Probabilités Loi binomiale Exercices corrigés · Probabilités – Loi binomiale – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 3 Situation 3 : On jette une

Probabilités – Loi binomiale – Exercices corrigés

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1

Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct)

Exercice 1 : épreuve de Bernoulli

Exercice 2 : loi de Bernoulli de paramètre

Exercice 3 : schéma de Bernoulli d’ordre

Exercice 4 : représentation d’un schéma de Bernoulli par un arbre pondéré

Exercice 5 : loi binomiale de paramètres et

Exercice 6 : coefficient binomial et nombre de chemins d’un arbre

Exercice 7 : propriétés des coefficients binomiaux et formule du triangle de Pascal

Exercice 8 : calcul de probabilité avec la loi binomiale

Exercice 9 : espérance de la loi binomiale

Exercice 10 : variance de la loi binomiale

Exercice 11 : algorithme de simulation d’une expérience aléatoire (tirage d’une boule avec remise)

Probabilités – Loi binomiale

Exercices corrigés



2

Dans chacune des quatre situations suivantes, reconnaître une épreuve de Bernoulli en définissant le succès et

la probabilité associée.

Situation 1 : On lance un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on regarde si le

nombre obtenu est un multiple de 3.

Situation 2 : On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes et on regarde si la carte tirée est un as.

Situation 3 : On jette une pièce de monnaie non truquée.

Situation 4 : On extrait une boule au hasard, d’une urne contenant 5 boules vertes et 2 boules rouges

toutes indiscernables au toucher, et on note sa couleur.

Rappel : Epreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues, l’une appelée succès

(notée ) et l’autre appelée échec (notée ou plus communément ).

Situation 1 : On lance un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on regarde si le

nombre obtenu est un multiple de 3.

On peut modéliser cette expérience aléatoire comme une épreuve de Bernoulli ayant pour succès l’événement

« le nombre obtenu est un multiple de 3 » et pour échec l’événement « le nombre obtenu n’est pas un multiple

de 3 ».

Le dé cubique a pour faces les numéros 1, 2, 3, 4, 5 et 6. Or, seuls les nombres 3 et 6 sont multiples de 3.

Autrement dit, 2 faces parmi les 6 faces du dé affichent un multiple de 3. Comme le dé est équilibré, la situation

est équiprobable et chaque face a 1 chance sur 6 de sortir. La probabilité d’obtenir un multiple de 3 est égale à

, c’est-à-dire à

. On a donc

.

Situation 2 : On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes et on regarde si la carte tirée est un as.


« la carte tirée est un as » et pour échec l’événement « la carte tirée n’est pas un as ».

Un jeu de 32 cartes comporte 4 as (l’as de pique, l’as de cœur, l’as de carreau et l’as de trèfle). Le tirage de la

carte se fait de manière aléatoire donc la situation est équiprobable et chaque carte a 1 chance sur 32 d’être

tirée. La probabilité d’obtenir un des 4 as parmi les 32 cartes est donc donnée par

.

Exercice 1 (1 question) Niveau : facile

Correction de l’exercice 1 Retour au menu



3

Situation 3 : On jette une pièce de monnaie non truquée.


« on obtient Pile » et pour échec l’événement « on obtient Face » (ou vice versa).

La pièce de monnaie n’étant pas truquée, la situation est équiprobable et chaque face de la pièce a la même

probabilité d’apparaître. La probabilité d’obtenir Pile est alors donnée par

.

Situation 4 : On extrait une boule au hasard, d’une urne contenant 5 boules vertes et 2 boules rouges

toutes indiscernables au toucher, et on note sa couleur.


« on obtient une boule verte » et pour échec l’événement « on obtient une boule rouge » (ou vice versa).

Les 7 boules sont toutes indiscernables au toucher donc la situation est celle de l’équiprobabilité ; chaque boule

a 1 chance sur 7 d’être extraite de l’urne. La probabilité d’obtenir une des 5 boules vertes parmi les 7

boules de l’urne est donc donnée par

.



4

On lance deux dés tétraédriques parfaits et on regarde si la somme des dés est supérieure ou égale à 5. Donner

la loi de probabilité associée à cette expérience.

