Notes en EDP

Universite Libre de BruxellesFaculte des Sciences Appliquees

MA1 en Ingenieur Civil Physicien

MATH-H-402

Introduction a l’analysefonctionnelle et applications

Frederic Bourgeois

Table des matieres

Introduction 7

1 Espaces metriques et topologiques 11

1.1 Espaces metriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.2 Suites convergentes et applications continues . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.3 Espaces metriques complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2 Espaces topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2.2 Convergence et continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.3 Compacite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.4 Theoreme de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Exercices sur le Chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Espaces normes. Espaces de Banach 23

2.1 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 Espaces normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.2 Normes equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.3 Applications lineaires bornees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2.4 Operateurs lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3 Espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2

2.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3.2 Theoremes de l’application ouverte et du graphe ferme . . . . . . . . 34

2.3.3 Projecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4 Fonctionnelles lineaires et dualite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.5 Topologies faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.6 Espaces d’operateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40


3 Espaces a produit interne. Espaces de Hilbert 43

3.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2 Espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3 Suites et bases orthonormees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.4 Theoreme de representation de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.5 Operateurs particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.5.1 Operateurs adjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.5.2 Operateurs auto-adjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.5.3 Operateurs unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.5.4 Operateurs normaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.6 Projecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55


4 Distributions 57

4.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2 Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.2.1 Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.2.2 Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.2.3 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2.4 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.2.5 Image directe, inverse et changement de variables . . . . . . . . . . . 63

3

4.2.6 Proprietes des operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.3 Lissage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.4 Regularisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.5 Proprietes locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.5.1 Egalites et inegalites locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.5.2 Recollement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.5.3 Structure locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.6 Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70


5 Distributions temperees 73

5.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.2 Transformee de Fourier dans S(Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.2.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.2.3 Theoreme de Paley-Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.3 Transformee de Fourier dans S ′(Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.3.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.3.3 Theoreme de Paley-Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.4 Produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.4.1 Produit de convolution dans S(Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.4.2 Produit de convolution entre S(Rn) et S ′(Rn) . . . . . . . . . . . . . 87

5.4.3 Produit de convolution dans S ′(Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.5 Equations aux derivees partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.5.1 Problemes aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.5.2 Problemes d’evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92


4

6 Espaces de Lebesgue 95

6.1 Espaces L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.1.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.1.3 Autres espaces L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.2 Espaces Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.2.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.3 Espaces L1 et L∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.3.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.4 Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.4.1 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.4.2 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.4.3 Lissage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.5 Note sur la theorie de la mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110


7 Espaces de Sobolev 112

7.1 Espaces Hm(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.1.2 Regularite du domaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

7.1.3 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

7.2 Dualite et espaces H−m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

7.3 Autres espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

7.3.1 Espaces Wm,p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

7.3.2 Espaces Hs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121


5

8 Problemes aux limites 122

8.1 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

8.1.1 Fonctionnelle de Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

8.1.2 Probleme de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

8.1.3 Probleme de Poisson-Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

8.1.4 Conditions aux limites essentielles et naturelles . . . . . . . . . . . . 128

8.1.5 Generalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

8.2 Methodes approchees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

8.2.1 Methode de Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

8.2.2 Elements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

8.3 Problemes aux valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

8.3.1 Quotient de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

8.3.2 Valeurs propres du laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136


Notations 140

Bibliographie 142

6

Introduction

“Logic is the hygiene the mathematician practicesto keep his ideas healthy and strong”

Hermann Weyl (1885 - 1955)

L’analyse fonctionnelle est l’etude des espaces de fonctions. Pour situer ce domaine desmathematiques par rapport au calcul differentiel et integral, on peut penser intuitivementa l’etude des fonctions comme a une succession de trois niveaux, du plus elementaire auplus abstrait.

Le premier niveau consiste a etudier les proprietes de fonctions individuelles, telles queleur domaine, leurs extrema, leur concavite, leurs asymptotes, . . . Ces proprietes peuventalors etre representees sur le graphe de ces fonctions.

Le deuxieme niveau consiste a etudier des proprietes plus generales portant sur des col-lections de fonctions, telles que diverses notions de continuite, de convergence pour dessuites de fonctions, ainsi que les liens entre ces proprietes. Ceci est typiquement l’objetd’un cours d’analyse, ou de calcul differentiel et integral.

Le troisieme niveau consiste a etudier non plus les fonctions elles-memes, mais bien certainsespaces de fonctions. De ce cadre, certaines proprietes abstraites pour des collections defonctions peuvent etre reformulees comme des proprietes de certains espaces de fonctions.Par exemple, le fait que la convergence uniforme implique la convergence au sens L2 d’unesuite de fonctions pourra s’exprimer par le fait qu’une certaine inclusion entre espaces defonctions est continue.

L’objectif de ce cours est d’appliquer certaines notions d’analyse fonctionnelle a l’etudedes equations aux derivees partielles. Pour atteindre ce but, le cours est divise en troisparties.

La premiere partie de ce cours (chapitres 1 a 3) est consacree aux notions de basenecessaires pour travailler avec des espaces abstraits aussi generaux que des espaces to-pologiques, avec des espaces vectoriels de dimension infinie, et plus particulierement avecdes espaces de Banach et de Hilbert.

La deuxieme partie de ce cours (chapitres 4 a 7) est consacree a l’etude de certains espacesde fonctions ou de distributions. On etudiera ainsi l’espace des distributions, l’espace desdistributions temperees, appele aussi espace de Schwartz, les espaces de Lebesgue et les

7

espaces de Sobolev.

La troisieme partie de ce cours (chapitre 8) est consacree aux applications des deuxpremieres parties a l’etude de certaines equations aux derivees partielles. En effet, l’analysefonctionnelle permet d’etudier certaines proprietes des solutions d’equations aux deriveespartielles, telles que leur existence, leur regularite et eventuellement leur unicite. Il estremarquable que ces memes techniques jouent un role central en analyse numerique,c’est-a-dire pour la resolution numerique d’equations aux derivees partielles. En effet,l’analyse fonctionnelle permet de formuler rigoureusement des algorithmes numeriques,de demontrer la convergence de processus iteratifs, d’obtenir des bornes superieures surl’ecart entre la solution approchee (qui a ete calculee numeriquement) et la solution reelle(qui est inconnue).

Ce cours n’est toutefois qu’une petite introduction au vaste domaine qu’est l’analyse fonc-tionnelle. Ainsi, certains resultats fondamentaux seront omis, tels que les theoremes deHahn-Banach et de Banach-Steinhaus. On n’abordera pas non plus toute une serie dethemes classiques en analyse fonctionnelle, tels que les operateurs compacts, la theoriede Fredholm, les proprietes generales des operateurs elliptiques, la theorie spectrale, lessemi-groupes, . . .

Le lecteur desirant depasser le cadre de ce cours pourra satisfaire sa curiosite en consultantles ouvrages cites dans la bibliographie, qui sont tous disponibles a la Bibliotheque desSciences et Techniques de l’ULB.

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Liste des notions a reviser

– Chapitre 1 : Espaces metriques et topologiques

MATH-H-100, Chap 1 : topologie dans Rn (boule ouverte, fermee, interieur, . . . )MATH-H-100, Chap 2 : convergence des suites numeriques, continuite des fonctionsMATH-H-100, Chap 8 : proprietes des fonctions continues

– Chapitre 2 : Espaces normes. Espaces de Banach

MATH-H-101 : espaces vectoriels, applications lineaires, normesMATH-H-200, Chap 12 : convergence uniforme

– Chapitre 3 : Espaces a produit interne. Espaces de Hilbert

MATH-H-101 : espaces euclidiensMATH-H-200, Chap 14 : series de Fourier

– Chapitre 4 : Distributions

MATH-H-201 : introduction aux distributions

– Chapitre 5 : Distributions temperees

MATH-H-100, Chap 10 : integrales multiples, theoreme de FubiniMATH-H-201 : transformee de Fourier, fonctions analytiques complexes

– Chapitre 6 : Espaces de Lebesgue

MATH-H-200, Chap 14 : fonctions de carre sommable

– Chapitre 7 : Espaces de Sobolev

Bien relire et comprendre le chapitre 6

– Chapitre 8 : Problemes aux limites

MATH-H-301, Chap 26 : quotient de Rayleigh

9

Esp

aces

rencontr

es

dans

ce

cours

Ensembles Espaces vectoriels(chap 2, sec 2.1)Kn,KX

Espaces topologiques Espaces vectoriels topologiques(chap 1, sec 1.2) (chap 2, sec 2.2)

D(Ω),D′(Ω),S(Ω),S ′(Ω), E(Ω), E ′(Ω)

Espaces metriques Espaces normes Espaces prehilbertiens(chap 1, sec 1.1) (chap 2, sec 2.2) (chap 3, sec 3.1)

B(X,E)

Espaces metriques complets Espaces de Banach Espaces de Hilbert(chap 1, sec 1.1) (chap 2, sec 2.3) (chap 3, sec 3.2)

lp(E), Cm0 (Ω), Cm

b (Ω), CmK (Ω), Lp(Ω), Wm,p(Ω) l2(E), L2(Ω), L2

σ(R), L2(S),Hm(Ω), Hm

0 (Ω), Hs(Rn)

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Chapitre 1

Espaces metriques et topologiques

“A topologist is one who doesn’t know the differencebetween a doughnut and a coffee cup.”

John Kelley (1916 - 1999)

1.1 Espaces metriques

1.1.1 Definitions

Definition 1.1. Un espace metrique (E, d) est un ensemble E muni d’une distanced, c’est-a-dire une application d : E × E → R+ telle que, pour tout x, y, z ∈ E,

(i) d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y,

(ii) d(x, y) = d(y, x),

(iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (inegalite triangulaire).

Pour alleger les notations, on note quelquefois un espace metrique simplement par E, enomettant la distance, lorsque celle-ci est identifiable d’apres le contexte.

Exemples.

1. L’ensemble Fn, avec F = Z,Q,R ou C, muni de la distance d donnee par

d(x, y) =

√√√√n∑

i=1

|xi − yi|2, x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn),

est un espace metrique.

2. Soit E un ensemble et d : E × E → R+ la metrique discrete, definie par

d(x, y) =

0 si x = y,1 si x 6= y.

Alors (E, d) est un espace metrique, qualifie de discret. N

11

Soient A,B ⊂ E non vides et x ∈ E. La distance d(x,A) entre x et A est definie par

d(x,A) = infy∈A

d(x, y).

La distance d(A,B) entre A et B est definie par

d(A,B) = infy∈Az∈B

d(y, z).

Le diametre δ(A) est defini par

δ(A) = supy,z∈A

d(y, z).

L’ensemble A est dit borne si δ(A) <∞.

Tout sous-ensemble F ⊂ E d’un espace metrique (E, d) est encore un espace metrique : ilsuffit de le munir de la distance dF = d|F×F induite par d sur F .

La boule ouverte (resp. fermee) de rayon r > 0 et de centre x ∈ E est l’ensembleB(x, r) (resp. B(x, r)) des points y ∈ E tels que d(x, y) < r (resp. d(x, y) ≤ r).

Un sous-ensemble A ⊂ E est dit dense dans E si pour tout x ∈ E et pour tout ǫ > 0,B(x, ǫ) ∩A 6= ∅. En d’autres termes, tout element de E peut etre approxime d’aussi presque l’on veut par des elements de A.

Une application bijective f : E → F entre deux espaces metriques (E, dE) et (F, dF )telle que dE(x, y) = dF (f(x), f(y)) pour tout x, y ∈ E est appelee une isometrie. Si ilexiste une isometrie f : E → F , les espaces metriques E et F sont dits isometriques.Deux espaces metriques isometriques sont tout-a-fait equivalents, au sens ou ils possedentexactement les memes proprietes.

1.1.2 Suites convergentes et applications continues

Definition 1.2. Une suite (xn) d’elements d’un espace metrique E est dite convergentesi il existe x ∈ E tel que d(xn, x) → 0 lorsque n→ ∞. L’element x ∈ E est appele limitede la suite (xn) et est unique.

Une suite qui n’est pas convergente est dite divergente.

Exemples.

1. La suite xn = 1n dans R converge vers 0.

2. Les suites xn = (−1)n et yn = n dans R sont divergentes. N

Definition 1.3. Soit f : E → F une application entre deux espaces metriques (E, dE) et(F, dF ) et soit x ∈ E. On dit que f est continue en x si, pour tout ǫ > 0, il existe δ > 0tel que f(B(x, δ)) ⊂ B(f(x), ǫ). On dit que f est continue si f est continue en y pourtout y ∈ E. On dit que f est uniformement continue si pour tout ǫ > 0, il existe δ > 0tel que dE(y, z) < δ implique dF (f(y), f(z)) < ǫ.

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En d’autres termes, une application continue est uniformement continue si δ > 0 peut etrechoisi independamment de x ∈ E.

Exemples.

1. L’application f : R → R : x 7→ x2 est continue, mais pas uniformement continue.

2. Une isometrie f : E → F entre deux espaces metriques est une application uni-formement continue.

3. Soit (E, d) un espace metrique. Pour tout x0 ∈ E, l’application dx0: E → R : x 7→

d(x0, x) est une application uniformement continue.

4. Si (E, d) est un espace metrique discret, alors toute application f : E → F vers unautre espace metrique F est uniformement continue. N

Proposition 1.4. Une application f : E → F entre deux espaces metriques est continuesi et seulement si pour toute suite (xn) convergente dans E, on a

limn→∞

f(xn) = f(

limn→∞

xn

).

Demonstration. Supposons que f est continue et que (xn) est une suite dans E convergeantvers x. Pour tout δ > 0, il existe N ∈ N tel que n > N implique d(xn, x) < δ. Si fest continue, pour tout ǫ > 0, il existe δ > 0 tel que si y ∈ E avec d(x, y) < δ alorsd(f(x), f(y)) < ǫ. Par consequent, si n > N alors d(f(x), f(xn)) < ǫ de sorte que la suite(f(xn)) converge vers f(x).

Inversement, supposons par l’absurde que f ne soit pas continue en un certain x ∈ E.Alors il existe ǫ > 0, une suite δn → 0 et une suite (xn) dans E telle que d(x, xn) < δnet d(f(x), f(xn)) > ǫ. Comme (xn) converge vers x et que (f(xn)) ne peut converger versf(x), on obtient une contradiction.

Proposition 1.5. Soient f : E → F et g : E → F deux applications continues entre lesespaces metriques E et F . Si A ⊂ E est dense et f(x) = g(x) pour tout x ∈ A, alorsf = g.

Demonstration. Soit x ∈ E. Comme A est dense dans E, il existe une suite (xn) dans Aqui converge vers x. Par la proposition 1.4, les suites images (f(xn)) et (g(xn)) convergentvers f(x) et g(x) respectivement. Par hypothese, f(xn) = g(xn) pour tout n ∈ N, de sorteque ces deux suites sont egales. Par unicite de la limite, on doit donc avoir f(x) = g(x).

Definition 1.6. Soit α ∈ [0, 1]. Une application f : E → F entre deux espaces metriques(E, dE) et (F, dF ) est dite holderienne d’ordre α si il existe k ∈ R tel que dF (f(x), f(y)) ≤k dE(x, y)α pour tout x, y ∈ E. Si α = 0, on dit que f est bornee. Si α = 1, on dit quef est lipschitzienne.

Toute fonction holderienne d’ordre α > 0 est uniformement continue, mais la reciproqueest fausse.

Exemple. La fonction f : [0, 12 ] → R : x 7→ 1

log x est uniformement continue, mais ellen’est pas holderienne d’ordre α, quel que soit α > 0. N

13

1.1.3 Espaces metriques complets

Definition 1.7. Une suite (xn) d’elements d’un espace metrique E est appelee suite deCauchy si d(xn, xm) → 0 lorsque m et n→ ∞.

Clairement, toute suite convergente est de Cauchy, mais la reciproque n’est pas toujoursvraie.

Exemple. Pour tout x ∈ R, on designe par ⌊x⌋ la partie entiere de x, c’est-a-dire le plusgrand entier inferieur ou egal a x. La suite xn = 10−n⌊10n

√2⌋ dans Q est une suite de

Cauchy divergente. N

Definition 1.8. Deux suites de Cauchy (xn) et (x′n) dans E sont dites equivalentes sid(xn, x

′n) → 0 lorsque n→ ∞.

Si deux suites de Cauchy (xn) et (x′n) sont equivalentes, alors (xn) est convergente si etseulement si (x′n) est convergente, et dans ce cas ces deux suites ont la meme limite.

Definition 1.9. Un espace metrique E est dit complet si toute suite de Cauchy dans Eest convergente.

Exemple. Zn, Rn et Cn sont des espaces metriques complets, mais pas Qn. N

Proposition 1.10. Soient A ⊂ E un sous-ensemble dense d’un espace metrique E etF un espace metrique complet. Soit f : A → F une application uniformement continue.Alors il existe une unique application continue f : E → F telle que f

∣∣A

= f . De plus, fest uniformement continue.

Demonstration. Soit x ∈ E. Comme A est dense dans E, il existe une suite (xn) dans Aqui converge vers x ; en particulier, la suite (xn) est de Cauchy dans A. Montrons que lasuite image (f(xn)) est de Cauchy dans F .En effet, pour tout ǫ > 0 il existe δ > 0 tel que d(x, y) < δ implique d(f(x), f(y)) < ǫ.Comme la suite (xn) est de Cauchy, il existe N ∈ N tel que sim,n ≥ N alors d(xn, xm) < δ.Par consequent, on a bien d(f(xn), f(xm)) < ǫ.On montre de meme que, si (yn) est une suite de Cauchy equivalente a (xn), alors lessuites (f(xn)) et (f(yn)) sont equivalentes. En particulier, la limite de la suite de Cauchy(f(xn)) ne depend que de x. On definit donc

f(x) = limn→∞

f(xn).

Si x ∈ A, alors f(x) = f(x) car on peut choisir xn = x dans la definition de f . Par laproposition 1.4, l’application f est continue. Elle est unique avec ces proprietes par laproposition 1.5.

Montrons que f est uniformement continue. Comme f est uniformement continue, pourtout ǫ > 0, il existe δ > 0 tel que si d(x, y) < 2δ, alors d(f(x), f(y)) < ǫ

3 . Soient x, y ∈ Etels que d(x, y) < δ. Soit comme avant une suite de Cauchy dans A convergeant vers x

14

dans E. Pour N ∈ N suffisamment grand, d(x, xN ) < δ2 et d(f(x), f(xN )) < ǫ

3 ; on pose

xN = x′. De meme, il existe y′ ∈ A tel que d(y, y′) < δ2 et d(f(y), f(y′)) < ǫ

3 . Alors on a

d(x′, y′) ≤ d(x′, x) + d(x, y) + d(y, y′) < 2δ

de sorte que d(f(x′), f(y′)) < ǫ3 . Par consequent,

d(f(x), f (y)) ≤ d(f(x), f(x′)) + d(f(x′), f(y′)) + d(f(y′), f(y)) < ǫ

comme souhaite.

Tout espace metrique (E, d) peut etre complete, c’est-a-dire qu’il existe un espace metri-que complet (E, d) tel que E ⊂ E est dense dans E et d|E×E = d. Un tel espace metrique(E, d) est unique (a isometrie pres). En effet, si (E′, d′) en est un autre, l’identite id :E ⊂ E → E ⊂ E′ s’etend par la proposition 1.10 de maniere unique en une applicationf : E → E′ qui preserve les distances. Comme on peut faire la meme chose en echangeantE et E′, f est bijective, donc aussi une isometrie.

On peut construire l’espace metrique (E, d), appele completion de (E, d), de la manieresuivante.

Soit E l’ensemble des classes d’equivalence de suites de Cauchy dans E, au sens de ladefinition 1.8. Un element x ∈ E peut etre vu comme un element de E en tant que classed’equivalence [xn] de la suite constante (xn = x) dans E.

On definit une distance d((xn), (x′n)) entre deux suites de Cauchy (xn) et (x′n) dans E par

d((xn), (x′n)) = limn→∞

d(xn, x′n).

La limite dans le membre de droite existe, car la suite de reels d(xn, x′n) est une suite de

Cauchy dans R.

Comme cette distance reste identique lorsque l’on remplace (xn) ou (x′n) par une suite deCauchy qui lui est equivalente, la distance d induit bien une distance d sur E.

Proposition 1.11. L’espace metrique (E, d) defini ci-dessus est la completion de l’espacemetrique (E, d).

Demonstration. Si [xn] et [x′n] sont des elements de E ⊂ E, c’est-a-dire des classesd’equivalence de suites constantes (xn = x) et (x′n = x′), alors

d([xn], [x′n]) = d((xn), (x′n)) = limn→∞

d(x, x′) = d(x, x′),

de sorte que d|E×E = d.

L’espace original E est dense dans E car, toute classe d’equivalence [xn] ∈ E de suite de

Cauchy (xn), il existe des suites constantes (y(k)n = y(k)) d’elements de E telles que

d([xn], [y(k)n ]) → 0 lorsque k → ∞.

15

Il suffit en effet de prendre y(k) = xk pour tout k ∈ N.

L’espace metrique (E, d) ainsi obtenu est complet, car si les elements [x(k)n ] ∈ E forment

une suite de Cauchy dans E, alors cette suite converge vers la classe d’equivalence [yn] ∈ E

de la suite (yn) definie par yn = x(n)n , pour tout n ∈ N.

Exemple. La completion de Qn est Rn. N

1.2 Espaces topologiques

1.2.1 Definitions

Definition 1.12. Un espace topologique (E,T ) est un ensemble E muni d’une to-pologie T , c’est-a-dire une collection T ⊂ 2E de parties de E, appelees ouverts, telleque

(i) ∅, E ∈ T ,

(ii) si Oi ∈ T , i ∈ I alors ∪i∈IOi ∈ T ,

(iii) si Oi ∈ T , i ∈ I avec I fini, alors ∩i∈IOi ∈ T .

Soit A ⊂ E. Un voisinage de A est un ensemble V contenant un ouvert qui contient A.Ainsi, un ouvert est un voisinage de chacun de ses points. L’interieur int(A) (et note

quelquefoisoA) de A est l’ensemble des points interieurs de A, c’est-a-dire dont A est un

voisinage. On verifie aisement que int(A) est l’union des ouverts de E contenus dans A.

Un ensemble F ⊂ E est appele ferme si c’est le complementaire d’un ouvert de E. Onverifie aisement que les fermes possedent les proprietes suivantes :

(i) les ensembles ∅ et E sont fermes,

(ii) si les ensembles Fi ⊂ E, i ∈ I, sont fermes alors ∩i∈IFi est ferme,

(iii) si les ensembles Fi, i ∈ I, avec I fini, sont fermes alors ∪i∈IFiest ferme.

Soit A ⊂ E. L’adherence de A est l’ensemble A des points de E adherents a A, c’est-a-dire dont tout voisinage intersecte A. On verifie aisement que l’adherence A de A dansE est l’intersection des fermes de E contenant A.

Un point x ∈ A est dit isole si il existe un voisinage V de x dans E tel que A∩ V = x.On dit que x ∈ A est un point d’accumulation de A si x n’est pas isole dans A etsi x est adherent a A. Par consequent, tout voisinage d’un point d’accumulation x de Acontient une point de A distinct de x.

Un ensemble A ⊂ E est dit dense dans E si A = E. Un espace topologique E est ditseparable si il contient un sous-ensemble denombrable et dense.

Le bord ∂A de A est la difference A \ intA.

16

Soit (E,T ) un espace topologique et A ⊂ E. La topologie induite TA par T sur A estla collection des traces O ∩A des ouverts O de E sur A.

Pour definir une topologie T sur un ensemble E, il est parfois malaise d’enumerer tousles elements de E. Une base d’une topologie T est un sous-ensemble B ⊂ T tel que toutelement de T peut s’ecrire comme l’union de certains elements de B. Comme une topologieest entierement determinee par l’une de ses bases, il suffit de decrire une base de topologiepour specifier une topologie sur un ensemble. Une collection B ⊂ 2E de parties de E estune base d’une topologie sur E si et seulement si

(i) tout element x ∈ E est contenu dans un element B ∈ B,

(ii) pour tout B1, B2 ∈ B, l’intersection B1 ∩B2 peut s’ecrire comme l’union de certainselements de B.

Soient (E1,T1) et (E2,T2). La topologie produit T sur E = E1 × E2 est la topologieayant pour base B = O1 ×O2 ⊂ E | O1 ∈ T1, O2 ∈ T2.

Soient T1 et T2 deux topologies sur un ensemble E. On dit que T1 est plus fine que T2 siT2 ⊂ T1. La topologie la plus fine sur E est la topologie discrete T = 2E , alors que latopologie la moins fine sur E est la topologie grossiere T = ∅, E.

La notion d’espace topologique generalise la notion d’espace metrique.

Exemple. Tout espace metrique (E, d) est un espace topologique. Il suffit de prendre lacollection des boules ouvertes pour d comme base Bd d’une topologie Td sur E. Il s’agit dela topologie utilisee sur un espace metrique, sauf mention explicite du contraire.

On verifie alors que

(i) toute boule ouverte (resp. fermee) est ouverte (resp. fermee),

(ii) si F ⊂ E et dF = d|F×F , la topologie induite TF par Td coıncide avec la topologieTdF

naturelle sur (F, dF ),

(iii) A ⊂ E est dense dans (E, d) si et seulement si A ⊂ E est dense dans (E,Td).

N

En revanche, les espaces topologiques sont bien plus generaux que les espaces metriques,car de nombreux espaces topologiques ne peuvent etre obtenus de cette maniere.

Definition 1.13. Un espace topologique E est dit Hausdorff ou separe si pour toutx, y ∈ E, il existe des voisinages disjoints pour x et y.

Tout espace metrique E est separe, car pour tout x, y ∈ E avec x 6= y, les boules ouvertesB(x, r) et B(y, r) sont disjointes des que r < 1

2d(x, y).

Exemples.

1. Si E est un espace topologique separe et A ⊂ E, alors la topologie induite sur A estseparee.

2. Le produit d’espaces topologiques separes est separe.

3. Si E contient plus qu’un point, la topologie grossiere sur E n’est pas separee.

4. La topologie de Zariski sur R est la collection des parties de R dont le complementaireest fini. Cette topologie n’est pas separee. N

17

1.2.2 Convergence et continuite

Definition 1.14. Une suite (xn)dans un espace topologique E est dite convergente si ilexiste x ∈ E tel que, pour tout voisinage V de x, il existe n0 ∈ N tel que xn ∈ V pourtout n ≥ n0. L’element x ∈ E est appele limite de la suite (xn). Si E est separe, la limited’une suite convergente dans E est unique.

Si E est un espace metrique, les notions de suite convergente au sens metrique (definition1.2) et au sens topologique (definition 1.14) coıncident. En revanche, la notion de suite deCauchy est de nature metrique, car elle n’a pas d’equivalent topologique.

Definition 1.15. Soit f : E → F une application entre deux espaces topologiques, et soitx ∈ E. On dit que f est continue en x si pour tout voisinage W de f(x) dans F , ilexiste un voisinage V de x dans E tel que f(V ) ⊂W . On dit que f est continue si f estcontinue en y pour tout y ∈ E.

Si E et F sont des espaces metriques, les notions de continuite au sens metrique (definition1.3) et au sens topologique (definition 1.15) coıncident. En revanche, la notion de continuiteuniforme est de nature metrique, car elle n’a pas d’equivalent topologique.

Proposition 1.16. Une application f : E → F entre deux espaces topologiques est conti-nue si et seulement si f−1(O) est ouvert dans E pour tout ouvert O de F .

Demonstration. Supposons que f est continue et O est un ouvert de F . Pour tout x ∈f−1(O), l’ouvert O est un voisinage de f(x). Par consequent, il existe un voisinage V dex tel que f(V ) ⊂ O, ou encore V ⊂ f−1(O). Donc f−1(O) est un voisinage de chacun deses points, autrement dit un ouvert.

Inversement, supposons que f−1(O) est ouvert dans E pour tout ouvert O de F . Soit x ∈ Eet soit W un voisinage de f(x) dans F . Alors W contient un ouvert O de F qui contientf(x), et f−1(W ) contient l’ouvert f−1(O) qui contient x. Autrement dit, V = f−1(O) estun voisinage de x tel que f(V ) ⊂W .

Une application bijective f : E → F entre espaces topologiques E et F telle que f etf−1 sont continues est appelee homeomorphisme. Une telle application induit donc unebijection entre les ouverts de E et ceux de F . Si il existe un homeomorphisme f : E → F ,les espaces topologiques E et F sont dits homeomorphes. De tels espaces topologiquessont alors tout-a-fait equivalents, car ils possedent exactement les meme proprietes.

Exemple. La sphere S2 = (x, y, z) ∈ R3 | x2+y2+z2 = 1 et l’ellipsoıde E = (x, y, z) ∈R3 | x2

a2 + y2

b2+ z2

c2= 1, munis de la topologie induite par la topologie naturelle sur R3,

sont des espaces topologiques homeomorphes. Par contre, avec la restriction de la distanceusuelle sur R3, ce ne sont pas des espaces metriques isometriques. N

Dans le cadre des espaces topologiques, la proposition 1.4 n’est plus vraie sans hypothesessupplementaires, mais il reste vrai que l’image par une application continue d’une suiteconvergente est convergente. Par consequent, la proposition 1.5 reste vraie pour des espacestopologiques separes.

18

1.2.3 Compacite

Un recouvrement d’un espace topologique E par des ouverts est une collection Ui, i ∈I d’ouverts Ui de E telle que ∪i∈IUi = E. Un sous-recouvrement d’un tel recouvrementest une sous-collection Ui, i ∈ I ′ avec I ′ ⊂ I telle que ∪i∈I′Ui = E. Ce sous-recouvrementest dit fini si l’ensemble I ′ est fini.

Definition 1.17. Un espace topologique E separe est dit compact si de tout recouvrementde E par des ouverts, on peut extraire un sous-recouvrement fini.

Soit A ⊂ E un sous-ensemble d’un espace topologique E. On dit que A est compact siA, muni de la topologie induite, est un espace topologique compact. On dit que A estrelativement compact si son adherence A ⊂ E est compacte.

Exemple. Dans Rn muni de sa topologie usuelle, les ensembles compacts sont exactementles ensembles fermes et bornes. N

Proposition 1.18. Soit f : E → F une application continue d’un espace topologiquecompact E vers un espace topologique separe F . Alors f(E) ⊂ F , muni de la topologieinduite, est compact.

Demonstration. Soit Ui, i ∈ I un recouvrement de f(E) par des ouverts. Il suffit d’enextraire un sous-recouvrement fini pour montrer que f(E) est compact. La collectionf−1(Ui), i ∈ I est un recouvrement de E par des ouverts. Comme E est compact, on peuten extraire un recouvrement fini f−1(Ui1), . . . , f

−1(Uik). Par consequent, Ui1 , . . . , Uik estun sous-recouvrement fini de f(E).

Proposition 1.19. Soit A ⊂ E un sous-ensemble ferme d’un espace topologique compact.Alors A, muni de la topologie induite, est compact.

Demonstration. Soit Ui, i ∈ I un recouvrement de A par des ouverts. Pour tout i ∈ I,il existe un ouvert Ui de E tel que Ui = Ui ∩ A. Comme A est ferme, la collectionUi, i ∈ I ∪ E \ A est un recouvrement de E par des ouverts. Comme E est compact,on peut extraire de cette collection un sous-recouvrement fini Ui1 , . . . , Uik ∪ E \ A.Par consequent, Ui1 , . . . , Uik recouvre A.

Enfin, on peut montrer que le produit de toute collection d’espaces topologiques compactsest encore un espace topologique compact.

Il existe d’autres notions de compacite, basees sur des proprietes fort utiles pour desespaces topologiques ou metriques.

Une sous-suite d’une suite (xn)n∈N dans un espace topologique E est une suite dans Ede la forme (xnk

)k∈N, ou (nk)k∈N est une suite strictement croissante dans N.

Definition 1.20. Un espace topologique separe E est dit sequentiellement compact sitoute suite (xn)n∈N dans E admet une sous-suite convergente.

19

Definition 1.21. Un espace metrique E est precompact si pour tout ǫ > 0 il existe unrecouvrement de E par un nombre fini de boules de rayon ǫ.

Exemples.

1. Un espace metrique discret E est precompact si et seulement si E est fini.

2. Un espace metrique compact est precompact. N

Pour le reste de cette section, on se restreindra aux espaces metriques.

Proposition 1.22. Soit E un espace metrique. Les proprietes suivantes sont equivalentes :

(i) E est compact ;

(ii) E est sequentiellement compact ;

(iii) E est precompact et complet.

Demonstration.(i) ⇒ (ii). Soit Fn l’adherence de l’ensemble xn, xn+1, . . . et F = ∩n∈NFn. Montrons parl’absurde que F 6= ∅.Si F = ∅, alors la collection d’ouverts E \Fn, n ∈ N forme un recouvrement de E par desouverts, dont on peut extraire un recouvrement fini E \ Fi1 , . . . E \ Fik avec i1 < . . . < ik.Par consequent, E = E \ Fik , ce qui est absurde, donc F n’est pas vide.Soit x ∈ F , autrement dit x est adherent a l’ensemble xn, xn+1, . . . pour tout n ∈ N.On definit inductivement une suite (nk)k∈N, en posant n1 = 1, puis en prenant pour nk leplus petit entier tel que nk > nk−1 et xnk

∈ B(x, 1k ). Un tel entier existe toujours puisque

x ∈ F . Alors la sous-suite (xnk)k∈N converge vers x.

(ii) ⇒ (iii). Montrons que E est complet. Toute suite de Cauchy (xn) dans E admet unesous-suite convergeant vers un certain x ∈ E. Mais comme (xn) est de Cauchy, l’inegalitetriangulaire implique qu’elle convergera alors elle-meme vers x.

Montrons ensuite par l’absurde que E est precompact. Supposons qu’il existe ǫ > 0 pourlequel E n’admet aucun recouvrement fini par des boules de rayon ǫ. On peut alors definirinductivement une suite (xn) dans E, en choisissant x1 ∈ E, puis xk /∈ ∪k−1

i=1B(xi, ǫ). Untel xk existe car ∪k−1

i=1B(xi, ǫ) 6= E en vertu de l’hypothese de contradiction. La suite (xn)possede alors la propriete d(xn, xm) > ǫ pour tout m,n ∈ N. Mais alors (xn) ne peutcontenir aucune sous-suite convergente.

(iii) ⇒ (i). Argumentant par contradiction, soit Ui, i ∈ I un recouvrement ouvert de Equi n’admet pas de sous-recouvrement fini. On peut alors definir inductivement une suite(xn) dans E de la maniere suivante.Soit B(y1,1,

12 ), . . . B(y1,N1

, 12) un recouvrement fini de E par des boules de rayon 1/2.

Pour un certain j ∈ 1, . . . , N1, la boule B(y1,j,12) ne peut etre recouverte par une sous-

collection finie de Ui, i ∈ I. On prend alors x1 = y1,j et on pose B1 = B(y1,j,12).

Pour k > 1, soit B(yk,1, 2−k), . . . , B(yk,Nk

, 2−k) un recouvrement fini de E par des boulesde rayon 2−k. Pour un certain j ∈ 1, . . . , Nk, l’ensemble B1∩ . . .∩Bk−1∩B(yk,j, 2

−k) nepeut etre recouvert par une sous-collection finie de Ui, i ∈ I. On prend alors xk = yk,j

et on pose Bk = B(yk,j, 2−k).

Par construction, la suite (xn) satisfait d(xk, xk+1) < 2−k + 2−(k+1) < 2−(k−1) et donc

20

d(xn, xn+k) < 2−(n−1) + . . . + 2−(n+k−2) < 2−(n−2). Par consequent, la suite (xn) est deCauchy ; soit x sa limite. Soit i ∈ I tel que x ∈ Ui. Alors B(x, δ) ⊂ Ui pour δ > 0suffisamment petit, de sorte que Bk ⊂ Ui pour k suffisamment grand. Mais ceci contreditla definition de Bk.

Cette proposition permet de mieux caracteriser les espaces metriques compacts. Remar-quons toutefois que, contrairement au cas de Rn, un ensemble ferme et borne dans unespace metrique plus general n’est pas toujours compact.

Exemples.

1. L’ensemble Q ∩ [0, 1] est ferme dans Q, mais pas compact car il n’est pas complet.

2. La boule unite fermee B(0, 1) dans un espace vectoriel de dimension infinie est borneemais pas compacte, car elle n’est pas precompacte. N

En revanche, tout ensemble compact dans un espace metrique est ferme et borne.

Proposition 1.23. Toute application continue f : E → F entre espaces metriques, avecE compact, est uniformement continue.

Demonstration. Comme f est continue, pour tout ǫ > 0, pour tout x ∈ E, il existe δ(x) > 0tel que d(x, y) < δ(x) implique d(f(x), f(y)) < ǫ/2. La collection des boules ouvertesB(x, δ(x)/2), x ∈ E forme un recouvrement ouvert de E, dont on peut extraire un recou-vrement fini B(x1, δ(x1)/2), . . . , B(xk, δ(xk)/2). Soit δ = minδ(x1)/2, . . . , δ(xk)/2 > 0.Pour tout x ∈ E, x ∈ B(xi, δ(xi)/2) de sorte que B(x, δ) ⊂ B(xi, δ(xi)) pour un certaini ∈ 1, . . . , k. Mais alors, pour tout y ∈ B(x, δ), on a d(f(y), f(xi)) < ǫ/2. Comme d’autrepart d(f(x), f(xi)) < ǫ/2, on en deduit que d(f(x), f(y)) < ǫ/2 + ǫ/2 = ǫ.

1.2.4 Theoreme de Baire

Nous terminons ce chapitre par une propriete topologique importante des espaces metri-ques complets.

Definition 1.24. Un sous-ensemble A ⊂ E d’un espace topologique E est dit nulle partdense si int(A) = ∅.

Theoreme 1.25 (Baire). Soit E un espace metrique complet. Si An, n ∈ N est unecollection denombrable de sous-ensembles An ⊂ E nulle part denses, alors

⋃

n∈N

An ( E.

Demonstration. Il suffit de montrer que l’intersection des ouverts denses Un = E \ An,n ∈ N, est non vide.Construisons par recurrence des elements xn ∈ E et ρn > 0 tels que ρn <

12n et B(xn, ρn) ⊂

Un ∩B(xn−1, ρn−1).Comme U0 est non vide, on peut choisir x0 ∈ U0. Soit ρ0 > 0 tel que ρ0 < 1 et B(x0, 2ρ0) ⊂

21

U0, de sorte que B(x0, ρ0) ⊂ U0.Pour n ≥ 0, etant donnes xn ∈ E et ρn > 0 comme ci-dessus, l’ouvert Un+1∩B(xn, ρn) estnon vide car Un+1 est dense. On peut donc choisir xn+1 ∈ Un+1∩B(xn, ρn), puis ρn+1 > 0tel que ρn+1 <

12n+1 et B(xn+1, ρn+1) ⊂ B(xn+1, 2ρn+1) ⊂ Un+1 ∩B(xn, ρn).

La suite (xn) est de Cauchy, car d(xn, xn+k) < ρn <12n pour tout n, k ≥ 0. Comme E est

complet, la suite (xn) converge vers x ∈ E. Comme xn+k ∈ B(xn, ρn) pour tout n, k ≥ 0,on a x ∈ B(xn, ρn) ⊂ Un pour tout n ≥ 0. L’intersection des Un est donc non vide.

Exercices sur le Chapitre 1

1. (a) Montrer que l’image d’une suite de Cauchy par une application continue entreespaces metriques n’est pas forcement une suite de Cauchy.

(b) Montrer qu’une application continue entre espaces metriques qui transformetoute suite de Cauchy en une suite de Cauchy n’est pas forcement uniformementcontinue.

2. Soit E un espace metrique et ∅ 6= A ⊂ E.

(a) Montrer que l’application dA : E → R : x 7→ d(x,A) est uniformement continue.

(b) Si A est compact, montrer que, pour tout x ∈ E, il existe y ∈ A tel qued(x,A) = d(x, y).

3. On considere l’ensemble B(X,R) des fonctions bornees sur un ensemble X.

(a) Definir sur B(X,R) une topologie pour laquelle la convergence est equivalentea la convergence simple (ou ponctuelle) des fonctions : fn → f ssi fn(x) → f(x)pour tout x ∈ X.

