Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
9Loi binomiale4
Leç
on
n°
Niveau Première S + SUP (Convergence)Prérequis Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson
Références [11], [12], [13], [14]
4.1 Loi de BernoulliDéfinition 4.1 — Loi de Bernoulli. Soit E une épreuve comportant deux issues (succès et échec). Onnote p la probabilité de succès. Soit X la variable aléatoire qui est égal à 1 en cas de succès et 0sinon. Alors, on dit que X suit un loi de Bernoulli de paramètres p. On note alors X ∼ Bern(p).
R 4.2 Si X ∼ Bern(p), on notera :
P (X = 1) = p et P (X = 0) = 1− p = q.
Exemple 4.3 On lance un dé non pipé. On note X la variable aléatoire qui prend comme valeur 1 sila face 6 apparaît lors du lancer et 0 sinon.
La variable aléatoire X est une variable aléatoire qui suit la loi de Bernoulli de paramètres 1/6.Donc X ∼ Bern(1/6).
Lemme 4.4 Si X ∼ Bern(p) alors X2 ∼ Bern(p).
Dv
• Démonstration — On a X2(Ω) = 0, 1 et :
P (X2 = 1) = P (X = 1) = p
donc X2 ∼ Bern(p). •
Proposition 4.5 Si X ∼ Bern(p) alors :
1. E(X) = p
2. Var(X) = pq.
Dv
• Démonstration — On a :
E(X) = P (X = 0)× 0 + P (X = 1)× 1 = q × 0 + p× 1 = p,
et :Var(X) = E(X2)−E(X)2 = E(X2)− p2
10 Leçon n°4 • Loi binomiale
or X2 ∼ Bern(p), donc on a : E(X2) = E(X) = p.Ainsi, Var(X) = p− p2 = pq. •
4.2 Loi binomialeDéfinition 4.6 — Loi binomiale. Soit Ω l’univers associé à une expérience aléatoire. Soit X une va-riable aléatoire définie sur Ω. On dit que X suit une loi binomiale de paramètres n ∈ N∗ et p ∈ [0 , 1]lorsque :
1. X(Ω) = 0, 1, . . . , n ;
2. pour tout k ∈ 0, 1, . . . , n, P (X = k) =(n
k
)pk(1− p)n−k =
(nk
)pkqn−k.
Si X suit une loi binomiale de paramètres n et p alors on note X ∼ Bin(n, p).
R 4.7 Soit X ∼ Bin(n, p). On a bien défini une variable aléatoire car :n∑
k=0P (X = k) =
n∑
k=0
(n′kp
)k
qn−k = [p + (1− p)]n = 1.
Théorème 4.8 Soit E une épreuve comportant deux issues (succès et échec). On note p la probabi-lité de succès. On note n fois, de façons indépendantes, l’épreuve E . Soit X la variable aléatoirecorrespondant au nombre de succès. Alors : X suit une loi binomiale de paramètres n et p.
Dv
• Démonstration — La probabilité d’avoir k succès suivis de n − k succès suivis de n − kéchecs est : pk(1 − p)n−k. Mais les succès et les échecs n’apparaissent pas nécessairementdans cet ordre.On considère l’ensemble des « mots »de n lettres qui ne contiennent que des S (Succès) et desE (Échecs). On sait qu’il y en a exactement
(np
)qui contiennent exactement k fois la lettre S
(et donc n− k fois la lettre E).On en déduit m
P (X = k) =(
n
p
)pk(1− p)n−k
et ceci pour tout k ∈ 0, 1, . . . , n. •
R 4.9
1. La probabilité d’avoir n succès : P (X = n) = pn et d’avoir aucun succès P (X = 0) = qn. Parconséquent, la probabilité d’avoir au moins un succès est :
P (X ≥ 1) = 1− P (X = 0) = 1− qn.
2. La loi de Bernoulli est un cas particulier de la loi binomiale où l’épreuve E n’est réalisée qu’une seulefois.
3. Toute variable aléatoire X suivant une loi binomiale de paramètres n ∈ N∗ et p ∈ [0 , 1] peut s’écrirecomme somme X = X1 + · · · + Xn où, pour tout k ∈ 0, 1, . . . , n, Xk est une variable aléatoiresuivant une loi de Bernoulli de paramètre p (Xk vaut 1 en cas de succès à la ke réalisation de E et 0sinon).
Exemples 4.10 La probabilité qu’un tireur atteigne sa cible est p = 34 . On suppose qu’il fait deux
tirs et on note X la variable aléatoire associant à cette épreuve le nombre de succès obtenus (X = 0,1 ou 2).
4.3 Propriétés sur les coefficients binomiaux 11
1. Calculer la probabilité des événements X = 0, X = 1 et X = 2.2. Calculer
∑2k=0 P (X = k).
3. On suppose qu’il fait sept tirs et on note Y la variable aléaoire associant à cette épreuve lenombre de succès obtenus. Calculer P (X = 1) et P (X = 2).
Théorème 4.11 — Espérance et variance d’une loi binomiale. Si X ∼ Bin(n, p) avec n ∈ N∗ etp ∈ [0 , 1] alors :
E(X) = np et Var(X) = npq.
Dv
• Démonstration — Puisque X ∼ Bin(n, p), il existe des variables aléatoires (réelles) X1, X2, . . . , Xn
définies sur Ω indépendantes, de loi de Bernoulli de même paramètre p telles que X =∑ni=1 Xi.
Par linéarité de l’espérance :
E(X) = E(
n∑
i=1Xi
)=
n∑
i=1E(Xi)
et d’après ce qui précède :
E(X) =n∑
i=1p = np.
De même pour la variance :
Var(X) = Var(
n∑
i=1Xi
)=
n∑
i=1Var(Xi) =
n∑
i=1pq = npq.
•
Exemple 4.12 La probabilité qu’un tireur atteigne sa cible est p = 34 . On suppose qu’il tire n =
7 fois. On note X la variable aléatoire associant à cette expérience aléatoire le nombre de succèsobtenus. Calculer son espérance et sa variance.
4.3 Propriétés sur les coefficients binomiaux
4.3.1 Définitions et propriétésDéfinition 4.13 — Combinaisons. Soient n et p deux entiers naturels et E un ensemble contenant néléments. Un sous-ensemble de E contenant p éléments est appelé une combinaison de p élémentsde E.
Le nombre de p-combinaisons d’un ensemble contenant n éléments est noté(n
p
)ou(n
p
).
