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REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE

MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR

ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

OFFRE DE FORMATION

L.M.D.

Université de Mohamed Boudiaf - Msila

Faculté des mathématiques et de L’informatiques

Département de mathématiques

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L01 (MI)

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Programmes détaillés des matières

SEMESTRE 1 Algèbre I. Chapitre I : Notions de logique . Table de vérité, quantificateurs, types de raisonnements.

Chapitre II : Ensembles et applications. a. Définitions et exemples.

b. Applications : injection, surjection, bijection, image directe, image réciproque,

restriction et prolongement.

Chapitre III : Relations binaires sur un ensemble. a. Définitions de base : relation réflexive, symétrique, antisymétrique, transitive.

b. Relation d’ordre. Définition. Ordre total et partiel.

c. Relation d’équivalence : classe d’équivalence.

Chapitre IV : Structures algébriques. a. Loi de composition interne. Partie stable. Propriétés d'une loi de composition

interne.

b. Groupes.

Définition. Sous-groupe.

Exemples. Homomorphisme de groupes- isomorphisme de groupes.

c. Anneaux.

Définition. Sous anneaux. Règles de calculs dans un anneau.

Eléments inversibles, diviseurs de zéro.

Homomorphisme d’anneaux.

Idéaux.

d. Corps.

Définitions.

Traiter le cas d’un corps fini à travers l’exemple Z/pZ ou p est premier.

Chapitre V : Anneaux de polynômes. a. Polynôme. Degré.

b. Construction de l’anneau des polynômes.

c. Arithmétique des polynômes Divisibilité-Division euclidienne-Pgcd et ppcm de

deux polynômes-Polynômes premiers entre eux-Décomposition en produit de

facteurs irréductibles.

d. Racines d'un polynôme.

Racines et degré -Multiplicité des racines.

Analyse I. Chapitre 1. Corps des nombres réels a. Axiomatique de R : opérations et propriétés, ordre, majorant et minorant, borne

supérieure, borne inférieure, maximum et minimum.

b. Axiome de la borne supérieure.

c. Valeur absolue

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d. Partie entière d’un nombre réel

e. Axiome d’Archimède

Chapitre 2. Suites réelles a. Définition d’une suite réelle, exemples, suites bornées, suites monotones, suites

extraites.

b. Convergence et divergence des suites et propriétés.

c. Limite inférieure et limite supérieure d’une suite.

d. Convergence des suites monotones.

e. Suites adjacentes

f. Théorème de Bolzano-Weierstass

g. Théorème d’encadrement

h. Suites de Cauchy

Chapitre 3. Limites et continuité des fonctions a. Définition d’une application, d’une fonction

b. Fonctions bornées et fonctions monotones

c. Limite d’une fonction

d. Continuité d’une fonction

e. Opérations sur les fonctions continues

f. Continuité uniforme

g. Théorèmes fondamentaux : valeur intermédiaire, Weierstrass et Heine

h. Inversion des fonctions monotones et continues

i. Suites récurrentes et fonctions continues

Chapitre 4. Dérivation a. Définition et propriétés

b. Interprétation géométrique de la dérivée

c. Opérations sur les dérivées et formule de Leibniz

d. Théorème de Rolle

e. Théorème des accroissements finis et applications, règle de l’Hospital

Chapitre 5. Fonctions élémentaires a. Fonctions trigonométriques et leurs inverses

b. Fonctions hyperboliques et leurs inverses

Initiation à l’algorithmique. Chapitre 1 : Introduction

1- Description d’un ordinateur

2- Instructions de base d’un ordinateur

3- Différentes phases de résolution d’un problème par ordinateur

Chapitre 2 : algorithme

1. Définition

2. Caractéristiques d’un algorithme

3. Définition d’une variable et ses caractéristiques

4. Primitives de base

a. Action d’affectation

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b. Action conditionnelle

c. Action alternative

d. Actions de répétition

1. Boucle tantque

2. Boucle repeter

3. Boucle pour

Chapitre 3 : procédure et fonction

1- Définitions

2- Mode de passages de paramètres

3- Exemples

Chapitre 4 : structures de données de base

1- Tableau

2- Matrice

3- Type énuméré

4- Ensemble

Matières optionnelles (une matière à choisir) : Option 1 : Physique 1 (Mécanique du point) : Chapitre 1 : Cinématique du point a. Mouvement rectiligne

b. Mouvement dans l’espace

c. É tude de mouvements particuliers

d. É tude de mouvements dans différents systèmes (polaires, cylindriques et

sphériques)

e. Mouvements relatifs.

Chapitre 2 : Dynamique du point. a. Le principe d’inertie et les référentiels galiléens

b. Le principe de conservation de la quantité de mouvement

c. Définition Newtonienne de la force (3 lois de Newton)

d. Quelques lois de forces

Chapitre 3 : Travail et énergie dans le cas d’un point matériel. a.É nergie cinétique

b. É nergie potentielle de gravitation et élastique

c. Champ de forces

d. Forces non conservatives

Option 2 :Codification et Représentation de l’Information : Chapitre 0 : Introduction

Chapitre1 : Codification et représentation des nombres a. Les Entiers Positifs

o Systèmes d’énumérations

o Arithmétique

b. Les Entiers Négatifs

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o Représentation des nombres négatifs en SVA (signe et valeurs absolues)

o Représentation des nombres négatifs en CP1 (Complément à 1)

o Représentation des nombres négatifs en CP2 (Complément à 2)

o Arithmétique

c. Les Nombres Réels

o Représentation des nombres Réels en virgules fixe

o Représentation des nombres Réels en virgules flottantes

o Arithmétique

Chapitre2 : Codification et représentation a-Numérique a. Le code ASCII

b. Le code BCD

c. Le code Gray

d. L’Unicode

Chapitre 3 : Algèbre de Boole a. Introduction

b. Terminologie

c. Opération de base

d. Evaluation des expressions booléennes

e. Les tables de vérité

f. Les fonctions booléennes et leurs représentations

g. Théorèmes et postulat de l’algèbre de Boole

Bibliographies : 1. Architectures des l’ordinateurs. Emanuel Lazard. Edition : PEARSON

EDUCATION 2006

2. Architectures des l’ordinateurs. Tanenbaum. Andrew. Edition : PEARSON

EDUCATION 2005

3. Architectures des l’ordinateurs. Jean. Jacques et al. Edition : EYROLLES 2005

4. Architectures des l’ordinateurs. Robert. Strandh et al Edition : DUNOD 2005

5. Architecture des machines et des systèmes informatique. Cours et exercices

corrigés. Alain Cazes et al. Edition : Dunod 2005.

