Chapitre 4 REFLEXION D’UNE ONDE PROGRESSIVE - ONDE STATIONNAIRE

Plan du chapitre : 4-1 Position du problème 4-2 Onde stationnaire 4-3 Exemple de réflexion d’une onde sonore 4-4 Réflexions multiples. Résonances 4-5 Problèmes

4-1 Position du problème Dans les chapitres précédents, nous nous sommes intéressés aux ondes planes

progressives. Considérons de nouveau une onde plane se propageant dans la direction des x croissants et décrite par :u(x,t ) = f (t − x / c) , f pouvant être par exemple une fonction sinusoïdale. Si cette onde rencontre un obstacle ou doit changer de milieu, elle subit alors une réflexion éventuellement partielle et donne naissance à deux ondes : une onde transmise allant elle aussi vers les x croissant et une onde réfléchie allant vers les x décroissants.

Onde incidente Onde transmise

Onde réfléchie Figure 4-1 : Principe de réflexion d’une onde

Par exemple, on peut créer une onde acoustique en déplaçant un piston à l’extrémité

d’un tuyau ou en soufflant dans une flûte. Mais l’extrémité du tuyau va jouer un rôle. Cette extrémité peut être fermée par un piston par exemple et on comprend bien que l’onde sonore émise va se réfléchir. Cette extrémité peut être ouverte, ce qui constitue une perturbation pour l’onde qui va, là encore, être réfléchie mais dans des conditions différentes.

Dans le premier milieu, les ondes incidentes et réfléchies vont se superposer et donc s’additionner et on pourra voir apparaître une onde stationnaire.

Quelles sont donc les caractéristiques de l’onde réfléchie et de l’onde transmise ? Pour bien comprendre le phénomène, nous allons considérer une onde incidente sinusoïdale de pulsation ω, de longueur d’onde λ, d’amplitude A et de phase ϕ à l’origine, en prenant comme origine le point qui correspond à la position de la perturbation. * les pulsations de l’onde réfléchie et de l’onde transmise sont les mêmes que la pulsation de l’onde incidente ; les fréquences et les périodes temporelles sont donc les mêmes.

ωr = ω ; ωt = ω

Ondes 4-1

* En conséquence, la longueur d’onde de l’onde réfléchie est la même que celle de l’onde incidente car elle se propage dans le même milieu. Par contre ce n’est pas nécessairement le cas pour l’onde transmise puisqu’elle se propage éventuellement dans un milieu différent (célérité c’). L’onde transmise se propage vers les x croissant, mais l’onde réfléchie se propage vers les x décroissant.

kr = −k ; kt = kcc'

* Les ondes réfléchies et transmises, dans le cas d’ondes sinusoïdales, vont être caractérisées par leur amplitude et leur phase à l’origine ou en un point donné. Pour les déterminer, il faut dans chaque cas considérer les conditions de passage au niveau de la perturbation. Il y a conservation de l’énergie : la puissance transportée par l’onde incidente doit se répartir entre l’onde réfléchie et l’onde transmise (attention aux signes). Ceci donne une première relation entre les amplitudes. L’autre condition est donnée par exemple par la continuité d’une autre grandeur physique de part et d’autre de la frontière, par exemple le déplacement pour la corde vibrante ou le débit dans le cas des ondes sonores. C’est cette grandeur physique qu’il est essentiel de considérer dans le problème et il est utile de changer d’origine si nécessaire en prenant comme nouvelle origine le point de réflexion , c’est-à-dire la frontière.

************ 4-2 Onde stationnaire

Il y a donc, dans une certaine partie de l’espace, superposition entre deux ondes de

même fréquence se propageant dans des directions opposées. Si l’onde incidente est sinusoïdale, l’onde réfléchie le sera aussi. Toute grandeur physique associée à l’onde s’écrit donc :

( ) ( )rr tAtAu ϕωϕω +kx cos+kx cos ++−= Examinons d’abord le cas où l’onde réfléchie a la même amplitude que l’onde

incidente, c’est le cas quand il n’y a pas d’onde transmise. ( ) ( )rAAu ϕωϕω +kx cos+kx cos ++−=

En utilisant l’identité : ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=+2

cos2

cos2coscos bababa , on peut écrire :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2+kxcos

2++ cos2 rr ϕϕϕϕω tAu

x

u

Figure 4-2 : Représentation schématique d’une onde stationnaire : le déplacement u est représenté shématiquement en fonction du point considéré pour différents temps. En certains points ce déplacement est nul quelque soit le temps, ce sont les noeuds. Pour les autres points le déplacement oscille au cours du temps entre deux valeurs opposées. Les points où l’amplitude de vibration est maximale sont appelés ventres.

Contrairement à une onde progressive sinusoïdale, l’amplitude de vibration du signal n’est pas la même suivant la position du point. Pour certains points de l’espace, ceux pour

lesquels 02

+kxcos r =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − ϕϕ , il n’y aucune variation de la grandeur physique ; on parle

alors de nœud. Ces nœuds sont séparés d’une distance λ/2.

Ondes 4-2

Soit ππϕϕ n+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

22+kx r , n entier

Or λπ2

=k , d’où 244λ

πϕϕλλ nx r

n +−

+= pour les noeuds

Au niveau de tous les autres points de l’espace, la grandeur physique u oscille dans le

temps mais l’amplitude des oscillations dépend du point x ; elle est maximale pour certains points de l’espace appelés ventres

πϕϕ n=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

2+kx r

soit 24λ

πϕϕλ nx r

n +−

= pour les ventres.

Les nœuds sont donc séparés de λ/2. Les ventres sont aussi séparés de λ/2. Un

nœud et un ventre consécutif sont séparés de λ/4. On parle d’onde stationnaire car il n’y a pas propagation d’énergie : la puissance

transportée par l’onde réfléchie est égale en valeur absolue à la puissance transportée par l’onde incidente mais dans le sens opposé ; le bilan est donc nul.

♦ Exercice4-1. On représente le déplacement u d’une onde en fonction du temps en deux

points différents. Parmi ces trois ondes, laquelle est une onde progressive, une onde stationnaire, une combinaison des 2?

1 2 3 4

-1

-0.5

0.5

1

1 2 3 4

-1

-0.5

0.5

1

1 2 3 4

-1

-0.5

0.5

1

♦ Exercice 4-2. (Mathématica)

Représenter en animation une onde incidente u= cos(2π (νt-νx/c)) par exemple pour x compris entre –3 et 3 , t variant de 0 à 30 et ν=1/30, c=1/25. Représenter ensuite une onde réfléchie ur= cos(2π (νt+x)) et enfin la somme des deux. Visualiser ainsi l’onde stationnaire. Situer les nœuds et les ventres.