Exemple 4.14 Pour gagner au Loto, il faut trouver 3 numéros parmi 5. On veut savoir combien il y ade grilles possibles. Considérons une grille quelconque (c’est-à-dire une 3-combinaison de l’ensembledes 5 numéros) : par exemple 1, 3, 4. Il y a 3! façons possibles d’ordonner ces nombres. Or, il y a
12 Leçon n°4 • Loi binomiale
(53)× 3! suites de 3 nombres ordonnées. Mais, on compte 5× 4× 3 de ces dernières suites. Donc :
(53
)= 5× 4× 3
3! .
On peut maintenant généraliser la formule :
Proposition 4.15 Le nombre de p-combinaisons d’un ensemble contenant n éléments est noté(
n
p
)= n(n− 1)(n− 2) · (n− (p− 1))
p! (4.1)
= n!p!(n− p)! (4.2)
Dv
• Démonstration de la proposition 4.15 — On part de la formule (4.1) pour arriver à laformule (4.2) :
(n
p
)= n(n− 1)(n− 2) · · · (n− p + 1)
p!
= n(n− 1)(n− 2) · · · (n− p + 1)p!
(n− p)(n− p− 1) · · · 2× 1(n− p)(n− p− 1) · · · 2× 1
= n!p!(n− p)!
Une autre façon de voir la formule (4.2). Il y a Apn manières de tirer p objets parmi n en les
ordonnant soitAp
n = n!(n− p)! .
Une fois les p objets tirés, il y a p! manières de les ordonner. Il y a donc Apn
p! manières de tirerp objets parmi sans les ordonner. D’où
(n
p
)= Ap
n
p! = 1p!
n!(n− p)! .
•
Définition 4.16 — Coefficients binomiaux. Soit p un entier naturel non nul. Les nombres(n
p
)sont
appelés les coefficients binomiaux.
Proposition 4.17 — Formule de Pascal. Soit n, p ∈ N tel que p < n. On a :(
n
p
)=(
n− 1p
)+(
n− 1p− 1
).
4.3 Propriétés sur les coefficients binomiaux 13
Dv
• Démonstration de la formule de Pascal — Soit un ensemble E à n éléments. On supposeque l’on a « extrait » une partie à p éléments. Si l’on retire un élément a à E, c’est soitun élément de la combinaison, soit non. Dans le premier cas, les p − 1 restants forment unepartie de l’ensemble E \ a de cardinal n − 1, et dans le second, ce sont les p élémentsqui forment une partie de E \ a. Cette union étant disjointe, les cardinaux s’ajoutent pouraboutir à l’égalité demandée. •
n\p 0 1 2 3 · · ·0 11 1 12 1 2 13 1 3 3 1...
......
......
. . .
FIGURE 4.1 – Triangle de Pascal
Proposition 4.18 — Formule itérée de Pascal. Soit p ≤ n deux entiers naturels. Alors
n∑
k=p
(k
p
)=(
n + 1p + 1
).
Dv
• Démonstration de la formule itérée de Pascal — On effectue une récurrence sur l’entiern.
Initialisation Lorsque n = p, les deux membres valent 1.
Hérédité On suppose que la formule est vraie au rang n et on montre qu’elle est encore vraieau rang n + 1 :
n+1∑
k=p
(k
p
)=
n∑
k=p
(k
p
)+(
n + 1p
)
et d’après l’hypothèse de récurrence,
n+1∑
k=p
(k
p
)=(
p + 1n + 1
)+(
n + 1p
)=(
n + 2p + 1
).
La dernière égalité est justifiée par l’emploi de la formule de Pascal.
•
On note A = C (ou R ou Q ou Z).
14 Leçon n°4 • Loi binomiale
Théorème 4.19 — Formule du binôme. Soient deux éléments a, b de A qui commutent. Alors :
∀n ∈ N, (a + b)n =n∑
k=0
(n
k
)akbn−k.
Dv
• Démonstration de la formule du binôme de Newton — Pour n = 1, nous avons :
1∑
k=0
(1k
)akb1−k =
(10
)b +
(a
=
)a + b.
La formule du binôme est vraie pour n = 1.Supposons que la formule du binôme soit vraie au rang n ≥ 1. Alors,
(a + b)n+1 = (a + b) · (a + b)n = (a + b)n∑
k=0
(n
k
)akbn−k.
En distribuant le produit, nous obtenons
(a + b)n+1 =n∑
k=0
(n
k
)ak+1bn−k +
n∑
k=0
(n
k
)akbn+1−k.
Nous effectuons alors la translation d’indices l = k + 1 dans la première somme :
(a + b)n+1 =n+1∑
l=1
(n
l − 1
)albn+1−l +
n∑
k=0
(n
k
)akbn+1−k.
L’indice de sommation étant muet, nous pouvons regrouper les deux sommes :
(a + b)n+1 =(
n
n
)an+1 +
n∑
k=1
[(n
k − 1
)+(
n
k
)]akbn+1−k +
(n
0
)bn+1.
On utilise ensuite la formule du triangle de Pascal :
(a + b)n+1 =(
n
n
)an+1 +
n∑
k=1
(n + 1
k
)akbn+1−k +
(n
0
)bn+1.
On remarque que :(
n0)
= 1 =(
n+10)
et que(
nn
)= 1 =
(n+1n+1)
pour faire entrer les deuxtermes isolés dans la somme.
(a + b)n+1 =n+1∑
k=0
(n + 1
k
)akbn+1−k.
•
Corollaire 4.20 On a les égalités suivantes :
1.∑n
k=0(n
k
)= 2n,
4.3 Propriétés sur les coefficients binomiaux 15
2.∑n
k=0(−1)k(n
k
)= 0.
Dv
• Démonstration du corollaire 4.20 —
1. On utilise le binôme de Newton avec a = 1 et b = 1.
2. On utilise le binôme de Newton avec a = −1 et b = 1.
•
R 4.21 On remarque que l’égalité 1 du corollaire 4.20 traduit le fait que le nombre de parties d’un ensemble à néléments est 2n. En effet, ce nombre est la somme des nombres de parties ayant respectivement 0, 1, . . .éléments (le cardinal d’une union disjointe est la somme des cardinaux), ce qui correspond bien à la sommeindiquée.
Proposition 4.22 — Formule de Van der Monde. Pour tous entiers m, n et p tels que p ≤ m + n, on al’égalité : (
m + n
p
)=
p∑
k=0
(m
k
)(n
p− k
).
