Olympiades Lycée de physique Tillion - odpf.org€¦ · Une onde peut être visualisée par ... L’intensité sonore est l’énergie transportée par l’onde par unité de temps

�1LES FRACTALES CONTRE LE BRUIT

ALTOBELLI VincentBORDEREAU PhilémonCOURTOT LouDAS NEVES NoéGOFFETTE NilsALLEG Nora - Professeur encadrant

Olympiades de physique

Lycée Germaine

Tillion

Sain - Bel

Introduction En physique, le bruit est défini par une onde sonore apériodique. Dans un sens commun, il s’agit d’une sensation auditive désagréable voire gênante. L’excès de bruit et de nuisances sonores p e u v e n t e n g e n d r e r d e s d o m m a g e s physiologiques directs (problèmes auditifs dus à une surexposition) ou indirects (comme des troubles du sommeil ou du comportement) qui relèvent de troubles psychologiques. Lorsque l’on évoque les nuisances sonores, on p e n s e t r è s s o u v e n t a u x n u i s a n c e s comportementales (bruit du voisinage, musique dans les bars ou boîtes de nuit…) mais ces gênes-là ne concernent que 21% de la population française, alors que les nuisances liées aux transports concernent 54% de la population d’après une étude réalisée en mai 2010, par TNS SOFRES pour le Ministère du Développement Durable. Ce sujet devient une question de santé publique et intéresse les politiques : ainsi, des normes sont créées pour tenter de lutter contre ces nuisances le mieux possible. Aussi, les grandes agglomérations comme la métropole de Lyon doivent publier des cartes sonores permettant de mieux étudier l’origine des nuisances subies par les habitants. On constate ainsi la création d’indicateurs comme le Lden qui donne le niveau de bruit global enregistré pendant une journée qui permet de quantifier et de qualifier la gêne liée à l’exposition au bruit. Il se calcule à partir !!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!

!d’indicateurs (Lday, Levening, Lnight) qui représentent le niveau sonore moyen sur une période de la journée (6h-18h, 18h-22h et 22h-6h). C’est en novembre 2013 que la ville de Lyon publie sa cartographie du bruit en se concentrant sur le bruit du trafic routier. Cette carte permet de se rendre compte du rôle important des transports dans les nuisances sonores et vient appuyer les chiffres de l’étude précédemment évoqués. On y distingue, en rouge et violet les principaux axes routiers et autoroutiers Lyonnais. Ces figurés symbolisent des niveaux de bruits supérieurs à 60 dBA voire plus de 75 dBA, ce qui est élevé. On estime à 12% de la population française, les personnes exposées à un seuil supérieur à 65 dBA. Ces taux sont proches du seuil de risque pour l’organisme qui se situe environ à 80 dBA et ils constituent un danger permanent pour les populations ; c’est pourquoi la législation impose certaines règles.

Ainsi les constructeurs d’infrastructures pour les transports, notamment pour les autoroutes, doivent protéger les bâtiments existants contre les bruits de circulations selon les limites en vigueur. Deux catégories se dégagent alors : dans les zones initialement peu exposées au bruit, le maximum autorisé est de 60 dBA le jour et de 55 dBA la nuit. D’autre part, dans des zones pré-exposées (c’est-à-dire des zones initialement exposées à de tels niveaux de bruit), les limites sont de 65 dBA le jour et 60 dBA la nuit. Prenons toujours l’exemple de Lyon : ces valeurs sont en moyenne dépassées c’est pourquoi il y a un besoin de créer des infrastructures pour camoufler ou au moins atténuer un maximum ces bruits. C’est en 2004 que Bernard Sapoval met en place un mur anti-bruit s’approchant d’un mur fractal. Ce mur permet d’absorber les ondes sonores cinq fois plus efficacement qu’un mur anti-bruit classique. Nous nous intéresserons donc à la mise en place de ce type de mur aux abords des autoroutes. Nous allons également étudier différents matériaux aux propriétés absorbantes et nous nous demanderons quelles sont les propriétés qui font d’un mur fractal un des murs les plus efficaces pour contrer le bruit. !!!!!!!!!!!


Illustration n°1 Cartographie du bruit routier à

proximité de la ville de Lyon Indicateur : Lden Données : 2010

!Résumé !

La pollution sonore est un phénomène acoustique qui a des conséquences directes sur la santé des personnes environnantes. Problème d’actualité dans un contexte d’expansion du domaine routier générateur de nuisances sonores, les moyens pour pallier ce problème sont disséqués par les sc ien t i f i ques dans la conception de murs anti-bruits. Nous commencerons par étudier les caractéristiques physiques de l’onde sonore. Par la suite, nous nous intéresserons au fonctionnement général d’un mur anti-bruit ainsi qu’aux principes de l ’ isolat ion acoustique. Enfin, nous constaterons que le choix du matériau contribue à maximiser l’absorption, mais ne fait pas tout. Pour augmenter la zone de contact des ondes à la surface du matériau, c’est l’aspect de celle-ci qu’il faut prendre en compte : et c’est là que la géométrie fractale intervient… !


!!Introduction 2 Résumé

3

I - Les nuisances sonores, une perturbation physique du milieu 5

1- Qu’est-ce qu’une onde sonore ? 5

2 - Quelques caractéristiques principales des ondes sonores 5

A - La fréquence, grandeur caractéristique d’une onde 5

B - La double périodicité des ondes sonores 5

3 - Propriétés des ondes sonores 6

A - Intensité sonore 6

B - Le niveau sonore : une nouvelle grandeur physique 6

II - Comment fonctionne un mur anti-bruit ? 8

1 - Fonctionnement général d’un mur anti-bruit 8

2 - Caractéristiques de l’isolation acoustique 8

A - Différence fondamentale entre isolation et absorption 8

B - Caractérisation des capacités acoustiques d’un matériau 8

C - Principes physiques de l’isolation acoustique : réflexion, absorption, transmission et diffraction 9

3 - Mesures d’absorption acoustique à partir de matériaux usuels

10

A - Etude du phénomène de transmission 10

B - À l’aide d’un tube de Kundt 11

III - L’efficacité de la forme fractale 14

1 - Mesures d'absorption des matériaux en fonction de leur forme 14

A - Présentation du tube à ondes stationnaires à 2 microphones 14

C - Déroulement de la mesure 15

D - Calcul du coefficient d’absorption 15

2 - Réalisation de l’expérience 15

3 - Une piste d'explication de l’efficacité du mur : la théorie des résonateurs 18

4 - Le gain de surface de la forme fractale 19

Modélisation 19

Conclusion 20 Annexes 21

Remerciements 21

Sitographie 21

Démonstration mathématique 22

Mesurer un coefficient d’absorption à partir de la réflexion 26

Le rôle du volume de matériau dans l’absorption acoustique 27


I - Les nuisances sonores, une perturbation physique du milieu Pour comprendre l’intérêt d’un mur fractal dans la réduction des nuisances sonores aux abords d e s a u t o r o u t e s , n o u s a l l o n s é t u d i e r premièrement étudier la nature et les caractérist iques principales des ondes acoustiques avant de nous intéresser plus particulièrement à certaines de leurs propriétés. !Les nuisances sonores peuvent être assimilées à des ondes sonores. !1- Qu’est-ce qu’une onde sonore ? !

Les ondes sonores sont des ondes mécaniques progressives ; il s’agit donc d’un phénomène de propagation de proche en proche d’une perturbation caractérisée par une vibration des molécules du milieu autour de leurs positions d’équilibre. Les molécules s'entrechoquent entre elles (elles subissent de faibles variations de pression). Ainsi, la perturbation est transmise sous forme de micro-déplacements et les molécules retrouvent leur position initiale une fois la perturbation passée. Par conséquent c'est une propagation avec transport d’énergie mais sans transport de matière, nécessitant un milieu matériel pour se propager. Ce sont des ondes dites « à trois dimensions » : en effet, elles se propagent dans toutes les directions de l’espace. Une onde sonore est une succession de compressions / dilatations du milieu (air, …), comme le montre le schéma ci-après. !!!! !!!!!Les éléments du milieu de propagation, qui sont les molécules d’air, se déplacent alors selon une direction parallèle à la direction de propagation de l’onde, on parle d’onde longitudinale. ! !!!!