Même chose en changeant les paramètres notamment la phase de l’onde incidente. On prendra par exemple un déphasage de π/3 en x=0.

Solution sans déphasage : nu=1/30 c=1/25 u[x_,t_] :=Cos[2 Pi nu (t-x/c)] Table[Plot[u[x,t],{x,-3,3},PlotRange->{{-1,1},{-3,3}}],{t,0,30}] ur[x_,t_] :=Cos[2 Pi nu (t+x/c)] Table[Plot[ur[x,t],{x,-3,3},PlotRange->{{-1,1},{-3,3}}],{t,0,30}] Table[Plot[ur[x,t]+u[x,t],{x,-3,3},PlotRange->{{-2,2},{-3,3}}],{t,0,30}]

-----

Ondes 4-3

Dans le cas d’une onde sonore, nous avons vu qu’il existe différentes grandeurs

physiques associées à cette onde, notamment la pression acoustique : δρρ0

= −∂u∂x

= χδP , u étant le déplacement des molécules.

♦ Exercice 4-3. : Montrer que les ventres de déplacements correspondent aux nœuds de pression acoustique et réciproquement.

♦ Exercice 4-4. : Que se passe-t-il si l’amplitude de l’onde réfléchie est inférieure à celle de l’onde incidente, ce qui sera le cas en présence d’une onde transmise ?A-t-on toujours une onde stationnaire ? Seulement une onde stationnaire ? (Visualiser si nécessaire avec Mathématica) Définition du taux d’onde stationnaire (TOS) :

Si une onde n’est que partiellement réfléchie, la superposition de l’onde incidente

d’amplitude A et de l’onde réfléchie d’amplitude Ar produit partiellement une configuration d’onde stationnaire :

A+A rA-A r

Figure 4-3 : Taux d’onde stationnaire

Le rapport d’onde stationnaire (appelé ROS ou TOS) est défini par TOS=ROS=

Amax

Amin

=A + ArA − Ar

. C’est ce qu’il est, dans certains cas, facile de mesurer si l’on est capable

d’avoir accès à l’amplitude du signal. Si on mesure l’intensité, alors on a plutôt accès à ROS2. Le pouvoir réflecteur est le rapport entre la puissance moyenne de l’onde réfléchie et

celle de l’onde incidente : R =ArA

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

2

, R étant alors compris entre 0 et 1. On peut remarquer

R =ROS −1ROS +1

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

2

.

On peut aussi se poser la question suivante : EXISTE-T-IL DES ONDES STATIONNAIRES DECRITES PAR u(x,t)= f(t)g(x) AUTRES QUE

DES ONDES SINUSOÏDALES ? Il faut que u(x,t) vérifie l’équation d’onde pour tout x et pour tout t :

2

2

2

2

)(t

fxgtu

∂∂

∂∂

= 2

2

2

2

)(x

gtfx

u∂∂

∂∂

=

D’où : f (t)∂2 g∂x2 =

1c2 g(x)

∂2 f∂t2

Séparons les variables : 2

2

22

2

)(11

)(1

tf

tfcxg

xg ∂∂

∂∂

=

Ondes 4-4

Le membre de droite est fonction de t seulement alors que le membre de gauche n’est

fonction que de x. donc ils sont égaux à la même constante a.

at

ftfcx

gxg

== 2

2

22

2

)(11

)(1

∂∂

∂∂

∂2g∂x2 = ag(x)et )(2

2

2

tfact

f=

∂∂

a ne peut être négatif. En effet, si a est positif, f(t) est soit une exponentielle croissante ce qui est physiquement impossible soit une exponentielle décroissante dont la valeur décroît dans le temps. Donc a est négatif ; les solutions sont donc des fonctions sinusoïdales…De plus, nous avons déjà vu que l’équation d’onde est linéaire, c’est-à-dire que la somme de deux solutions de cette équation est aussi solution.

Donc les solutions stationnaires de l’équation d’onde sont donc des combinaisons

linéaires de fonctions sinusoïdales.

♦ Exercice 4-5.: Considérer une onde stationnaire, superposition de deux ondes progressives de même amplitude se propageant dans des directions Pour chacune des ondes progressives, l’énergie cinétique et l’énergie potentielle sont égales. Est-ce le cas pour l’onde stationnaire ? Prendre le cas d’une onde sonore stationnaire décrite par le déplacement vibratoire : u=acos(ωt-kx) + acos(ωt+kx).

Attention, pour une onde stationnaire énergie potentielle et énergie cinétique ne sont pas égales, contrairement au cas d’une onde progressive.

********

4-3 Exemple de réflexion d’une onde sonore :Onde sonore rencontrant un milieu d’impédance acoustique différente du milieu incident.

Examinons le passage d’une onde progressive sonore entre deux milieux d’impédance

acoustique différente, par exemple :

i tr

Figure 4-4 : Passage vers une impédance plus faible

i

r

Figure 4-5 : Passage à une impédance

quasiment infinie

L’impédance acoustique étant donnée par cS

Zχ

1= , il suffit par exemple de changer la

dimension du tube dans lequel se propage l’onde sonore. C’est ce qui se passe quand l’onde se propage dans un tuyau ouvert à une extrémité: après l’ouverture, la section peut être considérée comme infinie et donc l’impédance est nulle alors que la compressibilité et la vitesse de propagation sont les mêmes. Si par contre on ferme le tuyau par un piston rigide, le produit de la compressibilité du matériau qui constitue le piston par la vitesse de χc

Ondes 4-5

propagation du son dans ce matériau est plus faible que dans l’air et l’impédance de ce milieu est alors plus grande qu’au niveau du tube rempli d’air.

Repérons par le point A la position de la frontière entre les deux milieux. Choisissons les grandeurs physiques les plus pertinentes pour décrire les lois de conservation au passage en A. Il est clair que le débit doit se conserver, car il y a conservation de la matière. Au point A dans le milieu incident:

Q(A, t) = Qi(A, t) + Q r(A,t) Au point A, dans le second milieu: Q(A, t) = Qt (A,t) . On en déduit donc: Qi (A, t) + Qr (A,t) = Qt (A, t)

Rem : dans le cas d’un piston qui ferme le tube, Qi (A, t) + Qr (A, t) = Qt (A, t) = 0

De même, il est clair que la puissance transportée se conserve (conservation de l’énergie)

Pi(A, t) + Pr (A,t) = Pt (A, t) ,

c’est-à-dire:

δpi(A, t)Qi(A, t) +δpr (A,t)Qr (A,t) = δpt( A,t )Qt (A, t)

ZQi2 (A, t) − ZQr

2 (A, t) = Z' Q t2 (A, t) .