6. Logique booléenne et implémentation Technologique. Phillipe. Darch. Edition

VUIBERT : 2004.

Matières optionnelles (une matière à choisir) : Option 1 : Economie de l’entreprise Chapitre 1 : Economie

Chapitre 2 : Entreprise - Définition d’une entreprise, différents types d’entreprise

Chapitre 3 : Entreprise d’une économie ouverte

- Marché, concurrence, positionnement de l’entreprise dans un marché concurrentiel

Chapitre 4 : Gestion d’entreprise ouverte (Marché national et international)

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- Création d’entreprise, comment créer, quelles sont les outils de l’état pour la

création d’entreprise

- Rôle du système dans la création et promotion d’entreprise

- Rôle des marchés financiers pour la compétitivité de l’entreprise

Chapitre 5 : Management Stratégique

- Comment gérer une entreprise dans un environnement au mutation continuelle

- Gestion des Ressources Humaines (comment gérer), positionnement dans un

marché de plus en plus mondial

- Recherche et développement, l’état et les entreprises.

Option 2 : Electronique des composants et systèmes. Composants d’un ordinateur

e

Terminologie scientifique et expression écrite et orale (TD) : Terminologie Scientifique

Etude et compréhension de texte

Technique d’expression écrite et orale (rapport, synthèse, utilisation des

moyens de communications modernes Expression et communication dans un groupe.

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SEMESTRE 2 Analyse 2 Chapitre 1. Formules de Taylor et développements limités a. Formules de Taylor et de Maclaurin

b. Calcul d’un extremum local d’une fonction

c. Développements limités et applications au calcul des limites

Chapitre 2. Intégrale de Riemann et primitives a. Définition de l’intégrale de Riemann sur un intervalle fermé et borné

b. Interprétation géométrique de l’intégrale de Riemann

c. Propriétés de l’intégrale de Riemann

d. Calcul intégrale : Définition d’une primitive, primitives des fonctions usuelles,

changement de variable, intégration par partie.

e. Changements de variables usuels

f. Factorisation des fractions rationnelles dans R[x]

g. Primitive d’une fonction rationnelle

Chapitre 3. Equations différentielles du premier ordre a. Notions générales

b. Equations à variables séparées

c. Equations homogènes

d. Equations linéaires

e. Equation de Bernoulli

f. Equations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants ( cette

partie a été renvoyée à l’analyse 3)

Algèbre II. Chapitre I : Espace vectoriel. a. Définition. Sous espace vectoriel.

Exemples.

Familles libres. Génératrices. Bases. Dimension.

b. Espace vectoriel de dimension finie (propriétés).

Sous espace vectoriel complémentaire.

Chapitre II : Applications linéaires. c. Définition.

d. Image et noyau d’une application linéaire.

e. Rang d’une application, théorème du rang.

f. Composée d’applications linéaires. Inverse d’une application linéaire bijective,

automorphisme.

Chapitre III : Les matrices. g. Matrice associée à une application linéaire.

h. Opérations sur les matrices : somme, produit de deux matrices, matrice transposée.

i. Espace vectoriel des matrices à n lignes et m colonnes.

j. Anneau de matrices carrées. Déterminant d’une matrice carrée et propriétés.

Matrices inversibles.

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k. Rang d’une matrice (application associée). Invariance du rang par transposition.

Chapitre IV : Résolution de systèmes d’équations. l. Système d’équations – écriture matricielle-rang d’un système d’équations.

m. Méthode de Cramer.

Introduction aux probabilités et statistique descriptive. Chapitre 1 : Notions de base et vocabulaire statistique

a. Concepts de base de la statistique (Population et individu, Variable (ou caractère))

b. Les tableaux statistiques : Cas de variables qualitatives (Représentation circulaire

par des

secteurs, Représentation en tuyaux d’orgue, Diagramme en bandes), cas de variables

quantitatives (Le diagramme en bâtons, Histogramme, Polygone).

Chapitre 2 : Représentation numérique des données b. Les caractéristiques de tendance centrale ou de position (La Médiane, Les

quartiles,

Intervalle interquartile, Le mode, La moyenne arithmétique, La moyenne

arithmétique

pondérée, La moyenne géométrique, La moyenne harmonique, La moyenne

quadratique).

c. Les caractéristiques de dispersion (L’étendu, L’écart type, L’écart absolue moyen,

Le coefficient de variation).

Chapitre 3 : Calculs des probabilités a. Analyse combinatoire (Principe fondamental de l’analyse combinatoire,

Arrangements, , Permutations, Combinaisons).

b. Espace probabilisable (Expérience aléatoire, Evénements élémentaires et

composés, Réalisation d’un événement, Evénement incompatible, Système complet

d’événement, Algèbre des événements, Espace probabilisable, Concept de

probabilité).

c. Lien entre la théorie des probabilités et des ensembles

d. Construction d’une probabilité

e. Probabilités conditionnelles, indépendance et probabilités composées (Probabilités

conditionnelles, Indépendance, Indépendance mutuelle, Probabilités composés,

Formule de Bayes).

