,030 0,0033 0,00331 0,0781 14,57 -0,33 0,04

3 0,765 0,1011 9,24 0 0,00706 4 0,709 -0,039 0,0069 0,00662 0,1087 26,10 -0,79 0,14

4 1,020 0,1244 9,24 0 0,00706 2 0,808 -0,015 0,0037 0,00662 0,1087 26,10 -0,52 0,13

5 1,275 0,1425 9,24 0 0,00706 4 0,853 -0,024 0,0081 0,00662 0,1087 26,10 -1,19 0,40

6 1,530 0,1554 9,24 0 0,00706 2 0,877 -0,010 0,0045 0,00662 0,1087 26,10 -0,62 0,27

7 1,785 0,1631 9,24 0 0,00706 4 0,888 -0,018 0,0099 0,00662 0,1087 26,10 -1,23 0,66

8 2,040 0,1656 9,24 0 0,00706 2 0,891 -0,008 0,0056 0,00662 0,1087 26,10 -0,58 0,38

9 2,295 0,1628 9,24 0 0,00706 4 0,888 -0,016 0,0128 0,00662 0,1087 26,10 -1,04 0,85

10 2,550 0,1549 9,24 0 0,00706 2 0,876 -0,007 0,0075 0,00662 0,1087 26,10 -0,44 0,44

11 2,805 0,1418 9,24 0 0,00706 4 0,852 -0,015 0,0179 0,00662 0,1087 26,10 -0,71 0,87

12 3,060 0,1235 9,24 0 0,00706 2 0,805 -0,007 0,0112 0,00662 0,1087 26,10 -0,26 0,39

13 3,315 0,1000 9,24 0 0,00706 4 0,702 -0,016 0,0300 0,00662 0,1087 26,10 -0,32 0,59

14 3,570 0,0712 4,62 0 0,00678 2 0,414 -0,010 0,0236 0,00331 0,0781 14,57 -0,10 0,24

15 3,825 0,0373 4,62 0 0,00678 4 0,000 -0,015 0,0453 0,00331 0,0781 14,57 0,00 0,00

16 4,080 -0,0018 4,62 6,03 0,00682 2 0,000 0,000 -0,0012 0,02882 0,2130 10,83 0,00 0,00

17 4,335 -0,0461 4,62 12,06 0,00685 4 0,000 0,011 -0,0628 0,05763 0,2867 13,96 0,00 0,00

18 4,590 -0,0957 4,62 12,06 0,00685 2 0,000 0,008 -0,0689 0,05763 0,2867 13,96 0,00 0,00

19 4,845 -0,1504 4,62 12,06 0,00685 4 0,146 0,010 -0,1954 0,05763 0,2867 13,96 0,03 -0,51

20 5,100 -0,2103 4,62 12,06 0,00685 1 0,563 0,000 -0,0368 0,05763 0,2867 13,96 0,00 -0,72

somme -0,2621 -0,1717 somme -8,10 4,16

g,nf d,nf g,f d,f

g = g,nf + g,f -8,36 mrd à l'appui gauche de la travée gauche

d = d,nf + d,f 3,99 mrd à l'appui droit de la travée gauche

s = 2d 7,98 mrd rotation de calcul par symétrie

La rotation s sur l’appui intermédiaire est due au fait que le moment résistant MRd = 0,2103 MNm est inférieur au moment agissant calculé par l’équation des 3 moments MEd = 0,2491 MNm. Remarque. Pour le calcul des moments sur appuis par l’équation des 3 moments, on devrait

trouver une rotation s nulle, par définition de l’équation des 3 moments. Or, ce n’est pas le cas. La raison en est que dans le calcul habituel des moments par l’équation des 3 moments, on suppose que les sections sont non fissurées et que le moment d’inertie est constant sur toute la travée pour une poutre (ou dalle) de dimensions constantes le long de la travée.

Il aurait fallu tenir compte de la fissuration et de la pondération par le coefficient des rotations dans les deux cas, sections non fissurées et sections fissurées. Les calculs deviennent compliqués, car les sections d’armatures sont déterminées à partir des moments, qui eux-mêmes sont dépendants des sections d’armatures. Il faudrait procéder par approximations successives des sections d’armatures et de leurs positions et longueurs. C’est pourquoi, l’Eurocode 2 a retenu les hypothèses simplificatrices suivantes : - la largeur de table des poutres en Té est constante (art. 5.3.2.1 (4), - les sections sont non fissurées (art. 5.4 (2), - le calcul est fait dans le domaine élastique linéaire (art. 5.4 (2).

Détermination de la capacité de rotation pl,d (abaque de la Fig. 5.6N de l’Eurocode 2) Pour une hauteur relative de béton comprimé sur appui xu/d = 0,1325/0,45 = 0,2944, un acier de

classe B et un béton fck = 25 MPa, on lit sur l’abaque pl,d = 10 mrd.

Cette valeur est à corriger par un facteur k = (/3)0,5 qui est fonction de la distance du point de moment nul à l’appui divisé par la hauteur utile d ; la longueur relative peut être prise égale à

= M/(V.d) avec M = MRd = 210,3 kNm et

V = p .(L/2-t/2) + M/L = 80×(5,5/2 – 0,2) + 210,3/5,5 = 167,4 kN, soit = 210,3/(167,3×0,45) = 2,792.

D’où k = (2,792/3)0,5 = 0,965

L’inégalité à vérifier est : s = 7,98 ≤ k.pl,d = 0,965×10 = 9,65.


Vérifié. A défaut, on peut utiliser la méthode suivante. 5 – Méthode générale de vérification de la capacité de rotation des sections

Le calcul de s est le même que pour le cas précédent.

Calcul de pl,d On appliquera la méthode décrite dans le Code-Model 90, article 3.7 (voir Annexe B ci-après).