En combinant avec l’équation de conservation du débit, on en déduit: ZQi (A, t) − ZQr (A, t) = Z' Qt (A, t)

c’est-à-dire: δpi(A, t) +δpr (A, t) = δpt (A, t)

A partir des deux équations:

Qi (A, t) + Qr (A,t) = Qt (A, t)

ZQi (A, t) − ZQr (A, t) = Z' Qt (A, t) , on peut déduire:

),('

2),( tAQZZ

ZtAQ it +=

),(''),( tAQ

ZZZZtAQ ir +

−=

soit:

),('

'2),( tApZZ

ZtAp it δδ+

=

δpr (A,t) =Z' −ZZ + Z'

δpi(A,t)

Pour définir correctement un coefficient de réflexion ou de transmission, on va comparer les puissances transmises et réfléchies à la puissance incidente:

),(),()'('4),(),(),(P 2 tAptAQ

ZZZZtAptAQtA iittt δδ+

==

Ondes 4-6

Pr (A,t) = Qr (A, t)δpr (A,t) =−(Z − Z' )2

(Z + Z' )2 Qi(A, t)δpi(A, t)

On en déduit donc:

T =Pt(A,t)Pr ( A,t )

=4ZZ'

(Z + Z' )2 R =Pr (A,t)Pr (A,t)

=(Z − Z' )2

(Z + Z' )2

♦ Exercice 4-6.: Montrer que 1=R+T

Cas particuliers:

- tuyau ouvert: Z’=0: δpt (A,t) = 0 et donc δpr (A, t) = −δpi(A,t) Il y a un nœud de pression à l’extrémité . En fait ce nœud n’est pas exactement au niveau du point A mais décalé d’une longueur qui est de l’ordre de grandeur du diamètre du tuyau. - tuyau fermé: Z’=∞ et donc Qt (A,t) = 0, Qr (A,t) = −Qi(A,t)

Il y a un nœud de débit au niveau de la fermeture. Dans les deux cas R=1 et T=0.

Onde transmise générée: En un point x quelconque:

Qt (x, t) = Qt (A, t −x − xA

c')

En notation complexe : ˆ Q t(x) = ˆ Q t (A)exp −ik' (x − xA )[ ]

Onde réfléchie générée:

en un point x quelconque: Qr (x, t) = Qr (A, t +x − x A

c)

En notation complexe : ˆ Q r (x) = ˆ Q r (A)exp ik(x − xA)[ ] *********

4-4 Réflexions multiples -Résonance

Cas du tuyau sonore Considérons les expérience suivantes :

Figure 4-6 : Tuyau fermé Figure 4-7 : Tuyau ouvert à

l’extrémité

Ondes 4-7

Interrogeons nous sur le devenir de l’onde réfléchie. Après avoir été produite à l’extrémité droite du tuyau, elle se redirige vers le piston où elle va être réfléchie à son tour et ainsi de suite. Certaines ondes stationnaires vont donc s’établir plus facilement et l’on parle de résonance. Dans le cas du tuyau fermé :

Fig 4-8 : Ondes stationnaire dans un tuyau fermé aux deux extrémités

(représentation du débit)

Si on admet que les conditions de réflexions sont identiques aux deux extrémités, cela implique que, en x=0 et en x=L, l’onde stationnaire présente des nœuds de déplacement. Ceci entraîne donc une condition sur la valeur de la longueur d’onde. En effet, deux nœuds sont séparés par un nombre entier de fois λ/2. Donc seules certaines longueurs d’onde vont permettre l’établissement d’ondes stationnaires correctes :

L = pλp

2, soit λp =

2Lp

Ces longueurs d’onde correspondent à des pulsations ou des fréquences particulières :

νp = pc

2L

Dans le cas du dessin de la figure 4-8 : p=4 La fréquence correspondant à p=1 (c/2L) est appelée fréquence fondamentale. Les autres fréquences qui sont des multiples entiers de cette fréquence fondamentale s’appellent les harmoniques. Le calcul complet est proposé en problème dans la suite. ♦ Exercice 4-7.:Représenter l’onde stationnaire pour p=1, p=2, p=3 Cas d’un tuyau ouvert à une extrémité et fermé à l’autre

Fig 4-9. Onde stationnaire dans un tuyau fermé à une extrémité et ouvert à l’autre

(représentation du débit)

Les conditions sur la longueur d’onde deviennent : L = (p +12

)λ p

2, c’est-à-dire

νp = ( p +12

)c

2L= (2p +1)

c4L

Les fréquences correspondent sont donc des multiples impairs de la fréquence fondamentale qui est maintenant égale à c/4L.

Ondes 4-8

♦ Exercice 4-8.: A quelle harmonique correspond le dessin de la figure 4-7 . représenter les ondes stationnaires correspondant aux harmoniques inférieures. ♦ Exercice 4-9.: Examiner le cas d’un tuyau ouvert aux deux bouts Remarques sur les instruments à vent Certains instruments de musique à vent fournissent une réalisation approchée de tuyaux ouverts ou fermés - la flûte est un tuyau cylindrique ouvert aux deux bouts - la clarinette est ouverte à un bout mais fermée à l’embouchure. - les tuyaux d’orgue sont ouverts à une extrémité et sont soit fermés soit ouverts du côté de l’embouchure.

Il est important de noter que dans un tuyau ouvert, le nœud de pression n’est pas exactement situé dans le plan terminal du tuyau mais un peu au-delà à une distance proportionnelle au diamètre du tuyau. On introduit alors une longueur effective un peu supérieure à la longueur réelle. - il est difficile d’imaginer un tuyau strictement fermé au deux bouts. On pourrait imaginer

établir un système d’ondes stationnaires à l’aide d’un piston que l’on pourrait isoler par la suite ; mais d’inévitables pertes d’énergie (il y en fait un peu de transmission dans les parois) provoqueraient un amortissement de l’onde dont l’amplitude décroîtrait avec le temps.

Cas de la corde vibrante Ce problème a été abordé pendant les séances de Travaux Pratiques. La corde étant attachée au deux bouts (ce sera vrai dans tous les instruments à corde), le déplacement est donc nul aux deux extrémités. On va donc retrouver les mêmes conditions de résonance que pour un tuyau fermé (ou bien ouvert) aux deux bouts à savoir :

L = pλp

2, soit λp =

2Lp

et donc νp = pc

2L= p

2LTµ

.