(b) Montrer que cette topologie est moins fine que la topologie induite par la norme‖ · ‖∞ sur B(X,R).

22

Chapitre 2

Espaces normes. Espaces de

Banach

“Mathematics is the most beautifuland most powerful creation of the human spirit.

Mathematics is as old as Man. ”Stefan Banach (1892 - 1945)

2.1 Espaces vectoriels

Pour la facilite du lecteur, nous commencons par les definitions de base pour les espacesvectoriels.

Definition 2.1. Un espace vectoriel V sur un corps K est un ensemble muni de deuxapplications : l’addition V × V → V : (v,w) 7→ v + w et la multiplication scalaireK × V → V : (k, v) 7→ kv, telles que

(i) (V,+) est un groupe commutatif,

(ii) 1 v = v,

(iii) c(v + w) = cv + cw,

(iv) (c1 + c2)v = c1v + c2v,

(v) c1(c2v) = (c1c2)v,

pour tout c, c1, c2 ∈ K et v,w ∈ V .

Exemples.

1. L’ensemble Kn, muni de l’addition (x1, . . . , xn)+(y1, . . . , yn) = (x1 +y1, . . . , xn +yn)et de la multiplication scalaire c(x1, . . . , xn) = (cx1, . . . , cxn), est un espace vectorielsur le corps K.

23

2. Soit X un ensemble et E un espace vectoriel sur K. L’ensemble EX des fonctionsde X dans E, muni de l’addition (f + g)(x) = f(x) + g(x) et de la multiplicationscalaire (cf)(x) = cf(x), est un espace vectoriel sur K. N

Les elements d’un espace vectoriel sont appeles vecteurs, alors que les elements de K sontappeles scalaires. Le neutre du groupe (V,+) est le vecteur nul, note 0.

Soit S ⊂ V . Une combinaison lineaire d’elements de S est un vecteur de V s’ecrivant

c1v1 + . . . + ckvk,

avec c1, . . . , ck ∈ K et v1, . . . , vk ∈ S. Insistons bien sur le fait qu’une combinaison lineairen’implique qu’un nombre fini de vecteurs.

L’ensemble S est appele partie generatrice de V si tout vecteur de V est une combi-naison lineaire d’elements de S. L’ensemble S est appele partie libre de V si, pour toutc1, . . . , ck ∈ K et v1, . . . , vk ∈ S, on a

c1v1 + . . .+ ckvk = 0 =⇒ c1 = . . . = ck = 0.

Les elements d’une partie libre sont dits lineairement independants.

Une base de V est une partie libre et generatrice de V . On montre que tout espace vectorieladmet une base, et que deux bases de V ont meme cardinal (il existe une bijection entreelles). La dimension de V , notee dimV , est le nombre d’elements d’une base de V .

Exemples.

1. La dimension de Kn, en tant qu’espace vectoriel sur K, est n. Mais la dimension deCn, en tant qu’espace vectoriel sur R, est 2n.

2. Soit X un ensemble de cardinal infini et E un espace vectoriel sur K. Alors l’espacevectoriel EX sur K est de dimension infinie. N

Un sous-espace vectoriel W de V est un sous-ensemble W ⊂ V qui est un espacevectoriel sur le meme corps que V . Soit S ⊂ V . L’espace vectoriel engendre par S estle plus petit sous-espace vectoriel de V contenant S ; on verifie aisement que c’est aussil’ensemble des combinaisons lineaires d’elements de S. Si W est un sous-espace vectorielde V , alors dimW ≤ dimV .

Definition 2.2. Une application A : V →W entre deux espaces vectoriels V et W sur lememe corps K est dite lineaire si

(i) A(v1 + v2) = A(v1) +A(v2),

(ii) A(cv) = cA(v),

pour tout c ∈ K et v, v1, v2 ∈ V .

Le noyau kerA d’une application lineaire A : V →W est defini par

kerA = v ∈ V | A(v) = 0.

C’est un sous-espace vectoriel de V . L’image imA de A est definie par

imA = Av ∈W | v ∈ V .

24

C’est un sous-espace vectoriel de W . Une application lineaire A : V →W est un isomor-phisme si A est bijective, ou de maniere equivalente si kerA = 0 et imA = W . L’inverseA−1 d’un isomorphisme A est encore un isomorphisme. Deux espaces vectoriels sont iso-morphes si il existe un isomorphisme entre eux. Deux espaces vectoriels isomorphes sonttout-a-fait equivalents, au sens ou ils possedent exactement les memes proprietes.

Exemples.

1. Tout espace vectoriel sur K de dimension finie n est isomorphe a Kn.

2. Toute application lineaire A : Kn → Km correspond a la donnee d’une matrice m×na coefficients dans K. N

Soient W1 et W2 deux sous-ensembles de V . La somme W1 +W2 de W1 et W2 est definiepar

W1 +W2 = w1 + w2 | w1 ∈W1, w2 ∈W2.Si W1 et W2 sont des sous-espaces vectoriels de V , leur somme W1 +W2 est le sous-espacevectoriel de V engendre par W1 ∪ W2. De plus, dim(W1 + W2) = dimW1 + dimW2 −dim(W1 ∩W2). Cette somme est dite directe et notee W1 ⊕W2 si de plus tout elementde W1 +W2 s’ecrit de maniere unique comme la somme w1 +w2 d’un element de w1 ∈W1

et d’un element de w2 ∈ W2, ou de maniere equivalente si W1 ∩W2 = 0. Dans ce cas,dim(W1 ⊕W2) = dimW1 + dimW2.

L’application lineaireP1 : W1 ⊕W2 →W1 : w1 + w2 7→ w1

est appelee projection sur W1 parallelement a W2. On definit P2 : W1 ⊕W2 → W2 demaniere analogue.

Si W1 ⊕W2 = V , on dit que W1 et W2 sont supplementaires algebriques. Dans ce cas,la codimension de W1 est la dimension de W2 et vice versa.

Soit W un sous-espace vectoriel de V et v ∈ V . La classe laterale v + W de v dans Vest l’ensemble

v +W = v + w | w ∈W.Ainsi, deux classes laterales v1 +W et v2 +W sont egales si et seulement si v1 − v2 ∈W .De plus, deux classes laterales de W qui ne sont pas egales sont disjointes, de sorte queles classes laterales de W forment une partition de V .

Le quotient V/W de V par W est l’ensemble des classes laterales de W dans V . C’estnaturellement un espace vectoriel, avec l’addition definie par

(v1 +W ) + (v2 +W ) = (v1 + v2) +W,

pour tout v1, v2 ∈ V , et la multiplication scalaire definie par

c(v +W ) = cv +W,

pour tout c ∈ K et v ∈ V . Si W est de dimension finie, alors dimV/W = dimV − dimW .

Proposition 2.3. Toute application lineaire A : V →W induit un isomorphisme

A : V/ kerA→ imA : v + kerA 7→ Av.

25

Demonstration. L’application A est bien definie, car si v+kerA = v′+kerA, alors v−v′ ∈kerA et donc A(v + kerA) = Av = Av′ +A(v − v′) = Av′ = A(v′ + kerA).

L’application A est lineaire car A((v + v′) + kerA) = A(v + v′) = Av + Av′ = A(v +kerA) + A(v′ + kerA).

L’application lineaire A est injective, car si A(v + kerA) = 0 alors Av = 0 donc v ∈ kerAet v + kerA = 0 + kerA ∈ V/ kerA.

Comme l’image de A coıncide avec celle de A, l’application lineaire A : V/ kerA → imAest un isomorphisme.

Soient V1 et V2 deux espaces vectoriels sur K. Alors leur produit V1 × V2 est egalementun espace vectoriel sur K, avec l’addition definie par

(v1, v2) + (v′1, v′2) = (v1 + v′1, v2 + v′2),

pour tout v1, v′1 ∈ V1, v2, v

′2 ∈ V2, et la multiplication scalaire definie par

c(v1, v2) = (cv1, cv2),

pour tout v1 ∈ V1, v2 ∈ V2 et c ∈ K. De plus, dim(V1 × V2) = dimV1 + dimV2.

Exemples.

1. Soient Y ⊂ X deux ensembles et E un espace vectoriel sur K. Soit V le sous-espacevectoriel de EX constitue des fonctions de X dans E s’annulant sur Y . Alors lequotient EX/V est isomorphe a EY .

2. Soient X1, X2 deux ensembles disjoints et E un espace vectoriel sur K. Alors leproduit EX1 × EX2 est isomorphe a EX1∪X2 . N

2.2 Espaces normes

2.2.1 Definitions

Dans la suite, le corps K designera R ou C, de sorte que pour tout c ∈ K, la notation |c|designera la valeur absolue ou le module de c respectivement.

Definition 2.4. Un espace norme est un espace vectoriel V sur un corps K muni d’unenorme, c’est-a-dire une application V → R+ : v 7→ ‖v‖ telle que

(i) si ‖v‖ = 0 alors v = 0,

(ii) ‖cv‖ = |c| ‖v‖,(iii) ‖v + w‖ ≤ ‖v‖ + ‖w‖,

pour tout c ∈ K et v,w ∈ V .

26

Exemples.

1. Pour 1 ≤ p ≤ ∞, on definit une norme ‖ · ‖p sur Kn par

‖x‖p =

(n∑

i=1

|xi|p) 1

p

, 1 ≤ p <∞,

‖x‖∞ = max1≤i≤n

|xi|,

pour tout x = (x1, . . . , xn) ∈ Kn.

2. Si E est un espace norme et 1 ≤ p ≤ ∞, on note par lp(E) l’espace vectoriel dessuites x = (xn)n∈N dans E (ou encore le sous-espace vectoriel de EN) telles que

‖x‖p =

( ∞∑

n=0

|xn|p) 1

p

<∞, 1 ≤ p <∞,

‖x‖∞ = supn∈N

|xn| <∞.

Alors lp(E) est un espace norme avec la norme ‖ · ‖p.

3. Si X est un ensemble et E est un espace norme, on note par B(X,E) l’ensembledes applications bornees de X vers E. Alors B(X,E) est un sous-espace vectoriel deEX . On definit une norme ‖ · ‖∞ sur B(X,E) a partir de la norme ‖ · ‖E sur E par

‖f‖∞ = supx∈X

‖f(x)‖E

pour tout f ∈ B(X,E). N

Une norme pour V permet de definir une distance d sur V par d(v,w) = ‖v − w‖. Ainsi,un espace norme est egalement un espace metrique (et donc aussi un espace topologique).Par ailleurs, un espace norme est un cas particulier pour la definition suivante.

Definition 2.5. Un espace vectoriel topologique est un espace vectoriel V sur le corpsK muni d’une topologie telle que

(i) l’addition V × V → V : (v,w) 7→ v + w est continue,

(ii) la multiplication scalaire K × V → V : (k, v) 7→ kv est continue.

Un sous-espace vectoriel de V , muni de la topologie induite, est encore un espace vectorieltopologique.

Proposition 2.6. L’adherence W d’un sous-espace vectoriel W de V est encore un sous-espace vectoriel.

Demonstration. Soient w ∈W , c ∈ K et (wn) une suite dans W convergeant vers w. Alorscwn ∈ W et limn→∞ cwn ∈ W . Par continuite de la multiplication scalaire, cette limites’ecrit egalement limn→∞ cwn = c limn→∞wn = cw de sorte que cw ∈W .

Soient w,w′ ∈ W et (wn), (w′n) deux suites dans W convergeant vers w et w′ respective-

ment. Alors wn + w′n ∈ W et limn→∞wn + w′

n ∈ W . Par continuite de l’addition, cettelimite s’ecrit egalement limn→∞wn + w′

n = limn→∞wn + limn→∞w′n = w + w′, de sorte

que w +w′ ∈W .

27

Soit S ⊂ V . L’espace vectoriel ferme engendre par S est le plus petit sous-espacevectoriel ferme de V contenant S. C’est aussi l’adherence de l’espace vectoriel engendrepar S.

Soient W1 et W2 deux sous-espaces vectoriels de V tels que W1 ∩W2 = 0. Leur sommeW1 +W2 est dite topologique et est notee W1⊕W2 si les projections P1 : W1 +W2 →W1

et P2 : W1 + W2 → W2 sont continues. Si V = W1 ⊕ W2, on dit que W1 et W2 sontsupplementaires topologiques. Dans ce cas, W1 et W2 sont necessairement fermes.

Exemples.

1. Tout sous-espace vectoriel de Kn est ferme. Plus generalement, tout sous-espacevectoriel de dimension finie dans un espace vectoriel topologique est ferme.

2. Si X est un espace topologique et E est un espace norme, on note par C0b (X,E)

l’ensemble des applications continues et bornees de X vers E. Alors C0b (X,E) est

un sous-espace vectoriel ferme dans B(X,E). N

2.2.2 Normes equivalentes

Definition 2.7. Deux normes ‖·‖1 et ‖·‖2 sur un espace vectoriel V sont dites equivalen-tes si il existe des constantes α, β > 0 telles que

α‖v‖1 ≤ ‖v‖2 ≤ β‖v‖1,

pour tout v ∈ V .

Soit Bi(x, r) = y ∈ V | ‖y − x‖i < r la boule ouverte de centre x ∈ V et de rayonr > 0 pour la norme ‖ · ‖i, avec i = 1, 2. La double inegalite dans la definition ci-dessusest equivalente a l’emboitement des boules suivantes :

B2(0, α) ⊂ B1(0, 1) ⊂ B2(0, β).

Ceci est illustre par la figure 2.1 pour les normes ‖x‖1 = |x1|+|x2| et ‖x‖2 =√

|x1|2 + |x2|2avec x = (x1, x2) ∈ R2.

B2(0, α)

B1(0, 1)

B2(0, β)

Fig. 2.1 – Emboitement de boules dans le plan.

Cette notion d’equivalence se justifie a la fois d’un point de vue topologique et d’un pointde vue metrique.

28

Proposition 2.8. Deux normes pour un espace vectoriel V sont equivalentes si et seule-ment si elles induisent la meme topologie sur V .

Demonstration. Noton encore Bi(x, r) = y ∈ V | ‖y−x‖i < r la boule ouverte de centrex ∈ V et de rayon r > 0 pour la norme ‖ · ‖i, avec i = 1, 2.

Si les normes ‖ · ‖1 et ‖ · ‖2 sont equivalentes, il suffit de montrer que toute boule ouvertecentree a l’origine pour ‖ · ‖1 est un ouvert pour ‖ · ‖2 et vice versa. Soit x ∈ B1(0, r), etposons s = ‖x‖1 < r. Alors B2(x, α(r − s)) ⊂ B1(0, r). En effet, si ‖y − x‖2 < α(r − s),alors ‖y − x‖1 < r − s et ‖y‖1 ≤ ‖x‖1 + ‖y − x‖1 < r.

Inversement, si les normes ‖ · ‖1 et ‖ · ‖2 induisent la meme topologie sur V , alors B1(0, 1)est un voisinage de l’origine pour la topologie induite par ‖ · ‖2. Par consequent, il existeβ > 0 satisfaisant B2(0,

2β ) ⊂ B1(0, 1). Par consequent, pour tout r > 0, on a B2(0, 2r) ⊂

B1(0, βr), et donc si ‖x‖2 = r alors ‖x‖1 < βr = β‖x‖2. L’autre inegalite s’obtient enechangeant les roles des normes ‖ · ‖1 et ‖ · ‖2.

D’autre part, si deux normes pour un espace vectoriel V sont equivalentes, toute suitequi est de Cauchy pour l’une de ces normes est egalement de Cauchy pour l’autre norme.De meme, une fonction uniformement continue pour l’une de ces normes est egalementuniformement continue pour l’autre norme.

Les considerations ci-dessus sont sans importance dans le cas des espaces vectoriels dedimension finie.

Theoreme 2.9. Sur un espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont equiva-lentes.

Demonstration. Prenons V = Kn, muni de la base canonique e1, . . . , en. Pour tout x =∑ni=1 xiei ∈ Kn, on definit ‖x‖∞ = max1≤i≤n |xi|. Alors ‖ · ‖∞ est une norme sur Kn et il

suffit de montrer que toute norme ‖ · ‖ sur Kn lui est equivalente.

Pour tout x =∑n

i=1 xiei ∈ Kn, on a

‖x‖ = ‖n∑

i=1

xiei‖

≤n∑

i=1

|xi|‖ei‖

≤ β‖x‖∞,

ou on a pose β =∑n

i=1 ‖ei‖ > 0. En particulier, l’application N : V → R+ : x 7→ ‖x‖ estcontinue.

L’ensemble S = x ∈ Kn | ‖x‖∞ = 1 est un compact. Comme N est continue sur S etne s’y annule pas, il existe α > 0 tel que N(x) ≥ α pour tout x ∈ S. Autrement dit, si‖x‖∞ = 1 alors ‖x‖ ≥ α = α‖x‖∞.

29

Les espaces normes de dimension finie jouissent donc de proprietes bien plus agreablesque ceux de dimension infinie. En fait, les espaces normes de dimension finie peuvent etrecaracterises parmi tous les espaces normes au moyen d’une propriete topologique de sesparties bornees. Pour montrer cela, nous avons besoin du lemme suivant.

Lemme 2.10 (Riesz). Soit V un espace norme et F ( V un sous-espace vectoriel fermede V . Alors, pour tout ǫ > 0, il existe v ∈ V tel que ‖v‖ = 1 et ‖v − x‖ ≥ 1 − ǫ pour toutx ∈ F .

Demonstration. Soit w ∈ V \F . Comme F est ferme, d = d(w,F ) > 0. Choisissons x0 ∈ Ftel que

d ≤ ‖w − x0‖ ≤ d

1 − ǫ.

Alors v = w−x0

‖w−x0‖ convient. En effet, pour tout x ∈ F ,

‖v − x‖ = ‖ w − x0

‖w − x0‖− x‖ =

1

‖w − x0‖‖w − (x0 + ‖w − x0‖x)‖ ≥ 1 − ǫ

dd,

puisque x0 + ‖w − x0‖x ∈ F .

Theoreme 2.11 (Riesz). Un espace norme V est de dimension finie si et seulement sila boule unite BV (0, 1) est compacte.

Demonstration. Si V est de dimension finie, comme la boule unite BV (0, 1) est bornee etfermee, elle est compacte.

Si V est de dimension infinie, il existe collection infinie de sous-espaces vectoriels Vn,n = 1, 2, . . ., de dimension finie tels que Vn ( Vn+1. En appliquant le lemme 2.10 ausous-espace ferme Vn ⊂ Vn+1 avec ǫ = 1

2 , on obtient vn+1 ∈ Vn+1 ∩ BV (0, 1) tel qued(vn+1, Vn) > 1

2 . En particulier, ‖vn+k − vn‖ > 12 , de sorte que l’on ne peut extraire

aucune sous-suite convergente de la suite (vn) dans BV (0, 1). Par consequent, BV (0, 1)n’est pas compacte.

2.2.3 Applications lineaires bornees

Definition 2.12. Une application lineaire A : V → W entre deux espaces normes est ditebornee si il existe une constante α > 0 telle que

‖Av‖W ≤ α‖v‖V ,

pour tout v ∈ V .

Proposition 2.13. Soit A : V → W une application lineaire entre espaces normes. Lesproprietes suivantes sont equivalentes :

(i) A est bornee ;

(ii) A est uniformement continue ;

30

(iii) A est continue ;

(iv) A est continue en un point v0 ∈ V ;

(v) A est continue a l’origine ;

(vi) l’image par A de tout sous-ensemble borne de V est bornee dans W ;

(vii) l’image par A de toute suite bornee dans V est bornee dans W .

Demonstration. Les implications (ii) ⇒ (iii), (iii) ⇒ (iv) et (vi) ⇒ (vii) sont evidentes.L’implication (iv) ⇒ (v) est une consequence immediate de la linearite de A.

(i) ⇒ (ii). Si A est bornee, alors il existe α > 0 tel que ‖Av‖W ≤ α‖v‖V pour toutv ∈ V . Par consequent, pour tout ǫ > 0, si v1, v2 ∈ V avec ‖v1 − v2‖V < ǫ/α, alors‖Av1 −Av2‖W < ǫ comme souhaite.

(v) ⇒ (i). Si A est continue a l’origine, il existe α > 0 tel que A(BV (0, α−1)) ⊂ BW (0, 1).Autrement dit, si ‖v‖V = α−1k avec k ∈ [0, 1], alors ‖Av‖W ≤ k = α‖v‖V .

(i) ⇒ (vi). Si ‖Av‖W ≤ α‖v‖V pour tout v ∈ V et ‖v‖V ≤M , alors ‖Av‖W ≤ αM .

(vii) ⇒ (i). Supposons par contradiction que A n’est pas bornee. Pour tout n ∈ N, ilexiste donc vn ∈ V tel que ‖Avn‖W > n‖vn‖V . Par consequent, l’image de la suite borneevn/‖vn‖V n’est pas bornee dans W , une contradiction.

La norme ‖A‖ d’une application lineaire bornee A : V →W est definie par

‖A‖ = supv∈Vv 6=0

‖Av‖‖v‖ .

Proposition 2.14. Soient U , V et W des espaces normes ; soient A : U → V , B : V →Wet C : V →W des applications lineaires bornees. Alors

(i) ‖B + C‖ ≤ ‖B‖ + ‖C‖,(ii) ‖B A‖ ≤ ‖B‖ ‖A‖.

Demonstration.

(i) Par l’inegalite triangulaire, on a

‖B + C‖ = supv∈Vv 6=0

‖(B + C)v‖‖v‖ ≤ sup

v∈Vv 6=0

‖Bv‖‖v‖ + sup

v∈Vv 6=0

‖Cv‖‖v‖ = ‖B‖ + ‖C‖.

(ii) Pour tout v ∈ V , on a ‖Bv‖ ≤ ‖B‖ ‖v‖. Par consequent,

‖B A‖ = supv∈Vv 6=0

‖B Av‖‖v‖ ≤ sup

v∈Vv 6=0

‖B‖‖Av‖‖v‖ = ‖B‖ ‖A‖.

31

Proposition 2.15. Une application lineaire A : V → W surjective possede un inverseborne A−1 : W → V si et seulement si il existe une constante m > 0 telle que

‖Av‖W ≥ m‖v‖V , (2.1)

pour tout v ∈ V . Dans ce cas, ‖A−1‖ ≤ 1m .

Demonstration. Si (2.1) est satisfaite, A est injective car ‖Av‖W = 0 implique ‖v‖V = 0.Donc A−1 existe. En posant w = Av, l’equation (2.1) devient

‖w‖W ≥ m‖A−1w‖V ,

de sorte que ‖A−1‖ ≤ 1m .

Inversement, si A−1 existe et est borne, on a

‖A−1w‖W ≤ ‖A−1‖‖w‖W ,

pour tout w ∈W . En posant v = A−1w, ceci devient (2.1) avec m = 1‖A−1‖ .

Exemples.

1. Toute application lineaire A : Km → Kn est bornee, quelles que soient les normessur Km et Kn.

2. Soit X un ensemble, E un espace norme sur K et f ∈ B(X,K). On definit uneapplication lineaire Mf : B(X,E) → B(X,E) par Mfg = fg pour tout g ∈ B(X,E).Alors Mf est bornee et ‖Mf‖ = ‖f‖.Si de plus il existe m > 0 tel que |f(x)| ≥ m pour tout x ∈ X, alors Mf possede uninverse M−1

f = Mf−1 et ‖M−1f ‖ ≤ 1

m . N

2.2.4 Operateurs lineaires

Pour generaliser la notion d’application lineaire, nous allons maintenant considerer cer-taines fonctions entre espaces normes qui ne sont pas definies sur tout l’espace norme dedepart.

Definition 2.16. Un operateur lineaire T entre deux espaces normes E et F est uneapplication lineaire T : D(T ) ⊂ E → F definie sur un sous-espace vectoriel D(T ) ⊂ Eappele domaine de T .

Le graphe G(T ) d’un operateur lineaire T : D(T ) ⊂ E → F est le sous-espace vectorielde E × F defini par

G(T ) = (x, Tx) ∈ E × F | x ∈ D(T ).Definition 2.17. On dit qu’un operateur lineaire T : D(T ) ⊂ E → F est borne si ilexiste une constante α > 0 telle que

‖Tv‖W ≤ α‖v‖V ,

pour tout v ∈ D(T ).

32

On peut toujours remplacer l’etude d’un operateur lineaire borne T : D(T ) ⊂ E → F parcelle de l’application lineaire bornee A : D(T ) → F : v 7→ Tv, ou l’espace vectoriel D(T )est muni de la norme induite par E. Par consequent, toutes les proprietes des applicationslineaires bornees s’appliquent aux operateurs lineaires bornes.

Theoreme 2.18. Soit T : D(T ) ⊂ E → F un operateur lineaire borne. Si F est complet,alors T possede une unique extension lineaire bornee T : D(T ) ⊂ E → F . De plus,‖T‖ = ‖T‖.

Demonstration. La definition de T est semblable a celle de f dans la preuve de la proposi-tion 1.10. Soit v ∈ D(T ) et soit (vn) une suite dans D(T ) qui converge vers v. Alors (Tvn)est une suite de Cauchy dans F . En effet,

‖Tvn − Tvm‖ ≤ ‖T‖ ‖vn − vm‖ → 0, n,m→ ∞.

Comme F est complet, cette suite est convergente. On verifie aisement que la limite nedepend pas du choix de la suite (vn) convergeant vers v. On peut donc definir T : D(T ) ⊂E → F par

Tv = limn→∞

Tvn.

Cette application est lineaire car T l’est. De plus,

‖Tv‖ = limn→∞

‖Tvn‖ ≤ ‖T‖ limn→∞

‖vn‖ = ‖T‖ ‖v‖

pour tout v ∈ D(T ), de sorte que ‖T ‖ ≤ ‖T‖. Une telle extension continue de T est uniquepar la proposition 1.5. Enfin, on a

‖T‖ = supv∈D(T )

v 6=0

‖Tv‖‖v‖ ≥ sup

v∈D(T )v 6=0

‖Tv‖‖v‖ = ‖T‖,

de sorte que ‖T‖ ≥ ‖T‖. Donc ‖T‖ = ‖T‖.

Un operateur lineaire qui n’est pas borne ne s’etend en general pas a l’adherence de sondomaine. Un cas tres interessant en pratique est celui des operateurs lineaires non bornesdont le domaine est dense dans l’espace norme de depart.

Exemple. Considerons l’operateur lineaire

px : D(px) ⊂ C0b (R3,C) → C0

b (R3,C) : f 7→ −i~ ∂

∂xf

ayant pour domaine D(px) l’espace vectoriel C1b (R3,C) des fonctions differentiables bornees

et de differentielle bornee. Le domaine D(px) est dense dans C0b (R3,C) et l’operateur px

n’est pas borne pour la norme ‖ ·‖∞ sur C0b (R3,C) car ‖px sinnx‖∞ → ∞ lorsque n→ ∞.

Cet operateur apparaıt naturellement en mecanique quantique, mais sur un espace normeplus grand que C0

b (R3,C).

33

Remarquons que cet operateur lineaire peut aussi etre considere comme une applicationlineaire

p′x : C1b (R3,C) → C0

b (R3,C) : f 7→ −i~ ∂

∂xf

qui est bornee pour la norme ‖f‖1,∞ = ‖f‖∞ + ‖∂f∂x‖∞ + ‖∂f

∂y ‖∞ + ‖∂f∂z ‖∞ sur C1

b (R3,C).Ce point de vue n’est pas toujours utile, car on s’interesse en mecanique quantique auxvaleurs propres de tels operateurs. Or, pour les etudier, il faut garder espace de depart etd’arrivee identiques. N

2.3 Espaces de Banach

2.3.1 Definition

Definition 2.19. Un espace de Banach est un espace norme complet.

Exemples.

1. Par le theoreme 2.9, tout espace norme de dimension finie est un espace de Banach.

2. Si E est un espace de Banach et 1 ≤ p ≤ ∞, alors lp(E), muni la norme ‖ · ‖p, estun espace de Banach.

3. Soit X un ensemble et E est un espace de Banach. L’espace vectoriel B(X,E), munide la norme ‖ · ‖∞, est un espace de Banach.Si de plus X est un espace topologique, alors C0

b (X,E) muni de la norme induitepar ‖ · ‖∞ (que l’on notera encore ‖ · ‖∞) est aussi un espace de Banach.

4. Soit 1 ≤ p < ∞ ; l’espace vectoriel des fonctions f : Rn → K continues telles que∫Rn |f(x)|pdx <∞ peut etre muni de la norme

‖f‖p =

(∫

Rn

|f(x)|pdx) 1

p

.

La completion de cet espace norme est un espace de Banach note Lp(Rn,K). N

2.3.2 Theoremes de l’application ouverte et du graphe ferme

Theoreme 2.20 (Theoreme de l’application ouverte). Soient V et W deux espacesde Banach et soit A : V → W une application lineaire bornee et surjective. Alors l’imagepar A d’un ouvert de V est un ouvert de W .

Demonstration. Il suffit de montrer que l’image par A de BV (0, 1) contient BW (0, r)lorsque r > 0 est suffisamment petit. Commencons par montrer qu’il existe r > 0 telque

BW (0, 2r) ⊂ A(BV (0, 1)). (2.2)

34

Posons Wn = A(BV (0, n)), de sorte que ∪n>0Wn = W . Par le theoreme de Baire, il existedonc n0 > 0 tel que int(Wn0

) 6= ∅. Par consequent, int(A(BV (0, 1))) 6= ∅, et il existe r > 0et y ∈ W tels que BW (y, 4r) ⊂ A(BV (0, 1)). Par symetrie, on a −y ∈ A(BV (0, 1)), desorte que

BW (0, 4r) = −y +BW (y, 4r) ⊂ A(BV (0, 1)) +A(BV (0, 1)) = A(BV (0, 2)).

Montrons ensuite queBW (0, r) ⊂ A(BV (0, 1)).

Fixons y ∈ BW (0, r) et cherchons par approximation successives un element x ∈ BV (0, 1)tel que Ax = y. Pour cela, construisons par recurrence une suite (zn) dans V telle quezn ∈ BV (0, 1

2n ) et ‖y −A(z1 + . . . + zn)‖W < r2n .

En vertu de (2.2), pour tout y ∈ BW (0, rL), pour tout ǫ > 0, il existe z ∈ BV (0, 12L) tel

que ‖y −Az‖W < ǫ. Soit z1 ∈ BV (0, 12) un tel vecteur pour y = y ∈ BW (0, r) et ǫ = r

2 .Lorsque k > 1 et L = 1

2k−1 , soit zk ∈ BV (0, 12k ) un tel vecteur pour

y = y −A(z1 + . . .+ zk−1) ∈ BW (0,r

2k−1)

et ǫ = r2k .

La suite xn = z1 + . . .+ zn est de Cauchy dans V , car

‖xn+k − xn‖V ≤n+k∑

i=n+1

‖zi‖V <1

2n.

Soit x ∈ V la limite de la suite (xn). Alors ‖x‖V = limn→∞ ‖xn‖V < 1 et comme A estcontinue, ‖y − Ax‖W = limn→∞ ‖y − Axn‖W = 0, de sorte que x ∈ V est bien l’elementrecherche.

Corollaire 2.21. Soient V et W deux espaces de Banach et soit A : V → W une appli-cation lineaire continue et bijective. Alors A−1 est egalement continue.

Theoreme 2.22 (Theoreme du graphe ferme). Soient V et W deux espaces de Banachet soit A : V → W une application lineaire. Si le graphe G(A) de A est ferme dans V ×W ,alors A est continue.

Bien entendu, la reciproque est egalement vraie, puisque toute fonction continue a ungraphe ferme.

Demonstration. L’espace vectoriel V est muni de la norme ‖ · ‖1 = ‖ · ‖V qui en fait unespace de Banach. On peut definir une autre norme ‖ · ‖2 sur V par

‖v‖2 = ‖v‖V + ‖Av‖W ,

pour tout v ∈ V . Verifions que V , muni de la norme ‖·‖2, est encore un espace de Banach.Soit (vn) une suite de Cauchy pour ‖ · ‖2. Comme ‖v‖1 ≤ ‖v‖2 pour tout v ∈ V , la suite(vn) dans V est de Cauchy pour ‖ · ‖1. De meme, comme ‖Av‖W ≤ ‖v‖2 pour tout v ∈ V ,

35

la suite (Avn) dans W est de Cauchy pour ‖·‖W . Comme V et W sont complets, ces suitesconvergent respectivement vers v ∈ V et w ∈ W . Comme G(A) est ferme, (v,w) ∈ G(A)de sorte que w = Av. Par consequent, la suite (vn) converge vers v au sens de la norme‖ · ‖2, comme desire.

L’inegalite ‖v‖1 ≤ ‖v‖2 pour tout v ∈ V signifie egalement que l’application lineairesurjective

I : (V, ‖ · ‖2) → (V, ‖ · ‖1) : v 7→ v

entre espaces de Banach est bornee. Par le theoreme de l’application ouverte, il existe c > 0tel que ‖v‖2 ≤ c‖v‖1 pour tout v ∈ V . Les normes ‖ · ‖1 et ‖ · ‖2 sont donc equivalentes.En particulier, on a ‖Av‖W ≤ (c− 1)‖v‖V comme souhaite.

2.3.3 Projecteurs

Definition 2.23. Un projecteur P sur un ensemble V est une application P : V → Vidempotente, c’est-a-dire telle que P 2 = P .

Nous nous interesserons particulierement aux projecteurs lineaires bornes sur un espacede Banach V .

Proposition 2.24. Soit V un espace de Banach et P un projecteur lineaire borne sur V .Alors

(i) I − P est aussi un projecteur lineaire borne,

(ii) imP = ker(I − P ) et kerP = im(I − P ),

(iii) V = kerP ⊕ imP ,

(iv) kerP et imP sont des sous-espaces vectoriels fermes de V ,

(v) si P 6= 0, alors ‖P‖ ≥ 1.

Demonstration.

(i) (I − P )2 = I − 2P + P 2 = I − P .

(ii) x ∈ imP ssi x = Px, car x = Py implique Px = P 2y = Py = x. Or, x = Px ssix ∈ ker(I − P ). La deuxieme relation s’obtient en remplacant P par I − P dans lapremiere.

(iii) V = imP + im(I − P ) car tout v ∈ V se decompose en v = Pv + (I − P )v. Cettesomme est directe car imP ∩ im(I − P ) = imP ∩ kerP = 0. En effet, si y = Pxet Py = 0 alors 0 = P 2x = Px = y. Enfin, cette somme est topologique car P estcontinu.

(iv) kerP est ferme car P est continu, et de meme pour imP = ker(I − P ).

(v) ‖P‖ = ‖P 2‖ ≤ ‖P‖2.

36

Inversement, si un espace vectoriel V est une somme directe V = W1 ⊕ W2, alors laprojection P1 : V → W1 parallelement a W2 et la projection P2 : V → W2 parallelementa W1 sont des projecteurs lineaires tels que P1 + P2 = I.

Proposition 2.25. Soient W1 et W2 des sous-espaces vectoriels fermes dans un espace deBanach V . Si W1 et W2 sont supplementaires algebriques, alors les projecteurs lineairesP1 et P2 sont bornes. En particulier, W1 et W2 sont supplementaires topologiques.

Demonstration. Il suffit de prouver que P1 est borne, la preuve pour P2 etant identique.Soit (vn, P1vn) une suite dansG(P1) convergeant vers (v,w) ∈ V ×V . CommeW1 est fermeet P1vn ∈ W1, on doit avoir w ∈ W1. De plus, comme W2 est ferme et vn − P1vn ∈ W2,on a v − w ∈ W2, de sorte que P1(v − w) = 0. Par consequent, P1v = P1w = w et(v,w) = (v, P1v) ∈ G(P1). Donc G(P1) est ferme et, par le theoreme du graphe ferme, P1

est borne.

2.4 Fonctionnelles lineaires et dualite

Definition 2.26. Une fonctionnelle lineaire sur un espace vectoriel V sur un corps K estune application lineaire f : V → K.

Proposition 2.27. Soit f : V → K une fonctionnelle lineaire non identiquement nulle.Le noyau H = ker f de f est un sous-espace vectoriel de codimension 1 dans V . Si f estcontinue, H est ferme, sinon H est dense dans V .

Demonstration. Soit a ∈ V tel que f(a) 6= 0, et soit Ka ⊂ V le sous-espace vectorielengendre par v. Alors H ⊕ Ka = V . En effet, pour tout v ∈ V , on peut ecrire v = v1 + v2avec v2 = f(v)

f(a)a ∈ Ka et v1 = v − v2 ∈ H. Comme H ∩ Ka = 0, on a bien une sommedirecte et H est de codimension 1.

Comme H ⊂ H ⊂ V , on a soit H = H, soit H = V . Il ne reste plus qu’a montrer que fest continue si et seulement si H est ferme.

Si f est continue, H = f−1(0) est ferme car c’est l’image inverse du ferme 0 par fcontinue.

Inversement, si H est ferme alors a+H ⊂ V l’est aussi. Comme 0 /∈ a+H, il existe r > 0tel que B(0, r) ∩ (a+H) = ∅. Par consequent, pour tout v ∈ B(0, r), on a |f(v)| < 1. Eneffet, si f(v) = α > 1 alors v

α ∈ B(0, r) ∩ (a+H). On a donc montre que si ‖v‖ < r alors|f(v)| < 1, c’est-a-dire que f est bornee.

L’ensemble des fonctionnelles lineaires sur un espace vectoriel V est un espace vectorielappele dual algebrique de V , que l’on note V ∗.

Soit V un espace vectoriel topologique. L’ensemble des fonctionnelles lineaires continuessur V est un espace vectoriel appele dual topologique de V , que nous noterons V ′.

37

Lorsque V est de dimension finie, les notions de dual algebrique et topologique coıncident,puisque toute fonctionnelle lineaire est bornee dans ce cas. C’est pourquoi on parle alorssimplement de dual.

La norme des operateurs devient, dans le cas d’une fonctionnelle lineaire continue, la norme

‖f‖V ′ = supv∈Vv 6=0

|f(v)|‖v‖V

,

appelee norme duale. L’espace vectoriel V ′, muni de la norme duale, est un espace norme.

La dualite entre les espaces normes V et V ′ s’exprime par la forme bilineaire canonique

〈·, ·〉 : V ′ × V → K

definie par 〈f, v〉 = f(v). Il s’agit bien d’une application a la fois lineaire en f ∈ V ′ et env ∈ V . Par ailleurs, la definition de la norme duale donne

|〈f, v〉| = |f(v)| ≤ ‖f‖V ′‖v‖V , (2.3)

pour tout f ∈ V ′ et v ∈ V .

Bien que la relation de dualite entre V et V ′ semble symetrique, le dual topologique V ′

possede en general de meilleures proprietes que l’espace V original.

Proposition 2.28. Pour tout espace norme V , le dual topologique V ′ est un espace deBanach.

Demonstration. Soit (fn) une suite de Cauchy dans V ′. Pour tout v ∈ V , on a

|fn(v) − fm(v)| = |〈fn − fm, v〉| ≤ ‖fn − fm‖V ′‖v‖V ,

de sorte que fn(v) est une suite de Cauchy dans R. On peut donc definir une applicationf : V → R par

f(v) = limn→∞

fn(v),

pour tout v ∈ V . Clairement, f est lineaire. D’autre part, f est bornee. En effet, pour toutv ∈ V , on a

|f(v)| = limn→∞

|fn(v)| ≤ limn→∞

‖fn‖V ′‖v‖V .

Comme la suite (fn) est de Cauchy, elle est bornee et limn→∞ ‖fn‖V ′ = α <∞.

Verifions maintenant que la suite (fn) converge vers f dans V ′. Pour tout ǫ > 0 il existeN ∈ N tel que si m,n > N , alors ‖fn − fm‖V ′ < ǫ. Par consequent,

|fn(v) − fm(v)| ≤ ǫ‖v‖V ,

pour tout v ∈ V . En faisant tendre m vers l’infini dans cette inegalite, on obtient

|fn(v) − f(v)| ≤ ǫ‖v‖V ,

de sorte que ‖f − fn‖V ′ → 0 lorsque n→ ∞.