Dv
• Démonstration de la formule de Van der Monde — Soit x un réel. Alors :
(1 + x)m(1 + x)n = (1 + x)m+n =m+n∑
p=0
(m + n
p
)xp.
Or
(1 + x)m(1 + x)n =(
m∑
i=0
(m
i
)xi
)
n∑
j=0
(n
j
)xj
=
m∑
i=0
n∑
j=0
(m
i
)(n
j
)xi+j
=((
m
0
)(n
0
))+(
((
m
0
)(n
1
)+(
m
1
)(n
0
))x)
+(
((
m
0
)(n
2
)+(
m
1
)(n
1
)+(
m
2
)(n
0
))x2)
+ · · ·
=m+n∑
p=0
(( ∑
i,j>0i+j=p
(m
i
)(n
j
))xp)
.
Par identification des coefficients de ce polynôme de degré p, on obtient finalement que, pourtout entier 0 ≤ p ≤ m + n,
(m + n
p
)=∑
i,j>0i+j=p
(m
i
)(n
j
)=
p∑
i=0
(m
i
)(n
p− i
).
•
16 Leçon n°4 • Loi binomiale
4.4 Stabilité additive de la loi binomialeThéorème 4.23 — Stabilité additive de la loi binomiale. Si X ∼ Bin(m, p) et Y ∼ Bin(n, p) avec Xet Y indépendantes, alors X + Y = Bin(m + n, p).
Soit (Ai)1≤i≤n une suite d’événements. On note :∐n
i=0 Ai si les événements sont disjoints.
Dv
• Démonstration — On pose S = X + Y . On a clairement S(Ω) = 0, . . . , m + n.Calculons P (S−1(k)) pour tout 1 ≤ k ≤ m + n :
S−1(k) =k∐
i=0X−1(i) ∩ Y −1(k − i).
D’où :
P (S−1(k)) =k∑
i=0P (X−1(i) ∩ Y −1(k − i)).
Et comme X et Y sont indépendantes :
P (S−1(k)) =k∑
i=0P (X−1(i))P (Y −1(k − i)).
Comme X ∼ Bin(m, p) et Y ∼ Bin(n, p) :
P (S−1(k)) =k∑
i=0
(m
i
)pi(1− p)m−i
(n
k − i
)pk−i(1− p)n−(k−i)
=(
k∑
i=0
(m
i
)(n
k − i
))pk(1− p)m+n−k.
Et comme∑k
i=0(
mi
)(n
k−i
)=(
m+nk
).
P (S−1(k)) =(
m + n
k
)pk(1− p)m+n−k.
Donc S ∼ Bin(m + n, p). •
4.5 Convergence4.5.1 Vers la loi de Poisson
Théorème 4.24 Lorsque n tend vers l’infini et que simultanément pn → 0 de sorte que limn npn =a > 0, la loi binomiale de paramètres n et pn converge vers la loi de Poisson de paramètre a. Enpratique, on remplace la loi binomiale par une loi de Poisson dès que n > 30 et np < 5 ou dès quen > 50 et p < 0.1.
4.6 Échantillonnage 17
Dv
• Démonstration — On décompose P (X = k) :(
n
k
)pk
n(1− pn)n−k = n(n− 1) · · · (n− k + 1)k! pk
n(1− pn)n−k
= (npn)k
k!
(1− 1
n
)(1− 2
n
)· · ·(
1− k − 1n
)(1− pn)n−k.
On se place dans la situation où pn est équivalent à an en l’infini.
— Lorsque n tend vers l’infini, les facteurs(1− 1
n
),(1− 2
n
), . . .,
(1− k−1
n
)tendent vers
1. Le produit de ces termes tend également vers 1 puisqu’ils sont en nombre fini fixé k.— On a :
(1− pn)n−k = (1− pn)n(1− pn)−k,
or, limp→0(1− p)−k = 1 et de plus, (1− pn)n ' (1− an )n et ce dernier terme tend vers
e−a quand n tend vers l’infini.On trouve donc :
limn→+∞
(n
k
)pk
n(1− pn)n−k = ak
k! e−a,
qui est la probabilité de k pour la loi de Poisson de paramètre a. •
4.5.2 Vers la loi normaleThéorème 4.25 Soit (Xn)n une suite de variable aléatoires indépendnates de même loi de BernoulliBern(p) et Sn = X1 + · · ·+ Xn suit la loi binomiale Bin(n, p).
D’après le théorème central limite, la loi de Sn peut re approximée par la loi normale N(E(Sn), Var(Sn)),c’est-à-dire par la loi N(np, npq).
R 4.26 En pratique, lorsque n ≥ 30, np ≥ 15 et npq > 5, la loi binomiale Bin(n, p) peut être approximée par laloi normale N(np, npq).
4.6 Échantillonnage4.6.1 Premier problème : proportion de boules dans une urne
Dans une urne contenant une dizaine de boules, il y a 2 boules noires et 8 boules blanches. Laproportion de boules noires est donc de 1/5.
On pioche dans l’urne avec ordre et remise une vingtaine de boules et on s’intéresse à la proportionde boules noires obtenues.
Cette expérience a été recommencée 100 fois à l’aide d’un tableur et voici les proportions obte-nues.
Proportion 0 0, 05 0, 1 0, 15 0, 2 0, 25 0, 3 0, 35 0, 4 0, 45 0, 5 TotalNb d’échantillons 0 9 13 20 27 16 9 5 0 1 0 100
1. Quel est le nombre d’échantillons qui ont une proportion de boules noires de 0, 3 ?
2. Quel est le nomb re d’échantillons qui ont une proportion de boules noires de 0, 6 ?
18 Leçon n°4 • Loi binomiale
3. Quel est le nombre d’échantillons qui ont une proportion de boules noires entre 0, 1 et 0, 4 ?
4. Le but de cette partie est de retrouver par le calcul ce dernier nombre. On considère la variablealéatoire X qui lors de l’expérience compte le nombre boules noires obtenues.
(a) Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
(b) Calculer P (2 ≤ X ≤ 8).
(c) En déduire la probabilité que la proportion de boules noires soit comprise entre 0 et 0, 4.
• Solution —
Proportion 0 0, 05 0, 1 0, 15 0, 2 0, 25 0, 3 0, 35 0, 4 0, 45 0, 5 TotalNb d’échantillons 0 9 13 20 27 16 9 5 0 1 0 100
1. Le nombre d’échantillons qui ont une proportion de boules noires de 0, 3 est 9.
2. Le nombre d’échantillons qui ont une proportion de boules noires de 0, 6 est 0. En effet, tousles échantillons sont déjà dans le tableau.
