Ondes et Propagation - ISAE-SUPAERO · 2016. 9. 5. · Ondes et propagation Radio-communications Modélisation rigoureuse Modélisation asymptotique Traitement d’antenne Canal de

Ondes et Propagation

Rémi Douvenot – [email protected]

ENAC - TELECOM/EMA

Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 1 / 238

Plan

1 IntroductionL’électromagnétismeÉlectromagnétisme et aviation civileOndes et Propagation dans le cursus IENACLe système de radiocommunicationsRappel et notationsÉlectrostatiqueMagnétostatique

2 Les Équations de MaxwellÉnoncés des équations de MaxwellInteraction avec la matièreLes conditions aux limitesRésumé

3 Théorèmes FondamentauxPrincipe de superpositionThéorème de PoyntingThéorème d’unicitéPrincipes de symétrie et antisymétrie

4 Les Ondes PlanesFormulationCaractérisation (milieu sans pertes)Dans un milieu à pertesRéflexion et transmission d’une onde plane

5 Propagation en Espace LibreLe décibelLes antennes – Point de vue “système”Bilan de liaison en espace libreÉquation du radar

6 Propagation en Milieu ComplexeRéflexion sur une surfaceDiffraction par un obstacleEffets atmosphériques

7 Logiciels pour la ModélisationMéthodes statistiques pour la modélisationMéthodes déterministes pour la modélisation

8 Conclusion


Plan


2 Les Équations de Maxwell

3 Théorèmes Fondamentaux

4 Les Ondes Planes

5 Propagation en Espace Libre

6 Propagation en Milieu Complexe

7 Logiciels pour la Modélisation

8 Conclusion


QUIZZ

Les équations de Maxwell

Qui a écrit les équations de Maxwell ?

1 2 3


QUIZZ



1 2 3

Solution

➁Maxwell dit : ∇ ·D = ρe, ∇ ·B = 0,

∇ × E = −∂B∂t, ∇ ×H = J tote +

∂D

∂t.


QUIZZ



1 2 3

Solution

➁Maxwell dit : ∇ ·D = ρe, ∇ ·B = 0,

∇ × E = −∂B∂t, ∇ ×H = J tote +

∂D

∂t.

et la lumière fut.Rémi Douvenot (TELECOM/EMA) Ondes et Propagation 2014-2015 4 / 238

Plan




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8 Conclusion


QUIZZ

Un peu de physique

Comment excite-t-on un électron ?

1/ par absorption d’un photon ;

2/ par collision avec un électron ;

3/ par absorption d’un neutrino ;

4/ en imitant le cri de sa femelle.


QUIZZ

Un peu de physique


1/ par absorption d’un photon ;

Solution

➀


QUIZZ

Un peu de physique


1/ par absorption d’un photon ;⇒ C’est le boson associé à l’électromagnétisme

Solution

➀


Le modèle Standard


Historique

1820 Ørsted lie électricité et magnétisme

1821 Faraday découvre l’électromagnétisme expérimentalement → Notion de lignes de force1831 Induction magnétique → Loi de Faraday1861 Maxwell introduit le courant de déplacement

1864 Maxwell décrit l’électromagnétisme en 20 équations

1884 Heaviside écrit les 4 “équations de Maxwell”


Plan




4 Les Ondes Planes




8 Conclusion


Électromagnétisme et l’aviation civile – les problématiques


Électromagnétisme et l’aviation civile – la recherche à l’ENAC

Modélisation de l’impact des éoliennes sur les systèmes VOR.

Modélisation de la propagation électromagnétique sur de grandes distances en environnement 3D.

Développement d’antennes pour la réception de signaux GNSS multi-constellations.

etc.


Plan




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8 Conclusion


La majeure AVI

cours de1ère année

Majeure AVI

Majeure AVI

Ondes etpropagation

Radio-communications

Traitementdu signal

MathématiquesÉlectronique


La mineure GNSS

Mineure GNSS

Ondes etpropagation

Antenne etpropagation

Mathématiques

Électronique


La majeure SATcours de

1ère année

majeure SAT

ARE

Majeure SAT

Électromag.avancé

Ondes etpropagation

Radio-communications

Modélisationrigoureuse

Modélisationasymptotique

Traitementd’antenne

Canal depropagation

Traitementdu signal

MathématiquesÉlectronique

Antennes Antennes pourle spatial

Propagationguidée

Systèmes HFpassifs

Systèmes HFactifs

Opto-électronique

Compatibilitéélectromag.

Transmission


La mineure Futurs systèmes télécoms

Majeure SAT (AVI ?)

Mineure “Futurs systèmes telecom”

OFDM(multiplexage fréquentiel)

MIMO(multi-antennes)

Futurs Systèmesde Positionnement

Futurs systèmes télécomAviation

Futurs systèmes télécomGrand public (téléphone, wifi, ...)

Liaisons optiques

SMGCS(Positionnement en aéroport)


Les autres

Pour les autres...

Ondes etpropagation

Mathématiques

Électronique


Plan




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8 Conclusion


Introduction

Diagramme d’une transmission radiofréquence

DonnéesDonnées

Émetteur

Codage Modulation AmplificationAmplification AntenneAntenne DécodageDémodulationCanal de

propagation

Récepteur

et filtrageet filtrage

- Multitrajets, réfraction, ...

- Interférences

- Bruit

BruitIntermodulations Intermodulations

Les différents élémentsCodage - code les données à transmettre en une série de bits, inclut des bits de détection et decorrection d’erreurs

Modulation - génère un signal RF adapté au canal de propagation, inclut notamment une transpositionde fréquence

Amplification et filtrage - génère la puissance souhaitée dans la bande de fréquence utilisée

Antenne d’émission - assure la transition entre l’émetteur et le canal de propagation

Canal de propagation - milieux traversés par le signal entre l’émetteur et le récepteur


Introduction

Diagramme d’une transmission radiofréquence

DonnéesDonnées

Émetteur

Codage Modulation AmplificationAmplification AntenneAntenne DécodageDémodulationCanal de

propagation

Récepteur

et filtrageet filtrage

- Multitrajets, réfraction, ...

- Interférences

- Bruit

BruitIntermodulations Intermodulations

Les différents élémentsCanal de propagation - milieux traversés par le signal entre l’émetteur et le récepteur

Antenne de réception - assure la transition entre le canal de propagation et le récepteur

Amplification et filtrage - amplifie le signal RF reçu dans la bande de fréquence utilisée

Démodulation - récupère le signal codé à partir du signal RF reçu

Décodage - récupère les données


Plan




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8 Conclusion


Notations

Nous utilisons dans ce support de cours les notations internationales les plus courantes.

VecteursVecteurs notés en gras a.

Vecteurs unitaires notés avec un accent circonflexe â.

Produits scalaire noté a · b.Produits vectoriel noté a × b.

Repères et coordonnées

Repère cartésien de référence noté (O, x̂, ŷ, ẑ).

Coordonnées sphériques notées (r, θ, φ).

À un point quelconque M de l’espace est associé le vecteur r =−−→OM.


QUIZZ

UnitésQuelle est l’unité du champ électrique ?

1/ V.m−1.s−1 ;

2/ V ;

3/ V.s ;

4/ A ;

5/ W1/2 ;

6/ V.m−1.


QUIZZ

UnitésQuelle est l’unité du champ électrique ?

6/ V.m−1.