38

Le dual topologique de V ′, note V ′′, est appele bidual de V . Pour tout v ∈ V , on peutdefinir une fonctionnelle lineaire continue V ′ → K : f 7→ 〈f, v〉 = f(v). En vertu del’equation (2.3), la norme de cette fonctionnelle est donnee par ‖v‖. Modulo l’identificationde v avec cette fonctionnelle, on a donc une inclusion V ⊂ V ′′.

Contrairement a ce qui se passe en dimension finie, il n’est pas toujours vrai que V = V ′′.On dit qu’un espace de Banach V est reflexif si V = V ′′ (en effet, un espace norme quin’est pas de Banach ne peut avoir cette propriete, au vu de la proposition 2.28).

2.5 Topologies faibles

Nous aurons quelquefois besoin de considerer des suites divergentes, mais qui convergentdans un sens plus faible.

Definition 2.29. Une suite (xn) dans un un espace norme V converge faiblement versx ∈ V si, pour tout f ∈ V ′, la suite f(xn) converge vers f(x) ∈ R.

Cette notion de convergence vient en fait d’une topologie sur V , definie autrement qu’avecles boules ouvertes.

Definition 2.30. La topologie faible ou topologie σ(V, V ′) sur un espace norme V estla topologie la moins fine rendant continues les fonctionnelles lineaires f ∈ V ′.

On peut verifier qu’une base de la topologie faible est donnee par les intersections finiesd’ensembles de la forme f−1(I), ou f ∈ V ′ et I ⊂ K est un ouvert.

La topologie habituelle sur V , ayant pour base les boules ouvertes, est parfois appeleetopologie forte, pour bien la distinguer de la topologie faible. De meme, la notion deconvergence habituelle (definition 1.2) est appelee convergence forte. La definition 2.30implique que la topologie faible est moins fine que la topologie forte. En particulier, toutesuite fortement convergente est faiblement convergente.

On peut definir une topologie encore plus faible que la topologie faible, sur certains espacesnormes.

Definition 2.31. Soit V un espace norme. La topologie faible ∗ ou topologie σ(V ′, V )sur l’espace norme V ′ est la topologie la moins fine rendant continues les fonctionnelleslineaires v ∈ V ⊂ V ′′.

Comme V ⊂ V ′′, la topologie σ(V ′, V ) est plus faible que la topologie σ(V ′, V ′′). Bienentendu, si V est un espace de Banach reflexif, ces deux topologies coıncident. De plus, endimension finie, les trois topologies sont identiques.

Proposition 2.32. Soit V un espace norme de dimension finie. Alors la topologie faibleest identique a la topologie forte.

39

Demonstration. Il suffit de montrer que toute boule ouverte est un ensemble ouvert pourla topologie faible. En vertu du theoreme 2.9, on peut se restreindre a Kn muni de lanorme ‖ · ‖∞. Considerons les fonctionnelles lineaires continues

fi : Kn → K : x = (x1, . . . , xn) 7→ xi, i = 1, . . . , n,

formant la base duale de la base canonique de Kn. Alors on a

B(x, r) =

n⋂

i=1

f−1i (]xi − r, xi + r[)

comme souhaite.

On peut montrer que les topologies faible et faible ∗ sont separees. En particulier, la limited’une suite faiblement convergente est unique.

On peut se demander pourquoi on s’acharne a rendre moins fine la topologie d’un espacenorme de dimension infinie. La raison est qu’une topologie possedant moins d’ouvertspossede plus de compacts. Or, ceux-ci permettent d’obtenir des suites convergentes. Ainsi,on peut montrer que, en contraste avec le theoreme de Riesz, la boule unite BV ′(0, 1) del’espace norme V ′ est compacte pour la topologie faible ∗.

2.6 Espaces d’operateurs

Soient V et W deux espaces normes. On note par L(V,W ) l’ensemble des applicationslineaires bornees de V dans W . Muni de la norme des application lineaires, il s’agit encoreun espace norme. Lorsque V = W , l’espace L(V, V ) est note plus simplement L(V ).

Proposition 2.33. Soient V et W des espaces normes. Si W est un espace de Banach,alors L(V,W ) est egalement un espace de Banach.

Demonstration. Il suffit de transcrire la preuve de la proposition 2.28, en remplacant K

par W et f ∈ V ′ par A ∈ L(V,W ).

La topologie induite par la norme des applications lineaires est appelee topologie uni-forme.On dit qu’une suite (An) dans L(V,W ) converge uniformement vers A ∈ L(V,W ) silimn→∞ ‖An −A‖ = 0, c’est-a-dire si (An) converge vers A pour la topologie uniforme.Soit X un espace topologique ; on dit qu’une fonction A : X → L(V,W ) est uni-formement continue en x0 ∈ X si ‖A(x) − A(x0)‖ → 0 lorsque x → x0 dans X,c’est-a-dire si A est continue pour la topologie uniforme sur L(V,W ).

On peut definir naturellement deux topologies sur L(V,W ) qui sont plus faibles que latopologie uniforme. Ces topologies sont utiles car la convergence uniforme des operateursest tres restrictive.

40

La topologie operateur forte (ou simplement topologie forte si il n’y a pas de risquede confusion) est la topologie la plus faible sur L(V,W ) pour laquelle les applicationslineaires L(V,W ) →W : A 7→ Av sont continues, pour tout v ∈ V .La convergence dans L(V,W ) pour cette topologie est appelee convergence forte. Ainsi,une suite (An) dans L(V,W ) converge fortement vers A ∈ L(V,W ) si, pour tout v ∈ V ,‖Anv −Av‖W → 0 lorsque n→ ∞.Soit X un espace topologique ; on dit qu’une fonction A : X → L(V,W ) est fortementcontinue en x0 ∈ X si, pour tout v ∈ V , ‖A(x)v − A(x0)v‖W → 0 lorsque x → x0 dansX, c’est-a-dire si A est continue pour la topologie forte sur L(V,W ).

La topologie operateur faible (ou simplement topologie faible si il n’y a pas de risquede confusion) est la topologie la plus faible sur L(V,W ) pour laquelle les applicationslineaires L(V,W ) → K : A 7→ 〈l, Av〉 sont continues, pour tout v ∈ V et l ∈W ′.La convergence dans L(V,W ) pour cette topologie est appelee convergence faible. Ainsi,une suite (An) dans L(V,W ) converge faiblement vers A ∈ L(V,W ) si, pour tout v ∈ Vet tout l ∈W ′, |〈l, Anv〉 − 〈l, Av〉| → 0 dans K lorsque n→ ∞.Soit X un espace topologique ; on dit qu’une fonction A : X → L(V,W ) est faiblementcontinue en x0 ∈ X si, pour tout v ∈ V et tout l ∈W ′,

|〈l, A(x)v〉 − 〈l, A(x0)v〉| → 0

dans K lorsque x→ x0 dans X, c’est-a-dire si A est continue pour la topologie faible surL(V,W ).

Exemples.

1. Soit A ∈ L(V,W ) tel que ‖A‖ < 1. Alors la suite des puissances successives An

converge vers 0 uniformement (donc aussi fortement et faiblement) car ‖An‖ ≤‖A‖n → 0.

2. Considerons l’operateur de shift vers la gauche L ∈ L(l2(K)) defini par (Lx)n = xn+1,n ∈ N, pour tout x = (xn) ∈ l2(K). Alors la suite des puissances successives Ln

converge vers 0 fortement (et donc faiblement), mais pas uniformement car ‖Ln‖ = 1pour tout n ∈ N.

3. Considerons l’operateur de shift vers la droite R ∈ L(l2(K)) defini par

(Rx)n =

xn−1 si n ≥ 1,0 si n = 0,

pour tout x = (xn) ∈ l2(K). Alors la suite des puissances successives Rn convergevers 0 faiblement, mais pas fortement (ni donc uniformement) car ‖Rnx‖ = ‖x‖ pourtout x ∈ l2(K). N


1. Calculer les constantes d’equivalence optimales pour les normes

‖x‖1 =

n∑

i=1

|xi| et ‖x‖∞ = max1≤i≤n

|xi|

41

sur Cn.

2. Soit X un espace topologique et E un espace de Banach. On considere l’espaceC0

b (X,E) des fonctions continues et bornees de X dans E. Montrer que, muni de lanorme supremum, definie par

‖f‖∞ = supx∈X

‖f(x)‖E ,

l’espace C0b (X,E) est un espace de Banach.

3. Soit 1 ≤ p ≤ ∞ ; on considere l’espace lp(R) des suites x = (xn)n∈N dans R tellesque

‖x‖p =

( ∞∑

n=0

|xn|p) 1

p

<∞, 1 ≤ p <∞,

‖x‖∞ = supn∈N

|xn| <∞.

(a) Montrer que l’espace lp(R), muni de la norme ‖ · ‖p, est un espace de Banach.

(b) Montrer qu’on a une inclusion lp(R) ⊂ lq(R) continue, lorsque 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞.

(c) Montrer que lp(R) est dense dans lq(R) lorsque 1 ≤ p ≤ q <∞.

(d) Montrer que lp(R) n’est pas dense dans l∞(R) lorsque 1 ≤ p <∞.

4. (a) Montrer qu’une suite dans l1(R) est fortement convergente si et seulement sielle est faiblement convergente.

(b) Montrer qu’aucune boule ouverte pour la topologie forte sur l1(R) n’est unouvert pour la topologie faible sur l1(R).

5. Les sous-espaces suivants de l’espace de Banach (C0b (Rn,K), ‖ · ‖∞) sont-ils fermes ?

(a) C00 (Rn,K) = f ∈ C0

b (Rn,K) | supp f est compact ;

(b) C0K(Rn,K) = f ∈ C0

b (Rn,K) | supp f ⊂ K, pour un compact K ⊂ Rn ;

(c) C0∞(Rn,K) = f ∈ C0

b (Rn,K) | lim‖x‖→∞ f(x) = 0 ;

(d) C1b (Rn,K) = f ∈ C0

b (Rn,K) | ∂f∂xi

∈ C0b (Rn,K).

42

Chapitre 3

Espaces a produit interne. Espaces

de Hilbert

“Mathematics is a gameplayed according to certain simple rules

with meaningless marks on paper.”David Hilbert (1862 - 1943)

3.1 Produit scalaire

Soient V et W deux espaces vectoriels sur K = R ou C. Une application f : V ×W → K

est dite bilineaire si f est lineaire en chacun de ses arguments. Une forme bilineairef : V × V → K est dite symetrique si f(v1, v2) = f(v2, v1) pour tout v1, v2 ∈ V .

Une application f : V → K est dite semi-lineaire si f(c1v1 + c2v2) = c1f(v1) + c2f(v2)pour tout v1, v2 ∈ V , c1, c2 ∈ K. Une application f : V ×W → K est dite sesquilineairesi f est semi-lineaire en le premier argument et lineaire en le second argument. LorsqueK = R, semi-lineaire est equivalent a lineaire et sesquilineaire revient a bilineaire.

Une application f : V × V → C est dite hermitienne si f est lineaire en le secondargument et si f(v1, v2) = f(v2, v1) pour tout v1, v2 ∈ V . Dans ce cas, f(v, v) ∈ R pourtout v ∈ V .

On dit qu’une application f : V × V → K, bilineaire symetrique si K = R et hermitiennesi K = C, est definie positive si f(v, v) > 0 pour tout vecteur v 6= 0 dans V .

Definition 3.1. Soit V un espace vectoriel sur K. Si K = R, un produit scalaire surV est une forme bilineaire symetrique et definie positive ; si K = C, c’est une formehermitienne definie positive.

Un produit scalaire sur V sera habituellement note

V × V → K : (v1, v2) 7→ 〈v1, v2〉.

43

Un espace vectoriel muni d’un produit scalaire est appele espace prehilbertien.

Proposition 3.2. Soit V un espace prehilbertien. Alors

(i) |〈v,w〉|2 ≤ 〈v, v〉〈w,w〉 (inegalite de Cauchy-Schwarz), avec egalite si et seulementsi v et w sont lineairement dependants,

(ii)√

〈v + w, v + w〉 ≤√〈v, v〉 +

√〈w,w〉 (inegalite triangulaire), avec egalite si et

seulement si il existe c ∈ R+ tel que v = cw ou si w = 0,

pour tout v,w ∈ V .

Demonstration.

(i) Soient v,w ∈ V non nuls. Pour tout c ∈ K, on a

〈v + cw, v + cw〉 = 〈v, v〉 + c〈v,w〉 + c〈w, v〉 + |c|2〈w,w〉= 〈v, v〉 + 2Re(c〈v,w〉) + |c|2〈w,w〉.

Choisissons c ∈ K de sorte que c〈v,w〉 ∈ R et posons t = |c|. Comme un produitscalaire est defini positif, on obtient

〈v, v〉 + 2t|〈v,w〉| + t2〈w,w〉 ≥ 0

pour tout t ∈ R. Par consequent, le discriminant de ce second degre est negatif ounul :

4|〈v,w〉|2 − 4〈v, v〉〈w,w〉 ≤ 0,

ce qui donne bien l’inegalite cherchee. Si on a l’egalite, alors le second degre a uneracine, ce qui signifie qu’il existe c ∈ K tel que 〈v + cw, v + cw〉 = 0, ou encorev + cw = 0.

(ii) Comme precedemment, on a

〈v + w, v + w〉 = 〈v, v〉 + 2Re(〈v,w〉) + 〈w,w〉.

Par l’inegalite de Cauchy-Schwarz, on a

Re(〈v,w〉) ≤ |(〈v,w〉)|≤

√〈v, v〉

√〈w,w〉.

En combinant ces deux inegalites, on obtient

〈v +w, v + w〉 ≤ (√

〈v, v〉 +√

〈w,w〉)2,

qui est le carre de l’inegalite recherchee. Si on a l’egalite, alors (i) donne v = cw avecc ∈ K. La premiere inegalite est une egalite si et seulement si 〈v,w〉 ∈ R+, ce quidonne c ∈ R+.

44

La deuxieme propriete peut se reformuler de la maniere suivante. Soit V un espace vectorielmuni d’un produit scalaire 〈·, ·〉 ; alors l’application V → R+ : v 7→ ‖v‖ =

√〈v, v〉 est une

norme sur V . L’inegalite de Cauchy-Schwarz se reecrit donc |〈v,w〉| ≤ ‖v‖ ‖w‖ pour toutv,w ∈ V .

Une norme derivant d’un produit scalaire jouit de proprietes particulieres, dont la preuveconstitue un exercice facile.

Proposition 3.3. Soit V un espace prehilbertien sur K. Alors

(i) si 〈v,w〉 = 0 alors ‖v + w‖2 = ‖v‖2 + ‖w‖2 (theoreme de Pythagore),

(ii) ‖v + w‖2 + ‖v − w‖2 = 2‖v‖2 + 2‖w‖2 (loi du parallelogramme),

(iii) si K = C, alors 〈v,w〉 = 14

(‖v + w‖2 − ‖v − w‖2 + i‖v + iw‖2 − i‖v − iw‖2

)

si K = R, alors 〈v,w〉 = 14

(‖v + w‖2 − ‖v − w‖2

)(identite de polarisation),

(iv) si vn → v et wn → w, alors 〈vn, wn〉 → 〈v,w〉,pour tout v,w ∈ V .

Soit S un sous-ensemble de V . L’orthogonal S⊥ a S est l’ensemble

S⊥ = v ∈ V | 〈w, v〉 = 0, pour tout w ∈ S

des vecteurs de V orthogonaux a S.

Proposition 3.4. Soit S un sous-ensemble de V . Alors

(i) S⊥ est un sous-espace vectoriel ferme de V ;

(ii) si S est dense dans V , alors S⊥ = 0.

Demonstration.

(i) Le fait que S⊥ est un sous-espace vectoriel est une consequence de la linearite duproduit scalaire en le second argument. Soit v dans l’adherence de S⊥ et (vn)n∈N

une suite dans S⊥ convergeant vers v. Alors 〈w, v〉 = limn→∞〈w, vn〉 = 0 pour toutw ∈ S. Donc v ∈ S⊥ et S⊥ est ferme.

(ii) Soit v ∈ S⊥. Choisissons une suite (vn)n∈N dans S convergeant vers v ∈ S = H.Alors 〈vn, v〉 = 0 pour tout n ∈ N, de sorte que 〈v, v〉 = ‖v‖ = 0. Par consequent,v = 0.

3.2 Espaces de Hilbert

Definition 3.5. Un espace de Hilbert est un espace de Banach dont la norme derived’un produit scalaire.

45

Exemples.

1. L’espace vectoriel Kn, muni du produit scalaire usuel 〈v,w〉 =∑n

i=1 viwi, avec v =(v1, . . . , vn) et w = (w1, . . . , wn) ∈ Kn, est un espace de Hilbert.

2. L’espace vectoriel l2(K) des suites a = (an)n∈N dans K telles que∑∞

n=1 |an|2 < ∞,muni du produit scalaire

〈a, b〉 =∞∑

n=1

anbn

est un espace de Hilbert sur K.

3. L’espace de Banach L2(Rn,K) obtenu par completion au moyen de la norme ‖ · ‖2

de l’espace des fonctions f : Rn → K continues et de carre sommable, est un espacede Hilbert avec le produit scalaire

〈f, g〉 =

∫

Rn

f(x)g(x)dx.

N

Theoreme 3.6. Soit S un sous-espace vectoriel ferme d’un espace de Hilbert H. AlorsH = S ⊕ S⊥ (somme directe topologique) et, pour tout v ∈ H, la projection PSv de v surS le long de S⊥ est la meilleure approximation de v dans S :

‖v − PSv‖ = infw∈S

‖v − w‖.

Demonstration. Pour tout v ∈ H, il existe v1 ∈ S tel que ‖v − v1‖ = infw∈S ‖v − w‖ = d.En effet, par definition de d, il existe une suite wi ∈ S telle que ‖v − wi‖ → d, i → ∞.Fixons ǫ > 0 ; soit I ∈ N tel que ‖v − wi‖ ≤ d+ ǫ si i > I. Pour tout i, j > I on a, par laloi du parallelogramme,

‖(v − wi) − (v − wj)‖2 + ‖(v − wi) + (v − wj)‖2 = 2‖v − wi‖2 + 2‖v − wj‖2

≤ 4(d+ ǫ)2.

Par consequent,

‖wi −wj‖2 ≤ 4(d+ ǫ)2 − 4‖v − 1

2(wi + wj)‖2

≤ 4(d+ ǫ)2 − 4d2

= 4ǫ(2d+ ǫ).

La suite wi est donc de Cauchy dans H ; soit v1 ∈ S sa limite. On a bien

‖v − v1‖ = limi→∞

‖v − wi‖ = d

comme souhaite.

Montrons que v − v1 ∈ S⊥. Pour tout u ∈ S et λ ∈ R+, on a

d2 ≤ ‖v − v1 ± λu‖2 = ‖v − v1‖2 ± 2λRe〈u, v − v1〉 + λ2‖u‖2.

46

Par consequent,

∓Re〈u, v − v1〉 ≤λ

2‖u‖2,

ce qui force Re〈u, v−v1〉 = 0. En remplacant λ par iλ, on obtient de meme Im〈u, v−v1〉 =0, de sorte que 〈u, v − v1〉 = 0 comme souhaite.

On peut donc ecrire v = v1+(v−v1) avec v1 ∈ S et v−v1 ∈ S⊥. D’autre part, si w ∈ S∩S⊥,alors 〈w,w〉 = ‖w‖2 = 0, de sorte que S et S⊥ sont supplementaires algebriques dans H.De plus, comme v1 = PSv et v − v1 = (I − PS)v, le theoreme de Pythagore donne

‖PSv‖2 + ‖(I − PS)v‖2 = ‖v‖2.

En particulier, ‖PSv‖ ≤ ‖v‖ et ‖(I − PS)v‖ ≤ ‖v‖, de sorte que les projecteurs PS etI − PS sont bornes et la somme directe H = S ⊕ S⊥ est topologique.

Corollaire 3.7. Soit S un sous-ensemble d’un espace de Hilbert H. Alors S⊥⊥ = (S⊥)⊥

est le sous-espace vectoriel ferme de H engendre par S.

Demonstration. Soit V le sous-espace vectoriel ferme de H engendre par S. Remarquonsque S⊥ = V ⊥ par linearite et continuite du produit scalaire. Par le theoreme 3.6 appliquea V, V ⊥ ⊂ H, on a les decompositions orthogonales H = V ⊕ V ⊥ = V ⊥⊥ ⊕ V ⊥. Parconsequent, V ⊥⊥ = S⊥⊥ = V .

3.3 Suites et bases orthonormees

Soit V un espace prehilbertien sur K. Deux elements v,w ∈ V sont dits orthogonaux si〈v,w〉 = 0. Une famille E = (ei)i∈I d’elements de V forme un systeme orthogonal si ei etej sont orthogonaux pour tout i, j ∈ I. Une telle famille forme un systeme orthonormesi 〈ei, ej〉 = δij pour tout i, j ∈ I. Lorsque I = N, on parle de suite orthogonale et desuite orthonormee respectivement.

L’algorithme de Gram-Schmidt, bien connu du lecteur dans le cadre d’un espace vectorielde dimension finie muni d’un produit scalaire, peut etre applique ici pour construire dessuites orthonormales (ei)i∈N a partir de suites (vi)i∈N dans V telles que, pour tout n ∈ N,vn+1 est lineairement independant de v1, . . . , vn.

En effet, posons e1 = v1/‖v1‖. Ensuite, pour tout n > 1, on projette vn sur le sous-espacev1, . . . vn−1⊥ = e1, . . . , en−1⊥ :

en = vn −n−1∑

i=1

〈ei, vn〉ei

et on normalise le resultat :en = en/‖en‖.

Soit E = (ei)i∈I un systeme orthonorme dans V et v ∈ V . Les nombres 〈ei, v〉 ∈ K, i ∈ I,sont appeles coefficients de Fourier de v par rapport a E.

47

Proposition 3.8. Soit E = (ei)i∈N une suite orthonormee dans un espace prehilbertienV , et soit v ∈ V . Alors, pour tout n ∈ N,

(i) la meilleure approximation de v de la forme∑n

i=1 ciei est donnee par ci = 〈ei, v〉 ;

(ii)∑n

i=1 |〈ei, v〉|2 ≤ ‖v‖2 (inegalite de Bessel).

Demonstration.

(i) Posons ci = 〈ei, v〉, pour tout i ∈ N. Alors

‖v −n∑

i=1

aiei‖2 = ‖v‖2 − 2Ren∑

i=1

aici +n∑

i=1

|ai|2

= ‖v‖2 +

n∑

i=1

|ai − ci|2 −n∑

i=1

|ci|2.

Par consequent, l’erreur ‖v −∑ni=1 aiei‖ est minimale lorsque ai = ci, i = 1, . . . , n.

(ii) Lorsque l’erreur ci-dessus est minimale, son carre est donne par

‖v −n∑

i=1

〈ei, v〉ei‖2 = ‖v‖2 −n∑

i=1

|〈ei, v〉|2 ≥ 0.

La somme∑n

i=1〈ei, v〉ei donne de meilleures approximations de v lorsque n croit. Il estdonc naturel d’etudier la convergence d’expressions de la forme

∑ni=1 aiei avec ai ∈ K,

lorsque n→ ∞.

Theoreme 3.9 (Riesz-Fisher). Soit E = (ei)i∈N une suite orthonormee dans un espacede Hilbert H sur K. Soit (ai)i∈N une suite dans K. Alors la serie

∑∞i=1 aiei converge dans

H si et seulement si la serie∑∞

i=1 |ai|2 converge dans K.

Demonstration. Comme H est complet, la serie∑∞

i=1 aiei converge dans H si et seulement

si∑n+k

i=n aiei converge vers 0 ∈ H lorsque n→ ∞, pour tout k ≥ 0.

D’autre part, comme K = R ou C est complet, la serie∑∞

i=1 |ai|2 converge dans K si et

seulement si∑n+k

i=n |ai|2 converge vers 0 ∈ K lorsque n→ ∞, pour tout k ≥ 0.

Ces deux convergences sont equivalentes, car

‖n+k∑

i=n

aiei‖2 =

n+k∑

i=n

|ai|2,

puisque la suite (ei)i∈N est orthonormee.

Le theoreme de Riesz-Fisher et l’inegalite de Bessel garantissent que la serie∑n

i=1〈ei, v〉eiconverge dans un espace de Hilbert H lorsque n → ∞. Cependant, pour garantir que lalimite de cette serie soit v, il est necessaire d’introduire une hypothese supplementaire surla suite orthonormee (ei)i∈N.

48

Definition 3.10. Soit V un espace prehilbertien. Un systeme orthogonal ou orthonorme(vi)i∈I est dit complet si l’unique v ∈ V satisfaisant 〈v, vi〉 = 0 pour tout i ∈ I est levecteur nul v = 0.

Une suite orthonormee dans un espace de Hilbert H formant un systeme complet estappelee base hilbertienne de H.

Proposition 3.11. Tout espace de Hilbert separable admet une base hilbertienne.

Demonstration. Soit V = v1, v2, . . . un sous-ensemble dense et denombrable de H etsoit v′1, v′2, . . . ⊂ V le sous-ensemble denombrable obtenu en omettant les vecteurs vi deV qui sont lineairement dependants de v1, . . . , vi−1. En appliquant le procede de Gram-Schmidt aux vecteurs v′1, . . . , v′n, pour tout n ∈ N, on obtient une suite orthonormee(wi)i∈N dans H. Soit En le sous-espace vectoriel de H engendre par v′1, . . . , v′n, ou encorepar w1, . . . , wn. Alors En ⊂ En+1 pour tout n ∈ N et S = ∪n∈NEn est dense dans H.Par le corollaire 3.7, S⊥⊥ = H et donc S⊥ = 0, autrement dit la suite orthonormee(wi)i∈N est complete.

Proposition 3.12. Soit E = (ei)i∈N une suite orthonormale dans un espace de HilbertH. Les proprietes suivantes sont equivalentes :

(i) E est complete ;

(ii) v =∑∞

i=1〈ei, v〉ei, pour tout v ∈ H ;

(iii) 〈v,w〉 =∑∞

i=1〈v, ei〉〈ei, w〉, pour tout v,w ∈ H ;

(iv) ‖v‖2 =∑∞

i=1 |〈ei, v〉|2, pour tout v ∈ H (identite de Parseval).

Demonstration.(i) ⇒ (ii). Par l’inegalite de Bessel, on a

∑∞i=1 |〈ei, v〉|2 ≤ ‖v‖2. Par consequent, par le

theoreme de Riesz-Fischer, la serie∑∞

i=1〈ei, v〉ei converge dans H. Comme les coefficientsde Fourier de v −∑∞

i=1〈ei, v〉ei par rapport a E sont tous nuls et que E est complete, ona bien v =

∑∞i=1〈ei, v〉ei.

(ii) ⇒ (iii). Comme v = limn→∞∑n

i=1〈ei, v〉ei et w = limn→∞∑n

j=1〈ej , w〉ej , on obtientpar continuite du produit scalaire

〈v,w〉 = limn→∞

⟨n∑

i=1

〈ei, v〉ei,n∑

j=1

〈ej , w〉ej⟩

= limn→∞

n∑

i,j=1

〈ei, v〉〈ej , w〉δij

=

∞∑

i=1

〈v, ei〉〈ei, w〉

comme souhaite.

(iii) ⇒ (iv). Il suffit de choisir w = v.

(iv) ⇒ (i). Si 〈ei, v〉 = 0 pour tout i ∈ N, alors ‖v‖2 = 0 et donc v = 0.

49

Corollaire 3.13. Tout espace de Hilbert separable sur K est isometrique a l2(K).

Demonstration. Soit H un espace de Hilbert separable sur K et (vi)i∈N une base hilber-tienne de H. Par la proposition 3.12 (ii), tout element v ∈ H peut s’ecrire sous la formev =

∑∞i=1〈ei, v〉ei, et par la proposition 3.12 (iv),

∑∞i=1 |〈ei, v〉|2 <∞. Par consequent, on

peut definir une application lineaire Φ : H → l2(K) par

Φ(v) = (〈ei, v〉)i∈N

pour tout v ∈ H. Par le theoreme de Riesz-Fisher, tout element a = (ai)i∈N ∈ l2(K)permet de definir un element v ∈ H par v =

∑∞i=1 aiei. Par consequent, Φ est inversible.

Enfin, la proposition 3.12 (iii) montre que Φ est une isometrie.

3.4 Theoreme de representation de Riesz

Soit V un espace prehilbertien. Alors tout element a ∈ V permet de definir une fonction-nelle lineaire continue l ∈ V ′ par l(v) = 〈a, v〉, pour tout v ∈ V . La continuite de l est uneconsequence immediate de l’inegalite de Cauchy-Schwarz.

Le theoreme suivant montre que, dans un espace de Hilbert H, toute fonctionnelle lineairecontinue est de cette forme.

Theoreme 3.14 (Representation de Riesz). Soit H un espace de Hilbert et l ∈ H ′.Alors il existe un unique a ∈ H tel que l(v) = 〈a, v〉 pour tout v ∈ H. De plus, on a‖a‖H = ‖l‖H′ .

Demonstration. Verifions qu’un tel a ∈ H est forcement unique. Si a et a′ ∈ H satisfontl(v) = 〈a, v〉 = 〈a′, v〉 pour tout v ∈ H, alors 〈a−a′, v〉 = 0, de sorte que a−a′ ∈ H⊥ = 0.

Si l = 0 alors on peut prendre a = 0. Si l 6= 0 alors par la proposition 2.27, S = l−1(0) estun sous-espace vectoriel ferme de codimension 1 dans H. Comme H = S⊕S⊥, l’orthogonalS⊥ est de dimension 1. Soit b un element non nul de S⊥, de sorte que l(b) 6= 0. Posons

a =l(b)

‖b‖2b ∈ S⊥.

Alors, pour tout v ∈ S, on a 〈a, v〉 = 0 = l(v). Si v ∈ S⊥, alors v = λb pour un certain

λ ∈ K, de sorte que 〈a, v〉 = l(b)‖b‖2λ‖b‖2 = l(λb) = l(v) comme souhaite.

Enfin, on calcule que

‖l‖H′ = supv∈Hv 6=0

|l(v)|‖v‖H

= supv∈Hv 6=0

|〈a, v〉|‖v‖H

= ‖a‖H

par l’inegalite de Cauchy-Schwarz, puisque l’egalite est realisee lorsque a et v sont lineaire-ment dependants.

50

Une reformulation de ce theoreme est que tout espace de Hilbert H est naturellementisometrique a son dual H ′.

Corollaire 3.15. Tout espace de Hilbert est reflexif.

Le theoreme de representation de Riesz permet egalement de reformuler la notion deconvergence faible, associee a la topologie faible sur H.

Corollaire 3.16. Une suite (vn)n∈N dans un espace de Hilbert H sur K converge faible-ment vers v ∈ H si, pour tout u ∈ H, 〈u, vn〉 → 〈u, v〉 dans K.

Cette reformulation permet, a son tour, de deriver les proprietes suivantes de la conver-gence faible dans un espace de Hilbert.

Proposition 3.17. Soit (vn)n∈N une suite dans un espace de Hilbert H.

(i) si (vn)n∈N est orthonormee, alors (vn)n∈N converge faiblement vers 0 ;

(ii) (vn)n∈N converge fortement vers v ∈ H si et seulement si (vn)n∈N converge faible-ment vers v et ‖vn‖ converge vers ‖v‖.

Demonstration.

(i) En vertu de l’inegalite de Bessel, on a

k∑

n=1

|〈vn, v〉|2 ≤ ‖v‖2

pour tout k ∈ N. Par consequent, 〈vn, v〉 → 0 = 〈vn, 0〉 lorsque n→ ∞.

(ii) L’implication directe est evidente dans tout espace norme. Inversement, ‖v− vn‖2 =‖v‖2 − 2Re〈v, vn〉 + ‖vn‖2 converge vers ‖v‖2 − 2Re〈v, v〉 + ‖v‖2 = 0.

3.5 Operateurs particuliers

3.5.1 Operateurs adjoints

Definition 3.18. Soient H1 et H2 deux espaces de Hilbert et A ∈ L(H1,H2). L’operateuradjoint de A est l’operateur lineaire A∗ : H2 → H1 caracterise par

〈A∗v2, v1〉H1= 〈v2, Av1〉H2

pour tout v1 ∈ H1, v2 ∈ H2.

Proposition 3.19. Soient A ∈ L(H1,H2) et B ∈ L(H2,H3). Alors

(i) A∗ est borne et ‖A∗‖ = ‖A‖ ;

(ii) (A∗)∗ = A ;

51

(iii) kerA = (imA∗)⊥ et imA = (kerA∗)⊥ ;

(iv) (B A)∗ = A∗ B∗ ;

(v) si A a un inverse, (A−1)∗ = (A∗)−1.

Demonstration.

(i) Remarquons que

‖A‖ = supv1∈H1

v2∈H2

〈v2, Av1〉‖v1‖ ‖v2‖

. (3.1)

En effet, le supremum dans (3.1) n’excede par ‖A‖ par l’inegalite de Cauchy-Schwarz.

D’autre part, il existe une suite un ∈ H1 telle que ‖Aun‖‖un‖ → ‖A‖. En prenant v1 = un

et v2 = Aun dans (3.1), on voit que le supremum coıncide avec ‖A‖.Par consequent, on a

‖A‖ = supv1∈H1

v2∈H2

〈v2, Av1〉‖v1‖ ‖v2‖

= supv1∈H1

v2∈H2

〈A∗v2, v1〉‖v1‖ ‖v2‖

= ‖A∗‖.

(ii) Pour tout v1 ∈ H1, v2 ∈ H2, on a

〈v2, Av1〉H2= 〈A∗v2, v1〉H1

= 〈v2, (A∗)∗v1〉H2.

Par consequent, A = (A∗)∗.

(iii) v1 ∈ kerA si et seulement si 〈Av1, v2〉H2= 〈v1, A∗v2〉H1

= 0 pour tout v2 ∈ H2,c’est-a-dire v1 ∈ (imA∗)⊥. On obtient la deuxieme relation en remplacant A par A∗

et en utilisant (ii).

(iv) Pour tout v1 ∈ H1, v3 ∈ H3, on a

〈v3, B Av1〉H3= 〈B∗v3, Av1〉H2

= 〈A∗ B∗v3, v1〉H1.

D’autre part, on a aussi

〈v3, B Av1〉H3= 〈(B A)∗v3, v1〉H1

.

Par consequent, A∗ B∗ = (B A)∗.

(v) En remplacant B par A−1 dans (iv) on obtient I∗ = I = A∗ (A−1)∗. En echangeantles roles de A et B on obtient I = (A−1)∗ A∗. Par consequent, A∗ admet pourinverse (A−1)∗.

3.5.2 Operateurs auto-adjoints

Definition 3.20. Soit H un espace de Hilbert. Un operateur A ∈ L(H) est dit auto-adjoint si A∗ = A.

Proposition 3.21. Soit H un espace de Hilbert sur K et A ∈ L(H).

52

(i) Si A est auto-adjoint alors 〈Av, v〉 ∈ R pour tout v ∈ H ;

(ii) Si K = C et 〈Av, v〉 ∈ R pour tout v ∈ H alors A est auto-adjoint.

Demonstration.

(i) Si A est auto-adjoint alors, pour tout v ∈ H,

〈Av, v〉 = 〈v,A∗v〉 = 〈v,Av〉 = 〈Av, v〉.

(ii) Si 〈Av, v〉 ∈ R pour tout v ∈ H alors

〈Av, v〉 = 〈v,Av〉 = 〈v,Av〉 = 〈A∗v, v〉,

de sorte que 〈(A − A∗)v, v〉 = 0. En prenant v = v1 + cv2 avec v1, v2 ∈ H et c ∈ C,on obtient

〈(A−A∗)v1, v1〉 + c〈(A−A∗)v1, v2〉 + c〈(A−A∗)v2, v1〉 + |c|2〈(A−A∗)v2, v2〉 = 0.

Le premier et le quatrieme terme de cette somme sont nuls. Si c = 1, on obtient

〈(A−A∗)v1, v2〉 + 〈(A−A∗)v2, v1〉 = 0

et si c = i, on obtient

〈(A−A∗)v1, v2〉 − 〈(A−A∗)v2, v1〉 = 0,

de sorte que 〈(A−A∗)v1, v2〉 = 0 et donc A = A∗.

Exemple. Pour tout A ∈ L(H1,H2), l’operateur A∗A ∈ L(H1) est auto-adjoint, car(A∗A)∗ = A∗A∗∗ = A∗A. N

Proposition 3.22. Soit A ∈ L(H1,H2). Alors

(i) ‖A∗A‖ = ‖AA∗‖ = ‖A‖2 ;

(ii) A∗A = 0 ou AA∗ = 0 implique A = 0.

Demonstration.

(i) En utilisant l’equation (3.1), on calcule

‖A∗A‖ = supv1∈H1

v2∈H2

〈v2, A∗Av1〉‖v1‖ ‖v2‖

= supv1∈H1

v2∈H2

〈Av2, Av1〉‖v1‖ ‖v2‖

≥ supv∈H1

‖Av‖2

‖v‖2= ‖A‖2.

Mais d’autre part, ‖A∗A‖ ≤ ‖A∗‖ ‖A‖ = ‖A‖2, donc ‖A∗A‖ = ‖A‖2. L’autre egalites’obtient en echangeant les roles de A et A∗.

(ii) Si A∗A = 0 alors 0 = ‖A∗A‖ = ‖A‖2, donc A = 0. On procede de meme pour AA∗.

53

3.5.3 Operateurs unitaires

Definition 3.23. Soit H un espace de Hilbert et U ∈ L(H). On dit que U est un operateurunitaire si U est inversible et U−1 = U∗.

D’autre part, on dit qu’un operateur T ∈ L(H) est isometrique si T preserve les lon-gueurs : ‖Tv‖ = ‖v‖ pour tout v ∈ H.

Proposition 3.24. Soient U, V ∈ L(H) des operateurs unitaires. Alors

(i) U est isometrique ;

(ii) ‖U‖ = 1 ;

(iii) U−1 et U∗ sont unitaires ;

(iv) UV est unitaire.

Demonstration.

(i) Pour tout v ∈ H, on a bien

‖Uv‖2 = 〈Uv,Uv〉 = 〈U∗Uv, v〉 = 〈v, v〉 = ‖v‖2.

(ii) Si ‖Uv‖ = ‖v‖ pour tout v ∈ H, alors

‖U‖ = supv∈H

‖Uv‖‖v‖ = 1.

(iii) C’est une consequence immediate de la proposition 3.19 (v).

(iv) On a bien (UV )−1 = V −1U−1 = V ∗U∗ = (UV )∗.

Par contre, une application lineaire isometrique n’est pas forcement unitaire.

Exemple. Considerons l’operateur de shift vers la droite R ∈ L(l2(K)). Alors R estisometrique et son adjoint R∗ est l’operateur de shift vers la gauche L. Ainsi, R∗R = LR =I. Par contre, R n’est pas unitaire car R n’est pas surjectif, de sorte que RR∗ = RL 6= I.N

3.5.4 Operateurs normaux

Definition 3.25. Soit H un espace de Hilbert et N ∈ L(H). On dit que N est un operateurnormal si N∗N = NN∗.

Clairement, un operateur T ∈ L(H) auto-adjoint ou unitaire est normal, mais la reciproqueest fausse.

Exemple. L’operateur T = 2iI a pour adjoint T ∗ = −2iI = −T , de sorte que T n’est niauto-adjoint ni unitaire. Par contre, T est normal car T ∗T = TT ∗ = −T 2. N

54

3.6 Projecteurs orthogonaux

Definition 3.26. Un projecteur lineaire P ∈ L(H) dans un espace de Hilbert H est ditorthogonal si kerP ⊥ imP .

Proposition 3.27. Un projecteur lineaire P ∈ L(H) est orthogonal si et seulement si Pest auto-adjoint.

Demonstration. Si P est orthogonal, alors pour tout u, v ∈ H,

〈u, Pv〉 = 〈Pu+ (I − P )u, Pv〉 = 〈Pu,Pv〉.

Comme on a de meme 〈Pu, v〉 = 〈Pu,Pv〉, l’operateur P est auto-adjoint.