Rappel : Loi de Bernoulli

Une loi de Bernoulli de paramètre est une loi de probabilité définie

sur l’ensemble des issues d’une épreuve de Bernoulli, associant

la probabilité au succès et la probabilité à l’échec .

Issue

Probabilité


« la somme des dés est supérieure ou égale à 5 » et pour échec l’événement « la somme des dés est

strictement inférieure à 5 ».

Le jet de 2 dés tétraédriques parfaits conduit à

issues. Parmi ces 16 issues, 10 correspondent à une

somme supérieure ou égale à 5.

Par conséquent,

.

Il vient alors que

.

1 2 3 4 dé 1

1 2 3 4 5

2 3 4 5 6

3 4 5 6 7

4 5 6 7 8

dé 2

D’où la loi de probabilité ci-contre :

Issue

Probabilité





5

Une urne contient 3 boules blanches et 12 boules noires, toutes indiscernables au toucher. On tire

successivement et avec remise 3 boules de l’urne. Quelle est la probabilité d’obtenir 3 boules blanches au terme

des 3 tirages ?

Rappel : Schéma de Bernoulli

Un schéma de Bernoulli d’ordre est une répétition de épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

L’expérience aléatoire qui consiste à tirer une boule de l’urne et à observer si la boule tirée est blanche peut être

modélisée par une épreuve de Bernoulli ayant pour succès l’événement « la boule extraite de l’urne est

blanche » et pour échec l’événement « la boule extraite de l’urne est noire ».

Comme les 3 boules blanches et les 12 boules noires ne sont pas discernables au toucher, la situation est

équiprobable et chaque boule a 1 chance sur 15 d’être tirée de l’urne. On dénombre 3 boules blanches parmi le

lot de 15 boules donc la probabilité d’obtenir une boule blanche est donnée par

.

On tire successivement et avec remise 3 boules de l’urne. Cette expérience aléatoire est la répétition de 3

épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de paramètre

. Autrement dit, l’expérience est un

schéma de Bernoulli d’ordre . Par conséquent, la probabilité d’obtenir 3 boules blanches au terme des 3 tirages

est égale à

.

Remarque importante : Si les tirages ont lieu sans remise, il ne s’agit plus d’un schéma de Bernoulli car les

expériences répétées ne sont plus ni identiques, ni indépendantes.





6

On fait tourner deux fois de suite la roue ci-contre,

parfaitement équilibrée, et dont les secteurs colorés

sont représentés par une même aire.

Représenter l’expérience à l’aide d’un arbre pondéré.

L’expérience aléatoire qui consiste à faire tourner la roue ci-dessus et à observer la couleur du segment obtenu

peut être modélisée par une épreuve de Bernoulli ayant pour succès l’événement « le segment est vert » et

pour échec l’événement « le segment est gris ».

Les 8 secteurs colorés sont tous de même aire et la roue est parfaitement équilibrée. Par conséquent, on a une

situation d’équiprobabilité : chaque segment a 1 chance sur 8 d’apparaître.

On dénombre 3 secteurs verts parmi les 8 secteurs colorés, donc la probabilité d’obtenir un segment de roue

vert est donnée par

. En outre, la probabilité d’obtenir un segment de couleur grise est donnée par

.

On fait tourner deux fois de suite cette roue, ce qui correspond à la répétition de deux épreuves de Bernoulli,

identiques et indépendantes. Ce schéma de Bernoulli d’ordre 2 et de paramètre

peut être représenté par

l’arbre de probabilité suivant :

succès

succès

échec

échec

succès

échec





7

Un questionnaire à choix multiples (QCM) comporte 10 questions. Pour chacune d’elles, quatre réponses sont

proposées dont une seule correcte. Un élève répond au hasard à chaque question du QCM. On note le nombre

de réponses correctes qu’il a données. Préciser la loi de probabilité suivie par .

Rappel : Loi binomiale de paramètres et

Soit un schéma de Bernoulli d’ordre , répétition de épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de

même paramètre , et soit la variable aléatoire qui associe à cette répétition de épreuves le nombre de

succès. La loi de probabilité de est alors appelée loi binomiale de paramètres et et est notée .