2 - Quelques caractéristiques principales des ondes sonores !

A - La fréquence, grandeur caractéristique d’une onde !Comme toutes les ondes, les ondes sonores sont caractérisées par leur fréquence, notée � , exprimée en Hertz (Hz). L’oreille humaine perçoit les ondes sonores de fréquences comprises entre 20 et 20 000 Hz. Ces valeurs, données à titre indicatif, peuvent varier d’un individu à l’autre et selon l’âge. En effet, les personnes jeunes perçoivent d’une manière générale mieux les sons aigus que les personnes âgées. !!!!!!!!!!!!Ce schéma rend bien compte de l’étendue du domaine de l’audible ainsi que des domaines des infrasons et ultrasons. !B - La double périodicité des ondes sonores !Une onde peut être visualisée par un signal ; si celui-ci est composé de motifs qui se répètent identiques à eux-mêmes au cours du temps, on parle alors de signal périodique et la période étudiée est alors la période temporelle, notée � , exprimée en seconde. La période temporelle est l’inverse de la fréquence (exprimée en Hertz) : !!On appelle période spatiale, notée � , exprimée en mètre, la plus petite distance séparant deux points du milieu de même état vibratoire, ou la plus petite distance au bout de laquelle la perturbation se reproduit identique à elle-même. !!!!

f

T

λ


Schéma n°1 Mouvements d’un milieu lors de la propagation d’une onde sonore

Schéma n°2 Ressenti de la hauteur du son en fonction de sa fréquence par

l’oreille humaine

T = 1f

Intensité sonore = ÉnergieDurée × Surface

= PuissanceSurface

I - Les nuisances sonores, une perturbation physique du milieu

!!!!!!!!!!!!!!!!Schéma n°3

Période spatiale et temporelle !Des points sont dits « en phase » s’ils sont dans le même état vibratoire au même instant, ils sont alors séparés par un multiple de la longueur d’onde. A l’inverse des points sont dits en opposition de phase s’ils sont séparés par un nombre impair de demi-longueurs d’ondes. On distingue alors les sons des bruits : les sons correspondent à des signaux périodiques tandis que les bruits correspondent à des signaux apériodiques. !

3 - Propriétés des ondes sonores !On distingue deux grandes propriétés, en plus de la hauteur et du timbre d’un son que nous ne détaillerons pas. Les ondes sonores sont aussi caractérisées par leur intensité et leur niveau sonore. Cet aspect des ondes sera très important pour la compréhension des nuisances sonores aux abords des réseaux routiers. !A - Intensité sonore ! L’intensité sonore est l’énergie transportée par l’onde par unité de temps et de surface ; il s’agit donc d’une puissance surfacique, ce qui explique que plus nous sommes proches de la source sonore plus l’intensité est élevée. L’intensité sonore est exprimée en W.m-2 ; la puissance en W et la surface en m². L’étendue des intensités sonores audibles par l’Homme est très grande et s’étend de 1,0x10-12 W.m-2, qui est le seuil d’audition, à 1,0 W.m-2 qui correspond au seuil de douleur. L’intensité sonore est une grandeur additive. !!!!

B - Le niveau sonore : une nouvelle grandeur physique !Afin d’avoir des valeurs davantage fidèles au ressenti de l’oreille humaine (quand l’intensité sonore double, on ne ressent pas un volume sonore doublé), les physiciens ont inventé une nouvelle grandeur physique : le niveau sonore. Celui-ci est relié à l’intensité sonore du milieu � et l’intensité de référence (soit 1,0x10-12 W.m-2) permettant de prendre en compte le seuil d’audibilité. Cette grandeur, notée � (pour « level » en anglais), est exprimée en décibels acoustiques dBA. On peut la mesurer à l’aide d’un sonomètre et la calculer par la relation : !

avec en dBA et et en W.m-2. On peut donc calculer l’intensité � grâce à la relation : A partir de là on estime que le seuil de risque pour l’oreille humaine est de 85 dBA quand le seuil de danger est de 90 dBA, et le seuil de douleur est quant à lui de 120 dBA. Rappelons qu’à proximité des réseaux autoroutiers il est courant d’avoisiner des niveaux sonores allant de 65 à plus de 75 dBA. On considère que le bruit d’une automobile a un niveau sonore de 80 dBA à proximité de la route. La sensibilité de l’oreille humaine dépend de la fréquence de l’onde sonore à niveau sonore égal. Un diagramme permet d’obtenir des courbes, dites d’isotonie, c’est-à-dire des courbes pour lesquelles les ondes sonores sont perçues avec la même intensité. Ce diagramme est le diagramme de Fletcher. !!!!!!!!!!!!!!!!!On voit alors que l’oreille humaine est très sensible aux fréquences comprises en 2000 et 4000 Hz et significativement moins aux fréquences inférieures à 500 Hz. En effet un niveau sonore inférieur au 0 dBA, arbitrairement

II0

L

L I I0I


L = 10 log( II0)

I = I0 ×10L10

Graphique n°1 Diagramme de Fletcher

défini, (environ -10 dBA), est presque audible à une fréquence 3000 Hz alors qu’il faut à 100 Hz un niveau sonore d’environ 40 dBA pour être audible. !Finalement on constate que les nuisances sonores sont, en physique, des ondes dont les propriétés fondamentales doivent être étudiées afin de développer des outils permettant de réduire leur propagation. Elles ont des caractéristiques spécifiques comme l’intensité sonore dont l ’é tude permet de mieux appréhender l’origine de la gêne occasionnée par leur propagation. En observant les valeurs atteintes par le niveau sonore aux abords des autoroutes, on comprend à quel point il est nécessaire d’agir contre la pollution sonore créée par les transports qui ne cesse de croître. De nombreux modèles de murs anti-bruit ont été mis au point afin d’améliorer les conditions de vie des populations. On a ainsi vu apparaître au cours du temps des matériaux de plus en plus absorbants et isolants dont nous étudierons quelques exemples. D’autres murs misent sur leur structure pour réduire le bruit ; c’est le cas de murs végétalisés, mais aussi d’un nouveau type de mur mis au point par Bernard Sapoval : le mur fractal. Ingénieur diplômé de l’Ecole Supérieure de Physique et de Chimie Industrielle de la ville de Paris, Bernard Sapoval travaille en tant que directeur de recherche au CNRS et à l’ENS de Cachan. Le mur antibruit est directement dérivé de la physique des fractales, ces formes géométriques qui se répètent infiniment à une échelle de plus en plus petite. La géométrie du mur est particulière : on peut y voir plusieurs pavés et cylindres, parfois extrudés, comme le montre le schéma sur la page de droite. Le mur tire une grande partie de son efficacité de la forme fractale qu’il adopte : en effet, même si ce n’est pas forcément visible, il présente une multitude de trous cylindriques de différents diamètres et c’est pour cette raison qu’il peut être qualifié de fractal. Nous reparlerons par la suite des caractéristiques et des avantages que propose cette organisation. !!!!!!!!! !!!!

! !!!!!!!!!!!!!!!!!!

Schéma n°4 Allure générale du mur fractal !