Inversement, si P est un projecteur auto-adjoint, alors pour tout u, v ∈ H,

〈Pu, (I − P )v〉 = 〈u, P (I − P )v〉 = 0.

Par consequent, kerP ⊥ imP et P est un projecteur orthogonal.

Proposition 3.28. Soit P ∈ L(H) un projecteur orthogonal. Alors

(i) P est non negatif, c’est-a-dire 〈v, Pv〉 ≥ 0 pour tout v ∈ H ;

(ii) ‖P‖ = 1 si P 6= 0.

Demonstration.

(i) Comme P est auto-adjoint, on a

〈v, Pv〉 = 〈v, P 2v〉 = 〈Pv, Pv〉 = ‖Pv‖2 ≥ 0

pour tout v ∈ H.

(ii) Par le theoreme de Pythagore,

‖Pv‖2 + ‖(I − P )v‖2 = ‖v‖2

pour tout v ∈ H. Par consequent, ‖Pv‖ ≤ ‖v‖ et ‖P‖ ≤ 1. La conclusion suit alorsde la proposition 2.24 (v), puisque ‖P‖ ≥ 1 lorsque P 6= 0.


1. (a) Demontrer la loi du parallelogramme dans un espace de Hilbert H :

‖v + w‖2 + ‖v − w‖2 = 2‖v‖2 + 2‖w‖2, pour tout v,w ∈ H.

(b) Trouver deux vecteurs v et w d’un espace de Banach B qui ne satisfont pas ala loi du parallelogramme.

55

2. Soient V1 et V2 deux sous-espaces vectoriels d’un espace de Hilbert H. Demontrerles proprietes suivantes :

(a) V1 ⊂ V2 ⇒ V ⊥2 ⊂ V ⊥

1 ,

(b) (V1 + V2)⊥ = V ⊥

1 ∩ V ⊥2 .

(c) (V1 ∩ V2)⊥ = V ⊥

1 + V ⊥2 .

3. Pour chacun des sous-espaces vectoriels Vi de l2(R) ci-dessous, determiner si Vi estferme. Si non, quelle est son adherence ?

(a) V1 = x = (xn) ∈ l2(R) | xn = 0 si n > 10,(b) V2 = x = (xn) ∈ l2(R) | ∃n0 > 0 ∀n > n0, xn = 0,(c) V3 = x = (xn) ∈ l2(R) | ∑∞

n=11nxn = 0,

(d) V4 = x = (xn) ∈ l2(R) | ∑∞n=1 xn = 0.

4. Soit V un sous-espace vectoriel ferme d’un espace de Hilbert H separable. SoitP ∈ L(H) le projecteur orthogonal sur V . Soit (ei)i∈I un systeme orthonormalcomplet pour V .

(a) Montrer que Pv =∑

i∈I〈ei, v〉ei pour tout v ∈ H.

(b) Si V ⊂ H = Cn est le sous-vectoriel engendre par f1 = (1, . . . , 1) et f2 =(1, 0, . . . , 0), calculer la matrice de P .

5. Soit K ∈ C0(Rn × Rn,K) une fonction telle que∫

Rn×Rn |K(x, y)|2 dx dy < ∞. On

definit un operateur lineaire A : C0(Rn,K) ⊂ L2(Rn,K) → L2(Rn,K) par

(Af)(x) =

∫

Rn

K(x, y)f(y) dy,

pour tout f ∈ C0(Rn,K).

(a) Montrer que A s’etend en une application lineaire bornee A : L2(Rn,K) →L2(Rn,K) et calculer sa norme.

(b) Determiner l’adjoint A∗

de A.

(c) Donner un exemple de K tel que A est un operateur normal, mais pas autoad-joint ni unitaire.

56

Chapitre 4

Distributions

“Everything of importance has been said beforeby somebody who did not discover it. ”

Alfred Whitehead (1861 - 1947)

4.1 Definitions

Soit Ω un ouvert de Rn. Le support d’une fonction ϕ : Ω → K est defini par supp(ϕ) =x ∈ Ω | ϕ(x) 6= 0.

Un multi-indice est un n-uple α = (α1, . . . , αn) d’entiers αi ≥ 0. L’ordre d’un multi-indice α est defini par |α| =

∑ni=1 αi. A tout multi-indice α, on associe un operateur

differentiel ∂α = ∂α1

∂xα11

. . . ∂αn

∂xαnn

. Pour tout x ∈ Kn, on definit xα = xα1

1 . . . xαnn ∈ K.

Soit 0 ≤ m ≤ ∞ un entier. Une fonction ϕ : Ω → K est de classe Cm si ∂αϕ est continuepour tout multi-indice α tel que |α| ≤ m. On note Cm(Ω) l’espace vectoriel des fonctionsϕ : Ω → K de classe Cm, et Cm

0 (Ω) ⊂ Cm(Ω) le sous-espace vectoriel des fonctions declasse Cm dont le support est compact et contenu dans Ω. Soit K un ensemble compactdans Ω. On note Cm

K ⊂ Cm0 (Ω) le sous-espace vectoriel des fonctions de classe Cm dont le

support est contenu dans K. Si m <∞, CmK est un espace de Banach pour la norme ‖ · ‖m

definie par‖ϕ‖m = sup

x∈K,|α|≤m|∂αϕ(x)|.

Remarquons que

C∞K =

⋂

m≥0

CmK et C∞

0 (Ω) =⋃

K⊂Ω

C∞K ,

ou l’union porte sur les sous-ensembles compacts K de Ω.

Ces considerations motivent la definition suivante sur l’espace vectoriel C∞0 (Ω). On dit

qu’une suite (ϕn) dans C∞0 (Ω) converge vers ϕ ∈ C∞

0 (Ω) au sens D si et seulement si

(i) il existe un compact K ⊂ Ω tel que supp(ϕn) ⊂ K pour tout n ∈ N ;

57

(ii) pour tout multi-indice α, limn→∞ ‖∂α(ϕn − ϕ)‖∞ = 0.

Ceci revient a demander qu’il existe un compact K de Ω tel que ϕn ∈ C∞K pour tout n ∈ N

et que (ϕn) converge vers ϕ dans CmK pour tout m ≥ 0. Dans ce cas, on notera ϕn

D→ ϕ.

On peut montrer que cette notion de convergence est induite par une topologie sur C∞0 (Ω).

L’espace vectoriel C∞0 (Ω), muni de cette topologie, est un espace vectoriel topologique note

D(Ω). Les elements de D(Ω) sont appeles fonctions test.

Exemple. La fonction ρ : Rn → R definie par

ρ(x) =

e− 1

1−‖x‖2 si ‖x‖ < 1,0 sinon

est un element de D(Rn). En precedant ρ par des translations et des homotheties de Rn,on obtient une grande collection de fonctions test dans D(Ω), pour tout ouvert Ω ⊂ Rn. N

Definition 4.1. Une distribution f sur l’ouvert Ω est une fonctionnelle lineaire

f : D(Ω) → K : ϕ 7→ f(ϕ) = 〈f, ϕ〉 (4.1)

telle que, pour tout compact K de Ω, il existe un entier m ≥ 0 et une constante C > 0 telsque

|〈f, ϕ〉| ≤ C supx∈K,|α|≤m

|∂αϕ(x)|.

L’espace vectoriel des distributions sur Ω est note D′(Ω).

L’estimation (4.1) exprime la continuite de la fonctionnelle lineaire f . On peut en effetmontrer que cette inegalite est equivalente a la propriete suivante : pour toute suite (ϕn)dans D(Ω) convergeant vers ϕ ∈ D(Ω) au sens D, on a

〈f, ϕn〉 → 〈f, ϕ〉.

Ainsi, l’espace D′(Ω) joue le role de dual topologique pour D(Ω).

Comme pour l’espace D(Ω), introduisons une notion de convergence sur l’espace D′(ω).

Definition 4.2. On dit qu’une suite (fn) dans D′(Ω) converge vers f ∈ D′(Ω) si

〈fn, ϕ〉 → 〈f, ϕ〉

pour tout ϕ ∈ D(Ω). Dans ce cas, on parle de convergence au sens D′ et on note

fnD′→ f .

Comme pour l’espace D(Ω), on peut montrer que cette notion de convergence est induitepar une topologie sur D′(Ω). La definition ci-dessus rappelle la notion de topologie faible ∗pour le dual d’un espace norme. En fait, en partant de la topologie de D(Ω), on peut definirune topologie forte sur D′(Ω), puis montrer que la convergence pour cette topologie estequivalente a la convergence definie ci-dessus. C’est pourquoi on dit parfois qu’une suite

58

qui converge au sens faible ou faible ∗, meme dans un autre contexte que celui-ci, convergeau sens des distributions.

Etant donnee une fonction continue f ∈ C0(Ω), on peut lui associer une distribution dansD′(Ω), que l’on designera encore par f , au moyen de la formule

〈f, ϕ〉 =

∫

Ωf(x)ϕ(x) dx, (4.2)

pour tout ϕ ∈ D(Ω). L’integrale dans le membre de droite a bien un sens car l’integrand

est continu et a un support compact. De plus, si ϕnD→ ϕ, alors il existe un compact K

contenant supp(ϕn) pour tout n ∈ N. Soit M le maximum de |f | sur K. Alors

|〈f, ϕn〉 − 〈f, ϕ〉| ≤∫

Ω|f(x)| |ϕn(x) − ϕ(x)| dx ≤M Vol(K) ‖ϕn − ϕ‖∞ → 0,

de sorte que la fonctionnelle lineaire f est bien continue.

En fait, certaines fonctions discontinues permettent egalement de definir une distribution :il suffit que l’integrale

∫Ω f(x)ϕ(x) dx soit bien definie pour tout ϕ ∈ D(Ω). Dans ce cas,

on dit que la fonction f : Ω → K est localement integrable.

Par contre, il existe des distributions qui ne sont pas obtenues de cette maniere a partirde fonctions sur Ω.

Exemple. La distribution de Dirac δ est definie par

δ : D(Ω) → K : ϕ 7→ 〈δ, ϕ〉 = ϕ(0).

On peut montrer qu’il n’existe pas de fonction δ : Ω → K telle que

〈δ, ϕ〉 =

∫

Ωδ(x)ϕ(x) dx

pour tout ϕ ∈ D(Ω). On peut neanmoins obtenir la distribution de Dirac comme lalimite dans D′(Ω) d’une suite de distributions obtenues a partir de fonctions localementintegrables, et meme C∞. Par exemple, pour Ω = R, on peut prendre

fn(x) =n√πe−n2x2

, fn(x) =1

π

sin(nx)

xou fn(x) =

n

π

1

1 + n2x2

et l’on a bien ∫ ∞

−∞fn(x)ϕ(x) dx → ϕ(0), lorsque n→ ∞.

N

Malgre la remarque ci-dessus, on parle dans la litterature en physique de la fonctionde Dirac δ(x) en faisant comme si une telle fonction existait, de maniere a garder lesdiscussions a un niveau elementaire. Cependant, il faut se mefier de ce point de vue,qui mene rapidement a des contradictions si l’on manipule une distribution comme uneveritable fonction. En particulier, on ne peut pas parler de la valeur d’une distributionf ∈ D′(Rn) en un point x ∈ Rn.

59

4.2 Operations

Dans cette section, nous allons introduire diverses operations permettant de manipulerles distributions de maniere rigoureuse. Ces operations sur les distributions generalisentdiverses operations sur des fonctions localement integrables (ou encore plus regulieres)dans Ω ⊂ Rn, en se basant sur l’equation (4.2).

4.2.1 Translation

Soient f ∈ D′(Rn) et a ∈ Rn. La translatee Taf ∈ D′(Rn) de f par a est definie par

〈Taf, ϕ〉 = 〈f, T−aϕ〉

pour tout ϕ ∈ D(Rn), avec T−aϕ(x) = ϕ(x+ a).

Cette definition est motivee par le cas ou f ∈ C0(Rn), pour lequel

〈Taf, ϕ〉 =

∫

Rn

f(x− a)ϕ(x) dx =

∫

Rn

f(y)ϕ(y + a) dy = 〈f, T−aϕ〉

avec le changement de variables y = x− a.

Exemple. Soit δ ∈ D′(Rn) la distribution de Dirac. Alors, pour tout ϕ ∈ D(Rn),

〈Taδ, ϕ〉 = 〈δ, T−aϕ〉 = ϕ(a).

Dans la litterature en physique, de la meme maniere que δ correspond a la “fonction” deDirac δ(x), on ecrit plus simplement que Taδ correspond a δ(x− a). N

4.2.2 Derivation

Soit Ω ⊂ Rn), f ∈ D′(Ω) et α = (α1, . . . , αn) un multi-indice. La derivee ∂αf ∈ D′(Ω) def , par rapport a x1 (α1 fois), . . . , a xn (αn fois), est definie par

〈∂αf, ϕ〉 = (−1)|α|〈f, ∂αϕ〉

pour tout ϕ ∈ D(Ω). La fonctionnelle lineaire ∂αf est bien continue sur D(Ω) car ϕn → ϕimplique ∂αϕn → ∂αϕ dans D(Ω).

Cette definition est motivee par le cas ou f ∈ C1(R) et α = α1 = 1, pour lequel

〈f ′, ϕ〉 =

∫

R

f ′(x)ϕ(x) dx = −∫

R

f(x)ϕ′(x) dx = −〈f, ϕ′〉

en vertu de l’integration par parties.

Pour tout f ∈ D′(R), on verifie facilement, a partir des definitions ci-dessus, que

f ′ = lima→0

1

a(Taf − f)

60

dans D′(R).

Exemples.

1. Soit H : R → R la fonction de Heaviside definie par

H(x) =

1 si x ≥ 0,0 si x < 0.

On associe a cette fonction une distribution dans D′(R), encore notee H, definie par

〈H,ϕ〉 =

∫ +∞

−∞H(x)ϕ(x) dx =

∫ ∞

0ϕ(x) dx

pour tout ϕ ∈ D(R). Alors la derivee H ′ ∈ D′(R) satisfait

〈H ′, ϕ〉 = −〈H,ϕ′〉 = −∫ ∞

0ϕ(x) dx = ϕ(0)

pour tout ϕ ∈ D(R). Par consequent, H ′ n’est autre que la distribution de Dirac δ.

2. Soit α ∈ Z+ et δ ∈ D′(R) la distribution de Dirac. Alors δ(α) ∈ D′(R) est la distri-bution definie par

〈δ(α), ϕ〉 = (−1)αdαϕ

dxα(0).

N

Comme le montre cet exemple, toute distribution est derivable (autant de fois que l’onveut), meme si une distribution provient d’une fonction qui n’est pas derivable (voirediscontinue) en tant que fonction, ou si une distribution ne correspond pas a une fonction.

4.2.3 Integration

Soit f ∈ D′(R). Une distribution g ∈ D′(R) satisfaisant ∂g∂x = f est appelee une primitive

ou integrale indefinie de f et est notee∫ x

f .

Si f est une fonction continue, on sait qu’une primitive existe toujours et n’est definie qu’aune constante pres. On appelle distribution constante une distribution associee a unefonction constante.

Proposition 4.3. Toute distribution f ∈ D′(R) admet une primitive g ∈ D′(R), definiea une distribution constante pres.

Demonstration. Fixons une fois pour toutes ψ ∈ D(R) telle que

∫ +∞

−∞ψ(x) dx = 1.

En d’autres termes, 〈1, ψ〉 = 1, ou 1 designe la distribution associee a la fonction constante1 ∈ C0(R).

61

Decomposons ϕ ∈ D(R) sous la forme ϕ = ϕ0 + 〈1, ϕ〉ψ, de sorte que 〈1, ϕ0〉 = 0. Alors laformule

φ(x) =

∫ x

−∞ϕ0(y) dy

definit une fonction test φ ∈ D(R), puisque φ(x) = 0 lorsque x est suffisamment grand.De plus, l’application lineaire D(R) → D(R) : ϕ 7→ φ est continue.

Par consequent, si une primitive g ∈ D′(R) existe pour f , elle doit satisfaire

〈g, ϕ〉 = 〈g, ϕ0〉 + 〈1, ϕ〉〈g, ψ〉.

Posons c = 〈g, ψ〉. Alors

〈g − c, ϕ〉 = 〈g, ϕ0〉 = 〈g, φ′〉 = −〈f, φ〉.

Comme le membre de droite est continu en φ, qui depend continument de ϕ, cette equatondefinit bien une distribution g − c, a une constante c ∈ K pres. Par construction, ladistribution g est une primitive de f .

4.2.4 Multiplication

On ne peut en general pas definir le produit de deux distributions arbitraires f, g ∈ D′(Ω).En effet, si f et g sont induites par des fonctions localement integrables sur Ω, encorenotees f et g, le produit fg pourrait ne pas etre localement integrable.

Exemple. Soit f = g : R → R : x 7→ f(x) = 1√|x|

. Alors f = g est localement integrable,

car ∫ 1

−1f(x) dx = 2

[2√x]10

= 4.

Par contre, fg = f2 n’est pas localement integrable car

∫ 1

−1f2(x) dx = 2

∫ 1

0

1

xdx = +∞.

N

Par contre, si f et g sont des distributions jouissant de proprietes suffisamment agreables,leur produit fg pourra etre defini. En effet, si f et g sont induites par des fonctions dont leproduit fg est localement integrable, alors fg induit une distribution fg ∈ D′(Ω), appeleeproduit des distributions f et g.

Nous nous interesserons plus particulierement au cas ou f ∈ D′(Ω) est une distributionarbitaire et g ∈ D′(Ω) est induite par une fonction infiniment differentiable, de sorte queg ∈ C∞(Ω). Le produit fg ∈ D′(Ω) de f et g est alors defini par

〈fg, ϕ〉 = 〈f, gϕ〉

pour tout ϕ ∈ D(Ω). Ceci definit bien une fonctionnelle lineaire continue, car la multipli-cation par g est une application lineaire D(Ω) → D(Ω) : ϕ 7→ gϕ qui est continue.

62

4.2.5 Image directe, inverse et changement de variables

Soient Ω et Ω′ deux ouverts de Rn et u : Ω → Ω′ : x 7→ y = u(x) une application C∞ etpropre, c’est-a-dire telle que u−1(K) est un compact de Ω pour tout compact K de Ω′.Dans ce cas, une fonction test ϕ ∈ D(Ω′) peut etre reparametrisee par u en considerantla composition ϕ u. Comme u est propre, le support de ϕ u est compact, de sorte queϕ u ∈ D(Ω).

Ainsi, une distribution f ∈ D′(Ω) donne lieu a une distribution u(f) ∈ D′(Ω′) definie par

〈u(f), ϕ〉 = 〈f, ϕ u〉,

pour tout ϕ ∈ D(Ω′). On dit que u(f) est l’image directe de f par u.

Exemples.

1. Soient Ω = Ω′ = Rn et u(x) = x + a, alors l’image directe d’une distributionf ∈ D′(Rn) est la translation u(f) = Taf de cette distribution.

2. Soient Ω = Ω′ = R, δ ∈ D′(R) la distribution de Dirac et y = u(x). L’image directeu(δ) de δ par u est definie par

〈u(δ), ϕ〉 = 〈δ, ϕ u〉 = ϕ(u(0)).

Par consequent, la distribution u(δ) est la translation Tu(0)δ de la distribution δ deDirac. N

Dans certaines circonstances, il est possible de definir l’image inverse u∗f d’une distri-bution f . Lorsque celle-ci est donnee par une fonction localement integrable f dependantde y ∈ Ω′, cela revient a effectuer le changement de variables f(u(x)) dans f . Enparticulier, lorsque u est un diffeomorphisme, c’est-a-dire que u est bijective et que u etu−1 sont C∞, on peut ecrire

〈u∗f, ϕ〉 = 〈f(u(x)), ϕ〉 =

∫

Ωf(u(x))ϕ(x) dx

=

∫

Ω′f(y)ϕ(u−1(y))|J(u)|−1 dy

= 〈|J(u)|−1f, ϕ u−1〉

pour tout ϕ ∈ D(Ω), ou |J(u)| ∈ C∞(Ω) est le Jacobien de u, c’est-a-dire le determinantde la matrice Jacobienne J(u) de u, ayant pour coefficients J(u)ij = ∂ui

∂xj. Par consequent,

la distribution u∗f est obtenue a partir de la fonction |J(u)|−1f localement integrable surΩ′.

On peut ensuite utiliser la relation

〈u∗f, ϕ〉 = 〈|J(u)|−1f, ϕ u−1〉

pour tout ϕ ∈ D(Ω), afin de definir l’image inverse u∗f de distributions f ∈ D′(Ω′) plusgenerales, comme par exemple la distribution de Dirac.

63

Exemples.

1. Soient Ω = Ω′ = R, δ ∈ D(Ω′) la distribution, de Dirac et u(x) = ax. Alors, pourtout ϕ ∈ D(Ω),

〈u∗δ, ϕ〉 = 〈δ(ax), ϕ〉 =

∫

R

δ(ax)ϕ(x) dx =

∫

R

δ(y)ϕ(y

a)

1

|a| dy = ϕ(0)1

|a| .

On en deduit que δ(ax) = 1|a|δ(x).

2. Soient Ω = R3, δ ∈ D′(R3) la distribution de Dirac, (r, θ, ϕ) les coordonnees spheri-ques et (x, y, z) les coordonnees cartesiennes. Le lien entre ces coordonnees s’ecritsous la forme (x, y, z) = u(r, θ, ϕ), et le Jacobien de ce changement de coordonneesest donne par J(u) = r2 sin θ. En procedant comme ci-dessus, on obtient

δ(r − r0, θ − θ0, ϕ− ϕ0) =1

r2 sin θδ(x − x0, y − y0, z − z0),

ou (r0, θ0, ϕ0) et (x0, y0, z0) sont les coordonnees spheriques et cartesiennes d’unmeme point de R3. N

La definition de l’image inverse d’une distribution peut etre etendue au cas ou u : Ω → Ω′

n’est pas un diffeomorphisme, mais ou le Jacobien J(u) 6= 0 lorsque u(x) ∈ supp f . Dansce cas, il faut remplacer ϕ u−1 dans la definition de u∗f par l’image directe u(ϕ) de ϕen tant que distribution sur Ω.

Exemple. Soit Ω = Ω′ = R, δ ∈ D′(R) la distribution de Dirac et y = u(x) avec u′(x) 6= 0lorsque u(x) = 0. On obtient

δ(u(x)) =

k∑

i=1

1

|u′(ai)|δ(x − ai)

avec u−1(0) = a1, . . . , ak. N

4.2.6 Proprietes des operations

Les operations introduites ci-dessus sont des applications lineaires continues dans D′. En

d’autres termes, si fnD′→ f , alors

TafnD′→ Taf, pour tout a ∈ Rn,

∂αfnD′→ ∂αf, pour tout multi-indice α,∫ x

fnD′→

∫ x

f,

gfnD′→ gf, pour tout g ∈ C∞(Ω),

u(fn)D′→ u(f), pour toute application u C∞ et propre,

u∗fnD′→ u∗f, pour tout diffeomorphisme u.

64

En effet, ces operations sont toutes definies en faisant agir la distribution f (ou fn) sur leresultat d’une autre operation sur la fonction test ϕ. Par exemple,

limn→∞

〈Tafn, ϕ〉 = limn→∞

〈fn, T−aϕ〉 = 〈f, T−aϕ〉 = 〈Taf, ϕ〉.

Par ailleurs, si an → a dans Rn, alors TanfD′→ Taf , car la translation est une operation

continue dans D(Rn).

4.3 Lissage

Fixons une fonction test ρ ∈ D(Rn) dont le support est la boule unite B(0, 1) et qui estnormalisee :

∫Rn ρ(x) dx = 1. On peut prendre par exemple

ρ(x) =

Ce

− 1

1−‖x‖2 si ‖x‖ < 1,0 si ‖x‖ ≥ 1,

ou C ∈ R est la constante de normalisation appropriee.

Soit δ > 0. A toute distribution f ∈ D′(Rn) on associe une fonction Jδf : Rn → R, appeleelissage de f , et definie par

Jδf(y) = 〈f, 1

δnρ uδ,y〉, avec uδ,y(x) =

x− y

δ.

L’operateur Jδ est appele operateur de lissage.

Lorsque f est induite par une fonction localement integrable, on a

Jδf(y) =

∫

Rn

f(x)1

δnρ(x− y

δ) dx =

∫

Rn

f(y + δx)ρ(x) dx.

Dans ce cas, la valeur de la fonction Jδf en y est une moyenne ponderee des valeurs prisespar f dans la boule B(y, δ).

Proposition 4.4. Soit f ∈ D′(Rn) et δ > 0. Alors

(i) 〈Jδf, ϕ〉 = 〈f, Jδϕ〉 pour tout ϕ ∈ D(Rn) ;

(ii) Jδ∂αf = ∂αJδf pour tout multi-indice α ;

(iii) Jδf ∈ C∞(Rn) ;

(iv) pour tout ϕ ∈ D(Rn), JδϕD→ ϕ lorsque δ → 0 ;

(v) JδfD′→ f lorsque δ → 0 ;

(vi) si fnD′→ f alors Jδfn

D′→ Jδf ;

(vii) Jδ1Jδ2f = Jδ2Jδ1f pour tout δ1, δ2 > 0 ;

(viii) JδTaf = TaJδf pour tout a ∈ Rn.

65

Demonstration.

(i) L’expression 〈Jδf, ϕ〉 =∫K Jδf(y)ϕ(y) dy ou K ⊂ Rn est un compact contenant le

support de ϕ a un sens car la fonction Jδf est continue. En ecrivant cette integralecomme la limite d’une somme de Riemann, on obtient

〈Jδf, ϕ〉 = limN→∞

N∑

i=1

Jδf(yi)ϕ(yi) ∆yi

= limN→∞

N∑

i=1

〈f, 1

δnρ uδ,yi

〉ϕ(yi) ∆yi

= limN→∞

〈f,N∑

i=1

1

δnρ uδ,yi

ϕ(yi) ∆yi〉.

D’autre part,

N∑

i=1

1

δnρ(x− yi

δ)ϕ(yi) ∆yi

D→∫

Kρ(x− y

δ)ϕ(y) dy = Jδϕ(x)

lorsque N → ∞, puisque l’on peut deriver sous le signe integral. On en deduit que〈Jδf, ϕ〉 = 〈f, Jδϕ〉.

(ii) La propriete est verifiee lorsque f ∈ C∞0 (Rn), puisque

Jδf(y) =

∫

B(0,1)f(y + δx)ρ(x) dx

et comme on peut differentier sous le signe integral. Dans le cas general, on procedepar dualite : pour tout ϕ ∈ D(Ω), on a

〈Jδ∂αf, ϕ〉 = 〈∂αf, Jδϕ〉 = (−1)|α|〈f, ∂αJδϕ〉

= (−1)|α|〈f, Jδ∂αϕ〉 = (−1)|α|〈Jδf, ∂

αϕ〉= 〈∂αJδf, ϕ〉.

(iii) Comme ∂αJδf = Jδ∂αf est continue pour tout multi-indice α, on a bien Jδf ∈

C∞(Rn).

(iv) Tout d’abord, le support de Jδϕ est contenu dans un δ0-voisinage du support de ϕpour tout δ ∈]0, δ0[. Montrons ensuite que Jδϕ converge uniformement vers ϕ lorsqueδ → 0. On a

|Jδϕ(y) − ϕ(y)| =

∣∣∣∣∣

∫

B(0,1)ϕ(y + δx)ρ(x) dx− ϕ(y)

∣∣∣∣∣

≤∫

B(0,1)|ϕ(y + δx) − ϕ(y)|ρ(x) dx

≤ supx∈B(0,1)

|ϕ(y + δx) − ϕ(y)|.

Comme ϕ est uniformement continue, le membre de droite peut etre rendu arbitrai-rement petit en reduisant δ > 0. Enfin, ∂αJδϕ = Jδ∂

αϕ converge uniformement vers∂αϕ.

66

(v) On procede par dualite en exploitant (iv) :

〈Jδf, ϕ〉 = 〈f, Jδϕ〉 → 〈f, ϕ〉

lorsque δ → 0, pour tout ϕ ∈ D(Rn).

(vi) De meme,〈Jδfn, ϕ〉 = 〈fn, Jδϕ〉 → 〈f, Jδϕ〉 = 〈Jδf, ϕ〉

lorsque n→ ∞, pour tout ϕ ∈ D(Rn).

(vii) La propriete est verifiee lorsque f ∈ C∞0 (Rn), puisque l’on peut permuter les signes

integraux. Ensuite, par dualite,

〈Jδ1Jδ2f, ϕ〉 = 〈Jδ2f, Jδ1ϕ〉 = 〈f, Jδ2Jδ1ϕ〉= 〈f, Jδ1Jδ2ϕ〉 = 〈Jδ1f, Jδ2ϕ〉 = 〈Jδ1Jδ2f, ϕ〉.

(viii) La propriete se verifie par calcul direct lorsque f ∈ C∞0 (Rn), puis par dualite dans

le cas general.

En particulier, toute distribution peut etre approximee par une fonction infiniment diffe-rentiable. Nous avions deja vu que c’etait le cas pour la distribution de Dirac.

4.4 Regularisation

A toute fonction localement integrable, nous avons associe une distribution. Cependant,certaines distributions sont associees a des fonctions non localement integrables. Nous nouslimiterons au cas des fonctions ayant une singularite non integrale en un point, commepar exemple 1

x .

Definition 4.5. Soit Ω un ouvert de Rn et f : Ω → K une fonction integrable sur toutcompact K ⊂ Ω ne contenant pas le point x0 ∈ Ω. Une regularisation de f est unedistribution fr ∈ D′(Ω) telle que

〈fr, ϕ〉 =

∫

Ωf(x)ϕ(x)dx,

pour toute fonction test ϕ ∈ D(Ω) telle que x0 /∈ supp ϕ.

Bien entendu, ni l’existence, ni l’unicite d’une regularisation n’est garantie.

Exemples.

1. La fonction f(x) = e1

x2 n’admet pas de regularisation dans D′(R).

2. Si il existe une regularisation fr pour f , alors fr + CαTx0δ(α) est egalement une

regularisation pour f pour tout α ∈ Z+ et Cα ∈ K. N

67

Lorsque la singularite de f en x0 n’est pas trop forte, l’existence d’une regularisation estgarantie.

Definition 4.6. Une fonction f : R → K a une singularite algebrique en x0 si il existem ∈ Z+ tel que (x−x0)

mf(x) est integrable dans un voisinage de x0. L’entier m est appelel’ordre de la singularite.

Dans le cas d’une fonction f possedant une unique singularite algebrique en x0, on peutdefinir une regularisation fr ∈ D′(R) par

〈fr, ϕ〉 =

∫

[x−x0|>af(x)ϕ(x)dx +

∫

|x−x0|<af(x)

(ϕ(x) −

m−1∑

k=0

(x− x0)k

k!

dkϕ

dxk(x0)

)dx

pour tout ϕ ∈ D(R), avec a > 0. Bien entendu, le resultat depend en general de la valeurde a choisie. Il est donc d’autant plus souhaitable de pouvoir identifier une regularisationpreferee.

On peut montrer que, pour toute fonction f n’ayant que des singularites algebriques, ilexiste une unique regularisation canonique frc ∈ D′(R), telle que

(i) pour tout a, b ∈ K, afrc + bgrc = (af + bg)rc ;

(ii)(

ddxf)rc

= ddxfrc ;

(iii) pour tout g ∈ C∞(R), (gf)rc = gfrc.

Exemple. La fonction 1x a une singularite algebrique d’ordre 1 a l’origine. On peut lui

associer une regularisation vp( 1x) ∈ D′(R) appelee valeur principale de 1

x et definie par

〈vp(1

x), ϕ〉 = lim

ǫ→0+

(∫ −ǫ

−∞

1

xϕ(x)dx +

∫ ∞

ǫ

1

xϕ(x)dx

)

pour tout ϕ ∈ D(R). On peut verifier grace aux proprietes ci-dessus qu’il s’agit en fait dela regularisation canonique de 1

x . N

4.5 Proprietes locales

Comme nous l’avons deja mentionne, on ne peut en general pas parler de la valeur d’unedistribution f ∈ D′(Ω) en un point x ∈ Ω. Cependant, certaines proprietes locales desfonctions peuvent etre etendues aux distributions.

4.5.1 Egalites et inegalites locales

Nous commencons par donner un sens a des egalites entre distributions f, g ∈ D′(Ω) surun sous-ensemble de Ω.

Definition 4.7. Soient f, g ∈ D′(Ω) et O un ouvert de Ω. On dit que f = g sur O si〈f, ϕ〉 = 〈g, ϕ〉 pour tout ϕ ∈ D(Ω) tel que supp ϕ ⊂ O.

68

Dans le cas de distributions a valeurs reelles, on peut aussi parler d’inegalites entre distri-butions.

Definition 4.8. Soient f, g ∈ D′(Ω) et O un ouvert de Ω. On dit que f ≤ g sur O si〈f, ϕ〉 ≤ 〈g, ϕ〉 pour tout ϕ ∈ D(Ω) tel que ϕ ≥ 0 et supp ϕ ⊂ O.

A partir de la notion d’egalite locale, on peut definir le support d’une distribution.

Definition 4.9. Le support d’une distribution f ∈ D′(Ω) est le complementaire du plusgrand ouvert O ⊂ Ω tel que f = 0 sur O.

Pour les fonctions continues sur Ω, le support en tant que fonction dans C0(Ω) coincideavec le support en tant que distribution D′(Ω). En revanche, ceci n’est pas forcement vraipour les fonctions localement integrables avec des discontinuites.

Grace aux inegalites, on peut egalement parler de la notion de distributions bornees.Lorsque f ∈ D′(Ω) est a valeurs complexes, on definit sa partie reelle Re(f) par

〈Re(f), ϕ〉 =1

2(〈f, ϕ〉 + 〈f, ϕ〉)

pour tout ϕ ∈ D(Ω). La partie imaginaire Im(f) de f est definie par Im(f) = Re(−if).

Definition 4.10. Soit f ∈ D′(Ω). On dit que f est bornee si

(i) lorsque K = R, il existe une constante M > 0 telle que −M ≤ f ≤M sur Ω ;

(ii) lorsque K = C, il existe une constante M > 0 telle que, pour tout θ ∈ R, Re(eiθf) ≤M sur Ω.

On peut montrer que l’espace L∞(Ω) ⊂ D′(Ω) des distributions bornees sur Ω, muni dela norme

‖f‖∞ = infM ∈ R+ | Re(eiθf) ≤M, pour tout θ ∈ R,est un espace de Banach. Nous etudierons cet espace plus en details ulterieurement.

4.5.2 Recollement

Soit f ∈ D′(Ω) et (Ωi)i∈I un recouvrement de Ω par des ouverts. Alors f induit parrestriction a D(Ωi) ⊂ D(Ω) des distributions fi ∈ D′(Ωi). Inversement, on voudrait pouvoirrecoller les distributions fi ∈ D′(Ωi) en une distribution f ∈ D′(Ω).

Soit (Ωi)i=1,...,N un recouvrement fini par des ouverts d’un ensemble compact K ⊂ Ω. Unepartition de l’unite sur K subordonnee au recouvrement (Ωi)i=1,...,N est une famille defonctions ρi ∈ D(Ω), i = 1, . . . , N , telle que

(i) supp ρi ⊂ Ωi, pour tout i = 1, . . . , N ;

(ii)∑N

i=1 ρi(x) = 1 pour tout x ∈ K.

69

On peut montrer qu’il existe toujours une telle partition de l’unite.

Soient fi ∈ D′(Ωi) telles que fi = fj sur Ωi ∩ Ωj, pour tout i, j ∈ I. On definit leurrecollement f ∈ D′(Ω) en choisissant, pour tout ϕ ∈ D(Ω), un sous-recouvrement finiΩ′

i, i = 1, . . . , N du compact K = supp ϕ et une partition de l’unite ρi, i = 1, . . . , N surK subordonnee au recouvrement (Ω′

i)i=1,...,N , et en posant

〈f, ϕ〉 =N∑

i=1

〈fi, ρiϕ〉.

On verifie que le membre de droite est independant du choix du sous-recouvrement et dela partition de l’unite ci-dessus.

4.5.3 Structure locale

Les distributions generalisent la notion de fonction. En effet, a toute fonction localementintegrable on peut associer une distribution, mais il existe egalement des distributions quine correspondent a aucune fonction, comme la distribution de Dirac.

Des lors, il est important de savoir jusqu’a quel point les distributions sont plus generalesque les fonctions, ou encore comment obtenir toutes les distributions a partir des seulesfonctions. Le resultat suivant, du a Laurent Schwartz, repond a ces questions, mais sademonstration sort largement du cadre de ce cours.

Theoreme 4.11. Une distribution f ∈ D′(Rn) est egale, dans tout ouvert borne Ω de Rn,a une derivee ∂αg (au sens des distributions) d’une fonction continue g dont le supportpeut etre choisi dans un voisinage arbitraire de Ω.

4.6 Produit tensoriel

Soient ϕ : Ω ⊂ Rm → K et ψ : Ω′ ⊂ Rn → K deux fonctions. Leur produit tensoriel estla fonction ϕ⊗ ψ : Ω × Ω′ ⊂ Rm+n → K definie par

ϕ⊗ ψ(x, y) = ϕ(x)ψ(y)

pour tout x ∈ Ω, y ∈ Ω′.

On desire etendre cette definition a des distributions f ∈ D′(Ω) et g ∈ D′(Ω).

Definition 4.12. Soient f ∈ D′(Ω) et g ∈ D′(Ω′). Leur produit tensoriel est la distri-bution f ⊗ g ∈ D′(Ω × Ω′) telle que

〈f ⊗ g, ϕ ⊗ ψ〉 = 〈f, ϕ〉〈g, ψ〉

pour tout ϕ ∈ D(Ω), ψ ∈ D(Ω′).

70

Cette definition est motivee par le cas ou les distributions f et g sont induites par desfonctions localement integrables, pour lesquelles

∫

Ω×Ω′f(x)g(y)ϕ(x)ψ(y) dx dy =

∫

Ωf(x)ϕ(x) dx

∫

Ω′g(y)ψ(y) dy

pour tout ϕ ∈ D(Ω), ψ ∈ D(Ω′).

De plus, cette definition caracterise bien la distribution f ⊗ g, c’est-a-dire specifie demaniere unique 〈f ⊗ g, χ〉 ∈ K pour tout χ ∈ D(Ω × Ω′). En effet, on peut montrer quel’espace vectoriel D(Ω)⊗D(Ω′) engendre par les produits tensoriels ϕ⊗ψ avec ϕ ∈ D(Ω)et ψ ∈ D(Ω′) est dense dans D(Ω × Ω′). Ainsi, pour tout χ ∈ D(Ω × Ω′), il existe donc

une suite χk ∈ D(Ω) ⊗ D(Ω′) telle que χkD→ χ, et on a 〈f ⊗ g, χ〉 = limk→∞〈f ⊗ g, χk〉.

Comme dans le Theoreme 2.18, on peut montrer que cette limite ne depend pas du choixde la suite χk approximant χ, malgre le fait que D(Ω) n’est pas un espace metrique.

De meme, on peut aussi montrer que l’espace vectoriel engendre par les produits tensorielsf ⊗ g avec f ∈ D′(Ω) et g ∈ D′(Ω′) est dense dans D′(Ω × Ω′).

Le produit tensoriel des distributions possede les proprietes suivantes, qui sont facilementverifiables.

Proposition 4.13. Soient f ∈ D′(Ω), g ∈ D′(Ω′) et h ∈ D′(Ω′′). Alors

(i) f ⊗ g = g ⊗ f ∈ D′(Ω × Ω′) ;

(ii) (f ⊗ g) ⊗ h = f ⊗ (g ⊗ h) ∈ D′(Ω × Ω′ × Ω′′) ;

(iii) supp (f ⊗ g) = (supp f) × (supp g).


1. Montrer que les suites de distributions suivantes convergent vers la distribution deDirac δ au sens D′ :

(a) fn(x) =

n si |x| < 1

2n ,0 sinon;

(b) gn(x) = n√πe−n2x2

.

2. Calculer les distributions suivantes :

(a) ddxsign(x), avec sign(x) =

1 si x > 0,−1 si x < 0;

(b) ddx log |x| ∈ D′(R) ;

(c) ∆ log 1‖x‖ ∈ D′(R2).