Programmation et structures de données Chapitre 1 : récursivité

Chapitre 2 : Liste

Chapitre 3 : pile et file

Chapitre 4 : arbre

Chapitre 5 : Etude de quelques techniques algorithmiques plus complexes :

méthodes de tri et de recherche

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Architecture d'un Ordinateur Chapitre 1 : Introduction

Chapitre 2: Structure de Base d'un Ordinateur: Unité Centrale et Mémoire

Chapitre 3: Mémoire Secondaire

Chapitre 4: Les Entrées Sortie

Chapitre 5: Les Bus et séquenceurs (Construction dune unité centrale simple)

Bibliographies : 1. Architectures des l’ordinateurs. Emanuel Lazard.Edition : PEARSON

EDUCATION 2006

2. Architectures des l’ordinateurs. Tanenbaum. Andrew.Edition : PEARSON

EDUCATION 2005

3. Architectures des l’ordinateurs. Jean. Jacques et al.Edition : EYROLLES 2005

4. Architectures des l’ordinateurs. Robert. Strandh et al.Edition : DUNOD 2005

5. Architecture des machines et des systèmes informatique. Cours et exercices

corrigés. Alain Cazes et

al.Edition : Dunod 2005.

6. Logique booléenne et implémentation Technologique. Phillipe. Darch.Edition

VUIBERT : 2004.

Matières optionnelles (une matière à choisir) : Option 1 : Outils de programmation Chapitre 1 : Maîtrise de Logiciels (Matlab, Scilab, mathématica,..)

Chapitre 2 : Exemples d’applications et techniques de résolution

Option 2 : Introduction à la programmation orientée objet :

par l’utilisation d’un langage de programmation orientée objet

Techniques de l’information et de la communication Chapitre 1 : TIC

différents formats

Word, Scientific Word, PowerPoint, Excel, FrontPage

Chapitre 2 : Techniques de communications

Physique 2 (électricité générale)

Chapitre 1 : Electrostatique

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Chapitre 2 : Les conducteurs

s – Resistances – Lois

Chapitre 3 : Electrocinétique

- Norton

Chapitre 4 : Magnétostatique

wark

Histoires des sciences e. Etudier l'évolution des idées scientifiques

f. A suivre les différentes étapes de la formation des concepts scientifiques

g. A sensibiliser les étudiants à la dimension civilisationnelle de la pratique

scientifique et à

l’importance et au rôle de l’environnement culturel dans lequel naissent et se

développent les sciences et dans lequel travaillent les hommes de science

h. Apparition de la science, ses caractéristiques

i. Les sciences dans la civilisation grecque

j. Les sciences dans la civilisation arabe

k. Les sciences dans la civilisation européenne

Remarque, s’inspirer de la Bibliographie suivante

12e s.-14es.,

publication mathématique d'Orsay N°81-02, Université Paris-Sud., 1981.

(IXe-XIIIe

siècles) : contribution à l'étude des activités scientifiques de l'occident musulman,

thèse de

Doctorat, Université de Nantes, 1990.

GILLISPIE, Ch. C. (édit.): Dictionary of Scientific Biography, New York,

Scribner's son, 1970-1980, 16 vol.

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L02 (MATHS)

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Programmes détaillés des matières

SEMESTRE 3 Algèbre 3 I) Réduction des endomorphismes d'espaces vectoriels de dimension finie.

Valeurs propres et vecteurs propres; polynôme caractéristique, théorème de

Cayley-Hamilton.

Diagonalisation des matrices diagonalisables, trigonalisation, formes de Jordan.

II) Exponentielle d’une matrice et Application aux systèmes différentiels

linéaires.

Références

1) V. Prasolov. Problèmes et théorèmes d’algèbre linéaire.

2) E. Azoulay et J. Avignant. Mathématiques, tome 4, Algèbre.

Analyse 3 I) Séries Numériques.

II) Suites et Séries de Fonctions - Séries Entières - Séries de Fourier.

III) Intégrales impropres.

IV) Fonctions définies par des Intégrales.

Références

1) K. Allab. Eléments d’Analyse. OPU, 1986.

2) Calvo, J. Doyen, A. Calvo et F. Boschet. Exercices d’Analyse, 1er cycle, B. 1977.

Introduction à la Topologie

I) Notions Fondamentales de Topologie: Ouvert, fermé, voisinage, adhérence,

intérieur, frontière, base de topologie, topologie produit, Topologie Induite ,

continuité dans les espaces topologiques, espace séparé, espace séparable.

II) Espaces Métriques : Distance, boule ouverte, boule fermée et topologie des

espaces métriques.

III) Suites de Cauchy, espaces complets, théorème du point fixe.

IV) Espaces compacts. Espaces et ensembles connexes.

V) Espaces Vectoriels Normés.

Références

1) N. Bourbaki, Topologie générale, Chapitres 1 à 4. Hermann, Paris, 1971.

2) G. Choquet, Cours d'analyse, tome II, Topologie. Masson, Paris, 1964.

3) G. Christol, Topologie, Ellipses, Paris, 1997.

4) J. Dieudonné, Éléments d'analyse, tome I : fondements de l'analyse moderne,

Gauthier-Villars, Paris, 1968.

5) J. Dixmier, Topologie générale, Presses universitaires de France, 1981.

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Analyse Numérique 1 Notions d’erreurs : Notation décimale des nombres approchés. Chiffre exact d’un

nombre décimal approché. Erreur de troncature et d’arrondi. Erreur relative.

Interpolation et Approximation : Méthode de Lagrange. Méthode de Newton. Erreurs

d’interpolation. Approximation au sens des moindres carrés.

Intégration numérique : Formule de Newton-Cotes. Méthode du Trapèze. Méthode de

Simpson.

Erreurs de quadrature.

Dérivation numérique.

Résolution d’équations algébriques : Méthode de dichotomie (bissection). Méthode

du point fixe.

