1

Ondes dans les milieux

diélectriques

PC*/PC

2

I) Notions d’électromagnétisme dans les milieux diélectriques :

Dans la matière, un champ EM agit sur les atomes, les molécules ou les ions en les déformant. Le milieu matériel va ainsi :

• Se polariser sous l’action du champ électrique

• S’aimanter sous l’action du champ magnétique

Ces modifications vont alors provoquer l’apparition d’un champ électrique (ou magnétique) induit par le champ EM externe, qui s’ajoute à celui-ci.

Le but de ce paragraphe est d’expliquer comment ces phénomènes microscopiques se traduisent à l’échelle macroscopique dans l’expression des équations de Maxwell.

Dans certains milieux (métaux, plasmas), les charges se déplacent librement (on parle de charges et de courants libres). Dans les diélectriques, les charges ne se déplacent que très peu et s'organisent sous forme essentiellement de dipôles électriques (on néglige les contributions dues à l’apparition de quadripôles ou même d’octopôles électriques).

Le champ électrique ne pénètre pas dans les milieux conducteurs, la densité surfacique de charges libres d’ajustant pour annuler le champ créé par les charges externes. Par contre, le champ électrique pénètre à l’intérieur d’un matériau isolant et agit sur les porteurs de charge de la matière, d’où le nom de diélectrique (du grec, signifiant « à travers »).

On peut citer l’expérience de l’introduction de matière isolante entre les armatures d’un condensateur, réalisée historiquement par Faraday : on constate que la capacité augmente, d’un

facteur qui dépend du matériau, appelé permittivité relative de l’isolant et notée εr. Pour maintenir le même potentiel, le générateur auquel sont reliées les armatures doit fournir une quantité d’électricité plus importante.

Pour interpréter de manière qualitative cette expérience, on peut suivre la démarche suivante :

• Charger un condensateur plan, puis l’isoler ; quelle conséquence cela a-t-il par la suite sur les charges libres des armatures ?

• Introduire un diélectrique entre les armatures ; quelles sont les caractéristiques du vecteur polarisation dans le diélectrique ?

• Qu’en déduit-on sur les charges volumiques de polarisation ? Et en surface ? (s’aider de petits dipôles)

• Dans quel sens a varié le potentiel pendant l’introduction ? Et la capacité ?

3

Le vecteur polarisation vaut 0 eP Eε χ=r r

, où Er est le champ total à l’intérieur du condensateur.

Sur l’armature gauche, la charge surfacique de polarisation est .( )P x

P u Pσ = − = −r r

. Le champ

électrique créé par cette répartition est alors 0 0

PP x x e

PE u u E

σχ

ε ε= − = − = −

r rr r. Par conséquent, le

champ global Er, somme du champ initial et de celui créé par les charges de polarisation vaut :

00 0

1

1e

e r

EE E E soit E Eχ

χ ε= − = =

+

rr r r r r

4

Remarque : on montre bien que le vecteur Dr reste constant :

0 0 0 0 0

1r

r

E E soit D E E Dε ε εε

= = = =r r r r r r

Quelques remarques sur la piézoélectricité :

1 – Vecteur polarisation :

• Vecteur polarisation :

Dans la plupart des milieux (comme l’air ou l’eau, par exemple) soumis à un champ électrique extérieur, les chargées liées se déplacent à l’échelle atomique et il apparaît alors des dipôles électriques : le milieu se polarise.

5

Un milieu susceptible de se polariser est un « diélectrique ».

On peut citer différentes types de polarisation : la polarisation électronique (ou atomique), la polarisation d’orientation ou encore la polarisation ionique :

* Polarisation électronique : un matériau isolant initialement neutre peut être constitué d'atomes ou de molécules présentant une symétrie telle qu'ils ne possèdent pas de moment dipolaire électrique permanent (H2, O2, …). En revanche, plongé dans un champ électrique, la molécule se déforme (le nuage électronique surtout) et le barycentre des charges négatives diffère de celui des charges positives ; il y a apparition d'un moment dipolaire induit par le champ électrique.

* Polarisation d'orientation : pour des molécules polaires (ayant déjà un moment dipolaire), la présence d'un champ électrique a tendance à orienter les moments dipolaires dans le sens du champ, faisant apparaître ainsi à l'échelle mésoscopique un moment dipolaire résultant non nul.

En l'absence de champ (figure (a)), l'orientation des dipôles élémentaires est aléatoire. En présence de champ (figure (b)), les dipôles ont tendance à s'orienter davantage dans la direction du champ (malgré l'effet antagoniste de l'agitation thermique).

* Polarisation ionique : un cristal ionique se déforme dans un champ électrique et il apparaît alors un moment dipolaire résultant.

Illustration schématique des différents mécanismes de polarisation.

6

On note Pr le vecteur polarisation, défini comme étant le moment dipolaire par unité de volume :

τd

pdP

rr

=

où pdr désigne le moment dipolaire du volume mésoscopique τd .

Le vecteur polarisation peut s’exprimer sous la forme :

*dpP n p

dτ= =

rr r

où n* est la densité particulaire de moments dipolaires (nombre de dipôles par unité de volume).

Modèle de polarisation électronique de l’atome :

(fig) et

7

• Vecteur densité volumique de courants liés :

Ces charges liées se déplacent et créent un courant de charges liées dont on peut définir son vecteur densité volumique.