Rappel : en coordonnees polaires (r, θ), ∆ψ = 1r

∂∂r (r ∂

∂rψ) + 1r2

∂2

∂θ2ψ.

Deduire de (b) la regularisation canonique de la fonction 1x .

71

3. (a) Montrer que toute distribution f ∈ D′(R) telle que xf = 0 est de la formef = cδ avec c ∈ K.

(b) Calculer x di

dxi δ pour tout entier i > 0.

(c) En deduire la solution generale de l’equation xkf = 0 dans D′(R).

72

Chapitre 5

Distributions temperees

“The shortest path between two truths in the real domainpasses through the complex domain.”Jacques Hadamard (1865 - 1963)

5.1 Definition

Une fonction ϕ ∈ C∞(Rn) est dite a decroissance rapide si pour tout multi-indice α ettout entier k ≥ 0, il existe une constante Kα,k telle que

supx∈Rn

‖x‖k|∂αϕ(x)| < Kα,k.

En d’autres termes, la fonction ϕ et toutes ses derivees decroissent plus vite que l’inversede tout polynome lorsque ‖x‖ → ∞.

On dit qu’une suite (ϕn) de fonctions a decroissance rapide converge vers ϕ ∈ C∞(Rn)au sens S si

supx∈Rn

‖x‖k|∂αϕn(x) − ∂αϕ(x)| → 0 lorsque n→ ∞,

pour tout multi-indice α et tout entier k > 0. Dans ce cas, la limite ϕ est egalement unefonction a decroissance rapide.

On peut montrer que l’ensemble des fonctions a decroissance rapide forme un espacevectoriel, qui peut etre muni d’une topologie induisant la convergence au sens S. Cetespace vectoriel topologique est appele espace de Schwartz et note S(Rn).

Soit S ′(Rn) le dual topologique de S(Rn). Un element de S ′(Rn) est appele distributiontemperee. Il s’agit d’une fonctionnelle lineaire f sur S(Rn) qui est continue pour laconvergence S, c’est-a-dire

〈f, ϕn〉 → 〈f, ϕ〉 ∈ K si ϕnS→ ϕ.

73

En d’autres termes, une distribution f ∈ D′(Rn) est temperee si et seulement si il existem ∈ Z+ et C > 0 tels que

|〈f, ϕ〉| ≤ C supx∈Rn

k,|α|≤m

‖x‖k|∂αϕ(x)|.

Comme pour D′(Ω), on munit S ′(Rn) de la topologie la moins fine rendant continues lesfonctionnelles lineaires S ′(Rn) → K : f 7→ 〈f, ϕ〉, avec ϕ ∈ S(Rn). Ainsi, une suite dedistributions temperees fn ∈ S ′(Rn) converge vers f ∈ S(Rn) si et seulement si

〈fn, ϕ〉 → 〈f, ϕ〉

pour tout ϕ ∈ S(Rn). Dans ce cas, on parle de convergence au sens S′ et on note

fnS′→ f .

Toute fonction test est a decroissance rapide : D(Rn) ⊂ S(Rn). De plus, l’injection i :

D(Rn) → S(Rn) est continue, c’est-a-dire que si ϕn, ϕ ∈ D(Rn), la convergence ϕnD→ ϕ

au sens D implique la convergence ϕnS→ ϕ au sens S. Par consequent, toute distribution

temperee f ∈ S(Rn) induit par restriction a D(Rn) une distribution f |D(Rn) ∈ D′(Rn).Inversement, une distribution f ∈ D′(Rn) est temperee si et seulement si elle peut etreetendue en une fonctionnelle lineaire continue sur S(Rn). Ceci justifie la terminologieutilisee. En particulier, on a S ′(Rn) ⊂ D′(Rn).

Enfin, a toute fonction f ∈ S(Rn) a decroissance rapide on peut associer une distributiontemperee dans S ′(Rn), encore notee f , comme on l’a fait avec les fonctions localementintegrables pour D′(Rn) :

〈f, ϕ〉 =

∫

Rn

f(x)ϕ(x)dx, (5.1)

pour tout ϕ ∈ S(Rn). En resume, nous avons donc

D(Rn) ⊂ S(Rn) ⊂ S ′(Rn) ⊂ D′(Rn)

et toutes les injections sont continues. On verifie egalement qu’elles sont denses.

Ainsi, les operations definies sur les distributions dans D′(Rn) s’etendent aux distribu-tions temperees dans S ′(Rn). On peut en effet verifier que la translation, la derivation,l’integration, le lissage et le produit tensoriel de distributions temperees est temperee. Leproduit tensoriel de distributions temperees se definit comme au chapitre 4 et est unedistribution temperee, car l’espace vectoriel S(Rm) ⊗ S(Rn) engendre par les produitstensoriels de fonctions a decroissance rapide est dense dans S(Rm+n). Par contre, pour lamultiplication et le changement de variables, il faut restreindre la classe des fonctions etde diffeomorphismes utilises dans ces operations, pour garder des distributions temperees.

Definition 5.1. Une fonction f : Rn → K est dite a croissance lente si il existe unpolynome P : R → R tel que

|f(x)| ≤ P (‖x‖) pour tout x ∈ Rn.

74

Ainsi, la multiplication d’une distribution temperee et d’une fonction C∞ a croissance lenteest encore une distribution temperee. De plus, a toute fonction f ∈ C∞(Rn) a croissancelente on peut associer une distribution temperee f ∈ S ′(Rn), definie par la formule (5.1).Bien entendu, il existe des distributions temperees qui ne correspondent pas a une fonctiona croissance lente, comme par exemple la distribution de Dirac δ ∈ S ′(Rn) ⊂ D′(Rn).

Les distributions temperees peuvent etre caracterisees parmi toutes les distributions aumoyen du resultat suivant, du a L. Schwartz.

Theoreme 5.2. Soit f ∈ D′(Rn). Les proprietes suivantes sont equivalentes :

(i) f est une distribution temperee ;

(ii) la fonction Jδf est a croissance lente, pour tout operateur de lissage Jδ ;

(iii) f = ∂αg ou g est continue et a croissance lente.

5.2 Transformee de Fourier dans S(Rn)

5.2.1 Definition

Soit ϕ ∈ S(Rn). On definit sa transformee de Fourier F(ϕ) : Rn → C par

F(ϕ)(y) =

(1√2π

)n ∫

Rn

e−iy·xϕ(x) dx,

ou y ·x =∑n

i=1 yixi. On notera quelquefois F(ϕ) = ϕ. Verifions que l’integrale definissantF(ϕ) est bien convergente. Posons

ϕk(y) =

(1√2π

)n ∫

B(0,k)e−iy·xϕ(x) dx,

ou B(0, k) ⊂ Rn est la boule fermee de centre 0 et de rayon k. Alors, lorsque k < l, on a

|ϕk(y) − ϕl(y)| =

∣∣∣∣∣

(1√2π

)n ∫

B(0,l)\B(0,k)e−iy·xϕ(x) dx

∣∣∣∣∣

≤(

1√2π

)n ∫

B(0,l)\B(0,k)

1

‖x‖p+ndx

≤ C

kp,

pour tout entier p > 0, pour une certaine constante C > 0. Par consequent, la suite ϕk(y)est de Cauchy, et converge donc vers ϕ(y). De plus, cette convergence est uniforme surRn.

5.2.2 Proprietes

Proposition 5.3. Soit ϕ ∈ S(Rn).

75

(i) regles de calcul : pour tout multi-indice α,

∂αF(ϕ) = F((−i)|α|xαϕ) et i|α|yαF(ϕ) = F(∂αϕ);

(ii) F(ϕ) ∈ S(Rn) ;

(iii) formule d’inversion :

ϕ(x) =

(1√2π

)n ∫

Rn

eiy·xF(ϕ)(y) dy;

(iv) si ϕn ∈ S(Rn) et ϕnS→ ϕ alors F(ϕn)

S→ F(ϕ) ;

(v) pour tout ϕ1, ϕ2 ∈ S(Rn), 〈F(ϕ1), ϕ2〉 = 〈ϕ1,F(ϕ2)〉 (relation de Parseval) ;

(vi) F(F(ϕ))(x) = ϕ(−x) pour tout x ∈ Rn ;

(vii) si ϕ1 ∈ S(Rm), ϕ2 ∈ S(Rn) alors

F(ϕ1 ⊗ ϕ2) = F(ϕ1) ⊗F(ϕ2).

Demonstration.

(i) Il suffit de demontrer les regles de calcul pour |α| = 1. En reprenant la suite defonctions ϕk ci-dessus, on a

∂

∂yiϕk(y) =

(1√2π

)n ∫

B(0,k)−ixje

−iy·xϕ(x) dx,

en derivant sous le signe integral. Comme on a l’estimation |xjϕ(x)| ≤ 1‖x‖p+n

lorsque ‖x‖ est suffisamment grand, pour tout entier p > 0, la suite de fonctions∂

∂yjϕk converge uniformement sur Rn lorsque k → ∞. Comme ϕk converge uni-

formement vers ϕ, on en deduit que ∂∂yj

ϕk converge vers ∂∂yj

ϕ. On en deduit que∂

∂yjϕ = F(−ixjϕ).

D’autre part, en integrant par parties, on obtient

F(∂

∂xjϕ) =

(1√2π

)n ∫

Rn

e−iy·x ∂

∂xjϕ(x) dx

= −(

1√2π

)n ∫

Rn

(∂

∂xje−iy·x

)ϕ(x) dx

= −(

1√2π

)n ∫

Rn

−iyje−iy·xϕ(x) dx

= iyjF(ϕ).

(ii) Par application combinee des regles de calcul (i), on a

i|β|yβ∂αF(ϕ) = F(∂β((−i)|α|xαϕ)),

76

pour tous multi-indices α et β. Remarquons que ∂β((−i)|α|xαϕ) est a decroissancerapide puisque ϕ ∈ S(Rn). Par consequent,

‖y‖k|∂αF(ϕ)| ≤ C∑

|β|≤2k

∫

Rn

|∂β((−i)|α|xαϕ)|dx

≤ C∑

|β|≤2k

∫

Rn

1

1 + ‖x‖p+ndx,

pour une certaine constante C > 0 et pour tout entier p > 0. Comme cette derniereexpression est finie et independante de y, pour tout entier k ≥ 0 et tout multi-indiceα, on en deduit que F(ϕ) ∈ S(Rn).

(iii) Nous souhaitons calculer

(1√2π

)n ∫

Rn

eiy·xF(ϕ)(y) dy =

(1

2π

)n ∫

Rn

eiy·x∫

Rn

e−iy·ξϕ(ξ) dξ dy.

Nous ne pouvons cependant pas permuter les integrales, car la fonction eiy·(x−ξ)ϕ(ξ)n’est pas integrable sur Rn×Rn. Pour contourner ce probleme, multiplions l’integrandpar la fonction e−ǫ2‖y‖2/4 qui tend vers 1 lorsque ǫ→ 0. On peut maintenant calculer

Iǫ(x) =

(1√2π

)n ∫

Rn

eiy·xe−ǫ2‖y‖2/4F(ϕ)(y) dy

=

(1

2π

)n ∫∫

R2n

eiy·(x−ξ)e−ǫ2‖y‖2/4ϕ(ξ) dξ dy

=

(1

2π

)n ∫

Rn

ϕ(ξ)

∫

Rn

eiy·(x−ξ)e−ǫ2‖y‖2/4 dy dξ

=

(1√2π

)n ∫

Rn

ϕ(ξ)

(√2

ǫ

)n

e−‖x−ξ‖2/ǫ2 dξ

=

∫

Rn

ϕ(ξ)

(1√πǫ

)n

e−‖x−ξ‖2/ǫ2 dξ.

Nous avons utilise le calcul de F(e−ǫ2‖y‖2/4) qui sera effectue dans un exemple plusbas. D’une part, par definition de Iǫ(x),

limǫ→0

Iǫ(x) =

(1√2π

)n ∫

Rn

eiy·xF(ϕ)(y) dy.

D’autre part, nous avons vu au chapitre 4 que(

1√πǫ

)ne−‖x−ξ‖2/ǫ2 D→ Tξδ lorsque

ǫ → 0. Par consequent, le calcul de Iǫ(x) ci-dessus montre que limǫ→0 Iǫ(x) = ϕ(x)comme desire.

(iv) Quitte a remplacer ϕn par ϕn − ϕ, nous pouvons supposer sans perte de generaliteque ϕ = 0. Dans ce cas, nous devons montrer que

supy∈Rn

‖y‖k|∂αϕn(y)| → 0

77

lorsque n → ∞, pour tout entier k ≥ 0 et tout multi-indice α. Dans la preuve de(ii), nous avons vu que

‖y‖k|∂αϕn(y)| ≤ C∑

|β|≤2k

∫

Rn

|∂β(xαϕn(x))| dx

pour une certaine constante C > 0. Mais le fait que ϕnS→ 0 implique que

supx∈Rn

(1 + ‖x‖p+n)|∂β(xαϕn(x))| → 0,

pour tout entier p > 0, lorsque n→ ∞. On obtient donc le resultat souhaite.

(v) En permutant les integrales, on calcule que

〈F(ϕ1), ϕ2〉 =

∫

Rn

ϕ2(y)

(1√2π

)n ∫

Rn

e−iy·xϕ1(x) dx dy

=

∫

Rn

ϕ1(x)

(1√2π

)n ∫

Rn

e−iy·xϕ2(y) dy dx

= 〈ϕ1,F(ϕ2)〉.(vi) Il suffit de remplacer x par −x dans la formule d’inversion.

(vii) On calcule directement que

F(ϕ1 ⊗ ϕ2) =

(1√2π

)m+n ∫∫

Rm+n

e−i(y1·x1+y2·x2)ϕ1(x1)ϕ2(x2) dx1 dx2

=

(1√2π

)m ∫

Rm

e−iy1·x1ϕ1(x1) dx1

(1√2π

)n ∫

Rn

e−iy2·x2ϕ(x2) dx2

= F(ϕ1) ⊗F(ϕ2).

En particulier, les proprietes (ii), (iii) et (iv) de cette proposition montrent que la trans-formee de Fourier induit une application lineaire

F : S(Rn) → S(Rn)

qui est inversible et continue (pour la convergence S). En fait, c’est un isomorphismed’espaces vectoriels topologiques.

Exemples.

1. Calculons F(ϕ) pour ϕ(x) = e−αx2 ∈ S(R). On a

F(ϕ)(y) =1√2π

∫ ∞

−∞e−iyx−αx2

dx

=1√2πe−

y2

4α

∫ ∞

−∞e−( iy

2√

α−√

αx)2dx

=1√2πα

e−y2

4α

∫ ∞

−∞e−u2

du

=1√2αe−

y2

4α .

78

Comme cette fonction est paire en y, on voit de meme que

F−1(ϕ)(y) =1√2αe−

y2

4α .

2. Calculons maintenant F(ϕ) pour ϕ(x) = e−α‖x‖2 ∈ S(Rn). On a

ϕ(x) =

n∏

j=1

e−αx2j

de sorte que

F(ϕ)(y) =

n∏

j=1

1√2αe−

y2j

4α =

(1√2α

)n

e−‖y‖24α .

N

5.2.3 Theoreme de Paley-Wiener

Comme D(Rn) ⊂ S(Rn), nous avons F(D(Rn)) ⊂ S(Rn). Au vu de l’importance del’espace D(Rn), il est interessant de caracteriser les elements de l’espace F(D(Rn)).

Rappelons tout d’abord qu’une fonction f : Ω ⊂ Cn → C est dite holomorphe si sapartie reelle u = Ref et sa partie imaginaire v = Imf satisfont les equations de Cauchy-Riemann, pour tout z = (z1, . . . , zn) ∈ Ω avec zj = xj + iyj :

∂u∂xj

− ∂v∂yj

= 0,∂u∂yj

+ ∂v∂xj

= 0,

pour j =, . . . , n. Dans ce cas, la fonction f est de classe C∞ et meme analytique : pourtout z0 ∈ Ω, il existe un voisinage V de z0 dans Ω et des coefficients aα ∈ C, |α| ≥ 0, telsque

f(z) =∑

α

aα(z − z0)α,

pour tout z ∈ V . Lorsque f est holomorphe sur tout Cn, on dit que f est entiere.

Soit ϕ ∈ D(Rn). Alors sa transformee de Fourier F(ϕ) peut etre prolongee sur Cn, enremplacant y ∈ Rn par z = σ + iτ ∈ Cn, avec σ, τ ∈ Rn, dans sa definition :

F(ϕ)(z) =

(1√2π

)n ∫

Rn

e−iσ·xeτ ·xϕ(x) dx.

Cette integrale est en effet bien definie puisque eτ ·xϕ(x) ∈ D(Rn) pour tout τ ∈ Rn. Deplus, la fonction prolongee F(ϕ) : Cn → C est une fonction entiere, car on peut deriversous le signe integral pour verifier les equations de Cauchy-Riemann.

79

Ensuite, la fonction entiere F(ϕ) peut etre majoree de la maniere suivante :

|F(ϕ)(z)| ≤(

1√2π

)n ∫

Rn

eτ ·x|ϕ(x)| dx

≤(

1√2π

)n ∫

B(0,a)eτ ·x|ϕ(x)| dx

≤ C0ea‖τ‖, (5.2)

pour une certaine constante C0 > 0, en choisissant a > 0 de sorte que supp ϕ ⊂ B(0, a).

De meme, pour tout q > 0, on montre la majoration suivante :

‖z‖q|F(ϕ)(z)| ≤ C∑

|α|≤2q

(1√2π

)n ∫

Rn

eτ ·x|∂αϕ(x)| dx

≤ C∑

|α|≤2q

(1√2π

)n ∫

B(0,a)eτ ·x|∂αϕ(x)| dx

≤ Cqea‖τ‖, (5.3)

pour une certaine constante Cq > 0.

En resume, la transformee de Fourier d’une fonction ϕ ∈ D(Rn) s’etend en une fonc-tion entiere satisfaisant aux majorations (5.2) et (5.3). Le resultat suivant montre que lareciproque est vraie, nous donnant ainsi la caracterisation souhaitee pour F(D(Rn)).

Theoreme 5.4 (Paley-Wiener). Toute fonction ψ : Rn → C prolongeable en une fonc-tion entiere de z ∈ Cn satisfaisant

‖z‖q|ψ(z)| ≤ Cqea ‖Im(z)‖ (5.4)

pour certaines constantes a,Cq > 0, pour tout entier q ≥ 0, est la transformee de Fourierd’une fonction ϕ ∈ D(Rn).

Demonstration. L’inegalite (5.4) pour z = σ ∈ Rn montre que la fonction ψ : Rn → C estla transformee de Fourier d’une fonction ϕ ∈ C∞(Rn) definie par

ϕ(x) =

(1√2π

)n ∫

Rn

eiσ·xψ(σ) dσ.

Comme eiz·xψ(z) est une fonction entiere, son integrale par rapport a une composantezj ∈ C de z le long d’une courbe fermee du plan complexe est nulle. Comme par (5.4)|eiz·xψ(z)| tend vers 0 lorsque |Re(z)| → ∞ plus vite que l’inverse de tout polynome, on endeduit en particulier que l’integrale de eiz·xψ le long d’une droite Im(zj) = τj ne dependpar de τj ∈ R. Par consequent,

ϕ(x) =

(1√2π

)n ∫

Rn

eiσ·xe−x·τψ(σ + iτ) dσ.

80

En appliquant (5.4) pour q = 0 et q = 2, on obtient, en posant C = C0 + C2,

|ϕ(x)| ≤ e−x·τ(√

2π)n∫

Rn

|eiσ·xψ(σ + iτ)| dσ

≤ e−x·τ(√

2π)n∫

Rn

Cea‖τ‖

1 + ‖σ + iτ‖2dσ

≤ C ′ea‖τ‖−x·τ ,

pour une certaine constante C ′ > 0. Choisissons τ = t x‖x‖ avec t ≥ 0 ; on obtient

|ϕ(x)| ≤ C ′et(a−‖x‖)

pour tout t ≥ 0. Comme le membre de droite peut etre rendu arbitrairement petit lorsque‖x‖ > a, on en deduit que supp ϕ ⊂ B(0, a), de sorte que ϕ ∈ D(Rn).

5.3 Transformee de Fourier dans S ′(Rn)

5.3.1 Definition

On definit la transformee de Fourier d’une distribution temperee f ∈ S ′(Rn) en s’ins-pirant de la relation de Parseval :

〈F(f), ϕ〉 = 〈f,F(ϕ)〉,

pour tout ϕ ∈ S(Rn). Ceci definit bien une fonctionnelle lineaire F(f) continue sur S(Rn),car F : S(Rn) → S(Rn) est continue.

5.3.2 Proprietes

Les proprietes de la transformee de Fourier dans S(Rn) se generalisent a S ′(Rn).

Proposition 5.5.

(i) F : S ′(Rn) → S ′(Rn) est une application lineaire continue ;

(ii) F a un inverse F−1 defini par

〈F−1(f), ϕ〉 = 〈f,F−1(ϕ)〉, (5.5)

pour tout f ∈ S ′(Rn), ϕ ∈ S(Rn) ;

(iii) pour tout f ∈ S ′(Rn), F(F(f)) = u∗f avec u : Rn → Rn : x 7→ −x ;

(iv) si f1 ∈ S ′(Rm) et f2 ∈ S ′(Rn), alors

F(f1 ⊗ f2) = F(f1) ⊗F(f2).

81

Demonstration.

(i) F est continue car, si fnS′→ f , on a par dualite

〈F(fn), ϕ〉 = 〈fn,F(ϕ)〉 → 〈f,F(ϕ)〉 = 〈F(f), ϕ〉,

pour tout ϕ ∈ S(Rn).

(ii) La formule (5.5) permet de definir, tout comme F , une application lineaire F−1 :S ′(Rn) → S ′(Rn). Celle-ci est l’inverse de F car, par dualite,

〈F−1(F(f)), ϕ〉 = 〈F(f),F−1(ϕ)〉 = 〈f,F(F−1(ϕ))〉 = 〈f, ϕ〉,

pour tout f ∈ S ′(Rn), ϕ ∈ S(Rn). De meme, F(F−1(f)) = f pour tout f ∈ S ′(Rn).

(iii) Par dualite, et comme u−1 = u et |J(u)| = 1, on a

〈F(F(f)), ϕ〉 = 〈f,F(F(ϕ))〉 = 〈f, ϕ u〉 = 〈u∗f, ϕ〉

pour tout f ∈ S ′(Rn), ϕ ∈ S(Rn).

(iv) Par dualite,

〈F(f1 ⊗ f2), ϕ1 ⊗ ϕ2〉 = 〈f1 ⊗ f2,F(ϕ1 ⊗ ϕ2)〉= 〈f1 ⊗ f2,F(ϕ1) ⊗F(ϕ2)〉= 〈f1,F(ϕ1)〉〈f2,F(ϕ2)〉= 〈F(f1), ϕ1〉〈F(f2), ϕ2〉= 〈F(f1) ⊗F(f2), ϕ1 ⊗ ϕ2〉,

pour tout f1 ∈ S ′(Rm), f2 ∈ S ′(Rn), ϕ1 ∈ S(Rm) et ϕ2 ∈ S(Rn). Ensuite, commeS(Rm)⊗S(Rn) est dense dans S(Rm+n), cette egalite s’etend a tout ϕ ∈ S(Rm+n).

5.3.3 Theoreme de Paley-Wiener

Remarquons que l’espace S ′(Rn) des distributions temperees contient l’espace E ′(Rn) desdistributions a support compact. Cherchons donc a caracteriser les distributions deF(E ′(Rn)) ⊂ S ′(Rn).

Tout d’abord, une distribution temperee f a support compact s’etend naturellement surC∞(Rn) par la formule

〈f, ϕ〉 = 〈f, ρϕ〉,pour tout ϕ ∈ C∞(Rn), en choisissant une fonction ρ ∈ D(Rn) telle que ρ(x) = 1 pour toutx ∈ supp f . En effet, le membre de droite ne depend pas du choix d’une telle fonction. Enfait, on peut munir C∞(Rn) d’une topologie pour en faire un espace vectoriel topologiqueE(Rn) dont le dual topologique est l’espace des distributions (temperees ou non) a supportcompact. Ceci explique la notation E ′(Rn) pour cet espace.

82

Ensuite, etant donnee une distribution a support compact f ∈ E ′(Rn), on peut definir unefonction F : Rn → C par

F (y) =

(1√2π

)n

〈f, e−iy·x〉.

Comme f est continue, on peut deriver par rapport a y avant l’application de f :

d

dyF (y) =

(1√2π

)n

〈f, ∂∂ye−iy·x〉.

Par consequent, F ∈ C∞(Rn). De plus, si on prolonge F en une fonction sur Cn, ceprolongement est une fonction entiere, car les equations de Cauchy-Riemann peuvent etreverifiees directement.

En appliquant le theoreme 5.2, on peut montrer qu’il existe une fonction polynomialep : R → R et une constante a > 0 telle que

|F (z)| ≤ p(‖z‖)ea‖Im(z)‖. (5.6)

Montrons que la distribution (donc temperee) associee a F : Rn → C n’est autre que latransformee de Fourier de f . On a

〈F,ϕ〉 =

∫

Rn

F (y)ϕ(y) dy

=

(1√2π

)n ∫

Rn

〈f, e−iy·x〉ϕ(y) dy

=

⟨f,

(1√2π

)n ∫

Rn

e−iy·xϕ(y) dy

⟩

= 〈f,F(ϕ)〉= 〈F(f), ϕ〉,

pour tout ϕ ∈ S(Rn). La permutation de l’integration et de l’application de f se justifiecomme dans la preuve de la proposition 4.4 (i).

En resume, la transformee de Fourier d’une distribution a support compacte se prolongeen une fonction entiere satisfaisant (5.6). Le theoreme de Paley-Wiener se generalise acette situation pour donner la reciproque.

Theoreme 5.6 (Paley-Wiener). Toute fonction F : Rn → C prolongeable en une fonc-tion entiere de z ∈ Cn satisfaisant

|F (z)| ≤ C(1 + ‖z‖N )ea‖Im(z)‖ (5.7)

pour certaines constantes a,C > 0 et un certain entier N > 0, est la transformee deFourier d’une distribution a support compact f ∈ E ′(Rn) ⊂ S ′(Rn).

La demonstration de ce resultat est postposee a la section 5.4.2.

83

Exemples.

1. Soit f = Taδ ∈ S ′(Rn). Comme f est a support compact, sa transformee de Fourierest donnee par 〈f, e−iy·x〉. On obtient donc

f(y) =

(1√2π

)n

〈Taδ, e−iy·x〉 =

(1√2π

)n

e−iy·a.

Inversement, la transformee de Fourier de eia·x ∈ S ′(Rn) est (√

2π)nTaδ.

2. Soit f = ∂αTaδ ∈ S ′(Rn). En calculant comme dans l’exemple precedent, on obtient

f(y) =

(1√2π

)n

〈∂αTaδ, e−iy·x〉

= (−1)|α|(

1√2π

)n

〈Taδ, ∂αe−iy·x〉

= (i)|α|(

1√2π

)n

〈Taδ, yαe−iy·x〉

= (i)|α|(

1√2π

)n

yαe−iy·a.

Inversement, la transformee de Fourier de xα ∈ S ′(Rn) est

(−i)|α|(√

2π)nu∗(∂αδ) = (i)|α|(√

2π)n∂αδ

avec u(y) = −y.3. Soit f(x) = 1

2e−κ|x| ∈ S(R) ⊂ S ′(R). Par la definition de la transformee de Fourier

dans S(R), on obtient

f(y) =1

2√

2π

∫ ∞

−∞e−iyxe−κ|x| dx

=1

2√

2π

∫ ∞

−∞(cos(yx) − i sin(yx))e−κ|x| dx

=1√2π

∫ ∞

0cos(yx)e−κx dx.

En integrant par parties deux fois de suite, on obtient

f(y) =1√2π

1

κ− y

κ

1√2π

∫ ∞

0sin(yx)e−κx dx

=1√2π

1

κ− y2

κ2

1√2π

∫ ∞

0cos(yx)e−κx dx

=1√2π

1

κ− y2

κ2f(y).

Par consequent,

f(y) =1√2π

κ

κ2 + y2.

Inversement, la transformee de Fourier de 1√2π

κκ2+x2 est 1

2e−κ|y|.

84

4. Soit f(x) = e−κr

4πr ∈ S ′(R3) avec r = ‖x‖. Utilisons pour x les coordonnees spheriques(r, θ, ϕ) telles que r = ‖y‖ et θ = 0 correspondent au point y ∈ R3. Notons ‖y‖ = k.En calculant comme dans l’exemple precedent, on obtient

f(y) =

(1√2π

)3 ∫ ∞

0

∫ π

−π

∫ 2π

0

e−κr

4πre−ikr cos θr2sinθ dr dθ dϕ

=

(1√2π

)3 1

2

∫ ∞

0

∫ 1

−1e−κre−ikrur dr du

=

(1√2π

)3 ∫ ∞

0e−κr sin(kr)

krr dr.

En integrant par parties deux fois de suite, on obtient

f(y) =k

κ

(1√2π

)3 ∫ ∞

0e−κr cos(kr)

kdr

=1

κ2

(1√2π

)3

− k2

κ2

(1√2π

)3 ∫ ∞

0e−κr sin(kr)

kdr

=1

κ2

(1√2π

)3

− k2

κ2f(y).

Par consequent,

f(y) =

(1√2π

)3 1

k2 + κ2.

En particulier, la transformee de Fourier de 14πr est

(1√2π

)31k2 . N

5.4 Produit de convolution

5.4.1 Produit de convolution dans S(Rn)

Soient ϕ,ψ ∈ S(Rn). On definit leur produit de convolution ϕ ∗ ψ : Rn → K par

ϕ ∗ ψ(x) =

∫

Rn

ϕ(x− y)ψ(y) dy.

Cette integrale est convergente, puisque ϕ et ψ sont a decroissance rapide.

Proposition 5.7.

(i) Pour tout ϕ,ψ ∈ S(Rn) et pour tout multi-indice α, on a

∂α(ϕ ∗ ψ) = (∂αϕ) ∗ ψ = ϕ ∗ (∂αψ);

(ii) pour tout ϕ,ψ ∈ S(Rn), ϕ ∗ ψ ∈ S(Rn) ;

(iii) pour tout ψ ∈ S(Rn), l’application lineaire S(Rn) → S(Rn) : ϕ 7→ ψ∗ϕ est continue ;

85

(iv) pour tout ϕ,ψ, χ ∈ S(Rn), on a

ϕ ∗ ψ = ψ ∗ ϕ,(ϕ ∗ ψ) ∗ χ = ϕ ∗ (ψ ∗ χ);

(v) pour tout ϕ,ψ, χ ∈ S(Rn), on a

〈ϕ ∗ ψ,χ〉 = 〈ϕ, ψ ∗ χ〉,avec ψ(x) = ψ(−x) pour tout x ∈ Rn ;

(vi) pour tout ϕ,ψ ∈ S(Rn), on a

F(ϕ ∗ ψ) = (2π)n2 F(ϕ)F(ψ),

F(ϕψ) = (2π)−n2 F(ϕ) ∗ F(ψ).

Demonstration.

(i) La premiere egalite s’obtient en derivant sous le signe integral. La deuxieme egaliteest alors une consequence de la commutativite du produit de convolution, que l’onprouvera en (iv).

(ii) Pour tout entier k ≥ 0 et tout multi-indice α, on a l’estimation

‖x‖k|∂α(ϕ ∗ ψ)(x)| =

∣∣∣∣‖x‖k

∫

Rn

(∂αϕ)(x − y)ψ(y) dy

∣∣∣∣

≤∫

Rn

‖x‖k|(∂αϕ)(x − y)| |ψ(y)| dy

= Kα,k(ϕ)

∫

Rn

C

1 + ‖y‖p+ndy <∞,

pour tout entier p > 0.

(iii) Il suffit de verifier la continuite en ϕ = 0. Or l’estimation ci-dessus est de la forme

‖x‖k|∂α(ϕ ∗ ψ)(x)| ≤ C ′Kα,k(ϕ),

avec C ′ =∫

RnC

1+‖y‖p+n dy, comme souhaite.

(iv) En faisant le changement de variables y = x− y, on obtient

ϕ ∗ ψ(x) =

∫

Rn

ϕ(x− y)ψ(y) dy =

∫

Rn

ϕ(y)ψ(x− y) dy = ψ ∗ ϕ(x),

pour tout x ∈ Rn. D’autre part, en permutant les integrations, on obtient

(ϕ ∗ ψ) ∗ χ(x) =

∫

Rn

(ψ ∗ ϕ)(x − y)χ(y) dy

=

∫

Rn

∫

Rn

ψ(x− y − y)ϕ(y)χ(y) dy dy

=

∫

Rn

(ψ ∗ χ)(x− y)ϕ(y) dy

= ϕ ∗ (ψ ∗ χ)(x),

pour tout x ∈ Rn.

86

(v) En permutant encore les integrations, on obtient

〈ϕ ∗ ψ,χ〉 =

∫

Rn

(ψ ∗ ϕ)(x)χ(x) dx

=

∫

Rn

∫

Rn

ψ(x− y)ϕ(y)χ(x) dx dy

=

∫

Rn

ϕ(y)(ψ ∗ χ)(y) dy

= 〈ϕ, ψ ∗ χ〉.

(vi) Par changement de variables et factorisation des integrales, on obtient

F(ϕ ∗ ψ)(y) =

(1√2π

)n ∫

Rn

e−iy·x(ϕ ∗ ψ)(x) dx

=

(1√2π

)n ∫

Rn

∫

Rn

e−iy·(x−ey)e−iy·eyϕ(x− y)ψ(y) dx dy

=

(1√2π

)n ∫

Rn

e−iy·uϕ(u) du

∫

Rn

e−iy·eyψ(y) dy

= (2π)n2 F(ϕ)(y)F(ψ)(y),

pour tout y ∈ Rn. La relation F(ϕ ∗ ψ) = (2π)n2 ϕψ peut se reecrire, en appliquant

F−1 membre a membre,

F−1(ϕ) ∗ F−1(ψ) = (2π)n2 F−1(ϕψ).

En remplacant ϕ(x) par ϕ(−x) et ψ(x) par ψ(−x), on obtient la deuxieme relation.

5.4.2 Produit de convolution entre S(Rn) et S ′(Rn)

Soient f ∈ S ′(Rn) et ψ ∈ S(Rn). On definit leur produit de convolution f ∗ψ ∈ S ′(Rn)en etendant la propriete (v) de la proposition 5.7 :

〈f ∗ ψ,ϕ〉 = 〈f, ψ ∗ ϕ〉, (5.8)

pour tout ϕ ∈ S(Rn), avec ψ(x) = ψ(−x) pour tout x ∈ Rn.

Les proprietes de ce produit de convolution s’obtiennent aisement par dualite a partir decelles du produit de convolution dans S(Rn).

Proposition 5.8.

(i) Pour tout f ∈ S ′(Rn), ψ ∈ S(Rn) et pour tout multi-indice α, on a

∂α(f ∗ ψ) = (∂αf) ∗ ψ = f ∗ (∂αψ);

(ii) pour tout ψ ∈ S(Rn), l’application lineaire S ′(Rn) → S ′(Rn) : f 7→ f∗ψ est continue ;

87

(iii) pour tout f ∈ S ′(Rn) et ψ,ϕ ∈ S(Rn), on a

(f ∗ ψ) ∗ ϕ = f ∗ (ψ ∗ ϕ);

(iv) pour tout f ∈ S ′(Rn) et ψ ∈ S(Rn), on a

F(f ∗ ψ) = (2π)n2 F(f)F(ψ),

F(fψ) = (2π)−n2 F(f) ∗ F(ψ).

De plus, ce produit de convolution est plus regulier qu’une distribution temperee.

Proposition 5.9. Soient f ∈ S ′(Rn) et ψ ∈ S(Rn). La distribution temperee f ∗ ψ estune fonction C∞ a croissance lente, donnee par

(f ∗ ψ)(y) = 〈f, Tyψ〉,pour tout y ∈ Rn.

Demonstration. Soit Jδ l’operateur de lissage associe a la fonction ρ ∈ D(Rn) comme dansla section 4.3. Remarquons tout d’abord que

Jδf(y) = 〈f, Tyρδ〉, pour tout f ∈ S ′(Rn),

Jδψ(y) = ψ ∗ ρδ, pour tout ψ ∈ S(Rn),

avec δ > 0 et ρδ(x) = 1δn ρ(

xδ ). On calcule alors

Jδ(f ∗ ψ)(y) = 〈f ∗ ψ, Tyρδ〉= 〈f, ψ ∗ Tyρδ〉= 〈f, TyJδψ〉= 〈Jδf, Tyψ〉.

Cette derniere expression converge vers 〈f, Tyψ〉 lorsque δ → 0. Cette fonction de y estclairement C∞, et elle est a croissance lente car la fonction Jδ(f ∗ψ) l’est, par le theoreme5.2.

En particulier, le lissage Jδf de f ∈ S ′(Rn) est un produit de convolution :

Jδf(y) = 〈f, Tyρδ〉 = (f ∗ ρδ)(y),

pour tout y ∈ Rn.

Exemple. La distribution de Dirac δ ∈ S ′(Rn) est le neutre pour ce produit de convolu-tion. En effet, pour tout ψ ∈ S(Rn), on a

〈δ ∗ ψ,ϕ〉 = 〈δ, ψ ∗ ϕ〉= (ψ ∗ ϕ)(0)

=

∫

Rn

ψ(0 − (−x))ϕ(x) dx

= 〈ψ,ϕ〉,

88

pour tout ϕ ∈ S(Rn), de sorte que δ ∗ ψ = ψ. N

Nous sommes maintenant en mesure de demontrer la generalisation du theoreme de Paley-Wiener.

Demonstration du theoreme 5.6. Soit F : Rn → C une fonction prolongeable en une fonc-tion entiere sur Cn satisfaisant (5.7). En particulier, F ∈ S ′(Rn) car c’est une fonction acroissance lente. Par consequent, F est la transformee de Fourier F(f) d’une distributiontemperee f ∈ S ′(Rn). En utilisant l’operateur de lissage Jδ comme ci-dessus, on a

F(Jδf) = F(f ∗ ρδ) = (2π)n2 F(f)F(ρδ).

Comme ρδ ∈ D(Rn), la transformee de Fourier F(ρδ) satisfait (5.4) avec a = δ. D’autrepart, la fonction F(f) = F satisfait (5.7) par hypothese. Par consequent,

‖z‖q |F(Jδf)(z)| ≤ C ′q(1 + ‖z‖N )e(a+δ)‖Im(z)‖ .

pour tout entier q > 0. On obtient donc une estimation de la forme

‖z‖r |F(Jδf)(z)| ≤ C ′re

(a+δ)‖Im(z)‖,

pour tout entier r > 0. Par le theoreme de Paley-Wiener 5.4, la fonction Jδf a donc son

support dans B(0, a+ δ). Comme JδfS′→ f lorsque δ → 0, on en deduit que le support de

f est contenu dans B(0, a).

5.4.3 Produit de convolution dans S ′(Rn)

Nous voulons etendre encore le produit de convolution en generalisant (5.8). Pour toutψ,ϕ ∈ S(Rn), on a

(ψ ∗ ϕ)(x) =

∫

Rn

ψ(y − x)ϕ(y) dy

=

∫

Rn

ψ(y)ϕ(x + y) dy

= 〈ψ,ϕ ux〉,

avec ux : Rn → Rn : y 7→ x+ y. Par consequent, si f ∈ S ′(Rn),

〈f ∗ ψ,ϕ〉 = 〈f, ψ ∗ ϕ〉 = 〈f ⊗ ψ,ϕ u〉,

avec u : Rn ×Rn → Rn : (x, y) 7→ x+ y. L’expression dans le membre de droite peut avoirun sens si on prend ψ ∈ S ′(Rn), mais sous certaines conditions. En effet, la fonction ϕ un’est pas a decroissance rapide dans R2n, car elle est constante sur les n-plans d’equationx + y = c avec c ∈ Rn. Il existe diverses conditions sur f et ψ permettant de rendrel’expression 〈f ⊗ψ,ϕ u〉 bien definie, mais nous nous interesserons plus particulierementau cas ou l’une des distributions temperees f et ψ est a support compact.