3. Le nombre d’échantillons qui ont une proportion de boules noires comprise entre 0, 1 et 0, 4est 13 + 20 + 27 + 16 + 9 + 5 = 90. Soit 90%.
4. (a) On recommence 20 fois de manière indépendante une expérience ayant deux issues pos-sibles, succès ou échec. La variable aléatoire qui compte le nombre de succès suit une loibinomiale de paramètres 20 et 1/5.
(b) P (2 ≤ X ≤ 8) = 0, 92.
(c) On cherche la probabilité que la proportion de boules noires dans un échantillon soitcomprise entre 0, 1 et 0, 4 ; c’est-à-dire la probabilité qu’il y ait entre 10% et 40% deboules noires. Or chaque échantillonnage contient 20 boules. Ainsi 10% de boules noirespari ces 20 boules représente exactement 2 boules noires. De même 40% représente 8boules noires. Finalement, chercher la probabilité que la proportion de boules noires dansles échantillonnages soit comprise entre 0, 1 et 0, 4 revient à chercher la probabilité depiocher entre 2 et 8 boules noires parmi les 20 boules. C’est exactement la probabilitéque l’on a calculé à la question 4b, soit 0, 92. Ce qui correspond à peu près au 90% trouvégrâce au tableau.
•
4.6.2 Second problème : proportion de camions sur une autorouteSur une autoroute, la proportion des camions par rapport à l’ensemble des véhicules est 0, 07.
1. Soit X le nombre de camions parmi 100 véhicules choisis au hasard. Calculer P (X ≥ 5).
2. Soit Y le nombre de camions parmi 1000 véhicules choisis au hasard. Calculer P (65 ≤ Y ≤75).
3. On choisit n véhicules au hasard. Pour quelles valeurs de n peut-on affirmer que la proportionde camions est entre 0, 06 et 0, 08 avec un risque d’erreur inférieur à 5% ?
• Solution —
1. Soit X une variable aléatoire de loi binomiale Bin(100, 0.07). 100 ≥ 30, 100× 0, 07 = 7 <15, 0, 07 ≤ 0, 1 donc l’approximation à utiliser est celle par la loi de Poisson Pois(7) et :
P (X ≥ 5) ≈ 1− e−74∑
k=0
7k
k! ≈ 0, 827.
4.7 Loi multinomiale 19
2. Y suit la loi binomiale Bin(1000, 0.07). 1000 ≥ 30, 1000 × 0, 07 = 70 ≥ 15, 70 × 0, 93 =64, 1 > 4 donc l’approximation à utiliser est celle par la loi normale N(70, 65.1) et si Fdésigne la fonction de répartition de la loi N(70, 65.1),
P (65 ≤ Y ≤ 75) ≈ F (75.5)− F (64.5) = Φ(
5.5√65.1
)− Φ
(− 5.5√
65.1
)
= 2Φ(
5.5√65.1
)− 1 ≈ 2Φ(0.68) ≈ 0.5
3. On choisit n véhicules au hasard. Le nombre Sn des camions parmi ces n véhicules suit la loibinomiale Bin(n, 0.07) et la proportion des camions est Sn
n .On cherche n tel que
P(∣∣Sn
n − 0.07∣∣ ≥ 0.01
)= 0.05.
Si n ≥ 30, 0.07n ≥ 15 et 0.07×0.93×n > 5, c’est-à-dire n ≥ 215, on peut approximer la loide Sn
n par la loi normale N(0.07, 0.0651n ) et la loi de Sn
n −0.07 par la loi normale N(0, 0.065n ).
On a alors :
P
(∣∣∣∣Sn
n− 0.07
∣∣∣∣ ≥ 0.01)
= P
(∣∣∣∣√
n√0.0651
(Sn
n− 0.07
)∣∣∣∣ ≥√
n√0.0651
1100
)
≈ 2(
1− Φ( √
n√651
))≈ 0.05
On a donc Φ( √
n√651
)≈ 0.975 ≈ Φ(1.96) et n ≈ 1.962 × 651 ≈ 2501. 2501 ≥ 90, ce qui
légitime l’approximation.
•
4.7 Loi multinomialeDéfinition 4.27 — Loi multinomiale. Le vecteur aléatoire N suit la loi multinomiale de paramètresn et (p1, . . . , pd) où n ∈ N∗ et les pi sont strictement positifs et de somme 1 si pour tout d-uple(j1, j2, . . . , jd) d’entiers tels que j1 + j2 + · · ·+ jd = n,
P [N = (j1, j2, . . . , jd)] = n!j1!j2! · · · jd!p
j11 pj2
2 · · · pjdd .
Exemple 4.28 On considère 20 tirages d’une boule avec remise dans une urne contenant 1 boulebleue, 3 jaunes, 4 rouges et 2 vertes. Notons N = (N1, N2, N3, N4) où Ni est le nombre de boules dela couleur i en numérotant les couleurs par ordre alphabétique (b,j,r,v). On a (p1, p2, p3, p4) =( 1
10 , 310 , 4
10 , 210). La probabilité d’obtenir en 20 tirages 3 bleues, 5 jaunes, 10 rouges et 2 vertes est :
P (N = (3, 5, 10, 2)) = 20!3!5!10!2!
( 110
)3 ( 310
)5 ( 410
)10 ( 210
)2' 0, 004745.
20 Leçon n°4 • Loi binomiale
Bibliographie
[1] Problème des sept ponts de Königsberg, Wikipédia, l’encyclopédie libre.
[2] C. LE BOT, Théorie des graphes, 2006, http://blog.christophelebot.fr/wp-content/uploads/2007/03/theorie_graphes.pdf.
[3] Coloration des graphes, Apprendre-en-ligne, http://www.apprendre-en-ligne.net/graphes-ancien/coloration/sommets.html
[4] O. GARET, Exemples de problèmes de graphes, http://iecl.univ-lorraine.fr/~Olivier.Garet/cours/graphes/graphes-documents_d_accompagnement.pdf.
[5] E. SIGWARD & al., Odyssée Mathématiques Terminale ES/L, Hatier, 2012.
[6] Graphes probabilistes, Terminale ES spécialité. http://mathadoctes.free.fr/TES/graphe/f4_graphe.PDF
[7] G. COSTANTINI, Probabilités (discrètes), Cours de Première S, URL : http://bacamaths.net.
