Observateurs adaptatifs pour la commande sans … adaptatifs pour la commande sans capteur des machines asynchrones : analyse de stabilité Erik ETIEN, Claude CHAIGNE LAII - Université

Observateurs adaptatifs pour la commande sanscapteur des machines asynchrones : analyse de

stabilité

Erik ETIEN, Claude CHAIGNELAII - Université de Poitiers

Exposé GDR – E. Etien, Claude Chaigne – Juin. 2009 – p. 1/34

Introduction

Commande RFOC sans capteur: estimationdu flux rotorique et de la vitesse.

Estimation de la vitesse

Méthode à base de modèleInjection de signaux


Modèle du moteur.

8>><>>:

d

dtis = −(

1

τ′

σ

+ jωs)is +1

Lσ(

1

τR− jω)ψ

R+

1

Lσus

d

dtψR

= RRis − (1

τR+ jωsl

)ψR

is = isd + jisq Phaseur du courant statorique.

ψR

= ψrd + jψrq Phaseur du flux rotorique.

ωsl Pulsation de glissement.

ω Pulsation électrique de rotation.

ωs = ωsl + ω Pulsation statorique.

Rs Résistance statorique.

RR Résistance rotorique.

LM Inductance magnétisante.

Lσ Inductance de fuite.


Observateur adaptatif

8>>>>><>>>>>:

d

dtbis = −(

1

τ′

σ

+ jωs)bis +1

Lσ(

1

τR− jbω) bψ

R+

1

Lσus +Gsei

d

dtbψR

= RRbis − (1

τR+ jbωsl

) bψR

+Grei

d

dtbω = −Kiǫ−Kp

d

dtǫ : loi d’adaptation

avec τ′

σ =Lσ

RR +Rset τR =

LM

RR, ǫ = ℑ{ei

bψ∗

R}, ei = (is −

bis),

Le signe ∗ indique la quantité complexe conjuguée.

Gs =

24 gsd −gsq

gsq gsd

35 et Gr =

24 grd −grq

grq grd

35 : gains d’observation .


Obtention de la loi d’adaptation

moteur

8>>>>><>>>>>:

d

dtX = AX +BU =

0@A11 A12

A21 A22

1A

24 Is

Ψ′

R

35 +

24B1

B2

35 Us

Is = C

24 Is

Ψ′

R

35 .

observateur

8<:

d

dtbX = bA(bω) bX +BU +G

`Is −

bIs´

bIs = C bX.

Erreur sur l’estimation de la vitesse : bω = ω + eω

Matrice d’état : A = bA+ ∆A


Obtention de la loi d’adaptation

Erreur d’équation:d

dtE = (A−GC)E − ∆A bX

Kubota (1990) : V = ETE +e2ωλ

, condition de Lyapunov :dV

dt< 0

Hypothèses:

8<:

bψRβ= ψRβ

et bψRα= ψRα

d

dtω ≈ 0

On obtient:d

dtV ≈ 2ET (A+GC)E − 2

eω

Lσ[eisα

bψRβ− eisβ

bψRα] + 2

eω

λ

d

dtbω < 0

dbωdt

=λ

Lσ[eisα

bψRβ− eisβ

bψRα] = −L−1

σ λIm`(is −

bis)bψ′∗

R

´= −Kiǫ


Loi d’adaptation : relation avec l’équation

mécanique

d

dtω =

3

2

P

Jℑ(isψ

∗

R) −

TL

J

dω

dt=

λ

Lσ

ℑ(isψ

∗

R) −

λ

Lσ

ℑ(isψ

∗

R

)

︸︷︷︸

→

TL

J

La loi d’adaptation de kubota (1993) ≡ approximation de l’équationmécanique.

Le seconde terme doit tendre versTL

Jet construit à partir des

grandeurs mesurées ou estimées.


Loi d’adaptation : écriture dans le repère lié au

flux rotorique

dω

dt=

λ

Lσ

(eisqψ∗

Rd − eisdψ∗

Rq)

RFOC = contrôle du flux rotorique estimé : → ψ∗

Rq = 0, ψ∗

Rd = ψREF

dω

dt=

λ

Lσ

eisqψREF =λ

Lσ

(isq − isq)ψREF

La loi d’adaptation de kubota (1993) est construite autour de l’erreurde courant sur l’axe q .


Instabilité en mode générateur

usd

-+

bTL

ω∗

bω+ -

i∗sq

-+

ψref

bψrd+ -

i∗sd

Cω(s)

Cψ(s)

Ci(s)

Ci(s)

isd

isq

usq

Modèle

équation

observateur

adaptatif

usdusq

isd

isq

bψ

bω

isdisq

ψrdψrq

ω

du moteur

+

mécanique

Simulation : tests à vitesse constante, couple résistant en rampe lente → quasi statique



Simulations

−0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5 T

L

ω

Tests en mode generateur, Ki = 30, Kp = 0, Gs = Gr = 0



Résultats expérimentaux, banc d’essai LAII : MAS 1.1kW, dSpace 1104.