Méthode de Newton-Raphson.

Références

[1] M. Atteia, M. Pradel : Eléments d’analyse numérique, Ceradues-Editions.

[2] J. Baranger : Introduction à l’analyse numérique, Ed. Hermann 1977.

[3] M. Boumahrat, A. Bourdin : Méthodes numériques appliquées. Ed. OPU 1983.

[4] B. Démodovitch, I. Maron : Eléments de calcul numérique, Ed. Mir Mosco.

[5] Ph. G. Ciarlet : Introduction à l’analyse numérique matricielle et à l’optimisation,

Dunod, Paris 1998.

[6] Curtis F. Gerald, P. O. Wheatdey : Applied Numerical Analysis, Addison-Wesley

Pub. Compagny.

[7] P. Lascaux, R. Theodor : Analyse numérique matricielle appliquée à l’art

d’ingénieur, Tomes I et II, Masson, Paris.

[9] G. Meurant : Résolution numérique des grands systèmes, Ed. Stanford University.

[10] P. Lascaux, R. Theodor : Analyse numérique matricielle appliquée à l’art

d’ingénieur Tomes I et II, Masson, Paris.

Logique Mathématique I. Introduction

- Qu’est-ce que la logique : un peu d’histoire

II. Les paradoxes (antinomies)

- Le paradoxe de Russel

- Le paradoxe du coiffeur

- Le paradoxe du menteur

- Le paradoxe de Cantor

- Le paradoxe de Richard

- Le paradoxe de Grelling

- Le paradoxe de Skolem

III. Le calcul propositionnel

- La proposition logique, la conjonction, la disjonction, l’implication, l’équivalence,

la négation. Le tableau de vérité.

- La formule logique, la notion d’interprétation d’une formule logique, la tautologie,

la contradiction. Forme normale d’une formule logique. La déduction logique.

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- Applications du calcul propositionnel.

IV. La logique d’ordre 1

- Les termes, les prédicats, les quantificateurs.

- La notion d’interprétation.

- Applications.

Références

1- J.M. Autebert. Calculabilité et décidabilité. Edition Dunod, 1992.

2- Haskell B. Curry. Foundations of mathematical logic. Dover publications, 1979.

3‐ Chin-Liang Chang, Richard Char-Tung Lee. Symbolic logic and mechanical

theorem proving.

Outils de Programmation 2 I) Prise en Main : Démarrage et aide variable. Variables. Répertoire de travail.

Sauvegarde de l’environnement du travail. Fonctions et commandes.

II) Les nombre en Matlab avec licence ou Scilab : Entiers naturels. Représentation

des réels. Nombres complexes.

III) Vecteurs et Matrices : Opérations sur les vecteurs et les matrices. Fonctions

mathématiques élémentaires.

IV) Eléments de programmation : Script, fonction, boucle de contrôle. Instruction

conditionnelle.

V) Polynômes : Polynômes en Matlab avec licence ou Scilab. Zéros d’un polynôme.

Opérations sur les polynômes.

VI) Graphisme en Matlab avec licence ou Scilab : Affichage des courbes en

dimension deux et dimension trois. Graphe d’une fonction. Surface analytique.

VII) Calcul symbolique : Appel de la toolbox symbolic. Développement et mise en

fonction d’une expression. Dérivée et primitive d’une fonction. Calcul du

développement limité d’une fonction.

Références

1) Jonas-Koko. Calcul scientifique avec Matlab. Ellipses.

2) J. T. Lapresté. Introduction au Matlab. Ellipses.

Histoire des Mathématiques I. Introduction

- Qu’est- ce que l’histoire des mathématiques, pourquoi l’histoire des mathématiques,

outils de l’histoire des mathématiques (l’archéologie, la langue, les manuscrits…).

- Les facteurs de développement des mathématiques (facteurs internes et facteurs

externes), les tendances générales de l’évolution des mathématiques.

II. L’antiquité

- Les origines, les premières abstractions, la notion de nombre, les symboles des

nombres, les figures géométriques.

- Les mathématiques Babyloniennes

- Les mathématiques de l’Égypte ancienne

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- Les mathématiques Grecques : la numération, l’arithmétique, le nombre irrationnel,

le paradoxe de l’infini, la quadrature du cercle, la géométrie de la règle et du compas,

les mathématiques déductives ( l’axiomatique dans les Éléments d’Euclide, le

cinquième postulat), les travaux d’Archimède. La période Romaine.

III. Les mathématiques en Pays d Islam

- En Orient musulman: la traduction et l’assimilation du savoir Grec, les premières

productions, les oeuvres d’Elkhawarismi (Eldjabr oual mouqabala, El hissab el

hindi), les chiffres arabes, le zéro, Thabit Ibn Qorra, El Biruni, Ibn El-Haitham, Omar

Khayyâm, Nassir Eddine Attoussi.

- En Occident musulman : les chiffres Ghoubar, El-Hassar, Al Moutaman Ibn Hud,

Ibn El Yassamin, Al Buni, Ibn El-Banna, El-Qalasadi, Ibn Qunfud, Ibn Hamza, Al

Akhdari.

IV. Les mathématiques en Europe

- La circulation du savoir vers l’Europe, Gerbert d’Aurillac, Léonard de Pise,

l’apparition des premières universités.

- La renaissance : Lucas Pacioli, François Viète, Léonard de Vinci.

- La révolution industrielle et ses conséquences, René Descartes, Blaise Pascal, la

naissance de la théorie des probabilités, les nombres négatifs, les nombres

imaginaires, la géométrie projective, la géométrie analytique, les méthodes

infinitésimales, le calcul

différentiel et intégral (Newton et Leibnitz).