Solution

➅


Grandeurs étudiées

Les sources

J e(r, t) la densité de courant électrique en [A.m−2] ;

ρe(r, t) la densité de charge électrique en [C.m−3].

Les champs

E(r, t) le champ électrique en [V.m−1] ;

H(r, t) le champ magnétique en [A.m−1].

Les inductions

D(r, t) l’induction électrique en [C.m−2] ;

B(r, t) l’induction magnétique en [Wb.m−2].


Grandeurs étudiées

Les sources

J e(r, t) la densité de courant électrique en [A.m−2] ;

ρe(r, t) la densité de charge électrique en [C.m−3].

Les champs

E(r, t) le champ électrique en [V.m−1] ;

H(r, t) le champ magnétique en [A.m−1].

Les inductions

D(r, t) l’induction électrique en [C.m−2] ;

B(r, t) l’induction magnétique en [Wb.m−2].

AttentionClasses prépas : force de Lorentz F = q(E + v ×B) ;Télécoms : champ électromagnétique (E,H).

On ne s’intéresse plus au champ B (induction !), mais au champH .


Opérateurs différentiels

Le gradient

Grandeur vectorielle qui caractérise ses variations.En cartésien :

−−−→grad(u) =

∂u

∂x∂u

∂y

∂u

∂z

.

u∇u

M

La divergence

Grandeur scalaire qui décrit localement la notionde flux. En cartésien :

div(U) =∂Ux

∂x+∂Uy

∂y+∂Uz

∂z.

Le rotationnelGrandeur vectorielle qui décrit localement lanotion de circulation. En cartésien,

−→rot(U) =

∂Uz

∂y−∂Uy

∂z

∂Ux

∂z− ∂Uz∂x

∂Uy

∂x− ∂Ux∂y

.


Opérateurs différentiels

La notation nabla ∇

∇ =

∂

∂x∂

∂y

∂

∂z

.

Gradient, divergence et rotationnel s’écrivent

−−−→grad(g)= ∇g,

div(U) = ∇ · U,−→rot(U) = ∇ × U.

Illustrations des différents opérateurs

M

U

Figure: ∇ ·U , 0,∇ × U = 0.

U

M

Figure: ∇ · U = 0,∇ × U , 0.

U

M

Figure: ∇ · U , 0,∇ × U , 0.


Le régime harmonique

Le régime harmonique

Fréquence f fixée (pulsation ω = 2πf ) :

en temporel : U(r, t) ;

en fréquentiel : U(r) ;

avecU(r, t) = Re(U(r)ejωt) ;◮ affranchissement de la dépendance sinusoïdale rapide.

Conséquence :∂

∂t⇔ × jω

Amplitude / phase

Régime temporel harmoniquechamp E = Emax cos(ωt + φ0)û E = Eûamplitude crête Emax |E|

phase φ(t) = ωt + φ0

φ0 = ∠E

φ(t) = ∠(Eejωt) = ωt + ∠Elien E = Re(U(r)ejωt) E = Emaxejφ0vecteur û û = û(t) û ∈ C.


QUIZZ

Les opérateurs

Le(s)quel(s) de ces champs a (ont) un divergent nul au point M ?

1

M

U

2

U

M

3

U

M

4

U

M

Choix1/ ➀ et ➂ ;

2/ ➁ et ➃ ;

3/ ➁ ;

4/ ➀ ;

5/ ➃ ;

6/ Aucun de ces quatre ;

7/ Tous.


QUIZZ

Les opérateurs

Le(s)quel(s) de ces champs a (ont) un divergent nul au point M ?

1 2

U

M

3 4

U

M

Choix1/ ➀ et ➂ ;

2/ ➁ et ➃ ;

3/ ➁ ;

4/ ➀ ;

5/ ➃ ;

6/ Aucun de ces quatre ;

7/ Tous.

Solution

➁ et ➃.


QUIZZ

Lesquels de ces signaux ne sont pas en régime harmonique ?

t

s 1

t

s 2

t

s 3

f

|F(s

4)|

t

|F(s

5)|

t

|F(s

6)|

1/ s1 et s4

2/ s1 et s5

3/ s1 et s6

4/ s2 et s6

5/ s3 et s4

6/ s3 et s5


QUIZZ

Lesquels de ces signaux ne sont pas en régime harmonique ?

t

s 2

t

s 3

f

|F(s

4)|

t

|F(s

6)|

2/ s1 et s5


Plan




4 Les Ondes Planes




8 Conclusion


Électrostatique

Faire rappels


Plan




4 Les Ondes Planes




8 Conclusion


Magnétostatique

Faire rappels


Plan

1 Introduction



4 Les Ondes Planes




8 Conclusion


Les Équations de Maxwell

Les équations de Maxwell – Régime temporel

En présence de sources électrique ρe, J e, les ondes E etH vérifient

Maxwell-Gauss : ∇ ·D = ρe,Maxwell-Thomson : ∇ ·B = 0,

Maxwell-Faraday : ∇ × E = −∂B∂t,

Maxwell-Ampère : ∇ ×H = J tote +∂D

∂t.

Les différents termes∇· : divergence ;∇× : rotationnel ;D : induction électrique ;

B : induction magnétique ;

E : champ électrique ;

H : champ magnétique ;

J tote : courant électrique.




En présence de sources électrique ρe, J e, les ondes E etH vérifient

Maxwell-Gauss : ∇ ·D = ρe,Maxwell-Thomson : ∇ ·B = 0,

Maxwell-Faraday : ∇ × E = −∂B∂t,


∂t.





J tote : courant électrique.

Conservation de la charge

équivalence entre courants et charges par laconservation de la charge

∇ ·J tote +∂ρe

∂t= 0.

J tote grandeur volumique sont souventsurfacique en pratique.




En présence de sources électrique ρe,J e et magnétique ρm,Jm, les ondes E etH vérifient

Maxwell-Gauss : ∇ ·D = ρe,Maxwell-Thomson : ∇ ·B = ρm,

Maxwell-Faraday : ∇ × E = −Jm −∂B

∂t,


∂t.





J tote : courant électrique ;

Jm : courant magnétique.




En présence de sources électrique ρe,J e et magnétique ρm,Jm, les ondes E etH vérifient

Maxwell-Gauss : ∇ ·D = ρe,Maxwell-Thomson : ∇ ·B = ρm,

Maxwell-Faraday : ∇ × E = −Jm −∂B

∂t,


∂t.





J tote : courant électrique ;





∂t= 0,

∇ ·Jm +∂ρm

∂t= 0.

sources magnétiques ∄ dans la nature.

J tote et Jm grandeurs volumiques sontsouvent surfaciques en pratique.


Les Ondes Électromagnétiques – Généralités

Les équations de Maxwell – Régime harmonique

En présence de sources électrique Je et magnétique Jm, les ondes E et H vérifient

Maxwell-Gauss : ∇ · D = ρe,Maxwell-Thomson : ∇ · B = ρm,

Maxwell-Faraday : ∇ × E = −Jm − jωB,Maxwell-Ampère : ∇ ×H = Jtote + jωD.

Les différents termesω = 2πf : pulsation ;

∇· : divergence ;∇× : rotationnel ;D : induction électrique ;




Jtote : courant électrique ;




∇ · Jtote + jωρe = 0,∇ · Jm + jωρm = 0.

sources magnétiques ∄ dans la nature.

Jtote et Jm grandeurs volumiques souventsurfaciques en pratique.