De plus, le matériau joue aussi un grand rôle : les panneaux sont réalisés en béton-bois, un mélange de 35% de ciment et 65% de copeaux de pin Douglas de 1,5 cm de long pour quelques millimètres d’épaisseur. Des tests menés en chambre réverbérante ont prouvé que non seulement le panneau se trouve dans la catégorie « très haute absorption », mais son indice d’absorption (DL-Alpha) culmine à 17 sur une échelle de 0 à 20, quand les produits équivalents du marché se situent à moins de 13. Ses performances sont maximales pour les fréquences comprises entre 200 Hz et 500 Hz, qui correspondent au bruit des camions. À nouveau, nous reparlerons par la suite de l’avantage présenté par le matériau.


Illustration n°2 Photographie du mur fractal

II - Comment fonctionne un mur anti-bruit ? !!!!1 - Fonctionnement général d’un

mur anti-bruit !Un mur anti-bruit allie à la fois isolation et absorption acoustique pour réduire au mieux les nuisances sonores. Le mur fractal est constitué de deux couches : !!!!!!!!!!!!!!!! !!!!La première couche dite absorbante est positionnée avec la surface fractale face à l’autoroute (ou face à la source de nuisances sonores en général). Son rôle est d’absorber toute l’énergie acoustique de l’onde incidente (1), ou plus communément d’absorber tout bruit ou son la traversant. Derrière elle, la couche dite isolante a pour but de renvoyer le son, d’empêcher le son de le traverser pour que l’onde transmise (3) soit minimale. De plus, après réflexion l’onde se retrouve une fois de plus dans la couche absorbante. Ainsi l’onde finale réfléchie (2) est minime voire inexistante. L’utilisation de ces deux couches permet de réduire efficacement l’intensité du son incident. !!!!!!!!!! !

!!!!2 - Caractéristiques de l’isolation

acoustique !A - Différence fondamentale entre isolation et absorption !Différencions deux phénomènes souvent confondus en acoustique, l ’ isolation et l’absorption. On parle d’isolation quand on cherche à réduire le plus possible la propagation d’ondes sonores : c’est le cas du mur anti-bruit par exemple, où l’on cherche à limiter au maximum la présence de bruit de l’autre côté du mur. D’autre part, l’absorption acoustique n’est qu’un paramètre de l’isolation : il s’agit de la réduction de l’intensité de l’onde sonore par passage dans un milieu absorbant. C’est principalement le cas dans l’immobilier où l’essentiel de l’isolation a lieu par absorption (exemples de matériaux fortement absorbants : laine de verre, de roche, etc.). !B - Caractérisation des capacités acoustiques d’un matériau !Plusieurs indices permettent de caractériser un matériau : !• Le plus utilisé en architecture est le coefficient

d’absorption acoustique. Ce dernier, désigné par la lettre � , est le rapport de l’intensité acoustique qui n’est pas réfléchie � sur l’intensité acoustique incidente � . Ce coefficient ne possède pas d’unité. Il est compris entre 0 (absorption nulle) et 1 (absorption totale). !!!

• L’aire d’absorption équivalente, notée A, à savoir la surface du matériau nécessaire pour absorber entièrement une onde (� ). Dans une pièce fermée, ce coefficient peut être considéré comme la somme de chaque surface élémentaire de cette dernière au facteur de leur coefficient d’absorption, comme le montre sa formule : !!!

� !

αIaI0

α = 1


II - Comment fonctionne un mur anti-bruit ?

Schéma n°5 Principe de l’isolation acoustique par un mur anti-bruit

α = IaIo

A = Siα ii=1

N

∑

avec � en mètres carrés, � une surface élémentaire en mètres carrés et � son coefficient d’absorption sans unité. !

• Le temps de réverbération noté � , correspond au temps de prolongation d’un son après arrêt de la source sonore. Cet indice est utilisé principalement pour les salles de spectacle, car il dépend de la forme et du volume de la salle étudiée et du coefficient d’absorption acoustique du matériau des parois pour une fréquence donnée. Plusieurs formules permettent de déterminer cet indice à l’aide des deux indices cités précédemment. Nous nous focaliserons sur deux d’entre elles : celle de Sabine et celle d’Eyring. Par exemple la formule de Sabine : !!!!avec � en secondes, � en mètres cubes, � en mètres carrés et � une constante environ égale à 0,163 s.m-1. Cette formule ne modélise précisément le temps de réverbération que lorsque l’on travaille avec des matériaux ayant un coefficient d’absorption inférieur à 0,3. On utilisera par conséquent la formule d’Eyring pour des � plus élevés (qui nous ramène toutefois à la formule de Sabine pour de faibles va leurs de � avec l ’ approx imat ion� ) : !!!!

C - Principes physiques de l’isolation acoustique : réflexion, absorption, transmission et diffraction !a - Réflexion !D’une manière générale, l’onde sonore réfléchie par un matériau suit les mêmes lois qu’une onde réfléchie en optique. Les rayons incident et réfléchi forment un même angle avec la normale à la surface d’incidence. Il faut aussi concevoir que l’amplitude de l’onde réfléchie dépend du coefficient de réflexion de la surface d’incidence, qui dépendent du matériau. Des matériaux très lourds, comme le béton, sont très réfléchissants mais peu absorbants : c’est la loi de masse. L’amplitude de l’onde réfléchie est alors presque équivalente à celle de l’onde absorbée. !!!!!

b - Absorption !L’absorption d’un matériau dépend de plusieurs facteurs, notamment de son type et de son épaisseur, ainsi que de la fréquence de l’onde que l’on cherche à absorber. On en distingue trois principaux : !• Les matériaux poreux ou fibreux, qui

permettent à l’onde de pénétrer à l’intérieur, tout en engendrant des frottements, des déplacements de fibres qui témoignent d’un transfert d’énergie et donc d’une baisse de l’intensité sonore. !

• Les plaques et les membranes, des boîtes vides, qui contiennent de l’air qui va pouvoir alors se déformer. Ce phénomène peut être assimilé à un phénomène de masse-ressort, l’absorption qui en résulte est donc sélective : la fréquence absorbée est égale à la fréquence de résonance du matériau. !

• Les résonateurs, dont nous reparlerons plus tard. !

Par rapport au mur fractal de Bernard Sapoval, on voit que le choix du béton de bois comme matériau est judicieux : il permet de combiner un matériau fibreux et une plaque, présentant une meilleure absorption sur la gamme des fréquences moyennes et basses. !c - Transmission !La transmission d’une onde a lieu lorsque la réflexion et l’absorption de l’onde par le matériau n’arrivent pas à supprimer toute son énergie. Utilisons l’exemple du punching-ball pour comprendre ce principe de transmission. Lorsque l'on va venir frapper ce dernier, notre poing va venir s'écraser sur sa surface, et plusieurs phénomènes vont alors avoir lieu : !• Une partie de l'énergie de notre coup de poing

va nous être renvoyée, l'énergie est réfléchie • Une partie va être absorbée par les tissus

mous de notre poing et du punching-ball • Tout le reste de l'énergie va être transmis au

punching-ball, ce dernier va alors osciller !A l'aide de cet exemple, on conjecture alors que la transmission dépend de l'absorption du matériau, de la capacité de réflexion du matériau, mais également de sa masse. En effet, plus un objet est lourd, plus il faut lui transmettre d'énergie pour le faire se mouvoir. La transmission acoustique se déroule de la même manière : les ondes vont venir s'écraser contre le matériau, une partie de leur énergie

A Siα i

T

T V Ak

α

αln(x) ≈ x −1


T = k.VA

T = k.V−S ln(1−α )

sera réfléchie, une autre absorbée et le reste va se transmettre au mur, qui va alors vibrer, et donc devenir à son tour une source d'émission. !d - Diffraction !On observe une diffraction lorsqu’une onde rentre en contact avec un obstacle ou une ouverture dont la taille est égale ou inférieure à celle de la longueur d’onde. Ce phénomène est important en acoustique : prenons par exemple le cas de notre mur fractal. Ce dernier présentant une surface accidentée (liée aux matériaux ou à la construction), lorsqu’un rayon sonore ayant une longueur d’onde similaire à la taille des irrégularités va venir se heurter contre ces dernières, il va se scinder en plusieurs rayons de plus faible intensité. Si les rayons produits gardent un sens assez proche du rayon incident, on parlera de diffraction ; lorsque les rayons produits ont un sens quasiment opposé à celui du rayon incident, on parle alors de diffusion. Les rayons diffractés ou diffusés perdent en intensité, ce qui constitue un avantage pour ce qui est de réduire le volume sonore. De même, les rayons réfléchis peuvent créer des interférences qui peuvent permettre de réduire le niveau sonore en un point. !e - Précision sur les calculs des capacités d’absorption et de réflexion des matériaux Au final, on peut écrire la relation suivante : !!Avec � l’intensité de l’onde incidente, et � , � , et � les intensités absorbée, réfléchie, et transmise. Dans la plupart des mesures acoustiques, on essaye de réduire au maximum l’intensité transmise afin de considérer l’intensité absorbée par exemple comme la différence de l’intensité de l’onde incidente par rapport à l’intensité de l’onde réfléchie. !