[8] P. RIBEREAU, Cours 5 Probabilités : Notion, probas conditionnelles et indépendance, URL :http://www.math.univ-montp2.fr/
[9] P. DUVAL, Probabilités, TS. URL : http://lcs.werne.lyc14.ac-caen.fr/~duvalp
[10] G. COSTANTINI, Probabilités : Généralités, conditionnement, indépendance, Cours de Pre-mière S. URL : http://bacamaths.net.
[11] M. LENZEN, Leçon no 3 : Coefficients binomiaux, dénombrement des combinaisons, formuledu binôme. Applications., 2011, URL : http://www.capes-de-maths.com/index.php?page=leconsNEW
[12] G. CONNAN, Une année de mathématiques en Terminale S, Ch. 14, 2009-2010, URL : http://tehessin.tuxfamily.org
[13] G. COSTANTINI, Loi binomiale, URL : http://bacamaths.net
[14] C. SUQUET, Intégration et Probabilités Elémentaires, 2009-2010. URL : http://math.univ-lille1.fr/~ipeis/
[15] C. GRAFFIGNE, Démonstration de la formule du binôme de Newton, Université Pa-ris V, L1, S1. http://www.math-info.univ-paris5.fr/~avner/MC1/L1_S1/cours/eq/node11.html
[16] L. LUBRANO & al., Mathématiques, BTS Industriels - Groupement B et C, Dunod, 2011.
[17] G. COSTANTINI, Lois de probabilités continues. URL : http://bacamaths.net.
[18] J.-P. GOULARD, Lois de probabilités continues, TS, 2014-2015.http://blog.crdp-versailles.fr/jpgoualard/public/TS-2014-2015-cours-loiscontinues.pdf.
[19] Probabilités 3 : Loi uniforme sur [a; b], Lycée de Font Romeu. http://www.lewebpedagogique.com/cerdagne/files/2013/02/02-Loi-uniforme.pdf
22 BIBLIOGRAPHIE
[20] Loi uniforme sur [a; b], IREM de Toulouse. URL : http://www.irem.ups-tlse.fr/spip/IMG/pdf_LOI_UNIFORME.pdf
[21] P. TAQUET & al., Mathématiques, BTS Groupement A, Hachette Technique, 2010.
[22] C. SUQUET, Initiation à la Statistique, 2010. http://math.univ-lille1.fr/~suquet/Polys/IS.pdf.
[23] J.-F. DELMAS, Modélisation stochastique, Cours de M2, 2009. URL : http://cermics.enpc.fr/~delmas/Enseig/mod-stoch.pdf
[24] L.-M. BONNEVAL, Chaînes de Markov au lycée, APMEP no 503, 2013. URL : http://publimath.irem.univ-mrs.fr/biblio/AAA13018.htm
[25] Marche aléatoire, IREM de Franche-Comte. URL : http://www-irem.univ-fcomte.fr/download/irem/document/ressources/lycee/marche/marche-aleatoire.pdf.
[26] Marches sur Z, culturemath.ens.fr, URL : http://culturemath.ens.fr/maths/pdf/proba/marchesZ.pdf
[27] Contributeurs à Wikipedia, Marche aléatoire, Wikipédia, l’encyclopédie libre, 2014.
[28] Marche au hasard dans les rues de Toulouse, URL : http://mappemonde.mgm.fr/actualites/M_toulouse2.html
[29] R. NOEL, Statistiques descriptives, http://amphimaths.chez-alice.fr/N1/stats_desc_poly.pdf
[30] J. LEVY, Séries statistiques, URL : http://jellevy.yellis.net.
[31] P. BRACHET, Statistiques : résumé de cours et méthodes, Première S. http://www.xm1math.net/seconde/seconde_chap9_cours.pdf.
[32] Contributeurs de Wikipédia, Série statistique à deux variables, Wikipédia.
[33] G. COSTANTINI, Séries statistiques à deux variables. URL : http://bacamaths.net.
[34] A. GUICHET, Prépa ECS - Lycée Touchard, Chap 1. 1.2. URL : http://alainguichet.mathematex.net/ecs-touchard/wiki.
[35] Y. DUCEL & B. SAUSSEREAU, Partie I : Du théorème de Moivre-Laplace (TML) auThéorème-Limite Central (TLC), Journée académique « Terminale », Besançon, octobre2012. http://bsauss.perso.math.cnrs.fr/IREM_FC_GrouProbaStat/Terminale-I_JourneeOctobre-2012_DIAPORAMA_120929/DIAPORAMA-I_JourneeTerminale_octobre-2012.pdf.
[36] R. BARRA & al., Transmath 2nde, Nathan, 2010.
[37] P. MILAN, Statistiques et estimation, Terminale S.
[38] IREM Aix-Marseille, Groupe Proba-Stats, Estimation : intervalle de fluctuation et deconfiance, Mars 2012. http://www.irem.univ-mrs.fr/IMG/pdf/estimation_nouveau_programme2012.pdf
[39] Intervalle de fluctuation, intervalle de confiance, Animation nouveaux programmesde mathématiques Terminale STI2D - Académie de Créteil, jeudi 3 mai 2012.http://maths.ac-creteil.fr/IMG/pdf/intervalles__fluctuation_confiance_sti2d-stl_1_.pdf
[40] N. DAVAL, Statistiques inférentielles : estimation. BTS Domotique. URL : http://mathematiques.daval.free.fr
BIBLIOGRAPHIE 23
[41] Chapitre 9 : Estimations, Lycée Rostand de Mantes.
[42] P. MILAN, Multiples. Division euclidienne. Congruence, Terminale S Spé. URL :http://www.lyceedadultes.fr/sitepedagogique/documents/math/mathTermSspe/01_Multiples_division_euclidienne_congruence/01_cours_multiples_division_euclidienne_congruence.pdf.
[43] Contributeurs de Wikipédia, Liste des critères de divisibilité, Wikipédia.
[44] C. PARFENOFF, Division euclidienne, division décimale, Classe de Sixième. URL : http://www.parfenoff.org
[45] J. ONILLON, Vestiges d’une terminale S — Résolution générale des équations diophantiennes.URL : http://tanopah.com.
[46] ZAUCTORE, Équations diophantiennes du premier degré, 3 octobre 2007. http://www.mathforu.com/pdf/equation-diophantienne-premier-degre.pdf
[47] D.-J. Mercier, CAPES/AGREG Maths, Préparation intensive à l’entretien. URL : http://megamaths.perso.neuf.fr/exgeo/preparationintensive.html
[48] F. HERBAUT, Souvenirs d’oraux du CAPES 2011, Académie de Nice. http://fabien.herbaut.free.fr/oraux/oraux_2011_v1.pdf.