Le choix aléatoire d’une réponse à une question peut être modélisé par une épreuve de Bernoulli ayant pour

succès l’événement « la réponse choisie est la réponse correcte » et pour échec l’événement « la réponse

choisie est une réponse erronée ». A chaque question sont proposées 4 réponses, dont une seule correcte. Ainsi,

.

L’élève répond au hasard à chacune des 10 questions du QCM donc il y a répétition de 10 épreuves de

Bernoulli identiques et indépendantes. Autrement dit, l’expérience décrite est un schéma de Bernoulli d’ordre

.

La variable aléatoire prend pour valeur le nombre de réponses correctes, c’est-à-dire comptabilise le nombre

de succès ; suit donc la loi binomiale de paramètres et

.





8

A l’aide d’un arbre, calculer les quatre nombres suivants :

Rappel : Coefficient binomial

On représente à l’aide d’un arbre un schéma de Bernoulli, répétition de épreuves de Bernoulli identiques et

indépendantes. Pour tout entier tel que , le nombre de chemins réalisant succès est noté et

appelé coefficient binomial.

En considérant l’arbre ci-contre, correspondant à la

répétition de 3 épreuves de Bernoulli identiques et

indépendantes, on dénombre chemins.

Ces chemins sont : « succès-succès-succès »,

« succès-succès-échec », « succès-échec-succès »,

« succès-échec-échec », « échec-succès-succès »,

« échec-succès-échec », « échec-échec-succès »,

« échec-échec-échec ».

Un seul chemin réalise 3 succès ; il s’agit du

chemin « succès-succès-succès ».

On a donc .

succès

succès succès

échec

échec succès

échec

échec

succès succès

échec

échec succès

échec

succès

succès succès

échec

échec succès

échec

échec

succès succès

échec

échec succès

échec





9

Trois chemins réalisent 2 succès ; il s’agit des chemins « succès-succès-échec », « succès-échec-succès » et

« échec-succès-succès ». On a donc .

Trois chemins réalisent 1 succès ; il s’agit des chemins « succès-échec-échec », « échec-succès-échec » et

« échec-échec-succès ». On a donc .

Un seul chemin réalise 0 succès ; il s’agit du

chemin « échec-échec-échec ».

On a donc .

succès

succès succès

échec

échec succès

échec

échec

succès succès

échec

échec succès

échec

succès

succès succès

échec

échec succès

échec

échec

succès succès

échec

échec succès

échec

succès

succès succès

échec

échec succès

échec

échec

succès succès

échec

échec succès

échec

succès

succès succès

échec

échec succès

échec

échec

succès succès

échec

échec succès

échec

succès

succès succès

échec

échec succès

échec

échec

succès succès

échec

échec succès

échec

succès

succès succès

échec

échec succès

échec

échec

succès succès

échec

échec succès

échec

succès

succès succès

échec

échec succès

échec

échec

succès succès

échec

échec succès

échec



10

Par convention, on pose . De plus, pour tous entiers et tels que et , on a :

1) Montrer que, pour tout entier non nul, on a :

2) Montrer que, pour tous entiers et tels que et , on a :

3) Calculer la somme suivante :

1)

Remarque (autre démonstration) : Il y a en effet un seul chemin qui ne réalise aucun succès.

Remarque (autre démonstration) : Il y a en effet un seul chemin qui ne réalise que des succès.

2)

Remarque (autre démonstration) : Il y a autant de chemins qui réalisent succès que de chemins qui

réalisent échecs, c’est-à-dire succès.

Autre remarque : On dit que les coefficients binomiaux sont symétriques.

Exercice 7 (3 questions) Niveau : moyen




11

Remarque importante (autre démonstration) : Cette égalité est également connue sous le nom de « formule

du triangle de Pascal », dont voici une autre démonstration (au programme).

On suppose et on considère l’arbre à répétitions d’une épreuve de Bernoulli.

Les chemins qui indiquent succès sont de deux types. D’une part, ceux qui indiquent succès lors des

premières répétitions ; il y en a donc . D’autre part, ceux qui indiquent les succès lors des

premières répétitions ; il y en a donc

.

chemins donnent succès en

répétitions, c’est-à-dire

.