3 - Mesures d’absorption acoustique à partir de matériaux

usuels !A - Etude du phénomène de transmission !Comme nous l’avons vu précédemment, l’absorption des ondes sonores par un matériau est un des facteurs d’isolation acoustique. Le but de cette expérience est de mettre en évidence l’opacité sonore de certains matériaux. !

Pour cela, nous réalisons le montage suivant ; le sonomètre permettant de mesurer le niveau sonore. !! !!!!!!!!!!!

Illustration n°3 Montage de l’expérience d’isolation acoustique de matériaux usuels !Nous réalisons une série de mesures de niveau sonore en faisant varier les fréquences du son émis par le GBF, par bandes d’octave entre 32 Hz et 8 192 Hz. De plus, nous plaçons un échantillon de divers matériaux entre l’émetteur et le récepteur (sonomètre), afin de tester leur capacité absorbante. L’expérience sera réitérée pour chaque matériau ainsi que pour un témoin (pas d’obstacle). La valise est bien entendu fermée pour chaque mesure. Nous réglons le GBF pour une tension de 13,5 V alternative, produisant un signal sonore sinusoïdal. On travaille volontairement avec un son d’intensité élevée afin de limiter les imprécisions liées au sonomètre. !Voici la représentation graphique de l’atténuation (� ), en décibels acoustiques, en fonction de la fréquence en Hertz : !!!!!!!!!!!!!!! !

Graphique n°2 Atténuation du niveau sonore transmis entre chaque matériau et le

témoin, en fonction de la fréquence du son émis !Nous pouvons tirer plusieurs informations de ce graphique :

I Ia IrIt Ltransmise du matériau − Ltémoin


I = Ia + Ir + It

Matériau polyphone

!- Premièrement, on constate bien que

l’isolation acoustique des matériaux dépend de la fréquence du son émis. De manière générale, elle est plus importante pour les fréquences élevées comme le montre le graphique n°2. De plus, on observe pour le bois et le plâtre un pic d’efficacité pour les fréquences comprises entre 256 et 1024 Hz. !

- De manière générale, on constate que le bois ou le plâtre ont un degré d’absorption supérieur aux autres matériaux. En cela ils constituent des matériaux plus intéressants dans un cadre d’isolation acoustique. Pour ce qui est du bois, son efficacité en terme d’isolation acoustique est explicitée par la loi de masse : plus une paroi simple est massive, plus l’atténuation est élevée. Les performances du béton de bois sont relativement élevées dans les basses fréquences, cependant son isolation est plus faible à partir de 1024 dBA. C’est un matériau théoriquement très performant : le béton est là pour assurer le principe de masse et dans certains cas le bois peut même jouer le rôle de ressort : en effet, dans l’isolation domestique on utilise souvent la technique masse-ressort-masse (deux couches denses avec au milieu une couche flexible) qui assure de hautes performances. !

- De plus, on constate que le plâtre, le bois et le béton-bois présentent des fréquences critiques à 128 et surtout à 2048 Hertz, c’est-à-dire des fréquences pour lesquelles leur isolation est plus faible. Celle-ci dépend du type de matériau, de son épaisseur et de sa résistance à la flexion (déformations de l’onde sonore) : ce qui explique qu’elles se trouvent à la même fréquence, le plâtre et le bois ayant une rigidité avoisinant celle du béton-bois. !

- Néanmoins, diverses sources d’imprécisions sont à remettre en cause, comme l’épaisseur de l’échantillon qui a pu légèrement varier (� ) ou l’étalonnage du sonomètre. !

B - À l’aide d’un tube de Kundt !Afin de mesurer l'absorption des ondes sonores de différents matériaux et différentes structures de surface, nous avons réalisé des mesures avec un tube de Kundt, dont le principe repose sur les ondes stationnaires. Nous allons donc décrire dans ce qui suit ce que sont les ondes stationnaires, le principe du tube de Kundt, puis comment ce lu i -c i permet de mesurer l'absorption d'ondes sonores.

!a - Les ondes stationnaires !Lorsque deux ondes progressives sinusoïdales de même longueur d'onde se propagent dans une même direction en sens opposé, il en résulte une onde de caractéristiques particulières. !On peut décrire les deux ondes progressives sinusoïdales par une fonction sinus dépendant de la position et du temps. Pour la première onde par exemple : !!avec : !• t le temps en s • A l'amplitude de l'onde en m

• la pulsation en rad.s-1, c'est-

à-dire la composante temporelle de l'onde

• le nombre d'ondes en m-1 avec λ la

longueur d'onde !L'onde se propageant en sens opposé est décrite par : !!L'onde résultant de ces deux ondes est décrite par la somme de ces deux fonctions, soit : !!Lorsque l’onde réfléchie n'a pas la même amplitude que l'onde incidente (c'est souvent le cas dans le tube de Kundt car une partie de l’intensité sonore est absorbée), on considère la formule énoncée précédemment. En revanche, si l’onde est entièrement réfléchie, alors on peut observer � et la formule de l ’onde résultante est alors : ! Cette onde n'est pas une onde progressive, mais une onde stationnaire. Elle est formée d'une succession de ventres et de nœuds. Les ventres correspondent aux positions d'amplitude maximale, soit lorsque � !Or � . Les positions d'amplitude

maximale sont séparées d'une distance � .

!Les nœuds correspondent aux positions d'amplitude minimale, soit lorsque � . !

Δe ≈10−3m

ω = 2π f = 2πT

k = 2πλ

A = A '

cos(kx) = 1

k = ωc= 2π

λλ2

cos(kx) = 0


y1(x,t) = Asin(ωt + kx)

y2 (x,t) = A 'sin(ωt − kx)

y(x,t) = Asin(ωt + kx)+ A 'sin(ωt − kx)

y(x,t) = Acos(kx)sin(ωt)