Plan

1 Introduction



4 Les Ondes Planes




8 Conclusion


Les Équations Constitutives

Les équations constitutives dans le vide

D = ε0E ;

B = µ0H.

avec

ε0 la permittivité du vide ≈ 8.85 · 10−12 F.m−1,µ0 perméabilité du vide = 4π · 10−7 H.m−1.


Les Équations Constitutives

Les équations constitutives dans le vide

D = ε0E ;

B = µ0H.

avec

ε0 la permittivité du vide ≈ 8.85 · 10−12 F.m−1,µ0 perméabilité du vide = 4π · 10−7 H.m−1.

Les équations constitutives dans un milieu lhi

D = εE ;

B = µH ;

Jtote = Je + Jce avec J

ce = σE.

avec

ε = εrε0 permittivité du milieu ;

µ = µrµ0 perméabilité du milieu ;

σ conductivité du milieu.


Les Milieux à Pertes

À Régider !!

À Régider !!


Plan

1 Introduction



4 Les Ondes Planes




8 Conclusion


Les conditions aux limites

ConfigurationE1,H1 εr1

E2,H2 εr2ρes, ρms

Jes, Jms

P

h

x̂

ŷ

ẑ

milieu ➀

milieu ➁

Interface infiniment fineDensités surfaciques de charge

ρes = limh→0

ˆ h/2

−h/2ρedz,

ρms = limh→0

ˆ h/2

−h/2ρmdz.

Densités surfaciques de courant

Jes = limh→0

ˆ h/2

−h/2Je dz,

Jms = limh→0

ˆ h/2

−h/2Jm dz.


Composantes normales

Configuration

P V

n̂2→1

n̂1→2

lat

h

S

S

milieu ➀

milieu ➁

RésultatMaxwell-Gauss appliqué au volumeV donne

‹

∂VD · dS =

˚

Vρe dV = Qe,

... qui mène à ...(D1 − D2) · n̂2→1 = ρes.

Maxwell-Thomson mène à(B1 − B2) · n̂2→1 = ρms.


Composantes tangentielles

Configuration

S

P

h

l

l̂1

n̂2→1

τ̂

milieu ➀

milieu ➁

RésultatLa forme intégrale de l’équation de Maxwell-Ampère donne

˛

∂SH · dl =

¨

S

[

(σ + jωε)E + Je] · dS,

... qui mène à ...n̂2→1 × (H1 −H2) = Jes.

Maxwell-Faraday donnen̂2→1 × (E1 − E2) = −Jms.


Les conditions aux limites – Résumé


À la frontière entre deux milieux ➀ et ➁, avecn̂2→1 la normale orientée de ➁ vers ➀, lesrelations de passage sont données par

n̂2→1 × (E1 − E2) = −Jms,n̂2→1 × (H1 −H2) = Jes.

Cas particuliers

Si le milieu ➁ est un PEC, les conditions auxlimites imposent

n̂2→1 × E1 = 0,n̂2→1 ×H1 = Jes.

Si le milieu ➁ est un PMC, les conditions auxlimites imposent

n̂2→1 × E1 = −Jms,n̂2→1 ×H1 = 0.

Si les milieux ➀ et ➁ sont lhi, les conditions auxlimites imposent

n̂2→1 × (E1 − E2) = 0,n̂2→1 × (H1 −H2) = 0.


Les conditions aux limites – Résumé


À la frontière entre deux milieux ➀ et ➁, avecn̂2→1 la normale orientée de ➁ vers ➀, lesrelations de passage sont données par

n̂2→1 × (E1 − E2) = −Jms,n̂2→1 × (H1 −H2) = Jes.

Et les composantes normales ???

En électromagnétisme, les conditions auxlimites sur les composantes tangentielles sontgénéralement suffisantes. (cf. Théorèmed’unicité)

Cas particuliers

Si le milieu ➁ est un PEC, les conditions auxlimites imposent

n̂2→1 × E1 = 0,n̂2→1 ×H1 = Jes.

Si le milieu ➁ est un PMC, les conditions auxlimites imposent

n̂2→1 × E1 = −Jms,n̂2→1 ×H1 = 0.

Si les milieux ➀ et ➁ sont lhi, les conditions auxlimites imposent

n̂2→1 × (E1 − E2) = 0,n̂2→1 × (H1 −H2) = 0.


Plan

1 Introduction



4 Les Ondes Planes




8 Conclusion


Équations de Maxwell + CL + relations constitutives

RésuméRégime harmonique ;

milieux lhi tels que µ = µ0 ;

sources électrique Je et magnétique Jm.

⇒ E et H vérifient

Maxwell-Faraday : ∇ × E = −jωµ0H − Jm,Maxwell-Ampère : ∇ ×H = jωε0εreffE + Je.

À la frontière entre deux milieux ➀ et ➁ ;

n̂2→1 la normale orientée de ➁ vers ➀.

⇒ Les relations de passage sont données par

CL sur le champ électrique : n̂2→1 × (E1 − E2) = −Jms,CL sur le champ magnétique : n̂2→1 × (H1 −H2) = Jes.


QUIZZ

Les équations de Maxwell – loi de Faraday

Que dit la loi de Faraday ?

1/ˆ B

AE · dl = VA − VB

2/˛

∂SE · dl = 0

3/˛

∂SE · dl = −

¨

S

∂B

∂t· dS

4/ˆ B

AE · dl = −

¨

S

∂V

∂t


QUIZZ



1/ˆ B

AE · dl = VA − VB

2/˛

∂SE · dl = 0

3/˛

∂SE · dl = −

¨

S

∂B

∂t· dS

4/ˆ B

AE · dl = −

¨

S

∂V

∂t

Solution

➂


QUIZZ



1/ˆ B

AE · dl = VA − VB⇒ Différence de potentiels en électrostatique

2/˛

∂SE · dl = 0

3/˛

∂SE · dl = −

¨

S

∂B

∂t· dS

4/ˆ B

AE · dl = −

¨

S

∂V

∂t

Solution

➂


QUIZZ



1/ˆ B


2/˛

∂SE · dl = 0⇒ Différence de potentiels en électrostatique

3/˛

∂SE · dl = −

¨

S

∂B

∂t· dS

4/ˆ B

AE · dl = −

¨

S

∂V

∂t

Solution

➂


QUIZZ



1/ˆ B


2/˛


3/˛

∂SE · dl = −

¨

S

∂B

∂t· dS⇒ Loi de Maxwell-Faraday : une variation temporelle du flux du champ

magnétique crée une force électromotrice induite.

4/ˆ B

AE · dl = −

¨

S

∂V

∂t

Solution

➂


QUIZZ



1/ˆ B


2/˛


3/˛

∂SE · dl = −

¨

S

∂B

∂t· dS⇒ Loi de Maxwell-Faraday : une variation temporelle du flux du champ

magnétique crée une force électromotrice induite.

4/ˆ B

AE · dl = −

¨

S

∂V

∂t⇒ N’importe quoi. Pas homogène.

Solution

➂


QUIZZ

La conservation de la charge

Que dit la conservation de la charge ?

1/ une variation spatiale de la densité d’électrons crée un champ magnétique ;

2/ une variation temporelle de la densité de charges électriques crée une densité de courant électrique ;

3/ une variation temporelle de la densité de courant électrique crée une densité de charges électriques ;

4/ une variation spatiale du champ magnétique crée une densité de courant magnétique.


QUIZZ

La conservation de la charge

Que dit la conservation de la charge ?