On procède par intégration de l’allongement de l’armature plastifiée sur une longueur lpl de

chaque côté de l’appui (Fig. 10) pour une contrainte variant de ud = 0,9uk sur l’appui à s0 = fyk/Es au point A de la Fig. 6. La longueur de plastification lpl est la distance entre le nu de l’appui et le point de la courbe théorique des moments (celle de l’équation des 3 moments comme si il n’y avait pas plastification de l’acier). Voir Fig. 3.7.1 a) du MC 90 en Annexe B.

Conformément au MC 90, on introduit un coefficient correcteur = 0,8 et un facteur (1-sr1/fyk) où

sr1 est la contrainte de l’armature lorsque la contrainte du béton est égale à fctk,0,05.

Pour le côté gauche de l'appui : g = 0,5.lpl.(1-sr1/fyk).(ud-s0) Eq. (3.7.2)

De même pour le côté droit g ; d’où la rotation: pl,d = (g +d)/(d-y) pour une hauteur comprimée y et une hauteur de la fissure est égale à d-y.

pl,d

d-y

h

h

t

appui

y

g

t

appui

lpl

pl,d pl,d

d

yh d

Théorique Pratique

Fig. 10 – Calcul de pl,d

Cette valeur y est déterminée en écrivant que Fc = 0,8bw.y.fcd = Fs = As.sd d’où

y = 1,25As.sd/(bw.fcd) avec

0suk

0sud

dysd ).1k(1.f et s

yd0s

E

f .

Il suffit de vérifier que l’on a bien d,pls .

Application numérique Les mêmes données que pour l’exemple précédent. Calcul de lpl : La distance lpl entre les deux paraboles à l’ordonnée MRd = 210,3 kNm est la racine x de l’équation

R1ii MML

xM.

L

x1

2

)xL(x.p

qui s’écrit une fois ordonnée en x :

0MMx).L

MM

2

L.p(x.

2

pRi

i1i2

En posant u = -pi-1/2 à gauche (et -pi/2 à droite), v = pi-1.Li-1/2+(Mi-1-Mi)/Li-1 (et pi.Li/2+(Mi+1-Mi)/Li)

et w = Mi-MR (et Mi-MR) ; = v2-4u.w de racine lpl = x = (0,5+v)/(2u)


Travée 1 Travée 2

Lnu 5,10 5,10 m portée entre nus

p 80,00 80,00 kN/m charge ELU

Mnu,avant -249,1 kNm équation des 3 moments, appui n° 2

31,40 équation des 3 moments, appui n° 1

31,40 équation des 3 moments, appui n° 3

MRésis -210,3 kNm moment résistant sur appui n° 2

u -40,000 -40,000 = -pi-1/2 et -pi/2

v 259,000 259 = pi-1.Li-1/2+(Mi-1-Mi)/Li-1 et pi.Li/2+(Mi+1-Mi)/Li

w -38,758 -38,76 = Mi-MR et Mi-MR

60879,6 60879,6 = v2-4u.w

lpl 0,153 0,153 m = (0,5+v)/(2u)

lpl,lim,imp 1,000 1,000 m limite maximale que l'on impose, par ex : 2h

retenu lpl 0,153 0,153 m Min des 2

0,31 0,31 Rapport lpl/h

bw 0,3 0,3 m largeur de la poutre

h 0,5 0,5 m hauteur de la poutre

d 0,450 0,450 m hauteur utile

sr1 11,74 11,74 MPa = e.fctk,0,05

As 12,06 12,06 cm2 section de l'armature

Fs 0,5243 0,5243 MN = As.fyd

y 0,1311 0,1311 m = 1,25Fs/(b.fcd)

pl,d,1 et pl,d,2 8,04 8,04 mrd = 0,5.lpl/(d-y).1-sr1/fyk).(ud-s0) Eq. (3.7.2)

pl,d 16,08 mrd > 7,98 OK soit 50% de pl,d

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5

M3mMpl

axe

lpl

Fig. 11 - Courbes des moments Théorique et réelle après plastification

Remarque. Pour des aciers de classe A, on obtiendrait s = 7,89 mrd et pl,d = 7,52 mrd, soit 105 %,

ce qui n’est pas vérifié. Pour des aciers de classe C, on obtiendrait s = 7,91 mrd et pl,d = 24,25 mrd, soit 33 %.

6 – Devrait-on interdire la méthode de l’analyse plastique aux aciers de classe A ? La redistribution limitée de l’article 5.5 de l’EC2 est applicable aux aciers de classe A, B et C avec une capacité de réduction de moment de 20 % pour la classe A et 30 % pour les classes B et C. Pourquoi, donne-t-on la même limite de réduction pour les aciers de classe B et C alors que leur

allongement limite uk passe de 50 ‰ à 75 ‰ ? Pourquoi la réduction pour la classe A représente les deux-tiers de la réduction de la classe B alors que la limite n’est que de la moitié ?


Il est donc tout-à-fait logique d’autoriser la classe A dans le calcul justificatif de la capacité de rotation, plus précise que les deux méthodes simplifiées des paragraphes 5.6.2 (pas de vérification explicite) et 5.6.3 (abaque). Le Model-Code 90 présente une telle méthode en son article 3.7. Bibliographie [1] Eurocode 2 – NF EN 1992-1-1 et NF EN 1992-1-1/NA [2] Code-Modèle 1990 – CEB-FIP – MC90 – Bulletins CEB n° 213-214 [3] Poutres et dalles continues en béton armé d’après l’Eurocode 2 – Henry Thonier - 2011 - Plan Europe, CSTB [4] Programme de calcul Excel n° 123 – Application de l’art. 5.6.3 et de l’abaque 5.6N de l’Eurocode 2 [5] Programme de calcul Excel n° 175 – Application de l’art. 5.6.2(1) de l’Eurocode 2 – Méthode simplifiée sans vérification de la capacité de rotation [6] Programme de calcul Excel n° 180 – Application de l’art. 5.6.2 de l’Eurocode 2 – Méthode générale pour les dalles [7] Programme de calcul Excel n° 181 – Application de l’art. 5.6.2 de l’Eurocode 2 – Méthode générale pour les poutres [8] Programme de calcul Excel n° 182 – Comment éviter les rotules plastiques en travée [9] Site www.egfbtp.com

H. Thonier – 13/04/2018


ANNEXE A


NOTE On notera une petite erreur (d’inattention) dans la rédaction de la formule (4) ci-dessus.