!!!!!!!!Schéma n°6

Onde stationnaire !Schéma d'une onde stationnaire : en bleu, l'onde incidente ; en rouge, l'onde réfléchie ; en noir, la résultante des deux ondes. Le point N est un nœud et le point V un ventre. !b - Le tube de Kundt !Le fonctionnement du tube de Kundt repose sur les ondes stationnaires. Il s'agit d'un tube sonore, rempli d'air, fermé par un échantillon. Un haut-parleur à une extrémité du tube émet une onde sonore périodique sinusoïdale. Cette onde est réfléchie sur la paroi à l'extrémité du tube. L'onde réfléchie a la même longueur d'onde que l'onde émise par le haut-parleur, mais son amplitude est moindre puisque l'onde a été en partie absorbé par l'échantillon. La progression en sens inverse de l'onde incidente et de l'onde réfléchie donne donc naissance à une onde sonore stationnaire. À noter que plus le tube est fin, plus il est précis dans les hautes fréquences, et inversement. L'amplitude de cette onde stationnaire dépend de l'amplitude de l'onde incidente, connue, et de l'amplitude de l'onde réfléchie. Il est possible de mesurer cette amplitude grâce à une ou plusieurs sondes microphoniques positionnées dans le tube. Or l'amplitude de l'onde réfléchie dépend du comportement du matériau situé à l'extrémité du tube vis-à-vis de l'onde sonore incidente. !c - Mesure de la pression à l’intérieur du tube !Le microphone utilisé dans le tube à ondes stationnaires est un microphone électrostatique à électret. La transformation des variations de pression (du son) en signal électrique est réalisée par un condensateur. Il s’agit d’un composant électronique constitué de deux armatures séparées l’une de l’autre. Dans un circuit électrique, le condensateur a la capacité de se charger en énergie électrique. Or la capaci té d ’un condensateur dépend notamment de la distance qui sépare les deux

armatures, d’après la relation � avec � la

capacité du condensateur (en Farads noté F), � la permittivité du diélectrique qui sépare les deux armatures (en F.m-1) et la distance entre les deux armatures en mètres. Ainsi, dans le cas du microphone à électret, la membrane a le rôle d’une des deux armatures. Lorsqu’elle vibre, la distance entre les deux armatures va varier et donc faire varier la capacité du condensateur. Cela provoque une différence de potentiel au niveau de la résistance qu’on utilise pour former le signal électrique résultant de la conversion de la vibration sonore. !!!!!!!!!!!!!

Schéma n°7 Fonctionnement du microphone électrostatique !

En présence d’ondes stationnaires dans le tube il y a formation des nœuds et ventres de déplacement : il s’agit de points au niveau desquels la vibration est respectivement nulle –le point est immobile- et maximale. Quand la vibration des couches d’air est maximale, il y a peu de molécules, par conséquent la pression est minimale : c’est pourquoi à un ventre de vibration on associe un nœud de pression. Inversement, lorsque la vibration des couches d’air est minimale, il y a énormément de molécules au même endroit, la pression est maximale : un nœud de vibration correspond donc à un ventre de pression. Nous avons vu que le microphone était sensible aux variations de pression grâce aux vibrations de la membrane. Ainsi, lorsqu’il y a un ventre de pression, donc que la pression est grande, il y a beaucoup de particules. La membrane est alors « reculée » et la distance � entre les deux armatures diminue. D’après la relation précédemment énoncée si � diminue alors � , la capacité du condensateur, augmente. Or d’après la formule � , avec � la tension en volts et � la charge stockée sur la borne positive du condensateur en coulombs, � et � sont bien proportionnels et varient dans le même sens. Cette charge correspond à une intensité �

C = ε Ad

C

ε

d

d

d C

Q = C ×U UQ

C Q

I


proportionnelle à la tension du signal émis. Aussi, dans les cas de ventre de pression, � et � la tension du signal augmente ce qui se traduit sur LatisPro par une zone d’amplitude maximale. A l’inverse lorsque la pression est faible on va avoir une zone où l’amplitude du signal sur LatisPro sera très faible ; comme le montre le graphique ci-dessous : !!!!!!!!!!!!

Graphique n°3 Ventres et noeuds de pression !

Du côté du haut-parleur, la vibration est maximale, nous allons alors avoir affaire à un nœud de pression. Si le tube est aux deux extrémités fermées, comme c’est le cas dans nos expériences, le déplacement de l’air est nul à l’extrémité, l’amplitude de vibration est nulle au niveau de la fermeture ce qui nous donne un nœud d’amplitude et donc un ventre de pression. !d - La mesure du coefficient d’absorption d'un matériau dans un tube de Kundt !Un matériau qui reçoit une onde sonore absorbe une partie de l'intensité, en transmet une partie, et réfléchit ce qu’il reste. Le coefficient d'absorption ( � ) mesure la part de l'intensité sonore qui disparaît du point de vue d'un auditeur placé du côté de la source émettrice du son. Le coefficient de réflexion ( � ) correspond à la fraction de l'intensité sonore qui demeure du point de vue d'un auditeur placé du côté de la source émettrice du son. !On mesure la tension au niveau des noeuds et des ventres et on obtient : !!!!Nous avons testé l’absorption de deux matériaux avec le tube de Kundt, un polyphone ainsi que du polystyrène : voici les résultats sous forme de graphique, avec la fréquence du son émis en hertz en abscisse et le coefficient d’absorption en ordonnée.

!!!!!!!!!!!!!!!Graphique n°4

Résultats pour le polyphone et le polystyrène !A l'aide de nos mesures au tube de Kundt, on peut calculer des valeurs expérimentales de coefficients de réflexion et d'absorption des trois matériaux que l'on a utilisés pour des longueurs d'ondes précises. On réalise alors un graphique de ce coefficient en fonction de la fréquence. Sur les basses fréquences (de 62,5 à 250Hz), on s'aperçoit que le polyphone est le matériau le plus réfléchissant avec une moyenne de 57% de réflexion, tandis que le polystyrène possède sur cet te même gamme de fréquence des coefficients de réflexion aux alentours de 18% et de 14%. Puis sur les hautes fréquences, on observe que les coefficients de réflexion du polystyrène et du polyphone ont des valeurs similaires : en moyenne 44% pour une fréquence de 2000Hz et 29% pour une fréquence de 4000Hz, il semblerait que pour ces deux matériaux, le c o e f f i c i e n t d e r é f l e x i o n d i m i n u e proportionnellement par rapport à la fréquence des ondes. À côté de cela, le matériau fourni avec le tube possède un coefficient de réflexion en moyenne égal à 86% sur les hautes fréquences. !Sur les basses fréquences le polystyrène possède des coefficients d'absorption moyens aux alentours de 84% tandis que le polyphone a un coefficient moyen d'environ 53%. Sur les moyennes fréquences, les coeff ic ients d'absorption du polyphone et du polystyrène sont aux alentours de 75% et de 67%. Puis sur les hautes fréquences, le polystyrène et le polyphone obtiennent des coefficients similaires d'environ 66% pour une fréquence de 2000Hz et de 71% pour 4000Hz. !Ainsi pour résumer, on affirmera que le matériau le plus intéressant pour l'absorption d'ondes de basses fréquences est le polystyrène puis le polyphone. Tandis que sur les moyennes et hautes fréquences, la matériau le plus intéressant est le polyphone, puis le polystyrène. On obtient en inversant le classement le matériau le plus intéressant pour la réflexion.

CU

α

r


r = (Umax −Umin )2

Umax +Umin

et α = 1− r 2

!III - L’efficacité de la forme fractale !!

De part leur beauté et leur complexité, les fractales constituent une véritable source de fascination mais aussi de questionnement pour l’Homme. Bien qu’elles soient répandues dans la nature (on retrouve des organisations fractales chez plusieurs éléments de la nature, comme l’en atteste l’exemple ci-dessous), le concept de fractale est relativement récent puisque c’est Benoît Mandelbrot, mathématicien franco-américain, qui crée le terme en 1974. Issu du latin « fractus » signifiant « brisé » ou « irrégulier

», il désigne des objets dont la structure remarquable est indépendante de l’échelle à laquelle ils sont observés : pour tout grossissement e ffec tué sur l ’ob je t on retrouve un motif récurrent, comme il est facile de l’observer chez le chou romanesco par exemple. La définition d’objet fractal est d’ailleurs : « un objet fractal est un objet dont chaque élément est aussi un objet

fractal ». Les fractales présentent de nombreux intérêts dans l’industrie, notamment en isolation acoustique et c’est sans doute pourquoi Bernard Sapoval a eu l’idée d'un mur fractal. Nous chercherons ainsi à étudier en quoi les propriétés de la fractale représentent un atout en isolation acoustique.