1/ une variation spatiale de la densité d’électrons crée un champ magnétique ;

2/ une variation temporelle de la densité de charges électriques crée une densité de courant électrique ;

3/ une variation temporelle de la densité de courant électrique crée une densité de charges électriques ;

4/ une variation spatiale du champ magnétique crée une densité de courant magnétique.

Solution

➁



∂t= 0.


QUIZZ

Lesquels de ces champs sont physiquement possibles ?

PEC

E1

PSfrag

PEC

E2

PEC

E3

Choix

1/ E1

2/ E2

3/ E3

4/ E1 et E2

5/ E1 et E3

6/ E2 et E3


QUIZZ


PSfrag

PEC

E2

Choix

2/ E2

CL sur un PEC

n̂2→1 × E = 0.


QUIZZ

Laquelle de ces configurations correspond aux milieux ➀ et ➁ lhi ?E1,H1 εr1

E2,H2 εr2ρes, ρmsJes, Jms

P

h

milieu ➀

milieu ➁

E1,H1 εr1

E2,H2 εr2Jes, Jms

P

h

milieu ➀

milieu ➁

E1,H1 εr1

E2,H2 εr2ρes, ρms

P

h

milieu ➀

milieu ➁

E1,H1 εr1

E2,H2 εr2

P

h

milieu ➀

milieu ➁

Choix

1/ ➀

2/ ➁

3/ ➂

4/ ➃


QUIZZ

Laquelle de ces configurations correspond aux milieux ➀ et ➁ lhi ?

E1,H1 εr1

E2,H2 εr2

P

h

milieu ➀

milieu ➁

Choix

4/ ➃

CL à l’interface de 2 milieux lhi

n̂2→1 × (E2 − E1) = 0.


QUIZZ


PEC

H1

PSfrag

PEC

H2 H3

PEC

Choix

1/ H1

2/ H2

3/ H3

4/ H1 et H2

5/ H1 et H3

6/ H2 et H3


QUIZZ


PEC

H1

Choix

1/ H1

CL sur un PEC

n̂2→1 ×H = Je,n̂2→1 · B = n̂2→1 · µH = 0.

On suppose Je , 0, sinon, cela signifie qu’il n’y a pas de champ.


QUIZZ

Laquelle de ces configurations correspond aux milieux ➀ lhi et ➁ PMC ?(E1,H1) εr1

(0, 0)Jes, Jms

P

h

milieu ➀

milieu ➁

(E1,H1) εr1

P

h

milieu ➀

milieu ➁(0, 0)Jes = 0

Jms

(E1,H1) εr1

(0, 0)

P

h

milieu ➀

milieu ➁

JesJms = 0

(E1,H1) εr1

(0, 0)

P

h

milieu ➀

milieu ➁

Choix

1/ ➀

2/ ➁

3/ ➂

4/ ➃


QUIZZ

Laquelle de ces configurations correspond aux milieux ➀ lhi et ➁ PMC ?(E1,H1) εr1

P

h

milieu ➀

milieu ➁(0, 0)Jes = 0

Jms

Choix

3/ ➂

CL à l’interface de 2 milieux lhi

n̂2→1 × E1 = −Jms,n̂2→1 ×H1 = 0.


QUIZZ

Les milieux à pertes

Quelle assertion caractérise un milieu à pertes diélectriques ?

1/ La permittivité est nulle.

2/ La permittivité est à partie réelle positive.

3/ La permittivité est à partie imaginaire négative.

4/ La permittivité inclut la conductivité.

5/ La partie imaginaire de la permittivité est négligeable devant sa partie réelle.


QUIZZ

Les milieux à pertes

Quelle assertion caractérise un milieu à pertes diélectriques ?

3/ La permittivité est à partie imaginaire négative.

Solution

➂


ε = ε′ − jε′′ = ε0(ε′r − jε′′r ).


QUIZZ

Relations constitutives de la matière. Maxwell domaine temporel.

Supposons 2 milieux avec des densités de charge ρe égales et constantes, des permittivités telles queεr1 > εr2 et des perméabilité telles que µ1 > µ2. (Supposons que les conditions du théorème d’unicité soientremplies avec des champs nuls à t = 0.)

1/ D1 < D2 ;

2/ B1 < B2 ;

3/ E1 < E2 ;

4/ H1

QUIZZ

Relations constitutives de la matière. Maxwell domaine temporel.

Supposons 2 milieux avec des densités de charge ρe égales et constantes, des permittivités telles queεr1 > εr2 et des perméabilité telles que µ1 > µ2. (Supposons que les conditions du théorème d’unicité soientremplies avec des champs nuls à t = 0.)

3/ E1 < E2 ;

1/ ∇ ·D = ρe ⇒D1 = D2 = D2/ ∇ ·B = ρm = 0⇒ B1 = B2 = Cst = 03/ E1 = D1/(εr1ε0) < E2 = D2/(εr2ε0)

4/ H1 = B1/(µr1µ0) = B2/(µr2µ0) = 0

Solution

➂Une forte permittivité “concentre” le champ électrique.

De la même façon, une forte perméabilité “concentre” le champ magnétique.


Plan

1 Introduction



4 Les Ondes Planes




8 Conclusion


Calcul vectoriel

Le théorème d’Ostrogradski

Le théorème d’Ostrogradski est donné par˚

Ω

∇ · A dV =‹

∂Ω

A · dS, ∀ volume Ω


Calcul vectoriel

Le théorème d’Ostrogradski

Le théorème d’Ostrogradski est donné par˚

Ω

∇ · A dV =‹

∂Ω

A · dS, ∀ volume Ω

Théorème de StokesLe théorème de Stokes est donné par

¨

S(∇ × A) · dS =

˛

∂SA · dl, ∀ surface S



Les équations de Maxwell – Régime harmonique – Forme locale




Forme intégrale

En présence de sources électrique Je etmagnétique Jm, les ondes E et H vérifient

M-G :˚

Ω

∇ · D dV =˚

Ω

ρe dV,

M-T :˚

Ω

∇ · B dV =˚

Ω

ρm dV,

M-F :¨

S(∇ × E) · dS =

¨

S(−Jm − jωB) · dS,

M-A :¨

S(∇ ×H) · dS =

¨

S(Jtote + jωD) · dS.

Forme intégrale








Forme intégrale


M-G :˚

Ω

∇ · D dV =˚

Ω

ρe dV,

M-T :˚

Ω

∇ · B dV =˚

Ω

ρm dV,

M-F :¨

S(∇ × E) · dS =

¨


M-A :¨

S(∇ ×H) · dS =

¨


Forme intégrale


M-G :‹

∂Ω

D · dS = Qe,







Forme intégrale


M-G :˚

Ω

∇ · D dV =˚

Ω

ρe dV,

M-T :˚

Ω

∇ · B dV =˚

Ω

ρm dV,

M-F :¨

S(∇ × E) · dS =

¨


M-A :¨

S(∇ ×H) · dS =

¨


Forme intégrale


M-G :‹

∂Ω

D · dS = Qe,

M-T :‹

∂Ω

B · dS = Qm,







Forme intégrale


M-G :˚

Ω

∇ · D dV =˚

Ω

ρe dV,

M-T :˚

Ω

∇ · B dV =˚

Ω

ρm dV,

M-F :¨

S(∇ × E) · dS =

¨


M-A :¨

S(∇ ×H) · dS =

¨


Forme intégrale


M-G :‹

∂Ω

D · dS = Qe,

M-T :‹

∂Ω

B · dS = Qm,

M-F :˛

∂SE · dl = −Im − jωµ

¨

SH · dS,







Forme intégrale


M-G :˚

Ω

∇ · D dV =˚

Ω

ρe dV,

M-T :˚

Ω

∇ · B dV =˚

Ω

ρm dV,

M-F :¨

S(∇ × E) · dS =

¨


M-A :¨

S(∇ ×H) · dS =

¨


Forme intégrale


M-G :‹

∂Ω

D · dS = Qe,

M-T :‹

∂Ω

B · dS = Qm,

M-F :˛

∂SE · dl = −Im − jωµ

¨

SH · dS,

M-A :˛

∂SH · dl = Itote + jωε

¨

SE · dS.