[49] Contributeurs de Wikipédia, Équation diophantienne ax + by = c, Wikipédia.
[50] A. BODIN & al., Arithmétique, Exo7. URL : http://exo7.emath.fr/cours/ch_arithmetique.pdf
[51] J.-P. BELTRAMONE & al., Déclic mathématiques, TS, Enseignements spécificique et de spécia-lité, Hachette Éducation, 2012.
[52] D.-J. MERCIER, Fondamentaux d’algèbre et d’arithmétique, EPU, Publibook, 2010.
[53] B. BERTINELI & Y. SCHUBNEL, Leçons de mathématiques, CRDP de Franche-Conté, 2001.
[54] G. TENENBAUM & M. MENDÈS-FRANCE, Les nombres premiers, PUF Editions, 2000.
[55] F. DRESS, Industrie des polynômes à valeurs entières : diviseurs, nombres pre-miers, « petit » théorème de Fermat, records, Université Bordeaux 1, 6 juin 2004.URL : http://mathematiques.ac-bordeaux.fr/profplus/docmaths/arithmetique/dress/pf_complet.htm
[56] C. BOULONNE, Notes de cours, Ateliers Mathématiques, L1 Mathématiques, Université Lille1, 2006-2007.
[57] Le crible de Matiyasevitch, Blogdemaths, 2012.
[58] X. DELAHAYE, Congruences, Terminale S. URL : xmaths.free.fr
[59] J.-P. QUELEN, Petit théorème de Fermat et codage RSA, 15 janvier 2011.
[60] M. LENZEN, Leçon no 14 : Congurences dans Z. Anneau Z/nZ, 2011. www.capes-de-maths.com/lecons/lecon14.pdf
[61] Contributeurs de Wikipédia, Équations du second degré, Wikipédia.
[62] C. BOULONNE, Notes de cours, M101 : Fondements de l’algèbre, L1 Mathématiques, 2006-2007.
[63] Équations du second degré à une inconnue. URL : http://ww2.ac-poitiers.fr/math_sp
[64] G. BONTEMPS & al., Fractale, Maths 1re S, Bordas, Programme 2001.
24 BIBLIOGRAPHIE
[65] G. COSTANTINI, Nombres complexes, Terminale S. URL : http://bacamaths.net.
[66] G. CONNAN, Une année de mathématiques en Terminales S, Ch. 1, 2009-2010. http://tehessin.tuxfamily.org
[67] D. FELDMANN, 21. Géométrie analytique. URL : http://denisfeldmann.fr/PDF/21ganal.pdf.
[68] Contributeurs de Wikipédia, Base orthormale, Wikipédia.
[69] Coordonnées Géographiques, MPS. URL : http://www.mimaths.net/IMG/pdf/coorgeo.pdf.
[70] G. COSTANTINI, Exercices de Géométrie Analytique. URL : http://bacamaths.net.
[71] J. ONILLON, Géométrie analytique : un regard d’un autre temps, 2007. http://tanopah.jo.free.fr/ADS/bloc13/geoanalytique.pdf
[72] Contributeurs de Wikipédia, Géométrie analytique, Wikipédia.
[73] Contributeurs de Wikipédia, Repérage dans le plan et dans l’espace, Wikipédia.
[74] Contributeurs de Wikipédia, Système de coordonnées, Wikipédia.
[75] D. ROBERT, Mathématiques en Terminale ES, Enseignement de spécialité, 2012-2013. http://perpendiculaires.free.fr/wp-content/TESspe-2012-2013.pdf.
[76] Devoir maison – 5, Chiffrement de Hill, Spé TS, Lycée Victor Duruy - Montde Marsan. http://mathstsduruy.fr/wp-content/uploads/2013/04/dev5_Sp%C3%A9_maison_2012.pdf.
[77] Chapitre 12 : Proportionnalité. http://maths.vivien.free.fr/documents/Cours/chapitre6D1-Proportionnalite.pdf.
[78] Chapitre 13 : Proportionnalité. http://www2.ac-lyon.fr/etab/colleges/col-69/jgiono/IMG/pdf/cours_Proportionnalite.pdf
[79] Théorème de Thalès - Démonstration. URL : http://mathadoc.sesamath.net/Documents/college/3eme/3thales/demoaire.PDF
[80] S. PASQUET, Proportionnalité, Classe de 6ème, 5ème, 4ème et 3ème. http://mathweb.fr.
[81] J.-G. CUAZ, Pourcentage, Première L Math-Info. http://francois.schulhof.perso.neuf.fr/cours_maths/lycee/statistiques/cours_pourcentage.pdf
[82] Contributeurs de Wikipédia, Pente (topographie), Wikipédia.
[83] Pourcentages, CNED Académie en Ligne. URL : http://www.academie-en-ligne.fr/Ressources/7/MA11/AL7MA11TEPA0012-Sequence-02.pdf
[84] Intérêts simples. http://mathadoc.sesamath.net/Documents/mp/bacpro/bacgestion/int_simp.PDF
[85] A. IMONE, Systèmes d’équations, d’inéquations, Troisième. http://albertimone.voila.net/Brevet/syst.3.html
[86] S. PASQUET, Systèmes d’équations et inéquations affines, Première ES. http://mathweb.fr.
[87] J. ONILLION, Systèmes d’inéquations, régionnement du plan. URL : http://tanopah.jo.free.fr/seconde/regionalpha.php
BIBLIOGRAPHIE 25
[88] Programmation linéaire, http://extranet.editis.com/it-yonixweb/images/500/art/doc/8/85a981cb4526acd3393830353930393136343535.pdf
[89] S. GOUIN & al., Dimathème TSTT (Action et communication commerciales administratives),Programme 1999, Didier.
[90] N. NGUYEN & al., Maths MPSI, Ellipses, 2e édition, 2010.
[91] S. MEHL, Droites du plan, étude analytique élémentaire. URL : http://serge.mehl.free.fr/anx/dtes_p.html
[92] C. PARFENOFF, Droites parallèles. Droites sécantes, Seconde. URL : http://www.parfenoff.org/pdf/seconde/geometrie/2de_Droites_paralleles_Droites_secantes.pdf
[93] D. PERRIN, Droites du plan. URL : http://www.math.u-psud.fr/~perrin/CAPES/geometrie/droites2012.pdf.