- Les équations différentielles ordinaires, les équations aux dérivées partielles, le

calcul variationnel

- Le 19e siècle: les géométries non Euclidiennes, Cantor et la théorie des ensembles,

la crise des fondements (les paradoxes de la théorie des ensembles) et le débat sur

l’infini

- Le 20e siècle et l’élargissement du champ d’application

Références:

والحساب الجبر بين العربية الرياضيات تاريخ راشد، رشدي .1 2. A.P. Youshkevitch : les Mathématiques Arabes (VIIIe-XVe siècles)

3. J.P. Collette : Histoire des Mathématiques

4. J. Dederon, J. Itard : Mathématiques et Mathématiciens

5. A. Dahan, Dahmedice, J. Peiffer : Une histoire des mathématiques

6. T.L. Heath : A history of greek mathematics

7. A. Djebbar : Mathématiques et mathématiciens dans le Maghreb médiéval (Xe-

XVIe siècles).

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SEMESTRE 4 Algèbre 4

Formes linéaires. Dualité.

Formes bilinéaires sur un espace vectoriel de dimension finie. Rang. Noyau.

Orthogonalisation de Gauss. Matrices orthogonales. Diagonalisation des matrices

symétriques réelles. Adjoint d'une application linéaire. Application linéaire auto-

adjointe.

Décomposition spectrale d'une application linéaire auto-adjointe. Formes bilinéaires

symétriques et formes quadratiques.

Réduction des formes quadratiques. Rang. Noyau. Signature. Théorème de

Sylvester. Formes hermitiennes.

Références

1) V. Prasolov. Problèmes et théorèmes d’algèbre linéaire.

2) E. Azoulay et J. Avignant. Mathématiques, tome 4, Algèbre.

Analyse 4 Les Fonctions à plusieurs variables: Fonctions de Rn à valeurs dans R

m . Limites.

Continuité.

Calcul Différentiel : Dérivées partielles. Gradient. Différentielle et Matrice

Jacobienne.

Fonctions de classe C1, C

2 et C

k sur des ouverts de Rn. Théorème de Schwarz.

Théorème des accroissements finis. Formules de Taylor. Extremums libres et liés par

des relations.

Multiplicateurs de Lagrange. Théorème d'inversion locale. Théorème des fonctions

implicites.

Intégrales multiples: Intégrales curvilignes. Intégrales de surface.

Références

1) J. Lelong-Ferrand et J. M. Araudies. Cours de Mathématiques, Tome 2. Dunod,

1977

2) Diximier. Cours de Mathématiques du premier cycle. Gauthie,r 1973.

Analyse complexe

Chapitre 1: Rappels generaux et notations

- L’ensemble des nombres complexes, La différentiabilité, Topologie dans le plan

complexe, Les séries entières .

Chapitre 2: Les fonctions complexes a variable complexe

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- Fonctions complexes, Fonctions uniformes, Limites, Fonctions continues, Fonctions

holomorphes, Les conditions de Cauchy-Riemann, Fonctions analytiques, Principe des

zéros isolés …

Chapitre 3: Integrations et formules de cauchy

- Chemins de C, intégration le long d’un chemin, les formules de Cauchy, Théorème

de Liouville, Théorème de Rouché…

Chapitre 4: Residus + Application au calcul d’integrales.

- Points singuliers, séries de Laurent, classification des points singuliers, Résidus,

Application du Théorème des résidus au calcul d’intégrales

Analyse Numérique 2 I) Résolution des systèmes linéaires : Rappel de notions d’algèbre linéaire. Méthodes

directes (Méthodes de Gauss - Décomposition LU- Méthode de Cholesky). Méthodes

itératives (Position du problème. Méthode de Jacobi. Méthode de Gauss-Seidel.

Méthode de relaxation. Convergence des méthodes itératives).

II) Calcul des valeurs et vecteurs propres : Méthode directe pour le calcul des valeurs

propres d’une matrice quelconque. Méthode de puissance: calcul de la valeur propre

la plus grande en module d'une matrice A. Méthode de Householder. Calcul des

vecteurs propres

III) Résolution numérique des EDO d’ordre 1 : Introduction. Méthode d’Euler.

Méthode de Taylor d’ordre 2. Méthode de Range-Kutta d’ordre 2

III) Résolution de systèmes algébriques non linéaires.

Références

[1] M. Atteia, M. Pradel : Eléments d’analyse numérique, Ceradues-Editions.

[2] J. Baranger : Introduction à l’analyse numérique, Ed. Hermann 1977.

[3] M. Boumahrat, A. Bourdin : Méthodes numériques appliquées. Ed. OPU 1983.

[4] B. Démodovitch, I. Maron : Eléments de calcul numérique, Ed. Mir Mosco.

[5] Ph. G. Ciarlet : Introduction à l’analyse numérique matricielle et à l’optimisation,

Dunod, Paris 1998.

[6] F. Curtis., P.O. Gerald Wheatdey : Applied Numerical Analysis, Addison-Wesley

Pub. Compagny.

[7] P. Lascaux, R. Theodor : Analyse numérique matricielle appliquée à l’art

d’ingénieur, Tomes I et II, Masson, Paris.

[9] G. Meurant : Résolution numérique des grands systèmes, Ed. Stanford University.

[10] P. Lascaux, R. Theodor : Analyse numérique matricielle appliquée à l’art

d’ingénieur Tomes I et II, Masson, Paris.

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Probabilités I) Rappels sur les probabilités : Rappels sur les probabilités conditionnelles.

Théorème de Bayes.

II) Variables aléatoires à une dimension: Généralités. Fonction de répartition.

Variables aléatoires discrètes. Loi de probabilités. Espérance. Variance. Variables

aléatoires absolument continues. Fonction de densité. Espérance. Variance. Lois de

probabilités usuelles: Bernoulli, Binomiale, Hypergéométrique, Géométrique,

Poisson.

III) Lois de probabilités absolument continues usuelles : Uniforme . Exponentielle.

Normale. Approximation d'une loi hypergéométrique par une loi binomiale.

Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson. Approximation d'une loi

de Poisson par une loi normale et approximation d'une loi binomiale par une loi

normale.

Références

1) C. Degrave, D. Degrave. Précis de mathématiques, Probabilités-Statistiques 1ère et

2ème

années, Cours, Méthodes, Exercices résolus. Edition Bréal.

2) Jean-Pierre Lecoutre. Statistique et probabilités. Manuel et exercices corrigés.

Edition DUNOD.

3) Patrick Bogaert. Probabilités pour scientifiques et ingénieurs, Introduction au

calcul des probabilités. Edition de Boeck.

Géométrie I) Paramétrisation des courbes et des surfaces.

II) Exemples de courbes et de surfaces.

III) Géométrie affine : Groupe opérant sur un ensemble. Définition d’un espace

affine. Notion de barycentre. Variétés affines. Applications affines et formes affines.

Droites et hyperplans. Homothéties. Translations.

IV) Espace affine Euclidien : Structure d'espace euclidien, norme et angle,

orthonormalisation

de Gram-Schmidt. Sous-espaces orthogonaux (hyperplan orthogonal à une droite,

distance d'un point à une droite, ….). Application dans les espaces affines euclidiens:

isométrie et similitude.

Références:

1) Géométrie des courbes et des surfaces et sous variétés de R^n, Yvan kerbrat et

Braemer.

2) Claude Tisseron. Géométrie affine et projective.

3) A. Doneddu. Mathématiques supérieures Tome 3: Géométrie et cinématique.

Application des mathématiques aux autres sciences Ce cours l’importance des mathématiques et à les rendre plus concrètes en donnant

des exemples

de leurs applications pratiques.

I. Les mathématiques et leurs applications à travers l’Histoire

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- Le nombre et l’arithmétique : application aux échanges (troc et commerce)

- le calcul des surfaces: application à l’agriculture

- Le calcul des volumes: application à la construction de temples et autres édifices à

caractères religieux (les pyramides…)

- Le calcul en astronomie: application à la prévision des phénomènes

météorologiques pour l’agriculture, à la confection des calendriers, à l’astrologie.

Faire remarquer que dans les applications citées il ne s’agit pas d’application de

formules générales mais de « recettes » spécifiques à chaque problème posé et à

chaque situation donnée.

- La naissance des mathématiques Grecques et la conjonction avec la philosophie, les

mathématiques comme connaissance absolue indépendante de l’expérience

sensorielle.

- Une application spécifique à la civilisation musulmane: la naissance du « Ilm el

faraid » comme application des mathématiques à la répartition des héritages.

- La révolution industrielle et l’apparition de l’expérience en physique, la prise en

charge des phénomènes qui se déroulent dans le temps : apparition des équations

différentielles ordinaires et aux dérivées partielles

II. Exemples simples d’application des mathématiques (énumération non

exhaustive)

- La notion de fonction et ses applications en physique, en chimie, en finance ( le

remboursement d’un prêt avec intérêt).

- Une application en Biologie: le modèle prédateur, proie

- Le modèle de la lutte pour la survie: deux espèces dans un même milieu

- La loi de croissance organique

- La loi de décomposition radioactive

- Applications de la fonction de Dirac (calcul du centre de gravité et du moment

d’inertie d’une tige non homogène)

- L’angle de tir d’un obus pour une portée maximale (découverte de Tartaglia et

démonstration de Galilée)

- La stabilité d’un point d’équilibre: application de la notion de dérivée.

- Une application simple de l’intégrale de Riemann: le calcul de la longueur d’une

courbe.

- La formule de Tsiolkovski, le calcul du combustible d’une fusée.

- La formule de la chute en parachute

- Exemple simple de programmation linéaire: la maximisation du profit dans la

fabrication de deux produits .

- L’équation des ondes

- L’équation de la chaleur, l’équation de Laplace.

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L03 (MATHS)

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Programmes détaillés des matières

SEMESTRE 5 Mesure et Intégration Chapitre 1: Tribus et mesures

- Rappels sur la théorie des ensembles.

- Algèbres et tribus.

- Mesures positives, probabilité.

- Propriétés des mesures, mesures extérieurs, mesures complètes

- La mesure de Lebesgue sur la tribu des boréliens

Chapitre 2: Fonctions mesurables, variables aléatoires

- Fonctions étagées.

- Fonctions mesurables et variables aléatoires.

- Caractérisation de la mesurabilité.

- Convergence p.p et convergence en mesure.

Chapitre 3: Fonctions intégrables

- Intégrale d'une fonction étagée positive.

- Intégrale d'une fonction mesurable positive.

- Intégrale d’une fonction mesurable.

- Comparaison de l’intégrale de Lebesgue avec l’intégral de Riemann

- Mesure et densité de probabilité

- Convergence monotone et lemme de Fatou

- L'espace L1 des fonctions intégrables

- Théorème de convergence dominée dans L1

- Continuité et dérivabilité sous le signe somme

Chapitre 4: Produit d'espaces mesurés

- Mesure produit, définition

- Théorème de Fubini et conséquences

Références:

1. N. Boccara, Intégration, ellipses, 1995.

2. Hadj El Amri, Mesures et intégration.

3. Roger Jean, Mesures et intégration.

4. O. Arino, Mesures et intégration (exercices).

Introduction à l’analyse hilbertienne Chapitre1 : Espaces de Hilbert

1.1 Définitions (produit scalaire, inégalité de Cauchy-Schwartz)

1.2 Orthogonalité, théorème de la projection, théorème de Riesz.

1.3 Système orthogonal (inégalité de Bessel-Parseval), base

1.4 Systèmes orthonormés

1.5 séries de Fourier

1.6 Systèmes orthonormés complets dans des espaces concrets.

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Chapitre2 : Introduction aux opérateurs linéaires bornés

2.1 Définitions. Exemples. Norme d'un opérateur borné.

2.2 Espace L(H) des opérateurs linéaires bornés - Exemples d'opérateurs bornés.

Références

1) H. BREZIS. Analyse Fonctionnelle, Théorie et Applications.