1 - Mesures d'absorption des matériaux en fonction de leur forme !On a précédemment observé la conséquence du choix du matériau sur l’absorption du mur. Maintenant, il est question de savoir comment la forme du mur influe sur son absorption acoustique. Pour cela, nous allons utiliser un tube à ondes stationnaires, mais différent de celui vu précédemment car il permet une meilleure précision dans les résultats et une étude sur un nombre de fréquences beaucoup plus grand. !A - Présentation du tube à ondes stationnaires à 2 microphones !Nous avons pu utiliser ce tube au LMFA (Laboratoire de Mécanique des Fluides et d’Acoustique) à l’aide du chercheur en acoustique Mr Pierre Roland. Le tube se présente sous cette forme : !

! !!!!!!!!! !

Schéma n°8 Représentation du tube de Kundt à deux microphones !

Le tube de 10 cm de diamètre est divisé en deux parties : • Une partie fixe avec le haut-parleur et les

microphones, • Une partie avec un piston rigide que l’on fixe à

la première partie fixe, le piston rigide permettant de placer l’échantillon précisément avec sa surface frontale au niveau du point d’abscisse 0.

Nous testons deux séries d’échantillons : tous deux cylindriques, l’une est constituée de modèles de fractales par extrusion cylindrique, dont on fait varier les itérations de construction, c’est-à-dire le nombre de fois que l’on répète l’extrusion à une échelle différente ; l’autre correspond à des coupes de modèles plus ou moins réduits du mur de Bernard Sapoval par un cylindre. !!!!!!!

Illustration n°5 En haut : modèles réduits du mur fractal

En bas : modélisations de fractales par extrusion cylindrique !!!! !!!!!!!!


III - L’efficacité de la forme fractale

Illustration n°4 Le chou romanesco : une

fractale naturelle

Illustration n°6 Tube à impédance

Les microphones sont placés respectivement à 15 et 10 cm de l’échantillon. Les deux microphones sont branchés à une surface d’acquisition qui envoie l’information sur un ordinateur qui traitera ensuite les données pour donner enfin le coefficient d’absorption en fonction de la fréquence. La mesure dure environ 20 secondes. Pendant celle-ci, le haut-parleur émet un bruit blanc d’une amplitude donnée à partir de la carte son de l’ordinateur. Le bruit blanc est un bruit de même amplitude quelle que soit la fréquence. Ainsi, on verra, dans les expressions littérales des calculs effectués, la mesure du coefficient d’absorption pour chaque fréquence par la

présence du nombre d’onde � .

avec :

• � la longueur d’onde du son

• � la fréquence du son

• � sa célérité dans l’air L’interface et la gestion numérique de l’expérience se fait sur l’ordinateur avec le logiciel Labview. !C - Déroulement de la mesure !On procède d’abord au calibrage des deux microphones afin d’annuler tout écart de phase et d’amplitude entre ceux-ci. Il faut d’abord lancer le calibrage à partir du logiciel avec les microphones placés dans la future position de mesure, puis recommencer l’opération après avoir échangé la position des microphones. On doit enfin à replacer les microphones dans les positions initiales. On place maintenant l’échantillon dans la partie avec piston rigide en positionnant sa surface frontale (celle exposée au haut-parleur) au niveau indiqué. Enfin, on peut lancer la mesure depuis l’ordinateur, puis enregistrer le résultat afin d’étudier les courbes. !D - Calcul du coefficient d’absorption !Dans les différentes formules qui suivent, on utilisera l’impédance acoustique de surface de l’échantillon. Par définition, l’impédance de surface est le rapport entre la pression � et la

vitesse normale V à la surface : � .

O n u t i l i s e r a n o t a m m e n t l ’ i m p é d a n c e caractéristique de l’air � .

L’expression de la pression en un point d’abscisse � est :� avec �l’unité imaginaire, � le nombre exponentiel et � le nombre d’onde, � l’amplitude de l’onde incidente et � le coefficient de réflexion donné

par : � . Remarquons que cette

formule est très similaire à celle utilisée dans l’expérience avec le tube de Kundt avec microphone télescopique. On forme ensuite le rapport des pressions obtenues aux deux points d’abscisse et : !!À partir de cette relation, on peut exprimer l’impédance acoustique de surface du matériau en fonction de � : !!avec � et � les distances représentées sur le schéma. Ainsi, après calcul de l’impédance acoustique de surface du matériau, on calcule le coefficient de réflexion pour enfin obtenir le coefficient d’absorption du matériau : � On peut donc calculer le coefficient d’absorption du matériau voulu pour toutes les fréquences nécessaires. Ici, tous les calculs se font à travers le logiciel. !

2 - Réalisation de l’expérience !Nous avons tracé les courbes représentatives des coefficients d'absorption en fonction de la fréquence de l'onde émise par le haut-parleur pour les quatre échantillons à tester et leurs faces planes et extrudées. Ainsi, nous disposons d'une courbe pour chacun des cas suivants : • La face métallique du piston rigide intégré à

l'intérieur du tube de Kundt • Un échantillon de polyphone de 3 cm

d'épaisseur (cfr. annexes) • Un échantillon de polyphone de 5 cm

d’épaisseur (cfr. annexes) • Un modèle du mur Colas, fortement réduit,

rempli à 99 % de matière ABS (premier modèle que nous avions imprimé, nous en avons fait un nouveau similaire en corrigeant les imperfections et la densité)

• Un modèle 3D du mur Colas, fortement réduit, rempli à 80 % (nouveau modèle)

k = 2πλ

= 2π fv

λ

f

V

P

Zn =PV

Z0

x p = I(e− ikx + r.eikx ) ie k

Ir

r = Zn − Z0Zn + Z0

x1 x2

h

L s

α = 1− r 2


Zn = iZ0sin(k(L − s))− hsin(kL)hcos(kL)− cos(k(L − s))

h = e− ikx2 + r.eikx2

e− ikx1 + r.eikx1

• Un modèle 3D du mur Colas faiblement réduit rempli à 80 %

• Un modèle 3D fractal rempli à 80 % Chaque modèle est testé selon sa face extrudée et sa face plane afin de pouvoir déterminer l'importance de la surface. !La paroi du tube rigide (piston rigide) est considérée comme une référence pour les autres mesures, car elle a un faible coefficient d'absorption pour toutes les fréquences : comme nous l’avons évoqué plus haut, elle permet de négliger la transmission du matériau. !Nous avons réalisé des mesures pour des fréquences allant de 0 Hz à 16000 Hz. Dans notre présentation, nous réduirons la gamme des fréquences considérées en raison d’une précision amoindrie en-deçà de 200Hz et au-delà de 1600Hz. Cette faible précision en dehors de cette intervalle est due au diamètre du tube : plus le tube est fin, plus il est précis dans les hautes fréquences. De plus, le tableau de valeurs ne sera pas intégré au dossier en raison de sa dimension (plus de 6000 lignes, pour chaque fréquence !). Pour chaque graphique, on représente le coefficient d’absorption � en ordonnée et la fréquence du son émis (en Hertz) en abscisse. A – Effet de la densité !!!!!!!!!!!!!!!! !!

Graphique n°5 Courbes d’absorption pour les faces extrudées des deux modèles

du mur Colas !La comparaison des courbes des deux échantillons de même forme, mais de densités différentes (mur Colas fortement réduit) au graphique n°5, montre que plus la densité est grande, plus l'absorption est faible et le pic d'absorption décalé vers des fréquences supérieures. Ainsi, le simple fait que le modèle

soit rempli à 80 % au lieu de 99 % augmente de 0,3 le pic d'absorption, ce qui est considérable. !C'est un des avantages du béton de bois qui constitue le mur Colas : les copeaux de bois baissent la densité du béton, matériau naturellement très réfléchissant car très lourd (loi de masse), et permettent d'augmenter la capacité d'absorption du mur. !Dans les analyses qui suivent, le modèle du mur Colas qui sera considéré est celui qui est rempli à 80 % correspondant à la densité des deux autres échantillons (fractal et faiblement réduit). !Notons néanmoins que l'échantillon du modèle 3D du mur fortement réduit rempli à 99 % présente malheureusement des fuites sur les bords, car il est plus un prisme à base polygonale qu'un cylindre parfait. Nous avons négligé ces fuites dans notre analyse. B – Effet de la structure des faces Avant de mesurer les coefficients d'absorption des modèles 3D du mur Colas (plus ou moins réduits) et du modèle 3D fractal (donc sur leurs faces extrudées), nous avons mesuré les coefficients d'absorption de ces modèles du côté de leur face plane. Ces mesures nous servent de références, puisqu'elles montrent la capacité d'absorption de ces matériaux indépendamment de la structure particulière de leur face extrudée. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Graphique n°6 Courbes d’absorption des deux faces du modèle fractal !