−1 −0.5 0 0.5 1−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

ω0

TL

0

Estimated speed

Measured speed


Analyse de stabilité : méthodes classiques

Linéarisation du système d’erreur d’équation

Pôles de fonctions de transfert

H(s) =δeω(s)

δω(s)(Rashed et al., 2003)

H(s) =δeiq(s)

δeω(s)(Suwankawin et al., 2002)

Critère de Routh-Hurwitz

Localisation des zones instables dans le plan couple/vitesse

Synthèse des gains d’observation Gs et Gr ou de la loid’adaptation → stabilité

Remarque: conditions de stabilité pour le modèle nominal(paramètres connus)


Analyse de stabilité : localisation des pôles

instables

Linéarisation du système d’erreur d’équation

hypothèse kubota 1990 :

8>>>>><>>>>>:

d

dtis = −(

1

τ′

σ

+ jωs)is +1

Lσ(

1

τR− jω)ψ

R+

1

Lσus

d

dtψR

= RRis − (1

τR+ jωsl

)ψR

d

dtω = 0

Vecteur d’erreur : e = [ei eψ eω ]T , ei = (is −bis), eψ = (ψ

R− bψ

R) et

eω = (ω − bω)

Linéarisation : e = eo + δe

Système linéarisé : δe = bA1δe+ B1δu1



instables

bA1 =

0BBBBBBBBBBBB@

−1

τ′

σ

− gsd+ωs0 + gsq

1

τRLσ+ω0

Lσ0

−ωs0 − gsq −1

τ′

σ

− gsd−ω0

Lσ+

1

τRLσ−ψref

Lσ

RR − grd+grq −

1

τR+ωsl0 0

−grq RR − grd−ωsl0 −

1

τRψref

A51 A52 A53 A54 A55

1CCCCCCCCCCCCA

,

A51 = −Kpψrefωs0,

A52 = ψref [Ki −Kp(Rs +RR)/Lσ],

A53 = −Kpψrefω0/Lσ,

A54 = KpψrefRR/LMLσ,

A55 = −Kpψ2

ref/Lσ.Exposé GDR – E. Etien, Claude Chaigne – Juin. 2009 – p. 14/34


instables

Valeurs propres instables

D(ω0,ωsl0) = {λi(A1(ω0, ωsl0)) : ℜ{λi(A1(ω0, ωsl0)) ≥ 0}}

Représentation dans le plan {ω0, ωsl0} → Relations classiques

ωs0 = ω0 + ωsl0 et TL0 =Pψ2

refωsl0

RR.



instables

→ Gs = 0, Gr = 0

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2Unstable E.V, Ki = 30

TL0

ω0

λ2

λ5



instables

→ Gs = 0, Gr = 0

−0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Unstable E.V, Ki = 1, Kp = 0.5

TL0

ω0

λ4

λ5



instables

→ Gs = 0, Gr = 0

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Unstable E.V, Ki = 1

TL0

ω0

λ3

λ4

λ5


Détermination d’une expression littérale des

régions d’instabilité dans le plan couple/vitesse

Propriété :

det(A1) =∏5i=1 λi

si det(A1) > 0 est positif → système instable.

La réciproque n’est pas vraie → plusieurs V.P peuvent

changer de signe pour le même point de fonctionnement.

Critère utilisable dans les quadrants générateurs.


Détermination d’une expression littérale des

régions d’instabilité dans le plan couple/vitesse

Exemple : Gs = 0, Gr = 0, Kp = 0, Ki 6= 0

det( bA1) = −Kiψ

2

ref

LML2σ

ωs0ˆLMRsωsl0 + RR(LM + Lσ)ωs0] = 0.

deux solutions:ωs0 = 0 (≡ droite d’inobservabilité)

ωs0 = ω0

1

1 +RRLσ

LMRs+RR

Rs

Dans le plan couple/vitesse

TL0= −P

ψ2

ref

RRω0 notée (D2).

TL0= −P

ψ2

ref

RR

“RRLσ

LMRs+RR

Rs

1 +RRLσ

LMRs+RR

Rs

”ω0 notée (D1).



instables

Délimitation des zones instables en générateur

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2Unstable E.V, Ki = 1

TL0

ω0

λ3

λ4

λ5

D2D1



instables

−0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

TL0

ω0

Tests in regenerating mode, Ki = 30, Kp = 0, Gs = Gr = 0

D2

D1


Réduction de la zone d’instabilité

Réduction = réduction de la zone instable à une droite

A flux constant (ψREF ), D2 d’équation ωs0 = 0 ne peut êtredéplacée

Réduction = alignement de (D1) sur (D2).

par action sur les gains d’observation Gs, Gr (kubota et al., 2001),(Suwankawin et al., 2002 et 2006), (Bensiali et al. 2006)

par action sur la loi d’adaptation (Tajima et al., 2002), (Rashed 2003),

par action sur la loi d’adaptation et les gains (Hinkkanne et al.,

2004).