2) G.Lacombe., P. Massat. Analyse Fonctionnelle. Exercices corrigés, Dunod.

3) F. Riesz., B. Sz. Nagy. Leçons d’analyse fonctionnelle.

4) Y. Sonntag. Topologie et Analyse Fonctionnelle. Cours et exercices, Ellipses,

1997, Gauthier&Villars.

Equations différentielles ordinaires

Chapitre1 : Equations du 1èr ordre

1-1 Résultats fondamentaux

1-2 Existence locale et globale, unicité

1-3 Dépendance par rapport aux conditions initiales.

Chapitre2 : Equations d’ordre supérieur-Systèmes d’ordre 1

Chapitre3 : Systèmes linéaires

3-1 Exponentielle de la matrice

3-2 Systèmes avec second ordre

3-3 Résolvante

Chapitre4 : Introduction aux notions de stabilité.

Références :

1- M. Roseau : Equations différentielles.

2- J.P. Demailly : Analyse numérique et équations différentielles.

3- F. Rideau : Exercices de calcul différentiel.

4- V. Arnold : Equations différentielles ordinaires.

Equation de la physique mathématique

Chapitre1 : EDP d’ordre1-Méthodes des caractéristiques

1-1 Cas linéaire

1-2 Cas quasi-linéaire

1-3 Cas non linéaire

Chapitre2 : EDP linéaires du second ordre, caractéristiques, classification, formes

standard.

Chapitre3 : Méthode de séparation des variables (de Fourier).

Chapitre 4 : Equation de Laplace, fonctions harmoniques, noyau de Poisson.

Chapitre 5 : Equations des ondes (formule de Kirchhoff).

Chapitre 6 : Equation de la chaleur (intégrale de Poisson).

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Optimisation sans contraintes

Chapitre1 : Quelques rappels de calcul différentiel, Convexité

1.1 Différentiabilité, gradient, matrice hessienne

1.2 Développement de Taylor

1.3 Fonctions convexes

Chapitre2 : Minimisation sans contraintes

2.1 Résultats d’existence et d’unicité

2.2 Conditions d’optimalité du 1er ordre

2.3 Conditions d’optimalité du 2nd ordre

Chapitre3 : Algorithmes

3.1 Méthode du gradient

3.2 Méthode du gradient conjugué

3.3 Méthode de Newton

3.4 Méthode de relaxation

3.5 Travaux pratiques

Références:

1. M. Bierlaire, Introduction à l’optimisation différentiable, PPUR, 2006.

2. J-B. Hiriart-Urruty, Optimisation et analyse convexe, exercices corrigés, EDP

sciences, 2009.

Initiation à la didactique des mathématiques

1/ Pourquoi la didactique des mathématiques?

- L’objet de la didactique (approche historique d’émergence et évolution de la

didactique,

didactique et sciences de l’éducation, didactique et pédagogie).

- L’approche systémique (les trois pôles de la didactique).

- Quelques travaux en didactique (les travaux sur l’ingénierie didactique,

transposition

didactique, dialectique entre outil-objet, le champ conceptuel, la théorie des situations

didactiques, l’acquisition des connaissances, les obstacles épistémologiques).

2/ Comment fonctionne le savoir mathématique? (Qu’est ce qui le différencie du

savoir d’autres sciences ?).

Epistémologie et l’enseignement des mathématiques:

- Epistémologie et didactique (la didactique et son rapport avec l’histoire des

sciences, formation des notions mathématiques, les caractéristiques épistémologiques

et le questionnement didactique).

- Epistémologie, représentations et rapport au savoir.

- Evolution historique pour quelques concepts mathématiques (les nombres, types de

géométries,…).

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3/Comment les élèves apprennent-ils?

Epistémologie génétique et didactique:

- Conceptions sur l’apprentissage (théorie traditionnelle, behaviourisme,

constructivisme).

- Quelques tendances en psychologie cognitive (les théories behaviourisme,

cognitivisme et l’épistémologie génétique).

4/Travaux dirigés

- Identifier les variables didactiques influentes dans l’apprentissage des notions

mathématiques.

- Illustrer par des exemples puis dans le domaine des mathématiques le rapport entre

l’analyse épistémologique et questionnement didactique.

- Etudier différentes conceptions historiques pour une notion mathématique et

comparaison avec les définitions données dans les manuels scolaires.

- Conceptions des l’élèves à propos des notions mathématiques comme : la

continuité, l’intégrale, la différentielle, structures additives, les nombres entiers,…

- Identifier (dans un programme d’enseignement), les nouvelles notions et celles qui

demandent un travail approfondi, puis exploiter le champ conceptuel.

Mode d’évaluation : Examen

Références

M. HENRY (1991), Didactique des Mathématiques, Irem de Besançon.

Y. CHEVALLARD & M. A. JOHSUA (1991), La transposition didactique, La

Pensée Sauvage.

Y. CHEVALLARD (1982), Sur l’ingénierie didactique, L’IREM d’Aix-Marseille.

R. DOUDY, Rapport enseignement-apprentissage: dialectique outil- objet ; jeux de

cadres, Les cahiers de didactique n° 3, IREM de Paris VII.

G. VERGNAUD (1991), La théorie des champs conceptuels: Recherches en

Didactique des Mathématiques n° 6, Vol. 10, n° 2 , 3.

G. BROUSSEAU (1983), Les obstacles épistémologiques et les problèmes en

mathématiques, RDM Vol. 4, n° 2.

M. ARTIGUE (1989), Epistémologie et didactique, Cahier de didirem n° 3, IREM de

Paris VII.