89

Soient f, g ∈ S ′(Rn). Supposons que f ou g au moins est a support compact. On definitleur produit de convolution f ∗ g ∈ S ′(Rn) par

〈f ∗ g, ϕ〉 = 〈f ⊗ g, ϕ u〉,

pour tout ϕ ∈ S(Rn), avec u : Rn × Rn → Rn : (x, y) 7→ x+ y. Le membre de droite est ainterpreter comme

〈f ⊗ g, ϕ u〉 = 〈f ⊗ g, χ(ϕ u)〉,ou χ ∈ D(R2n) est egale a 1 sur le compact (supp f × supp g) ∩ supp (ϕ u).

Comme avant, les proprietes de ce produit de convolution s’obtiennent aisement par dua-lite.

Proposition 5.10. Soient f, g ∈ S ′(Rn). Supposons que f ou g au moins est a supportcompact.

(i) Pour tout multi-indice α, on a

∂α(f ∗ g) = (∂αf) ∗ g = f ∗ (∂αg);

(ii) l’application lineaire S ′(Rn) → S ′(Rn) : f 7→ f ∗ g est continue ;

(iii) pour tout h ∈ S ′(Rn) telle que le support de 2 distributions au moins parmi f , g eth est compact, on a

f ∗ g = g ∗ f,(f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h);

(iv)F(f ∗ g) = (2π)

n2 F(f)F(g).

Remarquons que le membre de droite dans la propriete (iv) est bien defini, car l’un desfacteurs F(f) ou F(g) est une fonction C∞ a croissance lente, par le theoreme de Paley-Wiener 5.6.

Nous avons vu qu’il faut imposer des conditions sur la decroissance de f et g ∈ S ′(Rn)a l’infini pour que leur produit de convolution soit bien defini en tant que distributiontemperee. Par contre, pour que la multiplication de f et g ∈ S ′(Rn) soit bien definie entant que distribution temperee, il faut imposer a f et g des conditions de regularite. Cecin’est pas surprenant, au vu de la propriete (iv) ci-dessus, car la transformee de Fourierechange les proprietes locales avec le comportement a l’infini. Par exemple, en effet, laderivation par ∂α (operateur local) est echangee avec la multiplication (a un facteur pres)par xα (affectant le comportement a l’infini).

90

5.5 Equations aux derivees partielles

La transformee de Fourier est un outil formidable pour resoudre des equations aux deriveespartielles a coefficients constants sur Rn tout entier, car elle transforme ces equations enequations algebriques. Au vu des sections precedentes, nous pourrons donc resoudre cesequations aux derivees partielles dans S(Rn) ou dans S ′(Rn). Nous allons illustrer cesapplications avec des exemples d’equations aux derivees partielles rencontrees en physique,dont nous chercherons les solutions dans l’espace S ′(Rn) ⊃ S(Rn).

5.5.1 Problemes aux limites

Soit f ∈ S ′(Rn) et A =∑

|α|≤pCα∂α un operateur differentiel lineaire d’ordre p, a coeffi-

cients constants Cα.

On considere l’equation aux derivees partielles Au = f dans S ′(Rn) et on desire trouvertoutes les solutions u de cette equation dans S ′(Rn). Souvent, on ne s’interessera qu’aucas ou f ∈ C∞(Rn), dans l’espoir que les solutions u sont egalement dans C∞(Rn). Ils’agit bien d’un probleme aux limites, dans la condition u ∈ S ′(Rn) impose un certaincomportement pour u a l’infini.

Le fait que l’on considere f ∈ S ′(Rn) plutot que C∞(Rn) permet de definir la notion desolution elementaire : il s’agit d’une distribution G ∈ S ′(Rn) telle que AG = δ. Si on atrouve la solution elementaire la plus generale, on peut alors resoudre le probleme initialen posant u = G ∗ f , car

A(G ∗ f) = (AG) ∗ f = δ ∗ f = f.

Exemple. Considerons le probleme −∆u+ κ2u = f avec κ ∈ R et κ 6= 0.

Toute solution elementaire satisfait −∆G+κ2G = δ. En prenant la transformee de Fouriermembre a membre, on obtient

‖y‖2G+ κ2G =

(1√2π

)n

.

Par consequent,

G(y) =

(1√2π

)n 1

‖y‖2 + κ2.

Lorsque n = 1, on en deduit que

G(x) = F−1

(1√2π

1

‖y‖2 + κ2

)=e−κ|x|

2κ,

de sorte que la solution du probleme est donnee par

u =e−κ|x|

2κ∗ f =

∫ ∞

−∞

e−κ|x−x0|

2κf(x0) dx0.

91

Lorsque n = 3, on en deduit que

G(x) = F−1

((1√2π

)3 1

‖y‖2 + κ2

)=e−κr

4πr,

avec r = ‖x‖, de sorte que la solution du probleme est donnee par

u =e−κr

4πr∗ f =

∫

R3

e−κ‖~r−~r0‖

4π‖~r − ~r0‖f(~r0) d~r0.

Lorsque κ→ 0, on obtient

‖y‖2G =

(1√2π

)n

,

de sorte que la solution elementaire n’est plus unique. En effet, on montre que toutedistribution temperee dans Rn satisfaisant ‖y‖2G0 = 0 est de la forme

G0 = C0δ +∑

|α|=1

Cα∂αδ.

On en deduit que G0(x) = C0 +∑n

i=1 Cixi. Il s’agit bien de la solution generale del’equation homogene ∆G0 = 0, qui satisfait egalement aux conditions aux limites puisqueG0 est a croissance lente. N

5.5.2 Problemes d’evolution

Soit v ∈ S ′(Rn) et A un operateur differentiel lineaire a coefficients constants.

On considere le probleme d’evolution suivant :

ddtu(t) = Au(t), t ≥ 0,u(0) = v.

On cherche toutes les solutions u regulires en t et telles que u(t) ∈ S ′(Rn) pour tout t ≥ 0.Formellement, on demande que u ∈ C∞(R+,S ′(Rn)).

Exemples.

1. Considerons l’equation de la chaleur avec dissipation :

∂∂tu(t, x) = ∆u− κ2u, t ≥ 0, x ∈ Rn,u(0, x) = v(x).

En appliquant la transformee de Fourier a cette equation aux derivees partielles, onobtient

d

dtu = −(‖y‖2 + κ2)u.

Par consequent,u(t) = e−(‖y‖2+κ2)tu(0) = e−(‖y‖2+κ2)tv.

92

On en deduit

u(t) =

(1√2π

)n

F−1(e−(‖y‖2+κ2)t) ∗ v =

(1√2π

)n( 1√2t

)n

e−κ2te−‖x‖24t ∗ v,

ou encore

u(t, x) =

(1√4πt

)n

e−κ2t

∫

Rn

e−‖x−x0‖2

4t v(x0) dx0.

2. Considerons l’equation des ondes :

∂∂tu(t, x) = −∑n

j=1 cj∂

∂xju = −c · ∇u, t ≥ 0, x ∈ Rn,

u(0, x) = v(x).


d

dtu = −ic · yu.

Par consequent,u(t) = e−ic·ytu(0) = e−ic·ytv.

On en deduit

u(t) =

(1√2π

)n

F−1(e−ic·yt) ∗ v = Tctδ ∗ v = Tctv,

ou encore u(t, x) = v(x− ct).

3. Considerons l’equation de Schrodinger :

i ∂∂tu(t, x) = −∆u, t ≥ 0, x ∈ Rn,u(0, x) = v(x).


id

dtu = ‖y‖2u.

Par consequent,u(t) = e−i‖y‖2tu(0) = e−i‖y‖2tv.

On en deduit

u(t) =

(1√2π

)n

F−1(e−i‖y‖2t) ∗ v =

(1√4πit

)n

ei‖x‖24t ∗ v,

ou encore

u(t, x) =

(1√4πit

)n ∫

Rn

ei‖x−x0‖2

4t v(x0) dx0.

N

93


1. (a) Montrer que ex n’est pas une distribution temperee, en l’appliquant a la fonctionTaϕ ∈ D(R) avec a grand ;

(b) Montrer que ex cos(ex) est une distribution temperee, en l’exprimant au moyend’une autre distribution temperee.

2. (a) On dit qu’une distribution f ∈ D′(R) est paire (resp. impaire) si 〈f, ϕ〉 = 0pour toute fonction test ϕ impaire (resp. paire). Montrer que la transformeede Fourier d’une distribution temperee paire (resp. impaire) est paire (resp.impaire).

(b) Montrer la regle de calcul

∂

∂yjF(f) = F(−ixjf)

pour tout f ∈ S ′(Rn).

(c) En deduire la transformee de Fourier de vp( 1x).

3. Resoudre le probleme d’evolution suivant :

∂∂tu(t, x) = ∆u(t, x) − c · ∇u(t, x),u(0, x) = v(x).

avec (t, x) ∈ R+ × Rn et c ∈ Rn.

94

Chapitre 6

Espaces de Lebesgue

“Analysis takes back with one hand what it gives with the other.I recoil in fear and loathing from that deplorable evil :

continuous functions with no derivatives.”Charles Hermite (1822 - 1901)

6.1 Espaces L2

6.1.1 Definition

Soit Ω un ouvert de Rn. Commencons par rappeler la definition de l’espace L2(Ω,K) =L2(Ω) esquissee dans la section 3.2 avant de la preciser.

On munit l’espace vectoriel C∞0 (Ω) d’un produit scalaire defini par

〈ϕ,ψ〉L2 =

∫

Ωϕ(x)ψ(x) dx,

pour tout ϕ,ψ ∈ C∞0 (Ω). On obtient ainsi un espace prehilbertien, qui a pour norme

‖ϕ‖L2 =√

〈ϕ,ϕ〉.

Avec cette norme, on dit qu’une suite (ϕk) converge vers ϕ au sens L2, ce que l’on note

ϕkL2

→ ϕ, si et seulement si ‖ϕk − ϕ‖L2 → 0 lorsque k → ∞, c’est-a-dire si et seulement siϕk converge en moyenne quadratique vers ϕ.

Definition 6.1. L’espace de Lebesgue L2(Ω) est la completion de l’espace prehilbertienC∞

0 (Ω) muni du produit scalaire 〈·, ·〉L2 . La norme ‖ · ‖L2 etendue a l’espace L2(Ω) estappelee norme L

2.

Les elements rajoutes a C∞0 (Ω) pour obtenir la completion L2(Ω) sont plus generaux

que des fonctions localement integrables (au sens de Riemann). Pour mieux comprendrel’espace L2(Ω), nous allons interpreter ces elements comme des distributions.

95

Soit (ϕk) une suite de Cauchy dans C∞0 (Ω) pour la norme L2. Cette suite n’a en general

pas de limite dans C∞0 (Ω). En revanche, pour tout ψ ∈ C∞

0 (Ω), la suite 〈ϕk, ψ〉L2 est unesuite de Cauchy dans K, car

|〈ϕk, ψ〉L2 − 〈ϕl, ψ〉L2 | = |〈ϕk − ϕl, ψ〉L2 | ≤ ‖ϕk − ϕl‖L2 ‖ψ‖L2 .

Par consequent, cette suite est convergente et on peut poser

〈f, ψ〉 = limk→∞

〈ϕk, ψ〉L2 ,

ce qui definit clairement une fonctionnelle lineaire f sur C∞0 (Ω). De plus, f est continue

au sens D car si ψkD→ ψ alors ψk

L2

→ ψ et donc 〈f, ψk〉 → 〈f, ψ〉, car

|〈f, ψk〉 − 〈f, ψ〉| = |〈f, ψk − ψ〉| = limj→∞

|〈ϕj , ψk − ψ〉L2 |

≤ limj→∞

‖ϕj‖L2‖ψk − ψ‖L2 = C‖ψk − ψ‖L2 .

Par consequent, a toute suite de Cauchy (ϕk) au sens L2 dans C∞0 (Ω) correspond une

distribution f ∈ D′(Ω).

Lemme 6.2. Deux suites de Cauchy au sens L2 dans C∞0 (Ω) sont equivalentes (au sens

de la definition 1.8) si et seulement si elles determinent la meme distribution dans D′(Ω).

Demonstration. Si (ϕk) et (ϕk) sont deux suites de Cauchy equivalentes, alors elles deter-minent la meme distribution car

|〈ϕk, ψ〉 − 〈ϕk, ψ〉| ≤ ‖ϕk − ϕk‖L2‖ψ‖L2 → 0,

lorsque k → ∞.

Inversement, si deux suites de Cauchy (ϕk) et (ϕk) determinent la meme distribution,alors la suite des differences χk = ϕk − ϕk est aussi de Cauchy car

‖χk − χl‖L2 = ‖(ϕk − ϕk) − (ϕl − ϕl)‖L2 ≤ ‖ϕk − ϕl‖L2 + ‖ϕk − ϕl‖L2 .

En particulier, la suite ‖χk‖L2 dans R est convergente.

Par hypothese, la suite (χk) determine la distribution nulle, de sorte que

limk→∞

〈χk, ψ〉L2 = 0,

pour tout ψ ∈ C∞0 (Ω).

On a alors

limk→∞

‖χk − ψ‖2L2 = lim

k→∞〈χk, χk〉L2 − 2 lim

k→∞Re〈χk, ψ〉L2 + lim

k→∞〈ψ,ψ〉L2

= limk→∞

‖χk‖2L2 + lim

k→∞‖ψ‖2

L2

≥ limk→∞

‖χk‖2L2 .

96

Mais comme C∞0 (Ω) est dense dans L2(Ω), la limite limk→∞ ‖χk − ψ‖2

L2 peut etre rendueaussi petite que possible par un choix approprie de ψ ∈ C∞

0 (Ω). Par consequent,

limk→∞

‖χk‖L2 = limk→∞

‖ϕk − ϕk‖L2 = 0,

de sorte que les deux suites de Cauchy (ϕk) et (ϕk) sont equivalentes.

Nous obtenons donc une definition equivalente, mais plus explicite, de l’espace L2(Ω).

Definition 6.3. L’espace L2(Ω) est l’espace des distributions de D′(Ω) qui sont limitesau sens D′ de suites de Cauchy au sens L2 dans D(Ω). Cet espace est muni du produitscalaire

〈f, g〉L2 = limk→∞

〈ϕk, ψk〉, (6.1)

ou (ϕk) et (ψk) sont des suites de Cauchy convergeant vers f et g ∈ L2(Ω) comme ci-dessus.

Remarquons en effet que, si (ϕk) et (ψk) sont des suites de Cauchy au sens L2 dans D(Ω),alors la suite 〈ϕk, ψk〉 dans K est convergente, et sa limite ne change pas si on remplace(ϕk) et (ψk) par des suites de Cauchy equivalentes. En particulier, on a

‖f‖L2 = limk→∞

‖ϕk‖L2 et limk→∞

‖f − ϕk‖L2 = 0,

pour tout f ∈ L2(Ω), si (ϕk) est une suite de Cauchy dans D(Ω) convergeant vers f .

Remarquons qu’un element f ∈ L2(Ω) ⊂ D′(Ω) est une fonctionnelle lineaire ayant pourdomaine D(Ω). Cependant, ce domaine peut etre etendu a L2(Ω) par (6.1), en posant

〈f, g〉 = 〈f , g〉L2 ,

pour tout g ∈ L2(Ω). De plus, cette fonctionnelle lineaire etendue est continue au sens L2.

6.1.2 Proprietes

Au vu de la construction de L2(Ω) par completion de C∞0 (Ω) muni de la norme ‖ · ‖L2 et

de la proposition 1.11, nous avons le resultat suivant.

Theoreme 6.4. L’espace L2(Ω), muni du produit scalaire 〈·, ·〉L2 , est un espace de Hilbert.

Parmi les distributions de D′(Ω) figurent les fonctions continues. Il est interessant de savoirlesquelles d’entre elles sont dans L2(Ω).

Proposition 6.5. Une fonction continue f : Ω → K est un element de L2(Ω) si etseulement si ∫

Ω|f(x)|2 dx <∞. (6.2)

97

Demonstration. Supposons que f ∈ L2(Ω). Dans ce cas, il existe une suite de Cauchy (ϕk)dans C∞

0 (Ω) convergeant au sens L2 vers f . En particulier, ‖f‖L2 = limk→∞ ‖ϕk‖L2 <∞.

Inversement, soit f une fonction localement integrable de module carre sommable. Pourtout R > 0, on definit un sous-ensemble compact KR ⊂ Ω par

KR = x ∈ Ω ∩B(0, R) | B(x, 1/R) ⊂ Ω,de sorte que KR ⊂ KR′ si R ≤ R′ et ∪R>0KR = Ω. On definit alors fR : Rn → K par

fR(x) =

f(x) si x ∈ KR,0 si x /∈ KR.

Pour δ > 0 suffisamment petit, on definit ensuite fR,δ ∈ C∞0 (Ω) par fR,δ = JδfR, ou Jδ

est un operateur de lissage comme dans la section 4.3.

Alors

limR→∞

∫

Ω|f(x) − fR(x)|2 dx = lim

R→∞

∫

Ω\KR

|f(x)|2 dx = 0,

au vu de (6.2) et des proprietes de KR.

De plus, comme fR,δ(x) = JδfR(x) converge vers fR(x) lorsque δ → 0, pour tout x ∈ Ω,on a

limδ→0

∫

Ω|fR(x) − fR,δ(x)|2 dx = lim

δ→0

∫

Ω∩B(0,R+δ)|fR(x) − fR,δ(x)|2 dx = 0.

Par consequent, en choisissant Rk → ∞ et δk → 0, on obtient une suite de fonctionsϕk = fRk,δk

∈ C∞0 (Ω) convergeant au sens L2 vers f . Ceci montre bien que f ∈ L2(Ω).

En particulier, l’ensemble des fonctions localement integrables et de module carre som-mable est dense dans L2(Ω), puisque cet ensemble contient C∞

0 (Ω). Lorsque Ω = Rn, ona aussi le resultat suivant.

Proposition 6.6. Les inclusions

D(Rn) ⊂ S(Rn) ⊂ L2(Rn) ⊂ S ′(Rn) ⊂ D′(Rn)

sont continues et denses.

Demonstration. Au vu des conclusions de la section 5.1, il ne reste qu’a considerer les 2inclusions du milieu. L’inclusion S(Rn) ⊂ L2(Rn) est une consequence de la proposition6.5, puisque toute fonction a decroissance rapide est de module carre sommable.Cette inclusion est dense par construction de L2(Rn), puisque C∞

0 (Rn) ⊂ S(Rn). De plus,cette inclusion est continue, car la convergence S implique la convergence uniforme surtout compact, qui implique a son tour la convergence L2.

A partir de l’inclusion continue S(Rn) ⊂ L2(Rn), on obtient l’inclusion continue entreles espaces duaux (L2(Rn))′ ⊂ S ′(Rn), puisque la restriction d’une fonctionnelle lineairecontinue de L2(Rn) a S(Rn) est continue au sens S. Par le theoreme de representationde Riesz 3.14, on a (L2(Rn))′ = L2(Rn). Enfin, l’inclusion L2(Rn) ⊂ S ′(Rn) est dense carl’inclusion S(Rn) ⊂ S ′(Rn) l’est.

98

Comme L2(Rn) ⊂ S ′(Rn), on peut definir par restriction la transformee de Fourier surL2(Rn). Le resultat suivant donne les proprietes de F sur L2(Rn).

Theoreme 6.7 (Plancherel). Soient f, g ∈ L2(Rn).

(i) F(f) ∈ L2(Rn) ;

(ii) 〈F(f),F(g)〉L2 = 〈f, g〉L2 .

Demonstration. Commencons par demontrer (ii) lorsque f, g ∈ S(Rn). On a en effet

〈F(f),F(g)〉L2 = 〈F(f),F(g)〉 = 〈F(F(f)), g〉 = 〈f, g〉 = 〈f, g〉L2 .

La deuxieme egalite suit de la relation de Parseval et la troisieme egalite est une consequen-ce du fait que F(f) = F−1(f).

Pour montrer (i), soit (ϕk) une suite de Cauchy au sens L2 dans C∞0 (Rn), convergeant

vers f ∈ L2(Rn). Alors (ϕk) est une suite de Cauchy au sens L2 dans S(Rn), qui convergedonc vers un element h ∈ L2(Rn). Il reste a montrer que h = F(f).

Par la proposition 6.6, (ϕk) converge vers f dans S ′(Rn). Par la continuite de F sur S ′(Rn),ceci implique que (ϕk) converge vers f dans S ′(Rn). Or cette suite converge au sens L2,donc au sens S ′, vers h. Par unicite de la limite dans S ′(Rn), on a donc h = F(f).

Enfin, la propriete (ii) dans tout L2(Rn) est une consequence de la continuite jointe duproduit scalaire.

6.1.3 Autres espaces L2

Espaces L2σ

Soit σ : R → R une fonction croissante et soit ϕ ∈ C∞0 (R). L’integrale de Riemann-

Stieltjes ∫

R

ϕ(x) dσ(x)

de ϕ par rapport a σ est definie comme la limite des sommes de Riemann

N∑

i=1

ϕ(ξi) (σ(ai+1) − σ(ai))

lorsque maxi |ai+1 − ai| → 0. Si σ ∈ C1(R), on a simplement∫

R

ϕ(x) dσ(x) =

∫

R

ϕ(x)σ′(x) dx,

ce qui revient a integrer ϕ par rapport a une densite σ′. Par contre, si σ est discontinueau point a ∈ R, alors le singleton a aura un poids σ(a+) − σ(a−) > 0.

Lorsque limx→−∞ σ(x) = 0 et limx→∞ σ(x) = 1, on peut interpreter σ comme la fonctionde repartition de la variable aleatoire x. Si de plus σ ∈ C1, sa derivee σ′ est la densite

99

de probabilite de x. Dans ce cas, l’integrale de Riemann-Stieltjes d’une fonction ϕ est lamoyenne, ou esperance mathematique, de la variable aleatoire ϕ(x).

Soient ϕ,ψ ∈ C∞0 (R) ; on pose

〈ϕ,ψ〉L2σ

=

∫

R

ϕ(x)ψ(x) dσ(x)

et‖ϕ‖L2

σ=√

〈ϕ,ϕ〉L2σ.

Alors ‖ · ‖L2σ

a les proprietes (ii) et (iii) de la definition 2.4 d’une norme, mais pas lapropriete (i). En effet, ‖ϕ‖L2

σ= 0 des que σ est constante sur le support de ϕ. On dit alors

que ‖ · ‖L2σ

est une semi-norme.

On dit qu’une suite (ϕk) dans C∞0 (R) est de Cauchy au sens L2

σ si

‖ϕk − ϕl‖L2σ→ 0

lorsque k, l → ∞. Dans ce cas, (ϕk) determine une distribution f ∈ D′(R) definie par


〈ϕk, ψ〉L2σ

pour tout ψ ∈ C∞0 (R). On definit alors l’espace L2

σ(R) comme l’espace des distributionsde D′(R) obtenues comme limites au sens D′ de suites de Cauchy au sens L2

σ dans C∞0 (R).

Cet espace vectoriel, muni du produit scalaire

〈f, g〉L2σ

= limk→∞

〈ϕk, ψk〉L2σ, (ϕk)

L2σ→ f, (ψk)

L2σ→ g,

et de la norme‖f‖L2

σ=√

〈f, f〉L2σ

est un espace de Hilbert. Remarquons en particulier que ‖ · ‖L2σ

est definie positive surL2

σ(R), car toute fonction ϕ ∈ C∞0 (R) telle que ‖ϕ‖L2

σ= 0 correspond a la distribution

nulle dans D′(R). Ceci signifie par contre qu’il n’y a pas d’inclusion de C∞0 (R) dans L2

σ(R).De plus, si σ est constante sur un intervalle ouvert I alors f = 0 sur I pour tout f ∈ L2

σ(R).

Enfin, il est possible de definir de maniere semblable l’espace L2σ(Rn) avec n > 1, lorsque

σ : Rn → R est une fonction croissante de chaque composante xj de x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn.

Espaces L2(S)

On voudrait maintenant definir des espaces L2 lorsque le domaine est un sous-ensemblesuffisamment regulier de Rm, tel qu’une sphere, un tore, . . .

On dit qu’un sous-ensemble S de Rm est une sous-variete de dimension n de Rm

si pour tout x ∈ S, il existe un voisinage U de x dans S, un ouvert V de Rn et unhomeomorphisme φ : V ⊂ Rn → U ⊂ S ⊂ Rm de classe C∞. Un couple (U, φ) avec U et φcomme ci-dessus est une carte locale pour S. Cette notion est illustree par la figure 6.1.

100

S

R2 R3

U

V

φ

Fig. 6.1 – Carte locale pour une sous-variete S de dimension 2 de R3.

On dit qu’une fonction continue ϕ : S → K est de classe C∞ si, pour toute carte locale

(U, φ) de S, la composition ϕ φ : φ−1(U) ⊂ Rn → K est C∞. On definit alors l’espaceC∞

0 (S) comme l’espace des fonctions de classe C∞ sur S et a support compact. On ditqu’une suite (ϕk) dans C∞

0 (S) converge vers ϕ ∈ C∞0 (S) au sens D si

(i) il existe un compact K ⊂ S tel que supp ϕk ⊂ K pour tout k ∈ N ;

(ii) pour toute carte locale (U, φ) de S, la suite (ϕk φ) et ses derivees convergentuniformement sur tout compact de φ−1(U) vers ϕ φ et ses derivees.

On obtient ainsi l’espace D(S) ; son dual topologique est note D′(S).

Soient ϕ,ψ ∈ C∞0 (S) et (U, φ) une carte locale de S telles que supp ϕ, supp ψ ⊂ U . On

pose

〈ϕ,ψ〉L2 =

∫

φ−1(U)ϕ φ(x)ψ φ(x)‖dφ‖ dx

Notons que cette expression peut etre interpretee comme une integrale de Riemann-Stieltjes sur Rn avec σ ∈ C1(Rn) et σ′ = ‖dφ‖.

On etend ensuite ce produit scalaire a tout ϕ,ψ ∈ C∞0 (S) en utilisant une partition de

l’unite comme dans la section 4.5.2. On peut alors definir L2(S) comme la completion deC∞

0 (S) pour la norme ‖ ·‖L2 associee au produit scalaire ci-dessus, comme precedemment.

6.2 Espaces Lp

6.2.1 Definition

Soit Ω un ouvert de Rn. Pour definir les espaces Lp(Ω) avec 1 < p < ∞, comme dans lasection 2.3.1, on munit l’espace vectoriel C∞

0 (Ω) de la norme ‖ · ‖Lp definie par

‖ϕ‖Lp =

(∫

Ω|ϕ(x)|p dx

) 1

p

,

pour tout ϕ ∈ C∞0 (Ω). Cette norme possede les proprietes suivantes.

Proposition 6.8. Soient ϕ,ψ ∈ C∞0 (Ω) ; les inegalites suivantes sont satisfaites :

101

(i) (inegalite de Holder) ∣∣∣∣∫

Ωϕ(x)ψ(x) dx

∣∣∣∣ ≤ ‖ϕ‖Lp‖ψ‖Lq ,

pour tout 1 < p, q <∞ tels que 1p + 1

q = 1 ;

(ii) (inegalite de Minkowski)

‖ϕ + ψ‖Lp ≤ ‖ϕ‖Lp + ‖ψ‖Lp

pour tout 1 < p <∞.

Demonstration.

(i) La fonction log etant concave sur R+0 , on a

log

(1

pap +

1

qbq)

≥ 1

plog ap +

1

qlog bq = log ab,

pour tout a, b > 0. En prenant a = ϕ(x) et b = ψ(x), puis en exponentiant et enintegrant membre a membre, on obtient

∫

Ω|ϕ(x)ψ(x)| dx ≤ 1

p‖ϕ‖p

Lp +1

q‖ψ‖q

Lq .

En remplacant ϕ par λϕ avec λ > 0, on obtient

∫

Ω|ϕ(x)ψ(x)| dx ≤ λp−1

p‖ϕ‖p

Lp +1

qλ‖ψ‖q

Lq .

Le membre de droite est minimum lorsque λ = ‖ϕ‖−1Lp ‖ψ‖q/p

Lq et pour cette valeur deλ, on obtient l’inegalite de Holder.

(ii) On a

∫

Ω|ϕ(x) +ψ(x)|p dx ≤

∫

Ω|ϕ(x)| |ϕ(x) +ψ(x)|p−1 dx+

∫

Ω|ψ(x)| |ϕ(x) +ψ(x)|p−1 dx.

En appliquant l’inegalite de Holder aux deux termes du membre de droite, on obtient

‖ϕ+ ψ‖pLp ≤ ‖ϕ‖Lp‖ϕ+ ψ‖p−1

Lp + ‖ψ‖Lp‖ϕ + ψ‖p−1Lp

soit, apres division par ‖ϕ+ ψ‖p−1Lp , l’inegalite de Minkowski.

Comme l’inegalite de Minkowski n’est autre que l’inegalite triangulaire pour ‖ · ‖Lp , laproposition ci-dessus montre en fait que ‖ · ‖Lp est une norme.

Soit (ϕk) une suite de Cauchy au sens Lp dans C∞0 (Ω). Par l’inegalite de Holder, on a

∣∣∣∣∫

Ω(ϕk(x) − ϕl(x))ψ(x) dx

∣∣∣∣ ≤ ‖ϕk − ϕl‖Lp‖ψ‖Lq ,

102

pour tout ψ ∈ C∞0 (Ω) avec 1

p + 1q = 1. Par consequent, la suite

∫

Ωϕk(x)ψ(x) dx

converge dans K et (ϕk) converge au sens D′ vers une distribution f ∈ D′(Ω) definie par


∫

Ωϕk(x)ψ(x) dx,

pour tout ψ ∈ C∞0 (Ω). On verifie comme dans le lemme 6.2 que deux suites de Cauchy

au sens Lp dans C∞0 (Ω) sont equivalentes si et seulement si elles determinent la meme

distribution dans D′(Ω).

On obtient donc la definition suivante de Lp(Ω), equivalente a celle de la section 2.3.1.

Definition 6.9. L’espace Lp(Ω) est l’espace des distributions de D′(Ω) qui sont limitesau sens D′ de suites de Cauchy au sens Lp dans D(Ω). Cet espace est muni de la norme

‖f‖Lp = limk→∞

‖ϕk‖Lp ,

ou (ϕk) est une suite de Cauchy convergeant vers f ∈ Lp(Ω) comme ci-dessus.

6.2.2 Proprietes

Certaines proprietes de L2(Ω) s’etendent aux espaces Lp(Ω). Nous les listons ici en nedonnant les preuves que lorsqu’elles different du cas L2.

Theoreme 6.10. L’espace Lp(Ω), muni de la norme ‖ · ‖Lp , est un espace de Banach.

Par contre, Lp(Ω) n’est pas un espace Hilbert lorsque p 6= 2. On peut le verifier aisementen trouvant un contre-exemple a l’identite du parallelogramme dans Lp(Ω).

Proposition 6.11. Une fonction continue f : Ω → K est un element de Lp(Ω) si etseulement si ∫

Ω|f(x)|p dx <∞.

La premiere etape dans la determination du dual de Lp(Ω) consiste a generaliser l’inegalitede Holder.

Proposition 6.12. Soient f ∈ Lp(Ω) et g ∈ Lq(Ω) avec 1 < p, q <∞ tels que 1p + 1

q = 1.Alors

|〈f, g〉| ≤ ‖f‖Lp‖g‖Lq ,

avec〈f, g〉 = lim

k→∞〈ϕk, ψk〉,

ou (ϕk) et (ψk) sont des suites dans C∞0 (Ω) convergeant au sens Lp et Lq vers f et g.

103

Demonstration. Il suffit d’appliquer l’inegalite de Holder a ϕk, ψk ∈ C∞0 (Ω), puis de

prendre la limite lorsque k → ∞.

En particulier, tout element f ∈ Lp(Ω) peut etre vu comme une fonctionnelle lineairecontinue sur Lq(Ω). Le resultat suivant, qui generalise le theoreme de representation deRiesz, donne la reciproque. Nous omettrons sa demonstration, qui fait appel aux proprietesdes espaces de Banach uniformement convexes.

Theoreme 6.13. Soit F : Lp(Ω) → K une fonctionnelle lineaire continue, avec 1 < p <∞. Alors il existe un unique g ∈ Lq(Ω) avec 1

p + 1q = 1, tel que

〈F, f〉 = 〈f, g〉,

pour tout f ∈ Lp(Ω). De plus,

‖F‖ = supf∈Lp(Ω)

|〈F, f〉|‖f‖Lp

= ‖g‖Lq .

On en deduit donc le dual de l’espace Lp(Ω).

Corollaire 6.14.

(i) Le dual de Lp(Ω) avec 1 < p <∞ est Lq(Ω) avec 1p + 1

q = 1.

(ii) Les espaces Lp(Ω) avec 1 < p <∞ sont reflexifs.

Lorsque Ω = Rn, on a egalement des inclusions analogues au cas L2, mais qui se demontrentun peu differemment.


D(Rn) ⊂ S(Rn) ⊂ Lp(Rn) ⊂ S ′(Rn) ⊂ D′(Rn)

sont continues et denses.

Demonstration. L’inclusion S(Rn) ⊂ Lp(Rn) continue et dense s’obtient comme dans le casp = 2. Par les espaces duaux, on obtient l’inclusion continue (Lp(Rn))′ = Lq(Rn) ⊂ S ′(Rn)avec 1

p + 1q = 1. Comme on a la premiere inclusion pour tout p ∈ R+

0 , on a la seconde pour

tout q ∈ R+0 . On a donc des inclusions continues S(Rn) ⊂ Lp(Rn) ⊂ S ′(Rn). La deuxieme

inclusion est dense car l’inclusion S(Rn) ⊂ S ′(Rn) l’est.

6.3 Espaces L1 et L

∞

6.3.1 Definition

On considere sur l’espace C∞0 (Ω) les normes ‖ · ‖L1 et ‖ · ‖∞ definies par

‖ϕ‖L1 =

∫

Ω|ϕ(x)| dx

104

et‖ϕ‖∞ = sup

x∈Ω|ϕ(x)|,

pour tout ϕ ∈ C∞0 (Ω). La convergence pour la norme ‖ · ‖L1 est appelee convergence au

sens L1, tandis que la convergence pour la norme ‖ · ‖∞ est la convergence uniforme.

L’inegalite de Holder s’etend a ces valeurs de p et q (notons que 11 + 1

∞ = 1), car

∫

Ω|ϕ(x)ψ(x)| dx ≤ ‖ϕ‖L1‖ψ‖∞,

pour tout ϕ,ψ ∈ C∞0 (Ω).

On construit l’espace L1(Ω) exactement comme les espaces Lp(Ω) avec 1 < p < ∞, desorte que l’on obtient la definition suivante, equivalente a la definition de la section 2.3.1.

Definition 6.16. L’espace L1(Ω) est l’espace des distributions de D′(Ω) qui sont limitesau sens D′ de suites de Cauchy au sens L1 dans D(Ω). Cet espace est muni de la norme

‖f‖L1 = limk→∞

‖ϕk‖L1 ,

ou (ϕk) est une suite de Cauchy convergeant vers f ∈ L1(Ω) comme ci-dessus.

Par contre, la completion deC∞0 (Ω) pour la norme ‖·‖∞ est l’espace des fonctions continues

sur Ω et s’annulant sur ∂Ω. On ne peut donc pas definir un espace L∞(Ω) constitued’elements aussi generaux que les espaces Lp(Ω) avec 1 ≤ p <∞ par completion.

On procedera donc comme dans la section 4.5.1 pour definir l’espace L∞(Ω).

Definition 6.17. L’espace L∞(Ω) est l’espace des distributions bornees de D′(Ω), munide la norme ‖ · ‖L∞ definie par

‖f‖L∞ = infM ∈ R+ | Re(eiθf) ≤M, pour tout θ ∈ R,

pour tout f ∈ L∞(Ω).

Remarquons que la norme ‖ · ‖L∞ de cette definition etend bien la norme supremum ‖ · ‖∞sur C∞

0 (Ω).

6.3.2 Proprietes

De nouveau, certaines proprietes des espaces Lp(Ω) se generalisent a L1(Ω) et L∞(Ω).

Theoreme 6.18. Les espaces L1(Ω) et L∞(Ω), munis respectivement de la norme ‖ · ‖L1

et de la norme ‖ · ‖L∞ , sont des espaces de Banach.

Comme les espaces Lp(Ω) avec p 6= 2, les espaces L1(Ω) et L∞(Ω) ne sont pas des espacesde Hilbert.

105

Proposition 6.19. Une fonction continue f : Ω → K est un element de L1(Ω) si etseulement si ∫

Ω|f(x)| dx <∞.

D’autre part, f est un element de L∞(Ω) si et seulement si |f | est bornee sur Ω.

Pour determiner le dual de L1(Ω), etendons l’inegalite de Holder au cas p = 1 et q = ∞.

Proposition 6.20. Soient f ∈ L1(Ω) et g ∈ L∞(Ω). Alors

|〈f, g〉| ≤ ‖f‖L1‖g‖L∞ ,

avec〈f, g〉 = lim

k→∞〈g, ϕk〉,

ou (ϕk) est une suite dans C∞0 (Ω) convergeant au sens L1 vers f .

Demonstration. L’inegalite pour f = ϕk ∈ C∞0 (Ω) est equivalente au fait que g est une

distribution bornee. Il suffit donc de prendre la limite lorsque k → ∞.

En particulier, tout element f ∈ L∞(Ω) peut etre vu comme une fonctionnelle lineairecontinue sur L1(Ω) et inversement.

Theoreme 6.21. Soit F : L1(Ω) → K une fonctionnelle lineaire continue. Alors il existeun unique g ∈ L∞(Ω), tel que

〈F, f〉 = 〈f, g〉,pour tout f ∈ L1(Ω). De plus,

‖F‖ = supf∈L1(Ω)

|〈F, f〉|‖f‖L1

= ‖g‖L∞ .

On en deduit donc le dual de l’espace L1(Ω).

Corollaire 6.22. Le dual de L1(Ω) est L∞(Ω) .

Par contre, on peut montrer que le dual de L∞(Ω) contient strictement L1(Ω). En parti-culier, les espaces L1(Ω) et L∞(Ω) ne sont pas reflexifs.

Lorsque Ω = Rn, on a encore des chaines d’inclusions.


D(Rn) ⊂ S(Rn) ⊂ L1(Rn) ⊂ S ′(Rn) ⊂ D′(Rn)D(Rn) ⊂ S(Rn) ⊂ L∞(Rn) ⊂ S ′(Rn) ⊂ D′(Rn)

sont continues et denses, sauf l’inclusion S(Rn) ⊂ L∞(Rn) qui est seulement continue.

106

Demonstration. Les inclusions continues S(Rn) ⊂ Lp(Rn) avec p = 1,∞ s’obtiennentcomme pour les autres valeurs de p. L’inclusion dans L1(Rn) est clairement dense pardefinition de L1(Rn).En revanche, l’adherence de S(Rn) dans L∞(Rn) est l’ensemble des fonctions continuesqui tendent vers 0 a l’infini. Par dualite, on obtient l’inclusion continue L∞(Rn) ⊂ S ′(Rn).L’inclusion continue L1(Rn) ⊂ S ′(Rn) s’obtient en etendant le domaine de f ∈ L1(Rn) aS(Rn) ⊂ L∞(Rn). Ces deux inclusions sont denses car l’inclusion S(Rn) ⊂ S ′(Rn) l’est.

Nous terminons avec une propriete de la transformee de Fourier dans les espaces L1(Rn)et L∞(Rn).

Theoreme 6.24 (Riemann-Lebesgue). Si f ∈ L1(Rn), alors F(f) ∈ C0b (Rn) et

‖F(f)‖∞ ≤(

1√2π

)n

‖f‖L1 .

Demonstration. Demontrons d’abord l’inegalite de l’enonce lorsque f = ϕ ∈ S(Rn). On a

|F(ϕ)(y)| =

(1√2π

)n ∣∣∣∣∫

Rn

e−iy·xϕ(x) dx

∣∣∣∣ ≤(

1√2π

)n ∫

Rn

|ϕ(x)| dx =

(1√2π

)n

‖ϕ‖L1 .