Une corde tendue de longueur L vibre donc à des fréquences particulières: la fréquence fondamentale (p=1) et des fréquences multiples de cette fréquence fondamentale ou harmoniques. Cette fréquence fondamentale dépend de la longueur de la corde et de la célérité c des ondes mécaniques transverses sur cette corde, célérité qui dépend elle-même de la tension T et de la masse linéique de la corde. En vibrant la corde déplace de l'air autour d'elle et engendre une onde sonore de même fréquence que celle avec laquelle elle vibre. D'où le son généré par une guitare ou un piano. Pour augmenter la fréquence sonore générée par une corde vibrante, on peut: - diminuer sa longueur (en la pinçant par exemple) - augmenter la tension (réglage des cordes dans tout instrument à corde) - diminuer sa masse linéique (comparer la section des cordes dans un piano); Si on excite la corde en la pinçant ou n la frappant, on obtient en général la superposition de différents modes, soit:

u(x,t ) = app=1∑ sin

πpxL

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥ cos 2πν pt +ϕ p[ ]

Ondes 4-9

u(x,t ) = app=1∑ sin

πpxL

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥ cos 2πpν1t + ϕp[ ]

Les valeurs de ap et ϕp dépendent de la façon dont on a excité la corde initialement.

Par exemple, si on l'a juste déplacée sans lui donner de vitesse initiale, toutes les phases ϕp seront nulles ; l'amplitude ap de chacun des modes dépend de la forme de la déformation qu'on lui a fait subir (voir le chapitre 6 , l'option découvertes expérimentales ou le site web pour une simulation).

Ondes 4-10

4-5 PROBLEMES et exercices complémentaires

♦ Exercice 4-10. (extrait d'un contrôle continu S3 2002-03)

Dans l’expérience du tube sonore utilisé en TP et ouvert aux deux bouts, on mesure une amplitude sonore importante pour les fréquences suivantes , le générateur ne délivrant pas de fréquence en-dessous de 1000Hz, 1020Hz, 1360 Hz, 1700Hz, 2040 Hz…

On prendra la vitesse du son dans l’air égale à 340 ms-1. * Déterminer la valeur de la fréquence fondamentale * En déduire la longueur du tuyau. * Représenter schématiquement l’onde sonore dans le tuyau pour les quatre fréquences ci-dessus.

♦ Exercice 4-11.Onde stationnaire sur une corde

Le mouvement d’une corde est représenté par:

u = a sin πxb

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ cos(4πt)

avec a= 0.04m et b=0.4m. t est exprimé en seconde et x en mètre.

- Quelle est la fréquence de l’onde? Quelle est sa longueur d’onde? Quelle est la vitesse de propagation ou célérité de l’onde sur la corde?

- Où sont situés les nœuds de vibration? Les ventres? - Exprimer l’énergie cinétique par unité de longueur et l’énergie potentielle par unité de

longueur en notant T la tension et µ la masse linéique de la corde. Les comparer. Conclusion?

- Trouver les expressions des deux ondes progressives dont la résultante conduit à cette onde stationnaire. Déterminez notamment leur amplitude et leur phase

♦ Exercice 4-12.Ondes stationnaires et résonance 1- Un puits ayant des parois verticales et de l’eau au fond résonne à 7 Hz et jamais à

fréquence plus basse. L’air dans le puits a une densité de 1.1 kg m-3, la pression est la pression normale (γ= 7/5). Quelle est la profondeur du puits?

2- On accorde un violon à une note donnée (fréquence fondamentale). Quelle doit être l’augmentation relative de tension de la corde pour qu’elle émette une note à la fréquence double (un octave plus élevée)?

3- Une corde de violon de 50 cm de long est fixée en ses deux extrémités, sa masse est 2g. La corde produit le son La (440Hz). A quel endroit faut-il maintenir la corde appuyée pour produire un Do (528Hz)?

4- Un petit haut-parleur dont la fréquence varie entre 1000 et 2000 Hz est placé au voisinage d’un tuyau cylindrique de 45 cm de long ouvert aux deux extrémités. Si la vitesse du son dans l’air est 300 ms-1, à quelles fréquences y a-t-il résonance? Ou sont situés les nœuds pour chacune des résonances?

Problème 1 : Onde stationnaire sur une corde

Soit une corde tendue entre deux points A et B distants de 1m. Il s’agit d’une corde en acier de diamètre 0.24 mm tendue par une tension de 10N (masse volumique de l’acier :7.8

Ondes 4-11

103 kg m-3). La corde étant initialement au repos, on impose au point A, après l’instant initial t=0, un mouvement sinusoïdal de féquence 440 Hz, de vitesse positive à t=0 (suivant la direction u). L’amplitude a de ce mouvement est de 0.1 mm.

x

T θ

uA B

1- Exprimer le déplacement u1(x,t) associé à l’onde progressive qui en résulte. Représenter la forme de la corde au temps t=T, où T est la période temporelle de l’onde. Déterminer l’énergie totale de l’onde sur une distance d’une longueur d’onde au temps t=T.

Déterminer la puissance transportée par l’onde en un point quelconque et un temps quelconque avant sa réflexion au point B. 2- De même au point B, on impose un mouvement sinusoïdal après t=0, de même fréquence que celui en A, de même amplitude et de vitesse négative. Exprimer le déplacement u2(x,t) associé à l’onde progressive qui en résulte sur la corde. Dessiner la forme de la corde déformée uniquement par cette deuxième onde au temps t=T. Déterminer l’énergie totale de l’onde sur une distance d’une longueur d’onde au temps t=T, où T est la période temporelle.

Déterminer la puissance transportée par l’onde en un point quelconque et un temps quelconque avant sa réflexion au point A. 3- Juste avant que les deux ondes ne se réfléchissent, exprimer la forme de l’onde résultante. Est-ce une onde ? Est-ce une onde progressive ? Montrer que l’amplitude est toujours nulle en certains points. Où sont situés ces points ? Montrer que la vitesse est toujours nulle en certains points. Où sont situés ces points ? 4-Exprimer l’énergie cinétique par unité de longueur de l’onde résultante ainsi que son énergie potentielle par unité de longueur en un point quelconque. Sont-elles égales?

Exprimer l’énergie totale par unité de longueur e. En déduire l’énergie sur une distance d’ une longueur d’onde. comparer à celle des deux ondes progressives à l’origine de cette onde.

Soit P la puissance associée à l’ onde résultante. En admettant que ∂e∂t

= −∂P∂x

ou en utilisant

P = −T∂u∂x

∂u∂t

, exprimer la puissance P associée à l’onde résultante. Montrer que sa valeur

moyenne dans le temps est nulle en tout point. Justifier qualitativement pourquoi.