Il faut lire III EI

)1(

EIEI

1

et non III EI).1(EI.EI en vertu de l’équation (7.18)

de l’EC2 : III ).1(. .. (7.18) dont extrait ci-dessous :

Les rotations et les flèches sont inversement proportionnelles aux moments d’inertie.



ANNEXE B

Extrait du Code Modèle fib 1990 (MC90)



ANNEXE C

COMMENT EVITER LES ROTULES PLASTIQUES EN TRAVEE Si l’on fait des arrêts des barres au plus juste, on aura non seulement des rotules sur appuis mais également en travée. La travée deviendra alors un mécanisme hypostatique et ne satisfera plus les exigences de sécurité. Pour éviter cet écueil, il suffit de donner une légère sur-longueur aux barres, en plus du décalage al préconisé par l’EC2 (art. 9.2.1.3). On peut utiliser le programme Excel n° 182 qui montre que cette sur-longueur est de l’ordre de quelques cm seulement.

Lbd

Lbd

Lbd

al

Lbd

moment enveloppe des cas de charge

moment résistant

moment décalé de al

moment résistant

A

B

C

E

D

Fig. C1 – Courbes des moments avec rotules en travée

Sur la figure C1, les points A, B, C et D sont des rotules et la travée fonctionne comme un mécanisme. En E, le léger décalage entre les courbes bleue et rouge permet de ne pas avoir de rotule. De même, on évite la rotule en C en choisissant une section d’armature légèrement au-dessus de la section nécessaire. Ce qui est en général le cas par le choix des diamètres et nombre de barres. Quelques % de marge suffisent. Exemple. Travée de 6 m de portée entre nus d’une poutre rectangulaire 0,3 m × 0,5 m (d = 0,44 m), armée en 1er lit en travée par 6HA14 et en 2e lit par 3HA10, soumise à une charge ELU p = 60 kN/m. Béton fck = 25 MPa et acier de classe B500B. Moments sur appuis Mw = -140 kNm (-0,52 M0) à gauche et Me = -155 kNm (-0,57 M0) à droite.

Calcul des moments résistants pour s = s0 = 2,17 ‰ et s = ud = 45 ‰ On utilisera le coefficient de remplissage r tel que Fc = r.b.y.fcd et le coefficient de position de la résultante de compression du béton g tel que z = d – g.y pour une hauteur comprimée y.

)1u3.(u4

1u4u6get

u3

11r:onsin

)u3/(4/)u4(get3

uur:si

uPosons

2

2

2cc

2c

c

b

As

2‰

3,5‰

x

g.y

y

Fig. C2 – Coefficients r et g


0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

r g

88

Fig. C3 - Variations de r et g en fonction de c

pour s = 2,174 45 ‰

limité à s = 2,174 26,236 ‰ pour l'équilibre

c 0,7894 3,4900 ‰ raccourcissement du béton (macro)

y 0,1172 0,0517 m = d.c/(c+s)

u 0,3947 1,7450 = c/c2

r 0,3428 0,8090 coefficient de remplissage

g 0,3460 0,4158 position relative du bras de levier

s 434,8 452,3 MPa = f(s)

Fs 0,2009 0,2090 MN = As.s

Fc 0,2009 0,2090 MN = r.b.y.fcd

Fs/Fc 100,0% 100,0% OK si 100% ?

c 10,56 16,67 MPa = f(c)

z 0,3995 0,4185 m = d -g.y bras de levier

MR1 80,24 87,45 kNm = Fs.z moment résistant du 1er lit

MR2 118,36 126,72 kNm moment résistant pour 2 lits (3HA14+3HA10) (même principe)

Mmax 122,55 122,55 kNm moment maximal en travée = M0 + (Me+Mw)/2 + (Me-Mw)2/16/M0

MR(s0)/MR(ud) 91,8%

M oment résistant en fonction de epsilon,s

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54

Fig. C4 - Moment résistant en fonction de s

On constate que le gain dû à la plastification est de 8,2 %. Il est moins élevé pour des aciers de classe A. Il suffit donc d’allonger l’armature pour que son moment résistant diminue de 8,2 %.

En prenant la tangente à la parabole du moment, on détermine le décalage x nécessaire.


k 8,2% = 1 - MR(s0)/MR(ud)

a -30 = -p/2 Equation du 2e degré en x

b 177,5 = p.L/2 -Mw/L +Me/L p.x.(L-x)/2 +(x/L).Me +(1-x/L).Mw = MR

c -227,4520 = Mw -MR,lit ordonnée en

4212,005 = b2 -4a.c -p.x

2/2 +(p.L/2 +Me/L -Mw/L).x +Mw -MR = 0

x1 1,877 m = (-b +0,5

)/2/a

x2 4,040 m = (-b -0,5

)/2/a

V1 64,9 kN = p.(L/2 -x1) +(Me-Mw)/L

M1 87,45 kNm = p.x1.(L-x1)/2 +Mw.(1-x1/L) + Me.x1/L

x1 0,111 m = k.M1/V1

V2 -64,9 kN = p.(L/2 -x2) +(Me-Mw)/L

M2 87,45 kNm = p.x2.(L-x2)/2 +Mw.(1-x2/L) + Me.x2/L

x2 -0,111 m = k.M2/V2 A

Il suffit d’allonger les armatures du lit de 111 mm à chaque extrémité. Ce qui est faible, mais à ne pas négliger pour éviter la rotule plastique en travée.