Volume dτ

Oi

Mi (qi)

vi

ri

Mi : barycentre des charges

négatives (qi < 0)

Oi : noyau fixe

Le vecteur polarisation vaut :

∑∑ ===i

ii

i

iii rqd

MOqdd

pdP

rr

r

τττ

11

(la somme s'effectue sur toutes les charges qi contenues dans le volume mésoscopique dτ).

En dérivant par rapport au temps : (les points Oi sont fixes)

liées

i

ii jvqdt

P rrr

==∂

∂∑

τ

1 ;

liées

Pj

t

∂=

∂

rr

où liéesjr

désigne, par une définition analogue à celle du vecteur densité de courants de charges

libres, le vecteur densité volumique de courants de charges ici liées.

8

• Densité de charges liées correspondantes :

On peut étudier l’état électrique d’un milieu matériel polarisé en définissant une densité volumique de charges liées.

En l'absence de charges et de courants libres, le principe de conservation de la charge conduit ici à :

0=+∂

∂liées

liées jdivt

rρ

Soit :

( ) 0)( =+∂

∂=

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂Pdiv

tPdiv

ttt

Pdiv

tliées

liéesliéesrr

r

ρρρ

Par conséquent, Pdivliées

r+ρ est indépendante du temps. En considérant l'état de repos du

système, il vient :

0=+ Pdivliées

rρ

Ainsi, tout se passe comme si apparaissait une densité de charges liées égale à :

Pdivliées

r−=ρ

Ainsi, dans un milieu matériel, on pourra utiliser les équations de Maxwell dans le vide à condition de tenir compte de ces différentes densités volumiques de charges et de courants.

Densité surfacique de charge de polarisation :

1ère méthode : la relation Pdivliées

r−=ρ permet d’affirmer (par analogie à l’équation de Maxwell-

Gauss) que :

21,1,2 →−=− nPP liéesnn

rrrσ

Si le milieu (2) est le vide et nr le vecteur normal du diélectrique vers le vide (normale sortante) :

nPliées

rr.=σ

2ème méthode (neutralité du milieu) :

La charge électrique portée par le diélectrique doit rester nulle ; ainsi :

0liées liéesV S

d dSρ τ σ+ =∫∫∫ ∫∫�

Soit :

( ) ( . ) 0liées liéesV S S

divP d dS P n dSτ σ σ− + = − + =∫∫∫ ∫∫ ∫∫r r r

� �

Cette égalité doit être valable pour tout volume (V), par conséquent : nPliées

rr.=σ .

2 – Equations de Maxwell dans les milieux :

La densité totale de charges dans le milieu matériel peut s’écrire, en tenant compte des charges libres et des charges liées de polarisation :

9

Pdivlibresliéeslibres

r−=+= ρρρρ

De même, en tenant compte des effets de polarisation, la densité de courants devient :

t

Pjjjj libresliéeslibres

∂

∂+=+=

rrrrr

Les équations de Maxwell-Gauss et Maxwell-Ampère donnent ensuite :

)(1

00

PdivEdiv libres

rr−== ρ

εε

ρ

Et :

t

E

t

Pj

t

EjBrot libres

∂

∂+

∂

∂+=

∂

∂+=

rrr

rrr

000000 µεµµεµ

On définit le champ :

PEDrrr

+= 0ε

Dr est le vecteur déplacement électrique.

Les équations de Maxwell-Gauss et Maxwell-Ampère deviennent :

∂

∂+==

t

DjBrotetDdiv libreslibres

rrrr

0µρ

Les deux autres équations, ne faisant pas intervenir les sources, restent inchangées :

t

BErotetBdiv

∂

∂−==

rrr

0

On obtient ainsi les équations de Maxwell dans les milieux diélectriques.

Dans la suite, on considère des milieux diélectriques dépourvus de charges et de courants libres. Les équations de Maxwell deviennent :

t

BErotBdiv

t

DBrotDdiv

∂

∂−==

∂

∂==

rrr

rrr

;0;;0 0µ

Remarque (discontinuités des champs) :

On a montré dans le cours sur les équations locales que les discontinuités ou continuités des

champs Er et B

r découlaient des équations de Maxwell de la manière suivante :

0div B =r

d’où 2 1

0N N NB B B∆ = − =rr r r

Brot E

t

∂= −

∂

ruuur r

d’où 2 1

0T T TE E E∆ = − =rr r r

0

div Eρ

ε=

r d’où

2 1 1 2

0

N N NE E E n

σ

ε→∆ = − =

r r r r

10

0 0 0

Erot B j

tµ ε µ

∂= +

∂

ruuur r r

d’où 2 1 0 1 2T T T SB B B j nµ →∆ = − = ∧

r r r r r

De la même manière, dans un diélectrique dépourvu de charges et de courants libres, les équations de Maxwell :

t

BErotBdiv

t

DBrotDdiv

∂

∂−==

∂

∂==

rrr

rrr

;0;;0 0µ

conduisent uniquement aux relations de continuités suivantes :

2 10N N ND D D∆ = − =rr r r ;

2 1T T TB B B∆ = −r r r

; 2 1

0N N NB B B∆ = − =rr r r ;

2 10T T TE E E∆ = − =rr r r

3 – Théorème de Gauss pour Dr

:

Il se réécrit simplement :

∑∫∫ = érieureslibresS

qdSnD int)(

.rr

Ainsi, en l'absence de charges libres :

0.)(

=∫∫ SdSnD

rr

Le vecteur Dr devient à flux conservatif.