[94] M. HAMED, Leçon 24 : Droites du plan. http://michael.hamed.perso.sfr.fr/acces/Le%C3%A7on%2024%20-%20Droites%20du%20plan.pdf
[95] P. LUX, Droites et plans dans l’espace. URL : http://pierrelux.net/documents/cours/2/espace.pdf
[96] J.-L. ROUGET, Droites et plans de l’espace. URL : http://www.maths-france.fr/Terminale/TerminaleS/FichesCours/DroitesPlansEspace.pdf
[97] C. ROSSIGNOL, Droites et plans de l’espace. URL : http://www.ac-grenoble.fr/lycee/vincent.indy/IMG/pdf/droites_plans_espace.pdf.
[98] Droites remarquables dans un triangle, 4e 3e, Playermath. URL : http://www.playermath.com/images/pdf/f4gmethogeo_corr03.pdf.
[99] S. DUCHET, Droites remarquables dans un triangle, 4e. URL : http://epsilon.2000.free.fr/4C/4C-02.pdf
[100] Contributeurs de Wikipédia, Droite d’Euler, Wikipédia.
[101] Contributeurs de Wikipédia, Cercle, Wikipédia.
[102] B. SICARD, Équations cartésiennes dans le plan et dans l’espace. URL : http://math.sicard.free.fr/1S/equations_cartesiennes/equations_cartesiennes.pdf
[103] M. CUAZ, Géométrie dans l’espace, solides de l’espace. URL : http://www.hexomaths.fr/fichiers/GeometrieespaceCOURS.pdf
[104] Contributeurs de Wikipédia, Solide géométrique, Wikipédia.
[105] T. EVEILLEAU, Les solides de Platon. URL : http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/pages/truc_mat/textes/platon.htm.
[106] S. DELAUNAY, M302 : Cours de Géométrie I, 2009-2010.
[107] C. BOULONNE, Notes de cours, M103 : Fondements de l’analyse 2, 2006-2007.
[108] P. BRACHET, Produit scalaire : Résumé de cours et méthodes. URL : http://www.xm1math.net/premiere_s/prem_s_chap5_cours.pdf
[109] A. LIÉTARD, Produit scalaire. URL : http://maths1s.chez.com/1S/produitscalaire.pdf
26 BIBLIOGRAPHIE
[110] M. CUAZ, Produit scalaire. URL : http://mathematiques.lfsl.free.fr/IMG/pdf/ProduitscalaireRESUME.pdf
[111] C. ROSSIGNOL, Produit scalaire dans l’Espace, Année scolaire 2014/2015. http://www.ac-grenoble.fr/lycee/vincent.indy/IMG/pdf/produit_scalaire.pdf
[112] E. SUQUET, Théorème de Thalès, Troisième. URL : http://www.automaths.com/3/cours/3_Thales_C.pdf.
[113] Propriété de Thalès, 3e. URL : http://melusine.eu.org
[114] Théorème de Thalès - Démonstration. URL : http://mathadoc.com.
[115] Contributeurs de Wikipédia, Théorème de Pappus, Wikipédia.
[116] Contributeurs de Wikipédia, Théorème de Desargues, Wikipédia.
[117] J. HAMON, Leçon 24 - Théorème de thalès. Applications à la géométrie du plan et de l’espace.URL : http://jaimelesmaths.voila.net/Capes/Lecon_24.pdf
[118] E. SUQUET, Trigonométrie, Troisième. URL : http://www.automaths.com/3/cours/3_Trigonometrie_C.pdf
[119] G. COSTANTINI, Trigonométrie et fonctions circulaires, Première S. http://bacamaths.net
[120] G. COSTANTINI, Trigonométrie, relations métriques dans un triangle. URL : http://bacmaths.net
[121] Contributeurs de Wikipédia, Théorème de Pythagore, Wikipédia.
[122] M. LENZEN, Leçon no 32 : Relations métriques dans un triangle. Trigonométrie. Applications.URL : http://capes-de-maths.com
[123] P. DEBART, Constructions géométriques au collège. URL : http://debart.pagesperso-orange.fr
[124] COJEREM, Des situations pour enseigner la géométrie 1re/4e - Guide méthodologique. DeBoeck, 2000.
[125] G. COSTANTINI, Barycentre d’un système pondéré, Première S. URL : http://bacamaths.net.
[126] P. BRACHET, Barycentres : Résumé de cours et méthodes. URL : http://lycee.lagrave.free.fr/IMG/pdf/doc_barycentre.pdf
[127] X. DELAHAYE, Homothéties, translations, rotations - Première S. URL : http://x.maths.free.fr/1S/cours/cours.php?nomcours=1Shomtcours&page=01.
[128] S. DELAUNAY, M302 : Cours de Géométrie I, 2009-2010.
[129] C. PARFENOFF, Droites sécantes, perpendiculaires et parallèles. URL : http://www.parfenoff.org/pdf/6e/6e_%20perpendiculaires_paralleles.pdf
[130] P. LUX, Produit scalaire et Orthogonalité dans l’espace. URL : http://pierrelux.net/documents/cours/TS_2012/produit_scalaire/produitscalaire_orthogonalite.pdf
[131] MATHOUS, Orthogonalité de droites et de plans. URL : http://mathtous.perso.sfr.fr/articles/Orthogonalite%20de%20droites%20et%20de%20plans.pdf
[132] G. COSTANTINI, Les suites, Première S. URL : http://bacamaths.net
BIBLIOGRAPHIE 27
[133] X. DELAHAYE, Suites numériques, limites. Première S. URL : http://xmaths.free.fr/1S/cours/cours.php?nomcours=1Ssuitcours&page=01.
[134] M. CUAZ, Suites arithmético-géométriques.
[135] Suites arithmétiques, suites géométriques, CNED Académie en Ligne.URL : http://www.academie-en-ligne.fr/Ressources/7/MA11/AL7MA11TEPA0012-Sequence-08.pdf
[136] G. COSTANTINI, Suites numériques, Terminale S. URL : http://bacamaths.net.
[137] Étude de suites. URL : http://mathsplp.creteil.iufm.fr/ht_works/exposes/suites/suites.htm
[138] G. COSTANTINI, Suites de nombres réels, Terminale S. http://bacmaths.net
[139] P. BRACHET, Suites : Résumé de cours et méthodes. URL : http://www.xm1math.net/premiere_s/prem_s_chap4_cours.pdf
[140] T. VEDEL, Suites définies par récurrence, Terminales. URL : amemath.o2switch.net/ame_mathematique2/cours_tes/suiterec2bis.pdf.