*********

Problème 2 : Exemple d’une onde sonore dans un tuyau : calcul complet

Considérons un tuyau de longueur L dans lequel on crée une onde sonore à l’aide d’un piston situé en O. L’extrémité du tuyau est soit fermée (fig 4.10) soit ouvert (fig 4.11)

Ondes 4-12

Figure 4-10 : Tuyau fermé Figure 4-11 : Tuyau ouvert à

l’extrémité En Travaux Pratiques, vous avez réalisé ce genre d’expériences et vous avez constaté l’apparition de résonance pour certaines fréquences d’excitation. Nous allons examiner cette question sous forme de problème:

On considère un tuyau de longueur L, de section s, d’axe Ox, débouchant sur un autre tuyau de sections S plus grande que s et de longueur très grande (cas du tuyau ouvert). Les deux tuyaux sont remplis du même fluide de masse volumique ρ. La célérité des ondes acoustiques est c. A l’entrée du premier tuyau, un piston vibrant à la fréquence ν engendre des ondes acoustiques. Ce dispositif schématise l’émission des sons musicaux par un instrument à vent à perce cylindrique. L’objectif de ce problème est de montrer que l’onde se propageant dans le second tuyau n’a une amplitude négligeable que pour des valeurs de la fréquence voisine des fréquence de résonance du premier tuyau considéré comme fermé à un bout et ouvert à l’autre.

Supposons que le piston est animé d’un mouvement oscillant à la pulsation ω: u0 = Acos(ω t + ϕ0 ) .

En amplitude complexe : ˆ u 0 = Aexp iωt +iϕ 0 On prend l’origine de l’axe Ox à la jonction des deux tuyaux, le piston est donc à l’abscisse –L.

L

x

Dans le premier tuyau, on va considérer les ondes sinusoïdales progressives en utilisant la notation en amplitude complexe pour le déplacement vibratoire des molécules : ˆ u ˆ u i(x)=A i exp(-ikx+iωt), où A i est un nombre complexe :Ai = ai exp[iϕ i ] ˆ u r(x)=A r exp(ikx+iωt), où A r est un nombre complexe :Ar = a r exp[iϕ r ]

Dans le second tuyau : ˆ u t(x)=A t exp(-ik’x+iωt). avec A t = a t exp[iϕ t ]

1-Comparer k et k’. Exprimer les en fonction de la fréquence ν et de la célérité c. Exprimer pour chacune des ondes le débit et la pression vibratoire en notation complexe:

,ˆ Q i (x) ˆ Q r (x) , ,ˆ Q t (x) δˆ p i(x) , δ ˆ p r (x) ,δˆ p t (x) . Quelles sont les impédances acoustiques Z et Z’ dans les deux tuyaux? 2-Ecrire l’expression des déplacements réels ui(x,t), ur(x,t), ut(x,t). 3- Exprimer les équations de continuité que doivent respecter les ondes à la jonction des deux tuyaux en x=0. En déduire r= Ar/Ai et t=At/Ai.

Ondes 4-13

4- En déduire l’amplitude complexe résultante de l’onde en x=-L. Les ondes dans le milieu 1 sont engendrées par le mouvement du piston dont le déplacement par rapport à la position d’équilibre est u= a cos (2πνt). Le mouvement du tuyau correspond à la résultante du déplacement de l’onde incidente et de celui de l’onde réfléchie. En déduire l’amplitude complexe de l’onde incidente, puis celle de l’onde transmise dans le second tuyau en fonction de a, k , L et du rapport α=S/s. 5- Soit P(k) la puissance acoustique moyenne transportée par l’onde dans le second tuyau. Exprimer P(k) en fonction de a, k, L, S et s et des caractéristiques du milieu. 6- Pour caractériser l’efficacité de l’émission des ondes par le dispositif on forme le rapport de la puissance moyenne rayonnée au carré de l’amplitude de la vitesse du piston : G(k)= P(k)/a2w2. 6- Chercher les valeurs de k pour lesquelles G(k) est maximale puis minimale ainsi que les valeurs prises par G au maximum GM et au minimum Gm. Calculer GM / Gm pour S/s=20. A quoi correspondent les valeurs de k au maximum? On trouve que :

G(k) =S

2χc2

(1+ α2 + (α2 −1) cos2kL)=

S2χc

1(α 2 − (α2 −1)sin2 kL)

avec α =Ss

Ce rapport est maximum quand cos2kL est égal à -1, il est minimum quand cos2kL est égal à

1 et GMGm

= α2 =Ss

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2=400.

5 10 15 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Représentation d’une fonction proportionnelle à G(k) en fonction de k pour L=1 et a=10.

cos2kL=-1 correspond à L= λ4

+ pλ2

Ceci correspond à une condition de résonance du tuyau ouvert à un bout et fermé à l’autre.

*******

Problème 3 : Tuyau sonore présentant une constriction

Soit un tuyau sonore de section S présentant sur une longueur L un rétrécissement de section s. L’objectif de ce problème est de calculer le coefficient de transmission de ce tuyau.

O

l

S s

Ondes 4-14

On va caractériser les ondes sonores par la vitesse de déplacement vibratoire en notation complexe. Soit ν, la fréquence de l’onde incidente. 1- Exprimer la vitesse vi (x,t) de l’onde incidente, v r(x,t) celle de l’onde réfléchie dans la partie x<0. De même exprimer vt (x,t), celle de l’onde transmise dans la partie x>l. On notera simplement vi l’amplitude complexe associée à l’onde incidente (notation identique pour les autres). 2- Exprimer les pressions vibratoires associées. 3- Dans la partie intermédiaire, on va supposer qu’il y a superposition d’une onde incidente

et d’une onde réfléchie dont les vitesses seront décrites par v (x,t) et vil

rl (x,t).

4- Exprimer les pressions vibratoires associées. 5- Ecrire les relations de continuités en x=0 et x=l. Vous devez obtenir 4 équations de con

tinuité.

6- En déduire vtvi

, δpt

δpi

.

7- Exprimer le rapport T des puissances moyennes transportées par l’onde transmise et par l’onde incidente. Montrer que : T =

1

1 +(1 − α2 )2

4α2 sin2 (kL)

où α=s/S

8- Examiner les cas particuliers : s=0, s=S et L=0. 9- Représenter T en fonction de la fréquence incidente ν. Commenter…. 10- Représenter à l’aide de Mathématica T(y) en fonction de y= 2kL pour S=20cm2, s=1cm2. Calculer T pour λ=62.8 cm et l= 1cm.

****** Problème 4: Transmission d’une onde sonore à travers une paroi

Une paroi rigide plane (cloison séparant deux pièces) a une masse σ par unité de surface. Ses deux faces sont en contact avec un même gaz (air) de masse volumique ρ et de compressibilité χ,. Soit c, la célérité du son dans l’air. On appelle x, l’axe perpendiculaire à la paroi et qui va être aussi la direction dans laquelle les ondes sonores vont se propager. La paroi est mince et sa position va servir d’origine à l’axe Ox.