Les courbes de coefficients d'absorption de la face plane du modèle fractal et de la face du piston (graphique n°6) sont de forme similaire, mais la courbe de la face plane du modèle fractal est décalée vers le haut. Le coefficient d'absorption de la face plane du modèle fractal

α


est supérieur d’environ 0,02 pour toutes les fréquences.. Cette différence provient de la différence de matériau. On peut donc en déduire que l'ABS est plus absorbant qu'une surface métallique. !La comparaison des courbes de coefficients d'absorption pour le modèle 3D fractal pour sa face plane et pour sa face fractale montre que la face fractale absorbe plus fortement que la face plane pour les fréquences inférieures à 1000 Hz environ. On peut donc en déduire que le fait qu'une surface soit fractale augmente son absorption. Ceci constitue un test de l'hypothèse selon laquelle la surface fractale améliore la capacité d'absorption des ondes sonores d'un matériau par rapport à une surface plane. Ceci est vrai à densité et à volume constants de l’échantillon. ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!

Graphique n°7 Courbes d’absorption du modèle fortement réduit du mur Colas

La comparaison des courbes de coefficients d'absorption pour le modèle 3D du mur Colas pour sa face plane et pour sa face extrudée (graphique n°7) montre que la face structurée absorbe plus fortement que la face plane pour toutes les fréquences considérées. !!!!!!!!!!!!

C – Le gain spécifique du mur Colas !!!!!!!!!!!!!!!!!!

Graphique n°8 Comparaison des courbes d’absorption des faces extrudées du

modèle fractal et du modèle du mur fortement réduit !Le graphique n°8 permet de comparer plus précisément la capacité d'absorption des deux modèles 3D (fractal et mur Colas fortement réduit) du côté de leur surface extrudée. Le modèle 3D du mur Colas (fortement réduit) a des coefficients d'absorption supérieurs à ceux du modèle 3D fractal pour toutes les fréquences. En particulier, le coefficient d'absorption de la face extrudée du modèle du mur Colas présente un pic d'absorption allant jusqu'à 0,43 à 436 Hz. Ce pic est, dans le brevet, annoncé aux alentours de 250 Hz. Ce décalage de 190 Hz peut s'expliquer par le fait que l'échelle a été réduite et que les mesures n'ont pas été précisément relevées sur le mur, mais aussi par la différence de matériau. La valeur du coefficient d'absorption du modèle réduit du mur décroît ensuite pour atteindre 0,12 à 1600Hz. !Le mur étant au bord d'autoroutes, il est censé absorber les ondes sonores provenant du trafic routier. Il y a trois sources principales de nuisances sonores provoquées par la circulation automobile : le bruit dû aux frottements de l'air, qui est plutôt dans les hautes et moyennes fréquences, celui du moteur, qui se situe dans les moyennes fréquences, et celui provenant du contact du pneu sur la chaussée, dans les basses fréquences. C'est cette dernière gamme de fréquences qui est la plus difficile à réduire. Le mur Colas l'absorbe plus que d'autres murs. C'est donc pour cela que ce pic d'absorption, qui d'après nos mesures est effectivement dû à la structure de la surface du mur et non pas au matériau, est très intéressant. !


Finalement, cette comparaison montre qu'une forme fractale permet un gain d'absorption, mais n'optimise pas l'absorption. Bernard Sapoval a dû rechercher, à partir du gain d'absorption d'une forme fractale, un modèle encore plus absorbant, en particulier dans les basses fréquences qui sont les plus difficiles à réduire. D – Effet d'échelle !!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Graphique n°9 Comparaison des courbes d’absorption des faces extrudées des

deux modèles !On observe sur le graphique n°9 que le pic d'absorption du modèle du mur fortement réduit est à 436 Hz et vaut 0,43 et que celui du mur faiblement réduit est à 508 Hz et vaut 0,52. On observe également que, hormis pour les fréquences inférieures à 350 Hz, l'absorption du mur faiblement réduit est toujours supérieure à celle du mur fortement réduit. Même pour la fréquence correspondant au pic d'absorption du modèle fortement réduit, le modèle faiblement réduit a une plus forte absorption. Ainsi, nous pouvons déduire de ces observations que plus le modèle se rapproche des proportions réelles, plus il a une absorption élevée. !Pour conclure, nous avons montré qu'une faible densité (graphique n°5) et une structure fractale (graphique n°6) permettent un gain d'absorption. De plus, nous avons constaté que la structure mise au point par Bernard Sapoval pour le mur Colas s'avère encore plus efficace que la forme fractale que nous avons étudiée (graphique n°7). !Dans notre analyse, nous avons négligé l'imprécision de nos modèles et les erreurs de mesure dans le tube de Kundt.

3 - Une piste d'explication de l’efficacité du mur : la théorie des

résonateurs !Le pic d'absorption que l'on observe dans le cas des modèles réduits du mur fractal semble caractéristique de l’absorption sonore par des résonateurs. C’est peut-être une des raisons de la si grande efficacité du mur de Bernard Sapoval. !Mais comment fonctionne un résonateur ? Comme nous l’avons évoqué plus haut, lorsqu'une onde entre en contact avec une surface, elle est en partie réfléchie (ou diffusée/diffractée) : c’est aussi le cas lorsque l’onde rencontre la paroi d'une cavité, et la réflexion p e u t a r r i v e r p l u s i e u r s f o i s d ’ a f f i l é successivement. On multiplie ainsi le nombre d'ondes réfléchies/diffractées/diffusées, or ces dernières venant toutes de la même onde incidente, elles possèdent un déphasage constant dans le temps : des interférences vont pouvoir se former, réduisant ou amplifiant les amplitudes des ondes en un point. !L'étude de ce phénomène remonte au XIXème siècle avec John William Strutt Rayleigh, qui étudia l'équation de propagation des ondes dans un conduit partiellement ouvert à une extrémité, appelée col, et fermé à l'autre. A partir de ces travaux, J. Alster développa un modèle théorique adapté à un vaste panel de cavités résonantes permettant de déterminer la fréquence de résonance dudit résonateur. On les classe dans deux grandes catégories : les résonateurs de type Helmhotz et les résonateurs de type quart d’onde (que nous ne détaillerons pas, ils semblent très éloignés de nos modèles). !Un résonateur de type Helmhotz est une cavité ayant des dimensions (longueur, largeur, etc...) avec un ordre de grandeur plus petit que celle de la longueur d'onde de l’onde : celle-ci ne peut alors se propager complètement dans le tube. Un résonateur de Helmhotz peut être décrit de manière analogique à un système masse-ressort, en décrivant l'air contenu dans la cavité comme un ressort et l'air contenu dans le col comme une masse. Pour cela on suppose au préalable que l 'a ir dans la cavi té est compressible, et que l'air contenu dans le col est quant à lui incompressible. La fréquence de résonance d'un système masse-

ressort est� avec � la masse dans

le col et � la raideur de la cavité (en N.m). Cela donne dans le cas de résonateurs de type Helmhotz :

f0 =12π

km

m

k


!!!!avec � la surface du col, � le volume de la cavité, � le nombre de trous (qui vaut le nombre de cavités dans notre cas), et � la longueur du col. !En calculant la fréquence théorique d'absorption maximale pour le modèle fortement réduit du mur, on trouve une fréquence maximale d’absorption théorique à 5,69.103 Hz. Ce résultat n’est pas du tout en accord avec nos mesures : la piste des résonateurs de type Helmhotz est donc une impasse. On essaye alors à l'aide des courbes de déterminer les facteurs et leur influence sur les capacités d'absorption et la fréquence maximale d'absorption : on observe que plus la réduction du modèle est importante, plus la fréquence d'absorption maximale est petite (cf. Graphique n°10) Déterminons alors les différences entre les deux modèles : • Le nombre de trous est différent