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5

M

MR1&MR2

décalage

appuis

Fig. C5 – Moments agissants et résistants et décalage (en vert) pour éviter une rotule plastique en travée


ANNEXE D

Exemple de justification de la sécurité d’une poutre continue insuffisamment ferraillée sur appuis

1 - Données 3 travées de portées entre nus : 5,0 m ; 5,4 m et 7,0 m Charges permanentes hors poids propre de la dalle : 32 kN/m Charges d’exploitation : 7 kN/m 4 appuis de 0,4 m, enrobage nominal cnom = 25 mm

5,48 5,80 7,40

4HA12+4HA10

4HA10+2HA10

4HA16+4HA14+4HA12

4HA16 4HA16 4HA84HA8

0,8

0,55

0,3

0,16

2 - Moments par l’équation des 3 moments et moments résistants Programme n° 181 en tapant 0 dans la case N7.

Moments agissants et moments résistants-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Cas 1

Cas 2

Cas 3

Cas 4

Cas 5

Cas 6

Cas 7

Cas 8

Cas 9

Cas 10

MRd

Appuis

On constate un dépassement notable des moments résistant sur l’appui n° 3 :

- MEd = 309,7 > MRd = 185,5 kNm de rapport = 0,6 < 0,7 (la redistribution limitée au sens de l’art. 5.5 de l’EC2 n’est donc pas autorisée),

- rapport minimal des moments en travée et sur appuis : 0,404 < 0,5 pas de possibilité d’appliquer l’art. 5.6.2 de l’Ec2 permettant de considérer une plastification des sections sans justification de la capacité de rotation.

Calculons la rotation s due aux actions et la capacité de rotation pl,d.en tapant 1 dans la case N7 du programme n° 101.On obtient les courbes de moments suivantes.



-200

-100

0

100

200

300

400

500

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Cas 1

Cas 2

Cas 3

Cas 4

Cas 5

Cas 6

Cas 7

Cas 8

Cas 9

Cas 10

MRd

Appuis

Les courbes de moments résistants ont été décalées de al = 0,5z.cot.

On calcule s et pl,d pour chaque cas de charge et pour chaque appui intermédiaire. Le rapport

maximal s/pl,d, vaut 0,256 < 1. OK. Pour chaque appui ou travée et chaque combinaison de charges, on peut suivre le détail des

calculs des moments agissants, des moments résistants, des rotations s et des capacités de

rotation pl,d. On peut ajuster les longueurs des lits d’armatures et leurs positions par rapport aux appuis en contrôlant sur le graphique des moments que les courbes de moments résistants sont enveloppes des moments des différentes combinaisons de cas de charges. On garde une petite marge de longueur des armatures inférieures des 2e lit et 3e lit pour éviter d’avoir également des rotules en travée (voir Annexe C).


Vérification de la résistance d'une dalle de n travées H. Thonier p. 1

par la méthode de l'analyse plastique Données dans les cases vertes 08/04/2018

Eurocode 2, § 5.6 - Méthode générale quelle que soit la classe d'acier L'auteur n'est pas

responsable de

Acier HA Béton l'usage fait de

fyk 500 MPa limite élastique vba 25 kN/m3

poids volumique du béton Redistribution ? ce programme

classe B acier fck 25 MPa résistance caractéristique ≤ 50 MPa 1 0=3 moments, 1=analyse plastique

Øt 8 mm diamètre des cadres cot 1 inclinaison bielles

k 1,08 EC2-Annexe C fcd 16,7 MPa = fck/C

uk 50 ‰ EC2-Annexe C fctm 2,56 MPa résistance moyenne à la traction EC2-Tab.3.1 EC2-§5.6.2 EC2-§5.5

ud 45 ‰ = 0,9 uk Ecm 31 476 MPa module d'Young EC2-Tab. 3.1 sans vérific.redistribution

fyd 434,8 MPa = fyk/S fctk,0,05 1,20 MPa = 0,7fctm capacité rot. limitée

s0 2,17 ‰ = fyd/Es c2 2 ‰ EC2-Tab.3.1 KO KO

sud) 465,9 MPa = fyd.(1+(k-1).(ud-s0)/(uk-s0)) cu2 3,5 ‰ EC2-Tab.3.1 rapp.min 0,07 0,694

e 6,35 coefficient d'équivalence = Es/Ecm rapp.max 1,72

Coefficients fctk,0,05 1,80 MPa = 0,7fctm entre 0,5 et 2 ? > 0,7 ?

G0 1,35 coeff. charges poids propre fbd 2,69 MPa = 2,25×(0,7fctm/C)