Plan

1 Introduction



4 Les Ondes Planes




8 Conclusion


Principe de superposition

ÉnoncéLe principe de superposition permet de décomposer l’étude d’un problème en scindant les sources :

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(Je1, Jm1) rayonnent (E1,H1)(Je2, Jm2) rayonnent (E2,H2)

⇓(Je1 + Je2, Jm1 + Jm2) rayonnent (E1 + E2,H1 +H2).


Principe de superposition

ÉnoncéLe principe de superposition permet de décomposer l’étude d’un problème en scindant les sources :

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(Je1, Jm1) rayonnent (E1,H1)(Je2, Jm2) rayonnent (E2,H2)

⇓(Je1 + Je2, Jm1 + Jm2) rayonnent (E1 + E2,H1 +H2).

DémonstrationLes équations de Maxwell sont linéaires.


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1 Introduction



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8 Conclusion


Théorème de Poynting

Théorème de Poynting – Forme locale dans le domaine temporel

En tout point d’un domaine Ω constitué de milieux linéaires et isotropes, la conservation de la puissance aucours du temps s’écrit

∇ ·S + ∂∂t

(we + wm) − pse − psm + pd = 0,

avec :

le vecteur densité de puissance électromagnétique = vecteur de Poynting

S = E ×H ;

les densités d’énergies électrique et magnétique stockées

we =ε‖E‖2

2; wm =

µ‖H‖22

;

les densités de puissance fournies par les sources électriques et magnétiques

pse = −E ·J e ; psm = −H ·Jm ;

la densité de puissance dissipée par effet Joule

pd = σ‖E‖2.



Théorème de Poynting – Forme locale dans le domaine temporel – Démonstration

Localement,S = E ×H .

Le théorème d’Ostrogradski impose

Pout =‹

∂Ω

S · dS =˚

Ω

∇ ·S dV , ∀ volume Ω

⇒ puissance totale sortant d’un volume Ω :

Pout =‹

∂Ω

S · dS =˚

Ω

∇ · (E ×H) · dS.

Puis ∇ · (A × B) = B · (∇ × A) − A · (∇ × B).Puis Maxwell-Faraday et Maxwell-Ampère.Puis relations constitutives.



Théorème de Poynting – Forme locale dans le domaine fréquentiel

En régime fréquentiel, en tout point d’un domaine Ω constitué de milieux linéaires et isotropes, laconservation de la puissance s’écrit

∇ · Re(S) − Re(pse + psm) + pd = 0,

avec :

le vecteur densité de puissance électromagnétique = vecteur de Poynting

S =12

E ×H∗ ;

les densités de puissance fournies par les sources électriques et magnétiques

pse = −12

E · J∗e ; psm =−12

H∗·Jm ;

la densité de puissance dissipéepd = p

condd + p

dield + p

magnd ;

les densités de puissance dissipée par effet Joule, pertes diélectriques et pertes magnétiques

pcondd =σ

2‖E‖2 ; pdield =

ωε′′

2‖E‖2 ; pmagd =

ωµ′′

2‖H‖2.



Théorème de Poynting – Forme intégrale dans le domaine fréquentiel

En régime fréquentiel, dans un domaine Ω constitué de milieux linéaires et isotropes, la conservation de lapuissance s’écrit

Pa − Re(Pse + Psm) + Pd = 0,

avec

Pa =

‹

∂Ω

Re(S)· dS la puissance active sortant du domaine ;

Pse =

˚

Ω

pse dV la puissance fournie par les sources électriques ;

Psm =

˚

Ω

psm dV la puissance fournie par les sources magnétiques ;

Pd =

˚

Ω

pd dV la puissance dissipée.


Plan

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8 Conclusion


Théorème d’unicité

Énoncé – Domaine temporel

En régime temporel, dans un domaine Ω constitué de milieux linéaires et isotropes, il y a unicité du champ(E,H) si

des conditions initiales sont fixées pour E etH dans Ω ;

en tout point de la frontière ∂Ω, soit n̂ × E soit n̂ ×H est donné, ∀t ≥ 0, avec n̂ le vecteur unitairenormal à la surface orienté vers l’extérieur du domaine.







Exemples

Le conducteur électrique parfait qui impose n̂ × E = 0 ;le conducteur magnétique parfait qui impose n̂ ×H = 0.







Exemples


Remarque

Condition suffisante pour avoirunicité, pas nécessaire.







Exemples


Remarque

Condition suffisante pour avoirunicité, pas nécessaire.

DémonstrationSupposer les hypothèses (conditions initiales + conditions aux limites) vérifiées ;

supposer que (E1,H1) et (E2,H2) remplissent ces conditions ;

montrer que ces champs sont égaux en appliquant le théorème de Poynting sur le champ différence.



Énoncé 1 – Domaine fréquentiel

En régime fréquentiel, dans un domaine Ω constitué de milieux linéaires et isotropes, il y a unicité du champ(E,H) si :

il existe des pertes diélectriques, magnétiques ou conductrices dans Ω ;

en tout point de la frontière de Ω, soit n̂ × E soit n̂ ×H est donné, avec n̂ le vecteur unitaire normal à lasurface orienté vers l’extérieur du domaine.









sur la frontière ∂Ω, une condition du type n̂ × E + Z n̂ × (n̂ ×H) = 0 est donnée, avec Re(Z) > 0 et n̂ levecteur unitaire normal à la surface orienté vers l’extérieur du domaine.










Remarques

Énoncé 1 = conditions aux limites + pertes dans le domaine.Énoncé 2 = conditions aux limites impédantes.










Remarques

Énoncé 1 = conditions aux limites + pertes dans le domaine.Énoncé 2 = conditions aux limites impédantes.

Contre-exemple

Boîte métallique fermée sanspertes en régime fréquentiel. Lechamp est indéterminé.


Plan

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8 Conclusion


Symétrie / Antisymétrie

Configuration

Milieu symétrique par rapport au plan P défini par z = 0⇒ Permittivité, perméabilité, conductivité paires par rapport à z :

ε(x, y,−z)= ε(x, y, z),µ(x, y,−z)= µ(x, y, z),σ(x, y,−z)= σ(x, y, z).

Symétrie / antisymétrie

U

P

Us

Figure: Un vecteur U et son symétrique.

U

Ua

P

Figure: Un vecteur U et son antisymétrique.

Flèche de même direction = vecteurs de même amplitude et même phase.

Flèche de directions opposées = vecteurs de même amplitude déphasés de π.



Symétrie électrique

Dans une configuration symétrique par rapport au plan z = 0,

Je symétriqueJm antisymétrique

⇒ E symétriqueH antisymétrique

Le plan z = 0 est alors appelé plan de symétrie électrique.