Un mélomane joue de la trompette dans la pièce situé du côté des x<0 et émet une onde sonore incidente se déplaçant vers les x croissant. Son élongation ou déplacement vibratoire est donnée en représentation complexe par :

ˆ u i(x,t) = Ai exp i(ωt − kx)( ) De même on note: le déplacement vibratoire de l’onde réfléchie : ˆ u r (x,t) = Ar exp i(ωt + kx)( ) et le déplacement vibratoire de l’onde transmise : ˆ u t(x,t) = At exp i(ωt − kx)( ) Ai ,A r et A t étant des complexes.

On note : A , Ai = ai exp(iϕ i ) r = a r exp(iϕr ) , A t = a t exp(iϕ t ) ai ,a r et a t étant maintenant des réels positifs.

1- Exprimer k en fonction de ω. 2- Ecrire les déplacements réels associés à l’onde incidente, à l’onde réfléchie et à l’onde transmise.

Ondes 4-15

3- Ecrire les amplitudes complexes de la vitesse, du débit et de la pression acoustique en un point quelconque pour x>0, puis pour x<0. La section de la pièce est S. 4- On appelle u le déplacement de la paroi (en notation complexe). Ecrire que les deux faces de la paroi restent en contact avec le fluide. En déduire une relation entre

ˆ

Ai ,A r et A t (relation 1). 5- Faire le bilan des forces auxquelles est soumise la paroi. Appliquer le principe fondamental de la dynamique pour trouver une seconde relation entre Ai ,A r et A t . 6- On appelle ϕ (ϕ=ϕi −ϕt) l’avance de phase de l’onde incidente sur l’onde transmise. Exprimer tan ϕ en fonction de ω, σ, µ et c.

7- La transmission de l’onde est donnée par le rapport T =A t

2

Ai2 . Exprimer ce rapport en

fonction des données du problème. Exprimer l’affaiblissement sonore en décibels dû à la paroi. 8- AN: ρ=1.2 kg. m-3. Quelle doit être la valeur de σ pour avoir une atténuation de 50 dB à 300Hz? Quelle est l’atténuation à 1000 et 5000 Hz; La paroi est en béton (2300 kg m-3). Quelle doit être son épaisseur ? Commentaire?

******* Problème 5: Vibrations d'une membrane

(extrait de l'examen S3SMPE 2002/03)

On considère une membrane élastique tendue sur un cadre rectangulaire rigide de côtés a (suivant x) et b (suivant y). Sa masse par unité de surface est σ. La membrane est dans le plan Oxy au repos. 1- Rappeler l’équation de propagation d’une onde transverse sur une corde de masse

linéique µ et tendue par une tension T . On prendra la corde au repos parallèle à Ox. Quelle est la vitesse de propagation des ondes sur la corde ?

2- Soit u le déplacement vertical de la membrane (suivant z) . On admet que u satisfait l’équation suivante :

σ∂ 2u∂t 2 = Y

∂ 2u∂x2 +

∂ 2u∂y2

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

Y étant relié à la tension de la membrane. * Exprimer la vitesse de propagation des ondes sur la membrane en fonction de σ et Y.. * Quelle est la dimension de σ ? celle de Y ? 3- On s’intéresse aux ondes stationnaires pouvant s’établir sur la membrane. Quelle

condition u doit-il vérifier au bord du cadre ? 4- Montrer qu’une solution possible est de la forme :

u(x,y,t) = u0 sin(mπx

a) sin(

nπyb

) cos(ωt)

où m et n sont deux entiers caractérisant le mode, la membrane correspond à 0<x<a et 0<y<b. 5- A quelle pulsation ω s’établit le mode caractérisés par les deux entiers (m,n) ? 6- On s’intéresse au mode m=1, n=1 A t=0, représenter u en fonction de x pour y=b/2 (au milieu de la membrane).

Ondes 4-16

A t=0, représenter u en fonction de y pour x=a/2 (au milieu de la membrane). Même question pour t=T/4, où T est la période temporelle de l’onde. Même question pour t=T/2, où T est la période temporelle de l’onde. 7- On s’intéresse au mode m=1, n=2 A t=0, représenter u en fonction de x pour y=b/2 (au milieu de la membrane dans la direction y). A t=0, représenter u en fonction de x pour y=b/4 . A t=0, représenter u en fonction de y pour x=a/2 (au milieu de la membrane dans la direction x). 7- L’énergie par unité de surface associe à une onde transverse sur une membrane est :

ES =12

σ∂u∂t

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

2

+12

Y∂u∂x

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

2

+12

Y∂u∂y

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

2

En déduire l’énergie totale du mode (m,n).

******** Partiel S3 SMPE 2002-2003

Partiel de physique -13 novembre 2002 Durée de l’épreuve 2h

Aucun document autorisé, calculette collège autorisée.

(Barême approximatif: Exercices 5 Problème 15)

EXERCICES:

Exercice 1: L’explosion de l’usine AZF de Toulouse située à environ 10km du centre ville, a d’abord provoqué dans le centre ville une secousse sismique dans le sol, puis environ 20s plus tard une violente déflagration a secoué le centre ville. - Expliquer ce décalage entre les deux phénomènes. - Estimer le temps qui s’est écoulé entre l’explosion de l’usine et la déflagration au centre ville. - Donner un ordre de grandeur de la vitesse du son dans le sol. Exercice2:

Une corde de masse linéique µ= 0.1 g cm-1 et de tension 50N est excité en x=0 par un mouvement sinusoïdal d’amplitude 1cm , de fréquence 100Hz. On prendra une phase nulle en x=0 à t=0.

Déterminer la vitesse de propagation de cette onde et sa longueur d’onde. Exprimer le déplacement u(x,) de la corde ainsi que l’angle θ(x,t) que la corde fait

avec l’horizontal (θ est supposé petit). Que vaut l’angle θ au maximum? Quelle est, au cours du temps, la force transversale qu’il faut appliquer en 0 pour

provoquer le mouvement? Quelle est la valeur maximale de la force?

PROBLEME:

Lisez le texte jusqu’au bout: de nombreuses question sont indépendantes les unes des autres

Ondes 4-17

Une onde sonore plane se propage dans un tuyau de section S parallèle à l’axe des x. La vitesse vibratoire est de la forme v i(x,t) = vo cos(ωt − kx) où v0 est un nombre positif. Onde progressive a) Exprimer la vitesse du son dans l’air en fonction de la compressibilité adiabatique de l’air et de la masse volumique.