4 – Milieu linéaire, homogène et isotrope :

La plupart des milieux ne présentent pas de polarisation permanente. Pour ces milieux, lorsque

l'intensité du champ électrique Er (variable éventuellement dans le temps) n'est pas trop

importante, le lien entre la polarisation Pr du milieu et E

r reste linéaire.

Lorsque les variations de Er sont rapides, la polarisation induite ne suit pas toujours

instantanément les variations du champ, mais avec un certain retard (déphasage).

Les composantes de Er et de P

r sont liées par des équations différentielles linéaires.

Lorsque le champ Er varie sinusoïdalement dans le temps, on adopte la notation complexe et les

composantes de Er et de P

r sont alors liées par des relations linéaires du type :

=

z

y

x

zzezyezxe

yzeyyeyxe

xzexyexxe

z

y

x

E

E

E

P

P

P

,,,

,,,

,,,

0

χχχ

χχχ

χχχ

ε soit [ ]EPe

rrχε0=

où [ ]e

χ est une matrice appelée tenseur de susceptibilité électrique.

Le milieu linéaire est homogène si ses propriétés ne dépendent pas du point M ; les coefficients

de la matrice [ ]e

χ ne sont pas fonction de la position.

Il est isotrope si la matrice [ ]e

χ est scalaire (pas de direction privilégiée).

11

Finalement, dans un DLHI (diélectrique linéaire homogène isotrope), la relation entre les champs

Er et P

r est : (en notation complexe)

EPe

rrχε0=

où e

χ est la susceptibilité du milieu (sans dimension), fonction de la pulsation ω du champ

électrique.

Remarque : pour le vide, 0=e

χ .

Expression du vecteur déplacement électrique (ou induction électrique) Dr :

Les équations de Maxwell dans les milieux diélectriques font apparaître un nouveau champ

inconnu Dr :

PEDrrr

+= 0ε

Dans un milieu linéaire, homogène et isotrope : (et en notation complexe)

EEPEDe

rrrrrεχεε =+=+= )1(00

ε est appelé permittivité diélectrique complexe du milieu. C'est une constante caractéristique du matériau.

Dans le cas du vide, )0(0

rrrr== PED ε , alors 0εε =vide .

On définit la permittivité relative εr (constante sans dimension) par :

rεεε 0= soit er χε += 1

L’équation de Maxwell libresDdiv ρ=r

se réécrit alors, en faisant apparaître le champ électrique :

r

libresEdivεε

ρ

0

=r

(dans la zone où εr est réelle)

En régime stationnaire, εr peut se mesurer par le rapport des capacités d’un condensateur avec et sans diélectrique. Elle dépend de la température et de la pression.

Quelques ordres de grandeurs :

* Solides : εr (paraffine) = 2,1 ; εr (verre) = 5,4 à 10

* Eau : εr (eau) = 81

* Air : εr (verre) = 1,000590 (à 20°C et 1 bar)

II) Etude d'un modèle de polarisation électronique, le modèle de l'électron élastiquement lié :

1 - Le modèle de l'électron élastiquement lié :

Ce modèle est dû au physicien hollandais Lorentz (1853 – 1928).

12

Chaque électron est traité comme un oscillateur harmonique amorti par frottement fluide (perte d’énergie par rayonnement dipolaire).

Il est placé dans un champ électrique supposé uniforme à l'échelle de la molécule, de la forme

)cos(0 tEE ωrr

= .

Le PFD appliqué à l'électron donne :

Eqvfrkamrrrr

+−−=

Remarques :

* Le champ de l'onde est uniforme à l'échelle de la molécule : la longueur d'onde de l'onde est >> que les dimensions de la molécule.

* Pour un milieu peu dense, on néglige les champs créés par les molécules voisines. Le champ électrique local est confondu avec celui de l’onde.

* On néglige l'action du champ magnétique de l'onde.

Dans la suite, on pose :

0

2

022

0 ;;ε

ωτωm

en

f

m

m

kp ===

Alors :

Em

qrrr

rr&r&&r =++ 2

0

1ω

τ

On peut définir τω0=Q le facteur de qualité de l'oscillateur :

Em

qrr

Qrrrr

rr&r&&rr&r&&r =++=++ 2

002

0

1ω

ωω

τ

En régime sinusoïdal forcé : E

Qj

m

q

rrr

2

0

2

0

2

0

11

ω

ω

ω

ω

ω

−+

=

2 – Vecteur polarisation :

Le moment dipolaire de la molécule est Erqprrr

α== (où α est la polarisabilité de la molécule).

Le vecteur polarisation s'en déduit : (n* désigne le nombre de charges liées par unité de volume)

E

Qj

m

qn

Prr

2

0

2

0

2

0

2*

11

ω

ω

ω

ω

ω

−+

=

3 – Susceptibilité complexe du milieu :

A partir de EPe

rrχε0= , on déduit :

13

=

−+

=

−+

=2

00

2*

0

2

0

2

0

0

2

0

2

0

2

00

2*

:1

11

1ωε

χ

ω

ω

ω

ω

χ

ω

ω

ω

ω

ωεχ

m

qnAvec

Qj

Qj

m

qn

e

χ0 est la susceptibilité diélectrique statique (pour ω = 0).