[141] A. SAMIER & C. RASSON, Suites, Leçon de Math, S2, Master 1 Ens. Math, 2010-2011.
[142] S. PASQUET, Ainsi de suite. URL : http://mathweb.fr.
[143] Définition d’une suite récurrente à l’aide de la fonction ln , IREM de Lyon, Groupe UPO Lyon.URL : http://math.univ-lyon1.fr/irem/IMG/pdf/lnsuite.pdf
[144] X. DELAHAYE, Suites numériques, Cours et exercices, Première S. URL : http://xmaths.free.fr/1S/cours/cours.php?nomcours=1Ssuitcours&page=01.
[145] G. COSTANTINI, Les limites, Première S. URL : http://bacamaths.net.
[146] X. DELAHAYE, Limites, Terminale S. URL : http://xmaths.free.fr/TS/cours/cours.php?nomcours=TSlimfcours&page=01.
[147] G. COSTANTINI, Continuité, Cours de Terminale S. URl : http://bacamaths.net.
[148] G. LEAHPAR, Image d’un intervalle par une fonction continue, image d’un segment. Conti-nuit de la fonction réciproque d’une fonction continue strictemnet monotone sur un intervalle.Leçon no 60 du CAPES 2010. URL : http://leahpar.etnalag.free.fr/capes.html.
[149] G. COSTANTINI, Fonctions dérivables, Cours de Terminale S. URL : http://bacamaths.net
[150] X. DELAHAYE, Dérivée, Terminale S, URL : http://xmaths.free.fr/TS/cours/cours.php?nomcours=TSdericours&page=01
[151] G. COSTANTINI, Exercices rédigés sur les exponentielles et les logarithmes. URL : http://bacamaths.net.
[152] G. COSTANTINI, Fonctions logarithmes, Cours de Terminale S. URL : http://bacamaths.net.
[153] J.-E. VISCA, Les croissances comparées. URL : http://visca.pagesperso-orange.fr/html/aide/comparees.pdf
[154] R. GALANTE, Croissance comparée des fonctions x 7→ ex, x 7→ xa et x 7→ ln x au voisinagede +∞. Application. URL : http://leahpar.etnalag.free.fr/images/cours/analyse_oral/croiss_comp.pdf
28 BIBLIOGRAPHIE
[155] T. CUESTA, Cours de mathématiques BTS IRIS. URL : http://cuestamath.perso.sfr.fr/cours_bts_iris.pdf
[156] G. COSTANTINI, Calcul intégral, Cours de Terminale S. URL : http://bacamaths.net.
[157] Leçon 84 : Calcul approché d’intégrales, Université Claude Bernard-Lyon I, CAPES de Ma-thématiques : Oral, Année 2004–2005. URL : http://math.univ-lyon1.fr/capes/IMG/pdf/integrales.pdf.
[158] M. LENZEN, Diverses méthodes de calcul approché d’intégrales définies. L’exposé pourra êtreillustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice., 2011. URL :http://capes-de-maths.com
[159] F. THIRIOUX, BTS Electronique, Cours de Mathématiques, Lycée René Perrin, Ugine. https://drive.google.com/file/d/0BwDBipKCbVR0ZzRVd3RvVGJxb00/view.
[160] C. CHERRUAU & F. CHERRUAU, Maths, BTS Groupement A, Contrôle Continue Ellipses.
[161] G. COSTANTINI, Exercices sur les équations différentielles, Terminale S. URL : http://bacamaths.net.
[162] M. CUAZ, Plan d’étude d’une fonction numérique, Terminale S. URL : http://mathscyr.free.fr.
[163] X. DELAHAYE, Exercices d’étude de fonctions, Terminale ES. URL : http://xmaths.free.fr/TES/exos/index.php
[164] G. COSTANTINI, Étude de la fonction tangente, DM de Terminale S. URL : http://bacamaths.net.
[165] Contributeurs de Wikipédia, Transformation de Laplace, Wikipédia.
[166] M.-N. SANZ & al., Physique, Tout-en-Un, PSI-PSI*, 2e année, Dunod, 2010.
[167] G. CONNAN, Une année de MAPLE en MPSI, Ch. 4, 2011-2012. URL : http://download.tuxfamily.org/tehessinmath/les%20pdf/PolyMaple10.pdf.
[168] Dissections de polygones, la construction de Henry Ernest Dudeney (1857-1930),URL : http://www-cabri.imag.fr/abracadabri/Coniques/Panoplie/Dissect/dudeney.htm.
[169] URL : http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/college/aire_college_classique.html.
[170] Contributeurs de Wikipédia, Médiane (géométrie), Wikipédia.
[171] APMEP, Démontrer par les aires, Journée régionale de Grenoble, 17 mars 2004.
[172] Contributeurs de Wikipédia, Théorème de Pick, Wikipédia.
[173] Contributeurs de Wikipédia, Algorithmique, Wikipédia.
[174] ALGOBOX, Gallerie d’algorithmes. URL : http://www.xm1math.net/algobox/gallerie.html.
[175] Contributeurs de Wikipédia, Flocon de Koch, Wikipédia.
[176] F. BAYART, Code César. URL : http://www.bibmath.net/crypto/substi/cesar.php3
[177] Codage en code César. URL : http://www.ac-noumea.nc/maths/spip.php?article295.
BIBLIOGRAPHIE 29
[178] J. HERNANDO, Activités sur un tableur. URL : http://juliette.hernando.free.fr/tableur.php.
[179] X. DELAHAYE, Utilisation d’un tableur. URL : http://xmaths.free.fr/tice/tableur/
[180] Régression linéaire à l’aide d’un tableur Excel. URL : http://omareli.com/pdf/linear_fit_excel.pdf?ckattempt=1
[181] C. BOULONNE, Les maths en stage, 2010-2012. URL : https://cboumaths.files.wordpress.com/2012/09/mathsenstage.pdf
[182] G. CONNAN, Faire des mathématiques au lycée en programmant, 2010. URL : http://download.tuxfamily.org/tehessinmath/les%20pdf/PafAlgo.pdf.
[183] M.-C. DAVID & B. PERRIN-RIOU, Raisonnements. URL : http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?session=B0151B82A7.4&+lang=fr&+module=U1%2Flogic%2Fdoclogic.fr
[184] A. BODIN & al., Exo7, Logique et raisonnements, Exo7, URL : exo7.emath.fr/cours/ch_logique.pdf