Que vaut la compressibilité χ de l’air supposé gaz parfait diatomique (γ=7/5) à pression atmosphérique ambiante?

La vitesse du son dans l’air étant de 340ms-1, en déduire la masse volumique de l’air . b) Ecrire la représentation complexe ˆ v i (x,t)de vi (x,t). c) Donner les représentations complexes du déplacement vibratoire ui (x,t) et de la surpression associée à l’onde ainsi que les expressions réelles correspondantes.

d) Déterminer en fonction de S, χ et c l’impédance caractéristique Z =δpi

Svi

.

e) Exprimer en fonction de S, Z et vo la puissance transportée par l’onde au point x à l’instant t. Quelle est la puissance transportée par l’onde moyennée dans le temps? En déduire l’intensité de l’onde. Quelle est l’unité de cette intensité? f) L’intensité de l’onde est 10-5 SI: Que vaut-elle en décibels? Quelle est la valeur de vo? En déduire l’amplitude de la surpression vibratoire. Onde stationnaire

Le tuyau occupe le demi-axe x<0. Une onde réfléchie vient se rajouter à l’onde incidente. La vitesse vibratoire totale dans le tuyau est de la forme: v(x, t) = vi (x, t) + vr (x, t) . a) Quelle est la forme générale de la vitesse vr (x, t)? b) Donner la représentation complexe de vr (x, t) . Donner la représentation complexe

δˆ p r (x) de la surpression associée à cette onde. c) La surpression totale est nulle en x=0. En déduire la surpression de l’onde réfléchie en x=0. Montrer que vi (0, t) = vr (0, t) . d) Ecrire la fonction v(x,t) comme le produit d’une fonction de t par une fonction de x. Dessiner v(x) à t=0, puis v(x) à t=T/4, T étant la période temporelle de l’onde. 3) On suppose maintenant que le tuyau est fermé par un piston de masse m maintenu par un ressort de raideur k et de masse négligeable. A l’équilibre, sans onde, le piston ferme le tuyau en x=0. La présence du piston va modifier les conditions de réflexion.

xO

Ondes 4-18

a) Exprimer le bilan des forces subies par le ressort en présence de l’onde. Que peut-on dire de la pression pour x>0 en négligeant toute onde transmise dans la partie x>0. b) Soit u(t) le déplacement du piston. En l’absence de frottement, écrire l’équation du mouvement du piston. Quelle est la fréquence propre ω0 du piston? c) Déduire de cette équation du mouvement l’amplitude complexe en fonction de ˆ u δˆ p (0). d) La vitesse du piston est celle des molécules d’air en x=0. En déduire u en fonction de

+ ˆ

ˆ v i (0) ˆ v r (0) . e) En exprimant δˆ p (0) en fonction de et ˆ v i (0) ˆ v r (0) , déduire l’équation reliant et ˆ v i (0)ˆ v r (0) .

f) Montrer que ˆ v r (0)ˆ v i (0)

=1− iχcm

ωS(ω2 − ω0

2 )

1+iχcmωS

(ω2 − ω02 )

.

g) Monter que S

χcma la dimension d’une fréquence. En déduire que l’ équation de la

question précédente est homogène

h) Que vaut ˆ v r (0)ˆ v i (0)

dans les trois cas suivants: à très basse fréquence (ω->0) , à très haute

fréquence (ω->∞), à la fréquence propre de l’oscillateur? Commenter.

i) A partir de ˆ v r (0)ˆ v i (0)

=1− iχcm

ωS(ω2 − ω0

2 )

1+iχcmωS

(ω2 − ω02 )

, déduire que la puissance réfléchie moyenne

est égale à la puissance incidente moyenne. En sera-t-il de même si on ajoute des frottements? 8- Montrer que le déphasage ϕ entre ˆ v r (0) et est donné par : ˆ v i (0)

tan(ϕ / 2) = −χcmωS

(ω2 − ω02 ) .

Représenter ϕ en fonction de ω.

Ondes 4-19

ANNEXE : CORRECTION DES PROBLEMES :

Correction problème2 :

1- k = k' = ωc

=2πν

c

ˆ Q i(x,t ) = iωsui(x,t) , ˆ Q r (x, t) = iωsur (x, t) , ˆ Q t(x,t) = iωSut (x,t)

δˆ p i(x,t) = ikχ

ui(x, t) , δˆ p r (x, t) = −ikχ

ur (x, t),δˆ p t (x,t) = ikχ

ut(x,t)

Z=δˆ p i(x, t)ˆ Q i (x, t)

=1

χcs; Z’=

δˆ p t (x, t)ˆ Q t(x, t)

=1

χcS;

2- ui (x, t) = aiCos(ωt − kx + ϕ i ) u r(x, t) = a rCos(ωt + kx + ϕr ) ut (x, t) = a tCos(ωt − kx + ϕ t ) 3- en x=0 : et ˆ Q i(0,t) + ˆ Q r (0,t) = ˆ Q t(0,t) δˆ p i(0, t) +δˆ p r (0, t) = δˆ p t(0,t)

D’où: iωs(Ai + Ar ) = iωSAt et i kχ

(A i − A r ) = i kχ

At

D’où: Ai + A r =

Ss

At = αAtAi − Ar = At

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪

D’où A tAi

=2

1 + α=t et

A rAi

=α − 11 + α

= r = 1-t.

4- en x=-L: u(−L,t) = Ai exp(ikL + iωt) + Ar exp(−ikL + iωt) = aexp(iωt) On en déduit:

Ai =a

exp(ikL) + r exp(−ikL)

A t =ta

exp(ikL) + r exp(− ikL)=

2a(1 + α)exp(ikL) + (1 − α) exp(−ikL)

5- Puissance moyenne transmise dans le second tuyau:

P(k) ==

12

kχ

ωS At2

=12

Sχc

ω 2 At2

Efficacité: G(k)=P(k)a2ω 2 =

S2χc

At2

a2

Or

Ondes 4-20

At2

a2 =2

(1+ α)exp(ikL) + (α − 1)exp(− ikL)[ ]2

(1 + α)exp(−ikL) + (α −1)exp(ikL)[ ] At

2

a2 =4

(1+ α)2 + (α − 1)2 + 2(1 + α)(α − 1)cos(2kL)[ ]=2

1 + α2 + (α2 −1)cos 2kL

Ce rapport est maximum quand cos2kL est égal à -1, il est minimum quand cos2kL est égal à 1 (si α est supérieur à 1).

GMGm

= α2 =Ss

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2=400

cos2kL=-1: L=λ4

+ p λ2

(condition de résonance du tuyau)

Conclusion : On retrouve bien la condition de résonance d’un tuyau ouvert à un bout et fermé à l’autre. : il ya un maximum de transmission pour cetaines fréquences très marquées. Le rapport entre la transmission maximale et la transmisson minimale dépend du carré des rapport des sections.