On pose 21 χχχ je

−= , alors :

02

0

2

2

0

2

0202

0

2

2

0

2

2

0

2

1

11

1

;1

1

1

χ

ω

ω

ω

ω

ω

ω

χχ

ω

ω

ω

ω

ω

ω

χ

+

−

=

+

−

−

=

Q

Q

Q

Dans la réalité, Q est de l'ordre de 10 3 à 10 4.

Remarque : on reconnaît des expressions semblables aux fonctions de transfert d’un filtre

rejecteur de bande pour 1χ et passe-bande pour 2χ .

On constate que les grandeurs 1χ et 2χ varient notablement dans la bande passante Q

0ωω ≈∆ ,

de part et d'autre de 0ω (voir figures (a) et (b)).

14

(Le facteur de qualité vaut ici Q = 10)

Dans cette bande passante, 2χ prend des valeurs importantes. En dehors de cette zone, 2χ est

très faible (passe-bande très sélectif).

La figure suivante donne les parties réelle et imaginaire de la susceptibilité avec deux pulsations de résonance, l’une à la limite visible – UV et l’autre à la limite UV – Rayons X :

15

On peut montrer que 2χ est directement reliée à la puissance moyenne volumique dissipée.

En effet, celle-ci vaut :

( )*.Re2

1. EjEjP

liéesliéesd

rrrr==

or :

EjjPjjliées

rrr)( 210 χχωεω −==

D'où :

2

0202

1EPd χωε=

Ainsi, l'absorption de l'onde EM sera surtout importante pour des pulsations comprises autour de

ω0.

Ainsi, lorsque la bande d’absorption est éloignée du domaine d’étude (généralement le visible), alors il est inutile de tenir compte du terme d’amortissement dans le PFD appliqué à l’électron. La susceptibilité et l’indice sont alors réels (c’est l’EM dans le vide où c est remplacé par c / n !).

4 – Polarisation totale et ordre de grandeurs :

Un milieu contient souvent plusieurs types de charges susceptibles de se déplacer sous l'action du champ EM de l'onde :

* Les autres électrons liés à l'atome ou à la molécule.

16

* Les noyaux même lourds.

Toutes ces charges liées contribuent au vecteur polarisation total qui peut se mettre sous la forme :

E

Qj

m

qn

Pi

iii

ii

ii

rr

∑−+

=

2

,0

2

,0

2

,0

2*

11

ω

ω

ω

ω

ω

A chaque type d'oscillateur correspond une zone d'absorption. Entre ces zones, la dissipation d'énergie au sein du milieu est faible.

Quelques ordres de grandeurs :

* Les pulsations caractéristiques de la polarisation électronique ω0,e sont situées dans le domaine visible et l'UV (fréquences de l'ordre de 10 14 à 10 15 Hz).

* Les pulsations propres associées aux mouvements des atomes d'une molécule ou des ions d'un cristal ionique, beaucoup plus massifs que les électrons, sont nettement plus faibles. Les

pulsations caractéristiques de la polarisation atomique ou ionique ω0,i, suivant les cas, apparaissent dans le domaine IR (fréquences de l'ordre de 10 12 à 10 14 Hz).

Les facteurs de qualité associés sont élevés, de l'ordre de 10 4 en moyenne, de sorte que l'on observe des zones d'absorption distinctes correspondant aux polarisations électroniques et ioniques.

Intervention des divers types de polarisation (représentation schématique,

l'axe des pulsations étant gradué en échelle logarithmique).

La figure montre l'allure des graphes de χ1 et de χ2 en fonction de la pulsation en ne considérant à chaque fois qu'une seule pulsation de chaque type. L'absorption est importante à chaque fois

17

dans les régions où χ2 est non négligeable (et χ1 varie alors sensiblement). En dehors de ces

régions, χ2 est pratiquement nulle et χ1 varie peu avec la fréquence. L'absorption est insignifiante : le milieu est transparent à l'onde EM.

La courbe en pointillés suggère l'influence d'une polarisation d'orientation ou polarisation dipolaire. Dans l'IR lointain et dans le domaine hertzien, pour un milieu constitué de molécules polaires (comme l'eau par exemple), c'est toute la molécule qui peut osciller dans le champ de l'onde.

Ainsi, l'eau présente :

• Une zone de transparence dans le domaine visible.

• Des zones d'absorption dans l'UV (transitions entre niveaux électroniques) et dans l'IR (modes de vibration de la molécule).

• Une absorption dans le domaine des ondes centimétriques, à la base du fonctionnement des fours à micro-ondes qui échauffent l'eau contenue dans les aliments.

On peut noter enfin que dans les domaines des rayons X (à très hautes fréquences, de l'ordre de

10 17 à 10 20 Hz), χe est réelle et tend toujours vers zéro par valeurs négatives. La plupart des milieux sont ainsi transparents aux rayons X.

Remarque : notons encore que pour être plus réaliste, le modèle classique présenté ici devrait inclure les interactions entre les constituants du matériau.