Remarque

En cas de symétrie électrique, les champs vérifient

Hx(x, y, 0) = −Hx(x, y, 0)Hy(x, y, 0) = −Hy(x, y, 0)Ez(x, z, 0) = −Ez(x, y, 0)

⇒ Hx(x, y, 0) = Hy(x, y, 0) = 0Ez(x, y, 0) = 0.

C’est-à-dire :

champs magnétiques tangents au plan = 0 ;

champ électrique normal au plan = 0.

Plan P assimilable à un PMC.



Symétrie magnétique

Dans une configuration symétrique par rapport au plan z = 0,

Je antisymétriqueJm symétrique

⇒ E antisymétriqueH symétrique

Le plan z = 0 est alors appelé plan de symétrie magnétique.

Remarque

En cas de symétrie magnétique, les champs vérifient

Ex(x, y, 0) = −Ex(x, y, 0)Ey(x, y, 0) = −Ey(x, y, 0)Hz(x, z, 0) = −Hz(x, y, 0)

⇒ Ex(x, y, 0) = Ey(x, y, 0) = 0Hz(x, y, 0) = 0.

C’est-à-dire :

champs électriques tangents au plan = 0 ;

champ magnétique normal au plan = 0.

Plan P assimilable à un PEC.



Excitation quelconque

(Je, Jm) quelconques ;

milieu symétrique par rapport à P.

⇒ les courants peuvent être séparés en une partie symétrique et une partie antisymétrique

Je = Jse + J

ae, Jm = J

sm + J

am.

Démonstrationpartie symétrique du courant électrique

Jsex(x, y, z)=[

Jex(x, y, z) + Jex(x, y,−z)]

/2,

Jsey(x, y, z)=[

Jey(x, y, z) + Jey(x, y,−z)]

/2,

Jsez(x, y, z) =[

Jez(x, y, z) − Jez(x, y,−z)]

/2;

partie antisymétrique du courant électrique

Jaex(x, y, z)=[

Jex(x, y, z) − Jex(x, y,−z)]

/2,

Jaey(x, y, z)=[

Jey(x, y, z) − Jey(x, y,−z)]

/2,

Jaez(x, y, z) =[

Jez(x, y, z) + Jez(x, y,−z)]

/2;

partie symétrique du courant magnétique

Jsmx(x, y, z)=[

Jmx(x, y, z) + Jmx(x, y,−z)]

/2,

Jsmy(x, y, z)=[

Jmy(x, y, z) + Jmy(x, y,−z)]

/2,

Jsmz(x, y, z) =[

Jmz(x, y, z) − Jmz(x, y,−z)]

/2;

partie antisymétrique du courant magnétique

Jamx(x, y, z)=[

Jmx(x, y, z) − Jmx(x, y,−z)]

/2,

Jamy(x, y, z)=[

Jmy(x, y, z) − Jmy(x, y,−z)]

/2,

Jamz(x, y, z) =[

Jmz(x, y, z) + Jmz(x, y,−z)]

/2.


Théorème des images

Courants transverses et longitudinaux

Les courants sont décomposés comme suit.

Jet et Jmt : composantes transverses (parallèles au plan conducteur) ;

Jez et Jmz : composantes longitudinales (orthogonales au plan conducteur).

Théorème des images pour un PEC

PEC, (E = 0,H = 0)

Ω, (E,H)

Jet

Jez

Jmt

Jmz

⇔

Ω, (E,H)

Ωi, (Ei,Hi)

Jet

Jez

Jmt

Jmz

Jeit

Jiez

Jmit

Jimz



Courants transverses et longitudinaux

Les courants sont décomposés comme suit.

Jet et Jmt : composantes transverses (parallèles au plan conducteur) ;

Jez et Jmz : composantes longitudinales (orthogonales au plan conducteur).

Théorème des images pour un PMC

PMC, (E = 0,H = 0)

Ω, (E,H)

Jet

Jez

Jmt

Jmz

⇔

Ω, (E,H)

Ωi, (Ei,Hi)

Jet

Jez

Jmt

Jmz

Jeit

Jiez

Jmit

Jimz


QUIZZ

Théorème de superposition

Alimentation antenne ➀ : a1 = 1 V⇒signal s1 = 2 + j µV sur l’antenne ➂.

Alimentation antenne ➁ : a2 = 1 V⇒signal s2 = 2 − 3j µV sur l’antenne ➂.Quel est le signal mesuré sur l’antenne ➂quand les 2 antennes ➀ et ➁ sontalimentées par a1 = −1 + j V et a2 = j V,respectivement ?

1 1 µV ;

2 1-j µV ;

3 -2j µV ;

4 3j µV ;

5 1+2j µV.

Configuration

➀➁

➂


QUIZZ

Théorème de superposition

Alimentation antenne ➀ : a1 = 1 V⇒signal s1 = 2 + j µV sur l’antenne ➂.

Alimentation antenne ➁ : a2 = 1 V⇒signal s2 = 2 − 3j µV sur l’antenne ➂.Quel est le signal mesuré sur l’antenne ➂quand les 2 antennes ➀ et ➁ sontalimentées par a1 = −1 + j V et a2 = j V,respectivement ?

4 3j µV ;

Configuration

➀➁

➂

Solution

➃

s= −s1 + js1 − js2= −1(2 + j) + j(2 + j) + j(2 − 3j)= (−2 − j) + (−1 + 2j) + (3 + 2j)= 3j µV


QUIZZ

Vecteur de Poynting

En supposant qu’il n’y a des sources que dans leSoleil, donnez le signe du flux du vecteur de

Poyting Pn =‹

∂Ωn

Re(Sn)· dS dans Ωn .

1/ P1 > 0,P2 > 0,P3 = 0,P4 > 0 ;

2/ P1 > 0,P2 < 0,P3 > 0,P4 > 0 ;

3/ P1 > 0,P2 = 0,P3 > 0,P4 < 0 ;

4/ P1 > 0,P2 < 0,P3 = 0,P4 > 0 ;

5/ P1 > 0,P2 < 0,P3 = 0,P4 < 0.


QUIZZ

Ω1, S1Ω2, S2

Ω4, S4

Ω3, S3

Vecteur de Poynting


Poyting Pn =‹

∂Ωn

Re(Sn)· dS dans Ωn .

1/ P1 > 0,P2 > 0,P3 = 0,P4 > 0 ;

2/ P1 > 0,P2 < 0,P3 > 0,P4 > 0 ;

3/ P1 > 0,P2 = 0,P3 > 0,P4 < 0 ;

4/ P1 > 0,P2 < 0,P3 = 0,P4 > 0 ;

5/ P1 > 0,P2 < 0,P3 = 0,P4 < 0.


QUIZZ

Ω1, S1Ω2, S2

Ω4, S4

Ω3, S3

Vecteur de Poynting


Poyting Pn =‹

∂Ωn

Re(Sn)· dS dans Ωn .4/ P1 > 0,P2 < 0,P3 = 0,P4 > 0 ;


QUIZZ

Ω1 ,P1


Le théorème de Poynting dit :Pa − Re(Pse + Psm) + Pd = 0.

Appliqué au Soleil : on a vu que Pa > 0 dansΩ1 . Que valent les autres termes ?

1/ Re(Pse + Psm) = 0, Pd = 0 ;

2/ Re(Pse + Psm) = 0, Pd > 0 ;

3/ Re(Pse + Psm) > 0, Pd = 0 ;

4/ Re(Pse + Psm) > 0, Pd > 0.