Correction problème 3:

O

l

S s

On va caractériser les ondes sonores par la vitesse de déplacement vibratoire en notation complexe. Soit ν, la fréquence de l’onde incidente. Pour x<0: ˆ v i(x, t) = vi exp(−ikx + iωt); ˆ v r (x, t) = vr exp(ikx + iωt); ˆ v (x,t) = v i exp(−ikx) + v r exp(ikx)( )exp(iωt) ˆ Q (x,t) = Sˆ v (x,t) = S(vi exp(−ikx) + vr exp(ikx))exp(iωt)

δˆ p (x,t) =1χc

(vi exp(−ikx) − vr exp(ikx))exp(iωt)

Pour x>l: ˆ v (x, t) = v t exp(−ikx + iωt)

ˆ Q (x,t) = Sˆ v (x,t) = Svt exp(−ikx + iωt)

δˆ p (x, t) =1χc

vt exp(−ikx + iωt)

Ondes 4-21

Pour 0<x<l: ˆ v l(x, t) = vi

l exp(−ikx) + vrl exp(ikx)( )exp(iωt)

ˆ Q l(x,t) = s ˆ v (x) = s(v il exp(−ikx) + v r

l exp(ikx))exp(iωt)

δˆ p l(x,t) =1χc

(vil exp(−ikx) − vr

l exp(ikx))exp(iωt)

en x=0: S(vi + vr ) = s(vi

l + vrl )

(vi − vr ) = (vil − vr

l ) en x=L:

Sv t exp(−ikL) = s(v il exp(−ikL) + v r

l exp(ikL)) v t exp(−ikL) = (v i

l exp(−ikL) − v rl exp(ikL))

Des deux premières équations, on déduit:

2vi = (α +1)vil − (1 −α )v r

l en posant α =sS

< 1

Des deux dernières équations:

v il =

12

α +1α

v t ; v rl =

12

1 −αα

vt exp(−2ikL)

On en déduit donc 4αvi = vt (1 + α)2 − (1− α )2 exp(−2ikL)[ ] v t

vi

=4α

(1 + α )2 − (1− α )2 exp(−2ikL)[ ]=δpt

δpi

T= 4α

(1 + α)2 − (1 − α)2 exp(−2ikL)[ ]

2

=16α2

(1 − α)41

1 + α1 − α

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

4+ 1 − 2 1 + α

1 − α⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2cos(2kL)

T =1

1 +(1 − α2 )2

4α2 sin2 (kL)

La transmission T est donc maximum pour cos2kL=1, c’est-à-dire L=p λ/2 : c’est la condition de résonance d’un tuyau ouvert aux deux bouts.

T est minimal pour L=p λ/2+λ/4. Tmax= 1 ; T min =

2α1 + α 2

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

2

Cas l=0: T=Tmax=1 Cas s= 0: α=0 donc T=0 si l=’est pas nul Cas s=S, soit α=1: Tmax=Tmin=1: tout est transmis pour toutes les fréquences car en fait il n’y a pas d’obstacle.

AN: kL=2πl/λ=0.1 donc sinkL≈0.1 α=1/20 , alors (1 − α2 )2

4α2 sin2 (kL)≈400

4* 0.01 ≈ 1, ce

qui veut dire que T vaut 1/2.

Ondes 4-22

2 4 6 8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Représentation de T(y=2kL) pour s/S=1/20

Le coefficient de transmission du tuyau rétréci est donc voisin de 1 uniquement pour

des fréqences trsè piquées autour des fréquences de résonance du tuyau ouvert aux deux bouts. ***************************************************************************

Correction problème 4 déplacement vibratoire en notation complexe de l’onde incidente :

ˆ u i(x,t) = Ai exp −ikx + iωt( ) de l’onde réfléchie : ˆ u r (x,t) = Ar exp ikx + iωt( ) de l’onde transmise : ˆ u t(x,t) = At exp −ikx + iωt( ) Ai ,A r et A t étant des complexes.

Ai = ai exp(iϕ i ) , Ar = a r exp(iϕr ) , A t = a t exp(iϕ t ) ai ,a r et a t étant maintenant des réels positifs.

1- k=ω/c 2- ui(x,t) = aiCos(ωt − kx +ϕ i) ; ur (x, t) = arCos(ωt + kx + ϕ r )

ut(x,t) = atCos(ωt − kx + ϕt ) 3- x>o: du côté de la dormeuse:

ˆ v (x, t) = iωAt exp(ikx + iωt); ; ˆ Q (x,t) = iωAtS exp(ikx + iωt)

δˆ p (x, t) = ikχ

At exp(ikx + iωt) = iωχc

At exp(ikx + iωt)

x<0: du côté du mélomane: ˆ v (x, t) = iωAi exp(ikx + iωt) + iωAr exp(−ikx + iωt) ;

; ˆ Q (x,t) = Sˆ v (x) = SiωAi exp(ikx + iωt) + SiωAr exp(−ikx + iωt)

δˆ p (x, t) = iωχc

Ai exp(ikx + iωt) − Ar exp(−ikx + iωt)( )

4- en x= 0: ˆ u = Ai + Ar = At 5- Bilan des forces exercées sur la paroi:

S(δp(x = 0−) − δp(x = 0+) = Siωχc

Ai − Ar − At[ ]exp(iωt)

On en déduit donc: −σSω 2 ˆ u = Siωχc

Ai − Ar − At[ ]exp(iωt)

At = −i

σωχcAi − Ar − At[ ]= −

2iσωχc

Ai − At( )

On en déduit donc: At

Ai

=1

1 + iσωχc2

=1

1 + iσω2ρc

Ondes 4-23

6- tan ϕ= −σω2ρc

7- T =At

2

Ai2 =

1

1+σω2ρc

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

2 . En db: 10logT

8- AN: ρ=1.2 kg. m-3. Atténuation de 50 db à 300Hz: σω2ρc

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

2

≈ 10−5 , σ≈133 kgm-2.

Soit 5.8 cm de béton. (choisissez un appartement aux murs épais si vous êtes mélomane et si vous ne voulez pas vous fâchez avec votre voisine….) À 1000Hz: atténuation 50+20log(1000/300)= 60.45dB. À 5000Hz: atténuation 50+20log(5000/300)= 74.43dB (ce sont les notes graves qui sont les moins atténuées).

L’atténuation acoustique à travers un mur est d’autant plus importante que les murs sont épais et que la fréquence est élevée. Elle dépend aussi de la nature du matériau.

Ondes 4-24