G1 1,35 coeff. autres charges perm. Lb,rqd/Ø 40,4 = 0,25fyd/fbd Résultats

Q 1,5 coeff. charges variables en travée sur appui

C 1,5 coeff. béton Rapport maxi MEd/MRd 83,0% 100,0% Résistance

S 1,15 coeff. acier Rapport maxi s/pl,d 25,6% Capacité rotation

Vérification de la résistance de la dalle en ELU (EC2) 4 nombre d'appuis

Données pour les travées

Travée 1 Travée 2 Travée 3

Lnu 5 5,4 7 m portées entre nus

b 0,8 0,8 0,8 m largeur

h 0,55 0,55 0,55 m hauteur totale

g1 22 22 22 kN/m charges permanentes autres que le poids propre de la dalle

q 12 12 12 kN/m charge d'exploitation

nombre 2 2 3 treillis soudé

Armatures 1er lit 4HA12 4HA10 4HA16 treillis soudé 1er lit

Lts,1 5,2 6 7 m longueur du panneau 1er lit

xts,1 0 -0,1 -0,1 m absisse début 1er lit / nu

Armatures 2e lit 4HA10 2HA10 4HA14 treillis soudé 2e lit

Lts,2 3,1 2 5 m longueur du panneau 2e lit

xts,2 0,55 1,7 1,45 m absisse début 2e lit / nu

Armatures 3e lit 4HA12 treillis soudé 3e lit

Lts,3 3,3 m longueur du panneau 3e lit

xts,3 2,45 m absisse début 3e lit / nu

cnom 25 25 25 mm enrobage au nu

bw 0,3 0,3 0,3 m largeur de l'âme

hf 0,16 0,16 0,00 m épaisseur de la table

As 7,67 4,71 18,72 cm2/m section de l'armature y compris recouvrement latéral

Laxe 5,40 5,80 7,40 m = Lnu +Min( ti;h)/2 + Min( ti+1;h)/2 portée de calcul

u 0,044 0,041 0,056 m enrobage au centre de gravité des armatures

d3lits 0,506 0,509 0,494 m hauteur utile

g0 6,13 6,13 11,00 kN/m = vba.h charges de poids propre

g 28,13 28,13 33,00 kN/m = g0+g1 charges permanentes

E.I 200,776 200,776 349,119 MPa.m4

= Ecm.h3/12 (moment d'inertie de section brute)

L/ (E.I) 0,0269 0,0289 0,0212 m-3

en non fissuré

gELU 48,26 48,26 48,26 kN/m = G0.g0 + G1.g1 charges permanentes pondérées

pELU 66,26 66,26 66,26 kN/m = gELU + Q.q charges variables pondérées

M0,nus 207,07 241,53 405,86 kNm = pELU.Lnu2/8 moment isostatique

s 45,00 45,00 18,55 ‰ allongement de l'armature pour le moment résistant

sd 465,9 465,9 446,7 MPa contrainte de l'armature d°

xu 0,0335 0,0206 0,0784 m hauteur comprimée d°

MRd,1er

lit 105,87 73,97 185,30 kNm moment résistant du 1er

lit

MRd,1er

+2e lit 175,95 109,70 306,71 kNm moment résistant des 1

er+2

e lits

MRd 175,95 109,70 383,76 kNm moment résistant total = As.sd.(d - 0,4xu)

Moments à mi-travée cas 1 135,70 11,81 313,12 kNm 135698257 3 118107675 2 313123822 3000000000000

Moments à mi-travée cas 2 75,94 73,91 202,87 kNm 759365275 2 739090375 2 202873822 3000000000000 M1/2 = M0 + 0,5(Mi+Mi+1)



kNm

kNm

kNm

kNm

kNm

kNm

Mmax,travée 135,70 73,91 313,12 kNm

Moments maxi trav cas 1 141,85 12,46 318,42 kNm 141848306 3 124592732 2 318420993 3000000000000 Mmax = M0 + 0,5(Mi+Mi+1) + (Mi-Mi+1)2/(16M0)

Moments maxi trav cas 2 85,23 74,24 210,15 kNm 852316634 2 742388454 2 210146628 3000000000000



kNm

kNm

kNm

kNm

kNm

kNm

Mmax,travée 141,85 74,24 318,42 kNm

Lbd 0,283 0,283 0,396 m longeur d'ancrage = 0,252.sd,max/fbd

al 0,230 0,230 0,229 m décalage des moments al = d

Mmax/MRd 80,6% 67,7% 83,0% < 1 ?

OK OK OK

Mt,Rd

Ma,RdMa,Rd

Mt,Rd

Lnu


p. 2

Données pour les appuis

Appui 1 Appui 2 Appui 3 Appui 4

t 0,4 0,4 0,4 0,4 m largeurs d'appui gauche

nombre 1 1 1 1 de panneaux

TS 4HA8 4HA16 4HA16 4HA8 mm) panneau TS

ddép,g 1,7 2,7 1 m dépassement/axe à gauche

ddép,d 1 2,5 1,6 m dépassement/axe à droite

cnom 25 25 25 25 mm enrobage à l'axe

As 2,01 8,04 8,04 2,01 cm2

section de l'armature

dg 0,509 0,509 0,513 m m hauteur utile à gauche de l'appui

s 45,000 45,000 45,000 ‰ allongement de l'armature par itération pour le moment résistant


xu 0,035 0,035 0,009 m hauteur comprimée d°

MRd,nug 185,47 185,47 47,73 kNm moment résistant au nu à gauche

dd 0,513 0,509 0,509 m hauteur utile à droite de l'appui

s 45,00 45,00 45,00 ‰ allongement de l'armature pour le moment résistant


xu 0,0088 0,0351 0,0351 m hauteur comprimée = 1,25(As.s)/(b.fcd) d°

MRd,nus 47,73 185,47 185,47 47,73 kNm moment résistant au nu = Min(MRd,nug,MRd,nud)

Moments nu cas 1 0,00 -142,74 -185,47 0,00 kNm000000000000-142744115 3-185467981 3000000000000




kNm000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

kNm000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

kNm000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

kNm000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

kNm000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

kNm000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

Mmax,nu appui 0,00 -176,81 -185,47 0,00 kNm

Lbd 0,226 0,543 0,543 0,226 m longeur d'ancrage = 0,252.sd,max/fbd

al 0,231 0,229 0,229 0,231 m décalage des moments al = d

Mmax,nu/MRd,nu 0,0% 95,3% 100,0% 0,0%

OK OK OK OK

Moments à l'axe des appuis par l'équation des 3 moments avant redistribution ou rotule plastique


Moment à l'axe cas 1 0,00 -152,96 -264,90 0,00 kNm000000000000-152956489 3-264898694 3000000000000




kNm

kNm

kNm

kNm

kNm

kNm

Moments au nu des appuis par l'équation des 3 moments avant redistribution ou rotule plastique