3)

correspond au nombre de chemins réalisant 0 succès dans un schéma de Bernoulli d’ordre . De même,

correspond au nombre de chemins réalisant 1 succès dans un schéma de Bernoulli d’ordre etc. Par

conséquent, la somme considérée correspond au nombre de chemins réalisant 0 succès, 1 succès, … et succès,

soit toutes les branches de l’arbre 1 fois et 1 seule chacune. Comme l’arbre dispose de branches, la somme

considérée vaut .

Autrement dit,

.

Remarque importante (autre démonstration) :

On peut également montrer cette égalité en utilisant

la formule du binôme de Newton. En effet, on a :

Rappel : Formule du binôme de Newton

Pour tous réels et et pour tout entier naturel

non nul, on a :



12

Une usine fabrique des composants électroniques dont 5% présentent des défauts. On considère un échantillon

de 200 objets.

1) Quelle est la probabilité qu’aucun objet ne soit défectueux ?

2) Quelle est la probabilité qu’un seul objet soit défectueux ?

3) Quelle est la probabilité qu’au plus 3 objets soient défectueux ?

Rappel : Probabilité d’un événement avec la loi binomiale

Si est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres et ,

alors, pour tout entier tel que , .

Soit la variable aléatoire égale au nombre d’objets défectueux dans l’échantillon considéré. suit alors la loi

binomiale de paramètres et

.

1) Calculons la probabilité qu’aucun objet ne soit défectueux.

2) Calculons la probabilité qu’un seul objet soit défectueux.

3) Calculons la probabilité qu’au plus 3 objets soient défectueux.

Exercice 8 (3 questions) Niveau : facile




13

Un fabricant produit et vend 400 consoles de jeux par mois. Le coût de fabrication est de 160 € par machine. Le

fabricant fait réaliser un test de conformité, dans les mêmes conditions, sur chacun de ses objets fabriqués. Le

test est positif dans 93% des cas et une console de jeux reconnue conforme peut alors être vendue 290 €. Si le

test est en revanche négatif, la console de jeux est bradée au prix de 150 €.

1) On note la variable aléatoire qui indique le nombre de consoles de jeux conformes parmi les 400

produites. Calculer l’espérance de .

2) On note la variable aléatoire qui indique le bénéfice mensuel, exprimé en euros. Calculer l’espérance

de et interpréter le résultat.

Rappel : Espérance mathématique de la loi binomiale


alors l’espérance mathématique de , notée , est donnée par .

1) Calculons l’espérance de .

Le test de conformité est une épreuve de Bernoulli dont le succès est l’issue « la console de jeux est

conforme ». Le test est positif dans 93% des cas donc . On répète 400 fois cette épreuve de

Bernoulli dans les mêmes conditions d’indépendance. On définit ainsi un schéma de Bernoulli d’ordre 400.

La variable aléatoire indique le nombre de consoles de jeux conformes parmi les 400, c’est-à-dire le nombre

de succès au test de conformité. suit donc la loi binomiale de paramètres et . Il vient alors

que .

2) Calculons l’espérance de .

indique le nombre de consoles de jeux conformes. Par conséquent, le nombre de consoles de jeux non

conformes est donné par . Le prix de vente en euros est alors égal à , c’est-à-

dire à . En outre, le prix de revient des 400 consoles est égal à , c’est-à-dire à

euros. On en déduit le bénéfice mensuel en euros : .

En définitive,

.

Le fabricant peut donc espérer un bénéfice mensuel

de euros pour consoles de jeux.

Rappel : Linéarité de l’espérance mathématique

Soient et deux variables aléatoires définies sur

le même univers et soit une probabilité sur .

Pour tous réels et , on a :

Exercice 9 (3 questions) Niveau : moyen




14

On lance 50 fois un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6, truqué de telle sorte que la probabilité

de faire apparaître la face numérotée 6 soit supérieure à

. On compte le nombre de 6 obtenus. Quelle doit être

la valeur de pour que la variance de la loi de probabilité du nombre de 6 obtenus soit égale à 10 ?

Rappel : Variance de la loi binomiale


alors la variance de , notée , est donnée par .

Notons la variable aléatoire égale au nombre de 6 obtenus lors des 50 lancers du dé cubique. Les lancers étant

réalisés dans des conditions identiques et indépendantes, suit la loi binomiale de paramètres et .