• 5 pour le modèle faiblement réduit et 9 pour le modèle fortement réduit

• Il semblerait que le nombre de trous soit inversement proportionnel à la capacité d’absorption

• Les dimensions des trous sont différentes • La longueur, la largeur et la profondeur des

trous sont différents • Il semblerait que les dimensions des trous

soient proportionnelles à la fréquence maximale d’absorption

• Impossible de déterminer si ce sont toutes les dimensions qui sont proportionnelles à la fréquence d'absorption, nous n'avons pas fait de modèles permettant d'étudier chaque dimension une par une. De plus, impossible de nous inspirer de la formule de Helmhotz car d'après cette dernière, les dimensions des trous sont inversement proportionnelles à la fréquence d'absorption maximale du mur, ce qui est le contraire de ce que l’on observe sur le graphique n°10 !

La piste des résonateurs, en tout cas ceux d’Helmhotz, semble être une impasse. !

4 - Le gain de surface de la forme fractale !

Les mathématiques apportent des outils puissants dans la mise en évidence du gain de surface apporté par la structure fractale : c’est en les utilisant que nous chercherons à démontrer

l’assertion ci-dessus. Toutefois, par souci de cohérence avec le propos du dossier, les détails des calculs et de la démonstration seront détaillés dans les annexes. !Dans cette démonstration, nous cherchons à savoir si la forme fractale apporte un gain de surface à une structure tridimensionnelle murale. Ainsi nous désirons comparer l’aire exposée par un mur fractal et un mur non fractal, pour un même volume, en fonction du nombre d’itérations de construction. !Notre démonstration se divisera en plusieurs étapes :

I. Modélisation II. Étude du volume du solide fractal à

l’itération � (cf. annexes) III. Étude de l’aire exposée par solide

fractal à l’itération � (cf. annexes) IV. Étude de l’aire exposée par le mur

non f rac ta l , pour un vo lume équivalent à celui du mur fractal à l’itération � (cf. annexes) !

Modélisation !Construction du mur fractal !Les longueurs seront exprimées en unités arbitraires. Notre mur fractal sera modélisé par un plan vertical sur lequel se greffent des rectangles de longueur 5, de largeur 2 et de hauteur 1 : il s’agit de l’étape initiale de construction, soit l’étape 0. Ces rectangles sont placés en quinconce selon la disposition illustrée par le schéma n°8, et la distance entre deux rectangles est de 5. Cette disposition n’a aucune influence sur les calculs d’aire et de volume puisque ces valeurs sont les mêmes peu importe le placement des rectangles du moment que ceux-ci n’entrent pas en contact à une itération quelconque. !Nous ne nous intéressons pas au nombre de rectangles : en effet, multiplier les données d’aire et de volume par le nombre de rectangles n’a pas d’incidence sur les relations d’ordre (du moment que ce nombre est différent de 0, la relation est conservée). !Ainsi soit un rectangle initial défini par l’itération 0. À l’itération 1, on greffe à ce rectangle deux modèles réduits de lui-même, disposés sur les aires latérales les plus grandes du rectangle initial. Ces greffes sont tangentes à la face latérale et au plan constituant le mur, par conséquent l’aire des faces tangentes n’est pas exposée et ne sera pas considérée. À chaque itération supplémentaire, on greffe à nouveau un rectangle encore plus réduit sur le

S Vn

l

n

n

n


f0 =c2π

S

V (l +1,96 Sn+1)

solide précédent. On exprimera par la suite l’aire et le volume de ce solide fractal en fonction du nombre d’itérations � conduisant à sa création. !!! !!!!!!!

Schéma n°8 Disposition des rectangles sur le mur à l’état initial !

Grâce aux données mathématiques des suites représentant les aires et le volume des différents solides à l’étape � (cf. annexes), on obtient le graphique suivant : !!!!!!!!!!!!!!! !

Graphique n°11 Bilan des valeurs d’aire et de volume pour les solides fractal et non

fractal en fonction de l’itération � !Ainsi, on remarque grâce au graphique n°11 et à la comparaison des limites que la structure fractale apporte un gain de surface par rapport à une structure non fractale : celui-ci est d’environ 18,335 quand � tend vers l’infini. Ce gain en aire exposée est important dans le cadre d’isolation acoustique car l’efficacité de celle-ci dépend de la surface du mur. Pour obtenir une plus grande surface, il est donc plus efficace de « rendre le mur fractal » plutôt que d’en augmenter les proportions. De plus, à partir de l’itération 2 le volume n’augmente presque plus tandis que l’aire du mur fractal continue d’augmenter légèrement : il est donc probablement peu coûteux de poursuivre les itérations puisqu’elles n e r e q u i è r e n t q u e p e u d e m a t é r i a u supplémentaire. Il est aussi important de remarquer qu’à partir d’une certaine étape (ici, c’est à l’itération 3), l’augmentation de l’aire du mur fractal devient infinitésimale (de l’ordre de 10-2 à l’étape 10, cfr. tableau n°1, annexes) et

l’intérêt de poursuivre la construction est moindre. Enfin, la forme fractale semble être de plus en plus appropriée à la construction car son fonctionnement algorithmique sied parfaitement à l’industrie robotisée et automatisée. Pour ce qui est de l’isolation acoustique, la forme fractale présente des avantages non seulement de par sa grande surface par rapport à son volume (selon la loi de Sabine, le temps de réverbération est inversement proportionnel à la surface de matériau) mais aussi de par ses multiples arêtes, une surface fractale permet de diffracter les ondes sonores incidentes, d’en diffuser une partie en en détruisant au passage par interférences. !Cependant, le gain de surface ne fait pas tout : comme nous l’avons vu dans nos expériences, les modèles purement fractals ne sont pas les plus performants : il y a sûrement d’autres paramètres plus complexes à prendre en compte, comme peut-être les fréquences de résonance des cavités (malgré que nous n'ayons pu en tirer des résultats probants). !!!!!!

Conclusion !!Pour conclure, on peut penser que le mur anti-bruit fractal développé par Bernard Sapoval est très efficace pour différentes raisons. Le principe du mur par utilisation de deux couches permet de capturer au maximum les nuisances sonores dans le mur. On a aussi vu que le choix du béton de bois allié à la forme particulière du mur permet une bien meilleure absorption dans les moyennes et basses fréquences habituellement plus difficiles à absorber. De plus, cette forme fractale est particulièrement efficace dans les basses fréquences par rapport à d’autres formes fractales comme on l’a vu avec l’expérience du tube de Kundt à deux microphones. Ce mur est donc une très belle application des fractales au domaine de l’acoustique et ce dans le but de répondre à une problématique sociétale. Cependant, les fractales sont aussi présentes dans d’autres domaines d’application tels que la médecine avec la structure des poumons, en biologie avec la structure des plantes, des feuilles ou encore en économie avec la théorie du multifractal pour prévenir des krachs boursiers.

n

n

n

n


5 5

2

Documents

Olympiades Lycée de physique Tillion - odpf.org€¦ · Une onde peut être visualisée par ... L’intensité sonore est l’énergie transportée par l’onde par unité de temps