5 – Complément ; polarisation d’orientation :

18

19

Il est important de remarquer que, contrairement aux polarisations électroniques et atomiques, la polarisabilité d’orientation dépend fortement de la température.

Modèle de Debye de la polarisation d’orientation :

La polarisation d’orientation Pr sous l’action d’un champ variable E

r se décrit bien dans le cas de

l’eau (molécule polaire) par l’équation suivante :

0 0

dPP E

dtτ ε χ+ =

rr r

Que représente τ ? Comment s’interprète le terme dP

dtτ

r

? Ce milieu est-il linéaire ?

Décrire la situation en basses fréquences et aux fréquences optiques, sachant que 1210 sτ −≈ et

que la fréquence d’absorption des micro-ondes est de 2,45 GHz.

20

Une application numérique intéressante :

Quelle est l’énergie d’une molécule d’eau de moment dipolaire 290,6.10 .p C m−= lorsque qu’elle

est orientée dans le sens d’un champ très fort 5 110 .E V m−= ? Le liquide est à une température

T = 300 K ; un choc entre molécules transférant une énergie thermique de l’ordre de kT peut-il désorienter le moment dipolaire ? Conclusion.

III) Propagation d'ondes EM dans un DLHI :

Une erreur consiste à croire qu’un milieu isolant (comme les diélectriques) ne laisse pas passer les ondes (hertziennes par exemple). Or c’est exactement le contraire : les diélectriques sont essentiellement transparents aux ondes hertziennes, alors que les milieux conducteurs (eau de mer, métaux) les réfléchissent et les absorbent.

exercice

21

1 – Equation de propagation :

Les équations de Maxwell dans le milieu sont : (il n'y a ni charges ni courants libres)

t

DBrotetDdiv

∂

∂==

rrr

00 µ

t

BErotetBdiv

∂

∂−==

rrr

0

Avec :

EEPED re

rrrrrεεχεε 000 )1( =+=+=

En remarquant que t

DBrot

∂

∂=

rr

0µ est identique à t

EBrot r

∂

∂=

rr

00 µεε , on voit qu'on se ramène

à l'équation de propagation dans le vide à condition de remplacer 0ε par rεε0 .

Ainsi, les champs EM vérifient l'équation de d'Alembert :

0;02

2

22

2

2

rr

rrr

r=

∂

∂−∆=

∂

∂−∆

t

B

cB

t

E

cE rr εε

2 – Relation de dispersion, indice du milieu :

On réalise une étude harmonique en recherchant des solutions complexes de la forme, pour le champ électrique par exemple :

( . )

0

j t k rE E e ω −=r rr r

où le vecteur d’onde kr est a priori complexe.

L'équation de d'Alembert conduit à la relation de dispersion :

2

22

ck r

ωε=

On pose 21 εεε jr −= et 21 jkkk −= , alors :

22

2

2112

22

2

2

1 2; εω

εω

ckk

ckk ==−

On définit l'indice complexe du milieu par référence au vecteur d'onde dans le vide, c

kω

=0 :

kc

k

kn

ω==

0

(Remarque : l'indice d'un milieu en optique est simplement défini par : 0k

k

v

c

v

cn ===

ω

ω).

Remarque sur la définition de l’indice complexe :

On a vu dans le cas des ondes mécaniques que la vitesse de phase était donné par :

22

Re( )v

kϕ

ω=

L’indice correspondant (qui est l’équivalent de l’indice de réfraction connu en optique pour les ondes lumineuses) est :

Re( )c c

n kvϕ ω

= =

Il définit la propagation de l’onde (et sa dispersion).

On posera de même, par analogie :

" Im( )c

n kω

=

n’’ est appelé l’indice d’extinction.

Par conséquent :

ern χε +== 12

Si on note 21 jnnn −= :

222111

2

2

2

1 2;1 χεχε ==+==− nnnn

En utilisant le modèle de l'électron élastiquement lié :

2

0

2

0

02

11

11

ω

ω

ω

ω

χχ

−+

+=+=

Qj

ne

Dans le cas de milieux peu denses, 1<<e

χ et ainsi :

2

0

2

0

0

11

2

11

ω

ω

ω

ω

χ

−+

+≈

Qj

n

On en déduit les parties réelle et imaginaire de l'indice complexe :

2

0

2

2

0

2

002

2

0

2

2

0

2

2

0

2

01

)1

()1(

1

2;

)1

()1(

1

21

ω

ω

ω

ω

ω

ω

χ

ω

ω

ω

ω

ω

ω

χ

Q

Qn

Q

n

+−

≈

+−

−

+≈

23

χχχχ0 = 10-2 (milieu dilué), une seule pulsation propre ωωωω0 correspondant à λλλλ0 = 3 µµµµm

(IR, polarisation atomique) et Q = 10° (pour la lisibilité des courbes)

Quelques ordres de grandeurs de permittivité relatives :

Remarque : on constate que, pour les milieux polaires comme l'eau par exemple, rn ε≠2 : la

polarisation n'est pas seulement électronique mais surtout polaire et dépend de la fréquence. La permittivité relative de l’eau par exemple vaut 80 à 1 GHz et 1,77 à 5,1.10 15 Hz (lumière jaune).