Moment au nu cas 1 28,79 -129,79 -234,01 40,55 kNm 287914451 2-129789556 3-210030265 3000000000000-112834925 3-234011613 3 405495759 2000000000000




kNm

kNm

kNm

kNm

kNm

kNm

Eligibilité à la redistribtution limitée des moments selon EC2 - § 5.5 ?Redistribution limitée (EC2 - § 5.5) à = 0,7

Maprès/Mavant 0,000 1 0,694 0,000 min = 0,694 KO

< 0,7

Eligibilité à l'analyse plastique sans justification de la capacité de rotation selon EC2 - § 5.6.2 pour les 4 cas de charges

Travée 1 Travée 2 Travée 3

Rapport mini Mtrav/Mapp 0,569 0,067 1,133 0,067 < 0,5 KO

Rapport maxi Mtrav/Mapp 0,994 0,496 1,717 1,717 < 2,0 OK

Classe acier B : KO OK KO OK


p.3

Moments agissants MEd

et moments résistants MRd

Pour avoir les courbes des moments

sans redistribution, taper 0 en case N10

etc.

Vérification de la capacité de rotation des appuis pour les différents cas de charge : s ≤ pl,d ? (Eurocode 2 - § 5.6)

1 - Calcul de la capacité de rotation de l'appui pl,d (MC90 - Art. 2,7)

Appui 2 Appui 3

Cas de charge 1 18,70 mrd




mrd

mrd

mrd

mrd

mrd

mrd

Maximum 0,00 25,97 mrd

Vérification manuelle de la rotation pl,d sur un appui donné et pour un cas de charge donné - MC90 - Art. 3,7 - Bulletin 213/214

Appui 2 n° de l'appui à vérifier

Cas 3 cas de charge étudié

Appui n° 2 - Cas de charge n° 3

Travée 1 Travée 2

Lef 5,00 5,40 m

p 66,26 66,26 kN/m

Mappui,avant -162,16 kNm équ. des 3 moments, appui n°2

27,13 équ. des 3 moments, appui n°1

-204,82 équ. des 3 moments, appui n°3

MRésis -185,47 kNm moment résistant sur appui

u -33,131 -33,131 = -pi-1/2 et -pi/2

v 203,516 171,009 = pi-1.Li-1/2+(Mi-1-Mi)/Li-1 et pi.Li/2+(Mi+1-Mi)/Li

w 23,3039 23,3039 = Mi-MR et Mi-MR posons lpl =

44507,1 32332,4 = v2-4u.w est la racine x de

lpl = -0,112 -0,133 m = (0,5

+v)/(2u)

lim,imp 1,100 1,100 m limite maximale que l'on impose, par ex : 2,00 h retenu -0,112 -0,133 m Min( ;lim,imp)

lpl/h -0,20 -0,24 m en relatif

b 0,8 0,8 m largeur de la dalle

h 0,55 0,55 m épaisseur de la dalle (mini des deux)

d 0,509 0,509 m hauteur utile

sr1 6,47 6,47 MPa = e.fctk,0,05.(d-h/2)/(h/2).

As 8,04 8,04 cm2

section de l'armature

Fs 0,3497 0,3497 MN = As.fyd

y 0,0328 0,0328 m = 1,25Fs/(b.fcd)

pl,d,1 et pl,d,2 -3,99 -4,72 mrd = 0,5../(d-y).1-sr1/fyk).(ud-s0) Eq. (3.7.2)

pl,d mrd

non concerné car MEd< MRd

Rotations agissantes s

Appui 2 Appui 3

Cas de charge 1 2,04 4,79 mrd




mrd

mrd

mrd

mrd

mrd

mrd

Maximum 2,04 6,57 mrd

Rapport max s/pl,d 0,0% 25,6% ≤ 1 ?

OK OK


-200

-100

0

100

200

300

400

500

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Cas 1

Cas 2

Cas 3

Cas 4

Cas 5

Cas 6

Cas 7

Cas 8

Cas 9

Cas

10MRd

Appui

s

CAS 1

CAS 2

CAS 3

CAS 4

CAS 5

0MMx).L

MM

2

L.p(x.

2

pRi

i1i2

R1ii MML

xM.

L

x1

2

)xL(x.p

pl,d

d-y

h h

t

appui

y

lpl,g lpl,d

g d


p. 4

Vérification manuelle de la rotation s sur un appui donné et pour un cas de charge donné

Appui 2 n° de l'appui à vérifier

Cas 3 cas de charge étudié

Calcul de la rotation à l'appui s par la méthode manuelle (voir tableaux ci-dessous) Calcul de la rotation à l'appui s par la function VBA "frot"

g d g d

rotation travée i-1 = 1 -4,73 1,64 mrd rotation travée i-1 = 1 -4,72 1,64 mrd plus précis si N2 > 20

rotation travée i = 2 1,24 -1,46 mrd rotation travée i = 2 1,25 -1,47 mrd

s 0,40 mrd = d(i-1) - g(i) s 0,39 mrd = d(i-1) - g(i) rotation sur appui

pl,d mrd pl,d mrd

s/pl,d mrd s/pl,d mrd

OK OK fyd 434,8 MPa

ud 45 ‰

Rappels des résultats intermédiaires fcd 16,67 MPa

Travée 1 Travée 2 fctm 2,56 MPa

Appui 1 Mi-trav. Appui 2g Appui 2d Mi-trav. Appui 3 n 6,35 = Es/Ecm coeffcient d'équivalence retenu

Lnu 5 5,4 m Ecm 31 476 MPa

b 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 m largeur poutre Ec 31 476 MPa = .f + (1-).nf

h 0,55 0,55 0,55 0,55 0,55 0,55 m hauteur poutre sd(ud) 465,9 MPa

bw 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 m largeur âme e 6,35 = Es/Ec

hf 0,16 0,16 0,16 0,16 0,16 0,16 m épaisseur table

d 0,513 0,506 0,509 0,509 0,509 0,509 m hauteur utile

pELU 66,26 66,26 kN/m2

charge ELU du cas étudié

fctm,fl 2,693 2,693 2,693 2,693 2,693 2,693 MPa résistance traction = (1,6-h).fctm