QUIZZ

Ω1 ,P1



Appliqué au Soleil : on a vu que Pa > 0 dansΩ1 . Que valent les autres termes ?

3/ Re(Pse + Psm) > 0, Pd = 0 ;

4/ Re(Pse + Psm) > 0, Pd > 0.


QUIZZ

Ω2 ,P2



Appliqué à la Terre : on a vu que Pa < 0 dansΩ1 . Que valent les autres termes ?

1/ Re(Pse + Psm) = 0, Pd = 0 ;

2/ Re(Pse + Psm) = 0, Pd > 0 ;

3/ Re(Pse + Psm) > 0, Pd = 0 ;

4/ Re(Pse + Psm) > 0, Pd > 0.


QUIZZ

Ω2 ,P2



Appliqué à la Terre : on a vu que Pa < 0 dansΩ1 . Que valent les autres termes ?

2/ Re(Pse + Psm) = 0, Pd > 0 ;

Pa = Pd


QUIZZ

Ω3 ,P3



Appliqué à l’espace : on a vu que Pa = 0 dansΩ1 . Que valent les autres termes ?

1/ Re(Pse + Psm) = 0, Pd = 0 ;

2/ Re(Pse + Psm) = 0, Pd > 0 ;

3/ Re(Pse + Psm) > 0, Pd = 0 ;

4/ Re(Pse + Psm) > 0, Pd > 0.


QUIZZ

Ω3 ,P3



Appliqué à l’espace : on a vu que Pa = 0 dansΩ1 . Que valent les autres termes ?

1/ Re(Pse + Psm) = 0, Pd = 0 ;

ε = ε0 (ou εr = 1)


QUIZZ

Ω4 ,P4



Appliqué au système solaire : on a vu quePa > 0 dans Ω1 . Que valent les autres termes ?

1/ Re(Pse + Psm) = 0, Pd = 0 ;

2/ Re(Pse + Psm) = 0, Pd > 0 ;

3/ Re(Pse + Psm) > 0, Pd = 0 ;

4/ Re(Pse + Psm) > 0, Pd > 0.


QUIZZ

Ω4 ,P4



Appliqué au système solaire : on a vu quePa > 0 dans Ω1 . Que valent les autres termes ? 4/ Re(Pse + Psm) > 0, Pd > 0.

Re(Pse + Psm) > Pd


QUIZZ


Un circuit LC

1/ stocke de l’énergie réactive ;

2/ stocke de l’énergie active ;

3/ rayonne de l’énergie active ;

4/ rayonne de l’énergie réactive.


QUIZZ


Un circuit LC

1/ stocke de l’énergie réactive ;

Solution

➀


QUIZZ


Question subsidiaire : Un circuit LC

1/ principalement, stocke de l’énergie réactive ;

2/ uniquement, stocke de l’énergie réactive.


QUIZZ


Question subsidiaire : Un circuit LC

1/ principalement, stocke de l’énergie réactive ;

Solution

➀


QUIZZ

Théorème d’unicitéDans un volume Ω fermé, dans le domaine fréquentiel, que faut-il pour que l’unicité des champs soitrespectée ?

1/ des pertes dans le volume et les composantes tangentielles des champs connues ;

2/ des pertes dans le volume et les composantes normales des champs connues ;

3/ les champs respectent la causalité et les composantes tangentielles du champ connues ;

4/ les champs respectent la causalité et les composantes normales du champ connues.


QUIZZ

Théorème d’unicitéDans un volume Ω fermé, dans le domaine fréquentiel, que faut-il pour que l’unicité des champs soitrespectée ?

1/ des pertes dans le volume et les composantes tangentielles des champs connues ;

Solution

➀


QUIZZ


J’ai une source Je antisymétrique. Elle rayonne un champ E. En (x0 , y0 , z0), ce champ vaut Ez0 = x̂ + jẑ .Que vaut le champ électrique E−z0 en (x0 , y0,−z0) ?1/ E−z0 = x̂ + jẑ ;

2/ E−z0 = x̂ − jẑ ;3/ E−z0 = −x̂ + jẑ ;4/ E−z0 = −x̂ − jẑ ;5/ E−z0 = 0.

U

Ua

P



QUIZZ


J’ai une source Je antisymétrique. Elle rayonne un champ E. En (x0 , y0 , z0), ce champ vaut Ez0 = x̂ + jẑ .Que vaut le champ électrique E−z0 en (x0 , y0,−z0) ?1/ E−z0 = x̂ + jẑ ;


Solution

➂Je antisymétrique ⇒ E antisymétrique

U

Ua

P



QUIZZ


J’ai une source Je et une source Jm placées au-dessus d’un plan PEC en z = 0. Elles rayonnent un champ E.En M1 = (x0 , y0, z0), ce champ vaut Ez0 = x̂ + jẑ. Que vaut le champ électrique E−z0 en M2(x0 , y0,−z0) ?1/ E−z0 = x̂ + jẑ ;



QUIZZ


J’ai une source Je et une source Jm placées au-dessus d’un plan PEC en z = 0. Elles rayonnent un champ E.En M1 = (x0 , y0, z0), ce champ vaut Ez0 = x̂ + jẑ. Que vaut le champ électrique E−z0 en M2(x0 , y0,−z0) ?1/ E−z0 = x̂ + jẑ ;


Solution

➄Le théorème des images ne donne une équivalence que dans le demi-espace z ≥ 0. Dans le PEC, E = 0,

H = 0.


Plan

1 Introduction







8 Conclusion


QUIZZ

OPPMQu’est-ce qu’une OPPM

1/ une Onde Plane Progressive Monochromatique ;

2/ une Onde Plane Presque Monochromatique ;

3/ une Onde Pas ou Plus Monochromatique ;

4/ un acronyme qui ne sert à rien.


QUIZZ

OPPMQu’est-ce qu’une OPPM

4/ un acronyme qui ne sert à rien.

Solution

➃

Onde Plane ou Plane Wave


Définition de l’onde plane

Ondes planes – Définition

Dans un milieu linéaire, homogène, isotrope et sans sources, une onde plane est une solution des équationsde Maxwell dont les fronts d’onde sont des plans infinis.

L’équation de Helmholtz

Dans un milieu lhi sans sources, le champ électrique vérifie l’équation de Helmholtz qui s’écrit

∆E + k2E = 0,

avec

k = ω√µεeff = k0

√µrεreff le nombre d’onde ;

k0 = ω√µ0ε0 = ω/c0 le nombre d’onde dans le vide.







∆E + k2E = 0,

avec




Retrouver k et l’équation de Helmholtz

On applique le ∇× à l’équation de Maxwell-Faraday(sans sources)

∇ × (∇ × E)= −jωµ∇ ×H,= −jωµ(σ + jωε)E,= k2E.

On applique l’identité vectorielle sur le ∇ × ∇× auchamp électrique

∇ × ∇ × E = ∇(∇ · E) − ∆E.

avec ∇ · E = 0 sans sources.







∆E + k2E = 0,

avec




Résoudre l’équation de Helmholtz

On projette l’équation selon x, y et z, (ici x) :

∆Ex + k2Ex = 0,

puis on résout par séparation de variableE(x, y, z) = X(x)Y(y)Z(z).

On applique l’identité vectorielle sur le ∇ × ∇× auchamp électrique

∇ × ∇ × E = ∇(∇ · E) − ∆E.

avec ∇ · E = 0 sans sources.