24

2 – Dispersion et absorption :

Le champ électrique d'une onde plane monochromatique se propageant dans le sens des x > 0 s'écrit :

),:( 2211

)(

012 positifs

cnket

cnkAveceeEE

xktjxk ωωω === −−rr

Soit, en notation réel et en supposant 0Er réel :

)cos( 102 xkteEExk −= − ω

rr

* L'indice n1 est l'indice de réfraction que l'on utilise en optique. Il permet d'exprimer la vitesse de phase de l'onde plane :

11 n

c

kv ==

ωϕ

Si n1 dépend de ω, il y a dispersion.

Si la pulsation est éloignée d'une pulsation propre, l'indice du milieu est réel et égal à n1. De plus, n1 varie peu avec la fréquence, la dispersion est faible (voir l'application suivante, sur la loi de Cauchy).

* Le coefficient n2 caractérise l'absorption de l'onde par le milieu. Il est encore appelé indice

d'extinction. La longueur 2/1 k=δ donne l’ordre de grandeur de la longueur de pénétration de

l'onde dans le milieu.

exp(- x / δ)

x

Courbe à t fixé

Pour qu'il y ait absorption, il faut se placer dans une zone de fréquences située au voisinage d'une pulsation propre du milieu.

25

Par exemple, le verre absorbe le rayonnement UV dont la longueur d'onde est inférieure à 320 nm. L'ozone et le dioxygène possèdent également une zone d'absorption dans l'UV, ce qui explique le rôle protecteur de l'ozone et de l'atmosphère.

Courbes expérimentales n1(λλλλ) et n2(λλλλ) pour l'eau, de l'UV proche (λλλλ = 0,6 µµµµm) à l'IR proche (λλλλ = 8 µµµµm).

On retrouve les absorptions dans l'IR et l'UV déjà signalées.

L'eau et le dioxyde de carbone absorbent l'IR (ce qui explique l'effet de serre).

1ère application ; Loi de Cauchy pour l'indice d'un prisme de verre :

On se propose d’étudier le modèle simplifié suivant de la propagation d’une onde dans un milieu neutre dilué (du verre, par exemple) et de démontrer l’expression de la loi de Cauchy donnée en

1ère année ( 2/)( λλ BAn += ).

On suppose que f = 0 et que ω0 >> ω. L’indice du milieu pour la pulsation ω est défini par la

relation : ncv /=ϕ , où ϕv est la vitesse de phase.

Montrer que l’on peut écrire une formule approchée (loi de Cauchy) : 2

Bn A

λ= + , où λ est la

longueur d’onde dans le vide d’une onde de pulsation ω et où A et B sont des constantes

caractéristiques du milieu que l’on exprimera en fonction de ω0, χe et c.

Si l'on reprend les notations du cours, l’indice du milieu est réel et vaut, avec Q infini (on suppose

0ωω << , on est loin de l’absorption) :

2

0 0

2 2

0

2

0

11 1 1

2 21

nχ χ ω

ω ω

ω

≈ + ≈ + +

−

La longueur d’onde dans le vide est donnée par : ω

πλ

c2= , d’où :

26

2 2

0

2 2 2

0

4 11 1

2

c Bn A

χ π

ω λ λ

= + + = +

En posant :

2 2

002

0

21

2

cA et B

χ πχ

ω= + =

C’est la loi de Cauchy.

2nde application ; loi de Gladstone :

Afin de ne pas confondre avec l’indice, exprimer la densité particulaire *n en fonction de la

masse volumique ρ et de la masse molaire M.

Pour un gaz (milieu dilué), montrer qu’il est facile d’obtenir une relation simple entre la

polarisabilité α (grandeur microscopique) et l’indice n du milieu transparent (grandeur macroscopique).

Dans le cas de l’air, quelle est alors la valeur numérique de α ? En appliquant la relation 3

4 aα π= , où a est le rayon des molécules supposées sphériques, déduire la « taille » des molécules d’air.

3ème application ; loi de Beer-Lambert :

On peut proposer une interprétation de la loi de Beer-Lambert utilisée en spectrométrie en chimie.

27

Sachant que, pour λ = 500 nm, l’intensité à la profondeur de 12 m est le dixième de l’intensité près de la surface de l’eau, calculer l’indice d’extinction de l’eau.

3 – Relation entre vitesse de phase et vitesse de groupe :

La vitesse de phase et la vitesse de groupe sont données par :

)(; 11

111 c

nk

dk

dv

n

c

kv g

ωωωϕ ====

En dérivant k1 :

+==

ωω

ω d

dnn

cvd

dk

g

11

1 11

Soit λ la longueur d’onde dans le vide ( ωπλ /2 c= ) :

λλ

λ

πλ

π

ωω

ωω

d

dn

c

dn

d

c

dn

dd

dn 1

11

1

2

121−=

==

Finalement :

λ

λ

λλ

ϕ

d

dn

n

v

d

dnn

cvg

1

1

11 1−

=

−

=

Le cours

conduit à la valeur

28

La vitesse de phase est représentée en traits pleins et la vitesse de groupe en pointillés (limitée à c). Dans le domaine d’absorption, la vitesse de phase varie rapidement et la vitesse de groupe dépasse la valeur c. Elle ne représente plus la vitesse de propagation de l’énergie et perd sa signification.