As,1 2,01 4,52 8,04 8,04 3,14 8,04248 cm2

section armature 1er lit

As,2 3,14 1,57 cm2

section armature 2e lit

As,3 0,00 0,00 cm2

section armature 3e lit

As 2,01 7,67 8,04 8,04 4,71 8,04 cm2

section armature totale

MEd 0,00 118,66 -176,81 -176,81 60,39 -185,47 kNm moment du cas de charge étudié

MRd 47,73 185,47 185,47 185,47 kNm moment résistant de la section sur appui

Np 2 2 nombre de lits d'armatures à mi-travée

Rappel de données des armatures

Travée 1 Travée 2 Les moments d'inertie Inf sont calculés en section homogénéisée

L1 5,2 6 m 1er

lit

L2 3,1 2 m 2e lit K1 = -k.L;(1-x/L).M / (Ec.Inf).(1-)/60 K2 = -k.L.(x/L).M / (Ec.Inf).(1-)/60

L3 0 0 m 3e lit

x2 0,55 1,7 m abscisse de début du 2e lit K3 = -k.L.(1-x/L).M/ (Ec.If)./60 K4 = -k.L.(x/L).M/ (Ec.If)./60

x3 0 0 m abscisse de début du 3e lit

al 0,230 0,230 m décalage al = 0,5z.cot

Lbd 0,283 0,283 m longueur d'ancrage des barres

Travée 1 non fissuré fissuré

x M(x) As,inf(x) As,sup(x) Inf/v Inf/v' Mcr Ec.Inf d k K1 K2 e. y Ec.If K3 K4

m kNm cm2

cm2

m3

m3

kNm MN.m2

m Simpson Eq.7.19 m-1

m-1

m m4

m-1

m-1

0 0,000 0,00 4,52 2,01 0,03116 0,01982 83,91 209,74 0,506 1 0,000 0,0000 0,0000 0,00709 0,05684 19,835 0,0000 0,0000

1 0,250 30,50 4,52 2,01 0,03116 0,01982 53,39 209,74 0,506 4 0,000 -0,0461 0,0024 0,00709 0,05684 19,835 0,0000 0,0000

2 0,500 56,86 4,52 2,01 0,03116 0,01982 53,39 209,74 0,506 2 0,118 -0,0359 0,0040 0,00709 0,05684 19,835 -0,0509 0,0057

3 0,750 79,08 4,52 0,17 0,03088 0,01977 53,25 208,67 0,506 4 0,547 -0,0487 0,0086 0,00709 0,05684 19,835 -0,6176 0,1090

4 1,000 97,16 6,97 0,00 0,0312 0,02027 54,58 212,71 0,506 2 0,684 -0,0192 0,0048 0,01093 0,06956 29,441 -0,3012 0,0753

5 1,250 111,10 7,67 0,00 0,0313 0,02041 54,97 213,87 0,506 4 0,755 -0,0318 0,0106 0,01202 0,07268 32,074 -0,6540 0,2180

6 1,500 120,90 7,67 0,00 0,0313 0,02041 54,97 213,87 0,506 2 0,793 -0,0136 0,0058 0,01202 0,07268 32,074 -0,3488 0,1495

7 1,750 126,55 7,67 0,00 0,0313 0,02041 54,97 213,87 0,506 4 0,811 -0,0242 0,0130 0,01202 0,07268 32,074 -0,6936 0,3735

8 2,000 128,06 7,67 0,00 0,0313 0,02041 54,97 213,87 0,506 2 0,816 -0,0110 0,0074 0,01202 0,07268 32,074 -0,3257 0,2171

9 2,250 125,43 7,67 0,00 0,0313 0,02041 54,97 213,87 0,506 4 0,808 -0,0206 0,0169 0,01202 0,07268 32,074 -0,5793 0,4740

10 2,500 118,66 7,67 0,00 0,0313 0,02041 54,97 213,87 0,506 2 0,785 -0,0099 0,0099 0,01202 0,07268 32,074 -0,2422 0,2422

11 2,750 107,75 7,67 0,00 0,0313 0,02041 54,97 213,87 0,506 4 0,740 -0,0197 0,0240 0,01202 0,07268 32,074 -0,3728 0,4556

12 3,000 92,70 7,67 0,00 0,0313 0,02041 54,97 213,87 0,506 2 0,648 -0,0102 0,0152 0,01202 0,07268 32,074 -0,1249 0,1874

13 3,250 73,51 6,41 0,00 0,03113 0,02015 54,28 211,77 0,506 4 0,455 -0,0221 0,0410 0,01006 0,06693 27,306 -0,1428 0,2653

14 3,500 50,17 4,52 0,00 0,03086 0,01977 53,23 208,57 0,506 2 0,000 -0,0120 0,0281 0,00709 0,05684 19,835 0,0000 0,0000

15 3,750 22,69 4,52 0,00 0,03086 0,01977 53,23 208,57 0,506 4 0,000 -0,0091 0,0272 0,00709 0,05684 19,835 0,0000 0,0000

16 4,000 -8,92 4,52 5,58 0,03173 0,01995 85,44 212,02 0,509 2 0,000 0,0014 -0,0056 0,02323 0,09852 21,820 0,0000 0,0000

17 4,250 -44,68 4,52 8,04 0,0321 0,02002 86,45 213,46 0,509 4 0,000 0,0105 -0,0593 0,03347 0,11575 29,756 0,0000 0,0000

18 4,500 -84,58 4,52 8,04 0,0321 0,02002 86,45 213,46 0,509 2 0,000 0,0066 -0,0594 0,03347 0,11575 29,756 0,0000 0,0000

19 4,750 -128,63 4,52 8,04 0,0321 0,02002 86,45 213,46 0,509 4 0,548 0,0045 -0,0862 0,03347 0,11575 29,756 0,0395 -0,7505

20 5,000 -176,81 4,52 8,04 0,0321 0,02002 86,45 213,46 0,509 1 0,761 0,0000 -0,0165 0,03347 0,11575 29,756 0,0000 -0,3768

Somme -0,311 -0,0081 Somme -4,41431 1,64517

Rotations g,nf d,nf Rotations g,f d,f

g d

s -4,725 1,637

g,nf + g,fd,nf + d,f

L

0 cd

L

0 cg

I.E

M.