Par consequent,

‖F(ϕ)‖∞ = supy∈Rn

|F(ϕ)(y)| ≤(

1√2π

)n

‖ϕ‖L1 . (6.3)

Soit maintenant f ∈ L1(Rn), et soit (ϕk) une suite dans C∞0 (Rn) convergeant vers f au

sens L1. Alors (ϕk) converge vers f au sens S ′, de sorte que (F(ϕk)) converge vers F(f)au sens S ′.D’autre part, l’inegalite (6.3) montre que (F(ϕk)) converge uniformement vers une certainefonction continue g. Ceci implique que (F(ϕk)) converge vers g au sens S ′. Par unicitede la limite dans S ′(Rn), on doit avoir g = F(f). En prenant la limite pour k → ∞dans (6.3) avec ϕ = ϕk, on obtient l’inegalite recherchee, qui implique en particulier queF(f) ∈ C0

b (Rn).

6.4 Operations

Les operations sur les distributions peuvent s’appliquer en particulier aux espaces de Le-besgue. Dans ce cas, nous allons voir que ces operations ont de meilleures proprietes quepour des distributions generales.

6.4.1 Multiplication

Soient f ∈ Lp(Ω) et g ∈ Lq(Ω), et soient (ϕk) et (ψk) des suites dans C∞0 (Ω) convergeant

vers f au sens Lp et vers g au sens Lq. Si la suite produit (ϕkψk) est de Cauchy dansLr(Ω) et converge au sens D′ dans D′(Ω), quel que soit le choix des suites (ϕk) et (ψk)

107

comme ci-dessus, on note sa limite fg ∈ Lr(Ω). Par construction, cette limite ne dependpas du choix des suites (ϕk) et (ψk).

La proposition suivante decrit des circonstances dans laquelle la situation ci-dessus seproduit, et donc ou l’on peut multiplier f ∈ Lp(Ω) avec g ∈ Lq(Ω) pour obtenir fg ∈ Lr(Ω).

Proposition 6.25. Soient f ∈ Lp(Ω) et g ∈ Lq(Ω) avec 1 ≤ p, q <∞ et 1p + 1

q ≤ 1. Alors

fg ∈ Lr(Ω) avec 1r = 1

p + 1q et

‖fg‖Lr ≤ ‖f‖Lp‖g‖Lq .

Demonstration. Commencons par montrer l’inegalite ci-dessus lorsque f = ϕ et g = ψavec ϕ,ψ ∈ C∞

0 (Ω). L’inegalite de Holder appliquee a |ϕ|r et |ψ|r avec les exposantsconjugues p/r et q/r donne en effet

‖ϕψ‖rLr ≤ ‖ϕ‖r

Lp‖ψ‖rLq .

Dans le cas general f ∈ Lp(Ω) et g ∈ Lq(Ω), soient (ϕk) et (ψk) des suites dans C∞0 (Ω)

convergeant vers f et g au sens Lp et Lq respectivement. Alors

‖ϕkψk − ϕlψl‖Lr ≤ ‖ϕk(ψk − ψl)‖Lr + ‖(ϕk − ϕl)ψl‖Lr

≤ ‖ϕk‖Lp‖ψk − ψl‖Lq + ‖ϕk − ϕl‖Lp‖ψl‖Lq ,

qui tend vers 0 lorsque k, l → ∞. Par consequent, (ϕkψk) est une suite de Cauchy au sensLr. Le meme argument montre que si (ϕk) et (ϕ′

k) sont des suites de Cauchy equivalentesau sens Lp, alors (ϕkψk) et (ϕ′

kψk) sont equivalentes au sens Lr ; il en va de meme pour(ψk). Par consequent, la suite (ϕkψk) converge vers fg ∈ Lr(Ω), et l’inegalite rechercheeest obtenue en prenant la limite k → ∞ dans

‖ϕkψk‖Lr ≤ ‖ϕk‖Lp‖ψk‖Lq .

En particulier, le produit de deux elements de L2(Ω) est un element de L1(Ω). On peutaussi montrer que le produit d’un element de L∞(Ω) par un element de Lp(Ω) est encoredans Lp(Ω).

6.4.2 Integration

Proposition 6.26. Soient f ∈ Lp(R) avec 1 ≤ p ≤ ∞ et F =∫ x

f . Alors F ∈ C0(R) etsi on normalise F en posant F (a) = 0, on a

‖F‖∞ = supa≤x≤b

|F (x)| ≤ (b− a)1− 1

p ‖f‖Lp .

108

Demonstration. Soit (ϕk) une suite dans C∞0 (R) convergeant vers f au sens Lp. On definit

ψk ∈ C∞(R) par ψk(x) =∫ xa ϕk(y) dy. Soit q = p

p−1 . Alors, pour tout x ∈ [a, b], en vertude l’inegalite de Holder, on a

|ψk(x) − ψl(x)| =

∣∣∣∣∫ x

a(ϕk(y) − ϕl(y)) dy

∣∣∣∣

≤(∫ x

a1q dy

) 1

q(∫ x

a|ϕk(y) − ϕl(y)|p dy

) 1

p

≤ (b− a)1

q ‖ϕk − ϕl‖Lp .

Par consequent, la suite (ψk) converge uniformement sur [a, b], de sorte que sa limite Fest une fonction continue. D’autre part, l’integration etant une operation continue dansD′(R), la suite (ψk) converge vers F au sens D′. Comme la convergence uniforme impliquela convergence au sens D′ et par unicite de la limite, F = F est bien continue.

Comme ci-dessus, on a l’inegalite

|ψk(x)| ≤ (b− a)1

q ‖ϕk‖Lp .

En passant a la limite pour k → ∞ et en prenant le supremum pour x ∈ [a, b], on obtientl’inegalite souhaitee.

6.4.3 Lissage

L’operateur de lissage Jδ permet de construire des suites explicites dans C∞0 (Rn) conver-

geant au sens L2 vers un element donne dans L2(Rn).

Proposition 6.27. Soit f ∈ L2(Rn). Alors Jδf ∈ L2(Rn) et ‖Jδf‖L2 ≤ ‖f‖L2 pour tout

δ ≥ 0. De plus, JδfL2

→ f lorsque δ → 0.

Demonstration. Par le theoreme 6.7 et les proprietes de la transformee de Fourier, on a

‖Jδf‖L2 = ‖F(Jδf)‖L2 = (√

2π)n‖F(ρδ)F(f)‖L2 ≤ (√

2π)n‖F(ρδ)‖∞‖F(f)‖L2 .

Par ailleurs,

|F(ρδ)(y)| =

(1√2π

)n ∣∣∣∣∫

Rn

e−iy·xρδ(x) dx

∣∣∣∣ ≤(

1√2π

)n

.

On en deduit que ‖Jδf‖L2 ≤ ‖f‖L2 comme souhaite.

D’autre part, pour tout ψ ∈ C∞0 (Rn), on a

‖Jδf − f‖L2 ≤ ‖Jδf − Jδψ‖L2 + ‖Jδψ − ψ‖L2 + ‖ψ − f‖L2.

Soit ǫ > 0. On peut choisir ψ ∈ C∞0 (Rn) de sorte que ‖ψ − f‖L2 < ǫ et donc aussi

‖Jδf −Jδψ‖L2 < ǫ. Pour δ > 0 suffisamment petit, on a ‖Jδψ−ψ‖L2 < ǫ. Par consequent,

‖Jδf − f‖L2 < 3ǫ et ainsi JδfL2


On peut egalement montrer que si f ∈ Lp(Rn) avec 1 ≤ p < ∞, alors Jδf ∈ Lp(Rn) et

JδfLp


109

6.5 Note sur la theorie de la mesure

Il existe une autre approche explicite des espaces de Lebesgue, tres repandue dans lalitterature, et faisant appel a la theorie de la mesure plutot qu’a la theorie des distributions.Nous esquissons cette approche ci-dessous, pour donner une autre perpective sur les espacesde Lebesgue au lecteur.

L’idee consiste a generaliser l’integrale de Riemann de maniere a pouvoir integrer desfonctions bien plus generales. Cette nouvelle integrale, appelee integrale de Lebesgue,est definie en subdivisant l’ensemble d’arrivee plutot que l’ensemble de depart. Les sommesde Riemann sont donc remplacees par des expressions de la forme

∑

i

ai µ(x ∈ Rn | ai−1 < f(x) ≤ ai), (6.4)

dans laquelle µ(A) designe la mesure (intuitivement, le volume) de l’ensemble A. Contrai-rement aux sommes de Riemann, les ensembles apparaissant dans (6.4) sont bien plusgeneraux que des produits d’intervalles.

Il n’est pas possible d’associer un nombre µ(A) ≥ 0 a tout sous-ensemble de Rn en satisfai-sant a des proprietes simples qu’une notion de volume devrait intuitivement posseder. Ondoit donc se restreindre a certains sous-ensembles A, appeles mesurables, pour lesquelsµ(A) sera defini. Une fonction f : Rn → R est dite mesurable si les ensembles de la formex ∈ Rn |f(x) ≤ a sont mesurables, pour tout a ∈ R.

Sur Rn, il existe une unique mesure µ definie au moins sur tous les ouverts, invariante partranslation et normalisee par µ([0, 1]n) = 1 : c’est la mesure de Lebesgue. L’integralede Lebesgue est definie pour toute fonction mesurable sur Rn et s’obtient en utilisant pourµ la mesure de Lebesgue dans (6.4), avant de prendre la limite sur des partitions de plusen plus fines du domaine d’arrivee R.

Soit Ω un ouvert de Rn. De maniere analogue a la proposition 6.11, on considere l’ensembledes fonctions mesurables sur Ω telles que

‖f‖Lp =

(∫

Ω|f(x)|p dx

) 1

p

<∞, (6.5)

ou l’integrale est a prendre au sens de Lebesgue. Alors ‖ · ‖Lp n’est qu’une semi-norme,car toute fonction f telle que f(x) = 0 sauf sur un ensemble de mesure nulle (comme parexemple un ensemble fini ou denombrable) satisfait ‖f‖Lp = 0.

Pour obtenir un espace norme, on definit donc l’espace Lp(Ω) comme l’ensemble des classesd’equivalences de fonctions mesurables sur Ω satisfaisant (6.5), en definissant que f et gsont equivalentes si et seulement si f(x) = g(x) sauf sur un ensemble de mesure nulle. Onmontre alors que cet espace norme est complet, de sorte qu’il coıncide avec la completionde C∞

0 (Ω) pour la norme ‖ · ‖Lp .

De cette maniere, les elements de Lp(Ω) sont realises par des classes d’equivalences defonctions, plutot que par des distributions, ce qui offre un autre point de vue sur cesespaces.

110


1. Soit f ∈ Lp(Ω) ∩ Lq(Ω) avec 1 ≤ p ≤ q < ∞. Montrer que f ∈ Lr(Ω) pour toutr ∈ [p, q] et que

‖f‖Lr ≤ ‖f‖αLp‖f‖1−α

Lq

avec α ∈ [0, 1] satisfaisant 1r = α

p + 1−αq .

2. Montrer par contradiction que la distribution de Dirac δ n’est pas un element deLp(Rn), pour tout 1 < p <∞, en utilisant l’inegalite de Holder.

3. Montrer que le produit de convolution ϕ∗ψ ∈ C∞0 (Rn) pour ϕ,ψ ∈ C∞

0 (Rn) s’etendde maniere unique en un produit de convolution f ∗ g ∈ C0

∞(Rn), avec f ∈ Lp(Rn),g ∈ Lq(Rn), 1 < p, q <∞ et 1

p + 1q = 1, satisfaisant

‖f ∗ g‖∞ ≤ ‖f‖Lp‖g‖Lq .

La notation C0∞(Rn) designe l’espace des fonctions continues sur Rn qui tendent vers

zero a l’infini.

4. Montrer que le produit de convolution s’etend de maniere unique en un produitde convolution f ∗ g ∈ Lr(Rn), avec f ∈ Lp(Rn), g ∈ Lq(Rn), 1 ≤ p, q < ∞ et1p + 1

q − 1 = 1r > 0, satisfaisant l’inegalite de Young

‖f ∗ g‖Lr ≤ ‖f‖Lp‖g‖Lq ,

via les etapes suivantes :

(a) lorsque p = 1 et 1 ≤ r = q <∞, montrer que

∫

Rn

|ψ(x− y)||ϕ(y)| dy ≤(∫

Rn

|ψ(x− y)|q|ϕ(y)| dy)1/q (∫

Rn

|ϕ(y)| dy)1−1/q

,

puis conclure dans ce cas.

(b) lorsque 1 < p, q < ∞, verifier que max(p, q) < r < ∞ et appliquer deux foisl’inegalite de Holder a

|ϕ(x− y)||ψ(y)| = |ϕ(x− y)|p/r|ψ(y)|q/r |ϕ(x− y)|1−p/r|ψ(y)|1−q/r

avec des exposants bien choisis.

111

Chapitre 7

Espaces de Sobolev

“In mathematics you don’t understand things.You just get used to them.”

John von Neumann (1903-1957)

7.1 Espaces Hm(Ω)

7.1.1 Definition

Soit Ω un ouvert de Rn.

Definition 7.1. Pour tout entier positif m, l’espace de Sobolev Hm(Ω) est defini par

Hm(Ω) = f ∈ L2(Ω) | ∂αf ∈ L2(Ω), pour tout α tel que |α| ≤ m,

et est muni du produit scalaire Hm, note 〈·, ·〉m, defini par

〈f, g〉m =∑

|α|≤m

〈∂αf, ∂αg〉L2

pour tout f, g ∈ Hm(Ω).

En particulier, l’espace Hm(Ω) est muni de la norme Hm, notee ‖ · ‖m, definie par

‖f‖m =√

〈f, f〉m.

Par consequent, la convergence de (fk) vers f ∈ Hm(Ω) au sens Hm est equivalente a laconvergence de (∂αfk) vers ∂αf au sens L2 pour tout multi-indice α tel que |α| ≤ m.

Par ailleurs, on definit d’autres espaces Hm0 (Ω) par completion a partir de C∞

0 (Ω) pour lanorme ‖ · ‖m, de maniere analogue a la definition des espaces de Lebesgue.

112

Definition 7.2. Pour tout entier positif m, l’espace Hm0 (Ω) est l’ensemble des distribu-

tions de D′(Ω) qui sont limites au sens D′ de suites de Cauchy pour la norme Hm dansC∞

0 (Ω). Cet espace est muni du produit scalaire

〈f, g〉m = limk→∞

〈ϕk, ψk〉m,

ou (ϕk) et (ψk) sont des suites de Cauchy convergeant vers f et g ∈ Hm0 (Ω) comme

ci-dessus.

Exemple. Considerons l’espace de Sobolev Hm(Ω) avec Ω =] − 1,+1[⊂ R et m = 1.

1. Soit f : ]−1,+1[→ R la fonction definie par f(x) = 1 si x < 0 et f(x) = −1 si x ≥ 0.Alors f ′ = δ, de sorte que f /∈ H1(Ω) puisque δ /∈ L2(Ω).

2. Soit g : ] − 1,+1[→ R la fonction definie par g(x) = 1 + x si x < 0 et g(x) = 1 − xsi x ≥ 0. Alors g′ = f , de sorte que g ∈ H1(Ω) puisque f, g ∈ L2(Ω). En fait, nousverrons plus loin que g ∈ H1

0 (Ω), puisque g(−1) = g(1) = 0.

N

7.1.2 Regularite du domaine

Les proprietes des espaces Hm(Ω) et Hm0 (Ω) dependent fortement de la regularite du

domaine Ω, ou plus precisement de son bord ∂Ω. Nous regroupons ci-dessous differentesnotions de regularites, qui seront utilisees dans les divers resultats de ce chapitre.

Definition 7.3. On dit qu’un ouvert Ω de Rn possede la propriete du segment si pourtout x ∈ ∂Ω, il existe un voisinage Ux de x dans Rn et un vecteur non nul vx ∈ Rn telsque

y + tvx | y ∈ Ω ∩ Ux, 0 < t < 1 ⊂ Ω.

Dans ce cas, Ω ⊂ Rn a un bord ∂Ω de dimension n − 1 et se trouve d’un seul cote de cebord.

Pour la definition suivante, nous aurons besoin d’un cone de rayon r > 0, de hauteurh > 0 et ayant son sommet a l’origine, defini par

C(r, h) =

(x1, . . . , xn) ∈ Rn

∣∣ hr

√x2

1 + . . .+ x2n−1 ≤ xn ≤ h

.

Definition 7.4. On dit qu’un ouvert Ω de Rn possede la propriete du cone si il existeun cone C(r, h) avec r, h > 0 tel que, pour tout x ∈ Ω il existe un cone Cx ⊂ Ω de sommetx et isometrique a C(r, h).

Pour la definition suivante, nous aurons besoin d’un hypercube Q ∈ Rn et de certaines deses parties Q0 et Q+, definies par

Q = (x1, . . . , xn) ∈ Rn | |xi| ≤ 1,pour 1 ≤ i ≤ n,Q0 = (x1, . . . , xn) ∈ Q |xn = 0,Q+ = (x1, . . . , xn) ∈ Q |xn > 0.

113

Definition 7.5. On dit qu’un ouvert Ω de Rn est a frontiere lipschitzienne (resp. declasse C

k, avec k ≥ 0) si pour tout x ∈ ∂Ω, il existe un voisinage Ux de x dans Rn etune bijection hx : Q→ Ux tels que hx et h−1

x sont lipschitziennes (resp. de classe Ck),

hx(Q0) = ∂Ω ∩ Ux et hx(Q+) = Ω ∩ Ux.

Cette definition est illustree par la figure 7.1.

Q

Q0

Q+

Ux

Rn

h

Ω

Fig. 7.1 – Parametrisation de ∂Ω par h : Q→ Ux.

Ces differentes conditions de regularite ne sont pas independantes. mais sont reliees de lamaniere suivante.

frontiere de classe Ck, k ≥ 1

frontiere lipschitzienne

qy kkkkkkkkkkkkkkk

kkkkkkkkkkkkkkk

$,RRRRRRRRRRRRRR

RRRRRRRRRRRRRR

frontiere de classe C0KS

propriete du cone

propriete du segment

Ceci est illustre par les ouverts bornes de R2 representes sur la figure 7.2. Le domaine Ωa ala propriete du cone, mais pas celle du segment. Le domaine Ωb a la propriete du segment,mais pas celle du cone. Le domaine Ωc n’a aucune de ces deux proprietes. Le domaine Ωd

est a frontiere lipschitzienne.

7.1.3 Proprietes

Theoreme 7.6. L’espace Hm(Ω), muni du produit scalaire 〈·, ·〉m, est un espace de Hilbert.

Demonstration. Soit (fk) une suite de Cauchy dans Hm(Ω). Comme

‖∂αfk − ∂αfl‖L2 ≤ ‖fk − fl‖m

114

Ωa

Ωb

Ωc Ωd

Fig. 7.2 – Domaines avec diverses proprietes de regularite.

pour tout multi-indice α avec |α| ≤ m, les suites (∂αfk) sont de Cauchy dans L2(Ω). Soientdonc fα ∈ L2(Ω) leurs limites respectives. Lorsque |α| = 0, on ecrira simplement fα = f .

Pour tout ϕ ∈ D(Ω), comme la convergence L2 implique la convergence D′, on a :

〈fα, ϕ〉 = limk→∞

〈∂αfk, ϕ〉 = (−1)|α| limk→∞

〈fk, ∂αϕ〉 = (−1)|α|〈f, ∂αϕ〉 = 〈∂αf, ϕ〉.

Par consequent, fα = ∂αf ∈ L2(Ω) pour tout multi-indice α avec |α| ≤ m. Ainsi, la suite(fk) converge au sens Hm vers f ∈ Hm.

Corollaire 7.7. L’espace Hm0 (Ω) est un sous-espace ferme de Hm(Ω).

Demonstration. L’espace Hm(Ω) est complet et contient l’espace C∞0 (Ω), donc il contient

sa completion Hm0 (Ω). Ce dernier etant complet par definition, il est ferme dans Hm(Ω).

Contrairement aux espaces de Lebesgue, nous n’avons pas defini les espaces de SobolevHm(Ω) par completion. Les deux resultats suivants montrent neanmoins que certainsespaces de fonctions tres regulieres sont denses dans Hm(Ω).

Theoreme 7.8 (Meyers-Serrin). L’espace

C∞(Ω) ∩Hm(Ω) = ϕ ∈ C∞(Ω) | ‖ϕ‖m <∞

est dense dans Hm(Ω).

Theoreme 7.9. Si Ω possede la propriete du segment, alors l’ensemble des restrictions aΩ des fonctions de C∞

0 (Rn) est dense dans Hm(Ω).

Le resultat suivant est un critere de compacite dans Hm−1(Ω), qui permet de demontrerdes theoremes d’existence.

115

Theoreme 7.10 (Rellich). Si Ω est borne, alors de toute suite bornee dans Hm0 (Ω) on

peut extraire une sous-suite convergente dans Hm−1(Ω).Si Ω possede la propriete du cone, il en va de meme pour les suites bornees dans Hm(Ω).

Le resultat suivant permet d’interpreter Hm(Ω) comme un sous-espace de Hm(Rn).

Theoreme 7.11 (Calderon). Si Ω est borne et a frontiere lipshiptzienne, il existe unoperateur de prolongement P : Hm(Ω) → Hm(Rn) lineaire et borne, tel que Pf |Ω = f .

Le resultat suivant montre que l’on peut restreindre un element de Hm(Ω) pour obtenirune distribution le long de ∂Ω.

Theoreme 7.12 (Theoreme de trace). Si Ω est borne et a frontiere lipschitzienne,alors pour tout multi-indice α avec |α| ≤ m − 1, il existe une unique application lineairebornee

γα : Hm(Ω) → L2(∂Ω)

telle que pour tout x ∈ ∂Ω et f ∈ C∞(Ω),

(γα(f)) (x) = ∂αf(x).

Lorsque |α| = 0, on ecrira simplement γα = γ. Pour f ∈ Hm(Ω), la distribution γ(f) ∈L2(∂Ω) est appelee trace de f sur ∂Ω.

Demonstration. Pour eviter les complications techniques, nous donnons la demonstrationdans le cas ou Ω est a frontiere de classe C1.

Remarquons que l’on doit avoir γα = γ ∂α, avec l’application lineaire bornee ∂α :Hm(Ω) → Hm−|α|(Ω) : f 7→ ∂αf . Par consequent, il suffit de demontrer le cas m = 1.

Pour p ∈ ∂Ω, soient Up le voisinage de p dans Rn et hp : Q→ Up la bijection de classe C1

comme dans la definition 7.5. Notons x = (x′, xn) ∈ Q avec x′ = (x1, . . . , xn−1) ∈ Rn−1.

Soit ϕ ∈ C∞(Ω) ; posons u = ϕ hp ∈ C∞(Q+). Pour tout τ ∈]0, 1[, on a

u(x′, 0) = −∫ τ

0

∂u

∂xn(x′, xn)dxn + u(x′, τ).

Par consequent,

|u(x′, 0)|2 ≤ 2

∣∣∣∣∫ τ

0

∂u

∂xn(x′, xn)dxn

∣∣∣∣2

+ 2|u(x′, τ)|2

≤ 2

∫ τ

012dxn

∫ τ

0

∣∣∣∣∂u

∂xn(x′, xn)

∣∣∣∣2

dxn + 2|u(x′, τ)|2

= 2

∫ 1

0

∣∣∣∣∂u

∂xn(x′, xn)

∣∣∣∣2

dxn + 2|u(x′, τ)|2.

En multipliant membre a membre par l’element de surface dS = ‖d(hp|Q0)‖ dx′ pour

116

S = hp(Q0) ⊂ ∂Ω et en integrant sur Q0, on obtient∫

S|ϕ|2dS =

∫

Q0

|u(x′, 0)|2‖d(hp|Q0)‖ dx′

≤ C

(∫

Q0

∫ 1

0

∣∣∣∣∂u

∂xn(x′, xn)

∣∣∣∣2

dxndx′ +∫

Q0

|u(x′, τ)|2dx′)

= C

(∫

Q+

∣∣∣∣∂u

∂xn(x)

∣∣∣∣2

dx+

∫

Q0

|u(x′, τ)|2dx′).

En integrant membre a membre par rapport a τ ∈]0, 1[, puis en introduisant l’element devolume dV = ‖dhp‖ dx pour V = hp(Q+), il vient alors

∫

S|ϕ|2dS ≤ C

(∫

Q+

∣∣∣∣∂u

∂xn(x)

∣∣∣∣2

dx+

∫ 1

0

∫

Q0

|u(x′, τ)|2dx′dτ)

= C

(∫

Q+

|∇ϕ|2∣∣∣∣∂hp

∂xn(x)

∣∣∣∣2

dx+

∫

Q+

|u(x)|2dx)

≤ C ′(∫

V|∇ϕ|2dV +

∫

V|ϕ|2dV

)

≤ C ′‖ϕ‖21.

En sommant membre a membre de telles inegalites pour un nombre fini d’ouverts Upi

recouvrant le compact ∂Ω, on obtient finalement

‖ϕ|∂Ω‖L2 ≤ C ′′‖ϕ‖1.

En d’autres termes, l’application lineaire de restriction a ∂Ω de C∞(Ω) muni de la normeH1 vers C∞(∂Ω) ⊂ L2(∂Ω) muni de la norme L2 est uniformement continue. Par conse-quent, elle admet une unique extension lineaire continue γ : H1(Ω) → L2(∂Ω) commesouhaite.

Signalons toutefois que l’operateur de trace γ n’est pas surjectif : on a une inclusion stricteγ(H1(Ω)) ⊂ L2(∂Ω).

Corollaire 7.13. Si Ω est borne et a frontiere lipschitzienne, H10 (Ω) est le noyau de

l’application de trace γ : H1(Ω) → L2(∂Ω).

La trace n’est definie que pour des ouverts Ω suffisamment reguliers. En revanche, on peutdefinir la notion de trace nulle sur ∂Ω pour tout ouvert Ω, en disant que f ∈ H1(Ω) estde trace nulle sur ∂Ω si et seulement si f ∈ H1

0 (Ω).

Le resultat suivant montre que, lorsque m est suffisamment grand, les distributions deHm(Rn) ont de suffisamment bonnes proprietes que pour etre induites par des fonctionscontinues et bornees via (4.2).

Theoreme 7.14 (Plongement de Sobolev). Si m > n2 , alors on a une injection conti-

nueHm(Rn) ⊂ C0

b (Rn).

117

Demonstration. Si f ∈ Hm(Rn), alors yαF(f) et donc aussi |y|αF(f) ∈ L2(Rn) pour toutmulti-indice α tel que |α| ≤ m. En particulier,

(1 +

( n∑

j=1

|yj|)m)F(f) ∈ L2(Rn).

Puisque ‖y‖ =√∑n

j=1 |yj|2 ≤∑nj=1 |yj|, ceci implique aussi

(1 + ‖y‖m)F(f) ∈ L2(Rn).

Posons F(g) = (1 + ‖y‖m)F(f) et χ(y) = 11+‖y‖m , de sorte que F(f) = χF(g) avec F(g)

et χ ∈ L2(Rn). En effet, ∫

Rn

(1

1 + ‖y‖m

)2

dy <∞,

puisque 2m > n. Ceci implique que F(f) = χF(g) ∈ L1(Rn). Par le theoreme de Riemann-Lebesgue, F(F(f)) ∈ C0

b (Rn). Comme F(F(f))(x) = f(−x), on a aussi f ∈ C0b (Rn)

comme souhaite.

La continuite de l’injection est une consequence des inegalites

‖f‖∞ = ‖F(F(f))‖∞ ≤ (1√2π

)n‖F(f)‖L1

≤ (1√2π

)n‖χ‖L2‖F(g)‖L2

≤ (1√2π

)n‖χ‖L2C‖f‖m.

Bien entendu, lorsque m augmente encore , les elements de Hm(Rn) deviennent d’autantplus reguliers.

Corollaire 7.15. Si m > n2 et j ≥ 0, alors on a une injection continue

Hm+j(Rn) ⊂ Cjb (R

n).

Demonstration. Appliquons le theoreme du plongement de Sobolev a f ∈ Hm+j(Rn) et ases derivees ∂αf pour tout multi-indice α tel que |α| ≤ j. On obtient

‖∂αf‖∞ ≤ C‖∂αf‖m+j−|α|.

Or, la norme de l’espace de Banach Cjb (R

n) est definie par

‖f‖j,∞ = sup|α|≤j

supx∈Rn

|∂αf(x)|.

D’autre part, ‖∂αf‖m+j−|α| ≤ ‖f‖m+j . Par consequent, on a bien

‖f‖j,∞ ≤ C‖f‖m+j

comme desire.

118

Ce type de resultat est egalement valable lorsque le domaine est un ouvert Ω suffisammentregulier, en vertu du theoreme de Calderon.

Corollaire 7.16. Si m > n2 , j ≥ 0 et Ω ⊂ Rn est un ouvert borne a frontiere lipschitzienne,

alors on a une injection continue

Hm+j(Ω) ⊂ Cjb (Ω).

7.2 Dualite et espaces H−m

Etudions les proprietes du dual topologique (Hm0 (Ω))′ de Hm

0 (Ω).

Proposition 7.17. On a une injection continue

(Hm0 (Ω))′ ⊂ D′(Ω),

meme si (Hm0 (Ω))′ est muni de la topologie faible.

Demonstration. Comme d’habitude, l’injection continue D(Ω) ⊂ Hm0 (Ω) induit l’injection

continue souhaitee, lorsque (Hm0 (Ω))′ est muni de la topologie forte.

Dans ce cas, la topologie faible sur (Hm0 (Ω))′ suffit, car la topologie dont nous avons muni

D′(Ω) est aussi une topologie faible.

L’espace (Hm0 (Ω))′ a une description explicite en termes de distributions de L2(Ω).

Proposition 7.18. L’espace (Hm0 (Ω))′ est l’espace vectoriel engendre par les distributions

g ∈ D′(Ω) de la forme g = ∂αf avec f ∈ L2(Ω) et |α| ≤ m.

Demonstration. Toute distribution g ∈ D′(Ω)de la forme g = ∂αf avec f ∈ L2(Ω) et|α| ≤ m est un element de (Hm

0 (Ω))′. En effet, pour tout ϕ ∈ C∞0 (Ω), on a

|〈∂αf, ϕ〉| = |〈f, ∂αϕ〉| ≤ ‖f‖L2‖∂αϕ‖L2 ≤ ‖f‖L2‖ϕ‖m.

Par consequent, g = ∂αf s’etend de maniere unique en une fonctionnelle lineaire continuesur la completion Hm

0 (Ω) de C∞0 (Ω) pour la norme Hm.

Inversement, tout element de (Hm0 (Ω))′ est une combinaison lineaire de distributions de

la forme ∂αf avec f ∈ L2(Ω) et |α| ≤ m. En effet, soit g ∈ (Hm0 (Ω))′. Par le theoreme de

representation de Riesz, il existe h ∈ Hm0 (Ω) tel que

〈g, ϕ〉 = 〈h, ϕ〉mpour tout ϕ ∈ C∞

0 (Ω). On a donc

〈g, ϕ〉 =∑

|α|≤m

〈∂αh, ∂αϕ〉L2 =∑

|α|≤m

〈∂αh, ∂αϕ〉 =∑

|α|≤m

(−1)|α|〈∂α(∂αh), ϕ〉

avec ∂αh ∈ L2(Ω), ce qui est de la forme souhaitee.

119

Ce resultat justifie la notation usuelle

(Hm0 (Ω))′ = H−m(Ω).

L’etude du dual topologique (Hm(Ω))′ de Hm(Ω) est plus compliquee. Si f ∈ (Hm(Ω))′,alors f se restreint en une fonctionnelle lineaire continue sur Hm

0 (Ω) ⊂ Hm(Ω).En revanche, deux elements distincts f, g ∈ (Hm(Ω))′ peuvent avoir la meme restrictionf0 = g0 dans (Hm

0 (Ω))′, si ils ne different que sur l’orthogonal Hm0 (Ω)⊥ de Hm

0 (Ω) dansHm(Ω).

Inversement, on a le resultat suivant.

Proposition 7.19. Toute distribution dans H−m(Ω) admet une extension, en general nonunique, a l’espace Hm(Ω).

Le caractere non unique de cette extension n’est pas surprenant, au vu du theoreme detrace.

Les espaces de SobolevHm(Ω) avec m ∈ Z forment une chaıne doublement infinie d’espacesfonctionnels emboites. On peut y penser comme a une echelle de regularite plus generaleque celle correspondant aux fonctions de classe Cm, m ≥ 0 :

C∞0 (Ω) ⊂ . . . ⊂ H2(Ω) ⊂ H1(Ω) ⊂ L2(Ω) ⊂ H−1(Ω) ⊂ H−2(Ω) ⊂ . . .

7.3 Autres espaces de Sobolev

7.3.1 Espaces Wm,p

On peut generaliser la definition des espaces de Sobolev Hm(Ω), basee sur L2(Ω), entravaillant plutot avec les espaces Lp(Ω), pour 1 ≤ p ≤ ∞.

Definition 7.20. Pour tout un entier positif m et 1 ≤ p ≤ ∞, l’espace de SobolevWm,p(Ω) est defini par

Wm,p(Ω) = f ∈ Lp(Ω) | ∂αf ∈ Lp(Ω), pour tout α tel que |α| ≤ m,et est muni de la norme Wm,p, notee ‖ · ‖m,p, definie par

‖f‖m,p =

(∑|α|≤m ‖∂αf‖p

Lp

) 1

psi p <∞,

max|α|≤m ‖∂αf‖L∞ si p = ∞.

Les espaces Wm,p(Ω) sont des espaces de Banach. On definit ensuite l’espace Wm,p0 (Ω)

comme l’adherence de C∞0 (Ω) dans Wm,p(Ω).

Enfin, on definit les espaces W−m,q(Ω) avec 1p + 1

q = 1 en posant

W−m,q(Ω) = (Wm,p0 (Ω))′.

Lorsque p = 2, les espaces Wm,2(Ω), Wm,20 (Ω) et W−m,2(Ω) sont des espaces de Hilbert,

qui sont couramment notes Hm(Ω), Hm0 (Ω) et H−m(Ω).

120

7.3.2 Espaces Hs

La definition des espaces de Sobolev Hm(Rn) peut etre reformulee au moyen de la trans-formee de Fourier, comme dans la preuve du theoreme de plongement de Sobolev. En effet,en vertu du theoreme de Plancherel, la norme Hm peut se reecrire

‖f‖m =

√ ∑

|α|≤m

‖|yα|f‖2L2 .

Cette norme est equivalente a la norme

‖f‖∗m = ‖(1 + ‖y‖2)m2 f‖L2 ,

qui est induite par le produit scalaire

〈f, g〉∗m = 〈(1 + ‖y‖2)m2 f , (1 + ‖y‖2)

m2 g〉L2 .

Dans ces dernieres expressions, il n’y a aucune raison de se limiter a des valeurs entieresde m. On peut donc definir des espaces de Sobolev d’ordre fractionnaire.

Definition 7.21. Pour tout s ∈ R+, l’espace de Sobolev Hs(Rn) est defini par

Hs(Rn) = f ∈ L2(Rn) | (1 + ‖y‖2)s2 f ∈ L2(Rn),

et est muni du produit scalaire Hs, note 〈·, ·〉s, defini par

〈f, g〉s = 〈(1 + ‖y‖2)s2 f , (1 + ‖y‖2)

s2 g〉L2

pour tout f, g ∈ Hs(Rn).

Les espaces Hs(Rn) sont encore des espaces de Hilbert.


1. Soit Ω =] − 1, 1[⊂ R.

(a) Montrer que la distribution de Dirac δ ∈ H−1(Ω).

Par le theoreme de representation de Riesz, il existe un unique f ∈ H10 (Ω) tel que

〈δ, u〉 = 〈f, u〉1 pour tout u ∈ H10 (Ω).

(b) Montrer que f − f′′

= δ dans D′(Ω) et en deduire f .

121

Chapitre 8

Problemes aux limites

“God does not care about our mathematical difficulties.He integrates empirically. ”

Albert Einstein (1879 - 1955)

8.1 Formulation variationnelle

Nous allons reformuler des problemes aux limites sous la forme de problemes de minimisa-tion d’une fonctionnelle, c’est-a-dire sous une forme variationnelle. Cette formulation, ditefaible, joue un role cle dans la resolution de ces problemes aux limites, tant d’un point devue theorique que dans les calculs numeriques.

8.1.1 Fonctionnelle de Ritz

Soit A : D(A) ⊂ H → H un operateur lineaire (au sens de la definition 2.16) dans unespace de Hilbert H. On considere l’equation

Au = f (8.1)

avec f ∈ H donne, a resoudre dans H. Nous allons nous restreindre a des operateurs Ajouissant de proprietes particulieres.

Definition 8.1. On dit que l’operateur lineaire A est symetrique si D(A) est dense dansH et

〈Au, v〉 = 〈u,Av〉pour tout u, v ∈ D(A).

En particulier, si A est symetrique, alors 〈Au, u〉 ∈ R pour tout u ∈ H.

122

Definition 8.2. On dit qu’un operateur lineaire symetrique A est coercif si il existeρ > 0 tel que

〈Au, u〉 ≥ ρ‖u‖2

pour tout u ∈ D(A).

Lorsque A est symetrique et coercif, on associe au probleme (8.1) une fonctionnelle (nonlineaire) F : D(A) ⊂ H → R appelee fonctionnelle de Ritz et definie par

F (v) =1

2〈v,Av〉 − Re〈f, v〉

pout tout v ∈ D(A).

Theoreme 8.3. Soit H un espace de Hilbert et A un operateur lineaire symetrique etcoercif dans H. Alors l’equation (8.1) a au plus une solution dans D(A). De plus, lesproprietes suivantes sont equivalentes :

(i) u ∈ D(A) est l’unique solution de Au = f ;

(ii) u minimise la fonctionnelle de Ritz F associee sur D(A) ;

(iii) 〈Au, v〉 = 〈f, v〉 pour tout v ∈ D(A).

Demonstration. Supposons que u et v ∈ D(A) sont des solutions de (8.1). Alors A(u−v) =0 et 〈A(u−v), u−v〉 = 0. Comme A est coercif, ceci implique que ‖u−v‖ = 0, c’est-a-direque u = v. Il existe donc bien au plus une solution.

Pour tout u, v ∈ D(A), on a

F (u+ v) = F (u) + Re〈Au − f, v〉 +1

2〈v,Av〉. (8.2)

En particulier, si u est solution de (8.1), alors

F (u+ v) = F (u) +1

2〈v,Av〉 ≥ F (u) +

ρ

2‖v‖2.

Par consequent, u minimise F sur D(A).

Inversement, u ne peut minimiser F que si le deuxieme terme du membre de droite de(8.2) est nul. On a donc Re〈Au − f, v〉 = 0 pour tout v ∈ D(A). Lorsque K = C, enremplacant v par iv on a aussi Im〈Au − f, v〉 = 0 pour tout v ∈ D(A). Par consequent,Au−f ∈ D(A)⊥ = 0, puisque D(A) est dense dans H. En d’autres termes, u est solutionde (8.1).

L’equivalence de (i) ou (ii) avec (iii) est maintenant immediate.

La formulation variationnelle du probleme aux limites (8.1) consiste a minimiser lafonctionnelle de Ritz F sur D(A). Cependant, l’existence d’une solution n’est pas garantie.Ceci n’est pas surprenant, car il se pourrait que f ∈ H dans (8.1) ne soit pas un elementde imA ⊂ H.

123

Pour eviter cette difficulte, nous allons etendre la fonctionnelle de Ritz F sur un espaceplus grand que l’espace D(A) de maniere a pouvoir y garantir l’existence d’un minimum.Comme A est symetrique et coercif, la forme sesquilineaire

a(u, v) = 〈Au, v〉

definit un produit scalaire sur D(A). Soit Va la completion de l’espace D(A) pour ceproduit scalaire. Par construction, Va est un espace de Hilbert, est muni d’un produitscalaire 〈·, ·〉a et de la norme induite ‖ · ‖a. De plus, la coercivite de A implique qu’unesuite de Cauchy pour ‖ · ‖a est une suite de Cauchy pour ‖ · ‖, de sorte que Va ⊂ H.