4) Exemple d’un milieu anisotrope, lames demi-onde ou quart d’onde :

Pour les lames demi-onde ou quart d’onde (voir TP), on distingue l’axe (Ox) (direction de propagation) des axes (Oy) et (Oz) du plan d’onde (directions de polarisation du champ électrique). Ce milieu anisotrope est bien représenté par la relation : *

0 0 0 0

0 0 0 0 ( )

0 0 0 0

x x x x

y yy y y z

z zz z

D E

D D E E Avec

D E

ε ε

ε ε ε ε

ε ε

= = = ≠

r r

Cela signifie qu’une onde EM se propage suivant (Ox) avec un indice ,y r yn ε= pour la

composante Ey et un indice ,z r zn ε= pour la composante Ez. En déduire qu’une lame

d’épaisseur e (par exemple de x = 0 à x = e) entraîne un changement d’état de polarisation de l’onde.

Une lame demi-onde, également notée lame λ/2, crée un déphasage valant 180°, c'est-à-dire un retard d'une moitié de longueur d'onde. L'onde sortante d'une telle lame présente une polarisation symétrique de l'onde entrante par rapport à l'axe optique.

Une lame quart d'onde, également notée lame λ/4, crée un déphasage de 90°, c'est-à-dire un retard d'un quart de longueur d'onde. Elle permet de passer d'une polarisation rectiligne à une polarisation elliptique ou circulaire, et vice-versa.

29

IV) Réflexion et réfraction des ondes EM :

On considère deux milieux diélectriques LHI (1) et (2).

On se place dans les zones de transparence pour lesquelles les indices n1 et n2 sont réels.

Une onde incidente arrive à l'interface entre les deux milieux (sur le dioptre, surface qui sépare les deux diélectriques). On souhaite déterminer l'onde réfléchie et l'onde transmise.

On rappelle que, dans un diélectrique dépourvu de charges et de courants libres, les équations de Maxwell :

t

BErotBdiv

t

DBrotDdiv

∂

∂−==

∂

∂==

rrr

rrr

;0;;0 0µ

conduisent aux relations de continuités suivantes :

2 10N N ND D D∆ = − =rr r r ;

2 1T T TB B B∆ = −r r r

; 2 1

0N N NB B B∆ = − =rr r r ;

2 10T T TE E E∆ = − =rr r r

La composante tangentielle du champ électrique est continue ainsi que la composante normale du champ magnétique à la traversée du dioptre.

La relation de Maxwell valable pour le champ Dr, 0=Ddiv

r, montre que la composante normale

du champ Dr est continue (alors que celle du champ E

r est discontinue).

La composante tangentielle du champ magnétique est continue : finalement, le champ

magnétique Br est continu à la traversée du dioptre.

1 – Lois de Descartes :

Le champ électromagnétique de l’onde incidente, se propageant dans la direction du vecteur iur

dans le milieu (1) s’écrit :

).(

0

rkti

iiieEErrrr

−= ω et ).(0 rktiiii

ieEk

Brr

rrr

−∧= ω

ω (avec ii u

cnk

rr ω1= )

30

Pour l’onde réfléchie dont la pulsation est la même que celle de l’onde incidente (se propageant

dans la direction du vecteur rur dans le milieu 1) :

).(

0

rkti

rrreEErrrr

−= ω et ).(0 rktirrr

reEk

Brr

rrr

−∧= ω

ω (avec rr u

cnk

rr ω1= )

Pour l’onde transmise dont la pulsation est la même que celle de l’onde incidente (se propageant

dans la direction du vecteur tur dans le milieu 2) :

).(

0

rkti

ttteEErrrr

−= ω et ).(0 rktittt

teEk

Brr

rrr

−∧= ω

ω (avec tt u

cnk

rr ω2= )

(2)

(1)

P O

Nr

ikr

rkr

Prr

tkr

On peut écrire la continuité de la composante tangentielle du champ électrique :

).(

//,0

).(

//,0

).(

//,0PtPrPi rkti

t

rkti

r

rkti

i eEeEeErrrrrr rrr

−−− =+ ωωω

où OPrP =r

désigne le rayon vecteur d’un point P quelconque du dioptre (avec l’origine O

choisie sur le dioptre).

Soit encore :

PtiPri rkki

t

rkki

ri eEeEErrrrrr rrr

).(

//,0

).(

//,0//,0

−− =+

Cette équation devant être valable pour tout point P, il vient :

0).().( =−=− PtiPri rkkrkkrrrrrr

Les vecteurs ri kkrr

− et ti kkrr

− sont donc colinéaires à Nr.

On en déduit que le vecteur d’onde de l’onde réfléchie et de l'onde transmise sont donc dans le

plan d’incidence (défini par ikr et N

r).

31

(2)

(1)

P O

Nr

ikr

rkr

Prr

tkr

(1) Nr

ikr

rkr

(2) P

tkr

i1

i2

Enfin, comme c

nkk ri

ω1== et que ri kk

rr− est colinéaire à N

r, les angles d’incidence et de

réflexion sont identiques (loi de Descartes pour la réflexion).

Si on projette sur la surface du dioptre ti kkrr

− , il vient :

21 sinsin ikik ti = soit 2211 sinsin inin =

On démontre ainsi la loi de Descartes sur la réfraction.