L

x

I.E

M.

L

x1

6

h.fM

2

fl,ctmcr

nff ).1(.

.2).(. e2

ee

1avec

M

M.1

2

cr

d.y

ssfc E.A).3/yd).(yd(I.E

0Msid.b

A

0Msid.b

A

w

s

s


Travée 2 p. 6

non fissuré fissuré

x M(x) As,inf(x) As,sup(x) Inf/v Inf/v' Mcr Ec.Inf d k K1 K2 e. y Ec.If K3 K4

m kNm cm2

cm2

m3

m3

kNm MN.m2

m Simpson Eq.7.19 m-1

m-1

m m4

m-1

m-1

0 0,000 -176,81 3,14 8,04 0,03189 0,04199 85,878 211 0,509 1 0,764 0,01779 0,0000 0,03347 0,11575 29,7560 0,408623 0,000

1 0,270 -131,35 3,14 8,04 0,03189 0,04199 85,878 211 0,509 4 0,573 0,091 -0,0048 0,03347 0,11575 29,7560 0,864398 -0,045

2 0,540 -90,73 3,14 8,04 0,03189 0,04199 85,878 211 0,509 2 0,104 0,06241 -0,0069 0,03347 0,11575 29,7560 0,051391 -0,006

3 0,810 -54,93 3,14 8,04 0,03189 0,04199 85,878 211 0,509 4 0,000 0,07966 -0,0141 0,03347 0,11575 29,7560 0 0,000

4 1,080 -23,97 3,14 8,04 0,03189 0,04199 85,878 211 0,509 2 0,000 0,01636 -0,0041 0,03347 0,11575 29,7560 0 0,000

5 1,350 2,17 3,14 8,04 0,03188 0,01973 53,129 210,97 0,509 4 0,000 -0,0028 0,0009 0,00491 0,04795 14,2620 0 0,000

6 1,620 23,47 3,14 8,04 0,03188 0,01973 53,129 210,97 0,509 2 0,000 -0,014 0,0060 0,00491 0,04795 14,2620 0 0,000

7 1,890 39,95 3,14 5,64 0,03152 0,01966 52,943 209,593 0,509 4 0,000 -0,0446 0,0240 0,00491 0,04795 14,2620 0 0,000

8 2,160 51,59 4,42 1,64 0,0311 0,01981 53,341 209,484 0,509 2 0,000 -0,0266 0,0177 0,0069 0,05634 19,5802 0 0,000

9 2,430 58,40 4,71 0,00 0,0309 0,01982 53,371 209,008 0,509 4 0,165 -0,0462 0,0378 0,00736 0,05808 20,7794 -0,0918 0,075

10 2,700 60,39 4,71 0,00 0,0309 0,01982 53,371 209,008 0,509 2 0,219 -0,0203 0,0203 0,00736 0,05808 20,7794 -0,05725 0,057

11 2,970 57,54 4,71 0,00 0,0309 0,01982 53,371 209,008 0,509 4 0,140 -0,0384 0,0469 0,00736 0,05808 20,7794 -0,06264 0,077

12 3,240 49,86 4,42 0,00 0,03085 0,01976 53,206 208,5 0,509 2 0,000 -0,0172 0,0258 0,0069 0,05634 19,5802 0 0,000

13 3,510 37,35 3,14 5,36 0,03148 0,01965 52,921 209,43 0,509 4 0,000 -0,0225 0,0417 0,00491 0,04795 14,2620 0 0,000

14 3,780 20,01 3,14 1,36 0,03087 0,01953 52,601 207,092 0,509 2 0,000 -0,0052 0,0122 0,00491 0,04795 14,2620 0 0,000

15 4,050 -2,16 3,14 8,04 0,03189 0,04199 85,878 211 0,509 4 0,000 0,00092 -0,0028 0,03347 0,11575 29,7560 0 0,000

16 4,320 -29,16 3,14 8,04 0,03189 0,04199 85,878 211 0,509 2 0,000 0,00498 -0,0199 0,03347 0,11575 29,7560 0 0,000

17 4,590 -60,99 3,14 8,04 0,03189 0,04199 85,878 211 0,509 4 0,000 0,01561 -0,0885 0,03347 0,11575 29,7560 0 0,000

18 4,860 -97,65 3,14 8,04 0,03189 0,04199 85,878 211 0,509 2 0,227 0,00644 -0,0580 0,03347 0,11575 29,7560 0,013387 -0,120

19 5,130 -139,15 3,14 8,04 0,03189 0,04199 85,878 211 0,509 4 0,619 0,00452 -0,0859 0,03347 0,11575 29,7560 0,05211 -0,990

20 5,400 -185,47 3,14 8,04 0,03189 0,04199 85,878 211 0,509 1 0,786 0 -0,0170 0,03347 0,11575 29,7560 0 -0,441

Somme 0,062 -0,068 Somme 1,178 -1,394

Rotations g,nf d,nf Rotations g,f d,f

g d

s 1,24 -1,46

g,nf + g,fd,nf + d,f

4

5

6

1

2

3

4

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