Réduction → det(A1) = αω2

s0 = 0


Réduction de la zone d’instabilité : action sur les

gains d’observation

Exemple (Suwankawin et al. 2006) :

Gs =

24 gsd −gsq

gsq gsd

35 , Gr =

24 grd 0

0 grd

35 .

det( bA1) = Kωs0˘ωs0[LM (Rs +RR + gsdLσ) + RRLσ] −

ω0(LMRs + LMgsdLσ + LMgrd) +RRLσgsq¯

= 0.

choix possible :

8>><>>:

grd = −Rs,

gsd = kRR/LM ,

gsq = kω0, avec k > 0.

→ det( bA1) = Kω2

s0[LMRs + LMRR + (k + 1)RRLσ] = αω2

s0 = 0,




Alternative indépendante de ω au voisinage de D2:

gsq = kω0 = k(ωs0 − ωsl0) ≈ −kωsl0,with k > 0.

avec : ωslo = RRisqo

ψrefet ψref = LM isdo

gsq = −kRR

LM

isqo

isdo




−0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4−2

−1

0

1

2Valeurs propres instables avec gsq = −kωsl0

TL

o

ωo

−0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4−2

−1

0

1

2Valeurs propres instables avec gsq = kω0

TL

o

ωo

Observateur instableen mode moteur

D2


Réduction de la zone d’instabilité : action sur la

loi d’adaptation

PB: sensibilité aux variations de Rs

stratégie: réduction à D2 par action sur la loi d’adaptation,

robustesse par action sur Gr et Gs.

loi d’adaptation d’origine:d

dtω = −Kiǫ−Kp

d

dtǫ avec

ǫ = ℑ{eiψ∗

R} = ψref (cosφ.eiq − sinφ.eid)

loi d’adaptation modifiée: ǫ = ℑ{e−jφeiψ∗

R}

→ choix de φ



loi d’adaptation

matrice d’état linéarisée

A1 =

−1

τ′

σ

+ωs01

τRLσ+ω0

Lσ0

−ωs0 −1

τ′

σ

−ω0

Lσ+

1

τRLσ−ψref

Lσ

RR 0 −1

τR+ωsl0 0

0 RR −ωsl0 −1

τRψref

−Kiψrefsinφ Kiψref cosφ 0 0 0



loi d’adaptation

calcul du déterminant : det(A1) = −Kiψ

2oωso

LML2σ

.Z avec

Z = ωs0[cosφ(LMRs + RRLσ +RRLM ) − sinφLMLσωsl0] − cosφLMRsω0 +

sinφRRRs

une solution: φ = tan−1(ω0LM

RR) (dépendant de ω)

au voisinage de D2 : tanφ = −isqo

isdo(angle du phaseur

courant dans le repère {d, q})



loi d’adaptation

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

φ = −tan−1(LM

RRωsl0)

ω0

TL

0


Résultats expérimentaux

Ki = 1,Kp = 0, Gs = Gr = 0, tanφ = −isq

isd.

−1 −0.5 0 0.5 1−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

ω0

TL

0


Généralisation des conditions de stabilité

(Harnefors et al., 2008)

l1 =(gsdLσ + grd +Rs)(a+ ω0tanφ) + (gsqLσ + grq + (ω0 + ωsl0)Lσ)(ω0 − a.tanφ)

gsdLσ + (RR + Rs) − (gsq + ωsl0 + ω0)LσLM tanφ>

0,

l2 =(ω0 + ωsl0)[(gsd + a)Lfn− (ωsl0 + gsq)Lσtanφ+ (RR +Rs)]

(ω0 + ωsl0)(gsdLσ + (RR +Rs) − (gsq + ωsl0 + ω0)Lσtanφ)+

(gsqLσ + grq)(a+ ω0tanφ) − (gsdLσ + grd + Rs)(ω0 − a.tanφ)

(ω0 + ωsl0)(gsdLσ + (RR +Rs) − (gsq + ωsl0 + ω0)Lσtanφ)> 0


Généralisation des conditions de stabilité

(Sangwongwanich et al., 2007)

Lemme de Kalman-Yakubovitch

ATP + PA = Q ≤ 0, ∃P = PT > 0.

PB = CT

8>>>>>>><>>>>>>>:

grd = −x+Rs

σLs+

Rr

σLr,

grq = −y − ω,

gsd = −ǫgrd − k2Rr

σLr+RsLr

M,

gsq = −ǫgrq − k2ω.

x > 0, k2 > 0.


Fin


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