Réfraction limite, réflexion totale, onde évanescente :

Le milieu le plus réfringent possède l’indice de réfraction le plus grand.

Incidence rasante et angle de réfraction limite.

32

On peut encore écrire i t

k k−r r

que est parallèle à la normale au dioptre, soit en projection :

, 1 , 1sin cost y i t x i

k k i et k k i α= = +

Soit encore, avec 2 0 1 0t ik n k et k n k= = :

2 2 2 2 2 2

2 0 1 0 1 1 0 1sin ( cos )n k n k i n k i α= + +

2 2 2 2 2

2 0 1 0 1 0 1(2 cos )n k n k n k i α α= + +

D’où l’équation du second degré en α :

2 2 2 2

1 0 1 1 2 0(2 cos ) ( ) 0n k i n n kα α+ + − =

Le discriminant est :

2 2 2 2 2 2 2 2

1 0 1 1 2 0 0 1 1 2(2 cos ) 4( ) 4 ( sin )n k i n n k k n i n∆ = − − = − +

Comme i i>l, 1 2 1sin /i n n> et ainsi :

2 2 2

0 1 1 22 sinjk n i n∆ = −

On en déduit ensuite la valeur de α :

2 2 2

1 0 1 0 1 1 2cos sinn k i jk n i nα = − ± −

Et enfin la composante (selon la direction de propagation (Ox)) du vecteur d’onde de l’onde transmise :

2 2 2

, 0 1 1 2sint xk jk n i nα= = ± −

Par conséquent, l’onde transmise peut s’écrire (attention, x est ici > 0) :

2 2 20 1 1 2 1 0 1sin ( sin )

0

k n i n x j t n k i yE E e e

ω− − −=r r

2 – Coefficients (en amplitude) de réflexion et de transmission en incidence normale :

Dans ce cas particulier, on peut écrire :

* Continuité du champ électrique :

tri EEE 000

rrr=+

* Continuité du champ magnétique :

txrxix EunEunEun 020101 )(rrrrrr

∧=∧−+∧

En multipliant vectoriellement chaque membre par xur :

33

tri EnEnEn 020101

rrr=−

(1)

(2)

x

Ei Er

Et

kt

Bt

Bi

Br

kr

ki

(On a supposé sur le dessin les ondes polarisées rectilignement)

On obtient ainsi le système :

tri EEE 000

rrr=+ et tri EnEnEn 020101

rrr=−

On en déduit :

21

2100

nn

nnravecErE ir

+

−==

rr

21

100

2

nn

ntavecEtE it

+==

rr

Quelques remarques :

* t est toujours positif : il n'y a pas de changement de phase lors de la transmission.

* r peut être positif ou négatif :

- n1 > n2 : la réflexion n'introduit pas de déphasage

- si n1 < n2 : la réflexion introduit un déphasage de π.

3 – Coefficients (en énergie) de réflexion et de transmission en incidence normale :

Le vecteur de Poynting incident est (en valeur moyenne) :

xii uEc

n rr2

,0

0

1

2µ=Π

Pour les ondes réfléchie et transmise :

xttxrr uEc

netuE

c

n rrrr2

,0

0

22

,0

0

1

2)(

2 µµ=Π−=Π

Les coefficients en énergie de réflexion et de transmission sont alors :

2

21

212

1

2

2

21

212

)(

4

nn

nnt

n

nTet

nn

nnrR

i

t

i

r

+==

Π

Π=

+

−==

Π

Π= r

r

r

r

34

la caméra interférent destructivement ; la couche antireflet est efficace pour une longueur d’onde et une incidence données.

Rayons réfléchis et transmis par la couche mince diélectrique.

Exercice d’application ; lame antireflet :

Une OPPM polarisée rectilignement de longueur d’onde λ0, provenant d’un

Solution :

35

36

37

4 – Coefficients (en amplitude) de réflexion et de transmission en incidence quelconque :

Le calcul des coefficients de réflexion et de transmission s'effectue de manière analogue en distinguant le cas d'une onde polarisée dans le plan d'incidence et le cas d'une onde polarisée perpendiculairement au plan d'incidence.

38

Les formules de Fresnel :

a) Calculer les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude et énergie sous incidence oblique sur un dioptre plan pour :

Solution :

39

40

Remarques :

Lorsque n2 < n1, les coefficients de réflexion sont égaux à 1 pour tout angle d'incidence supérieur

à l'angle limite )/arcsin( 12 nni =l

: on retrouve le phénomène de réflexion totale vue en optique

géométrique.

D'autre part, une onde polarisée dans le plan d'incidence ne donne naissance à aucune onde réfléchie lorsque l'angle d'incidence est égal (voir exercice) à l'angle de Brewster

)/arctan( 12 nnib = ; dans ce cas, le dioptre éclairé par une lumière non polarisée (superposition

aléatoire d'ondes polarisées dans le plan d'incidence et perpendiculaire à ce plan) donne naissance à une onde réfléchie polarisée perpendiculairement au plan d'incidence. On a ainsi obtenu une lumière polarisée rectilignement à partir de lumière non polarisée : ce procédé est appelé polarisation par réflexion vitreuse.

Cette propriété est utilisée en photographie où l'utilisation de filtres polarisants permet de réduire la lumière réfléchie (donc parasite).

41