Forme de l’onde plane

Champ électrique de l’onde plane

Champ électrique d’une onde plane :E = E0e

−jk·r,

oùE0 = E0xx̂ + E0yŷ + E0zẑ.

k : le vecteur d’onde donné park = kxx̂ + ky ŷ + kz ẑ,

aveck2x + k

2y + k

2z = k

2.



∆E + k2E = 0,

avec



k0 = ω/c0 le nombre d’onde dans le vide.


Plan

1 Introduction







8 Conclusion


Caractérisation dans milieu sans pertes

Caractéristiques d’une onde plane

longueur d’onde λ ;

nombre et vecteur d’onde k et k ;

caractère TEM de l’onde plane ;

vitesse de groupe, vitesse de phase ;

vecteur de Poynting, puissance ;

polarisation.



Caractéristiques d’une onde plane

longueur d’onde λ ;

nombre et vecteur d’onde k et k ;

caractère TEM de l’onde plane ;

vitesse de groupe, vitesse de phase ;

vecteur de Poynting, puissance ;

polarisation.

En temporel

E(r, t) = Re(E0(r)e−jk·rejωt).

Selon x̂,Ex = Re(E0xej(ωt−k·r)) = |E0x| cos(ωt − k · r + ϕ0x).



Le front d’onde en 3D

k̂

Fron

t d’o

nde à

t 1

Fron

t d’o

nde à

t 2

c(t2 − t1)

Figure: Front d’onde d’une onde plane à deux instants t1et t2.

Le front d’onde en 2D

t2t1

E(x

)(V

.m−1

)

z(λ)

c(t2 − t1)

λ

Figure: Allure du champ Ex à deux instants t1 et t2proches.

La longueur d’onde

La longueur d’onde λ définit la période spatiale de l’onde selon la direction de propagation

k(z + λ) = kz + 2π ⇒ λ = 2πk=

2πcω=

c

f.



Front d’onde et direction de propagation

Dans un milieu linéaire, homogène, isotrope et sans pertes, une onde plane uniforme :

se propage dans la direction k̂ =k

k;

se caractérise par des fronts d’onde plans et orthogonaux à k̂;

possède une périodicité spatiale selon la direction k̂, de période définie par la longueur d’onde λ telleque

λ =c

f.

La longueur d’onde λ peut aussi être calculée dans un milieu par rapport à sa valeur λ0 dans le vide

λ =λ0√εrµr

avec λ0 =c0

f.



Caractère TEM de l’onde plane

k̂, E et H vérifient

H =k̂ × Eζ.

(k̂, E, H) est un trièdre direct ;

le champ est dit Transverse ÉlectroMagnétique (TEM) par rapport à la direction de propagation ;

ζ, exprimée en [Ω], est appelée l’impédance du milieu.

ζ =

√

µ

ε= ζ0

√

µr

εrl’impédance du milieu,

avec

ζ0 =

√

µ0

ε0≈ 120πΩ l’impédance du vide.



Vitesse de groupe

Vitesse à laquelle transite l’information et l’énergie portée par l’onde. Elle s’exprime par

vg =dω

dk.

Vitesse de phase

Vitesse apparente de la phase de l’onde. Ne correspond à aucun transport d’énergie ou d’information (peutêtre > c). Elle s’exprime par

vϕ =ω

k.

Pour l’onde plane

Pour une onde plane, les vitesses de groupe et de phase sont données par

vg = vϕ = c.



Vecteur de Poynting d’une onde plane

Onde plane uniformemilieu sans pertes

⇒ vecteur de Poynting cst et orienté dans la direction de propagation :

S =‖E0‖2

2ζk̂.

S est réel⇒ pas de puissance réactive.

Puissance d’une onde plane

La puissance traversant une surface S vaut

P =

¨

SS · dS = ‖E0‖

2

2ζ

¨

Sk̂ · dS.



Polarisation – Définition

C’est l’évolution temporelle du vecteur champélectrique en un point de l’espace.

Ondes complètement polarisées ;

les ondes non polarisées ;

ondes partiellement polarisées.



Polarisation – Définition

C’est l’évolution temporelle du vecteur champélectrique en un point de l’espace.

Ondes complètement polarisées ;

les ondes non polarisées ;

ondes partiellement polarisées.

Champ électrique, domaine temporel

Si k̂ = ẑ,E(r, t) = Re(Eejωt) = Re(E0e

j(ωt−k·r))

= |E0x| cos(ωt − kz + ϕ0x) x̂ + |E0y| cos(ωt − kz + ϕ0y) ŷ,

Paramètres de la polarisation

La polarisation est définie en fonction

des amplitudes |E0x| et |E0y| ;du déphasage relatif ϕ = ϕ0x − ϕ0y.

Polarisations principales

Linéaire, circulaire, elliptique.



Polarisation linéaireE0y = 0⇒ champ orienté selon x̂⇒ Polarisation horizontale ;E0x = 0⇒ champ orienté selon ŷ⇒ Polarisation verticale ;E0x/E0y ∈ R⇒ champ orienté selon v̂ (⇔ ϕ = 0 ou π).

Polarisation linéaire

z0λ

2λ3λ

y

x

Figure: Champ en fonction de z à t fixé.

x

y

k

E

Figure: Champ en fonction de t à z fixé.



La polarisation circulaire droite (RHCP)

Quand t varie, l’équation paramétrique est celle d’un cercle.

Ex(r, t) = ‖E0‖ cos(ωt − kz),Ey(r, t) = ‖E0‖ sin(ωt − kz).

⇔|E0y| = |E0x|,ϕ = −π

2.

Ceci se vérifie aisément en notant que E2x + E2y = ‖E0‖2 = Cte.

z0λ

2λ3λ

y

x

Figure: Vecteur champ électrique en fonction de z (enλ) à t fixé (polarisation circulaire droite).

x

y

k

E

Figure: Vecteur champ électrique en fonction de t à zfixé (polarisation linéaire droite).



La polarisation circulaire gauche (LHCP)

Quand t varie, l’équation paramétrique est celle d’un cercle.

Ex(r, t) = ‖E0‖ cos(ωt − kz),Ey(r, t) = −‖E0‖ sin(ωt − kz).

⇔|E0y| = |E0x|,ϕ =π

2.

On a toujours E2x + E2y = ‖E0‖2 = Cte.

z0λ

2λ3λ

y

x

Figure: Vecteur champ électrique en fonction de z (enλ) à t fixé (polarisation circulaire gauche).

x

y

k

E

Figure: Vecteur champ électrique en fonction de t à zfixé (polarisation linéaire gauche).



La polarisation elliptique

Quand t varie, l’équation paramétrique est celle d’une ellipse.

Ex(r, t) = |E0x| cos(ωt − kz + ϕ0x),Ey(r, t) = ±|E0y| sin(ωt − kz + ϕ0x).

Ceci se vérifie avec(

Ex|E0x|

)2

+

( Ey|E0y|

)2

= 1.

z0λ 2λ

3λy

x

Figure: Vecteur champ électrique en fonction de z (enλ) à t fixé (polarisation elliptique droite).

Intérêt

Décrit des polarisations linéaires etcirculaires

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Ondes et Propagation - ISAE-SUPAERO · 2016. 9. 5. · Ondes et propagation Radio-communications Modélisation rigoureuse Modélisation asymptotique Traitement d’antenne Canal de