On cherche ainsi à résoudre l’équation

Or, .

Posons le discriminant du trinôme du second degré , d’inconnue .

Alors .

donc le trinôme admet deux racines réelles distinctes :

Or,

et

donc

.

Le dé doit donc être truqué de telle sorte que la probabilité d’obtenir 6 soit égale à

.

Exercice 10 (1 question) Niveau : moyen




15

Une urne contient boules numérotées de 1 à . On tire au hasard, successivement et avec remise, boules de

l’urne, et on observe si, à chaque tirage, la boule tirée est numérotée ( entier compris entre 1 et ).

Ecrire un algorithme permettant de simuler cette expérience aléatoire.

1 VARIABLES

2 nb_boules_dans_urne EST_DU_TYPE NOMBRE

3 numero_boule_a_tirer EST_DU_TYPE NOMBRE

4 numero_boule_tiree EST_DU_TYPE NOMBRE

5 occurrence_boule_a_tirer EST_DU_TYPE NOMBRE

6 compteur EST_DU_TYPE NOMBRE

7 nb_tirages EST_DU_TYPE NOMBRE

8 DEBUT_ALGORITHME

9 AFFICHER "Nombre de boules contenues dans l'urne : "

10 LIRE nb_boules_dans_urne (On demande à l’utilisateur de préciser le nombre de boules contenues dans l’urne.)

11 AFFICHER nb_boules_dans_urne

12 AFFICHER "Nombre de tirages : "

13 LIRE nb_tirages (On demande à l’utilisateur de préciser le nombre de tirages à effectuer.)

14 AFFICHER nb_tirages

15 AFFICHER "Numéro de la boule à tirer : "

16 numero_boule_a_tirer PREND_LA_VALEUR floor(random()*nb_boules_dans_urne+1) (On lance un calcul

automatique et aléatoire afin d’obtenir un numéro de boule compris entre 1 et le nombre de boules contenues

dans l’urne ; la fonction random() renvoie un nombre réel entre 0 et 1 et la fonction floor renvoie la partie

entière d’un nombre.)

17 AFFICHER numero_boule_a_tirer

18 occurrence_boule_a_tirer PREND_LA_VALEUR 0

19 AFFICHER "Tirages obtenus : "

20 POUR compteur ALLANT_DE 1 A nb_tirages

21 DEBUT_POUR

22 numero_boule_tiree PREND_LA_VALEUR floor(random()*nb_boules_dans_urne+1) ) (A chaque tour de

boucle, on effectue un tirage aléatoire d’une boule dont le numéro est compris entre 1 et le nombre de boules

contenues dans l’urne )

23 AFFICHER numero_boule_tiree

24 SI (numero_boule_tiree==numero_boule_a_tirer) ALORS (Si le numéro de la boule tirée correspond au

numéro de la boule à tirer, alors on augmente d’une unité le nombre d’occurrences d’affichages de cette boule.)

25 DEBUT_SI

26 occurrence_boule_a_tirer PREND_LA_VALEUR occurrence_boule_a_tirer+1

27 FIN_SI

28 FIN_POUR

29 AFFICHER "Nombre d'occurrences de la boule portant le numéro "

30 AFFICHER numero_boule_a_tirer

31 AFFICHER " parmi les "

Exercice 11 (1 question) Niveau : moyen




16

32 AFFICHER nb_tirages

33 AFFICHER " tirages : "

34 AFFICHER occurrence_boule_a_tirer

35 FIN_ALGORITHME

Affichages obtenus après lancement du logiciel AlgoBox

***Algorithme lancé***

Nombre de boules contenues dans l'urne : 10

Nombre de tirages : 5

Numéro de la boule à tirer : 6

Tirages obtenus :

2 7 2 1 2

Nombre d'occurrences de la boule portant le numéro 6 parmi les 5 tirages : 0

***Algorithme terminé***





Tirages obtenus :

12 5 13 2 13 1 9

Nombre d'occurrences de la boule portant le numéro 13 parmi les 7 tirages : 2






Tirages obtenus :

4 3 1 1 2 2 5 2

Nombre d'occurrences de la boule numéro 1 parmi les 8 tirages : 2


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