Comme la fonctionnelle de Ritz F est uniformement continue sur l’espace D(A) muni dela norme ‖ · ‖a, elle s’etend de maniere unique en une fonctionnelle continue F : Va → R.Cette extension permet de garantir l’existence d’un minimum.

Theoreme 8.4. Sous les hypotheses du theoreme 8.3,

(i) F : Va → R est donnee par

F (v) =1

2a(v, v) − Re〈f, v〉 pour tout v ∈ Va ⊂ H;

(ii) F : Va → R possede un et un seul minimum ;

(iii) u ∈ Va minimise F si et seulement si

a(u, v) = 〈f, v〉 pour tout v ∈ Va.

Demonstration. La fonctionnelle de Ritz F : D(A) → R s’ecrit

F (v) =1

2〈Av, v〉 − Re〈f, v〉 =

1

2a(v, v) − Re〈f, v〉,

pour tout v ∈ D(A). Le premier terme de la derniere expression s’etend bien a Va, puisqu’ils’agit de 1

2‖v‖2a. Le deuxieme terme est defini sur tout H, et est uniformement continu

pour la norme ‖ · ‖a car

|Re〈f, v〉| ≤ |〈f, v〉| ≤ ‖f‖ ‖v‖ ≤ 1√ρ‖f‖ ‖v‖a

pour tout v ∈ D(A).

L’equation 〈u, v〉a = 〈f, v〉 possede une unique solution u ∈ Va en consequence du theoremede representation de Riesz applique a l’espace de Hilbert Va, puisque le membre de droitey definit une fonctionnelle lineaire continue.

En injectant cette unique solution u ∈ Va dans l’expression de F (v), on obtient

F (v) =1

2‖v‖2

a − Re〈u, v〉a =1

2

(‖v‖2

a − 〈u, v〉a − 〈v, u〉a)

=1

2

(‖u− v‖2

a − ‖u‖2a

).

L’element u ∈ Va est donc l’unique minimum de F .

124

Remarquons que, dans ce dernier resultat, on peut generaliser la condition f ∈ H en laremplacant par la condition plus faible f ∈ V ′

a. En effet, la demonstration ci-dessus utiliseseulement le fait que Re〈f, v〉 est une fonctionnelle lineaire continue sur Va.

De plus, la norme de l’unique solution u ∈ Va du probleme variationnel est donnee par‖u‖a = ‖f‖∗a, ou ‖ · ‖∗a designe la norme dans l’espace dual V ′

a. Par consequent, la solutionu ∈ Va depend continument de la donnee du probleme f ∈ V ′

a.

De maniere generale, on dit qu’un probleme est bien pose si il a une et une seule solution,qui depend des donnees du problemes de maniere continue. On voit donc que la formulationvariationnelle du probleme aux limites (8.1), etendue a Va, permet d’obtenir un problemebien pose.

Cette formulation possede egalement une interpretation physique dans le cas de nombreuxproblemes. Par exemple, supposons que (8.1) est l’equation permettant de determinerla deformation u d’un corps elastique soumis a une force exterieure f . Dans ce cas, laforme quadratique 1

2a(u, u) est l’energie interne de deformation du corps elastique, tandisque 〈f, u〉 est l’energie potentielle de la force exterieure. Ainsi, la fonctionnelle de Ritzrepresente l’energie totale du systeme, et le corps elastique se deformera de maniere a mi-nimiser cette energie totale. La condition a(u, v) = 〈f, v〉 est alors equivalente au principedes travaux virtuels : a l’equilibre un deplacement virtuel produit un travail virtuel nul.

Pour cette raison, le produit scalaire 〈·, ·〉a et la norme ‖ · ‖a sont quelquefois appelesproduit scalaire energie et norme energie.

8.1.2 Probleme de Poisson

Considerons le probleme aux limites suivant, appele probleme de Poisson :

−∆u = f dans Ω,

u = 0 sur ∂Ω,

avec f ∈ L2(Ω) et ou Ω est un ouvert borne de Rn.

Nous pouvons reformuler ce probleme sous forme variationnelle en prenant H = L2(Ω) et

A : D(A) = C∞0 (Ω) ⊂ H → H : u 7→ Au = −∆u.

L’operateur lineaire A est symetrique car

−〈u,∆v〉L2 = 〈∇u,∇v〉L2 = −〈∆u, v〉L2

pour tout u, v ∈ C∞0 (Ω). Le resultat suivant permet de verifier que A est coercif.

Theoreme 8.5 (Premiere inegalite de Friedrichs). Soit Ω un ouvert borne de Rn.Alors il existe une constante C > 0 telle que

‖ϕ‖2L2 ≤ C‖∇ϕ‖2

L2

pour tout ϕ ∈ C∞0 (Ω).

125

Demonstration. Soit U =] − a, a[n un hypercube contenant Ω. On peut considerer ϕ ∈C∞

0 (Ω) comme un element de C∞0 (U) en l’etendant par 0 hors de Ω. On a

ϕ(x1, . . . , xn) =

∫ x1

−a

∂

∂tϕ(t, x2, . . . , xn) dt.

Par l’inegalite de Schwarz, on obtient

|ϕ(x1, . . . , xn)|2 ≤∫ x1

−a1 dt

∫ x1

−a| ∂∂tϕ(t, x2, . . . , xn)|2 dt

≤ 2a

∫ a

−a| ∂∂tϕ(t, x2, . . . , xn)|2 dt.

En integrant membre a membre sur U , il vient∫

U|ϕ(x)|2 dx ≤ 4a2

∫

U| ∂∂x1

ϕ(x)|2 dx

et donc aussi ∫

U|ϕ(x)|2 dx ≤ 4a2

∫

U|∇ϕ(x)|2 dx.

Cette inegalite s’etend, par densite, a tout H10 (Ω). En effet, soit (ϕk) une suite dans C∞

0 (Ω)

convergeant en norme H1 vers u ∈ H10 (Ω). Alors ϕk

L2

→ u et ∇ϕkL2

→ ∇u, de sorte qu’enappliquant la premiere inegalite de Friedrichs et en prenant la limite pour k → ∞, onobtient ‖u‖2

L2 ≤ C‖∇u‖2L2 .

Par consequent, l’operateur lineaire symetrique A est coercif. En effet, pour tout u ∈ D(A),on a

−〈u,∆u〉L2 = 〈∇u,∇u〉L2 ≥ 1

C‖u‖2

L2 .

De plus, la norme correspondante√a(u, u) = ‖∇u‖L2 est equivalente a la norme H1 sur

D(A). En effet, pour tout u ∈ D(A), on a

‖∇u‖L2 ≤ ‖u‖1 ≤ (1 + C)‖∇u‖L2 .

Ainsi, la completion Va de D(A) = C∞0 (Ω) pour cette norme coincide avec la completion

de cet espace pour la norme H1, c’est-a-dire H10 (Ω). Enfin, le produit scalaire energie 〈·, ·〉a

et la norme energie ‖ · ‖a sur Va = H10 (Ω) sont donnes par

〈u, v〉a = 〈∇u,∇v〉L2 et ‖u‖a = ‖∇u‖L2 .

La formulation variationnelle du probleme de Poisson consiste donc a minimiser la fonc-tionnelle de Ritz F : H1

0 (Ω) → R definie par

F (v) =1

2‖∇v‖2

L2 − Re〈f, v〉L2 .

L’unique element u ∈ H10 (Ω) minimisant F verifie la relation

〈∇u,∇v〉L2 − Re〈f, v〉L2 = 0

pour tout v ∈ H10 (Ω).

126

8.1.3 Probleme de Poisson-Neumann

Considerons maintenant le probleme aux limites suivant, appele probleme de Poisson-Neumann :

−∆u = f dans Ω,n · ∇u = 0 sur ∂Ω,

avec f ∈ L2(Ω), ou Ω est un ouvert borne de Rn a frontiere de classe C1 et n est la normaleexterieure unite a ∂Ω.

Pour reformuler ce probleme sous forme variationnelle, prenons H = L2(Ω) et D(A) =u ∈ C∞(Ω) | n · ∇u|∂Ω = 0, de sorte que l’operateur lineaire A de ce probleme soitencore

A : D(A) ⊂ L2(Ω) → L2(Ω) : u 7→ −∆u.

Cet operateur lineaire est symetrique car en vertu du theoreme de la divergence,

−〈∆u, v〉L2 = 〈∇u,∇u〉L2 + 〈n · ∇u|∂Ω, v|∂Ω〉L2 = 〈∇u,∇v〉L2

pour tout u, v ∈ D(A).

En revanche, cet operateur n’est pas coercif car 〈Au, u〉L2 = 0 pour toute fonction constanteu sur Ω. Ceci n’est pas surprenant, car la solution du probleme de Poisson-Neumann nepeut etre determinee qu’a une constante pres. D’autre part, en integrant l’equation auxderivees partielles sur Ω et en appliquant le theoreme de la divergence, on obtient

〈f, 1〉L2 = −〈∇u, 1〉L2 + 〈n · ∇u|∂Ω, 1〉L2 = 0,

de sorte que l’on ne peut esperer pouvoir trouver un solution au probleme de Poisson-Neumann que lorsque 〈f, 1〉L2 = 0. Pour eviter ces difficultes, restreignons l’espace deHilbert H a 1⊥ ⊂ L2(Ω). Ainsi, le domaine de A devient

D(A) = u ∈ C∞(Ω) | n · ∇u|∂Ω = 0, 〈u, 1〉L2 = 0.

Pour montrer que cet operateur restreint est bien coercif, nous aurons besoin de l’inegalitesuivante.

Theoreme 8.6 (Inegalite de Poincare). Soit Ω un ouvert borne de Rn possedant lapropriete du cone. Alors il existe une constante C > 0 telle que

‖u‖21 ≤ C

(‖∇u‖2

L2 + |〈u, 1〉L2 |2)

pour tout u ∈ H1(Ω).

Demonstration. Supposons par l’absurde que, pour tout k ∈ Z+, il existe uk ∈ H1(Ω) telque

‖uk‖21 > k

(‖∇uk‖2

L2 + |〈uk, 1〉L2 |2).

Puisque cette inegalite est homogene de degre 2 en uk, on peut supposer sans perte degeneralite que ‖uk‖1 = 1. Par consequent, la condition ci-dessus implique que

‖∇uk‖2L2 + |〈uk, 1〉L2 |2 → 0, n→ ∞.

127

Comme (uk) est bornee dans H1(Ω), on peut en extraire par le theoreme de Rellich unesous-suite convergente dans L2(Ω). Pour simplifier les notations, nous designerons toujours

cette sous-suite par (uk), de sorte que ukL2

→ u pour un certain u ∈ L2(Ω).

Comme ukL2

→ u et ∇ukL2

→ 0, on a ukH1

→ u et ∇u = 0. De plus, la propriete 〈uk, 1〉L2 → 0implique 〈u, 1〉L2 = 0.

Mais ces deux proprietes de u impliquent que u = 0, ce qui contredit le fait que ‖u‖1 =limk→∞ ‖uk‖1 = 1.

Par consequent, l’operateur lineaire symetrique A est coercif. En effet, pour tout u ∈ D(A),on a

−〈u,∆u〉L2 = 〈∇u,∇u〉L2 ≥ 1

C‖u‖2

L2 ,

car 〈u, 1〉L2 = 0.

De plus, la norme correspondante√a(u, u) = ‖∇u‖L2 est equivalente a la norme H1 sur

D(A). La completion Va de D(A) pour cette norme coincide donc la completion de cetespace pour la norme H1, c’est-a-dire avec

Va = u ∈ H1(Ω) | 〈u, 1〉L2 = 0.

Comme ∇1 = 0, on peut remplacer le produit scalaire L2 par le produit scalaire H1 dansl’expression ci-dessus, de sorte que Va = 1⊥ ⊂ H1(Ω).

Enfin, le produit scalaire energie 〈·, ·〉a et la norme energie ‖ · ‖a sur Va = H10 (Ω) sont

donnes par〈u, v〉a = 〈∇u,∇v〉L2 et ‖u‖a = ‖∇u‖L2 .

La formulation variationnelle du probleme de Poisson-Neumann consiste donc a minimiserla fonctionnelle de Ritz F : 1⊥ ⊂ H1(Ω) → R definie par

F (v) =1

2‖∇v‖2

L2 − Re〈f, v〉L2 .

L’unique element u ∈ 1⊥ ⊂ H1(Ω) minimisant F verifie la relation

〈∇u,∇v〉L2 − Re〈f, v〉L2 = 0

pour tout v ∈ 1⊥ ⊂ H1(Ω).

8.1.4 Conditions aux limites essentielles et naturelles

Les deux problemes aux limites traites ci-dessus sont tres semblables, car l’expression de lafonctionnelle de Ritz est la meme dans les deux cas. Par contre, les espaces de Hilbert Va

sur lesquels on minimise cette fonctionnelle different : on travaille sur Va = H10 (Ω) pour le

probleme de Poisson, et sur Va = 1⊥ ⊂ H1(Ω) pour le probleme de Poisson-Neumann.

128

En particulier, les conditions aux limites satisfaites par u sur ∂Ω apparaıssent de manieresdifferentes dans les formulations variationnelles de ces problemes aux limites.

Dans le cas du probleme de Poisson, tous les elements de l’espace Va = H10 (Ω) satisfont a

la condition aux limites u|∂Ω = 0. Comme cette condition est exigee de maniere explicitedans la formulation variationnelle, on parle de conditions aux limites essentielles ouprincipales.

Par contre, dans le cas du probleme de Poisson-Neumann, les elements de l’espace Va =1⊥ ⊂ H1(Ω) ne satisfont pas forcement a la condition aux limites n · ∇u|∂Ω = 0. Cesconditions sont en fait automatiquement satisfaites par le fait que la solution u ∈ Va

minimise la fonctionnelle de Ritz. On parle alors de conditions aux limites naturelles.

8.1.5 Generalisation

Une fois un probleme aux limites formule dans l’espace de Hilbert approprie Va munidu produit scalaire energie 〈·, ·〉a, l’espace de Hilbert initial H devient inutile. On peutdonc reformuler le theoreme 8.4 et ses hypotheses directement dans l’espace Va, note Vci-dessous.

Theoreme 8.7. Soient V un espace de Hilbert, a : V × V → K une forme hermitiennedefinie positive, continue et coercive, et f ∈ V ′. Alors la fonctionnelle F : V → R definiepar

F (v) =1

2a(v, v) − Re〈f, v〉

possede un unique minimum u ∈ V , qui est l’unique solution de

a(u, v) = 〈f, v〉, pour tout v ∈ V.

En pratique, il est parfois preferable de formuler un probleme aux limites sous sa formula-tion variationnelle que sous sa formulation differentielle, car la formulation variationnellerequiert peu de conditions de regularite pour les diverses fonctions definissant le probleme.

Exemple. Soient Ω un ouvert borne de Rn, V = H10 (Rn), f ∈ H−1(Rn) et a : V ×V → K

definie par

a(u, v) =

n∑

i=1

∫

Ωp(x)

∂u

∂xi(x)

∂v

∂xi(x) dx,

avec p ∈ C0(Ω) satisfaisant p(x) ≥ p0 > 0 pour tout x ∈ Ω.

La fonctionnelle F : V → R associee a ces donnees s’ecrit

F (v) =1

2

n∑

i=1

∫

Ωp(x)

∣∣∣∣∂u

∂xi(x)

∣∣∣∣2

dx− Re〈f, v〉.

La condition satisfaite par l’unique element u ∈ V minimisant F est

n∑

i=1

∫

Ωp(x)

∂u

∂xi(x)

∂v

∂xi(x) dx = 〈f, v〉, pour tout v ∈ V.

129

En revanche, la formulation differentielle de ce probleme est donnee par

−∑ni=1

∂∂xi

(p(x) ∂u

∂xi(x))

= f(x) dans Ω,

u = 0 sur ∂Ω,

ce qui n’a de sens que si p et ∂u∂xi

sont de classe C1. N

8.2 Methodes approchees

Nous allons maintenant appliquer la formulation variationnelle des problemes aux limitesa leur resolution numerique approchee.

8.2.1 Methode de Ritz

Considerons un probleme aux limites donne sous sa formulation variationnelle comme dansle theoreme 8.7. La methode de Ritz consiste a remplacer le probleme de minimisationde F sur V par le probleme de minimisation de F sur un sous-espace ferme Vh ⊂ V . Enpratique, on choisit cet espace Vh de dimension finie.

Le but est d’approcher le minimum u ∈ V de F sur V par le minimum uh ∈ Vh de Fsur Vh. L’espace Vh sera choisi de maniere a pouvoir calculer numeriquement la solutionapprochee uh ∈ Vh. Cette solution approchee satisfait a la condition

a(uh, v) = 〈f, v〉, pour tout v ∈ Vh. (8.3)

Remarquons que, pour obtenir dette formulation approchee du probleme aux limites, iln’est pas necessaire de discretiser d’operateurs differentiels (en les remplacant par desdifferences finies, par exemple). De plus, l’espace Vh peut etre choisi librement dans l’espacede Hilbert V . En particulier, Vh ne doit pas etre un sous-espace du domaine D(A) del’operateur A de la formulation forte du probleme.

Lorsque Vh est de dimension finie N , cette condition s’exprime sous la forme d’un systemede N equations lineaires a N inconnues, que l’on peut resoudre par ordinateur. En effet,tout element v ∈ Vh peut s’ecrire

v =N∑

j=1

ξjφj ,

ou (φj)1≤j≤N est une base de Vh. La condition (8.3) devient alors

N∑

j=1

a(φj , φi)ξj = 〈f, φi〉, i = 1, . . . , N.

En posant A = (aij) ∈ RN×N avec aij = a(φi, φj), ξ = (ξ1, . . . , ξN ) ∈ RN et b =(b1, . . . , bN ) ∈ RN avec bi = 〈f, φi〉, ce systeme dequation se reecrit sous la forme compacte

Aξ = b.

130

Ce systeme d’equations lineaires est appele systeme de Ritz et la matrice A est appeleematrice de rigidite. Par symetrie et coercivite de l’operateur lineaire correspondant,c’est une matrice symetrique et definie positive.

On voudrait maintenant savoir si la solution approchee uh ∈ Vh est proche de la solutionexacte u ∈ V . Comme la fonctionnelle de Ritz F peut s’ecrire

F (v) =1

2

(‖u− v‖2

a − ‖u‖2a

),

on en deduit que‖u− uh‖a = min

v∈Vh

‖u− v‖a.

En d’autres termes, la solution approchee uh est l’approximation optimale de la solutionexacte u dans le sous-espace Vh, au sens de la norme energie ‖·‖a. Cependant, cette normedepend du probleme considere et on prefere mesurer l’erreur commise lors de la resolutionapprochee au moyen de la norme usuelle ‖ · ‖ sur V . Pour cela, on aura besoin du resultatsuivant.

Theoreme 8.8 (Lemme de Cea). Sous les hypotheses du theoreme 8.7, soit uh ∈ Vh

l’approximation du minimum u ∈ V de F obtenue par la methode de Ritz dans le sous-espace ferme Vh ⊂ V . Alors il existe une constante C ≥ 1 telle que

‖u− uh‖ ≤ C minv∈Vh

‖u− v‖. (8.4)

Demonstration. Soit Ph : V → V le projecteur lineaire orthogonal sur l’espace Vh ⊂ V .On a donc

‖u− Phu‖ = minv∈Vh

‖u− v‖.

Par continuite et coercivite de a, la norme energie ‖ · ‖a est equivalente a la norme usuelle‖ · ‖ sur V : il existe α, β > 0 tels que

α‖v‖2 ≤ a(v, v) ≤ β‖v‖2,

pour tout v ∈ V . Par consequent, on a

α‖u − uh‖2 ≤ a(u− uh, u− uh) = minv∈Vh

a(u− v, u− v)

≤ a(u− Phu, u− Phu)

≤ β‖u− Phu‖2.

On en deduit que

‖u− uh‖ ≤√β

α‖u− Phu‖ =

√β

αminv∈Vh

‖u− v‖.

En general, la solution approchee uh ∈ Vh n’est pas la meilleure approximation de u ∈ Vdans le sous-espace Vh. Cependant, l’inegalite (8.4) montre que, lorsque la constante Cn’est pas trop grande, la solution approchee uh presque aussi bonne que la meilleureapproximation Phu de u ∈ V dans Vh. On dit que cette solution approchee est quasi-optimale pour la norme ‖ · ‖ de V .

131

8.2.2 Elements finis

La methode des elements finis repose sur l’application de la methode de Ritz dansle cas ou l’espace Vh consiste en des fonctions polynomiales par morceaux, continues surΩ ainsi que certaines de leurs derivees. Nous detaillons cette metode dans le cas d’unprobleme aux limites formule sur un ouvert borne Ω du plan R2.

On decompose l’ouvert Ω en une juxtapositions de domaines elementaires Ωl, l ∈ L,appeles elements finis. On travaille sur chaque Ωl avec des fonctions polynomiales, quise raccordent continument le long des frontieres de ces domaines elementaires, ainsi quecertaines de leurs derivees. On doit avoir Vh ⊂ V , ou V est typiquement un sous-espaceferme de l’espace de Sobolev Hm(Ω). On peut montrer qu’une fonction vh polynomiale parmorceaux est dans Hm(Ω) si et seulement si vh ∈ Cm−1(Ω). Dans le cas d’un problemedu second ordre, on a m = 1, de sorte que les fonctions vh doivent etre continues.

Sur chaque element Ωl, une fonction polynomiale sera determinee par ses valeurs (ainsique celles de certaines de ses derivees), appelees valeurs nodales, en certains points deΩl, appeles points nodaux ou noeuds. Les noeuds, les valeurs nodales et le degre despolynomes utilises doivent etre choisis de sorte que le nombre total Σ de valeurs nodalessuir un element fini coincide avec le nombre C(d) = (d+1)(d+2)

2 de coefficients dans unpolynome de degre d en 2 variables. Une fonction dans Vh sera alors representee surordinateur par le vecteur ξ constitue de toutes ses valeurs nodales sur Ω.

Pour affiner cette representation, dans le but d’obtenir une meilleure solution approcheeuh ∈ Vh, on peut soit subdiviser les elements Ωl en des domaines plus petits (version h),soit augmenter le degre des polynomes utilises (version p).

Etudions maintenant quelques manieres de choisir les noeuds, les valeurs nodales et ledegre des polynomes utilises dans le cas d’elements finis triangulaires.

Interpolation de Lagrange

Dans ce cas, les valeurs nodales sont uniquement les valeurs de la fonction polynomialeaux noeuds (et de ses derivees). Pour obtenir des fonctions polynomiales par morceauxcontinues, il suffira d’imposer que les valeurs nodales sur chaque cote de Ωl suffisent exac-tement a determiner le polynome sur ce cote. Par contre, il ne sera pas possible d’obtenirdes fonctions polynomiales par morceaux de classe Ck sur Ω avec k > 0.

Interpolation lineaire

Lorsque d = 1 et donc C(d) = 3, il suffit de choisir comme noeuds les sommets du triangle.Les valeurs nodales aux deux noeuds sur chaque cote determinent bien une fonction lineairesur ce cote.

132

Interpolation quadratique

Lorsque d = 2 et donc C(d) = 6, on choisit comme noeuds les sommets et les milieux descotes du triangle. Les valeurs nodales aux trois noeuds sur chaque cote determinent bienune fonction quadratique sur ce cote.

Interpolation cubique

Lorsque d = 3 et donc C(d) = 10, on choisit comme noeuds les sommets du triangle,les points subdivant chaque cote du triangle en 3 parties egales et le centre de gravitedu triangle. Les valeurs nodales aux quatre noeuds sur chaque cote determinent bien unefonction cubique sur ce cote.

Σ = 3

d = 1

Σ = 6

d = 2

Σ = 10

d = 3

Fig. 8.1 – Interpolation de Lagrange.

Interpolation d’Hermite

Dans ce cas, les valeurs nodales comprennent egalement les valeurs de certaines derivees dupolynome φ en certains noeuds. Suivant les cas, on obtiendra divers types de raccordementpour les derivees le long des cotes des triangles.

Interpolation cubique

Lorsque d = 3 et donc C(d) = 10, on choisit comme noeuds les sommets du triangle, oul’on utilise comme valeurs nodales les valeurs de φ, ∂φ

∂x et ∂φ∂y , ainsi que le centre de gravite

du triangle, ou l’on utilise comme valeur nodale la valeur de φ.

On peut montrer qu’une telle fonction polynomiale par morceaux est continue, mais queses derivees premieres ne se raccordent contnument qu’aux sommets des triangles.

Interpolation quintique

Lorsque d = 5 et donc C(d) = 21, on choisit comme noeuds les sommets du triangle, ou

l’on utilise comme valeurs nodales les valeurs de φ, ∂φ∂x ,

∂φ∂y ,

∂2φ∂x2 ,

∂2φ∂x∂y et ∂2φ

∂y2 , ainsi que lesmilieux des cotes du triangle, ou l’on utilise comme valeur nodale la valeur de la derivenormale ∂φ

∂n de φ.

133

On peut montrer que, de cette maniere, on obtient des fonctions polynomiales par mor-ceaux de classe C1 sur Ω.

Interpolation quintique reduite

Dans la methode precedente, au lieu d’utiliser les milieux des cotes du triangle pour yrecolter les 3 dernieres valeurs nodales, on impose que la derivee normale ∂φ

∂nde φ surchaque cote soit une cubique.

De cette maniere, on obtient encore des fonctions polynomiales par morceaux de classe C1

sur Ω.

Σ = 10

d = 3

Σ = 21

d = 5

Σ = 18 (+3 conditions)

d = 5

Fig. 8.2 – Interpolation d’Hermite.

Assemblage de la matrice de rigidite

Une fois que les noeuds et valeurs nodales ont ete choisis, et donc que l’espace Vh et unebase (φj)1≤j≤N sont determines, il faut calculer la matrice de rigidite du systeme de Ritz.

Les coefficients aij peuvent etre calcules en sommant des contributions locales a(l)ij pour

chaque element fini Ωl : aij =∑L

l=1 a(l)ij , avec

a(l)ij =

∫

Ωl

(p(x)

2∑

k=1

∂φi

∂xk(x)

∂φj

∂xk(x)

)dx,

dans le cas de l’exemple de la section 8.1.5.

La matrice A(l) = (a(l)ij ) est appelee matrice de rigidite elementaire ou locale. Le

calcul de A a partir des matrices A(l) s’appelle l’assemblage. Cette methode s’appliqueaussi au calcul du vecteur b a partir de f ∈ V ′.

Pour assembler la matrice A, on parcourt d’abord tous les elements dans Ω et on sommeleurs contributions provenant d’integrales de volume (sur Ωl). La matrice ainsi obtenue estappelee matrice de rigidite primitive. Ensuite, on parcourt tous les elements adjacentsa ∂Ω et on somme encore leurs contributions de frontieres, provenant d’integrales de bord(sur ∂Ω ∩ ∂Ωl).

La matrice ainsi obtenue incorpore automatiquement les conditions aux limites naturellesdu probleme. Par contre, il faut imposer explicitement les conditions aux limites essen-

134

tielles. Pour cela, il faut donner des valeurs prescrites a certaines valeurs nodales (com-posantes de ξ), puis deplacer les termes correspondants dans le membre de droite. Enfin,on elimine les equations dans lesquelles une valeur nodale connue est multipliee par uncoefficient diagonal de A.

8.3 Problemes aux valeurs propres

Nous allons maintenant formuler des problemes aux valeurs propres sous une forme varia-tionnelle.

8.3.1 Quotient de Rayleigh

Soit A : D(A) ⊂ H → H un operateur lineaire symetrique dans un espace de Hilbert H.On considere l’equation

Au = λu

avec λ ∈ R et u ∈ H. Cette equation a en general de nombreuses solutions, qui sont lesvaleurs propres et vecteurs propres de l’operateur A.

Le quotient de Rayleigh de A est la fonctionnelle R : D(A) \ 0 → R definie par

R(u) =〈u,Au〉〈u, u〉 .

Considerons le probleme variationnel qui consiste a minimiser sur D(A) \ 0 le quotientde Rayleigh.

Comme la fonctionnelle de Ritz, lorsque l’operateur A est coercif, le quotient de Rayleighs’etend de maniere unique en une fonctionnelle definie sur Va \ 0, ou Va ⊂ H est lacompletion de D(A) pour la norme energie ‖ · ‖a.

Lorsque l’operateur A est symetrique, coercif et possede une base orthonormee de vecteurspropres, on peut montrer que

λ0 = infu∈Va\0

R(u)

est la plus petite valeur propre de A et que cette valeur est atteinte par un vecteur propreu0 ∈ Va \ 0 correspondant a la valeur propre λ0 : R(u0) = λ0.

En minimisant ensuite le quotient de Rayleigh sur l’orthogonal des espaces propres dejaobtenus, on peut trouver toutes les valeurs propres et vecteurs propres de l’operateur Apar cette methode variationnelle.

135

8.3.2 Valeurs propres du laplacien

Nous allons illustrer la methode variationnelle ci-dessus dans le cas de l’operateur laplacien.Soit Ω un ouvert borne de Rn, et considerons donc le probleme aux valeurs propres

−∆u = λu dans Ω,

u = 0 sur ∂Ω,

ou u ∈ L3(Ω) et λ ∈ R.

Pour reformuler ce probleme sous forme variationnelle, prenons H = L2(Ω) et

A : D(A) = C∞0 (Ω) ⊂ H → H : u 7→ Au = −∆u.

Nous avons vu dans la section 8.1.2 que cet operateur lineaire est symetrique et coercif, etque la norme energie ‖ · ‖a correspondante est equivalente a la norme H1 sur D(A). Parconsequent, la completion de D(A) = C∞

0 (Ω) pour cette norme est Va = H10 (Ω).

Le quotient de Rayleigh etendu est donc la fonctionnelle R : H10 (Ω) → R donnee par

R(u) =‖∇u‖2

L2

‖u‖2L2

.

Le numerateur de cette expression est appele integrale de Dirichlet :

‖∇u‖2L2 =

∫

Ω

n∑

i=1

∣∣∣∣∂u

∂xi

∣∣∣∣2

dx.

Nous devons maintenant montrer que l’infimum du quotient de Rayleigh est atteint parun element de H1

0 (Ω).

Theoreme 8.9. Soit S = uj ∈ H10 (Ω) | j ∈ J ⊂ N une collection de vecteur propres du

laplacien : −∆uj = λjuj pour des valeurs propres λj ∈ R. Alors il existe u ∈ S⊥ \ 0 telque

‖∇u‖2L2

‖u‖2L2

= infu∈S⊥\0

‖∇u‖2L2

‖u‖2L2

= λ.

De plus, −∆u = λu.

Demonstration. Definissons λ ∈ R par

λ = infu∈S⊥\0

‖∇u‖2L2

‖u‖2L2

.

Par definition de l’infimum, il existe une suite minimisante (vk) dans S⊥ \ 0 pour lequotient de Rayleigh, c’est-a-dire telle que R(vk) → 0 lorsque k → ∞. Sans perte degeneralite, nous pouvons supposer que ‖vk‖L2 = 1. Par consequent,

‖vk‖2H1 = ‖vk‖2

L2 + ‖∇vk‖2H1 = 1 +R(vk) → 1, k → ∞,

136

de sorte que la suite (vk) est bornee dans H10 (Ω). Par le theoreme de Rellich, on peut en

extraire une sous-suite, que nous noterons encore (vk), qui est convergente dans L2(Ω).Soit u ∈ L2(Ω) sa limite. On a donc en particulier

‖u‖L2 = limk→∞

‖vk‖L2 = 1 et 〈u, ul〉L2 = limk→∞

〈vk, ul〉L2 = 0.

Verifions maintenant que R(u) = λ. Comme R(u) ≥ λ pour tout u ∈ S⊥ \ 0, on a

‖∇vk + ǫ∇w‖2L2 − λ‖vk + ǫw‖2

L2 ≥ 0,

pour tout w ∈ S⊥ et ǫ ∈ R. En developpant, on obtient

‖∇vk‖2L2 − λ‖vk‖2

L2 + 2Re ǫ〈∇vk,∇w〉L2 − 2λRe ǫ〈vk, w〉L2 + |ǫ|2(‖∇w‖2 − λ‖w‖2

L2

)≥ 0.

Posons c = ‖∇w‖2 − λ‖w‖2L2 . En prenant la limite inferieure pour k → ∞, on obtient

lim infk→∞

2Re ǫ〈∇vk,∇w〉L2 − 2λRe ǫ〈u, w〉L2 ≥ −|ǫ|2c.

Lorsque ǫ = ǫ0 > 0, ceci donne

lim infk→∞

Re〈∇vk,∇w〉L2 − λRe〈u, w〉L2 ≥ −ǫ02c,

alors que pour ǫ = −ǫ0 < 0, on a

lim supk→∞

Re〈∇vk,∇w〉L2 − λRe〈u, w〉L2 ≤ −ǫ02c.

Comme ǫ0 > 0 est arbitraire, on en deduit que

limk→∞

Re〈∇vk,∇w〉L2 − λRe〈u, w〉L2 = 0.

En remplacant w par iw, on obtient aussi

limk→∞

Im〈∇vk,∇w〉L2 − λIm〈u, w〉L2 = 0,

de sorte que finalementlim

k→∞〈∇vk,∇w〉L2 = λ〈u, w〉L2 , (8.5)

pour tout w ∈ S⊥.

En prenant w = vj dans (8.5), et en prenant la limite pour j → ∞, on obtient

limj→∞

limk→∞

〈∇vk,∇vj〉L2 = λ‖u‖2L2 = λ.

En particulier, la suite (∇vk) est une suite de Cauchy dans L2(Ω) car

‖vk − vj‖2L2 = ‖∇vk‖2

L2 − 2Re〈∇vk,∇vj〉L2 + ‖∇vj‖2L2 .

137

La suite (vk) est donc de Cauchy dans H10 (Ω). Par consequent, u ∈ H1

0 (Ω) et R(u) =

limk→∞R(vk) = λ.

L’equation (8.5) devient alors

〈∇u,∇w〉L2 = λ〈u, w〉L2 ,

pour tout w ∈ S⊥. Soit ϕ ∈ C∞0 (Ω) ; alors

w = ϕ−∑

j∈J

〈uj , ϕ〉L2uj ∈ S⊥

et donc, comme〈∇u,∇uj〉L2 = −〈∆u, uj〉L2 = −λ〈u, uj〉L2 = 0,

on obtient−〈∆u, ϕ〉L2 = λ〈u, ϕ〉L2 ,

pour tout ϕ ∈ C∞0 (Ω). Ceci montre bien que −∆u = λu.

Corollaire 8.10. Les vecteurs propres de l’operateur −∆ sur H10 (Ω) forment une suite

orthogonale complete dans H10 (Ω) et dans L2(Ω).

Demonstration. L’application repetee du Theoreme 8.9 permet de construire une suiteorthonormee dans L2(Ω) de vecteurs propres uj ∈ H1

0 (Ω), correspondant aux valeurspropres λj et satisfaisant

0 < λ1 ≤ λ2 ≤ λ3 ≤ . . .

Il suffit en effet d’appliquer le Theoreme 8.9 avec S = u1, . . . , uj pour obtenir uj+1 etλj+1.

Remarquons que, pour tout λ ∈ R, on a maxj ∈ N | λj = R(uj) < λ <∞, ce qui revienta dire que limj→∞ λj = ∞. En effet, si ce n’etait pas le cas, la suite (uj) serait bornee dansH1

0 (Ω) et par le theoreme de Rellich on pourrait en extraire une sous-suite convergentedans L2(Ω). Mais une suite orthonormee ne peut etre convergente, une contradiction.

Soit v ∈ H10 (Ω) \ 0, et soit k ∈ N tel que λk > R(u). Si 〈v, uj〉L2 = 0 pour tout

j = 1, . . . , k alors par construction de la suite (uj), on doit avoir R(u) ≥ R(uk) = λk, unecontradiction. Comme H1

0 (Ω) est dense dans L2(Ω), ceci implique que la suite (uj) estcomplete dans L2(Ω).

Enfin, remarquons que

〈ui, uj〉H1 = 〈ui, uj〉L2 + 〈∇ui,∇uj〉L2 = δij(1 + λj),

de sorte que la suite (uj) est egalement orthogonale et complete dans H10 (Ω).

138


1. On considere le probleme aux limites

−∆u = f dans Ω,

n · ∇u+ u = 0 sur ∂Ω,

ou Ω ⊂ Rn est un ouvert borne a frontiere de classe C1, n est la normale exterieureunite a ∂Ω et f ∈ L2(Ω).

(a) Montrer avec un raisonnement par l’absurde la deuxieme inegalite de Friedrichs :il existe une constante C > 0 telle que

‖ϕ‖2L2 ≤ C

(‖∇ϕ‖2

L2 + ‖γ(ϕ)‖2L2

)

pour tout ϕ ∈ C∞(Ω).

(b) Montrer que l’operateur A de ce probleme est symetrique et coercif.

(c) Donner la formulation variationnelle de ce probleme.

139

Notations

| · | module.‖ · ‖ norme.〈·, ·〉 crochet de dualite ou produit scalaire, d’apres le contexte.∗ produit de convolution.⊗ produit tensoriel.⊕ somme directe algebrique ou topologique, d’apres le contexte.α multi-indice (α1, . . . , αn).∂α derivee par rapport au multi-indice α.∂A bord de l’ensemble A.γα application de trace pour espaces de Sobolev.δ distribution de Dirac.δ(A) diametre de l’ensemble A.σ(V, V ′) topologie faible sur V .σ(V ′, V ) topologie faible * sur V ′.Ω ouvert de Rn.A∗ adjoint de l’application lineaire A.

A adherence de l’ensemble A.B(x, r) boule ouverte de centre x et de rayon r.

B(x, r) boule fermee de centre x et de rayon r.B(X,E) espace des fonctions bornees de X dans E.Cm(Ω) espace des fonctions de classe Cm dans Ω.Cm

0 (Ω) espace des fonctions de classe Cm a support compact dans Ω.Cm

b (Ω) espace des fonctions de classe Cm a derivees bornees sur Ω.Cm

K (Ω) espace des fonctions de classe Cm a support dans K ⊂ Ω.Cm∞(Rn) espace des fonctions de classe Cm qui tendent vers 0 a l’infini.

d(·, ·) distance.D(T ) domaine de l’operateur lineaire T .D(Ω) espace des fonctions test sur Ω.D′(Ω) espace des distributions sur Ω.EX espace des fonctions de X dans E.E(Ω) espace des fonctions de classe C∞ sur Ω.E ′(Ω) espace des distributions a support compact dans Ω.fr regularisation de la distribution f .frc regularisation canonique de la distribution f .F transformation de Fourier.G(T ) graphe de l’operateur lineaire T .

140

H espace de Hilbert ou fonction de Heaviside, d’apres le contexte.Hm(Ω) espace de Sobolev d’ordre m sur Ω.Hm

0 (Ω) espace de Sobolev d’ordre m a trace nulle sur Ω.Hs(Rn) espace de Sobolev d’ordre fractionnaire s sur Rn.imA image de l’application lineaire A.Im(z) partie imaginaire de z.int(A) interieur de l’ensemble A.Jδ operateur de lissage.kerA noyau de l’application lineaire A.K corps des scalaires : R ou C.lp(E) espace des suites dans E de norme a la peme puissance sommable.L2(S) espace de Lebesgue d’exposant 2 sur la sous-variete S.L2

σ(R) espace de Lebesgue d’exp. 2 pour l’integrale de Riemann-Stieltjes sur R.Lp(Ω) espace de Lebesgue d’exposant p sur Ω.L(V,W ) espace des applications lineaires bornees de V dans W .P projecteur.Re(z) partie reelle de z.supp(f) support de la fonction ou de la distribution f .S(Rn) espace de Schwartz des fonctions a decroissance rapide sur Rn.S ′(Rn) espace des distributions temperees.S⊥ orthogonal de S.Ta operateur de translation par a ∈ Rn.T topologie.vp(f) valeur principale de la fonction f .Wm,p(Ω) espace de Sobolev d’ordre m et d’exposant p sur Ω.

141

Bibliographie

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142

Documents

Notes en EDP