J. P. ASTOLFI & M. DEVELAY (1989), La didactique des sciences, Presses

Universitaires de France.

S. JOHSUA & J. J. DUPIN (1993), Introduction à la didactique des sciences et des

mathématiques, Presses Universitaires de France.

J. P. ASTOLFI et al. (1997), Mots-clés de la didactique des sciences, De Boeck

Université.

R. BIEHLER & R. W. SCHOLZ (1994), Didactics of mathematics as a scientific

discipline, Mathematics Education Library.

26

SEMESTRE 6 Introduction à la théorie des groupes

Chapitre1 : Groupes et morphismes

Groupe, sous-groupe, classes d’équivalence modulo un sous-groupe, théorème de

Lagrange, morphisme de groupes, image, noyau, isomorphisme, groupe distingué,

groupe quotient, théorème d’isomorphisme, groupe cyclique, indicatrice d’Euler,

sous-groupes d’un groupe cyclique, étude des groupes Z/nez et (Z/nez)*.

Chapitre2 : Action d’un groupe sur un ensemble.

Définition de l’action d’un groupe, orbite, stabilisateur, point fixe, théorème de

Burnside, exemples et applications.

Références:

1. Algèbre pour la licence 3 (groupes, anneaux et corps), Jean Jaques Risier, Pascal

Boyer.

Dunod Paris 2006. ISBN 210 049498 8.

2. Algèbre et géométrie, Jean Delcourt, Remit Goblot, Dunod Paris 2005. ISBN 210

0453358.

Méthodes numériques pour EDO et EDP

Partie1 : Méthode numérique pour EDO

Chapitre1 : Rappels sur les différents théorèmes d’existence, motivation

Chapitre2 : les différences finies

2.1 Principe - ordre de précision

2.2 Notation indicielle

2.3 Exemple simple 1D avec conditions de Dirichlet

2.4 Exemple simple 1D avec conditions mixtes Dirichlet-Neumann

Partie2

Chapitre3 : Méthode numérique pour EDP

3.1 Les différences finies

3.2 Schéma d'ordre supérieur

3.3 Discrétisation de l'équation de la chaleur 1D

3.4 Schéma explicite

3.5 Schéma implicite

3.6 Schéma Crank-Nicolson

3.7 Discrétisation de l'équation de Laplace 2D stationnaire

Chapitre4 : Introduction aux éléments finis

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Transformations intégrales dans les espaces Lp

Chapitre 1 : Les espaces Lp

1.1 Rappels de quelques résultats d’intégration.

1.2 Définition et propriétés élémentaires des espaces Lp.

1.3 Réflexibilité. Séparabilité. Dual de Lp.

1.4 Convolution et régularisation. Théorèmes de densité.

Chapitre 2 : Transformation de Fourier

2.1 Transformation de Fourier pour les fonctions intégrables.

2.2 Propriétés de la transformation de Fourier.

2.3 Transformation de Fourier inverse.

2.4 Transformation de Fourier pour les fonctions de carré sommable.

Chapitre 3 : Transformation de Laplace

3.1 Définition et propriétés de la transformation de Laplace.

3.2 Quelques transformées usuelles.

3.3 Inversion de la transformée de Laplace.

3.4 Application à la résolution des équations différentielles.

Références:

1- J. Bass, Cours de mathématiques, tome 1, Éd. Masson et Cie - Paris, 1964.

2- H. Brézis, Analyse fonctionnelle, Masson, 1993.

3- A. Yger, Espaces de Hilbert et analyse de Fourier, Cours de 3ème année de

licence, université

Bordeaux I, 2008.

Géométrie différentielle

Chapitre1 Théorème d’inversion locale.

1.1 Applications de classe Cr.

1.2 Difféomorphismes.

1.3 Théorème des fonctions implicites.

Chapitre2 Théorème du rang.

2.1 Le rang.

2.2 Théorème de submersion.

2.3 Théorème d’immersion.

2.4 Submersion.

Chapitre3 Sous-Variétés de Rn.

3.1 La notion de sous variété.

3.2 Espaces tangents.

3.3 Sous variétés définies par des équations.

3.4 Sous variétés définies par un paramétrage.

3.5 Le lemme de Morse.

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Chapitre4 Variétés abstraites.

4.1 Cartes locales et atlas.

4.2 Morphismes de variétés.

4.3 Partitions de l’unité.

4.4 Espace tangent en un point.

4.5 Sous variétés d’une variété donnée.

Chapitre5 Fibré tangent.

5.1 Fibré tangent à une sous variété de Rn.

5.2 Fibré tangent à une sous variété abstraite.

5.3 Fibrés vectoriels.

Chapitre6 Orientations et variétés à bord.

Chapitre7 Formes différentielles et différentielle extérieure.

7.1 Rappels d’algèbre linéaire.

7.2 Formes multilinéaires alternées.

Produit intérieur.

Produit extérieur.

7.3 Formes différentielles.

7.4 Différentielle extérieure. Existence et unicité.

7.5 Formes différentielles induites et Lemme de Poincaré.

Chapitre8 Intégration des formes différentielles.

8.1 Intégration sur Rn.

8.2 Intégration sur une variété.

8.3 La formule de Stokes.

8.4 Applications de la formule de Stokes.

Divergence et formule de Green-Ostrogradski

Le théorème du point fixe de Brouwer

Cohomologie en degré maximal.

Références

1. M. BERGER, Géométrie. Vol. 1. Actions de Groupes, Espaces Affines et

Projectifs.

CEDIC, Paris Nathan Information, Paris, (1977)

2. C. GODBILLON, Eléments de Topologie Algébrique. Hermann, Paris, (1971).

3. A. GRAMAIN, Topologie des Surfaces. Collection Le Mathématicien. Presses

Universitaires de France, Paris, (1971).

5. J. MILNOR, Topology from the Differentiable Viewpoint. The University Press of

Virginia, (1965).